Memo Formulaire Mathematique

7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique

1/65

5

M TH M TIQU S

SOMM IR

Symboles et alphabets

. . . . . .

6

Nombres imaginaires

ou complexes. . . . . . . . . . . . . .

41

0

:

nsembles. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Drives. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Lu

Diffrentielles

........... . .

45

Numration.............. .

9

Intgrales .................

46

1

Arithmtique. . . . . . . . . .. . . .

12

Primitives. . . . .. . .. . .. . . . . . 47

Algbre de Boole. . . . . . . . . . .

14

Intgrales dfinies. . . . . . . . . .

50

Progressions et logarithmes

16

quations . . . . . . . .. . .. . . . . .

52

Calculs financiers . . . . . . . . . . 17

quations diffrentielles

. . . .

55

Calculs de fonctions. . . . . . . . 19

Calcu vectoriel . . . . . . . . . . . . 58

Gomtrie analytique

......

60

Trigonomtrie

. . . . . . . . . . . . .

20

Systmes de coordonnes

. . .

63

Gomtrie. . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Coniques. . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Analyse combinatoire. . . . . . .

31

quations de courbes

Dveloppements. . . . . . . . . . .

32

diverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Statistiques -probabilits

66

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2/65

1 SYMBOLES ET ALPHABETS

6

SYMBOLES

SIGNE

EXEMPLE

ALPHABETGREC(danssonordre)

D OPRATIONS

Addition

a b

Minuscule Nom Majuscule

Soustraction

-

a-b

Multiplication

xou.

axboua.b

a

alpha

A

Division

a

bta B

ou-

a:b

ou

b

Puissance

a

r

gamma

r

Racine carre

.f .fa

E

epsilon

Racinenilmt

:r

:.ra

zta Z

1]

ta H

SYMBOLES

SIGNE

EXEMPLE

9 thta

e

DE COMPARAISONS

1 iota 1

gal

=

a

=

b

K

kappa

K

Diffrent

a b

lambda A

Approximativement gal

::::i a ::::i b

Il

mu M

a

infrieur

b

xi

Infrieurougal

.;;; a.;;;b

-

Suprieur ou gal

;;.

a;;.b

0 . omicron

0

Trs infrieur

a b

1t

pi

n

Trs suprieur

a b

p rh

P

SYMBOLES

cr

sigma

L

SPCIAUX

SIGNE EXEMPLE

t tau T

Valeurabsoluedea (rel)

Il

lai

u

upsilon

Y

Modulede z (imaginaire)

Il Izi


3/65

ENSEM LES

1

1

7

NOM RES

ENSEMBLES

Entiers naturels

N

=

{D, 1,2, 3...}

Entiers relatifs

Z

= {...-2,-1,0,1,2,3...}

Dcimaux

D =Lp;a E Zetp EN}

Rationnels

Q={;aEZ;bEZ*}

Complexes

C = {x+jy; x, y) E R et/=-I}

uimaginaires

Imtionnels

R Q

Exemples:fi, 1t,e

Premiers

P c: N Divisible par 1 et par lui-mme. Exemples: 2, 3, 5 ...

STRUCfURES

PROPRITS

Loi

d opration {

1 -associativit

a*b)*c=a* b*c)

interne entre ensembles. 2 - lmentneutre

e

a*e=e*a=a

Symboles* ou .L

3

-a

symtriquee

a

a *a =a*a =e

4

-

commutativit

a+b=b+a

Addition

5 -associativit

a+b)+e=a+ b+e)

6

-

lmentneutre

O+a=a+Oaa

7 -lment symtrique

a + -a)=O

8 - associativit

ab)c

=

a bc)

Multiplication

9

-

distributivit

a+b)c=ac+bc

c a + b) = ca +eb

10 - commutativit

ab

=

ba

Il

-

lment neutre

a.I=I a=a

12 - lment symtrique a.a- =a-l.a=1 eta;oO

Groupe

Ensemble E satisfaisant aux proprits l, 2, 3

Va,b,ceE

(Exemple Z

Anneau

Ensemble A satisfaisant aux proprits 4, 5, 6, 7, 8, 9

Va,b,c eA

(Exemple

Z

Corps

Ensemble Q satisfaisant aux proprits 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Il, 12

Va,b,c

eQ

(ExempleQ)

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LOGIQUE

8

NONCS

SYMBOLESETSIGNIFICATIONS

OPRATIONS

Exemple: ,Quelsque soient1

ab

, appartenantl

Axiome

ri ab E

1il existe 1 un 1entier naturel c1 tel que c;; a + b

3

c EN

c;; a + b

Disjonction

p

v

p p

ou

q

(ou les deux)

Conjonction

p /\ q

p q

Ngation

- p

non

p

(ngation de

p)

Implication p=q p implique q

quivalence p=q p=q, q=p)

Quantificateur

l ri

rixe A)p x)

Pour tout lment x de A, p x) est vrai

universel

Quantificateur

1

3

1

3xe A)p x)

Pour au moins un lment x de A, p x) est vrai

existentiel

Ensemble

{Xl, X2,

...x....}

ensemble des lments XI,

X2, ...x.

Appartenance

x E A

x

appartient l'ensemble A

Non appartenance

xA

x n'est pas un lment de A

Inclusion BeA

B est inclus (ou contenu) dans A

Non inclusion

Bit A B n'est pas inclus dans A

Runion

Runion de A et de B

AuB

A u B = {x, X E A v X E B}

Intersection

Intersection de A et de B

Ar \B

A r \B = {x, X E A /\ X E B}

Complmentaire

CEA= {x E E;x A}

Complmentaire de A dans E

A

r \ CE A = i5 (ensemble vide)

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5/65

NUMRATION1

1

9

Numration

Systme deux chiffres 0 et 1

binaire (2)

N(2) =a,2 +a,_12 -1 +a _22 -2+...a222+ali +a02

avec Qo,

a a2

...

a,

gaux 0 ou 1.

onversion

Par dcomposition en puissances binaires de poids dcroissant.

d un nombre dcimal (10)

Division du nombre dcimal ainsi que des restes successifs

par la plus haute puissance de 2 contenue dans le nombre.

en nombre binaire (2)

Exemple:

1128

1024

+64+32

+ 8

r-

I 1 1

210 29 28 27 26 25

i

23 22 2 20

1128(10)=

1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

o (2)

Numration

Systme 8 chiffres = 0, l, 2, 3,4, 5,6,7.

octale(8)

Numration

Systme 16 chifJrese t lettres = 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

hexadcimale (16)

criture

Exemple:

1 128 en systme dcimal

des

112810)=

210 +

i+25 23

nombres

+

1 1 1

1

Poids

II

10 9 8

7 6 5 4 3 2 1 0

Binaire 0

1 0 0

0 1 1 0 1 0 0 0

(2)

(4bits)

Hexadcimal 4 6 8

(16)

Octal

0

1

0 o 0

1 1 0 1 000

(3bits)

2 1 5 0

(8)

Binaire 1 1 2

8

(10)

cod dcimal

000 1

000 1 0 0 1 0 1 000

(BCD)

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6/65


7/65

11

Puissances

NOMBRES

PUISSANCES

PUISSANCES PUISSANCES

entires

DE2 DE8

DE 16

1

20

2 l

4 22

8

23

81

16 24

161

32 s

64 26 82

128

27

256

28

162

512

t 83

24

210

2048

2

4096

1 2

84

163

8192

zi3

16384 1 4

32768

21s 8s

65536

zi6

164

131072

2

262 144 zi8 86

524288

219

1048576

220

6S

Oprations

ADDITION

11001

25

en

1+ 1 10

Exemple

+

1001

+

9

numration

-

binaire

100010 34

SOUSTRACfION

Exemple

11011

27

(ajoutere

-

1100 - 12

complment

Complment

00 Il

-

supprimer1

+

15

gaucheet

\

1110

ajouter1

+ 1

aursultat)

1111

MULTIPLICATION

Exemple

1101 13

1 x 1=1

x 0 Il 0 x 6

IxOO

0000 78

1101

1101

0000

100 III 0

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1 ARITHMTIQUE

12

Proportions

Lf_a+c_

a+b_c+d

b-rb+rb-d

b

-

d

Lf

LLa+b_a-b

a-b_c-d

b-d c -rc+d-c-d b

-

d

Moyennerithmtique

M

_a+b

Ma entre a et b

a - 2

Moyenne gomtrique

Mg =.Jl1

g entre a et b

avec ab;;;.

Moyenneharmonique

1-=1(1+1)

Mh

=

2ab

h

entre

a

et

b

avec ab,;, 0

Mh

2

a b

a+b

Relation entre

MaxMh=M;

les 3 moyennes

Puissances

Puissance entire d un nombre rel:

Avec un entier n ;;;. 1

puissance n imede a

ou

an

=

a. a

.

a

...

a

n fois

aO= 1

et

a-n

= .1

an

Exposants

am an=aM n

am: aP=am-p

(a . b

t

= am . bm

(r

= :

(am)

=

amn

m, n

entiers positifs ngatifs ou nuls

a, b rels,;, 0

Radicaux

(;rar =

a

a;;;.O

=Ja.:Jb

(;ray

JP

b;;;.O

_;ra

ffa =

mJQ

0- Jb

Exposants fractionnaires

m:[a '

aa

a

_

-a 1

ai

=

am

:;]I=a

a

=-

a

aa

a;;;.O

(r a

a 1

aa=-L

;;;.O

= b

a-=-

fa

a-a

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9/65

RITHMTIQU

1

Il

13

IDENTITS

FORMULES

Carr d unesomme

(a

+

b)2

=

a2

+

2ab

+

b2

Carrd unediffrence

(a

-

b)2

=

a2

-

2ab

+

b2

Diffrencedescarrs

a2 - b2= (a + b). (a - b)

Cubed unesomme

(a + b

i

= a) + 3a2b+ 3ab2+ b)

Cubed unediffrence

(a - W= a) -

3a2b

+

3ab2

-

b)

Diffrencedescubes

a) - b) = (a - b)(a2+ ab + b2)

Sommede2 termes

la puissancen

an+ bn= (a + b)(an- _ an-2b + .... _ abn-2+ bn- )

n.=2p+l

Diffrencede2 termes

an _bn = (a _b)(an- 1+ an- 2b+ .... + abn- 2+ bn-1)

la puissancen

Sommede3 termes

(a

+

b

+

e)2

=

a2

+

b2

+

e2

+

2ab

+

2be

+

2ae

au carr

Puissancei

(a

+ b) =

an

+

T

an

-

1

b

t

n(

.

1)

an

-

2b2

....unesomme

(voir binmedeNewton)

n(n -I)....(n-kt 1) n-kbk bn

ei-dessous

1.2....

kat

.... t

identitde

(a2 t b2)(X2 t y2) - (ax t by)2=(bx - ad

Lagrange

(a2 t b2 t e2)(x2 t y2 t Z2)

-

(ax t by t ezi=

(ey

- bZ)2 t (az - ex)2 t (bx - ayi

Binmede

(a

+b) =ant nan-1bt n(n2- 1)an-2b2 ....

ewton

(voir analysecombinatoire

n n-PhP hn

page31) .... t T-=-)

a

t ....+

. n p.

n p Factorielles

SOMMATIONS

SOMME CARR

CUBE

des premiers

n(n

+ 1)

n(n

+

1)(2n

+ 1)

[n(n2+

I)Tombres entiers

r 6

des nombres pairs

n(n + 1)

2n(n

+

1)(2n

+ 1)

2n2(n t 1)2

compris entre 0 et

3

des nombres impairs

n2

n(2n -

1)(2n

+ 1)

n2(2n2

1

compris entre 0 et 2n - 1

3

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1

A~GBREE OOLE

OPERAT ONS

1

OPRATlONSSURDES VAR ABLESBINAIRES

T LES TRADUCTION

Sommeogique

0

1 si

1

x = 1vy y=O

x (ou)y

0 0 1

x v y 1

1 1 1

Produitlogique

0

1

si 1 x = 1

Il Y

y = 1

x (et)y

0 0 0

xlly=1

1 0 1

Ngation

xv

x=

1

oucomplmentation

XIIXO

X xbarre)

o 1

valeurcomplmentaire

dex

1 0

Sommeogique

Commutativit

S

= YI

+Y2= Y2+ YI

Associativit

S= YI + (Y2+ y)) = (VI + Y2)+ y)

Identitsemarquables

Y+O=Y Y + 1= 1

Y+Y=Y Y +V= 1

Produitlogique

Commutativit

P=YI 0 Y20

y) = Y2. YI y) = Y3. YI Y2

Associativit P= (YI Y2)0y) =YI(Y2 y))

Identitsemarquables

Y.O= 0

Yol =Y

Y.Y=Y

Y.Y=O

Distributivit

YI (Y2+ y)) = YI Y2+ YI 0y)

Produitlogique

Sommeogique

YI + (Y2.y)) = (YI+ Y2)0(YI+ y))

t l inverse

ThormeseMorgan

YI + Y2= VI V2

Inversed unesommeogique

- - -

YI Y2= YI +Y2

Inversed unproduitlogique

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LG RE DE OOLE

OPR TlONSSURLES V RI BLESBIN IRESV

1

I

FONCTIONSLOGIQUESVoir Technologiepage

266 1

15

OPRATIONS

NI=Y,+YI

VI Vz

NI

NI

ou NI=Y YI

0

0

1

Symbolede

0 1

0

l'opration

gnralisation

NI = YI

YI

y.

1 0 0

1 1 0

Propritde

Commutativit

YI YI=YI'YI

l'oprationNI

VI YI =YI Y,

Pas d'associativit

Pasde distributivit

OPRATION NAND=YI' YI =YI + YI VI

Vz

NAND

NAND

0 0 1

Symbolede

r

gnralisationNAND=Y,

t

YI

t

t y.

0

1

1

l'opration 1 0 1

1

1

0

Propritsde

Commutativit

YI t YI = Y2 t YI

l'opration NAND

Pasd'associativit

Pasde distributivit

FONCTIONS

SYMBOLES TABLES DE VRIT DIAGRAMMES

FonctionNON

-2

[ffiJ

E:t

ri r-l

1

t

Inversionogique

o 1

s:t

=E

1 0

ri

. t

FonctionET

El

E,

E,

s

EI+

, 1

. t

Produitlogique

0

0 0

El4'-

Il

1 11

0

.t

S

= El A El

1

0 0

Ez

1 1

1

st 1 1

.

t

Fonction

OU

El

E.

E,

S

El

t

1

1

_ 1

Sommlogique

0

0 0

E+

n

n.,

1

1

S

=

E,VEl

1

0 1

sU

I

1

1 1

FonctionNI

El

E,

E,

S

,El

t

1

1

1

Inversedelasommeogique

0 0 1

El +

1 1

Il,1

1 0

S

= El V E2

1

0 0

E

1 1 0

s

1

1

.. 1

FonctionNAND E,

E, E, s Ed' 1 1 . 1

Inversedu produit logique

;=E -J

0

0

1

El.,.

1 1 1 1

1 1

. 1

S = El A E2

1 0

1

sO

z 1

1

0

.

t

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1 PROGRESSIONS ET LOGARITHMES'

16

*

Les tablesde logarithmessont remplacespar lesoprationssur calculatricepage

19).

TERMES RAISON SOMMES

Progression

conscuts

b-a

- desn premierstermes

arithmtique

un=un_,tr r=-

S _

u,

+

un)n

e raisonr et de

n

premier terme 1

derangn

- 2

Un

=

UI

t

n

- I)r

1 a premiererme

termen t 1

-

des n premiers nombres

n n

+ 1)

----y-

-

des

n

premiers impairs

n2

conscuts

- des n premiers termes

Un= Un-I q

q

=

b

s

= UI qn

-

1)

Progression

gomtrique

derang

n

q - 1

n-1

1

a

premiererme

- de 2 termes quidistants des

eraison

q

etde

Un= U, ' q

b

terme

n

t 1

premier terme .

extrmes: UI.

Un

- de touslestermesavec

O


13/65

PROGRESSIONS ET LOGARITHMES

1

I

L ULS FIN N IERS

Rgles

Ig(a b) -Iga + 19b

Ig -Iga -1gb

decalculs

surleslogarithmes Iga =n.lga

1

(lnouIg) Iga+lgij-Iogl=O

;raI

g

a-i,lga

a

et

b

nombres> 0

Srie

Nombresprfrentielsaractrisantescomposantsndustriels

Renard

Exemple:SrieRIO1 Logarithmeselaprogression

omtriqueomprisentre1et 10

Raison

q

- =1,258911 erme1,2589} arrondist

terme1,9953 multiplispar100

1 SrieRIO

100,125,160, 2oo,315, 400,500,630, 8oo, 1000

SrieR20 100,112,125,140160,180,200,224,250,280,315,355,

400,450,500,560,630,710,800,900,1000

OPRATIONS

FORMULES - CALCUlS

Placementintrts

composs

C capitalplac

CapitalCnauboutde

r tauxd intrt

lanilm,anne

Cn=C(I + r)D ourapportannuel

pourC= 1franc

n

nombred annes

CapitalnitialCpour

C=btenirCnauboutden

Formulesvalables

annes

(1+

r)

si

n

et

r

concernent

d auifesdures-

Nombred annesour

IgCn-lgC

(semestre,rimestre,

obtenirCnpartirdeC

n=

mois)

avecun intrtr

Ig(1+ r)

ExempleC= 10000F

r =0,08

Tauxd intrtncessaire

n

-

10

pourobtenirCn

partir de C

r-

C-I Cn-21580F

aubout den annes

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1 CALCULS FINANCIERS

18

OPR TIONS

FORMULES

C LCULS

Capital Cn Exemple:

au bout dela nimenne

Cn=

al..p[(I+r)

-1]

a=IOOOF

rsultantdenplacements

r =0,08

devaleuraaudbutde

n = 10

chaqueanne

Cn= 15633F

Croissance*

Cn= c( 1+ )

L'intrts'ajouterait

d'uncapital intrts

chaquenstantaucapital

totalementomposs

(1+ )n -+ e

Exemples:

6mois Cn= 1,73C

1an Cn=2

C

pourn -+ 00

2ans

Cna 2,25C

Amortissement

Sr{1+ r)

S capitalemprunt

d'uncapitalaumoyen

a

-

(1+ r) - 1

r

intrt

d'annuits

n annuits

a valeurdel'annuit

Cumul

Dductionsety

Exemple:

desdductions

D=(x+y-1Zo)

x =20

oumajorations y =10

D =28

et

Cd = 0,72

coefficients

CoefficientCd

M = 32

appliquer

Cd_ (IOO- x) (100- y)

Cm

a

1,32

lavente

- 100 100

d'unproduit

Majoration

M=(x+y+ O)

CoefficientCm

C (100+ x) (100+y)

m =

WO WO

Calculs

Taxessur

prix

brut

X= 20 surnet

destaxes

T - 100x 0A

Taxe25 surbrut

x surprixnet

-IOO-x

Cb

a

1,25

Coefficient

appliquersurprix brut

100

Cb

=

100 x

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15/65

L ULS DE FON TIONS

Oprationssur calculatrice

1

IJ

19

EXEMPLE n =

12

TOUCHES dansl ordreopratoire)

RSULTATS

Puissances

n2

1 2

x2

144

n3

1 2

y

3

=

7 8

n4

1 2

yX

4

=

20736

.........

Inverses

0

1

1 2

1

0,083333

n

1

x

1

?

1 2

x2 0,0069444

1

x

1

Ex.p=8

;jP

1 2

yX

8

=

2,32568-9

x

Racines

Jn3

1

2

ilv

3,464lOI

Jn:;n

1

2

y

3

=

2,289428

Ex.p=6

1 2 INV

y

6

=

1,513085

Logarithmes

npriens ln

n

1

2 ln x 2,484906

dcimaux Ig

n

1

2 2nd

Igx

1,079181

Exponentielles

eX

1

2 INV Inx

162754,914

e x x = 12 1

2 INV lnx

1

6,144212-6

x

IgeX

1 2 INV Inx 2nd

Igx

5,211533

Trigonomtrie

Conversion des angles en

degrs d)

sin 12

1

2 2nd sin

0,207 911 69

gradesg)

cos12 1 2 2nd

cos

0,978 14760

radians rad) 00

tan 12 1

2 2nd tan 0,21255656

Fonctions hyperboliques ***

sh

x

=

eX

1.

e X

l

Ex.

x

= 4

4 INV Inx

-

4 INV Inx

=

: 2

27,2899172 .

x

ChX=ex;e x

4 INV Inx

t 4 INV

Inx

1

=

:2

27,308 232 8

x

th

x

=shx

0,9993293

ch

x

o Tenir compte des variantes spcifiques de chaque machine. INV) 2nd)

00

Conversionirectesurlacalculatrice.[3O = 4 = r:

{d degrs

g grades

rad radians

000

Voir page 40, leurs dfinitions

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16/65

1 TRIGONOM{;TRIE

2

Angles

et

remarquables

sin - a) = - sina

, a COSIDUS

-a) cos-a) =cosa -7a x

tan -a)=-tana

1

1I+a)

sin 11+ a) = - sin a

sin 11

-

a) - sin a

11- a)

cos 1I+a)=-cosa

cos 1I-a)--cosa

tan 1I+a)=tana

tan 11

- a)

-

- tan a

1 +a

sin + a) = cosa sin

-

a) = cos a

-a

cos + a) = - sina cos -a)-sina

2

tan + a) =_---1-

tan - a) = t a

ana

Relations

cos2 a + sin2 a = 1

sin2x =

1- cos2x tan2

usuelles

2

=1+tan2x

sina =tana

cos2x =

1+cos2x

1

cosa 2 - 1 + tan2x

Addition

sin a + b)

-

sina .cosb +sin b. cosa

sin a - b) - sina .cosb - sinb .cosa

cosa + b) - cosa .cosb - sina . sinb

cosa - b) -

cos a . cos b + sin a . sin b

tan a + tan b

tan a + b) = 1 _ tan a

.

tan b

tan a -tanb

tan a - b) = 1 + tan a .tan b

Multiplication

sin a cosb - HSin a + b) + sin a - b)]

sin a sinb - H cosa- b) - cos a + b)]

cos a cosb -

H

cos a + b) + cos a

-

b)]

. 2 2 2 tana

m a

- smacosa-

+tan a

2

.

2

1

-

tan2a 2

cos2a=cos a-sm a==2cos a-I

1+tan a

tan2a = 2tana

cos 2 a = 1 - 2 sin2 a

1 - tan2a

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17/65

TRIGONOMTRIE 1

Il

21

Transformations Avec P q

p-q

Variables

a

=--Z

b=T

sinp + sin

q

= 2sina. cos

b

= 2sin' cosy

sinp - sinq = 2sinb. cos

a

= 2sinY' cos

cosp

+ cosq =

2cosa.

cosb = 2cos'cos

cosp - cosq = -2sina. sinb = -2sin' sin

Avec

a

avectan

0

Variable

tan-Z=(

sina =-1L

cosa = 1 - (2

2 (

1+(2

1+(2

tan

a

= 1 _ (2

Autres

1

cosa

=2cos2

relations

. 2 . x x

1 2 . 2a

smx = sm-Z'cos-Z

-cosa = sm-Z

2X . 2X

1 - cos a = tan2 .

cos

x

=cos2-sm-Z

1+cosa 2

2tan

I+tan

( )

tanx=-

I_tan: =tan +

1- tan2:

2

2

Enposant tana =

a

b

A

= cos a = sina

acosx

+

b

sinx = Acos

x

- a)

sin 3x = 3 sin x - 4 sin) x

Rsolution trigonomtriquede

l'qua.

cos 3x = 4 cos) X - 3 cos x

tiondu 3 degr page53.

tan

3x=

3tan

x,

- tan)

x

- 3tan2

x

4 )

a

3

a

casa = cos '3- cos'3

Angles sin cos

tao

remarquables

Il 1

il il

6 2 2 3

Il

,fi

,fi

1

4

T T

Il

il

1

13

3 2 2

Il

1 0

'2

00

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18/65

1 GOMTRIEIRES

FIGURES

SURFACES

REPRSENTATION

a

a

a

Carr


19/65

GOMTRIE

1IRES

FIGURES

1

SURFACES

1

REPRSENTATION

:ne

0)1

1

111\

ID

-

airelatrale

1Ira

- aire totale

1Ir r a

Troncdecne

@ 1

1 0)

airelatrale

MIr +r )

@

- airetotale

11

[r2

+

r,2

+

a r

+

r ))

,

Couronne

@I

1I(R2_ r2)

1

Sphre @I

411r2

1

JI)

Fuseau @I

2r2a rad

1

h

CalotteI

211h

1


20/65

1

OMTRI

VOLUMES

FIGURES

Cube


21/65

TRIANGLES

Relationsmtriques

Triangle

rectangle

Thormee

Pythagore

Triangle

quelconque

Hauteurs

d'untriangle

deprimtre2p

Mdianes

d'untriangle

Somme des carrs

de 2 ctsd'un triangle

Diffrencedescarrs

de 2 ctsd'un triangle

Triangle

inscrit

dansuncercle

1

diamtre

d

rayon R

FORMULES

AH2

BH CH

AB.AC- BC.AH

AB2BCBH

AC2- BC.CH

BC2_ AB2+ AC2

B

aigu

AC2= AB2+BC2- 2BC.BH

'

B obtus

AC2_ AB2+ BC2+ 2BC.BH

ha= ~ .Jp p a) p b) P- c)

hb =

.Jp p

a) p

b) P - c)

h,-

~ .Jp p- a) p b) P- c)

Jb2 +c2 a2

a

-

Y 4

1c2+a2 b2

mb= . -,:- - 4'

a2+ b2 c2

m,

=

~-Y--4

AG BG CG 2

AA'-BB'-CC=)

AB1+~_2AW+BC2

2

BMMC

AB1-~-2BC'MH

AB AC AH d

R=

a-b-c

4.Jp p

-

a) p

b) P

-

c)

2p=a+b+c

A B -H c

~c

H B

A

B c'

c

25

Gi:OMi:TRIE1

OMTRIELANE

FIGURES

:11

B

H

a

C

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22/65

1

OMTRI

GOMTRIEPLANE

26

Les tracs des diffrentes figures sont indiqus pages 27 et suivantes

POLYGONES

FORMULES

FIGURES

Cts

A

Triangle

quilatral

AB,AC,BC- R J3

inscrit

RJ3

HauteurAH- 2

ApothmeOH -

Quadrilatre

dl,d2-ac+bd

inscrit

2p-a+b+c+d

S j p - a p

-

b P

-

c P-

d

2

C

Hexagone

c=R

rgulier inscrit

Pdl

a-

2

Pentagonergulier

Ctc -

-J

10 - 2.JS

6)

pothme

a

-

.JS + 1)

Dcagone rgulier

Ctc- .JS

- 1)

8

pothme

a

- -J 10 + 2.JS

2 1td2

Cercle

S

SurfaceS- xr = T

Circonfrence L

LongueurL - 2xr = 1td

L- 2xradians

@

L = 360degrs- 400grades

1

x = 3,14159..,

it= 0,31830

voir dveloppements page 33)

Angle au centre Il en degrs

1 2xTa

=160

Pour 1 - r 1= 1 radian

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23/65

Mdiatrice

d un segment IABJ

Perpendiculaire

mene d un point

P une droite IJ.

Parallle mene

d un point P

une droite IJ.

Partage d une

droite AB en

parties

proportionnelles

des segments donns

LMN

Thorme de Thals

Construction

d une tangente

uncercle

partird un

pointA

Construction

des tangentes

extrieures

communes

deuxcercles

A

1

OMTRI

ONSTRU TIONSGOMTRIQU S

AB

Avecunrayon

R >

T

tracer 2 arcs de cercle de centres A

et B. Leurs intersections M et N

sont sur la mdiatrice

De P comme centre avec un rayon

R > d tracer l arc de cercle qui

coupe IJ. en A et B puis construire

la mdiatrice de AB

De P comme centre avec un arc de

rayon R > d tracer l arc de cercle

qui coupe IJ.en A. Toujours avec le

rayon R l arc de centre A qui coupe

IJ.en B puis l arc de centre B qui

intersecte en C.

PC est parallle IJ..

Porter L M N sur une demi-

droite quelconque x

Joindre CB. Les parallles

CBdonnent

AD DE EB

proportionnels L M N

Tangentes au cercle de centre

. 0 issueseA.

Construire le cercle de diam-

tre OA. Les intersections de ce

cercle avec le cercle de centre

o donnent les points de

tangence T et T

Cercles 0 rayon

R

0 rayon

r

Construire un cercle de centre

o et de rayon R

-

r

Construire un cercle de diam-

tre 00 . Les intersections AB

sont sur les rayons OT et OT

0 11 est parallle OT

0 1 1 est parallle OT

[~

B

R

N

p

~/

A \ B

A

B

L_

M

N-

x

A

li.

D E B

A

T

T

27

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24/65

1

OMTRI

CONSTRUCTIONSGOMTRIQUES

Constructione

la moyenne

proportionnelle

entre

segments

a etb

Constructionde2

segments,x et y

connaissant

leur sommea et

leur moyenne

proportionnelleb

Tracd une

ellipsepar

points

Tracd un

. ovale

connaissant

son grand axe

Dveloppante

decercle

Construire le 1/2cercledediamtre

AB+BC-a+b

La perpendiculaire AC en B

coupele cercleen D

BD = x et x

- . fQ.b

Construirele 1/2cerclede

diamtreAB-apuisladroite

DEparalllecediamtre

ladistance

x y-a

xy_b2

Le cerclede diamtreAB

estdivis enn arcsgaux

(icin

-

12) AF

=

3D.

Construirelestrianglesrectangles

telsqueGFH

(FH parallle OA).

Tous lespoints H obtenussont

sur l ellipse

Construire2 cerclestangentsde

diamtre~B , lecerclede

diamtre00 qui intersectentles

prcdentsen

MNPQ

LesrayonsOMoOQ, O N, O P

prolongsdonnent enF et Pies

centresdesarcsde raccordements

(rayonsFH, PK)

La courbeestdcritepar le point P

d une droite J.roulant sans

glissersur un cercle.

LessegmentsIl , 22 , 33 ,44 , 55

perpendiculairesau rayondu

point detangenceont pour

longueursrespectiveslesarcs

PT, P2,P3 etc.danscecas

xd 1td xd 1td

IYf2 .2,TI.3,TI 4,etc.

A

c

x

A Q-

B

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25/65

OMTRI

CONSTRUCTIONSGOMTRIQUES

1

Il

nombrede

~

ivision'une C=

r

x

ln

divisionsen 2 C 9

circonfrencen partiesgales

r

n

partiesgales Exemple= 1 longueurde 3

1

{_

8

r

= 20mm lacordeau

n = 9 rayonunit

ln =0,6840 r rayonducercle 4

C = 13,68mm C longueurde

lacorde

S

~

3 1,7320 12 0,5176 21 0,2979 29 0,2160

Longueur 4 1,4142 13 0,4784 22 0,2845 30 0,2090

dela corde 5 1,1755 14 0,4448 23 0,2722 31 0,2021

l

pou

l

r r = I

b

6 1,0000 15 0,4158 24 0,2610 32 0,1960

seon enom re

de divisionsde 7 0,8672 16 0,3901 25 0,2506 33 0,1899

lacirconfrence 8 0,7653 17 0,3675 26 0,2408 34 0,1845

9 0,6840 18 0,3473 27 0,2321 35 0,1792

10 0,6180 19 0,3289 28 0,2239 36 0,1743

II 0,5632 20 0,3128

Sinusode Dansecerc ed~rayon y 1 Y

Y = sinx R = lIa projectiondeM

f1

/j)

'

A

eny donneles '1'1 Il

\

Construction o.rdon~esela y[ t 1/1 ~ a. X

parpoints sl.nusOideour

JO0.. Il. . . '40273OO JO6


26/65

D~~

A

B~C

B

c

A

O

B

c 4

ABC

sm +sm +sm = cos2 cos2 cos2

A

O

B

c

4

0AoB C

sm +sm - sm = sm2 sm2 cos2

tanA+ tanB + tanC =tanA tanB

0

tanC

ABC ABC

cotan2 + cotan2 + cotan 2 = cotan 2

0

cotan2

0

cotan2

A

r j P-b P-c

b

tan2 =

p

_

a

=

p

(P_

a

avec

p

=

a

+ +

c

30

1

GOMTRIE

SOLUTION DES TRI NGLES

1

Triangles

1

1

DM.

rectangles

MH = OMcos

OH

an 0

-

1 OMsinM

OH= OMcos

MHtanM

Triangles

A +B+C - 180.

quelconques

a b e

sinA = sinB = sinC

a2 = b2 + e2 - 2be cos A

b2 = e2 + a2 - 2ea cos B

e2 _ a2 + b2

- 2ab cosC

Aireen

1

0

-

fonction

S=labsmC

desangles

l -

dans un cercle S=lbcsinA

l -

S=lca sin B

S_aoboe

- 4R

abc

Rayondu

r = 4Rp

cercle inscrit r

(2 p = a + b + c)

Rayon du

R =

aoboc

ercle

circonscrit R

4 p (P - a p

-

b P - e

Autres

relations

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27/65

N LYSE COMBIN TOIRE

1

I

. Voir probabilits page

66.

31

LMENTS

FORMULES

Factorielle

n

n

a

1

X

2

X

3

X

4

X...

n

n

nombresentiers)

ArrangementsA

P

n

de

n

objetspris

p p

An =

n

_

p)

Permutations

(nombrede permutations

A:

= n

possiblesde

n

objets)

n =p

CombinaisonsC

n

(nombredecombinaisons

de

n

objetspris

p

p)

n = p n _)

ProbabilitsP

Exemple=

C:8 1

P casfavorables

Probabilit d avoir 4 as

1

= caspossibles

sur13cartesprisesdans

P

-Cl3 = 378

un jeu de 52

52

Calcul des

Exemple=

coefficients

Calculducoefficient

x +a)7coefficientd ordre4

dutriangle

dePascal

d ordre 1 cP

4 7

exposant

n

C7 = 4 (7

_

)

- 35

TriangledePascal

Puissances Coefficients

1 1 1

2 1 2 1

3

1

3 3 1

4 1

4 6

4 1

5 1

5 10 10 5

1

6 1 6 15

20

15 6 1

7

1

7 21 35 35 21 7

1

8 1

8

28 56

70

56 28 8 1

9 1 9 36 84 126 126 84 36 9

1

10

1

10 45 120 210 252 210 120 45

10

1

Binme

de

x a) = xn Cxn-I a Cxn-2 a2 Cxn-J aJ

Newton

...... c.: xn - PaP ....... C: - xan - 1 C: an.

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28/65

1

DVELOPPEMENTS

Thorme

de

Rolle

Formuledes

accroissements

finis

Formulede

l Hopital .

Formulede

Taylor

Formulede

MacLaurin

Formuledu

binme

de

Newton

(voirpage 31)

32

y =f(x)

continue,drivable

lzri

A

=

y(B)

=0

y'(x) s'annule au moins une fois pour x = c

Pente

de la droite

f b

-

f a

m=~

y

f(b)

-

f(a)

=l'(c)

b-a

f(Xt h)

-

f(x)

=

hf'(Xt Oh)

0

f etg continuementdrivables;

f(~) = 0 =g(xo)et g'(~) ' 0

. &l _ .t1&l

J:~ g(x) - g'(~)

o

f n fois drivable sur J

Ireforme a e J. (a + h) e J; il existe 0 e 10,1[

h (1) h2 (2) h' -1 - J h',

f(a+h) =f(a)+Tf (a)+2if (a)+ '+(n_I) f (a)+i1f(a+Oh)

2' forme h = x - a

~

x

)

=

ji(

a

)

+

(x

-

a)

f

(l)

(

a' + (x - a)2

f

(2)

(

a

)

+ +

(x

- a),-I ,.(,-I)

a

)

+

(x

-

a)'

f

I')

Il J 2 ... (n - I) J n (c)

f n fois drivable autour de 0 ;J(') drivable en 0 ;

x x2 ,.(2) x' ()

y =f(x) = f(O)+T f'(O)+TI J (a)+... + ii1f(~)+ x'&(x)

aveclim

e(x) =0

x-o

( )

xemple:lim 1+

l

m

=e

m aj m

(a + b)m=am +1t . am-I b + m(m - 1) am-2 b2

+

m m

- I)(m - 2) m-J

bJ

I 2 3

a

...

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29/65

V LOPP M NTS

DVELOPPEMENTSL SSIQUES

X x2 xJ

y = eX = 1 + TI' 1+ 21' 1+ J[' 1 ... soit en posant

x

= 1

1 1 1

Y = 1+ 1+2+6+24...=2,71828..

J x5 x7

. X : ...+---

7

''''

=smx =TI-3 5 .

x2 :L_~+...

y=cosx = 1-21+ 4 6

x3 2x5

+

17x7

+...

y=tanx =x+ 3+ 15 315 1

{

Calcul de 7t x = 2

. i 3x5+...-+ . 1 1 1. J+...

* y

=arcsm

x

=

x

+ 6 + 40 arcsm2=2 +Z 3

C)

7t .

y=arccosx =Z-arcsmx

xJ

x5 x7

y = Arctanx = x - 3 + 5 - '7 + ...

xJ X5

}

y=shx =x+J[+51 shx

2 4 thx=-

hx

x x c

y=chx =1+21+41

x2 xJ x4 x5

y=ln(1 +x) =x-T+ 3-4 + 5-

x2 xJ x4

y =ln(1- x) = - x - T - 3 - 4 - ...

X x2 xJ

y

= ln

(a

+

x)

= ln

a

+

a -

2a2 + 3a3

- ...

-x

X 2 x3 x4

y

=

xe

=-ex =

x

-

x

+T - 6 +...

-/ex 1 2x2 J x3 4 x4

y=e =?i=I-kx+k T-k 6+k 24

. m3x3 m\5

y

=sm

mx

-

mx

- 6 + 120+...

x E [-1,1]

x E [-1,1]

x

ER

x

E ]-1,1]

x E [-I,I[

x

E ]-lal,lal[

a

E

R

x

ER

y

=

.jI+Xi

x2 x4 x6 x2

= 1+T-8+16' avec Ixl < 1 ~ 1+T

x2 x4 x6 x2

=1-T-8-16' ~I-T

=~

_ 1 2

y_..; =1_: ...345

+ x2 2 +8x - 16 x6

~

I_i

2

Dfinitionsage 44.

x ER

x

ER

x

ER

x

ER

x ER

x

ER

XE]-1 1 [

'2

x

E [-1,1]

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30/65

1

V LOPP M NTS

DVELOPPEMENTSL SSIQUES

=~ _ X2 3

4

5 6 2

Y ~ -1+T+gx+T6x ::::I+T

r,-:-: 1 2 3

Y = V 1 + X = (1 + X 2 = 1 + _:f.. +:f..

2 8 16'

1

Y=I-x

1

Y=I+x

= 1 + X + x2 + x3 + x4

= 1 - X + x2 -

x3 + x4

(

1

m 1 1

Y =

1+ m = 1+ 1+2 + 6 + ... (y e quand

m et

y =

aX =

eloga = 1 + X lo

g

a

+

x2

101\2

a

+

X

3 101\3a

2 6 '

avec

X E ]-I,I

avec X

E ]- I,I

avec X

E ]- I,I

avec X

E ]- I,I

avec X E

R

y = a +xt = am+ T am-I X +~ m -1) am-2x2 +~ m - I m - 2 am-3x3 + ...

poura -

xt

les

puissancesmpairesde

X

serontngatives.

mEN et X E R

y =(1+ xt = 1+ mx + ~ m -1) x2 + ~ m - I m - 2 x3 +...

mENetxER

* x3 Xl x2n+1

y =ArgthX =X+ 3+ 5+ ... +

2n

+ 1+...

* 1 x3 1. 3 . Xl ni, 3 . 5 ... 2n - 1) x2n+1

Y =Argshx

=x-2' 3+T4:5 (-I) 2.4.6... 2n '2n+I+'

.

h

2 2 23 6 21 10

y=smx.s

X

=21X

-61x +mX -

.

h

2 3 22 1 23 7

Y

= sm

X

. c X

=

X

+

3

X

- TI

X

-

7

X +...

2 3 22 1 23 7

y=cosx shx =X-3 X

-TI

X

+7fX

-...

h

22 4 24

a 26 12

y=COSX CX =1-41X+81X-12 X +...

1

X3 X3

2x1

X7

y=cotanx

=:X- 3-Y-:-S-v:s-:7-J 527- 'O < Ixi < It

X X

B2x2

X4 B6X6

y = eX _

1 = 1+ BI T + 2T + B4 4+ 6 +... Ixl < 21t

. 1 1 1 1 1

BnombresdeBernoullI=BI=-2 B2=6 B4=-30 B6=42 Ba=-30

. Voir fonctions hyperboliques p. 40.

X

E ]-I,I

X E ]-I,I[

x R

X ER

X ER

X ER

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31/65

V LOPP M NTS

DVELOPPEMENTSIMITS 1

Il

35

Infiniment

1estunIPd'ordren si lim fW=

a

E

R

etit

x x

(J.P.)

Exemples:1)FormuledeMacLaurin(dveloppementimitd'ordren)

I(x) =1(0)+ .................. Il )(0)

+

x (x)

1 . 1

1 1

partieprincipaled'ordren infinimentpetitd'ordren

2 )

2) eX-1 +

x

+ t +t +cp(x)

19 IP d'ordre3

Rgle

19et '1'deuxIPd'ordrenetmavecn m

decalcul

desIP

SOMME PRODUIT

QUOTIENT

19+'1' 19''1'

Ordreindtermin

estunIPd'ordre

n

estunIPd'ordre

n

+

m

Dveloppement

SOMME PRODUIT

QUOTIENT

IimAt

parties Sommedes Produitdes Quotientdes

principales

partiesprincipales

partiesprincipales partiesprincipales

. ) 2x1

Exemplesm

x

=

x

+ .. +_ + h6

cosx 3 15

l'ordrededveloppementbtenu ordredesdveloppementsedpart

Fonctiondefonction

Exemple y =lncosx

onposelcosx=I-U

y =ln(1- u)

u -> 0 avecx

x2 x4 x6

Dveloppement

y

= - '2 - TI - 45+1]X6

Fractionalgbrique

I+x Effectueradivisionselon

Exemple

y

-1 2

lespuisancesroissantesexx+x

Dveloppement

y

= 1

- x2

+

x)

+ 1:xl

Dveloppement

Letermedeplusfaibledegrdonne'ordreetla PP.

x)

Xlensrie

Exemple'y =sin..x=

x - T + 5'

deMacLaurin

si m-I

. x

x

sinx=l_

six->O sinx=1

x

3 ...

x

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32/65

1

V LOPP M NTS

DVELOPPEMENTSNSRIEDEFOURIER.

Fonctionpriodique

non sinusoidale

continue[- It, + It)

Dcompositionensrietrigonomtrique:

j x .

ilo + al cos

x

+ bl sin

x

+... +

an

cos

nx

+

bn

sin

nx...

1

1

.

ilo .2it _. f x dx

ao . valeurmoyenneelafonction

Coefficients

an .

1

. f x

cos

nx

dx -

x

impaire

an.

0 si

n

;;. 0

It -.

bn =

1

+.f x sinnxdx- f x pairebn.0 sin ;;.1

It -.

Fonction

depriode

x _ 2ltl.001

j l = ~ +AI cosml + BI sinml +

...

Ancos

nool

+ Bnsin

nool...

~ .1 rI

f 1

dl

-1

2

Coefficients

2

1

1

An = T

_12

j l COS

ool

dl

z

2

1

1 .

Bn = T -1 f 1 smnooldl

,

Fonctione

priode

sousorme

exponentieUe

+co

j t =LCn einl

-co

Cn =+ri j(1) e-i ' dln E Z,a E R)

Co = 110.ak

2ibk=

Ct,

ak~bk

= C-dk e N)

36

* Voir aussi page 149. applications l'analyse des signaux lectriques.

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33/65

ON TIONS

DFINITIONS

Il

TUDEDESFONCTIONS

37

Continuit

Xo - 1] < x < Xo+ 1]

entrane

f X{J - E < f(x) < f(X{J) + E

Limite

Limf(x)

=

f(X{J)

quand

x..... Xo

si

f

continue en

Xo

Variations

Variables X2 > XI

f, fonction monotone sur

[x x21

d'une

fonction Croissante Dcroissante

f(X2) ... f(XI) f(X2);;f(XI)

Fonction

Dfinie pour x et pour

-

x

Exemples: x2,X2., cos x

paire

avec

f(- x)

=

f x

Fonction

Dfinie pour x et pour

-

x

Exemples: x2n+l, sin x, tan x

impaire

avecf(-x) =-f(x)

Fonction

f(x) dite de priode a

Exemples

dfinie pour X et x + na

priodique

lorsque

n

=

-

2, -l, 0, 1,2,3...

sin x (priode 21t)

et

quef(x

+

na) B

f(x)

tan x (priode It)

Fonction

x

=

g(y)

est la fonction rciproque de

y

B

f(x).

(Elle est noteF 1)

rciproque

(gnralement symtriques par rapport la 1' bissectrice)

ou inverse

Produit

f(x)

et

g(x)

continuesdans [a.b

p(x)

=

f(x). g(x)

fonctioncontinuedans

[a.

bl

Quotient

q x B AA fonction continuesi

g x

ne s'annulepasdans l'intervalle

[a.bl

Fonction

u

=f( et

y

-


34/65

1 FONCTIONSONCTIONS ALGBRIQUES

Fonction

Ax

+By+C

=

0 B l 0

YI

M

linaire

A C

Y,

droite)

Y=-ax-aou y=ax+b

1

Y.

a

= YI - Yo = tg

0

- b

:t

.Jb2

-

4ac

1

Racines

=

2a

1

x

1 IX.

I x X

b

1

xO=-2a

1

,.

0

o 1 4ac_b2

Yo

=

4a

Fonction

1

_ax+b 1 0

Y - a x + b a

homographique

ab - a b

(hyperbole)

a -----a;r-

y-(ji-----v-

1

x

---......../1

x

x +(ji

Parchangement axes:

hyperbolequilatre _ 15..

(axesasymptoteselacourbe)y - X 1

1y

Fonction

Pardfinition(Neper) 1

Y

exponentielle

logarithmenpriendex

(voirfonction

1

lnX =S 1 airedelaportiondu

logarithmique plan compriseentre

page 39)

l axe desabscisses,la

courbereprsentanta

fonction et les droites 1 01

1

X

d quationx = 1

et

x

=X

Fonctionnverse

1 e r----ii

Y

-e-

y=lnx x=f

Fonction

xponentielle

Y = eX

e = 2,71828

Y 1 e

1

1

1

x

1

(voir dveloppement page 33)

1

38

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35/65

ON TIONS

FONCTIONSTRIGONOMTRIQUES

Il

FONCTIONSLOG RITHMIQUEST EXPONENTIELLES

1

y

=eX

inverse de

x

= ln

y

y =lnx

~O 1 +00nx - 00 ./ 0 ./ + 00

y =aX a> 0 Iny=xlna=u

y =exl., y =eU

y =eH1

y=e .el

y =x Iny =m Inx - u

y = eml.. y - eU

Croissances compares

* Voir logarithmes page16.

9

FONCTIONS

LIMITES

PRIODE

PARIT

SYMTRIQUE PAR

RAPPORT A

Y

=

sin x

- 1 .. sinx .. 1

sin

x

+ 21t)

sin -x)

-

-sin x

la droite x

-

et + kit

y =cosx

-1..cosx,,;;1

cos

x

+ 21t)

cos(-x)=cosx

x=Oetx=kIt

y

=taux

- 00 < tan x < + 00

tan x + It) tan -x) =- tanx

l origine

y =

arcsinx

Fonction inverse de

x

-1

0

+1

y=sinx ou x=siny

-

/

- Arc sin x est la dtermination

y

0

/ +

principale (DP)

y =

arccosx

Fonction inverse de

x

-1 0

+1

y=cosx ou x=cosy

\.

It

\.

= Arc cos x (DP) y

It

2

0

y =arctan

x

Fonction inverse de

x

-1 0 +1

y-tanx ou x=tany

It

/

+

= Arc tan

x

(DP)

y

-4

/

0

4

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36/65

1

ON TIONS

FONCTIONSHYPERBOLIQUES

1

LIGNESTRIGONOMTRIQUESYPERBOLIQUES

40

EXPRESSIONS

FONCTIONS INVERSES

Y

= ch

x

eX+ e-x

y

=

Argchx=In x +

= ----r-

y = shx

eX_ e-x

y =Argshx ln x + .j7+

=----r-

y = thx

_eX_e-x

1 1 +x

ex+e-x

y=Argthx=2In I-x

CALCUL

Onposeh

x

= sin0

Ondtermine9

-1


37/65

NOM RES IM GIN IRES OU COMPLEXES

1

Il

41

FORME FORME FORME

ALGBRIQUE TRIGONOMTRIQUE

EXPONENTIELLE

Forme

desnombres

z =

a

+

b} z = r

(cos9 + ) sin 9)

z=r.e+j9

complexes

a

partie relle

a=rcos9

e


38/65

NOMBRES IM GIN IRES OU COMPLEXES

OPRATIONS

FORMULES

L -L _

a

-

biZ - a + bj - a2 + b2

1_ 1 _cosB-isinB

z - ,(cosB+j sinB)- ,

Inverse

Puissance

zn

=

(a

+

bj)

= ,n(cos B +

j

sin

9)n

,n

=

(a2

+

b2 9

Exemple

Racine

carre

Fi

=fj

zn = (rejer =

rndna

.. 3 3..

(2 e41) = 8 e 41

JJ= 0d

- ,,2

-1 = 1(cos 1t+ j sinlt) j = I( cos ~ + j sin~)

Racine

. cubique

p (cos a + j sin a) = r3 (cos 39 + j sin 39)

[COS(J+2kj)+jSin(J+2kj)] k=0,1,2

,=

39 =

a

+

2k1t

a

k

1t

9=}+2 }

Racines cubiques de 1

00,= 1

002= -1 +jJ3

2

(03

= -1 -

jJ3

r-

Solutions de l'quation

Z2

+

z

+ 1 = 0

CIl,

X

Racines nllm.

d'un nombre A

x = JT [cos (~ + 2~1t + j sin (~ + 2~1t ]

A

= ,(cos 9 + j sin 9) et

k

= 0, 1,2, ...,

n

- 1

Fonction

d'une

variable complexe

Formule d'Euler

Fonction e' = eH iY= eX.

dx

= cos

x

+

j sinx

cos x = dx + e-jx

-r-

42

1

eX module

y

argument

eix_ e-ix

sinx=~

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39/65

Calculdes

drives

Fonction y = f x)

Drivey =lim

t

quand lU 0

y =l x) =

~

gomtriquement

y

= tga T aupoint M

43

DRIVES 1

yT

1

Il


40/65

1

DRIVES

44

FONCfION DRIVE

Drives

sinx

cos

x

de

cosx

-sin

x

fonction

1 +tan2x ou

+irculaires

tan

x

cos

x

cotan

x

1

- sin2

x

Arcsinx

1

JI

-

x2

Arccos

x

1

J

1-

x2

Arctanx

1

1+ x2

Autres

lnx (lognprien)

1

fonctions

x

19.x

1

xlna

Inu

t.

u

eX

eX

eU

e

aX aX

.In

a

shx chx

ch

x

shx

thx

--L = 1 - th2X

ch2x

Argshx

1

Jx2+ 1

Argch

x

1

Jx2 1

Argthx

1

l x2

Dfinitions

Arcsinx J

onctions

[ sin

x

Il

sh

x

sinushyperboliquee

x

Arccos

x

mverses cos

x

chx cosinushyperboliqueex

Arctan

x

de tgx th

x

tangenteyperboliquee

x

Arg shx

]

Fonctions

[ shx ou Argument de shx

Arg ch

x

inverses

ch

x

Argumentde ch

x

Arg tanx

de

thx Argumentde thx

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41/65

Drive

y

=

f x)

y

y -J x)

1

I

IFFR NTI ll S

Calcul

des

diffrentielles

Fonction

y

= / x)

Diffrentielle

dy

=

y .

dx

x

6y

=

y 6x

+

~6x

.:::./ ~ C7

partie IP IP

principale 1 ordre ordre

suprieur

AB=PAtga

dy

=

dx

.y

A

l ide

dela

formule

deTaylor

y

=

f x) x

variede

6x

2

YI =

Y

+

6y

=

f x

+

6x)

=

f x)

+

T

x)

+ TI

.f x)

+...

6y

=

6x .f x)

+ 2t2

.f x

45

DIFFRENTIELLE FORMULES

d une

y=f u) u=q> x) y;

=

f u), u x)

fonctiondefonction

dy=f u) u x)dx

dy

=

f u) du

de

1 f x

fonctionmplicite

/ x, y)

= 0 dy = - J y .dx

de

y

=

f 9)

1

dy= y 9).dx

fonctionparamtrique

x = q>(9) x 9)

seconde

d dy)= f x) dx). dx d2Y =f x) dx2

(nepasconfondrevec

d x2)

=

2xdx)

premirede

dy =f du +f: dv+f dw

fonctions

y =f u, v, w)

composes

(diffrentielleotale)

d une

y =f x,z) dy ou dF=f; dx +f; dz

fonctionde

plusieursariables

f f

dF=ax.dx+az.dz

successivese

y

-

u,v) 1

dy =

v

.du +

u

.

dv u

et

v

fonctionsde

x)

d2F= u

.

d2v

+

v.d2u

+2du.

dv

fonctions d)F =

u

.

d)v

+3du.

d2v

+ 3

dv

. d2

u

+

v

. d)

u

composes

y =f u, v) u=q> x,y) dy=f u du+f vdv

v

=

g x,y)

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42/65

IINTGRALES

MTHODESD INTGR TION

6

FONCfION

y =X2

f2Xdx=x2+C

PRIMITIVE

l

t

DRIVE

y =2x -..

dy

=

y dx

DIFFRENTIELLE

Intgration

Rgles

ou

- f Cf x)dx = C f f x)dx

ommation

- J

f x)

:t

g x)) dx =J

f x) dx

:t Jg x) dx

Par changement

J

f x) dx

= J

f[cp t)]

.

cp'l dl

evariable

Par transformations

u

conduisant

u

.

u

ou

i

une forme gnrale

Par parties

J

uv dx = uv

-

f.u v dx

J

u dv = uv

- J

v du

Par dcomposition

I-J dx -J dx

u trinmedu

- ax2+ bx+ c - a[ x+ fJ _ b2 )ac ) ]

econd degr

a - 0

b b2- 4ac e. b2 0)

Onpose x + '2 = u -r =:t sUivantque - 4ac

4a

Pourlesfractions

J ful

si degr

P >

degr

Q il

fautdiviser

ationnelles

Q x) si degr

P O b>O

i

X

1t1

- dx--

o eX+ 1 - 12

fo~ ln (sin x) dx = fo~ ln (COSx) dx = -}

ln 2

t

x

ln(sin

x)

dx=-fln2

r

---1 ..Ldx_ _

Jo (1+d - 2

r' J lL

dx-i

Jo x2_ 1 - 4

51

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48/65

1

QU T ONS

1erDEGR

-

SYSTMESINAIRESMthodesdersolution)

FORMES

RACINES

1inconnue

ax b=O

b

x= i

pour a o

0

2 inconnues

Parsubstitution

(1) x = c - bz a x + b z= c (2)

~a t

ax + bz= c (1)

a x + b z = c (2)

avecab -

a b

;o 0

z

= ac

- ca

1

il1= Oiii ax

+

bz

=

c

Cb bc

X=il1= Oiii

J

Par lesdterminants

l

a

x

b

1

=

ab- ba _I~I i,l _eb be

a b x-

po

I

-~

a b

x =

l

e x b

1

= cb

-

be

e b

z

=

l

a xC

1

=

ae - ca

a e

1;, ~II

ae

-

ca

z=

po

I

=~

a b

3inconnues

J.Dnominateurcommundes3 dterminantsde x, z, t

ax +bz +ct =d

a x

+

b z

+

e t

=

d

a x + b z +c t =d

l

a b c

1

J.=

a b e

=

ab c

+

be a

+

ca b eb a ba c ac b

a b c

l

a b c

1

J.= a b c

a b c

etd #O

NumrateursNx,N N,

I

d

bC

I

l

a dC

I

Nx =

d b c Nz

=

a d c

d b c a d c

l

a b d

1

Nt = a b d

a b d

Nx = db c + bc d + cd b -

cb d

-

bd c

-

dc b

Nz

=

ad c

+

dc a

+

ca d

-

cd a

-

da c

-

ac d

Nt =

ab d

+

bd a

+

da b

-

db a

-

ba d

-

ad b

Nx Nz

x=t; z= I:

Nt

t=t;;

52

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49/65

aU T ONS

2e

EGR

1

I

ORMES RACINES

ax2

+

bx

+

c

= 0

avec' 0

Formecanonique

[

(

l..

)

2

_

2

_

~ac

Jx2

+

bx

+

c

a

a x

+

2a 4a

- b- ~b2- 4ac

a = 2a

- b +

~

b2

-

4ac

p=~

b2

-

4ac

> 0 2racines

danscecas ax2+ bx + c =a x

-

a) x - P)

2

-b

=b-4ac=0 1racine a=2a

=

b2

-

4ac

< 0 pasderacinesellesvoirimaginaires)

Somme

s

racines:a +

p

=

-

~

ro uit s racines : a

.p= ~

2 _Sx + P _ 0 (calculde2 nombres a et pconnaissant

x - leursommeSet leurproduitP)

3e

EGR

53

FORMES RACINES

x3 +ax2+bx+ c =0

Formecanoniquearchangementevariable

a a

X=x J x=X J

x3+x(

b

-) +f7

2a29b)

+

c

= 0

p q

x3+pX +q = 0 R = 4p3+ 27q2

MthodedeCardan XI =

u

+

v

; X2= uoo+

voo2;

X3=

uoo2

+ vooet 00= el3

u= 3 - + J Y +(y v= 3- - J Y +(y

R=O

1racinedouble=

-

l' 1 3q

lmpe=-

R


50/65

1

a r ONS

4e GR

FORMES

x. + ax3+ bxl + ex + d = 0

54

RACINES

L'quationdevient

) 1 avecles

I

r = -

b

y + ry +sy+ 1=0 ables s = ac- 4d

van

i

=

d(4b

-

a2)

_

c2

Avecy racinerelledeplusgrandevaleur

P=1+

p =1-

q=}.+aft

q =}.- aft

Ll=(1Y-b+y

1

a=l

si~-c

> 0

L1'= Y

-

d

a= _ 1 si

~

_

c

< 0

Lesracinesdel'quation du 4' degrsontracines

1

X2

+

px

+

q

= 0

des2 trinmes

x p x

q

=

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51/65

,

EQU TIONS IFFRENTIEllES

1

I

finitions

Relationentre

l

unefonctiony etsesdrives.Ql d]y dny

et dx dx2...dxn

unevariablex

Formegnrale

(

dy d2y dny

)

X,y dx dx2 dxn =0

1 type

quations

variables

sparables

2 type

quations

homognes

3 type

quations

linaires

aUATIONSDIFFRENTIELLESU 1erORDRE

1

~=f(x) g(y) g(yo)=0 alors y ;: Yosolutiondel quation

~=f(x)dx

f

~=

f

(X)dx +C

g(y) g(y)

dy du

dy

(

Y

)

1

dx= u +x dx

dx =

f

x

avec

Y

=

u

.

x du

/(u)

=

u

+

x

dx

f

~ -

f

~ +C

= ln

x

+ lnC si

f(uo)

=

Uo

x - f(u) - u alorsY=Uo solutionel quation

dy

dx+f(x)y = q>(x)

- sanssecondmembreq>(x)= 0 solution du 1 type

- avecsecondmembreq>(x)

Rsolutionen 2 temps

1- : +yf(x)= 0 -> Y = Ce-F(X) F(x) primitive def(x)

2 - C estune fonction de

x

:

= - Ce-F(x)

(x)

+~e-F(x)

~e-F(x)= q>(x) C=

f

l(X)q>(x)dx

Y =e-F(X).

{f(X)q>(x)dxc}

55

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52/65

1


aUA TIONSDIFFRENTIELLESU 28 ORDRE

Forme

d2y

dx2=f x

ar intgrations

:= ff X dx=F X +C

y a f F x dx+ Cx + C = 4> x+Cx + C

d2y

dx2=f y

ultiplicationdes2membresar2:

y d2y dy

2- - dx= 2

f y

-

dx dx2 dx

:y

2

f

j y dy+C=2F y +C

dx - dy x =

f

dy + C

,j2F y + C ,j2F y + C

d2y

d

)

x2=f x,t

dy

Avecdx= u

d2y du

dx2= dx=f x, u quationu1

r

ordre

d2y

d

)

x2=f y,

t

dy

Avecdx = u

d2y du du

dx2= dx = u dy =f y, u quationdu 1crordre

Linaires

coefficientsonstants

-

sans

secondmembre

d2y dy

dx2+P dx+qy=O

Solutiondelaformey =eux u =constante)

quationcaractristiqueu2+pu + q = 0 1)

1:1=

p2 - 4q > 0 y = Cleu,x + Cl eU>,avec Uh U2solution de 1)

1:1= 0

y

= euxC1x +

C2

1:1< 0

y=e.X C,cos~x+C2sin~x

a + ~ j = u,. a - ~j= U2. C, et C2constantes

rbitraires

56

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53/65

Linaires

coefficientsconstants

- avecsecondmembre

variable

f x

1 cas

2'cas

3'cas

4'cas

,


aUA TlONSDIFFRENTIELLESU26 ORDRE

1

Il

2y dy

dx2+p dx +qy=f x

Solution

1

y intgrale gnrale de l quation

y +YI

sanssecondmembre +YIsolution

particulire de l quation avec second membre

f x

=P

eux

P polynmeenx ;degrP

- n

Solution particulire Q(x)eUX o Q polynme en x

u2 + pu + q = 0

1

si a n estpas racine degrQ

- n

a est racinesimple degr Q - n + 1

a est racinedouble degrQ = n + 2

f x = R cos lx + Ssin px

I

R et S polynmes en x degr R = r

p=constante degrS=s

Solution particulire T x cos lx + U x sin px

u2 + pu + q _ 0

1

sipj n est pasracine degT = r degU = s

sipjestracine degT=r+ 1 degU=s+ 1

n

f x -

L

akfi x

k.1

n

une solution

particulire

est L akYk x o akestune

constante

k.1

et Yk solution particulire ~

+ p

~

+ q y x

-

fi x

d2 d

f x

=

ax2

+

bx

+

c

= A J + B

lx

+

Cy

avecC 0

Solutionarticulire (avecYI=ax2+ lx +y)

ax2+bx+c == A.2a+B2ax+P)+C ax2+px+y)

a=~

1

Cp+2aB=b

2aA+Bp+Cy=c

57

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54/65

1 CALCUL VECTORIEL

Vecteuribre

Identit de Chasles

Addition de vecteurs

Composantes vectorielles

et scalaires

d un vecteur

Multiplication d un

vecteur V par un

nombre

m

Produit scalaire

ou produit gomtrique)

Expression analytique

du produit scalaire

Produit vectoriel

Thorme de

Varignon

58

IABInonne du vecteur

V

notation officielle Il Il

AB+OA-OB

s-V+V:

V=OM-OA+OB+OC

x, y, z composantescalaires

i, j, k

vecteursunitaires

V xi yj zk

W-mV

m +V)- m+mV

V. v: = IVI IV:Icosa

En mcanique:

T-F.[.cosa

v

~

o

A

B

1

w{v

~=Iml

IVI

D

V H

v=xT_+

yj ~zk

_

1

V.V:=XX +YY +zz

V:-X i

+Y j +Z k

/\V=W

Avec

IWI= II IVI lsin al

iY-

iY/\

V=

/\ V

w

V

/\ A+

ih=

V/\ A+V/\ B

sansintervertir l ordre des facteurs)

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55/65

Composantes

duproduitvectoriel

Produit mixte

de vecteurs

Double produit

vectoriel

Fonction vectorielle

d une variable

Moment d un

vecteurar

rapport un point

A

l~

,V,W)=0 V1\ W)

Produitvectoriel V 1\ W = 0 0

ro uitmixte

V 1\ W)= OU OG

cos Il

produit scalaire

l

x

V

y

z

CALCUL VECTORIEL

1

Il

_

1

yz - zy

U

1\

V zx -xz

xy

-

yx

1\

V

1\

W)

~ W)V - V)W

V t)

{

Vvect~ur

t scalalfe

V t) = 6M vecteur espace

_

l

x

=/ t)

V t)

y =g t)

z ~ h t)

dV

l

X drive de x

dl y drivede y

z drivede z

l

x

V y

z

Enmcanique:

_

V

o

d

M

dM

vItesseu pomt = dl

d2V-

2 = S acclration

dt

1

Xo

A Yo

Zo

z

M

y

x

v u

_

I

X

AB

i

o origine

Lo AB) = OA

1\

AB - OG

_

1

L =yoZ-zoY

OG M= zoX-xoZ

N=xoY-yoX

59

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56/65

M

O p

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57/65

quationdela

circonfrence

-

encoordonnes

cartsiennes

-

encoordonnes

paramtriques

-

encoordonnes

polaires

Tangente

quation de MT

-

encoordonnes

cartsiennes

- encoordonnes

paramtriques

Intersection

avecunedroite

y

1

Il

GOMTRI N LYTIQU

LECERCLE

- 1 l origine =

x2

+

y2

= R2

- 1 en

1

b

x - a)2+ y -

W

= R2

x=a+Rcos9 y=b+Rsin9

Avectg~ = t [- 00+ 00]

x

=

a

+ R 1- 12

Y

=

b

+ R 21

T+? Ti7

x=OMcos 9=pcos9

y

= OM sin 9 = p sin 9

p cos9

-

xoi + psin9

- YO)2

= R2

Centresurl axepolairep = 2Rcos9

Centreauple0 p = 2Rsin9

IM

l

xo-a

Yo

-

b

TI~

x- a) xo a)+ y- b) yob)

= R2

x

- a)cos9+

y

-

b)

sin9 - R = 0

Cerclex2+/ = R2 C)

Droite y = ax + b D)

Intersectione C)et D):

x2+ ax

+

b)2=

R2

ety=ax+b

= R2 1+ a2)-

b2

< 0 droiteextrieureucercle

= 0 1pointtangenteucercle

> 0 2points x= -ab: : 1{i:.;y=ax+b

1

+a

b

o

x

x

axepolaire

y

>

y

6

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58/65

1

GOMTRI N LYTIQU

LECERCLE

nterse tion de

2 circonfrences

Puissance un

pointparrapport

uncercle

Axeradical

de2circonfrences

X2

+

y2

= R2 (0) 00 =

d

x

-

d)2

+ /

=

R 2 (0 )

R2+d2

_

R,2

X

=

u

y = : :JR2

-

X2

PM = r x = XI + r cosa

PM =

r y

= Y I +

r

sina

MI;

XI + r cosa - xo)2 + (yI + rsin a - YO)2 = R2

rr

=

XI

-

xoi

+ (yI -

YO)2

- R2

distance PC =

d

d2 - R 2 = constante = Puissance de P

Lieu des points de mme

puissance par rapport 0 et 0

quation de AB

M E AB fs i OM2

-

O M2

= R2 - R,2

1

TANGENTESET NORMALESA UNE COURBE

Tangente

Sousangente

Normale

Sousnormale

Longueurde la tangente

Longueurdela normale

62

Tangente en M (drive)

Y

-

Yo- xo) x- xo)

f x) y

- ~=-y=TP

Nonnale en M

1

Y - Yo=- - x- xo)

f xo)

f xo)

.

f XO)

=

yi =

PN

MT =yJI +y 2

y

MN = yJ1+Yii

y

x

y

T

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59/65

SYSTMES E OOR ONNES

1

Il

63

Diffrents Coordonnesartsiennes

(j) y

@ p

systmes (4quadrants)

y

quationexplicite

y

=

f x)

0-

x

quationmplicite x,y)

=

0

x

(j)

@

Coordonnesolaires

ofP

Ple0)

p

=f 9)

horizontale

Coordonnesaramtriques

paramtre1

x

= Rcos9

(

--......p

rn

utemps y = Rsin9

Ixl =OH

Iyl =PH

u x

H

y

Y

Translation

@=OO+nM

lM

esaxes

a/

Q

X

(changementorigine)

x X a

y=Y+b

0

x

Rotation

X =

x

cos

a

-

y

sin

a

desaxes

Y=ysina+xcosa

y X

IPenP etQenQ

Q a Q :

ransforme Ox en OX et Oy en OY

transformation

x

=X cos

a

+Y sin

a

o p

x

inverse y=-Xsina+Ycosa

Formulegnrale

X=a +xcosa- ysina

translationrotation

Y=b+xcosa+ycosa

Transformation

Ox axepolaire

cos9=. .1

1d,

escoordonnesolaires

R R2=

x2

+

y2

o eRx

y x

encoordonnes Y .

cartsiennes

s in9=

R

(9 2k1t prs)

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1 CONIQUES

Dfinition

d uneconique

quation

gnrale

Changement

d origine

Rductione

l quation

gnrale

quationcommune

aux 3 coniques

64

Lieu gomtriquedfini

MF

par MP = constante= e

I

F pointfixe= foyer FH=

P

D droitedirectrice

e excentricit

(HF)appelexefocal

MF =

.Jx2

+

y2

= e(x +

p

MP=x p

Quation

x2

+ l-

e2(x+

d = 0

Lechangement en-

y

montreasymtrieparrapport

l axedes

x

y

=0 e(x +

p

= j:

x

e= 1 0pointd intersectionntre

coniqueet axefocaldans

lerepre0,

Ox,Oy

F:(~,O) D: x=-~

y2=

2pX

Parabole

o < e < 1 e= f

a2

-

e2

> 0

- a

X2 y2 .

2 + 2 2 = 1 Elhpse

a a - e

e > 1

a2

-

e2

< 0

e2

_

a2=

b2

X2 y2

- - -

= 1 Hyperbole

a2 b2

e=O Cercle

ellipse

y

x

A

OA = ON = a

OF = OF =

e

Al + Bxy+Cx2+ Dy +Ex+F=0

avec

XoYo

nouvelleorigine

x=xo X y=Yo y

Ay2+BXY+CX2+FI=0

l

>

0 hyperbole

, < 0ellipse

, = 0 parabole

y2 =

p

X2

y

H P F

x

D

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61/65

QUATIONS DE COURBESDIVERSES 1

Il

65

Coordonnes Coordonnes

Formes

cartsiennes

polaires

paramtriques

Cercle

x _XO 2

+ y -

Yo 2

= R2 p2_ 2p

xo

cos9 +

Yo

sin9)+

x

=

Xo

+ Rcos9

x

+

y

- R2) = 0

y

=

Yo

+Rs in9

Parabole

p

12

yi

=

2px

P=I-cos9

x=2ji

y =1

Ellipse

x2 yi

p

x=acos9

+-=1

P=1-ecos9

2 b2

eexcentricit

b2

y=bsin9

p=-

a2

_

c2

=

b2

a

Hyperbole

x2 y2 P

X

_

a

--=1

P-I-ecos9

2 b2

- Os

e=

c2

_

a2

=

b2

b2

b

p=-

Y=g

a

Cyclode

B..::.1

p =

2a :t

1- cos9)

x

= R 9- sin9)

=Rarccos R :t

,j2Ry - y2

cardiode)

y

=

R 1- cos9)

Cissode

y=:txJ2x

P= co 9 - 2pcos9- 2qsin9

2 p+ql)

a -x

x=a-I+T

x

Memo Formulaire Mathematique

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