Metode omologice în studiul algebrelor necomutativeINTRODUCERE Vom prezenta, în aceasta˘ lucrare,...

Metode omologice în studiulalgebrelor necomutative

Adrian Manea

Coordonator: Prof. univ. Dr. Dragos Stefan

CUPRINS

1. Coomologia Hochschild 31.1. Algebre, bimodule si algebra anvelopanta . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Rezolutia standard a unei algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Definitia (co)omologiei Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Algebre separabile 92.1. Definitii. Proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Extinderile Hochschild ale unei algebre . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Algebre formal netede 153.1. Definitii. Proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Exemple de algebre formal netede . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1. Algebra tensoriala a unui bimodul . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2. Produsul liber de algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.3. Produsul tensorial de algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Perechi Koszul 214.1. Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2. Perechi aproape Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3. Perechi Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4. (Co)Omologia Hochschild a inelelor Koszul . . . . . . . . . . . . . 48A.1. Obiecte (co)simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.2. Coomologia Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.3. Monade si omologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliografie 57

i

INTRODUCERE

Vom prezenta, în aceasta lucrare, metode (co)omologice în studiul algebrelornecomutative, în principal (co)omologia Hochschild. Introdusa în 1945 de catreGerhard Hochschild (1915-2010) în articolul sau "On the Cohomology Groups ofan Associative Algebra", Annals of Math. Second Series, vol. 46, 58-67, teoria si-a ga-sit numeroase aplicatii în toate ramurile matematicii care folosesc instrumenteomologice. Aici vom prezenta metoda "directa", calculatorie de introducere agrupurilor de (co)omologie Hochschild ale unei algebre cu coeficienti într-unbimodul, iar în anexa se poate gasi si metoda categoriala, mai potrivita pentrugeneralizari. Aceasta din urma foloseste obiectele (co)simpliciale dintr-o cate-gorie si arata cum oricarui obiect (co)simplicial i se asociaza un complex, a carui(co)omologie poate fi numita, în general, (co)omologia Hochschild. Prezentareava urmari foarte buna expunere din [Weibel], cap. 8, p. 254-259.

În esenta, lucrarea de fata contine trei parti. Prima parte, alcatuita din pri-mul capitol, prezinta definitia grupurilor de (co)omologie Hochschild ale uneialgebre cu coeficienti într-un bimodul. Prezentarea cuprinde, asa cum am spus,abordarea directa asupra conceptului, care consideram ca este si mai naturalasi usor de înteles.

Partea a doua a lucrarii, alcatuita din al doilea si al treilea capitol, definescnotiunea de dimensiune, în contextul teoriei de (co)omologie Hochschild. Pre-zentam primele cazuri, ale algebrelor de dimensiune Hochschild zero si unu,numite algebre separabile, respectiv formal netede. Dupa definirea si introdu-cerea conceptelor, dam cîte o teorema de caracterizare pentru fiecare caz, cu-prinzînd proprietati esentiale ale acestor tipuri de algebre. În finalul celui de-altreilea capitol, aratam ca algebrele "uzuale" (algebra tensoriala a unui bimodul,produsul liber de algebre si produsul tensorial de algebre) sînt exemple simplede algebre formal netede.

Partea a treia si cea mai importanta a lucrarii cuprinde ultimul capitol si dao aplicatie foarte interesanta si noua a coomologiei Hochschild. Introducem(conform [JPS1]) conceptele de perechi (aproape) Koszul, alcatuite dintr-o algebra

1

Cuprins

(R-inel) si un coinel, cu o anumita legatura între ele. Generalizam apoi rezolu-tia bar obisnuita a unei algebre, dînd rezolutii pentru cei doi membri ai perechii(aproape) Koszul. Desi aceste rezolutii contin obiecte din categorii diferite (co-module stîngi, comodule drepte, respectiv bicomodule), vom vedea ca exista olegatura foarte strînsa între ele, anume ca, în cazul în care perechea este Koszul,atunci daca un complex este exact, atunci si celelalte sunt exacte. De asemenea,terminologia nu este întîmplatoare si vom arata ca o pereche Koszul înseamna,de fapt, un inel Koszul, în sensul prezentat în [BGS], împreuna cu un coinel,iar cele doua sînt legate într-un anumit fel. Adaptam apoi conceptul de coo-mologie Hochschild în acest context. Date acele rezolutii în cele trei categorii,vom aplica functorii derivati Tor si Ext pentru a vedea ce înseamna coomologiaHochschild a unei perechi Koszul.

Lucrarea presupune un minimum de cunostinte de algebra generala si al-gebra omologica, de tipul celor acumulate în perioada de studii de licenta simasterat. Astfel, apreciem ca poate fi parcursa si înteleasa de orice absolvent,iar pentru notiunile speciale se poate consulta anexa.

2

1

COOMOLOGIA HOCHSCHILD

În toata aceasta lucrare, daca nu se specifica altfel, vom fixa k un corp co-mutativ, algebra va însemna k-algebra, (sub)spatiu va însemna k-(sub)spatiuvectorial, iar ⊗ va însemna ⊗k.

De asemenea, categoria de R-module stîngi o vom nota RM, similar la dreaptasi pentru bimodule. Un obiect X din categoria RM îl vom mai nota si RX. Si-milar la dreapta sau bimodule.

1.1. Algebre, bimodule si algebra anvelopanta

Pentru a defini coomologia Hochschild a unei algebre necomutative, avemnevoie de functori derivati, folositi într-o categorie de module. De aceea, vomdescrie cum unui bimodul peste o algebra îi asociem un modul.

Definitie 1.1.1. Fie R o k-algebra. Algebra anvelopanta a lui R, notata Re esteRe := R⊗ Rop, unde Rop este algebra opusa. Înmultirea se face dupa formula:

(x⊗ y) · (a⊗ b) = (xa)⊗ (by), ∀a, b, x, y ∈ R.

În continuare, vom arata cum categoria de R-bimodule este izomorfa cu ocategorie de module stîngi (sau drepte) peste Re.

Propozitie 1.1.1. Fie R o algebra. Atunci categoriile RMR, MRe si ReM sîntizomorfe.

Demonstratie: Fie functorii:

F :R MR →Re M, F(X) = X, ∀RXR siG :Re M→R MR, G(Y) = Y, ∀ReY.

Acesti functori asociaza unui obiect cu o anumita structura aceeasi multimesubiacenta, dar cu o alta structura. Mai precis:

Daca X ∈ RMR, atunci F(X) devine Re-modul stîng cu operatia

3

1. Coomologia Hochschild

(r⊗ r′) · x = rxr′, ∀r, r′ ∈ R, ∀x ∈ X.

Invers, pentru Y ∈ ReM, G(Y) devine R− R-bimodul cu

r · y = (r⊗ 1) · y si y · r = (1⊗ r) · y.

Se vede ca functorii sînt inversi, unul celuilalt si deci am obtinut izomorfis-mul RMR cu ReM. Similar si celalalt izomorfism.

Observatie 1.1.1. Rezulta de aici ca în categoria bimodulelor exista suficienteobiecte proiective si suficiente obiecte injective, deoarece într-o categorie de mo-dule exista.

Fie V un spatiu vectorial. Atunci R⊗V ⊗ R este R-bimodul, cu actiunea:

a · (b⊗ v⊗ c) = (ab)⊗ v⊗ c si(a⊗ v⊗ b) · c = a⊗ v⊗ (bc), ∀a, b, c ∈ R, v ∈ V.

Pentru acest exemplu, folosind izomorfismul de categorii din Prop. 1.1.1,R ⊗ V ⊗ R ' Re ⊗ V, ca Re-module si, folosind si adjunctia dintre functoriiHom si ⊗, avem izomorfismele:

HomRe(R⊗V ⊗ R, M) ' HomRe(Re ⊗V, M) ' Homk(V, M) (1.1.1)

1.2. Rezolutia standard a unei algebre

Pasul urmator în definirea (co)omologiei Hochschild este sa construim o re-zolutie proiectiva (standard) a unei algebre R în categoria RMR. Dar, folosindizomorfismul din Prop. 1.1.1, va fi suficient sa o facem într-o categorie de mo-dule si vom lucra în categoria ReM.

Pentru n ≥ 0, notam Pn = R⊗ R⊗n ⊗ R (am notat, pentru simplitate R⊗n =

R⊗ R⊗ · · · ⊗ R, produsul tensorial avînd n factori). Reamintim conventia uzu-ala R⊗0 = k si R⊗q = 0, ∀q < 0. Stim ca Pn ∈ RMR, ∀n, pentru ca R⊗n espatiu vectorial si putem folosi exemplul de mai sus. Privind Pn în ReM, el seidentifica cu Re ⊗ R⊗n, deci este Re-modul liber (pentru ca Re si R⊗n sînt). Înparticular, este proiectiv.

Vom folosi aceste Pn ca obiecte în rezolutie. Definim acum aplicatiile.Fie d0 : R⊗ R→ R, d0(x⊗ y) = xy (produsul de algebra).Pentru n ≥ 1 si 0 ≤ i ≤ n, definim di

n : Pn → Pn−1 prin:

din(x0 ⊗ x1 ⊗ · · · ⊗ xn+1) = x0 ⊗ x1 ⊗ · · · ⊗ xi−1 ⊗ xixi+1 ⊗ xi+2 ⊗ · · · ⊗ xn+1.

(1.2.1)

Fie acum dn =n

∑i=0

(−1)idin. Cu acestea, avem urmatoarea:

4

1.3. Definitia (co)omologiei Hochschild

Teorema 1.2.1. Fie R o k-algebra. Atunci (P•, d•) este o rezolutie proiectiva alui R în categoria RMR, numita rezolutia standard.

Demonstratie: Deoarece d0 este surjectiva (din definitie) si Pn sînt proiective,pentru orice n, din structura de R-bimodul rezulta ca dn sînt morfisme de bimo-dul, pentru orice n, adica are loc di

n(r · (x0 ⊗ · · · ⊗ xn+1) · q) = r · din(x0 ⊗ · · · ⊗

xn+1) · q, ∀r, q ∈ R.De asemenea, un calcul simplu arata ca dn dn+1 = 0, ∀n ≥ 0.Asadar, avem un complex de colanturi în RMR.Pentru a-i arata exactitatea, construim o omotopie (sn)n între identitate si

aplicatia nula.

· · · dn+2 // Pn+1dn+1 // Pn

sn

dn // Pn−1 · · ·sn−1

dn−1 // P0

s0

d0 // R

s−1

// 0

· · · dn+2 // Pn+1dn+1 // Pn

dn // Pn−1 · · ·dn−1 // P0

d0 // R // 0

Definim asadar, pentru n ≥ 1, sn : Pn → Pn+1, sn(x) = (−1)n+1x ⊗ 1, defi-nind, pentru convenienta P−1 = R. Iar pentru n < −1, definim sn = 0.

Cu aceste definitii, se verifica imediat ca d0 s−1 = IdR si sn−1 dn + dn+1 sn = IdPn , ∀n ≥ 0.


Lucram în continuare cu R o k-algebra.Odata construita rezolutia proiectiva, ca în Teorema 1.2.1, o putem folosi pen-

tru calculul grupurilor Ext•Re(R, M) si TorRe

• (R, M), pentru orice R MR (care, con-form Prop. 1.1.1, poate fi privit si ca Re-modul stîng sau drept).

Definitie 1.3.1. În conditiile si cu notatiile de mai sus, pentru R,

1. Al n-lea grup de coomologie Hochschild cu coeficienti în M este HHn(R, M) =

Ext•Re(R, M).

2. Al n-lea grup de omologie Hochschild cu coeficienti în M este HHn(R, M) =

TorRe

• (R, M).

Detaliem aceasta definitie. Fie diagrama:

HomRe(R⊗ R⊗n ⊗ R, M)φ(R⊗n,M) // Homk(R⊗n, M)

HomRe(R⊗ R⊗n−1 ⊗ R, M)

d∗n

OO

Homk(R⊗n−1, M)ψ(R⊗n−1,M)oo

bn−1

OO

Aplicatiile φ si ψ sînt izomorfismele rezultate din adjunctia functorilor Homsi ⊗ (ec. 1.1.1), iar d∗n = HomRe(dn, M) este aplicatia indusa de dn. Vremsa definim aplicatiile bn, care sa faca diagrama comutativa. Punem simplu

5

1. Coomologia Hochschild

bn−1 = φ(R⊗n, M) d∗n ψ(R⊗n−1, M), ca în diagrama.Detaliem aceasta constructie. Pentru n = 1, folosind R⊗0 = k si izomorfis-

mul Homk(k, M) ' M, avem b0 : M → Homk(R, M). Obtinem b0(m)(r) =

rm−mr, ∀m ∈ M, r ∈ R.Mai departe, definim bn

i : Homk(R⊗n, M) → Homk(R⊗n+1, M) pentru oricef ∈ Homk(R⊗n, M), ∀ri ∈ R ∀i = 1, . . . , n prin urmatoarele ecuatii:

bni ( f )(r1⊗· · ·⊗ rn+1) =

r1 · f (r2 ⊗ . . . rn+1), i = 0

f (r1 ⊗ · · · ⊗ ri−1 ⊗ riri+1 ⊗ ri+2 ⊗ · · · ⊗ rn+1, i = 1, . . . , n

f (r1 ⊗ . . . rn) · · · rn+1, i = n + 1

Definim acum bn( f ) =n+1

∑i=0

(−1)ibni ( f ).

Conform acestor definitii si modului în care au fost obtinute obiectele si mor-fismele, am demonstrat:

Teorema 1.3.1. Coomologia Hochschild a unei algebre R cu coeficienti într-unbimodul M este coomologia complexului (C•(R, M), b•), cu C0(R, M) = M siCn(R, M) = Homk(R⊗n, M), pentru n > 0, iar diferentialele b• date conformconstructiei de mai sus.

Complexul astfel definit se numeste complexul standard.Întru totul similar, omologia se dovedeste a fi omologia complexului (C•(R, M), b•),

în care termenii sînt C0(R, M) = M si Cn(R, M) = M⊗ R⊗n, iar diferentialele,

bn =n+1

∑i=0

(−1)ibin, unde

bin(m⊗ r1⊗· · ·⊗ rn) =

mr1 ⊗ r2 ⊗ r3 ⊗ · · · ⊗ rn, i = 0

m⊗ r1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ ri−1 ⊗ riri+1 ⊗ ri+2 ⊗ . . . rn, 1 ≤ i ≤ n− 1

rnm⊗ r1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ rn, i = n

Sa vedem acum cîteva exemple de grupuri de (co)omologie, în dimensiunemica.

Pentru n = 0, avem HH0(R, M) = Kerb0 = m ∈ M | rm = mr, ∀r ∈ R.Acest grup se noteaza uzual cu MR si se numeste centralizatorul lui R în M,fiind alcatuit din elemente din bimodulul M care comuta cu toate elementeledin R.

De asemenea, cum b1(m ⊗ r) = mr − rm, avem ca HH0(R, M) =M

Imb1=

M[M, R]

.

6


Pentru n = 1, avem f ∈ Kerb1 ⇔ f (xy) = x f (y) + f (x)y, ∀x, y ∈ R. Spu-nem, în acest caz, ca f este o derivare a lui R pe M si scriem f ∈ Der(R, M).

De asemenea, f ∈ Imb0 ⇔ ∃m ∈ M a.î. f (r) = rm − mr. Spunem, înacest caz, ca f este derivare interioara si scriem f ∈ Derint(R, M). Atunci

HH1(R, M) =Der(R, M)

Derint. Numim acest spatiu spatiul derivarilor exterioare

pe M, notat cu Derext(R, M).

Ca o remarca la finalul acestui capitol, mentionam ca se poate face o des-criere categoriala, mai generala, a complexului standard asociat unui obiect(co)simplicial într-o categorie. În acest context, (co)omologia Hochschild se de-fineste cu aplicabilitate mai generala. Prezentam aceasta alternativa în anexalucrarii.

7

2

ALGEBRE SEPARABILE

2.1. Definitii. Proprietati

Vom prezenta acum conceptul de dimensiune, relativ la contextul prezentat,precum si primele cazuri, anume de algebre de dimensiune zero si unu.

Definitie 2.1.1. Dimensiunea Hochschild a unei algebre R este cel mai micnumar natural n astfel încît HHm(R, M) = 0, ∀m > n, ∀M ∈R MR (iarHHn(R, M) 6= 0). O vom nota HdimR.

Ne vor interesa, în acest capitol, algebrele de dimensiune Hochschild 0. Cîndnu exista pericol de confuzie, daca nu se specifica altfel, "dimensiune" va în-semna "dimensiune Hochschild".

Sa facem mai întîi observatia urmatoare: HH1(R, M) = Ext1Re(R, M) ⇒

HdimR = 0 ⇔ Ext1Re(R, M) = 0, ∀M ∈R MR. Adica R este proiectiv în ca-

tegoria ReM sau, echivalent (conform Prop. 1.1.1), proiectiv în categoria RMR.

Definitie 2.1.2. O algebra de dimensiune Hochschild 0 se numeste separabila.

Avem urmatoarea teorema de caracterizare a algebrelor separabile:

Teorema 2.1.1. Fie R o k-algebra. Urmatoarele afirmatii sînt echivalente:

1. R este separabila;

2. ∃a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ Ra.î.n

∑i=1

aibi = 1 sin

∑i=1

rai ⊗ bi =n

∑i=1

ai ⊗ bir, ∀r ∈

R;

3. HdimR=0;

4. Der(R, M) = Derint(R, M), ∀R MR;

5. HHn(R, M) = 0, ∀R MR, ∀n ≥ 1.

9

2. Algebre separabile

Demonstratie: 1⇔ 3 si 3⇔ 4 sînt clare, conform definitiei, respectiv calculelordin finalul capitolului precedent.1 ⇒ 2: Presupunem R separabila, deci RRR este proiectiv. Fie m : R⊗ R → Rînmultirea de algebra. Cum R este proiectiv, exista σ : R→ R⊗ R sectiune a lui

m. Notam σ(1) =n

∑i=1

ai ⊗ bi.

Cum 1 = (m σ)(1) =n

∑i=1

aibi si r · σ(1) = σ(r) = σ(1) · r, deoarece σ e

morfism de bimodule, avem relatiile de la 2.

2⇒ 1: Definim σ : R→ R⊗ R, σ(r) =n

∑i=1

rai ⊗ bi. Cum produsul tensorial este

k-balansat, iar R este k-algebra, σ este morfism de bimodule.Fie m : R⊗ R→ R, înmultirea de algebra. Atunci

(m σ)(r) = m(n

∑i=1

rai ⊗ bi) =n

∑i=1

raibi = rn

∑i=1

aibi = r.

Deci σ e sectiune a lui m ceea ce implica R sumand direct în R⊗ R, care esteproiectiv (ca R-bimodul), de unde R e proiectiv.5⇒ 3: evident.3⇒ 5: Presupunem HdimR = 0⇒ HH1(R, M) = 0, ∀R MR.

Demonstram prin inductie dupa n. Pasul de verificare e cuprins în ipoteza.Pasul de inductie: Presupunem HHn(R, N) = 0, ∀RNR. Fie R MR oarecare.

Consideram sirul exact 0 → M i→ Ip→ Q → 0, cu I injectiv (exista, conform

Obs. 1.1.1), iar Q = I/Imi.Din sirul lung pentru Ext•Re(R,−), avem:

· · · → ExtnRe(R, Q)→ Extn+1

Re (R, M)→ Extn+1Re (R, I)→ . . . (2.1.1)

Dar, din ipoteza de inductie ExtnRe(R, Q) = 0, iar Extn+1

Re (R, I) = 0, pentru caI e injectiv. Deci Extn+1

Re (R, M) = 0.

Definitie 2.1.3. Un element z =n

∑i=1

ai⊗ bi ca în teorema se numeste idempotent

de separabilitate.

Corolar 2.1.1. 1. Mn(k) este separabila;

2. Daca z ∈ Re este idempotent de separabilitate, atunci z2 = z (ceea ceexplica numele).

Demonstratie: 1. Fie Eij unitatile matriceale, adica acele matrice din Mn(k)care au 1 la intersectia liniei i cu coloana j si zero în rest. Un calcul simplu arata

ca z =n

∑i=1

Ei1 ⊗ E1i este idempotent de separabilitate.

2. Fie z =n

∑i=1

ai⊗ bi ∈ Re idempotent de separabilitate, i.e. care respecta 2.1.1.2.

10


Atunci:

z2 = z · z = (n

∑i=1

ai⊗ bi)2 =

n

∑i=1

a2i ⊗ b2

i =n

∑i=1

ai⊗ b2i · ai =

n

∑i=1

(ai⊗ bi) · (aibi) =n

∑i=1

ai⊗ bi = z

Prezentam, în continuare, cîteva proprietati ale algebrelor separabile.

Teorema 2.1.2. (Zelinsky-Villamayor)Orice algebra separabila este spatiu vectorial de dimensiune finita.

Demonstratie: Fie R o algebra separabila. Atunci exista z =n

∑i=1

ai ⊗ bi ∈ Re

idempotent de separabilitate. Putem alege n minim în scrierea lui z si astfel,bii sînt liniar independenti. Completam acest set la o baza a kR si fie αiibaza duala (amintim, αi(bj) = δij).

Stimn

∑i=1

rai ⊗ bi =n

∑i=1

ai ⊗ bir (cf. Prop. 2.1.1.2). Aplicam acestei egalitati

IdR ⊗ αj si obtinem:n

∑i=1

rai ⊗ αj(bi) =n

∑i=1

ai ⊗ αj(bir). Conform definitiei bazei

duale, ramîne: raj =n

∑i=1

ai ⊗ αj(bir).

Fie I = 〈a1, . . . , an〉, subspatiul generat de acesti ai ∈ R. Se vede ca I ≤R

R si, în plus, dimk I < ∞. Atunci dimk(Endk(I)) < ∞. Vom identifica R cuun subspatiu al Endk(I) (printr-o scufundare de spatii vectoriale) si aceasta vafinaliza demonstratia.

Fie φ : R → Endk(I), φ(r) = fr, unde fr(x) = rx. Se vede ca φ este morfismde spatii vectoriale. Aratam ca e injectiv. Daca r ∈ Kerφ, atunci fr = 0 ⇒fr(x) = 0, ∀x ∈ R. Daca luam, în particular, x = 1, obtinem contradictia 1 = 0.

Asadar, R ' φ(R) ≤ Endk(I), care este spatiu vectorial finit dimensional.

Propozitie 2.1.1. Orice algebra separabila este semisimpla (si la stînga, si ladreapta).

Demonstratie: Aratam la stînga, un argument întru totul similar functionîndla dreapta.

Fie diagrama:

(R⊗k R)⊗R Mm⊗R M

//

u'

R⊗R Mσ⊗R Moo

v'

R⊗k M

µM// Mσ′oo

Fie σ sectiune a înmultirii R ⊗ R m→ R. Pentru orice R M, în diagrama demai sus, aplicatiile sînt: u((x ⊗k y) ⊗R m) = x ⊗ ym, v(x ⊗R m) = xm si µM

11

2. Algebre separabile

defineste structura de modul stîng.Definim σ′ = u (σ ⊗R M) v−1. Deoarece toate aplicatiile implicate sînt

morfisme de R-module stîngi, si σ′ este. În plus, deoarece σ este sectiune pentrum, rezulta ca σ′ este sectiune pentru µM. Atunci M este sumand direct în R⊗kM, care este R-modul stîng liber, deci M e proiectiv.

2.2. Extinderile Hochschild ale unei algebre

Vrem sa dam o interpretare celui de-al doilea grup de coomologie Hochs-child al unei algebre si vom proceda într-o maniera similara cu cea a introdu-cerii functorilor Ext în [McLHom], de exemplu. Pentru aceasta, vom introducenotiunea de extindere Hochschild a unei algebre, dupa cum urmeaza.

Fie R o k-algebra si p : E → R un morfism surjectiv de algebre, astfel încît(Kerp)2 = 0⇔ x · y = 0, ∀x, y ∈ Kerp. Cum aplicatia p este surjectiva si liniara,rezulta ca exista σ : R → E, liniara, asa încît p σ = IdR. Vom pune o structurade R-bimodul pe Kerp, cu ajutorul lui σ.

Fie x ∈ Kerp si y ∈ R. Definim r · x = σ(r) · x si x · r = x · σ(r).Folosind faptul ca σ este morfism de algebre, avem r(r′x)− (rr′)x = [σ(r)σ(r′)−

σ(rr′)]x ∈ Kerp si cum (Kerp)2 = 0, rezulta ca am definit o structura de R-modul stîng pe Kerp. Similar la dreapta.

Aratam acum ca structura este corect definita, i.e. ca nu depinde de alegereasectiunii σ. Într-adevar, daca σ′ : R → E este o alta sectiune k-liniara a lui p,atunci σ(r)− σ′(r′) ∈ Kerp si [σ(r)− σ′(r′)]x = x[σ(r)− σ′(r′)] = 0, deci struc-tura depinde doar de p.

Am aratat, deci, ca exista o structura de R-bimodul pe Kerp, în conditiile demai sus. Facem acum legatura cu extinderile Hochschild.

Definitie 2.2.1. Fie M ∈R MR. Un morfism surjectiv de algebre p : E → Rastfel încît (Kerp)2 = 0 împreuna cu un izomorfism de R-bimodule u : M →Kerp se numeste extindere Hochschild a lui R cu nucleu M.

Vom nota scurt extinderea conform acestei definitii cu (E, p, M, u), subîntelegîndu-se ce este fiecare. O caracterizare echivalenta si imediata este urmatoarea:

Observatie 2.2.1. Fie (E, p, M, u) ca mai sus. Atunci avem sirul exact:

0 // M i //

u' ""

Ep // R // 0

Kerp?

j

OO

Deci a da o extindere Hochschild a lui R cu nucleu M este echivalent cu a da unsir exact de forma 0→ M i→ E

p→ R → 0 astfel încît p e morfism de algebre cu(Kerp)2 = 0, iar i : M→ Kerp este izomorfism de R-bimodule.

12

2.2. Extinderile Hochschild ale unei algebre

Definitie 2.2.2. Doua extinderi Hochschild ale unei algebre sînt echivalente,daca, în diagrama de mai jos

0 // M // E

f

// R // 0

0 // M // E′ // R // 0

exista aplicatia f care face patratele comutative.

Vom nota Ext(R, M) multimea extinderilor Hochschild ale lui R cu nucleu M,factorizata la relatia de echivalenta de mai sus. Clasa de echivalenta a extinderiiE ∈ Ext(R, M) o vom nota E.

Rezultatul principal al acestei sectiuni este ca extinderile Hochschild ale luiR cu nucleu M sînt în corespondenta bijectiva cu clasele de coomologie dinHH2(R, M). Enuntam acest rezultat si aratam care este corespondenta, fara odemonstratie detaliata, însa. Pentru demonstratia întreaga, se poate consulta[DS], p. 64-66.

Teorema 2.2.1. Ext(R, M) ' HH2(R, M).

Demonstratie: (Schita) Sa notam φ : Ext(R, M) → HH2(R, M) acest izomor-fism. El functioneaza astfel:

Fie E ∈ Ext(R, M). Alegem σ : R → E sectiune k-liniara a lui p : E → R.Definim aplicatia ωE : R⊗ R → R, ωE(x ⊗ y) = σ(xy)− σ(x)σ(y). Deoarecep este morfism de algebre si p σ = Id, pωE(x ⊗ y) = 0 ⇒ ImωE ⊆ Kerp =

Imi = i(M) ' M. Deci putem considera ωE : R⊗ R→ M, k-liniara.Acum, ωE este 2-cociclu, i.e. b2(ωE) = 0, deoarece

x ·ωE(y⊗ z)−ωE(xy⊗ z) + ωE(x⊗ yz)−ωE(x⊗ y) · z = 0, ∀x, y, z ∈ R,

ceea ce este adevarat, din structura de algebra pe M ⊆ I, data via σ.Similar cu independenta extinderii de alegerea sectiunii σ se arata si ca, ale-

gînd un ω′E corespunzator unei sectiuni σ′, obtinem ωE ≡ ω′E mod Imb1.Putem, atunci, defini φ : Ext(R, M)→ HH2(R, M), φ(E) = [ωE] ∈ HH2(R, M)

si se arata ca este bijectiva. Din cele de mai sus, rezulta imediat urmatorul:

Corolar 2.2.1. În conditiile de mai sus, clasa de coomologie a unei extinderi Ea lui R cu nucleu M este zero (extinderea este triviala) daca si numai daca existaσ : R→ E sectiune a lui p, care este morfism de algebre.

13

3

ALGEBRE FORMAL NETEDE


Definitie 3.1.1. Algebra R se numeste formal neteda daca HdimR ≤ 1.Echivalent, HH2(R, M) = 0, ∀R MR, sau, cf. Cor. 2.2.1, Ext(R,M)=0.

Similar cu teorema de caracterizare a algebrelor separabile pe care am prezentat-o (Teorema 2.1.1), avem si un rezultat pentru algebrele formal netede.

Teorema 3.1.1. Fie R o algebra. Urmatoarele afirmatii sînt echivalente:

1. R este formal neteda;

2. Pentru orice p : E → S morfism surjectiv de algebre, cu (Kerp)2 = 0 siorice f : R→ S morfism de algebre, exista g : R→ E morfism de algebre,astfel încît pg=f;

3. Pentru orice p : E→ S morfism surjectiv de algebre cu nucleu nilpotent siorice f : R→ S morfism de algebre, exista g : R→ E morfism de algebre,astfel încît pg=f.

Demonstratie: 1⇒ 2: Fie diagrama:

0 // M i // Ep // S // 0

Rg

__

f

OO

Rîndul de sus este o extindere Hochschild a lui S, cu nucleu M, iar R estealgebra presupusa formal neteda si fie f : R → S un morfism de algebre. Vremsa completam diagrama cu g : R→ E, morfism de algebre, cu pg = f .

Consideram E×S R = (e, r) ∈ E× R | p(e) = f (r), pull-back-ul (produsul

15

3. Algebre formal netede

fibrat) al aplicatiilor p si f . E usor de vazut ca E×S R este subalgebra a produ-sului direct de algebre E× R, cu adunarea si înmultirea pe componente.

Proiectia a doua p2 : E× R→ R induce morfismul p′ : E×S R→ R, surjectiv,

deoarece si p2 este. Fie M′ = Kerp′ si notam M′i′→ E×S R. Atunci avem sirul

exact (rîndul de sus):

0 // M′

u′

i′ // E×S R

u

p′ // R

f

// 0

0 // M i // Ep // S // 0

Definim u : E×S R→ E, prin u(e, r) = e, ∀(e, r) ∈ E×S R si u′ = u|M′ .Acum, pentru (e, r) ∈ E ×S R, f p′(e, r) = f (r) si pu(e, r) = p(e), deci

pu = f p′ si patratul din dreapta diagramei este comutativ.Fie (e, r) ∈ M′ = Kerp′ ⇒ p′(e, r) = 0 ⇒ r = 0. Dar (e, r) ∈ E ×S R si

f (r) = p(e), deci p(e) = 0 ⇒ e ∈ i(M). Atunci M′ = (e, 0) | e ∈ i(M). Dari(M) = Kerp′ ⇒ (i(M))2 = 0 ⇒ (M′)2 = 0. Putem defini acum o structura deR-bimodul pe M′, iar sirul de sus al diagramei anterioare se afla în Ext(R, M′).Dar cum R e formal neteda, Ext(R, M′) = 0, deci cele doua extinderi din dia-grama au aceeasi clasa, nula. Fie atunci σ′ o sectiune a lui p′, σ′ fiind morfismde algebre. Punem g = u σ′ si am terminat.2 ⇒ 1: Daca afirmatia din 2. este adevarata, atunci diagrama de mai jos estecomutativa:

Rg

f

Ep // S // 0

Luînd, în particular, f = IdR, avem ca orice extindere Hochschild e triviala(cu notatiile de mai devreme, pg = f ⇒ g = σ).1 ⇒ 3: Fie p : E → S morfism surjectiv de algebre si n ∈ N indicele denilpotenta al Kerp. Notam Kerp = I. Atunci p : E→ S poate fi descompus:

E = E/In pn−1→ E/In−1 pn−2→ E/In−2 pn−3→ · · · p2→ E/I2 p1→ E/I ' S

Morfismele (pi)i sînt surjective, fiind induse de proiectii canonice. Ele au nucleede forma Ik/Ik+1, k ≥ 2. Luînd x ∈ Ik−1/Ik, avem ca x2 = x2 = 0. (Într-adevar, punînd x = α + β, cu α ∈ Ik−1 si β ∈ Ik, atunci (α + β)2 = (α2 +

β2 ∈ I2k−2) + (αβ + βα ∈ I2k−1) ∈ Ik, deoarece sirul (Ik)k e descrescator, iar2k− 2, 2k− 1, 2k ≥ k, pentru k ≥ 2.)

Fie g0 = f . Inductiv, construim pe baza morfismelor (pk) morfismele gk :R→ E/Ik+1, astfel încît pk gk = gk−1. Atunci g = gn−1 e morfismul cautat.

16

3.2. Exemple de algebre formal netede


Vom prezenta aici cîteva exemple de algebre des întîlnite (algebra tensoriala,produsul liber de algebre si produsul tensorial de algebre) si vom demonstra caele sînt, de fapt, algebre formal netede, în sensul sectiunii anterioare.

3.2.1. Algebra tensoriala a unui bimodul

Amintim constructia algebrei tensoriale. Fie R o algebra si M un R-bimodul.Definim T0

R(M) = R, TnR(M) = M ⊗R M ⊗R · · · ⊗R M not

= M⊗Rn. AtunciTR(M) =

⊕n∈N

TnR(M).

Structura de algebra este data de:

r · (m1 ⊗R · · · ⊗R mk) = (rm1)⊗R m2 ⊗R · · · ⊗R mk;(m1 ⊗R · · · ⊗R mk) · r = m1 ⊗R · · · ⊗R (mkr);

(m1 ⊗R · · · ⊗R mk) · (mk+1 ⊗R · · · ⊗R mk+p) = m1 ⊗R · · · ⊗R mk+p.

Se poate observa cu usurinta ca R = T0R(M) este subalgebra a TR(M) si M =

T1R(M) este subbimodul al TR(M).De asemenea, se poate arata ca structura de algebra definita ca mai sus este

unica si algebra tensoriala TR(M) are urmatoarea proprietate de universalitate:

Teorema 3.2.1. Fie R, M ca mai sus. Fie S o algebra si f0 : R → S morfism dealgebre, f1 : M → S morfism de R-bimodule (structura de R-bimodul pe S estevia f0). Atunci exista si este unic f : TR(M)→ S morfism de algebre astfel încîtf |T0

R(M)= f0 si f |T1R(M)= f1.

Conform acestei proprietati, pentru a da o aplicatie de algebre de la algebratensoriala a unui bimodul la o alta algebra, este suficient sa dam un morfismde algebra între algebra "de baza" (R, aici) si algebra cea noua, precum si unmorfism de bimodule de la bimodulul al carei algebra tensoriala se considerala algebra noua (pe care se pune o structura de bimodul via prima aplicatie).

În aceste conditii, avem urmatoarea:

Teorema 3.2.2. Fie R o algebra formal neteda si M un R-bimodul proiectiv(echivalent, Re-modul proiectiv, conform Prop.1.1.1).

Atunci TR(M) este formal neteda. În particular, rezultatul are loc pentru oricealgebra R separabila.

Demonstratie: Fie p : E→ S un morfism surjectiv de algebre, cu nucleu nilpo-tent. Vrem sa folosim Prop. 2.1.1.3, adica ∀ f : TR(M)→ S, ∃g : TR(M)→ E a.î.pg = f .

Fie incluziunea canonica i : R → TR(M). Cum R e formal neteda, rezulta dinProp. 2.1.1 ca exista g0 : R → E morfism de algebre, cu pg0 = f i. Putem face ER-bimodul via g0 si S devine R-bimodul, via f i.

Sa mai facem observatia si ca p este epimorfism de bimodule. Fie j : M →TR(M). Cum M e proiectiv si f j este morfism de R-bimodule, rezulta ca existag1 : M→ E, cu pg1 = f j.

17

3. Algebre formal netede

Acum, din proprietatea de universalitate a algebrei tensoriale (Teorema 3.2.1)rezulta ca exista g : TR(M)→ E, astfel încat g |R= g0, g |M= g1. Atunci pg = f ipe R si pg = f j pe M si, din partea de unicitate a Teoremei 3.2.1, pg = f .

Observatie 3.2.1. Ca un caz particular, fie R = k si V un k-spatiu vectorial.Atunci Tk(V) este formal neteda si k e separabila. Dar Tk(V) nu poate fi finit di-mensionala, deoarece toate componentele Tn

k (V) sînt nenule, ∀n. Atunci Tk(V)

nu e separabila (ar contrazice Teorema 2.1.2), deci HdimTk(V) = 1.

3.2.2. Produsul liber de algebre

Fie R, S doua k−algebre. Vom defini produsul liber al lor, notat R ∗ S, caredevine k-algebra, din însusi modul în care va fi definita si va avea o proprietatede universalitate similara cu cea a algebrei tensoriale. Sa detaliem constructia.

Fie V = k(R) ⊕ k(S) spatiul vectorial de baza (er, fs) | r ∈ R, s ∈ S. Fieaplicatiile jr : R→ Tk(V), jR(r) = er si jS : S→ Tk(V), jS(s) = fs.

Consideram acum I idealul lui Tk(V) generat de toate elementele de forma:

er+r′ − er − er′ err′ − er · er′ eαr − αer e1R − 1kfs+s′ − fs − fs′ fss′ − fs · fs′ fαs − α fs f1S − 1k

pentru orice r, r′ ∈ R, s, s′ ∈ S, α ∈ k.Definim R ∗ S = Tk(V)/I. Fie iR = π jR, iS = π jS, unde π este proiectia

canonica Tk(V) → R ∗ S. Se vede ca iR si iS sînt morfisme de algebra. Avematunci urmatoarea proprietate de universalitate:

Teorema 3.2.3. Fie R, S doua algebre. Produsul lor liber R ∗ S este o algebra,împreuna cu doua morfisme de algebra iR : R → R ∗ S, iS : S → R ∗ S astfelîncît pentru orice algebra T si orice morfisme de algebra u : R → T, v : S → T,exista un unic morfism de algebre w : R ∗ S→ T, astfel încît wiR = u si wiS = v.

Cînd nu exista riscul de confuzie, vom numi cele doua aplicatii iR si iS incluziuni.Cu aceasta constructie, care are proprietatea de universalitate de mai sus, de-

monstram urmatoarea:

Teorema 3.2.4. Fie R, S doua algebre formal netede. Atunci produsul lor liber,R ∗ S, este o algebra formal neteda.

Demonstratie: Fie p : E→ T morfism surjectiv de algebre, cu nucleu nilpotentsi fie un morfism de algebre f : R ∗ S → T. Vrem sa folosim din nou Prop.2.1.1.3, adica sa existe g : R ∗ S→ R un morfism de algebre, astfel încît pg = f .

Fie iR si iS incluziunile de mai sus. Cum R e formal neteda, exista u : R →E, pu = f iR. La fel, cum S e formal neteda, exista v : S → E, pv = f iS. Atunci,din proprietatea de universalitate a produsului liber de algebre, Teorema 3.2.3,exista si este unic g : R ∗ S→ E, astfel încît giR = u si giS = v.

Dar acum, (pg)iR = f iR si (pg)iS = f iS si, din partea de unicitate, pg = f .

18


3.2.3. Produsul tensorial de algebre

Fie R, S doua k algebre si S⊗ R = S⊗k R. Structura de algebra este data "pecomponente", i.e. (s⊗ r) · (s′ ⊗ r′) = ss′ ⊗ rr′.

Cu aceasta, avem urmatoarea:

Teorema 3.2.5. Fie R, S doua k-algebre. Daca S este separabila si R e formalneteda, atunci S⊗ R este o algebra formal neteda.

Demonstratie: Fie p : E→ S⊗ R un morfism surjectiv algebre, cu (Kerp)2 = 0.Vrem sa folosim Prop. 2.1.1.2 si Cor. 2.2.1, adica vrem sa gasim o sectiune a luip, care sa fie morfism de algebre.

Cum S e separabila, în particular, e formal neteda, deci exista u : S→ E astfelîncît pu = iS, unde iS : S → S⊗ R, iS(s) = s⊗ 1R. Acum, E este S-bimodul viau si S⊗ R devine S-bimodul, cu s · (s′ ⊗ r) = (ss′)⊗ r, (s′ ⊗ r) · s = (s′s)⊗ r.Atunci avem sirul exact:

0→ Kerp→ E→ S⊗ R→ 0 în RMR.

Dar HH1(S, Kerp) = 0, deoarece S e separabila, atunci în coomologie, sirul demai sus devine:

0→ HH0(S, Kerp)→ HH0(S, E)→ HH0(S, S⊗ R)→ 0.

Dar stim ca primul grup de coomologie Hochschild este grupul invariantilor laactiunea "coeficientului" (cf. calculelor de la finalul sectiunii 2.3). Atunci siruldevine:

0→ (Kerp)S → ES → (S⊗ R)S → 0.

Dar ((Kerp)S)2 ⊆ (Kerp)2 = 0, deci sirul este o extindere din Ext((S⊗R)S, (Kerp)S).Fie iR : R → S⊗ R, iR(R) = 1S ⊗ r. Dar iR(R) ⊆ (S⊗ R)S si cum R e formalneteda, rezulta ca exista v : R → ES, cu pv = iR. Deoarece v(R) ⊆ ES ⇒v(r)u(s) = u(s)v(r) si, din Teorema 3.2.1 exista un unic f : S ⊗ R → E ast-fel încît f iR = v, f iS = u. Atunci, din (p f )iR = iR si (p f )iS = iS, rezulta cap f = IdS⊗R.

19

4

PERECHI KOSZUL

În acest capitol, vom studia (co)omologia unor obiecte noi, anume coinelegraduate. Vom face acest lucru prin intermediul unor perechi pe care le vomnumi aproape Koszul, formate dintr-o algebra si o coalgebra, ambele graduate,si cu o anumita proprietate de legatura între ele. Prezentînd apoi ce înseamnao rezolutie a unui coinel graduat într-o categorie de comodule, vom putea cal-cula grupurile de omologie. Adaugînd o proprietate suplimentara (de naturaomologica) perechilor aproape Koszul, vom defini perechile Koszul si vom re-gasi cu ajutorul lor algebrele Koszul (patratice) din [BGS] sau [PP]. Prezentareaurmareste îndeaproape abordarea din [JPS1] si [BGS].

4.1. Preliminarii

Începem prezentarea prin a aminti definitiile si proprietatile elementare aleobiectelor pe care le vom studia în continuare: R-inele, R-coinele (pe cazul gra-duat, dar si negraduat), unde R este un inel semisimplu, C-comodule (unde Ceste o R-coalgebra) s.a.

A se observa faptul ca vom lucra peste un inel (necomutativ) semisimplu, R,pe care îl consideram fixat. Aceasta prezentare extinde, deci, cazul structurilorpeste corpuri comutative (asa cum s-a procedat în capitolele anterioare).

Ca notatii, vom nota aplicatia identica a unui obiect X prin IX. Produsul ten-sorial neindexat va însemna ⊗R.

Definitie 4.1.1. Un R-inel este o algebra asociativa si unitara în categoria R-bimodulelor, RMR.

Pentru a clarifica si mai mult definitia, amintim exemplul cel mai des întîlnit,anume din categoria k-spatiilor vectoriale (k-corp comutativ, vezi, de ex. foartebuna prezentare din [DNR], Cap. 1.). O algebra în categoria k-spatiilor vectori-ale, (monoidala fata de un produs tensorial ⊗) C este un triplet (A, M, u), cu A

21

4. Perechi Koszul

obiect în C, M un morfism A⊗ A→ A, iar u este un morfism A→ k, astfel încîtdiagramele sînt comutative (⊗ = ⊗k):

A⊗ A⊗ AM⊗IA //

IA⊗M

A⊗ A

M

A⊗ A M // A

Aceasta proprietate este numita proprietatea de asociativitate a algebrei, iar

A⊗ A

M

k⊗ A

u⊗IA

66

'))

A⊗ k

IA⊗uhh

'uuA

diagrama care reprezinta proprietatea unitatii a morfismului u (i.e. faptul ca eljoaca rol de unitate, atît la stînga, cît si la dreapta).

Vedem, deci, ca un R-inel înseamna un inel A, care este, în acelasi timp siR-bimodul, astfel încît structurile sa fie compatibile.

Definitie 4.1.2. Un R-inel A se numeste graduat (sau N-graduat) daca ad-mite o descompunere de forma A =

⊕n∈N

An în suma directa de R-bimodule si

înmultirea inelului A, m : A⊗ A→ A duce Ap ⊗ Aq în Ap+q, ∀p, q ∈N.

Astfel definit, se vede ca morfismul m induce, la nivel de componente, o apli-catie R-biliniara mp,q : Ap ⊗ Aq → Ap+q, ∀p, q ∈ N. Daca aplicatiile mp,q sîntsurjective, numim R-inelul tare graduat. A se observa ca, daca pe cazul graduatputeam scrie Am · An ⊆ Am+n, în cazul tare graduat, incluziunea se transformaîn egalitate.

Definitie 4.1.3. Un R-inel A se numeste conex daca este graduat si A0 = R.

Vom nota idealul generat de componentele omogene nenule prin A =⊕n>0

An.

Avem ca înmultirea m de pe A induce o aplicatie de bimodul m : A⊗ A → A.De asemenea, vom nota proiectia A→ An prin πn

A.O constructie similara se poate face si peste Rop, inelul opus, iar A devine si

un Rop-inel (cu alta structura, desigur, data de compunerea structurii de R-inelcu o aplicatie de forma τV,W : V ⊗Rop W → W ⊗R V, definita pentru orice R-bimodule V, W). Multimea A înzestrata cu aceasta structura o vom nota Aop sio vom numi opusul Rop-inelului A.

Dualizînd, obtinem urmatoarele:

22

4.1. Preliminarii

Definitie 4.1.4. Un R-coinel este o coalgebra coasociativa si counitara, în cate-goria RMR.

Pentru clarificare, amintim definitia coalgebrei în categoria k-spatiilor vecto-riale, care se obtine dualizînd constructia din kM ce a urmat definitiei 4.1.1.Asadar, o coalgebra în categoria k-spatiilor vectoriale, este un triplet (C, ∆, ε),format dintr-un k-spatiu vectorial C, un morfism de spatii vectoriale ∆ : C →C ⊗k C (numit comultiplicare) si un morfism de k-spatii vectoriale ε : C → k,astfel încît diagramele de mai jos sînt comutative:

C ∆ //

∆

C⊗k C

∆⊗k IC

C⊗k CIC⊗k∆ // C⊗k C⊗k C

(comutativitatea acestei diagrame se mai numeste coasociativitatea coalgebrei C)si

C'

uu∆

'

))k⊗k C C⊗k C

C⊗k Cε⊗k IC

hhIC⊗ε

55

(comutativitatea celor doua triunghiuri se cheama proprietatea counitatii ε).Notatia consacrata pentru imaginea unui element c ∈ C prin comultiplica-

rea ∆ este notatia sigma, a lui Sweedler, anume ∆(c) = ∑ c1 ⊗k c2. Cu aceastanotatie, coasociativitatea se scrie ∑ c11 ⊗k c12 ⊗k c2 = ∑ c1 ⊗k c21 ⊗k c22 , iar pro-prietatea counitatii: ∑ ε(c1)c2 = ∑ c1ε(c2) = c.

În aceasta categorie, morfismele sînt urmatoarele: Daca (C, ∆C, εC) si (D, ∆D, εD)

sînt doua k-coalgebre (i.e. coalgebre în categoria kM), iar f : C → D este unmorfism k-liniar, atunci el este morfism de coalgebre, daca si numai daca faceurmatoarea diagrama comutativa:

Cf //

∆C

D

∆D

C⊗k Cf⊗k f // D⊗k D

23

4. Perechi Koszul

Definitie 4.1.5. Un R-coinel (C, ∆, ε) se numeste graduat daca ε |Cm= 0, ∀m >

0 si comultiplicarea ∆(Cn) ⊆n⊕

p=0

Cp ⊗k Cn−p, ∀n ∈ N. Daca, în plus, C0 = R,

spunem ca avem un coinel conex.

Similar cu cazul dual, vom nota proiectia lui C pe Cn prin πCn .

Daca avem un R-coinel graduat, atunci comultiplicarea sa este formata dintr-o familie de aplicatii de R-bimodul ∆p,q : Cp+q → Cp ⊗k Cq si, luînd în calculfaptul ca notatia sigma introduce indici suplimentari, se impune adaptarea eila acest caz. Vom nota, deci ∆p,q(c) = ∑ c1,p ⊗k c2,q, întelegînd ca prima com-ponenta a diagonalizarii provine din Cp, iar a doua, din Cq. Proprietatea decoasociativitate a unui R-coinel graduat se scrie, atunci (pentru toti p, q, r ∈ N

si c ∈ Cp+q+r):

∑ c1,p+q1,p ⊗ c1,p+q2,q ⊗ c2,r = ∑ c1,p ⊗ c2,q+r1,q ⊗ c2,q+r2,r = ∑ c1,p ⊗ c2,q ⊗ c3,r.

De asemenea, proprietatea counitatii, în cazul graduat se scrie:

∑ ε(c1,0)c2,n = ∑ c1,nε(c2,0) = c, ∀c ∈ Cn.

Ca si în celalalt caz, putem defini o structura opusa de Rop-coinel, cu aceeasicounitate, dar cu comultiplicarea compusa cu inversa aplicatiei (în notatiile demai sus) τ−1

C,C. Structura aceasta se va nota cu Cop.Vom mai folosi, de asemenea, si notiunea de comodule, peste un R-coinel C.

Avem urmatoarele:

Definitie 4.1.6. Un C-comodul stîng M este o pereche (M, Mρ) formata dintr-un R-modul stîng M si un morfism de module stîngi Mρ : M → C⊗M astfelîncît diagramele urmatoare sa fie comutative:

MMρ

//

Mρ

C⊗M

∆⊗IM

C⊗M

IC⊗ Mρ// C⊗ C⊗M

si M

Mρ

'

))R⊗M

C⊗Mε⊗IM

55

Notatia sigma pentru comodule stîngi este Mρ(m) = ∑ m−1 ⊗m0.Similar se defineste si conceptul de C-comodul drept, ca fiind o pereche (M, ρM),

care satisface proprietatile corespunzatoare. Notatia sigma pentru comoduledrepte este ρM(m) = ∑ m0 ⊗m1.

În categoria comodulelor drepte (de exemplu), un morfism între (M, ρM) si

24

4.2. Perechi aproape Koszul

(N, ρN) este o aplicatie R-liniara g : M→ N care face diagrama comutativa:

Mg //

ρM

N

ρN

M⊗ C

g⊗IC // N ⊗ C

(4.1.1)

Un C − bicomodul M înseamna o multime pe care s-a dat o structura de C-comodul drept (notata ρM), o structura de C-comodul stîng (notata Mρ) si întreele exista relatia de compatibilitate ( Mρ⊗ IC) ρM = (IC ⊗ ρM) Mρ.

Consideram cunoscut faptul ca în categoria (bi)comodulelor, epimorfism în-seamna morfism surjectiv, monomorfism înseamna morfism injectiv, deci izo-morfism înseamna morfism bijectiv.

Vom nota categoriile de C-module stîngi, drepte si C-comodule prin CM,MC, respectiv CMC.


În cele ce urmeaza, vom introduce notiunea de perechi aproape Koszul, for-mate dintr-un R-inel si un R-coinel, cu o anumita legatura între ele. Apoi vomarata ca, dat un R-inel, exista (si chiar "la îndemîna") un R-coinel, care sa între-geasca perechea aproape Koszul, precum si constructia duala. Vom caracterizaomologic aceste perechi, prin intermediul rezolutiilor în diverse categorii (demodule, comodule, bimodule si bicomodule), iar în finalul sectiunii, vom rea-liza o legatura între toate rezolutiile asociate.

Definitie 4.2.1. Spunem ca o pereche (A, C) se numeste aproape Koszul, dacaA este un R-inel conex, C este un R-coinel conex si exista un izomorfism R-biliniar θC,A : C1 → A1, astfel încît morfismul format din compunerea de maijos sa fie nul:

C2∆1,1−−→ C1 ⊗ C1

θC,A⊗θC,A−−−−−→ A1 ⊗ A1 m1,1

−−→ A2. (4.2.1)

Cu ajutorul notatiei sigma pentru cazul graduat, nulitatea morfismului demai sus se poate scrie si:

∑ θC,A(c1,1)θC,A(c2,1) = 0, ∀c ∈ C2. (4.2.2)

Desigur, data o pereche aproape Koszul (A, C), i se asociaza canonic o pere-che aproape Koszul (Aop, Cop) (de obiecte considerate cu structuri peste Rop),iar izomorfismul din definitie este θCop,Aop .

În continuare, vom folosi rezolutia bar (normalizata) a lui R în categoriaMA.Pentru a reaminti constructia acestei rezolutii, indicam [Rotman], p. 528 pentruo constructie "naturala", calculatorie, în categoria grupurilor, [Weibel], p. 283pentru o abordare categoriala folosind (co)monade, aplicata în categoria gru-purilor si modulelor sau [McLCat], p. 137, 180, pentru constructia categoriala,

25

4. Perechi Koszul

cea mai generala. De asemenea, vom prezenta un rezumat cuprinzator al prin-cipalelor constructii si rezultate necesare în anexa. Scopul este sa aratam ca,dat un R-inel A, conex, tare graduat, exista un R-coinel C care face ca perechea(A, C) sa fie aproape Koszul.

Folosind rezultatele din sectiunea a treia a anexei, avem ca rezolutia bar nor-malizata a lui R în categoriaMA, notata (β

r•(A), δ•) este formata din sirul exact

urmator:

0← Rδ0←− A

δ1←− A⊗ A← · · · ← A⊗(n−1) ⊗ A δn←− A⊗n ⊗ A← . . . (4.2.3)

iar diferentialele sînt δ0 = π0A si δn(a1 ⊗ · · · ⊗ an ⊗ an+1) =

n

∑i=1

(−1)ia1 ⊗ · · · ⊗

aiai+1 ⊗ · · · ⊗ an+1.De asemenea, conform [Weibel], p. 283 (redat si în anexa), sirul β

r• este exact

si formeaza o rezolutie proiectiva a lui R. Aceasta deoarece am pornit cu Rinel semisimplu, deci A⊗• este proiectiv în MR, deci si A⊗• ⊗ A este proiec-tiv, în MA. Atunci omologia (Hochschild a) complexului bar normalizat aso-ciat este data de aplicarea functorului TorA

• (R, R). Asadar, dupa tensorizare ladreapta cu R si facînd identificarile naturale, obtinem complexul (Ω•(A), ∂•),unde Ωn(A) = A⊗n

(cu conventia A⊗0= R). Aplicatiile sînt: ∂1 = 0, iar

∂n = δn−1 |Ωn(A). Se observa, de asemenea, ca Ω•(A) = βr•(A)/A.

Vom folosi notatiile Tn(A) = Hn(Ω•(A)) = TorA• (R, R) si T(A) =

⊕n∈N

Tn(A).

Clasa de omologie a lui x ∈ A în T1(A) o vom nota [x].Similar, avem si rezolutia normalizata bar la stînga, definita prin β

l•(A) =

βr•(Aop).

Vom arata acum ca, dat un R-inel, în putem gasi "perechea", în sens aproapeKoszul. Amintim din sectiunea 3.2.1 ca, dat un bimodul, putem construi alge-bra tensoriala asociata, care are o structura de algebra într-adevar. Mai mult, datun R-bimodul V, notam Tc

R(V) =⊕n∈N

V⊗n algebra tensoriala în sensul dezvol-

tat în sectiunea 3.2.1. Indicele superior c apare deoarece dam o structura decoalgebra (sau de R-coinel graduat) graduata pe algebra tensoriala. Fie ∆p,q

izomorfismul obisnuit V⊗(p+q) '−→ V⊗p ⊗ V⊗q. Aceasta va fi comultiplicarea,iar counitatea este proiectia lui Tc

R(V) pe R, care este componenta omogena degrad zero. E usor de verificat ca într-adevar am definit o structura de coalge-bra, i.e. ca avem o comultiplicare coasociativa si ca este respectata proprietateacounitatii. Pregatim acum rezultatul anuntat.

Lema 4.2.1. Exista o structura canonica de R-coinel-lant (adica de R-coinel încategoria complexelor de lanturi de coinele) pe Ω(A) =

⊕n∈N

A⊗n. În particular,

T(A) este R-coinel conex, iar T1(A) = Coker(m : Ω2(A)→ Ω1(A)).

Demonstratie: Demonstratia este oarecum tehnica, asa ca vom prezenta ratio-namentul principal, indicînd ca referinte, pentru detalii, [JPS1], Lema 1.7, p. 4

26


sau [PP], Capitolul 1.1.Sa observam ca Ω(A) =

⊕n∈N

si TcR(A) au aceleasi componente omogene, deci

constituie acelasi R-bimodul. Deci si Ω(A) este un R-coinel conex, graduat, custructura de pe Tc

R(V) de mai sus, cu V = A.Pentru a arata ca Ω(A) este chiar R-coinel-lant, sa amintim ca avem o ca-

tegorie monoidala, aceea a complexelor de lanturi de R-bimodule, cu produ-sul tensorial obisnuit. Astfel, produsul tensorial al doua complexe de laturide bimodule (C•, dC

• ) si (D•, dD• ) este lantul (K•, d•), care are componentele

Kn =n⊕

p=0

Cp ⊗ Dn−p si dn = dCp ⊗ Dn−p + (−1)pCp ⊗ dD

n−p. Astfel, comulti-

plicarea ∆p,q de pe Ω(A), care este aceeasi cu cea de pe TcR(A) este chiar un

morfism de complexe de lanturi. Counitatea ε : Ω(A) → R, care este proiectiape componenta zero, este si ea morfism de complexe, putînd-o privi ca zero pecomponentele de grad nenul, unde R este un complex concentrat în grad zero.

Deci Ω(A) este coinel-lant. Iar bimodulele de omologie formeaza un coinelgraduat, de unde T(A) este R-coinel graduat, conex.

Avem acum rezultatul anuntat:

Propozitie 4.2.1. Dat A un R-inel conex, tare graduat, atunci (cu notatiile demai sus) perechea (A, T(A)) este aproape Koszul.

Demonstratie: Sa reamintim complexul:

Ω•(A) : 0← R∂1=0←−− A ∂2←− A⊗ A

∂3←− . . . .

Atunci, conform definitiei, T1(A) = H1(Ω•(A)) =Ker∂1

Im∂2. Avem evident Ker∂1 =

Ker0 = A. Din nou conform definitiei, ∂2 = δ1 |Ω2(A), deci ∂2(a1 ⊗ a2) =

−a1a2 = −m1,1, ∀a1,2 ∈ A. Cum A =⊕n≥1

An, obtinem ca m1,1(A⊗ A) = xy |

x, y ∈ A = 〈xy | x ∈ Ap, y ∈ Aq, p, q ∈ N∗〉. Deoarece A e tare graduata,avem egalitatea Ap · Aq = Ap+q, ∀p, q ∈N, deci acoperirea R-liniara de mai suspoate fi scrisa si 〈xy | x ∈ Ap, y ∈ Aq, p, q > 0〉 = A2⊕ A3⊕ A4⊕ · · · = A/A1,de unde T1(A) = A1.

Mai mult, avem ca proiectia canonica π1A : A → A/A1 induce un izomor-

fism de R-bimodule θ(T(A),A) : T1(A) → A1. De asemenea, daca ω ∈ T2(A),

atunci exista ζ ∈ Kerm, cu [ζ] = ω, de unde ζ =n

∑i=1

xi ⊗ yi, pentru niste

x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ A si astfel încît m(ζ) =n

∑i=1

xiyi = 0. Prin definitie,

∆1,1(ω) =n

∑i=1

[xi] ⊗ [yi]. Dar, deoarece xiyi − π1A(xi)π

1A(yi) ∈ ∑

n>2An, avem

ca:

27

4. Perechi Koszul

n

∑i=1

θT(A),A([xi])θT(A),A([yi]) =n

∑i=1

π1A(xi)π

1A(yi) = π2

A(n

∑i=1

xiyi) = 0.

si astfel θT(A),A verifica ecuatia de legatura a perechii aproape Koszul.

În continuare, vom asocia unei perechi aproape Koszul (A, C) trei complexede colanturi, în categorii diferite: unul de C-comodule stîngi graduate, unul deC-comodule drepte graduate, iar combinîndu-le pe cele doua, obtinem unul deC-bicomodule graduate. Avem nevoie de urmatoarea:

Lema 4.2.2. Fie V un R-modul drept. Atunci V ⊗ C este un C-comodul dreptinjectiv. Similar si pentru C-comodule stîngi.

Demonstratie: Fie transformarea naturala ϑM,V : HomR(M, V)→ HomC(M, V⊗C), definita prin ϑM,V( f ) = ( f ⊗ IC) ρM, ∀ f ∈ HomR(M, V), unde ρM estestructura de C-comodul drept a lui M. Consideram si aplicatia ϕ : HomC(M, V⊗C) → HomR(M, V), definita prin ϕ(g) = (V ⊗ ε) g, ∀g ∈ HomC(M, V ⊗ C),unde ε este counitatea lui C. Aratam ca aplicatiile acestea sînt inverse. Pentrusimplitate, vom omite indicii aplicatiei ϑM,V . Avem, deci (pentru m ∈ M):

(ϕϑ)( f )(m) = ϕ(( f ⊗ IC) ρM)(m)

= (V ⊗ ε) [( f ⊗ IC) ρM](m)

= (V ⊗ ε) ( f ⊗ IC)(∑ m0 ⊗m1)

= (V ⊗ ε)(∑ f (m0)⊗m1)

= ∑ f (m0)⊗ ε(m1)

= ∑ f (ε(m1)m0)

= f (m).

Pentru penultima egalitate am folosit R-balansarea produsului tensorial sipentru ultima, proprietatea counitatii. Cealalta compunere este:

(ϑϕ)(g)(m) = ϑ((V ⊗ ε) g)(m)

= [((V ⊗ ε) g)⊗ IC]ρM(m)

= (((V ⊗ ε) g)⊗ IC)(∑ m0 ⊗m1)

= ∑((V ⊗ ε) g)(m0)⊗m1

= ∑(V ⊗ ε)(g(m0))⊗m1.

Folosind faptul ca g este morfism de comodule, adica face diagrama urma-toare comutativa:

M

ρM

g // V ⊗ C

IV⊗∆C

M⊗ Cg⊗IC // V ⊗ C⊗ C

28


avem ca (IV ⊗ ∆C)g = (g⊗ IC)ρM, deci urmatoarele relatii trebuie sa fie egale

(∀m ∈ M si pentru g(m) = ∑i

vi ⊗ ci, vi ∈ V, ci ∈ C):

(IV ⊗ ∆C)(g)(m) = (IV ⊗ ∆C)(∑i

vi ⊗ ci) = ∑i

∑ vi ⊗ ci1 ⊗ ci2 ;

(g⊗ IC)ρM(m) = (g⊗ IC)(∑ m0 ⊗m1) = ∑ g(m0)⊗m1.

Înlocuind mai sus, avem:

∑(V ⊗ ε)(g(m0))⊗m1 = ∑i

∑(V ⊗ ε)(vi ⊗ ci1 ⊗ ci2)

= ∑i

∑ vi ⊗ ε(ci1)⊗ ci2

= ∑ vi ⊗ ci

= g(m).

unde la penultima egalitate am folosit din nou proprietatea counitatii.Cum cele doua transformari sînt izomorfisme, obtinem ca functoriul HomC(−, V⊗

C) si cel obtinut din compunerea HomR(−, V) U de laMC la categoria gru-purilor abeliene sînt izomorfi (am notat cu U functorul uituc MC → MR).Deoarece R este inel semisimplu, deducem ca HomC(−, V ⊗ C) este exact, deo-arece HomR(M, V) este.

Asociem acum complexele de comodule astfel: fie (A, C) o pereche aproapeKoszul. Punem Kn

l (A, C) = C ⊗ An, care devine C-comodul stîng cu comulti-plicarea evidenta ∆⊗ An, unde ∆ este si structura de coalgebra pe C. Graduareape Kn

l (A, C) este indusa de N-graduarea de pe C, "neglijînd" pe An. Compo-nenta omogena de grad p este, deci, (Kn

l )p = Cp−n ⊗ An.Fie diferentiala dn

l : Knl (A, C) → Kn+1

l (A, C) definita ca fiind zero pe compo-nenta omogena de grad zero, i.e. C0 ⊗ An, iar pentru p > 0, c⊗ a ∈ Cp ⊗ An,definim:

dnl (c⊗ a) = ∑ c1,p−1 ⊗ θC,A(c2,1)a,

unde θC,A : C1 → A1 amintim ca este morfismul de legatura al perechii aproapeKoszul (ec. 4.2.1). Se vede din definitie ca dn

l (Cp ⊗ An) ⊆ Cp−1 ⊗ An+1, deci dnl

este un morfism graduat.Pentru complexul drept, reamintim ca, data o pereche aproape Koszul (A, C),

îi asociem canonic o pereche aproape Koszul opusa, (Aop, Cop), unde structu-rile sînt luate peste Rop. Putem considera atunci, prin definitie, K•r (A, C) =

K•(Aop, Cop), iar, pe componente, folosind izomorfismul Cop ⊗Rop (Aop)n 'An ⊗R C, avem Kn

r (A, C) = An ⊗R C. De asemenea, diferentiala are drept com-ponenta de grad n aplicatia dn

r : An ⊗ C → An+1 ⊗ C care este nula pe compo-nenta omogena de grad zero An ⊗ C0, iar pentru p > 0, a⊗ c ∈ An ⊗ Cp,

dnr (a⊗ c) = ∑ aθC,A(c1,1)⊗ c2,p−1.

29

4. Perechi Koszul

Se vede si de data aceasta ca avem de-a face cu un morfism graduat.Toata aceasta constructie devine foarte utila în virtutea rezultatului urmator.

Propozitie 4.2.2. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul. Atunci, cu notatiile demai sus, (K•l (A, C), d•l ) si (K•r (A, C), d•r ) sînt complexe de C-comodule stîngi,respectiv drepte, graduate.

Demonstratie: Faptul ca sînt complexe se vede astfel (demonstram pentru celstîng, rezultatul la dreapta reiesind dintr-un argument simetric si din legaturaîntre cele doua): putem presupune p > 1, deoarece în grad zero, morfismelesînt nule, iar în grad 1 este evident. Folosind ecuatia 4.2.1, avem (pentru c⊗ a ∈Cp ⊗ An):

(dn+1l dn

l )(c⊗ a) = dn+1l (∑ c1,p−1 ⊗ θC,A(c2,1)a) =

∑ c1,p−2 ⊗ θC,A(c1,p−12,1)θC,A(c2,1)a.

Folosind acum coasociativitatea comultiplicarii din C sub forma ∑ c1,p−11,p−2⊗

c1,p−12,1⊗ c2,1 = ∑ c1,p−2 ⊗ c2,21,1 ⊗ c2,22,1 , în egalitatea de mai sus, obtinem:

(dn+1l dn

l )(c⊗ a) = ∑ c1,p−2 ⊗ θC,A(c2,21,1)θC,A(c2,22,1)a = 0.

Pentru ultima egalitate am folosit ec. 4.2.1. Deci K•l (A, C) este complex.Ramîne de aratat ca diferentialele sînt morfisme de comodule. Fie, deci, ρn :

C ⊗ An → C ⊗ C ⊗ An structura de C-comodul sîng a lui Knl (A, C) (conform

constructiei definitorii a acestui comodul, ρn = ∆ ⊗ An). Conform def. 4.1.1,trebuie verificata comutativitatea diagramei:

Knl (A, C)

dnl //

ρn

Kn+1l (A, C)

ρn+1

C⊗ Kn

l (A, C) C⊗dn// C⊗ Kn+1

l (A, C)

Fie, deci c⊗ a ∈ Cp ⊗ An. Atunci:

(C⊗ dnl )(ρ

n(c⊗ a)) =p

∑r=0

c1,r ⊗ dnl (c2,p−r ⊗ a)

=p

∑r=0

∑ c1,r ⊗ c2,p−r1,p−r−1 ⊗ θC,A(c2,p−r1,1)a.

Cealalta latura a patratului înseamna:

ρn+1(dnl (c⊗ a)) = ρn+1(∑ c1,p−1 ⊗ θC,A(c2,1)a

=p−1

∑u=1

c1,p−11,u ⊗ c1,p−12,p−1−u ⊗ θC,A(c2,1)a.

30


Coasociativitatea lui ρn = ∆⊗ An asigura egalitatea celor doua relatii.

În continuare, vom combina cele doua complexe de colanturi pentru a obtineunul singur, din categoria C-bicomodulelor, pe care îl notam (K•(A, C), d•).

Prin definitie, punem Kn(A, C) = C⊗ An ⊗ C si dn = dnl ⊗ C + (−1)n+1C⊗

dnr . Întrucît cele doua componente sînt morfisme de comodule, obtinem ca dn

este morfism de bicomodule. Din 0 = dn+1r dn

r = dn+1l dn

l , avem si urmatoa-rea:

dn+1 dn = (−1)n+1[(dn+1r ⊗ C) (C⊗ dn

r − (C⊗ dn+1r ) (dn

l ⊗ C)].

Din faptul ca diferentialele complexelor anterioare sînt morfisme de como-dule stîngi, respectiv drepte si împreuna cu asociativitatea înmultirii lui A, ob-tinem ca dn+1 dn = 0, deci (K•(A, C), d•) este complex de bicomodule.

Observatie 4.2.1. Deoarece dnl (Cm−n ⊗ An) ⊆ Cm−n−1 ⊗ An+1, ∀m ∈N, putem

evidentia un subcomplex al lui K•l (A, C), de forma K•l (A, C, m), cu componen-tele Kn

l (A, C, m) = Cm−n ⊗ An si aceleasi diferentiale. Reciproc, putem recom-pune complexul initial din aceste componente prin K•l (A, C) =

⊕m∈N

K•l (A, C, m).

Un rezultat similar avem si pentru complexul drept.

Folosind observatia anterioara, putem augmenta complexele, adaugînd dife-rentiale în grad -1 astfel:

Fie K•l (A, C) complexul 0 → K−1l (A, C)

d−1l−→ K•l (A, C), unde componenta în

grad -1 o definim K−1l (A, C) = R, iar diferentiala sa fie identitatea, d

−1l = IR.

Reluînd constructia pentru structurile opuse, obtinem augmentarea comple-xului drept, anume K•r (A, C) = K•l (Aop, Cop).

Mai mult, descompunerea în subcomplexe din observatia anterioara are locsi pentru complexele augmentate, augmentînd pentru m = 0 cu R '−→ C0 ⊗ Am.

Combinînd, putem augmenta si complexul de bicomodule, punînd K−1(A, C) =

C si d−1

= ∆.

Mai departe, vom dualiza rezultatele de pîna acum si începem cu rezolutiabar normalizata a lui R în categoria MC. Rezultatul principal va fi dual Pro-pozitiei 4.2.1, în sensul ca vom porni cu un R-coinel tare graduat si-i vom gasiperechea, în sens aproape Koszul.

Daca C este un R-coinel conex, atunci R devine C-comodul drept cu actiuneatriviala, data de ρC(r) = r ⊗ 1C. Daca C = C/C0, atunci comultiplicarea lui Cinduce o unica aplicatie ∆ : C → C ⊗ C, din proprietatea de universalitate aobiectelor factor, si ∆ pC = (pc ⊗ pC) ∆, i.e. avem diagrama comutativa:

31

4. Perechi Koszul

CpC //

∆

C = C/C0

∆

C⊗ CpC⊗pC // C⊗ C

Definim, de asemenea, ∆ : C ∆−→ C ⊗ CpC⊗IC−−−→ C ⊗ C. Atunci rezolutia bar

normalizata la dreapta a lui R este sirul exact:

β•r (C) : 0→ R → C δ0

−→ C⊗ C → · · · → C⊗n ⊗ C δn

−→ C⊗(n+1) ⊗ C → . . . .

Aplicatiile sînt δn=

n

∑i=1

(−1)i−1C⊗(i−1) ⊗ ∆ ⊗ C⊗(n−i) ⊗ C + (−1)nC⊗n ⊗ ∆.

Similar se defineste si rezolutia la stînga.Putem aplica acum Ext•C(R, R), mai întîi considerînd HomC(R,−) aplicat lui

β•r (C) si folosind izomorfismul functorial θR,− din Lema 4.2.2. Se obtine com-

plexul:

0→ Ω0(C) ∂0

−→ Ω1(C) ∂1

−→ · · · → Ωn(C) ∂n−→ Ωn+1(C)→ . . . ,

în care Ωn(C) = C⊗n(din nou, cu conventia C⊗0

= R. Diferentialele sînt date

de ∂0 = 0, iar ∂n =n

∑i=0

(−1)i−1C⊗(i−1) ⊗ ∆⊗ C⊗(n−i).

Vom folosi notatiile En(C) = Hn(Ω•(C)) si E(C) =⊕n∈N

En(C).

Mai departe, structura de algebra a algebrei tensoriale asociate R-bimodululuiV (notata Ta

R(V)) este indusa de înmultirea mp,q : V⊗p ⊗ V⊗q '−→ V⊗(p+q), iarunitatea este incluziunea R → Ta

R(V). Cu acestea, duala Lemei 4.2.1 este:

Lema 4.2.3. Exista o structura canonica de R-inel de colanturi pe Ω(C) =⊕n∈N

C⊗n. În particular, E(C) = Ext•C(R, R) este R-inel conex, iar E1(C) = Ker∆.

Sa clarificam acum notiunea de coinel tare graduat. Daca ∆p,q : Cp+1 → Cp⊗Cq

sînt componentele comultiplicarii unui coinel conex C, definim ∆(n) : Cn →C⊗n

1 inductiv, prin compunerea:

Cn∆1,n−1−−−→ C1 ⊗ Cn−1

IC1⊗∆(n−1)−−−−−−→ C⊗n

1 . (4.2.4)

Coasociativitatea componentelor comultiplicarii ∆p,q implica ∆(p+ 1) = (∆(p)⊗∆(q)) ∆p,q.

Definitie 4.2.2. Coinelul C se numeste tare graduat daca fiecare ∆(n) este in-jectiv.

32


Observatie 4.2.2. Din relatia de mai sus avem ca ∆(n) este injectiv⇔ ∆p,q esteinjectiv, ∀p, q. Cum fiecare componenta a comultiplicarii se poate descopune înuna care are 1 pe prima sau pe a doua pozitie, echivalenta poate continua cu⇔ ∆1,n injectiva, ∀n ⇔ ∆n,1 injectiva, ∀n.

Rezultatul dual Propozitiei 4.2.1 este:

Propozitie 4.2.3. Fie C un R-coinel tare graduat. Atunci perechea (E(C), C)este aproape Koszul.

Demonstratie: Stim ca E•(C) este un R-inel conex. Notînd Cn = pC(Cn), avemC =

⊕n>0

Cn, iar pC este injectiva pe toate Cn, n > 0. În particular, Cn ' Cn.

Sa notam θ : C1 → C1 restrictia lui pC la C1. Vom folosi acest morfism pentru aconstrui morfismul de legatura al perechii aproape Koszul. Deoarece ∆0,1(c) =1⊗ c si ∆1,0(c) = c ⊗ 1, avem ca ∆(θ(C1)) = 0, deci E1(C) = Ker∆ ⊇ θ(C1).Privind, deci, θ : C1 → E1(C), aratam ca joaca rolul morfimsului de legaturaθC,E(C), i.e. ca respecta ec. 4.2.1.

Deoarece θ = pC |C1 , iar ∆ pC = (pC ⊗ pC) ∆, pentru c ∈ C2, si B2 =

Im(∂1 : Ω1(C)→ Ω2(C))avem ca:

∑ θ(c1,1) · θ(c2,1) = ∑ pC(c1,1)⊗ pC(c2,1) + B2(C)

= ∆(pC(c)) + B2(C)

= ∂1(pC(c)) + B2(C) = 0.

Am folosit definitia morfismului θ : C → E(C), precum si aceea a diferentialei∂1 = ∆.

Mai trebuie sa aratam ca θ este bijectiva. Daca pC(c) ∈ Ker∆, fie c =d

∑n=0

cn,

cu cn ∈ Cn. Vrem cn = 0, ∀n ≥ 2. Sa calculam:

d

∑n=2

n−1

∑r=1

(pC ⊗ pC)(∆r,n−s(cn)) =d

∑n=0

n

∑r=0

(pC ⊗ pC)(∆r,n−r(cn))

= (pC ⊗ pC)(∆(c)) = ∆(pC(c)) = 0.

Pentru un n ≥ 2 fixat, (pC ⊗ pC)(∆r,n−r(cn)) ∈ Cr ⊗ Cn−r, obtinem, conformcalculelor de mai sus, ca acest element este nul pentru 0 < r < n, iar deoarecepC ⊗ pC : Cr ⊗ Cn−r

∼−→ Cr ⊗ Cn−r, deducem ca ∆r,n−r(cn) = 0. Cum C e taregraduata, deci componentele comultiplicarii sînt injective, avem ca nucleul lui∆ este inclus în C1, iar cealalta incluziune este clara.

Sa reamintim acum notiunile elementare privitoare la produsul cotensorial.Pentru detalii, ne referim la [BrzW], p. 217-219.

Definitie 4.2.3. Fie (N, ρN) si (M, Mρ) doua C-comodule. Produsul cotensorialNC M este definit ca nucleul aplicatiei ρn ⊗ IM − IN ⊗ Mρ.

33

4. Perechi Koszul

De asemenea, daca V este un R-modul, atunci V⊗C devine C-comodul dreptcu actiunea data de IV ⊗ ∆C. Daca M este un C-comodul stîng peste R-coinelulC, atunci avem un izomorfism:

ζ : (V ⊗ C)C M→ V ⊗M, ζ(n

∑i=1

vi ⊗ ci ⊗mi) =n

∑i=1

vi ⊗ ε(ci)mi. (4.2.5)

Aplicatia inversa trimite v⊗m 7→ ∑ v⊗m−1 ⊗m0. În particular, avem caCC M ' M, ca R-bimodule.

În plus, daca C este un R-coinel (conex), atunci R are structura de C-comodulstîng si drept, triviala. În acest caz, RC M ' McoC, unde McoC = m ∈ M |Mρ(m) = 1⊗ m este multimea coinvariantilor comodulului stîng M fata decoactiunea Mρ.

În continuare, construim complexele duale celor din categoriile de (bi)comodulede mai sus.

Fie complexul (Kr•(A, C), dr

•), ale carui componente sînt Krn(A, C) = Cn⊗ A ∈

MR, iar diferentiala drn : Cn ⊗ A→ Cn−1 ⊗ A data de:

drn(c⊗ a) = ∑ c1,n−1 ⊗ θC,A(c2,1)a.

De asemenea, lucrînd peste structura opusa (Aop, Cop), avem si complexulstîng (Kl

•(A, C), dl•), de componente Kl

n(A, C) = A⊗ Cn ∈ AM, iar diferentia-lele dn

l : A⊗ Cn → A⊗ Cn−1:

dnl (a⊗ c) = ∑ aθC,A(c1,1)⊗ c2,n−1.

Combinînd, avem complexul de A-bimodule (K•(A, C), d•) dat de:

Kn(A, C) = A⊗ Cn ⊗ A ∈ AMA si dn = dln ⊗ A + (−1)n A⊗ dr

n.

Observatie 4.2.3. Ca în observatia 4.2.1, avem subcomplexele (Kr•(A, C, m), dr

•),cu aceleasi diferentiale si componentele Kr

n(A, C, m) = Cm−n⊗ An. Similar pen-tru complexele stîngi. Se pastreaza, de asemenea, descompunerea Kr

•(A, C) =⊕m∈N

Krn(A, C, m), precum si cea corespunzatoare pentru complexul stîng.

Coaugmentînd aceste complexe, punem Kl−1(A, C) = R si d

l0 sa fie proiectia pe

componenta A0 = R. Similar pentru complexul drept, folosind din nou relatiacu structura opusa, Kl

•(A, C) = Kl•(Aop, Cop).

Pentru complexul de bimodule, punem K−1(A, C) = C, iar d0 = m : A ⊗A→ A, multiplicarea de algebra.

În continuare, vom prezenta rezultate de legatura între toate aceste complexe,totul culminînd cu o propozitie care arata cum exactitatea unuia dintre ele im-plica exactitatea celorlalte 5. Primul rezultat, relativ simplu, este urmatorul.

34


Propozitie 4.2.4. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul. Atunci:

1. K•(A, C)⊗A R ' Kl•(A, C) si R⊗A K•(A, C) ' Kr

•(A, C), izomorfisme decomplexe de A-module. Mai mult, au loc izomorfismele corespunzatoaresi pentru complexele coaugmentate.

2. K•(A, C)CR ' K•l (A, C) si RCK•(A, C) ' K•r (A, C), izomorfisme decomplexe de C-comodule. Din nou, au loc izomorfismele corespunzatoaresi pentru complexele augmentate.

Demonstratie: Date fiind componentele structurilor, Kln(A, C) = A⊗ Cn, pre-

cum si Kn(A, C) = A⊗ Cn ⊗ A, definim ξn : A⊗ Cn → A⊗ Cn ⊗ A⊗A R prinξn(a⊗ c) = a⊗ c⊗ 1A⊗A 1R. Se vede ca, la nivel de de A-module stîngi, ξ• esteun izomorfism.

Pentru a arata ca este morfism de complexe, sa reamintim componentele di-ferentialelor, anume dl

n(a⊗ c) = ∑ aθC,A(c1,1)⊗ c2,n−1, drn(c⊗ a) = ∑ c1,n−1 ⊗

θC,A(c2,1)a si cea de bimodule, dn = dln ⊗ A + (−1)n A⊗ dr

n. Atunci:

[(dn ⊗A R) ξn](a⊗ c) = (dn ⊗A R)(a⊗ c⊗ 1A ⊗A 1R)

= [dln(a⊗ c)]⊗ 1A ⊗A 1R + (−1)na⊗ dr

n(c⊗ 1A)⊗A 1R

= ∑ aθC,A(c1,1 ⊗ c2,n−1 ⊗ 1A ⊗A 1R+

+ (−1)na⊗∑ c1,n−1 ⊗ θC,A(c2,1)1A ⊗A 1R.

Deoarece ultimul produs tensorial este peste A, iar θC,A(c2,1) ∈ A1 ⊂ A, folo-sind A-balansarea, putem scrie ultima suma ca ∑(a⊗ c1,n−1 ⊗ 1)⊗A θC,A(c2,1) ·1R. Structura de A-modul a lui R este triviala, via πA

0 , însa, deci a · r = πA0 (a)r, ∀a ∈

A, r ∈ R, unde πA0 : A → A/A0 = A/R. Deducem ca θC,A(c2,1) · 1R = 0, deoa-

rece θC,A(c2,1) ∈ A1, deci merge în 0 prin πA0 .

Faptul ca ξ• este morfism de complexe reiese acum continuînd calculele demai sus, deci obtinînd:

[(dn⊗A R) ξn](a⊗ c) = ∑(aθC,A(c1,1)⊗ c2,n−1⊗ 1)⊗A⊗1 = (ξn−1 dln)(a⊗ c).

Izomorfismul pentru complexele augmentate se obtine pornind de la ξ−1(r) =1A ⊗A r, care defineste o aplicatie ξ−1 : R → A ⊗A R. Luînd componentelepozitive ale morfismului ξ• = ξ•, am obtinut ceea ce doream. Izomorfismulimplicînd complexul drept se demonstreaza la fel.

2. Vom proceda similar cu demonstratia punctului 1., prin dualitate. Sa definim,deci aplicatiile ξn : Kn

l (A, C) → Kn(A, C)CR prin ξn(c⊗ a) = (c⊗ a⊗ 1)⊗ 1.Se vede din definitie ca ξn este morfism de C-comodule, chiar izomorfism, con-form ec. 4.2.5. Mai mult, obtinem prin calcul direct:

[(dnCR) ξn](c⊗ a) = [dnl (c⊗ a)⊗ 1]⊗ 1 + (−1)n+1[c⊗ dn

r (a⊗ 1)]⊗ 1.

Al doilea termen al sumei este nul, deoarece dnr (a ⊗ 1) = 0, prin definitia di-

ferentialei, iar primul termen este chiar (ξn dnl )(c ⊗ a). Deducem ca ξ• este

35

4. Perechi Koszul

izomorfism de complexe. Pentru a extinde la complexele augmentate, sa ob-servam ca K−1

(A, C)CR = CCR, iar K−1l (A, C) = R, deci putem defini

ξ−1(r) = 1⊗ r, ∀r ∈ R, iar în grad pozitiv sa fie chiar ξ•. Si aici, izomorfis-

mul implicînd complexul drept reiese analog.

Propozitie 4.2.5. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul. Atunci:

1. Complexele R⊗A Kl•(A, C) si Kr

•(A, C)⊗A R sînt izomorfe cu complexul(C•, 0).

2. Complexele HomC(R, K•l (A, C)) si HomC(R, K•r (A, C)) sînt izomorfe cucomplexul (A•, 0).

Demonstratie: 1. Sa amintim ca Kln(A, C) = A ⊗ Cn si atunci avem izomor-

fismul canonic de A-module drepte ψn : Cn → R⊗A Kln(A, C), dat de ψn(c) =

1R ⊗A (1A ⊗ c). Pentru a arata ca este izomorfism de complexe, mai trebuieverificat ca (IR ⊗ dl

n) ψn = 0. Avem succesiv:

((IR ⊗ dln) ψn)(c) = 1⊗A dl

n(1⊗ c)

= ∑ π0A(θC,A(c1,1)⊗A (1⊗ c2,n−1) = 0.

Egalitatile decurg cu argumentele din propozitia anterioara, privitoare la struc-tura triviala de A-modul a lui R, via πA, precum si A-balansarea produsuluitensorial peste A. Izomorfismul pentru complexul drept este demonstrat ana-log.

2. Partea a doua decurge acum dual. Sa definim ψn : An → HomC(R, C⊗ An)

prin asocierea ψn(a) = ( fa : 1 7→ 1⊗ a), fa fiind unicul morfism de comodulecu aceasta proprietate. Din definitie se vede ca ψ este bijectiva. Pentru a arataca ψ• este morfism de complexe, sa examinam diagrama:

An ψn//

0

HomC(R, C⊗ An)

HomC(R,dnl )

An−1 ψn−1

// HomC(R, C⊗ An−1)

Va fi suficient, deci, sa aratam ca HomC(R, dnl ) ψn = 0, ∀n ∈ N. Dar aceasta

este evident, deoarece dnl ψn(a) = dn

l ( fa(1)) = dnl (1⊗ a) = 0, din chiar definitia

diferentialei dnl .

Aceste legaturi relativ simple ne vor permite sa tragem concluzii foarte in-teresante privitoare la exactitatea complexelor. Anticipînd, vom demonstra caexactitatea oricarui complex de forma K∗•(C, A) implica si exactitatea tuturorcelorlalte, lucru care se demonstreaza usor de îndata ce am realizat legaturi de

36


acest fel, care ne permit sa transferam proprietatile pe complexe mult mai sim-ple.

O alta legatura între complexele construite este urmatoarea:

Propozitie 4.2.6. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul. Fie πC1 : C → C1 indusa

de proiectia canonica πC1 : C → C1 ("neglijînd, practic, componenta C0 = R).

Fie θ = θA,C πC1 : C → C1.

1. Fie φ−1 = IR si φ0 : A⊗ C0'−→ A. Pentru n > 0, definim φn : A⊗ Cn →

A⊗ A⊗nprin

φn(a⊗ c) = ∑ a⊗ θ(c1,1)⊗ θ(c2,1)⊗ . . . θ(cn,1).

Atunci φ• este morfism de complexe augmentate, de la Kl•(A, C) la β

l•(A).

2. Fie φ−1 = IR si φ0 = C '−→ A0 ⊗ C. Pentru n > 0, definim φn : C⊗n ⊗ C →An ⊗ C prin

φn(x1 ⊗ . . . xn ⊗ c) = θ(c1)θ(c2) · · · θ(cn)⊗ c,

unde xi este clasa lui ci ∈ C în C. Atunci φ• este morfism de complexe, dela β

•r (C) la (K•r , (−1)•d

•r ).

Demonstratie: 1. Din chiar definitia morfismului φ• si din structurile implicatese vede ca el este morfism de A-module stîngi. Ramîne, deci, sa demonstram

ca este morfism de complexe, i.e. ca φn−1 dln = δn φn.

Pentru n = 0, egalitatea este evidenta, deoarece dl0 este proiectia pe R, δ0 =

π0A si ambii membri ai egalitatii înseamna A⊗ C0

'−→ A→ R.De asemenea, pentru n = 1, ambii membri ai egalitatii înseamna a ⊗ c 7→

aθ(c).Presupunem acum n > 1. Amintim ca d

ln(a⊗ c) = dl

n(a⊗ c) = ∑ aθC,A(c1,1)⊗c2,n−1 si atunci φn−1(d

ln(a⊗ c)) = ∑ aθ(c1,1)⊗ θ(c2,1 ⊗ · · · ⊗ θ(cn,1).

Celalalt membru al egalitatii de demonstrat este, folosind diferentiala (de tipHochschild):

δn(a1 ⊗ · · · ⊗ an ⊗ an+1) =n

∑i=1

(−1)ia1 ⊗ · · · ⊗ aiai+1 ⊗ · · · ⊗ an+1 ⇒

⇒ δn(φn(a⊗ c)) = ∑ aθ(c1,1)⊗ θ(c2,1)⊗ · · · ⊗ θ(cn,1)+

+n−1

∑i=1

∑(−1)ia⊗ θ(c1,1)⊗ · · · ⊗ θ(ci,1)θ(ci+1,1)⊗ · · · ⊗ θ(cn,1)

Folosind acum ec. 4.2.1, precum si coasociativitatea generalizata, avem casuma dubla este nula si obtinem egalitatea de demonstrat.

37

4. Perechi Koszul

2. Se vede si aici ca φn este un morfism de C-comodule stîngi, deci ramîne dedemonstrat doar compatibilitatea cu diferentialele, i.e. φn+1 δ

n= (−1)nd

nr

φn, ∀n ≥ −1.Fie x ∈ C clasa unui element c ∈ C. Atunci, cum ∆(c) = ∑

u,v≥0c1,u ⊗ c2,v,

obtinem:

∑ θ(c1)θ(c2) = ∑u,v≥0

∑ θ(c1,u)θ(c2,v) = ∑ θ(c21,1)θ(c22,1) = 0,

folosind din nou ec. 4.2.1.Daca x1, . . . , xn sînt clase de echivalenta din C, alegem, pentru fiecare i cîte

un ci ∈ xi. Atunci, pentru p > 0, c ∈ Cp,

(φn+1 δn)(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ c) =

n

∑i=1

∑(−1)i−1θ(c1) · · · θ(ci−1)θ(ci1)θ(c

i2)θ(c

i+1) · · · θ(cn)⊗ c+

+(−1)n ∑ θ(c1) · · · θ(cn)θ(c1)⊗ c2).

Dar, din egalitatea precedenta, termenii de forma θ(c1)θ(c2) = 0, deci prima

suma este nula. Apoi, deoarece ∆(c) =p

∑u=0

c1,u ⊗ c2,p−u, avem ca ∑ θ(c1)⊗ c2 =

∑ θ(c1,1) ⊗ c2,p−1. Înlocuind aceasta în ultimul factor al produsului din sumaramasa, avem ca :

φn+1 δn(x1 ⊗ . . . xn ⊗ c) = (−1)n(d

nr φn)(x1 ⊗ · · · ⊗ xn ⊗ c.

Particularizînd pentru c ∈ C0 = R, avem ca morfismele coincid si pe compo-nenta de grad -1, deci φn este, într-adevar, un morfism de complexe augmentate.

4.3. Perechi Koszul

În aceasta sectiune, vom continua prezentarea legaturilor între complexeleconstruite mai sus, precum si între (co)omologiile lor. Vom vedea, în sfîrsit, caexactitatea unuia dintre complexe implica exactitatea tuturor, într-un caz în careperechea aproape Koszul se va numi pereche Koszul. Desi nu face subiectul lu-crarii, amintim ca motivatia numelui si corespondenta unor rezultate urmeazanotiunilor definite în lucrarea [BGS]. În acest sens, o pereche Koszul (A, C) în-seamna un R-inel A si un R-coinel C, ambele fiind Koszul, dupa definitia 1.2.1din [BGS].

Un prim rezultat este urmatorul:

Lema 4.3.1. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul. Au loc urmatoarele:

1. Daca A este tare graduat, atunci H0(K•(A, C)) = 0.

2. Daca C este tare graduat, atunci H0(K•(A, C)) = 0.

38

4.3. Perechi Koszul

Demonstratie: 1. Sa notam, pentru simplitate, θC,A = θ. Deoarece, din definitiaperechii aproape Koszul, C este conex, i.e. C0 ' R, avem ca A⊗ C0 ⊗ A ' A⊗A. Atunci, deoarece dn = d

ln ⊗ A + (−1)n A⊗ d

rn, rezulta ca d0 = m : A⊗ A →

A, chiar înmultirea de algebra, iar d1(a⊗ c⊗ b) = aθ(c)⊗ b− a⊗ θ(c)b, ∀a, b ∈A, c ∈ C1.

Cu acestea consideratii, sa luam z =d

∑i=1

ai ⊗ bi ∈ Ker(m). Vrem sa aratam

exactitatea în grad 0, i.e. z ∈ Imd1. Deoarece A e tare graduata (deci com-ponentele înmultirii, mp,q : Ap ⊗ Aq → Ap+q sînt surjective), rezulta ca existaci

1, . . . , cini∈ C1 astfel încît bi = θ(ci

1) · · · θ(cini). Fie acum urmatorul element:

K1(A, C) 3 x = −

d

∑i=1

ni

∑j=1

aiθ(ci1) · · · θ(ci

j−1)⊗ cij ⊗ θ(ci

j+1) · · · θ(cini).

Calculînd acum d1(x), obtinem chiar z.

2. Pentru partea a doua a lemei, sa consideram ν : C⊗C → C⊗C1⊗C unicummorfism pentru care ν |Cp⊗Cq= ∆p−1,1 ⊗ Cq − Cp ⊗ ∆1,q−1 si care face patratuldin dreapta comutativ:

0 // C d1// C⊗ A0 ⊗ C d

0// C⊗ A1 ⊗ C

0 // C∆

// C⊗ C

'

OO

ν// C⊗ C1 ⊗ C

IC⊗θ⊗C

OO

Putem transfera, deci, exactitatea pe rîndul de jos, fiind astfel suficient sa

aratam ca avem egalitatea Kerν = Im∆. Sa consideram sirul C ∆−→ C ⊗ Cµ−→

C ⊗ C ⊗ C, unde µ = ∆ ⊗ IC − IC ⊗ ∆. E clar, din coasociativitatea lui ∆, caIm∆ ⊆ Kerµ. Pe de alta parte, daca s−1 = IC ⊗ ε si s0 = IC ⊗ IC ⊗ ε, avem ca−s0µ + ∆s−1 = IC⊗C, deci am gasit o omotopie între IC⊗C si aplicatia nula, va-zuta ca morfism trivial între sirul considerat si el însusi. Am demonstrat, deci,ca Im∆ = Kerν. Ramîne de aratat ca Kerµ = Kerν.

Fie x ∈ C ⊗ C. Atunci exista elementele xp,q ∈ Cp ⊗ Cq, astfel încît x =

∑p,q≥0

xp,q, unde suma este de suport finit. Deoarece C ⊗ C ⊗ C =⊕

u,v,w≥0

Cu ⊗

Cv ⊗ Cw, calculînd µ(x) în acesti termeni ai sumei directe, deducem ca dacaµ(x) = 0 în C, atunci µ(x) trebuie sa se anuleze pe componente, i.e. (∆u,v ⊗ICw)(xu+v,w)− (ICu ⊗ ∆v,w)(xu,v+w) = 0. Similar, data fiind definitia lui ν, obti-nem ca x ∈ Kerν atunci cînd aceeasi relatie are loc, dar pentru v = 1. De aceea,incluziunea Kerµ ⊆ Kerν e clara.

Fie acum x ∈ Kerν. Atunci relatia de mai sus are loc pentru v = 1 si u, w ≥ 0.Dar stim ca e adevarata si pentru v = 0, u, w ≥ 0, deoarece C e conex, adica

39

4. Perechi Koszul

C0 = R. Probam, deci, pentru v ≥ 2. Inductiv si folosind coasociativitateageneralizata, obtinem succesiv:

[(ICu ⊗ ∆q,v ⊗ ICw) (∆u,v+1 ⊗ ICw)](xu+v+1,w) = [(∆u,1 ⊗ ICv ⊗ ICw) (∆u+1,v ⊗ ICw)](xu+v+1,w)

= [(∆u,1 ⊗ ICv ⊗ ICw) ICu+1 ⊗ ∆v,w)](xu+1,v+w)

= (∆u,1 ⊗ ∆v,w)(xu+1,v+w).

Dar, deoarece x ∈ Kerν, folosind din nou coasociativitatea generalizata, obti-nem:

[(ICu ⊗ ∆q,v ⊗ ICw) (∆u,v+1 ⊗ ICw)](xu+v+1,w) = [(ICu ⊗ IC1 ⊗ ∆v,w) (ICu ⊗ ∆1,v+w)](xu,v+w+1)

= (∆u,1 ⊗ ∆v,w)(xu+1,v+w).

Deoarece C e tare graduat, componentele comultiplicarii trebuie sa fie injec-tive, conform observatiei 4.2.2. Mai mult, deoarece R este semisimplu, rezultaca orice R-bimodul este plat, deci injectivitatea unei aplicatii de R-module sepastreaza dupa tensorizare. Deci ICu ⊗ ∆1,v ⊗ ICw este injectiva si am terminat.

Legatura strînsa între toate cele 3 complexe de module, pe de o parte si toatecele trei complexe de comodule, pe de alta, este redata de propozitia urmatoare.

Propozitie 4.3.1. Fie (A,C) o pereche aproape Koszul.

1. Complexele Kl•(A, C), Kr

•(A, C) si K•(A, C) sînt exacte, daca unul dintreele este exact.

2. Complexele K•l (A, C), K•r (A, C) si K•(A, C) sînt exacte, daca unul dintreele este exact.

Demonstratie: 1. Sa presupunem, pentru început, ca K•(A, C) este exact si saaratam ca aceasta implica si exactitatea celorlalte. Sa amintim ca Kn(A, C) =

A⊗ Cn ⊗ A, care este un A-modul drept proiectiv, deci complexul este scinda-bil. Din prima legatura pe care am realizat-o între complexe, propozitia 4.2.4.1.stim ca Kl

•(A, C) ' K•(A, C) ⊗A R, deci avem ca si complexul de A-modulestîngi este exact.

Daca presupunem acum complexul stîng, Kl•(A, C) exact, stim ca d

l0 = 0

pe An ⊗ C0, ∀n > 0, iar pentru c ∈ C1, a ∈ A, diferentiala este dl1(a ⊗ c) =

aθC,A(c)⊗ 1. Deoarece, prin definitie, aplicatia de legatura a unei perechi aproapeKoszul (A, C), θC,A : C1 → A1 este bijectiva, si folosind exactitatea complexuluistîng în grad zero, i.e. exactitatea sirului

0← Kl−1(A, C) = R

dl0=0←−− Kl

0(A, C) = A⊗ C0 ' A,

putem scrie An = An−1A1, ∀n > 0, de unde rezulta ca A este tare graduata.Aceasta deoarece componenta mn−1,1 este surjectiva, ceea ce implica surjectivi-tatea tuturor componentelor înmultirii. Dar atunci, folosind lema precedenta,

40

4.3. Perechi Koszul

obtinem ca K(A, C) este exact în grad zero.Se vede ca d0 este surjectiva, deoarece ea combina diferentialele complexe-

lor laterale si astfel d0(a ⊗ c ⊗ b) = aθC,A(c) ⊗ 1⊗ b − a ⊗ 1⊗ θC,A(c)b, undec ∈ C0 = R, a, b ∈ A. Ramîne, deci, de aratat exactitatea în grad nenul, ceeace este echivalent cu Hn(K•(A, C)) = 0, ∀n > 0 si, de aceea, putem lucra cucomplexul neaugmentat (ele diferind doar în componenta de grad -1, care nune mai intereseaza acum). Pentru simplitate, sa notam K• = K•(A, C). Definimacum, pentru fiecare n, p ≥ 0, Xn,p = Ap−n ⊗ Cn (graduarea pozitiva de pe Ada Ap−n = 0 oricînd p < n). Deoarece Kn = A⊗ Cn ⊗ A, putem descompuneKn =

⊕p≥0

Xn,p ⊗ A. Mai mult, deoarece

drn : Cn ⊗ A→ Cn−1 ⊗ A si dl

n : A⊗ Cn → A⊗ Cn−1,

(dln ⊗ IA)(Xn,p ⊗ A) ⊆ Xn−1,p ⊗ A si (IA ⊗ Dr

n)(Xn,p ⊗ A) ⊆ Xn−1,p−1 ⊗ A.

De aceea, Ki• =

i⊕p=1

X•,p⊗ A este subcomplex al lui K•. Sa notam Li• = Ki

•/Ki−1• .

Din descompunerea de mai sus, la nivel de R-bimodule, putem identifica Lin '

Ai−n ⊗ Cn ⊗ A, iar din comportarea fata de diferentiale, prezentata mai sus,avem ca Li

• ' Kl•(A, C, i)⊗ A (vezi subcomplexele din obs. 4.2.3). Asadar, cum

Li• este izomorf cu un sumand direct dintr-un complex exact, deducem ca el

însusi este exact. Fixam acum un n > 0. Deoarece K0n = 0, deducem ca K0

• esteexact în grad n.

Luînd sirul exact scurt 0 → Ki−1• → Ki

• → Li• → 0 si scriind sirul lung

de omologie, cu un argument inductiv deducem ca Ki• este exact pentru toti i.

Demonstram acum ca K• este exact în grad n. Daca ω este un n-ciclu din K•,trebuie sa existe i, a.î. ω ∈ Ki

n, din descompunerea în subcomplexe. Fiind cicluîn subcomplexul Ki

•, trebuie sa fie o frontiera în subcomplex, deci si în comple-xul mare K•. Asadar, K•(A, C) este exact.

Avînd acestea demonstrate, pentru a trata complexul drept, ne vom referi lalegatura cu structura opusa. Deoarece Kr

•(A, C) = Kl•(Aop, Cop), obtinem ca

acesta din urma este exact daca si numai daca K•(Aop, Cop) este exact (aplicîndipoteza pentru structurile opuse). Daca notam cu dop

• diferentiala lui K•(Aop, Cop),fie aplicatia :

ηn : Aop ⊗Rop (Cop)n ⊗Rop Aop → A⊗R Cn ⊗R A, ηn(a⊗Rop c⊗Rop b) =b⊗R c⊗R a.

Atunci ηn este chiar izomorfismul canonic din "comutativitatea" produsuluitensorial (cu pretul inversarii structurilor). Mai mult, un calcul simplu arataca ηn−1 dop

n = (−1)ndn ηn. Asadar, am ajuns pe tarîm cunoscut, deoareceam stabilit ca omologia complexului opus K•(Aop, Cop) este zero daca si numaidaca omologia complexului K•(A, C) este zero, fapt adevarat din ipoteza.

41

4. Perechi Koszul

2. Partea a doua reiese dual acum. Sa presupunem ca K• = K•(A, C) este exactsi sa aratam ca aceasta implica exactitatea complexului de C-comodule stîngi.Dar, deoarece Kn(A, C) = C⊗ An ⊗ C, folosind lema 4.2.2, obtinem ca Kn esteC-comodul drept injectiv, deci complexul este scindabil, de unde si complexulstîng este exact, folosind legatura din prop. 4.2.3.2.

Sa presupunem acum ca K•l (A, C) este exact. Comultiplicarea coinelelor esteinjectiva, deci H−1(K

•(A, C)) = 0, deci avem exactitate în grad -1. În grad 0, lu-

înd în calcul definitia diferentialei, d−1l = IR si d0

l (Cp ⊗ A0) ⊆ Cp−1 ⊗ A0, avemca

⊕p≥1

Ker∆p−1,1 = H0(K•l (A, C)) = 0. Asadar, C este coinel tare graduat si, din

lema precedenta, complexul K•(A, C) este exact în grad zero.Pentru grad n > 0, sa notam, pentru simplitate, (K•(A, C), d•) prin (K•, d•).

Urmînd constructia duala celei din prima parte, Xn−p = Cp−n ⊗ An, avemKn =

⊕p≥0

Xn,p ⊗ C si, fata de diferentiale,

(dnl ⊗ IC)(Xn,p ⊗ C) ⊆ Xn+1,p ⊗ C si (IC ⊗ dn

r )(Xn+1,p ⊗ C) ⊆ Xn+1,p+1 ⊗ C,

obtinem ca K•i =⊕p≥1

Xn,p ⊗ C este subcomplex al K•. Luam complexul factor

L•i = K•i /K•i+1. Avem Xn+1,i+1 ⊗ C ⊆ Kn+1i+1 , iar diferentiala de pe L•i actioneaza

asupra unui n-lant prin corespondenta x⊗ c + Kni+1 7−→ dn

l (x)⊗ c + Kn+1i+1 . Ast-

fel, izomorfismul de R-bimodule Lni ' Kn

l (A, C, i)⊗ C ne permite sa conside-ram izomorfism chiar de complexe, L•i ' K•l (A, C, i)⊗ C. Cum am remarcat lasfîrsitul demonstratiei lemei anterioare, C este R-plat, iar K•l (A, C, i), ca sumanddirect al K•l (A, C) este exact, deci si L•i este exact.

Aratam ca toti factorii K•/K•i sînt exacti, prin inductie. K•/K•0 = 0, pentruînceput. La pasul de inductie, consideram sirul exact scurt

0→ L•i → K•/K•i+1 → K•/K•i → 0,

presupunînd ca K•/K•i este exact. Deoarece termenul stîng este tot exact, dedu-cem ca si termenul din mijloc are aceasta proprietate.

Daca ω este un n-cociclu din K•, alegem un i cu ω ∈ Mni =

⊕p≤i

Xn,p ⊗ C. Pro-

iectia canonica induce un izomorfism de R-bimodule νn : Kn/Kni+1 → Mn

i . Prinintermediul acestui izomorfism, putem transporta izomorf structura de com-plex de colanturi de pe K•/K•i+1 pe (M•i , ∂i). Dar atunci M•i este exact, iar ω

este un cociclu în M•i , deci exista un ζ ∈ Mn−1i cu ω = ∂n(ζ) = dn(ζ), deoarece

diferentialele trebuie sa coincida pe Mni . Aceasta încheie demonstratia.

În sfîrsit, legatura cea mai interesanta este urmatoarea:

Teorema 4.3.1. Toate cele 6 complexe din propozitia precedenta sînt exacte,daca unul dintre ele are aceasta proprietate.

Demonstratie: Avînd toate legaturile de pîna acum, concluzia reiese oarecumsimplu. Sa reamintim descompunerile în subcomplexe:

42

4.3. Perechi Koszul

K•l (A, C) =⊕m>0

K•l (A, C, m)⊕ K•l (A, C, 0)

K•r (A, C) =⊕m>0

K•r (A, C, m)⊕ K•r (A, C, 0).

Dacam m ∈ N, atunci Kpl (A, C, m) = Kr

m−p(A, C, m) si dpl = dr

m−p, ∀p. Atuncisi în omologie avem Hp(K•l (A, C, m)) = Hm−p(Kr

•(A, C, m)). Dar, din definitie,K•l (A, C, 0) si Kr

•(A, C, 0) sînt exacte, deducem ca exactitatea complexului aug-mentat stîng de comodule este conditionata de exactitatea complexului aug-mentat drept de module. Aceasta conditionare ne permite sa încheiem aplicîndpropozitia anterioara.

Definitia principala din aceasta sectiune urmeaza.

Definitie 4.3.1. O pereche aproape Koszul (A,C) se numeste pereche Koszuldaca si numai daca oricare din complexele din propozitia anterioara este exact.

Avem imediat si urmatorul rezultat:

Corolar 4.3.1. Fie (A,C) o pereche Koszul. Atunci:

1. Complexul K•l (A, C) este o rezolutie a lui R cu C-comodule stîngi gradu-ate, injective.

2. Complexul K•r (A, C) este o rezolutie a lui R cu C-comodule drepte gradu-ate, injective.

3. Complexul Kl•(A, C) este o rezolutie a lui R cu A-module stîngi graduate,

proiective.

4. Complexul Kr•(A, C) este o rezolutie a lui R cu A-module drepte graduate,

proiective.

5. Daca A este R-bimodul injectiv, complexul K•(A, C) este o rezolutie a luiC cu C-bicomodule graduate, injective.

6. Daca C este R-bimodul proiectiv, atunci complexul K•(A, C) este o rezo-lutie a lui A cu A-bimodule graduate, proiective.

Demonstratie: Primele patru afirmatii sînt evidente, din rezultatele anterioare.5. Daca C este R-bimodul proiectiv acum, atunci Cn, ca subbimodul, este tot

proiectiv. Rezulta ca A ⊗ Cn ⊗ A = K•(A, C) este o rezolutie proiectiva a luiA, cu A-bimodule proiective. Afirmatia ramîne adevarata si pentru complexulaugmentat, luînd în calcul componenta din grad -1.

6. Similar, daca A este R-bimodul injectiv, atunci C⊗An⊗C este C-bicomodulinjectiv (aplicînd prop. 4.2.2, la stînga si la dreapta si "reunind" rezultatele).Aceasta demonstreaza si ultima afirmatie.

43

4. Perechi Koszul

Este potrivit, în acest moment, sa facem o precizare. Desi lucram peste ine-lul R, pe care l-am presupus semisimplu, nu toate R-bimodulele sînt proiectivesau injective. Pentru a regla aceasta carenta, putem înlocui ipoteza asupra lui Asau C din propozitia anterioara cu una asupra lui R, pentru a ne asigura proiec-tivitatea, respectiv injectivitatea. Sa ne amintim Prop. 2.1.1, ale carei rezultatela stînga si la dreapta pot fi combinate usor pentru a obtine semisimplicitateaR − bimodulelor. Deci, daca R este algebra separabila peste un corp k, avemca orice R-bimodul este proiectiv si injectiv. Cu aceasta presupunere, obtinemdirect ca, pentru o pereche Koszul (A, C), complexul K•(A, C) este o rezolutieinjectiva a lui C în categoria CMC, iar K•(A, C) este o rezolutie proiectiva a luiA în categoria AMA.

Continuam acum cu proprietatile perechilor Koszul, observînd ca orice pere-che Koszul genereaza una aproape Koszul de tipul celor prezentate pîna acum.

Corolar 4.3.2. Fie (A,C) o pereche Koszul. Atunci R-inelul A si R-coinelulC sînt tare graduate. În particular, perechile (A,T(A)) si (E(C),C) sînt aproapeKoszul.

Demonstratie: Deoarece perechea (A, C) este Koszul, rezulta ca avem exacti-tatea complexului Kl

•(A, C). Atunci, procedînd ca la începutul demonstratieiProp. 4.3.1, avem ca A e tare graduata. Folosind acum Prop. 4.2.1, obtinem capereche (A, T(A)) este aproape Koszul. Similar, afirmatia despre C se obtinedin propozitiile respective, anume 4.3.1 si 4.2.3.

Legatura strînsa pe care am tot evidentiat-o pîna acum între o pereche (aproape)Koszul si structurile opuse duce si la urmatorul rezultat.

Corolar 4.3.3. Perechea (A, C) este Koszul daca si numai daca perechea (Aop, Cop)

este Koszul.

Demonstratie: Echivalenta este evidenta, din cele de pîna acum întrucît, ca îndemonstratia Prop. 4.3.1, omologia complexului K•(A, C) este triviala daca sinumai daca omologia complexului K•(A, C) este triviala.

Pentru urmatorul rezultat, avem nevoie de teorema de comparare a rezo-lutiilor proiective (injective) ale unui acelasi (bi)modul. Vom enunta rezultatul,precum si consecintele lui, iar pentru demonstratie, ne referim la [Weibel], Teo-rema 2.2.6 sau [Vermani], Teorema 5.1.5. Rezultatul este unul obisnuit al unuicurs de algebra omologica, asadar demonstratia si implicatiile imediate pot fipresupuse cunoscute oricum.

Teorema 4.3.2. (de comparare) Fie P•ε−→ M o rezolutie proiectiva a unui R-

modul M si f ′ : M→ N un morfism de R-module. Atunci, pentru orice rezolu-tie Q•

η−→ N a lui N, exista un morfism de lanturi f• : P• → Q•, care ridica f ′, însensul ca η f0 = f ′ ε. Aplicatia f• este unica pîna la omotopie.

Pentru a vizualiza mai bine rezultatul, prezentam diagrama de mai jos.

44

4.3. Perechi Koszul

. . . // P2 //

f2

P1 //

f1

P0ε //

f0

M //

f ′

0

. . . // Q2 // Q1 // Q0η // N // 0

Un corolar imediat rezulta din aplicarea teoremei pentru doua rezolutii aleaceluiasi R-modul M si aplicatia f ′ = IM. În plus, rezultatul teoremei si alcorolarului au loc si pentru rezolutii injective.

Rezultatul anuntat este urmatorul.

Teorema 4.3.3. Fie (A,C) o pereche Koszul. R-coinelul graduat T(A) este izo-morf cu C si (A,T(A)) formeaza o pereche Koszul. În plus, prin dualitate, R-inelel graduate E(C) si A sînt izomorfe si perechea (E(C),C) este Koszul.

Demonstratie: Sim din corolarul anterior ca A e tare graduat si ca (A, T(A))

este o pereche aproape Koszul (cf. Prop. 4.2.1). Sa ne amintim ca avem deja

la dispozitie doua rezolutii proiective ale lui R, anume Kl•(A, C) si β

l•(A). Mai

mult, avem si morfismul care le leaga, φ• din Prop. 4.2.6. Deoarece comple-xele sînt coaugmentate si componenta în grad -1 este R în ambele cazuri, iar

φ−1 = IR, care este inversabila, din teorema de comparare exista φ′• : βl•(A) →

Kl•(A, C) morfism de complexe coaugmentate, care ridica pe φ−1 = IR. Situatia

este redata pictorial mai jos.

0 Roo

φ−1=IR

Kl•(A, C)

dl0oo

0 Roo

IR

OO

βl•(A)

δl0

oo

φ′•

OO

Mai mult, din observatia ce a urmat teoremei de comparare, avem echivalenteleomotopice urmatoare: φ• φ′• ∼h I

βl•(A)

si φ′• φ• ∼h IKl•(A,C)

. Deoarece IR⊗A φ•

si IR ⊗A φ′• sînt inverse (pîna la omotopie), deducem ca induc izomorfisme înomologie,

Hn(IR ⊗A φ•) : Hn(R⊗A Kl•(A, C)) ∼−→ Hn(Ω•(A)), ∀n ≥ 0.

Dar am vazut în Prop. 4.2.5 ca primele grupuri de omologie sînt egale cu Cn,deoarece complexul respectiv este izomorf cu complexul trivial (C•, 0). Definimacum γn : Cn → Tn(A) prin ecuatia γn(c) = ∆(n)(c) + Bn(A), unde ∆(0) = IR,iar Bn(A) este grupul n-frontierelor complexului Ω•(A). Atunci, din izomorfis-mul din omologie, deducem ca γn este izomorfism de R-bimodule. Mai mult,din chiar definitia lui γ• putem observa ca el respecta graduarile coinelelor C siT(A), deci este chiar izomorfism de R-coinele graduate. În concluzie, IA ⊗ γ•

45

4. Perechi Koszul

este izomorfismul de complexe între Kl•(A, C) ∼−→ Kl

•(A, T(A)), ceea ce facecomplexul coaugmentat Kl

•(A, T(A)) exact si perechea (A, T(A)) Koszul.

Pentru rezultatul dual procedam astfel: stim, pentru început, ca C1 cogene-reaza E(C) si ca (E(C), C) este pereche aproape Koszul (cf. Prop. 4.2.3). Caîn cazul de mai sus, morfismul φ• din Prop. 4.2.5 ridica IR. Luam acum re-zolutiile lui R dinMC, anume β

•r (C) si (K•r (A, C), (−1)•(d)•r ). Tinînd cont de

grupurile de coomologie, care în acest caz se obtin cu ajutorul functorului Ext,avem ca HomC(R, φ•) este morfism de complexe, care induce izomorfism în co-omologie. Aplicînd acum HomC(R,−) complexelor β

•r (C) si K•r (A, C), gasim

izomorfismul de complexe de colanturi indus în coomologie de φ•. Sa-l notamγ• : (Ω•(C), ∂•)

∼−→ (A•, 0), unde γ0 = IR (codomeniul a fost obtinut prin izo-morfismul de complexe din partea a doua a Prop. 4.2.5).

Definitia lui γn în grad nenul se face astfel: amintim notatia din Prop. 4.2.6,unde θ = θC,A πC

1 , iar πC1 : C → C1 este proiectia canonica. Daca x1, . . . , xn ∈

C, atunci γn(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) = θ(c1) · · · θ(cn), unde ci ∈ xi, ∀1 ≤ i ≤ n. Înmul-tirea pe Ω•(C) este concatenarea monoamelor tensoriale si atunci γ• devineun izomorfism de R-inele colant, care induce izomorfimse de R-inele gradu-ate de la E(C) la A si care, mai departe, permite identificarea K•r (E(C), C) 'K•r (A, C).

Corolar 4.3.4. Fie (A,C’) si (A,C") perechi Koszul. Atunci C’ si C" sînt izomorfe,ca R-coinele graduate. Dual, daca (A’,C) si (A",C) sînt perechi Koszul, atunci A’si A" sînt izomorfe, ca R-inele graduate.

Demonstratie: Rezultatul este evident, în contextul teoremei anterioare, deo-arece în primul caz, lui A i se asociaza canonic (natural) perechea sa în sensKoszul, anume T(A), ceea ce duce la izomorfismele C′ ' T(A) ' C”(A). Dual,A′ ' E(C) ' A”. .

Corolar 4.3.5. Daca (A,C) este o pereche Koszul, atunci E(T(A)) ' A siT(E(C)) ' C.

Demonstratie: Pornind de la A, îi asociem canonic pe T(A), pentru a obtine pe-rechea Koszul (A, T(A)). Luînd aceasta pereche drept punct de plecare, avemca (E(T(A)), T(A)) este pereche Koszul. Din corolarul de mai sus avem izo-morfismul dorit. Celalalt rezulta similar.

Sa dam acum definitia inelelor Koszul, dupa [BGS]. Dupa aceea, vom vedealegatura între aceasta notiune, as cum apare ea în articolul citat si perechile Ko-szul prezentate aici, urmarind [JPS1]. Vom folosi, de asemenea, cîteva rezultatedin [BGS], pe care le vom cita fara demonstratie, întrucît scopul principal allucrarii este abordarea omologica din [JPS1]. Legatura între cele doua notiuniva fi prezentata, astfel, doar pentru "completitudine", demonstratia fiind, astfel,doar schitata.

Definitie 4.3.2. Fie A un inel graduat, a carui componenta omogena de gradzero este R. A se numeste inel Koszul la stînga (cf. [BGS]), daca R are o rezolutieP• → R cu A-module stîngi graduate, proiective, astfel încît fiecare Pn sa fie

46

4.3. Perechi Koszul

generat de componenta omogena de grad n.

Vom folosi si urmatoarea notiune (cf. [BGS], Def. 1.2.2):

Definitie 4.3.3. Un inel A se numeste patratic daca este pozitiv graduat, cuA0 este semisimplu si A este generat de A1 peste A0 cu relatii de gradul 2.Echivalent,

TA0(A1) = A0 ⊕ A1 ⊕ (A1 ⊗A0 A1)⊕ · · · =⊕i≥0

A⊗i1 .

Legatura anuntata urmeaza.

Teorema 4.3.4. Un R-inel A este Koszul daca si numai daca A1 genereaza A si(A, T(A)) este pereche Koszul.

Demonstratie: (Schita) ” ⇐ ”: Daca A1 genereaza A, avem o pereche Koszulcanonica (A, C), unde C = T(A). Atunci putem lua rezolutia Kl

•(A, C), ca re-zolutie proiectiva a lui R. Am vazut, de asemenea, ca termenii sînt A-modulegraduate, iar faptul ca Kl

n(A, C) este generat de A0 ⊗ Cn este evident din defi-nitie (Kl

n(A, C) = A⊗ Cn, Kl−1(A, C) = R = A0).

”⇒ ”: Fie A inel Koszul si sa notam A1 = V. În [BGS] se demonstreaza ca oriceinel Koszul este generat de V si patratic, deci exista W ⊆ V ⊗ V, astfel încît Aeste algebra graduata izomorfa cu Ta

R(V) factorizat la idealul bilateral generatde W. Sa definim C0 = R, C1 = W si

CWn =

n−2⋂p=0

V⊗p ⊗W ⊗V⊗(n−p−2), ∀n ≥ 2.

Cu acestea, se arata ca R-bimodulul C =⊕n∈N

CWn este un subcoinel graduat

al lui TcR(V), aratînd ca ∆p,q(c) ∈ Cp ⊗ Cq, ∀p, q ≥ 0, c ∈ Cp+q.

Se obtine, din constructie, ca C este conex si A1 = C1 = V. Morfismul de le-gatura θC,A va fi chiar IV si cum înmultirea pe Ta

R(V) este data de izomorfismulcanonic V⊗p ⊗ V⊗q ' V⊗(p+q), avem m1,1

A (IV ⊗ IV) ∆1,1(c) = c + W = 0.Deci perechea (A, C) este aproape Koszul.

Referindu-ne din nou la [BGS], 2.6, obtinem ca acel complex Koszul coincide(pîna la o schimbare a gradelor) cu complexul Kl

•(A, C), iar primul este exact,din ipoteza ca A este inel Koszul. Asadar, perechea (A, C) este Koszul si de-ducem, folosind Teorema 4.3.3, ca A e tare graduat si (A, T(A)) este perecheKoszul.

Corolar 4.3.6. Daca A este inel Koszul la dreapta, atunci este inel Koszul lastînga, si reciproc.

Demonstratie: Daca A este inel Koszul la stînga, atunci, din teorema de maisus, A este tare graduat si perechea (A, T(A)) este Koszul. Dar atunci si Aop

este tare graduat si (Aop, T(A)op) este pereche Koszul, de unde Aop este inelKoszul la stînga, ceea ce înseamna ca A este inel Koszul la dreapta.

47

4. Perechi Koszul

4.4. (Co)Omologia Hochschild a inelelor Koszul

În aceasta sectiune vom relua constructia (co)omologiei Hochschild a uneik-algebre R cu coeficienti într-un bimodul, pe care am prezentat-o în celelaltecapitole ale lucrarii. Aici o vom aplica unei algebre "privilegiate", anume R-inelului A din perechea Koszul (A, C). Vom pune în evidenta similitudini inte-resante între constructia în acest caz si cea de dinainte.

Asadar, revenind oarecum la notatiile din capitolele 1-3, R va desemna o al-gebra peste un corp comutativ k, însa produsul tensorial neindexat va desemna⊗R, ca în capitolul prezent.

Dupa cum am vazut în chiar primul capitol al lucrarii, grupurile de (co)omologieHochschild ale lui R cu coeficienti în R MR se obtin prin tensorizare peste alge-bra anvelopanta (aici, Ae) a rezolutiei proiective standard (aici, a lui A). Avînddeja la dispozitie o rezolutie proiectiva, anume K•(A, C), vom avea nevoie deo constructie suplimentara pentru a putea face produsul tensorial nu peste Ae,ci peste R, asa cum am lucrat pîna acum. Este vorba despre produsul tensorialciclic, pe care îl introducem mai jos.

Fie V un R-bimodul. Sa notam cu [R, V] acoperirea liniara (peste k) a comuta-torilor de forma [r, v] = rv− vr, v ∈ V, r ∈ R. Vom nota spatiul factor V/[R, V]

cu VR.

Definitie 4.4.1. Fie acum V1, . . . , Vn R-bimodule. Spatiul vectorial (peste k)(V1 ⊗ · · · ⊗Vn)R se numeste produsul tensorial ciclic al bimodulelor V1, . . . , Vn

si va fi notat V1⊗ · · · ⊗Vn. Clasa de echivalenta a unui monom tensorial v1 ⊗· · · ⊗ vn ∈ V1 ⊗ · · · ⊗Vn modulo [R, V] va fi notata v1⊗ · · · ⊗vn.

Fie acum V, W doua R-bimodule. Conform Prop. 1.1.1, putem privi V ca peun Re-modul drept, iar pe W ca pe un Re-modul stîng. Are sens, atunci, pro-dusul tensorial obisnuit, V ⊗Re W. Legatura cu produsul tensorial ciclic V⊗Weste cît se poate de simpla, anume prin identificarea v⊗w 7→ v⊗Re w. Inductiv,avem ca

V1⊗ · · · ⊗Vn ' (V1 ⊗ · · · ⊗Vi)⊗Re (Vi+1 ⊗ · · · ⊗Vn),

pentru orice 0 < i < n. Mai mult, produsul tensorial ciclic este comutativ, i.e.V⊗W 'W⊗V, deoarece factorizarea la comutatori reduce la cazul în care folo-sim doar elementele lui V pentru care actiunea lui R este comutativa. Inductiv,avem izomorfism între produsele tensoriale ciclice care implica n ≥ 2 factori,putînd permuta ciclic factorii (ceea ce justifica numele constructiei), i.e.

V1⊗ · · · ⊗Vn ' V2⊗ · · · ⊗Vn⊗Vn ' · · · ' Vn⊗V1⊗ · · · ⊗Vn−1.

Sa construim acum, pornind de la complexul mentionat, K•(A, C), un com-plex K•(A, M) (cu M un A-bimodul arbitrar), a carui (co)omologie Hochschildo vom calcula, tinînd cont atît de constructia din primul capitol, cît si de aceeadin capitolul prezent.

48

4.4. (Co)Omologia Hochschild a inelelor Koszul

Fie R o k-algebra separabila fixata (pentru a nu avea probleme cu proiectivita-tea si injectivitatea R-bimodulelor, cf. Prop. 2.1.1. Fie A un R-inel Koszul si C unR-coinel conex, astfel încît perechea (A, C) este Koszul. Observam ca A poatefi privita si ca o k-algebra, ceea ce ne permite sa vorbim despre Ae = A⊗k Aop.Conform definitiei 1.3.1, omologia Hoschschild a k-algebrei A cu coeficientiîntr-un A-bimodul M este HH•(A, M) = TorAe

• (A, M). Folosind acum Co-rolarul 4.3.1.6., vedem ca aceste grupuri de omologie pot fi obtinute aplicîndfunctorul M ⊗Ae (−) rezolutiei K•(A, C). Mai mult, folosind cele de mai sus,putem gasi un izomorfism de spatii vectoriale ϕn : M⊗Ae Kn(A, C) → M⊗Cn,care lucreaza prin:

ϕ(m⊗Ae (x⊗ c⊗ y)) = (ymx)⊗c.

Folosind structurile subiacente de k-spatii vectoriale ale lui A, C, M, se vedeimediat ca ϕn este k-liniara. Aplicatia inversa este ϕ−1

n (m⊗c) = m⊗Ae (1⊗ c⊗1).

Sa definim ∂n : M⊗Cn → M⊗Cn−1 prin ∂n = ϕ−1n−1 (M⊗Ae dn) ϕn, unde

dn este diferentiala în grad n a complexului K•(A, C). Atunci (M⊗C•, ∂•) esteizomorf cu complexul M ⊗Ae K•(A, C), prin chiar ϕ•. Calcule simple arata caare loc si ecuatia de mai jos, deci am demonstrat:

Teorema 4.4.1. Fie (A,C) o pereche Koszul peste k-algebra separabila R. Omo-logia Hochschild a lui A cu coeficienti în A-bimodulul M este omologia comple-xului de lanturi K•(A, M) = M⊗RC•. Pentru un M ∈ M, c ∈ Cn, diferentiala∂n a complexului este data de:

∂n(m⊗c) = ∑ mθC,A(c1,1)⊗c2,n−1 + (−1)n ∑ θC,A(c2,1)m⊗c1,n−1 .

Similar, se poate arata ca grupurile de coomologie Hochschild, calculate prinHH•(A, M) = Ext•Ae(A, M) pot fi date si de urmatoarea:

Teorema 4.4.2. Fie (A,C) pereche Koszul peste k-algebra separabila R. Atuncicoomologia Hochschild a lui A cu coeficienti în M este coomologia complexuluide colanturi K•(A, M) = HomRe(C•, M). Pentru c ∈ Cn+1, f ∈ HomRe(Cn, M),diferentiala ∂n a complexului este data de:

∂n( f )(c) = ∑ θC,A(c1,1) f (c2,n) + (−1)n+1 ∑ f (c1,n)θC,A(c2,1) .

Sub forma de aplicatie, sa vedem ce înseamna, în acest context, dimensiuneaHochschild a lui A (cf. def. 2.1.1). Vom nota dimensiunea proiectiva cu pd, alecarei proprietati le consideram cunoscute (vezi [Weibel], sectiunea 4.1).

Teorema 4.4.3. Fie (A,C) o pereche Koszul peste k-algebra separabila R. Atunci:

HdimA = pd(AR) = pd(RA) = supn | Cn 6= 0.

Demonstratie: Daca Cn+1 = 0, avem o rezolutie proiectiva cu A-bimodule alui A de lungime cel mult n, anume K•(A, C). Deci, în acest caz, HdimA ≤ n.

Daca HdimA ≤ n, atunci Mn = Ker(dn : A⊗ Cn ⊗ A → A⊗ Cn−1 ⊗ A), careapare în K•(A, C), este R-bimodul proiectiv si care da sirul exact:

49

4. Perechi Koszul

0← A← K0(A, C)← · · · ← Kn−1(A, C) dn←− Kn(A, C)← Mn ← 0.

Aplicînd acestui sir (−)⊗A R, obtinem o rezolutie a lui R cu A-module stîngiproiective, a carei lungime va fi cel mult n, din constructie. Deci pd(AR) ≤ n.Analog la dreapta.

În sfîrsit, daca pd(AR) ≤ n, atunci Cq = TorAq (R, R) = 0, ∀q > n, ceea ce

arata ca HdimA = pd(AR) = supn | Cn 6= 0 si similar pentru RA.

50

ANEXA A

A.1. Obiecte (co)simpliciale

Vom prezenta aici abordarea categoriala asupra definitiei (co)omologiei Ho-chschild, prezentînd, totodata, un context mai general. Vom avea nevoie decîteva notiuni categoriale, pe care le definim mai jos. Vom omite, de aseme-nea, demonstratiile rezultatelor prezentate, îndrumînd cititorul la referinte ca[Weibel], cap. 8 sau notele de seminar [Schwg].

Fie ∆ categoria sirurilor crescatoare de numere naturale. Obiectele acestei ca-tegorii le vom nota [n] = 0 < 1 < 2 < · · · < n, care sînt multimi finite siordonate, pentru orice n ∈ N. Morfismele acestei categorii sunt functiile cres-catoare între aceste obiecte.

Pentru o categorie A, un functor contravariant A : ∆op → A se numesteobiect simplicial în A. Vom nota An obiectul A([n]). Dual, un functor covariantC : ∆→ A se numeste obiect cosimplicial si notam Cn obiectul C([n]).

Este usor de aratat ca orice functie crescatoare poate fi descompusa în "pasi",cu ajutorul aplicatiilor "fata", ε i : [n]→ [n+ 1] si "degenerare", ηi : [n]→ [n− 1].Aceste aplicatii functioneaza astfel:

ε i(j) =

j, j < i

j + 1, j ≥ isi, respectiv ηi(j) =

j, j ≤ i

j− 1, j > i

De asemenea, aplicatiile de mai sus satisfac asa-numitele identitati simpliciale,anume:

ε jε i = ε iε j−1, ∀i < jηjηi = ηiηj+1, ∀i ≤ j

ηjε i =

ε iηj−1, i < j

Id[n], i = j, j + 1

ε i−1ηj, i > j + 1

51

A.

Asadar, a da un obiect simplicial A este echivalent cu a da obiectele An siniste operatori "fata", ∂i : An → An−1 si "degenerare" σi : An → An+1, caresatisfac identitatile simpliciale. Acesti din urma operatori se obtin simplu prin∂i = A(ε i) si σi = A(ηi).

Dat un obiect simplicial A într-o categorie abeliana A, lui i se asociaza uncomplex de lanturi, C• = C•(A•), care are ca obiecte Cn = An, ∀n ∈ N si

diferentialele d =n

∑i=0

(−1)i∂i, care aplica Cn → Cn−1.

Dual, dat un obiect cosimplicial, asociem un complex de colanturi.

A.2. Coomologia Hochschild

Prezentam acum, în contextul de mai sus, constructia mai generala a coomo-logiei Hochschild. Prezentarea va fi, desigur, în acord cu cea din capitolul 2 allucrarii, dar functioneaza si pentru alte obiecte.

Fie R o k-algebra fixata si M un R-bimodul. Definim un k-modul simplicial (i.e.un obiect simplicial în categoria kM) prin [n] 7→ M⊗ R⊗n, iar aplicatiile:

∂i(m⊗ r1⊗· · ·⊗ rn) =

mr1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ rn, i = 1

m⊗ r1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ ri−1 ⊗ riri+1 ⊗ ri+2 ⊗ · · · ⊗ rn, 0 < i < n

rnm⊗ r1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ rn−1, i = n

si σi(m⊗ r1 ⊗ · · · ⊗ rn) = m⊗ r1 ⊗ · · · ⊗ ri ⊗ 1⊗ ri+1 ⊗ · · · ⊗ rn, ∀0 ≤ i ≤ n.Omologia Hochschild HH•(R, M) a lui R cu coeficienti în M este k-modulul

HHn(R, M) = Hn(C(M⊗ R⊗•)).Dual, obtinem un k-modul cosimplicial prin [n] 7→ Homk(R⊗n, M) si aplica-

tiile:

(∂i f )(r0, . . . , rn) =

r0 f (r1, . . . , rn), i = 0

f (r0, . . . , ri−1, riri+1, ri+2, . . . , rn), 0 < i < n

f (r0, . . . , rn−1)rn, i = n

si (σi f )(r1, . . . , rn−1 = f (r1, . . . , ri, 1, ri+1, . . . , rn−1).Coomologia Hochschild va însemna atunci HH•(R, M) = H•(C(Homk(R⊗•, M)).

Ca o aplicatie, sa observam ca folosind aceasta constructie, este imediat faptulca HH0(R, M) = M/[M, R], deoarece Im(∂0 − ∂1) = mr− rm.

52

A.3. Monade si omologie


Vom prezenta succint conceptul de (co)monada într-o categorie si vom ve-dea cum el duce într-un mod interesant la rezolutii bar în categoria modulelor.Prezentarea urmeaza, în principal, [McLCat] pentru conceptele categoriale si[Weibel] pentru aplicatia la module.

Conceptul de monada într-o categorie arbitrara extinde pe acela de monoid,în categoria multimilor. De fapt, riguros, o (co)monada este o (co)algebra încategoria (monoidala a) endofunctorilor unei categorii. Definitia formala esteurmatoarea:

Definitie A.3.1. O monada > = (>, η, µ) într-o categorie X este un tripletformat dintr-un (endo)functor > : X → X si doua transformari naturale η :IdX → >, µ : >2 → >, astfel încît diagramele urmatoare sînt comutative:

>3 >µ //

µ>

>2

µ

>2 µ // >

si IdX >η> // >2

µ

> IdX>ηoo

> > >

.

Asa cum am remarcat, definitia extinde conceptul de monoid în categoriamultimilor, iar analogia este completa asociind transformarea naturala µ în-mulctirii monoidului, iar η, unitatii. Astfel, prima diagrama comutativa devineilustrarea proprietatii de "asociativitate" a înmultirii, iar cea dea doua, a propri-etatii unitatii bilaterale. Prin extensie, vom numi, uneori, µ înmultirea monadei,iar η, unitatea monadei.

Rezultatul-cheie care ne permite sa facem trecerea la rezolutii si teorii de(co)omologie leaga într-un mod foarte interesant monadele de perechile de func-tori adjuncti. Vom schita doar demonstratia, detaliile putînd fi consultate în[McLCat], p. 138.

Propozitie A.3.1. Orice pereche de functori adjuncti da o monada.

Demonstratie: (Schita) Fie adjunctia (F, G, ϕ) : X → A. Conform [McLCat],Teorema 1, p.82, adjunctia determina o transformare naturala η : IdX → GF,numita unitatea adjunctiei, precum si o transformare naturala ε : FG → IdA,

astfel încît compunerile GηG−→ GFG Gε−→ G si F

Fη−→ FGF εF−→ F sînt identitati.Atunci, cei doi functori dau nastere la un endofunctor > = GF, unitatea ad-

junctiei η este chiar transformarea naturala de care avem nevoie, iar counitateada o înmultire a monadei, prin aplicatia µ = GεF : GFGF = >2 → GF = >.Axiomele adjunctiei asigura acum comutativitatea celor doua diagrame din de-finitia monadei.

Conceptul dual este acela de comonada, definit formal mai jos:

Definitie A.3.2. O comonada într-o categorie A este un triplet ⊥= (⊥, ε, δ)

format dintr-un (endo)functor ⊥: A → A si doua transformari naturale ε :⊥→IdA, δ :⊥→⊥2, care fac diagramele comutative:

53

A.

⊥ δ //

δ

⊥2

⊥δ

⊥2δ⊥// ⊥3

si ⊥ ⊥

δ

⊥

IdA ⊥ ⊥2ε⊥oo

⊥ε// ⊥ IdA

.

Întru totul dual, avem si urmatoarea:

Propozitie A.3.2. Orice adjunctie (F, G, ϕ) da o comonada (FG, ε, FηG).

Urmînd acum [Weibel], asociem unei comonade un obiect simplicial, în ace-easi categorie.

Data o comonada ⊥ într-o categorie A si un obiect A ∈ A, asociem lui ⊥ unobiect simplicial înA definind ⊥n A =⊥n+1 A, iar operatorii fata si degeneraresa fie

∂i =⊥i ε ⊥n−i : ⊥n+1 A→⊥n A,σi =⊥i δ ⊥n−i : ⊥n+1 A→⊥n+2 A.

Dual, data o monada > într-o categorie C, definim Ln = >n+1C si operatorii

∂i = >i η >n−i, σi = >i µ >n−i

pentru orice obiect C ∈ C. Astfel, avem L• = >•+1C un obiect cosimplicial înC, pentru orice obiect C din aceasta categorie.

Desigur, ajunsi pe tarîm cunoscut, putem asocia acestor obiecte (co)simplicialecomplexele care dau (co)omologia Hochschild, conform sectiunii anterioare dinAnexa. Sa facem lucrurile mai clare, obtinînd asa-numita rezolutie bar.

Definitie A.3.3. Fie ⊥ o comonada într-o categorie A. Un obiect A ∈ A senumeste ⊥-proiectiv daca εA :⊥ A → A are o sectiune f : A →⊥ A, i.e.εA f = IdA.

Pentru exemplificare, pornind de la perechia adjuncta (F, G, ϕ) si comonada⊥= FG, atunci orice obiect de FC, ∀C ∈ A este ⊥-proiectiv, deoarece aplicatiaFη : FC → F(GFC) =⊥ (FC) este sectiunea cautata, din chiar definitiile ad-junctiei si asocierile din Prop. A.3.2.

Mai amintim o notiune utila:

Definitie A.3.4. Fie (X•, δ•) un complex pozitiv de lanturi de A-module, cuA un inel arbitrar. Daca M este un A-modul, atunci numim o augmentare alui X• peste M un morfism de A-module ε : X0 → M pentru care compunerea

X1δ1−→ X0

ε−→ M este triviala, i.e. ε δ1 = 0. Un complex care are o augmentarese numeste complex augmentat.

Definitie A.3.5. Un complex simplicial augmentat (de A-module) X•δ•−→ X0

ε−→M→ 0 se numeste contractibil daca exista familia de morfisme f• : X• → X•+1,astfel încît ε f−1 = Id, δn+1 fn = Id, ∀n ≥ 0, δ0 f0 = f−1 ε si δi fn =

fn−1 δi, ∀0 ≤ i ≤ n.

54


Un rezultat simplu este ca orice complex contractibil este asferic.Cu acestea, putem da acum rezultatul care prezinta rezolutia canonica asoci-

ata unei comonade.

Propozitie A.3.3. Fie ⊥ o comonada într-o categorie abeliana A. Daca A esteun obiect ⊥-proiectiv din A, atunci obiectul simplicial augmentat ⊥• A ε−→ Aeste asferic, i.e. complexul augmentat de lanturi asociat este exact:

0← A ε←−⊥ Aδ0−δ1←−−−⊥2 A d←−⊥3 A← . . . (A.3.1)

Demonstratie: Augmentarea ε este chiar ε din asocierea canonica a unui obiectsimplicial unei comonade, din chiar identitatile simpliciale respectate de opera-torii asociati.

Pentru n ≥ 0, definim inductiv familia de morfisme fnn prin fn =⊥n+1

f :⊥n+1 A →⊥n+2 A si punem f−1 = f . Prin definitie, δn+1 fn =⊥n+1 (ε f ) =Id si δ0 f0 = (ε ⊥)(⊥ f ) = f ε.

Acum, pentru n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n, punînd j = n − i, B =⊥j, g =⊥j f , dinnaturaletea lui ε:

δi fn = (⊥i ε⊥N)(⊥i⊥ g) = (⊥i g)(⊥i εB) = fn−1δi (A.3.2)

Calcule simple arata acum ca familia de morfisme fnn face ⊥• A→ A con-tractibil, deci asferic. .

Aplicînd acum acest rezultat pentru comonada asociata unei adjunctii, avemsuccesiv:

Corolar A.3.1. Fie A o categorie abeliana si G : A → C un functor care admiteadjunct la dreapta, F : C → A. Atunci, pentru orice obiect C ∈ C, obiectulsimplicial augmentat asociat ⊥• (FC)→ FC are complexul asociat contractibil,deci asferic în A.

Propozitie A.3.4. Fie G : A → C un functor care admite un adjunct la stîngaF : C → A. Atunci pentru toate obiectele A ∈ A, obiectul simplicial augmen-

tat G(⊥• A)Gε−→ GA are complexul asociat contractibil în C, deci asferic. (Se

defineste f−1 = ηG : GA→ GFGA = G(⊥ A) si fn = ηG ⊥n.)

Aplicatia mult asteptata este pentru categorii de module, unde vom obtinerezolutia bar.

Fie k→ R un morfism de inele (care ne permite sa transferam structura unuiR-modul pe un k-modul) si functorul uituc U :R M→k M. Atunci el admite unadjunct la dreapta, anume F(M) = R⊗k M, ∀R M. Asadar, obtinem comonada⊥= FU în RM. Complexul de lanturi asociat obiectului simplicial ⊥• M senumeste rezolutia bar (nenormalizata) a lui R M, notat β•(R, M). Conform cu aso-cierea dintre o comonada si un complex simplicial, componentele rezolutiei sîntβ0(R, M) = R⊗k M si βn(R, M) = R⊗k(n+1) ⊗k M, iar rezolutia arata astfel:

0← M ε←− R⊗k M← R⊗k R⊗k M← . . . (A.3.3)

Vom folosi, de asemenea, complexul normalizat, definit astfel:

55

A.

Definitie A.3.6. Fie A un obiect simplicial într-o categorie abeliana A. Se nu-meste complexul (de lanturi) normalizat complexul (de lanturi) (N•(A), ∂•),care are componentele:

Nn(A) =n−1⋂i=0

ker(δi : An → An−1) si diferentialele ∂n =n−1

∑i=0

(−1)iδi.

Aplicînd aceasta pentru rezolutia bar β•(R, M), obtinem normalizata (β•(R, M), δ),care are componentele βn(R, M) = R⊗ R⊗n ⊗M, unde R este conucleul mor-fismului unitar de inele k→ R. Diferentialele sînt date de:

δ(r0 ⊗ r1 ⊗ · · · ⊗ rn ⊗m) = r0r1 ⊗ r2 ⊗ · · · ⊗ rn ⊗m

+n−1

∑i=1

(−1)ir0 ⊗ · · · ⊗ ri−2 ⊗ riri+1 ⊗ ri+2 ⊗ · · · ⊗m

+ (−1)nr0 ⊗ r1 ⊗ · · · ⊗ rn−1 ⊗ rnm.

56

BIBLIOGRAFIE

[BGS] Beilinson, A., Ginzburg, V., Soergel, W. - Koszul Duality Patterns in Repre-sentation Theory, Journal of AMS, Vol. 9, No. 2, April 1996

[BrzW] Brzezinski, T., Wisbauer, R. - Corings and Comodules, London Mathema-tical Society Lecture Note Series 309, CUP, 2003

[DNR] Dascalescu, S., Nastasescu, C., Raianu, S. - Hopf Algebras - An Introduc-tion, M. Dekker, 2001

[JPS1] Jara, P., Pena, J.L., Stefan, D. - Koszul Pairs, submitted

[JPS2] Jara, P., Pena, J.L., Stefan, D. - On Koszulity of Twisted Tensor Products,arXiv, http://arxiv.org/abs/1011.4243v1, 2010

[Loday] Loday, J-L. - Cyclic Homology, Springer, 1992

[McLCat] MacLane, S. - Categories for the Working Mathematician, Second Edi-tion, Springer, 1998

[McLHom] MacLane, S. - Homology, Springer, Fourth Printing 1994

[PP] Polishchuk, A., Positselski, L. - Quadratic Algebras, University Lecture Se-ries, Vol. 37, AMS 2005

[Rotman] Rotman, J.J. - An Introduction to Homological Algebra, Springer, 2009

[Schwg] Schweigert, P. - Hochschild Cohomology, Seminar Talk Lecture Notes,2011

[Seibt] Seibt, P. - Cyclic Homology of Algebras, World Scientific, 1987

[DS] Stefan, D. - Algebre necomutative formal netede, Editura Universitatii Bucu-resti, 2002

57

http://arxiv.org/abs/1011.4243v1

Bibliografie

[Vermani] Vermani, L.R. - An Elementary Approach to Homological Algebra, Cha-pman & Hall/CRC, 2003

[Weibel] Weibel, C. - An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Univer-sity Press, 1994

58

Metode omologice în studiul algebrelor necomutativeINTRODUCERE Vom prezenta, în aceasta˘ lucrare,...

Documents

Transcript of Metode omologice în studiul algebrelor necomutativeINTRODUCERE Vom prezenta, în aceasta˘ lucrare,...