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Gnie Industriel & Maintenance Semestre 3 : Cours ADEMise en a lication de la mthode de Weibull

Contexte :

Ltude dun historique de dfaillances dun matriel fait apparaitre les 11 temps de bonfonctionnement (TBF en heures) suivant :

24-46-36-14-48-19-43-31-40-26-29

Mthode :

1-Dtermination des paramtres du modle , , , , et(cas o les points s'alignent sur le papier de Weibull)

1-1Nombre de TBF N=11 F(i) = [ i 0,3 ]/[N + 0,4]1-2Remplissage du tableau de calcul en classant les TBF par ordre croissant

Identifiant i TBF t (h) F(t) R(t)=1- F(t)

1 14 0,06 0,94

2 19 0,15 0,85

3 24 0,24 0,76

4 26 0,32 0,68

5 29 0,41 0,59

6 31 0,50 0,50

7 36 0,59 0,41

8 40 0,68 0,32

9 43 0,76 0,24

10 46 0,85 0,15

11 48 0,94 0,06

1-3 Adaptation de lchelle des temps sur le papier, lorigine 1 -> 1 h

1-4Traage des point M [t , F(t)] sur le papier Weibull

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1-5Traage de la courbe (qui est ici une droite D) sur le papier Weibull

1-6Estimation du paramtre sur le papier Weibull

On lit = 36 heures

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1-7

Estimation du paramtresur le papier Weibull

On trace la droite parallle ( D ) passant par lorigine O elle coupe laxe des en un point qui indique

la valeur du paramtre

On lit = 2,55 heures

1-8

Estimation du paramtre sur le papier Weibull

La courbe tant une droite = 0

1-9 Modle de fiabilit rsultant

R(t) = exp[-{t/36}2,55]

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2-Cas o les points ne salignent pas

2-1 Changement de variables

Dans ce cas on prfre utiliser un changement de variables

R(t) = exp[-{(t- )/}]1/R(t) = exp[{(t- )/}]Ln[1/R(t)] = {(t- )/}]

Ln{Ln[1/R(t)]} =.Ln [(t- )/] = .Ln (t- )- .Ln ()

On pose : X = Ln (t) et Y = Ln[Ln {1/R(t)}]Do le tableau ci-dessous

Identifiant TBF X F(t) R(t)= Y=

i t (min) Ln(t) 1-F(t) Ln[Ln(1/R(t))]

1 423 6,05 0,06 0,94 -2,76

2 543 6,30 0,15 0,85 -1,82

3 654 6,48 0,24 0,76 -1,31

4 765 6,64 0,32 0,68 -0,94

5 876 6,78 0,41 0,59 -0,63

6 967 6,87 0,50 0,50 -0,37

7 1089 6,99 0,59 0,41 -0,12

8 1200 7,09 0,68 0,32 0,12

9 1543 7,34 0,76 0,24 0,36

10 2600 7,86 0,85 0,15 0,64

11 4448 8,40 0,94 0,06 1,03

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2-2 On trace les points M [ X, Y ] sur papier millimtr

2-3 On lit les coordonnes des 2 points extrmes

M1[6,05 - 0,06] et M3[8,4 - 0,94]

2-4 On trace M2

tel que Y1Y2= Y2Y3 do Y1Y2= -2,76 + [1,03 (-2,76)]/2 =- 0,865 et on lit

X2= 6,65 soit t2= 773

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2-5 On calcule alors la valeur de

Y2=0,5.(Y1+Y3)=> 2.Y2 = Y1+Y3

2.Ln[Ln{1/R(X2)}] = 2.Ln[Ln{1/R(X1)}] + 2.Ln[Ln{1/R(X3)}]2.Ln[Ln{1/exp[-(X2- )/]

)}] = Ln[Ln{1/exp[-(X1- )/])}] + Ln[Ln{1/exp[-(X3- )/]

)}]

2..Ln[(X2- )/] = .Ln[(X1- )/] + .Ln[(X3- )/]2.Ln[X2- ] = Ln[X3- ] + Ln[X1- ]

Ln[(X2- )2] = Ln[(X3- ).(X1- )]

(X2- )2= (X3- ).(X1- )

Do aprs calculs

= X2(X3-X2).(X2-X1)

(X3-X2)-(X2-X1)Soit encore aprs arrangement et changement de variables

= (t1.t3 -t22

t1+t3-2.t2

On trouve avec : t1= 423 t3= 4448 t2= 773

= (423.4448)-7732

423+4448-2.773

= 386 min

3-6 Changement dorigine des temps

On reprend les calculs tu tableau en effectuant le changement dorigine t = t -

Identifiant TBF TBF X F(t) R(t)= Y=

i t (min) t (min) Ln(t) 1-F(t) Ln[Ln(1/R(t))]

1 423 0,06 0,94 -2,76

2 543 0,15 0,85 -1,82

3 654 0,24 0,76 -1,31

4 765 0,32 0,68 -0,94

5 876 0,41 0,59 -0,63

6 967 0,50 0,50 -0,37

7 1089 0,59 0,41 -0,12

8 1200 0,68 0,32 0,12

9 1543 0,76 0,24 0,36

10 2600 0,85 0,15 0,64

11 4448 0,94 0,06 1,03

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3-7 On trace les points M [ X, Y ] sur papier millimtr

On constate que le modle est pratiquement linaire (si ce nest pas le cas on recommence la

mme opration)

On rappelle : Ln{Ln[1/R(t)]} = .Ln [(t- )/] = .Ln (t- )- .Ln ()Y = .X - .Ln ()

3-8Estimation du paramtresur le papierIl sagit de la pente de la droite soit ici := 0,93

3-9Estimation du paramtre a laide du papier-.Ln () = Y(0) => = exp[-Y(0)/]

soit ici = exp[6,3691/0,93]

= 943 min

3-10 Modle de fiabilit rsultant

R(t) = exp[-{(t-386)/943}0,93]