E. CARA TUKAR BATANG ( METODE HENNERBERG ) Pada suatu konstruksi rangka statis tertentu, sering terjadi penyelesaian batang-batang itu dipilih sedemikian rupa, sehingga pada titik-titik buhul tertentu sukar untuk dicari gaya batangnya ( gaya dalam ) dengan cara potongan maupun keseimbangan titik buhul. Jenis konstruksi rangka yang dimaksud diatas dinamakan konstruksi rangka kompleks. Penyelesaian yang dikerjakan untuk rangka seperti ini adalah dengan cara tukar batang. Ada dua macam penyelesaian konstruksi rangka dengan cara tukar batang 1. Mengganti satu buah batang. Dengan cara mengganti satu buah batang saja semua gaya batang sudah dapat dihitung 2. Mengganti dua buah batang. Apabila dengan cara mengganti satu buah batang belum cukup mencari persamaan yang biasa dipakai untuk mencari semua gaya batang. - METODE TUKAR BATANG TUNGGAL Konsep dasar metode tukar batang: 1. Mengganti salah satu batang yang ada. 2. Pemilihan batang yang akan diganti dilakukan sedemikian rupa sehingga bentuk konstruksi menjadi dapat diselesaiakan dengan cara potongan/ keseimbangan titik buhul. Soal : P1D1 2 4 5

P2 C P4F7 9 3

P3E

6

HA

A

8

B

RA

RB

-

Ra dan Rb dapat dihitung, tetapi soal diatas tidak dapat diselesaikan karena tidak ada pada satu titik buhulpun dimana hanya ada dua batang yang belum diketahui. Sehingga sebagai pertolongan batang 7 diambil dan diganti ( dipasang ) batang x yang menghubungkan A C ( titik buhul A dan C ). Dengan demikian konstruksi rangka tersebut dapat diselesaikan dengan cara keseimbangan titik buhul / potongan.

P1DX

P2 C P4E F B

P3

A

-

Bila pada perhitungan tersebut didapat gaya batang X = Sx untuk suatu batang sembarang S. Kemudian beban-beban dihilangkan serta ujung batang tersebut dikerjakan masing-masing gaya 1 ton yang berlawanan arah, maka dengan system beban ini didapat gaya batang X = S x untuk sesuatu batang sembarang S.DX

C

A

E 1 ton

F 1 ton

B

-

Bila pada gaya 1 ton diganti denagn n ton maka gaya batang X = n . Sx dari suatu gaya batang sembarang nS. P1 P3 P2 P4

X

n ton

n ton

-

Apabila beban P dan beban n ton digabung, maka didapat system seperti gambar diatas, sehingga Sx = Sx + n . Sx S = S + n . S

-

Apabila besar dan arah n ton dipilih sedemikian rupa sehingga Sx = 0, maka batang X tersebut adalah batang nol dan gaya tersebut tidak bekerja ( dapat dihapuskan ). Dengan demikian system tersebut diatas dapat menggantikan system pada gambar pertama dengan perubahan sedikit, yaitu dengan cara mengganti

batang 7 dengan gaya n ton, sehingga nilai n ton yang menyebabkan tidak bekerjanya batang X itu menunjukkan gaya batang yang sesungguhnya. Sehingga perumusan yang didapatkan adalah seperti ini : Sx = Sx + n . Sx apabila Sx = 0 0 = Sx + n . Sx

n=-

S' x S" x

setelah n didapat, maka gaya-gaya batang dari konstruksi rangka kompleks dapat dihitung dengan persamaan. S = S + n . S Contoh soal dan penyelesaian :P2 = 3 ton E P1 = 2 ton D8 2 3

P3 = 3 ton F4

P4 = 3 ton G

2,0

1 1

1 9 1 0

5

3,0

A6

RA = 6,125 ton 3,0

C P5 = 3 ton 1,0 1,0

B7

RB = 6,875 ton 3,0

Perhitungan reaksi perletakan MB = 0 RA . 8 P 1 . 8 P 2 . 5 P 3 . 3 P 4 . 0 P 5 . 4 RA

=0 = 6,125 ton ( keatas )

MA = 0 -RB. 8 + P1 . 0 + P2 . 3 + P3 . 5 + P4 . 8 + P5 . 4 RB V= 0 R B + RB 6,125 + 6,875 13 = P1 + P2 + P 3 + P4 + P 5 = 2+3+2+3+3 = 13 ( oke )

=0 = 6,875 ton ( keatas )

Kontrol kestabilan konstruksi S + R = 2. K 11 + 3 = 2 . 7 14 = 14 ( oke ) Pada konstruksi tersebut tidak ada satu titik buhul yang memenuhi syarat untuk penyelesaian gaya batang (maks ada dua batang yanag tidak deketahui ) maka diselesaikan dengan cara tukar batang . Diadakan penukaran / penggantian batang dan dipilih sedemikian sehingga konstruksi menjadi sederhana dam senua gaya batang dapat dihitung dengan cara / metode yang paling cepat. Sebagai pertolongan batang 8 ( atau 11 ) diambil dan diganti batang X yang menghubungkan titik buhul C dan F.P2 = 3 ton E P1 = 2 ton D11 X 1 9 10 5 2 3

P3 = 3 ton F4

P4 = 3 ton G

A6

B C P5 = 3 ton7

RA = 6,125 ton

RB = 6,875 ton

-

Kemudian konstruksi rangka tersebut diselesaikan dengan cara cremona ( paling mudah dan cepat ) Dalam perhitungan didapatkan gaya batang X = Sx dan untuk batang yang lain adalah Si.

-

Beban-beban luar ( beban P dan reaksi perletakan ) dihilangkan dan dititik A dan F dikerjakan gaya 1 ton menurut garis AE. Gaya tersebut menarik titik A dan F.P2 = 3 ton E P1 = 2 ton D11 X 1 9 10 5 2

P3 = 3 ton F

3

4

P4 = 3 ton G

A6

B C P5 = 3 ton7

RA = 6,125 ton

RB = 6,875 ton

Skala panjang 1 cm = 1 m Skala gaya 1 cm = 1 ton Tabel hasil gaya batang No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sx Gaya batang -6,125 -3,50 -1,90 -2,50 -5,90 +1,10 0 +3,70 +2,50 -1,50 -0,60

E2

3

F4

1 ton

D11 X 1 1 ton 9 10

G

5

A6

B C7

Misal : Skala gaya 1 ton ~ 5 cm Skala jarak 1 m ~ 1 cm Apabila menurut sistem beban terdapat gaya batang X = Sx dan untuk batang yang laain = SI, dan jika gaya 1 ton tersebut diganti dengan n ton, maka gaya batang X = n . Sx dan gaya sembarang + n . Si.

Tabel hasil gaya batang No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sx Cm -3,40 -3,10 -4,30 -1,55 -1,75 -1,80 -3,60 +5,00 +2,95 +1,50 +2,50 -2,60 Ton -0,680 -0,620 -0,860 -0,310 -0,350 -0,360 -0,720 +1,000 +0,590 +0,300 +0,500 -0,520

Apabila sistem yang terakhir ( akibat gaya 1 ton ) digabungkan dengan sistem beban luar, maka akan mendapatkan konstruksi rangka dengan beban seperti gambar

P2 = 3 ton E P1 = 2 ton D2 1 ton 3

P3 = 3 ton F4

P4 = 3 ton G

11 X 1 1 ton 9 10 5

A RA = 6,125 ton

6

C

P5 = 3 ton

7

B RB = 6,875 ton

Sehingga didapat persamaan : Sx = Sx + n . Sx = 0 n=-

S' x S" x S' x S" x. Si

dan untuk gaya batang sembarang Si= Si + n . Si Si= Si -

Dari persamaan diatas maka dapat diperoleh hasil Sx = -0,700 Sx = -0,580 Tabel hasil gaya batang Gaya akibat P No. batang ( ton ) (1) (2) 1 -6,125 2 -3,500 3 -1,900 4 -2,250 5 -5,900 6 +1,100 7 0 Gaya akibat 1 ton ( ton ) (3) -0,700 -0,600 -0,820 -0,260 -0,340 -0,340 -0,700 n x3 ( ton ) (4) +0,845 +0,724 +0,990 +0,314 +0,410 +0,410 +0,845 (2) + (4) ( ton ) (5) -5,280 -2,776 -0,910 -2,186 -5,490 +1,510 +0,845

8 9 +3,700 10 +2,500 11 -1,500 X -0,700 Hasil gaya batang lengkap.P2 = 3 ton E P1 = 2 ton D8 -1,207 2 -2,776

+1,000 +0,620 +0,280 +0,480 -0,580P3 = 3 ton F4 -2,186

-1,207 -0,748 -0,338 -0,579 +,700

-1,207 +2,952 +2,162 -2,079 0

3 -0,910

P4 = 3 ton G

11 -2,079 -5,490 5 9 10 +2,162 +1,510 7

1 -5,280

+2,952

A

+0,845 6

C

B RB = 6,875 ton

P5 = 3 ton

RA = 6,125 ton

- METODE TUKAR BATANG RANGKAP Pada suatu konstruksi rangka, kadang-kadang dengan mengganti / menukar satu batng, gaya batang belum dapat dicari ( belum dapat diselesaikan ). Pada konstruksi rangka seperti dibawah ini :P2 G P1 F11 2 3

P3 H4

P4 I5

14

1

10

12

13

15

A9

C

P5

8

D

P6

7

E

B P76

RA

RB

Pada konstruksi diatas apabila dikontrol kesetabilannya :

S+r = 2.k 15 + 3 = 2 x 9 18 = 18 Tetapi pada gaya batangnya tidak dapat dicari, karena tidak memenuhi syarat penyelesaian gaya batang. Cara penyelesaiannya seperti pada cara tukar batang, hanya pada konstruksi ini ada dua batang yang diganti/ditukar. a. RA dan RB dihitung terlebih dahulu. b. Karena konstruksi rangka tersebut belum dapat deselesaiakan maka sebagai pertolongan batang 11 dan batang 14 diambil dan diganti Batang 11 diganti batang X1 yang menghubungkan H D Batang 14 diganti batang X2 yang menghubungkan G D Dengan demikian konstruksi rangka tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang paling cepat.P2 G P1 F1 1 0 1 2 2 X2

P33

H4 X1

P4 I1 5 5

1 3

A RA

9

C P5

8

D P6

7

E P7

6

B RB

c. Tahap berikutnya beban luar ( P ) dihilangkan dan diberi gaya tarik P = 1 ton pada batang 11 yang dihilangkan, yaitu P = 1 ton pada titik H dan C segaris dengan garis CH. Kemudian diselesaikan untuk mendapatkan gaya batang S1 s/d S15G2 1t 3

H4 X1

FX2 1 10 1t 12

I5

13

15

A9

B C8

D

7

E

6

d. Dengan cara yang sama tetapi dengan gaya P = 1 ton di titik G E segaris GE. Kemudian diselesaikan untuk mendapatkan gaya batang S1 s/d s15G2 1t 4 X2

3

H

F1

X1

I5

1 0

1 2

1 3 1t

1 5

A9

B C8

D

7

E

6

e. Apabila gaya-gaya didalam batang 11 dan batang 14 yang belum diketahui kita sebut n1 dan n2, maka untuk suatu batang gayanya menjadi : s = s 0 + n1 . s + n2 . s dan untuk batang x1 dan x2 menjadi : sx1 = s 0x1 + n1 . sx1 + n2 . sx1 sx2 = s 0x2 + n1 . sx2 + n2 . sx2 dari persamaan diatas didapat nilai n1 dan n2 n1 =

s " x . s 2 s' x 2 . s "n2 =

0

x1 x 1

- s " - s 'x 1 x 2

x 1 x 1

.s .s "x2 x 1

0

x2

x 2

s x ' 2 .s 0 x1 - s ' s ' x1 . s x " 2 - s '

. s0 .s "

a. Dengan demikian setelah n1 dan n2 didapat maka gaya batang yangs sebenarnya dapat dihitung contoh soal dan penyelesaian P = 3 ton : 2G P1 = 2 ton F11 2 3

P3 =2 ton H4

14

P4 = 3 ton I5

1,50 m

1

2,50 m

10

12

13

15

A9

C

P5 =1,5 ton

8

RA = 7,10 ton 2,50 m 1,50 m 1,00 m

D P6 = 1,5 ton

7

E P7 = 1,5 ton

B6

RB =7,4 ton 2,50 m

1,00 m

1,50 m

Perhitungan reaksi perletakan MB = 0 RA . 10 P1 . 7,5 P2 . 6 P3 . 4 P4 . 2,5 P5 . 7,5 P6. 5 P7 . 2,5 = 0 RA = 7,10 ton ( keatas ) MB= 0 -RB. 10 + P1 . 2,5 + P2 . 4,0 + P3 . 6 + P4 . 7,5 + P5 . 2,5 + P6. 5 + P7 . 7,5= 0 RB = 7,40 ton ( keatas ) V= 0 R B + RB = P1 + P2 + P 3 + P4 + P 5 + P6 + P 7 14,5 = 14,5 ( oke ) Cremona akibat beban luarP2=3 ton G P1 =2 ton F1 2 X2 X1 3

P3=2 ton H4

P4=3 ton I5

10

12

13

15

A9

C P5 =1,5 ton

8

D P6=1,5 ton

7

E

6

B RB = 7,4 tonRA

RA = 7,1 ton

P7 = 1,5 ton

Skala panjang 1 cm = 1 m Skala gaya 1 cm = 1 ton+6 +1 +1 3 5 +X1 +7

-1

P1

-2

RB P5 P2 P6

-3 +8 +1 0 -4 -12 +X 2 +9

P3

P7

-5 P4

Tabel hasil gaya batang No. batang Gaya batang 1 -10,2 2 -7,6 3 -6,0 4 -7,3 5 -10,7 6 +7,6 7 +7,6 8 +7,2 9 +7,2 Cremona akibat P = 1 ton pada garis H CG2 3

No. batang 10 11 12 13 14 15 X1 X2

Gaya batang +1,5 0 -2,5 -3,3 0 +1,8 +3,2 +2,6

H4 1t X1

FX2 1

I5

10 1t

12

13

15

A9

B C8

D

7

E

6

Skala gaya 7 cm = 1 ton+X2

-X +1 2

-3

-8

+X2

-2 -10 +1 2 -3 -1

+X1

Tabel hasil gaya batang No.batang cm 1 0 2 -3,75 3 -3,30 4 0 5 0 6 0 7 0 8 -4,60 9 0

ton 0 -0,536 -0,471 0 0 0 0 -0,657 0

No. batang 10 11 12 13 14 15 X1 X2

cm -5,25 +7,0 +3,75 0 0 -5,40 +2,70

ton -0,750 +1,0 +0,536 0 0 -0,771 +0,386

Cremona akibat P = 1ton pada garis G EG2 1t 4 X2 X1 3

H

F1

I5

10

12

13 1t

15

A9

B C8

D

7

E

6

Skala gaya 7 cm = 1 ton

+X1

-X2 +1 3

-7

-3

-4 -1 ton -X2 -15 +1 3 -3

+X1

Tabel hasil gaya batang No.batang cm 1 0 2 0 3 -3,30 4 -3,75 5 0 6 0 7 -4,6 8 0 9 0

ton 0 0 -0,471 -0,536 0 0 -.657 0 0

No. batang 10 11 12 13 14 15 X1 X2

cm 0 0 +3,75 +7,0 -5,25 +2,70 -5,40

ton 9 0 +0.536 +1,0 -0,750 +0,386 -0,771

Tabel perhitungan gaya batang No. batang (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 SX1 SX2 Gaya akibat P ( ton ) (2) -10,2 -7,6 -6,0 -7,3 -10,7 +7,6 +7,6 +7,2 +7,2 +1,5 0 -2,5 -3,3 0 +1,8 +3,2 +2,6 Gaya akibat 1 ton Gaya akibat 1 ton C-H G-E ( ton ) (3) 0 -0,536 -0,471 0 0 0 0 -0,657 0 -0,750 +1,0 +0,536 0 0 -0,771 +0,386 ( ton ) (4) 0 0 -0,471 -0,536 0 0 -.657 0 0 0 0 -0,471 -0,536 0 0 -.657 0 Gaya batangs = s0+ n1.s + n2.s

( ton ) (5) -10,20 -11,781 -13,103 -11,203 -10,70 +7,60 +2,816 +2,075 +7,20 -4,350 +7,80 +1,681 +0,603 +7,281 -3,661 0 0

n1

=

s " x . s 2 s' x 2 . s "= 7,80 n2 = 7,281

0

x1 x 1

- s " - s '

x 1 x 1

.s .s ". s0 .s "

0

x2

x 2

s x ' 2 .s 0 x1 - s ' s ' x1 . s x " 2 - s '

x 1 x 2

x2 x 1

=

Hasil gaya batangG P1 =2 ton F-10,20 1 -4,350 10 +1,681 2 -11,781

P2 =3 ton3 -13,103

P3 =2 ton H4 -11,203

P4=3 ton I

11

14 +7,80 +7,281 +0,603

-3,661 15

5 -10,70 +7,60

12 +2,07 5 8

13 +2,81 6 7

A

+7,20 9

B RB=7,4ton

C

P5 =1,5 ton

D

P6 =1,5ton

E

P7=1,5ton

6

RA =7,10 ton 2,50 m 1,50 m 1,00 m 1,00 m 1,50 m 2,50 m