METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)...Univerzitet u Beogradu –Građevinski fakultet Studijski program:...
Transcript of METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)...Univerzitet u Beogradu –Građevinski fakultet Studijski program:...
Beograd, 2020.Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne
mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.
Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs
Studijski program: GRAĐEVINARSTVOModul: KONSTRUKCIJEGodina/Semestar: III godina / V semestar
Naziv predmeta: METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)Nastavnik: Prof. dr Zlatko Marković
Naslov predavanja: Bočno-torziono izvijanjeDatum : 2. novembar 2020. godine
Metalne konstrukcije 1 P7-2
Metalne konstrukcije 1 P7-3
Metalne konstrukcije 1 P7-4
Teorijske osnove
Problem je prvi analizirao Timošenko.Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:– materijal idealno elastičan;– nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);– sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti
oslonci);– poprečni presek nosača je obostrano simetričan i
konstantan duž raspona nosača (I presek);– poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;– moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;– deformacije su male (sin=; cos=1);
Metalne konstrukcije 1 P7-5
Deformisan oblik nosača
yy MMM cos
yy MMM sin
dxdvMMM yT
Metalne konstrukcije 1 P8-6
Osnovne diferencijalne jednačine problema
2
2
dxxwdEIMM yy
)(
2
2
dxxvdEIMM zy
)(
3
3
dxdEI
dxdGI
dxdvMM wtyT
Savijanje oko jače y-y ose
Savijanje oko slabije z-z ose
Torzija
EIy krutost na savijanje oko jače ose,
EIz krutost na savijanje oko slabije ose,
It torzioni moment inercije,
Iw sektorski moment inercije,
v, w i nepoznata generalisana pomeranja. P7-6
Metalne konstrukcije 1 P7-7
Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja
Granični uslovi
02
2
2
4
4
z
ytw EI
MdxdGI
dxdEI
00 )( 0002
2 )()(
dxd 0)(L 02
2 )()( L
dxLd
)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx
Pretpostavljen oblik rešenja
P7-8
Kritičan moment bočno-torzionog izvijanja - Mcr
EIz krutost na savijanje oko slabije ose,
GIt torziona krutost
Iw sektorski moment inercije,
L raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).
z
t
z
wzcr EI
GILII
LEIM 2
2
2
2
2
2
2
2
LEIGI
LEIM w
tz
cr
Dati izrazi važe za viljuškasto oslanjanje na krajevima i konstantan dijagram momenata. Označava se i sa Mcr,E!
ili
Ncr,z torziona krutost
Faktori od uticaja na vrednost Mcr
– Krutost nosača (It, Iz i Iw);– Uslovi bočnog oslanjanja;– Način naprezanja (oblik dijagrama momenata
savijanja);– Položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar
smicanja poprečnog preseka;– Oblik poprečnog preseka (simetričan ili
monosimetričan);
Metalne konstrukcije 1 P7-9
Metalne konstrukcije 1 P7-10
Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja
Uticaj dijagrama momenata savijanja
2
22
2 LEIGI
LEIMM w
tz
mEcrmcr ,
56230051751 2 ,,,, mmm
P7-11
Parametar m
P7-13
Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr
jgjg
z
t
z
w
w
zcr zCzCzCzC
EIGIkL
II
kk
kLEICM 32
2322
22
2
2
1
C1 koeficijent koji uvodi u proračun različite oblike dijagrama momenata (C1 = m);
C2 koeficijent kojim se uzima u obzir položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja;
C3 koeficijent kojim se uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja;
k i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;
zg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje;
zj parametar koji uzima u obzir stepen asimetrije poprečnog preseka kod monosimetričnih preseka;
Za kompleksnije slučajeve Mcr može da se odredi primenom FEM ili prikladnog softvera (npr. LTBeam)
Metalne konstrukcije 1 P7-14
Koeficijenti C1, C2 i C3
Metalne konstrukcije 1 P7-15
Monosimetrični poprečni preseci i uticaj položaja opterećenja
Ay
sj dAzzyI
zz 21 22 )(
sQg zzz
Rastojanja (zQ i zs) su pozitivna kada se nalaze u prtisnutom delu preska, a negativne kada se nalaze u zategnutoj zoni!
Metalne konstrukcije 1 P7-16
Metalne konstrukcije 1 P7-17
Uticaj položaja poprečnog opterećenja na vrednost Mcr
Metalne konstrukcije 1 P7-18
Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje
– Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne geometrijske imperfekcije,...);
– Granična vrednost momenta nosivost (Mu) je manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja (Mcr) ;
– Stvarno ponašanje nosača odstupa od bifurkacionog modela stabilnosti
Bočno-torziono izvijanje nosača sa početnim geometrijskim imperfekcijama
Modifikovane diferencijalne jednačine:
Lxxv sin)( 00
Lxx sin)( 00
početna imperfekcija bočnog pomeranja (savijanje oko z-z ose)
početna imperfekcija obrtanja preseka (uniformna i ograničena torzija)
zcr
cr
NM
,
0
0
vrednost amplituda početnih imperfekcija su
međusobno zavisne!
2
2
0 dxxvdEIM zy)()(
dxvvdM
dxdEI
dxdGI ywt
)( 03
3
Lx
MMMM
xvcry
cry sin/
/)(
1 0
Rešenja diferencijalne jednačine:
Lx
MMMM
xcry
cry sin/
/)(
1 0
Metalne konstrukcije 1 P7-19
Uticaj geometrijskih imperfekcija
Metalne konstrukcije 1 P7-20
Graničan moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje Mu
uticaj početnih imperfekcija
22
1
LTLTLTRky
u
ΦΦMM
,
2121
LTLTΦ
2
2
2 2
/,,
,max,
/
Lx
s
zel
z
yel
EdyEd dx
hxxvdWEI
WM
Maksimalan napon u najopterećenijem preseku (x=L/2):
Graničan moment Mu se dobija iz uslova yEd fmax,
Metalne konstrukcije 1 P7-21
Metalne konstrukcije 1 P7-22
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost za bočno-torziono izvijanje
Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja;My,Rk karakterističan moment nosivosti poprečnog preseka;My,Rk = My,pl za preseke klase 1 i 2;My,Rk = My,el za preseke klase 3;My,Rk = My,eff za preseke klase 4.
cr
RkyLT M
M ,
Veza granični moment - bezdimenzionalna vitkost
Metalne konstrukcije 1 P7-23
Metalne konstrukcije 1 P7-24
Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3
MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;LT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;fy granica razvlačenja.
1MyyLTRdb fWM /,
4 klasu za3 klasu za
2 i 1 klase za
yeff
yel
ypl
y
WWW
W
min,,
min,,
,
01,,
Rdb
Ed
MM
Bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja LT
Evrokod 3 daje dve alternative za proračun:– Opšta metoda (za sve oblike preseka, daje
konzervativnije vrednosti);– Metoda za standardne vrućevaljane profile i
ekvivalentne (obostrano simetrične) zavarene profile.
Pored toga, postoji uprošćena metoda za mestimično bočno-pridržane nosače u zgradarstvu.
Metalne konstrukcije 1 P7-25
Metalne konstrukcije 1 P7-26
Opšta metoda
LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje
1122
LTLTLT
LT
220150 LTLTLTLT ),(,
Oblik poprečnog preseka Kriva izvijanja
LT
Vrućevaljani I preseci h/b 2h/b 2
ab
0,210,34
Zavareni I preseci h/b 2h/b 2
cd
0,490,76
Ostali poprečni preseci - d 0,76
Metalne konstrukcije 1 P7-27
Metoda za vrućevaljane profile
20150 LTLTLTLTLT )(, ,
Poprečni preseci Kriva izvijanja
LT
Vrućevaljani I preseci h/b 2h/b 2
bc
0,340,49
Zavareni I preseci h/b 2h/b 2
cd
0,490,76
400 ,, LT750,
Poređenje opšte metode i metode za valjane profile
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Opšta metoda
Metoda za valjane profile
Metalne konstrukcije 1 P7-28
Modifikovana vrednost koeficijenta LT,mod
– Uticaj oblika dijagrama momenat se uzima preko modifikovanog koeficijenta.
– Modifikovani koeficijent LT,mod se koristi umesto koeficijenta LT.
– Ne primenjuje se za opštu metodu!
1fLT
LT mod,
280 21 1 501 ),()(, LTckf
mc Ck // 11 1
Metalne konstrukcije 1 P7-29
Kada ne treba kontrolisati bočno-torziono izvijanje?
– Kod nosača koji su kontinualno pridržani u nivou pritisnute nožice;
– Kod nosača koji su dovoljno često bočno pridržani u nivou pritisnute nožice (Lc < 50 if,z);
– Kod nosača zatvorenih poprečnih preseka kružnog i kvadratnog poprečnog preseka;
– Kod poravougaonih šupljih profili kod kojih je odnos visina/širina preseka manji od 10 (h/b < 10), ili (prema Kaimu):
gde je relativna vitkost na izvijanje oko slabije z-z ose;– Bočno-torziono izvijanje nije merodavno kada je relativna vitkost
manja od 0,4, kao i kada je:
zbh // 10
z
16020 ,/ ,, LTcrEdy MM
Metalne konstrukcije 1 P7-30
Mere za povećanje nosivosti na bočno-torziono izvijanje
Problem bočno-torzionog izvijanja može se reši sledećimkonstruktivnim merama: obezbeđenjem bočnog pridržavanja pritisnute nožice, progušćavanjem tačaka njenog bočnog pridržavanja, promenom oblika poprečnog preseka nosača, odnosno
usvajanjem poprečnih preseka koji su manje osetljivi(HEA, HEB), ili neosetljivi na bočno-torzionoizvijanje kao što su zatvoreni (sandučasti) poprečnipreseci.
Metalne konstrukcije 1 P7-31
Kontrola razmaka tačaka bočnog pridržavanja
Lc razmak između susednih tačaka bočnog pridržavanja;kc koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir oblik dijagrama momenata;if,z poluprečnik inercije ekvivalentne pritisnute nožice;1 vitkost na granici razvlačenja (= 93,9);My,Ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja između tačaka
pridržavanja;Mc,Rd proračunska nosivost poprečnog preseka na savijanje oko y-y ose;
granična relativna vitkostMetalne konstrukcije 1 P7-32
Edy
Rdcc
zf
ccf M
MiLk
,
,
,
01
1000 ,, LTc 5010400 ,,, c
Kod bočno pridržanih nosača u zgradarstvu bočno-torziono izvijanje ne treba proveravati kada je:
zfEdy
Rdczfcc i
MM
iLk ,,
,,, 50 50 1
Ekvivalentna pritisnuta nožica
Metalne konstrukcije 1 P7-33
Uprošćena metoda za mestimično bočno pridržane nosače u zgradarstvu
Kod bočno pridržanih nosača kod kojih razmak tačaka bočnog pridržavanja nije dovoljno mali, odnosno kada je relativna vitkost ekvivalentne pritisnute nožice veća od granične, moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje može da se odredi kao:
Metalne konstrukcije 1 P7-34
RdcflRdb MkM ,,
kfl koeficijent modifikacije (Evrokod 3 preporučuje: kfl = 1,10); bezdimenzionalni koeficijent izvijanja ekvivalentne
pritisnute nožice.Koeficijent kfl se određuje na osnovu relativne vitkosti ekvivalentne pritisnute nožice i odgovarajuće krive izvijanja:- kriva d za zavarene preseke kod kojih je h/tf 44 ;- kriva c za sve ostale preseke; gde je h ukupna visina poprečnog preseka, a tf debljina pritisnute nožice.
Metalne konstrukcije 1 P7-35
Bočno pridržavanje nosača
5000 /Le m
m,m
1150
20
20 8 8
Le
hM
Le
Nq qEdqEdd
MEd maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja duž nosača;e0 imperfekcija;q deformacija sprega u svojoj ravni usled opterećenja q (Iterativan postupak kako bi se uzeli uticaji II reda); Kada se za proračun primenjuje teorija II reda: q =0;m broj nosača koji su pridržani spregom;h visina nosača
Spreg mora da bude sposoban da prihvati uticaje u svojoj ravni:
h