Memo Pripremnimatematika
-
Upload
marko-vidrih -
Category
Documents
-
view
5 -
download
0
description
Transcript of Memo Pripremnimatematika
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
SKUPOVI BROJEVA
N = {1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .} - skup prirodnih brojevaZ = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .} - skup cijelih brojevaQ =
{ab|b 6= 0, a, b Z
}- skup racionalnih brojeva. To su
svi cijeli, konacni decimalni i beskonacni periodicni decimalni brojevi.
I ={
2, , e,3
7, . . .}
- skup iracionalnih brojeva, odnosno
svih beskonacnih neperdiodicnih decimalnih brojeva.
R = Q I - skup realnih brojeva
POTENCIJE I KORIJENI
a a a . . . a n
= an abaza ili osnovica potencije, a Rneksponent potencije, n N
Za a R i a 6= 0 vrijedi a0 = 1 i an = 1an
.
Za sve pozitivne realne brojeve a je: (a)n ={
an, ako je n paran broj,an, ako je n neparan broj.
Za sve realne brojeve a i b razlicite od 0 i m,n Z vrijedi:
Mnozenje potencija jednakih baza:
Dijeljenje potencija jednakih baza:
Potenciranje potencije:
Mnozenje potencija jednakih eksponenata:
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
an am = an+m
an : am = anm
(an)m = anm
an bn = (a b)n
an : bn = (a : b)n
Neka je a pozitivan realan broj.n-ti korijen broja a je pozitivan realan broj n
a ili a
1n kojemu je n-ta potencija jednaka broju a.
n-ti korijen broja (a) postoji samo ako je n neparan broj.
Za sve realne brojeve a je: nan =
{a, ako je n neparan broj,|a|, ako je n paran broj.
Osnovna pravila korijenovanjaZa sve pozitivne realne brojeve a i b vrijedi:
nam = ( n
a)m ; n N;m Z
na nb =
nab ; n N
na
nb
= na
b; n N
n
ma = nm
a ; n,m N
npamp = n
am ; n, p N;m Z
Racionalizacija nazivnika je postupak uklanjanja korijena iz nazivnika razlomka.
1
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
ALGEBARSKI IZRAZI
Algebarski izraz je svaki izraz dobiven pomocu cetiri osnovne racunske operacije i uporabomzagrada, a sacinjavaju ga varijable i konstante.
Za sve a, b R vrijedi:
Kvadrat zbroja: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
Kvadrat razlike: (a b)2 = a2 2ab+ b2Kub zbroja: (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
Kub razlike: (a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3Razlika kvadrata: a2 b2 = (a b)(a+ b)Razlika kubova: a3 b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)Zbroj kubova: a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2).
POJAM FUNKCIJE
Funkcija iz skupa X u skup Y je pravilo f po kojemu se svakom elementu x X pridruzujejedinstveni element y Y , sto se zapisuje f : X Y . Koristimo oznake i nazive:
X podrucje definicije ili domena funkcije f - oznaka Df
Y podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f - oznaka Kf
x nezavisna varijabla ili argument funkcije f
y = f(x) zavisna varijabla funkcije f
f(X) Y slika funkcije f
Domena funkcije ili podrucje definicije funkcije je skup svih brojeva x za koje je dana funkcijadefinirana.Kompozicija funkcija f : X Y i g : V Z, gdje je f(x) V je funkcija h = g f : X Zdefinirana sa h(x) = g(f(x)).Za funkcije f : X Y i g : Y X za koje vrijedi
f g = ix i g f = iy
kazemo da su jedna drugoj inverzne funkcije i oznacavamo g = f1,odnosno f = g1. Samobijekcije imaju inverzne funkcije.Funkcija f je:
surjekcija ako je f(X) = Y
injekcija ako iz f(x1) = f(x2) slijedi x1 = x2 za sve x1, x2 X
bijekcija ako je surjekcija i injekcija
2
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
POLINOMI
Funkcija P (x) : R R
P (x) = anxn + an1x
n1 + + a2x2 + a1x+ a0,
gdje su an, an1, . . . , a1, a0 realni brojevi (koeficijenti polinoma) i an 6= 0 naziva se polinomn-tog stupnja. Koeficijent an naziva se vodeci koeficijent.
Broj x0 je nultocka polinoma P (x) ako je
P (x0) = 0.
Opcenito, polinom n-tog stupnja ima n nultocaka x1, x2, . . . , xn koje mogu biti realni ilikompleksni brojevi. Ako znamo njegove nultocke, polinom P (x) mozemo faktorizirati, odnosnozapisati u obliku
P (x) = an(x x1)(x x2) (x xn).
Dijeljenje polinomaPodijeliti polinom P (x) polinomom R(x) znaci odrediti polinome q(x) i r(x) takve da vrijedi
P (x) = q(x) R(x) + r(x).
Polinom q(x) zovemo kvocijentom, a polinom r(x) ostatkom dijeljenja. Ako je pri tome r(x) = 0,kazemo da su polinomi P (x) i R(x) djeljivi. Ako je broj x0 nultocka polinoma P (x), slijedi da jepolinom P (x) djeljiv polinomom (x x0).
LINEARNA FUNKCIJA
Funkcija f : R R
f(x) = ax+ b, a, b R
naziva se linearna funkcija.Njezin graf je pravac cija je jednadzba y = ax+ b.
- rastuca za a > 0, padajuca za a < 0- bijektivna, ima inverz- Df : R- Kf : R
3
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
KVADRATNA JEDNADZBA I KVADRATNA FUNKCIJA
Kvadratna jednadzba je jednadzba oblika ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0.Njezina diskriminanta je D = b2 4ac, a rjesenja kvadratne jednadzbe su:
x1,2 =b
D
2a.
Rjesenja kvadratne jednadzbe ovise o predznaku diskriminante:
D > 0 - rjesenja su realna i razlicita x1 = b+D
2a , x2 =b
D
2a
D < 0 - rjesenja su kompleksno konjugirani brojevi x1 =b+i|D|
2a , x2 =bi|D|
2a
D = 0 - postoji jedno realno dvostruko rjesenje x1,2 = b2a
Funkcija f : R R
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0
naziva se kvadratna funkcija. Njezin graf je parabola cije su:
Nultocke:
x1,2 =b
D
2a
Tjeme:
T ( b2a,
4ac b2
4a)
za a > 0 konveksna, za a < 0 konkavna |a| > 1 parabola je uza (bliza y-osi), |a| < 1 parabola je sira (bliza x-osi) za b = 0 parna, nije injektivna, nema inverz
Izgled parabole u ovisnosti o diskriminanti i predzanku vodeceg koeficijenta a
D > 0 D = 0 D < 0a > 0
a < 0
4
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA
Funkcija f : R 0,+f(x) = ax, 0 < a 6= 1
naziva se eksponencijalna funkcija.
- a > 1 funkcija je rastuca- 0 < a < 1 funkcija je padajuca- konveksna- y = 0 horizontalna asimptota
LOGARITAMSKA FUNKCIJA
Logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a (0 < a 6= 1) je eksponent kojim treba potenciratibazu a da se dobije broj x.
ay = x loga x = y
Funkcija f : 0,+ Rf(x) = loga x, 0 < a 6= 1
naziva se logaritamska funkcija.
- a > 1 - funkcija je rastuca ikonkavna- 0 < a < 1 - funkcija jepadajuca i konveksna- x = 0 vertikalna asimptota
Svojstva logaritamske funkcije:
aloga x = x
loga 1 = 0
loga a = 1
loga (ax) = x
logb a =1
loga b
loga(x y) = loga x+ loga y
logax
y= loga x loga y
loga xn = n loga x
logan x =1
nloga x
loga x =log x
log a
Logaritam po bazi 10 naziva se dekadski logaritam, a zapisuje se log x.Logaritam po prirodnoj bazi e( 2, 7182) naziva se prirodni logaritam, a zapisuje se lnx.
5
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
TRIGONOMETRIJA
RadijaniIspruzenom kutu mjere 180 odgovara radijanska mjera : 180 = rad.Iz gornje veze slijedi:
1 rad =180
57
1 =
180rad 0, 02 rad
Trigonometrijske funkcije
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija karakteristicnih kutovaStupnjevi 0 30 45 60 90 180 270 360Radijani 0 6
4
3
2
32 2
sin 0 12
22
32 1 0 -1 0
cos 132
22
12 0 -1 0 1
tg 033 1
3 0 0
ctg
3 133 0 0
Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus imaju slijedeca svojstva:
domena je R
slika funkcije je [1, 1]
periodicne su, osnovni period je 2
sinus je neparna funkcija
kosinus je parna funkcija
Trigonometrijska funkcija tangens f(x) = tgx ima slijedeca svojstva:
domena je R\{2 + k; k Z}
slika funkcije je R
periodicna, osnovni period je
neparna, rastuca
vertikalne asimptote u x = 2 + k; k Z
6
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
Trigonometrijska funkcija kotangens f(x) = ctgx ima slijedeca svojstva:
domena je R\{ + k; k Z}
slika funkcije je R
periodicna, osnovni period je
neparna, padajuca
vertikalne asimptote u x = + k; k Z
Funkcija f : R R je:
parna ako je f(x) = f(x), x R Pr.: cos(x) = cosxneparna ako je f(x) = f(x), x R sin(x) = sinx
tg(x) = tgxctg(x) = ctgx
Graf parne funkcije je osno simetrican obzirom na y-os, a graf neparne funkcije je centralno sime-trican obzirom na ishodiste koordinatnog sustava.
Temeljni trigonometrijski identiteti:
sin2 x+ cos2 x = 1
tgx =sinx
cosxsin 2x = 2 sinx cosx sin2 x =
1 cos 2x2
ctgx =1
tgxcos 2x = cos2 x sin2 x cos2 x = 1 + cos 2x
2
sin( ) = sin cos cos sin sin+ sin = 2 sin + 2
cos
2
cos( ) = cos cos sin sin cos+ cos = 2 cos + 2
cos
2
7
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE
Trokut+ + = 180
P =a va
2=
b vb2
=c vc
2
P =
s (s-a) (s-b) (s-c), s = a+b+c2
Poucak o sinusima i poucak o kosinusu
a
sin=
b
sin=
c
sin a2 = b2 + c2 2bc cos
b2 = a2 + c2 2ac cosc2 = a2 + b2 2ab cos
Kruznica i krug
o = 2 r P = r2 Duljina kruznog luka l =
r 180
Povrsina kruznog isjecka Pi =r2
360
KOORDINATNI SUSTAV I JEDNADZBA PRAVCA
Udaljenost tocaka T1(x1, y1), T2(x2, y2) : d =
(x2 x1)2 + (y2 y1)2
Koordinate polovista duzine : P (x1 + x2
2,y1 + y2
2)
Oblici jednadzbe pravca:
Implicitni : Ax+By + C = 0, uz uvjet A 6= 0 ili B 6= 0, A, B, C R
Eksplicitni : y = kx+ l
k koeficijent smjera, k R prikloni kut, kut kojeg pravac zatvaras pozitivnim dijelom osi apscisa
k = tg
l odsjecak na osi ordinata, l R
8
-
Pripremni seminar iz matematike - Formule Tehnicki fakultet, Rijeka 2013.
Segmentni :x
m+y
n= 1
m odsjecak pravca na osi apcisan odsjecak pravca na osi ordinatam,n R
Jednadzba pravca kroz dvije tocke T1(x1, y1) i T2(x2, y2)
y y1 =y2 y1x2 x1
(x x1)
Jednadzba pravca sa koeficijentom smjera k kroz jednu tocku T1(x1, y1)
y y1 = k (x x1)Uvjet paralelnosti i okomitosti dva pravca p1 y = k1x+ l1 i p2 y = k2x+ l2
p1 p2 k1 = k2
p1 p2 k2 = 1
k1
KRIVULJE DRUGOG REDA
Kruznica je skup tocaka koje su jednako udaljene od jedne cvrste tocke, sredista kruznice S.Udaljenost tocke kruznice od sredista zove se polumjer ili radijus. Opca jednadzba kruznice:
(x p)2 + (y q)2 = r2, S(p, q)
Neka su F1 i F2 dvije cvrste tocke ravnine i neka je a realan broj, a >1
2|F1F2|.
Elipsa je skup svih tocaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od tocaka F1 i F2 stalan i iznosi2a tj. r1 + r2 = 2a gdje su r1 i r2 spojnice bilo koje tocke elipse s fokusima. Osna ili kanonskajednadzba elipse:
x2
a2+y2
b2= 1 tj. b2x2 + a2y2 = a2b2
Neka su F1 i F2 dvije cvrste tocke ravnine i neka je a pozitivan realan broj, a