Memoria Tesina 070508

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TESINA UPC-ETSCCPB 2008

CAPITULO I CONOCIMIENTOS, ARTES PREVIAS Y PLANTEAMIENTO DE LA

RESOLUCIÓN

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1 CONOCIMIENTOS Y ARTES PREVIAS Por el gran interés que suscita el cálculo de redes hidráulicas de canales, existen actualmente en el mercado multitud de modelos de resolución de redes hidráulicas y en este apartado se va a enumerar una amplia serie de ellos, especificando sus distintas capacidades de cálculo. Las diferencias más significativas de unos modelos a otros pueden estar en la topología de redes que pueden resolver (arborescente o mallada), en la posibilidad de trabajar en lámina libre o a presión en conductos, y en la consideración de la existencia de cambios de régimen. Para simplificar el análisis de los diferentes modelos, podemos agruparlos en tres categorías según sus capacidades. La primera es aquellas aplicaciones, como Cype y Cies, que se limitan a calcular en régimen permanente uniforme. Proporcionan únicamente el calado uniforme en cada conducto, una aproximación en ocasiones poco realista y muy limitada para el estudio o diseño de redes hidráulicas Por otro lado existen modelos como SWMM, WinStorm, Sewercad, Mouse, Sewergems o SOBEK, orientados más específicamente al análisis de redes de saneamiento, trabajan todos ellos en régimen transitorio. Resuelven las ecuaciones del flujo no permanente gradualmente variado mediante diferentes algoritmos, proporcionando hidrogramas o limnigramas en cualquier punto de la red. Precisan para su cálculo de datos en forma de hidrogramas de caudal, obtenidos a partir del estudio de los procesos de transformación lluvia-escorrentía, por lo que supone una cierta complicación adicional. Por último Hec-Ras, Mike11, FDLWAV o Dambrk, orientados al análisis del flujo no permanente en lámina libre de ríos o canales, no permiten simular conductos de sección cerrada (*o solo parcialmente como Hec-Ras) con posibles situaciones de carga de los mismos. Además FLDWAV y Dambrk simulan únicamente redes lineales no arborescentes y por tanto las malladas no pueden ser resueltas por los mismos. Queda de esta lista de modelos y situaciones de flujo que resuelven, un “hueco”, condiciones de flujo permanente pero gradualmente variado. Los datos de caudal no serían hidrogramas, sino caudales punta, y la solución numérica no sería evolutiva en el tiempo sino particularizada para los caudales máximos de paso en cada conducto. Por lo tanto se entiende que el interés por desarrollar una nueva herramienta de cálculo hidráulico radica en la no existencia de un modelo capaz de resolver en régimen permanente gradualmente variable una red que al mismo tiempo sea mallada y con tramos en presión y en lámina libre. Este tipo de configuración de red es por ejemplo muy típica de las redes de alcantarillado. De hecho los modelos existentes capaces de resolver redes malladas, lo hacen únicamente en régimen permanente uniforme lo que está muy lejos de la realidad y supone una fuente de error muy importante.

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En este momento, si se quiere resolver en régimen permanente gradualmente variado (curva de remanso) una red mallada, se están utilizando modelos de régimen no permanente con caudal de entrada constante en el tiempo, lo que supone un coste computacional excesivo y una forma de abordar el problema poco adecuada.

Figura nº 2. División de una malla Cabe puntualizar la resolución de redes malladas pueden hacerse mediante modelos de cálculo que no acepten este tipo de redes, siempre y cuando se divida la malla en dos tramos (ver Figura nº 2) y se suponga una distribución de caudales como hipótesis. Esta hipótesis deberá ser comprobada mediante iteraciones verificando los niveles de energía coincidentes para los dos caminos. Sin embargo este método es muy costoso y lento, y por lo tanto solo posible para redes que solo tengan una o dos mallas a lo sumo. En la Figura nº 3 se ha tratado de hacer una recopilación de algunos de los modelos más utilizados en el cálculo hidráulico, tratando de enumerar brevemente algunas de sus posibilidades. Algunos de estos modelos, por sus capacidades están orientados o bien hacia el cálculo del flujo en ríos y canales, o bien la resolución de redes de canales y conductos.

Tipología de Red Tipo de régimen En

lámina libre

Conducto forzados Nombre del

Programa Lineal Arborescente Mallada Permanente

uniforme

Permanente Gradualmente

variado Variable

En lámina libre

Conductos forzados

Cype Si Si Si Si No No Si Si

Cies Si Si Si Si No No Si Si

WinStorm Si Si Si / No Si SI Si

Sewercad Si Si Si / No Si Si Si

Microdrainage Si Si Si / No Si Si Si

Hec-Ras Si Si No / Si Si Si No*

Mike11 Si Si No / Si Si Si No

FLDWAV Si No No / No Si Si No

DAMBRK Si No No / No Si Si No

SWMM Si Si Si / No Si Si Si

Mouse Si Si Si / SI Si Si

SOBEK Si SI Si / SI SI SI SI

Sewergems Si / Si Si Si Si

NAUNET Si Si Si / Si No Si Si

Figura nº 3. Tabla resumen de los modelos existentes y sus capacidades de cálculo.

Camino 1 Camino 2

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En comparación con los otros modelos presentados, la aplicación NAUNET desarrollada en esta tesina presenta unas capacidades de cálculo interesantes para la resolución de redes malladas, sumado al hecho que contempla coexistencia de tramos en presión y en lámina libre, convierte a esta herramienta en especialmente útil en el diseño o estudio de redes de alcantarillado y redes de canales de riego.

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2 PLANTEAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

La aplicación esta basada en el algoritmo ya existente, desarrollado en la Tesina de Ramón Griell Bernadó de marzo de 1996. Sobre el trabajo existente se han realizado las modificaciones pertinentes para que exista una correcta interacción entre la interfaz gráfica y la herramienta de cálculo, así como una correspondiente revisión de la implementación del modelo de cálculo, condiciones de contorno y otras correcciones necesarias. Por eso se cree adecuado exponer a continuación, de forma breve, los fundamentos de la resolución del problema hidráulico que ya fue tratado en la Tesina de Ramón Griell Bernadó.

2.1 Generalización del problema Para la resolución del problema en régimen permanente gradualmente variado, se deberá resolver un problema caracterizado por N canales y M nudos donde cada nudo puede ser diferenciado en dos topologías; nudos internos, aquellos donde confluyen al menos dos conductos (uno de entrada y otro de salida) o bien aquellos donde tienen lugar las aportaciones de agua de la red, y nudos externos, que son aquellos por donde tienen lugar las salidas/entradas de agua de la red estudiada.

Figura nº 4. Esquema de red donde N = 8, M =7. Las incógnitas a determinar son el caudal y calado aguas abajo de cada conducto, en caso de flujo en régimen lento (en caso de régimen rápido asumimos calado crítico aguas arriba), la energía y el caudal de entrada o salida en cada nudo interior de la red. Por lo tanto se determina el número de incógnitas a resolver como:

I = 2N+M+Mi (2.1.1) I; numero de incógnitas N; incógnitas de caudal en conductos

N; incógnitas de calado en el extremo de aguas abajo de cada conducto

Nudos extremos

Nudos internos

Nudo externo

Q

Q

Q

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M; incógnitas de energía en los nudos Mi; incógnitas de caudal en los nudos interiores

La solución para estas incógnitas se obtiene de las ecuaciones de conservación de la energía en cada nudo de la red, las ecuaciones de continuidad de caudal en todos los nudos interiores, la imposición de condiciones de contorno (Cc.) en todos los nudos de salida

isi MMMNE +++= 2

is MMM +=

iMMNE ++= 2 (2.1.2)

EI = (2.1.3) E; numero de ecuaciones 2N; ecuaciones de conservaciones de la energía, teniendo en cuanta que para cada conducto tenemos dos, uno para cada nudo donde esta conectado

Mi; ecuaciones de continuidad de caudal en cada nudo interno Ms; Cc. en los nudos de salida, como nivel de agua Mi; Cc en los nudos internos, como caudal de entrada o limitación de carga

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2.2 Ecuaciones de continuidad y de conservación de la energía

2.2.1 Ecuación de continuidad Si se considera el agua como fluido incompresible y un régimen en movimiento permanente, entonces, dado un volumen de control podremos escribir:

Figura nº 5. Esquematización de la continuidad de caudales.

isalnudoi

ientnudoi

jN QQQ ,,, ��∈∈

=+ (2.2.1)

QN,j; caudal asociado al nudo, representa la entrada o salida de caudal al exterior, a través del nudo

Qent,i y Qsal,i; caudales de entrada y salida del conducto respectivamente

2.2.2 Ecuación de conservación de la energía En régimen permanente gradualmente variado se puede expresar el nivel de energía en una sección cualquiera del colector, de la siguiente manera:

gv

zyE2

2

α++= (2.2.2)

Qent,i

QN,j

Qsal,i

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Donde y es el calado, z es la cota de solera del colector, v es la velocidad media del flujo en dicha sección, y el factor � es el coeficiente de Coriolis de la distribución de velocidades. Si se consideran las pérdidas de carga tanto a la entrada como a la salida del conducto, y se aproxima � a uno, dado que la distribución de velocidades en canales y conductos es de tipo logarítmica y dado el grado de turbulencia se puede aproximar por una distribución uniforme, se obtiene:

Figura nº 6. Esquematización de la conservación de la energía.

Nudo de entrada

2

,,,, 2

1)1( �

��

��

�++∆++=

id

iididjidj A

Qg

KzZyE (2.2.3)

Nudo de salida

2

,,,, 2

1)1( �

��

��

�−+∆++=

ib

iibibkibk A

Qg

KzZyE (2.2.4)

j; valores asociados al nudo de entrada k; valores asociados al nudo de salida K y �z; coeficientes de pérdidas de carga y escalones de entrada/salida al conducto

E; energía en el nudo Z; cota de la solera en el nudo

2

,, 2

1)1( �

��

��

�+

id

iid A

Qg

K

idz ,∆

idy ,

jZ

Línea de presión

2

,, 2

1)1( ��

��

�+

ib

iib A

Qg

K

kZ

iby ,

ibz ,∆

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2.2.3 Desacoplamiento de flujo Se tiene que tener en cuenta que un escalón importante a la salida de un conducto, puede dar lugar a una situación de desacoplamiento. En tal caso la ecuación Nudo de

salida

2

,,,, 2

1)1( �

��

��

�−+∆++=

ib

iibibkibk A

Qg

KzZyE (2.2.4) no es válida.

La pérdida de esta ecuación se resuelve de manera sistemática bien porque debe ser una condición de contorno especifica, calado crítico o salida a presión atmosférica, o bien porque depende del calado del extremo aguas arriba en un conducto enteramente en régimen rápido.

Figura nº 7. a) Desacoplamiento a la entrada del nudo en régimen lento; b) Desacoplamiento a la

entrada del nudo en régimen rápido; c) Desacoplamiento con salida a presión atmosférica En el primer caso de la Figura nº 7 se produce un desacoplamiento del flujo a la entrada del nudo en régimen lento. En tal caso se impondrá el calado crítico como calado en el extremo de aguas abajo. La segunda situación es la entrada del nudo en régimen rápido, entonces todo el conducto se encuentra en régimen rápido y el calado del extremo inferior corresponde al de la curva de remanso en régimen rápido yr. Por último el desacoplamiento con salida a presión atmosférica, todo el conducto se encuentra a presión, la condición inicial es presión nula en el extremo inferior e yb,i igual a la altura total del colector.

a) c) b)

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2.3 Condiciones de contorno

2.3.1 Condiciones de contorno en los nudos de salida Se impone un nivel de energía E* en los nudos de salida, considerando que representará convenientemente un nivel estable del agua a la salida (al mar, río o..)

*EE j = (2.3.1)

2.3.2 Condiciones de contorno en los nudos interiores

Se pueden producir dos situaciones diferenciadas en el funcionamiento de los nudos:

• Si la energía del nudo es inferior a la cota del terreno entonces el funcionamiento del nudo es normal; en esta situación el caudal del nudo es constante e igual al caudal de entrada correspondiente, que puede ser nulo, y entonces:

*, QQ jN = (2.3.2)

QN,j; incógnita de caudal en el nudo Q*; dato de caudal de entrada

• Si la energía del nudo alcanza la cota del terreno, el nudo está sobrecargado (limitación de la altura de presión)

• Si *, QQZE jNTj

vj =�<

• Si jjTj

vj ZtEZE =�>

• Si �= Tj

vj ZE Si ** ,, QQQQ jN

vjN =�>

Si jjv

jN ZtEQQ =�≤ *,

Figura nº 8. Condición de contorno en nudo.

Tjvj ZE <

Qent,i Qsal,i

QN,j

Tjvj ZE =

Qent,i Qsal,i

QN,j

Tjvj ZE >

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En el primer caso de la Figura nº 8, el caudal de entrada en el nudo es dato, y el nivel de energía en el pozo es la incógnita. En los otros dos casos, el nivel de energía se impone como el de la altura de agua máxima en el pozo, mientras que el caudal de entrada o salida es la incógnita. Piénsese, que aunque está previsto que deban entrar por ejemplo un caudal de 2 m3/s, las condiciones de flujo tal vez permitan que entren menos, nada o incluso que salga agua del pozo en que debía entrar agua.

2.3.3 Calados conjugados y resaltos Dado que se considera la existencia tanto del régimen lento como rápido, se tiene que tener en cuenta que se pueden producir cambios de régimen por medio de resaltos. Se trata de fenómenos locales de discontinuidad en el flujo, produciéndose una gran pérdida de energía debido a las turbulencias que se producen. Si se considera un volumen de control en un conducto de flujo, entonces;

vQF ∆= ρ (2.3.3) Donde F es la resultante de fuerzas que actúan sobre el volumen de control, � la densidad, Q el caudal circulante y �v el incremento de velocidad en los extremos de inicio i final de volumen. Por defecto, la longitud del volumen de control en el que se define un resalto es considerada por NAUNET igual a la distancia �x que separa dos secciones de interpolación de un conducto. La realidad es que la longitud del resalto es aproximadamente 6 veces la diferencia entre los calados conjugados del resalto. De todos modos, a efectos de conocer la distribución de caudales y los niveles de agua en la red, solo tendremos la precaución de saber que en el entorno de los resaltos calculados por el modelo, los valores de calado pueden ser ligeramente distintos.

2.3.4 Redes Parcialmente en carga Para el cálculo de redes que se encuentren totalmente en carga, se pueden adoptar modelos de flujo en tuberías para su resolución, aunque no tienen en cuenta la limitación de altura de presión. Sin embargo, para redes parcialmente en carga es posible aplicar la formulación en lámina libre para conductos con flujo a presión mediante la herramienta de cálculo de la “Ranura de Preissmann” (Preissmann slot). Esta técnica consiste en modelar secciones cerradas con una ranura indefinida y de anchura ínfima que parte de la llave de esta, de tal manera que el flujo puede ascender por ella permitiendo al calado crecer de manera indefinida (Serentill, 1991 Tesina de especialidad).

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Figura nº 9. Ranhura de Preissmann (Preissmann Slot).

2.4 Resolución numérica

2.4.1 Resolución por Newton-Raphson El problema planteado requiere un método de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, ya que las ecuaciones de conservación de energía entre conducto y nudo son no lineales. NAUNET realiza la resolución mediante el método de Newton-Raphson. Las incógnitas del sistema son pues los caudales Qi en el extremo aguas abajo y el calado yb,i asociado a cada conducto, las energías de cada nudo y los caudales QNj de entrada o y salida en los nudos. El resto de valores o bien son parámetros y valores fijos como g, Kd,i, Kb,i, Zj, Zk, �zd,i, i �zb,i, o bien son dependientes de las incógnitas.

)( ,, ibib yfA =

),( ,, iibid Qyfy =

),()( ,,, iibidid QyfyfA == Las ecuaciones de continuidad de caudales i de conservación de la energía entre los extremos de los conductos quedan como:

0),( ,,, =±+= �∈

∈nudoi

ijNnudoiijNiI QQQQf (2.4.1)

021

)1(),,(2

,,,,,, =−�

��

��

�++∆++= j

id

iididjidjiidiII E

AQ

gKzZyEQyf

(2.4.2)

�� 20�


021

)1(),,(2

,,,,,, =−�

��

��

�−+∆++= k

ib

iibibkibkiibiIII E

AQ

gKzZyEQyf

(2.4.3)

*En caso de desacoplamiento 0)( *,,, =+= yyyf ibibiVI (2.4.4)*

2.4.2 Integración de las curvas de remano La integración de la curva de remanso se realiza mediante el método Step-Method, con el cual se puede obtener el calado de una sección a partir del calado de la sección de aguas arriba o abajo según se trate de régimen rápido o lento respectivamente (Ven Te Chow, 1994). Si 1 y 2 son dos secciones separadas por una distancia �x pequeña, entonces:

xII

H ∆+=∆2

21

022

121 21

2

222

2

111 =∆++��

�

��

�++=��

�

��

�++ x

IIAQ

gzy

AQ

gzy ε

Donde e es igual a 1 o -1 dependiendo de si 2 es la sección aguas abajo o aguas arriba de la sección 1 respectivamente. Y planteando el método Newton-Raphson se obtiene que;

0

35

)(1

)(

2

22

2

222

=∆−−

−−=

RhI

xyFr

yNMyy

VVN

ε (2.4.5)

El valor inicial de y2 para empezar a iterar es el de y1 de la sección anterior. En un conducto con pendiente uniforme sin presencia de resalto ni escalones de la solera, la diferencia entre y1 e y2, será pequeña, y por lo tanto el calado y1 de la sección anterior será un buen valor para empezar a iterar.

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