Metoder för addition och subtraktion - DiVA portal688997/... · 2014. 1. 19. · tur att eleverna...

Institutionen för

pedagogik, didaktik och

utbildningsstudier

Examensarbete i

utbildningsvetenskap inom allmänt

utbildningsområde, 15

hp

Metoder för addition och subtraktion

En litteraturstudie av matematikböcker för tidiga skolår

Louise Andersson

Jenny Gustafsson

Handledare: Lolita Eriksson

Examinator: John Prytz

Rapport nr: 2013Vt00405

1

Sammanfattning

Syftet med denna studie har varit att undersöka och jämföra vilka metoder inom addition och

subtraktion som förekommer i två matematiklärobokserier. Vi har sökt svar på frågorna: vilka

metoder för addition och subtraktion som läroböckerna ger, hur dessa behandlas och bygger

vidare på varandra samt hur böckerna förhåller sig till gällande läro- och kursplaner.

Den metod vi har använt oss av är en innehållslig idéanalys, eftersom vi tittat på dels vad,

men också hur det tas upp. Materialet vi använt denna metod på är två

matematiklärobokserier, som är reviderade till gällande läroplan, Lgr11. Som verktyg för att

genomföra denna studie har vi utarbetat ett analysschema som har fokuserat på vilka metoder

böckerna tar upp samt tre metaforer som beskriver hur det tas upp.

Resultatet av denna studie har visat att det finns stora skillnader på hur böckerna arbetar

med addition och subtraktion. Den ena boken tar upp metoderna flera gånger, börjar

grundande och bygger vidare för att fördjupa och utveckla kunskaper. Den andra tar upp

metoderna få gånger samt stannar på det grundande, det vill säga bygger aldrig vidare. Detta

leder till att den första boken ger förutsättningar för påbyggnad och kunskap medan den andra

snarare begränsar elevernas fortsatta kunskapsutveckling.

Nyckelord: Matematikläromedel, Idéanalys, Läroböcker, Addition, Subtraktion

2

Innehållsförteckning

Sammanfattning ...............................................................................................1

Inledning..........................................................................................................4

Bakgrund .........................................................................................................5

Litteraturöversikt .............................................................................................7

Tidigare forskning ................................................................................7

Teoretiska utgångspunkter ....................................................................8

Analysschema ......................................................................... 12

Syfte och frågeställningar ............................................................................... 13

Syfte ................................................................................................... 13

Frågeställningar .................................................................................. 13

Metod ............................................................................................................ 14

Metodval ............................................................................................ 14

Urval .................................................................................................. 15

Tillvägagångssätt ................................................................................ 15

Material .............................................................................................. 16

Favorit Matematik................................................................... 16

Lyckotal.................................................................................. 16

Etiska överväganden ........................................................................... 16

Resultat och analys ........................................................................................ 18


Lyckotal.................................................................................. 27

Jämförelse............................................................................... 34


Lyckotal.................................................................................. 37

Jämförelse fråga för fråga ....................................................... 39

Diskussion ..................................................................................................... 41

Konklusion .................................................................................................... 43

Referenser ...................................................................................................... 45

3

Källor ................................................................................................. 45

Littaratur ............................................................................................ 45

4

Inledning

Grunden till denna studie kommer från början från vårt matematikintresse. När vi varit ute på

verksamhetsförlagd utbildning har vi sett att många matematikböcker är bristfälliga. Detta i

kombination med att de nyligen kommit en ny läroplan som vi under vår utbildning behövt

sadla om till, har gjort oss intresserade av just detta att studera läromedel.

I studien har Louise ansvarat för att analysera och titta på läromedlet Favorit matematik,

medan Jenny har ansvarat för att analysera och titta på läromedlet Lyckotal.

Slutligen vill vi tacka våra familjer och vår handledare Lolita Eriksson för deras stöd under

uppsatsskrivandet.

Uppsala den 16 maj 2013

Louise Andersson och Jenny Gustafsson

5

Bakgrund

Idag är läroböcker det dominanta inslaget i klassrummet inom matematikämnet, detta leder

till att dessa definierar inte bara vad innehållet i matematik bör vara och är utan också vad

matematik är för både lärare och elever (Johansson, 2006a, s. 1; Johansson, 2006b, s. 6).

Forskning visar däremot att få läroböcker tar upp när och varför eleverna utanför

matematikundervisningen kan använda specifika strategier (Johansson, 2006a, s. 5).

Till grunden inom matematik hör de fyra räknesätten, varför det är relevant att se hur dessa

berörs i läroböcker. På denna grund, som dessa fyra utgör, vilar sedan mycket av framtida

matematikundervisning och teorier, varpå de verktyg eleverna fått från början utgör ett stort

stöd och hjälp till förståelse. Generellt gäller det att elever själva måste förstå vad det är de lär

sig och vad de gör för att bemästra kunskapen och sedan ha möjlighet att utveckla denna

(Witzel m.fl., 2012, s. 90.). Det är också viktigt att de får olika associationsbilder som

hjälpmedel, även detta för att grunda kunskapen djupare för att senare kunna bygga vidare på

den (ibid. s. 92).

Bakgrunden till varför elever har matematiksvårigheter kan starkt kopplas till det faktum,

att de inte lärt sig grundprinciperna i taluppfattning (ibid., s. 90). Detta leder till att grunderna

eleverna får i tidig ålder, från förskoleklass och sedan i lågstadiet, påverkar den kunskap och

de verktyg de senare behöver för mer avancerade metoder och uträkningar:

”number sense development in young children has been linked to future math achievement in

an manner similar to the way phonological awareness has been linked to reading achievement”

(Witzel m.fl., 2012, s. 90.).

För att eleverna verkligen ska kunna ta till sig och tillämpa de strategier och metoder de får

krävs mer än att de endast får den matematiska teorin, de behöver även

räknefärdighet/metodkunskap samt olika tillämpningar av dessa. ”Det slutliga målet för

utbildningen måste, oberoende av hur undervisningen läggs upp, vara att eleven får en

förståelse för de olika sätten att se på ett matematikområde och att eleven också kan

kombinera de olika perspektiven.” (Johansson, 2001, s.66).

I kursplanen i matematik står det:

”Kunskaper i matematik ger människor förutsättningar att fatta välgrundade beslut i

vardagslivets många valsituationer och ökar möjligheterna att delta i samhällets

beslutsprocesser. […] Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att

kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder,

modeller och resultat.” (Skolverket, 2011, s. 62)

Eleverna ska få tillgång till detta genom det centrala innehållet i matematik. Vad beträffar

addition och subtraktion, vilket denna studie ämnar undersöka, står följande att finna i det

centrala innehållet i kursplanen för matematik: eleverna ska få kunskap i och om naturliga tal,

6

centrala räknemetoder, uppdelning av talen i termer, parbildning mellan föremål och

räkneord, sambandet mellan räknesätten addition och subtraktion, överslagsräkning samt

dubbelt och hälften (ibid., s. 63f.). Slutligen ska även nämnas att det i läroplanen står att

läromedel är rektors ansvar (ibid., s. 18).

Till sist kan det även påpekas att det nu inte längre finns någon statlig granskning av

läromedel, vilket gör det viktigt att som lärare alltid undersöka den litteratur som används i

elevers undervisning, oavsett ålder och ämne. Detta blir viktigt då matematikundervisningen

idag framförallt utgår från läroböckerna, och läraren oftast mestadels kontrollerar elevernas

svar eller finns där som hjälp (Johansson, 2006b, s. 15).

Denna uppsats syftar till att undersöka och jämföra två matematikbokserier utifrån vilka

metoder för räknesätten addition och subtraktion dessa ger samt om/hur de bygger vidare ny

kunskap utifrån gammal.

7

Litteraturöversikt

Tidigare forskning

Enligt vissa teorier har vi matematik i oss redan från början, mer eller mindre redan från

det att vi föds; grunden finns redan inom oss. Vad är det då som gör att vi sedan kan utveckla

denna kunskap? Jo, de mentala bilder vi har och får från vår omgivning, vilket bildar grunden

vilken matematiken sedan kan byggas vidare på. Det är dessa mentala bilder som sedan blir

de metaforer med vilka vi kan förstå mer komplex och påbyggande matematik (Núñes, 2000,

s. 7).

Witzel m.fl. (2012, s. 90) benämner det som att eleverna själva måste koppla ihop de olika

delar av kunskap de har för att skapa nya metoder för mer komplexa matematikproblem. Det

de föreslår för att ge eleverna detta verktyg är att utvidga och fördjupa taluppfattningen

genom tre strategier: att använda konkreta material, att lära färdigheterna fullständigt samt att

inkorporera språk i matematikundervisningen (ibid., s. 91). Slutligen påpekar de att det även

är viktigt att eleverna får och får prova på andra metoder och vikten av att fördjupa kunskapen

i de olika metoderna så att eleverna verkligen behärskar dem (ibid., s. 94). Det sistnämnda

pekar fler studier på; det centrala i matematikundervisningen är, eller rättare sagt bör vara, att

eleverna får grundkunskap. Detta är väsentligt och en förutsättning för att kunna bygga vidare.

Studier visar att de elever som inte klarar att räkna utan att på förhand bli givna den metod de

ska använda ofta saknar den grundläggande kunskapen den aktuella metoden bygger på och

därför inte kopplar uppgiften till metoden (Biddlecomb & Carr, 2010, s. 6ff.).

Till exempel hade de elever i studien, som då gick i trean, talraden mentalt grundad och

klarade lätt att använda metoden runda tal eller hade automatiserat svaren, då de året innan

istället hade använt tiokamrater. Detta visar på att dessa elever har en mer mogen förståelse

för tal, vilket kan tolkas att de verkligen har sin grundkunskap rotad i talraden (ibid., s. 16).

Johansson (2006a, s. 5ff.) har undersökt läroböcker inom matematik för att se hur dessa

kopplar ihop den avsedda läroplanen med den dolda läroplanen. Det undersökningen upptäckt

är bland annat att det finns få förklaringar och argument varför böckerna tar upp och således

varför eleverna skall lära sig särskilda metoder. De få argument som återfinns i de böcker hon

studerat är korta meningar som är starkt kopplade till det vardagliga livet. Detta leder till,

fortsätter hon, att elever som har lärare som arbetar väldigt nära läroböcker får mindre

erfarenhet angående matematikens roll i vårt samhälle och dess roll historiskt sett, vilket går

emot läroplanens rekommendationer. Avslutningsvis påpekar hon att det är viktigt att för både

lärare som elev få möjlighet att reflektera kring läroböcker, deras utformning samt hur de

skall användas

8

Vad gäller användandet av läroboken i matematik i klassrummet används den idag oftast

som den auktoritet som styr undervisningen. Detta skriver Johansson (2006b, s.16) kan leda

till att läraren enbart använder sig av och litar på lärobokens svar oavsett om dessa är rätt eller

inte, vilket kan skapa problem både för eleverna som för läraren

”One can say that the activity is `framed´ by the textbook, which, like a painting, offers a static

picture of mathematics.[…] In the ´standard´ pattern of interaction, the teacher becomes the

guide who explains and clarifies.”(ibid.)

Man kan tala om att läroboken har olika roller beroende på hur läraren använder och

förklarar sitt val och användande av läroboken: läroboken har en kunskapsgaranterande,

auktoriserande roll; läroboken har en gemensamhetsskapande sammanhållande roll; läroboken

underlättar utvärderingen, det vill säga fungerar som underlag; läroboken underlättar i övrigt

arbetet och livet för lärarna samt; läroboken har en disciplinerande roll (Englund, 1999 s.

349f.). Den första av dessa, läroboken har en kunskapsgaranterande, auktoriserande roll

förutsätter att för att alla elever ska få en likvärdig utbildning som uppfyller kursplanens mål

så måste läroboken stämma överens med kursplanen. Det kan även uttryckas som ”att låta ett

läromedel stå för måltolkning, arbetsmetoder och uppgiftsval, vilket är det i särklass

vanligaste förhållningssättet i matematikämnet” (Skolverket, 2003,s. 39).

Att ha en lärobok som grund kan alltså underlätta för lärares planering och lätta

arbetsbördan, dock finns det även en baksida av detta. Det faktum att läroboken starkt styr

undervisningen ”får konsekvensen att eleverna får små eller inga möjligheter att utveckla sin

kompetens i problemlösning, sin förmåga att använda logiska resonemang och sin förmåga att

sätta in matematiska problem i sammanhang” (Skolinspektionen, 2009, s. 9). Detta leder i sin

tur att eleverna inte får den undervisning de har rätt till (ibid., s. 8). Anledningen till att det ser

ut så kan vara att lärare har dålig insikt i kursplanen, vilket då leder till att elever inte får den

undervisning de behöver och har rätt till (ibid.). Som en följd av allt detta får eleverna en

statisk bild av matematik. Undervisningen hålls till ett och samma innehåll, vilket kan liknas

med en tavla, där matematiken är målningen som inramas av läroboken vilken ger en statisk

bild av matematiken (Englund, 1999, s. 340; Johansson, 2006b, s. 16).

Teoretiska utgångspunkter

Ämnet matematik kan, liksom andra ämnen, ses ur olika perspektiv. Det perspektiv utifrån

vilket vi utgår i denna undersökning är den att matematik är meningsskapande, i den

betydelsen att matematiken består av mänskliga meningsfulla idéer (Núñes, 2000, s. 4, 19).

Detta innebär att matematik inte är någonting statiskt, utan någonting föränderligt som

utvecklas och transformeras över tid, vilket vidare visar att matematik är någonting som –

utöver grundandet i vardagens kognitiva och kroppsliga mekanismer – skapas socialt och

kulturellt (ibid., s. 4). Utifrån detta synsätt är det även viktigt att se på matematikens historia,

9

för att få en djupare förståelse då man ser till det sammanhang i vilket matematiken har

utvecklats (ibid., s. 19).

Utifrån dessa perspektiv på matematik tar vi fasta på tre slags metaforer utifrån vilka

matematisk teori kan förklaras/bygga på. Dessa är: grundande metaforer, vilket innebär att de

matematiska koncepten kopplas till våra vardagliga koncept, det vill säga att de matematiska

idéerna kopplas till våra vardagserfarenheter; redefinierande metaforer, vilket innebär att

grunden ligger i koncept, eller metoder, vi redan känner till och som istället görs om till andra

matematiska koncept eller metoder, vilket vill säga att vardagliga begrepp ersätts med teknisk

förståelse. Exempelvis kan förståelsen av addition med tal större än 10 utvecklas genom att

man lär sig en viss strategi: t.ex. att räkna med tiokamrater, 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15;

samt länkande metaforer, vilket innebär att förklarandet av ett grundläggande koncept sker

med hjälp av kopplingar till andra, tidigare kända, koncept varav båda är matematiska, vilket

vill säga att redan etablerade matematiska begrepp används för att förklara nya matematiska

begrepp. Exempelvis kan förståelsen av multiplikation förklaras som upprepad addition av två

positiva heltal, t.ex. 3 * 4 = 4 + 4 + 4. Förförfattaren Núñes menar själv att den senare av

dessa tre, den länkande metaforen, är den på många vis mest intressanta, då denna är

matematikens innersta väsen (ibid. s, 10).

Fortsättningsvis vill vi nu klargöra hur vi ser på de för undersökningen relevanta

begreppen addition och subtraktion. För att göra det krävs också ett tydliggörande om i vilka

talsystem vi rör oss i, nämligen naturliga tal N, vilket innefattar alla positiva heltal samt nollan

(Kiselman & Mouwitz, 2008, s. 49), våra definitioner för addition och subtraktion innebär att

både termerna och summan/differensen hör till de naturliga talen. Detta innebär i längden att

vi inte behandlar negativa tal, vilket inte heller läroböcker för de tidigare årskurserna tar upp.

Vad gäller begreppet siffra avser vi 0-9, själva symbolerna; ett tal består av en eller flera

siffror och en uppgift består av flera tal. Till exempel: 12 + 5 är en uppgift som består av talen

12 och 5 samt innehåller siffrorna 1, 2 och 5.

Med addition avser vi addition av hela tal: För de godtyckliga heltalen a och b gäller att a +

b = c där c är ett heltal. Siffrorna a och b i a + b är termerna och c är summan. Med

subtraktion avser vi subtraktion av hela tal: För de godtyckliga heltalen a och b där a ≥ b

gäller att a – b = c där c är ett heltal, så att b + c = a. Siffrorna a och b är termerna och c är

differensen/skillnaden. Vad gäller begreppet metod använder vi oss av Biddlecomb & Carr ’s

(2010, s. 2) definition för stratagies: ”groupings of actions, mental or physical, designes to

solve a problem”.

I studien kommer vi främst att utgå från Löwing & Kilborn (2003) och använda oss av de

metoder de räknar upp för addition och subtraktion till i vår studie. Många av dessa metoder

går även att återfinna i tidigare undersökningar samt i kursplanen för matematik. Bland annat

har Biddlecomb & Carr (2010, s.4f) tittat på många av dessa metoder, dock handlar deras

undersökning inte om skriftliga metoder, vilket gör att metoderna inte riktigt blir detsamma

10

till denna undersökning. Alla de metoder de tittar på kan förekomma på två sätt: med

manipulatives eller cognitive. Manipulatives innebär att eleverna använder sig av hjälpmedel

som fingrarna då de utför räkningen och cognitive innebär att de räknar i huvudet. Då vi i

denna studie endast tittar på vilka metoder som finns tillgängliga för eleverna i läroböckerna

och inte hur de konkret genomför metoderna blir denna uppdelning inte relevant för oss.

Även Bentley (2009, s. 6f.) behandlar en del av de metoder vi använder oss av i studien,

men med andra namn än de vi har. Likatilläggsmetoden benämner han

transformeringsberäkning, och skriver att den även går att applicera på addition genom att ta

bort lika mycket från den andra termen som läggs till den första, vilket enligt våra definitioner

nedan snarare kan kallas runda tal då man helt enkelt gör om talen i uppgiften så att de blir

lättare att räkna med. Stegvis beräkning kan sägas vara en blandning av runda tal och

talsortsvis beräkning (varav den sista även den kommer från Bentley), först adderas ett tal så

att den första termen blir ett tiotal, sedan adderas det som återstår av den andra termen till den

första som nu är ett tiotal.

För att tydliggöra vad de metoder vi i denna studie kommer att titta på innebär samt visa på

kopplingen mellan addition och subtraktion kommer vi här att kort förklara vad de betyder,

ställda mot varandra. Några av dessa metoder – räkna från största termen och kommunikativa

lagen – kan i vissa fall överlappa varandra, men då de inte går att likställa med varandra har vi

med båda två och kategoriserar en given metod utifrån hur den är presenterad.

Addition Subtraktion

Parbildning mellan föremål och räkneord:

att koppla ihop föremål med tal, det

bildliga kopplat till räkneord, t.ex. 3 bollar

+ 2 bollar = 5 bollar (fast med bilder).

Talens ordning framåt och bakåt i

talraden: tallinjens uppbyggnad, lägga till

ett tal efter ett annat., siffra för siffra, t.ex.

3 + 5 = 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Uppdelning av talen i termer: hur tal kan

delas upp i andra tal (termer).

Runda tal: tal som är lättare än andra att

hitta, t.ex. vilka tal som tillsammans blir

fem eller tio, dubbelt

Överslagsräkning: att räkna ut ungefär vad

svaret blir.

Parbildning mellan föremål och räkneord:

att koppla ihop föremål med tal, det

bildliga kopplat till räkneord, t.ex. 3

bollar – 2 bollar = 1 boll (fast med

bilder).

Talens ordning framåt och bakåt i

talraden: tallinjens uppbyggnad, jämföra

ett tals längd med ett annat alternativt dra

bort ett tals längd från ett annat, t.ex. 5 –

3 = 5, 4, 3, 3

Uppdelning av talen i termer: hur tal kan

delas upp i andra tal (termer).

Runda tal: tal som är lättare än andra att

hitta, t.ex. vilka tal som tillsammans blir

fem eller tio, hälften

Överslagsräkning: att räkna ut ungefär

vad svaret blir.

11

Räkna från första termen: att räkna tal för

tal från den första givna termen.

Räkna från största termen: att räkna tal för

tal från den största givna termen.

Kommunikativa lagen: a + b + c = c + a +

b; att talen kan byta plats och svaret blir

ändå detsamma.

Talsortsvis beräkning: tiotal och ental

adderas var för sig för att sedan adderas

ihop; (tiotal + tiotal) + (ental + ental).

Räkna ner: att räkna tal för tal ner från

den största givna termen.

Räkna upp: att räkna tal för tal upp från

den minsta givna termen.

Kommunikativa lagen: a + b – c = –c + a

+ a; att talen kan byta plats och svaret blir

ändå detsamma, observera: här måste

minustecknet följa med talet det står

innan, alternativt att a = b. (Denna lag vet

vi att vi inte kommer att återfinna i

läroböckerna, då årskurs ett och två inte

behandlar negativa tal, men vill ha med

den här för att visa på likheterna mellan

addition och subtraktion.)

Likatilläggningsmetoden: a – b = (a + c)

– (b + c); att lägga till samma tal till båda

termerna

Talsortsvis beräkning: entalen

subtraheras först och sedan subtraheras

det resterande; 11 – 8 = (11 – 1) – 7 = 10

– 7 = 3.

Då vi utför vår studie kommer vi att ha utgångspunkt i ett utvidgat textperspektiv, vilket

innebär att vi inte endast ser på den text som finns i böckerna, utan betraktar även bilderna

som text och analyserar därför även dessa.

12

Analysschema

Tabell 1

Addition

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d o

ch s

ub

Parbildning

Talraden

Rundatal

Uppdelning i termer

Överslagsräkning

Räkna från första termen

Räkna från största termen

Kommunikativa lagen

Talsortsvis beräkning

*Varje avsnitt är

Subtraktion

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d o

ch s

ub

Parbildning

Talraden Rundatal

Uppdelning i termer

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen


Likatillägningsmetoden

*Varje avsnitt är

13

Syfte och frågeställningar

Syfte

Syftet med denna studie är att undersöka och jämföra vilka metoder inom addition och

subtraktion som behandlas i matematikläroböcker för lågstadiet.

Frågeställningar

Vilka metoder för räkning inom addition och subtraktion ger de olika läroböckerna?

Hur är böckerna uppbyggda; hur behandlas metoderna och hur bygger de vidare på

varandra?

Hur förhåller sig dessa matematikböcker till gällande kursplan, Lgr11, i matematik?

14

Metod

Metodval

Idéanalys är en metod som oftast förknippas med analys av politiska texter och uttalanden på

ett mer systematiskt sätt. Många gånger framställs idéanalys som det enda tänkbara

angreppssätt i studier av politiska budskap. Men det finns fler analysmetoder som man kan

använda sig av, bland annat ideologi-, diskurs-, innehålls-, argumentations- eller

begreppsanalys (Beckman 2005, s.9).

Det finns fler olika typer av idéanalyser, i denna studie har vi valt att använda oss av en

innehållslig idéanalys. Vi tittar på texters innehåll utifrån ett innehållsligt perspektiv. Inom

den innehållsliga idéanalysen finns det ett övergripande mål och det är att skapa och

presentera maximal klarhet i det som studeras. (Bergström & Boréus 2012, s.146).

En idéanalys kan se ut på olika sätt och anta många olika skepnader, inriktningen på

idéanalysen hänger ofta samman med valet av syfte och frågeställningar (Beckman 2005,

s.11). ”En idé kan betraktas som en tankekonstruktion som till skillnad från de flyktigare

intrycken eller attityderna uttrycks av en viss stabilitet och kontinuitet”. (Bergström &

Boréus, 2012, s. 140). Genom att syftet med studien är att studera vilka idéer som behandlas i

olika matematikböcker, gör att idéanalys är den analysmetoden som passar bäst in på syftet.

Till skillnad mot om vi skulle ha använt oss av en innehållsanalys då vi i stället skulle behövt

titta på vad det är som förekommer i matematikböckerna. Det vi vill är snarare att titta på vad

eleverna har möjlighet att lära sig.

Inom idéanalys finns det en gren som kallas matematisk idéanalys som tagits fram av bland

andra Núñez (2000, s. 3) och som beskrivs som ”den uppsättning tekniker för att studera

underliggande konceptuella strukturer inom matematiken” (2000, s. 3, författarnas

översättning).

I och med att matematiska koncept och idéer är mänskliga leder det till att sanningen – vad

matematik är – blir relativa till de mänskliga konceptuella – mentala – systemen. Detta leder

vidare till att: att lära ut matematik är att lära ut mänskligt meningsskapande (ibid. s. 19f.).

Detta i kombination med våra frågeställningar gör att denna studie undersöker dessa

konceptuella system inom de matematikböcker som studeras, vilket blir hur metoder och idéer

förs fram. I och med detta blir metoden en idéanalys med matematisk inriktning.

15

Urval

Urvalet till denna studie är två matematikbokserier valda utifrån det kriterium att de skall vara

reviderade utifrån den nya läroplanen Lgr 11 så att en jämförelse med denna går att

genomföra. Tanken var från början att undersöka två hela serier från årskurs ett till tre då det

centrala innehållet och kunskapskraven är skrivna för att gälla årskurs ett till tre. Då det idag

inte finns några hela serier reviderade har vi istället valt två serier, Favorit matematik och

Lyckotal, som båda har blivit reviderade för årskurs ett och två. Då vi inte, trots kontakt med

förlaget, fått tag i Lyckotal 2B kommer vi att undersöka böckerna 1A, 1B samt 2A i båda

serierna. Detta så att de i en jämförelse med varandra och läroplanen är jämbördiga.

Tillvägagångssätt

Det material som kommer att användas till denna studie är två olika matematikbokerserier

som sträcker sig från årskurs 1 till 2. De avsnitt som kommer att analyseras är de som

behandlar addition och subtraktion. Anledningen till att endast addition och subtraktion

behandlas är på grund av den begränsade tiden. Två analysscheman kommer att utformas, för

addition respektive subtraktion, och användas under datainsamlingen. Dessa, som kan ses i

tabell 1, kommer att innehålla dels de olika metoderna och dels de tre metaforerna med vilka

metoderna kan presenteras.

Utifrån dessa analysscheman har vi sedan fyllt i ett för vardera räknesätten och bok.

Sammantaget har det blivit sex analysscheman för addition och sex analysscheman för

subtraktion, vilket ger sex analysscheman för vardera matematikbokserie. Denna

sammanställning av analysschemana har gått till så att vi först tagit fram de kapitel och avsnitt

med rubriker som behandlar addition respektive subtraktion. Dessa kapitel och avsnitt har

sedan studerats sida för sida, för att undersöka vilka metoder som tas upp och med hjälp av

vilken metafor. Det är genomgångarna inför varje nytt avsnitt med uppgifter som har

granskats. Utöver vilken metod som tas upp samt med vilken metafor har vi även tittat på hur

många uppgifter varje avsnitt har till varje nygenomgången metod, om det finns

exempelbilder till genomgången samt om genomgången visar på ett samband mellan addition

och subtraktion.

Det vi sedan gjort är att studera dessa scheman i ljuset av våra frågeställningar och dragit

slutsatser och gjort jämförelser mellan böckerna. I detta arbete har framförallt de tre

metaforerna med vilka metoderna kan presenteras legat i fokus. Slutligen har vi även jämfört

de två matematikbokserierna.

16

Material

Favorit Matematik

På baksidan av boken presenteras läromedlet Favorit matematik på

följande vis:

”Favorit matematik är ett basläromedel med en gedigen, välfungerande och

tydlig struktur. Materialet kommer från Finland där det är uppskattat för strukturen och de goda

resultaten hos eleverna. Materialet är helt anpassat efter Lgr 11.

Tillsammans med Skatan Sally och Ekorren Kurre får eleverna hjälp att bygga upp en stabil

matematisk grund. Det är då matematiken blir en favorit!

Genom en kod i boken får eleverna tillgång till en digital bok där instruktioner och

ramberättelsen finns inläst. Berättelsen hjälper eleverna att fundera kring matematiken”

(Ristola m.fl., 2012).

Materialet är utgivet på studentlitteratur, och finns från förskoleklass upp till årskurs 3

samt finns som digital utgåva. Sidantal: 1A: 197 s.; 1B: 213 s.; 2A: 197 s.

Lyckotal

På baksidan av boken presenteras läromedlet Lyckotal på följande

vis:

”Lyckotal är ett basläromedel i matematik, som fokuserar på elevernas

lärandemål enligt Lgr 11. Grundböckerna består av grundkurs med

uppföljande fördjupning för att tillgodose alla elevers behov. I materialet

ingår systematisk problemlösning samt uppmärksamhets – och

kommunikationsövningar med tydlig koppling till olika matematiska

förmågor” (Hartikaninen & Häggblom, 2011).

Materialet är utgivet av Gleerups och finns från förskoleklass upp till årskurs 3 samt att det

finns en digital utgåva kopplat till läromedlet. Författarna till Lyckotal är verksamma som

lektor och pedagogie doktor i Finland. Sidantal: 1A: 136 s.: 1B: 136 s.: 2A: 140 s.

Etiska överväganden

Då en samhällsvetenskaplig studie görs finns det en del etiska aspekter att ta hänsyn till.

Vetenskapsrådet (http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf, s.6) har fyra huvudkrav som skall

uppfyllas: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet.

Då denna studie är en litteraturstudie behöver inte dessa tas i beaktande på samma vis som om

det vore en observations- eller en intervjustudie. Däremot bör den litteratur och de källor som

används behandlas och bearbetas med respekt för den som skrivit dessa. En undersökning av

det här slaget är svårt att få helt objektiv, även om målet är att komma så nära det som

17

möjligt. Som författare har vi ett ansvar att sanningsenligt berätta och återge det vi sett och de

slutsatser vi dragit under vår undersökning.

18

Resultat och analys

Tabellerna nedan ska läsas så att metoderna finns representerade på den lodräta axeln. På den

vågräta finns sidnumret – vilket är vilken sida i boken metoden kan återfinnas, antal uppgifter

– vilket anger hur många uppgifter ett visst avsnitt har för en viss metod, exempelbilder –

vilket anger om det finns exempelbilder till avsnittet, de tre metaforerna – vilket anger vilken

(om så är fallet) metafor metoden förklaras med samt samband mellan addition och

subtraktion – vilket anger om ett samband mellan addition och subtraktion finns. I varje cell i

tabellerna är det alltid sidnumret som är angivet, förutom i den kolumn som anger antalet

uppgifter.

Favorit Matematik

Tabell 2

Addition - Favorit matematik 1A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

42,66,90,98,114,146,17

4

18, 31,

64, 24,

32, 46, 47

42, 66,

90, 98

114, 146, 174

42, 66,

90, 98 146 114 98

Talraden

Rundatal 175 11 175 175

Uppdelning i termer 42, 98, 146

18, 24,

40

42, 98,

146 42, 98 98 98

Överslagsräkning

Räkna från första

termen

Räkna från största

termen

Kommunikativa lagen 90 64 90


*Varje avsnitt är ca 4 sidor

19

Subtraktion - Favorit matematik 1A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

64, 67, 94,

98,102, 118, 150,

178

38, 21,

35, 24, 22, 34,

41, 35

62, 67,

94, 98, 102, 118,

150

62, 67,

94, 98,

102

150,178 118 98,102

Talraden Rundatal 178 35 178

Uppdelning i termer 62, 98, 102,

150

38, 24,

22 41

62, 98,

102, 150

62,

98,102 150 98

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen




I bok 1A är nästan alla metoder presenterade med g rundande metaforer samt med några få

redefinierande och en länkande för addition och subtraktion var. Boken lägger mycket fokus

på parbildning för båda räknesätten. Utöver dessa finns även uppdelning i termer för addition

och subtraktion presenterade, om än inte lika frekvent förekommande som parbildning. Runda

tal för addition, den kommunikativa lagen för addition samt runda tal för subtraktion

presenteras en gång respektive. Då uppdelning i termer presenteras visar boken även på

sambandet mellan addition och subtraktion. Till alla metoder finns exempelbilder. Antalet

uppgifter efter en presenterad metod varierar, men ligger i snitt på 20-30 stycken.

20

Exempelbild 1: Favoritmatematik 1A sida 42. Metaforen är grundande på grund av att uträkningen sker i

koppling till vardagen dels i form av att hundar och hundben, 1 hundben + 2 hundben = 3 hundben, och dels i

form av att den matematiska uträkningen 1 + 2 = 3 finns skriven i vardagliga ord 1 plus 2 är lika med 3.

Exempelbild 2: Favoritmatematik 1A sida 150. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av 7 – 2 =

5 till 7 – _ = 2.

21

Tabell 3

Addition - Favorit matematik 1B

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

58, 62, 64,

67, 68,

118, 166,174

26, 26, 10, 26, 5, 31,

37, 22

58, 62, 64, 67, 68, 118,

166, 174

166 58, 62,

67, 118 174 118

Talraden 70, 72 35,1 70, 72 70

Rundatal

58, 60, 62,

67, 73

1,1126, 26,

26

58, 62, 67,

73 60

58, 62,

67

Uppdelning i termer

61, 64, 67,

68, 118,

167

9, 10 ,26, 5,

31, 5

31, 34, 26,

68, 118, 167 118 167 118

Överslagsräkning


termen


termen

Kommunikativa lagen



22

Subtraktion - Favorit matematik 1B

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d o

ch s

ub

Parbildning

94, 98,

100, 102, 106, 118,

122, 166

29, 29, 14,

43,30, 31, 26, 19

94, 98, 100,

102, 106, 118, 122

166

94, 98,

100,

102, 103,

122

118, 122

Talraden

Rundatal

94, 98,

100, 102, 106

29, 29, 5, 22, 18

98, 94, 100, 102, 106

94, 98,

100,

102, 106

Uppdelning i termer

95, 99, 100, 102,

106, 118

10, 15, 5,

28, 28, 31,

95, 99, 100, 102, 106,

118

95. 99,

100,

102, 106,

118 118

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen




Bok 1B arbetar vidare på ungefär samma sätt, men här med fokus på redefinierande metaforer

istället för grundande. Även här är metoderna parbildning och uppdelning i termer väldigt

frekvent förekommande i båda räknesätten; men då med redefinierande metaforer samt vid

två tillfällen även påvisande av sambandet mellan addition och subtraktion. I denna bok läggs

mer fokus kring runda tal för både addition och subtraktion och presenteras med

redefinierande metaforer. Även talraden tas upp inom addition, också genom grundande

metaforer. Inom additionen används metaforen länkande två gånger; dels inom parbildning

och dels inom uppdelning i termer. Antalet uppgifter till en presenterad metod ligger i snitt på

10-30 stycken.

23

Exempelbild 3: Favoritmatematik 1B sida 118. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av 7 + 5 =

12/5 + 7 = 12 till 12 – 5 = 7/12 – 7 = 5.

Exempelbild 4: Favoritmatematik 1B sida 167. Metaforen är länkande på grund av användandet av tiotalsklossar

för att visa att addition med (hela) tiotal räknas på samma vis som addition med ental, 10 + 20 = _ räknas som 1

tiotal + 2 tiotal =_.

24

Tabell 4

Addition - Favorit matematik 2A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

6, 22, 26, 50, 54, 82,

86

32, 22, 20,

38, 29, 16, 66

6, 22, 26, 50,

54, 82, 86

50, 82,

86

Talraden 8 5 8

Rundatal 6, 50 10 38 50 50

Uppdelning i termer 22, 26, 50 22, 8, 38, 22, 26, 50 50

Överslagsräkning



Kommunikativa lagen

Talsortsvis beräkning 82, 8 16, 66 82, 86 82, 86


Subtraktion - Favorit matematik 2A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

10, 30 ,34,

37, 62, 66,

98, 102

23, 28, 17,

8, 23, 76,

32, 52,

10, 30, 34,

37, 62, 66,

98, 102,

98, 102 37

Talraden 12 5 12 Rundatal

Uppdelning i termer 32 8 32

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen

Talsortsvis beräkning 98, 102 32, 52, 98, 102 98, 102


*Varje avsnitt är ca 2sidor

25

I den tredje boken, 2A, ligger stor del av fokus fortfarande på parbildning, genom

redefinierande metaforer för båda räknesätten samt vid ett tillfälle även länkande för

subtraktion. I den här boken förekommer inga kopplingar till sambandet mellan addition och

subtraktion. För både addition och subtraktion finns metoderna talraden och uppdelning i

termer varav den sista har störst fokus i addition, den föregående nämns endast en gång i

vardera räknesätten. Runda tal finns med i addition, inte i subtraktion och presenteras med

redefinierande metaforer. Det som är nytt i den här boken och som inte förekommer i de två

tidigare är metoden talsortsvis beräkning som finns med både i addition och i subtraktion.

Dessa presenteras med hjälp av redefinierande metoder. I denna bok ligger antalet uppgifter

efter en presenterad metod i snitt på 20-30 stycken.

Som vi nu har sett är den metod som förekommer flest gånger i samtliga böcker i serien

Favorit Matematik parbildning. Detta främst med exempelbilder och ju längre fram i serien

desto mer går metaforerna från att vara grundande. Generellt kan sägas att genom hela serien

presenteras metoderna för addition respektive motsvarande metod för subtraktion med samma

slags metaforer.

Exempelbild 5: Favoritmatematik 2A sida 50. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av

beräkning med tiokamrater (runda tal) till addition med tiotalsövergång, det vill säga 19 + 1 beräknas först, för

att få fram tiotalet och sedan adderas resterande ental.

26

Exempelbild 6: Favoritmatematik 2A sida 98. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av att

subtrahera två tal, 48 – 35, till att subtrahera en- och tiotal för sig 4(0) – 3(0) = 1och 8 – 5 = 3.

27

Lyckotal

Tabell 5

Addition - Lyckotal 1A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d o

ch s

ub

Parbildning 28, 50 77, 51 28 28

Talraden

Rundatal 67 3 67 67 67

Uppdelning i termer

28, 50, 57,

60, 62, 66

77, 51, 2,

8,2, 6 28, 50, 66 28, 57

Överslagsräkning



Kommunikativa lagen



Subtraktion - Lyckotal 1A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d o

ch s

ub

Parbildning 36, 54, 58 47,53, 23 36, 58 38, 54,

58

Talraden

Rundatal 67 3 67 67 67


66 47, 53, 6, 6 36, 66 36, 54

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen




28

När man går in och tittar närmare på varje enskild bok så ser det ut på lite olika sätt. I

Lyckotal 1A är metoderna, parbildning, runda tal samt uppdelning i termer presenterade på ett

grundande sätt, med fokus på de grundande metaforerna.

Störst fokus i bok 1A ligger på metoden om parbildningen och sedan uppdelning av tal i

termer. Till varje avsnitt som boken tar upp visas det med exempelbilder.

I boken bygger man inte vidare på några andra metaforer utan man håller sig till de

grundande metaforerna. Det ser likadant ut både vad gäller addition och subtraktion. Inom

runda tal presenteras det ett samband mellan addition och subtraktion.

Till varje avsnitt varierar antalet uppgifter ganska stort, inom additionen är det mellan 6-53

stycken uppgifter, och inom subtraktionen är det mellan 8-77 stycken uppgifter per del i

boken. Till de flesta momenten i boken finns det exempelbilder som talar om för eleven vad

som ska göras.

Exempelbild 7: Lyckotal 1A sida 28. Metaforen är grundande på grund av att uträkningen sker i koppling till

vardagen dels i form av att nyckelpigor, 2 nyckelpigor på bladet + 1 nyckelpiga i luften = tre nyckelpigor, och

dels i form av att den matematiska uträkningen 2 + 1 = 3 finns skriven i vardagliga ord Två plus en är lika med

tre.

29

Exempelbild 8: Lyckotal 1A sida 54. Metaforen är grundande på grund av att uträkningen sker i koppling till

vardagen i form av fåglar som flyger bort, 5 domherrar – 1 domherre = 4 domherrar.

30

Tabell 6

Addition - Lyckotal 1B

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v

gru

nd

an

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

län

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d

och

su

b

Parbildning

28, 42, 58,

83 35, 8, 14, 14 38, 42,58, 83 28

Talraden

Rundatal 38 30 38 38

Uppdelning i termer 38, 42, 47 21, 12, 3 38, 42, 47 47

Överslagsräkning


termen


termen 41 14 41 41

Kommunikativa lagen



Subtraktion -Lyckotal 1B

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v g

run

dan

de

met

afo

rer

Före

kom

set

av

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v l

än

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d o

ch

sub

Parbildning

30, 45, 60

86

35, 10, 35,

14

30, 45, 60,

86 30

Talraden Rundatal 44 15 44 44

Uppdelning i termer 47 3 47 47

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen




31

Även bok 1B bygger på de grundande metaforerna, inom en del i additionen ser man att de

grundade metaforerna går över till redefinerande, det är när man ska räkna från den största

termen. Förutom det så ser upplägget på böckerna väldigt lika ut och tittar man på antalet

uppgifter så är mängderna ungefär lika som i bok 1A.

Exempelbild 9: Lyckotal 1B sida 41. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av 6 + 4 + 4 = 14 till

6 + 8 = 14.

Exempelbild 10: Lyckotal 1B sida 44. Metaforen är grundande på grund av att uträkningen sker med hjälp av

klossar som räknas, först subtraheras entalen och sedan subtraheras det från det hela tiotalet.

32

Tabell 7

Addition - Lyckotal 2A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pg

ifte

r

Ex

emp

el b

ild

er

Fö

rek

om

st a

v g

run

dan

de

met

afo

rer

Fö

rek

om

st a

v

red

efin

era

nd

e m

eta

fore

r

Fö

rek

om

st a

v l

än

kan

de

met

afo

rer

Sa

mb

an

d m

ella

n

ad

d o

ch

sub

Parbildning 13, 41 13, 41 41

Talraden

Rundatal 48 12 48 48


49 8, 18, 14, 12

16, 21, 42,

49 42 16, 21

Överslagsräkning


termen


termen

Kommunikativa lagen



Subtraktion - Lyckotal 2A

Sid

Nu

mm

er*

An

tal

Up

pgif

ter

Exem

pel

bil

der

Före

kom

st a

v g

run

dan

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v

red

efin

eran

de

met

afo

rer

Före

kom

st a

v l

än

kan

de

met

afo

rer

Sam

ban

d m

ella

n

ad

d o

ch

sub

Parbildning 45 20 45

45

Talraden Rundatal 50 8 50 50

Uppdelning i termer 16, 21, 46 2, 18, 14 16, 21, 46 46 16, 21

Överslagsräkning

Räkna upp

Räkna ner

Kommunikativa lagen




33

I bok 2A ligger största fokus på uppdelning i termer, men även på parbildning. Fortfarande

bygger man på de grundade metaforerna och inte så mycket på redefinierande eller länkande

metaforer. Boken blir väldigt grundläggande, tittar man i tabellen så ser man att i bok 2A tar

man inte upp lika mycket inom addition och subtraktion som i de två tidigare böckerna 1A

och 1B. Spannet med antalet uppgifter till varje del i denna bok är något mindre, här ligger det

mellan 5-20 uppgifter per moment.

Som tabellerna ovan visar kan man se att i samtliga böcker inom serien Lyckotal

förekommer parbildningsmetoden som den främsta metoden. Metoden visas med olika sorters

exempelbilder som finns i början av varje avsnitt både inom addition och inom

subtraktionsdelarna. Tittar man vidare i tabellerna så ser man att uppdelning i termer är den

metoden som kommer efter parbildningsmetoden och utgör en stor del de metoder som boken

vill lära ut. Tittar man framåt i läromedlen och i tabellerna ser man att längre fram så bygger

man vidare på den grundade kunskapen. Man kan även se att man presenterar samma metoder

för addition som för subtraktion med samma slags metaforer.

Exempelbild 11: Lyckotal 2A sida 16. Här visas sambandet mellan addition och subtraktion i form av taltrianglar

där fyra uträkningar kan bildas av samma tre tal (talfamiljer), 7 + _ = _ blir här 7 + 9 = 16 och dessa tal kan

sedan bilda 16 – 7 = 9.

34

Exempelbild 12: Lyckotal 2A sida 42. Metaforen är redefinierande på grund av omarbetandet av subtraktion till

att innefatta subtraktion med tiotal, 48 – 30 = 18 blir 48 – 10 – 10 – 10 = 18.

Jämförelse

Nedan kommer vi att jämföra de två matematikbokserierna bok för bok, för att tydligt se vilka

likheter och skillnader som finns böckerna emellan.

I böckerna 1A är det metoderna parbildning och uppdelning i termer som dominerar inom

både addition och subtraktion, dock skiljer antalet uppgifter och antalet sidor markant

böckerna åt; Favorit Matematik är den bok som tar upp metoderna flest gånger. I Favorit

Matematik ligger fokus på parbildning medan Lyckotal har fokus på uppdelning i termer. I

Lyckotal används endast den grundande metaforen, medan Favorit Matematik börjar med

grundade metaforer för att senare i boken övergå till redefinierande och en länkande för

vardera räknesätten. Vad gäller sambandet mellan addition och subtraktion förekommer det

en gång i Lyckotal i vardera räknesätten och två respektive tre gånger i Favorit Matematik.

Utöver detta tar båda böckerna upp runda tal, både i addition och subtraktion

Böckerna 1B är det fortfarande parbildning och uppdelning i termer som dominerar och

även här tar Favorit Matematik upp metoderna fler gånger än Lyckotal. I Favorit Matematik

förekommer både parbildning och uppdelning i termer dubbelt så ofta som i Lyckotal inom

addition, skillnaden blir än större inom subtraktion. I Lyckotal stannar man fortfarande kvar

vid grundande metaforer, medan man i Favorit Matematik bygger vidare metoderna med

35

främst redefinierande och vid två tillfällen länkande. Metoden runda tal förekommer även den

i båda böckerna, en gång i vardera räknesätten i Lyckotal, medan den i Favorit Matematik

förekommer fem gånger för addition respektive subtraktion med redefinierande metaforer

förutom vid ett tillfälle i addition. Vidare tas räkna från största termen upp i Lyckotal, medan

Favorit Matematik tar upp talraden samt runda för addition och subtraktion. Då dessa inte

behandlats tidigare i boken tas de upp med grundande metaforer.

Böckerna 2A fortsätter samma mönster som tidigare, parbildning och uppdelning i termer

är de metoder som dominerar med endast redefinierande metaforer för båda. Lyckotal tar upp

parbildning två gånger för addition och en gång för subtraktion, medan Favorit Matematik tar

upp den sju gånger för addition och åtta gånger för subtraktion. Uppdelning i termer tar

Lyckotal upp marginellt fler gånger inom båda räknesätten. Runda tal förekommer i båda

böckerna och alla räknesätt förutom för subtraktion i Favorit Matematik. Utöver dessa

metoder tar Favorit Matematik upp talraden för båda räknesätten, talsortsvis beräkning för

båda räknesätten. De metaforer som förekommer i böckerna är den redefinierande metoden

samt vid ett tillfälle även länkande för parbildning inom subtraktion i Favorit Matematik.

Vad gäller exempelbilder finns det med ytterst få undantag till alla metoder och

metodförklaringar i båda matematikbokserierna. Avslutningsvis ska även nämnas att

böckernas omfång skiljer sig markant. Favorit Matematik är dubbelt så stor som Lyckotal,

både vad gäller tjocklek och sidantal.

Nedan kommer vi att titta på frågeställningarna en och en bokserie för bokserie för att

sedan avsluta med en jämförelse mellan dessa.

Favorit Matematik


Inom addition ger Favorit Matematik metoderna parbildning, runda tal, uppdelning i termer,

kommunikativa lagen, talraden, samt talsortsvis beräkning. Inom subtraktion ger den

parbildning, runda tal, uppdelning i termer, talraden samt talsortsvis beräkning.

Sammanfattningsvis kan sägas att det är parbildning, uppdelning i termer, talraden samt

talsortsvis beräkning som ges inom båda räknesätten. Däremot finns kommunikativa lagen

endast inom addition, vilket inte heller är någonting som fanns med på analysschemat till

subtraktion då detta inte förekommer i grundskolans tidigare år, utan behandlas i senare

årskurser.


varandra?

Först och främst finns det i samtliga tre böcker både inom både addition och subtraktion, med

ytterst få undantag, exempelbilder till metoderna och metodförklaringarna. Två gånger saknas

exempelbilder inom addition och tre gånger inom subtraktion. Över lag tas motsvarande

36

metoder för addition respektive subtraktion upp i de olika böckerna och presenteras med hjälp

av samma metaforer.

I den första boken, 1A, är majoriteten av metaforerna för additionsmetoderna grundande,

de metaforer som är redefinierande och länkande förekommer i slutet av boken och inom

metoder som gåtts igenom frekvent, parbildning och uppdelning i termer. Parbildnigsmetoden

är den metod som ofta kopplas samman till de övriga metoderna, vilket gör att den blir en stor

del av grundkunskapen som presenteras i boken. Samma sak gäller för subtraktion i 1A, även

här kopplas övriga metoder oftast till parbildningsmetoden och de redefinierande och

länkande metaforerna kommer i slutet av boken. Metoderna parbildning och uppdelning i

termer återfinns i hela boken, medan runda tal samt kommunikativa lagen återfinns i slutet av

boken med stark koppling till parbildningsmetoden. Det är mycket det som gör att dessa tas

upp på ett redefinierande sätt, i och med att de bygger vidare på gamla metoder (i dessa fall

parbildningsmetoden). Den koppling som finns mellan räknesätten addition och subtraktion

sker inom metoderna parbildning och uppdelning i termer, detta sker med den grundande

metaforen.

I boken 1B tas fler metoder upp som även dessa starkt kopplas till parbildningsmetoden,

men som här istället behandlas med redefinierande metaforer i fokus, det vill säga bygger

vidare på tidigare metoder. De grundande metaforerna är endast fyra för addition och två för

subtraktion. Vad gäller länkande metaforer är de inte fler än i den första boken, men precis

som där förekommer de i slutet av boken. Vissa av metoderna tas inte upp med redefinierande

metaforer, utan många av dem är istället nya utan att bygga vidare på gamla och tas därför

upp med grundande metaforer. Dessa metoder är talraden samt runda tal, varav ingen har

koppling till någon metod som gåtts igenom. Även i denna bok behandlas sambandet mellan

addition och subtraktion inom metoderna parbildning och uppdelning i termer.

Den tredje och sista boken, 2A, har inga grundande metaforer utan bygger endast vidare på

gamla metoder genom redefinierande metaforer samt vid ett tillfälle för parbildningsmetoden

genom länkande metafor. De metoder som är nya är talraden för subtraktion samt talsortsvis

beräkning för både addition och subtraktion. För båda räknesätten kopplas metoden talsortsvis

beräkning till metoden parbildning medan talradsmetoden står för sig själv, utan återkoppling

till tidigare metoder.

Generellt kan sägas att de metoder som tas upp i samtliga böcker, det vill säga parbildning,

och uppdelning i termer, tas upp med olika metaforer: från grundande i den första, till

redefinierande i den andra och den tredje boken. De nya metoder som tas upp i de två senare

böckerna använder främst redefinierande metaforer, det vill säga att de bygger vidare på

gamla metoder.

Hur förhåller sig dessa matematikböcker till gällande kursplan i matematik?

Det centrala innehållet i matematik ska enligt kursplanen bland annat innehålla ”Centrala

metoder för beräkning av naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid

37

beräkningar med skriftliga metoder”. Kursplanen nämner vidare några av de metoderna för

addition och subtraktion Favorit Matematik tar upp och behandlar. Vi kan återfinna:

parbildning ”Naturliga tal och deras egenskaper […] och hur de kan användas för att ange tal

och ordning” (Skolverket, 2011, s.63) samt ”Symboler för tal” (ibid.); uppdelning i termer

”hur talen kan delas upp” (ibid.) samt runda tal ”olika proportionella samband, däribland

dubbelt och hälften” (ibid., s. 64). En av de metoder som inte återfanns i boken var

överslagsräkning, vilket däremot finns med i kursplanen ”rimlighetsbedömning vid enkla

beräkningar och uppskattningar”(ibid., s. 63). Dock ska det här påpekas att det centrala

innehållet är skrivet för årskurs 1-3, medan den här undersökningen tittar på halva det

spannet.

Utöver metoderna påpekar kursplanen även att sambandet mellan addition och subtraktion

finns i det centrala innehållet i matematik ”De fyra räknesättens egenskaper och samband”

(ibid.).

Till sist säger kursplanen att eleverna ska öva sin förmåga att ”värdera valda strategier och

metoder, […] välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och

lösa rutinuppgifter” (ibid.), vilket inte riktigt är fallet i den här boken. Istället tar den upp och

låter eleverna öva och automatisera sin förmåga för den aktuella metoden. Valmöjlighet

mellan olika metoder för en och samma uppgift finns inte, utan det är en specifik på förhand

given metod som ska användas till uppgifterna.

Så hur förhåller sig Favorit Matematik till läroplanen vad gäller metoder för addition och

subtraktion? Boken ger olika metoder för både addition och subtraktion liksom kursplanen

uppmanar, däribland de som står uppräknade i kursplanen. Däremot finns inte metoden

överslagsräkning med som nämns i kursplanen. Det enda som egentligen frångår kursplanen

är det att upplägget i boken inte ger eleverna möjlighet att själva välja och använda olika

metoder till givna uppgifter. Utöver detta håller sig boken väldigt nära kursplanen i

matematik.

Lyckotal


Inom addition ger Lyckotal 1A, 1B samt 2A metoderna: parbildning, uppdelning i termer,

runda tal samt räkna från största termen. Inom subtraktion ger samma böcker metoderna:

parbildning, runda tal samt uppdelning i termer.

Det man kan se sammanfattningsvis är att böckerna tar upp parbildning, uppdelning i

termer och runda tal både inom addition och inom subtraktion. Inom additionen Lyckotal 1B

tar man upp metoden att räkna från största termen.

38


varandra?

Alla tre böcker tar upp både addition och subtraktion, de tre böckerna tar upp de på ett

grundande sätt men bygger inte så mycket vidare till fördjupad kunskap. Avsnitten i böckerna

presenteras på liknande sätt inom båda räknesätten. Man tar upp samma metaforer och

presenterar dem på samma sätt i böckerna.

I 1A är alla metaforer både i addition och i subtraktion grundande, man bygger inte vidare

dessa i den första boken. De metoder som främst används för båda räknesätten i denna bok är

parbildning och uppdelning i termer, dessa två metoder använder man och visar att de bygger

på varandra.

1B arbetar vidare med de grundläggande metaforerna liksom i 1A, man bygger inte vidare

på dessa någonting. Endast inom en del av subtraktionsavsnittet när man räknar från största

termen bygger man vidare på elevens kunskap och använder sig av den redefinierande

metaforen. De kopplingar som finns mellan addition och subtraktion i båda böckerna sker via

metoderna parbildning och uppdelning i termer.

I 2A ligger fortfarande mycket fokus på de grundläggande kunskaperna och metaforerna.

Däremot bygger vissa delar vidare på den tidigare kunskapen och då främst inom metoderna

uppdelning i termer och runda tal inom både addition och subtraktion.


I kursplanen för matematik (Lgr11) står det under centralt innehåll bland annat att ”centrala

metoder för beräkning med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning vid

beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika

situationer” (skolverket 2011, s63). Lyckotal tar upp olika grundläggande metoder för att

kunna behärska addition och subtraktion.

Vidare i kursplanen står det att matematikämnet ska innehålla ”de fyra räknesättens

egenskaper och samband samt användning i vardagliga situationer” (ibid.). Detta förekommer

i boken om man tittar på bilderna som tas upp som exempelbilder, vilka gör att eleverna kan

koppla matematiken till vardagliga situationer.

I kursplanen för matematik står det: ”de fyra räknesättens egenskaper och samband samt

användning i olika situationer” (ibid.), Lyckotal tar vid ett fåtal tillfällen upp sambandet

mellan addition och subtraktion. Så på denna punkt är böckerna uppe och nosar på de mål

som finns för årskurs tre. Parbildning, som har visats sig vara en av de metoder som läggs

störst vikt vid i böckerna, går att återfinna i kursplanen där det står så här: ”naturliga tal och

deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och

ordning” (ibid.). Det Lyckotal helt saknar i de tre första böckerna av serien är

överslagsräkning, men detta går att finna i kursplanen: ”rimlighetsbedömning vid enkla

beräkningar och uppskattningar” (ibid.).

39

Överlag så överensstämmer Lyckotal bra med målen som finns i kursplanen för årskurs 3.

Det som måste tilläggas är att målen i kursplanen är skrivna för åk 1-3 och det får man ha med

i tanken när man analyserar och tittar på böckerna. Genom att vi bara tittar på böcker för åk 1

och 2 är det inte konstigt att de inte helt lever upp till målen i kursplanen.

Jämförelse fråga för fråga


För addition förekommer i de båda böckerna metoderna parbildning, runda tal

samtuppdelning i termer; för subtraktion förekommer parbildning, runda tal samt uppdelning i

termer. I Lyckotal finns utöver dessa metoder även räkna från största termen inom addition.

Favorit Matematik tar för addition dessutom upp kommunikativa lagen, talraden samt

talsortsvis beräkning; och för subtraktion talraden samt talsortsvis beräkning. Detta betyder att

Favorit Matematik ger fler metoder.


varandra?

Tabell 8

Förekomst av metaforer i Favoritmatematik 1A, 1B, 2A samt i Lyckotal 1A, 1B, 2A

Förekoms

t av

grundande

metaforer

Förekomst

av

redefinerande

metaforer

Förekoms

t av

länkande

metaforer

Samband

mellan add

och sub

Favoritmatematik

1A

10 4 2 3

Favoritmatematik

1B

4 4 9 2

Favoritmatematik

2A

0 5 1 0

Lyckotal 1A 7 0 0 2

Lyckotal 1B 4 1 0 2

Lyckotal 2A 2 4 0 4

Det vi kan se i Favorit Matematik är att den börjar med att använda sig av grundande

metaforer för att förklara metoderna, för att senare arbeta vidare på dessa grundkunskaper

genom redefinierande metaforer. Vad gäller den länkande metaforen förekommer den en gång

40

i nästan alla böcker och räknesätt. Över lag presenteras metoderna för addition och

motsvarande metod för subtraktion på samma vis genom att samma metaforer används. I

Lyckotal tas generellt metoderna upp med grundande metaforer i de två första böckerna för att

sedan övergå i redefinierande i den sista, medan den länkande metaforen inte förekommer en

enda gång. Även här förklaras generellt metoderna för addition och subtraktion med samma

metaforer.

Detta leder till att eleverna får olika kunskaper och förutsättningar för vidare studier. I

Favorit Matematik rotas först grundkunskapen för att sedan bygga vidare på denna med nya

metoder, vilket även betyder att andra metaforer används. I Lyckotal stannar istället

kunskapen på grundnivå, då de nya metoder som presenteras inte bygger vidare och kopplas

till tidigare kunskap, utan står fritt från dessa. Detta leder inte bara till att de nya kunskaperna

inte har samma möjlighet att rota sig, det innebär även att den gamla kunskapen riskerar att

falla i glömska då det inte sker någon återkoppling till denna. Detta kan vi se går emot

läroplanen, då det där står att ”skolväsendet syftar till att elever ska inhämta och utveckla

kunskaper och värden. Den ska främja alla elevers utveckling och lärande samt en livslång

lust att lära” (Skolverket, 2011, s. 7). I Lyckotal avstannar på ett vis kunskapsutvecklandet,

eller möjligheten till kunskapsutveckling, då den kunskap eleverna får inte bygger vidare på

vad de redan kan, deras tidigare kunskaper, deras grundkunskaper – det sker inte en

utveckling, till skillnad från hur vi sett att det ser ut i Favorit Matematik.


Den enda egentliga metod som inte finns med i någon av de analyserade

matematikbokserierna, men som finns med i kursplanens centrala innehåll är

överslagsräkning. Som vi skrivit ovan gäller kursplanens centrala innehåll för årskurs 1-3, så

att det är metoder som nämns där men som inte kan återfinnas i matematikbokserierna är

egentligen inte förvånande. Det som kan sägas om detta är att det viktiga är att de metoder

som ska tas upp tidigt i detta spann är de som senare metoder bygger vidare på.

Överslagsräkning räknar vi inte till en av dessa grundande metoder. Utöver denna finns de

metoder som kursplanen räknar upp med i båda serierna: parbildning, uppdelning av tal i

termer samt runda tal. Även en av metaforerna studien tittat på nämns i kursplanen:

sambandet mellan addition och subtraktion. Övrigt står det i kursplanen att eleverna ska ”ges

förutsättningar att utveckla sin förmåga att […] värdera valda strategier och metoder”

(Skolverket, 2011, s. 63) samt ”välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra

beräkningar och lösa rutinuppgifter” (ibid.). I matematikböckerna ges eleverna i enlighet med

kursplanen flera metoder, men de får aldrig möjlighet att själva välja vilken metod de ska

använda sig av och sedan utvärdera resultatet av valet, vilket vi nu sett stå i kursplanen. I båda

böckerna är det alltid på förhand givna metoder som ska användas till uppgifterna.

41

Diskussion

Denna diskussion kommer utifrån den genomförda studien, tidigare forskning samt

kursplanen i matematik behandla och diskutera vikten av grundandet av matematik i

vardagen, lärobokens roll i klassrummet samt vilka konsekvenser detta får för lärare och

elever.

Matematik i de yngre åren är beroende av att kopplas till elevernas egna världar, deras

vardagserfarenheter samt hur matematiken konkret kan användas i vardagslivet för att de ska

kunna ta till sig kunskapen, vilket betyder att de behöver få förklaringar och genomgångar

med grundande metaforer. Detta med vardagserfarenheter trycker även kursplanen på, att

elever ska ges ”en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas

för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang” (Skolverket,

2011, s. 62). Johansson har i sin undersökning kommit fram till att de argument som finns i

läroböcker till varför eleverna ska lära sig just detta är korta meningar som är kopplade till

vardagslivet (2006a, s. 6). Dessa argument, fortsätter hon, är få och magra, vilket leder till att

eleverna får få kopplingar mellan matematik och vardag i de fall då läraren arbetar nära

läroboken (ibid., s. 7). Så även om böckerna använder sig av grundande metaforer så är dessa

för få. I vår studie har de exempel som funnits i böckerna framförallt varit kopplade till

parbildningen mellan föremål och räkneord, vilket ger eleverna en bra bild av tal och deras

uppbyggnad, men lika stort fokus på hur matematik kan användas i vardagslivet har inte

funnits, vilket bekräftar tidigare forskning. Dock är denna färdighet väldigt viktig även den

kopplingen mellan föremål och räkneord blir den mentala bild som ny kunskap senare kan

bygga vidare på. Núñes kallar detta konceptuella metaforer, eller visualisering: ”they provide

a bridge between language and reasoning on the one hand and vision on the other” (Núñes,

2000, s.12). Det är sedan dessa som låter eleverna bygga vidare på den kunskap de tidigare

erhållit. Trots att de mentala bilderna finns representerade i båda matematikbokserierna är det

endast Favorit Matematik som faktiskt använder dem för att fördjupa och bygga vidare ny

kunskap på gammal genom de redefinierande och länkande metaforerna, vilket behövs även

det för att verkligen få de olika metoderna grundade hos eleverna.

För att eleverna ska känna sig trygga i matematiken och sin räkning behöver de en bra

grund att stå på. Bevisligen blir grundkunskapen viktig, finns inte den går det inte heller att

bygga vidare med annan, ny kunskap. Studier visar att elever övergår från metoder som

counting-all, (vilket innebär att inom addition räknas först den första termen och sedan den

andra så att de på så vis adderas med varandra, till exempel 2 + 3 = 1, 2 (+), 3, 4, 5 = 5, detta

kan ske både mentalt, huvudräkning, eller med konkreta objekt såsom fingrarna) till metoder

som talsortsvis beräkning (Biddlecomb & Carr, 2010, s. 11). För att komma till den senare

krävs först kunskapen om och behärskning av den första. I våra studerade matematikbokserier

42

finns denna utveckling endast i Favorit Matematik, där går man från grundande metaforer för

metoderna för att sedan övergå till att bygga vidare på dessa metoder med redefinierande

metaforer. Detta är inte fallet med Lyckotal, där fokus genom hela serien istället ligger på

grundande metaforer. Detta gör att eleverna inte får samma möjlighet att utveckla sina

metoder och sina kunskaper som de får i Favorit Matematik. De får inte heller samma

förutsättning till förståelse för matematiken i den mening de metoder de ska lära sig och

använda sig av. Snarare förlorar eleverna de tidigare metoder de lärt sig då de nya inte

relateras eller kopplas till dessa.

Slutligen kan vi i en jämförelse med kursplanen se att eleverna ska ges förutsättningar att

kunna välja och reflektera över vilken metod de valt att använda vid beräkningar (Skolverket,

2011, s.62f., 67), vilket varken Favorit Matematik eller Lyckotal ger eleverna möjlighet att

träna.

43

Konklusion

Det denna studie kommit fram till är att de två matematikböcker vi analyserat och jämfört är

markant olika uppbyggda. Den ena, Favorit Matematik, börjar i elevernas vardag och grundar

kunskapen djupt, genom att använda många grundande metaforer i början av böckerna, innan

den går vidare och bygger på denna med ny kunskap, som då presenteras med redefinierande

metaforer. Den andra, Lyckotal, börjar även den i elevernas vardag genom att använda

grundande metaforer, men fortsätter sedan med samma slags metaforer genom hela serien,

inget byggs på den tidigare kunskapen, nya kunskaper presenteras istället avskilt från de

tidigare. Vidare förstärks denna skillnad genom att Favorit Matematik verkligen låter eleverna

fördjupa och rota sina kunskaper med mer än dubbelt så många uppgifter till varje metod än

vad Lyckotal har och likaså behandlas de olika metoderna fler gånger och, med hjälp av olika

metaforer, i den förra än den senare, vilket ger eleverna olika förutsättningar för lärande

beroende på vilken lärobokserie de har.

Vad gäller en jämförelse med kursplanen står båda matematikbokserierna lika starkt mot

denna; av metoderna som nämns där är det endast överslagsräkning som saknas i båda. Den

största bristen i båda böckerna är att eleverna inte ges möjlighet att själva välja metod vid

uträkning och utvärdera dessa val.

En konsekvens av att böckerna ser ut som de gör kan leda till att grundkunskaper som

senare är självklara kanske inte har presenterats för eleverna eller inte på ”rätt” sätt. Utöver

detta kan vi se att boken Favorit Matematik är lämpligare att luta sin undervisning på än vad

Lyckotal är. Att ha Lyckotal som klassbok innebär att man troligtvis kommer att behöva

material utöver boken då denna inte täcker upp kursplanen särskilt väl.

Vad gäller punkter som kan förbättras i matematikböckerna är avsaknaden av

överslagsräkning i de båda bokserierna – som även blir påtaglig vid en jämförelse med

kursplanen i matematik – en av dem vi kan se. Denna metod är torts allt relativt

grundläggande inom matematik. Har eleverna den från början kan de enkelt själva kontrollera

om de svar de kommit fram till är rimliga. Detta är även en viktig del i det vardagliga livet, till

exempel då man undrar om man har råd att handla olika saker för en viss summa pengar,

vilket gör att den lätt kan presenteras med hjälp av den grundande metaforen. Utöver

avsaknaden av denna metod i båda böckerna är det sedan metaforerna och deras påbyggnad

av varandra som saknas, om än mer i den ena serien, Lyckotal. Framförallt är det den

länkande metaforen som lyser med sin frånvaro. I Favoritmatematik förekommer den i

samtliga böcker om än få gånger, medan den i Lyckotal inte förekommer alls. Genom

matematikbokserier som dessa kan man tänka sig att det mest lämpade upplägget vad gäller

förekomsten av metaforer vore att börja med grundande metaforer för att sedan övergå till

44

redefinierande metaforer och till sist lägga

Metoder för addition och subtraktion - DiVA portal688997/... · 2014. 1. 19. · tur att eleverna...

Documents

Transcript of Metoder för addition och subtraktion - DiVA portal688997/... · 2014. 1. 19. · tur att eleverna...