A. Judul : Menentukan Metode yang Akurat dari Taksiran Parameter

Distribusi Weibull dengan Menggunakan Metode Momen

dan Metode Kuadrat Terkecil.

B. Bidang Ilmu : Teori Peluang dan Statistik Matematika

C. Pendahuluan

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,

mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi dan mempresentasikan data.

Salah satu aspek yang penting dalam statistika adalah mendapatkan taksiran

terbaik untuk suatu parameter dari suatu distribusi. Parameter dari suatu distribusi

dapat dinotasikan sebagaiα ,β , γ dan lain sebagainya.

Statistika inferensi merupakan suatu cara pengambilan keputusan tentang

parameter yang didasarkan pada informasi data sampel yang diambil dari populasi

yang menjadi perhatian. Statistik yang di gunakan untuk melakukan estimasi

parameter dikenal dengan nama estimator. Estimator untuk parameter ada dua

jenis, yaitu estimator titik dan estimator interval atau disebut juga interval

kepercayaan.

Dalam statistika, distribusi probabilitas dapat dibagi dalam dua jenis

distribusi, yaitu distribusi kontinu dan distribusi diskrit. Distribusi kontinu adalah

distribusi yang memuat peubah acak kontinu, sedangkan distribusi diskrit adalah

distribusi yang peubah acaknya diskrit yang kemungkinan hasilnya dapat

dihitung. Yang termasuk dalam kelompok distribusi kontinu adalah distribusi

eksponensial, distribusi normal, distribusi Weibull dan sebagainya. Dan yang

1

termasuk dalam distribusi diskrit adalah distribusi Poisson, distribusi binomial dan

distribusi hypergeometric.[2; hal. 90]

Salah satu yang akan dibahas pada penelitian ini adalah distribusi Weibull.

Distribusi Weibull adalah distribusi penting terutama untuk reliabilitas dan

kemampuan dalam menganalisa. Variasi Weibull biasanya digunakan sebagai

distribusi kehidupan dalam aplikasi handal. Parameter – parameter dari distribusi

Weibull dapat ditaksir dengan menggunakan metode. Adapun metode untuk

menaksir nilai parameter distribusi Weibull adalah metode grafik dan metode

analitik. Yang termasuk dalam metode grafik yaitu Weibull probability plotting

(WPP) dan hazard plot. Sedangkan yang termasuk dalam metode analitik yaitu

metode maksimum likelihood, metode kuadrat terkecil dan metode momen.

[1; hal. 790]

Pada penelitian ini akan membahas tentang taksiran parameter dari

distribusi Weibull dengan menggunakan metode analitik. Meskipun menggunakan

metode grafik relative cepat, tetapi hasil yang diperoleh tidak sangat akurat. Dan

metode analitik dipertimbangkan lebih akurat juga dapat dipercaya dibandingkan

metode grafik. Adapun bentuk umum dari fungsi densitas dari ditribusi Weibull

dua parameter adalah f ( x )= β

αx β−1 e

−( xα )β

, x≥0 . Dan fungsi kumulatif distribusi

Weibull diberikan sebagai berikut :F ( x )=1−e−( x

α)β

Untuk mendapatkan metode analitik terbaik untuk menaksir parameter

distribusi Weibull adalah dengan memanfaatkan Mean Square Error dan Total

Deviasi sebagai alat ukur untuk membandingkan metode tersebut. Dan metode

2

yang tepat adalah metode yang memiliki Mean Square Error dan Total Deviasi

yang terkecil.

Pada proposal ini akan dibandingkan dua metode dari tiga metode tersebut

untuk menaksir parameter yang diajukan yaitu metode momen dan metode

kuadrat terkecil. Ketepatan dari taksiran tersebut akan ditunjukkan pada penulisan

tugas akhir dan akan dibahas di skripsi secara matematis.

Dari kedua metode tersebut, masing-masing akan ditaksir parameternya

untuk mendapatkan metode yang akurat kemudian membandingkan Mean Square

Error (MSE) dan Total Deviasi untuk masing-masing metode. Semakin kecil MSE

dan TD yang diperoleh, maka metode tersebut yang paling akurat. Hal inilah yang

mendasari untuk menggunakan taksiran parameter yang diajukan guna

mendapatkan MSE dan TD terkecil. Pembahasan masalah ini akan dibahas dalam

proposal yang berjudul “Menentukan Metode yang Akurat dari Taksiran

Parameter Distribusi Weibull dengan Menggunakan Metode Momen dan

Metode Kuadrat Terkecil”.

D. Perumusan Masalah

Adapun masalah yang dibahas dalam proposal ini adalah membandingkan

dua metode yaitu metode maksimum momen dan metode kuadrat terkecil untuk

menaksir parameter distribusi weibull yang tidak diketahui. Untuk memperoleh

metode terbaik digunakan alat ukur Mean Square Error.

3

E. Tinjauan Pustaka

Berdasarkan pada pendahuluan maka akan diberikan dasar-dasar statistika

inferensi yaitu konsep dasar probabilitas, distribusi probabilitas, metode

maksimum momen dan metode kuadrat terkecil.

1. Konsep Dasar Probabilitas

Percobaan random mempunyai kriteria bahwa hasil dari suatu percobaan

tidak dapat dipastikan sebelum dilakukan percobaan, percobaan dapat diulang jika

kondisi identik dan himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dapat diketahui

disebut ruang sampel. Dari ruang sampel akan didefinisikan variabel random dan

sampel random.

Definisi 1.1 Variabel random [2 :hal. 53]

Misalkan sebuah variabel random yang memiliki ruang sampel S. Suatu fungsi X

yang memetakan setiap c S tepat pada satu dan hanya satu bilangan real X(c) = x

disebut variabel random dengan xϵR.

Definisi 1.2 Sampel random [ 2 : hal. 159]

Variabel random X1, X2, …,Xn dikatakan sampel random yang berukuran n dari

suatu distribusi dengan fungsi densitas f(x) jika fungsi densitas probabilitas

bersama berbentuk

f(x1, x2, …, xn) = f(x1)f(x2)… f(xn)

Definisi 1.3 Fungsi Densitas Gabungan [3 :hal.262]

Misalkan X! ,X2,…,Xn merupakan sampel random yang berukuran n dari suatu

distribusi dengan fungsi densitas f(x;θ ), θ adalah parameter dengan θ∈Ω , Ω

ruang parameter maka fungsi densitas gabungan dari X!,X2,…,Xn adalah

4

f(x1,x2,…,xn ; θ ) = f(x1 ;θ )f(x2 ;θ )…f(xn ;θ )

Definisi 1.4 Ekspektasi [2 : hal.67]

Misalkan X adalah variabel random kontiniu dengan fungsi dentitas f(x), maka

nilai ekspektasi didefinisikan sebagai

μ = E(X) = ∫−∞

∞

xf ( x ) dx

Definisi 1.5 Variansi [2 :hal. 73]

Misalkan X adalah variabel random, maka variansi didefinisikan sebagai

σ 2 = Var(X) = E(X - μ)2

2. Distribusi Weibull

Distribusi Weibull berasal dari Walodi Weibull (1887-1979). Distribusi ini dapat

dikerjakan dengan dua atau tiga parameter yaitu parameter skala, bentuk serta

lokasi. Nilai dari parameter ini harus lebih besar dari nol kecuali untuk parameter

lokasi yang mana dapat lebih besar atau sama dengan nol. Terdapat beberapa

metode untuk mengistemasi nilai dari parameter tersebut, yaitu metode grafik dan

metode analitik. Pada proposal ini akan ditentukan metode yang paling bagus

untuk mengistemasi parameter dari distribusi Weibull. [1 ; hal.790]

Definisi 2.1 Probability Density Function (PDF) [2 : hal.116]

Misalkan X adalah variabel random berdistribusi weibull, maka PDF dari variabel

random weibull dengan parameter α > 0 dan >0 adalah :

f ( x )= βα

x β−1 e−( x

α )β

, x≥0 (1)

5

Definisi 2.2 Cumulative Distribution Function (CDF)[ 2 : hal.116]

Misalkan X adalah variabel random berdistribusi weibull, maka CDF dari variabel

random weibull dengan parameter α > 0 dan >0 adalah :

F ( x )=1−e−( x

α)β

(2)

3. Metode Momen

Definisi 3.1 Misalkanx1 , x2 ,. .. , xn adalah kumpulan data, maka penaksir takbias

untuk momen ke-k yaitu: [2 ; hal.291]

xk=E( X k )=1n∑i=1

n

x ik

Dimana xk adalah posisi untuk menaksirμk .

Untuk distribusi Weibull dengan 2 parameter, dapat digunakan rata-rata sampel x

dan variansi sampelS2

, dimana : [1 ; hal.792]

x=∑i=1

n x i

n danS2=∑

i=1

n ( x i−x )2

n−1

4. Metode Kuadrat Terkecil [1 ; hal.793]

Persamaan linier dari distribusi weibull yaitu sebagai berikut :

ln ln [ 11−F (x ) ]=β ln x−β ln α

Maka :

6

x=1n∑i=1

n

ln {ln [ 1

(1− in+1 ) ]}

y=1n∑i=1

n

ln x i

5. Total Deviasi [4 ; hal.]

Definisi 5.1 Total deviasi dinotasikan dengan TD yang didefinisikan sebagai

berikut :

TD=| β̂−ββ

|+|α̂−αα

|

Dimanaβ danα adalah parameter diketahui danβ̂ danα̂ adalah parameter yang

ditaksir dari setiap metode.

6. Mean Square Error (MSE) [2 ; hal.309]

Definisi 6.1 jika T adalah estimator dari τ (θ ) maka estimator biasnya yaitu :

b ( τ )=E (T )−τ (θ )

Teorema 6. Jika T adalah estimator dari τ (θ ) maka :

MSE (T )=Var (T )+ [b (T ) ]2

F. Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk

membandingkan metode terbaik dari estimasi parameter distribusi weibull

menggunakan alat ukur Mean Square Error.

G. Metodologi Penelitian

7

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur yang diambil dari berbagai

buku teks dan jurnal, dimana penyajiannya menggunakan metode menguraikan

dan menjelaskan konsep-konsep dasar dan pembahasan yang berhubungan dengan

studi ini. Adapun metodologi yang digunakan adalah sebagai berikut:

1. Menentukan taksiran parameter distribusi Weibull dari setiap metode.

2. Membandingkan dua metode dengan menggunakan alat ukur Mean Square

Error dan Total Deviasi.

3. Menentukan Metode yang paling akurat dari dua metode tersebut.

4. Metode yang memiliki nilai Mean Square Error (MSE) dan Total Deviasi

yang terkecil merupakan metode terbaik untuk menaksir parameter

distribusi Weibull.

8

H. Jadwal Kegiatan

Jenis kegiatan

Bulan

I II III IV V

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 Persiapan

Bahan

2 Konsultasi

Dengan

Pembimbing

3 Pembahasan

Dan

Penulisan

Draf

4 Seminar

Hasil

5 Revisi skripsi

dan penulisan

artikel

6 Ujian Sarjana

7 Pembuatan

Laporan

Akhir

9

I. Daftar Pustaka

[1] Ahmad Mahir Razali.,Ali A. Salih and Asaad A. Mahdi., 2009. Estimation

Accuracy of Weibull Distribution Parameters, Journal of Applied

Sciences Research, 5(7) : 790 – 795

[2] Bain, L.J & Engelhardt, Max, 1993. Introduction to Probability and

Mathematical Statistics.Second Edition. Duxbury Press. Belmont,

California.

[3] DeGroot, Morrish.H, 1975. Probability and Statistics.Addision-Wesley

Publishing Company Inc. Menlo Park, California.

[4] Al-Fawzan, M.A., 2000. Methods for Estimating the Parameters of the

Weibull Distribution, King Abdulaziz City for Science and

Technology, Riyadh, Saudi Arabia.

10