Annexe I 241

ANNEXE 1

242 Annexe I

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Annexe I 245

Détermination de la célérité des ondes : Calcul automatique : Si ∆t est l’intervalle de temps nécessaire à une onde pour franchir la distance d séparant P2 et P3, la vitesse des ondes de compression s’obtient alors par la relation Cp=d/∆t. La détermination de la date d’arrivée des signaux sur un capteur n’est pas toujours évidente. Elle est réalisée de manière automatique par le logiciel LYNX, développé au sein du laboratoire, selon la méthode proposée par [Baer & Kradolfer, 1987]. Le signal est d’abord lissé avec une moyenne mobile sur trois points. Une fonction caractéristique, liée à la courbe enveloppe du signal, est ensuite calculée puis élevée au carré. En chaque point de la nouvelle fonction ainsi obtenue sont calculées une moyenne à court terme et une moyenne à long terme. Le début du signal est détecté lorsque la moyenne à court terme dépasse k fois la moyenne à long terme, k étant de l’ordre de 1,3. Calcul des incertitudes : Il est généralement admis que la fréquence d’échantillonnage doit vérifier fe > 2,6*fsignal pour obtenir une représentation correcte du signal, ce qui donne fe=2048 Hz pour une fréquence f = 800 Hz. Le système d’acquisition étant limité en nombre de points utilisables pour mémoriser le signal (8192 points en échelle temporelle), la fréquence d’échantillonnage maximale utilisable dépendra de la durée d’enregistrement du signal. Ainsi, pour fe=102,4 kHz, la durée d’enregistrement est de 31,25 ms, alors qu’elle est de 62,5 ms pour fe=51,2 kHz (fréquences d’échantillonnages disponibles les plus élevées, utilisées par [Thinet, 2000]). On évalue l’erreur commise sur la vitesse en fonction de fe au moyen de la relation dc/c=dl/l-d∆t/t, tirée de c=l/∆t (l : distance entre les capteurs P2 et P3, ∆t : temps nécessaire à l’onde pour parcourir cette distance). On en déduit les courbes d’erreur commise sur la détermination de la célérité : c+=c-dc et c-=c+dc. L’erreur sur la mesure de position vaut dl=1 mm. L’écart entre 2 points du signal enregistré vaut e=0,01526 ms pour fe=51,2 kHz et e=0,00382 ms pour fe=102,4 kHz. L’erreur majorée d∆t vaut alors 2.e, car il faut prendre en compte l’erreur commise sur chacun des deux capteurs.

246 Annexe I

Calcul des rapports de pression : Utilisation de la transformée de Fourrier : On utilisera dans cette partie des notations ainsi que différents résultats obtenus dans le §1.3.3 consacré à l’Analyse Inverse. - soit P(t) le signal enregistré par le capteur de pression (P2 ou P3) situé à une distance x de la plaque générant les signaux en compression. Soit l2 (respect. l3) la distance entre la plaque vibrante et le capteur P2 (respect. P3) - soit FFTP(ω) la transformée de Fourrier du signal émis au niveau de la plaque (x=0). - soit FFTP(ω,x) la transformée de Fourrier du signal reçu au niveau du capteur (x). On a alors : FFTP(ω,x)= FFTP(ω).exp(-ixω/C*(ω)) Dans cette expression, la vitesse est complexe : C*(ω) = Cr+i.Ci avec Cr = Co.cos(ϕ/2) ; Ci = Co.sin(ϕ/2) et donc |C*|² = C²r+C²i = C²o. ϕ représente ici la phase du module oedométrique (cf. §1.3.3). Co est une vitesse liée à la vitesse de l’onde en compression Cp par Co=Cp.cos(ϕ/2). On en déduit que : on peut donc calculer le rapport des modules des spectres de Fourrier : on obtient alors : on en déduit que :

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟

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⎜⎜⎜

⎝

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232

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23

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⎜⎜⎜

⎝

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*

23

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⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= 2tanexp 23

2

3 ϕωCp

llPFFTPFFT

)3.3.1.§(ln)(2arctan22

3

23cfP

Pllf

Cor p⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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PP =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−= ϕπ

Annexe I 247

Méthode des ellipses de Lissajous : Notation : Φ représente ici un déphasage entre deux signaux sinusoïdaux (ne pas confondre avec ϕ, phase du module oedométrique). Soient P2 et P3 les signaux enregistrés par les capteurs du même nom. En écrivant que P2=A2.cos(ωt) et P3=A3.cos(ωt+Φ), on peut chercher à exprimer P3 en fonction de P2. Ainsi P3²/A3² = [(cos(ωt+Φ)]²=[cos(ωt).cos(Φ)-sin(ωt).sin(Φ)]² (a) = cos²(ωt).cos²(Φ)+sin²(ωt).sin²(Φ)-2.cos(ωt).cos(Φ).sin(ωt).sin(Φ) or (a) ⇒ sin(ωt) = [cos(ωt).cos(Φ)-P3/A3]/sin(Φ) d’où P3²/A3² = P²2/A²2.cos²(Φ)+(1- P²2/A²2) ).sin²(Φ)-2.P2/A2.cos(Φ).[P2/A2.cos(Φ)-P3/A3] = P²2/A²2.cos²(Φ)- P²2/A²2.cos²(Φ)- P²2/A²2.[sin²(Φ)+cos²(Φ)] +2.P2/A2.cos(Φ).P3/A3+sin²(Φ) On reconnaît l’équation d’une quadrique centrale du type XTAX+EX+f = 0 avec E=0 Le discriminant de A est δ = [1-cos²(Φ)] / (A2².A3²). Si Φ est différent de 0 [π], on a δ différent de zéro. On peut alors transformer (b) en l’équation suivante : λ1.x²+λ2.y²+f’=0 (c), où λ1 et λ2 représentent les valeurs propres de A. La quadrique étant centrée, on a f’=f. Il reste donc à calculer les valeurs propres de A. Le polynôme caractéristique s’écrit :

( )( ) ( )bAP

AP

AP

APet 0sincos2

2

3

3

2

22

3

3

2

2

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A1

A1

AAcos

AAcos

A1

Φ−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

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⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−=

λ−Φ−

Φ−λ−

( ) 0AA

cos1A1

A1où'd 2

322

2

23

22

2 =Φ−+λ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−λ

( ) ( )23

22

2

43

42

23

22

22

23

22 AA

2cos4A1

A1

AAcos1.4

A1

A1alorsaon −Φ++=Φ−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=∆

248 Annexe I

On en déduit que λ1*λ2 = 4.cos²(Φ) / (A2²A3²). Si λ1*λ2>0, l’équation étudiée (c) représente une ellipse. Si on note a et b les valeurs du demi grand axe et du demi petit axe de l’ellipse, on a alors : en posant Z = Y², on obtient : d’où : en élevant au carré et en posant u = (1+(a/b)²)² et v = ((a/b)²-1)², on obtient : Le logiciel HP3566a permet de tracer P3 en fonction de P2 et d’obtenir ainsi l’ellipse. Celle-ci étant centrée, on peut alors mesurer facilement a et b en se plaçant dans un repère en coordonnées polaires. Pour ce faire, on mesure les deux demi-grands axes et on en calcule la moyenne pour obtenir a. On fait de même pour b. On peut calculer Φ par la relation Φ=ω.∆t, ω étant la pulsation du signal et ∆t la différence entre les temps d’arrivée de l’onde sur P3 et P2, valeur mesurée lors du calcul de la célérité. Il suffit alors de résoudre l’équation du second degré (d). On obtient deux racines Z1 et Z2 dont il faut ensuite prendre la racine carrée pour obtenir les valeurs de Y=A3/A2. On a alors deux valeurs possibles pour A3/A2. Dans l’exemple traité (BB3), une seule des racines donnait des valeurs inférieures à 1 : le problème du choix ne s’est donc pas posé.

( ) ( )( ) ( ) ( )dvuvuZvuZ 0.2.2cos.2..2

=−+−Φ+−

2AA

2cos4A1

A1

A1

A1

:Adepropresvaleurslesoù'd23

22

2

43

42

23

22

2,1

−Φ++±+

=λ

( )2

3

2242

242

2

1

2cos.411

2cos.411 2

AAYavec

YYY

YYYba =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −Φ++−+

−Φ++++==

λ

λ

( ) ( ) ZZZZZZb

a .2cos.211.2cos.211.22

2

2

Φ++++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ++−+

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+Φ++ 1.11..2cos.21 2

2

2

22

b

aZb

aZZ

A

nnex

e I

249

Fig.

A1.

1 :

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K

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2

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NZ

K

NZ

K

ϕϕ

βco

s.

*2

*

sin

.*

2*

arct

an

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sin

sin

.*

2*

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ZK

NZ

++

=+

Cp,

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2

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*|

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Ploi

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()

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

−−

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23

ln.ar

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p

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⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

=+

+2

cos

*2

*2

2ϕ

ρp

CN

ZK

()

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

−−

=Pp

rès

Ploi

nlp

rès

lloinC

Sln.

arct

an2

ωψ

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

=2

cos

*2

2ψ

ρC

N

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⎜⎜ ⎝⎛

−−

++

−+

+=

ψϕ

ψϕ

θco

s*

2co

s*

2*

sin

*2

sin

*2

*ar

ctan

NK

NZ

KN

NZ

K

θψ

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nsi

n*

2si

n*

2*

NN

ZK

Z−

++

=

⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛

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+

−+

+=

ψϕ

ψϕ

ζco

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2co

s*

2*

sin

*2

sin

*2

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ctan

NN

ZK

NN

ZK

250

Ann

exe

I

Fig.

A1.

2 :

Obt

entio

n de

s gra

ndeu

rs r

héol

ogiq

ues p

ar a

naly

se in

vers

e : o

ndes

P

K

|K+Z

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K

Cp,

P3/P

2

P 4/P

2 (

)⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛−

−=

23

23

ln.ar

ctan

2PP

llC

p

ωϕ

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

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CN

ZK

()

()2

2co

s*

2*

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**

2*

KN

ZK

NZ

KN

Z−

++

++

+=

+ϕ

ϕ

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+++

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csin

NZ

NZ

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β

**

ZK

Z+

≈

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⎜⎜⎜ ⎝⎛−

−+

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ccos

22

2

ZK

ZK

ZK

θ

⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛

+=

*si

n*

arcs

inZ

KZθ

ζ⎟⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜⎜ ⎝⎛

+−

++

+−

++

=ζ

ϕ

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ψco

s.

*co

s.

*2

*

sin

.*

sin

.*

2*

arct

anZ

KN

ZK

ZK

NZ

K

ψζ

ϕsi

nsi

n.

*si

n.

*2

**

2Z

KN

ZK

N+

−+

+=

Annexe II 251

ANNEXE 2

252 Annexe II

Annexe II 253

Méthode de calcul des MBE : (tabl. A2.1) Le calcul d’un MBE se ramène à une détermination de surface développée. Dans tout ce qui suit, les granulats seront modélisés par des particules parfaitement sphériques, de manière à simplifier le calcul des surfaces et des volumes (vi=π.(di)3/6, si=π.di²). Les notations utilisées sont celles proposées dans la présentation générale de la méthode ([Projet National CALIBE, 1999]). La première étape consiste à réaliser les courbes granulométriques des graviers et sables utilisés au moyen des tamis normalisés suivants : 20 / 16 / 12,5 / 10 / 8 / 6,3 / 5 / 4 / 3,15 / 2,5 / 1,25 / 0,63 / 0,315 / 0,16 / 0,08 mm. Le calcul, effectués pour 1m3 de béton, se décompose ensuite en :

• calcul du nombre de particules moyennes dans la tranche granulaire i • calcul du volume de la particule moyenne de chaque classe granulaire i • calcul du volume de granulat dans chaque classe granulaire i • calcul de la surface développée par les particules de chaque tranche granulaire i • calcul de la surface développée totale • dosage en sable correcteur

Soient TMi et Tmi les tailles des mailles des tamis supérieurs et inférieurs définissants une tranche granulaire i. Soient RMi et Rmi les refus associés (en %) à ces tamis. Dans chaque classe granulaire i, le diamètre de la particule moyenne di est donné par la taille moyenne des mailles des tamis : di = (Tmi+TMi)/2. Le volume de cette particule, supposée sphérique, est donc vi=π.(di)3/6. La masse de granulat dans chaque tranche granulaire est donnée par : Mi = (Rmi-RMi).g/100, où g représente le dosage dans le béton du granulat considéré (en kg, pour 1m3). Le volume de granulat Vi contenu dans la tranche i est alors obtenu par Vi=Mi/ρ, où ρ représente la masse volumique des granulats. Le nombre de particules moyennes Ni dans une tranche granulaire i est donné par Ni=Vi/vi. La surface développée d’une telle particule (sphérique) valant si=π.di², on en déduit la valeur de la surface développée par les particules de la tranche granulaire i par : Si=Ni.si. Pour calculer la surface développée totale des granulats étudiés (SD), il suffit alors de sommer les différentes valeurs obtenues pour chaque classe granulaire : SD=ΣSi. En utilisant la méthode décrite ci-dessus, on calcule la surface développée du gravier présent dans le béton, puis celle reprise par 1 kg de sable. On en déduit alors la quantité de sable correcteur qu’il faut rajouter pour remplacer le gravier. Il suffit pour cela d’écrire que le sable correcteur et le gravier doivent générer la même surface développée. La correction en sable sera réalisée au moyen du même sable que celui utilisé pour réaliser le béton. Sa surface sera évaluée par la même méthode que celle utilisée pour le gravier du béton.

254 Annexe II

Tabl. A2. 1: Exemple de feuille de calcul d’un MBE

Annexe II 255

Fig. A2. 1 : Caractéristiques physico-chimiques du ciment utilisé

256 Annexe II

Fig. A2. 2 : Notice technique du PLASTIMENT 97

Annexe II 257

Fig. A2. 3 : Notice technique du SIKA RETARDER

258 Annexe II

Fig. A2. 4 : Notice technique du SIKA AER 5

Annexe II 259

Fig. A2. 5 : Sable utilisé pour les bétons

260 Annexe II

Fig. A2. 6 : Gravier utilisé pour les bétons

A

nnex

e II

26

1

Fig.

A2.

7 :

Evo

lutio

n de

la n

orm

e du

mod

ule

de c

isai

llem

ent |

N*|

(cam

pagn

e B

T)

1,0E

+06

1,0E

+09

2,0E

+09

3,0E

+09

4,0E

+09

5,0E

+09

6,0E

+09

7,0E

+09

8,0E

+09

9,0E

+09

060

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

tem

ps (m

in)

|N*| PaBT

2 : B

60-2

0BT

3 : B

55A2

-19

BT4

: B60

R4-1

8BT

5 : B

50P4

-22

BT6

: B50

P5-1

9BT

7 : B

45P4

-21

BT8

: B45

-21

1,0E+

06

5,1E+

07

1,0E+

08

1,5E+

08

2,0E+

08

2,5E+

08

060

120

180

240

300

360

tem

ps (m

in)

|N*| Pa

262

Ann

exe

II

Fig.

A2.

8 :

Evo

lutio

n de

la n

orm

e du

mod

ule

de c

isai

llem

ent |

N*|

(cam

pagn

e M

T)

1,00

E+07

1,01

E+09

2,01

E+09

3,01

E+09

4,01

E+09

5,01

E+09

6,01

E+09

7,01

E+09

060

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

tem

ps (m

in)

|N*| Pa

MT2

: M

60-2

6

MT3

: M

55A2

-24

MT4

: M

60R

4-24

MT5

: M

50P4

-25

MT6

: M

50P5

-24

1,00

E+07

6,00

E+07

1,10

E+08

1,60

E+08

2,10

E+08

2,60

E+08

060

120

180

240

300

360

tem

ps (m

in)

|N*| Pa

A

nnex

e II

26

3

Fig.

A2.

9 :

Evo

lutio

n de

l’an

gle

de p

hase

ψ d

u m

odul

e de

cis

aille

men

t (ca

mpa

gne

BT

)

0102030405060708090

060

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

tem

ps (m

in)

ψ (°)

BT2

: B60

-20

BT3

: B55

A2-1

9BT

4 : B

60R

4-18

BT5

: B50

P4-2

2BT

6 : B

50P5

-19

BT7

: B45

P4-2

1BT

8 : B

45-2

1

264

Ann

exe

II

Fig.

A2.

10

: Evo

lutio

n de

l’an

gle

de p

hase

ψ d

u m

odul

e de

cis

aille

men

t (ca

mpa

gne

MT

)

(en

hach

uré

: val

eurs

non

réa

liste

s)

-30

-20

-100102030405060708090

060

120

180

240

300

360

420

480

540

600

660

720

tem

ps (m

in)

psi (°)

MT2

: M

60-2

6

MT3

: M

55A2

-24

MT4

: M

60R

4-24

MT5

: M

50P4

-25

MT6

: M

50P5

-24

Annexe III 265

ANNEXE 3

266 Annexe III

Annexe III 267

Calcul de la teneur en eau d’un enrobé à froid en fonction de la profondeur : Compte tenu du fait que le front d’évaporation est horizontal et qu’il se déplace depuis le haut (zone de séchage) vers le bas, seule la côte de profondeur z interviendra dans les calculs. L’absence de drainage significatif permet de négliger l’action des forces de pesanteur. L’ensemble des notations utilisées sont présentées sur la fig. A3.1.

Fig. A3. 1 : Notations utilisées

Fig. A3. 2 : Hauteur de la zone 2 (flèches : remontées d’eau)

La zone 1 correspond à une zone sèche. Sa teneur en eau est W1=0%. La zone 2 est la zone diffusionnelle, dans laquelle l’eau peut remonter par capillarité vers la zone 1, pour s’y évaporer. Sa teneur en eau est W2. En appelant hc la hauteur maximale des remontées capillaires (hc=4,5 cm), l’épaisseur de la couche 2 peut alors être prise comme approximativement égale à 1,5.hc (fig. A3.2 : elle est en réalité généralement comprise entre hc et 2.hc, sauf en début de séchage où elle est inférieure à hc). La zone 3, quant à elle, correspond à la zone à teneur en eau initiale (W3=Wini). L’eau y est supposée répartie de manière homogène. Les granulats sont supposés répartis de manière homogène dans les trois couches.

hc 2hc

Me=masse d’eau totale Mei=masse d’eau de la zone i MG=masse de granulats totale MGi= masse de granulats de la zone i W=teneur en eau moyenne Wi=teneur en eau dans la zone i Wini=teneur en eau initiale

zone 1

zone 2

zone 3

z

ht

h2

h1

h3

268 Annexe III

Si l’on se donne, dans un premier temps, les épaisseurs respectives des différentes couches (h1, h2 et h3), il est alors possible de modéliser la répartition de l’eau dans l’éprouvette. Les zones 1 et 3 étant connues, le problème se ramène à la détermination de la répartition de l’eau dans la zone 2. Afin de ne pas compliquer la modélisation, nous supposerons que la teneur en eau augmente linéairement avec la profondeur z. On a donc dans la couche 2, avec h=z-h1 : W2(h) = α.h + β. Le profil des teneurs en eau étant continu, il faut nécessairement avoir

W2(0)=0 et W2(h2)=W3=Wini. D’où l’on déduit que : 2

2 .)( hWhhW ini=

Pour calculer l’épaisseur des différentes couches, il suffit alors d’écrire que : Me=Me1+Me2+Me3. On utilisant le fait que les granulats sont répartis de manière homogène, on obtient alors : Me1 = 0 Me2 = <W2(h)> * MG2 = (Wini/2) * MG * (h2/ht) Me3 = Wini * MG * h3/ht

On en déduit que : 2. 23

hhtWiniWh −=

On a alors et h1 = ht - h2 - h3, avec h2 = 1,5 * hc. Pour une teneur en eau donnée, le calcul revient donc à calculer les épaisseurs h1, h2 et h3. Connaissant ces épaisseurs, il devient ensuite facile de calculer la teneur en eau en tout point de l’éprouvette. On peut également en déduire l’évolution des teneurs en eau à une profondeur donnée, objet du calcul. Remarques : Ce calcul ne donne cependant qu’une valeur approchée de W(z) à cause du profil choisi pour les teneurs en eau de la zone de transition (profil linéaire) et du fait que l’épaisseur h2 est supposée constante et égale à 1,5*hc. La masse d’eau contenue dans l’éprouvette ainsi modélisée ne représente la masse réelle que dans la mesure où l’épaisseur de la phase 3 peut être modulée pour modifier la répartition de l’eau. Le calcul n’est donc pas réalisable en début et en fin de séchage. Il faut en effet que h2 + h3 ≤ ht et h3 ≥ 0, d’où :

htWinihhtWht

Winih .2.222 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≤≤

Dans le cas de l’éprouvette 16*32 de l’essai GEB10, cela conduit à n’utiliser le calcul précédent que pour 0,8% ≤ W ≤7 ,2%, avec Wini=8%, ht = 31,2 cm et h2=1,5.hc = 6,57 cm.

A

nnex

e II

I 26

9

Fig.

A3.

3 :

Evo

lutio

n du

rap

port

de

pres

sion

P4/P

2 (ef

fet P

oiss

on) e

n fo

nctio

n de

la te

neur

en

eau

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

02

46

810

12

tene

ur e

n ea

u (%

)

P4/P2G

EB

1 : G

53-4

,2-5

,9-1

GE

B3

: G56

-4,4

-5,9

-1G

EB

6 : G

77-4

,2-6

,2-4

GE

B8

: G64

-4,2

-6,2

-3G

EB

9 : G

69-6

,9-6

,1-3

GE

B10

bas

: G

64-4

,2-8

-3G

EB

11 :

G67

-0-1

2,1-

3

tem

ps

form

ulat

ion

sans

bitu

me

GEB

270 Annexe III

Modélisation de l’émulsion par une suspension de deux types d’inclusions simples : Modélisation : Dans cette modélisation, on considère deux types de particules noyées dans leur milieu homogène équivalent. On suppose qu’il n’y a aucune interaction entre les deux types de particules, si bien que le calcul revient en fait à dissocier ce qui se passe pour chaque particule puis à combiner les résultats ainsi obtenus en fonction des proportions de chaque inclusion.

Calculs :

Le calcul consiste tout d’abord à obtenir les champs de déplacement d’une inclusion simple enrobée dans un milieu homogène et soumise à l’infini à un champ de déplacement de glissement simple, du type : ur = 1/2.γ.r.sin²(θ).cos(2.ϕ), uθ = 1/2.γ.r.sinθ.cosθ.cos(2.ϕ), uϕ = 1/2γ.r.sin(θ).sin(2.ϕ). Compte tenu de la symétrie sphérique et de la loi de comportement choisie pour les matériaux considérés, les déplacements dans l’inclusion peuvent être mis sous la forme : ur = Ur(r).sin²(θ).cos(2.ϕ) uθ = Uθ(r).sinθ.cosθ.cos(2.ϕ) uϕ = Uϕ(r).sin (θ).sin(2.ϕ) avec : Ur = A1.r - 6.ν/(1-2.ν).A2.r3 + 3.A3/r4 + (5-4.ν)/(1-2.ν).A4/r2 Uθ = A1.r - (7-4.ν)/(1-2.ν).A2.r3 - 2.A3/r4 + 2.A4/r2 Uϕ = - Uθ Pour le milieu homogène, les déplacement ont également la même forme que pour l’inclusion : il suffit de remplacer les Ai des expressions précédentes par des Bi associés aux milieu homogène et de prendre les bonnes valeurs pour les ν de chaque phase. En écrivant la continuité des contraintes et des déplacements au niveau de l’interface inclusion-milieu homogène, et en tenant compte du fait qu’il ne doit pas y avoir de singularité dans l’inclusion en r = 0 (A3 = A4 = 0), il vient alors pour l’inclusion A2 = 0 et ε = A1, avec : où νm et µm sont les coefficients de Poisson et le module de cisaillement du milieu homogène Considérons à présent le cas des deux inclusions. Celles-ci ont respectivement pour concentration volumique, champ de déformation et de contrainte : ci, εi, σi. Soient ε et σ les

(I)

( )( ) ( ) mmim

mmA

µυµυ

γµυ

..57..54.22..1.15

1

−+−

−=

Annexe III 271

grandeurs associées au milieu homogène. La sollicitation appliquée étant du cisaillement pur, il vient : σ = c1.σ1 + c2.σ2, σ1 = µ1.ε1, σ1 = µ2.ε2, σ =µ . ε et ε = c1.ε1 + c2.ε2. On en déduit que : µ = (c1.µ1.ε1 + c2.µ2.ε2)/(c1.ε1 + c2.ε2).

Avec ( )m

m

ννβ −

−= 1.15.54.2 , il vient :

(1-β).µ2 + [β.(c1.µ2 + c2.µ1) - (1-β).(c1.µ1 + c2.µ2)].µ - β.µ1.µ2 = 0 En prenant pour l’évolution de νm un profil du type νm = (ν1 - ν2).c1 + ν2, on peut alors calculer β et en déduire les valeurs du module de cisaillement µ.

272 Annexe III

Tentative de modélisation avec inclusion tricomposite et inclusion simple d’air :

Calcul de l’inclusion composite : fig. A3.4

Compte tenu de la symétrie sphérique et de la loi de comportement retenue pour les constituants et pour le matériau homogène, on peut utiliser le champ de déplacement précédemment présenté (I). Pour le cas particulier de l’inclusion centrale (gravier), on a nécessairement à nouveau A2=A3=0 pour que le champ soit défini en r=0. Pour obtenir les champs du bitume, de l’émulsion et du milieu homogène, il suffit de substituer aux paramètres Ai les paramètres associées aux milieux correspondant et de mettre les bonnes valeurs pour les ν de chaque phase. Notons Bi les paramètres du bitume, Ci ceux de l’émulsion et Di ceux du milieu homogène. En écrivant :

• la continuité des déplacements sur les interfaces, • la continuité des contraintes sur les interfaces, • le fait que l’énergie de déformation du milieu homogène doit être identique à celle du

modèle de la fig. A3.4 lorsqu’il n’y a pas d’inclusion (ce qui revient à écrire que D4=0 : [Christensen & Lo, 1979]),

on obtient un système de 12 équations à 12 inconnues (les Ai, Bi, Ci, Di), paramétré par les modules de cisaillement et les coefficients de Poisson des différents constituants et du milieu homogène. Ce système peut être mis sous forme matricielle (fig. A3.6).

Fig. A3. 4 : Modélisation de l’inclusion composite

Si l’on souhaite éviter la solution triviale correspondant à l’annulation de l’ensemble des Ai, Bi, Ci, Di, il faut nécessairement écrire que le déterminant de la matrice est nul, ce qui conduit à l’obtention d’une équation du second degré en µ*. Il devient alors possible de calculer le module de cisaillement du milieu homogène équivalent.

a

c

milieu 1

milieu 3

milieu 2

milieu homogène

b

milieu homogène

bitume

émulsion

granulat

Annexe III 273

Prise en compte de l’air : On peut à présent reconsidérer le cas présenté sur la fig. A3.5. Un calcul analogue à celui utilisé pour le modèle à trois inclusions permet alors d’obtenir le module de cisaillement du matériau global.

Fig. A3. 5 : Modélisation au moyen de trois inclusions

Continuité des déplacements en r=a : Continuité des déplacements en r=b : Continuité des déplacements en r=c :

= − A1 6ν1 A2 a2

− 1 2 ν1 − + + B1 6

ν2 B2 a2

− 1 2 ν23

B3

a5( ) − 5 4 ν2 B4

( ) − 1 2 ν2 a3

= − A1( ) − 7 4 ν1 A2 a2

− 1 2 ν1 − − + B1

( ) − 7 4 ν2 B2 a2

− 1 2 ν22

B3

a52

B4

a3

= − + + B1 6ν2 B2 b2

− 1 2 ν23

B3

b5( ) − 5 4 ν2 B4

( ) − 1 2 ν2 b3 − + + C1 6

ν3 C2 b2

− 1 2 ν33

C3

b5( ) − 5 4 ν3 C4

( ) − 1 2 ν3 b3

= − − + B1( ) − 7 4 ν2 B2 b2

− 1 2 ν22

B3

b52

B4

b3 − − + C1( ) − 7 4 ν3 C2 b2

− 1 2 ν32

C3

b52

C4

b3

= − + + C1 6ν3 C2 c2

− 1 2 ν33

C3

c5( ) − 5 4 ν3 C4

( ) − 1 2 ν3 c3 + + D1 3D3

c5( ) − 5 4 ν D4

( ) − 1 2 ν c3

= − − + C1( ) − 7 4 ν3 C2 c2

− 1 2 ν32

C3

c52

C4

c3 − + D1 2

D3

c52

D4

c3

bitume

milieu homogène

air

émulsion

granulat

274

Ann

exe

III

Con

tinui

té d

es c

ontra

inte

s en

r=a

: C

ontin

uité

des

con

train

tes e

n r=

b :

Con

tinui

té d

es c

ontra

inte

s en

r=c

:

=

+

21λ1

A2a2

µ22

µ1⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

A1

18ν1

A2a2

−

12

ν1µ2

+

−

−

−

λ2⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

21

B2a2

6B4 a3

µ22

B136

ν2B2

a2

−

12

ν224

B3 a54

()

−

54

ν2B4

()

−

12

ν2a3

=

µ1⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

A1

()

+

72

ν1A2

a2

−

12

ν1µ2

−

+

+

B1(

) +

7

2ν2

B2a2

−

12

ν28

B3 a52

()

+

1ν2

B4

()

−

12

ν2a3

=

+

λ2⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

21

B2b2

6B4 b3

µ32

µ2⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −

−

−

B1

18ν2

B2b2

−

12

ν212

B3 b52

()

−

54

ν2B4

()

−

12

ν2b3

µ3 +

−

−

−

λ3⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

21

C2b

26

C4

b3

µ32

C1

36ν3

C2b

2

−

12

ν324

C3

b54

()

−

54

ν3C

4

()

−

12

ν3b3

=

µ2⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −

+

+

B1

()

+

72

ν2B2

b2

−

12

ν28

B3 b52

()

+

1ν2

B4

()

−

12

ν2b3

µ3 −

+

+

C

1(

) +

7

2ν3

C2

b2

−

12

ν38

C3 b5

2(

) +

1

ν3C

4

()

−

12

ν3b3

=

+

−

−

−

λ3⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

21

C2

c26

C4 c3

µ32

C1

36ν3

C2

c2

−

12

ν324

C3 c5

4(

) −

5

4ν3

C4

()

−

12

ν3c3

− +

6

λD

4

µ3c3

2

µ⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ −

−

D

112

D3 c5

2(

) −

5

4ν

D4

()

−

12

νc3

µ3

=

−

+

+

C1

()

+

72

ν3C

2c2

−

12

ν38

C3 c5

2(

) +

1

ν3C

4

()

−

12

ν3c3

µ⎛ ⎝⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⎟ ⎟ +

+

D

18

D3 c5

2(

) +

1

νD

4

()

−

12

νc3

µ3

A

nnex

e II

I 27

5

mat

éria

u i :

νi,

µ i

mili

eu h

omog

ène

: ν, µ

N

i=1/

(1-2

.νi)

θij=

µi/µ

j (7

-4.ν

i)/(1

-2.ν

i)=5.

Ni+

2 λ i

/µi=

2.ν i

/(1-2

.νi)=

Ni-1

(7

+2.ν

i)/(1

-2.ν

i)=8.

Ni-2

x=

µ/µ 3

(5

-4.ν

i)/(1

-2.ν

i)=3.

Ni+

2 λ i

/µj=

λ i/µ

i.µi/µ

j=(N

i-1).θ

ij 2.

(1+ν

i)/(1

-2.ν

i)=3.

Ni-2

ρ 1

=a/b

=(V

1/(V

1+V

2))^

(1/3

)

ρ 2

=b/c

=((V

1+V

2)/(V

1+V

2+V

3))^

(1/3

)

Fig.

A3.

6 :

Mod

élis

atio

n av

ec in

clus

ion

com

posi

te (m

atri

ce e

t not

atio

ns)

-1

3.(N

1-1)

.ρ1²

1 -3

.(N2-

1).ρ

1² 3.

ρ 1-5

(3

.N2+

2).ρ

1-3

0 0

0 0

0 0

-1

(5.N

1+2)

.ρ1²

1 -(

5.N

2+2)

.ρ1²

-2.ρ

1-5

2.ρ 1

-3

0 0

0 0

0 0

-2.θ

12

-3.θ

12. (

N1-

1).ρ

1² 2

3.(N

2-1)

.ρ1²

-24.

ρ 1-5

-2

.(9.N

2+1)

.ρ1-3

0 0

0 0

0 0

-θ12

θ 1

2.(8.

N1-

1).ρ

1² 1

-(8.

N2-

1).ρ

1² 8.

ρ 1-5

(3

.N2-

1).ρ

1-3

0 0

0 0

0 0

0 0

1 -3

.(N2-

1)

3 3.

N2+

2 -1

3.

(N3-

1).ρ

22 -3

.ρ2-5

-(

3.N

3+2)

.ρ2-3

0

0 0

0 1

-(5.

N2+

2)

-2

2 -1

(5

.N3+

2).ρ

22 2.

ρ 2-5

-2

.ρ2-3

0

0 0

0 2.

θ 23

3.(N

2-1)

. θ23

-2

4.θ 2

3 -2

.(9.N

2+1)

.θ23

-2

-3.(N

3-1)

.ρ22

24.ρ

2-5

2.(9

.N3+

1).ρ

2-3

0 0

0 0

θ 23

-(8.

N2-

1). θ

23

8.θ 2

3 (3

.N2-

1). θ

23

-1

(8.N

3-1)

.ρ22

-8.ρ

2-5

-(3.

N3-

1).ρ

2-3

0 0

0 0

0 0

0 0

1 -3

.(N3-

1)

3 (3

.N3+

2)

-1

-3

0 0

0 0

0 0

1 -(

5.N

3+2)

-2

2

-1

2 0

0 0

0 0

0 2

3.(N

3-1)

-2

4 -2

.(9.N

3+1)

-2

.x

24.x

0

0 0

0 0

0 1

-(8.

N3-

1)

8 3.

N3-

1 -x

-8

.x

276 Annexe III

Evolution du modèle : proportions des différentes phases.

Le modèle qui vient d’être présenté va évoluer en fonction du temps par l’intermédiaire des pertes d’eau mesurées. Pour faciliter les calculs, il faut néanmoins faire des hypothèses sur la répartition de l’eau et du bitume dans la grave émulsion :

• l’eau sera supposée entièrement contenue dans l’émulsion (en réalité, elle peut être enclose dans les dépôts de bitume ou autour des granulats)

• l’émulsion est supposée conserver constante sa teneur en bitume tout au long de la prise. En réalité, cette concentration augmente, mais la loi de dépôt du bitume au cours du temps n’est pas connue.

Le calcul s’effectue donc de la manière suivante : Notations : tb : teneur en bitume en %, w : teneur en eau en % tbe : teneur massique en bitume de l’émulsion (masse de bitume dans l’émulsion/masse d’émulsion) mg, mw, mb : masses de granulats secs, d’eau et de bitume en kg Vb : volume de bitume total en kg/m3 Vbe, Vwe : volumes de bitume et d’eau dans l’émulsion en kg/m3 Vg,Vb Ve : volumes de granulats secs, de bitume et d’émulsion en kg Vt : volume total (avec l’air) en kg ρb, ρw, ρg : masse volumique du bitume, de l’eau et des granulats secs en kg/m3

• on calcule la teneur massique initiale en bitume de l’émulsion (mb/(mb+me)) avec les quantités réelles de bitume (mb) et d’eau (me) introduites dans le mélange. Cette concentration permet de calculer la valeur du module viscoélastique de cisaillement de l’émulsion par homogénéisation autocohérente (§3.4.3).

• à chaque instant, on mesure la teneur en eau du matériau testé (w). Toute l’eau étant dans l’émulsion et sa proportion étant supposée constante, on en déduit les volumes d’eau (Vwe=w/100*mg/ρw) et de bitume (Vbe=tbe/(1-tbe)*ρw/ρb*Vwe) de l’émulsion.

• connaissant le volume total de bitume (Vb=tb/100*mg/ρb), on en déduit le volume de bitume enrobant les granulats (Vb-Vbe).

• connaissant le volume de granulats introduits (Vg=mg/ρg), on peut alors calculer les rapports volumiques utilisés pour le calcul de l’inclusion composite : ρ1=(Vg/(Vg+Vb))^(1/3) et ρ2=((Vg+Vb)/(Vg+Vb+Ve))^(1/3).

• connaissant le volume total du matériau (Vt : mesuré dans le caisson du Vibroscope), ainsi que les volumes de granulat, de bitume et d’eau, on peut en déduire la compacité de la grave émulsion de bitume à chaque instant ((Vg+Vb+Ve)/Vt) et donc les concentrations volumiques des deux types d’inclusions : air et sphère tricomposite.

Annexe III 277

le calcul final des deux inclusions air+tricomposite nécessite de connaître le coefficient de Poisson du matériau global homogène. Dans la mesure où cette valeur n’est pas clairement connue, elle sera évaluée à partir des mesures réalisées à chaque instant au moyen du Vibroscope. On a alors ν*=0,5.λ*/(λ*+µ*), avec λ*=K+Z* et µ*=N*. Modélisation de la grave émulsion de bitume au moyen de trois inclusions : De manière analogue à ce qui a exposé pour l’émulsion (modèle à deux inclusions simples), on peut écrire que : µ = (c1.µ1.ε1 + c2.µ2.ε2 + c3.µ3.ε3)/(c1.ε1 + c2.ε2 + c3.ε3).

Avec ( )m

m

ννβ −

−= 1.15.54.2 , il vient :

(1 - β)2.µ3 + (β.(µ1 + µ2 + µ3) - (c1.µ1 + c2.µ2 + c3.µ3)).(1-β).µ2 + (β.(µ1µ3 + µ1µ2 + µ2µ3) - (µ1µ3.(c1 + c3) + µ1µ2.(c1 + c2) + µ2µ3.(c2 + c3)).β.µ - β2.µ1.µ2.µ3 = 0 où les ci, µi représentent les concentrations volumiques et modules de cisaillement des trois inclusions. On peut alors calculer le module de cisaillement global µ*. L’évolution du modèle en fonction de la teneur en eau et le calcul de νm sont réalisés de manière analogue à ce qui a été fait précédemment (cf. inclusion tricomposite et inclusion simple d’air).

278 Annexe III