MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X

43, s. 7-14, Gliwice 2012

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

W MODELOWANIU DRGAŃ ELEKTROFILTRÓW

IWONA ADAMIEC-WÓJCIK, STANISŁAW WOJCIECH Katedra Transportu i Informatyki, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej

e-mail: i.adamiec@ath.eu, swojciech@ath.eu

Streszczenie. Oczyszczanie elektrod osadczych w elektrofiltrach suchych jest

realizowane przez wzbudzanie ich drgań. Są to drgania o dużych wartościach

przyspieszeń. Przedmiotem modelowania w niniejszej pracy jest pojedynczy

zestaw elektrod, składający się z belki nośnej, zawieszonych na niej elektrod,

będących powłokami o złożonym kształcie oraz drąga strzepującego.

Do dyskretyzacji układu zastosowano metodę sztywnych elementów

skończonych. Wyniki obliczeń porównano z wynikami otrzymanymi przy

zastosowaniu metody hybrydowej oraz pomiarów na specjalnym stanowisku

badawczym.

1. WSTĘP

Proces usuwania pyłów z elektrod osadczych w znaczącym stopniu wpływa na

skuteczność elektrofiltrów. Ważnymi parametrami, służącymi do oceny elektrofiltrów, są

maksymalne wartości przyspieszeń stycznych i normalnych, pojawiających się w trakcie

drgań elektrod. Ważne dla projektantów są nie tylko wartości maksymalne przyspieszeń, ale

również ich równomierny rozkład. Zależą one przy tym zarówno od geometrii układu

(grubość, długość i kształt elektrod), jak i od siły uderzenia wzbudzającej drgania. Na rys. 1

przedstawiono pojedynczą sekcję elektrod osadczych, będącą przedmiotem modelowania.

Rys.1. Pojedyncza sekcja elektrod osadczych: a) widok ogólny, b) kształt elektrody

SIGMA VI, c) typowy przebieg siły uderzenia

8 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH

Zagadnienie modelowania tego układu było przedmiotem wcześniejszych prac autorów i ich

współpracowników [1], [5]. Do modelowania układu z rys. 1 stosowano metody: hybrydową,

funkcji sklejanych oraz odkształcalnych elementów skończonych. W każdym przypadku

do dyskretyzacji belek stosowano metodę SES [6]. Natomiast w różny sposób modelowano

elektrody. Belki i elektrody połączone są za pomocą elementów sprężysto-tłumiących [5].

W niniejszej pracy do dyskretyzacji układu zastosowano klasyczną metodę sztywnych

elementów skończonych, zarówno do belek, jak i elektrod. Podobne podejście zastosowano

we wspomnianej wyżej metodzie hybrydowej [3]. Każdy ze sztywnych elementów

skończonych (ses) ma sześć stopni swobody (trzy przemieszczenia translacyjne oraz trzy

rotacyjne). Jednak w metodzie hybrydowej energię odkształcenia sprężystego układu

obliczano przy zastosowaniu klasycznej metody odkształcalnych elementów skończonych.

Zdefiniowano własny element o 24 wielkościach węzłowych. Następnie wyrażono

współrzędne elastyczne (odkształcenia w węzłach) poprzez współrzędne ses.

Podejście zastosowane w tej pracy polega na bezpośrednim wykorzystaniu wzorów

na współczynniki sztywności elementów płytowych, podane w [4], przy pewnych

modyfikacjach, które opisano w następnym rozdziale. Implementacja komputerowa tego

podejścia umożliwiła porównanie wyników obliczeń z otrzymanymi metodą hybrydową

i odniesienie ich do wielkości z pomiarów na stanowisku badawczym.

2. METODA SES – PODZIAŁ PIERWOTNY

Cechą charakterystyczną metody SES jest prowadzenie podziałów pierwotnego i wtórnego

obszaru podlegającego dyskretyzacji. W przypadku elektrod podział pierwotny może być

dokonany zgodnie z ich podziałem na płaskie pasma, a następnie na obszary prostokątne

(rys. 2).

Rys.2. Podział elektrody o m pasmach na elementy pierwotne

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ … 9

Jeśli przyjąć, że elektroda ma m pasm o stałych długości L oraz szerokości bj(j=1,…,m)

i podzielić każde pasmo na n prostokątów o bokach ,jb x :

L

xn

, (1)

gdzie L – długość elektrody, to w podziale pierwotnym liczba elementów wynosi:

.pN n m (2)

Kolejnym etapem w metodzie SES jest zastąpienie własności podatnościowych elementów

otrzymanych w podziale pierwotnym przez elementy sprężysto-tłumiące (est). W klasycznym

podejściu [4] proponuje się, aby własności sprężyste elementów odwzorowywały esty

ułożone jak na rys. 3a. Segmenty (1)÷(4), na które podzielono elementy, mają po pięć stopni

swobody, którymi są:

, ,u v z – przemieszczenia translacyjne,

,x y – przemieszczenia rotacyjne,

a współczynniki sztywności est określają zależności:

12 34 23 41

12 34 23 41

12 34 23 41

3 3

12 34 23 41 2

3

12 34

2 2

2 2

2 2

12 24 1x x x x

y y

x x x x

y y y y

z z z z

Eh y Gh xc c c c

x y

Gh y Eh xc c c c

x y

Gh y Gh xc c c c

x y

Gh y Eh xc c c c

x y

Eh yc c

3

23 412 1224 1

y yGh x

c cyx

, (3)

gdzie E – moduł sprężystości Younga, G – moduł odkształcenia postaciowego, υ- liczba

Poissona, h – grubość elektrody. Cechą charakterystyczną tego (klasycznego) postępowania

jest pominięcie możliwości obrotu segmentów (1)÷(4) wokół osi prostopadłych do

płaszczyzny elementu pierwotnego. Jednak w zastosowaniu do elektrod (powłok) o złożonym

kształcie, konieczne jest przyjęcie, że ruch segmentów opisuje sześć współrzędnych (trzy

przemieszczenia translacyjne oraz trzy rotacyjne).

Rys.3. Element pierwotny (– est): a) klasyczne oraz b) proponowane umiejscowienie est

10 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH

Aby ograniczyć obrót segmentów względem osi równoległych do z , wystarczy odsunąć od

siebie elementy sprężysto-tłumiące, tak jak to przedstawiono na rys. 3b. Segmenty mogą

wówczas mieć po sześć stopni swobody, ale ich obroty wokół osi prostopadłych do

płaszczyzny x y są ograniczone przez est.

3. METODA SES – PODZIAŁ WTÓRNY

W podziale wtórnym łączy się sąsiadujące segmenty (jeden, dwa lub cztery), należące do

różnych elementów pierwotnych, w sztywne elementy skończone, jak przedstawiono na rys. 4

oraz rys. 5a.

Rys.4. Numeracja ses elektrody s

W rezultacie otrzymuje się podział elektrody na:

1 1wN m n (4)

elementów sztywnych (ses). Z ses k wiąże się układ osi , , ,, ,C k C k C k x y z , które są głównymi

centralnymi osiami bezwładności elementu. Oś ,C kx jest równoległa do osi x układu

bazowego . Natomiast oś ,C ky jest nachylona do osi y układu bazowego pod kątem

oznaczonym na rys. 5b jako k . Współrzędnymi uogólnionymi ses k są współrzędne wektora:

T

, , ,, , , , , ,k k k k x k y k z kx y z q (5)

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ … 11

gdzie , ,k k kx y z - przemieszczenia translacyjne, , , ,, ,x k y k z k - przemieszczenia rotacyjne.

Rys.5. Ses k: a) jako połączenie segmentów różnych elementów pierwotnych, b) główne

centralne osie bezwładności, c) oznaczenia współrzędnych est w układzie lokalnym ses

Przemieszczenia będące składowymi powyższego wektora określa się względem położenia

w stanie nieodkształconym układu. Wektor współrzędnych uogólnionych elektrody

s przyjmuje postać:

T

( ) ( )T ( )T ( )T

1w

s s s s

k N

q q q q , (6)

a jej energię kinetyczną można przedstawić w postaci:

( ) ( )T ( ) ( )1

2

s s s sT q M q , (7)

gdzie ( ) ( ) ( ) ( )

1=diagw

s s s s

k NM M M M jest macierzą o stałych elementach,

, , ,diag , , , , ,k k k k x k y k z km m m I I IM ; km - masa elementu k; , , ,, ,x k y k z kI I I - momenty

bezwładności ses k względem osi układu , , ,, ,C k C k C k x y z . Sposób obliczania wielkości

, , ,, , , ,k k x k y k z km I I I daje się łatwo zalgorytmizować [1÷3], [5].

4. ENERGIA ODKSZTAŁCENIA EST

Przyjmuje się, że , , ,s i j jest numerem ses, do którego należy segment elementu

pierwotnego ,i j elektrody s. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego elektrody może

być przedstawiona w postaci:

( ) ( )

,

1 1

m ns s

i j

i j

V V

, (8)

gdzie ( )

,

s

i jV jest energią odkształcenia est elementu pierwotnego elektrody s. Wielkości ( )

,

s

i jV

trzeba uzależnić od współrzędnych uogólnionych ses , , ,1s i j ÷ , , ,4s i j . Należy zgodnie

z rys. 3b przyjąć, że:

( ) T T1 1, , , ,12 , , ,12 , , ,12 , , ,23 , , ,23 , , ,232 2

T T1 1, , ,34 , , ,34 , , ,34 , , ,41 , , ,41 , , ,412 2

s

i j s i j s i j s i j s i j s i j s i j

s i j s i j s i j s i j s i j s i j

V

Δ C Δ Δ C Δ

Δ C Δ Δ C Δ, (9)

12 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH

gdzie , , ,12 , , ,23 , , ,34 , , ,41, , ,s i j s i j s i j s i jC C C C są macierzami 5 5 , diagonalnymi, o elementach

określonych wzorami (3), po przyjęciu parametrów odpowiadających elementowi ,i j

elektrody s; , , ,12 , , ,23 , , ,34 , , ,41, , ,s i j s i j s i j s i jΔ Δ Δ Δ są odkształceniami est. Odkształcenia est,

występujące w powyższym wzorze, są wyrażone w układzie współrzędnych elementu

pierwotnego ,i j , a więc nachylonego do osi y układu bazowego pod kątem j . Ponieważ

osie ,C ky ses są nachylone do osi y pod kątem

j , to po przyjęciu oznaczeń jak na rys. 5c,

można określić współrzędne est , , ,s i j w układzie ses , , ,s i j i , , ,s i j według

zależności:

( , ) ( ) ( )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

C

s i j s i j s i j s i j

r U q r , (10.1)

( , ) ( ) ( )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

C

s i j s i j s i j s i j

r U q r , (10.2)

gdzie

( , , , ) ( , , , )

( )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , )

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

s i j s i j

s i j s i j s i j

s i j s i j

z y

z x

y x

U ,

( )

( , , , )

( ) ( )

( , , , ) ( , , , )

( )

( , , , )

s i j

s i j s i j

s i j

x

y

z

r - wektor

współrzędnych lokalnych est w układzie współrzędnych ,( , , , ) ,( , , , ) ,( , , , ), ,C s i j C s i j C s i j x y z ,

1,2 . Współrzędne (10) można wyrazić w układzie współrzędnych elementu ,i j za

pomocą wzorów:

T ( , )

( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , )

C

s i j s i j s i j s i j

r R R r , (11.1)

T ( , )

( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , , , )

C

s i j s i j s i j s i j

r R R r , (11.2)

gdzie ( , , )s i jR , ( , , , )s i j R - macierze transformacji o stałych elementach [5].

Wyrażenia występujące w (9), postaci:

( , ) T1, , , , , , , , , ,2

s

i j s i j s i j s i jV

Δ C Δ , (12)

powodują, że w równaniach ruchu pojawiają się elementy związane z różniczkowaniem

energii (12) względem ( , , , )s i j q i

( , , , )s i j q otrzymując odpowiednie elementy (podmacierze

6 6 ) macierzy sztywności elektrody s.

5. SYNTEZA RÓWNAŃ, WALIDACJA MODELU

Sposób dyskretyzacji (podział na ses i est) belki górnej i drąga strzepującego opisano

szczegółowo we wcześniejszych pracach autorów [2], podobnie, jak sposób łączenia belek

z elektrodami i uwzględniania oddziaływania siły F(t) z rys. 1c. Po uwzględnieniu zależności

przedstawionych w niniejszej pracy, równania ruchu układu można przedstawić w postaci:

Mq Cq G Q , (13)

gdzie M - diagonalna macierz mas, C - macierz sztywności; G - wektor sił ciężkości; Q

- wektor sił uogólnionych wywołanych uderzeniem; T

( )T (1)T ( )T ( )T ( )Tg s p d q q q q q q , ( )sq - określone w (7), ( )gq , ( )dq

METODA SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MODELOWANIU DRGAŃ … 13

- wektory współrzędnych uogólnionych belek. Jeżeli belki górną i dolną podzielono na n(g)

i

n(d)

sztywnych elementów skończonych, to liczba składowych wektora q wynosi:

( ) ( ) ( )

1

6p

g s d

w

s

N n N n

, (14)

gdzie ( ) ( ) ( )1 1s s s

wN n m . Do całkowania równań (13) zastosowano metodę Newmarka.

Ponieważ macierz M jest diagonalna, a macierz C rzadka zastosowano specjalne procedury

do rozwiązywania rzadkich układów równań algebraicznych liniowych.

Model poddano walidacji poprzez porównanie wyników obliczeń z wynikami pomiarów

na specjalnym stanowisku badawczym [5]. Zgodność wyników badano posługując się

wskaźnikami: sprawdzalności 2FAC oraz zgodności q zdefiniowanymi następująco:

1

12

pn

f

s i

ip

FAC a Nn

, (15.1)

1

1 pn

q

s i

ip

q a Nn

, (15.2)

gdzie:

( )

( )

11 dla 2

2

0 w przeciwnym przypadku

i

s

f ii s

o

p

W a

N W a

,

( ) ( )

( )1 dla

0 w przeciwnym przypadku

q

i

i p ios s

p is

N

W a W a

W a

,

i - numer punktu kontrolnego, np – liczba punktów kontrolnych, 0

max s

t T

W a

, T - czas

obliczeń, , ,o p ( )i

s

oW a - wartości uzyskane z obliczeń, ( )ipW a - wartości uzyskane

z pomiarów, , ,s c oznacza odpowiednio przyspieszenie normalne, styczne i całkowite.

Wyniki uznawano za akceptowalne, jeżeli dla badanej wielkości wskaźniki: 2 0,5sFAC a

oraz 0,66sq a .W obliczeniach przyjęto wartość 0,4 . Na rys. 6 przedstawiono oba

wskaźniki.

Rys.6. Walidacja: wskaźniki 2 sFAC a i sq a dla , ,s c

14 I. ADAMIEC-WÓJCIK, S. WOJCIECH

6. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono zastosowanie klasycznej metody sztywnych elementów

skończonych do modelowania powłok o skomplikowanych kształtach na przykładzie

elektrod osadczych elektrofiltrów. Ze względu na konieczność uwzględnienia sześciu stopni

swobody sztywnych elementów skończonych w podziale wtórnym zaproponowano inne

położenie elementów sprężysto-tłumiących w stosunku do klasycznej metody.

Przeprowadzona walidacja modelu, wykonana poprzez porównanie wyników obliczeń

według zaproponowanego modelu oraz metody hybrydowej a także pomiarów na

specjalnym stanowisku badawczym, wskazują na dużą efektywność numeryczną

i poprawność zastosowanych metod.

LITERATURA

1. Adamiec-Wójcik I., Nowak A., Wojciech S.: Comparison of methods for vibration

analysis of electrostatic precipitators. „Acta Mech. Sinica” 2011, 1, Vol. 27, p. 72–79.

2. Adamiec-Wójcik I.: Modelling of systems of collecting electrodes of electrostatic

precipitators by means of the rigid finite element method. „Archive of Mechanical

Engineering”, Versita, 2011, No. 1, Vol. LVIII, p. 27–47.

3. Adamiec-Wójcik I., Nowak A., Wojciech S.: Application of the finite strip method to

modeling of vibrations of collecting electrodes. „Journal of Sound and Vibration” 2012

(zgłoszony do druku).

4. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnych

elementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1975.

5. Nowak A: Modelowanie i pomiary drgań elektrod osadczych elektrofiltrów suchych.

Bielsko-Biała: Wyd. Nauk. Akad. Tech. - Human., 2011. Rozprawy naukowe 35. .

6. Wittbrodt, E., Adamiec-Wójcik, I., Wojciech, S.: Dynamics of flexible multibody

systems rigid finite element method. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006.

RIGID FINITE ELEMENT METHOD IN MODELLING

OF VIBRATIONS OF ELECTROSTATIC PRECIPITATORS

Summary. Collecting electrodes in electrostatic precipitators are cleaned by

inducing vibrations with large accelerations. This paper presents modeling of one

section of electrodes which consists of a supporting beam, system of collecting

electrodes which are treated as shells with complicated shape and a brushing bar.

Discretizsation of the system is carried out by the rigid finite element method. The

results of calculations are compared with those obtained using the hybrid finite

element method and experimental measurements.