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Methode des elements finis :

elasticite a une dimension

Yves Debard

Universite du MansMaster Modelisation Numerique et Realite Virtuelle

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

24 mars 2006 – 29 mars 2011

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

Table des matieres

1 Rappels et hypotheses 1

2 Forme differentielle 2

3 Forme integrale faible 3

4 Forme discretisee : elements finis 4

4.1 Approximation du champ de deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.1.1 Representation elementaire (ou locale) du champ de deplacements . . . . . . . 4

4.1.2 Representation globale du champ de deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Partition des degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3 Discretisation de la forme integrale faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.4 Problemes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4.1 Probleme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4.2 Modes propres de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.6 Exemple de mise en equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.6.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.6.2 Discretisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.6.3 Partition des degres de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.6.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6.5 Matrices elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6.6 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6.7 Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Calculs elementaires : elements isoparametriques 12

5.1 Element isoparametrique : definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.1 Representation de la geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.1.2 Representation du champ de deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Bibliotheque d’elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.1 Element a deux nœuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2.2 Element a trois nœuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Calcul des matrices elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.1 Transformation des derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.2 Transformation des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3.3 Calcul des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3.4 Integration numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4 Cas particulier : la section droite est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4.1 Element a deux nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4.2 Element a trois nœuds equidistants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Calcul des contraintes 20

6.1 Premiere methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Deuxieme methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Exemples 22

7.1 Poutre soumise a une force repartie et a une force nodale . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2 Modes propres d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2.2 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2.3 Modelisation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.2.4 Modelisation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2.5 Modelisation 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.3 Poutre a section droite variable soumise a une variation de temperature . . . . . . . . 307.3.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3.2 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3.3 Solution elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.4 Influence de la position du nœud � milieu � sur la performance d’un element isopara-metrique a trois nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Probleme elastostatique : energie potentielle et methode de Ritz 368.1 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.3 Methode de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.4 Methode de Ritz et elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.5.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5.2 Methode de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5.3 Elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A Programmes Maple 43A.1 3n int : element a 3 nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2 3n mat : element a 3 nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3 3n milieu : element a 3 nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

References 47

Elasticite a une dimension 1

1 Rappels et hypotheses

Considerons une poutre droite d’axe x soumise a un effort normal N(x; t).

u(x; t) est le deplacement suivant x de la section droite d’abscisse x a l’instant t.

A est l’aire de la section droite.

E, α et ρ sont respectivement le module de Young , le coefficient de dilatation et la masse volumiquedu materiau.

La poutre porte une force repartie d’intensite lineique px et subit une variation de temperature egalea ∆T .

Figure 1 – Equilibre d’un troncon de poutre

L’equilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d’abscisses x et x+ dx s’ecrit :

−N(x; t) +N(x+ dx; t) + px dx = −N(x; t) +N(x; t) +∂N

∂xdx+ px dx = ρA u dx (1.1)

ou l’on a pose : u =∂2u

∂t2Apres simplification, on obtient l’equation d’equilibre :

∂N

∂x+ px = ρA u (1.2)

Le troncon de poutre de longueur dx a l’instant initial devient a l’instant t le troncon de poutre delongueur dx (1 + εxx) (figure 2).

Figure 2 – Transformation d’un troncon de poutre

L’allongement unitaire εxx est :

εxx =u(x+ dx)− u(x)

dx=

∂u

∂x(1.3)

2 Methode des elements finis

Figure 3 – Loi de comportement

Cet allongement unitaire est du a la contrainte normale σxx (loi de Hooke) et a la variation detemperature (figure 3) :

εxx =∂u

∂x=

σxxE

+ α∆T avec σxx =N

A(1.4)

d’ou :

σxx = E (εxx − α∆T ) = E (εxx − εth) (1.5)

avec εth = α∆T .

2 Forme differentielle

Resoudre un probleme d’elasticite a une dimension consiste a chercher un champ de deplacements u(x; t)tel que :

ρA∂2u

∂t2=

∂

∂x(Aσxx) + p ∀x tel que xO < x < xE (2.1)

avec

– la relation cinematique :

εxx =∂u

∂x(2.2)

– la loi de comportement (ou loi constitutive) :

σxx = E εxx −Eα∆T (2.3)

– les conditions aux limites :

u(xO; t) = uO(t) ou (−Aσxx)x=xO = FO(t)

u(xE ; t) = uE(t) ou (Aσxx)x=xE = FE(t)(2.4)

– les conditions initiales a l’instant t = t0 :

u(x; t0) = ut0(x) et u(x; t0) = ut0(x) (2.5)

La quantite :

r(u) = ρA∂2u

∂t2− ∂

∂x(Aσxx)− p (2.6)

est le residu de l’equation (2.1). Ce residu est nul si le champ de deplacements u(x; t) est solution decette equation.

Notations : u(x; t) =∂u(x; t)

∂t, u(x; t) =

∂2u(x; t)

∂t2


3 Forme integrale faible

Pour resoudre l’equation (2.1) par la methode des elements finis, nous utilisons la methode desresidus ponderes. Multiplions le residu r(u) par une fonction arbitraire u∗(x) et integrons sur toutela longueur de la poutre :

W(u, u∗) =∫ xE

xO

u∗ r dx =

∫ xE

xO

u∗(ρA u− ∂

∂x(Aσxx)− p

)dx = 0 ∀u∗ (3.1)

Integrons par parties la quantite

∫ xE

xO

u∗∂

∂x(Aσxx) dx :

∫ xE

xO

u∗∂

∂x(Aσxx) dx =

∫ xE

xO

∂

∂x(u∗Aσxx) dx−

∫ xE

xO

∂u∗

∂xAσxx dx

En portant cette expression dans l’equation (3.1), il vient :

W(u, u∗) =∫ xE

xO

Au∗ ρ u dx+

∫ xE

xO

Aε∗xx σxx dx−∫ xE

xO

u∗ p dx

− (Au∗ σxx)x=xE + (Au∗ σxx)x=xO = 0 ∀u∗(3.2)

ou l’on a pose ε∗xx =∂u∗

∂x.

ε∗xx est le champ de deformations induit par le champ de deplacements u∗.

De plus, en O et en E, imposons la condition u∗ = 0 si le deplacement est connu.

La forme integrale faible d’un probleme d’elasticite s’ecrit finalement :

Trouver u(x; t) tel que :

W(u, u∗) =∫ xE

xO

Au∗ ρ u dx+

∫ xE

xO

EAε∗xx (εxx − α ∆T ) dx−∫ xE

xO

u∗ p dx

− (Au∗ σxx)x=xE + (Au∗ σxx)x=xO = 0 ∀u∗(3.3a)

avec

– les conditions aux limites :

( u(xO; t) = uO(t) et u∗(xO) = 0 ) ou (−Aσxx)x=xO = FO(t)

( u(xE ; t) = uE(t) et u∗(xE) = 0 ) ou (Aσxx)x=xE = FE(t)(3.3b)

– les conditions initiales :

u(x; t0) = ut0(x) et u(x; t0) = ut0(x) (3.3c)

Remarques :

– Les fonctions u et u∗ doivent etre suffisamment regulieres pour que les expressions ci-dessusaient un sens.

– Le champ de deplacements u(x; t) est dit cinematiquement admissible (CA).– La fonction u∗ est appelee champ de deplacements virtuels.– La formulation integrale (3.3) est l’expression du principe des travaux virtuels.– Dans l’equation (3.1) la fonction u doit etre derivable deux fois et une fois dans l’equation (3.3).

Ces equations sont dites respectivement forme integrale forte et forme integrale faible del’equation differentielle (2.1).

– Sous certaines conditions de regularite, les formulations (2.1) et (3.3) sont equivalentes.


4 Forme discretisee : elements finis

La solution analytique de l’equation (3.3) est en general inaccessible. On est donc conduit a chercherune solution approchee par une methode numerique : la methode des elements finis. Cette methodeest un cas particulier de la methode de Galerkin : le champ de deplacements cherche u(x; t) et lesfonctions test u∗ appartiennent au meme espace Eu de dimension finie.

4.1 Approximation du champ de deplacements

La poutre est decomposee en troncons (les elements) relies entre eux en des points appeles nœuds.Cette operation s’appelle maillage.

4.1.1 Representation elementaire (ou locale) du champ de deplacements

Le champ de deplacement ue(x; t) dans element (e) a pour expression :

ue(x; t) =[N e

1 (x) · · · N ei (x) · · · N e

ne(x)]

ue1(t)...

uei (t)...

uene(t)

= [N e(x)] {ue(t)} (4.1)

ou :

– ne est le nombre de nœuds de l’element.– les fonctions N e

i (x) sont les fonctions d’interpolation elementaires (ou fonctions deforme).

– la matrice [N e(x)] est la matrice d’interpolation elementaire.– le vecteur {ue(t)} regroupe les deplacements des nœuds de l’element (e).

Exemple : element a deux nœuds :

– Fonctions d’interpolation :

– Champ de deplacements dans un element a deux nœuds :


4.1.2 Representation globale du champ de deplacements

Le champ de deplacements u(x; t) a pour expression sur l’ensemble de la poutre :

u(x; t) = [ N1(x) . . . Ni(x) . . . Nn(x) ]

u1(t)...

ui(t)...

un(t)

= [N(x)] {U(t)} (4.2)

ou :

– n est le nombre de nœuds du maillage.– les fonctions Ni(x) sont les fonctions d’interpolation (ou fonctions de forme).– [N(x)] est la matrice d’interpolation.– {U(t)} est le vecteur des deplacements nodaux.

Les fonctions d’interpolation verifient les relations :

N ei (xj) = δij Ni(xj) = δij ∀ i, j ou xj est l’abscisse du nœud j

ne∑

i=1

N ei = 1 ,

n∑

i=1

Ni = 1(4.3)

Exemple : poutre discretisee en n nœuds, n− 1 elements :

– Fonctions d’interpolation sur le domaine :

– Champ de deplacements sur le domaine :

4.2 Partition des degres de liberte

Effectuons une partition des degres de liberte ([1], [12], [13]) en :

– deplacements inconnus {UL}.

– deplacements imposes et differents de 0 : {UP }.


– deplacements nuls : {US} = {0}.

Il vient :

{U} =

{UL} =?{UP } 6= {0}{UP } = {0}

, {U∗} =

{U∗L}

{U∗P } = {0}

{U∗S} = {0}

(4.4)

Cette partition induit une partition de la matrice d’interpolation :

[N ] =[[NL] [NP ] [NS ]

](4.5)

d’ou l’expression de u et u∗ :

u =[[NL] [NP ] [NS ]

]{UL}{UP }{0}

, u∗ =

[[NL] [NP ] [NS ]

]{U∗

L}{0}{0}

(4.6)

Remarque : u∗ represente une variation quelconque de u :

δu =[[NL] [NP ] [NS ]

]

{δUL}{δUP } = {0}

{0}

= u∗ ou {δUL} = {U∗

L} (4.7)

4.3 Discretisation de la forme integrale faible

De l’expression du champ de deplacements sur le domaine :

u(x; t) = [N ] {U(t)} (4.8)

on deduit :

u =∂2u

∂t2= [N ] {U} (4.9)

εxx =∂u

∂x= [B] {U} (4.10)

ou la matrice [B] est egale a :

[B] =

[∂N1

∂x· · · ∂Ni

∂x· · · ∂Nn

∂x

](4.11)

u∗ = [N ] {U∗} = {U∗}T [N ]T , ε∗xx = [B] {U∗} = {U∗}T [B]T (4.12)

En portant ces expressions dans l’equation (3.3a), il vient :

W({U}, {U∗}) = {U∗}T([M ] {U}+ [K] {U} − {F}

)(4.13)

ou :

[M ] =

∫ xE

xO

ρA [N ]T [N ] dx

[K] =

∫ xE

xO

EA [B]T [B] dx

{F} =

∫ xE

xO

[N ]T p dx+

∫ xE

xO

[B]T EA α ∆T dx+ {Fnod}

{Fnod}T ={−(Aσxx)x=xO 0 . . . 0 (Aσxx)x=xE

}

(4.14)


[M ] est la matrice masse (kg).

[K] est la matrice rigidite (N/m).

{F} est le vecteur force (N).

{U} est le vecteur des deplacements nodaux (m).

{U} est le vecteur des accelerations nodales (m/s2).

Le vecteur {Fnod} ne contient que deux composantes non nulles : FO(t) et FE(t). Ces forces sontconnues si le deplacement associe est inconnu. Dans le cas contraire ces forces sont des reactionsd’appui.

Remarques :

– les matrices [M ] et [K] sont par construction symetriques.

– dans l’equation (4.13), il convient d’ajouter eventuellement la contribution de l’amortissement :

{U∗}T [C] {U} (4.15)

ou [C] est lamatrice d’amortissement (kg/s) et {U} le vecteur des vitesses nodales (m/s).

La partition des degres de liberte (§ 4.2) induit une partition de [M ], [C], [K] et {F} :

[M ] =

[MLL] [MLP ] [MLS ][MPL] [MPP ] [MPS ][MSL] [MSP ] [MSS ]

, [K] =

[KLL] [KLP ] [KLS ][KPL] [KPP ] [KPS ][KSL] [KSP ] [KSS ]

(4.16)

[C] =

[CLL] [CLP ] [CLS ][CPL] [CPP ] [CPS ][CSL] [CSP ] [CSS ]

, {F} =

{FL}{FP }{FS}

(4.17)

La forme discretisee d’un probleme d’elasticite s’ecrit finalement :

Trouver {UL(t)} tel que :

W({UL}, {U∗L}) ={U∗

L}T([

[MLL] [MLP ]]{{UL}

{UP }}+[[CLL] [CLP ]

]{{UL}{UP }

}

+[[KLL] [KLP ]

]{{UL}{UP }

}− {FL}

)= 0 ∀ {U∗

L}(4.18)

avec les conditions initiales {UL(t0)} = {UL,0} , {UL(t0)} = {UL,0}

Les deplacements nodaux inconnus {UL(t)} sont donc les solutions de l’equation :

[MLL]{UL}+ [CLL]{UL}+ [KLL]{UL}

= {FL} − [MLP ]{UP } − [CLP ]{UP } − [KLP ]{UP }(4.19a)

avec les conditions initiales :

{UL(t0)} = {UL,0} , {UL(t0)} = {UL,0} (4.19b)

Remarque : par construction, les matrices [KLL] et [MLL] sont symetriques.


4.4 Problemes particuliers

4.4.1 Probleme stationnaire

Dans un probleme stationnaire, l’equation (4.19) se reduit a :

[KLL] {UL} = {FL} − [KLP ] {UP } = {FL} (4.20)

Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [KLL] n’est pas singuliere (det [KLL] 6= 0) et lesdeplacements inconnus sont egaux a :

{UL} = [KLL]−1 {FL} (4.21)

Remarque : les reactions d’appui {R} sont les composantes (P ) et (S) du vecteur {Fnod}. Les deplacementsetant connus, elles sont egales a :

{R} =

[[KPL] [KPP ][KSL] [KSP ]

]{{UL}{UP }

}−{{FP }{FS}

}(4.22)

En pratique, cette methode est peu utilisee : les blocs de matrices [KPL], [KPP ], [KSL], [KSP ], {FP }et {FS} ne sont pas assembles.

4.4.2 Modes propres de vibration

Les modes propres de vibration de la poutre sont les solutions de l’equation :

[MLL] {UL}+ [KLL] {UL} = {0} (4.23)

En posant :

{UL(t)} = {UL} sinω t (4.24)

ou {UL} est independant du temps, il vient :

[KLL]{UL} = ω2 [MLL]{UL} (4.25)

ou ω est une pulsation propre de la poutre et {UL} le vecteur propre associe.

Les pulsations propres sont les solution de l’equation :

det([KLL]− ω2 [MLL]

)= 0 (4.26)

4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage

Dans la pratique, [M ], [K] et {F} sont construits element par element. Cette operation s’appelleassemblage.

De l’expression du champ de deplacements dans l’element (e) :

ue(x; t) = [N e(x)] {ue(t)} (4.27)

on deduit :

ue = [N e] {ue} (4.28)

εexx = [Be] {ue} avec [Be] =[Be

1 · · · Bei · · · Be

ne

], Be

i =∂N e

i

∂x(4.29)

ue∗ = [N e] {ue∗} = {ue∗}T [N e]T , εe∗xx = [Be] {ue∗} = {ue∗}T [Be]T (4.30)


En reportant ces expressions dans l’equation (3.3a), il vient :

W({U}, {U∗}) =∑e

{ue∗}T ( [me] {ue}+ [ke] {ue} − {fe} )− {U∗}T {Fnod} (4.31)

ou :

[me] =

∫

Le

ρ A [N e]T [N e] dx

[ke] =

∫

Le

EA [Be]T[Be] dx

{fe} =

∫

Le

[N e]T p dx+

∫

Le

[Be]T E A α ∆T dx

(4.32)

Dans ces formules, Le represente la longueur de l’element (e).

Exemple : soit un element de longueur L et de section droite constante (aire A). Cet element porte uneforce uniformement repartie d’intensite lineique p. La masse volumique du materiau est egale a ρ. Lesmatrices elementaires sont egales a :

[Ne] =1

L

[L− x x

], [Be] =

1

L

[−1 1]

[me] =ρA

L2

∫ L

0

[L− xx

] [L− x x

]dx =

ρAL

6

[2 11 2

]

[ke] =EA

L2

∫ L

0

[−11

] [−1 1]dx =

EA

L

[1 −1−1 1

]

{fe} =1

L

∫ L

0

{L− xx

}p dx =

pL

2

{11

}

L’equation (3.3a) s’ecrit :

W({U}, {U∗}) = {U∗}T(∑

e

([M e] {U}+ [Ke] {U} − {F e}

)− {Fnod}

)(4.33)

Dans les matrices [M e] et [Ke] et dans le vecteur {F e}, obtenus par expansion respectivement de [me],[ke] et {fe}, les seuls termes non nuls sont les termes associes aux degres de liberte de l’element (e).Par exemple, pour l’element (i− j), le terme {ue∗}T [ke] {ue} est egal a :

{ue∗}T [ke] {ue} =[u∗i u∗j

] [k11 k12k21 k22

]{uiuj

}

=[u∗1 . . . u∗i . . . u∗j . . . u∗n

]

0 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

. . ....

. . ....

. . ....

0 . . . k11 . . . k12 . . . 0...

. . ....

. . ....

. . ....

0 . . . k21 . . . k22 . . . 0...

. . ....

. . ....

. . ....

0 . . . 0 . . . 0 . . . 0

u1...ui...uj...un

= {U∗}T [Ke] {U}

(4.34)

On en deduit : [M ] =∑e

[M e] , [K] =∑e

[Ke] , {F} =∑e

{F e}


Remarques :

– la partition des degres de liberte (§ 4.2) est effectuee avant la phase d’assemblage.

– dans le logiciel � RDM � seuls les blocs [KLL], [KLP ], [MLL], [MLP ] et {FL} sont assembles.

4.6 Exemple de mise en equation

4.6.1 Enonce

Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du materiau de la poutrerepresentee sur la figure 4.

Figure 4 – Exemple de mise en equation

L’aire de la section droite est egale a 2A entre 0 et L et a A entre L et 2L.

Elle est soumise a :

– une force uniformement repartie d’intensite lineique p entre les abscisses 0 et L.

– un deplacement impose : u(2L; t) = a sinω t.

Les conditions initiales sont : ut0(x) = 0 , ut0(x) = 0.

4.6.2 Discretisation

La poutre est discretisee en trois elements a deux nœuds : (1 − 2) , (2 − 3) et (3 − 4). Les variablesnodales sont donc :

{U(t)} =

u1(t) = 0u2(t) = ?u3(t) = ?

u4(t) = a sinω t

4.6.3 Partition des degres de liberte

Effectuons une partition des degres de liberte en deplacements connus et inconnus :

{UL} =

{u2(t) = ?u3(t) = ?

}, {UP } = {u4(t) = a sinω t} , {US} = {u1(t) = 0}

d’ou :

{U} =

{UL}{UP }{US}

=

u2(t) = ?u3(t) = ?

u4(t) = a sinω tu1(t) = 0


On en deduit la localisation des degres de liberte dans les matrices globales :

{DDL} =

u1 → 0u2 → 1u3 → 2u4 → 3

4.6.4 Remarque

La figure 5 represente la forme de la solution cherchee u(x; t) et des fonctions test u∗ = δu.

Figure 5 – Forme de la solution cherchee et fonctions test

4.6.5 Matrices elementaires

Les matrices elementaires sont :

– element 1− 2 :

{ddl1−2} =

{u1 → 0u2 → 1

}

[k1−2] =4EA

L

[1 −1−1 1

], [m1−2] =

ρAL

6

[2 11 2

], {f1−2} =

pL

4

{11

}

– element 2− 3 :

{ddl2−3} =

{u2 → 1u3 → 2

}

[k2−3] = [k1−2] , [m2−3] = [m1−2] , {f2−3} = {f1−2}– element 3− 4 :

{ddl3−4} =

{u3 → 2u4 → 3

}

[k3−4] =EA

L

[1 −1−1 1

], [m3−4] =

ρAL

6

[2 11 2

]

4.6.6 Assemblage

L’assemblage des matrices elementaires conduit a la relation :

ρAL

6

[4 1 01 4 1

]

u2u3

−aω2 sinωt

+

EA

L

[8 −4 0−4 5 −1

]

u2u3

a sinωt

=

pL

4

{21

}

Remarque : seuls les blocs [KLL], [KLP ], [MLL], [MLP ] et {FL} sont assembles.


4.6.7 Equation

Les deplacements inconnus u2 et u3 sont les solutions de l’equation :

ρAL

6

[4 11 4

] {u2u3

}+

EA

L

[8 −4−4 5

] {u2u3

}

=pL

4

{21

}+

ρAL

6

{0

aω2 sinωt

}+

EA

L

{0

a sinωt

}

avec les conditions initiales : {u2(t0)u3(t0)

}=

{u2(t0)u3(t0)

}=

{00

}

5 Calculs elementaires : elements isoparametriques

5.1 Element isoparametrique : definition

A chaque element reel, on associe un element de reference.

Figure 6 – Element isoparametrique

5.1.1 Representation de la geometrie

La transformation geometrique qui fait passer de l’element de reference a l’element reel possede lesproprietes suivantes :

– elle est de la forme :

x(ξ) =n∑

i=1

Ni(ξ) xi (5.1)

ou :

– n est le nombre de nœuds de l’element reel.– ξ est la coordonnee d’un point de l’element de reference.– x(ξ) est la coordonnee du point de l’element reel.– les fonctions Ni(ξ) sont les fonctions d’interpolation (ou fonctions de forme).– les xi sont les abscisses des nœuds de l’element.

Le jacobien de la transformation est egal a :

J(ξ) =∂x

∂ξ=

n∑

i=1

∂Ni

∂ξxi =

[∂N1

∂ξ· · · ∂Ni

∂ξ· · · ∂Nn

∂ξ

]

x1...xi...xn

(5.2)


– elle est nodale : un nœud de l’element de reference devient un nœud de l’element reel (les deuxelements possedent donc le meme nombre de nœuds) :

xi = x(ξi) =n∑

j=1

Nj(ξi) xj , i = 1, . . . , n (5.3)

ou ξi est l’abscisse du ie nœud de l’element de reference. On en deduit :

Nj(ξi) =

{0 si i 6= j

1 si i = j(5.4)

Remarque : si les nœuds de l’element de reference sont espaces regulierement entre −1 et +1,on a :

ξi = −1 + 2i− 1

n− 1(5.5)

– elle est bijective : le jacobien ne doit pas changer de signe sur l’element. Nous impo-serons la condition :

J(ξ) > 0 (5.6)

On appelle qualite du jacobien la quantite :

qJ =longueur de l’element de reference

longueur de l’element reelmin(J(ξ)) (0 ≤ qJ ≤ 1) (5.7)

Remarques :

– La qualite est maximale est 1 : dans ce cas, le jacobien est constant dans l’element.

– Dans la pratique, pour evaluer qJ , on se contente de calculer J(ξ) aux nœuds de l’elements.

– D’autres definitions sont possibles, par exemple :

qJ =min(J(ξ))

max(J(ξ))(0 ≤ qJ ≤ 1) (5.8)

5.1.2 Representation du champ de deplacements

Les fonctions Ni(ξ) qui definissent la transformation geometrique sont les fonctions d’interpolationpour le champ de deplacements (element isoparametrique) :

u(ξ) =n∑

i=1

Ni(ξ) ui (5.9)

ou ui est le deplacement du nœud i.

Critere de completude : pour que la solution � elements finis � converge vers la solution exacte quandla taille des elements tend vers zero, l’element doit pouvoir representer un champ de deplacements quicorrespond a des deformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Considerons doncle champ de deplacements :

u(x) = a+ b x (5.10)

d’ou les valeurs nodales :

ui = a+ b xi , i = 1, . . . , n (5.11)


Le champ de deplacements s’ecrit sous forme parametrique (equation 5.9) :

u(ξ) =

n∑

i=1

Ni(ξ) ui =

n∑

i=1

Ni(ξ) (a+ b xi) = a

n∑

i=1

Ni(ξ) + b

n∑

i=1

Ni(ξ)xi (5.12)

En utilisant la relation (5.1), il vient :

u(x) = a

n∑

i=1

Ni(ξ) + b x (5.13)

On retrouve le champ de deplacements (5.10) si :

n∑

i=1

Ni(ξ) = 1 (5.14)

Cette condition est verifiee par les elements decrits ci-dessous.

5.2 Bibliotheque d’elements

5.2.1 Element a deux nœuds.

Figure 7 – Element a deux nœuds

Les coordonnees nodales sont x1 et x2 avec L = x2 − x1.

Soient u1 et u2 les deplacements nodaux.

La transformation geometrique est de la forme :

x(ξ) = a+ b ξ = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ] et {A} =

{ab

}(5.15)

[P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation.

La transformation est nodale d’ou :{x1x2

}=

{x(−1)x(1)

}=

[1 −11 1

]{ab

}= [C] {A} d’ou {A} = [C]−1

{x1x2

}(5.16)

On en deduit

x(ξ) = [P (ξ)] [C]−1

{x1x2

}(5.17)

d’ou l’expression de la matrice d’interpolation :

[N(ξ)] = [N1(ξ) N2(ξ) ] = [P (ξ)] [C]−1 (5.18)

avec :

[N(ξ)] =

[1− ξ

2

1 + ξ

2

],

[∂Ni

∂ξ

]=

[−1

2

1

2

](5.19)


Figure 8 – Element a deux nœuds : fonctions d’interpolation

L’element est isoparametrique :

– representation de la geometrie :

x(ξ) = [N ]

{x1x2

}=

1− ξ

2x1 +

1 + ξ

2x2 =

x1 + x22

+ ξL

2(5.20)


J =2∑

i=1

∂Ni

∂ξxi =

x2 − x12

=L

2(5.21)

et est constant dans l’element.

– representation du champ de deplacements :

u(ξ) = [N ]

{u1u2

}=

1− ξ

2u1 +

1 + ξ

2u2 (5.22)

5.2.2 Element a trois nœuds.

Figure 9 – Element a trois nœuds

Les coordonnees nodales sont x1, x2 et x3 avec L = x3 − x1.

Soient u1 , u2 et u3 les deplacements nodaux.

La transformation geometrique est de la forme :

x(ξ) = a+ b ξ + c ξ2 = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ξ2 ] et {A} =

abc

(5.23)

[P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation.

La transformation est nodale :x1x2x3

=

x(−1)x(0)x(1)

=

1 −1 11 0 01 1 1

abc

= [C] {A} d’ou {A} = [C]−1

x1x2x3

(5.24)


On en deduit

x(ξ) = [P (ξ)] [C]−1

x1x2x3

(5.25)

d’ou l’expression de la matrice d’interpolation (programme 3n int) :

[N(ξ)] =[N1(ξ) N2(ξ) N3(ξ)

]= [P (ξ)] [C]−1 (5.26)

avec :

[N(ξ)] =

[ξ(ξ − 1)

21− ξ2

ξ(ξ + 1)

2

],

[∂Ni

∂ξ

]=

[2 ξ − 1

2− 2 ξ

2 ξ + 1

2

](5.27)

Figure 10 – Element a trois nœuds : fonctions d’interpolation

L’element est isoparametrique :

– representation de la geometrie :

x(ξ) = [N ]

x1x2x3

=

ξ (ξ − 1)

2x1 + (1− ξ2) x2 +

ξ (ξ + 1)

2x3 (5.28)

Cette expression se reduit a : x(ξ) = x2 + ξL

2si le nœud 2 est situe au milieu de l’element.

– representation du champ de deplacements :

u(ξ) = [N ]

u1u2u3

=

ξ (ξ − 1)

2u1 + (1− ξ2) u2 +

ξ (ξ + 1)

2u3 (5.29)


J(ξ) =∂x(ξ)

∂ξ=

3∑

i=1

∂Ni

∂ξxi =

x3 − x12

+ ξ (x1 + x3 − 2x2) =L

2+ ξ (x1 + x3 − 2x2) (5.30)

et se reduit a L/2 si le nœud 2 est au milieu de l’element. La qualite du jacobien est egale a :

qJ = min

(1 +

2

L(x1 + x3 − 2x2) , 1− 2

L(x1 + x3 − 2x2)

)(5.31)

Elle est maximale (qJ = 1) si le nœud 2 est au milieu de l’element.

Remarque : la condition J(ξ) > 0 impose certaines conditions a la position du nœud 2. Consideronsl’element reel de longueur L et de coordonnees : x1 = −L/2 , x2 , x3 = L/2.


Le point de coordonnee ξ dans l’element de reference devient dans l’element reel le point de coordon-nee :

x(ξ) =1

2ξ L+ (1− ξ2) x2

et le jacobien de la transformation est egal a :

J(ξ) =1

2L− 2 ξ x2

Figure 11 – Transformation geometrique x(ξ) et jacobien de la transformation J(ξ)

Pour que le determinant du jacobien reste positif quand ξ varie de −1 a +1, la quantite x2 doitrester comprise entre les valeurs −L/4 et L/4. Si x2 est en dehors de cet intervalle, la transformationgeometrique n’est pas bijective : a certaines valeurs de l’abscisse x correspondent deux valeurs de ξ(figure 11).

5.3 Calcul des matrices elementaires

5.3.1 Transformation des derivees

La derivee d’une fonction f(x) par rapport a ξ est egale a :

∂f

∂ξ=

∂f

∂x

∂x

∂ξ= J

∂f

∂x(5.32)

On en deduit l’expression de la derivee de f(x) par rapport a x :

∂f

∂x=

1

J

∂f

∂ξ(5.33)

5.3.2 Transformation des longueurs

L’element de longueur dξ a l’abscisse ξ dans l’element de reference devient l’element de longueur dxa l’abscisse x(ξ) dans l’element reel (figure 12) :

dx =∂x

∂ξdξ = J(ξ) dξ


Figure 12 – Transformation des longueurs

Remarque : la longueur de l’element est egale a :

L =

∫ 1

−1J(ξ) dξ

5.3.3 Calcul des matrices

La matrice de rigidite est egale a :

[ k ] =

∫ L

0EA [B]T [B] dx =

∫ 1

−1E A(ξ) [B(ξ)]T [B(ξ)] J(ξ) dξ (5.34)

ou :

[B] = [B1 · · ·Bi · · ·Bn] avec Bi =∂Ni

∂x=

1

J

∂Ni

∂ξ(5.35)

De meme :

[m] =

∫ L

0ρA [N ]T [N ] dx =

∫ 1

−1ρA(ξ) [N(ξ)]T [N(ξ)] J(ξ) dξ (5.36)

{f(p)} =

∫ L

0p [N ]T dx =

∫ 1

−1p(ξ) [N(ξ)]T J(ξ) dξ (5.37)

{fth} =

∫ L

0E Aα∆T [B]T dx =

∫ 1

−1E A α ∆T [B(ξ)]T J(ξ) dξ (5.38)

5.3.4 Integration numerique

Ces integrales sont evaluees numeriquement par la methode de Gauss [3, 9, 10, 13] :

∫ 1

−1f(ξ) dξ ≈

npi∑

i=1

wi f(ξi) (5.39)

ou npi, wi et ξi sont respectivement le nombre de points d’integration, le poids et l’abscisse du ie pointd’integration.

npi ξi wi

1 0 2

2 ±0.57735026918962576(±

√1/3

)1

30 0.88888888888888889 (8/9)

±0.77459666924148338(±√3/5

)0.55555555555555556 (5/9)

4

±0.33998104358485626

±

√3− 2

√6/5

7

0.65214515486254614

(1

2+

1

6√

6/5

)

±0.86113631159405258

±

√3 + 2

√6/5

7

0.34785484513745386

(1

2− 1

6√

6/5

)

Table 1 – Points d’integration et coefficients de ponderation pour la methode de Gauss


Remarque : un polynome de degre inferieur ou egal a 2npi− 1 est integre exactement par la methodede Gauss a npi points.

Il vient pour les matrices elementaires :

[ k ] ≈npi∑

i=1

E A(ξi) [B(ξi)]T [B(ξi)] J(ξi)wi

[m] ≈npi∑

i=1

ρA(ξi) [N(ξi)]T [N(ξi)] J(ξi)wi

{f(p)} ≈npi∑

i=1

p(ξi) [N(ξi)]T J(ξi)wi

{fth} = {f(∆T )} ≈npi∑

i=1

E A(ξi)α∆T (ξi) [B(ξi)]T J(ξi)wi

(5.40)

5.4 Cas particulier : la section droite est constante

5.4.1 Element a deux nœuds

Jacobien de la transformation :

J =∂x

∂ξ=

2∑

i=1

∂Ni

∂ξxi =

L

2

Matrice [B] :

[B] =

[∂N1

∂x

∂N2

∂x

]=

1

J

[∂N1

∂ξ

∂N2

∂ξ

]=

1

L[−1 1]

Matrice de rigidite :

[k] =

∫ 1

−1EA [B]T [B] J dξ =

EA

L

[1 −1−1 1

]

Matrice de masse :

[m] =

∫ 1

−1ρA [N ]T [N ] J dξ =

ρAL

6

[2 11 2

]

Vecteur force du a une force uniformement repartie d’intensite lineique p :

{f} =

∫ 1

−1[N ]T p J dξ =

pL

2

{11

}

Vecteur force du a une force repartie dont l’intensite lineique varie lineairement entre les valeurs p1et p2 :

{f} =L

6

{2 p1 + p2p1 + 2 p2

}

Vecteur force du a une force ponctuelle d’intensite P situee a l’abscisse xP :

{f} =P

L

{ba

}, a = xP − x1 , b = x2 − xP

Vecteur force du a une variation de temperature ∆T constante :

{fth} = E A α ∆T

{−11

}


5.4.2 Element a trois nœuds equidistants

(programme 3n mat)

Jacobien de la transformation :

J =∂x

∂ξ=

3∑

i=1

∂Ni

∂ξxi =

L

2

Matrice [B] :

[B] =

[∂N1

∂x

∂N2

∂x

∂N3

∂x

]=

1

J

[∂N1

∂ξ

∂N2

∂ξ

∂N3

∂ξ

]=

1

L

[2 ξ − 1 −4 ξ 2 ξ + 1

]

Matrice de rigidite :

[k] =

∫ 1

−1EA [B]T [B]J dξ =

EA

3L

7 −8 1−8 16 −81 −8 7

Matrice de masse :

[m] =

∫ 1

−1ρA [N ]T [N ] J dξ =

ρAL

30

4 2 −12 16 2−1 2 4

Vecteur force du a une force uniformement repartie d’intensite lineique p :

{f} =

∫ 1

−1[N ]T p J dξ =

pL

6

141

Vecteur force du a une force repartie dont l’intensite lineique varie lineairement entre les valeurs p1et p3 :

{f} =L

6

p12 p1 + 2 p3

p3

Vecteur force du a une force ponctuelle d’intensite P situee a l’abscisse xP :

{f} =P

L2

b (L− 2 a)

4 a ba (L− 2 b)

, a = xP − x1 , b = x3 − xP

Vecteur force du a une variation de temperature ∆T constante :

{fth} = E A α∆T

−101

6 Calcul des contraintes

L’approximation du champ de deplacements dans un element est donnee sous forme parametrique :

x(ξ) =

n∑

i=1

Ni(ξ) xi , u(ξ) =

n∑

i=1

Ni(ξ) ui = [N ] {u} (6.1)

ou :

– n est le nombre de nœuds de l’element.


– les Ni(ξ) sont les fonctions d’interpolation elementaires.– {u} est le vecteur deplacement elementaire.– les xi sont les coordonnees nodales.

Soit L la longueur de l’element.

6.1 Premiere methode

Les contraintes sont calculees avec la formule :

σxx = E∂u

∂x= E [B] {u} (6.2)

avec :

[B] =

[∂N1

∂x. . .

∂Ni

∂x. . .

∂Nn

∂x

],

∂Ni

∂x=

1

J

∂Ni

∂ξ, J =

∂x

∂ξ=

n∑

i=1

∂Ni

∂ξxi

Le champ de contraintes est alors donne sous forme parametrique :

– Element a deux nœuds :

x(ξ) =x1 + x2

2+

L

2ξ , σxx(ξ) = E

∂u

∂x=

E

L

[−1 1]{u1

u2

}(6.3)

– Element a trois nœuds equidistants :

x(ξ) =x1 + x2

2+

L

2ξ , σxx(ξ) =

E

L

[2 ξ − 1 −4 ξ 2 ξ + 1

]u1u2u3

(6.4)

Cette methode donne le resultat exact pour un champ de contraintes constant (element a deux nœuds)ou lineaire (element a trois nœuds). Il est preferable d’utiliser la methode presentee au paragraphesuivant.

6.2 Deuxieme methode

L’equilibre de l’element s’ecrit (3.3a) :

W(u, u∗) =∫ xn

x1

Au∗ ρ u dx+

∫ xn

x1

Aε∗xx σxx dx−∫ xn

x1

u∗ p dx

+ (Au∗ σxx)x=x1 − (Au∗ σxx)x=xn = 0 ∀u∗(6.5)

De l’expression du champ de deplacements dans l’element :

u(x; t) = [N ] {u(t)} , u∗(x) = {u∗}T [N ]T

on deduit :

{u∗}T ( [m ] {u}+ [ k ] {u} − {f} − {fnod}) = 0 ∀ {u∗} (6.6)


avec :

[m ] =

∫ xn

x1

ρA [N ]T [N ] dx (6.7)

[ k ] =

∫ xn

x1

EA [B]T [B] dx (6.8)

{f} =

∫ xn

x1

[N ]T p dx+

∫ xn

x1

[B]TEAα∆T dx (6.9)

{fnod} =

−A(x1)σxx(x1)0...0

A(xn)σxx(xn)

=

−Nx(x1)0...0

Nx(xn)

(6.10)

ou Nx(x) est l’effort normal dans l’element.

L’equilibre de l’element s’ecrit finalement :

{fnod} = [m ] {u}+ [ k ]{u} − {f} (6.11)

Remarque : cette methode permet egalement le calcul des actions de liaison : si le deplacementdu ie nœud de l’element est prescrit, fnod,i est la contribution de l’element a l’action de liaison.

Cas particulier : probleme stationnaire

Si le probleme est stationnaire, la relation ci-dessus se reduit a :

{fnod} = [ k ]{u} − {f} (6.12)

Si la section droite est constante, cette formule donne la valeur exacte de l’effort normal aux deuxextremites de l’element.

L’integration de l’equation d’equilibre :

dNx

dx+ p = 0 (6.13)

donne l’effort normal Nx(x), puis la contrainte σxx(x) :

Nx(x) = Nx(x1)−∫ x

x1

p dx , σxx(x) =Nx(x)

A(6.14)

7 Exemples

7.1 Poutre soumise a une force repartie et a une force nodale

La poutre de longueur 3L representee sur la figure a une section droite constante d’aire A. Soit E lemodule de Young du materiau.


Les sections x = 0 et x = 3L sont encastrees. La poutre est soumise entre 2L et 3L a une force re-partie dont l’intensite lineique varie entre p et 0. La section d’abscisse L porte une force d’intensite pL.

La poutre est discretisee en trois elements a deux nœuds de longueur L.

– Partition des degres de liberte

Effectuons une partition des degres de liberte en deplacements connus et inconnus :

{UL} =

{u2u3

}, {US} =

{u1 = 0u4 = 0

}d’ou {U} =

{{UL}{US}

}=

u2 =?u3 =?u1 = 0u4 = 0

On en deduit la localisation des degres de liberte dans les matrices globales :

{DDL} =

u1 → 0u2 → 1u3 → 2u4 → 0

– Etude elementaire


[k1−2] = [k2−3] = [k3−4] =EA

L

[1 −1−1 1

], {f3−4} =

pL

6

{21

}

{ddl1−2} =

{u1 → 0u2 → 1

}, {ddl2−3} =

{u2 → 1u3 → 2

}, {ddl3−4} =

{u3 → 2u4 → 0

}

– Etude globale : assemblage et calcul des deplacements inconnus

L’assemblage conduit a la relation : [KLL] {UL} = {FL}

EA

L

[2 −1−1 2

]{u2u3

}=

{pL0

}+

pL

6

{02

}=

pL

3

{31

}

On en deduit :

u2 =7 pL2

9EA, u3 =

5 pL2

9EA

– Champ de deplacements et contraintes dans les elements (§ 6)

Pour chaque element, l’origine de l’axe est l’origine de l’element.

element 1− 2 :


– champ de deplacements :

x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) =

1− ξ

2u1 +

1 + ξ

2u2 = (1 + ξ)

7 pL2

18EA

– contraintes :

– methode 1 :

N(x) =E

L[−1 1 ]

{u1u2

}=

7 pL

9

– methode 2 : {−N1

N2

}= [k1−2]

{u1u2

}d’ou N1 = N2 =

7 pL

9

N(x) = N1 =7 pL

9

– reaction d’appui au nœud 1 :

F1 = −N1 =−7 pL

9

element 2− 3 :


x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) =

1− ξ

2u2 +

1 + ξ

2u3 = (6− ξ)

pL2

9EA

– contraintes :

– methode 1 :

N =EA

L[−1 1 ]

{u2u3

}=

−2 pL

9

– methode 2 : {−N2

N3

}= [k2−3]

{u2u3

}d’ou N2 = N3 =

−2 pL

9

N(x) = N2 =−2 pL

9

element 3− 4 :


x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) =

1− ξ

2u3 +

1 + ξ

2u4 = (1− ξ)

5 pL2

18EA

– contraintes :

– methode 1 :

N =EA

L[−1 1 ]

{u3u4

}=

−5 pL

9

– methode 2 :{−N3

N4

}= [k3−4]

{u3u4

}− pL

6

{21

}d’ou N3 =

−2 pL

9N4 =

−13 pl

18

N(x) = N3 − px+px2

2L=

−2 pL

9− px+

px2

2L


– reaction d’appui au nœud 4 :

F4 = N4 =−13 pL

18

Remarque : l’equilibre de la poutre est verifie :

F1 + F2 + F3 + F4 +pL

2=

−7 pL

9+ pL+ 0 +

−13 pL

18+

pL

2= 0

– Representations graphiques

Le champ de deplacements et l’effort normal sont representes sur la figure (13).

Figure 13 – Champ de deplacements et effort normal

7.2 Modes propres d’une poutre

7.2.1 Enonce

Considerons la poutre de longueur L representee sur la figure (14). La section x = 0 est encastree.

Figure 14 – Exemple 2

Soit A l’aire de la section droite. E et ρ sont respectivement le module de Young et la masse volumiquedu materiau.

Calculer les modes propres de vibration en utilisant les modelisations suivantes :

– La poutre est representee par un element a deux nœuds.– La poutre est discretisee en deux elements a deux nœuds de meme longueur.– La poutre est representee par un element a trois nœuds equidistants.

7.2.2 Solution analytique

L’equation d’equilibre s’ecrit :

ρA u− ∂

∂x

(EA

∂u

∂x

)= 0


avec les conditions aux limites :

u(x = 0; t) = 0 , σxx(x = L; t) = 0 soit∂u

∂x(x = L; t) = 0

La recherche de la solution harmonique

u(x; t) = u(x) sinω t

conduit a l’equation

Ed2u

dx2+ ω2 ρ u = 0 avec u(x = 0) = 0 et

∂u

∂x(x = L) = 0

qui admet comme solutions les fonctions :

un(x) = a sinωn

√ρ

Ex avec ωn = (2n− 1)

π

2

√E

ρL2n = 1, 2 . . .

soitun(x) = a sin (2n− 1)

π

2

x

L

Les deux plus petites pulsations propres sont donc egales a :

ω1 =π

2

√E

ρL2= 1.5708

√E

ρL2, ω2 =

3π

2

√E

ρL2= 4.7124

√E

ρL2

On a de plus :

u1(x = L/2) =

√2

2a = 0.7071 a , u1(x = L) = a

u2(x = L/2) =

√2

2a = 0.7071 a , u2(x = L) = −a

7.2.3 Modelisation 1

La poutre est representee par un element a deux nœuds.


{DDL} =

{u1 → 0u2 → 1

}

– Matrices elementaires


[k1−2] =EA

L

[1 −1−1 1

], [m1−2] =

ρAL

6

[2 11 2

]


– Etude globale : assemblage

L’assemblage conduit a l’equation :

ρAL

6[2] {u2}+ EA

L[1] {u2} = {0}

– Resolution

La solution harmonique cherchee est de la forme u2 = a2 sinω t d’ou :

−ρAL

62ω2 a2 sinω t+

EA

La2 sinω t = 0

La pulsation propre est egale a :

ω1 = 1.7321

√E

ρL2(erreur = 10.27 %)

Le vecteur propre associe est :

{01

}.

Le champ de deplacements s’ecrit sous forme parametrique :

x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) =

1 + ξ

2


La poutre est discretisee en deux elements (1− 2) et (2− 3) de longueurL

2.


{DDL} =

u1 → 0u2 → 1u3 → 2


{ddl1−2} =

{u1 → 0u2 → 1

}, {ddl2−3} =

{u2 → 1u3 → 2

}

[k1−2] = [k2−3] =2EA

L

[1 −1−1 1

], [m1−2] = [m2−3] =

ρAL

12

[2 11 2

]



ρAL

12

[4 11 2

] {u2u3

}+

2EA

L

[2 −1−1 1

]{u2u3

}=

{00

}


– Resolution

On cherche la solution harmonique{u2(t)u3(t)

}=

{a2a3

}sinω t

Les amplitudes a2 et a3 sont donc les solutions de l’equation aux valeurs propres :

2EA

L

[2 −1−1 1

],

{a2a3

}= ω2 ρAL

12

[4 11 2

] {a2a3

}(KLL] {UL} = ω2 [MLL] {UL})

Les modes propres sont :

– Mode 1 :

La pulsation propre est egal a :

ω1 = 1.6114

√E

ρL2(erreur = 2.59 %)


00.7071

1


element 1− 2 :

x(ξ) =1 + ξ

4L , u(ξ) =

1 + ξ

20.7071 = 0.3536 (1 + ξ)

element 2− 3 :

x(ξ) =3 + ξ

4L , u(ξ) =

1− ξ

20.7071 +

1 + ξ

2= 0.8536 + 0.1464 ξ

– Mode 2 :


ω2 = 5.6293

√E

ρL2(erreur = 19.46%)

Le vecteur propre est associe :

0−0.7071

1


element 1− 2 :

x(ξ) =1 + ξ

4L , u(ξ) = −1 + ξ

20.7071 = −0.3536 (1 + ξ)

element 2− 3 :

x(ξ) =3 + ξ

4L , u(ξ) = −1− ξ

20.7071 +

1 + ξ

2= 0.1464 + 0.8536 ξ



La poutre est representee par un element a trois nœuds equidistants (1− 2− 3).


{DDL} =

u1 → 0u2 → 1u3 → 2


La matrice de rigidite et la matrice masse sont :

[k1−2−3] =EA

3L

7 −8 1−8 16 −81 −8 7

, [m1−2−3] =

ρAL

30

4 2 −12 16 2−1 2 4



ρAL

30

[16 22 4

] {u2u3

}+

EA

3L

[16 −8−8 7

] {u2u3

}=

{00

}

– Resolution

On cherche la solution harmonique{u2(t)u3(t)

}=

{a2a3

}sinω t

Il vient :EA

3L

[16 −8−8 7

] {a2a3

}= ω2 ρAL

30

[16 22 4

] {a2a3

}

Les modes propres sont :

– Mode 1 :


ω1 = 1.5767

√E

ρL2(erreur = 0.38 %)


00.7068

1



x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) = (1− ξ2) 0.7068 +

ξ (ξ + 1)

2= 0.7068 + 0.5 ξ − 0.2068 ξ2

– Mode 2 :


ω2 = 5.6728

√E

ρL2(erreur = 20.38 %)


0−0.4068

1

.


x(ξ) =1 + ξ

2L , u(ξ) = −(1− ξ2) 0.4068 +

ξ (ξ + 1)

2= −0.4068 + 0.5 ξ + 0.9068 ξ2

7.3 Poutre a section droite variable soumise a une variation de temperature

7.3.1 Enonce

La poutre de longueur L representee sur la figure ci-dessous est encastree a ses deux extremites.

Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du materiau. Lasection droite est un carre plein dont le cote varie lineairement entre c et 2 c. La poutre est soumisea une variation de temperature ∆T constante.

Etudier le champ de deplacements u(x) et le champ de contraintes σxx(x) dans la poutre.


Le champ de deplacements u(x) et le champ de contraintes σxx sont les solutions de :

∂

∂x(Aσxx) = 0 , σxx = E

(∂u

∂x− α∆T

)avec A(x) = c2

(1 +

x

L

)


avec les conditions aux limites : u(x = 0) = u(x = L) = 0.

On en deduit :Aσxx = N

ou la constante N est l’effort normal dans la poutre.

Le champ de deplacements u(x) est la solution de l’equation :

∂u

∂x= α ∆T +

N

EA= α ∆T +

N L2

E c2 (L+ x)2avec u(x = 0) = u(x = L) = 0

On obtient :

u(x) = α∆T

(x− 2L+

2L2

L+ x

)et N = −2α∆T E c2

Le deplacement au milieu de la poutre est :

u(x = L/2) = −1

6α∆T L = −0.1667α∆T L

Le deplacement est maximal pour xmax = L (√2− 1) = 0.4142L :

u(xmax) = α∆T L (2√2− 3) = −0.1716α∆T L.

La contrainte normale dans la poutre est egale a :

σxx =N

A= −2E α∆T

L2

(L+ x)2

d’ou

σxx(x = 0) = −2E α∆T , σxx(x = L) = −1

2E α∆T

7.3.3 Solution elements finis

Posons :u(x = 0.5L) = C1 α∆T L , xmax = C2 L , u(xmax) = C3 α∆T L.

N = C4 α∆T E c2

Les contraintes sur un element sont evaluees a l’aide de la formule : {fnod} = [ k ]{u} − {f}

– La poutre est discretisee en elements a 2 nœuds :

Les matrices de rigidite et les forces elementaires sont evaluees par integration numeriqueavec 2 points de Gauss.

Nombre NombreC1 C2 C3 C4d’elements de nœuds

2 3-0.1607 0.5000 -0.1607 -2.092-3.60 % * 20.71 % -6.35 % -4.61 %

4 5-0.1650 0.5000 -0.1650 -2.024-1.02 % 20.71% -3.85 % -1.20 %

8 9-0.1663 0.3750 -0.1700 -2.006-0.24 % -9.46 % -0.93 % -0.30 %

12 13-0.1665 0.4167 -0.1714 -2.003-0.12 % 0.60 % -0.12 % -0.13 %

Solution analytique -0.1667 0.4142 -0.1716 -2.000


* Erreur par rapport a la solution analytique.

– La poutre est discretisee en elements a 3 nœuds equidistants :

Les matrices de rigidite et les forces elementaires sont evaluees par integration numerique avecrespectivement 3 et 2 points de Gauss.

Nombre NombreC1 C2 C3 C4d’elements de nœuds

1 3-0.1562 0.5000 -0.1562 -2.021-6.30 % 20.71 % -8.97 % -1.04 %

2 5-0.1665 0.4098 -0.1749 -2.002-0.12 % -1.06 % 1.92 % -0.10 %

4 9-0.1667 0.4182 -0.1718 -2.0000.00 % 0.97 % 0.12 % -0.01 %

Solution analytique -0.1667 0.4142 -0.1716 -2.000

Remarque : dans � RDM-Ossatures �, la matrice de rigidite est calculee a l’aide du theoreme deCastigliano ; on obtient (avec un seul element de poutre) :

C1 = −0.1667 (0 %) , C2 = 0.4200 (1.40 %)

C3 = −0.1715 (−0.06 %) , C4 = −2.000 (0 %)

7.4 Influence de la position du nœud � milieu � sur la performance d’un elementisoparametrique a trois nœuds

La poutre representee ci-dessous, de longueur L et de section droite constante, est encastree a sesdeux extremites. Soient A l’aire de la section et E le module de Young du materiau. Elle est soumisesur toute sa longueur a une force uniformement repartie d’intensite lineique p.

Solution analytique :

Le champ de deplacements est solution de l’equation :

d2u

dx2+

p

EA= 0 avec u

(±L

2

)= 0

La solution exacte de cette equation est :

u(x) =

(1− 4x2

L2

)pL2

8EA

Le deplacement est maximal pour x = 0 et vautpL2

8EA.


La contrainte normale suivant x est egale a :

σxx(x) = E∂u

∂x= −p x

Ad’ou σxx(−L/2) =

pL

2Aet σxx(L/2) = −pL

2A

Discretisation :

Le mur est represente par un element isoparametrique a trois nœuds :

– Representation de la geometrie :

x(ξ) =[N1 N2 N3

]x1 = −L/2

x2x3 = L/2

avec

N1(ξ) = −ξ (1− ξ)/2N2(ξ) = 1− ξ2

N3(ξ) = ξ (1 + ξ)/2

d’ou

x(ξ) = ξL

2+ (1− ξ2)x2


J =∂x(ξ)

∂ξ=

3∑

i=1

∂Ni(ξ)

∂ξxi =

L

2

(1− 4 ξ

x2L

)

– Representation du champ de deplacements :

u(ξ) =[N1 N2 N3

]u1 = 0u2

u3 = 0

= (1− ξ2)u2

Le deplacement est donc maximal dans l’element pour ξ = 0, c’est a dire pour x = x2 quel quesoit la valeur de x2 .

Resolution (programme 3n milieu) :

Calcul du deplacement inconnu u2 :

Compte-tenu des conditions aux limites, le deplacement u2 est solution de l’equation :

K22 u2 = F2 avec K22 =

∫ L/2

−L/2EA

∂N2

∂x

∂N2

∂xdx et F2 =

∫ L/2

−L/2pN2 dx

En utilisant les relations∂N2

∂x=

1

J

∂N2

∂ξet dx = J dξ,

il vient :

K22 =8EA

L

∫ 1

−1

ξ2

1− 4 ξx2L

dξ , F2 =

∫ 1

−1p (1− ξ2)

L

2

(1− 4 ξ

x2L

)dξ =

2 pL

3

Remarque : la force nodale F2 est independante de x2 (les termes de degre impair n’apportent aucunecontribution a F2).

Le deplacement de la section d’abscisse x2 est egal a CpL2

8EAou le coefficient C depend de x2 et du

nombre de points de Gauss npi utilises pour calculer le coefficient K22 :


x2 qJ CanalytiqueCelements finis

npi = 2 npi = 3 npi = 4 npi = 5 K22 exact

0 1 1 1 = = = =

0.05L 0.80 0.9900.987 0.976

= = =-0.30 %∗ -1.41 %

0.10L 0.60 0.9600.947 0.940 0.902

= =-1.35 % -2.08 % -6.04 %

0.15L 0.40 0.9500.880 0.784 0.774 0.773

=-7.37 % -17.47 % -18.53 % -18.63 %

0.20L 0.20 0.8400.787 0.616 0.582 0.574 0.572-6.35 % -26.67 % -30.71 % -31.62 % -31.90 %

∗ Erreur par rapport a la solution analytique.

Remarques :

– Dans la table ci-dessus, qJ represente la qualite du jacobien (5.7) :

qJ =longueur de l’element de reference

longueur de l’element reelmin (J) = 1− 4

|x2|L

– si x2 = 0, le modele donne la solution exacte.

– Canalytique = 1− 4 x22L2

(voir solution analytique)

– La meilleure solution est obtenue avec npi = 2.

Figure 15 – Champ de deplacements u(x)

Calcul de la contrainte normale dans la poutre :

La matrice de rigidite est evaluee avec deux points de Gauss :

ξG1 = −ξG2 = − 1√3

, wG1 = wG2 = 1

Posons α =4x2√3L

. Il vient :

K22 =16EA

3L (1− α2)d’ou u2 =

pL2

8EA(1− α2)

Methode 1 : la contrainte σxx est evaluee a l’aide de la loi de comportement :

σxx(ξ) = E∂u(x)

∂x= E

[∂N

∂x

]{U}


qui se reduit ici a :

σxx = E1

J

∂N2

∂ξu2 =

E

L

4 ξ

4 ξx2L

− 1u2 = K

pL

A

On obtient pour K :

x2 nœud 1 nœud 3

0 0.500 -0.500

0.05 L 0.411 -0.617

0.10 L 0.338 -0.789

0.15 L 0.275 -1.100

0.25 L 0.219 -1.967

Remarque : evaluons σxx aux deux points de Gauss G1 et G2. Il vient :

xG1 = x

(− 1√

3

)= − L

2√3(1− α) , σG1 = σxx

(− 1√

3

)=

pL

2√3A

(1− α) = − p

AxG1

xG2 = x

(1√3

)=

L

2√3(1 + α) , σG2 = σxx

(1√3

)= − pL

2√3A

(1 + α) = − p

AxG2

La droite qui passe par les valeurs calculees aux deux points de Gauss a pour equation :

σxx(x) = − p

Ax

Elle est independante de x2 et represente dans ce cas particulier la solution exacte.

Methode 2 : On utilise la relation : {fnod} = [ k ] {u} − {f}. Il vient :−N1 = K12 u2 − F1 , N3 = K32 u2 − F3

avec : {K12

K32= ±EA

L

4 (√3α∓ 2)

3 (1− α2),

{F1

F3= ±pL

6(1±

√3α)

N1 et N3 sont les efforts normaux aux nœuds 1 et 3. On obtient :

N1 = −N3 =pL

2

L’effort normal dans l’element est egal a :

N(x) = Aσxx(x) = N1 −∫ x

−L/2p dx = −p x

Le champ de contraintes obtenu avec cette methode est exact. Il est independant de la positiondu nœud 2 (il est egalement independant du nombre de points d’integration utilises pour calculerla matrice de rigidite).

Figure 16 – Contrainte normale σxx


8 Probleme elastostatique : energie potentielle et methode de Ritz

Les methodes variationnelles sont illustrees sur l’exemple suivant : la poutre d’axe x et de longueur Lrepresentee sur la figure ci-dessous est encastree a son origine.

Soient A et E respectivement l’aire de la section droite et le module de Young du materiau.

La poutre est soumise a une force repartie d’intensite lineique p(x) et a une force F appliquee sur lasection libre.

La forme integrale faible (3.3) se reduit a :

W(u, u∗) =∫ L

0EAε∗xx εxx dx−

∫ L

0u∗ p dx− u∗(L) F = 0 ∀ u∗ (8.1)

8.1 Calcul des variations

Le probleme fondamental du calcul des variations consiste a chercher la fonction u(x) qui rend sta-tionnaire la fonctionnelle (ou � fonction de fonctions �) :

J (u) =

∫ b

aF

(x, u,

∂u

∂x, . . . ,

∂nu

∂xn

)dx (8.2)

ce qui s’ecrit :

δJ = 0 ∀ δu (8.3)

Les principales proprietes de l’operateur variation δ sont ([2, 9, 14]) :

δ2(u) = δ(δu) = 0

δ

(∂u

∂x

)=

∂(δu)

∂x

δF (u,∂u

∂x, . . .) =

∂F

∂uδu+

∂F

∂

(∂u

∂x

) δ

(∂u

∂x

)+ · · ·

δ(F +G) = δF + δG

ou F (u,∂u

∂x, . . .) et G(u,

∂u

∂x, . . .) sont deux fonctionnelles de u(x)

δ(F G) = δF G+ F δG

δ(Fn) = n Fn−1 δF

δ(c F ) = c δF ou c est une constante

δ

∫F dx =

∫δF dx

(8.4)


8.2 Energie potentielle

Considerons la fonctionnelle :

Epot(u) = Edef(u)−Wext(u) (8.5)

ou :

– u est un champ de deplacements cinematiquement admissible (en particulier δu(0) = 0).

– Edef(u) est l’energie de deformation :

Edef(u) =1

2

∫ L

0EA

(∂u

∂x

)2

dx (8.6)

– Wext(u) est travail des forces appliquees pour le deplacement u(x) :

Wext(u) =

∫ L

0u p dx+ u(L) F (8.7)

– Epot(u) est l’energie potentielle du systeme pour le deplacement u(x).

Figure 17 – Champ de deplacements cinematiquement admissible et variation δu de u(x)

La condition de stationnarite (8.3) s’ecrit :

δEpot = δEdef − δWext = 0 ∀ δu (8.8)

soit :

δEpot(u) =

∫ L

0EA

∂u

∂xδ

(∂u

∂x

)dx−

∫ L

0δu p dx− δu(L) F

=

∫ L

0Aσxx

∂(δu)

∂xdx−

∫ L

0δu p dx− δu(L) F = 0 ∀ δu

(8.9)

Cette equation est identique a (8.1) si on choisit {u∗} = {δu}.

La seconde variation de Epot(u) est egale a :

δ2Epot = δ (δ Epot) =

∫ L

0EA

(δ

(∂u

∂x

))2

dx =

∫ L

0EA (δεxx)

2 dx = δ2Edef (8.10)

car δ2(u) = 0 et δ2(∂u

∂x

)=

∂(δ2u)

∂x= 0.

On en deduit :

δ2Epot > 0 ∀ δu 6= 0 (8.11)


Evaluons la quantite Epot(uexact + δu) :

Epot(uexact + δu) = Epot(uexact) + δEpot(u)|u=uexact+

1

2δ2Epot

∣∣u=uexact

= Epot(uexact) +1

2δ2Epot

∣∣u=uexact

≥ Epot(uexact)

(8.12)

Le champ de deplacements uexact + δu etant cinematiquement admissible, on en deduit :

Epot(uexact) ≤ Epot(uCA) ∀ uCA (8.13)

On peut donc enoncer le theoreme suivant :

Parmi l’ensemble des champs de deplacements cinematiquementadmissibles, le champ de deplacements exact est celui qui minimisel’energie potentielle.

Remarques :

– la premiere variation de l’energie potentielle peut s’ecrire apres integration par parties :

δEpot =

∫ L

0

(∂

∂x(Aσxx) + p

)δu dx+ (Aσxx(L)− F ) δu(L) = 0 ∀ δu (8.14)

ce qui conduit sous certaines conditions de regularite a l’equation d’equilibre de la poutre :

∂

∂x(Aσxx) + p = 0 (8.15)

et a la condition aux limites :Aσxx(L) = F (8.16)

–

Epot(uCA)−Epot(uexact) =1

2

∫ L

0EA ( εCA− εexact)

2 dx =1

2

∫ L

0

A

E(σCA−σexact)

2 dx (8.17)

ou les deformations et les contraintes sont evaluees avec les champs de deplacements uCA

et uexact.

8.3 Methode de Ritz

On cherche une solution approchee de la forme :

u(x) =n∑

k=1

ck Pk(x) = [P (x)] {C} (8.18)

avec

[P (x)] =[P1(x) · · · Pk(x) · · · Pn(x)

], {C} =

c1...ck...cn

(8.19)

ou :


– les fonctions Pk(x) sont cinematiquement admissibles.

– les coefficients ck sont des constantes a determiner.

On en deduit :

εxx =∂u

∂x= [P ′(x)] {C} ou [P ′(x)] =

[∂P1

∂x· · · ∂Pk

∂x· · · ∂Pn

∂x

](8.20)

En portant ces relations dans Epot(u), on obtient l’expression discretisee de l’energie potentielle :

Epot(c1, · · · , ck, · · · , cn) = 1

2{C}T [K] {C} − {C}T {F} (8.21)

avec :

[K] =

∫ L

0EA [P ′(x)]T [P ′(x)] dx , {F} =

∫ L

0[P (x)]T p(x) dx (8.22)

Remarque : par construction, la matrice [K] est symetrique.

La condition de stationnarite de l’energie potentielle s’ecrit :

δEpot =n∑

k=1

∂Epot

∂ckδck = 0 ∀ δck (8.23)

d’ou∂Epot

∂c1= 0 , · · · ,

∂Epot

∂ck= 0 , · · · ,

∂Epot

∂cn= 0 (8.24)

Les coefficients ck sont donc les solutions de l’equation :

[K] {C} = {F} (8.25)

Soient {C} la solution de cette equation et u le champ de deplacements associe. Il vient pour l’energiede deformation, le travail des forces exterieures et l’energie potentielle :

Edef(u) =1

2{C}T {F} , Wext(u) = {C}T {F} , Epot(u) = −Edef(u) (8.26)

8.4 Methode de Ritz et elements finis

Si on choisit comme fonctions Pk(x) les fonctions d’interpolation associees aux deplacements inconnus,le champ deplacements est approche par :

u(x) = [NL] {UL} (dans l’exemple choisi, il n’y a pas de deplacements connus non nuls)

L’energie potentielle s’ecrit :

Epot(UL) =1

2{UL}T [KLL] {UL} − {UL}T {FL} (8.27)

et la condition de stationnarite de l’energie potentielle conduit a l’equation :

[KLL] {UL} = {FL} (8.28)


8.5 Exemple

La poutre d’axe x et de longueur L representee sur la figure ci-contre est encastree a son origine.Soient A et E respectivement l’aire de la section droite et le module de Young du materiau. La poutreest soumise sur toute sa longueur a une force repartie d’intensite lineique p(x) = p0 (1− x/L).


L’effort normal N(x) est solution de l’equation :

dN

dx= −p = p0

(x

L− 1

)avec N(L) = 0

d’ou :

N(x) =p02L

(x2 − 2Lx+ L2)

Le champ de deplacements est solution de l’equation (loi de comportement) :

du

dx= εxx =

σxxE

=N

EAavec u(0) = 0

d’ou :

u(x) =p0 x

6EAL(x2 − 3Lx+ 3L2)

On en deduit :

– le deplacement du point d’abscisse L :

u(L) =p0 L

2

6EA= Cu

p0 L2

EA

– l’energie de deformation et l’energie potentielle :

Edef =1

2

∫ L

0EA

(∂u

∂x

)2

dx =p20 L

3

40EA, Wext =

∫ L

0u p dx = 2Edef

Epot = Edef −Wext = −Edef = Cp20 L

3

EA

– la contrainte a l’origine et a l’extremite de la poutre :

σxx(x = 0) =p0 L

2A= Cσ0

p0 L

A, σxx(x = L) = 0 = CσL

p0 L

A

8.5.2 Methode de Ritz

Cherchons la solution sous la forme :

u(x) =

n∑

k=1

ck sin

(k π

2

x

L

)soit Pk(x) = sin

(ak

x

L

)avec ak =

k π

2


Il vient :

Kij =

∫ L

0EA

(∂Pi

∂x

) (∂Pj

∂x

)dx

=EA

L

ai aj(a2i − a2j )

(ai cos aj sin ai − aj cos ai sin aj) si i <> j

a2i2

si i = j

Fi =

∫ L

0Pi p0

(1− x

L

)dx =

p0 L

a2i(ai − sin ai)

On obtient :

Nombre d’inconnues Cu C Cσ0 CσL

10.1875 -0.02169 0.295 0

12.51 %* 13.24% -41.09 %

20.1619 -0.02353 0.349 -0.095-2.84 % 5.89 % -30.19 %

30.1670 -0.02470 0.408 0.0240.19 % 1.18 % -18.34 %

40.1666 -0.02485 0.428 -0.027-0.03 % 0.62 %) -14.40 %

50.1667 -0.02492 0.443 0.0170.00 % 0.30 % -11.43 %

10 =-0.02499 0.471 -0.0070.04 % -5.74 %

20 =-0.02500 0.484 0.0040.01 % -3.22 %

Solution analytique 0.1667 -0.02500 0.500 0.000

* 100C − Cexact

|Cexact|

8.5.3 Elements finis

Pour cet exemple, la methode des elements finis donne la valeur exacte des deplacements nodaux. Ilen va de meme pour les contraintes nodales evaluees dans chaque element avec la formule {fnod} =[ k ]{u} − {f}.

– la poutre est discretisee en elements a 2 nœuds :

Nombre d’elements Nombre d’inconnues C

1 1 -0.013889 (44.44 %)

2 2 -0.021701 (13.19 %)

4 4 -0.024143 (3.43 %)

6 6 -0.024616 (1.53 %)

8 8 -0.024784 (0.87 %)

10 10 -0.024861 (0.55 %)

20 20 -0.024965 (0.14 %)

50 50 -0.024994 (0.02 %)

Solution analytique -0.02500


– la poutre est discretisee en elements a 3 nœuds equidistants :

Nombre d’elements Nombre d’inconnues C

1 2 -0.024306 (2.78 %)

2 4 -0.024957 (0.17 %)

3 6 -0.024991 (0.03 %)

4 8 -0.024997 (0.01 %)

Solution analytique -0.02500

– Remarques : pour toutes les discretisations, on obtient la valeur exacte :

– du deplacement u(L).

– des contraintes σxx(0) et σxx(L) evaluees avec la relation : {fnod} = [k] {u} − {f}.

Energie potentielle

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10

Nombre d'inconnues

Erreur en %

Eléments à 2 nœuds

Eléments à 3 nœuds


A Programmes Maple

Les programmes suivants sont dans le fichier map elas 1d.txt.

A.1 3n int : element a 3 nœuds

# element a 3 nœuds

# fonctions d’interpolation

restart:

with(linalg):

x:=xi->a0+a1*xi+a2*xi*xi;

solve(x1=x(-1),x2=x(0),x3=x(1),a0,a1,a2):assign(%):

N:=grad(x(xi),[x1,x2,x3]):

N:=map(factor,N);

dN:=map(diff,N,xi);

plot([N[1],N[2],N[3]],xi=-1..1,legend=[N1,N2,N3],

color=[red,blue,green],thickness=2, title="Element a 3 nœuds :

fonctions d’interpolation");

A.2 3n mat : element a 3 nœuds

# element a 3 nœuds

# calcul des matrices elementaires

restart:with(linalg):

# representation de la geometrie et jacobien

x:=(1+xi)*L/2;J:=L/2;


N:=vector([xi*(-1+xi)/2,-(-1+xi)*(xi+1),xi*(xi+1)/2]);

dN:=vector([-1/2+xi,-2*xi,xi+1/2]);

# matrice de rigidite

B:=scalarmul(dN,1/J);

k:=Matrix(3,3,(i,j)->int(B[i]*B[j]*E*A*J,xi=-1..1),shape=symmetric);

# matrice de masse

m:=Matrix(3,3,(i,j)->int(N[i]*N[j]*rho*A*J,xi=-1..1),shape=symmetric);

# vecteur force

px:=pxi*(1-xi)/2+pxj*(1+xi)/2;

f:=vector(3,i->int(N[i]*px*J,xi=-1..1)):f:=simplify(f);

f:=jacobian(f,[pxi,pxj]);


A.3 3n milieu : element a 3 nœuds

# influence de la position du nœud milieu

# sur la performance d’un element a 3 nœuds

restart:with(linalg):with(plots):


N:=[-xi*(1-xi)/2,1-xi*xi,xi*(1+xi)/2];

dN:=[(2*xi-1)/2,-2*xi,(2*xi+1)/2];

# transformation geometrique et jacobien

x:=-N[1]*L/2+N[2]*x2+N[3]*L/2:x:=simplify(%);

J:=diff(x,xi);

# matrice [B]

B:=simplify([seq(dN[i]/J,i=1..3)]);

# calcul de la matrice de rigidite

# par integration numerique avec 2 points de Gauss

G1:=-sqrt(3)/3;G2:=-G1;

Kij:=(i,j)->subs(xi=G1,E*A*B[i]*B[j]*J)+subs(xi=G2,E*A*B[i]*B[j]*J);

K:=simplify(matrix(3,3,Kij));

Fi:=i->subs(xi=G1,p*N[i]*J)+subs(xi=G2,p*N[i]*J);

F:=simplify(vector(3,Fi));

# calcul du deplacement du nœud 2

U2:=simplify(F[2]/K[2,2]);

# champ de deplacements

u:=N[2]*U2;

# calcul des efforts normaux aux nœuds par la methode 2

N1:=-simplify(K[1,2]*U2-F[1]);

N3:=simplify(K[3,2]*U2-F[3]);

# calcul des efforts normaux par la methode 1

Nx:=A*E*B[2]*U2;

# representations graphiques

L:=1;A:=1;E:=1;p:=1;


eq:=x2=0.15*L;

# champ de deplacements

plotuexact:=plot([subs(x2=0,x),subs(x2=0,u),xi=-1..1],

title="Champ de deplacements u(x)",color=green,thickness=2):

plotu:=plot([subs(eq,x),subs(eq,u),xi=-1..1],color=blue,thickness=2):

plotx2:=plot([subs(eq,xi=0,x),xi,xi=0..p*L*L/8/E/A],color=red):

display(plotuexact,plotu,plotx2);

# efforts normaux

plotNexact:=plot([subs(x2=0,x),subs(x2=0,Nx),xi=-1..1],

title="Effort normal N(x)",color=green,thickness=2):

plotN:=plot([subs(eq,x),subs(eq,Nx),xi=-1..1],color=blue,thickness=2):

plotG1:=plot([subs(eq,xi=G1,x),xi,xi=0..0.5],color=red):

plotG2:=plot([subs(eq,xi=G2,x),xi,xi=0..-0.5],color=red):

display(plotNexact,plotN,plotG1,plotG2);


References

[1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebung-smethode in der statik, Vieweg, 1986.

[2] K.-J. Bathe – Finite element procedures in engineering analysis, Prentice Hall, 1996.

[3] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Modelisation des structures par elements finis, Volume 1. Solideselastiques, Hermes, 1990.

[4] — , Modelisation des structures par elements finis, Volume 2. Poutres et plaques, Hermes, 1990.

[5] L. Chevalier – Mecanique des systemes et des milieux deformables. Cours, exercices et pro-blemes corriges, Ellipses, 2004.

[6] R. D. Cook, D. S. Malkus et M. E. Plesha – Concepts and applications of finite elementanalysis, 3 ed., Wiley, 1989.

[7] M. A. Crisfield – Finite elements and solution procedures for structural analysis, PineridgePress, 1986.

[8] G. Dhatt et G. Touzot – Une presentation de la methode des elements finis, Maloine, 1984.

[9] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefrancois – Methode des elements finis, Hermes, 2005.

[10] F. Frey et J. Jirousek – Traite du genie civil, Volume 6. Methode des elements finis, PressesPolytechniques et Universitaires Romandes, 2001.

[11] R. H. Gallagher – Introduction aux elements finis, Pluralis, 1976.

[12] T. J. Hughes – The finite element method. Linear static and dynamic finite element analysis,Dover, 2000.

[13] J.-F. Imbert – Analyse des structures par elements finis, 3 ed., Cepadues, 1995.

[14] A. Le Pourhiet – Resolution numerique des equations aux derivees partielles. Une premiereapproche, Cepadues, 1988.

[15] R. H. MacNeal – Finite elements. Their design and performance, Dekker, 1994.

[16] N. Ottosen et H. Petersson – Introduction to the finite element method, Prentice Hall, 1992.

[17] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach,Springer, 2002.

[18] B. Szabo et I. Babuska – Finite element analysis, Wiley, 1991.

[19] P. Thomas – Elements finis pour l’ingenieur. Grands principes et petites recettes, Tec & Doc(Collection EDF R&D), 2006.

[20] C. Wielgoz – Cours et exercices de resistance des materiaux : elasticite, plasticite, elementsfinis, Ellipses, 1999.

[21] O. C. Zienkiewicz et R. L. Taylor – La methode des elements finis. Formulation de base etproblemes lineaires, AFNOR, 1989.

[22] — , The finite element method, Volume 1. The basis, Butterworth-Heinemann, 2000.

[23] — , The finite element method, Volume 2. Solid mechanics, Butterworth-Heinemann, 2000.

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