Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd
description
Transcript of Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd
![Page 1: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/1.jpg)
Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa
oleh:DR. FAHINU, M.Pd
![Page 2: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/2.jpg)
Mohon dikerjakan
Kura-kura menempuh jarak 1 km dalam 2 jam, Berapakah jarak yang ditempuh bila 8 jam?Manakah hubungan proporsional untuk mengerjakan situasi ini? Mengapa? Jelaskan!
1
2 8
x
8
1 2
x
1 2
8x
2 8
1 x
2 1
8 x
8 2
1x
![Page 3: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/3.jpg)
NumerasiNumerasi
KuantitasKuantitas
Dasar 10Dasar 10
KesamaanKesamaanBentuk Bentuk BilanganBilangan
Proportional Proportional
ReasoningReasoning
Berpikir Aljabar &
Geometrik
Komponen Number Sense
Bahasa
![Page 4: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/4.jpg)
Proportional Reasoning
Penalaran proporsional adalah meliputi hubungan matematis antara dua kuantitas.
Penalaran proporsional merupakan aktivitas mental dalam mengkordinasikan dua kuantitas yang berkaitan dengan relasi perubahannya.
.
![Page 5: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/5.jpg)
Idea Kunci pada Penalaran Proporsional
• Rasio merupakan perbandingan dari dua kuantitas/ukuran(pecahan, persentase, peluang, kecepatan, , dll).
• Proporsi merupakan pernyataan kesetaraan antara dua rasio.
![Page 6: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/6.jpg)
Masalah rasio dan proporsi
Gunakan pemahaman bahwa hubungan perkalian adalah sama untuk setiap rasio dalam proporsi dalam mencari nilai yang tidak diketahui berikut.
x2 :10 4 : x 5 = 102 so 4 x 5 = 20
![Page 7: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/7.jpg)
Masalah rasio dan proporsi
Hubungan perkalian antara dua rasio dalam proporsi.
2:10 = 4 : xJika kita mengalikan kedua bilangan dalam rasio 2:10 oleh 2, kita menemukan nilai dalam rasio kedua.
2 4 x =
2 202
10
![Page 8: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/8.jpg)
Mengapa kita mempelajari penalaran proporsional?
![Page 9: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/9.jpg)
Penalaran proporsional: • Dasar matematika tingkat tinggi• Tidak selalu dikerjakan dengan
representasi simbolik• Menyelesaikan masalah rasio dan
proporsi dalam kehidupan sehari-hari.• Mempunyai empat level strategi peny:
• 0 (gunakan strategi penjumlahan, solution diperoleh karena keberuntungan)
• 1 (gunakan gambar, model, manipulasi)• 2 (gunakan strategi level 1 and strategi
perkalian/pembagian )• 3 (gunakan perkalian silang atau kesamaan
rasio)
![Page 10: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/10.jpg)
Karakteristik Pemikir Proporsional (Lamon,1999)• Memiliki pemahaman ttg kovariasi: memahami
hubungan dua kuantitas yang mempunyai variasi bersama dan dapat melihat kesesuaian antara dua variasi berbeda.
• Mengenali hubungan proporsional dan non-proporsional dalam dunia nyata.
• Mengembangkan banyak strategi untuk menyelesaikan masalah proporsi.
• Memahami rasio sebagai entitas tersendiri yang menyatakan hubungan antar kuantitas.
![Page 11: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/11.jpg)
Bagaimana penalaran proporsional siswa dan
Level Strateginya?
![Page 12: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/12.jpg)
Malasah (Perbandingan senilai):
• Siswa kelas IV membutuhkan 5 helai daun setiap hari untuk memberi makan 2 ekor ulat. Berapa helai daun untuk memberi makan 12 ulat?
![Page 13: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/13.jpg)
Solusi (Level 0)
![Page 14: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/14.jpg)
Solusi (Level 1)
x 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30? 36
7
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 lembar daun
![Page 15: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/15.jpg)
Solusi (Level 2):
5/x = 2/125/x = 1/6 =5/30X = 30
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.
Biasanya kesulitan karena tidak mendapat kan pecahan senilai sehingga menggunakan diagram
![Page 16: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/16.jpg)
Solusi (Level 3):
5/x = 2/125.12 = 2.x60 = 2xX = 60/2 = 30
Jadi jumlah helai daun untuk memberi makan 12 ekor ulat adalah 30 helai daun.
![Page 17: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/17.jpg)
Masalah (Kesebangunan):
Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide berturut-turut adalah 36 mm dan 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, tentukan tinggi pada layar.
![Page 18: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/18.jpg)
Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan
Solusi (Level 1), kesulitan membuat gambar/tabel karena harus membuat 36 kali kolom
…
96
72
48
24/36 72 106 142 …
![Page 19: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/19.jpg)
Solusi (Level 2):
24/36 72 108 144 … 2160
36/24=2160/xx =24 . 60 =1440 mm = 1,44 m
60 x0
![Page 20: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/20.jpg)
Solusi (Level 3):
36/2160=24/x1/60 =24/x
x =1440 mm = 1,44 m
![Page 21: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/21.jpg)
Solusi (level 0), salah/tidak dapat mengerjakannya karena mereka menekankan pada penjumlahan
Solusi (Level 1):
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10 10 10 10
10 10 10 10
![Page 22: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/22.jpg)
Masalah (Reduksi):
Sebuah lantai ruangan berukuran 8 m x 10 m ingin digambar pada kertas gambar dengan skala 1 m : 10 cm. Tentukanlah ukuran lantai ruangan pada kertas gambar tersebut.
![Page 23: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/23.jpg)
Solusi level 0, tidak dapat mengerjakan
Solusi level 1:80 cm x 100 cm
10
10
10
10
10
10
10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
![Page 24: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/24.jpg)
Solusi (Level 2/3)
(8 m /10 cm) x (10 m / 10 cm)(800 cm/10 cm) x (1000 cm/10 cm)80 cm x 100 cm.Jadi ukuran lantai ruangan pada kertas gambar adalah 800 cm x 100 cm.
![Page 25: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/25.jpg)
Masalah (Penguk. tak langsung):
Sebuah pohon mempunyai tinggi 180 cm dengan bayangannya 240 cm. Berapakah tinggi bangunan yang mempunyai bayangan 1200 cm?
Level 0 & 1, Salah/sulitSolusi (Level 2/3):
180/x = 240/1200180/x =1/5180(5)/x = 1(5)/5x = 900 cm
![Page 26: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/26.jpg)
Peluang yang dibutuhkan siswa untuk memahami masalah (Level 0, 1, dan 2):
• Alasan tentang situasi proporsional • Mencari nilai satuan unit• Mengkonstruksi rasio equivalen• Menghubungkan rasio, persen, and
pecahan
![Page 27: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/27.jpg)
Menghubungkan Level 3
Memerlukan pemahaman yang kuat dari komponen penalaran proporsional:• Perubahan antara rasio equivalen (bukan
penjumlahan)• Perubahan perkalian adalah konstan• Hubungan antara rasio adalah faktor skala
(Jika mengalikan suatu rasio dengan faktor skala, hasilnya adalah rasio yang baru)
![Page 28: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/28.jpg)
Masalah
Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. Jari-jari alas tabung 10 cm, Berapa cm kenaikan air dalam tabung tersebut?
![Page 29: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/29.jpg)
Solusi (hanya Level 3):
Volume air yang naik = volume bola.r2
2.t =4/3..r13
3,14(10)2.t =4/3(3,14)(3)3
t = 36/100 = 0,36
Jadi kenaikan air dalam tabung adalah 0,36 cm.
![Page 30: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/30.jpg)
Mengembangkan Penalaran proporsional
Kegiatan informal untuk mengembangkan penalaran proporsional (Van De Walle:2008):
• Mengidentifikasi hubungan perkalian• Pemilihan rasio equivalen• Perbandingan rasio• Pembuatan skala berdasarkan tabel rasio• Konstruksi dan pengukuran.
Selanjutnya banyak latihan Problem solving
![Page 31: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/32.jpg)
Cognitive Processes in Problem SolvingRichard E. Mayer
• Translating
• Integrating
• Planning
• Executing
![Page 33: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/33.jpg)
Masalah
Seorang petani mempunyai 200 m kawat untuk memagari suatu kebun berbentuk persegi panjang. Petani tersebut menginginkan luas kebunnya mempunyai luas yang maksimum. Berapakah panjang dan lebar kebun petani tersebut?
![Page 34: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/34.jpg)
Translating
![Page 35: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/35.jpg)
Prototype Mengkonstruksi Pengetahuan
Luas (Squared Measure)
vs. Keliling
(Linear Measure)
1 2
SymbolsRecord Keeping!
Math Structure:Discussion of the Concrete
Kuantitas:Konsep konkrit
L= p x l=10
P= 2p + 2l=14
![Page 36: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/36.jpg)
CharacteristicsDefinition (in own words)
Non-ExamplesExamples
Frayer Model for Linguistics
Keliling
Jarak keliling suatu objek (linear measure)
10 cm
2cm
Keliling = 24 cm
The picture shows an Luas = 20 cm².
•Pengukuran satu dimensi
•Melibatkan penjumlahan
•Melibatkan problem solving
![Page 37: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/37.jpg)
CharacteristicsDefinition (in own words)
Non-ExamplesExamples
Frayer Model for Linguistics
Luas
Ukuran interior of a figuresuatu gambar
(squared measure)
10 cm
2cm
Luas = 20 cm² Keliling = 24 cm.
•Melibatkan pengukuran dua dimensi
•Imelibatkan perkalian
•Melibatkan problem solving
![Page 38: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/38.jpg)
Problem Solving-Translating
Mengkonversi masalah ke dalam gambaran mental.• Saya mempunyai 200 m kawat, dibuat persegi
panjang.• Saya tahu bahwa persegi panjang mempunyai 2
pasang sisi yang sejajar.• Saya tahu bahwa untuk menghitung keliling
menggunakan penjumlahan dan menghitung luas menggukan perkalian.
• Saya tahu bahwa banyak ukuran pasang sisi yang berbeda yang dapat dibuat.
![Page 39: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/39.jpg)
Problem Solving-Translating
• Saya tahu bahwa luas adalah ukuran persegi pada interior gambar persegi panjang.
• Saya tahu bahwa luas yang diinginkan adalah maksimal.
![Page 40: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/40.jpg)
Integrating
![Page 41: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/41.jpg)
Problem Solving-Integrating
Membangun model mental problem.
Jika Keliling adalah 200 m, persegi panjang mempunyai luas maksimum?
![Page 42: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/42.jpg)
Planning
![Page 43: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/43.jpg)
Problem Solving-Planning
• Konkrit (Kuantitas)
• Representasi (Verbal Discussion)
• Abstrak (Symbolic)
![Page 44: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/44.jpg)
Konkrit
Semua persegi panjang yang terjadi disusun dari persegi satuan sisi10 m
![Page 45: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/45.jpg)
Representasi
• Bagaimana kita mengorganisasi data?• Persegi panjang manakah yang mempunyai
luas terbesar bila kelilingnya tertentu?
![Page 46: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/46.jpg)
Executing
![Page 47: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/47.jpg)
Organisasi Data
p l K= 2p + 2l L =p x l
1 9 20 units 9 sq. units
2 8 20 units 16 sq. units
3 7 20 units 21 sq. units
4 6 20 units 24 sq. units
5 5 20 units 25 sq. units
6 4 20units 24 sq. units
7 3 20units 21 sq. units
8 2 20units 16 sq. units
9 1 20 units 9 sq. units
![Page 48: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/48.jpg)
Symbolic
• 1 x 9 = 9 square units• 2 x 8 = 16 square units• 3 x 7 = 21 square units• 4 x 6 = 24 square units• 5 x 5 = 25 square units (largest area!!!)
![Page 49: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/49.jpg)
Jadi panjang kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, lebar kebun adalah 5 x 10 m = 50 m, serta luas kebun maksimal adalah 2500 m2
![Page 50: Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa oleh: DR. FAHINU, M.Pd](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081506/56813b60550346895da45aca/html5/thumbnails/50.jpg)
Penutup
• Penalaran proporsional merupakan dasar matematika tingkat tinggi sehingga penalaran proporsional siswa perlu dikembangkan secara kontinu.
• Mengembangkan penalaran proporsional siswa perlu memperhatikan level penalaran proporsional.
• Melatih siswa mengembangkan strategi melalui problem solving