Jednačine grede

117

JEDNAČINE GREDE

444

4.1. Uvod Greda je najčešći konstrukcioni element u strukturama mostova, tornjeva, zgrada i drugih objekata. Prilikom proračuna smatra se da je greda prava i da ima konstantan poprečni presjek. Svaki čvor elementa grede ima dva stepena slobode i to pomjeranje poprečno na gredu i rotaciju oko ose okomite na gredu. Opterećenja u čvorovima su poprečne (transverzalne) sile i momenti savijanja. Naći rješenje greda znači odrediti nepoznate sile i nepoznata pomjeranja u čvorovima. Opterećenje greda sastoji se od koncentrisanih sila i kontinuiranog opterećenja. U narednom razmatranju problema greda, biće izvedena matrica krutosti za element greda sa zglobom u čvoru. Poslije toga jednačine za računanje sile i pomjeranja biće izvedene korištenjem minimuma potencijalne energije, a potom i Galerkinovog metoda reziduala za element grede.

4.2. Krutost grede Po definiciji greda je dug i tanak element strukture izložen djelovanju poprečnog opterećenja koje dovodi do savijanja koje je mnogo izraženije u odnosu na uvijanje ili aksijalne efekte. Usljed savijanja javlja se poprečno (transverzalno) pomjeranje ili ugib i rotacija ili nagib. U čvoru se javljaju dva stepena slobode pomjeranje i rotacija za razliku od štapa gdje se javlja samo aksijalno pomjeranje. Na slici 4.1. prikazan je element grede. Greda je dužine L u lokalnom koordinatnom sistemu (x, y). U tom sistemu poprečno pomjeranje su ugibi

Jednačine grede

118

iyd , a rotacije tj nagibi i . Sile u lokalnom sistemu su iyf i momenti

savijanja im . Svi aksijalni uticaji se zanemaruju.

Slika 4.1. a) Element grede, pozitivna pomjeranja u čvorovima, rotacije sile i momenti

b) Konvencija o znaku sila i momenata U svim proračunima koriste se konvencije o predznacima: Momenti su pozitivni ako su suprotnog znaka od kretanja kazaljke na

satu. Nagibi su pozitivni ako su suprotnog znaka od kretanja kazaljke na

satu. Sile su pozitivne ako su istog znaka kao +y osa. Ugibi su pozitivni ako su istog znaka kao +y osa. Na slici 4.2 prikazano je djelovanje kontinuiranog opterećenja w(x)

duzina

sila na gredu.

Slika 4.2. a) Djelovanje kontinuiranog opterećenja na gredu; b) Savijanje elementa grede

V V

L

m2

2

y

x

f1y d1y

m1

1 L

f2y d2y

a) b)

m m

dx

M

v

y

x

w(x)

a) b)

V+dV V

w(x) M+dM

Jednačine grede

119

Kada se za element na slici 4.2.b postave uslovi statičke ravnoteže

dx

dMVdMVdx

dx

dVwdxwdV

;0

;0 (4.1)

dobiju se veze kontinualnog opterećenja i sile, te sile i momenta. Izraz za krivinu k izveden je u otpornosti materijala. Za čisto savijanje glasi:

1

EI

Mk ,

gdje je I moment inercije za osu z okomitu na x i y u lokalnom koordinatnom

sistemu. Za male zakrivljenosti ,dx

dv krivina je

2

2

)(dx

vdk

Korištenjem gornjih jednačina zakrivljenost se može pisati u obliku:

EI

M

dx

vd

2

2

)(

Zamjenom M iz prethodne jednačine dobije se:

0)(

0)()(

4

4

2

2

2

2

dx

vdEI

dx

vdEI

dx

d

(4.2)

Za rješavanje problema greda pomoću konačnih elemenata najvažniji korak je postavljanje matrice krutosti. Da bi se napisala matrica krutosti elementa grede treba napraviti slijedeće korake: 1. Izvrši se izbor vrste elementa, tako što se usvoji odgovarajući tip

elementa (onaj koji najbolje odgovara problemu koji se rješava), nakon čega se obilježe čvorovi.

2. Izabere se funkcija promjeranja.

Jednačine grede

120

Poprečno pomjeranje duž grede treba pretpostaviti u obliku kubnog polinoma. v(x) = a1 (x)3 + a2 (x)2 + a3 (x) + a4 (4.3) Kubna funkcija je pogodna jer u dva čvora ima po dva nepoznata pomjeranja – ukupno 4 a funkcija (4.3) ima 4 člana. Također funkcija zadovoljava osnovne jednačine štapa i uslove kontinuiteta između elemenata u čvorovima koji povezuju elemente.

v je funkcija čvornih pomjeranja 2121 ,, yy dd , tj. stepeni slobode

elementa grede.

223

)(

2)(

1)0(

0

1)0(0

322

12

432

23

12

31

41

čvoruu

rotacijaaLaLa

dx

LvdLxza

čvoruu

pomjeranje

aLaLaLadLvLxza

čvoruu

rotacija

adx

vdxza

čvoruu

pomjeranjepoprečop

advxza

y

y

(4.4)

Jednačina (4.3) se rješava kada se odrede koeficijenti a1 do a4 i dobije se:

yyy

yy

dxxL

ddL

xL

ddL

v

112

21212

3212213

)(213

)(12

(4.5)

ili u matričnom obliku: dNv (4.6) gdje je:

Jednačine grede

121

4321

2

2

1

1

; NNNNNd

d

dy

y

(4.7)

gdje je:

22334

2333

322332

32331

)()(1

)(3)(21

)()(2)(21

)(3)(21

LxLxL

N

LxxL

N

LxLxLxL

N

LLxxL

N

(4.8)

Funkcije N1, N2, N3 i N4 su funkcije oblika za element grede. Vrijednosti funkcija oblika kreću se od 0 do 1. Npr. N1 = 1 u čvoru 1 N1 = 0 u čvoru 2.

Funkcija N2 pridružena je ugibu 1, 12 dx

dN u čvoru 1.

Treći korak u postupku definisanja matrice krutosti grede je postavljanje relacije deformacija – pomjeranje i napon – deformacija Za aksijalno stanje napona važi relacija:

dx

duyxx ),( (4.9)

gdje je u funkcija aksijalnog pomjeranja. Na slici 4.3. je deformirani oblik grede sa kojeg se može vidjeti odnos između aksijalnog i transverzalnog pomjeranja:

.dx

dvyu (4.10)

Jednačine grede

122

Slika 4.3. a) nedeformirana greda; b) deformirana greda Iz otpornosti materijala poznato je da presjeci poslije deformacije savijanja

ostaju nedeformirani samo se zaokrenu za ugao dx

dv. Može se pisati da je:

2

2

)()(

xd

vdyxyx (4.11)

Veza momenta savijanja i transverzalne sile sa pomjeranjima je:

3

32

2

2

)()()(

xd

vdEIV

xd

vdEIxm (4.12)

Četvrti korak je postavljanje matrice krutosti i jednačina. Koristeći direktni pristup odrede se elementi matrice i jednačine.

22

212

132

2

2

221133

3

2

22

212

132

2

1

221133

3

1

4626)(

)(

612612)(

)(

2646)(

)0(

612612)(

)0(

LLdLLdL

EI

xd

LvdEImm

LdLdL

EI

xd

LvdEIVf

LLdLLdL

EI

xd

vdEImm

LdLdL

EI

xd

vdEIVf

yy

yyy

yy

yyy

(4.13)

dkf (4.14)

-y

D

C

B

A

z

v x

D

C

B

A

dx

y

u

dx

dv

dx

dv

Jednačine grede

123

2

2

1

1

22

22

3

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

y

y

y

y

d

d

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

m

f

m

f

(4.15)

gdje je matrica krutosti elemenata grede:

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIk (4.16)

Nakon što je određena matrica krutosti elementa grede vrši se sastavljanje globalnih jednačina i uvođenje graničnih uslova. Postupak se može najbolje objasniti na konkretnom primjeru. Neka je to greda konstantne savojne krutosti =EI. Na sredini grede, slika 4.4., djeluju sila V = 1000 N i moment m = 1000 Ncm.

Slika 4.4 Greda opterećena silom i momentom Greda se distretizira na dva konačna elementa, svaki dužine L. To su elementi 1 i 2. Ako se koristi matrica krutosti (4.16), iznad matrica su naznačeni stepeni slobode pridruženi svakom elementu:

y

31 2

m

1 2

L LV

Jednačine grede

124

d1y 1 d2y 2

22

22

3

)1(

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIk (4.17)

d2y 2 d3y 3

22

22

3

)2(

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIk (4.18)

Lokalni i globalni koordinatni sistemi se poklapaju. Matrice krutosti dobiju se sabiranjem matrica krutosti elemenata 1 i 2 ili bolje rečeno združivanjem matrica (4.17) i (4.18): d1y 1 d2y 2 d3y 3

3

3

2

2

1

1

22

2222

22

3

3

3

2

2

1

1

462600

61261200

26446626

612661212612

002646

00612612

y

y

y

y

y

y

d

d

d

LLLL

LL

LLLLLLLL

LLLL

LLLL

LL

L

EI

M

F

M

F

M

F

(4.19)

Šematski se matrica krutosti iz (4.19) može prikazati kao:

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

00

00

00

00

Slika 4.5. Šematski prikaz sabiranja matrica (4.17) i (4.18)

0 0 0 0

0 0 0 0

Oznake: - članovi matrice (1) x članovi matrice (2) 0 nulti članovi matrice

Jednačine grede

125

Nakon postavljanja izraza (4.19) uvrste se granični uslovi za pomjeranja. Oslonci konkretne grede određuju da je 1 = 0 d1y = 0 d3y = 0, pa su nepoznata pomjeranja nagibi 2 i 3 i ugib d2y. Poznata sila i moment V = F2y = -1000 N i M2 = m = 1000 Ncm djeluju u čvoru 2. Nepoznate su poprečne sile F1y, F3y i moment M1 dok je moment M3 = 0, s obzirom da je čvor 3 kraj grede. Kada se sve to uvrsti u jednačinu (4.19) i izvrši particija po nepoznatim pomjeranjima dobije se jednačina (4.20):

3

2

2

22

223

426

280

6024

0

1000

1000

yd

LLL

LL

L

L

EI (4.20)

Iz jednačine se izračunaju d2y , 2 i 3 , a onda iz jednačine (4.19) nepoznate sile F1y, F3y i M1. Primjer 4.1. Korištenjem direktnog metoda odrediti nagibe, ugibe i reakcije za nosač na slici 4.6. Savojna krutost = EI = const, a dužina je 2L.

Slika 4.6. Konzolni nosač Nosač se diskretizuje na 2 elementa grede koji imaju na kraju čvorove 1 i 2, odnosno 2 i 3. Ukupna matrica krutosti je:

P

L L

1 2 3

Jednačine grede

126

d1y 1 d2y 2 d3y 3

2

222

22

3

4

612

2644

612661212

00264

00612612

L

L

LLLL

LLL

LLL

LL

L

EIK (4.21)

3

3

2

2

1

1

2

22

22

3

3

3

2

2

1

1

4

612

268

612024

00264

00612612

y

y

y

y

y

y

d

d

d

L

L

LLL

L

LLL

LL

L

EI

M

F

M

F

M

F

(4.22)

Granični uslovi su: d2y = 0 d3y = 0 3 = 0. Izvrši se particija matrica po nepoznatim pomjeranjima d1y 1 i 2.

2

1

1

22

223

426

246

6612

0

0

yd

LLL

LLL

LL

L

EIP

(4.23)

Transformacijom izraza (4.23)na način opisan u prilogu može se pisati:

ydLLL

LLL

LLL

L

EI

P 1

2

1

22

222

22

3

426

242

624

0

0

(4.24)

Matrica krutosti kC je kondenzovana i za ovaj slučaj je:

Jednačine grede

127

L

L

LL

LLLL

L

EIkc 6

6

82

246612

1

22

22

3 (4.25)

7

123L

EIkc (4.26)

Pkd cy1

1 (4.27)

EI

PLd y 12

7 3

1 (4.28)

EI

PL

L

L

LL

LLd12

7

6

6

7

1

14

114

1

7

23

22

22

2

11

(4.29)

EI

PL

EI

PL

44

3 2

2

2

1 (4.30)

Nakon određivanja globalnih ugiba i nagiba treba odrediti nepoznate sile iz jednačine (4.22) U jednačinu se uvrste izračunati ugibi i nagibi u vektor pomjeranja. Nepoznate sile su: F2y, F3y, M3, a poznate F1y = -P M1 = 0 i M2 = 0.

Dobiju se rješenja za F2y = 2

5 P, PLMPF y 2

1,

2

333 a dijagrami

transverzalnih sila i momenata savijanja dati su na slici 4.7.

Slika 4.7. Dijagram transverzalnih sila i momenata savijanja za problem na slici 4.6

-PL

3/2 P

-P

½ PL

Jednačine grede

128

4.3. Kontinuirano opterećenje Osim koncentrisanog opterećenja, grede mogu biti izložene djelovanju kontinuiranog opterećenja. Kod računanja opterećenja i unošenja u vektor opterećenja kontinuirano opterećenje se proračuna u koncentrisano i rasporedi u susjedne čvorove u vidu sila i momenata. Rad koji vrši kontinuirano opterećenje jednak je radu koncentrisanih sila raspoređenih u čvorovima na odgovarajućim pomjeranjima. Za nosač na slici (4.8) rad kontinuiranog opterećenja dat je izrazom (4.31): a) b)

Slika 4.8. a) Nosač opterećen kontinuiranim opterećenjem b) Kontinuirano opterećenje zamijenjeno

koncentrisanim silama i momentima

dxxvxwWL

kont )()(0 (4.31)

Ako se posmatra diskretni sistem na slici 4.8.b onda rad vrše momenti i sile u čvorovima 1 i 2 na pomjeranjima na tim mjestima pa je:

yyyydiskr dfdfmmW 22112211 (4.32)

Mogu se odrediti momenti i sile kojima je zamjenjeno kontinuirano opterećenje: f1y, f2y, m1, m2. Radovi kontinuiranog opterećenja i diskretnog sistema su jednaki.

x

L

2

w(x)v

1

y

m2

wL/2 wL/2

m1

L21

f1y f2y

Jednačine grede

129

Da bi se ovaj pristup ilustrirao posmatraće se jednostavan slučaj (slika 4.9). Primjer 4.2. Greda prikazana na slici 4.9. je izložena djelovanju kontinuiranog opterećenja. Treba naći sile u čvorovima. a) b)

Slika 4.9. a) Greda izložena djelovanju ravnomjernog kontinuiranog opterećenja

b) zamjena kontinuiranog opterećenja koncentrisanim silama Oslonci nisu prikazani jer nisu bitni za analizu koja se vrši. Rad diskretnih sila jednak je radu kontinuiranog opterećenja

Wdiskr = Wkont

kada se koriste pomjeranja i rotacije u čvorovima za koje odgovarajuće sile vrše rad:

yyyy

L

dfdfmmdxxvxw 221122

0

11)()( (4.33)

Jednačinom (4.5) definirano je pomjeranje v. Kada se uvrsti w = - w, kao na slici i v iz (4.5) dobije se (4.34):

f2y m2

wL/2 wL/2

m1

L21

f1y

x

L

2

w(x)v

1

Jednačine grede

130

wLdwLwL

ddLwwL

ddLw

dxxvxw

y

yyyy

L

1

2

121

2

1221

2

21

0

22

3

42)()(

(4.34)

Opterećenja se određuju za slučaj maksimalnih pomjeranja ili rotacija. npr.

za 11 , a 000 122 yy dd dobije se:

1223

2

4)1(

222

2

1

wLw

LwL

wLm

(4.35)

Sljedeće za 00,01 1212 yy dda dobije se:

1234

)1(222

2

wLwLwLm

(4.36)

Nakon toga se uzme da je 000,1 2121 yy dad .

Dobije se:

221

LwLwLw

Lwf y (4.37)

I na kraju za 00,0,1 2112 idad yy

222

LwLw

Lwf y (4.38)

U opštem slučaju moguće je bilo koju funkciju opterećenja w (x) pomnožiti sa v i naći integral (4.33) da bi se dobile sile i momenti kojima se zamjenjuje kontinuirano opterećenje. Za različite vrste opterećenja date su u tablicama odgovarajuće sile u čvorovima.

Jednačine grede

131

4.4. Opća formulacija Opća jednačina strukture za kontinuirano ili diskretno opterećenje koje djeluje na elemenat štapa je: 0FdKF (4.39)

gdje: 0F predstavlja vektor ekvivalentnih čvornih sila u globalnim

koordinatama. Vrijednost sila odgovara pomjeranjima na tim mjestima bez obzira da li je opterećenje kontinuirano ili kocentrisano. Vektor F osim koncentriranih sila sadrži i nepoznate reakcije. U primjeru na slici 4.9 nisu zadane koncentrisane sile, a nema ni oslonaca pa ni reakcija zbog čega je F = 0 zato se (4.39) može pisati kao (4.40) dKF 0 (4.40)

Iz jednačine (4.40) nađe se d a tada se zamijene vrijednosti čvornih sila

u jednačinu (4.39) i izračunaju sile u F . I ova procedura može se pokazati na konkretnom jednostavnom primjeru. Primjer 4.3. a) b)

Slika 4.10 Konzola opterećena kontinuiranim opterećenjem i ekvivalentne čvorne sile

x

L

2

wv

1

wL2/12 wL2/12

L21

wL/2 wL/2

Jednačine grede

132

Za konzolu na slici izračunati ugibe i nagibe, a potom sile u čvorovima ako je EI = const. Prvo se konzola diskretizuje jednom gredom tj. jednim elementom. Zatim se kontinuirano opterećenje pretvori u čvorne sile (4.10b) korištenjem izraza za rad. Radovi sila u čvorovima su ekvivalentni radovima kontinuiranog opterećenja koje djeluje duž cijele grede. Nepoznata pomjeranja su ugib i nagib u čvoru 2. Matrica krutosti se dobije tako što se krene od izraza (4.4) za element grede.

23 46

612

LL

L

L

EIk (4.41)

Vektor ekvivalentnih čvornih sila prema (4.40) je:

12

2

46

6122

2

2

23 wL

wLd

LL

L

L

EI y

(4.42)

Prethodno su usvojeni granični uslovi da je d1y = 0 1 = 0 pa se (4.43) dobije poslije množenja (4.42) inverznom matricom matrice k

12

2

63

32

6 2

2

2

2

wL

wL

L

LL

EI

Ld y

(4.43)

EI

wL

EI

wLd y

6

83

4

2

2

(4.44)

Rješenja za d2y i 2 su tačna rješenja. Nakon što su određena pomjeranja računaju se efektivne sile u globalnim koordinatama.To su sile koje su zbir kako reakcija tako i čvornih sila:

Jednačine grede

133

EI

wL

EI

wL

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EI

M

F

M

F

y

y

6

8

0

0

4626

612612

2646

612612

3

4

22

22

3

2

2

1

1

(4.45)

Poslije množenja matrica na desnoj strani dobije se:

12

2

12

5

2

2

2

2

2

1

1

wL

wL

wL

wL

M

F

M

F

y

y

(4.46)

Tražene sile prema (4.39) su:

0

02

12

2

12

2

12

2

12

5

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

wL

M

F

M

F

y

y

(4.47)

F1y i M1 su reakcije u osloncu 1, dok u čvoru 2 nema oslonaca pa su reakcije 0. Tražena pomjeranja dobivena su iz (4.44), a sile iz (4.47).

Jednačine grede

134

4.5. Dobivanje jednačina grede primjenom principa o minimumu potencijalne energije

Ukupna potencijalna energija grede je zbir unutrašnje energije deformacije i potencijalne energije vanjskih sila

p = U + gdje je:

v

xx dVU 2

1- unutrašnja energija deformacije cijelog volumena

- potencijalna energija vanjskih sila za jedan element

1

2

1 1s i

n

miiiyiyy mdPdsvT (4.48)

U jednačini (4.48) članovi sa desne strane su poprečno površinsko opterećenje po jedinici površine s1, koncentrisane sile u čvorovima i momenti. v predstavlja funkciju pomjeranja za element grede dužine L prikazane na slici 4.11.

Slika 4.11. Greda opterećena površinskim opterećenjem i silama u čvorovima

Elementarna zapremina je: dV = dA dx (4.49) pri čemu je poprečni presjek konstantan a x lokalna koordinata.

P1y P2y

x

L 2

Ty

y

1

m m

Jednačine grede

135

Elementarna površina na koju djeluje opterećenje je: dS = b dx (4.50) gdje je b konstantna širina grede. Ukupna potencijalna energija štapa sa slike 4.11 je:

L

iiiiyiyyxx

A

p mdPdxvTbdxdA0

2

12

1 (4.51)

Veza između pomjeranja i deformacija je:

2

2

)(dx

vdyx

dL

LxL

L

Lx

L

LxL

L

Lxyx

3

2

33

2

3

2661246612 (4.52)

ili dByx (4.53)

gdje je:

3

2

33

2

3

2661246612

L

LxL

L

Lx

L

LxL

L

LxB (4.54)

Veza napona i deformacija je:

ED

D xx

(4.55)

Uvrštavanjem (4.53) u (4.55) dobije se: dDByx (4.56)

Ukupna potencijalna energija elementa grede može se napisati u matričnom obliku kao:

Jednačine grede

136

A

LTT

yxT

xp PddxvTbdxdA02

1 (4.57)

Kada se u (4.57) uvrsti yTbw i prethodno izvedeni matrični izraz sa x

potencijalna energija postaje:

L L

TTTTTp PddxNdwdxdBBd

EI

0 02 (4.58)

Potencijalna energija se diferencira po 2211 ,, idd yy i svaki izvod

izjednači sa nulom da se minimizira potencijal. Tako se dobiju četiri jednačine čiji je matrični oblik:

L L

TT PwdxNddxBBEI0 0

0 (4.59)

Matrica čvornih sila je zbir ekvivalentnih sila kojima je zamijenjeno kontinuirano opterećenje i sila u čvorovima. U lokalnim koordinatama vektor sila je:

PdxwNfL

T 0

(4.60)

Koristeći jednačinu (4.60) četiri jednačine su ekvivalentne jednačinama (4.59). Iz jednačina (4.59) i (4.60), znajući da je:

dkf dobije se da je:

L

T dxBBEIk0

(4.61)

Jednačine grede

137

4.6. Ravni okviri Kao što su rešetke izrađene od štapova analizirane i rješavane na kraju poglavlja o štapovima, tako će se i ravni okviri koji se sastoje od greda analizirati nakon izvođenja osnovnih jednačina greda. Mnoge strukture su sastavljene od okvira ili niza greda. Prvo će se izvesti matrica krutosti za proizvoljni element grede u ravni. Uvodi se i aksijalno pomjeranje u čvoru za element grede, tj različite vrste oslonaca kao i nagnuti ili zakrenuti oslonci.

4.6.1. Dvodimenzionalni element grede Na slici 4.12. prikazan je element grede u lokalnom koordinatnom sistemu (x, y) sa pomjeranjima i silama datim u čvorovima. Veza između pomjeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu data je izrazom (4.62):

Slika 4.12. Proizvoljno postavljeni element grede u ravni

y

x

l

y

x

d

d

CS

SC

d

d (4.62)

Za element grede izraz (4.60) se može napisati kao:

y d2

y lokalno

d1

x

L

x lokalno 2

1

Jednačine grede

138

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

100000

0000

000100

0000

y

x

y

xl

y

y

d

d

d

d

CS

CS

d

d

(4.63)

gdje je transformaciona matrica:

100000

0000

000100

0000

CS

CS

T (4.64)

Jednačina (4.63) je invarijantna s obzirom na bilo koji koordinatni sistem.

Npr. 1111 mmi ll normalan na lokalnu x1, y1 ili globalnu x, y ravan, tj. u pravcu lokalne ose z' ili globalne z. Ako se matrica (4.64) uvrsti u izraz za lokalnu matricu k dobije se k=TT ke T tj.

2

2

2

22

22

22

3

4

612

61212

2664

61212612

6121261212

L

LCC

LSSCS

LLCLSL

LCCSCLSC

LSSCSLSSCS

L

EIk (4.65)

Matrica (4.65) je globalna matrica krutosti grede i uključuje poprečne i savojne otpore. Lokalni aksijalni efekti nisu još uključeni. Množenje matrica TT k T obavlja pomoću računara, a u programima koji se koriste za proračune metodom konačnih elemenata postoji neki podprogram koji obavlja ovu radnju. Dalje treba posmatrati opterećenja grede i njihovo djelovanje, slika 4.13.

Jednačine grede

139

Slika 4.13. Greda opterećena u čvorovima Veza između lokalnog opterećenja i pomjeranja čvorova prije je izvedena i njom se unose aksijalni efekti:

x

x

x

x

d

d

L

AE

f

f

2

1

2

1

11

11 (4.66)

Zajedno sa već izvedenim izrazima za pomjeranje dobije se jednačina u lokalnim kooridnatama:

2

2

2

1

1

1

22222

2222

11

222

222

2222

11

2

2

2

1

1

1

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

LCLCLCLC

LCCLCC

CC

m

f

f

m

f

f

(4.67)

gdje je: 321 L

EIC

L

AEC

Sada matrica krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu u izrazu (4.65) uključuje osim savojnih i aksijalne efekte u x pravcu. Veza između lokalnih i globalnih pomjeranja ostvaruje se pomoću T transformacione matrice.

y m2

y lokalno

f1y

x

f2x f1y

m1

x lokalno

Jednačine grede

140

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

100000

0000

0000

000100

0000

0000

y

x

y

x

l

y

x

y

x

d

d

d

d

CS

SC

CS

SC

d

d

d

d

(4.68)

Globalna matrica krutosti dobije se po izrazu (4.69)

TkTK lT (4.69)

I

CL

IC

L

IAS

CL

ICS

L

IAS

L

IAC

ICL

IS

L

II

CL

IC

L

IASCS

L

IAC

L

IC

L

IAS

SL

ICS

L

IAS

L

IACS

L

ICS

L

IAS

L

IAC

L

EK

4

612

61212

266

4

61212612

6121261212

22

2

22

22

22

22

22

2

22

22

22

22

(4.70)

Primjenjujući izvedene izraze može se definirati i okvir kao struktura sastavljena od čvrsto povezanih greda. Uglovi između članova se ne mijenjaju prije i poslije deformacije. Primjer 4.4. Element 2 u obliku štapa služi da ukruti konzolu 1 kako je prikazano na slici 4.14. Odrediti pomjeranja čvora 1 i sile na elementu. Zadano je: A = 10-3 m2 za konzolu i A = 2 x 10-3 m2, I = 5 x 10-5 m4, L = 3 m. Štap i konzola su izrađeni od istog materijala (E = 210 GPa). Ugao između njih je 45. Spoljašnja sila u čvoru 1 je F = -500 N.

Jednačine grede

141

Slika 4.14. Ravanska struktura Čvorovi 2 i 3 su učvršćeni. Koristeći izraz za krutost štapa 2 dobije se

5,05,0

5,05,0

45cos

3

1021010 63

2

2

22

22

)2(

S

CSC

SCSS

CSCCSC

L

AEk (4.71)

d1x d1y

354,0354,0

354,0354,01070 3)2(k (4.72)

Matrica krutosti grede je

d1x d1y 1

20,010,00

10,0067,00

002

1070 3)1(k (4.73)

Združivanjem matrica elemenata dobije se ukupna matrica krutosti

y

x

3

1

3 m F

45

2

1

Jednačine grede

142

d1x d1y 1

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070 3K (4.74)

Jednačina strukture je

1

1

13

20,010,00

10,0421,0354,0

0354,0354,2

1070

0

500

0

y

x

d

d

(4.75)

Rješavanjem jednačine se dobije:

d1x = 0,00338 m d1y = -0,0225 m 1 = 0,0113 rad

Sile na elementima se dobiju iz jednačine

y

x

y

xl

x

x

d

d

d

d

SC

SC

L

AE

f

f

3

3

1

1

3

1

00

00

11

11 (4.76)

Sila f1x

l i f3xl su lokalne sile štapa 1.

yxlx SdCd

L

AEf 111 (4.77)

Uvrštavanjem vrijednosti dobije se

kNf

kNf

f

x

lx

lx

670

670

0225,000338,02

2

24,4

10210101

3

1

63

1

Jednačine grede

143

Za element 2 lokalni i globalni koordinatni sistem se poklapaju pa je jednačina

1

1

1

222

22

1

1

1

1

460

6120

00

y

x

y

x

d

d

LCLC

LCC

C

m

f

f

(4.78)

Pomjeranja u čvoru 2 su mala pa se uzima gornji dio matrice. Uvrštavanjem vrijednosti dobije se

0113,0

0225,0

00338,0

20,010,00

10,0067,00

002

1070 3

1

1

1

m

f

f

y

x

(4.79)

odakle su rješenja za sile

0

5,26

473

1

1

1

m

kNf

kNf

y

x

Sile u čvoru 2 su

0113,0

0225,0

00338,0

20,010,00

10,0067,00

002

1070 3

2

2

2

m

f

f

y

x

(4.80)

odakle je

kNmm

kNf

kNf

y

x

3,78

5,26

473

2

2

2

(4.81)

Rezultati su prikazani na slici 4.15.

Jednačine grede

144

a) b)

Slika 4.15. Prikaz rješenja ravanske strukture a) Kosi štap 2; b) Konzola 1

4.7. Prostorni ramovi Prostorni ramovi su strukture sastavljene od greda na koje djeluje opterećenje okomito na ravan konstrukcije. Zbog toga će se osim svih dosad analiziranih uticaja javiti i uvijanje. Elementi prostornih ramova su grede čvrsto spojene, a nakon opterećenja uglovi između elemenata konstrukcije ostaju nepromijenjeni. Na slici 4.16 prikazana su opterećenja elemenata strukture prostornog rama.

Slika 4.16. Stepeni slobode i opterećenja u čvorovima

m1z,1z m1x,1x m2x,2x

L z 2 1

x

y

f1y,d1y f2y,d2y

m2x,2z

670 kN

670 kN 3

1

xl 2

473 kN 473 kN

26,5 kN 26,5 kN

y = yl

x = xl

78,3 kNm 1

Jednačine grede

145

U čvorovima djeluju transverzalne sile, momenti savijanja i momenti uvijanja. Dobivanje matrice krutosti vrši se na isti način kao za element grede, a uvodi se još G-modul klizanja i J – polarni moment inercije. Za dobivanje matrice krutosti elementa grede izložene i uvijanju postupak je slijedeći: 1. Znak momenta uvijanja i ugla uvijanja

Slika 4.17. Znak momenta i ugla uvijanja prema konvenciji dati su na slici

2. Kod postavljanja funkcije pomjeranja za ugao uvijanja smatra se da je

linearna funkcija pa je:

= a1 + a2 x (4.82) Postupak za određivanje a1 i a2 u dijelovima nepoznatih uglova uvijanja

x2x1 i , dobije se:

xxx x

L 112

(4.83)

i matrica postaje:

x

xNN2

121

(4.84)

sa funkcijama oblika datim kao:

L

xN

L

xN 21 1 (4.85)

3. Veza smicanja i uvijanja data je preko ugla klizanja i ugla uvijanja .

1 2

m1x,1x m2x,2x x

1 2

mx mx

x

Jednačine grede

146

Slika 4.18. Torzione deformacije štapa

dRdxAB max (4.86)

odakle je:

dx

dR max ili

x1x2L

r

dx

dr

(4.87)

Tangencijalni napon i klizanje za linearno elastične matrijale povezani su relacijom: G (4.88) 4. Matrica krutosti dobije se na način koji slijedi. Prvo, ima se u vidu da je moment uvijanja:

R

mx

(4.89)

x1x2x L

GJm (4.90)

pri čemu su momenti uvijanja:

x1x1 mm (4.91)

x2x1x1 L

GJm (4.92)

max

R

dx d x

z

y

Jednačine grede

147

xx2 mm (4.93)

x1x2x2 L

GJm (4.94)

x2

x1

x2

x1 d

11

11

L

GJ

m

m (4.95)

Izrazom (4.93) u matričnom obliku definirana je veza momenata

uvijanja i ugaonih dilatacija a to je matrica krutosti:

11

11

L

GJk (4.96)

Često elementi grede izloženi uvijanju nisu kružnog poprečnog

presjeka nego oblika nekog profila ili zatvorenog oblika pa je J različito. Kombinovanjem uvijanja i savijanja dobije se lokalna matrica krutosti za element grede iz jednačine (4.97).

d1y 1x 1z d2y 2z 2z

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

d

d

L

EI

L

GJL

EI

L

EIL

EJ

L

EJ

L

EIL

GJ

L

GJL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

m

m

f

m

m

f

2

2

2

1

1

1

23

2

2323

2

2

2

1

1

1

4

0

60

12

20

64

000

60

1260

12

(4.97)

Transformaciona matrica koja povezuje lokalne i globalne stepene slobode grede izložene savijanju i uvijanju je:

Jednačine grede

148

CS

SC

CS

SC

TG

0000

0000

001000

0000

0000

000001

(4.98)

gdje su C = cos = ,L

xx ij S = sin = L

zz ij , su cos i sin ugla

između koordinatnih sistema. Globalna matrica krutosti je:

GGT

GG TkTK (4.97)

Nakon nalaženja globalne matrice krutosti dalji postupak procedure je isti kao kod ravnih okvira. Primjer 4.5. Na slici 4.19 je prikazan prostorni okvir koji se sastoji od dvije grede u zx ravni, na koje djeluje opterećenje F = 22 kN. Zadano je: E = 210 GPa, G = 84 GPa, I = 16,6 x 10-5 m4, J = 4,6 x 10-5 m4. Odrediti opterećenja u čvorovima.

Slika 4.19. Prostorni okvir

3m

3m

x

y

z 3

2 1

1

2F

Jednačine grede

149

Granični uslovi za zadani problem su:

d1y = 1x = 1z = 0 d3y = 3x = 3z = 0

Matrice za elemente okvira se dobiju na osnovu već poznate procedure Element 1:

456

356

42

56

2

43

56

3

1

12

1

12

1065,43

106,161021044

1028,13

106,41084

1032,23

106,161021066

1055,13

106,16102101212

01

L

EI

L

GJ

L

EI

L

EI

L

zzS

L

xxC

(4.98)

100

010

001

10

65,4032,2

0128,00

32,2055,1

100

010

0014)1(k (4.99)

Lokalna i globalna osa elementa su paralelne pa je [Tc] jedinična matrica, pa je

4)1( 10

65,4032,2

0128,00

32,2055,1

k (4.100)

Element 2:

102

23

2

23

L

zzS

L

xxC (4.101)

Jednačine grede

150

4)2(

4)2(

10

128,000

065,432,2

032,255,1

010

100

001

10

65,4032,2

0128,00

32,2055,1

010

100

001

k

k

(4.102)

Globalna matrica krutosti je

410

78,4032,2

078,432,2

32,232,210,3

GK (4.103)

Jednačina strukture je

4

2

2

2

2

2

2

10

78,4032,2

078,432,2

32,232,210,3

0

0

22

z

x

y

z

x

y d

M

M

F

(4.104)

Rješavanjem jednačina dobiju se pomjeranja i uglovi uvijanja

rad

rad

md

z

x

y

22

22

22

10126,0

10126,0

10259,0

(4.105)

Sljedeći korak je određivanje sila u čvorovima u lokalnim koordinatama za svaki element po izrazu (4.97). Za element 1 je

2

2

2

10126,0

10126,0

10259,0

0

0

0

100000

010000

001000

000100

000010

000001

dTG (4.106)

Jednačine grede

151

2

2

2

2

2

2

1

1

1

10126,0

10126,0

10259,0

0

0

0

65,4032,233,2032,2

0128,0000128,00

32,2055,132,2055,1

33,2032,265,4032,2

0128,000128,00

32,2055,132,2055,1l

z

x

y

z

x

y

m

m

f

m

m

f

(4.107)

Sile u lokalnim koordinatama su:

kNmmkNmmkNf

kNmmkNmmkNf

zxy

zxy

5,15,111

315,111

222

111

(4.108)

Za element 2 postupak je analogan, a rješenja sila u čvorovima u lokalnim kordinatama su:

kNmmkNmmkNf

kNmmkNmmkNf

zxy

zxy

315,111

5,15,1110

333

222

(4.109)

4.7.1. Prostorne proizvoljno postavljene grede U opštem slučaju konstrukcije koje se sastoje od greda koje savijaju momenti u dvije ravni imaju matrice krutosti kao rezultat savijanja u x-z ravni tj. oko ose y:

3

2

323

22

4

4

612

264

612612

L

LL

LLL

LLLL

L

EIk yNy (4.110)

i u x-y ravni tj. oko ose z:

Jednačine grede

152

3

2

323

22

4

4

612

264

612612

L

LL

LLL

LLLL

L

EIk xez (4.111)

Superpozicijom matrica (4.110) i (4.111) te matrica aksijalne krutosti i torzione krutosti dobije se ukupna matrica krutosti trodimenzionalnog prostornog okvira u lokalnim koordinatama. Takva matrica prevede se u globalnu matricu krutosti korištenjem transformacione matrice oblika:

33

33

33

33

x

x

x

x

T

(4.112)

gdje je matrica krutosti koja se sastoji od kosinusa uglova između lokalnih i globalnih koordinata:

zyyyxy

zxyxxx

CCC

CCC (4.113)

4.8. Principi analize podstruktura U praksi se često susreću vrlo složene strukture, kako sa aspekta geometrije tako i opterećenja. Da bi se problem pojednostavio složena struktura se dijeli u manje zasebne cjeline koje se zovu podstrukture. Npr. prostorni ram se sastoji od više sekcija, obloga avina od krila i nekoliko dijelova plašta itd. Podjelom na podstrukture problem se pojednostavljuje a računarsko vrijeme njegovog rješavanja se smanjuje. Analiza strukture podijeljena na podstrukture podrazumijeva zasebnu analizu svake podstrukture vodeći računa o silama i pomjeranjima na tim dijelovima.

Jednačine grede

153

Kako se postupa sa podstrukturama može se vidjeti na primjeru jednog krutog okvira na slici 4.20. a) b)

Slika 4.20. a) Kruti okvir sa naznačenim podstrukturama b) Podstruktura B

Prvo se definiraju pojedine podstrukture, slika 4.20.a. nastoji se izvršiti podjela tako da veličine podstruktura budu slične. Tipična podstruktura B uključuje grede na vrhu a-a zajedničke i za podstrukturu C, a grede b-b su zajedničke i za podstrukturu A. Jednačina koja povezuje sile i pomjeranja sadrži unutrašnje i vanjske sile i unutrašnja i vanjska pomjeranja:

Be

Bi

Bee

Bei

Bie

Bii

Be

Bi

d

d

KK

KK

F

F (4.114)

gdje B označava podstrukturu, i-unutrašnje sile, a e-vanjske sile. Statičke jednačine postaju:

BeBie

Bi

Bii

Bi dKdKF (4.115)

BeBee

Bi

Bei

Be dKdKF (4.116)

a a

b b

Podstruktura C

Podstruktura B

Podstruktura A

a a

b b

veze čvorova

Jednačine grede

154

Rješavanjem jednačina dobije se vektor pomjeranja:

Bi

Bei

Be

Bee

Be dKFKd

1 (4.117)

Na sličan način riješe se i pomjeranja čvorova podstruktura A i B.

4.9. Algoritam analize ravnih i prostornih ramova

Mnogi računarski programi za proračun i analizu ravnih i prostornih ramova su slično postavljeni. Naime, za sve njih treba unijeti odgovarajuće podatke za svaki pojedinačni slučaj rama. Postupak unošenja podataka dat je u nekoliko tačaka. 1. Uvijek se i kod svih računanja odabere koordinatni sistem globalnih

koordinatnih osa x i y za ravni ili x, y i z za prostorni okvir. U svakom čvoru, u principu, postoji stepen slobode pomjeranja u x i y pravcu i savijanje oko ose z za slučaj ravnog rama. Prostorni ram bi, u opštem slučaju, imao y pomjeranje i savijanje oko osa x i z.

2. Nakon izbora koordinatnog sistema izvrši se diskretizacija modela na

konačne elemente što daje broj konačnih elemenata i broj čvorova. 3. Koordinate svih čvorova u ravni su date kao xj , yj za prostorni

koordinatni sistem kao xj , yj i zj. 4. Nakon specificiranja koordinata odrede se granični uslovi, odnosno

stepeni slobode u osloncima. 5. Definiraju se opterećenja u globalnom koordinatnom sistemu tj. odrede

se pravci, smjerovi i intenziteti koncentrisanih sila, kontinuiranog opterećenja i momenata. Npr. sila Fxj djeluje u čvoru j u pravcu x i pozitivnog je smjera u odnosu na smjer ose x. Ili Mzj je moment savijanja oko ose z. Prvi indeks označava pravac djelovanja sile, a drugi broj čvora. Označavanje je, u stvari, specifikum svakog software paketa za MKE.

6. Osobine materijala elementa ili elemenata konstrukcije se unose za

svaki proračun. Često su date u ponudi za različite materijale. To su E, , , G i drugi.