METODA ELEMENTELOR FINITE – L7 Catedra de Constructii Hidrotehnice

1

METODA ELEMENTELOR FINITE – L7 Catedra de Constructii Hidrotehnice

CONDENSARE STATICA

y, v

x, u

3

2

4

1

5

1

2

3

4

Procedeul de eliminare a unui nod interior al discretizarii prin reorganizarea sistemului global de ecuatii. Pentru exemplul de fata, are ca rezultat inlocuirea elementelor triunghilare 1 … 4 cu patrulaterul, prin eliminarea nodului interior 5.

i

e

i

e

r

r

δ

δ

kk

kk

2221

1211

Partitionarea sistemului global de ecuatii:

Rezolvarea in di :

eii δkrkδ 211

22

Substituirea:

iee rkkrδkkkk 1221221

1221211

2

cec rδk


- sistemul de ecuatii condensat

- matricea de rigiditate condensata kc

- vectorul incarcarilor condensate rc

Nota: in mod obisnuit nu se asociaza conditii de margine (incarcari concentrate sau GDL cu valori impuse) nodurilor interioare ce urmeaza a fi condensate, astfel

incat rc = re

3


SUBSTRUCTURARE - MACROELEMENTE

Substructurarea este procedeul de formare a macroelementelor.

Macroelementele pot fi creeate pentru acele regiuni ale modelului care nu prezinta comportare neliniara, astfel incat matricile caracteristice nu necesita o reevaluare la fiecare iteratie.

Un macroelement este un element finit complex rezultat din asocierea unui numar de elemente finite obisnuite, prin condensare statica.

Macroelementul va fi stocat in baza de date cu matrici caracteristice proprii, din care sunt eliminate gradele de libertate interioara.

4


eδ

iδ

Macroelement

detaliue – GDL exterioare

i – GDL interioare

- reducerea timpului de procesare pentru structuri (domenii) care contin paternuiri geometrice repetate, in special in cazul analizelor neliniare (se aplica regiunilor care raman in stadiul de comportare liniara);

- rezolvarea modelelor mari cu resurse de calcul limitate

5


Scopul este de a mentine numai GDL exterioare pentru faza de procesare (solutie) prin eliminarea GDL interioare.

0)(δ

11

eeeiieieeTeiieie

e

EERδKRKKRδKKKK

EEEE

EERδK

δ

En

E1kK

Minimizarea functionalei EE la nivelul macroelementului

Prin substituirea GDL interioara

Procedeul de asamblare a matricii de rigiditate globale si a vectorului incarcarii iau in considerare numai variabilele asociate conturului macroelementului (asociate nodurilor de pe conturul acestuia).

eee RδK

6


Energia potentiala totala a sistemului se separa dupa cum urmeaza

t n m

Ee EEEE1 1 1

- n – numarul elementelor finite obisnuite din discretizare

- m – numarul de macroelemente di discretizare

m

e

n

e11KkK n m

ee1 1

RrR

Sistemul de ecuatii redus:

Prin rezolvarea acestuia se obtin valorile GDL exterioare e. Revenind la primul set de ecuatii obtinut prin partitionare

iieTei

-ii RKδKKδ 11

Reasambland E = e + i

RKδ e

7


Aplicare practica: o analiza prin substructurarea modelului implica 3 pasi distincti:

- definirea (definition step);

- solutia (solution step);

- detalierea (expansion step).

Definirea: elementele obisnuite sunt condensate in cadrul macroelementului, prin alegerea unor GDL master care au rolul de a defini interfata intre macroelement si zonele adiacente.

Singura restrictie se refera la comportarea liniara a acestora.

Alegerea GLD master:

- trebuie sa permita conectarea tuturor elementelor finite obisnuite sau a altor macroelemente pe conturul macroelementului;- trebuie sa corespunda tuturor locatiilor (pozitiilor) conditiilor de margine (restrictiilor) si ale incarcarilor concentrate;- daca macroelementul este utilizat intr-o analiza dinamica, ele caracterizeaza comportarea dinamica a modelului (mase concentrate in aceste locatii).

8


Detalierea: se calculeaza GDL interioare.

Pasul se aplica independent tuturor macroelementelor pentru care se doresc rezultate interioare.

Solutia: se efectueaza utilizand modelul asamblat din elemente obisnuite si macroelemente. Rezultatul consta in valorile GLD corespunzatoare nodurilor elementelor obisnuite si GLD master pentru macroelemente.

Deoarece nu sunt disponibile rezultate privind GDL interioare, solutia este denumita solutia redusa.

9


Substructurarea de jos in sus (bottom-up) (potrivita pentru modele mari):

Fiecare macroelement este creeat separat intr-o etapa de generare individuala, iar macroelementele sunt asamblate in faza de solutie.

Substructurarea de sus in jos (top-down) (potrivita pentru modele mici):

- se construieste intregul model din elemente finite obisnuite, incluzand toate zonele (cu si fara viitoare macroelemente);- se genereaza macroelemente prin selectarea convenabila a elementelor finite obisnuite din discretizare si asocierea lor;- se executa solutia;- se executa detalierea separat pentru fiecare macroelement care przinta interes.

10


ELEMENTE FINITE PENTRU PLACI

Placile sunt solide tridimensionale adesea utilizate in ingineria civila (diafragme, plansee, rezervoare, acoperisuri, etc).

Placi plane (plates)

Placi curbe (shells)

Principala caracteristica: grosimea redusa t in raport cu suprafata.

Abordari posibile:

- utilizand elemente de clasa C1, bazate pe teoria placilor subtiri (vezi curs T.E.); in acest caz se defineste numai planul median al placii si sunt indeplinite o serie de ipoteze simplificatoare;

- considerand placile drept cazuri speciale de solide 3D, utilizand elemente patratice de clasa C0.

11


Ipoteze de baza pentru placi plane si curbe subtiri (elemente de clasa C1) :

- eforturile unitare normale pe planul median (z) sunt suficient de mici incat sa fie neglijate;- normala n la planul median ramane dreapta si normala pe suprafata placii in timpul si dupa deformarea acesteia;- deformatiile specifice si eforturile unitare au o distributie liniara pe grosimea placii;- deformatiile (sagetile) sunt mici in comparatie cu dimensiunile placii.

In teoria placilor subtiri, deplasarile in planul placii (u, v) sunt neglijate in mod obisnuit, forma deformata fiind definita complet de deplasarea normala w (x, y).

Pentru placile supuse la incovoiere pura, eforturile din planul placii sunt si ele neglijate (efect de membrana suprimat).

12


)(ux)(vy

)(wz

q

xym

ym

xm

xym

xym

ym

xym

xm

022

2

2

2

2

qyx

m

y

m

x

m xyyx

- mx si my momente incovoietoare pe unitatea de lungime

- mxy moment de rasucire pe unitatea de lungime

- q incarcarea distribuita pe unitatea de suprafata

In formularea generala, deformatiile specifice sunt impartite in deormatiile specifice din planul placii, datorate incovoierii (x, y, xy) si deformatiile specifice datorate forfecarii transversale (xz, yz).

13


x

θz

x

u xx

y

θz

y

v yy

x

θ

y

θz

x

v

y

u yxxy

x

wθ

x

w

z

uxxz

y

wθ

y

w

z

vyyz

y

x

xy

y

x

θ

θ

xy

y

x

z

γ

ε

ε

0

0

w

y

xθ

θ

γ

γ

y

x

yz

xz

Relatii de baza:

14


Prin introducerea conceptului de deformatie specifica generalizata

gg Eεσ Relatia efort unitar – deformatie specifica devine:

zt

mxx 3

12 z

t

myy 3

12 z

t

mxyxy 3

12

Tinand seama de distributia liniara a eforturilor si deformatiilor pe grosimea placii, rezulta:

y

x

xy

y

x

g θ

θ

xy

y

x

z

γ

ε

ε

0

0

ε

15


Pentru o placa omogena si izotropa, de grosime constanta, conditia de echilibru se reduce la ecuatia bi-armonica:

0)1(12

23

2

4

4

22

4

4

4

Etq

y

w

yx

w

x

w

Principiul variational se poate exprima prin minimizarea energiei potentiale totale asociate efectului de incovoiere:

AA

TgA

Tg wqdAdAdAE(min) s

2

1

2

1

In cazul placilor subtiri (placi Kirchoff), forfecare transversala se neglijeaza, = 0, rezulta:

AgA

Tg wqdAdAE(min)

2

1

Functionala contine derivate de ordinul II ale functiei necunoscute w(x, y), fiind astfel necesara asigurarea clasei de continuitate C1 pentru functiile de aproximare.

16


Un element de placa preia incarcarea prin ambele efecte – incovoiere si membrana (efectul de membrana introduce eforturi in planul placii datorate deplasarilor u si v).

Energia potentiala totala este:

V Vg

TgV V

TTp wqdVdVfdVddVE

2

1

2

1

- primul set de termeni exprima energia de deformatie datorata eforturilor si deformatiilor in planul placii;

- al doilea set de termeni exprima energia de deformatie datorata deformatiilor si eforturilor generalizate (curbura si moment incovoietor unitar).

xFyF

)(ux)(vy)(wz

xMyM

xyxy

z

17


GDL sunt u si v pentru efectul de membrana si w, x, y pentru efectul de incovoiere.

Solutia in elemente finite conduce la urmatoarea expresie a energiei potentiale totale:

b

Tbbb

Tbm

Tmmm

Tme,pE rδδkδ

2

1rδδkδ

2

1

Expresia pune in evidenta faptul ca cele doua efecte sunt independente (efectul de incovoiere nu afecteaza efectul de membrana si invers).

18

xy

z

t

a

b

Elemente de clasa C0 – solide 3D

Datorita formei geometrice curbe, cel mai potrivit este un element finit isoparametric patratic

- grosime t relativ redusa fata de celelalte dimensiuni ale planului median: sistemul de ecuatii global prost conditionat;

- numar mare de GDL (203 = 60 GDL): creste memoria de stocare necesara si timpul de calcul;

- nodul median plasat pe grosimea elementului violeaza ipoteza normalei drepte la suprafata mediana a elementului.


19


ELEMENTE DE CONTACT

Din varii motive, solutii aflate initial in contact devin separate prin rosturi sau prezinta lunecari relative in lungul suprafetelor de contact. Un model detaliat trebuie uneori sa simuleze aceste efecte, pentru a pune in evidenta comportarea reala a structurii.

plot i plot j plot k

Rost permanent Rost permanent

Nivel coronament

nivel fundatie

Starea rostului (inchisa sau deschisa, cu lunecare sau gripata) depinde de nivelul apei in amonte si de distributia campului termic, fiind variabila in timp.

20


La simularea unei excavatii sprijinite, structura de sprijin sufera deformatii in functie de nivelul excavatiei si de pozitia spraiturilor

Uneori, contactul intre masiv si structura dispare pe anumite portiuni.

Strat necoeziv

Strat coeziv

forta

sprait

H1

H2

desprindere

Nivel teren

Nivel excavatie

In aceste zone, tensiuile intre masiv si structura trebuie sa dispara.

21


CONTACT NOD - NOD

z

y

x

gap

x

y

z

i

j

Permite mentinerea sau anularea contactului fizic intre doua suprafete, sau lunecarea lor relativa.

Suporta compresiune pe directie normala la suprafata de contact si forfecare in lungul directiei tangentiale.

Orientarea suprafetei de contact (sau lunecare) este data de pozitia initiala a nodurilor care definesc elementul de contact (normala la directia i - j).

22


In conformitate cu modelul de frecare Coulomb, doua suprafate in contact pot suporta eforturi de forfecare relativa pana la un anumit nivel. Odata ce eforturile de forfecare echivalente depasesc aceasta limita, cele doua suprafete vor manifesta lunecare relativa

cn lim

lim

Comportarea elementului depinde de starea lui curenta:

- inchis si gripat;

- inchis cu lunecare;

- deschis.

Rostul initial, definit in mod obisnuit de pozitia nodurilor i si j, se schimba odata cu depaasarile nodale calculate.

23

CONTACT NOD - SUPRAFATA

Atunci cand un contact precis nod- nod nu se poate realiza.

Contactul apare de fiecare data cand nodul de contact k penetreaza suprafata tinta i - j


METODA ELEMENTELOR FINITE – L7 Catedra de Constructii Hidrotehnice

Documents

Transcript of METODA ELEMENTELOR FINITE – L7 Catedra de Constructii Hidrotehnice