Metali 3. dio - > -...
50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metali 3. dio « Fizika čvrstog stanja » Ivo Batistić Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 4. siječnja 2015.)
-
Upload
vuongtuyen -
Category
Documents
-
view
225 -
download
0
Transcript of Metali 3. dio - > -...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali 3. dio« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 4. siječnja 2015.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Gustoća stanja
Energija kohezije
Prijelazni metali prve grupe
Jednadžbe gibanja i efektivna masa
Mjerenja elektronske strukture
Mjerenje Fermijeve površina
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja
Neka fizikalna svojstva isključivo ovise o energiji pa ih je zgodnoizračunavati preko gustoće stanja:∑
k⃗
F(Ek⃗) = 2V
(2π)3
∫dk⃗ F(Ek⃗)
=
∫dE g(E) F(E)
gdje je g(E) gustoća stanja:
g(E) = 2V
(2π)3
∫dk⃗ δ(E− Ek⃗)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja u Sommerfeldovom modelu
U Sommerfeldovom modelu, gustoća stanja:
g(E) = Vme
π2ℏ3√2meE
E
g(E)
Gustoca stanja u Sommerfeldovom modelu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanjaIntegraciju u definiciji gustoće stanja možemo razložiti na dva dijela,integraciju po komponenti valnog broja okomitoj na plohu konstantneenergije te komponentama koje su paralelne plohi konstantneenergije:
dk⃗ = dSdk⊥Tada je:
g(E) = 2V
(2π)3
∫dk⃗ δ(E− Ek⃗)
= 2V
(2π)3
∫E=E⃗k
dS∫
dk⊥ δ(E− Ek⃗)
= 2V
(2π)3
∫E=E⃗k
dS∣∣∇k⃗Ek⃗
∣∣Budući da je:
δEk⃗ =(∇k⃗Ek⃗
)· δk⃗ =
∣∣∇k⃗Ek⃗
∣∣ dk⊥
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
van Hove singulariteti
▶ Gustoća stanja nije kontinuirana niti glatka funkcija.▶ Singulariteti u gustoći stanja nazivaju se van Hove
singularitetima.▶ Oni se javljaju za ekstremalne vrijednosti energija:
∇k⃗Ek⃗ = 0
U ekstremalnim točkama, energija je kvadratična funkcija valnogbroja:
δE ≈ 1
2
∑ij
∂2E∂ki∂kj
δkiδkj
i može se općenito dovesti na dijagonalni oblik rotacijama koordinata:
δE ≈ ±ℏ2δk212 |m1|
± ℏ2δk222 |m2|
± ℏ2δk232 |m3|
Ovisno o predznaku efektivnih masa (drugih derivacija energije povalnom broju) postoji nekoliko tipičnih vrsta van Hove singulariteta.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
van Hove singulariteti 3d sustavu
Tipični van Hove singulariteti u 3d sustavu:
E ≈ Emin +ℏ2
2
[+
δk12
|m1|+
δk22
|m2|+
δk22
|m2|
]⇒ g(E) ∼ +C
√E− Emin
E ≈ Es +ℏ2
2
[+
δk12
|m1|+
δk22
|m2|−
δk22
|m2|
]⇒ g(E) ∼
g(Es) − C
√Es − E E < Es
g(Es) E > Es
E ≈ E′s +
ℏ2
2
[+
δk12
|m1|−
δk22
|m2|−
δk22
|m2|
]⇒ g(E) ∼
g(E′
s) E < E′s
g(E′s) − C
√E− E′
s E > E′s
E ≈ Emax +ℏ2
2
[−
δk12
|m1|−
δk22
|m2|−
δk22
|m2|
]⇒ g(E) ∼ +C
√Emax − E
gdje je C konstanta (∼√|m1m2m3|)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
van Hove singulariteti u 3d sustavu
Emin Es E ′s
EmaxE
g(E)
tipicni van Hove singulariteti u gustoci stanja 3d sustava
E(⃗k) ≈
Emin +δk21
2|m1| +δk22
2|m2| +δk23
2|m3|
Es +δk21
2|m1| +δk22
2|m2| −δk23
2|m3|
E′s +
δk212|m1| −
δk222|m2| −
δk232|m3|
Emax − δk212|m1| −
δk222|m2| −
δk232|m3|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja oko sedlene točke u BZ▶ Integrira se unutar područja kruga rmax.▶ Područja izvan kruga daju konstantni
doprinos gustoći stanja.▶ Energijske plohe označene crvenom linijom
daju konstantni doprinos koji ovisi o rmax i kojise dodaje ukupnoj gustoći stanja. Zaintegraciju je pogodno koristi supstituciju:√
k2α + k2β = r coshαkγ = r sinhα
▶ Energijske plohe označene plavom linijomdaju konstantni doprinos umanjen za:
c ·√
|E− Es|
pri čemu konstanta c ne ovisi o izboru rmax.Za integraciju je pogodno koristi supstituciju:√
k2α + k2β = r sinhαkγ = r coshα
▶ Ukupni konstantni dio ne ovisi o izboru rmax.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5√k 2α +k 2
β
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
kγ
k 2α +k 2
β −k 2γ >0
k 2α +k 2
β −k 2γ <0
k 2α +k 2
β −k 2γ <0
rmax¿1
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
van Hove singulariteti u 2d sustavu (jako anizotropni 3d)Tipični van Hove singulariteti u 2d sustavu:
E ≈ Emin +ℏ2δk212 |m1|
+ℏ2δk222 |m2|
⇒ g(E) ∼ g(Emin) θ(E− Emin)
E ≈ Es +ℏ2δk212 |m1|
− ℏ2δk222 |m2|
⇒ g(E) ∼ −C log∣∣∣∣1− E
Es
∣∣∣∣E ≈ Emax −
ℏ2δk212 |m1|
− ℏ2δk222 |m2|
⇒ g(E) ∼ g(Emax) θ(Emax − E)
gdje je C konstanta (∼√|m1m2|)
Emin Es EmaxE
g(E)
tipicni van Hove singulariteti u gustoci stanja 2d sustava
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
van Hove singulariteti u 1d sustavu (jako anizotropni 3d)
Tipični van Hove singulariteti u 1d sustavu:
E ≈ Emin +ℏ2δk2
2 |m| ⇒ g(E) ∼ C√E− Emin
E ≈ Emax −ℏ2δk2
2 |m| ⇒ g(E) ∼ C√Emax − E
gdje je C konstanta (∼√|m|)
Emin EmaxE
g(E)
tipicni van Hove singulariteti u gustoci stanja 1d sustava
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja (aproksimacija čvrste veze)
8 6 4 2 0 2 4 6 8
e0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
DO
S
jednostavna kubna resetka
Gustoće stanja jednostavne kubnerešetke u TB aproksimaciji. Uoča-vaju se parabolični van Hove singu-lariteti.
4 2 0 2 4
e0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
DO
S
kvadratna resetka
Gustoće stanja 2d kvadratne re-šetke u TB aproksimaciji. U sredinivrpce dominira logaritamski singula-ritet.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja (aproksimacija čvrste veze)
2 1 0 1 2
Energija0
1
2
3
4
5
6
DO
S
Gustoća stanja 1d lanca. Na vrhu idnu vrpce gustoća stanja ima kori-jensku divergenciju.
3 2 1 0 1 2 3
e0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
DO
S
Kvazijednodimenzionalna tetragonska resetka
Gustoća stanja kvazijednodimenzi-onalne tetragonske rešetke (ty =ty = 0.2 tx). Korijenski singularitetibivaju odsječeni i pretvoreni u para-bolične singularitete karakterističneza 3d sustav.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća stanja natrija i bakra (DFT)
4 2 0 2 4 6 8energy (eV)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
DOS
NaTotal
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8energy (eV)
0
1
2
3
4
5
DOS
Cu
Gustoće stanja izračunate DFT paketom wien2k za natrij (lijevo) i bakar(desno). S isprekidanom linijom naznačen je položaj Fermijeve energije.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije
Ukupna energija sustava:
Etot =∑
E⃗k<EF
Ek⃗
=
∫E<EF
dE g(E)E
Iz definicije energije kohezije:
Ekoh =1
N∑
E⃗k<EF
(E0 − Ek⃗)
=1
N
∫E<EF
dE g(E) (E0 − E) ≈ 1
N
∫E<EF
dE g(E) (Ed − E)
(zanemarili se doprinos kristalnog polja!)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije u 1d sustavuBroj elektrona se može povezati s Fermijevim valnim brojem:
Ne =∑k
θ(kF − |k|) = 2L2π
+kF∫−kF
dk θ(kF − |k|)
= N2kFaπ
⇒ kFa =π
2
Ne
N
Ako imamo jedan elektron po atomu vrpca je polu popunjena,(kF=π/2a).
Ukupna energija je:
Etot =∑k
Ek = NeEd − 2tδ 2L2π
+kF∫−kF
dk cos (ka)
= NeEd − 2tδLπa
2 sin (kFa) = NeEd − N[4tδπ
sin(π
2
Ne
N
)]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije
Energija kohezije po jediničnojćeliji:
Ekoh =4tδπ
sin(π
2
Ne
N
)
0 π/2a π/a
Fermijev valni broj kF
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
kohe
zija
(tδ)
▶ Energija kohezije je maksimalna za pola popunjenu vrpcu tj. zajedan elektron po atomu.
▶ Popunili se vrpca do kraja gubi se energija kohezije koji dovodido stabilizacije metalnog stanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije u jednostavnoj kubnoj rešetci
Zvonasta ovisnost energije kohezije o popunjenosti vrpce postoji u 2di 3d sustavima. Npr. u jednostavnoj kubnoj rešetci:
8 6 4 2 0 2 4 6 8e
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
ener
gija
koh
ezije
jednostavna kubna resetka
8 6 4 2 0 2 4 6 8
e0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
DO
S
jednostavna kubna resetka
Slično ponašanje energije kohezije (parabolična ovisnost) opaža se uprijelaznim metalima. Kod njih imamo 5 uskih d-vrpci koje se preklapaju ihibridiziraju sa s-vrpcom. Za njihovo kompletno popunjenje potrebno je 10elektrona.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prijelazni metali prve grupe
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prijelazni metali prve grupe
Metal el. konfig. reš. a, c (Å) Ec (eV)Sc 3d14s2 HCP 3.31,5.27 3.90Ti 3d24s2 HCP 2.95,4.68 4.85V 3d34s2 BCC 3.03 5.31Cr 3d54s BCC 2.88 4.10Mn 3d54s2 BCC 2.92Fe 3d64s2 BCC 2.87 4.28Co 3d74s2 HCP 2.51,4.07 4.39Ni 3d84s2 FCC 3.52 4.14Cu 3d104s FCC 3.61 3.49
Tablica osnovnih svojstava prijelaznih metala 1. grupe (Sc-grupa).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kohezije prijelaznih metala
1 2 3 4 5 6 7 8 9Popunjavanje d-orbitale
2
3
4
5
6
7
8
9
10
eV/a
t
Energija kohezije za prijelazne metale
grupa Scgrupa Ygrupa La
Energija kohezije prijelaznih metala kao funkcija popunjenja d-ljuske
Kod prijelaznih metala popunjavaju se d-elektronska stanja koja sulokalizirana. Za njihov opis prikladno je koristiti aproksimacija čvrsteveze.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prijelazni metali
▶ Prijelazni metali čine skupinu metala u kojima WS ćelijskametoda ne daje dobre rezultate.
▶ Razlog su elektroni iz (3,4,5) d-ljuske koja daju važni doprinoskoheziji kristala.
▶ Nije dovoljno uzeti samo jedno elektronsko stanje po atomu.▶ Postoji široka vrpca s-elektrona i više uskih vrpci d-elektrona.▶ Dolazi do hibridizacije s- i d-elektronskih stanja.▶ Zbog jačih veza atomi su gušće naslagani u rešetku.▶ Djelomično popunjenje d-ljuske dovodi do pojave magnetizmaatoma ali i magnetizma metala (Hundova pravila).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jednadžbe gibanja iefektivna masa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Utjecaj vanjskog polja
Valni paket konstruiran kao linearna kombinacija Blochovih valnihfunkcija giba se grupnom brzinom:
v⃗g =1
ℏ∂Ek⃗
∂k⃗
Pod utjecajem vanjske sile, F⃗, izvršeni rad u vremenskom intervalu δtje:
δE = (F⃗ · v⃗g) δt = F⃗ · 1ℏ∂Ek⃗
∂k⃗δt
=∂Ek⃗
∂k⃗· δk⃗
Uspoređujući:⇒ δk⃗ =
1
ℏF⃗ δt
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Jednadžbe gibanja
Promjena valnog broja Blochove čestice u kristalu je;
ℏdk⃗dt
= F⃗
Na valni paket mogu se rabiti kvaziklasične jednadžbe gibanja!
Djelovanje magnetskog polja na elektron (valni paket) opisano jejednadžbom:
dk⃗dt
= − eℏ2
(∂Ek⃗
∂k⃗
)× B⃗
Ubrzanje Blochove čestice:
d⃗vgdt
=1
ℏddt
∂Ek⃗
∂k⃗=
1
ℏ∑
i=x,y,z
e⃗i∂2Ek⃗∂ki∂kj
dkjdt
=∑
i=x,y,z
e⃗i(
1
ℏ2∂2Ek⃗∂ki∂kj
)︸ ︷︷ ︸
(m−1)ij efektivna masa
Fj
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Objašnjenje jednadžbi gibanja
Zašto se u jednadžbama gibanja pojavljuje valni broj umjestoimpulsa?
Impuls Blochovog vala:
< p⃗ >=< ψk⃗| − ıℏ∇⃗|ψk⃗ >= ℏk⃗+ ℏ∑G⃗n
G⃗n |uk⃗,G⃗n|2
Ako slobodna čestica impulsa ℏk⃗ ulijeće u kristal te se nastavljapropagirati kao Blochov val dobija/gubi jedan dio impulsa krozraspršenje na rešetci. Ovaj izgubljeni/dobiveni dio predstavlja drugičlan u gornjem izrazu.
Impuls koji rešetka ima zbog gibanja Blochove čestice je:
< p⃗ >lat= −ℏ∑G⃗n
G⃗n |uk⃗,G⃗n|2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Objašnjenje jednadžbi gibanja
Ako na sustav djeluje vanjsko polje koje mijenja valni broj Blochovečestice promjena impulsa čestice je:
δ < p⃗ >= ℏ δk⃗+ ℏ∑G⃗n
G⃗n (δk⃗ · ∇⃗k⃗)|uk⃗,G⃗n|2
︸ ︷︷ ︸kompenzirano impulsom rešetke
Međutim ukupna promjena impulsa čestice i rešetke je dana samo sapromjenom valnog broja:
δ < p⃗ > +δ < p⃗ >lat= ℏ δk⃗
Zato i vrijedi jednadžba gibanja:
ℏdk⃗dt
= F⃗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Efektivna masa
▶ Čestica gibajući u periodičnom potencijalu ponaša se kao da imamasu danu s tenzorom:
(m−1)ij =1
ℏ2∂2Ek⃗∂ki∂kj
▶ Budući da je tenzor simetrična matrica, uvijek je moguće izabratitakav koordinatni sustav u kojem je tenzor dijagonalan.
▶ U anizotropnim kristalima masa ovisi o smjeru gibanja.
▶ Efektivna masa ovisi o valnom broju u Brillouinovoj zoni.
▶ U pojedinim dijelovima Brillouinove zone efektivna masa jenegativna (vrh vrpce) ili je jednaka nuli.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Peierlsova supstitucijaBlochove valne funkcije zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu:
H ψn,⃗k(⃗r) = En(⃗k)ψn,⃗k(⃗r)
Jednadžba se može formalno zapisati kao:
En
(−ı∇⃗
)ψn,⃗k(⃗r) = E ψn,⃗k(⃗r)
Može se provjeriti razvijajući energiju En(⃗k) u Fourijerov red.
Radi se o efektivnom hamiltonijanu za n-tu vrpcu.
Hamiltonijan koji opisuje gibanje čestice u magnetskom polju možese dobiti zamjenom:
−ı∇⃗ → −ı∇⃗ − qℏA⃗
odnosno:En
(−ı∇⃗ − q
ℏA⃗)ψn,⃗k(⃗r) = E ψn,⃗k(⃗r)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mjerenja elektronskestrukture
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto-emisijska spektroskopija (PES)
Gustoća stanja se može mjeriti fotoelektričnim efektom.▶ Materijal se izlažemonokromatskom zračenjuvisoke energije (ultraljubičasteili rentgenske zrake)
▶ Za danu frekvenciju EMzračenja, analizira seraspodjela izlaznih elektronapo kinetičkoj energiji.Kinetička energija je energijaEM zračenja umanjena zaizlazni rad i dubinuenergijskog stanja iz koje jeelektron izbačen.
▶ Broj izbačenih elektronaodređene energijeproporcionalan je naseljenostienergijskog stanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto-emisijska spektroskopija (PES)▶ U fotoemisijskoj spektroskopiji se mogu rabiti ultraljubičastezrake (UPS), rentgenske zrake (XPS) ili sinkrotronsko zračenjekoje pokriva kompletni spektar frekvencija.
▶ Ultraljubičasta fotoemisijska spektroskopija rabi se zaistraživanje valentne/vodljive vrpce.
▶ Rentgenska fotoemisijska spektroskopija može poslužiti uistraživanju i dubokih energijskih stanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fotoemisijska spektroskopija (PES)
Na slikama su prikazani fotoemisijskispektri bakra, vanadija i silicija.
▶ Fermijeva energija pomaknuta je uishodište.
▶ Na malim ubačenim slikamaprikazani su izračunate gustoćestanja.
▶ Na energijama većim od Fermijeveintenzitet spektra je jednak nuli jer suta energijska stanja nepopunjene.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Inverzna fotoemisijska spektroskopija (IPES ili IPS)
Za mjerenje gustoće stanja iznad Fermijeve energije koristi se tz.inverzna fotoemisijska spektroskopija (IPES).
IPES je obrnuti proces od fotoelek-tričnog efekta:Elektronskim snopom određeneenergije bombardira se površinamaterijala, a mjeri se intenzi-tet nastalog zakočnog zračenja(Bremsstrahlung) na određenojfrekvenciji.
PES i IPES su dvije međusobnokomplementarne eksperimentalnetehnike.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XPS i IPES
Kombinirani XPS i IPESspektri za La, Ce i Gd.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kutno razlučiva fotoemisijska spektroskopija (ARPES)Fotoemisijska spektroskopija može poslužiti i za mjerenje vrpčastestrukture materijala. Spektroskopska analiza radi se i po energijama ipo kutovima izbačenih elektrona. ARPES je kratica zaAngular-Resolved PhotoEmmission Spectroscopy.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ARPES
▶ Za elektrone izbačene pod određenim kutom se pretpostavlja daimaju istu komponentu valnog broja paralelnu s površinom kojusu imali u vrpci iz koje su izbačeni (do na vektor recipročnerešetke).
▶ Komponenta valnog broja okomita na površinu početnog stanjaelektrona se određuje iz zakona sačuvanja energije ipretpostavke o energijskom spektru pobuđenih elektrona.Obično se pretpostavlja da je spektar pobuđenih elektrona istikao spektar slobodnih elektrona.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ARPES na bakru
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ARPES na grafitu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mjerenje Fermijevepovršina
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fermijeva površina
▶ Fermijeva površina je ploha konstantne energije u prostoruvalnih brojeve koja razdvaja popunjena i prazna kvantna stanjana temperaturi T = 0.
▶ U Sommerfeldovom modelu modelu Fermijeva površina je sfera.▶ U metalu u kojem postoji periodični potencijal Fermijeva površinamože imati kompleksni oblik.
▶ Fermijeva površina se može odrediti pomoću de Haas-vanAlphenovog efekta.
Fermi površina bakra izračunata uprogramu wien2k.
Fermi površina natrija izračunata uprogramu wien2k.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de Haas-van Alphenov efekt
Magnetizacija bizmuta podijeljena s poljem kao funkcija polja za dvijeorijentacije kristala na temperaturi 14.2 K. Iz rada W.J. de Haas i P.M.van Alphen, Leiden Comm. 208d, 212a (1930) i 220d (1932).
Pravilno periodično ponašanje se ispoljava kada se M/H prikažekao funkcija inverza magnetskog polja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de Haas-van Alphenov efektL. Onsager je 1960. shvatio korisnost ovog efekta u određivanjuFermi površine.
Period oscilacija u inverznom magnetskom polju jednaka je:
∆
(1
B
)=
2π eℏ
1
Aext
gdje je Aext ekstremalna vrijednost (minimalna/maksimalna) presjekaFermijeve površine okomitog na magnetsko polje.
kvaziklasični izvod∮d⃗r · p⃗ =
∮d⃗r ·
(ℏk⃗+ qA⃗
)= 2πℏ (n+ γ)
⇒∮d⃗r · p⃗ = −qΦ = 2πℏ (n+ γ)
(gdje je Φ =
∮d⃗r · A⃗
)Rezultat se dobiva pretpostavljajući da je:
ℏdk⃗dt
= qd⃗rdt
× B⃗
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de Haas-van Alphenov efektkvaziklasični izvod
Promjena položaja u realnom prostoru povezana je s pomakom uimpulsnom prostoru relacijom:
∆r = ∆kℏqB
(iz jednadžbe gibanja)
Površina koji čestica prekrije u impulsnom prostoru (A) povezana je skružnim gibanjem i prekrivenom površinom (S) u realnom prostoru:
S = A(
ℏqB
)2
pri tome je:
SB = Φ (tok magnetskog polja)⇒
A(
ℏqB
)2
B = Φ = −2πℏq
(n+ γ)
⇒A
(1
Bn+1− 1
Bn
)=
2π qℏ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de Haas-van Alphenov efekt
▶ U točnom izvodu pojavljuje se suma kojisadrži niz oscilirajućih članova.
▶ Najveći doprinos u sumi dolazi onih kružnihorbitala kojima promjena površine uzdužmagnetskog polja ima ekstremalnuvrijednost.
▶ Mijenjajući orijentaciju magnetskog polja uodnosu na kristal moguće je odreditiekstremalne presjeke u svim smjerovima.
▶ Za opažanje de Haas-van Alphenovogefekta potrebno je koristiti jaka magnetskapolja.
primjer ekstremalnihpovršina
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ekstremalne orbitale u plemenitim metalima(Cu/Ag/Au)
Ekstremalne orbitale u plemenitim metalima. Na desnoj strani crvenombojom je označena orbitala ”pasja kost” koja ima negativnu masu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
de Haas-van Alphenov efekt u zlatu
De Haas-van Alphenov efekt u zlatu za magnetsko polje B ∥ [110].Oscilacije dolaze od orbitale ”pasja kost”.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodic Table of the Fermi Surfaces of Elemental Solids http://www.phys.ufl.edu/fermisurface
Ferromagnets:
Alternate Structures :
Tat-Sang Choy, Jeffery Naset , Selman Hershfield, and Christopher StantonPhysics Department, University of Florida
Seagate TechnologyJian Chen
Source of tight binding parameters (except for fcc Co ferromagnet): D.A. Papaconstantopoulos, Handbook of the band structure of elemental solids, Plenum 1986.This work is supported by NSF, AFOSR, Research Corporation, and a Sun Microsystems Academic Equipment Grant.
(15 March, 2000)
Co_fcc Co_fcc
![Kemija čvrstog stanja_Magnetska-svojstva [Compatibility Mode]](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/589312dc1a28abda5c8be9f4/kemija-cvrstog-stanjamagnetska-svojstva-compatibility-mode.jpg)
