METODE LINEARNE IN NELINEARNE ANALIZE ČASOVNIH VRST … · Graf drse če sredine je ... Metode...
Transcript of METODE LINEARNE IN NELINEARNE ANALIZE ČASOVNIH VRST … · Graf drse če sredine je ... Metode...
UNIVERZA V LJUBLJANI
EKONOMSKA FAKULTETA
MAGISTRSKA NALOGA
METODE LINEARNE IN NELINEARNE ANALIZE ČASOVNIH VRST PRI VREDNOSTNIH PAPIRJIH IN VREDNOTENJE NALOŽBENIH
ŽIVLJENJSKIH ZAVAROVANJ
MARIBOR, APRIL 2010 SEBASTIJAN PUNGRAČIČ
IZJAVA Študent Sebastijan Pungračič izjavljam, da sem avtor/ica tega specialističnega/magistrskega dela, ki sem ga napisal v soglasju s svetovalcem doc. dr. Matjažem Perc in sosvetovalcem doc. dr. Liljano Ferbar Tratar, in da v skladu s 1. odstavkom 21. člena Zakona o avtorskih in sorodnih pravicah dovolim objavo njegove objave na fakultetnih spletnih straneh.
V Ljubljani, dne ___________________ Podpis:______________________
i
KAZALO
UVOD ........................................................................................................................................ 1
1 KAPITALSKI TRGI IN POTREBA PO NAPOVEDIH .............................................. 4
2 METODE ANALIZE KAPITALSKIH TRGOV ........................................................ 12
2.1 Temeljna analiza ...................................................................................................... 12
2.1.1 Kazalnik P/E ....................................................................................................... 14
2.1.2 Kazalnik P/B ...................................................................................................... 15
2.1.3 Dividendna donosnost ........................................................................................ 16
2.2 Tehnična analiza ...................................................................................................... 17
2.2.1 Teorija Charlesa Dowa ....................................................................................... 18
2.2.2 Teorija Elliotovih valov ..................................................................................... 19
2.2.3 Grafični del tehnične analize .............................................................................. 20
2.2.4 Indeks relativne moči (RSI) ............................................................................... 20
2.2.5 Drseča povprečja ................................................................................................ 22
2.2.6 MACD ................................................................................................................ 24
2.2.7 Stohastični oscilator ........................................................................................... 25
3 LINEARNE IN NELINEARNE ANALIZE ČASOVNIH VRST .............................. 26
3.1 Opis metod linearne analize časovnih vrst ............................................................ 28
3.2 Nelinearne analize časovnih vrst – teorija kaosa .................................................. 30
3.2.1 Uvod v nelinearne analize časovnih vrst ............................................................ 30
3.2.2 Vpogled v teorijo kaosa ...................................................................................... 32
3.2.3 Determinizem ..................................................................................................... 37
3.2.4 Rekonstrukcija faznega prostora ........................................................................ 38
3.2.5 Določitev časovnega zamika .............................................................................. 39
3.2.6 Določitev vgrajene dimenzije ............................................................................. 40
3.2.7 Največji Lyapunov eksponent ............................................................................ 42
3.2.8 Napovedi prihodnjih vrednosti časovne vrste .................................................... 45
4 ANALIZA VREDNOSTNIH PAPIRJEV Z NELINEARNIMI METODAMI ........ 46
4.1 Vrednostni papir 1 – delnica podjetja Google (GOOG) ...................................... 47
4.2 Vrednostni papir 2 – delnica podjetja Microsoft (MSFT) ................................... 52
4.3 Vrednostni papir 3 – vzajemni sklad RASTKO ................................................... 58
4.4 Primer preproste razlage gospodarske krize s pomočjo teorije kaosa ............... 63
ii
4.5 Zaključki iz nelinearne analize vrednostnih papirjev in možnosti njihove uporabe pri upravljanju s tveganji ................................................................................... 64
5 NALOŽBENO ŽIVLJENJSKO ZAVAROVANJE .................................................... 68
5.1 Splošen opis naložbenih življenjskih produktov in njihovih lastnosti ................ 69
5.2 Oblike oziroma tipi naložbenega življenjskega zavarovanja .............................. 71
5.2.1 Klasično življenjsko zavarovanje s padajočo zavarovalno vsoto, priključeno varčevanju v investicijskem skladu .................................................................................. 71
5.2.2 Integrirano naložbeno življenjsko zavarovanje .................................................. 72
5.2.3 Univerzalno življenjsko zavarovanje ................................................................. 73
5.2.4 Variabilno življenjsko zavarovanje .................................................................... 74
5.3 Tveganja, ki se pojavljajo pri naložbenih življenjskih zavarovanih................... 75
5.3.1 Regulatorna tveganja .......................................................................................... 75
5.3.2 Operativna tveganja ............................................................................................ 76
5.3.3 Zavarovalna tveganja ......................................................................................... 77
5.3.4 Finančna oziroma naložbena tveganja ............................................................... 78
5.4 Regulativne spremembe na zavarovalniškem trgu ............................................... 79
5.5 Upravljanje s naložbenimi tveganji pri naložbenih življenjskih zavarovanjih z vključenim jamstvom ......................................................................................................... 80
5.5.1 Jamstva pri naložbenih življenjskih zavarovanjih .............................................. 82
5.5.2 Vrednotenje naložbenih življenjskih zavarovanj in vgrajenih jamstev .............. 83
5.5.3 Upravljanje s tveganji ......................................................................................... 85
5.6 Primer izračuna tveganja pri produktu, pri katerem se plača enkratna premija in ima vgrajeno jamstvo .................................................................................................... 86
SKLEP ..................................................................................................................................... 95
LITERATURA IN VIRI ........................................................................................................ 96
iii
KAZALO SLIK
Slika 1 : Uporaba Fibonaccijevih nivojev pri splošnemu trendu navzdol ............................... 19
Slika 2 : Uporaba RSI index-a ................................................................................................. 21
Slika 3 : Prikaz drseče sredine (povprečja). Graf drseče sredine je narisan s črto na istem
grafu kot gibanje cene. ............................................................................................................. 23
Slika 4 : Uporaba MACD. ........................................................................................................ 24
Slika 5 : Uporaba stohastičnega oscilatorja. ........................................................................... 25
Slika 6 : Obnašanje funkcije iz primera 1, pri a=3 in x0= 0,99. ............................................. 34
Slika 7 : Slika funkcije iz primera 1 v faznem prostoru oziroma atraktor funkcije. ................. 34
Slika 8 : Kaotično obnašanje logistične preslikave pri A=3,9 in x0=0,01. ............................. 35
Slika 9 : Atraktor logistične preslikave. ................................................................................... 35
Slika 10 : Spreminjanje cene vrednostnega papirja z oznako GOOG (delnica podjetja Google)
.................................................................................................................................................. 47
Slika 11 : Spreminjanje dnevnega donosa vrednostnega papirja GOOG skozi čas. ............... 48
Slika 12 : Močnostni spekter vrednostnega papirja GOOG .................................................... 48
Slika 13 : Frekvenčni spekter vrednostnega papirja GOOG ................................................... 49
Slika 14 : Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika . 50
Slika 15 : Grafični prikaz deleža napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor. ......................................................................................................... 50
Slika 16 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta iz časovne vrste ......................... 51
Slika 17 : Atraktor vrednostnega papirja GOOG v faznem prostoru, preslikan na ravnino. .. 52
Slika 18 : Spreminjanje vrednosti delnice MFST skozi čas...................................................... 53
Slika 19 : Dnevno spreminjanje donosa delnice MSFT skozi čas ............................................ 54
Slika 20 : Frekvenčni spekter časovne vrste delnice MSFT ..................................................... 54
Slika 21 : Določanje časovnega zamika s pomočjo metode vzajemne informacije.................. 55
Slika 22 : Delež napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije vpenjanja v fazni
prostor ...................................................................................................................................... 56
Slika 23 : Izračunavanje maksimalnega Lyapunovega eksponenta za delnico podjetja
Microsoft .................................................................................................................................. 57
Slika 24 : Atraktor dobljen iz časovne vrste delnice MSFT pri časovnem zamiku 4 in dimenziji
faznega prostora 7 .................................................................................................................... 57
Slika 25 : Spreminjanje cene vzajemnega sklada Rastko skozi čas ......................................... 58
Slika 26 : Spreminjanje dnevnega donosa vzajemnega sklada Rastko .................................... 59
iv
Slika 27 : Frekvenčni spekter vzajemnega sklada Rastko ........................................................ 60
Slika 28 : Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika . 60
Slika 29 : Grafični prikaz odstotka napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor. ......................................................................................................... 61
Slika 30 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta iz časovne vrste ......................... 62
Slika 31 : Atraktor vzajemnega sklada Rastko v faznem prostoru, preslikan na ravnino. ....... 62
Slika 32 : Razvoj vrednosti točke kritnega sklada v preteklosti ............................................... 87
Slika 33 :Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika .. 88
Slika 34 : Grafični prikaz deleža napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor .......................................................................................................... 88
Slika 35 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta .................................................... 89
Slika 36 : Primerjava atraktorja kritnega sklada (zgoraj) z atraktorjem enega od znanih
primerov kaosa (spodaj) ........................................................................................................... 89
Slika 37: Grafični prikaz časovnega spreminjanja riziko zavarovalne vsote ocenjene z
nelinearnimi metodami in primerjava z povprečno vrednostjo riziko zavarovalne vsote ........ 92
KAZALO TABEL
Tabela 1 : Časovno spreminjanje relativne vrednosti premoženja in riziko zavarovalne vsote
.................................................................................................................................................. 91
Tabela 2: izračun premijske stopnje za enkratno premijo iz pričakovanega portfelja ............ 94
1
UVOD
Zavarovalništvo je gospodarska dejavnost, katere cilj je ustvarjanje varnosti, ki temelji na
načelu izravnave tveganja. Tako je funkcija zavarovanja varovanje posameznikovega
premoženja oziroma zmanjšanje tveganja izgube premoženja. Z mikroekonomskega vidika
gre za povečevanje pričakovane koristnosti z uravnavanjem tveganja ob nespremenjeni
pričakovani višini premoženja. To zavarovalnice ustvarjajo na ta način, da se iz prispevkov
velike količine posameznikov (zavarovalnih premij), ki so izpostavljeni enakim nevarnostim,
izplača zavarovalna vsota tistim, ki so upravičeni do tega ob nastopu zavarovanega dogodka
(tveganja).
Zavarovalnice so pogosto partner države pri ustvarjanju kolektivne in individualne socialne
varnosti in imajo, predvsem strateško, izreden pomen za finančni sektor in celotno
gospodarstvo, saj se z razvojem gospodarstva povečuje potreba po varnosti premoženja. Tako
zavarovalnice predstavljajo pomemben steber varnosti za prebivalstvo in gospodarstvo in so
po bilančni vsoti za bankami in investicijskimi skladi tretji največji akter na kapitalskih trgih.
Zavarovalno-tehnične rezervacije, katerih namen je kritje prihodnjih obveznosti in izgub
zaradi tveganj iz naslova zavarovanj, imajo poseben pomen. Zavarovalnice jih nalagajo v
različne oblike naložb (zaradi svojega interesa, ter interesa gospodarstva in pogosto tudi
zavarovalcev), ki jim omogočajo doseganje dobička kljub vse večji in ostrejši konkurenci, ter
posledičnemu zniževanju zavarovalnih premij. Kompleksnost zavarovalniških produktov in
kritij, spreminjanje podnebja (globalno segrevanje) in svetovni trendi povzročajo, da je
naložbena uspešnost za zavarovalnice vse pomembnejša, saj poskušajo izpade prihodkov
zaradi zaostritve konkurence in nižjih premij ter dodatnih stroškov zaradi vse večjih škod,
nadomestiti z aktivno, učinkovito in agresivno naložbeno politiko. Pomembnost načela
varnosti zavarovalnicam otežuje doseganje dobičkov, k čemur dodatno izdatno prispeva
spremenljivost kapitalskih trgov. Zavoljo tega so za zavarovalnice pomembna znanja, ki
omogočajo doseganje dobičkov iz naložb s pomočjo aktivnega upravljanja sredstev. Pri tem
imajo velik pomen analize preteklih podatkov, na osnovi katerih se poskuša na različne načine
napovedati vrednosti naložb. To je zavarovalnicam v veliko pomoč pri načrtovanju likvidnosti
in ALM (asset liability management) procesu.
V svetu so že uveljavljeni različni tipi analiz. Večina statističnih analiz trga temelji na
linearnih modelih oziroma predpostavkah (npr. hipoteza učinkovitega trga (efficient market
hypotesis – EMH), teorija kapitalskih trgov in povezani teoretični modeli v financah, kot je
2
npr. capital asset pricing model (CAPM), trendi…). Čeprav je splošno sprejeto, da nove
informacije in spoznanja prihajajo na kapitalske trge naključno, pa kljub temu morda lahko
dokažemo nasprotno. Teorija kaosa je namreč razvila nelinearne metode s katerimi išče
ponavljajoče se vzorce v časovnih vrstah, ki sicer kažejo popolnoma naključno obnašanje.
V nalogi bom najprej predstavil »standardne« metode analize kapitalskih trgov, ki jih bom
nadgradil z opisom nekaterih novejših, tako linearnih kot nelinearnih metod analize. Metode
linearne analize pri tem temeljijo predvsem na sprektralnih analizah, ki so razmeroma
preproste in dostopne. Opisal in prikazai bom uporabo hitre Fourierjeve transformacije, ki je
značilni predstavnik te metode. Linearne metode ne upoštevajo morebitnih nelinearnih ali
stohastičnih prispevkov in njihovih vplivov na časovni potek časovne vrste, zaradi česar so
uporabne le v omejenem obsegu. Metode nelinearne analize so bolj raznolike in imajo širši
spekter uporabe ter večji potencial. Opisal in uporabil bom le nekatere metode, komentiral
rezultate ter opozoril na potencialne nevarnosti pri interpretaciji rezultatov.
Osnovna hipoteza pri metodah nelinearne analize časovnih vrst je, da lahko najdemo v
časovni vrsti nek ponavljajoči se vzorec. V primeru, da tak vzorec najdemo, govorimo o
kaotični urejenosti časovne vrste. Na podlagi uporabe nelinearnih metod na konkretnih
časovnih vrstah iz kapitalskih trgov bomo v sicer navidezno neurejenih in volatilnih časovnih
vrstah poiskali kaos v časovni vrsti. Četudi najdemo kaos v časovni vrsti, to ne zagotavlja
brezpogojno uporabnosti za natančne napovedi daleč v prihodnost. Kaos nam namreč daje
dodatne informacije o gibanju vrednosti časovne vrste, ki nam pomagajo pri kratkoročnem
napovedovanju vrednosti v časovni vrsti, kar lahko pomaga pri morebitnem hitrem doseganju
dobičkov iz naložb.
Metode nelinearne analize časovnih vrst so v zavarovalništvu lahko zelo uporabne, čeprav se,
zaradi zapletenosti, v praksi ne uporabljajo. Zelo dober primer tega je uporaba nelinearnih
metod pri oceni tveganja za jamstva minimalnega letnega donosa ali minimalnega izplačila ob
doživetju. Takšen način je namreč zelo zapleten, saj bi morali tveganje ocenjevati mesečno,
kar pomeni, da bi morali redno iskati kaos v časovni vrsti nanašajočega se vrednostnega
papirja, preverjati pretekle izračune, ter uporabiti in korigirati nove napovedi za oceno
potrebne premije za tveganje.
Tudi za analizo kapitalskih trgov so nelinearne metode uporabne le z omejitvami. Predpisi
namreč zavarovalnicam omejujejo svobodo pri investiranju in zahtevajo konzervativno
3
naložbeno politiko. Zaradi zanesljivosti le pri kratkoročnih napovedih je lahko teorija kaosa
uporabna pri upravljanju s sredstvi in iskanju pravega trenutka njihovo prodajo.
Glavni cilji magistrske naloge so:
• zbrati metode nelinearne analize časovnih vrst na enem mestu;
• uporabiti metode nelinearne analize na časovnih vrstah kapitalskih in finančnih trgov;
• prikazati primer uporabe metod pri razvoju zavarovanja, česar še ni bilo zaslediti v
literaturi.
Magistrsko delo je zastavljeno v naslednjem vsebinskem zaporedju: uvodu sledi osnoven opis
kapitalskih trgov (drugo poglavje) ter predstavitev nekaterih klasičnih metod analize
kapitalskih trgov (tretje poglavje). V četrtem poglavju so najprej predstavljene modernejše
tehnike linearne analize časovnih vrst. V drugem delu četrtega poglavja so podrobno opisane
nekatere nelinearne metode analize časovnih vrst. V petem poglavju se prikaže uporaba
nelinearnih metod pri praktičnih primerih. Sledi šesto poglavje, v katerem so najprej
predstavljena naložbena življenjska zavarovanja in nato prikaz uporabe nelinearnih metod pri
razvoju produkta naložbenega življenjskega zavarovanja.
4
1 KAPITALSKI TRGI IN POTREBA PO NAPOVEDIH
V letih pred 2008 so bili donosi na ljubljanski borzi zelo visoki, in povprečni vlagatelj se je
lahko veselil zelo visokih, celo nadpovprečnih donosov. Razlogov je bilo več, med njimi sta
najpomembnejša predvsem razni prevzemi podjetij in povečan pritok kapitala, pa tudi drugi o
katerih je še govora v nadaljnjem besedilu. Zlom ameriškega nepremičninskega trga v letu
2007 je imel velik vpliv na ostale veje gospodarstva, saj je bilo v obtoku precej
»nekvalitetnega« denarja, pojavili pa so se problemi nelikvidnosti posameznikov in podjetij.
Vpliv se je razširil tudi na ostali svet in na kapitalske (finančne) trge. Tudi v Sloveniji smo
bili priča pravemu zlomu na ljubljanski borzi. Po dokaj dobrem prvem mesecu poslovanja v
letu 2008 je cena delnic v aprilu tako padla pod raven lanskega aprila, kasneje pa se padec ni
ustavil. Precej delnic je padlo na najnižjo raven v zadnjih 10 letih. Vsi vlagatelji so torej
izgubljali, izgube pa so bile pogosto tudi čez 30%. Če so bila prejšnja leta za vlagatelje na
borzi zelo ugodna, lahko prvi del leta 2008 že sedaj opišemo z ravno nasprotnimi besedami.
Govorimo celo o delnem zlomu kapitalskih trgov, vsekakor pa o veliki svetovni finančni in
gospodarski krizi.
Kot vse borze, je tudi slovenska borza je prav v tem času doživela največji padec v vsej svoji
zgodovini. Na mestu so vprašanja, kot so: Ali je ta tako velik padec takšna redkost? Je morda
dvig ali pa padec borznega indeksa za 10 % ali več v enem dnevu res tako redek pojav? Ali
lahko pričakujemo še kakšen hud padec ali visok dvig cen na borzi? Če da, ali ga lahko
napovemo? Vzroki za spremembe so lahko zelo različni in zaradi nepoznavanja možnega
vzroka za naslednji padec je dajanje dolgoročnih napovedi o cenah zelo težka naloga, saj
želimo napovedi neodvisno od vzrokov.
Na nekatera postavljena vprašanja si lahko odgovorimo že, če malce pregledamo preteklost
gibanja cen na borzah, tako slovenskih kot tujih, torej če na hitro pogledamo časovne vrste
cen vrednostnih papirjev na različnih kapitalskih trgih. S hitrim pogledom ugotovimo veliko
spremenljivost oziroma volatilnost cen. Fluktuacije so najobičajnejši pojav pri kapitalskih
trgih. Čeprav so običajno manjše, lahko od časa do časa opazimo tudi velike spremembe
oziroma preskoke tako navzdol kot navzgor. Zatorej veliki dvigi ali padci cen vrednostnih
papirjev niso nič neobičajnega oziroma nenavadnega. Če pogledamo izven slovenskega
borznega trga za več let nazaj, vidimo velik padce in poskoke v vrednostih nekaterih
vrednostnih papirjev. Zelo poučen je primer indeksa tajske borze, ki je doživel v letu 1997
5
velik padec in se v prvem četrtletju 1998 močno popravil (v februarju 1998 pa samo v enem
dnevu doživeli 12 % skok), septembra istega leta pa je imel najmanjšo vrednost v 10 letih.
Seveda odgovor na vprašanja kot so: »Ali lahko napovemo dimenzije fluktuacij na kapitalskih
trgih? Ali lahko predvidimo vrednost nekega vrednostnega papirja čez nekaj let? Če da, na
kak način? Če ne, kako bi to pokazali in kako postopati v tem primeru?« ni tako trivialen.
Napovedi prihodnjih vrednosti časovnih vrst je problem, s katerim se ne soočajo le ekonomski
subjekti, pač pa je pomemben tudi na drugih področjih in predstavljajo velik izziv za
praktične oziroma uporabne ekonometrične raziskave na veliko področjih (npr. napoved
naslednjega zmagovalca v svetovnem prvenstvu v nogometu, napoved potresa v geologiji in
zavarovalništvu, vse bolj aktualne podnebne spremembe prinašajo izzive napovedi neurja,
dimenzioniranje objektov v gradbeništvu, prometni tokovi in profitabilnost nekega
logističnega podjetja…). Napovedovanje prihodnjih dogodkov je pomembno vprašanje tako v
znanosti kot v praksi in pri tem imajo časovne vrste velik pomen, saj iz njih lahko dobimo
prenekatero informacijo.
Z vidika preučevanja so časovne vrste cen na kapitalskih trgih zelo zanimive, saj je na voljo
veliko podatkov, ki so zelo raznoliki. Napovedovanje vrednosti in fluktuacij na kapitalskih
trgih je vprašanje, ki je zelo pomembno za vse borznike, finančnike ter finančne matematike,
seveda pa se z njim precej ukvarjajo tudi gospodarstveniki oziroma ekonomisti. Na področju
zavarovalništva se s temi vprašanji ukvarjajo aktuarji in statistiki, za katere so različni tipi
analiz vrednostnih papirjev prav tako zelo pomembni. Posebej zaradi tega, ker se je v zadnjem
času razvoj zavarovalništva obrnil v smeri, kjer imajo kapitalski trgi z vrednostnimi papirji (in
tudi izvedenimi finančnimi instrumenti) vse večji pomen.
Finančne napovedi in predvidevanja morajo seveda biti čim natančnejše. Pogosto so pri
analizah pomembne statistične lastnosti časovnih vrst vrednostnih papirjev. Te lastnosti so
finančnike in ekonomiste vedno zanimale in bile predmet njihovih raziskav, cene vrednostnih
papirjev pa se napovedujejo z napovedovanjem vrednosti prihodnjih točk njihove časovne
vrste. Zapis tovrstnih vrednosti je dostopen za mnogo let nazaj, zaradi česar je takšno
napovedovanje eden najpopularnejših načinov predvidevanja cen vrednostnih papirjev v
prihodnosti. Napovedovanje cen vrednostnih papirjev pa ni lahka naloga, saj so trgi zelo
kompleksni, nenehno razvijajoči se in nelinearni dinamični sistemi, na katerih se cene delnic
in drugih vrednostnih papirjev na odprtem trgu spreminjajo zelo frekventno. Dinamičnost teh
trgov je odraz številnih medsebojno soodvisnih ekonomskih, politoloških, socioloških,
6
psiholoških in drugih faktorjev, zaradi katerih je naloga napovedovanja cen na kapitalskih
trgih precej težka.
Z napovedmi cen vrednostnih papirjev na kapitalskih trgih se ukvarjajo borzni posredniki,
pogosto pa so te predmet raziskav ekonomistov, statistikov in drugih. Za opisovanje dogajanja
s cenami in napovedovanje trendov, se pri tem največkrat oprejo na najrazličnejše metode
analiz, ki temeljijo na linearnih ali nelinearnih predpostavkah. Največkrat se v praksi in pri
poučevanju uporabljajo metode klasične analize, kot sta npr. tehnična analiza in
fundamentalna analiza, ki sta primerni predvsem za delnice in kratkoročne napovedi.
Predpostavka temeljne (fundamentalne) analize je, da ima posamezna delnica v vsaki točki v
času pravo vrednost oziroma ravnotežno vrednost.Ta je odvisna od potencialnega zaslužka, ki
ga delnica prinaša. Na potencialni zaslužek delnice vplivajo številni zunanji dejavniki. Ti
dejavniki so največkrat kvaliteta vodstva oziroma managementa družbe, splošno poslovno
okolje, možnost razvoja področja, na katerem deluje družba, splošna ekonomska
predvidevanja in drugi. S previdno in podrobno analizo in študijem teh faktorjev bo analitik v
splošnem sposoben oceniti ali je trenutna cena delnice nad ali pod ravnotežno vrednostjo. V
primeru, da bi bila dejanska cena blizu ravnotežne vrednosti, je poskus najti trenutno ceno
delnice ekvivalenten iskanju njene prihodnje cene. To je bistvo postopka napovedovanja pri
fundamentalni analizi. Kot vidimo, je postopek pri fundamentalni analizi razmeroma preprost,
vendar zahteva precej informacij, med drugim tudi informacije o poslovanju podjetja, na
katerega se delnica nanaša. Primeren je za kratkoročne napovedi gibanja cene delnic, nikakor
pa ni primeren za dolgoročne napovedi, ki bi jih želeli napovedati/oceniti pri ocenjevanju
naložbenih tveganj v primeru naložbenih življenjskih zavarovanj. Zato so te metode zelo
cenjene pri borznih posrednikih, medtem ko so za aktuarje neprimerne. Včasih se namreč
lahko cena delnice spremeni iz razlogov, ki jih v temeljni analizi ni mogoče zaznati. Zato je
tukaj tehnična analiza, ki razloge pojasnjuje, vendar za nazaj. Pomembno pa je, da jih poskuša
tudi predvideti v prihodnosti.
Tehnična analiza predvideva gibanje kapitalskih trgov v trendih, jih poišče in uporabi za
napovedovanje. Pri tem načinu se torej za napovedovanje uporabijo podatki iz preteklosti in
obseg informacij, ki so na voljo. Tehnična analiza predpostavlja ponavljajoče se vzorce, ki jih
lahko predvidi. Tako uporablja številna orodja za iskanje vzorcev ter tehnične indikatorje, ki
jih dobi iz časovnih vrst cen in prometa z vrednostnimi papirji. V teoriji se lahko uporabljajo
7
številne tehnike in metode, medtem ko se v praksi uporabljajo splošno priznane metode (npr.
Elliotovi valovi in druge, opisane kasneje).
V zgodovini najdemo precej ljudi iz akademske sfere, predvsem ekonomistov in statistikov, ki
so prispevali k radikalno drugim pristopom k analizi cen na delniških trgih. Predvsem v
zadnjem času je z uporabo metod iz naravoslovnih znanosti, predvsem fizike, v ekonomiji
nastalo precej različnih modelov (nekateri so se razvili kot posledica primernosti podatkov
cen na kapitalskih trgih za testiranje in preverjanje raznih metod za analizo), ki kot osnovo za
analizo gibanja cen uporabljajo časovne vrste preteklih cen, ter jih analizirajo z metodami, ki
so se v preteklosti uporabljale samo pri razlagah pojavov v naravoslovju. Nastale so nove
interdisciplinarne znanosti, kot je npr. ekonofizika. Zelo pomemben model, linearen po svoji
naravi, in eden prvih, ki je plod sodelovanja različnih vej znanosti pri raziskavah, je model
naključnega sprehajalca. Teorija naključnega sprehajalca je pomenila radikalen premik od
osnovnih metod za analizo ter opisovanje in napovedovanje cen na borznih trgih (npr. od
metode fundamentalne analize), ki so zaradi svoje preprostosti zelo popularne v praksi, ter
vrgla senco dvoma nanje.
Hipoteza učinkovitega trga (efficient market hypotesis – EMH) je osnova za standardne
statistične analize trga. Teorija kapitalskih trgov in povezani teoretični modeli v financah, kot
je npr. capital asset pricing model (CAPM) prav tako temeljijo na linearnih predpostavkah.
Takšen – linearen – pogled na kapitalske trge namiguje na to, da sprememba v vplivnih
faktorjih vodi k proporcionalno veliki spremembi v ceni delnic. Vsako takšno spremembo
lahko opišemo kot linearno odvisno od nove informacije. Še več, konkurenca na trgu vodi v
situacijo, ko vsaka posamična cena vrednostnega papirja odraža informacije o dogodkih, ki so
se zgodili in o tistih, za katere pričakujemo, da se še bodo. Nove informacije in spoznanja
prihajajo na kapitalske trge naključno, efekt naključnosti pa konkurenca na trgu še poveča.
Posledica naključnih informacij je tako naključnost sprememb v cenah na kapitalskih trgih,
kar kljub preprostosti linearnih modelov, povzroča negotovosti in odstopanja v napovedih
cen.
Metode linearne analize časovnih vrst predvidevajo možnost dekompozicije podatkov v
neodvisne komponente, sestavne dele, ki najpogosteje opisujejo nek trend ali porazdelitev.
Vsaka od teh neodvisnih komponent lahko statistično razloži določen proporc (delež)
variabilnosti originalne časovne vrste. O linearni časovni vrsti lahko govorimo v primeru, ko
je vsaka njena točka linearna kombinacija komponent, ki jo sestavljajo. To v praksi dosežemo
8
s spektralnimi analizami, na katerih slonijo metode linearne analize časovnih vrst. To so:
Fourierjeva transformacija, močnostni spekter, avtokorelacija, valjčne analize in derivati
slednjih v okviru časovno-frekvenčnih spektrogramov. Te metode nam opišejo originalno
časovno vrsto kot linearno kombinacijo različnih komponent, pri čemer je pomembno
predvsem to, da lahko posamezne komponente interpretiramo posamično, neodvisno od
drugih. Na ta način razložimo ozadje spreminjanja cene posameznega vrednostnega papirja
skozi čas. Takšna dekompozicija omogoča linearno modeliranje in posledično napovedovanje
cen na kapitalskih trgih. Implementacija teh metod je razmeroma preprosta in dostopna, saj se
že dijaki v srednji šoli srečajo z linearnimi enačbami in njihovimi lastnostmi, toda vpogled, ki
ga metode nudijo, je omejen.
Metode linearne analize namreč ne upoštevajo nepredvidljivih sprememb, ki jih lahko
povezujemo z naključnimi šoki. Ti so največkrat posledica zunanjih, s kapitalskimi trgi
nepovezanih, dejavnikov (politika, ekonomske napovedi in pričakovanja pri trgovanju). Ti
dejavniki povzročajo nelinearne prispevke v dinamiki na časovnih trgih. Teh prispevkov
nelinearne dinamike, linearne metode ne upoštevajo, kljub temu da lahko imajo velik vpliv na
časovni potek preiskovanih cen na kapitalskih trgih.
Nelinarna dinamika sistemov, med katere v tem primeru štejemo tudi kapitalske trge, je, v
nasprotju z linearnimi sistemi, precej bolj zapletena. Pri nelinearni dinamiki sistema ni
povezav med lokalno in globalno dinamiko spreminjanja sistema, ki bi bile očitne. Če je torej
finančni trg nelinearni dinamični sistem, to pomeni, da opazovanje in analiza cen na
finančnem trgu v nekem časovnem obdobju ne daje nujno vpogleda v njihov razvoj, oziroma
razumevanje le-tega. Posledično analiza ne bo dala informacij o odvisnostih in vzorcih v
preteklem razvoju cen, zaradi česar je nemogoče, brez dodatnih informacij, napovedati, kaj se
bo dogajalo na kapitalskem trgu jutri ali v še bolj daljni prihodnosti. Zaradi zunanjih
dejavnikov so za kapitalske trge značilne številne nelinearne in skrite povezave med podatki,
nestacionarnost in nestrukturiranost ter visoka stopnja nezanesljivosti oziroma tveganja. Vse
to je posledica zelo frekventnega odzivanja na »zunanje dražljaje«. Gre zatorej za tipične
nelinearne dinamične sisteme, za katere je težko napovedati razvoj Govorimo lahko tudi o
kaotičnem obnašanju cen, saj je gibanje cen v zelo kompleksni in nelinearni povezavi s
številnimi dejavniki ter s preteklimi cenami.
Kot že rečeno, povezave med lokalno in globalno dinamiko pri nelinearnih dinamičnih
sistemih niso očitne. Nelinearni sistemi so lahko zelo kompleksni, zaradi česar opazovanje
9
sistemov in analiza morda nista dovolj za to, da razkrijemo vodilne parametre ter enačbe za
opis njihovega razvoja. Zanje so značilne nelinearne odvisnosti sedanje vrednosti
spremenljivke z njenimi vrednostmi, pa tudi z vrednostmi drugih spremenljivk v preteklosti,
posebno pozornost pa si zaslužijo naključna in nenavadna odstopanja. V ekonomiji in še
posebej v financah prevladujejo prav takšne (nelinearne) odvisnosti in učinki, kar lahko daje
izgrajevanju takšnih modelov veliko vrednost. S prilagajanjem in usmerjevanjem povezav
med enačbami lahko z nelinearnim sistemom uspešno »ujamemo« interno dinamiko
obnašanja sistema in prepoznamo »dolg spomin« v njem (kar načeloma pomeni, da je sedanja
vrednost odvisna od vrednosti v daljni in seveda tudi bližnji preteklosti). Zmožnost opisa
lastnosti, kot sta dolg spomin in lastna (notranja) dinamika, ter nenehnih »pretresov«, dajejo
nelinearnim modelom možnost, da izboljšajo dosedanje poslovne in finančne modele ter
omogočajo raziskovalcem in drugim zainteresiranim posameznikom modeliranje precej bolj
realističnih sistemov.
Linearni finančni modeli obravnavajo večje fluktuacije in odstopanja od ravnovesja z
zunanjimi »šoki«, kot so spremembe v davčni in monetarni politiki ter tehnološke
spremembe. Za razliko od linearnih pa lahko nelinearni sistemi ustvarjajo in širijo fluktuacije
brez vplivov iz zunanjih sistemov. Zato lahko z vključevanjem nelinearnih enačb v opis
sistema ustvarimo tako stabilne kot tudi stohastične učinke brez zunanjega vpliva na sistem,
torej brez vključevanja zunanjih parametrov. Vsak posamezen del sistema se spreminja skupaj
z ostalimi, kar omogoča ekonomistom zbrati skupaj vse delčke in najti morebitna periodična
obnašanja znotraj modela.
Najbolj zanimiva lastnost nelinearnih modelov je prav gotovo njihova zmožnost izraziti
kaotičnost v dinamiki sistema. Definiranje kaotičnosti oziroma kaosa je lahko zahtevna
naloga, kljub temu pa lahko kaos definiramo kot naključnost znotraj determinističnih
sistemov. Na tem mestu ne bo odveč povedati, da so lahko tako linearni kot nelinearni sistemi
deterministični ali stohastični. Determinističnost v tem smislu pomeni, da bi s poznavanjem
matematičnega opisa sistema uspeli natančno napovedati njegovo obnašanje v prihodnosti. Če
pa matematični opis sistema vsebuje vsaj en parameter naključnosti, govorimo o stohastičnih
sistemih, za katere je značilno, da model z istimi parametri daje ob vsaki ponovitvi drugačen
rezultat. Za podatke na kapitalskih trgih je naključnost značilna, izhaja pa, kot že povedano iz
»šokov«, katerih značilnosti sta predvsem racionalnost in determinističnost. Tudi za
nelinearne dinamične sisteme je matematično že dokazano, da kažejo naključno obnašanje in
10
producirajo časovne vrste, ki izražajo stohastiko, pri čemer pogosto zasledimo izraz
deterministični kaos.
Po do sedaj povedanem nam je že lahko jasno, da nelinearne tehnike analize dinamike cen, ki
izhajajo iz teorije kaosa, lahko prikažejo, da obnašanje na kapitalskih trgih ni naključno,
čeprav na prvi pogled izgleda tako. Če nam namreč lahko že preprost determinističen sistem
daje stohastični rezultat, potem lahko podatki na kapitalskih trgih izhajajo iz nestohastičnega
sistema, čeprav izgledajo kot nek zbir naključnosti. Če torej ti podatki predstavljajo neke vrste
determinističen kaos, bi to lahko na primer pomenilo, da je razlaga njihovega razvoja s
pomočjo naključnega sprehajalca le tančica, za katero se skriva predvidljiv (determinističen)
in relativno preprost nelinearen dinamičen proces. Teorija kaosa je na ta način tista, ki bi
morebiti lahko izpolnila eno od velikih nalog moderne finančne analize, to je, razviti teorije,
ki bi bile sposobne pojasniti spreminjanje cen na kapitalskih trgih in tako omogočiti njihovo
napovedovanje. Teorija kaosa predvideva, da je (v našem primeru) razvoj cen na kapitalskih
trgih proces z »dolgim spominom« (statistično gledano) in je zmožno producirati spremembe,
ki ne glede na velikost in frekvenco, izgledajo naključno, kljub temu da so v resnici
determinirane. V splošnem namreč velja, da je razvoj kaotičnega sistema popolnoma
determiniran z njegovim razvojem v preteklosti in da je kaotični sistem zelo občutljiv na
začetne pogoje. Že majhne spremembe vhodnih parametrov (oziroma začetnih pogojev), ki se
pojavijo zaradi nezanesljivosti kapitalskih trgov oziroma načina merjenja vplivnih
parametrov, namreč pogojujejo popolnoma drugačen in pred tem nepredvidljiv razvoj (kar
naredi napovedovanje praktično nemogoče). Morda so prav te spremembe, ki so pogosto
posledica intervalov zaupanja pri merjenju, vzrok, da je iskanje kaosa (nelinearnega sistema,
sistema nelinearnih enačb), ki bi opisal kapitalske trge zahtevna naloga, katera je zaenkrat še
neuspešna.
Metode, ki se uporabljajo za raziskovanje nelinearne dinamike sistemov, v našem primeru
časovnih vrst kapitalskih trgov, torej metode nelinearne analize časovnih vrst, so precej bolj
raznolike od linearnih. Njihov spekter uporabe je precej širši, mnogo bolj zaželen in
potencialno bolj koristen. Primeri takšni metod so: metoda vzajemne informacije, vpenjanje
časovne vrste v fazni prostor, test determinizma in stacionarnosti, spekter Lyapunovih
eksponentov, algoritmi za napoved prihodnjih trendov, metoda napačnih bližnjih sosedov
(Near-Neighbor Regression), rekurzivni grafi in še bi lahko naštevali. Podobno kot linearne
metode, so tudi te analitične metode v veliki meri že implementirane in dostopne
raziskovalcem in zainteresiranim posameznikom.
11
Namen te naloge je opredeliti in na kratko razložiti bistvo temeljne in tehnične analize
časovnih vrst. Medtem ko se v temeljno analizo naloga ne bo posebej poglabljala, pa bodo
podrobneje predstavljene in obrazložene linearne metode oziroma linearni modeli tehnične
analize časovnih vrst, nato pa bo naloga opredeliti, razložiti in preučiti uporabnost nekaterih
metod nelinearne tehnične analize na primerih časovnih vrst iz kapitalskih trgov (iz delniških
trgov). Ker so linearne metode v literaturi dokaj pogosto zastopane in ker časovne vrste
kapitalskih trgov kažejo tipično nelinearne karakteristike, linearnim metodam tehnične analize
ne bo posvečena večja pozornost. Med ekonomisti namreč, četudi je jasno, da so finančni trgi
nelinearni, še vedno prevladuje uporaba zelo preprostih linearnih modelov, saj so nelinearni
precej bolj neukrotljivi in težavni. Nelinearne metode se v svetovni znanosti vse bolj
razvijajo, medtem ko je slovenska znanost na tem področju trenutno še vedno v zaostanku,
kar se kaže predvsem v neuporabi tovrstnih metod na raznih področjih, na katerih bi lahko
največ pridobili - poleg ekonomije in financ najbolj zdravstvo, pa tudi družboslovne znanosti
kot sta sociologija in psihologija. Pri nelinearni analizi bodo posebej izpostavljene težave in
morebitne napačne interpretacije rezultatov, katere lahko izhajajo iz kompleksnosti tako
preiskovanih časovnih vrst kot tudi metod za analizo samih. Metode so namreč zelo
kompleksne in še posebej zahrbtne, saj lahko neizkušenega uporabnika precej hitro privedejo
do napačnih predvidevanj in implementacij nadaljnjih vrednosti v časovnih vrstah (npr.
vrednostnih papirjev). V magistrski nalogi bodo takšni primeri posebej izpostavljeni, hkrati pa
bodo predstavljeni koraki, ki naj služijo v izogib zablodam in napakam.
Nelinearne analize se v zadnjem času v znanosti uporabljajo predvsem za iskanje kaotičnih
struktur v časovnih vrstah kapitalskih trgov. Tako najdemo precej debat in raziskav o tem, ali
časovne vrste instrumentov na kapitalskih trgih izkazujejo kaos ali ne. Kljub temu ni
dokončnega dokaza o kaosu v takšnih časovnih vrstah, saj je detekcija kaotičnih struktur v
dinamičnih strukturah finančnih podatkov ponavadi zelo kompleksna zaradi vsebnosti veliko
komponent, ki izražajo »šum« v časovnih vrstah. V splošnem se za iskanje kaosa uporabljata
predvsem ocenjevanje pojavljajočh se dimenzij in ocenitev največjega pozitivnega
Lyapunovega eksponenta.
Naše metode nelinearne analize časovnih vrst vrednostnih papirjev bodo potrdile že dolgo
znano dejstvo, da se cene vrednostnih papirjev gibljejo naključno. Prav zaradi variabilnosti
cen vrednostnih papirjev in kompleksnosti njihovih časovnih vrst, je nemogoče napovedati
njihove cene brez informacij na trgu, ne glede na to ali uporabljamo linearne ali nelinearne
metode analize. Metode so sicer uporabne za modeliranje, vendar pa se vlagatelji in posebej
12
aktuarji ne bodo ravnali samo glede na dobljene rezultate, ampak bodo upoštevali vse
informacije o razmerah, ki se lahko tičejo analiziranega vrednostnega papirja. Aktuarji bodo
morali za uspešno obravnavanje raznih vgrajenih opcij, ki jih vse pogosteje dajejo naložbeni
življenjski in pokojninski produkti, za verodostojno vrednotenje tveganj in vgrajenih opcij
uporabljati stohastične modele (npr. Monte-Carlo simulacija) ali pogodbe vrednotiti kot
opcije (uporabiti Black-Scholesov model).
2 METODE ANALIZE KAPITALSKIH TRGOV
Ko se odločimo, da bomo naš denar investirali preko borze (pa naj bo to borza vrednostnih
papirjev, valutna borza, blagovna borza), je potrebno preučiti, kam – torej v katere investicije
– naložiti svoj denar. Pri investiranju na kapitalskih trgih oziroma borzi, govorimo o tem, da
bomo naredili tehnično in temeljno (fundamentalno) analizo. Oglejmo si osnovne značilnosti
obeh analiz.
2.1 Temeljna analiza
S temeljno analizo proučimo predvsem temelje poslovanja in rasti družbe. Cilj je določitev
realne vrednosti družbe in predvideti bodoče rezultate poslovanja. Tako temeljna analiza
poišče morebitna neskladja med rezultati poslovanja in gibanjem tečaja na borzi. Četudi se
analiza naslanja na pretekle rezultate družbe, je njena največja vrednost v zmožnosti
predvidevanja prihodnjih poslovnih rezultatov. Najprej se pogleda, kako zdravo je podjetje in
kakšno rast lahko pričakujemo od njega in se ga na ta način ovrednoti. Če je vrednost delnice,
ki jo dobimo, nižja od trenutne cene, potem je delnica precenjena in jo je pametno prodati in
obratno.
Temeljna analiza proučuje, kot pove že njeno ime, trdnost temeljev poslovanja podjetja, ki so
osnova za prihodnje napovedi, in lahko pričakujemo, da bodo vplivali na tečaj delnic na borzi.
Pri tem je potrebno upošteva, da trg prej ali slej določi »pravo ceno« (pošteno ceno) delnic in
da cena odraža trenutno in predvsem bodoče poslovanje podjetja, kljub temu da je cena
delnice odvisna tudi od drugih dogodkov na tržišču.
Temeljna analiza torej ovrednoti družbo oziroma njene delnice na podlagi pričakovanega
bodočega poslovanja družbe. Osnova analize je spremljanje kazalnikov poslovanja v
preteklosti in predvidevanja bodočega poslovanja družbe. Gre pravzaprav za analizo finančnih
izkazov družbe in vrednotenje bodočih finančnih prihodkov, kajti vlagatelji ocenjujejo družbo
13
po tem, koliko zaslužka jim bo prinesla. V resnici seveda vrednost delnice odraža tudi druge
faktorje, kot so: makroekonomsko okolje, politična situacija, likvidnost na trgu.
S temeljno analizo želimo zajeti čim več dejavnikov, ki vplivajo na poslovanje. Kako široko
gremo, je na koncu stvar osebne presoje vlagatelja. Če gledamo široko, se analiza začne s
proučevanjem gibanja svetovnega in regionalnega gospodarstva. Temu pogosto rečemo
makro okolje. Sledi pregled panoge, v kateri deluje podjetje (zgodovinska rast, dolgoročni
potencial in podobno). Temu rečemo panožna analiza. Ko spoznamo razmere, v katerih
podjetje deluje, si ga lahko podrobneje ogledamo. Navedeno zaporedje je seveda popolnoma
svobodno, veliko strokovnjakov in upravljavcev premoženja, denimo, najprej pregleda
poslovanje podjetja. Tako se recimo uporablja izraz "analiza od spodaj navzgor", če je
izhodišče za preučevanje poslovanje podjetja, in "analiza od zgoraj navzdol", če uporabimo
gibanja v širšem okolju.
Izhodišče za analizo podjetja je njegovo letno poročilo. Predvsem je potrebno pregledati
računovodske izkaze s pojasnili, ki nekoliko odpirajo sicer pogosto zaprta vrata v podjetje.
Namen kopanja po bilancah oziroma finančne analize je, da se ugotovijo vztrajne smernice v
poslovanju podjetja, ki kažejo morebitni bodoči razvoj poslovanje. V javnosti se po navadi
največ prostora namenja gibanju prihodkov in čistega dobička. Oba podatka sta v izkazu
uspeha oziroma poslovnega izida. Prvi govori o tem, kako se giba obseg in širi poslovanje
podjetja, drugi pa koliko podjetje na koncu leta od tega ustvari. Gre za enostransko gledanje,
saj je treba vse izkaze (poslovnega izida, bilance stanja, finančnih tokov in gibanja kapitala)
obravnavati kot skupen ključ do končnega cilja. Pri vsem tem se seveda ne sme zanemariti
ljudi – človeškega oziroma intelektualnega kapitala podjetja. Od njihove sposobnosti in
učinkovitosti je odvisno, kaj se bo dogajalo s poslovanjem družbe. Spremljanje korakov
vodstva, večjih delničarjev, njihovega načina razmišljanja ter izjav lahko da pomemben
vpogled v podjetje, čeprav se to delo pogosto zanemarja.
Temeljna analiza se namreč pri svojem delu v veliki meri posveča kazalnikom poslovanja
oziroma vrednotenja, ki pa kot rečeno ne prikazujejo celotne slike poslovanja, vendar se
poskuša na podlagi zbranih informacij o podjetju, kljub temu na ta način določiti njegovo
pravo ali notranjo vrednost. Najpomembnejši kazalniki vrednotenja so: P/E (Price/Earning
ratio), P/B in dividendna donosnost.
14
2.1.1 Kazalnik P/E
Je eden najbolj uporabljanih kazalnikov temeljne analize za ugotavljanje pod- ozioma
precenjenosti vrednosti podjetja (posledično vrednostnih papirjev, ki se glasijo na podjetje).
Govori o tem, kolikokrat je tržna cena delnice večja od dobička na delnico, oziroma v kolikih
letih bi lahko vlagatelj vloženi denar preko dobička podjetja dobil nazaj. Govorimo tudi o
multiplikatorju čistega dobička. Izračunamo ga tako, da trenutno ceno delnice delimo z
zaslužkom na delnico:
�� � ���� (1)
kjer je
��� � � � ����� (2)
�… trenutna cena delnice;
���… zaslužek na delnico;
�… dobiček podjetja;
���… izplačane dividente na prioritetne delnice;
�� … povprečno število delnic;
�� � � ���� � �� ���� � � �� � �� �� (3)
� ���� … število delnic na začetku leta;
�� ���� … lastne delnice na začetku leta;
� �� … število delnic na kocu leta;
�� �� … lastne delnice na koncu leta.
V primeru, da ima določeno podjetje kazalnik P/E postavljen visoko, se pričakuje, da bo v
prihodnosti podjetje raslo, se pozitivno razvijalo in ustvarjalo višje dobičke in bo njegovo
poslovanje manj tvegano. To velja seveda v splošnem, vendar je težko oceniti ali je vrednost
15
P/E posameznega podjetja realna, ali pa je precenjena oziroma podcenjena, zato je smiselno
upoštevati tudi druge dejavnike kot so stopnja rasti podjetja1, prihodnjo in dosedanjo stopnjo
rasti dobičkov2, splošna klima v sektorju.
2.1.2 Kazalnik P/B
Tudi knjigovodska vrednost podjetja je pomembna za ocenjevanje tržne vrednosti delnic.
Govorimo o kazalniku P/B, ki meri razmerje med tržno in knjigovodsko vrednostjo podjetja
oziroma vrednostnega papirja nanšajočega se na podjetje. Ta kazalnik je pri podjetjih z
razvejeno industrijsko proizvodnjo in zalogami zelo težko uporabljati, saj je potrebno
podrobno poznati vse postavke v bilanci družbe in jim dati »realno« tržno vrednost, potrebno
pa se je zavedati tudi dejstva da računovodski izkazi ne prikazujejo vsega3 in da so pogosto
napihnjeni. Kazalnik izračunamo kot razmerje med tržno in knjigovodsko vrednostjo:
�� � ����� (4)
kjer je
���� � �� � ���� � ����� � � �� (5)
���� … knjigovodska vrednost delnice;
��… knjigovodska vrednost lastniškega kapitala;
���� … knjigovodska vrednost prednostnega lastniškega kapitala;
���� … knjigovodska vrednost lastnih delnic (rezerve za lastne deleže);
� � … število delnic na dan t;
1 Če je P/E veliko višji od stopnje rasti podjetja, pomeni, da je vrednost delnice visoka glede na njeno zgodovino
in obratno.
2 Če je stopnja rasti dobička veliko nižja od P/E je delnica precenjena.
3 Spomnimo se samo Enron-a pa Parmalat-a in drugih podjetij, ki so vrsto let uspešno »prikrojevala«
računovodske izkaze.
16
��… število lastnih delnic.
Če je vrednost kazalnika enaka 1, pomeni, da je potrebno za delnico podjetja odšteti natanko
toliko, kolikor je knjigovodsko vredna. Vrednost kazalnika večja od 1 pomeni, da ima
podjetje možnost presegati zahtevano dobičkonosnost, podjetje ima tržno vrednost večjo od
svoje knjigovodske vrednosti. Ta razlika se imenuje tudi dobro ime podjetja. Vrednost
kazalnika pod 1 lahko vodi v špekulacije, saj bi lahko lastniki podjetje ukinili in odprodali
sredstva po knjigovodski vrednosti.
2.1.3 Dividendna donosnost
Dividendna donosnost meri donosnost vlagatelju, ki bi kupil delnico in bi podjetje naslednje
leto izplačalo enako dividendo kakor v zadnjem letu:
�� � ����� (6)
kjer je
����… višina zadnje izplačane dividende na delnico.
Za vlagatelje je seveda pomembno, kolikšen donos ustvarja delnica, ne samo na svoji
vrednosti, pač pa tudi z denarnimi tokovi. To je posebej pomembno pri dolgoročnih
vlagateljih. Dividendna donosnost je pri tem kazalnik za merilo vrednotenja, vendar je
uporaben le v souporabi ali kombinaciji z drugimi, saj je izplačevanje dividend odvisno ne le
od dobička podjetja, pač pa tudi od dividendne politike podjetja. Namreč podjetja, ki
ustvarjajo visok denarni tok in ne potrebujejo veliko sredstev za naložbe, velikokrat
izplačujejo višje dividende, medtem ko tista, ki so v razvoju in veliko investirajo pogosto
nimajo na voljo toliko sredstev za dividende, ampak jih raje investirajo v nadaljnji razvoj
podjetja.
17
2.2 Tehnična analiza
Nihanja tečajev vrednostnih papirjev oziroma vrednosti na kapitalskih trgih so vse pogostejša
in izrazitejša. Visokofrekvenčne časovne vrste z izrazitimi nihanji vrednosti predstavljajo za
temeljno analizo velik problem, saj je z racionalnostjo in homogenostjo pričakovanj težko
razložiti tako drastične spremembe. Takšne spremembe so poskušali razložiti s tehnično
analizo. Namreč visokofrekvenčne časovne vrste predstavljajo primeren poligon za
poskušanje odkrivanja ponavljajočih se vzorcev na grafični ali matematični način, ki imajo
veliko napovedno moč.
To moč so odkrili že dokaj zgodaj. Javno trgovanje z vrednostnimi papirji zasledimo že v 19.
stoletju in z razvojem trga so se pojavljali številni problemi kako analizirati podatke in
narediti projekcije oziroma napovedi za prihodnost. Že leta 1900 je bila tako narejena analiza
časovnih vrst na kapitalskih trgih s pomočjo Brownovega gibanja, v kateri je avtor Bachelier
trdil, da je nemogoče matematično formulirati prihodnje cene na trgih vrednostnih papirjev.
To delo je zraven hipoteze učinkovitega trga (efficient market hypotesis), ki trdi, da se z
vrednostnimi papirji vedno trguje po pošteni tržni ceni in je nemogoče kupiti podcenjen ali
prodati precenjen vrednostni papir, osnova moderne finančne teorije.
Kljub ugotovitvi, da je matematično nemogoče z gotovostjo napovedati cene na trgih
vrednostnih papirjev, pa se ves čas ponavljajo težnje po »kar se da zanesljivih« napovedih.
Kot že zapisano, se temeljna analiza loti napovedovanja gibanja cen določenega finančnega
instrumenta s proučevanjem ekonomskih, političnih in drugih dejavnikov, ki vplivajo na
ponudbo in povpraševanje po njem. Pri tem nas zanimajo vsi mogoči dejavniki, ki vplivajo na
notranjo vrednost tržnega blaga. Notranja vrednost blaga je po teoriji osnovne analize
tolikšna, kolikor naj bi bilo to blago vredno po zakonih ponudbe in povpraševanja.
Za razliko od temeljne analize, ki se ukvarja s vprašanjem zakaj se je nekaj zgodilo, kaj bi se
naj glede na različne dejavnike moralo dogajati na trgu vrednostnih papirjev in zakaj. Če torej
temeljna analiza preučuje vzroke gibanja cen, pa tehnična analiza preučuje posledice, ki jih ti
vzroki povzročijo in popolnoma »ignorira« dejansko stanje podjetij in trgov. Temelji na
predpostavki, da je vse, kar nas zanima, posledica preteklega dogajanja in da je iskanje
vzrokov nesmiselno in zamudno opravilo. Obe teoriji skušata napovedati, v kateri smeri se
bodo gibale cene, le prijem je pri vsaki drugačen.
18
Na kratko bi lahko rekli, da je tehnična analiza metoda preučevanja časovnih vrst vrednostnih
papirjev, s katero se napovedujejo gibanja prihodnje vrednosti cene vrednostnih papirjev s
preučevanjem preteklih podatkov na trgu, predvsem cen vrednostnih papirjev in obsega
trgovanja. Pri tehnični analizi uporabljamo razne metode in pravila, s katerimi analiziramo
gibanje trga naložbi in poskušamo matematično formulirati kazalce, vzorce oziroma
zakonitosti, s pomočjo katerih bi imeli lahko sklepali o prihodnjih gibanjih. Na ta način si s
pomočjo tehnične analize poskušamo zagotavljati zanesljivost pri odločitvah o investiranju na
borznih trgih.
Tehnična analiza proučuje gibanje cen na podlagi preteklih cen in pri tem privzame, da tržna
cena vrednostnega papirja odseva vse relevantne informacije (tudi psihološke, sociološke,
politične, ekonomske – npr. obseg trgovanja (količino vrednostnih papirjev) in na ta način
upošteva tudi likvidnost trga. V okviru številnih metod, ki se jih poslužujemo v okviru
tehnične analize je najstarejša in najbolj poznana grafična analiza, pri kateri se z analizo
preteklih podatkov, ki jih ustvarja gibanje delnic, lotimo iskanja ponavljajočih se vzorcev.
Pregledati je potrebno gibanje vrednosti v preteklosti (te podatke imenujemo časovna vrsta),
pregledamo sedanje gibanje in na osnovi dobljenih podatkov določimo smer gibanja v
prihodnost. Negrafična analiza temelji na nekaterih matematičnih in statističnih zakonitostih,
največkrat pa se uporabljajo metode kot so pravila filtrov, drseče sredine, indeksi zagona, …
2.2.1 Teorija Charlesa Dowa
Tehnična analiza se je razvila okrog teorije Charlesa Dowa, ki je stara že več kot sto let.
Seveda je bila v teku časa izboljšana in sedaj ne upošteva le gibanja cen, pač pa tudi načine
delovanja trgov. Teorija je uvedla tri osnovne vrste gibanj: primarni in sekundarni trend, ter
dnevne fluktuacije. Pri primarnem trendu govorimo o splošnem trendu trga, ki traja tipično
dalj časa (od nekaj mesecev do nekaj let) in je naraščajoč (»bull market«) oziroma padajoč
(»bear market«). Pri sekundarnem trendu govorimo o korekcijskem gibanju trga. To se
praviloma pojavlja v dokaj velikem proporcu glede na primaren trend, njegovo gibanje je
hitrejše, je pa pomemben predvsem kot nevtralizator pretiranih špekulacij na trgu. Dnevne
fluktuacije so navadno povsem naključne in zelo tvegane za napovedi oziroma odločitve za
prodajo ali nakup vrednostnih papirjev.
19
2.2.2 Teorija Elliotovih valov
Teorija trdi, da so cene vrednostnih papirjev podvržene ciklom oziroma valovom, ki sledijo
Fibonaccijevim številom. Osnovno obliko valov lahko prikažemo prav na ta način in je
prikazana na sliki 1. Pri tem »hribi« valov kažejo naraščanje in govorimo o t.i. impulznih
valovih oziroma minornih naraščajočih valovih, »doline« valov pa kažejo padanje in
govorimo o t.i. korekcijskih oziroma minornih padajočih valovih. Ti valovi so ujeti v večje
valove, ki so bodisi naraščajoči, bodisi padajoči. Pri večjih valovih lahko govorimo o trendih
ali primarnih gibanjih.
Teorija Elliotovih valov je zanimiva tudi zato, ker izpostavi velikost korekcije v velikosti
števila zlatega reza (0,618; ��√�� ), ki je zelo poznano število v svetu matematike in k njemu
tudi konvergirajo količniki medsebojno zaporednih Fibonaccijevih števil, torej iz serije števil:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …. Kot zanimivost povejmo, da tudi količniki
Fibonaccijevih števil z številom, ki je v vrsti 2 mesti za njim konvergirajo k številu 0.382.
Seveda se lahko vsak bralec prepriča, da obstajajo še drugi količniki, ki konvergirajo. In prav
ti količniki se uporabijo za Fibonaccijeve nivoje, pri prepoznavanju ali je pravi čas za nakup
oziroma prodajo (pri prepoznavanju odpornih in podpornih nivojev).
Slika 1 : Uporaba Fibonaccijevih nivojev pri splošnemu trendu navzdol
Vir: Spletni tečaj trgovanja z valutami, 2009
20
2.2.3 Grafični del tehnične analize
S pomočjo grafov lahko določamo smeri, v katere se trendno gibljejo cene vrednostnih
papirjev, ter čas kupovanja in prodajanja. Pomembno vlogo pri tem igrajo nivoji meja
podpore in odpora. Tehnična analiza temelji na preteklih tržnih informacijah in predpostavki,
da se silnice ponudbe in povpraševanja sproščajo tako, da se oblikujejo ponavljajoči vzorci
gibanja cen in količin vrednostnih papirjev na trgu. Večina analitikov meni, da obstaja nekaj
standardnih vzorcev, ki jim večina sledi, in jih ločimo na vzorce obrata (dvojni vrh, padajoča
zagozda, glava in ramena) in vzorce nadaljevanja (skodelica in ročica, zastava, padajoči
trikotnik). Z analizo teh vzorcev tehnična analiza napoveduje prihodnje gibanje cen
vrednostnih papirjev.
Kazalci oziroma indikatorji so izpeljani iz cen posameznih vrednostnih papirjev preko
določenih prijemov in lahko vključujejo tudi podatke o prometu. Vrednost indikatorja sama
po sebi ne pove ničesar, kar bi bilo smiselno analizirati. Možnost analize se dobi šele, ko je
izračunanih več vrednosti in se indikator predstavi v seriji. Navadno se predstavi v obliki
grafa in se ga primerja z gibanjem cen. Pri analizi indikatorjev se je potrebno zavedati, da so
le-ti izpeljani iz gibanja cen in je pri njihovi analizi potrebno obvezno upoštevati gibanje cen,
ker lahko odločitve samo na podlagi indikatorjev, privedejo do velikih izgub.
2.2.4 Indeks relativne moči (RSI)
Indeks relativne moči oziroma Relative Strength Index (RSI), ki ga je razvil J. Welles Wilder,
je eden izmed najbolj uporabljenih in uporabnih vodilnih indikatorjev. Vodilni pomeni, da
nam da signal pred samo spremembo trenda gibanja cene delnice. Najbolje se uporablja v
kombinaciji s črtami trenda, vzorci ter črtami podpore in odpora.
RSI primerja relativno moč vsote dobičkov v dneh preučevanega obdobja, ko je cena
naraščala (to je v dneh, ko je bila končna cena dneva višja od končne cene prejšnjega dneva) v
primerjavi z vsoto izgub v dneh proučevanega obdobja, ko se je cena znižala (to je v dneh, ko
je bila končna cena dneva višja od končne cene prejšnjega dneva).
Bistvo tega indikatorja je, da primerja velikosti rasti z velikostmi padcev posameznih
vrednostnih papirjev. Indeks se giblje med vrednostima 0 in 100. Če vrednost indeksa pade
pod 30, je to znak za podcenjenost vrednostnega papirja in bo verjetno sledil porast cene, če
pa zraste čez 70, je to znak za precenjenost vrednostnega papirja in sledil naj bi padec cene.
21
Nekateri analitiki prilagajajo meji in dolžino obdobja vsakemu trgu posebej. Pri daljših
obdobjih upoštevajo ožje meje.
Slika 2 : Uporaba RSI index-a
Vir: Spletni tečaj trgovanja z valutami, 2009
Kazalnik RSI se lahko izračunava za različno dolga obdobja. Wilderjev izvirni predlog je bil
14 dni, danes pa večina tehničnih analitikov uporablja občutljivejše kazalnike (5-dnevne, 7-
dnevne ali 11-dnevne RSI). Čim daljše je obdobje, tem stabilnejši je kazalnik in manj je
signalov, tudi napačnih.
Gibanje cene lahko s kazalnikom RSI napovedujemo na več načinov:
• Vrhovi in dna so drug izraz za prenakupljenost in preprodanost. Gibanje cene vedno
zaostaja za gibanjem kazalnika RSI. Če RSI zaide v območje prenakupljenosti ali
preprodanosti, je to lahko znak, da se bliža konec trenda.
• Vzorci: RSI je eden redkih kazalnikov, pri proučevanju katerih se lahko uporabljajo enaki
vzorci kot pri proučevanju gibanja cene same (kot npr. dvojni vrh in dno, glava in ramena,
trikotnik,...). Ker so pravila dokončanja vzorca enaka, se tako zlahka določijo točke
nakupa in prodaje. RSI lahko v nekaterih primerih prikaže stopnjo podpore ali odpora
jasneje kot sama cena instrumenta.
• Neuspeli zavoji navzgor: Pri rastočem trendu se pojavijo neuspeli zavoji navzgor, ko se
RSI dvigne nad zgornjo mejo, pade malo pod njo, nato pa skuša spet prebiti prejšnji vrh, a
mu to ne uspe, čeprav sama cena doseže nov vrh. Znak za prodajo se v tem primeru
pojavi, ko RSI pade pod vrednost, pri kateri je zavil navzgor.
22
• Neuspeli zavoji navzdol: Pri padajočem trendu se pojavijo neuspeli zavoji navzdol, ko se
RSI spusti pod spodnjo mejo, se dvigne malo nad njo, nato pa skuša zopet prebiti prejšnje
dno, a mu to ne uspe, čeprav cena doseže novo dno. Znak za nakup se v tem primeru
pojavi, ko se RSI dvigne nad vrednost, pri kateri je zavil navzdol.
• Črte trenda: Zaradi omejenosti kazalnika RSI med vrednostmi 0 in 100 je z risanjem črt
trenda teže napovedovati ceno s kazalnikom RSI kot npr. s kazalnikom ROC. Kazalec RSI
zato teže uporabljamo pri dolgoročnih trendih, najpametnejše pa ga je uporabljati pri
preučevanju trgov na katerih tisti trenutek ni izrazitega trenda.
2.2.5 Drseča povprečja
Med drsečimi povprečji se najpogosteje uporabljajo navadna drseča povprečja. Izračunana so
kot aritmetična sredina n preteklih vrednosti tečajev. Pri naslednjem povprečju vračunamo v
vsoto novo končno ceno, izpustimo pa tisto, ki je veljavna pred n dnevi. Pravimo, da
povprečje "drsi" in govorimo o drsečih povprečjih.
Prva slabost navadnih drsečih povprečij je, da upoštevajo le obdobje zadnjih n podatkov,
ostali podatki pa postanejo nepomembni. Druga slabost pa je, da dajejo drseča povprečja enak
pomen kateremu koli podatku iz zadnjih n obdobij. Nekateri analitiki menijo, da bi morali biti
pomembnejši podatki s konca obdobja.
Je eden izmed najbolj popularnih indikatorjev, saj ga je enostavno uporabljati. Njegova
glavna prednost je, da izravnava gibanje oziroma volatilnost cen, kar analitiku daje možnost
lažje določitve trenda. Pri analizi dveh drsečih sredin, npr. 14-dnevnega in 50-dnevnega, ima
slednja večji pomen na dolgi rok.
Uporabljata se dve vrsti drsečih sredin, in sicer:
• enostavna drseča sredina (SMA - Simple Moving Average) in
• eksponentna drseča sredina (EMA - Exponential Moving Average).
Edina razlika med njima je, da daje druga sredina večjo težo na zadnje cene. Obe se
uporabljata predvsem za dvoje t.j., določanje trenda in določanje točk podpore in odpora.
Drseča povprečja se prikažejo na istem grafu kot gibanje cen. Nakupni znak nam pokaže
takrat, ko se končna cena povzpne nad krivuljo drsečega povprečja, prodajni pa, ko pade pod
njo (govorimo o pravilu križanja). Uporaba krajših obdobij za izračun drsečih povprečij lahko
23
povzroči veliko napačnih znakov, medtem ko lahko pri uporabi daljših obdobij opazimo
znake za nakup ali prodajo prepozno. Daljša obdobja za določanje drsečih povprečij so
pomembna za določanje dolgoročnih trendov. Najtežje je torej na podlagi izkušenj izbrati
ustrezno dolgo drseče povprečje.
Krajša povprečja so primernejša pri nihanju cen na določenem intervalu, medtem ko so za
trendno gibanje cen uporabnejša daljša povprečja, saj se z njimi ognemo napačnim znakom
pri popravkih cene. Vendar so pri obratu trenda zopet uporabnejša krajša povprečja, saj daljša
zaznajo obrat trenda z večjo zamudo, ker so manj občutljiva na dejansko gibanje cene.
Slika 3 : Prikaz drseče sredine (povprečja). Graf drseče sredine je narisan s črto na istem
grafu kot gibanje cene.
Vir: Spletni tečaj trgovanja z valutami, 2009
Da bi se ognili preštevilnim znakom za nakup ali prodajo, izločajo nekateri tehnični analitiki
napačne znake tako, da si postavijo določena pravila. Pogosto se uporablja pravilo, da je
celodnevno gibanje cene nad drsečim povprečjem (pri nakupnem znaku) ali pod drsečim
povprečjem (pri prodajnem znaku), pogosto pa se tudi zahteva preboj drsečega povprečja za
določen odstotek (3%). Čim manjši je zahtevan odstotek preboja, tem manj zanesljiv in
hitrejši je znak. Mnogokrat se v praksi uporabi dodatno še t.im. časovne filtre, kjer se kupuje
in prodaja z določenim časovnim zaostankom (npr. dva dni) zatem ko se pokaže znak za
prodajo oziroma nakup. Na ta način se izloči napačne znake, s čimer se lahko izognemo
morebitnim nepotrebnim transakcijam in napačnim odločitvam. V praksi se zasledi tudi
uporaba t.i. ovojnic na vsaki strani drsečih povprečij, kjer se kot znak za nakup oziroma
prodajo označi trenutek, ko se cena dvigne nad zgornjo ovojnico (pri nakupu) oziroma pade
pod spodnjo ovojnico (pri prodaji).
24
Pri drsečih povprečjih je potrebno trgovati v smeri trenda. Drseča povprečja so zatorej
uporabna v času, ko vlada trend, veliko manj pa, ko cena niha v določenem intervalu. V tem
primeru je bolje uporabljati kazalnike preprodanosti in prenakupljenosti.
Raziskava Merrill Lyncha iz leta 1982 je pokazala, da se bolj kot linearno in eksponentno
tehtana drseča povprečja obnesejo navadna drseča povprečja. Poleg tega je učinkovitejša
uporaba dveh kakor treh drsečih povprečij (npr. kombinacija 3- in 30-dnevnih povprečij).
Seveda pa ob izdelavi analize vedno vsak sam izbere najprimernejšo kombinacijo drsečih
povprečij.
2.2.6 MACD
Kazalnik MACD (Moving Average Convergence Divergence) prikazuje razliko med dvema
eksponentnima drsečima sredinama. Navadno se izračuna razlika med 12-dnevno in 26-
dnevno drsečo sredino. Strogo matematično gledano to pomeni, da je indikator pozitiven
takrat, ko je 12-dnevna drseča sredina nad 26-dnevnim in negativen takrat, ko je 12-dnevna
pod 26-dnevnim povprečjem.
Slika 4 : Uporaba MACD.
Vir: Spletni tečaj trgovanja z valutami, 2009
MACD je najuspešnejši na trgih, kjer so trendi izraziti ali na trgih, kjer cene zelo nihajo, na
umirjenih trgih pa ne daje dobrih napovedi. Najpogosteje se uporablja pri določanju konca
trenda, ko se med gibanjem same cene in kazalnika pojavi divergenca. Pri naraščajočem
trendu se pri gibanju cene pojavi novi višji vrh, vrh kazalnika MACD pa ob tem ne preseže
25
prejšnjega vrha. Nasprotno pa se pri padajočem trendu pri gibanju cene pojavi novo nižje dno,
kazalnik MACD pa ne seže globlje od prejšnjega dna.
Na zelo volatilnih trgih pa se uporablja metoda prebitja premice trenda pri samem gibanju
kazalnika MACD, ki se ponavadi pojavi nekaj dni pred obratom trenda same cene. Če sta tako
pri kazalniku MACD kot pri samem gibanju cene črti trenda prebiti, je to zanesljiv znak, da se
bo začela cena gibati v nasprotno smer.
2.2.7 Stohastični oscilator
Stohastični oscilator je namenjen ugotavljanju precenjenosti in podcenjenosti tržnih razmer in
je postal eden najpomembnejših kazalnikov tehnične analize. Namenjen je ugotavljanju
precenjenosti in podcenjenosti tržnih razmer. Stohastični indikator meri točke pri
naraščajočem trendu, pri katerem se zaključne cene tečajev gibajo okoli minimalnih ali
najnižjih cen za določeno obdobje in obratno, saj so to pogoji, pri katerih se trend lahko obrne
(pri pozitivnem trendu se zaključni tečaji vrtijo okoli najvišjih dnevnih tečajev, ko trend
postane zrel, pa se zaključni tečaji vrtijo okoli nižjih dnevnih cenovnih nivojev).
Slika 5 : Uporaba stohastičnega oscilatorja.
Vir: Spletni tečaj trgovanja z valutami, 2009
Obstajajo tri stohastične vrednosti: Surovi K, %K in %D:
• K predstavlja osnovno vrednost
• % K predstavlja povprečje osnovne vrednosti K.
• % D predstavlja povprečje %K.
26
Vsako linijo %K in %D lahko prikažemo grafično in tako dobimo stohastični oscilator.
Stohastični oscilator ima v primerjavi z drugimi indikatorji kar nekaj prednosti in je eden
izmed popularnejših indikatorjev tehnične analize. Združuje vse, kar nudijo drugi indikatorji.
Uporablja se lahko pri dnevnih, tedenskih ali mesečnih obdobjih in tudi pri preučevanju
gibanja cene v posameznem dnevu. Stohastični oscilator nam pove ali je trg precenjen
oziroma podcenjen. Njegova vrednost je med 0 do 100. Ko je njegova vrednost čez 70
(zgornja (rdeča) črtkana črta na spodnjem delu slike 5) je trg precenjen, ko pa pod 30 (spodnja
(modra) črtkana črta na spodnjem delu slike 5) je trg podcenjen. To nam da signal za prodajo
(v primeru precenjenega trga) ali nakup.
Pri grafičnem delu tehnične analize se je potrebno nasloniti na vzorce. Čeprav se lahko
pojavljajo ralične razlage, pa se v praksi uporablja nekaj standardnih vzorcev, na podlagi
katerih se sklepa na nadaljnjo smer gibanja cen vrednostnih papirjev. Govorimo o dveh
skupinah vzorcev, in sicer o vzorcih nadaljevanja in vzorcih obrata.
Toda kot že rečeno, se lahko v povezavi z vzorci pojavljajo različne interpretacije in
razmišljanja. V praksi namreč vzorci niso nujno povsem pravilne oblike (kot je temu v
teoriji). Analitiki si jih lahko razlagajo drugače, vidijo drugačne teoretične vzorce, včasih pa
se iz določenega vzorca na koncu lahko razvije povsem drug vzorec, vzorci pa lahko tudi
prehajajo iz enega na drugega. Vse omenjene nevšečnosti kažejo, da je preučevanje vzorcev
precej zahteven (in ne najbolj natančen) del tehnične analize, ki zahteva veliko mero intuicije
in izkušenj.
3 LINEARNE IN NELINEARNE ANALIZE ČASOVNIH VRST
V zadnjem času smo priča veliki krizi na finančnem sektorju, ki se je preselila tudi na realni
sektor. Če se vprašamo, kaj so vzroki za takšno krizo, naletimo na nešteto odgovorov, ki
porajajo nova vprašanja. Toda zakaj analitiki niso predvideli takšne krize? Zapisali smo že, da
tehnična analiza ne prinaša nujno natančnih napovedi, podobno pa je tudi pri računovodskih
izkazih (npr. zaradi različnih mogočih vrednotenj: po pošteni vrednosti, po tržni vrednosti;
zaradi »napihovanja« le-teh, …), ki so osnova temeljne analize. To seveda pomeni, da ne en
ne drug način analize ne more napovedati takšne krize. Lahko pa se vprašamo, ali morda k
rezultatu vodijo druge poti? Kaj pa če je kaj narobe v razmišljanju in glavne predpostavke ne
držijo? Kot je zapisal Bouchaud (2008) predpostavljena »vsevednost« in popolna učinkovitost
trga v realnosti nista mogoča. V realnosti namreč trg ni popolnoma učinkovit, ljudje pa so prej
27
»kratkovidni« kot »daljnovidni«. Prosti trg je prost in prepuščen samemu sebi in vprašanje je,
ali je samoregulativen.
Pogled na standardne ekonomske modele nas hitro prepriča, da le-ti vztrajno zanemarjajo
komponente večje variabilnosti oziroma velika, vendar malo verjetna, tveganja. Eden tipičnih
modelov je model vrednotenja opcij: Black-Scholesov model. Model temelji na predpostavki,
da imajo spremembe cen Gaussovo porazdelitev, kjer so velika odstopanja zanemarljiva in da
je kapitalski trg učinkovit. Ironično je, da je model zanemaril verjetnost globalne finančne in
gospodarske krize, četudi je prav z načinom vrednotenja opcij, ki ga je uvedel, močno
prispeval k temu, da je prišlo do nje (Bouchaud, 2008). Podobno se je zgodilo (Salomon,
2009) z Gaussovo kopula enačbo, ki so jo banke uporabljale pri vrednotenju »poroštvenih
dolžniških obveznic« (CDO – collateral debt obligations). Ta enačba predstavlja model
temelječ na končnem rezultatu - eni številki, ki predstavlja korelacijo (ne glede na to kako so
podrejeni instrumenti medsebojno korelirani ali antikorelirani) in s tem informacijo o
tveganosti naložbe. Ljudje v bankah in finančnih institucijah so kljub temu formulo
uporabljali in se prepričevali o tem, kako netvegan je zaslužek (kar je v resnici tisti čas bil).
Toda – pomembno je vrednotiti tudi verjetnost ekstrema, četudi je ta verjetnost še tako
majhna.
Lahko se vprašamo, ali v ekonomski znanosti sploh obstaja model oziroma če ne obstaja ali je
sploh možen tak model, ki bi znal opisati silovite spremembe cen oziroma pretresov
kapitalskih trgov in upoštevati vsa (tudi ekstremna) tveganja. Že preprost laičen pogled na
dovolj dolgo časovno vrsto pokaže, da so takšni pretresi oziroma velike spremembe prisotni.
Toda tehnična analiza obstaja nespremenjena oziroma takšna kot je že precej dolgo časa. Ali
niso splošno sprejeti pristopi, indikatorji in vzroci premalo? Morda so že zastareli in
preenostavni, da bi lahko sledili spremembam pri vrednotenju? Morda bi bilo potrebno
vpeljati nova znanja, drugačne in bolj rigorozne poti? Morda je potreben pogled iz
modernejše perpektive – z modernimi tehnikami iz naravoslovnih znanosti. Na ta način bi
morda lahko ekonomska znanost naredila korak naprej, od, kot je dejal Feynmann, znanosti,
ki sledi jasnim in ustaljenim smernicam in oblikam znanstvenih raziskav in modelov,
medtem, ko le-tem vedno manjka nekaj. Morda modeli potrebujejo dopolnitve, ki bodo
izboljšale njihova predvidevanja tudi v ekstremnih primerih oziroma ob pretresih na trgih,
kakršne doživljamo v teh časih, in bodo dale še bolj pragmatične in realistične poglede na
dogajanje na kapitalskih trgih. V svetu financ je namreč potrebno ne samo pogledati
28
verjetnosti za nek dogodek, pač pa je potrebno preverjati smiselnost rezultatov tudi v robnih
oziroma mejnih primerih.
V nadaljevanju so obrazložene metode, ki so povzete iz naravoslovnih znanosti, konkretno
fizike, ki so nam lahko v veliko pomoč pri analizah trgov vrednostih papirjev. Namesto na
ekonomsko teorijo in enačbe se naloga orientira na podatke, čeprav se enačb in ekonomske
teorije seveda ne sme zanemariti. S pomočjo metod »naravoslovnih znanosti« bo poskušala
poiskati kak odgovor, vse skozi pa se bo osredotočala na clij: predstaviti modernejši pogled
na analizo kapitalskih trgov.
3.1 Opis metod linearne analize časovnih vrst
Čeprav bi lahko metode tehnične analize, ki smo jih že obravnavali, šteli med linearne
metode, se bomo v tem poglavju osredotočili na eno novejših metod linearne analize in jo
podrobneje razložili. Novejše metode linearne analize časovnih vrst izhajajo iz uporabe v
drugih znanostih in aplikacije pridobljenega znanja na kapitalskih trgih, svoje mesto v
ekonomski znanosti pa so našle šele z razvojem in množičnejšo uporabo računalnikov.
Takšne metode linearne analize časovnih vrst predvidevajo možnost dekompozicije podatkov
v neodvisne komponente oziroma sestavne dele, ki najpogosteje opisujejo nek trend ali
porazdelitev – vsaka točka časovne vrste je linearna kombinacija teh komponent, torej lahko
vsaka od komponent razloži določen delež variabilnosti originalne časovne vrste. Obstaja
precej metod, katerih osnova so v praksi spektralne analize (npr. Fourierjeva transformacija,
močnostni spekter, valjčne analize, časovno-frekvenčni spektrogrami, avtoregresivni modeli).
Z dekompozicijo časovne vrste lahko vsako komponento interpretiramo ločeno, linearno
modeliramo in posledično napovedujemo cene na kapitalskih trgih. Implementacija teh metod
je razmeroma preprosta in dostopna, saj se že dijaki v srednji šoli srečajo z linearnimi
enačbami in njihovimi lastnostmi. Prav zato in ker namen naloge ni osredotočiti se na linearne
metode analize, si bomo na kratko ogledali le Fouriejevo analizo.
Fourierjeva analiza je ena izmed številnih metod tehnične analize, ki so se razvile kasneje in
doživele razcvet zaradi razvoja računalniške tehnologije. Služi predvsem za prepoznavanje
cikličnih trendov, oziroma za iskanje frekvenčne porazdelitve sprememb v časovni vrsti.
Časovne vrste cen vrednostnih papirjev lahko namreč, kot odraz dogajanja na kapitalskih trgih
ter v gospodarstvu, vsebujejo periodične komponente, ki odražajo ciklična dogajanja v
gospodarstvu. Takšnih periodičnih komponent je lahko veliko število.
29
Vsak časovno odvisen proces se lahko v splošnem zapiše kot funkcija časa. Govorimo o
funkciji v časovni domeni. Alternativa temu zapisu je lahko zapis funkcije v frekvenčni
domeni, kjer je funkcija zapisana kot funkcija frekvence in amplitude – govorimo o
transformaciji spremenljivke iz časovne v frekvenčno domeno (ta način je v znanosti pogosto
uporabljen za iskanje šumov in filtracijo signalov). To transformacijo imenujemo Fourierjeva
tranformacija in je uporabna za ekstrahiranje informacij o periodičnih komponentah iz
časovne vrste. Rezultat transformacije je spekter, ki nam pove frekvence ponavljanja
posameznih signalov in njihovo moč (amplituda).
Fourierjeva transformacija je eno najpopularnejših orodij matematike, ki se uporablja za
iskanje informacij skritih v časovni vrsti. Izhaja is Fourierjevih vrst, ki so dokaj kompleksne
periodične funkcije zapisane kot vsote trigonometričnih funkcij sinus in kosinus, oziroma s
pomočjo Eulerjevega zapisa kot eksponentne funkcije s kompleksnim eksponentom (�� �!"#$ � �#�%$). Fourierjeva transformacija časovne vrste (funkcije) &'() se tako matematično
zapiše kot:
*'$) � + �,� �&'()-(.
,.
(7)
kjer je:
*'$) Fourierjeva transformacija časovne vrste (funkcije) &'().
Ker se pri zapisu časovne vrste ukvarjamo s podatki, ki zavzemajo na časovni osi diskretne
vrednosti, lahko to funkcijo zapišemo tudi kot:
*'$) � / �,� 0∆�&'2∆()∆(.03,.
(8)
Če privzamemo, da imamo podane podatke na časovnem intervalu 40. . 78, lahko izpeljemo
diskretno časovno omejeno Fourierjevo transformacijo:
*'$0) � / �,� 90∆�&'2∆()∆(:,�03;
(9)
kjer je
30
število meritev,
$ frekvenca ponavljanja signalov v časovni vrsti,
∆( časovni razmak med dvema meritvama (∆( � <:).
Moč vsake posamezne frekvence v frekvenčnem spektru zapišemo kot:
�'$�) � 1 � |*'$�)|� (10)
Takšno informacijo lahko prikažemo kot močnostni spekter v frekvenčni domeni, ki prikazuje
odvisnost udeležbe posamezne frekvence (njene moči) v časovni vrsti in s tem tudi kakšna je
variabilnost časovne vrste glede na frekvenco. Za napovedovanje prihodnjih vrednosti se pri
tem največkrat uporabi Fourierjeva transformacija avtokovariančne funkcije.
Fourierjeva transformacija nam pove, katere komponente so prisotne v frekvenčnem zapisu
signala oziroma močnostnem spektru. Posebej izrazita komponenta (ali več njih) bi lahko
izražala poseben cikel ponavljanja, na osnovi katerega bi lahko predvideli okviren čas večje
spremembe. Vendar pa nam Fourierjeva transformacija ne da informacije o tem, kje v času se
določena komponenta frekvenčnega spektra pojavi. To omejitev odpravlja verzija Fourierjeve
transformacije, ki jo poznamo kot kratkočasovno diskretno Fourierjevo transformacijo, s
katero se časovna vrsta razdeli v majhne segmente, kjer se vsak segment obravnava ločeno.
3.2 Nelinearne analize časovnih vrst – teorija kaosa
3.2.1 Uvod v nelinearne analize časovnih vrst
Metode linearne analize ne upoštevajo nepredvidljivih sprememb v cenah na finančnih trgih,
ki jih lahko povezujemo z naključnimi šoki. To so največkrat posledica zunanjih, s finančnimi
trgi nepovezanih, dejavnikov (politika, ekonomske napovedi in pričakovanja pri trgovanju).
Ti dejavniki povzročajo nelinearne prispevke v dinamiki na časovnih trgih. Teh prispevkov
nelinearne dinamike linearne metode torej ne upoštevajo, vendar pa lahko imajo le-ti kljub
temu velik vpliv na časovni potek preiskovanih cen finančnih trgov.
V okviru znanosti se za analizo nelinearnih fenomenov uporabljajo metode, ki so se razvile v
okviru teorije kaosa in fraktalne geometrije. Četudi zveni kot navadna neumnost, je koncept
teorije kaosa, ki trdi, da navidezno naključen fenomen izhaja iz determinističnega procesa, vse
31
bolj popularen v tujih ekonomskih in finančnih krogih. Deterministični kaos, s katerim se
ukvarja teorija kaosa, je definiran kot pojav nepravilnega kaotičnega obnašanja v
determinističnem dinamičnem sistemu.
Cene na kapitalskih trgih so namreč kompleksen sistem, pri katerem je dinamika gibanja
precej nelinearna in daleč od tega, kar lahko modeliramo s klasičnimi linearnimi modeli. Tako
je težko najti optimalno stanje, stanje ravnovesja, saj se to neprenehoma izmika, kajti že
majhne spremembe lahko povzročijo izredno velike učinke, ki imajo lahko za analizo
časovnih vrst velik vpliv. Preprosta ideja o klasičnem ravnovesju in linearnosti trga tukaj
odpove. Ekonomisti se vse bolj zavedajo, da bo v prihodnosti potreben preskok od klasične
ekonomije in razvoj novih orodij, ki bi bila zmožna razložiti kompleksnost kapitalskih trgov.
Že po velikem padcu ameriškega borznega trga v letu 1987 so nelinearna dinamika in
deterministični kaotični sistemi postali ena izmed pomembnih tem v literaturi in raziskavah s
področja financ in alternativa klasičnim modelom in analizam kapitalskih trgov. Morda so
prav nelinearne metode, povzete iz naravoslovja, tiste, ki lahko ponudijo orodje za to, da bi
ekonomija lahko predvidela in rešila finančne krize. Nelinearnost je namreč osnovna
predpostavka v teoriji kaosa, ki v splošnem govori o tem, da v navidezno neurejenem in
kaotičnem svetu vlada urejenost, ki pa jo je težko prepoznati, kaj šele modelirati in ki je zelo
»labilna«, saj lahko vsaka najmanjša sprememba prinese popolnoma drugačen rezultat.
Ena od glavnih paradigm finančne matematike je ta, da so časovne vrste cen na kapitalskih
trgih dobro opisane s procesom naključja oziroma stohastike in zato nepredvidljive
(Bouchaud, 2008), kljub temu, da neka stopnja kolektivnega obnašanja v svetu obstaja.
Številni avtorji so poskušali s preučevanje časovnih vrst poiskati neko vodilno nit oziroma
principe, s katerimi bi lahko razložili in upravljali opazovane fluktuacije, ki bi bile le
navidezno naključne, v resnici pa popolnoma razložljive in do neke stopnje predvidljive. Vsa
ta preučevanja so temeljila na novih dognanjih nelinearne dinamike sistemov- teorije kaosa, ki
predvideva nek deterministični red v časovnih vrstah.
Koncept determinističnega kaosa, ki kaže, da fenomen, ki izgleda naključen, izhaja iz
determinističnega procesa, je izzval številne avtorje k iskanju kaosa na kapitalskih trgih. Tako
je Wolf s sodelavci že leta 1984 (1984) naredil raziskavo, kjer je uporabil izračun
Lyapunovega eksponenta. Kaos je zelo dobro opisal Crutchfield s soavtorji (1986) kot
nelinearni deterministični sistem, ki je narejen po določenih pravilih, ki se ne spreminjajo in
ne dopušča elementov naključja. V principu je prihodnost popolnoma določena s preteklostjo,
32
pri čemer se vsaka najmanjša motnja povečuje, tako da, četudi predvidljivo na kratek čas,
postane obnašanje na dolgi rok nepredvidljivo. Kaotično obnašanje temelji na elegantnih
geometrijskih oblikah, ki kreirajo naključnost podobno kot pri mešanju kart.
Kaos je preko geometrijskih oblik, znanih kot atraktor, povezan z fraktali, ki jih je uporabil
Mandelbrot v letu 1999 (1999). V svojem delu je predlagal in razvil za opis variabilnosti na
kapitalskih trgih t.i. multifraktalni model, s katerim je opisal fluktuacije in podal oceno
verjetnosti trendov. S tem je razvil popolnoma deterministično metodo analize za sicer
nepredvidljiv sistem.
V zadnjem času je prav tako nastalo na tem področju nelinearne analize kar nekaj del. Naj
omenimo Joshua D. Reissa (2001), ki je o analizi kaotičnih časovnih vrst napisal doktorsko
delo, pa Gianluca Mattarocci-ja (2007), itd..
V teoriji dinamičnih sistemov, kot je gibanje cen vrednostnih papirjev, je kaos opredeljen kot
pojavljanje »nepravilnih« oziroma nestalnih fluktuacij v determinističnem sistemu. Sistem se
obnaša nepravilno zaradi nelinearnosti v svoji interni strukturi in ne zaradi naključnih
»pritiskov« od zunaj. Teorija kaosa predvideva, da je v splošnem (kaotični) sistem popolnoma
determiniran s svojim preteklim obnašanjem, pri čemer že najmanjša perturbacija oziroma
sprememba v začetnih pogojih vodi k popolnoma drugačnemu stanju. To pomeni, da je
kaotični sistem močno občutljiv na začetne pogoje, kar v znanosti pogosto označujejo z
efektom metulja (butterfly efect) in lahko že majhna perturbacija (motnja) vodi k popolnoma
drugačnemu obnašanju sistema v prihodnosti. Vendar pa kaotični proces, kljub temu da tako
izgleda, ni naključen, saj se pri nekaterih procesih ponavljajo »fazna stanja«.
3.2.2 Vpogled v teorijo kaosa
Kaos ima v matematični znanosti precej definicij. Matematično je kaos omejen
deterministični sistem s pozitivnim Lyapunovim eksponentom. Kaj točno to pomeni, bomo še
povedali kasneje. Bolj intuitivna definicija je ta, da je kaos »naključno obnašanje, ki se dogaja
v determinističnem sistemu«. Kaotičen sistem bi tako pri eksperimentalni obravnavi
determinističnega sistema izkazoval »naključne« rezultate – torej rezultati, ki bi bili kljub
determinističnosti sistema »naključni«. To lahko predstavlja nasprotje razumevanju
determinističnosti. Poznavanje trenutnega stanja sistema in funkcij, ki opisujejo razvoj
sistema, bi namreč morali biti dovolj, da bi lahko predvideli prihodnja stanja. Toda ena izmed
karakteristik kaotičnih sistemov je, da so le-ti zelo občutljivi na začetne pogoje, kar pomeni,
33
da se lahko že ob majhni spremembi začetnih pogojev ali majhni varianci v začetnih pogojih,
razvijajo popolnoma drugače, začetna varianca pa se z razvojem sistema veča. Ta napaka se
razvija popolnoma nepredvidljivo in naredi napovedovanje skoraj nemogoče. Najlepši primer
za to občutljivost na začetne pogoje je eden prvih primerov kaosa – »efekt metuljevih kril«,
po katerem lahko prhutanje metuljevih kril npr. v Argentini, nekaj tednov kasneje povzroči
orkan ali tornado v ZDA. Po naključju ga je odkril Edvard Lorenz, ki je med poganjanjem
matematičnih modelov za napoved vremena na svojem računalniku vstavil povsem po
naključju rezultate prejšnjih izračunov in dobil neverjetne rezultate. Čeprav so bile začetne
vrednosti praktično identične in so se razlikovale le v številu decimalk, so s ponavljanjem na
plano prihajale vse večje razlike in po določenem času je bilo nemogoče dejati, da model
izhaja iz »istega« začetnega stanja.
Zato je še najboljša definicija kaosa ta, da je kaos omejen in determinističen sistem z veliko
občutljivostjo na začetne podatke, ki ga lahko dokažemo s pozitivnim Lyapunovim
eksponentom. Dinamični sistemi imajo običajno veliko število začetnih pogojev, ki so zelo
nestabilni. Ne glede na točnost določanja začetnih podatkov v kaotičnem sistemu, so
napovedi, zaradi nepredvidljivosti in rasti napake z razvojem sistema, običajno omejene na
zelo kratek rok. Tipično lahko določimo horizont predvidljivosti s pomočjo Lyapunovega
eksponenta.
Posledica dolgoročne nepredvidljivosti sistema je, da časovna vrsta izgleda nepravilno in
neurejeno. Če si pogledamo dva primera kaotičnega sistema, vidimo, da je temu res tako.
PRIMER 1:
Preslikava je definirana na naslednji način:
x@ � ax@,�, če 0 E x@,� E 1a (11)
x@ � aa � 1 '1 � x@,�), če 1a E x@,� E 1
(12)
Pri čemer je začetna vrednost 0 F x; F 1.
Pomembne lastnosti te preslikave (funkcije) so (slika 6, slika 7):
• G� je enakomerno porazdeljen na intervalu 40,18, ko ( H ∞
34
• vsaka najmanjša razlika pri začetnem pogoju bo v napovedi G� vgrajena eksponentno
• G� izgleda kot stohastičen, čeprav je determinističen in je njegova avtokovariančna
funkcija enaka kot pri šumu (ki je popolnoma stohastičen sistem)
• G� se lahko spreminja le malo, potem pa se zgodi nenaden skok ali padec v vrednosti
• difeomorfičnost, kar pomeni, da imajo krivulje v faznem prostoru enako topologijo
Slika 6 : Obnašanje funkcije iz primera 1, pri a=3 in x0= 0,99.
Slika 7 : Slika funkcije iz primera 1 v faznem prostoru oziroma atraktor funkcije.
PRIMER 2:
Logistična preslikava je drugi zelo preprost primer nelinearne funkcije, ki lahko generira
kaotično obnašanje sistema. Tudi pri tej funkciji je zahtevana začetna vrednost x; med 0 in 1
(0 F x; F 1). Preslikava je definirana z:
x@ � Ax@,�'1 � x@,�) (13)
pri čemer je med 0 in 4.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300
xn
time
-0.05
0.45
0.95
-0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
xn-1
xn
35
Za majhne vrednosti A je sistem stabilen in se obnaša predvidljivo, pri vrednostih blizu 4 pa
postane kaotičen. Dinamika sistema je torej zelo odvisna tudi od parametra, in sicer je lahko
zelo preprosta ali pa pri nekaterih vrednostih kaotična.
Slika 8 : Kaotično obnašanje logistične preslikave pri A=3,9 in x0=0,01.
Slika 9 : Atraktor logistične preslikave.
Kljub nepravilnosti in neurejenosti oziroma vizualni stohastičnosti, pa je potrebno znova
poudariti, da kaos v znanosti ni popolna neurejenost. V tem smislu predstavlja kaos
neurejenost v determinističnem dinamičnem sistemu, ki je kratkoročno predvidljiv. Takšna
oznaka za kaos nas navaja na misel, da bi časovne vrste na kapitalskih trgih lahko bile
kaotične, saj pri analizi časovne vrste vrednostnih papirjev na kapitalskih trgih nimamo
popolnih informacij. Vendarle pa, četudi ugotovimo, da cene na kapitalskih trgih odražajo
kaotično stanje, ni mogoče predvideti cen v daljni prihodnosti, saj se nepopolne informacije
odražajo v odstopanjih cen vrednostnih papirjev od »pravilne« cene, ki pa s časom še
naraščajo. Majhna odstopanja na kapitalskih trgih torej ne vodijo nujno v majhne spremembe,
pač pa lahko privedejo do šokov, ki so nelinearni in izražajo nelinearno dinamiko.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300
xn
time
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
xn-1
xn
36
Glavna tema naloge je sicer analiza kapitalskih trgov in ne kaos, vendar je potrebno imeti
nekaj predstave o tem, s čim se ukvarjamo, da lahko poskusimo najti povezavo med kaosom
kot teorijo na eni strani in obnašanjem cen na kapitalskih trgih na drugi strani. Analiza
kapitalskih trgov z linearnimi modeli je pomanjkljiva, saj ti lahko pojasnijo le določene tipe
obnašanj, medtem ko so nelinearne metode pri tem bolj splošne. Tako lahko z njimi
analiziramo in pojasnimo precej bolj bogat spekter obnašanja cen na kapitalskih trgih ( sistemi
lahko imajo nenadne skoke navzdol ali navzgor, lahko se nenadoma precej spremeni
volatilnost, …). Prav zaradi te zmožnosti nelinearnih sistemov, so ti deležni pozornosti v
finančni javnosti. Na hitri pogled lahko namreč opazimo nekaj podobnosti med dinamiko cen
na kapitalskih trgih in med obnašanjem nelinearnih funkcij (primera), ki opisujejo kaos in ki
bi morda lahko pojasnile velike skoke cen na kapitalskih trgih (kot je bilo na primer med
sedanjo finančno krizo). Večje fluktuacije in nepopolne informacije, katerih posledica je
občutljivost na začetne pogoje, so vzok, da teorija o učinkovitosti trga ne zmore popolnoma
pojasniti dogajanja na kapitalskih trgih. Lahko pa jih štejemo kot prispevke nelinearne
dinamike zaradi zunanjih šokov, ki »motijo« sistem. Če preprosti deterministični nelinearni
sistemi lahko dajo rezultate, ki so videti naključni, potem bi lahko na primer kapitalske trge
razložili s preprostimi nelinearnimi enačbami.
V naravoslovnih znanostih je princip kaosa in modeliranja s ustreznimi metodami dokaj
pogost. In če v časovnih vrstah pojavov iz naravoslovnih znanosti lahko najdemo kaotične
spremembe, to za finančne vrste predstavlja problem. Čeprav najdemo v literaturi pogoste
prispevke, se metod ne uporablja veliko. Razlog za takšno neuporabljanje nelinearnih metod
je morda ekonomistom pogosto nerazumljiva in nova teorija nelinearne dinamike sistemov, ki
lahko ima za posledico tudi spremembo razmišljanja. Drugi, še pomembnejši razlog, ki
prežema finančne časovne vrste, pa so učinki šuma, trendi in splošne strukturne spremembe v
dinamiki. Posebej je potrebno tukaj opozoriti na učinke šuma, ki so v časovnem razvoju vrste
ter iskanja determinističnih vzorcev kaosa najbolj kritični. V nadaljevanju bomo razširili
obzorja in modele tehnične analize s kompleksnejšimi modeli, ki so namenjeni iskanju kaosa
(oziroma kaotičnih vzorcev) v sistemu. Pri tem se bomo naslonili na teoretično ozadje teorije
nelinearne analize dinamičnih sistemov. V tem smislu bomo uporabili popolnoma
matematičen pristop k analizi časovnih vrst. Ta pristop izvira iz teorije kaosa in poskuša
razlagati nepravilne in kompleksne značilnosti sistema. V analizi časovnih vrst vrednostnih
papirjev bomo, ob nenadnih in velikih spremembah, ki se dogajajo, poiskali možnosti bolj
natančnega napovedovanja bodočih cen vrednostnih papirjev. Različni avtorji so se v
37
preteklosti ukvarjali z nelinearno dinamiko predvsem na osnovi nelinearnih diferencialnih
enačb, ki so bile običajno odvisne od nekaj kontrolnih parametrov. Novi vidiki, ki jih je
odprla teorija dinamičnih sistemov, pa se opirajo predvsem na geometrične poglede in obstoj
geometrijske invariantnosti. V nadaljevanju bomo natančneje opredelili nekaj takšnih
konceptov v teoriji kaosa (determinizem, oblikovanje faznega prostora, »korelacijska
dimenzija«, Lyapunov eksponent). Da lahko uporabljamo orodja razvita s pomočjo teorije
nelinearnih dinamičnih sistemov, je potrebno poznati le-to te koncepte oziroma teorijo kaosa.
Vpogled v te metode nam bo omogočil uporabo metod za analizo časovnih vrst. Z njeno
pomočjo bomo skušali poiskati v časovnih vrstah cen vrednostnih papirjev deterministične
kaotične strukture. V primeru, da takšne strukture najdemo (torej, če ugotovimo, da časovne
vrste izražajo kaos), lahko s pomočjo faznega prostora natančneje predvidimo cene v
prihodnosti, kot s »klasičnimi« linearnimi metodami.
3.2.3 Determinizem
Napovedati prihodnje vrednosti neke količine je klasični problem v analizi časovnih vrst, saj
problem konceptualno ni omejen le na področje finančnih časovnih vrst. Iz podatkov je vedno
težko povedati, ali obstaja kakšna »pravilna« struktura podatkov (četudi kaotična), ki bi nam
omogočila napovedovanje prihodnjih vrednosti, saj v praksi ne najdemo časovnih vrst brez t.i.
»šuma«. Tako se vedno najdejo neke vrste »motenj« in tudi najbolj deterministične časovne
vrste vsebujejo nekaj »šuma« oziroma naključnosti.
Metode, ki omogočajo razlikovanje med determinističnimi in stohastičnimi procesi se
sklicujejo na dejstvo, da se determinističen sistem vedno razvija iz neke začetne točke. Če
želimo ugotoviti determinističnost časovne vrste je zato potrebno izbrati neko začetno stanje.
Vsa merjenja determinističnosti sistema izhajajo iz tega, da najdemo stanje, ki je »najbližje«
danemu začetnemu stanju. Tako se te metode za vsako točko lotijo iskanja podobnega
oziroma bližnjega stanja in ju primerjajo. Če gledamo razlike med začetnim stanjem in
časovnim razvojem sosednjih stanj, bo pri determinističnem sistemu ta razlika ves čas majhna
in brez večjih fluktuacij (govorimo o stabilnem sistemu), ali pa bo eksponentno rastla s časom
(govorimo o kaotičnem sistemu), lahko pa je, v primeru stohastičnega sistema, ta razlika
naključno razporejena. Stanje sistema se običajno opisuje z »vpenjanjem« časovne vrste v
fazni prostor. Pri tem običajno izberemo neko dimenzijo faznega prostora, imenujemo jo
vgrajena dimenzija, in gledamo, kako se razlike med sosednjima stanjema širijo. Če širjenje
izgleda naključno, povečamo dimenzijo vpenjanja (vgrajeno dimenzijo) in ponovimo proces.
38
V primeru, da najdemo »predvidljive« razlike, lahko rečemo, da imamo determinističen
sistem. Test determinizma torej preverja, ali časovna vrsta resnično izhaja iz
determinističnega sistema in je pomemben za razlikovanje med determinističnim kaosom in
nepravilnim naključnim obnašanjem.
Čeprav je algoritem dokaj preprost za opis, pa v realnosti temu ni tako. Z naraščanjem
časovne dimenzije je potrebno vse več časa za izračunavanje razlik in vse več podatkov, da bi
našli bližnje stanje in da bi lahko govorili o zanesljivosti metode.
3.2.4 Rekonstrukcija faznega prostora
Dinamika kaosa se, kot je bilo povedano, manifestira v občutljivosti sistema na začetno
stanje. Govorimo o »čudnem« časovnem obnašanju sistema, ki ga lahko opišemo s pomočjo
atraktorjev, ki predstavljajo geometrijski objekt (krivuljo) v faznem prostoru in prikazujejo
stanje, v katerem se sistem zadržuje. Imajo lahko najrazličnejše in zelo zapletene geometrije,
in nekateri so celo dobili ime čudni atraktorji. Njihove dimenzije običajno niso cela števila
(govorimo o t.i. fraktalni dimenziji). Teorija je pokazala, da necele dimenzije atraktorjev
izkazujejo za Evklidsko geometrijo neobičajno »samopodobnost«. Za atraktorje in fraktale
niti ni značilna Evklidska geometrija, pač pa t.i. fraktalna geometrija. Kaotični procesi
pogosto kažejo fraktalne strukture, ki so vidne v faznem prostoru. Govorimo o neke vrste
»spominu« sistema, na osnovi katerega poskuša teorija kaosa napovedati prihodnje vrednosti
časovne vrste.
Kot rečeno, so atraktorji objekti v faznem prostoru. Zakaj fazni prostor in kaj je to? Pri
preučevanju časovnih vrst cen vrednostnih papirjev, pa tudi drugih podatkovnih nizov
(časovnih vrst), ki izhajajo iz opazovanja spreminjanja sistema v realnosti, naletimo vedno
znova na problematiko nepoznavanja funkcije, ki bi dinamiko opisala. Pri takšnem
opazovanju namreč lahko dobimo nize diskretnih podatkov (številk), vendar pa kljub temu ne
moremo na preprosti način najti diferencialne ali druge oblike enačbe, ki bi lahko opisala
takšne spremembe. Ideja rekonstrukcije faznega prostora je pot, kako podatke časovne vrste z
nepoznano funkcijo dinamike, preoblikovati v takšno obliko, da bo primerna za analitične
prijeme, ki jih nameravamo uporabiti. Tako ideja rekonstrukcije faznega prostora omogoči
uporabo številnih tehnik iz teorije dinamičnih sistemov za analizo časovnih vrst podatkov in
določitev geometrijskih vzorcev v topološkem prostoru. Ideja je zelo preprosta in jo v
39
splošnem lahko opišemo kot generiranje večdimenzionalnih spremenljivk iz originalne
časovne vrste.
Za časovno vrsto G�, kjer je ( � 1,2, … , , kjer je število podatkov v časovni vrsti,
rekonstruiramo fazni prostor z uporabo metode časovnih zamikov. Glavna ideja metode
časovnih zamikov je v tem, da je razvoj vsake posamezne spremenljivke sistema determiniran
z ostalimi spremenljivkami, s katerimi je v interakciji. Informacije o spremenljivkah so tako
implicitno vsebovane v preteklosti sistema.
Fazni prostor dobimo s preslikavo časovne vrste v M-dimenzionalen topološki prostor. Z
uporabo časovne vrste G� definiramo vektor N� ki predstavlja eno točko faznega prostora kot:
N� � OG�, G��P, G���P, G��QP, … , G��'R,�)PS (14)
kjer z T označujemo časovni zamik. Za diskrene časovne vrste običajno kar uporabimo
mnogokratnik intervala podatkov časovne vrste, medtem ko z M označujemo t.im. vgrajeno
dimenzijo (dimenzijo topološkega prostora). Dimenzija M rekonstruiranega faznega prostora
se ocenjuje kot zadostna dimenzija za »obnavljanje« objekta faznega prostora brez
deformacije katere koli od njegovih topoloških značilnosti in je zato lahko različna od
dimenzije prostora v katerem se nahaja. Tako časovni zamik T kot vgrajena dimenzija M sta
parametra rekonstrukcije faznega prostora in ju je potrebno določiti iz podatkov.
3.2.5 Določitev časovnega zamika
Za določitev časovnega zamika, potrebnega pri rekonstrukciji faznega prostora, iz opazovanih
podatkov (časovne vrste), lahko uporabimo dve metodi. Pri prvi lahko s pomočjo
avtokorelacijske funkcije izberemo časovni zamik kot prvo »ničlo« le-te. Razlog je v tem, da
je čas, pri katerem avtokorelacijska funkcija doseže vrednost nič, tista točka, pri kateri je G��P
popolnoma dekoreliran z G�, zaradi česar se namesto nič vzame čas pri katerem
avtokorelacijska funkcija pade na �. To tudi kaže na pomen časovnega zamika v praksi.
Očitno je namreč, da časovni zamik meri t.i. »spomin« sistema. To nam namreč pove, kako
cene daleč v preteklosti vplivajo na naslednjo vrednost časovne vrste.
Opisana procedura bi bila sprejemljiva, toda upošteva le linearne statistike in ne nelinearne
dinamike. Zato se pogosteje uporablja drugi način določitve časovnega zamika, to je metoda
vzajemne informacije, pri kateri iščemo minimum funkcije povprečne vzajemne informacije
40
(AMI – average mutual information), in jo izračunamo iz podatkov časovne vrste, ki jo
analiziramo.
Pri tej metodi najprej pripravimo verjetnostni histogram podatkov. Pri tej metodi se vrednosti
analizirane časovne vrste razdelijo na določeno število odsekov. Če označimo s U� verjetnost,
da G� zavzame vrednost znotraj �-tega odseka razpona vrednosti in s U�� verjetnost, da G�
zavzame vrednost znotraj �-tega odseka in hkrati G��P zavzame vrednost znotraj V-tega
odseka, lahko nelinearno avtokorelacijsko funkcijo imenovano povprečna vzajemna
informacija izračunamo kot:
W'T) � / U��'T)X%��
U��'T) � 2 / U�'T)�
(15)
Na grafu povprečne vzajemne informacije je prvi (lokalni) minimum tista vrednost, ki se
izkaže za najprimernejšo izbiro za časovni zamik T. Število odsekov se lahko pri tem izbere
poljubno, kljub temu pa Fraser in Swinney (1986) menita, da je najboljša izbira za število
odsekov med 20 in 50.
Strokovnjaki, ki se ukvarjajo s kaosom si niso edini, katero metodo je bolje uporabiti.
Abarbanel (Abarbanel, 1996) nasprotuje uporabi prve »ničle« avtokorelacijske funkcije, pri
čemer argumentira svoje stališče s tem, da ta metoda upošteva le linearne korelacije podatkov.
Na drugi stani pa sta Kantz in Schreiber (Kantz, Schreiber, 1997) zapisala, da je določitev
časovnega zamika z uporabo metode vzajemne informacije zanesljiva za dvodimenzionalni
vgrajeni fazni prostor, za višje dimenzije faznih prostorov pa določitev časovnega zamika ni
več tako zanesljiva. Kakorkoli že, v praksi sta pogosto uporabljeni obe metodi in dajeta
podoben rezultat. Izjemoma lahko časovni razmik določen po eni in drugi metodi zavzame
signifikantno različne vrednosti. V tem primeru se uporabijo še dodatne omejitve, ki prinesejo
končno odločitev.
3.2.6 Določitev vgrajene dimenzije
Osnova metode za določitev »zadostne« vgrajene dimenzije je ena od lastnosti kaotičnih
atraktojev in tudi sicer dinamičnih sistemov, in sicer ta, da se deli njihovih krivulj ne smejo
medsebojno sekati in ne prekrivati. Do takšnega sekanja ali prekrivanja lahko pride v primeru,
če je atraktor vgrajen v prostor, katerega dimenzija je premajhna. Raziskovanje teh lastnosti
41
se uporabi za iskanje dimenzije vpenjanja v fazni prostor. Pri tem se uporabi metoda
napačnega najbližjega soseda.
Zamislimo si atraktor, ki je vpet v M � 1 dimenzionalni fazni prostor. To seveda ne pomeni,
da tudi pri M dimenzionalnem faznem prostoru govorimo o pravilni vpetosti v fazni prostor,
saj je lahko dimenzija že prenizka. Najprej si poglejmo, kaj se zgodi ko zmanjšamo dimenzijo
faznega prostora - kaj se torej zgodi, ko iz M � 1 preidemo v M dimenzionalni prostor?
Če imamo atraktor vpet v M � 1 dimenzionalni fazni prostor, to pomeni, da je v njegovi
bližnji okolici natanko ena in edina točka, ki sledi opazovani točki (na ta način lahko
govorimo o determinističnem sistemu). Zamislimo si, da se gibljemo vzdolž koordinate v M
dimenzionalnem prostoru in iščemo bližnje točke. Če smo v M � 1 dimenzijah našli unikatno
točko, pa lahko v M dimenzionalnem prostoru najdemo več takih točk oziroma lahko za vsako
opazovano točko najdemo skupine sosednjih točk (seveda je to deloma odvisno od tega, iz
katerega dela atraktorja zajemamo opazovane točke). Če najdemo skupine sosednjih točk,
pomeni, da ne moremo najti ene in edine slike naslednje točke (pravimo, da smo našli tako
imenovanega napačnega soseda) in da ne moremo natančno določiti naslednje točke. S tem
prelomimo determinizem. Pri določanju vgrajene dimenzije izhajamo iz manjših dimenzij in
višamo število dimenzij tako dolgo, dokler ne najdemo minimalne vrednosti vgrajene
dimenzije, pri kateri več ne najdemo napačnih sosedov.
Metoda torej deluje na principu izbire najbližjega soseda vsake točke pri dani dimenziji in
nato preveri ali so le-ti tudi najbližji sosedi v višji dimenziji. Odstotek napačnih najbližjih
sosedov mora pasti na nič ali mora biti zelo majhen, kadar govorimo, da je bila poiskana
primerna vgrajena dimenzija. Najbližji sosed v M-dimenzionalnem prostoru je napačen v
primeru, da je razdalja med točko in najbližjim sosedom v M � 1-dimenzionalnem prostoru
večja kot neka vnaprej definirana vrednost tolerance.
Npr. za vsako točko (vektor) NY poiščemo najbližjo točko N� v M-dimenzionalnem prostoru.
Izračunamo razdaljo |NY � N�| med točkama. Nato gremo dimenzijo više in izračunamo
razdaljo v tej dimenziji. Razdaljo izračunamo za izbrano dimenzijo M in izbran (izračunan)
časovni zamik T kot:
42
ZR� � / 4NY'( � �T) � N�'( � �T)8�R,��3;
. (16)
Premik iz dimenzije M v M � 1 pomeni, da je točkam dodana nova koordinata N'( � MT),
tako da se nova razdalja izračuna kot:
ZR��� � ZR� � 4NY'( � MT) � N�'( � MT)8�. (17)
Relativna razdalja med točkama v dimenzijah M in M � 1 se izračuna kot razmerje:
[ZR��� � ZR�ZR� � 4NY'( � MT) � N�'( � MT)8ZR . (18)
Če je to razmerje (relativna razdalja) večje kot neka vnaprej definirana tolerančna vrednost,
označimo jo z G, potem sta točki NY in N� okarakterizirani kot napačna soseda (kar pomeni, da
sta v soseščini zaradi napačne dimenzije vpenjanja in ne zaradi dinamike časovne vrste). Za
določitev, kdaj sta dve točki napačna soseda, se lahko uporabi tudi dodatni kriterij:
ZR�� \ ]G , (19)
kjer je ] standardna deviacija podatkov okrog povprečne vrednosti. ] je parameter, ki meri
tudi velikost atraktorja, in v tem smislu ta kriterij opisuje dejstvo, da bosta dve točki, ki sta v
dimenziji M � 1 napačna soseda, premaknjeni na robove atraktorja. Proceduro iskanja se
ponavlja za vse pare točk, dokler odstotek napačnih bližnjih sosedov ne doseže vrednosti
dovolj blizu nič. Kennel, Brown in Abarbanel (1992) so ugotovili, da algoritem iskanja
napačnega bližnjega soseda lahko da napačno, nizko oceno vgrajene dimenzije tudi za
stohastične procese, ki imajo visoke dimenzije, če se ne uporabi dodatni kriterij. Pri dodatnem
kriteriju pa je potrebno najti tudi primerno tolerančno vrednost (G), ki mora biti takšna, da je
izračun stabilen. Abarbanel (1996) je ugotovil, da je ta v praksi (pri večini nelinearnih
sistemov) okrog 15, pri naši preiskavi pa smo namesto tega uporabili kriterij največje možne
vgrajene dimenzije, ki smo ga prilagajali tako, da smo dobili stabilen algoritem.
3.2.7 Največji Lyapunov eksponent
Sosednje krivulje oziroma trajektorije se v faznem prostoru s časom oddaljujejo. Eden od
glavnih znakov kaotičnega obnašanja sistema je medsebojno eksponentno oddaljevanje točk.
43
Eksponent, ki opisuje to oddaljevanje, je za sistem značilen in je mera za kaos. Imenujemo ga
največji Lyapunov eksponent.
Izberimo spet dve točki sistema Z_ in Z` v faznem prostoru. Če izračunamo njuno
medsebojno razdaljo δ; � |Z_ � Z`| in označimo z razdaljo med točkama po nekem času
∆(, potem velja (v okviru napake), da je:
δ � δ;e b∆@, c d 1, ∆( e 1, 4 (20)
kjer količino f \ 0 imenujemo Lyapunov eksponent. Za nizkodimenzionalen deterministični
proces je Lyapunov eksponent vedno pozitivno število v tem primeru govorimo o
determinističnem kaosu. Kratek razmislek nam pove, da se dve točki na dveh trajektorijah ne
moreta razlikovati za razdaljo, ki je večja od velikosti atraktorja. Tako mora za vsak časovni
korak ∆( veljati, da ostane c dovolj majhen. V primeru, da ta pogoj ne velja, pa te metode ne
uporabljamo, saj ne more dati zanesljivih rezultatov. Negativni največji Lyapunov eksponent
odraža zelo razpršeno in nestabilno obnašanje sistema, za linearni proces je vrednost
največjega Lyapunovega eksponenta enaka nič, za stohastično obnašanje pa je največji
Lyapunov eksponent neskončno velik (nedoločen).
V splošnem je lahko v M �dimenzionalnem faznem prostoru nivo oddaljevanja ali
približevanja trajektorij, ne glede na smer, opisan s pomočjo Lyapunovega eksponenta. Tako
lahko dobimo različne velikosti Lyapunovih eksponentov, od katerih so lahko nekateri nič ali
celo negativni. Običajno vsebujejo namreč podatki fluktuacije (šum), tako da razdalje na
atraktorju v resnici ne naraščajo pri vsaki točki, pri nekaterih časih se lahko celo zmanjšajo.
Zato se največji Lyapunov eksponent oceni tako, da preko vseh danih podatkov izračunamo
povprečje izračunanih velikost Lyapunovih eksponentov.
Iz časovne vrste ocenimo največji Lyapunov eksponent tako, da najprej s primerno izbiro
časovnega zamika in dimenzije rekonstruiramo fazni prostor. Izberemo točko N�g in poiščemo
vse točke N� v bližnji okolici, takšne, da je njihova razdalja od izbrane točke manjša od
razdalje h. Nato izračunamo povprečno razdaljo teh točk od izbrane točke in to ponovimo za
4 Zapis c d 1 pri tem pomeni, da je c blizu nič, ∆( e 1 pa pove, da mora biti čas velikv priemrjavi s časovno
enoto
44
točk na krivulji tako, da lahko izračunamo povprečno količino �, ki jo imenujemo »raztezni
faktor«:
� � 1 / iX% 1jk'G�g)j /jG�g � G�jl:�g
, (21)
kjer je jk'G�g)j število najdenih točk v bližini točke G�g , katerih razdalja do te točke je
manjša od h. Z G� označimo prav te točke. Če narišemo krivuljo, ki ponazarja količino � v
odvisnosti od časa ( ali števila ponovitev (pri čemer je ( � ∆(), dobimo krivuljo, za
katero običajno velja, da na začetku kaže linearno rast, na neki točki pa se ta linearna rast
praktično preneha in krivulja postane skoraj »ravna«, kar pomeni da � s časom ne narašča
več. Prvi del odvisnosti prikazuje eksponentno rast �, saj ta količina vključuje vse več točk. Iz
linearne rasti lahko ocenimo največji Lyapunov eksponent. Drugi del krivulje pa ponazarja t.i.
zasičenost, saj velja, da je velikost atraktorja v faznem prostoru omejena, medtem ko je
eksponentna rast razdalj neomejena. Največji Lyapunov eksponent določimo z metodo
najmanjših kvadratov, s katero poiščemo medsebojno odvisnost na tistem delu, kjer je rast
linearna. Smerni koeficient premice nam da vrednost največjega Lyapunovega eksponenta., ki
nam kaže prisotnost determinističnega kaosa v podatkih. Pri tem lahko ocenimo tudi napako,
ki nastaja zaradi fluktuacij.
Največji Lyapunov eksponent lahko ocenimo iz časovne vrste tudi drugače. Najprej izberemo
točko N�g v času %; in poiščemo točko N0, ki ima najmanjšo razdalja do izbrane točke.
Označimo to razdaljo z ��g . V času %� � %; � M∆( se točka N�g razvije v N�m in N0 v N0m.
Razdaljo med novima točkama (N�g in N0m) označimo z ��m . Če je časovna vrsta primer
determinističnega kaosa, potem velja ��m � ��ge bR∆@ . Od tod hitro izpeljemo:
f � 1M∆( X% ��m��g. (22)
Nato se z izhodiščno točko postavimo naprej in ponavljamo algoritem. Pri ponavljanju
algoritma (imenujemo ga tudi Wolfov) z različnimi izhodiščnimi točkami, lahko izračunamo
povprečni Lyapunov koeficient in ga uporabimo kot največji Lyapunov eksponent. Ta
algoritem ponavljamo pri različnih dimenzijah, dokler Lyapunovi eksponenti ne dosežejo
stabilne vrednosti.
45
Največji Lyapunov eksponent ima z vidika nadaljnjega razvoja časovne vrste zelo zanimivo
interpretacijo. Njegovo vrednost lahko namreč interpretiramo kot mero, ki nam kaže stopnjo
izgube informacij za nazaj in s tega vidika nekako meri neurejenost sistema. Izračunan
največji Lyapunov eksponent nam lahko pokaže, da sistem izkazuje deterministični kaos. To
pomeni, da že majhna sprememba pri začetnih pogojih lahko prinese popolnoma drugačno
časovno vrsto. Prav zaradi tega je s pomočjo teorije kaosa in nelinearnimi metodami težko
napovedati dogajanje v prihodnosti. Izračunan Lyapunov eksponent sicer teoretično pove,
koliko v prihodnost je mogoče dokaj zanesljivo napovedati naslednje vrednosti časovne vrste,
vendar pa moramo za to, da bi le-te lahko napovedali, najti (nelinearno) funkcijo, ki opisuje
dinamiko časovne vrste. Če je največji Lyapunov eksponent večji od nič, potem ima smisel
iskati to funkcijo, drugače pa je bolje naloge se ne lotiti in poskušati s klasičnimi linearnimi
metodami in dodatnimi analizami.
3.2.8 Napovedi prihodnjih vrednosti časovne vrste
Kot smo že ugotovili, nam Lyapunov eksponent kaže na determinizem v sistemu. Če torej iz
časovne vrste na kapitalskih trgih izračunamo Lyapunov eksponent, lahko teoretično navkljub
volatilnosti časovne vrste ugotovimo, da ta ni stohastična. To pa pomeni, da bi lahko z
dodatno analizo poskušali opisati dinamiko sistema s pomočjo nelinearnih enačb in potem
napovedati razvoj časovne vrste. Lahko bi seveda poskušali s kakšnim drugim algoritmom, ki
izvira iz teorije, kot so npr. nevronske mreže ali kakšen drug algoritem učenja, Markov-
switching modeli, fraktalni modeli …. Lahko bi tudi primerjali atraktor s kakšnim že znanim
in na ta način našli funkcijo, ki bi opisala dinamiko sistema.
Zanimiv in eden preprostejših modelov napovedovanje prihodnjih vrednosti časovnih vrst, je
model napovedovanja s pomočjo atraktorja v faznem prostoru. Če izberemo začetno točko N� (iz katere izhajamo pri napovedi), izberemo nekaj najbližjih trajektorij tega atraktorja, in na
vsaki trajektoriji točko, ki je najbliže izbrani točki N� iz katere napovedujemo. Nato
uporabimo povprečje teh trajektorij, da izračunamo naslednjo točko (to je točko, ki jo želimo
predvideti) na trajektoriji (točko N��RP). Ta točka nam je izhodišče za ponavljanje tega
algoritma, s čimer lahko napovemo vrednosti »do poljubnega časa« v prihodnosti. Ne glede
na to, pa velja, da je približna časovna meja, do katere še lahko kolikor toliko natančno
napovemo razvoj kaotičnega sistema, funkcija največjega Lyapunovega eksponenta
(Abarbanel, 1996):
46
∆(RYn � �b. (23)
Zanimivo pri tem je, da smo omenili, da v primeru, ko gre f proti neskončni vrednosti, to
pomeni stohastičen sistem. Iz zgornje definicije bi lahko sklepali, da f \ 1 pomeni, da je čas
za katerega lahko napovemo razvoj časovne vrst manjši kot so časovni razmiki podatkov
časovne vrste. To pomeni, da ima smiselno vrednost le največji Lyapunov eksponent z
vrednostjo med 0 in 1.
4 ANALIZA VREDNOSTNIH PAPIRJEV Z NELINEARNIMI
METODAMI
Pri realnih sistemih, kjer sumimo na kaotičnost, je lahko analiza zelo komplicirana. Kaos
namreč lahko obstaja v mnogih, različnih fraktalnih dimenzijah. Analiza je tem težja, čim
večja je dimenzija, ki jo iščemo, hkrati pa zanesljivost testov tudi izgublja svojo
verodostojnost. Če podatki časovne vrste ne kažejo lastnosti nizko-dimenzionalnega kaosa, je
pri večjih dimenzijah praktično skoraj nemogoče ugotoviti ali so podatki kaotični. To je lahko
za »ekonomsko teorijo kaosa« velika ovira in eden od razlogov, zakaj si avtorji niso edini
glede tega, ali so časovne vrste na kapitalskih trgih kaotični sistemi ali ne. Ena od pomembnih
stvari, ki jih ekonomija lahko pričakuje od teorije kaosa pa je vsekakor to, da bi morda lahko
pojasnili fluktuacije, ki sicer izgledajo stohastične. Sicer obstajata dva testa za iskanje kaosa v
časovnih vrstah. Eden izmed njiju se opira na trajektorije in z njimi poskuša najti kaos. Kot
smo že omenili se to stori tako, da izračunamo Lyapunov eksponent.
Kot že rečeno, je zelo težko z gotovostjo potrditi ali je časovna vrsta stohastična ali kaotična
(deterministična) ali pa celo kombinacija obeh. Predvsem je temu vzrok »šum« oziroma
nepopolnost informacij. Prav zaradi tega je potrebno rezultate, ki jih dajo analitične metode
kaosa obravnavati z rezervo, saj jih je dobro obravnavati še z drugimi metodami preiskovanja
nelinearne dinamike, da rezultate potrdimo. Posebej pomembno bi bilo narediti test
determinizma, s katerim bi preverili, ali časovna vrsta resnično izhaja iz determinističnega
sistema in šele nato izračunati Lyapunov eksponent. Ta test je eden pomembnejših za
razlikovanje med determinističnim kaosom in nepravilnim naključnim obnašanjem, vendar ga
bomo preskočili.
Mi bomo izračunali Lyapunov eksponent za tri različne časovne vrste vrednostnih papirjev in
poskušali pokazati ali v njih eksistirajo kaotične strukture. Časovne vrste cen na kapitalskih
47
trgih so za analizo zelo primerne, saj običajno vsebujejo veliko število podatkov, kar je
predpogoj za uporabo nelinearnih metod analize. Naše analize ne bomo naredili na časovnih
vrstah cen vrednostnih papirjev, ampak bomo le-te najprej predelali v dnevne donose/izgube
in teste opravili na teh časovnih vrstah. Da bomo lahko določili Lyapunov eksponent, bomo
najprej določili časovni zamik in vgrajeno (fraktalno) dimenzijo. Za to bomo uporabili
računalniške programe5, ki uporabljajo zgoraj opisane procedure. Sproti bomo obrazložili
posamezne podatke in vse skupaj slikovno podkrepili. Preden pa bomo časovne vrste
izpostavili testiranju za kaos, pa bomo na njih izvedli še hitro Fourierjevo transformacijo
(FFT) in poskušali poiskati značilne frekvence ponavljanja podatkov.
4.1 Vrednostni papir 1 – delnica podjetja Google (GOOG)
Google je podjetje, ki deluje v visokotehnološkem okolju. Časovno vrsto njegove delnice
GOOG najdemo na internetni strani yahoo.finance.com. Cene delnice so znane od 19.avgusta
2004, ko je delnica očitno pričela kotirati na borzi.
Slika 10 : Spreminjanje cene vrednostnega papirja z oznako GOOG (delnica podjetja Google)
Vir: Časovna vrsta vrednostnega papirja GOOG, 2009
5 Programi, ki uporabljajo v 4.poglavju opisane algoritme se nahajajo na
http://www.matjazperc.com/ejp/time.html, od koder jih lahko bralec oziroma vsak obiskovalec tudi naloži na
svoj računalnik. Pri magistrski nalogi se uporabljajo programi mutual.exe za izračun povprečne funkcije
vzajemne informacije, fnn.exe za metodo najbližjega napačnega soseda in lyapmax.exe za izračun največjega
Lyapunovega eksponenta
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
700.00
800.00
19
.08
.20
04
07
.03
.20
05
23
.09
.20
05
11
.04
.20
06
28
.10
.20
06
16
.05
.20
07
02
.12
.20
07
19
.06
.20
08
05
.01
.20
09
24
.07
.20
09čas (datum)
48
Spreminjanje vrednosti delnice skozi čas prikazuje Slika 10, s katere je tudi razvidno, da je na
njeno vrednost močno vplivala finančna in ekonomska kriza. Cena vrednostnega papirja je
namreč doživela svoj vrh na koncu leta 2007 oziroma v začetku leta 2008, nato pa je pričela
močno padati, podobno kot se je dogajalo s krizo v ZDA - pričela se je ob koncu leta 2007 in
začetku 2008.
Kot rečeno, bomo analizirali dnevne donose oziroma izgube. Iz originalne časovne vrste le-te
izračunamo tako, da izračunamo razliko v ceni med dvema zaporednima dnema. Graf
donosov nam prikazuje Slika 11.
Slika 11 : Spreminjanje dnevnega donosa vrednostnega papirja GOOG skozi čas.
Slika 12 : Močnostni spekter vrednostnega papirja GOOG
-100.00
-80.00
-60.00
-40.00
-20.00
0.00
20.00
40.00
60.00
19
.08
.20
04
07
.03
.20
05
23
.09
.20
05
11
.04
.20
06
28
.10
.20
06
16
.05
.20
07
02
.12
.20
07
19
.06
.20
08
05
.01
.20
09
24
.07
.20
09
čas (datum)
0.000000
0.000500
0.001000
0.001500
0.002000
0.002500
0.003000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
moč
frekvenca
49
V znanosti se takšni grafi, kot ga vidimo za donose pogosto raziskujejo s pomočjo
raziskovanja pogostosti ponavljanja vzorcev. Tako se najprej lotimo analize delnice s
pomočjo Fourierjeve transformacije. Pri tem lahko analiziramo amplitude (oziroma velikosti
koeficientov) frekvenc pri Fourierjevi transformaciji (frekvenčni spekter) ali pa moč le-teh
(močnostni spekter).
Iz slike 12, ki prikazuje močnostni spekter in slike 13, ki prikazuje frekvenčni spekter, je lepo
razvidno, da med njima ni velikih razlik. Sliki prikazujeta spektra, ki nimata večjih odstopanj
od povprečja – to pomeni, da ne obstaja neka značilna frekvenca ali skupina značilnih
frekvenc. Če bi obstajala, bi to pomenilo, da so za ceno delnice GOOG značilni cikli. Seveda
bi v takem primeru bilo mogoče napovedati, kdaj kupiti in kdaj prodati delnice z večjo
zanesljivostjo, kot pa jo dajejo običajne tehnične analize.
Slika 13 : Frekvenčni spekter vrednostnega papirja GOOG
Ker nam Fourierjevi spektri ne dajo informacij, s pomočjo katerih bi lahko sklepali na
prihodnji razvoj časovne vrste, poskusimo z metodami nelinearne analize, opisanimi zgoraj.
Najprej moramo poiskati časovni zamik in nato dimenzijo vpenjanja (vgrajeno dimenzijo), da
bi lahko uspešno ocenili, ali časovna vrsta sploh je deterministična. To bi namreč že bila
informacija, na osnovi katere bi lahko povedali nekaj o možnem prihodnjem razvoju.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
amplituda
frekvenca
50
Slika 14 : Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika
Pa pojdimo po vrsti. S pomočjo funkcije povprečne vzajemne informacije ocenimo časovni
zamik. To storimo tako, da poiščemo minimum že omenjene funkcije. Uporabimo program
mutual.exe za izračun te funkcije in razdelimo podatke na 10 odsekov. Kot vidimo iz slike 14
je minimum funkcije dosežen prvič pri časovnem zamiku 4 in nato ponovno pri 9. Časovni
zamik je torej 4, saj je to prvi lokalni minimum.
Slika 15 : Grafični prikaz deleža napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor.
Po izračunu časovnega zamika sledi izračun dimenzije vpenjanja v fazni prostor. Zato je bil
uporabljen program fnn.exe, ki implementira opisano metodo napačnega najbližjega soseda.
Metoda nam da za dimenzijo vpenjanja v fazni prostor rezultat 4 ali 6. Pri dimenziji 4 namreč
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
vz.inf.
časovni zamik
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6
% fnn
dimenzija vpetja v fazni prostor
51
odstotek napačnih najbližjih sosedov pade dovolj blizu nič in čeprav dosežemo zadovoljivo
natančnost ter nam nadaljnje izračunavanje ne daje bistvenih izboljšav, pa vendarle lahko pri
dimenziji 6 kljub vsemu vidimo rahlo izboljšanje (slika 15).
Slika 16 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta iz časovne vrste
Sedaj, ko imamo tako časovni zamik kot tudi dimenzijo vpetja v fazni prostor, lahko končno
izračunamo Lyapunov eksponent časovne vrste in ugotovimo ali je mogoče pri preiskovanem
vrednostnem papirju ugotoviti deterministični kaos.
Lyapunov eksponent izračunamo s pomočjo Wolfovega algoritma. Izračun naredimo s
pomočjo programa lyapmax.exe pri časovnem zamiku 4 in dimenziji 4, ki smo ju iz časovne
vrste že ocenili. Če izračunane vrednosti Lyapunovega eksponenta narišemo z grafom v
odvisnosti od časa, vidimo na začetku precej visoke vrednosti Lyapunovega eksponenta, pri
približno 40 korakih pa se graf umiri in počasi ustali. Ta ustalitev nam kaže, da je rast
atraktorja v faznem prostoru res omejena in se zgodi približno po 200 korakih.
Če zanemarimo začetne zelo visoke vrednosti, lahko iz grafa ocenimo Lyapunov eksponent.
Rezultat v našem primeru je λ � 0.561785. Takšna vrednost nakazuje na to, da smo v
časovni vrsti našli deterministični kaos (0 F f F 1) in da bi lahko vrednosti časovne vrste z
veliko natančnostjo predvideli za cca. 2 dni (=�t). Toda pri interpretaciji je potrebno biti
previden. Napovedi vrednosti za 2 dni vnaprej so lahko dokaj natančne že ob običajni tehnični
ali temeljni analizi. Iz grafa lahko vidimo velika nihanja vrednosti Lyapunovega eksponenta
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
raztezni faktor
čas (dni)
52
(v tistem delu grafa, iz katerega ocenjujemo Lyapunov eksponent), iz česar bi lahko sklepali
na večje standardno odstopanje oziroma varianco v izračunu Lyapunovega koeficienta.
Rezultat algoritma je pozitivna vrednost Lyapunovega eksponenta in manjša od ena. Rezultat
s stališča iskanja kaotičnih struktur pove, da je v gibanju te delnice prisoten rahel kaos, toda
na funkcijo, ki bi opisala takšno kaotično spreminjanje ne moremo sklepati. Lyapunov
eksponent nam tudi pove, da lahko napovemo z veliko gotovostjo vrednosti le za dva dni v
prihodnost. To je vsekakor zelo malo, zato je v tem primeru na mestu vprašanje, ali je
smiselno (z vidika upravičenosti povezanih stroškov) iskati funkcijo in poskušati napovedati
prihodnje vrednosti cene časovne vrste z nelinearnimi metodami. Iz atraktorja, dobljenega pri
vpenjanju v časovni prostor, se vidi, da ima občasno večje skoke, ki predstavljajo
nepričakovane efekte na trgu in tako atraktor spominja na stohastičen proces (Slika 17).
Atraktor prav tako nima oblike, ki bi spominjala na kakšno znano kaotično strukturo in s tem
dajala možnost iskanja funkcije po tej poti, pač pa izgleda kot kepa volne, kjer se občasno
pojavijo "nitke", ki silijo izven prostora in nakazujejo stohastičnost.
Slika 17 : Atraktor vrednostnega papirja GOOG v faznem prostoru, preslikan na ravnino.
4.2 Vrednostni papir 2 – delnica podjetja Microsoft (MSFT)
Microsoft je podobno kot Google podjetje, ki deluje v visokotehnološkem okolju. Časovna
vrsta njegove delnice MSFT na stani finance.yahoo.com je vse od 13.marca 1986, ko je
delnica očitno pričela kotirati na borzi.
-90
-60
-30
0
30
60
90
-90 -60 -30 0 30 60 90
53
Slika 18 : Spreminjanje vrednosti delnice MFST skozi čas.
Vir: Časovna vrsta vrednostnega papirja MFST, 2009
Spreminjanje vrednosti delnice skozi čas prikazuje slika 18, s katere je tudi razvidno, da je
imela najvišje cene v času, ko je tudi bil razmah podjetja izreden in ko je bilo podjetje močno
cenjeno. V zadnjem času je na vrednost delnice kot kaže precej vplivala konkurenca in razne
državne intervencije ter tožbe zaradi zlorabljanja monopolnega položaja na trgu. Microsoft
tudi vse bolj zgublja del trga zaradi konkurence, ki se je z njim podala v boj s konkurenčnimi
izdelki in »zastonj« ponudbo. Iz slike vidimo tudi, da se na določena obdobja zdi, kot da bi se
vzorec spreminjanja vrednosti delnice skorajda ponavljal, kar nas vodi k temu, da bi pri tej
delnici morebiti lahko našli deterministično obnašanje.
Ker bomo analizirali dnevne donose oziroma izgube, jih izračunamo iz originalne časovne
vrste in to tako, da izračunamo razliko v ceni med dvema zaporednima dnema. Graf donosov
vidimo na sliki 19.
Kot lahko vidimo iz slike 19, je imela delnica bila ves čas razgibano nihanje donosa. V
obdobju po letu 2003, se je ta razgibanost sicer malce »upehala« in so nihanja cene postala
malce bolj umirjena, vendar donosi še vedno nihajo. Nekatera odstopanja navzgor so še veliko
večja in so na grafu prikazane samo do višine 30 ameriških dolarjev dnevnega donosa, čeprav
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
13
/03
/19
86
26
/07
/19
87
07
/12
/19
88
21
/04
/19
90
03
/09
/19
91
15
/01
/19
93
30
/05
/19
94
12
/10
/19
95
23
/02
/19
97
08
/07
/19
98
20
/11
/19
99
03
/04
/20
01
16
/08
/20
02
29
/12
/20
03
12
/05
/20
05
24
/09
/20
06
06
/02
/20
08
20
/06
/20
09
čas
54
so bili dnevni donosi tudi veliko večji, kar kaže na zunanje šoke, lahko pa bi tudi rekli, da se v
cenah delnice odraža dogajanje v gospodarstvu, katerega tempo je narekoval prav razvoj
informacijske tehnologije.
Slika 19 : Dnevno spreminjanje donosa delnice MSFT skozi čas
Graf dnevnih donosov nas vizualno spomni na zvočne zapise. Takoj nam pride na misel
analiza ponavljajočih se frekvenc, zato se lotimo FFT procedure, s katero dobimo frekvenčni
zapis časovne vrste in lahko časovno vrsto analiziramo pomočjo s frekvenčnega ali
močnostnega spektra, da vidimo, ali obstaja kakšna izrazita frekvenca.
Slika 20 : Frekvenčni spekter časovne vrste delnice MSFT
Tako smo se lotili analize delnice MSFT s pomočjo Fourierjeve transformacije. Pri tem smo
uporabili tako imenovano hitro Fourierjevo transformacijo (FFT), ki omogoča hitro in
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
14
/03
/19
86
22
/05
/19
88
31
/07
/19
90
08
/10
/19
92
17
/12
/19
94
24
/02
/19
97
05
/05
/19
99
13
/07
/20
01
21
/09
/20
03
29
/11
/20
05
07
/02
/20
08 čas
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
amplituda
frekvenca
55
učinkovito preračunavanje originalne časovne vrste donosov v Fourierjev (frekvenčni) zapis.
Iz slike 20, ki prikazuje frekvenčni spekter, je lepo razvidno, da ne obstaja neka značilna
frekvenca ali več takšnih frekvenc, ki bi nakazovale na ponavljajoče se spreminjanje cene
delnice MSFT, zato za napovedi ne moremo uporabiti Fourierjeve transformacije in
frekvenčne analize.
Slika 21 : Določanje časovnega zamika s pomočjo metode vzajemne informacije
Za poskus analize z nelinearnimi metodami je prvi korak poiskati časovni zamik in dimenzijo
vpenjanja (vgrajeno dimenzijo), da bomo na koncu izračunali Lyapunov eksponent, ki nam bo
povedal, kako je s kaotičnostjo časovne vrste.
S pomočjo funkcije povprečne vzajemne informacije ocenimo časovni zamik, tako da
poiščemo minimum funkcije. Pri izračunu funkcije uporabimo 20 odsekov. Kot vidimo iz
slike 21 je minimum funkcije dosežen prvič pri časovnem zamiku 1, nato pri 3 in nato
ponovno pri 7. Za časovni zamik si izberimo 3, saj je zamik 1 brez večje vrednosti, hkrati pa
je zamik 3 tudi globalni minimum funkcije.
Dimenzijo vpenjanja v fazni prostor izračunamo s pomočjo programa z algoritmom metode
napačnih najbližjih sosedov. Grafični prikaz odstotka napačnih najbližjih sosedov nam
pokaže, da se pri dimenziji 7 pojavi dovolj dobra natančnost, zato si prav to dimenzijo
izberemo za nadaljnje izračunavanje.
Da bomo dokončno potrdili sum na obstoj determinističnega kaosa pri vrednostnem papirju
MSFT, je potrebno izračunati še največji Lyapunov eksponent.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 1 3 5 7 9
vz.inf.
časovni zamik
56
Slika 22 : Delež napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije vpenjanja v fazni
prostor
Največji Lyapunov eksponent izračunamo s pomočjo Wolfovega algoritma, in sicer pri
izračunanem časovnem zamiku 3 in dimenziji faznega prostora 7. Če izračunane vrednosti
največjega Lyapunovega eksponenta narišemo v odvisnosti od časa (slika 23), so v začetku
opazne visoke in zelo spremenljive vrednosti Lyapunovega eksponenta. Kasneje pride do
zasičenja, kar na grafu opazimo kot ustalitev krivulje na določeni ravni. Tudi ta atraktor torej
v faznem prostoru raste do nekih meja. Iz grafa lahko ocenimo vrednost Lyapunovega
eksponenta in dobimo u=0.014045. Takšna vrednost nakazuje na to, da smo v časovni vrsti
našli deterministični kaos (0 F f F 1) in da bi lahko vrednosti časovne vrste z veliko
natančnostjo predvideli za cca. 71 dni (=�t). To je za zares natančne napovedi zelo dolga doba,
zato je pri takšni interpretaciji rezultata potrebna dovoljšna mera previdnosti. Precej tvegano
je namreč na dolgi rok govoriti o natančnih napovedih. Zato je treba v primeru naložb
upoštevati tudi tveganost (rizičnost) naložb in preveriti tudi druge parametre, ki lahko vplivajo
na ceno delnic.
Pri tem je potrebno imeti v mislih tudi t.i. šum, saj pretekle cene običajno nimajo vsebovanih
vseh informacij (npr. nekatere informacije niso bile znane v trenutku, ko je bila znana cena,
sedaj pa te informacije poznamo). V primeru, da pripravimo nelinearen model, ki bi
vključeval vsa možna odstopanja pri začetnem stanju (med drugim tudi nepopolnost
informacij), bomo morali rezultate modela in realnega »performansa« delnice ves čas
primerjati in redno modelirati, ob tem pa upoštevati tudi dejtvo, da se »netočnosti« (motnje,
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
% fnn
dimenzija vpetja v fazni prostor
57
nepopolne informacije) s časom povečajo. Ugotovili bi, da cen ne moremo zagotovo
napovedati, da pa so takšni modeli običajno natančnejši kot linearni modeli.
Slika 23 : Izračunavanje maksimalnega Lyapunovega eksponenta za delnico podjetja
Microsoft
Slika 24 : Atraktor dobljen iz časovne vrste delnice MSFT pri časovnem zamiku 4 in dimenziji
faznega prostora 7
Ob dejstvu, da smo v delnici našli deterministični kaos, je vsekakor zelo zanimivo pogledati
kakšen je atraktor. Vidimo ga na sliki 24 in iz njegove oblike smemo pri tej delnici sklepati na
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-100 900 1900 2900 3900 4900 5900
raztezni faktor
čas
-90
-60
-30
0
30
60
90
-90 -60 -30 0 30 60 90
58
deterministični kaos. Delnica se torej kljub navidezni stohastičnosti obnaša deterministično.
Atraktor na sliki ima zelo zanimivo obliko, iz katere bi lahko sklepali na kaotičnost v časovni
vrsti.
Pomembna ugotovitev analize te delnice je, da kljub v ekonomski znanosti splošno sprejeti
dogmi o stohastičnosti kapitalskih trgov, lahko ugotovimo, da v omejenem obsegu velja, da so
cene na kapitalskih trgih deterministične. Deterministične so le v omejenem obsegu, in sicer v
skladu s teorijo kaosa. Kljub determinističnosti lahko ugotovimo, da nam izračunan Lyapunov
eksponent pove, da je mogoče za nekaj časa naprej sicer dokaj natančno napovedati prihodnji
razvoj časovne vrste, vendar je potrebno poudariti, da so napovedi zelo močno odvisne od
točnosti vrednosti v preteklosti. Kljub temu dajejo nelinearne metode svež in drugačen
vpogled na kapitalske trge. Teoretično nam nudijo osnovo za napovedovanje prihodnjega
razvoja časovne vrste na kratek rok, česar uporabnost so ugotovile številne znanosti. Oglejmo
si še primer analize vrednostnega papirja, ki kotira v Sloveniji.
4.3 Vrednostni papir 3 – vzajemni sklad RASTKO
Rastko je eden prvih vzajemnih skladov, ki so se pojavili na slovenskem trgu. Je delniški
vzajemni sklad, kar pomeni, da je večina naložb sklada v delnicah in se dogajanja na trgu z
delnicami odražajo na vrednosti točke vzajemnega sklada. Z njim upravlja podjetje KD
skladi, ki je začelo s tem vzajemnim skladom upravljati leta 1996. Tako imamo dovolj dolgo
časovno vrsto sklada, da si lahko z nelinearnimi metodami ogledamo njene značilnosti.
Časovno vrsto najdemo na internetni strani podjetja.
Slika 25 : Spreminjanje cene vzajemnega sklada Rastko skozi čas
Vir: Časovna vrsta vzajemnega sklada Rastko, 2009
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
50.00
23/08/1996 09/02/1999 28/07/2001 14/01/2004 02/07/2006 18/12/2008čas (datum)
59
Slika 26 : Spreminjanje dnevnega donosa vzajemnega sklada Rastko
Slika 25 prikazuje spreminjanje vrednosti vzajemnega sklada skozi čas. Iz slike je razvidno,
da je na vrednost vzajemnega sklada izjemno močno vplivala zadnja finančna in ekonomska
kriza. Vrednost sklada je tako padla nazaj na raven iz leta 2002, kot vidimo, pa se je
kratkočasno padanje sicer ustavilo in prešlo v rahlo rast, čemur je sledil ponoven padec.
Takšen padec je, glede na to, da je Rastko delniški sklad, pričakovan, saj odraža stanje na trgu
v času, ko večina delnic izgublja ceno.
Če iz originalne časovne vrste izračunamo dnevne donose, torej izračunamo razliko v ceni
med dvema zaporednima dnema, in grafično predstavimo dobljene rezultate, dobimo graf
donosov, ki nam ga prikazuje slika 26.
Kot vidimo iz slike 26, je imela delnica dokaj umirjeno gibanje donosa, ki je začelo močneje
odstopati šele zadnjem obdobju. Ker iz grafa dnevnih donosov vizualno ne moremo sklepati
na kakšno cikličnost v spreminjanju cen, jo poskusimo poiskati s pomočjo Fourierjeve
transformacije.
Najprej s pomočjo FFT procedure dobimo frekvenčni zapis časovne vrste. Nato lahko
časovno vrsto analiziramo s pomočjo frekvenčnega ali močnostnega spektra, da vidimo, ali
obstaja kakšna izrazita frekvenca. Iz slike 27, ki prikazuje frekvenčni spekter vzajemnega
sklada Rastko, je lepo razvidno, da pri nobeni frekvenci ne obstaja izrazito višja amplituda.
To pomeni, da ne obstaja značilna frekvenca ali več takšnih frekvenc, ki bi nakazovale na
ponavljajoče se spreminjanje cene vzajemnega sklada Rastko, zato za napovedi prihodnjih
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
24/08/199605/06/199816/03/200026/12/200107/10/200318/07/200529/04/200707/02/2009
čas (datum)
60
vrednosti časovne vrste Fourierjeva transformacija in frekvenčna analiza nista primerni
oziroma uporabni.
Slika 27 : Frekvenčni spekter vzajemnega sklada Rastko
Pri analizi z nelinearnimi metodami, najprej, kot smo že opisali, poiščemo časovni zamik in
dimenzijo vpenjanja (vgrajeno dimenzijo), na osnovi česar bomo v nadaljevanju izračunali
Lyapunov eksponent, ki nam bo povedal, kako je z determinstičnostjo časovne vrste. Ta nam
bo dal odgovor na vprašanje, ali smemo sklepati na kaos v časovni vrsti.
Slika 28 : Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
amplituda
frekvenca
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 2 4 6 8 10 12 14 16
vz.inf.
časovni zamik
61
S pomočjo funkcije povprečne vzajemne informacije ocenimo najprej časovni zamik tako, da
ocenimo minimum funkcije. Kot vidimo iz slike 28 je minimum funkcije dosežen pri
časovnem zamiku 8 in drugič pri časovnem zamiku 14. Časovni zamik je torej 8.
Slika 29 : Grafični prikaz odstotka napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor.
Po izračunu časovnega zamika sledi izračun dimenzije vpenjanja v fazni prostor s pomočjo
metode napačnega najbližjega soseda. Na ta način izračunamo, da je dimenzija vpenjanja v
fazni prostor enaka 6. Če pogledamo sliko 29, lahko namreč lepo vidimo, da pri tej dimenziji
odstotek napačnih najbližjih sosedov pade dovolj blizu nič in nam nadaljnje izračunavanje ne
daje bistvenih izboljšav. Potem ko izračunamo tako časovni zamik kot tudi dimenzijo vpetja v
fazni prostor, lahko končno izračunamo Lyapunov eksponent časovne vrste in ugotovimo ali
je mogoče pri preiskovanem vrednostnem papirju ugotoviti deterministični kaos.
Lyapunov eksponent spet izračunamo s pomočjo Wolfovega algoritma. Izračun bomo naredili
pri časovnem zamiku 8 in dimenziji 6, ki smo ju iz časovne vrste že ocenili. Če izračunane
vrednosti Lyapunovega eksponenta narišemo z grafom odvisnosti od časa (slika 30), vidimo v
začetku precej visoke vrednosti Lyapunovega eksponenta, ki se hitro zmanjšajo. Graf
Lyapunovega eksponenta se nato umiri pri majhni pozitivni vrednosti λ � 0.003764. Takšna
vrednost nakazuje na to, da smo v časovni vrsti našli deterministični kaos (0 F f F 1) in da
bi lahko vrednosti časovne vrste z veliko natančnostjo predvideli za cca. 266 dni (=�t).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 2 4 6 8 10
%fnn
dimenzija vpetja v fazni prostor
62
Slika 30 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta iz časovne vrste
Slika 31 : Atraktor vzajemnega sklada Rastko v faznem prostoru, preslikan na ravnino.
Toda če pogledamo grafični prikaz odstotka napačnih najbližjih sosedov, bi lahko določili
tudi višjo vrednost za dimenzijo časovnega prostora. Če poskusimo npr. izračunati Lyapunov
eksponent za dimenzijo časovnega prostora 10, dobimo njegovo negativno vrednost, kar bi
pomenilo zelo nestabilno spreminjanje cene, iz katere ni mogoče s pomočjo nelinearnih metod
napovedati kakšnega zanesljivejšega rezultata. Prav tako nismo izvedli testa determinizma, da
bi potrdili deterministično obnašanje časovne vrste. Iz atraktorja, dobljenega pri vpenjanju v
časovni prostor (slika 31), se prav tako ne da sklepati na determističnost, saj nima posebne
oblike, ki bi spominjala na determinističnost. Prav tako kot v primeru delnice GOOG vidimo,
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200
raztezni faktor
čas (dni)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
63
da ima atraktor obliko kepe volne, kjer se občasno pojavijo "nitke", oziroma tu in tam kakšna
izstopajoča krivulja, ki je rezultat nepričakovanega učinka na trgu, oziroma nepravilnosti, ki
jo lahko ocenimo kot posledico »nečistih« signalov na trgu in nakazuje stohastičnost.
4.4 Primer preproste razlage gospodarske krize s pomočjo teorije kaosa
Kot vemo, je mogoče vplivati na spreminjanje svetovnega gospodarstva. To nalogo opravljajo
institucije kot so ameriške zvezne rezerve Fed in Evropska centralna banka. Le te z izdajo
nekaj manj ali nekaj več novega denarja upravljajo obrestno mero, s tem pa se nadzoruje
poraba, inflacija, itd. Gospodarstvo se na takšna dejanja ECB-ja oziroma FED-a običajno
odzove sorazmerno. Denar postane z izdajo novih bankovcev malo cenejši, spremeni se
obrestna mera, povečajo se investicije v gospodarstvu in privatnem sektorju, cene se rahlo
povišajo, inflacija je majhna in celotna stvar je dokaj obvladljiva in približno predvidljiva.
Tako lahko v primeru sorazmernega oziroma linearnega odziva mogoče napovedovati
gospodarsko rast, splošno stanje na kapitalskih trgih in druge pomembne aktivnosti.
Vprašanje, ki se postavi je, kaj se zgodi, ko se v sistemu (na kapitalskih trgih) pojavi večja
motnja. To so bile v zadnjem času, na primer, številne napihnjene računovodske bilance in
kapitalski trgi, da ne omenjamo tudi piramidnih shem, ki so rastle kot gobe po dežju. V
takšnih primerih so dolgoročne napovedi nemogoče. Te motnje namreč predstavljajo
nelinearne odzive, ki se pojavijo zaradi različnih dejavnikov, med njimi pogosto slišimo o
psiholoških (npr. strah, pohlep). Ugotovili smo, da so nelinearni odzivi primeren poligon za
naravoslovne prijeme pri preiskovanju pojavov, še posebej zanimiva pa je pri tem obravnava s
teorijo kaosa. Kot smo že pokazali, se časovni potek sistema ponazori z atraktorji, ki
predstavljajo stanja v katerih se sistem zadržuje (vsaj nekaj časa). In kako se rešiti iz stanja
ujetosti v določenem atraktorju? Najpreprostejša rešitev je neka motnja, ki nas iz enega
atraktorja »prenese« na drugega. Da bo bolj jasno, si razložimo to motnjo s pomočjo
gospodarske krize.
Svetovno gospodarsko krizo lahko tako razložimo s pomočjo teorije kaosa kot prehod
svetovnega gospodarstva iz enega v popolnoma drugi atraktor. Kaj se ob tem dogaja? Kot že
zgoraj povedano, je bil sistem verjetno zaradi pohlepa ujet v nekem atraktorju. Ujetost je
povzročila povečan strah pred negotovostjo. Naraščajoč strah je povzročil zmanjšanje
investicij in pretoka denarja, posledica česar je bil močan zdrs kapitalskih trgov (strah je kot
zamah metulja). Četudi majhna začetna motnja (npr. nekaj zasegov nepremičnin na
64
nepremičninskem trgu v ZDA) je preko strahu (psihološki dejavnik) povzročila nesorazmerno
velike spremembe. Iz primeža trenutnega atraktorja bi se morda lahko rešili z veliko motnjo -
npr. veliko injekcijo denarja v določeno panogo gospodarstva. Toda v tem primeru obstaja
nevarnost, da gospodarstvo preselimo v še slabši atraktor, iz katerega pa se ne bi mogli rešiti,
ker ne bi imeli na voljo sredstev, da povzročimo motnjo, ki bi vodila v nov atraktor, ki bi
seveda spet prinašal tveganje.
Prava rešitev prav gotovo tudi niso ukrepi v različne smeri ter stohastično (neusmerjeno)
polnjenje različnih lukenj v gospodarstvu. Ti ukrepi so bolj kot ne kaotični, in kot takšni kaos
oziroma nelinearnost odzivov samo povečujejo. Spomnimo se samo na to, da je časovno
večanje »razdalj« ena od glavnih znakov kaotičnega obnašanja in temelj za izračun
Lyapunovega eksponenta. Takoj je jasno, da takšni ukrepi vodijo k ujetosti gospodarstva v
atraktor, v katerem je, in ne morejo povzročiti prehoda v atraktor, kjer bi se gospodarstvo
umirilo in ponovno odzivalo linearno.
Kratka analiza nam je torej pokazala, da ukrep z injekcijami denarja v gospodarstvo ne more
dati želenih rezultatov. Rešitev bo moralo svetovno gospodarstvo poiskati z zakonodajnimi
ukrepi, ki bodo gospodarstvo in svet usmerjali v želeno smer in ga moralno in vrednostno
spremenili.
4.5 Zaključki iz nelinearne analize vrednostnih papirjev in možnosti
njihove uporabe pri upravljanju s tveganji
V teoriji dinamičnih sistemov se s kaosom označuje determističen sistem z nepravilnimi
fluktuacijami. To pomeni, da se sistem, čeprav je determinističen, obnaša nepravilno.
Nepravilnosti pa se v njem pojavljajo zaradi njegove notranje logike (kot smo videli na dveh
primerih) in ne zaradi naključnih sil od zunaj. Seveda lahko definiramo sistem poljubno
široko. To pomeni, da bi lahko kot dinamični sistem obravnavali celotno socialno-ekonomsko
obnašanje planeta, vendar bi imel tak sistem zelo veliko število dimenzij, zaradi česar bi bila
obravnava takšnega sistema zelo težavna. Tak sistem bi sicer lahko okarakterizirali kot
mnogodimenzionalni kaos, vendar bi bilo nemogoče najti funkcijo, ki bi opisovala
determinističnost sistema in sistem bi lahko obravnavali tudi kot sistem s čisto naključnim
obnašanjem. V tem smislu bi gotovo lahko rekli, da so kapitalski trgi kaotični, toda vprašljiva
bi bila uporabnost takšnega početja.
65
Za uporabnost nelinearnih metod bi morali kapitalski trgi vključevati tudi neke vrste
kolektivizem oziroma bi morali imeti vračunano čredno obnašanje, ki ga bi bilo mogoče
opisati z majhnim številom spremenljivk. Tako bi sistem postal »samoorganizirajoč«, ne bi
vključeval silnic od zunaj in bi lahko izražal nizkodimenzionalni kaos. Če bi se to izkazalo
kot resnica in bi sistem izkazoval stabilnost, potem bi lahko nelinearne metode uporabili za
kratkoročne napovedi. Četudi bi cene kapitalskih trgov izražale nizkodimenzionalen kaos, pa
se soočamo s problemom identifikacije spremenljivk, ki bi opisale sistem in kolektivno
obnašanje znotraj njega. Še več, problem je, da četudi vključimo neko število spremenljivk v
sistem, bi nekateri pomembni dogodki, ki vplivajo na razvoj časovnih vrst na kapitalskih
trgih, še vedno ostali »zunanji« za našo obravnavo, kar bi pomenilo, da sistem obravnavamo v
spreminjajočem se okolju, ki otežuje identificiranje lastnosti sistema. Če bi pa seveda
obstajali in bili poznani vzorci kolektivnega obnašanja na kapitalskih trgih, bi jih igralci
verjetno poznali (in za to ne bi morali nujno poznati teorijo kaosa), če bi jih poznali, pa bi jih
verjetno izkoristili, kar bi hitro izničilo vzorce. Zato, četudi vzorci obstajajo, biti morajo težko
prepoznavni, saj to ne smejo biti popolnoma čisti signali, ampak morajo izhajati iz zunanjih
signalov, ki so kratkotrajni in vznemirijo kapitalske trge.
Vsekakor je naša analiza potrdila, da kapitalski trgi niso linearni. Ostaja vprašanje, ali so
kaotični ali pa vendarle stohastični. Tradicionalno se za modeliranje kapitalskih trgov
uporabljajo linearne ali stohastične metode. Zanimivo je, da temeljijo na tem, da poskušajo
predvideti nekaj, kar je sicer teoretično nepredvidljivo. Tudi mi smo poskušali raziskati
predvidljivost nepredvidljivega. Namreč zaradi velike občutljivosti na začetne vrednosti in
začetne okoliščine, teorija kaosa ne more predvideti prihodnosti. To tudi ne bi smel biti
kriterij za njeno uporabo v upravljanju s tveganji (naložbenimi, pa tudi na drugih področjih
upravljanja s tveganji bi lahko uporabili nelinearne metode). Teorija kaosa namreč, v
nasprotju z drugimi, sicer bolj klasičnimi analitičnimi orodji, ne išče najverjetnejšega
končnega stabilnega stanja sistema. Statičnost namreč ni najprimernejša za upravljanje s
tveganji, saj tveganja izhajajo iz spremenljivosti sistema. Kaos je bolj osredotočen na opis
dinamike oziroma obnašanja sistema in iskanje vzorcev tega obnašanja. Tako pri tveganju kot
pri kaosu ni mogoče predvideti stabilnega stanja sistema, ali pa ta sploh ne obstaja. Povedano
drugače, nivo nepredvidljivosti v časovnih vrstah na kapitalskih trgih je prevelik za uspešno
napovedovanje prihodnosti, tudi ob uporabi nelinearnih metod. Če npr. poznamo ceno neke
delnice danes, nam teorija kaosa ne more povedati kakšna bo cena jutri, ampak preprosto
66
lahko napove najverjetnejše prihodnje smeri, v katere se bo cena gibala – lahko nam torej
pove nekaj o najverjetnejšem vzorcu gibanja.
Kaos nam torej le opisuje variabilnost prihodnosti zaradi česar bi bilo mogoče teorijo
uporabiti pri upravljanju s tveganji. Namreč, četudi ugotovimo zvezo med vzrokom in
posledico, med prvotno in naslednjimi cenami, ta zveza ni nikoli popolnoma točna zaradi
velike senzibilnosti na pogoje v katerih je ugotovljena zveza, vendar pa lahko pomaga pri
predvidevanju široke množice variabilnih rezultatov. Če se spomnimo na tradicionalna orodja
finančne analize in stohastične analize kapitalskih trgov (npr. Monte Carlo simulacija)
vidimo, da naloga le-teh ravno predvideti prihodnost, pri čemer pa je rezultat lahko močno
pristranski zaradi inherentnih omejitev in predpostavk. Kaos gre pri tem korak dalje. Namreč,
kot smo videli kaos v znanstvenem smislu ni skrajna zmeda oziroma nered, celo nasprotno. V
tem pomenu kaos oziroma teorija kaosa predstavlja skupek preprostih principov, ki povedo,
kako v neredu najti urejenost oziroma nek red oziroma skrite vzorce. In če najdemo skrite
vzorce v procesih kjer je pomembna analiza tveganj oziroma na kapitalskih trgih, imamo
veliko prednost upravljanju s tveganji.
Med teorijo kaosa in tveganji lahko namreč potegnemo pomembno vzporednico, katere
osnova je predvsem v velikosti opazovanega fenomena. Namreč teorija kaosa pričakuje, da
med, sicer različnimi, opazovanimi dogodki obstajajo podobnosti. Zato se postavimo »na rob
prostora« in poskušamo ugotoviti kaotična pravila v procesu, v katerem sicer ni pravil. Pri
tem pa upoštevamo pravilo, ki je sicer poznano iz fraktalne geometrije, in sicer, da je narava
tveganja univerzalna, splošna, le obseg oziroma merilo se spreminja. Tako naj bi bila, z
določenimi omejitvami, različna tveganja identična, le v drugačnem merilu (npr. vremena ne
moremo napovedati z gledanjem skozi okno, lahko pa z gledanjem satelitske slike). In prav to
identičnost v različnih merilih išče teorija kaosa z Lyapunovim eksponentom, ki meri kako se
velikost spreminja skozi čas. V tem smislu bi lahko Lypaunov eksponent predstavljal neko
novo merilo tveganja, merilo, ki se od tradicionalne variance oziroma standardnega odklona
precej razlikuje, saj Lyapunov eksponent, preko merjenja identičnosti in stopnje velikosti
časovne vrste donosov, meri stabilnost dinamike časovne vrste donosov, ki sicer izgleda
stohastično in nestabilno.
Koncepte teorije kaosa, predvsem fazni prostor in »čudne« atraktorje, lahko primerjamo s
grafičnimi predstavitvemi pri tehnični analizi. Vendar se upravljavci tveganj ponavadi
ukvarjajo z omejenim in izoliranim dogajanjem na kapitalskih trgih kar ne omogoča globljega
67
vpogleda in možnosti, da se najdejo nove informacije in vzorci dogajanja. Dogodki se namreč
pojavljajo v skladu z vzorcem, ki mu pravimo »čudni« atraktor. Odkritje atraktorjev pomaga
pri obvladovanju tveganja, saj v skladu s teorijo kaosa gre za ponavljajoče se informacije.
Če povzamemo - kapitalska in finančna tveganja odražajo verjetnost, da donos na sredstva ne
bo tak kot je bil pričakovan. Zato je potrebno in pomembno meriti ta tveganja in ter jih na ta
način obvladovati. Dandanes je običajno merilo za tveganje varianca ali tvegana vrednost
(VaR – value at risk). Prav tvegana vrednost je postala standardno orodje za merjenje in
obvladovanje tveganj na kapitalskih trgih. Model tvegane vrednosti temelji na Markowitzevi
teoriji portfelja in meri najvišjo tvegano vrednost izgube (najvišjo vrednost možne izgube)
upoštevaje verjetnostno porazdelitev donosov v preteklosti z uporabo neke stopnje zaupanja
(običajno 95%). Gre torej za model, ki ocenjuje tveganja na osnovi ocene preteklih donosov
in nestanovitnosti prihodnjih donosov. V tem smislu lahko ugotovimo pomembnost
stabilnosti sistema, ki jo lahko tudi merimo z Lyapunovim eksponentom. Tudi ostale
nelinearne metode, kot je rekonstrukcija faznega prostora in odkritje atraktorja v njem lahko
predstavljajo pri obvladovanju in upravljanju tveganj močno orodje. Koncepti teorije kaosa
torej ne ponujajo orodij, ki bi znala napovedati prihodnost časovnih vrst na kapitalskih trgih,
ponujajo pa možnost prepoznavanja vzorcev, ki so lahko močno orodje pri upravljanju s
tveganji. V tem smislu je teorija kaosa kot nov jezik za upravljanje s tveganji in razširja paleto
orodij, ki so na voljo.
Ker orodja nelinearne analize niso popolnoma zanesljiva in je potrebna uporaba različnih
orodij, da lahko na kapitalskem trgu potrdimo kaotične procese, za vrednotenje finančnih
instrumentov in življenjskih zavarovanj niso ravno primerna, prav tako ne za vrednotenje
garantiranih komponent pri življenjskih zavarovanjih pri katerih naložbena tveganja prevzema
zavarovalec. Problemi so tukaj namreč precej globlji prav zaradi vračunanih zagotovil, pri
katerih pa je zakonodaja striktna, teorija kaosa premalo dorečena in premalo eksaktna, da bi
lahko na tej osnovi določali cene in rezervacije. Teorija kaosa nam je lahko v pomoč pri
raznih simulacijah in ocenjevanju. Posebej uporabne bi lahko bile metode na področju
neživljenjskih oziroma premoženjskih zavarovanj, kjer so izplačane škode pogosto odvisne od
vremenskih situacij oziroma ostalih naravnih zakonitosti in dogodkov, pri katerih je teorija
kaosa že pogosto v uporabi in nam lahko prav zaradi te povezave pomaga pri ocenjevanju
tveganja in pri obvladovanju le-tega.
68
5 NALOŽBENO ŽIVLJENJSKO ZAVAROVANJE
Življenjsko zavarovanje je tip zavarovanja, pri katerem posameznik preko zavarovalnice
prenaša tveganje, povezano z izgubo življenja ali zdravja, na skupino posameznikov. Pri tem
se s pogodbo obveže zavarovalnici plačati premijo v zameno za izplačilo zavarovalne vsote v
primeru, da se zavarovani dogodek zgodi (npr. posameznik umre, zboli, …). Na ta način
življenjsko zavarovanje ščiti posameznika in njegovo družino in ima predvsem pomembne
socialne dimenzije. Njegov namen je namreč ublažiti premoženjske probleme sorodnikov
zavarovanega posameznika v primeru, da se zgodi zavarovani dogodek. Poleg osnovnega
namena, zagotavljanja varnosti, pa ima življenjsko zavarovanje tudi varčevalno funkcijo, ki z
razvojem različnih finančnih instrumentov vse bolj postaja naložbena, poleg tega pa lahko
življenjsko zavarovanje ob najemu kredita pogosto prevzame tudi jamstveno vlogo.
Z razvojem vedno novih in pestrejših oblik življenjskih zavarovanj, se pomen le-teh veča.
Tako življenjsko zavarovanje vse bolj postaja oblika varčevanja, ki nudi zavarovalcu socialno
varnost, družbi pa preko investiranja omogoča ustvarjanje dobička. Glede na vrsto tveganja
ločimo življenjska zavarovanja za primer smrti, življenjska zavarovanja za primer doživetja,
mešana življenjska zavarovanja (smrt in doživetje) ter rentna zavarovanja.
Pri življenjskih zavarovanjih je razvoj prinesel življenjska zavarovanja, pri katerih aktuarji in
razvijalci produktov kombinirajo življenjsko zavarovanje in varčevanje na kapitalskih trgih,
kjer je pomen naložbe še večji. Tovrstna zavarovanja, ki jih imenujemo naložbena življenjska
zavarovanja (angl. unit-linked insurance) so sicer v ZDA in Kanadi že zelo dobro in dokaj
dolgo poznana in so se razvila že sredi dvajsetega stoletja, medtem ko so se na evropskih tleh
(tudi v Sloveniji) razvili šele nedavno kot velik hit na trgu življenjskih zavarovanj. Vanje je
vložen velik delež sredstev, ki jih zavarovanci namenjajo varčevanju. Zavarovalec prevzame
naložbeno tveganje (varčevanje v vrednostnih papirjih), zavarovalnici pa preostane
zavarovalno tveganje. Pri klasičnih življenjskih zavarovanjih, vse pogosteje pa tudi pri
naložbenih življenjskih zavarovanjih, zavarovalnice garantirajo donose oziroma izplačila in
na ta način prevzemajo naložbena tveganja. Ker gre pri vseh življenjskih zavarovanjih za
dolgoročne naložbe, je za aktuarja vsekakor pomembno pravilno dolgoročno predvidevati
cene na kapitalskih trgih, saj lahko na ta način natančneje določi velikosti tveganj, ki jih
zavarovalnica pri tem prevzema in seveda stanje potrebnih rezervacij. Poleg tega lahko takšno
znanje za zavarovalnico predstavlja veliko konkurenčno prednost, saj laže obljublja
predvidene donose in posledično zavzame večji del trga.
69
Življenjsko zavarovanje se pojavlja v več oblikah. Kot rečeno so v zadnjem času na evropskih
trgih (vključno s slovenskim) posebej zanimiva t.i. naložbena življenjska zavarovanja (angl.
unit-linked insurance), pri katerih zavarovalec prevzame naložbeno tveganje. To so mešana
življenjska zavarovanja ki kombinirajo dva instrumenta: življenjsko zavarovanje in
varčevanje v vrednostnih papirjih na kapitalskih trgih. Zavarovalna vsota za primer doživetja
največkrat ni zagotovljena s strani zavarovalnice, ampak je odvisna od do tedaj privarčevanih
sredstev v vzajemnih skladih, zaradi česar tudi govorimo o tem, da zavarovalec prevzame
naložbeno tveganje. Da ima zavarovalec, glede na nagnjenost k tveganju, možnost odločitve,
kam naložiti denar, tržijo zavarovalnice običajno več vrst investicijskih skladov (na primer
delniški, obvezniški ter mešani itd.), lahko pa tudi drugih vrednostnih papirjev (delnic, angl.
equity-linked insurance) ali naložbenih strategij (dinamična, uravnotežena, konzervativna).
Prav tako pa se lahko zavarovalec odloči za minimalno zavarovalno vsoto za smrt v času
trajanja zavarovanja. V primeru smrti zavarovanca pa zavarovalnica izplača upravičencu
sredstva do tedaj zbranih sredstev oziroma dogovorjeno zajamčeno zavarovalno vsoto za
primer smrti, v kolikor je ta večja. Zavarovalnica torej pri tej vrsti zavarovanja ne prevzame
finančnih (naložbenih) tveganj, ampak le zavarovalna tveganja.
5.1 Splošen opis naložbenih življenjskih produktov in njihovih lastnosti
Medtem, ko so naložbeni življenjski produkti v ZDA in Kanadi že zelo dobro in dokaj dolgo
poznani in so se razvili še sredi dvajsetega stoletja, pa so na evropskih trgih nov produkt in
velik hit na trgu življenjskih zavarovanj. Vanje je vložen velik delež sredstev, ki jih
zavarovanci namenjajo varčevanju. Za razvoj takšnih zavarovanj je namreč zaradi njihove
kompleksnosti bil potreben ustrezen razvoj kapitalskih trgov z ustrezno zakonodajo in pa
pripravljenost zavarovalnic, da trgu ponudi kompleksne produkte. Vodenje portfelja
naložbenih življenjskih zavarovanj pa zahteva tudi kompleksne informacijske sisteme
(Pungračič et al., 2003), ki omogočajo transparentnost in raznolikost produktov. Zatorej so
bili na začetku naložbeni življenjski produkti preprostejši, z razvojem tehnologije, kapitalskih
trgov in zakonodaje, pa so se razvila najrazličnejša naložbena zavarovanja, ne samo
življenjska, pač pa tudi pokojninska.
Naložbena življenjska zavarovanja so podobna varčevanju v investicijskih skladih oziroma na
kapitalskih trgih. Vendar je za razliko od strogega varčevanja v investicijskih skladih premija,
ki jo zavarovanec pri naložbenem življenjskem zavarovanju plača, prav tako kot pri klasičnem
življenjskem zavarovanju, sestavljena iz premije za tveganje, raznih stroškov in varčevalnega
70
dela, za katerega se zavarovanec dejansko odloči, kam ga naložiti (največkrat v vzjemne
oziroma investicijskie sklade, katere trži zavarovalnica v okviru izbranega zavarovanja).
Obračunavanje stroškov se lahko od zavarovalnice do zavarovalnice zelo razlikuje, kar je tudi
eden od vzrokov za raznolikost naložbenih življenjskih zavarovanj. Za del premije, ki je
namenjen varčevanju, kupi zavarovalnica zavarovalcu točke (angl. units) sklada po nakupni
(angl. offer) ceni, kasneje, ko točke iz sklada izplača (npr. ob doživetju), pa jih proda po
prodajni (angl. bid) ceni, ki je pogosto nižja od nakupne. Razlika je strošek vrzeli med
nakupno in prodajno vrednostjo enote premoženja (angl. bid/offer spread) in ga zavarovalnice
pogosto uporabljajo za kritje dela stroškov. Pogosto je v času trajanja police znotraj le-te
mogoče spreminjati izbrane sklade, kar zavarovanje naredi fleksibilnejše in privlačnejše kot
naložbo in ga tako približa posamezniku.
Enote premoženja zavarovalnica vodi kot osebni račun zavarovalca, ki je last zavarovalca.
Zavarovalnica ga je dolžna obveščati o dogajanju na osebnem računu. Iz osebnega računa
zavarovalnica obračunava različne stroške (upravljavske stroške, administrativni stroški,
premijo za tveganje za primer smrti zavarovanca, premije za kritje dodatnih tveganj, itd.), ki
se uporabljajo za plačevanje dejanskih stroškov zavarovalnice ne glede na vzrok stroškov in
za izplačila v primerih, da se zgodi zavarovan dogodek.
Naložbena življenjska zavarovanja, podobno kot klasična, ponujajo izplačila določenih
zneskov za posamezne dogodke, kot so smrt zavarovanca, doživetje, odkup zavarovanja. V
primeru smrti zavarovanca se upravičencu izplača znesek v višini, ki je enak minimalnemu
dogovorjenemu znesku (minimalna zavarovalna vsota za smrt) ali pa znesek sredstev, ki so
nabrana (v obliki enot investicijskega sklada) v skladu enot premoženja, odvisno od tega,
kateri znesek je večji. Izplačilo poteka iz denarnega sklada zavarovalnice. In sicer se najprej
vsa sredstva, nabrana v skladu enot premoženja po prodajni vrednosti prenesejo v denarni
sklad zavarovalnice. V primeru, da ta sredstva presegajo dogovorjeno minimalno zavarovalno
vsoto za smrt, se upravičencu izplačajo vsa sredstva, ki so bila nabrana in prenesena v denarni
sklad. V primeru, da sredstva ne dosežejo zneska minimalne zavarovalne vsote, pa
zavarovalnica razliko (ki jo imenujemo tudi riziko zavarovalna vsota) izplača iz denarnega
sklada, v katerem zbira sredstva, ki so dejansko namenjena tudi tem stroškom. Riziko
zavarovalno vsoto sicer določimo različno glede na vrsto zavarovanja, vendar v osnovi pri
vseh poteka proces izplačila na ta način. V primeru odkupa zavarovanja je stvar veliko bolj
preprosta. V tem primeru namreč zavarovalcu pripadajo le sredstva, ki so se nabrala v skladu
enot premoženja, ki je tudi njegova last. Ta sredstva se torej po prodajni vrednosti spremenijo
71
v znesek, ki ga zavarovalnica še zmanjša za stroške odkupa in ga nato izplača na zavarovalčev
račun. Zanimivo izplačilo s tega vidika je izplačilo za doživetje. Prav tako kot pri odkupu se
sredstva po prodajni vrednosti spremenijo v znesek namenjen za izplačilo. Vendar so
zavarovalni produkti najrazličnejši in s tega vidika ponujajo različne možnosti. Ena izmed teh
je vsekakor, da zavarovalec počaka z izplačilom za doživetje in ga »vnovči« šele takrat, ko
imajo enote investicijskih skladov takšno ceno, ki je zanj seveda ugodna. Pri tem seveda
zavarovanec ni več zavarovan za primer smrti, zavarovalnica pa si iz sklada še naprej
obračunava stroške. Nekateri produkti dajejo različna jamstva s katerimi lahko zavarovalnica
prevzame tudi finančno (naložbeno) tveganje (glej poglavje 5.5).
5.2 Oblike oziroma tipi naložbenega življenjskega zavarovanja
Življenjsko zavarovanje je oblika osebnega zavarovanja, ki na eni strani zagotavlja varnost
družine in najbližjih, po drugi strani pa nudi možnost dolgoročnega nalaganja denarja za
varnejšo prihodnost. Pri naložbenih življenjskih zavarovanjih pa dobiček na sredstva, ki so
namenjena varčevanju, zavarovalec dosega neposredno z vlaganjem na kapitalskih trgih,
zaradi česar so ta zavarovanja še posebej privlačna. Na ta način namreč naložbena življenjska
zavarovanja prinašajo potencialno višjo donosnost v primerjavi s klasičnimi življenjskimi
zavarovanji, vendar pa se pojavi tudi naložbeno tveganje, saj niti zavarovalnica niti
zavarovalec ne moreta predvideti donosov v prihodnosti, četudi bi uporabila nelinearne
metode predvidevanja.
Razvoj naložbenih življenjskih zavarovanj je prinesel različne tipe zavarovanj, ki
zadovoljujejo različne ciljne skupine zavarovalcev. Tako so lahko naložbena življenjska
zavarovanja, zavarovanja za primer smrti, lahko imajo omejeno dobo, lahko pa so tudi
vseživljenjska, pogosto pa najdemo tudi rentna naložbena zavarovanja.
5.2.1 Klasično življenjsko zavarovanje s padajočo zavarovalno vsoto, priključeno
varčevanju v investicijskem skladu
Ena prvih in preprostejših oblik naložbenega življenjskega zavarovanja, pri kateri je klasično
riziko življenjsko zavarovanje s padajočo zavarovalno vsoto kombinirano z varčevanjem v
investicijskem skladu.
Prvi del takšnega zavarovanja je klasično riziko življenjsko zavarovanje za primer smrti in
doživetja s padajočo zavarovalno vsoto. Takšno zavarovanje ne tvori matematične rezerve
72
(zato govorimo o riziko življenjskem zavarovanju). Začetna zavarovalna vsota, ki se določi
glede na predvidevanja o donosnosti investicijskega sklada, pada s časom v skladu s
predvidevanji o rasti investicijskega sklada, ki tvori varčevalni del (zamenjava za
matematično rezervo). Zavarovalna vsota je v vsakem trenutku enaka tvegani zavarovalni
vsoti (riziko zavarovalni vsoti, angl. Sum at Risk), ki jo dobimo tako, da od začetne
zavarovalne vsote odštejemo vrednost v investicijskem skladu s predpostavljeno donosnostjo
(ki jo lahko obravnavamo kot obrestno mero). Zavarovalna vsota in ustrezna premija za
tveganje se torej s časom manjšata, kot je to bilo predvideno v začetku. Nanju gibanja na
kapitalskih trgih nimajo vpliva, kljub temu, da se vrednost sredstev v investicijskem skladu
ves čas spreminja in ne narašča enakomerno, kot smo predvidevali. Izplačilo upravičencu v
primeru smrti zavarovane osebe je sestavljeno iz determinirane tvegane zavarovalne vsote in
stohastične vrednosti sredstev v investicijskem skladu, ob doživetju pa je upravičencu
izplačana vrednost investicijskega sklada. Izplačilo upravičencu je torej v času trajanja
zavarovanja spremenljivo, kljub temu da vsi izračuni in vrednosti temeljijo na ob podpisu
pogodbe definiranih kriterijih. To pomeni, da v nobenem trenutku ne moremo napovedati,
kolikšen bo izplačani znesek. Za analizo takšnih zavarovanj linearne in nelinearne metode
niso primerne, pač pa je bolj primerno stohastično modeliranje.
5.2.2 Integrirano naložbeno življenjsko zavarovanje
Z integracijo naložb v investicijske sklade je bil narejen korak naprej v razvoju naložbenih
življenjskih zavarovanj. Zavarovalnice so z zagotavljanjem vnaprej določene in
nespremenljive minimalne zavarovalne vsote v primeru smrti zavarovane osebe poskušale
narediti naložbena življenjska zavarovanja zanimivejša za trg.
Z zagotovitvijo minimalne zavarovalne vsote za smrt in integracijo naložb kot matematično
rezervacijo v zavarovanje se je izgubila determinističnost riziko zavarovalne vsote in ustrezne
premije za tveganje. Obe postaneta časovno odvisni – odvisni od tega, kako se s časom
spreminjajo vrednosti na kapitalskih trgih.
Pri takšnih zavarovanjih si zavarovalec na začetku določi želeno zavarovalno vsoto za primer
smrti (jamstvo zavarovalne vsote velja le za primer smrti, v primeru doživetja pa ne). Glede
na izbrano zavarovalno vsoto se določi premija, ki jo je potrebno plačati (lahko pa se sicer
tudi izbere premija in glede na to določi zavarovalna vsota, kar pa je manj pogosto), in ki
mora biti zadostna, da bo v vsakem trenutku mogoče poplačati riziko premijo in stroške, ki jih
73
nosi zavarovalnica. Tvegana zavarovalna vsota se nato določi vsako obračunsko obdobje
(vsak mesec) glede na vrednost naložb v investicijskih skladih kot razlika med minimalno
zavarovalno vsoto za smrt in vrednostjo naložb (ki predstavljajo matematično rezervo). Tako
se tvegana zavarovalna vsota giblje glede na gibanja na kapitalskih trgih. Riziko premija se
nato določi glede na starost zavarovanca, spol in višino tvegane zavarovalne vsote. Ta je
načeloma v vsakem obdobju drugačna in sledi dogajanju na kapitalskih trgih.
Pri teh zavarovanjih je zelo pomembno obračunavanje stroškov, ki nastanejo z zavarovalno
polico. Zelo pomembni so predvsem stroški pridobivanja zavarovanja, ki so v začetku zelo
visoki. Te stroške zavarovalnice obračunavajo na različne načine, predvsem v Veliki Britaniji
pa je zelo priljubljeno ločevanje enot na začetne enote in akumulacijske enote.
Izplačilo upravičencu je v primeru smrti zavarovanca enako minimalni zavarovalni vsoti ali
pa vrednosti naložb, v primeru, da vrednost naložb preseže minimalno zavarovalno vsoto. V
primeru doživetja se upravičencu izplača vrednost naložb ne glede na to, kolikšna je v
primerjavi z minimalno zavarovalno vsoto.
Nadaljnji razvoj naložbenih življenjskih zavarovanj je prinesel dodatna kritja in nekatera
jamstva (npr. minimum sredstev na naložbenem računu ob doživetju).
5.2.3 Univerzalno življenjsko zavarovanje
Univerzalno življenjsko zavarovanje (universal life) je naložbeno življenjsko zavarovanje, ki
se pogosto pojavlja predvsem na trgih v ZDA in Kanadi in se je razvilo iz vseživljenjskega
zavarovanja. Gre za klasično naložbeno zavarovanje z vidika načina obravnavanja delitve
premije, vendar se alocirana premija ne nalaga direktno v investicijske sklade, pač pa na
zavarovalčev račun, ki je podoben kot bančni račun in omogoča veliko fleksibilnost. Na ta
račun se namreč nalagajo premije, pripisujejo se obresti, obračunavajo stroški, lahko se tudi
dviguje zneske. Prav to, da zavarovalec lahko s svojega računa sredstva tudi dviguje (in ne le
nalaga) je ena večjih prednosti univerzalnih življenjskih zavarovanj za zavarovalca. Ti dvigi
so ponavadi omejeni v letnem številu, lahko pa so definirani tudi kot redni dvigi (regular
withdrawal) in predstavljajo neko vrsto rente. Seveda dvigovanje prinaša tudi administrativne
stroške za zavarovalnico, ki si jih le ta obračuna, lahko pa omogoča tudi določeno število
brezplačnih dvigov. Ni odveč povedati, da zavarovanja omogočajo zavarovalcu veliko
fleksibilnosti tudi pri plačevanju premije (vključujoč izredne enkratne premije). Pogosto je pri
74
teh zavarovanjih premija tudi spremenljiva in ni fiksno določena, pri čemer to pogosto velja
predvsem za kasnejša leta police, ne pa prva leta, ko je potrebno kriti začetne stroške police.
Glavna lastnost univerzalnega življenjskega zavarovanja je torej fleksibilnost, ki se odraža
tudi v fleksibilnosti premije, ki je pogosto dogovorjena v prvem letu ali dveh, nato pa jo lahko
zavarovalec spreminja in prilagaja svojim potrebam in zmožnostim.
Ponavadi se mesečno na denarnem računu obračunavajo stroški za tveganje (premija za
tveganje) in pripisujejo obresti. Pripis obresti povečuje vrednost denarnega računa, pri čemer
je pogosta zajamčena minimalna obrestna mera. Stroški (oziroma premija) za tveganje se pri
tem zavarovanju izračunajo kot produkt stopnje stroškov tveganja in tvegane zavarovalne
vsote, ki predstavlja razliko med zavarovalno vsoto za smrt in vrednostjo denarnega računa.
Stopnja stroškov tveganja je pri tem nekakšna zamenjava za verjetnost smrti iz tablic
smrtnosti in je prav tako odvisna od spola, vstopne starosti, pretečene dobe zavarovanja, in
drugih bolj ali manj pomembnih faktorjev, ki lahko vplivajo na stopnjo tveganja smrti (npr.
kajenje, alkoholizem, adrenalinsko življenje, …). Prav tako se iz denarnega računa
obračunavajo drugi morebitni stroški (izstavitev police, vodenje računa, …).
Obstajata dva tipa univerzalnih življenjskih zavarovanj. Za tip A (ali včasih tip I) je značilno,
da vrednost denarnega računa raste k želeni vrednosti pogodbe ob zapadlosti zavarovanja, kar
je podobno kot matematična rezerva pri klasičnih življenjskih zavarovanjih. Tip B (tip II)
izplača upravičencu ob smrti zavarovane osebe tako zavarovalno vsoto, kot tudi vrednost na
denarnem računu.
5.2.4 Variabilno življenjsko zavarovanje
Razvoj zavarovanj je v ZDA prinesel naprednejšo obliko zavarovanja, variabilno življenjsko
zavarovanje (angl. variable life), pri katerem je vrednost zavarovanja vezana na delež
zavarovanja v posebnem skladu, ki ga, ločeno od preostalih sredstev, oblikuje zavarovalnica..
Posebna oblika variabilnega življenjskega zavarovanja je variabilno univerzalno življenjsko
zavarovanje, ki kombinira fleksibilnost univerzalnega življenjskega zavarovanja in naložbene
priložnosti variabilnega življenjskega zavarovanja. S tem omogoča fleksibilno plačevanje
premije, možnost spremembe zavarovalne vsote za smrt, zavarovalec pa se poda tudi na
kapitalski trg in prevzema finančna tveganja.
75
5.3 Tveganja, ki se pojavljajo pri naložbenih življenjskih zavarovanih
Naložbena življenjska zavarovanja predstavljajo tako za zavarovalce kot zavarovalnice
alternativo za klasična življenjska zavarovanja. Za zavarovalce naložbena zavarovanja
prinašajo večjo transparentnost in preglednost, ter nadvse zanimivo možnost udeležbe na
kapitalskih trgih, prav tako pa prinašajo nove priložnosti tudi zavarovalnicam. Ne le da, vsaj
ponavadi, naložbeni življenjski produkti za zavarovalnice ne nosijo tveganja pri naložbeni
politiki kritnega sklada, pač pa so tudi kapitalske zahteve za solventnost manjše, kar je
zanimivo za širitev zavarovalnic na tuje trge, saj manjše kapitalske zahteve pomenijo manjše
kapitalske vložke. Že sedaj, še bolj pa v prihodnosti, lahko pričakujemo pospešeno
globalizacijo zavarovalnic, kjer bodo prav zaradi tega in pokojninskih reform zelo verjetno
prednjačili naložbeni življenjski produkti.
Kljub novim priložnostim pa se morajo zavarovalnice še vedno zavedati odgovornosti do
zavarovancev in tveganj, ki jih nosijo. Prav zato so oblikovanje produktov, določanje višine
zavarovalne premije in parametrov pri sprejemanju zavarovanja ter proces upravljanja z riziki
pri naložbenih življenjskih zavarovanjih izredno pomembni in predstavljajo za
zavarovalništvo relativno nov izziv. SwissRe je v letu 2001, ko je prišlo do padcev na
kapitalskih trgih, izvedla študijo in jo izdala v zbirki Sigma v letu 2003 (SwissRE, 2003).
Tam so bili poudarjeni 3 glavni tipi tveganj, katerim je izpostavljena zavarovalnica ob prodaji
naložbenih produktov. To so: finančna tveganja, operativna tveganja in regulatorna tveganja.
K temu bi lahko dodali še tveganje, ki je značilno za poslovanje zavarovalnic, in sicer
zavarovalno tveganje. Preden si bomo ogledali, na kakšen način upravljati s tveganji pri
naložbenih življenjskih zavarovanjih, je seveda potrebno na kratko ta tveganja opredeliti.
5.3.1 Regulatorna tveganja
Regulatorno tveganje je tveganje spremembe zakonodaje. Zakonodaja ima lahko na
življenjsko zavarovanje (sem spadajo tudi naložbena življenjska zavarovanja) velik vpliv.
Restriktivna zakonodaja lahko zavira razvoj naložbenih življenjskih zavarovanj, medtem ko
davčno ugodna zakonodaja lahko rezultira v razmahu le-teh.
Lep primer tega je Slovenija, ki je z zakonodajo v letu 2004 dala trgu naložbenih življenjskih
zavarovanj pravi pospešek. Pri življenjskih zavarovanjih namreč na splošno po slovenski
zakonodaji velja, da kapitalski dobički niso davčno obremenjeni v primeru, če je zavarovanje
sklenjeno za zavarovalno dobo večjo od 10 let. Prav tako pospešuje trg naložbenih
76
življenjskih zavarovanj, ne samo v Sloveniji, pač pa po celi Evropi, zakonodaja, ki z davčnimi
ugodnostmi vzpodbuja državljane k varčevanju za pokojnine izven državnih pokojninskih
shem.
5.3.2 Operativna tveganja
Operativna tveganja so prisotna v vseh gospodarskih dejavnostih, ne samo v zavarovalništvu.
Gre za tveganja, ki zadevajo napake pri informacijski tehnologiji in poslovnih procesih,
neoptimalnosti in zastoje v delovanju organizacije ali tveganja izgub zaradi neprimernega ali
neuspešnega izvajanja procesov, ravnanja ljudi …
V svetu in tudi pri nas postaja obvladovanje teh tveganj vse pomembnejše. Pri naložbenih
življenjskih zavarovanjih se na primer zaradi vse večje raznolikosti, zapletenosti in
globalizacije finančnih storitev ter uporabe avtomatiziranih postopkov povečuje obseg
elektronskega poslovanja, ki prinaša nova tveganja (varnost informacijskega sistema, možnost
vdora od zunaj, itd.).
Razna združevanja in širitve poslovanja zahtevajo nove informacijske sisteme in povezljivost
z obstoječimi. Zaradi obsežnosti storitev so potrebne vse višje stopnje notranje kontrole in
njenega vzdrževanje. Z outsourcingom storitev se nekatera tveganja sicer zmanjšajo, prav
outsourcing pa prinaša nova tveganja, ki so prav tako pomembna za obvladovanje.
Možni notranji izvori operativnega tveganja so različni, v grobem pa bi jih lahko razdelili na
(Slak, 2005):
• delovne postopke (povezane naloge, nezdružljive zaradi varnosti poslovanja, opravljajo
iste osebe; uporaba dokumentacije, ki ni predpisana z notranjimi akti),
• raven strokovnega znanja in usposobljenosti zaposlenih in vodstva (izkušnje, fluktuacija,
poznavanje področja dela),
• operativno okolje (organizacijska struktura, informacijska tehnologija, regulatorno okolje,
kontrolna ozaveščenost, …).
• zanesljivost najetih zunanjih služb in storitev (»outsourcing« povzroča tveganje odvisnosti
od dobavitelja storitve);
• spoštovanje načel poštenosti in zaupnosti.
77
Vsekakor izhajajo operativna tveganja iz napačnega ravnanja zaposlenih (notranje goljufije,
neustrezno varovanje podatkov), nedelovanja ali neustreznega delovanja ter odpovedi
poslovnih aplikacij oziroma informacijskega sistema, kriminala od zunaj, napačnega izvajanja
in upravljanja poslovnih procesov, razne možne naravne katastrofe ter neustrezni produkti.
Prav neustrezni produkti so lahko eden od pomembnih virov operativnega tveganja pri
naložbenih življenjskih zavarovanjih. Pri snovanju produkta se pogosto zaradi močne
konkurence na trgu lahko zgodi, da dejanski stroški presegajo obračunane stroške. Prav tako
se, zaradi volatilnosti kapitalskih trgov, pojavlja tveganje pri obračunu upravljavskih
stroškov, kar prinaša nestabilnost dobička. Padci na trgih ponavadi zmanjšajo tudi zanimanje
za naložbene produkte (kar je še posebej opazno v času sedanje globalne gospodarske krize),
kar takšne nestabilnosti še poudari.
Medtem ko v zavarovalnicah obstajajo različna tveganja, ki jih lahko preprosto merimo, je
operativno tveganje težko merljivo. Vendar pa prav v zavarovalnicah poznamo dokaj dober
alternativni način za ocenitev in merjenje verjetnosti nastanka izgub zaradi operativnega
tveganja. Na stohastičen način bi se dalo dokaj dobro oceniti takšno tveganje, vendar pa so
potrebni podatki, katerih pa pogosto nimamo na voljo.
5.3.3 Zavarovalna tveganja
Zavarovalna tveganja so zavarovalnicam specifična. Pojavljajo se v povezavi z zavarovanimi
nevarnostmi (pri življenjskih zavarovanjih gre največkrat za tveganje smrti), saj zavarovalnica
s sklenitvijo pogodbe z zavarovalcem prevzame nase tveganje smrti zavarovane osebe.
Tveganje se pojavlja pri izbiri parametrov za izračun ustrezne premije za tveganje ali
neustreznih stroškovnih predpostavk. Pri izračunu premije za tveganje lahko pride do uporabe
napačnih tablic smrtnosti in v tem primeru do prenizke ali previsoke premije za tveganje. V
prvem primeru mora zavarovalnica zaradi neustreznega kritja kriti višjo smrtnost iz lastnega
kapitala, v drugem pa se lahko zavarovanje izkaže za nekonkurenčno. Do razlik v smrtnosti v
portfelju in tablicah, ki so uporabljene za izračun, lahko pogosto pride tudi zaradi šibkega
procesa sprejema zavarovanja (angl. underwriting). Kvaliteta procesa sprejemanja
zavarovanja je namreč ključna za kvaliteto portfelja. Premija je odvisna od parametrov, ki se
določijo ob sprejemu zavarovanja in od aktuarskih predvidevanj. Če »underwriting« že
deloma zataji, se lahko aktuarska predvidevanja in dejansko stanje portfelja razlikujeta, kar
hitro pomeni neustreznost premije. Previsoka ali premajhna premija lahko vodita tudi k tako
78
imenovanemu pojavu anti-selekcije (angl. anti-selection), zavarovalnica pa je ob sprejemanju
zavarovanja izpostavljena tudi možnim zlorabam in goljufijam (oziroma moralnemu hazardu)
s strani zavarovalca in zavarovanca.
Pri upravljanju s temi tveganji je zato zelo pomembna vloga aktuarja, ki kontrolira
zavarovalna tveganja in ustreznost vračunanih riziko premij.
5.3.4 Finančna oziroma naložbena tveganja
Finančnim tveganjem je zavarovalnica izpostavljena zaradi številnih dodatkov in dodatnih
kritij, ki jih v pogodbi dodaja k osnovnemu kritju. Tipično prinašajo takšna kritja dolgoročne
obveznosti, ki jih je ob morebitnem pomanjkanju podatkov aktuarsko (oziroma statistično)
težko ovrednotiti in jim določiti ustrezno ceno oziroma premijo.
Spremenljivost (volatilnost) na kapitalskih trgih finančna tveganja še poveča. Zavarovalnice
so namreč pomemben igralec na kapitalskih trgih in denarno plemenitenje je zaradi
volatilnosti trgov izpostavljeno naložbenim tveganjem.
Takšna tveganja so v primeru naložbenih življenjskih zavarovanj pogosto prenesena na
zavarovalca, ki z naložbenim življenjskim zavarovanjem želi sodelovati na kapitalskih trgih,
hkrati pa s tem prevzema naložbena tveganja. V današnjih časih ostre in močne konkurence,
mnoge zavarovalnice vstavljajo k naložbenim življenjskim produktom dodatna kritja in pa
jamstva, s katerimi obdržijo del naložbenega rizika. Glede na specifično obliko naložbenih
življenjskih produktov je za zavarovalnice izredno težko pravilno določiti ceno dodatnih
kritij, ki imajo, v primerih hitrih sprememb trga ali nepričakovane smeri gibanja na trgu, velik
vpliv na dobičkonosnost in poslovanje zavarovalnice. Na nekaterih zavarovalnih trgih
zavarovalni nadzornik oziroma država od zavarovalnic celo zahteva, da dajejo jamstva za
minimalna izplačila ob doživetju ('Riesterjevi' pokojninski produkti v Nemčiji, nekateri
pokojninski produkti za specifične poklice v Avstriji, drugi pokojninski steber v Sloveniji). V
primerih, da zavarovalnice prodajajo takšen produkt, morajo vso pozornost usmeriti v
oblikovanje produkta tako, da bo mogoče upravljati z vsebovanim finančnim tveganjem
(SwissRE, 2003).
79
5.4 Regulativne spremembe na zavarovalniškem trgu
V preteklosti so podjetja, finančne inštitucije pa še posebej, imela zaradi relativno ohlapnih
računovodskih standardov, veliko svobodo pri izračunavanju svojih bilanc. To se v zadnjih
letih močno spreminja, saj smo priča spremembam v računovodskih standardih, na
zavarovalniškem področju pa se, po vzoru bančnega sistema Basel II, pod imenom
Solventnost II, vpeljujejo novi regulativni okvirji za celoten evropski zavarovalniški trg.
Solventnost II vpeljuje pojem zahtevanega minimalnega kapitala (angl. minimum capital
requirement - MCR), ki odraža stanje mejnega kapitala. Zahtevani minimalni kapital
predstavlja mejo kapitalske ustreznosti in v primeru, da je zavarovalnica ne dosega, so interesi
zavarovancev v primeru nadaljnjega poslovanja lahko resno ogrožene. Solventnost II vpeljuje
tudi pojem solventnostne kapitalske zahteve (anlg. Solvency capital requirement – SCR).
SCR odraža tisti minimalni kapital, ki ga zavarovalnica potrebuje za delovanje pri
minimalnem tveganju propada. Izpolnjevanje SCR potrjuje, da je zavarovalnica sposobna
poplačati nepredvidene velike škode in nuditi razumno jamstvo zavarovancem, hkrati pa
omogoča da bi zavarovalništvo ostalo dobičkonosno in konkurenčno drugim finančnim
inštitucijam. SCR bi naj predstavljal zavarovalnicam vzpodbudo, da merijo svoja resnična
tveganja. Kljub temu, da se zaradi primerljivosti poslovanja zavarovalnic predlaga standardni
model tveganja, pa Solventnost II hkrati zavarovalnicam dovoli tudi razvoj internega modela,
na osnovi katerega zavarovalnica določi SCR.
Regulativne spremembe predvidevajo vrednotenje sredstev in obveznosti po tržni vrednosti,
in na ta način vodijo k večji doslednosti in transparentnosti trga. Rezervacije morajo biti tako
preudarne, zanesljive, objektivne in oblikovane na način, ki bo omogočal primerjavo
zavarovateljev. Izkazalo se je, da ima prehod na vrednotenje obveznosti po tržni vrednosti, ter
velika volatilnost na kapitalskih trgih velik vpliv na bilance, ki tako sledijo volatilnosti na
kapitalskih trgih. Zato se zdi, da so zavarovalnice bolj izpostavljene tveganjem na kapitalskih
trgih, kot je to bilo v preteklosti, četudi se portfelj in poslovanje zavarovalnic v realnosti nista
spremenila. Predvidena je tudi sprememba sistema zahtevane razpršitve naložb na način, ki bi
zagotavljal preudarno upravljanje s sredstvi. Tako bodo v izračunu SCR zajeta tveganja, ki se
nanašajo na sredstva, količinske naložbene omejitve pa bi naj bile odpravljene. Namesto tega
bo morala zavarovalnica sredstva nalagati, upravljati in spremljati v skladu z načeli
preudarnosti, ki od zavarovalnic zahteva upravljanje naložb v interesu zavarovalcev,
80
usklajevanje naložb in obveznosti, ter na ta način upravljati tudi finančna tveganja
(likvidnostno, koncentracija).
Še nedolgo nazaj so bile zavarovalnice popolnoma podrejene regulaciji v državi delovanja,
kar je lahko v nekaterih primerih zavarovalnico oviralo pri upravljanju s sredstvi in
obveznosti (npr. prepovedana uporaba izvedenih finančnih instrumentov). Toda z večjo
svobodo čezmejnih storitev v EU, ki jo je uvedla Direktiva o finančnih storitvah (angl.
Financial Services Directive), se je to spremenilo. Direktiva je omogočila prodajo finančnih
produktov (torej tudi zavarovalnih produktov) preko meja v EU in pripomogla k precej večji
dostopnosti do raznih načinov upravljanja s sredstvi. To pomeni, da lahko zavarovalnica iz
ene države (npr. Slovenije) prodaja svoje storitve oziroma produkte v drugi državi, kljub
temu, da dejansko upravljanje s premoženjem poteka v »matični« (domači) državi.
Zavarovalna polica prodana v poljubni državi je še vedno obveznost zavarovalnice v
»matični« državi, kar pa pomeni, da je upravljanje podrejeno regulativi v »matični« državi.
Tako je zavarovalnici omogočeno, da »izbere sedež« tam, kjer je npr. regulativa bolj
naklonjena uporabi izvedenih finančnih instrumentov, medtem ko jih v nekaterih državah ni
dovoljeno uporabljati. Na ta način lahko zaščiti nekatere naložbe in doseže višjo stopnjo
varnosti.
5.5 Upravljanje s naložbenimi tveganji pri naložbenih življenjskih
zavarovanjih z vključenim jamstvom
Na trgu življenjskih zavarovanj je vse več različnih naložbenih življenjskih produktov. Vzrok
temu je potrebno iskati v regulativnih spremembah in ugodnejših davčnih stopenj pri tovrstnih
produktih, ki v kombinaciji predstavljata neke vrste gonilne sile sprememb tudi pri produktih,
ki jih zavarovalnice ponujajo na trgu. Poleg regulativnih in davčnih sprememb, je ena od
gonilnih sil razvoja novih produktov tudi vse ostrejša konkurenca. Prav zaradi konkurenčnosti
plasirajo na trg zavarovalnice vse več naložbenih življenjskih produktov z raznimi jamstvi.
Oblikovanje, določanje premije za tveganje in pravilno upravljanje s tveganji pri teh
produktih predstavlja za zavarovalnice in aktuarje izziv, pri čemer je še posebej potrebno
upoštevati dejstvo, da tehnologija le redko uspeva dohitevati razvoj takšnih zavarovalnih
produktov in trenutno ni na ravni, ko bi omogočala rešitve za vse ideje, izzive in probleme, ki
jih ti produkti prinašajo.
81
Klasični življenjski produkti, ki so aktuarjem omogočali dokaj predvidljivo načrtovanje ter
izravnavanje dobičkov in izgub, so zavarovancem manj zanimivi, čeprav se v sedanjih časih
ta trend spet obrača, saj naložbena življenjska zavarovanja ne ponujajo jamstev na donose v
prihodnosti, čeprav so načeloma transparentnejša od klasičnih. Ker pa si zavarovalci in
zavarovanci dolgoročno želijo z nakupom zavarovanja zagotoviti mirnejšo prihodnost, so
zavarovalnice pričele razvijati naložbena življenjska zavarovanja z različnimi jamstvi,
predvsem ob doživetju.
Na izbor produkta pri zavarovalcih vplivajo razni dejavniki, v glavnem pa se zavarovalec
odloči glede na lastne potrebe, finančne zmožnosti, časovni okvir investiranja ter stopnjo
sprejemanja tveganja. Jamstva delujejo v tem smislu na potencialnega zavarovalca kot pomoč
pri odločitvi, saj zmanjšajo ali celo odpravijo možnost izgube vloženih sredstev. Pri
naložbenih življenjskih zavarovanjih z raznimi jamstvi je tako stopnja tveganja manjša, zaradi
česar je tudi ciljni trg večji. V svetu se ob naložbenih življenjskih produktih pojavljajo
različna jamstva in opcije, pa tudi v Sloveniji smo že priča takim produktom. S takimi
produkti zavarovalnica nase prevzema nekatera naložbena tveganja, ki jih je potrebno na
ustrezen način ovrednotiti. Zaradi kombinacije dolgoročnosti zavarovanja (in s tem
obveznosti do zavarovalca) in nestanovitnosti ter nezmožnosti predvidevanj vrednosti na
kapitalskih trgih, ter vključenih zavarovalnih tveganj, je to dokaj težka naloga. V primeru
velikih sprememb na trgu kapitala lahko vgrajena jamstva dolgoročno vplivajo na
dobičkonosnost zavarovalnice. Dodatna težava za zavarovalnice pri plasiranju naložbenih
produktov so konkurenčni finančni produkti. V primerjavi s temi pa ima zavarovalnica
prednost pri davčni obravnavi in možnosti ponujanja jamstva in drugih vgrajenih opcij.
Kljub vsem regulativnim spremembam, ugodni davčni zakonodaji, vedno večji dostopnosti
različnih finančnih instrumentov in vedno večji konkurenci, pa so zavarovalnice pri uvajanju
naložbenih življenjskih zavarovanj z jamstvi še vedno zelo previdne. Razlogi so v prisotni
finančni krizi in slabih izkušnjah iz preteklosti (garantirana obrestna mera je bila razlog za
propad življenjske zavarovalnice Equitable life). Ta previdnost se pogosto odraža tudi v tem,
da zavarovalnice ponujajo jamstva le za zavarovalna tveganja, na pa tudi naložbena tveganja.
To jamstvo je lahko, ena od komponent zavarovanja, toda zavarovalnice pogosto prenašajo
jamstvo na izdajatelja finančnega instrumenta in same ne jamčijo za izplačilo ob doživetju.
Toda prav takšni produkti lahko v času vsesplošne gospodarske krize predstavljajo priložnost
za uspeh, saj kaže, da je v kriznih časih povpraševanje po teh produktih povečano. Zato je
dobro, če zavarovalnice poskušajo pridobiti zaupanje v takšne produkte, tako pri potencialnih
82
zavarovalcih kot pri prodajalcih, agentih oziroma posrednikih. To je namreč eden
predpogojev za uspeh. Zavarovalni produkti se torej spreminjajo in postajajo vse podobnejši
in primerljivejši konkurenčnim investicijskim produktom. Uspeh naložbenih življenjskih
zavarovanj na evropskih trgih je zatorej nujno vodil k nadaljnjemu razvoju garantiranih
produktov, to je naložbenih življenjskih zavarovanj z jamstvi izplačil ob doživetju ali kakšnih
drugih vgrajenih jamstev.
5.5.1 Jamstva pri naložbenih življenjskih zavarovanjih
Jamstva oziroma opcije pri naložbenih življenjskih zavarovanjih se pojavljajo v več oblikah.
Zavarovalnice so na trg plasirale malo morje različnih produktov z različnimi oblikami
jamstev in opcij, katere bi vse le stežka našteli. Zaradi skupnih točk pa lahko jamstva kljub
temu strnemo v štiri glavne in na najpogostejše oblike (Swiss RE, 2003):
• jamstvo minimalne zavarovalne vsote za smrt (angl. guaranteed minimum death benefit,
GMDB),
• jamstvo minimalnega izplačila ob doživetju (angl. guaranteed minimum accumulation
benefit, GMAB),
• jamstvo minimalnega letnega donosa (angl. guaranteed minimum income benefit, GMIB),
• jamstvo minimalnih dvigov (angl. guaranteed minimum withdrawal benefit, GMWB) – to
jamstvo dovoli zavarovalcu da vsako leto dvigne določen procent vseh vplačanih premij
neodvisno od trenutne vrednosti naložb v investicijskih skladih.
Kombiniranje (dodajanje in odvzemanje) teh štirih jamstev omogoča zavarovalnicam veliko
fleksibilnosti pri snovanju produktov, in lahko tudi v primeru sprememb pri trendih na trgu
ponudijo zelo sofisticirane produkte. Vgrajena jamstva, ki se nanašajo na varčevalni del, so za
zavarovalce poseben element varnosti, kar je lahko za trg še posebej zanimivo v časih
finančnih kriz.
Očitna posledica uvedbe naložbenih življenjskih zavarovanj z jamstvi je večja izpostavljenost
zavarovalnice naložbenemu tveganju. Ko zavarovalnica enkrat plasira tak produkt na trg, se
mora zavedati, da lahko ta tveganja postanejo zelo velika in nadležna, posebej pri načrtovanju
dobičkov, in se pred temi tveganji obvarovati. Pri upravljanju s finančnimi oziroma
naložbenimi tveganji se pri tem zavarovalnice pogosto obvarujejo s t.i. »hedgingom«, ki pa
83
povečuje likvidnostno tveganje in zato povečuje potrebo po kapitalu za izpolnitev kapitalskih
zahtev (SCR).
5.5.2 Vrednotenje naložbenih življenjskih zavarovanj in vgrajenih jamstev
Določanje pravične cene tveganja ter s tem zavarovanja in določanje potrebnih rezervacij je
eden pomembnejših problemov aktuarske stroke. Jasno je, da naložbena življenjska
zavarovanja s seboj poleg tradicionalnih tveganj pri življenjskih zavarovanjih (napačna ocena
cene (smrtnosti), antiselekcija, moralni hazard) prinašajo naložbeno oziroma finančno
tveganje. Seveda se to tveganje pojavlja tudi pri tradicionalnih (klasičnih) zavarovanjih,
vendar je določanje cene za naložbena življenjska zavarovanja (ki vključujejo različna
jamstva) še posebej specifična naloga, saj se tukaj tveganja kombinirajo. V praksi so
zavarovalnice pri tej nalogi rešitev poiskale za ceno tveganja smrti zavarovanca. Pri tem so se
poslužile različnih načinov, najbolj razširjeni so:
• mesečno oziroma periodično obračunavanje premije za tveganje iz osebnega računa
zavarovalca, in sicer na ta način, da verjetnost zavarovanega dogodka apliciramo na
tvegano zavarovalno vsoto (riziko zavarovalno vsoto, angl. Sum at Risk), ki je definirana
kot razlika med zavarovalno vsoto in vrednostjo sredstev na osebnem računu zavarovalca,
• mesečno ali periodično obračunavanje stalnega oziroma nespremenljivega odstotka
vrednosti sredstev ali zavarovalne vsote iz osebnega računa zavarovalca,
• enkratno izračunavanje premije za tveganje za celotno trajanje zavarovanja.
Predvsem zadnji dve sta sicer dokaj preprosti za vodenje in omogočata zavarovalcu prav tako
preprost vpogled v to, koliko premije plača za zavarovan dogodek.
Tudi pri drugih jamstvih bi lahko zavarovalnice sledile podobnemu načinu. Tako bi pri
jamstvu minimalnega letnega donosa ali minimalnega izplačila ob doživetju lahko
zavarovalnice določile verjetnost, da bo le-ta manjši kot obljubljeno in s tem ocenile tveganje,
ki ga nosijo. Pri tem bi se lahko poslužile simulacij (npr. Monte Carlo simulacija). Če bi npr.
tako tveganje ocenjevali mesečno in bi znali poiskati kaos v časovni vrsti vrednostnih
papirjev, ki jih sestavljajo osebni račun, bi morda lahko uporabili tudi nelinearne metode
opisane v prejšnjih poglavjih. Toda tukaj je preveč ČE-jev, zaradi česar bodo aktuarji in
finančne službe nelinearne metode uporabljali predvsem kot dopolnilo. Simulacije aktuarji
izvedejo stohastično, na podlagi porazdelitve v preteklosti in spreminjanja porazdelitve skozi
čas (pri analizi sprememb porazdelitve, ter iskanja vzroca v spreminjanju porazdelitev so
84
lahko nelinearne metode v pomoč). Tako bi konstruirali statistično porazdelitev rezervacije
(oziroma višine osebnega računa) na podlagi stohastične simulacije vrednostnih papirjev, v
katere se nalagajo sredstva zavarovalca in uporabili ustrezno mero tveganja. Običajno
uporabljamo pričakovano vrednost in varianco. Druga možna mera je tako imenovana rizična
vrednost (Value at Risk - VaR) ali končna rizična vrednost (Tail VaR – Tvar), kjer z določeno
stopnjo zaupanja ocenimo verjetnost (v primeru TVaR pogojno verjetnost), da bo naša
statistična spremenljivka (rezervacija) manjša od določene omejitve (garantirane vrednosti v
našem primeru). Takšna metoda je pogosta pri določanju cen za premoženjska zavarovanja za
primere naravnih katastrof, kjer se kot verjetnostna mera uporabi 95 % ali celo 99,5 % VaR.
Stohastično določanje cene je težavna naloga. Poleg tega ga je potrebno nenehno preverjati,
kar lahko predstavlja velik dodaten strošek. V izogib takšnim stroškom in zaradi lažje
kontrole je razvoj prinesel še finančni način določanja cene za prevzeta tveganja. Za razliko
od zgoraj opisanega stohastičnega oziroma aktuarskega načina vrednotenja, ki upošteva zakon
velikih števil, finančni način predpostavlja možnost trgovanja s sredstvi na kapitalskih trgih in
racionalno obnašanje: na trgu bo tisti, ki nalaga sredstva, izbral naložbo, ki ob enakem
tveganju prinaša višji donos. Pri aktuarskem načinu nas obnašanje zavarovalcev in reakcije na
spremembe na kapitalskih trgih sploh ne zanimajo, kar je tudi razumljivo zaradi vgrajenega
jamstva, ki ni odvisno od razmer na kapitalskih trgih. Finančni način pa jamstva po
zavarovalni pogodbi obravnava kot opcije in jih vrednoti z metodami za vrednotenje opcij. Za
finančni način je pomembna tudi predpostavka, ki ne dovoli možnosti arbitraže, kar pomeni,
da na trgu ni mogoče zaslužiti brez tveganja oziroma da imata dva vrednostna papirja z
enakim izplačilom nujno tudi enako ceno – govorimo tudi o popolnem trgu. Finančni način
vrednotenja predpostavlja kapitalski trg, ki je sestavljen iz tvegane naložbe (npr. delnice) in
netvegane naložbe (denarni depozit). Med dvema zaporednima trenutkoma, ko je objavljena
tržna cena tvegane naložbe (ki je lahko tudi kaotično urejena), se na netvegano naložbo
pripiše obrestna mera. Tveganje postane v tem modelu tako imenovani naključni zahtevek
oziroma naključno izplačilo, ki ustreza filtraciji verjetnostnega prostora, kar pomeni, da so
znane cene tvegane naložbe do časovnega horizona (trenutka) v katerem računamo (pove nam
zgodovino procesa oziroma časovno vrsto). Pojmi, kot sta filtracija in verjetnostni prostor so
znani iz matematične teorije o martingalih. Martingali so stohastični procesi, ki imajo v
moderni finančni ekonomiji izredno velik pomen, saj se uporabljajo pri vrednotenju izvedenih
finančnih instrumentov.
85
Aktuarsko in finančno vrednotenje se razlikujeta v načinu obravnave problema. Finančno
vrednotenje gleda na zavarovalno pogodbo kot da gre za naključno izplačilo in uporabi
instrument zaščite portfelja za ovrednotenje pogodbe. Pri aktuarskem vrednotenju pa je
pomemben ekvivalenčni princip, kjer določimo premijo na podlagi ovrednotenja možnih
prihodnjih izgub. Pri aktuarskem vrednotenju simuliramo na podlagi pričakovanih dogodkov
in uporabljamo fizično oziroma naravno verjetnostno mero, medtem ko finančno vrednotenje
uporablja netvegano obrestno mero pri za tveganje nevtralni verjetnostni meri. Prednost
finančnega vrednostenja je neodvisnost premije od pričakovane krivulje obrestne mere (saj
uporablja netvegano obrestno mero) in večinska odstranitev naložbenega oziroma finančnega
tveganja zaradi instrumenta zaščite portfelja. Toda, rezultati finančnega pristopa temeljijo na
strategiji zaščite (»hedging«), ki jo je potrebno uporabiti na trgu, sicer je takšno vrednotenje
brez pomena. In prav to je najpomembnejše pri izbiri, kako vrednotiti naložbena življenjska
zavarovanja, saj je to velika pomanjkljivost finančnega načina vrednotenja. Pasivna zaščita je
praktično nemogoča (vsaj pri zavarovanjih z obročnim plačevanjem premije), saj je, zaradi
dolgoročnosti življenjskih zavarovanj skoraj nemogoče najti ustrezne opcije. V poštev bi torej
prišla aktivna oziroma dinamična zaščita, ki vključuje stalno uravnotežen portfelj zaščite. V
tem primeru je potrebno znova in znova poiskati ustezen znesek denarja za investiranje v
zaščito. Na ta način se sicer reducira tveganje, vendar se zahteva zelo aktivna naložbena
politika in ustrezna kadrovska zasedba z visokimi stroški (transakcije, analize …), čemur je
potrebno dodati še zmanjšano likvidnost sredstev in stroške s stalnim preverjanjem
zadostnosti zaščite.
5.5.3 Upravljanje s tveganji
Naloga zavarovalnic je, da upravljajo svoja tveganja in da ljudje vidijo njihovo uspešnost pri
tem. Tako si lahko zavarovalnice pridobijo zaupanje na trgu, kar je pomembno predvsem za
uspešno doseganje želene ekonomije obsega.
Pri naložbenih življenjskih zavarovanjih, pri katerih zavarovalnice pogosto prevzemajo
jamstva, lahko zavarovalnice postopajo pri oceni in vrednotenju tveganj in vrednotenju
tveganj na različne načine. Eden od načinov je, da zavarovalnica, namesto da interno poskrbi
za oceno naložbenih tveganj in njihovo vrednotenje, to nekako izloči (outsourcing, izločeni
posli). V Sloveniji imamo pogoste primere naložbenega življenjskega zavarovanja, kjer
zavarovalnice v kooperaciji z banko pripravijo produkte, kjer je sicer dano jamstvo izplačila
ob doživetju, vendar je to jamstvo dano s strani izdajatelja vrednostnega papirja (banke), na
86
katerega je vezano naložbeno življenjsko zavarovanje. Pri tem zavarovalnica tipično nosi le
zavarovalna tveganja. Toda takšen produkt je lahko dražji in manj fleksibilen, zraven tega pa
je dejstvo, da so zavarovalnice tiste institucije, ki bi naj prevzemale tveganja in jih vrednotile.
Zatorej je za zavarovalnice bolj efektiven aktivni pristop k upravljanju s tveganji, ki je tudi
osnovna dejavnost in kompetenca zavarovalnice. Seveda pa se pri tem pojavljajo vprašanja
kot so, ali je na voljo dovolj ustrezno strokovno usposobljenih kadrov, ali so na voljo ustrezna
specialna orodja (predvsem ustezna programska oprema).V primeru, da zavarovalnica
poskuša uvesti zaščito portfelja, je vprašljiva tudi razpoložljivost ustreznih instrumentov za
zaščito.
Zavarovalnica bi pri takšnem pristopu (ko sama ocenjuje naložbena tveganja in jih upravlja),
morala dati vso pozornost temu, da znotraj podjetja razvije postopke za ustrezno ovrednotenje
tveganj. Pristop zahteva izkušene upravljavce tveganj, ki bodo na eni strani uspeli analizirati
in identificirati vsa tveganja, ki jih je zavarovalnica izpostavljena in jih na drugi strani
ovrednotiti oziroma poiskati ustrezno zaščito portfelja. Zavarovalnica bo za dobro delo na
področju upravljanja s tveganji prej ali slej nagrajena z dobrim in dobičkonosnim portfeljem
ter manjšim zneskom potrebnega kapitala.
5.6 Primer izračuna tveganja pri produktu, pri katerem se plača enkratna
premija in ima vgrajeno jamstvo
Kot že rečeno, zavarovalnica pri svojem delu obravnava tveganja, jih ustrezno ovrednoti in si
za to obračuna premijo za tveganje. Kot smo videli, lahko zavarovalnica pri naložbenih
življenjskih zavarovanjih tveganja obračuna na različne načine. Poglejmo si primer
naložbenega življenjskega zavarovanja, pri katerem zavarovalnica ponuja določeno jamstvo v
primeru smrti. Vrednost police naložbenega življenjskega zavarovanja je neposredno odvisna
od vrednostnega papirja, na katerega je vezana naložba. Za primer vzamimo, da je naložba
vezana na vrednost točke posebnega kritnega sklada, s katerim upravlja zavarovalnica.
Zavarovalnica se odloči, da bo to zavarovanje, pri katerem bo omogočala le enkratno plačilo
premije in pri tem obračunala riziko premijo (riziko premija je plačilo zavarovalnici za
tveganje za primer smrti zavarovanca, ki ga prevzema zavarovalnica) le na začetku
zavarovanja. Znesek riziko premije je sicer pri življenjskih zavarovanjih običajno odvisen od
starosti in spola zavarovanca ter od riziko zavarovalne vsote. Seveda je pomembna tudi
87
dolžina trajanja zavarovanja. Pri tem se je zavarovalnica odločila ponuditi le možnost
zavarovanja s trajanjem 11 let.
Slika 32 : Razvoj vrednosti točke kritnega sklada v preteklosti
Vir: Prirejeno po podatkih izbrane zavarovalne skupine,interni podatki, 2009
Zavarovalnica obljubi za primer smrti izplačilo v višini 115 % plačane premije. Seveda je
vprašanje, ki se pojavi, koliko riziko premije naj obračuna zavarovalnica. Recimo, da se
odloči, da bo 91 % vsega premoženja naložila v točke vezane na kritni sklad in naj bo tudi
vrednost enote premoženja v tem času 0.91. Označimo riziko zavarovalno vsoto, ki je razlika
med zajamčeno zavarovalno vsoto za smrt in matematično rezervacijo, kot izpostavljenost. Pri
naložbenih življenjskih zavarovanjih je le-ta močno odvisna od časovnega razvoja referenčne
vrednosti kritnega sklada ter je zategadelj tudi precej volatilna (spremenljiva, nestanovitna).
Začetna izpostavljenost 24 % vplačane premije se s časom spreminja. Raziščimo to
spreminjanje s pomočjo nelinearnih metod.
88
Slika 33 :Izračun funkcije povprečne vzajemne informacije in določitev časovnega zamika
Slika 34 : Grafični prikaz deleža napačnih najbližjih sosedov v odvisnosti od dimenzije
vpenjanja v fazni prostor
Najprej v preteklem spreminjanju vrednostnega papirja poiščemo kaotično spreminjanje.
Ravnamo podobno kot smo ravnali s analiziranimi vrednostnimi papirji. Najprej seveda iz
vrednosti točk kritnega sklada v preteklosti (slika 32) izračunamo dnevne donose in nato s
pomočjo funkcije vzajemne informacije določimo časovni zamik ter kasneje z metodo
najbližjega soseda še dimenzijo vpenjanja v fazni prostor (slika 33 in slika 34). Ugotovimo,
da ima naša časovna vrsta časovni zamik 4 in dimenzijo vpenjanja 5. Ko imamo oba
parametra lahko z Wolfovim algoritmom izračunamo Lyapunov eksponent. Za naš sklad
izračunamo pozitivno vrednost Lyapunovega eksponenta (f � 0.004475), iz česar sklepamo
na kaotičnost v preteklem spreminjanju cen (slika 35).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 5 10 15 20
vzaj.inf.
časovni zamik
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6
%fnn
dimenzija vpetja v fazni prostor
89
Slika 35 : Izračun maksimalnega Lyapunovega eksponenta
Slika 36 : Primerjava atraktorja kritnega sklada (zgoraj) z atraktorjem enega od znanih
primerov kaosa (spodaj)
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
t-1
t
t-1
t
90
Sedaj se pojavi najpomembnejše vprašanje, kako s pomočjo že znanih dejstev modelirati
gibanje vrednostnega papirja v prihodnje. Lahko poskušamo na način, opisan v poglavju 3.2.8
(napovedovanje prihodnjih vrednosti časovne vrste). Pri tem je potrebno preiskovati vse
trajektorije, kar je zamudno opravilo, zato poskušamo nekaj preprostejšega. Narišemo si graf,
ki prikazuje fazni prostor in sicer takšnega, s faznim zamikom za 1 dan. Ugotovimo zelo
zanimivo obliko faznega prostora in jo primerjamo z obema prej omenjenima primeroma
kaosa.
Vizualno je podoben graf iz prvega primera. V tem primeru zapisano preslikavo premaknemo
za med 0.5 in 0.4 ter uporabimo parametre a = 2.39 ter x; = 0.89 ter veliko medsebojno
podobnost. Pri obeh namreč vidimo skoraj »trikotno« obliko, pri čemer je v našem realnem
primeru ta manj izrazita oziroma deloma »razpršena«. Zaradi dokaj velike podobnosti se torej
odločimo modelirati gibanje sklada v prihodnosti s sledečo funkcijo:
x@ � ax@,� � 0.5, če 0 E x@,� E 1a (24)
x@ � aa � 1 '1 � x@,�) � 0.5, če 1a E x@,� E 1
(25)
in parametroma a = 2.39 ter x; = 0.89. Ugotovili smo že, da podobna funkcija (brez zamika)
opisuje kaos v časovni vrsti, in podobno tudi ta funkcija opisuje kaos v časovni vrsti.
Sedaj, ko smo že projicirali gibanje vrednosti sklada v prihodnost, lahko določimo tudi
časovno spreminjanje vrednosti premoženja. Ker zavarovalnica vloži 91 % bruto premije v
kritni sklad, določimo vse vrednosti kritnega sklada procentualno glede na plačano bruto
premijo. Tako dobimo časovno spreminjanje vrednosti premoženja in s tem tudi riziko
zavarovalne vsote oziroma izpostavljenosti. Če pogledamo gibanje preteklih vrednosti,
ocenimo, da okrog 95 % fluktuacij od povprečne vrednosti odstopa za največ 25 % (večja
odstopanja, ki predstavljajo približno 5 % zanemarimo). Zaradi potrebne varnosti, ki jo mora
zavarovalnica zagotavljati reduciramo vrednost premoženja v vsaki točki za 3 % in si
dovolimo povečanje riziko vsote zaradi fluktuacij (kot varnostni dodatek). Kot smo že ocenili
lahko s 95 % zaupanjem trdimo, da fluktuacije ne presegajo 25 %, zato je primerno riziko
vsoto povečati za takšen odstotek. Tako izračunamo riziko vsoto z vso potrebno previdnostjo
in dobimo riziko vsoto v povprečju kot 25 % enkratne bruto premije (tabela 1, slika 37).
91
Tabela 1 : Časovno spreminjanje relativne vrednosti premoženja in riziko zavarovalne vsote
Čas vrednost
premoženja dodatna
redukcija riziko vsota varnostni dodatek
3.00%
25.00%
06/05/2009 0.91 0.88 0.27 0.33 06/08/2009 0.91 0.88 0.27 0.33 06/11/2009 0.85 0.83 0.32 0.40 06/02/2010 0.84 0.81 0.34 0.42 06/05/2010 0.83 0.81 0.34 0.43 06/08/2010 0.88 0.85 0.30 0.37 06/11/2010 0.89 0.87 0.28 0.35 06/02/2011 0.87 0.85 0.30 0.38 06/05/2011 0.91 0.88 0.27 0.33 06/08/2011 0.93 0.90 0.25 0.31 06/11/2011 0.96 0.93 0.22 0.28 06/02/2012 0.97 0.94 0.21 0.26 06/05/2012 0.93 0.90 0.25 0.31 06/08/2012 0.90 0.88 0.27 0.34 06/11/2012 0.93 0.90 0.25 0.31 06/02/2013 0.86 0.83 0.32 0.40 06/05/2013 0.86 0.83 0.32 0.40 06/08/2013 0.86 0.83 0.32 0.40 06/11/2013 0.92 0.89 0.26 0.33 06/02/2014 0.92 0.89 0.26 0.33 06/05/2014 0.89 0.87 0.28 0.36 06/08/2014 0.92 0.89 0.26 0.32 06/11/2014 0.92 0.89 0.26 0.32 06/02/2015 0.97 0.94 0.21 0.26 06/05/2015 1.04 1.01 0.14 0.18 06/08/2015 1.02 0.99 0.16 0.20 06/11/2015 1.04 1.01 0.14 0.18 06/02/2016 1.07 1.04 0.11 0.13 06/05/2016 1.05 1.02 0.13 0.16 06/08/2016 1.02 0.99 0.16 0.20 06/11/2016 1.05 1.02 0.13 0.16 06/02/2017 1.07 1.03 0.12 0.14 06/05/2017 1.04 1.01 0.14 0.18 06/08/2017 1.06 1.03 0.12 0.15 06/11/2017 1.08 1.04 0.11 0.13 06/02/2018 1.10 1.07 0.08 0.10 06/05/2018 1.05 1.02 0.13 0.16 06/08/2018 1.08 1.05 0.10 0.13 06/11/2018 1.11 1.08 0.07 0.09 06/02/2019 1.08 1.05 0.10 0.13 06/05/2019 1.13 1.09 0.06 0.07 06/08/2019 1.11 1.08 0.07 0.09 06/11/2019 1.11 1.08 0.07 0.09 06/02/2020 1.13 1.09 0.06 0.07 06/05/2020 1.07 1.04 0.11 0.14
povprečje = 0.20 povprečje = 0.25
Vir: Prirejeno po podatkih izbrane zavarovalne skupine,interni podatki, 2009
92
Slika 37: Grafični prikaz časovnega spreminjanja riziko zavarovalne vsote ocenjene z
nelinearnimi metodami in primerjava z povprečno vrednostjo riziko zavarovalne vsote
Izpostavljenost zavarovalnice je torej v povprečju 25 % enkratne bruto premije. To je torej
tveganje, ki ga v povprečju glede na simulacijo prevzema zavarovalnica. Pri tem je potrebno
poudariti: simulacija je bila narejena s pomočjo nelinearne funkcije, ki povzroča kaos in je
zato rezultat lahko močno odvisen on tega, kje začnemo simulirati. Prav zato je pomembno
poudariti, da je na dva načina vračunan še varnostni dodatek, tako da kar se da najbolje
poskrbimo za varnost. Zavarovalnica mora še oceniti verjetnost, da bo prišlo do realizacije
zavarovanega dogodka (tveganja). To stori preko verjetnostnih tabel, ki jih ima na voljo. Ker
gre za verjetnost smrti, je tveganje odvisno od spola in starosti zavarovancev in uporabimo
tablice smrtnost, vendar za ta primer privzamemo da se zavarovalnica odloči oceniti tveganje
in nzaračunati enako prmijo za tveganje vsakemu zavarovancu neodvisno od spola in starosti.
Znesek riziko premije za enoto riziko zavarovalne vsoto ocenimo na osnovi tablic umrljivosti,
ki so ocenjene za slovensko populacijo. Uporabimo rekurzivno formulo:
A|x y � / v{�� pyqy�{{x,�{3;
� v ~ py ~ / v{�� py��qy���{{x,�{3;
� v ~ 1 ~ qy (26)
in sledi
93
A|x y � v ~ 'qy � py ~ A|x,� y��)
(27)
pri čemer so uporabljene oznake:
� … letna tehnična obrestna mera za izračun pričakovane sedanje vrednosti obveznosti
v � ���� …diskontna stopnja
qy …verjetnost, da bo x let stara oseba umrla v starosti med x in x+1
py � 1 � qy …verjetnost, da bo x let stara oseba preživela do starosti x+1
p{ y � � 1; k � 0∏ py��{,��3; � …verjetnost, da bo x let stara oseba preživela do starosti x+k
A|x y …enkratna neto premija za enoto riziko zavarovalne vsote, za x let staro osebo, ki se
zavaruje za zavarovalno dobo n-let
Izračun enkratne riziko premije naredimo za vsako vstopno starost zavarovanca posebej z
upoštevanjem zavarovalne dobe 10 let in tehnične obrestne mere 1.5 %. recimo, da
zavarovalnica ocenjuje da bo razmerje med žensko in moško populacijo v portfelju 35:65 (v
%) in da bo povprečna vstopna starost zavarovancev 53 let. Tako lahko določi ustrezno riziko
premijo za enoto višine zavarovalne vsote za smrt. Če to pomnožimo še s koeficientom
povprečne riziko vsote, dobimo riziko premijo kot delež enkratne bruto premije zavarovanja.
Glede na pričakovano povprečno starost znaša riziko premija 2 % enkratne bruto premije
zavarovanja.
P���{ � 2,00% ~ BP (28)
Tabela 2: izračun premijske stopnje za enkratno premijo iz pri
MOŠKI ŽENSKE
Starost qx qx 20 0.0011000 0.0003000 0.010058821 0.0011000 0.0003000 0.010056322 0.0011000 0.0003000 0.010053923 0.0011000 0.0003000 0.010051624 0.0011000 0.0003000 0.010049125 0.0011000 0.0003000 0.010046526 0.0011000 0.0003000 0.010633727 0.0011000 0.0003000 0.011228428 0.0011000 0.0003000 0.011830329 0.0011000 0.0003000 0.012439230 0.0011000 0.0005000 0.013054831 0.0011000 0.0005000 0.014676532 0.0011000 0.0005000 0.016315933 0.0011000 0.0005000 0.017973034 0.0011000 0.0005000 0.019647335 0.0018000 0.0007000 0.021339036 0.0018000 0.0007000 0.023977737 0.0018000 0.0007000 0.026635638 0.0018000 0.0007000 0.029313739 0.0018000 0.0007000 0.032014440 0.0030000 0.0012000 0.034742341 0.0030000 0.0012000 0.038259742 0.0030000 0.0012000 0.041811143 0.0030000 0.0012000 0.045408444 0.0030000 0.0012000 0.049063345 0.0050000 0.0025000 0.052786146 0.0050000 0.0025000 0.057847947 0.0050000 0.0025000 0.062970348 0.0050000 0.0025000 0.068159849 0.0050000 0.0025000 0.073423950 0.0075000 0.0039000 0.078771451 0.0075000 0.0039000 0.085336752 0.0075000 0.0039000 0.091965353 0.0075000 0.0039000 0.098671254 0.0075000 0.0039000 0.105473555 0.0119000 0.0050000 0.112400356 0.0119000 0.0050000 0.121136257 0.0119000 0.0050000 0.129951158 0.0119000 0.0050000 0.138888359 0.0119000 0.0050000 0.147990360 0.0171000 0.0068000 0.157299261 0.0171000 0.0068000 0.170636162 0.0171000 0.0068000 0.183937363 0.0171000 0.0068000 0.197245264 0.0171000 0.0068000 0.210632065 0.0266000 0.0111000 0.2242152
94
un premijske stopnje za enkratno premijo iz pričakovanega portfelja
MOŠKI ŽENSKE pričak. porazd.portfelja
65% moški - 35% ženske0.0100588 0.0027595 0.0075040 0.0100563 0.0029307 0.0075623 0.0100539 0.0031044 0.0076216 0.0100516 0.0032806 0.0076817 0.0100491 0.0034593 0.0077427 0.0100465 0.0036406 0.0078045 0.0106337 0.0039954 0.0083103 0.0112284 0.0043553 0.0088228 0.0118303 0.0047204 0.0093419 0.0124392 0.0050908 0.0098672 0.0130548 0.0054664 0.0103989 0.0146765 0.0060733 0.0116654 0.0163159 0.0066881 0.0129462 0.0179730 0.0073107 0.0142412 0.0196473 0.0079411 0.0155502 0.0213390 0.0085794 0.0168732 0.0239777 0.0101186 0.0191270 0.0266356 0.0116756 0.0213996 0.0293137 0.0132516 0.0236919 0.0320144 0.0148473 0.0260059 0.0347423 0.0164642 0.0283450 0.0382597 0.0187600 0.0314348 0.0418111 0.0210841 0.0345566 0.0454084 0.0234388 0.0377190 0.0490633 0.0258266 0.0409304 0.0527861 0.0282498 0.0441984 0.0578479 0.0303214 0.0482136 0.0629703 0.0324227 0.0522787 0.0681598 0.0345560 0.0563985 0.0734239 0.0367229 0.0605786 0.0787714 0.0389258 0.0648255 0.0853367 0.0412074 0.0698915 0.0919653 0.0435205 0.0750097 0.0986712 0.0458652 0.0801891 0.1054735 0.0482427 0.0854427 0.1124003 0.0506541 0.0907891 0.1211362 0.0552507 0.0980763 0.1299511 0.0598858 0.1054283 0.1388883 0.0645579 0.1128727 0.1479903 0.0692681 0.1204375 0.1572992 0.0740198 0.1281514 0.1706361 0.0831311 0.1400093 0.1839373 0.0922271 0.1518387 0.1972452 0.1013107 0.1636682 0.2106320 0.1103945 0.1755489 0.2242152 0.1194974 0.1875640
akovanega portfelja
ak. porazd.portfelja riziko premija
35% ženske = 25% riziko vsote 0.0018760 0.0018906 0.0019054 0.0019204 0.0019357 0.0019511 0.0020776 0.0022057 0.0023355 0.0024668 0.0025997 0.0029163 0.0032365 0.0035603 0.0038875 0.0042183 0.0047817 0.0053499 0.0059230 0.0065015 0.0070862 0.0078587 0.0086392 0.0094298 0.0102326 0.0110496 0.0120534 0.0130697 0.0140996 0.0151446 0.0162064 0.0174729 0.0187524 0.0200473 0.0213607 0.0226973 0.0245191 0.0263571 0.0282182 0.0301094 0.0320378 0.0350023 0.0379597 0.0409170 0.0438872 0.0468910
95
SKLEP
V primeru sorazmernih oziroma linearnih odzivov bi bilo mogoče napovedovati gospodarsko
rast in kapitalske trge z v ekonometriji tradicionalnimi linearnimi metodami. Toda v primerih,
ko se v sistemu (na kapitalskih trgih) pojavijo večje motnje, ti modeli odpovejo. Takšni
modeli namreč niso zmožni ujeti kaotičnega obnašanja kapitalskih trgov.
Kapitalski trgi imajo vedno kompleksnejšo naravo, saj je prisotnega vse več denarnega toka in
pretoka informacij, zaradi česar je ogrožena njihova učinkovitost. Globalizacija kapitala in
informacij namreč povzročata nelinearnost in kompleksnejše obnašanje in strukture na
kapitalskih trgih, kar se odraža v njihovi nelinearnosti. Takšna obnašanja je zelo težko
analizirati z uporabo običajnih linearnih ekonometričnih modelov, posebej je to opazno prav
na kapitalskih trgih, kjer se cilji različnih agentov na trgu razlikujejo glede na tveganja in
njihovo sprejemanje le-teh, zaradi česar se izgubi linearnost. Nelinearni modeli, ki izhajajo iz
teorije kaosa, imajo pri analizi in razlagi takšnih pojavov veliko prednost, saj lahko »ujamejo«
nepravilno obnašanje trga. Teorija kaosa govori o kaosu kot o redu v navideznem neredu, gre
pa pravzaprav za nedoločeno število nestabilnih ciklov z vse večjo periodo. V matematiki ga
opredelimo s številom, ki ga imenujemo Lyapunov eksponent in je merilo za predvidljivost
sistema. Kljub temu da lahko s pomočjo nelinearnih metod ujamemo kaotično obnašanje na
trgu, ostaja dejstvo, da je poiskati kaos in fraktalne vzorce na kapitalskih trgih razmeroma
težka naloga, še težje pa je napovedovanje prihodnjih vrednosti. Temu je tako zaradi
nepopolnih informacij in »nečistih« signalov v časovnih vrstah. Lahko tudi rečemo, da je tako
prav, saj če determinističnost na kapitalskih trgih, obstaja v obliki kaotičnega obnašanja
oziroma fraktalnih vzorcev in bi bilo ta pojav preprosto raziskati in modelirati, bi lahko prišlo
do izkoriščanja tega znanja in vzorcev, kar bi verjetno vodilo v njihovo izničenje.
Pri vseh treh vrednostnih papirjih, ki smo jih analizirali, smo najprej poiskali pravo dimenzijo
in časovni zamik, ki sta nam omogočila rekonstrukcijo faznega prostora. Poiskali smo atraktor
posameznega vrednostnega papirja in nato Lyapunov eksponent. Pri vseh treh smo našli
pozitiven Lyapunov eksponent, ki kaže na prisotnost kaosa. Sicer so bile vrednosti
Lyapunovega eksponenta različne in omogočajo različno predikcijo. Pomembna ugotovitev
je, da so kljub teoretični večji predvidljivosti kaotičnih časovnih vrst, nelinearne metode
primerne za napovedovanje prihodnjih vrednosti v isti meri kot ostale metoda. Če bi želeli
točne napovedi s pomočjo nelinearnih metod, bi morali »vključiti zunanje dejavnike«, kar bi
zvišalo prosto stopnjo sistema. Če bi želeli popolnoma odpraviti zunanje dejavnike, bi to zelo
96
otežilo, če ne celo onemogočilo, identifikacijo lastnosti sistema. Podobno lastnost že poznamo
iz fizike kot Heisenbergov princip nedoločenosti. Zato lahko rečemo, da je nivo
nepredvidljivosti v časovnih vrstah na kapitalskih trgih prevelik za uspešno napovedovanje
prihodnosti. Z nelinearnimi metodami ne moremo ugotoviti, kakšna bo prihodnja cena
vrednostnega papirja, lahko pa napovemo najverjetnejše prihodnje smeri, v katere se bo cena
gibala.
Lyapunov eksponent in atraktor nam namreč povesta kar precej o stabilnosti oziroma ujetosti
sistema v neke vzorce. Četudi nam nelinearne metode ne morejo dati odgovora na vprašanje,
kakšna bo prihodnost, pa nam preko teh dveh povedo nekaj o najverjetnejši smeri prihodnjih
gibanj. Prav zaradi te lastnosti so nelinearne metode lahko dodatno in močno orodje pri
procesih obvladovanja tveganja in upravljanja s tveganji.
V nalogi smo pokazali primer uporabe nelinearnih metod pri razvoju produkta za vrednotenje
tveganja, pokazali pa smo še druge možne načine vrednotenja naložbenih življenjskih
zavarovanj, ki se uporabljajo tudi v praksi. Te metode imajo določene prednosti in
pomanjkljivosti, vendar se globlje v metode nismo spuščali, saj to niti ni bil namen naloge.
In možne nadaljnje raziskave uporabe nelinearnih metod? Nadaljevati delo in poskusiti z
iskanjem Lyapunovega eksponenta na omejenih delih časovne vrste (npr. pred pričetkom
krize, v času krize same …). Morda bi s tem dobili kakšno informacijo, ki bi bila v prihodnje
uporabna. Dobro bi bilo tudi raziskati uporabnost nelinearnih metod pri napovedovanju
škodnega dogajanja zaradi naravnih nesreč – torej pri premoženjskih zavarovanjih. To bi bila
vsekakor zanimiva naloga, saj so bile vremenske razmere že predmet raziskav s pomočjo
nelinearnih metod. Prav tako bi bila lahko uporaba nelinearnih metod preiskana pri
vremenskih obveznicah in nekaterih drugih izvedenih finančnih instrumentih.
Glede na to, da je uporaba nelinearnih metod na različnih področjih v ekonomiji šele na
začetku svoje poti, so metode zanimive za vse, saj je njihov spekter uporabe zelo širok in
zaželen ter potencialno koristen.
LITERATURA IN VIRI
1. Abarbanel H. D. I. (1996). Analysis of observed chaotic data. New York: Springer.
97
2. Anzilli L. & De Cesare L.. Valuation of the surrender option in unit-linked life insurance
policies in a non-rational behaviour framework. Najdeno dne 19.04.2009 na spletnem
naslovu http://www.dsems.unifg.it/q202007.pdf.
3. Bask M. (2002). A positive Lyapunov exponent in Swedish exchange rates?. Chaos,
Solitons & Fractals. 14(8) 1295-1304.
4. Brock W. A. & Dechert D. W. (1991). Non-linear dynamical systems: instability and
chaos in economics, (Handbook of Mathematical Economics IV). Amsterdam: North-
Holland. 2209-2235.
5. Bouchaud J. P. (2008). Economics needs a scientific revolution. Nature 455.
6. Corby F.B. (1977). Reserves for maturity guaranties under unit-linked policies. Najdeno
dne 21.04.2008 na spletnem naslovu
http://www.actuaries.org.uk/__data/assets/pdf_file/0020/ 25256/0259-0296.pdf.
7. Crutchfield J. P., Farmer J. D., Packard N. H. & Shaw R. S. (1986). Chaos. Scientific
American, 255, 46.
8. Časovna vrsta vrednostnega papirja MSFT (Microsoft). Najdeno dne 20.06.2009 na
spletni strani http://finance.yahoo.com/
9. Časovna vrsta vrednostnega papirja GOOG (Gogle). Najdeno dne 20.06.2009 na spletni
strani http://finance.yahoo.com/
10. Časovna vrsta vzajemnega sklada Rastko. Najdeno dne 18.07.2009 na spletni strani
http://www.kd-skladi.si/?subpage=899
11. Darlington A., Grout S., Whitworth J. (2001). How safe is safe enough? – an introduction
to risk management. Najdeno dne 25.08.2009 na spletni strani
http://www.sias.org.uk/siaspapers/listofpapers/view_paper?id=RiskManagement
12. Davies K., Johnson T., Shapiro E. (2000). Modern Methods of Valuation (9th ed.),
Elsevier: Estates Gazzete
13. Davis M. H. A.. Louis Bachelier’s “Theory of Speculation”. Najdeno dne 23.06.2009 na
spletnem naslovu http://www.gresham.ac.uk/uploads/GRESHAM.PDF.
98
14. Desmedt S., Chenut X., Walhin J.F.. Actuarial Pricing for Minimum Death Guarantees in
Unit-Linked Life Insurance: A Multi-Period Capital Allocation Problem. Najdeno dne
24.04.2008 na spletnem naslovu http://actuaires.org/AFIR/Colloquia/Boston/Desmedt_
Chenut_Walhin.pdf
15. Dorffner G., Schittenkopf C., Dockner E.J. (2000). On Nonlinear, Stochastic Dynamics in
Economic and Financial Time Series. Studies In Nonlinear Dynamics and Economics.
MIT Press. 4(3) 101-121
16. Embrechts P. (1996). Actuarial vs. Financial pricing of insurance. Wharton Financial
Institutions Center. Working Paper Series 96-17.
17. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. (2001). Modelling Extremal Events for
Insurance & Finance. Springer - Verlag.
18. Feng-Tao L. (2007). Criterion and Measurement of Complexity of Stock Market: From
Chaos, Fractal to Complexity Degree. WiCom, 4093-4096.
19. Frantz C., Chenut X., Walhin J.F.. Pricing and capital allocation for unit-linked life
insurance contracts with minimum death guarantee. Najdeno dne 23.04.2008 na spletnem
naslovu http://www.actuaires.org/AFIR/colloquia/Maastricht/Frantz_Chenut_Walhin.pdf.
20. Fraser A. M., Swinney H. L. (1986). Independent coordinates for strange attractors from
mutual information. Phys. Rev. A 33, 1134–1140.
21. GabJin O., Seunghwan K. (2006). Statistical Properties of the Returns of Stock Prices of
International Markets. Journal of the Korean Physical Society, 48, 197-201.
22. Hsieh David A. (1991). Chaos and Nonlinear Dynamics: Applications to Financial
Markets. Journal of Finance. 46 (December), 1839-1877.
23. Interni podatki izbrane zavarovalne skupine, 2009
24. Jeannequin N., Modelling The Stock Market: Chaos, Stochastic processes, Agent based
models. Najdeno dne 16.02.2009 na spletnem naslovu http://www.comlab.
ox.ac.uk/people/nicolas.jeannequin/Site/ Research_files/CHAOS2-1.pdf.
99
25. Kantz H., Schreiber T. (1997). Nonlinear time series analysis. Cambridge: Cambridge
University Press.
26. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (1992). Determining embedding dimension for
phase space reconstruction using a geometrical construction. Phys Rev A 1992, 3403–
3411.
27. Mandelbrot B. B. (1999). A multifractal walk down Wall Street. Scientific American.
298(2) 70-73.
28. Mantegna R.N., Stanley H.E. (1999). An Introduction to Econophysics: Correlations and
Complexity in Finance, Cambridge: Cambridge University Press.
29. Mattarocci G. (2007). Market characteristics and chaos dynamics in stock markets: an
international comparison. MPRA Paper No. 4296. Najdeno dne 16.02.2009 na spletnem
naslovu http://mpra.ub.uni-muenchen.de/4296/1/MPRA_paper_4296.pdf.
30. Meulbroek L. K. (2000). The Efficiency of Equity-Linked Compensation: Understanding
the Full Cost of Awarding Executive Stock Options. Najdeno dne 14.02.2009 na spletnem
naslovu www.hbs.edu/research/facpubs/workingpapers/papers2/9900/00-056.pdf.
31. Møller T. (2000). Quadratic Hedging Approaches and Indifference Pricing in Insurance
(Ph. D. Thesis). Copenhagen: University of Copenhagen.
32. Ott E. (1993). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press.
33. Peters E. E. (1996). Chaos and Order in the Capital Markets: A New View of Cycles,
Prices, and Market Volatility (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons Inc..
34. Perc M., Marhl M., Kodba S. (2005). Detecting chaos from a time series. Eur. J. Phys. 26
(2005) 205-215.
35. Perc M. (2005). Visualizing the attraction of strange attractors. Eur. J. Phys. 26 (2005)
579-587.
36. Perc M. (2006). Introducing nonlinear time series analysis in undergraduate courses.
Fizika A 15 (2006) 91-112.
100
37. Pungračič S., Simončič Š. & Rostaher M. (2003). Integracija naložbenih življenjskih
zavarovanj v informacijski sistem zavarovalnice. 10. dnevi slovenskega zavarovalništva,
zbornik, str. 305-322. Ljubljana: Slovensko zavarovalno združenje.
38. Reiss J. R. (2001). The analysis of chaotic time series. Georgia: Georgia Institute of
Technology.
39. Salomon F. (2009). Recipe for Disaster: The Fromula That Killed Wall Street. Najdeno
dne 12.06.2009 na spletnem naslovu http://www.wired.com/techbiz/it/magazine/17-
03/wp_ quant?currentPage=all.
40. Slak L. (2005). Obvladovanje tveganj v bančnem poslovanju po novem kapitalskem
sporazumu BASEL II (Magistrsko delo). Kranj: Fakulteta za podiplomske državne in
evropske študije. Najdeno dne 14.02.2008 na spletnem naslovu
www.bsi.si/library/includes/datoteka.asp ?DatotekaId=519 .
41. Spletni tečaj trgovanja z valutami. Najdeno dne 25.05.2009 na spletnem naslovu
http://www.babypips.com.
42. Sprott J. C. (2003). Chaos and time-series analysis. Oxford: Oxford University Press.
43. Strogatz S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. MA: Addison-Wesley.
44. Swiss Re (2003). Unit-linked life insurance in western Europe: regaining momentum?
Sigma, No. 3/2003. Najdeno dne 13.05.2008 na spletnem naslovu http://www.swissre.
com/resources/289fee00455c695c852bbf80a45d76a0-sigma3_2003_e.pdf
45. Tamsin A., Henshall C. (2007). Variable Annuities. Najdeno dne 17.08.2009 na spletnem
naslovu www.sias.org.uk/data/papers/VariableAnnuities/DownloadPDF
46. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L. & Vastano J.A. (1985). Determining Lyapunov
exponents from a time series. Physica D, 16 (1985) 285-317