mekanika astronomi

Astronomi dan Astrofisika 30

VEKTOR SATUAN DAN BESAR VEKTOR

Harga besaran suatu vektor sembarang a disebut besar vektor tersebut, dankita nyatakan sebagai || a .

Agar lebih sederhana, besar suatu vektor a kita tuliskan sebagai a, tanpaanak panah. Jadi a = || a = besar vektor a . Bila suatu vektor a kita bagi denganbesarnya, yaitu a, kita akan dapatkan sebuah vektor dengan panjang satu, yaitu satusatuan besaran fisis yang dinyatakan vektor oleh tersebut. Vektor ini kita sebutvektor satuan untuk arah a . Vektor satuan untuk a kita tuliskan sebagai a .

Jadi,aaa (3.1.a)

Jelas bahwa besar vektor satuan sudah diketahui, yaitu sama dengan satu, vektorsatuan digunakan untuk menyatakan arah saja. Bila kita gunakan sistem koordinattegak, yang juga disebut koordinat kartesian, arah sumbu X+ dinyatakan denganvektor satuan î, arah sumbu Y+ dinyatakan dengan vektor satuan ĵ, dan arah sumbuZ+ dengan vektor satuan k.Sebuah vektor satuan dengan besar b berarah sumbu X+ dapat ditulis sebagai b = ib.Jelas bahwa besar vektor ini adalah

|| b = | î b| = | î | b = (1) b = b (3.1.b)

Besar vektor adalah panjang sebuah vektor, dan dilambangkan dengankurung mutlak, misal besar vektor A adalah |A|. Dengan menggunakan dalilPythagoras panjang vektor untuk tiga dimensi yaitu

222|| zyxA (3.2)

Bentuk ini dapat diperluas untuk vektor dimensi-n (Rn).

JUMLAH VEKTORMarilah kita tinjau kembali vektorposisi suatu titik P. Koordinat titik Pyaitu (3,4) juga dapat kita capai sebagaiberikut. Dari titik asal O, kitaberpindah sepanjang sumbu X+ hinggasampai di Q. Selanjutnya dari Q kitaberpindah ke arah sumbu Y+ sejauh 4m. Perpindahan dari O ke Q dapat kitanyatakan dengan vektor perpindahan

QO , dan perpindahan dari Q ke P kitanyatakan dengan vektor perpindahan

PQ . Perpindahan OQP secara

Gambar 3.2 Vektor QPOQOP .


matematis dapat kita nyatakan sebagai jumlah vektor perpindahan QO dengan

vektor perpindahan PQ . Karena hasil perpindahan OQP sama dengan vektor

perpindahan PO , ini dapat dituliskanPO = QO + PQ

Sekarang mari kita tuliskan PO = c , QO = a , dan PQ = b .

Vektor a dan b dapat dilukiskan seperti pada gambar berikut:

Y

P

c b

θa Q X

jumlah vektor a + b = c mempunyai panjang dan arah diagonal segi empat yangterbentuk oleh vektor a dan b .Dari gambar di atas dapat kita ketahui juga bahwa a merupakan proyeksi c padasumbu X dan b merupakan proyeksi c pada sumbu Y maka:

cosca (3.3.1)sincb (3.3.2)

Dapat ditunjukkan bahwa pernyataan di atas berlaku lebih umum lagi, yaitu untukvektor a dan b yamg berarah sembarang. Ini ditunjukkan pada gambar berikut:

Y c Yc -b

b b

a a

O X X(a) (b)

VEKTOR LAWAN

Vektor PQ = b juga dapat kita lukiskanpada sumbu Y. Dalam menyatakan vektorperpindahan kita hanya perlu tahu berapajauh perpindahan dan arah perpindahan.

Kita tak peduli titik asal perpindahan.Dalam menjumlahkan vektor kita dapatpindahkan titik asal vektor, selama besardan arah vektor tetap. Dari gambar disamping dapatlah kita simpulkan bahwa

Gambar 3.3 (a) vektor bac sebagai diagonal parallelogram yang dibentuk dari a dan b .

(b) vektor bac dibentuk dengan menyambungkan vektor b pada ujung vektor a .

Gambar 3.2.1 vektor bagian


Misalkan kita jumlahkan dua vektor a dan 'a dan kita peroleh vektor posisi titikacuan 0, kita dapat tuliskan a + 'a = 0. Ini ditunjukkan pada gambar berikut:

Y

'aa

O XGambar 3.4

SELISIH VEKTOR

Misalkan kita mempunyai dua vektor a dan b . Bagaimana kita dapat memperolehselisih vektor a - b ? Misalkan selisih vektor di atas kita nyatakan sebagai c , jadi

bac .Untuk menentukan ini, perhatikan gambar B-6.

Y Y

b b

ca a

X X-b

c c(a) (b)

Gambar 3.5 (a) bac = bac

(b) vektor bac tak lain adalah vektor yang ditarik dari ujung b ke a .

Dari gambar B-6 tampak bahwa vektor bac tak lain adalah vektor yang ditarikdari ujung b ke arah ujung a . Bila perlu pangkal vektor c dapat dipindahkan ketitik O

Dari persamaan di atas nyata bahwa'a = - a

Vektor 'a mempunyai besar sama denganVektor a , akan tetapi arahnya berlawanandengan arah vektor a (180°)Vektor 'a disebut vektor lawan dari vektora .


JUMLAH BEBERAPA VEKTOR

Misalkan kita mempunyai empat buah vektor yaitu a , b , c , dan d , seperti padagambar B-7a.

Kita dapat tentukan vektor dcbag seperti pada Gb. B-7a, yaitu dengan

menyambung ujung vektor a dengan pangkal vektor b , menyambungkan ujungvektor b dengan pangkal vektor c , dan seterusnya. Vektor g dapat diperoleh

dengan menarik dari titik asal O ke ujung vektor terakhir (vektor d ). Besar vekor gdapat diperoleh dengan mengukur panjang vektor g , dan arahnya dapat ditentukandengan mengukur sudut θ.

Dengan cara yang sama kita juga dapat menentukan vektor dcbak sepertipada Gb. B-7c.

Catatan:Untuk penjumlahan vektor, pangkal vektor penjumlah diletakkan pada ujung vektoryang dijumlah, sedangkan untuk pengurangan vektor (selisih), vektor pengurangdibalik arahnya (sama dengan ujung vektor pengurang diletakkan pada ujung vektoryang dikurangi).

BCADCDAB CADBCDAB

Gambar 3.6 (A) Vektor dcba dan,,, .(B) Vektor dcbao ,(C) Vektor dcbak ,


VEKTOR DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Setelah tahu vektor satuan dan jumlah vektor, kita dapat membahas bagaimanamenyatakan vektor dalam koordinat kartesian. Perhatikan gambar Gb. B-8.

b = j4 P(3,4) jy

r

ixa = i3

(a) (b)

Gambar 3.7 (a) vektor posisi untuk titik P(3,4) dapat ditulis sebagai r = i3 + j4

(b) vektor posisi titik sembarang dapat ditulis sebagai r = ix + jy

Pada gambar di atas, tampak bahwa vektor posisi titik P, yaitu bar . Akantetapi arah vektor a adalah pada arah sumbu X+ (tidak memiliki vektor jy),sehingga a = i3 dan b = j4.

Vektor posisi titik P menjadibar

r = i3 + j4

Secara umum, vektor posisi dengan koordinat (x,y) dapat ditulis sebagai

r = ix + jy (3.4)

Pada persamaan di atas x adalah panjang proyeksi r pada sumbu X dan disebutkomponen r pada sumbu X, begitu juga y adalah komponen r pada sumbu Y.Lebih umum lagi, tiap vektor F dapat ditulis sebagai:

F = iFx + jFy (3.5)


Dengan Fx komponen x vektor F , dan Fy komponen y vektor F . Ini ditunjukkanpada gambar berikut. Dari gambar tampak bahwa besar vektor F adalah

Y

jFy F

θO iFx X

Arah vektor F membuat sudut43tan 1 = 36,87° dari sumbu X+.

PENJUMLAHAN VEKTOR DALAM KOORDINAT KARTESIAN

Untuk vektor P dan Q yang tidak sejajar sumbu X maupun sumbu Y, dapatdijumlahkan dengan menentukan terlebih dahulu komponen vektornya (komponen ixdan komponen jy) masing-masing. Perhatikan gambar berikut.Misal untuk P + Q = R , dengan besar dan arah P dan Q diketahui, maka R :

YRx R

Qx Q

Px

P Ry

QyPy

θP θQX

P = iPx + jPy

Q = iQx + jQy

Perhatikan vektor F !

F = 22|| yx FFF

Arah vektor F , yaitu sudut θ, dapatdihituing dari

x

y

FFtan

Sebagai contoh, misalkan vektorF = i3 + j4Komponen x vektor F , Fx = 3Komponen y vektor F , Fy = 4Besar vektor 22 43 F = 5

Gambar 3.8 Vektor F .

Gambar 3.9 Vektor resultan.


Dimana :Px = P cos θP Qx = Q cos θQPy = P sin θP Qy = Q sin θQ

karena R = P + Q , maka R :22

xxx QPR (3.6)22

yyy QPR (3.7)

sehingga R = i 22xx QP + j 22

yy QP (3.8)

Untuk sistem dua vektor, resultan gaya dapat dihitung dengan rumus trigonometri.Perhatikan gambar berikut.

Q R QQ θP θ

θ θQθQ P P

θP

cos2222 PQQPR (3.9)Dengan θ = 180 + θP – θQ

VEKTOR DALAM KOORDINAT POLAR

Pada Gambar 3.8 kita juga dapat vektor F dengan menuliskan besar vektor F ,yaitu F, dan arah vektor, yaitu sudut .

FF . (3.10)

pernyataan seperti ini disebut deskripsi polar untuk vektor F .Cara menyatakan vektor sebagaiF = î Fx + ĵ Fy (3.11)

disebut deskripsi Kartesius.Hubungan antara kedua deskripsi ini adalah sebagai berikutFx = F cos dan Fy = F sin . (3.12)

Gambar 3.10 Vektor R .


PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor ada tiga jenis, yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik(dot product), dan perkalian silang (cross product). Kedua yang disebut belakanganmerupakan perkalian vektor dengan vektor. Sebelumnya kita tuliskan vektor (misal

vektor A) dalam bentuk matriks satu kolom,

cba

cba kjiA

Misalkan vektor

cba

A dan suatu skalar k, maka:

kckbka

kcba

k...

.A (3.13)

Misalkan lagi terdapat vektor

1

1

1

cba

A dan

2

2

2

cba

B , maka perkalian titik

didefinisikan sebagai:

cos|B||A|BA (3.14)

Dengan θ merupakan sudut antara vektor A dan B. Hasil dari perkalian titikmerupakan skalar. Adapun nilainya adalah:

).().().(. 212121

2

2

2

111 ccbbaacba

cba

BA (3.15)

Perkalian silang (cross product) didefinisikan sebagai

sin|B||A|BA (3.16)

Dengan θ merupakan sudut antara vektor A dan B. Hasil dari perkalian silangmerupakan vektor. Adapun nilainya dapat dicari dengan metode Sarrus dalammatriks yaitu:


222

111

cbacbakji

BA

kjikji

)..()..()..( 122112211221

22

11

222

111 babaacaccbcbbaba

cbacba (3.17)

Adapun sudut yang diapit oleh dua vektor dapat kita cari dengan persamaan 3.13,yaitu:

||||cos 1

BABA

(3.18)

Contoh:Diketahui vektor kjiA

42 dan kjiB

243 , tentukanlah:

a. BA b. BAc. Sudut yang diapit kedua vektor ( )Penyelesaian:

21|| A29|| B

BA kji 42 kji

243 = 242166

BA kji 42 kji

243

kji

)4.44.3()2.23.1()1.42.4( kji

44

||||cos 1

BABA

46,132921

24cos 1


3.2. GERAK PADA BIDANG

GERAK LURUS

Gerak lurus dapat kita bagi menjadi gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurusberubah beraturan. Dalam gerak lurus beraturan berarti kecepatan dalam suatulintasan lurus partikel tetap, sehingga pada sembarang selang waktu yang dipilih,ds/dt bernilai konstan.

dtdsv (3.19)

Gerak lurus berubah beraturan adalah gerak partikel pada lintasan lurus denganperubahan kecepatan yang teratur terhadap waktu, sehingga ds/dt pada selang waktuyang berbeda juga berbeda. Perubahan kecepatan terhadap waktu disebut denganpercepatan. Jadi definisi dari percepatan adalah:

dtdva (3.20)

Sehingga perubahan kecepatan dalam selang waktu t = dt ialah:

atdv (3.21)

Fungsi perubahan kecepatan ini memenuhi deret aritmatika yang dinyatakan dengan:

dvvvt 0

atvvt 0 (3.22)

)(...)3()2()()( 000000

atvavavavVvt

tt

Persamaan 3.20 dan 3.22 merupakan persamaan mendasar dalam GLBB, karenasemua persamaan lain diturunkan dari persamaan ini. Dengan menggunakan sifatderet aritmatika maka kecepatan rerata sama dengan suku tengah dari barisan di atasdari selang dt = 0 hingga dt = t. akhirnya kita dapatkan

20 tvvv

(3.23)


Karena gerak beraturan, maka percepatan tetap. Dari persamaan-persamaan di atasdapat kita turunkan persamaan baru yaitu:

tvs

tvvs t

20

tatvvs200

20 2

1 attvs (3.24)

Dari persamaan ini kita turunkan lagi untuk mencari vt dengan variabel s, yaitu:

atvvt 0

220

20

2 2 taatvvvt

2

02

02

212 attvavvt

Mengingat persamaan 3.24 didapatkan

asvvt 220

2 (3.25)

Demikian persamaan-persamaan dalam GLBB tadi dapat kita rangkumkan menjadi:

2dengan 0 tvvvtvs

200

20 2

1atau21 attvssattvs

atvvt 0

)(2 02

02 ssavvt


GERAK VERTIKAL

Pada dasarnya gerak vertikal juga merupakan gerak lurus, hanyakekhususannya ialah percepatan pada gerak vertikal merupakan percepatan gravitasi.Misalkan sebuah benda dilepas dari suatu ketinggian, maka benda itu akan jatuh keBumi dengan arah selalu menuju ke pusat Bumi. Gerak ini disebut gerak jatuhbebas. Gerak benda yang jatuh bebas adalah gerak lurus berubah beraturan (GLBB)dengan percepatan sebesar g.

Bila suatu benda dilepaskan dari ketinggian h dan friksi udara diabaikan, makawaktu yang dibutuhkan benda itu untuk sampai ke tanah :

dtdhv ; sedangkan atv , sehingga

dtatdh

2

21 ath

Dengan mengambil dh = h didapatkan

ght 2

(3.26)


KECEPATAN RATA-RATA, KECEPATAN SESAAT DAN PERCEPATANSESAAT DALAM GLB, GLBB DAN GLBTB

Dalam GLBB, terdapat perubahan kecepatan (percepatan) yang teratur, dalamartian perubahan kecepatan per satuan waktu konstan, (a = konstan), sedangkandalam GLB tidak terdapat perubahan kecepatan sehingga a = 0. Jika digambarkandalam koordinat kartesian dengan sumbu X mewakili waktu dan sumbu Y mewakilijarak, kurva perubahan waktu terhadap jarak mewakili kecepatan, yang nilainyasama dengan gradien (kemiringan) garis.

)()(

txsymv (3.27)

Pada GLBB, fungsi jarak dan waktu memberikan hasil berupa kurva, dengankecepatan dalam suatu nilai waktu dapat dicari dengan fungsi turunan.

Jika kita menggambar kembali koordinat kartesian dengan mengganti sumbu Ymewakili kecepatan, maka dalam GLB gradien garisnya = 0, mengingat percepatanadalah kecepatan/waktu (y/x) jelas pula bahwa gradien garis merupakan percepatanbenda. Berbeda dengan GLBB, gradien garis tidak nol, sehingga percepatan jugatidak nol sehingga dapat dinyatakan dalam

)()(

txvyma (3.28)

Dalam GLBB, kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai kecepatan konstanyang sebanding dengan kecepatan berubah dalam menempuh jarak yang samadengan waktu yang sama. Jadi, kita membandingkan suatu gerak dipercepat dengangerak konstan yang setara, sehingga dapat kita tuliskan dalam bentuk:

n

nn

ttttvtvtv

ts

v

......

21

2211 (3.29)

Misal seekor lalat (sebut namanya Lala) bergerak dengan kecepatan 1 m/sselama 3 detik dan setelah itu bergerak dengan kecepatan 2 m/s selama 2 detikdengan lintasan yang tidak berubah. Kita dapatkan selama lima detik itu Lala telahberpindah 7 meter. Ternyata ada lalat lain (sebut namanya Lulu) bergerak dengankecepatan 7/5 m/s juga selama 5 detik, maka jarak yang ditempuhnya selama 5 detikitu juga 7 meter. Jadi pergerakan mereka setara, dalam waktu 5 detik Lala dan Lulusama-sama menempuh jarak 7 meter, ini artinya kecepatan berubah Lala sebandingdengan kecepatan konstan Lulu, dengan kata lain kecepatan rata-rata Lala = 7/5 m/s.

Dalam GLBB tentunya kecepatan selalu berubah tiap detik, bahkan tiap milidetik atau lebih kecil lagi. Jadi tiap t = n, benda yang bergerak itu memilikikecepatan yang berbeda. Dengan mengingat definisi kecepatan v = ds/dt, makadalam persamaan diferensial (ingat definisi turunan adalah fungsi x dalam rentang


yang sangat kecil, 0x ) terdapat hubungan yang digunakan untuk kecepatansesaat

dtdxv (3.30)

Sekali lagi kita perhatikan bahwa a = dv/dt, maka percepatan sesaat dirumuskandengan:

dtdva (3.31)

Misal posisi partikel dinyatakan dalam fungsi 624)( 2 ttts , makakecepatan partikel dinyatakan dalam 28)( ttv , sehingga saat 2t ,

182)2(8)2( v ms-1 dan percepatan 8a ms-2.

(a) (b)

Kebanyakan gerak yang berlangsung dalam kehidupan sehari-hari kitabukanlah gerak berubah beraturan, seperti gerak Lala tadi. Mobil bergerakdipercepat dari keadaan diam, kemudian saat kecepatan sudah cukup tinggikecepatan menjadi konstan dan ketika lampu lalu lintas berwarna merah mobil harusdirem, diperlambat sampai berhenti. Bagaimana kita menyelesaikan model geraksemacam ini? Tentu saja kita dapat menganalisisnya dengan membagi-baginya tiapsatuan waktu, dimana kecepatan berubah tidak beraturan. Perhatikan gambar dibelakang. Misalkan pergerakan Lili (temannya Lala dan Lulu) kita gambarkan dalamgrafik, Jarak yang ditempuh Lili merupakan luas daerah yang diraster, sehinggadapat kita hitung dengan membaginya menjadi tiga bagian.

Gambar 3.11 (a) kecepatan sesaat pada t = 4 (v4) merupakan turunan dari kurvakecepatan v. (b) jarak yang ditempuh oleh benda yang bergerakdipercepat dalam selang t = 2 hingga t = 4 sama dengan luas daerahdibawah kurva (yang diraster) yang memenuhi integral tertutup

dttv4

2

)( .


Gerak berubah tidak beraturan tadi memiliki perubahan yang terputus-putus,yang perubahannya kita nyatakan dalam selang. Jika perubahannya kontinu biasadituliskan dalam persamaan posisi orde 3 atau lebih.

Gambar 3.12 Jarak yang ditempuh Lili merupakan luas daerah yang dibatasi kurva.Luas daerah ini dapat dicari dengan metode integral atau metodepolygon, dengan membagi luasan menjadi tiga bagian.


3.3. GERAK MELINGKAR

Suatu partikel yang bergerak pada suatu lingkaran dengan laju tetapmempunyai percepatan. Meskipun laju, yaitu besar vektor kecepatan sesaat, adalahtetap, akan tetapi vektor kecepatan berubah arah terus menerus, sehingga geraklingkar beraturan, yaitu dengan laju tetap, adalah suatu gerak dipercepat. Jika lajusuatu gerak partikel adalah v, kita ingin menentukan berapa percepatan a untukgerak lingkar beraturan ini. Perhatikan gambar di bawah ini.

perubahan vektor kecepatan dinyatakan oleh vvv ' , sehingga percepatan rata-rata dalam selang waktu t diberikan oleh

tva (3.32)

dan arah percepatan rata-rata adalah sama dengan arah v , karena pembaginya,yaitu t , adalah suatu skalar.Untuk menghitung percepatan sesaat, selang waktu t kita buat sangat kecil, yaitu

t → 0; artinya titik 'P pada gambar di atas kita buat mendekati titik P. Padagambar di bawah ditunjukkan apa yang terjadi jika 'P dibuat mendekati titik P,

artinya t diperkecil. tampak bahwa v juga menjadi kecil, akan tetapitva

tetap besar, dan arahnya adalah sama dengan arah v .

P

vv

tv B

'v'v v A C

Sebuah partikel melakukan geraklingkar. Pada saat t partikel beradapada titik P dan vektor kecepatandinyatakan oleh v . Beberapa saatkemudian, pada saat t + t , partikelsudah berasa pada titik 'P , dimanavektor kecepatan dinyatakan oleh 'v .Perhatikan arah vektor kecepatanpada setiap saat adalah sepanjanggaris singgung lingkaran pada arahgerak partikel. karena laju adalahtetap (gerak lingkar beraturan),

P’

Gambar 3.14 Percepatan sentrifugal.

Gambar 3.13 kecepatan linier v dan 'v .


Besar vektor v , yaitu || v , dapat dihitung dari segitiga PAB,

|| v =2

sin2 v (3.33)

Jika t dibuat sangat kecil, maka sudut juga menjadi sangat kecil, sehingga kita

dapat mempergunakan hubungan22

sin

.

Dan persamaan di atas dapat ditulis sebagai :

v =2

sin2 v = v (3.34)

Disini sudut dalam satuan radial.Busur 'PP mempunyai panjang s , dengan

rs

ataurs

(3.35)

Untuk yang sangat kecil kita selalu dapat tuliskan vs

Dari persamaan tadi kita peroleh untuk 0

tr

vr

vvr

svv

2)(|| (3.36)

Akibatnya besar percepatan sesaat a yang kita tuliskan sebagai a , diberikan oleh :

tva

t

||lim0

= rv

tt

rv

t

22

0lim

(3.37)

Arah vektor percepatan sesaat diberikan oleh v . Jika dibuat sangatkecil maka arah v akan tegak lurus arah garis singgung lingkaran pada titik P. Jadiarah percepatan menuju pusat atau arah sentripetal, sehingga pada gerak melingkarberaturan disebut percepatan sentripetal.Jadi kesimpulan kita adalah untuk gerak melingkar beraturan (GMB) dengan laju v,vektor percepatan sesaat diberikan oleh :

rs ar

va 2

(3.38)

dengan ra adalah vektor satuan pada arah radial keluar atau menjauhi pusat. Tandanegatif pada persamaan di atas menunjukkan behwa percepatan sentripetal samempunyai arah menuju pusat lingkaran.Dalam gerak lingkar jarak partikel pada suatu saat terhadap pusat lingkaran adalahtetap dan sama dengan jejari lingkaran. Akibatnya posisi benda terhadap titik pusatlingkaran cukup dinyatakan oleh sudut , seperti ditunjukkan pada gambar dibawah berikut. Panjang busur ds dapat dinyatakan


YP

ds

X

Besaran lain yang sering digunakan dalam GMB adalah berapa kali partikelmengelilingi lingkaran dalam satuan waktu, atau berapa revolusi yang dilakukanpartikel per satuan waktu. Besaran ini disebut frekuensi, yang dinyatakan dengan f.Satuan frekuensi adalah Hertz (cycle per secon [cps]).Seringkali frekuensi dinyatakan dalam rpm, yaitu revolution per minute. Jelas bahwa

frekuensi dapat diperoleh dari periode, taitu dariT

f 1 . Jika misalnya ada lima

putaran per detik, maka berarti waktu yang diperlukan untuk melakukan satu putaranadalah 1/5 detik.Hubungan lain antara dan T. Dalam waktu satu periode, partikel melakukan satuputaran berarti menempuh sudut rad2360 . Karena kecepatan sudut adalah

tetap, makaT 2

atau f 2 Akhirnya kita dapat menyatakan percepatan

sentripetal sa sebagai :

rrs arar

va 22

(3.39)

sebagai ds = r d sehingga

dtdr

dtdsv

dtd adalah kecepatan sudut, yang

dinyatakan oleh satuan . Satuan darikecepatan sudut adalah radian/detik. Jadipersamaan tadi dapat ditulis sebagai :

rv

Waktu yang diperlukan dalam GMB untukmenempuh satu putaran disebut periodeputaran, dan dinyatakan dengan T.Gambar 3.15


RUMUS DASAR GERAK MELINGKAR

Periode dan frekuensiPeriode adalah selang waktu yang diperlukan oleh suatu partikel untukmenempuh satu putaran penuh.Frekuensi adalah benyaknya putaran yang dilakukan dalam satu sekon

Tf 1 f = frekuensi (Hz)

T = periode (sekon)

Kelajuan linierKelajuan linier (v) adalah hasil bagi panjang lintasan linier yang ditempuhdengan selang waktu tempuhnya.

ntasanlijarijariRdenganT

Rv 2 (3.40)

Kecepatan sudut ()Kecepatan sudut adalah hasil bagi sudut pusat yang ditempuh dengan selangwaktu tempuhnya.

T 2

(3.41) Percepatan sudut (α)

Percepatan sudut adalah perubahan kecepatan sudut tiap selang waktu.

Ra

t

(3.42)

Percepatan sentripetalPerubahan arah vektor kecepatan pada gerak melingkar akan menimbulkansuatu percepatan yang arahnya selalu menuju pusat lingkaran, yang disebutdengan percepatan sentripetal.

RvRa

22 (3.43)

Fungsi kecepatan sudut sesaat dan percepatan sudut sesaat dapat diturunkandari fungsi posisi, yaitu

dtd (3.44)

dtd (3.45)


3.3. ANALISIS GERAK PARABOLA DALAM KINEMATIKA

Di buku-buku fisika banyak terdapat rumus-rumus praktis dalammenyelesaikan persoalan gerak, namun makin banyak rumus yang dihapalkan,makin banyak pula yang dilupakan, oleh karena itu baiknya kita menghapal formuladasar saja dan memahami definisinya sehingga kita dapat menurunkan persamaan-persamaan lainnya.

Misalkan untuk gerak parabola. Suatu bola dengan kecepatan awal v0 danarah θ dari sumbu X. Dapat kita peroleh kelajuan pada sumbu X-nya adalah

cos00 vv x dan kelajuan pada sumbu Y-nya adalah sin00 vv y (persamaan3.3.1 dan 3.3.2). Pada sumbu Y (vertikal) terdapat percepatan (perlambatan) sebesarg, sedangkan pada sumbu X tidak ada. Pada ketinggian maksimum tentunya v0y = 0,sehingga dapat kita gunakan persamaan

max2

02 2' ghvv yy (3.46)

Dengan hmax ketinggian maksimum dan v’y = 0, sehingga didapatkan

gv

gv

h y

2sin

2

220

20

max

(3.47)

Untuk mencari waktu yang diperlukan dari titik 0 hingga tinggi maksimumkita gunakan rumus

21 2

1' gttvh y (3.48)

Menggunakan sifat simetri parabola dengan mengabaikan hambatan udara(sebelah kiri tinggi maksimum sama dengan sebelah kanan tinggi maksimum) kitaambil v’y1 kecepatan saat tinggi maksimum = 0, sehingga menghilangkan sukupertama ruas kanan, namun ingat karena kita membalik peninjauan maka g menjadipositif, sehingga menjadi:

||2 max2

ght

Waktu di atas hanyalah waktu dari keadaan 0 ke titik tertinggi atau dari titiktertinggi sampai keadaan akhir, sehingga waktu total, ttot:

||8

2 max

ghtt tot (3.49)


Akhirnya kita peroleh jarak terjauh

totxtvs 0max

||cossin2

||22sin8

cos2

02

20

0max gv

gvvs

Mengingat 2sincossin2 , maka:

||2sin2

0max g

vs (3.50)

Cara lainnya:

Kita hitung kecepatan terhadap sumbu Y rata-rata, yaitu:

22' 00 yyy

y

vvvv

Sehinggayy vh

vht

0

2 , t ini juga hanya waktu dari ketinggian maksimum

hingga ke tanah, sehingga

ytot v

htt0

42

Akhirnya kita dapatkan kembali hasil akhir yang sama.

totxtvs 0max

||cossin2

)(2sin4

sincos4 2

022

0

0

0

0

0max g

vg

vvv

vhvs

y

x

Jadi, banyak jalan untuk menyelesaikan suatu problem.


3.4. GRAVITASI

PERCEPATAN GRAVITASI

Secara umum, benda tertarik ke Bumi (atau sembarang benda) dipengaruhioleh massa. Massa ini adalah massa total sistem dua benda. Gerak ini bukanlahakibat suatu sentuhan, melainkan tanpa sentuhan, yang kita sebut dengan medan.Medan gravitasi dinyatakan dengan:

rGM (3.51)

Percepatan benda jatuh ini merupakan intensitas dari medan gravitasi, yangmana makin jauh jarak makin kecil pula intensitas gravitasinya. Percepatan inidinamakan percepatan gravitasi, dan karena arahnya selalu tarik menarik maka:

2rGMg (3.52.a)

Pada sistem dua benda, percepatan jatuhnya dapat dihitung dengan rumus

2)()(

hRmMGg

(3.52.b)

dengan G adalah konstanta gravitasi umum, M adalah massa benda 1, m adalahmassa benda 2, r adalah jari-jari benda 1 dan h adalah jarak dari permukaan benda 1dan pusat benda 2. Untuk sistem Bumi-benda, massa benda sangat kecil jikadibanding dengan massa Bumi, sehingga rumusnya dapat disederhanakan menjadi :

2rGMg , dengan r = R + h.

R adalah jari-jari rata-rata Bumi3 2

inmmaks RRR (3.53)

dimana Rmaks adalah jari-jari di katulistiwa dan Rmin adalah jari-jari di kutub.

percepatan gravitasi di permukaan Bumi adalah

8,9Bumig ms-2

26

2411

)104,6()106)(1067,6(

Bumig


Percepatan untuk benda pada ketinggian tertentu dari permukaan Bumi adalah2'

hR

Rgg

B

B (3.54)

dengan 'Bg adalah percepatan gravitasi Bumi pada ketinggian h dari

permukaan Bumi, gB adalah percepatan gravitasi Bumi di permukaan (-9,8 ms-2).

Dapat juga dicari dengan metode diferensial dimana 2rGMg , sehingga:

drrGMdg 3

2

drr

gdg 2

Dan didapatkan:

rdr

gdg 2 (3.55)

Misal pada ketinggian 50 km, maka g akan berubah sebesar

%57,1%1003716

5022

r

drg

dg

GAYA GRAVITASI

Rumus umum untuk gaya adalahamF (3.56)

Sehingga rumus untuk gaya gravitasi oleh sebuah benda dapat dituliskansebagai berikut :

gmF

2rGMmF (3.57)

Untuk M adalah massa benda yang paling dominan menghasilkanpercepatan dan m adalah massa benda yang bergerak akibat percepatan gravitasi.


Gaya Sentripetal

Karena adanya percepatan sentripetal, setiap partikel yang bergerakmelingkar akan mengalami suatu gaya sentripetal yang arahnya juga selalu menujuke pusat lingkaran.

rmv

amF spsp

2

(3.58)

ENERGI GRAVITASI

Gaya gravitasi yang timbul akibat percepatan gravitasi pastilah terjadi karenaadanya energi. Energi yang muncul dari medan gravitasi disebut energi gravitasi.Dengan menggunakan formulasi

drFE

Didapatkan besarnya energi gravitasi:

drr

GMmEg 2

rGMmEg (3.59)

Adapun energi potensial gravitasi dirumuskan

rGMV

2

(3.60)


PUSAT MASSA DAN TITIK LAGRANGE

1. Pusat massa adalah titik pusat gabungan massa dari dua buah benda yangsaling mengorbit. Titik inilah yang sebenarnya dikelilingi oleh benda-bendatersebut. Jika benda 1 dan 2 saling mengorbit, letak pusat massa bila :jarak pusat massa – benda 1 = r1jarak pusat massa – benda 2 = r2R1 + R2 = R

karena1

2

2

1

rr

MM , maka

2

2

2

1

rrr

MM

1

1

1

2

12

22

1

22

1

MM

rrr

rrr

MM

rrr

MM

(3.61)

Karena r2 = r – r1 maka1

2

11

MM

rr (3.62)

2. Titik Lagrange adalah titik dimana terjadi keseimbangan gaya gravitasi daribenda 1 dan benda 2, sehingga total gravitasinya adalah 0 Titik kesetimbanganini dalam three-body problem terletak pada lima titik, yaitu.

Jadi titik lagrange 4 dan 5 terletak pada lintasan orbit yang merupakan puncaksegiiga sama sisi, sedangkan Lagrangian-1 (L1) dan L2 dapat dicari dengankesamaan resultan.jarak Lagrange 1 – benda 1 = r1.jarak Lagrange 1 – benda 2 = r2.

maka2

1

2

1

MM

rr (3.63)

(benda 1 lebih masif dari benda 2)

Gambar 3.16 Posisi kelima titikLagrange dalam three-body problems.


Pada L1:r1 + r2 = r (3.64)dengan mensubstitusikan nilai 12 rrr didapatkan

2

1

1

1

MM

rrr

12

11

MM

rrr (3.65)

Pada L2:r1 – r2 = r (3.66)dengan mensubstitusikan nilai rrr 12 didapatkan

2

1

1

1

MM

rrr

r

MM

rr

12

11 (3.67)

Pada L3:

rrr 21 2/1

Pada L4 dan L5:

rrr 21

CONTOH1. Diketahui massa Bumi 81 kali massa Bulan. Maka jarak titik L1 dan L2 dari

Bumi jika jarak Bumi – Bulan = r adalah....Penyelesaian:

2rGMg , maka

gGMr

B

BL

B

BL

MM

rr 9:1:

91

811

BBLB

BL rrrr

Titik L1: rrB 9,019

9

(silahkan buktikan dengan substitusi BLB rrr )

Titik L2: rrB 89

199

(silahkan buktikan dengan substitusi BLB rrr )

Jadi jarak L1 0,9 kali jarak Bumi – Bulan, sedangkan jarak L2 9/8 kali jarakBumi – Bulan dihitung dari Bumi.


3.5 PERIODE SYNODIS DUA PARTIKEL

Periode adalah waktu yang diperlukan suatu benda untuk menyelesaikan satulintasan atau putaran. Dalam astronomi, periode revolusi adalah waktu yangdiperlukan suatu benda langit untuk menyelesaikan satu kali putaran mengelilingiorbitnya, dari satu titik kembali ke titik tadi. Periode sejati seperti ini dinamakanperiode sideris (T atau P).

Selain itu dikenal juga periode synodis. Periode synodis adalah waktu yangdiperlukan oleh dua atau lebih benda yang berevolusi untuk menempuh satukedudukan segaris dengan pengamat. Di sini hanya akan dibahas rumus periodesynodis untuk dua benda.

Rumus umum periode synodis untuk dua partikel yang berotasi adalah

BA

S

2 (3.68)

Adapun periode sinodis dapat dicari melalui periode siderisnya

BA

S

2

B

B

A

A

rv

rv

S

2

)(2

BAAB

BA

vrvrrrS

BA

BAAB

BA

BA

vvvrvr

vvrr

S)(2

)2( 2

A

A

B

B

A

A

B

B

vr

vr

vr

vr

S

22

22

AB

AB

TTTTS

(3.69)


rumus ini dapat dibalik menjadi :

(3.70)

Untuk partikel yang bergerak searah, TA bernilai positif, sedangkan untukpartikel yang bergerak berlawanan arah, TA bernilai negatif.

Dengan : S = periode synodis partikel A dan BTB = periode sideris (sebenarnya) partikel BTA = periode sideris (sebenarnya) partikel A(TB>TA)

Dan kecepatan orbit dapat dicari dengan rumusT

Rv 2 .

STSTT

STSTTTT

TSSTT

TSTT

TTS

TT

TSTTT

TSTT

T

STT

TT

STT

TT

STT

TT

STTTT

B

BA

B

BBBA

B

BB

B

BA

BB

BA

B

BAB

BAB

B

AB

BB

AB

BB

AB

AB

AB

AB

22

2

2

2

2

2

)(

1

STSTT

STSTTTT

TSTST

TSTT

TTS

TT

TSTTT

TSTT

T

STT

TT

STT

TT

STT

TT

STTTT

A

AB

A

AAAB

A

AA

A

AB

AA

AB

A

AAB

AAB

A

AB

AA

AB

AA

AB

BA

AB

AB

22

2

2

2

2

2

)(

1


CONTOH

1. Partikel A dan partikel B sama-sama mengorbit pusat. Diketahui periode orbit A =10 jam dan periode orbit B = 24 jam. Jika pada t = 0 jam posisi A dan B membentuksatu garis lurus dengan pusat, berapa jam lagi minimal yang dibutuhkan agar keduapartikel yang mengorbit itu kembali membentuk satu garis lurus terhadap pusat jika:a. A dan B berotasi searah;b. A dan B berotasi berlawanan arah.

Penyelesaian :Diketahui TB = 24 jam

TA = 10 jamS =...?

a.AB

AB

TTTTS

b.AB

AB

TTTTS

jam

S

143,1710241024

jam

S

059,7)10(24

1024

B

A


2. Diketahui periode sideris Bulan adalah 3127 hari. Jika diamati dari pengamat di

Bumi, maka tentukanlah periode synodis Bulan dan Matahari! (periode revolusiBumi adalah 365,25 hari)

Penyelesaian :TBulan = 3

127 hari.S = ...?TMatahari harus kita tentukan dulu. Bumi berevolusi dengan periode 365,25 hari, iniberarti secara semu Matahari relatif mengelilingi Bumi selama 365,25 hari. Dengandemikian TMatahari = 365,25 hari. Karena arah revolusi Bumi searah dengan revolusiBulan, maka :

BLM

BLM

TTTTS

hari

S

544,292725,3652725,365

31

31

Hasil ini sesuai dengan lamanya satu bulan dalam Tarikh Bulan (29-30 hari).

3. Periode partikel x mengelilingi inti lamanya 12 jam. Partikel y mengelilingi intiyang sama dengan partikel x dan saling berkonjungsi bawah setiap 8 jam. Jika keduapartikel bergerak berlawanan arah dan periode orbit partikel y lebih kecil,tentukanlah periode orbit partikel y!

Penyelesaian:Periode partikel y lebih cepat daripada partikel x (TxTy).Jadi diketahui : TB = Tx= 12 jam

S = - 8 jam (arah putaran berlawanan)TA = Ty= ....?

Rumus yang kita gunakan adalah

)8(12)8(12

A

sB

sBA

T

TTTTT

24AT jam


3.6 ARAH ROTASI RELATIF

Jika benda A mengitari benda B (benda B tetap diam) berlawanan arahjarum jam, maka dilihat dari benda A, benda B-lah yang mengitari benda A jugaberlawanan arah jarum jam. Dan jika benda C berkedudukan tetap, maka dipandangdari benda A benda C-lah yang bergerak mengitari A searah jarum jam jika Asedang berkonjungsi dan berlawanan arah jarum jam jika A sedang beroposisidengan C. Sedangkan benda C (diam) diamati dari benda B (diam) akan tetapnampak diam.

a

ki A1 ka

a a

ki kaA2 A4 C

ki kaA3

keterangan : a = ataski = kirika = kanan

Perhatikan posisi A saat di A1. A berputar berlawanan arah jarum jam, makatampak menurut B, A berputar berlawanan arah jarum jam. Pada saat A berputar keA2, menurut pengamat di A, B bergerak dari bawah menuju ke kanan (lihat gambar),kemudian saat A di A3, B nampak bergerak dari kanan ke atas. Dengan demikian,arah rotasi semu B menurut A berlawanan arah jarun jam. (searah dengan arahputaran A mengelilingi B)( bawah – kanan – atas – kiri )

B

a

Gambar 3.17 Gerak relatif.


Kemudian perhatikan titik C. Pada saat A di A3 (saat ini A sedang mulaiberkonjungsi), menurut pengamat di A, C nampak di kanan. atas. Saat A di A4, Cnampak di kanan dan ketika A kembali ke A1, C nampak bergerak ke kanan bawah.Dengan demikian C nampak bergerak searah jarum jam (berlawanan revolusi Aterhadap B).( kanan atas – kanan – kanan bawah )

Ketika A di A1 dan mulai lagi menuju A2, (A mulai beroposisi), di A1, Cnampak berada di kanan bawah menurut pengamat di A. Kemudian ketika Abergerak lagi ke A2, C nampak bergerak ke kanan dan ketika A di A3, C nampak dikanan atas. Dengan demikian C nampak berputar berlawanan arah jarum jam (searahrevolusi A terhadap B).( kanan bawah – kanan – kanan atas )

Sekarang mari kita menganggap kita sedang berdiri di permukaan Bumisebagai A, pusat Bumi sebagai B, dan Matahari diibaratkan sebagai C. Karenaperiode rotasi Bumi (perputaran A terhadap B) jauh lebih cepat daripada perioderevolusinya (putaran B terhadap C), maka dapat dianggap Bumi tidak mengelilingimatahari dalam waktu satu hari.

Telah kita ketahui arah rotasi Bumi adalah direct (berlawanan arah jarumjam, dari barat ke timur). Siang hari selalu terjadi saat kita menghadap Matahari(konjungsi). Akibatnya, Matahari nampak bergerak berlawanan dengan rotasi Bumisehingga nampak terbit di Timur tenggelam di Barat.

Sebaliknya dengan Bulan, karena Bulan memang sejatinya mengelilingiBumi, dengan arah rotasi direct (dari barat ke timur), maka arah pergerakan Bulandilihat dari Bumi tetap dari barat ke timur.

Catatan:Untuk mengetahui arah rotasi (direct ataupun retrograde) selalu dilihat dari

arah atas (utara).


3.5. MOMENTUM LINIER, MOMENTUM SUDUT, IMPULS DAN TORKA

MOMENTUM LINIER

Momentum linier dari suatu partikel didefinisikan sebagai hasil kali antaramassa dan kecepatan partikel tersebut. Momentum linier (biasa disebut momentumsaja) umumnya dinyatakan dengan simbol p, yang dinyatakan dengan:

vmp (3.71)

Perubahan momentum terhadap perubahan waktu merupakan gaya, yakni

tpF (3.72)

Dengan F gaya total yang bekerja pada benda, p adalah perubahanmomentum dan t adalah perubahan waktu. Dari persamaan 3.55 kita dapatkan jika

0F , maka momentum konstan. Ini disebut hukum kekekalan momentum:“Momentum total dari suatu sistem terisolir )0( F adalah konstan”.

Salah satu aplikasi menarik dari hukum kekekalan momentum adalah saatproses tumbukan. Berdasarkan hukum kekekalan momentum, dapat kita tuliskanuntuk keadaan dua partikel yang bermassa m1 dan m2 dengan kecepatannya masing-masing saling bertumbukan.

22112211 '' vmvmvmvm (3.73)

Untuk tumbukan lenting sempurna dengan m1 = m2,

22221111 '' vmvmvmvm

2211 '' vvvv

Jadi pada kasus tumbukan lenting dua benda bermassa sama, mereka akansaling bertukar kecepatan (v’2 = v1 dan v’1 = v2). Pada sistem dengan massa yangberbeda, kecepatan setelah tumbukan dapat dicari dengan:

21

21

21

211 2

2' v

mmmv

mmmmv

(3.74)

21

121

21

12 2

2' v

mmmmv

mmmv

(3.75)


Sekarang, bagaimana jika tumbukannya tidak lenting sempurna? (Saya perjelasagar tidak ambigu, tidak-lenting sempurna, bukan tidak lenting-sempurna) Misalkansuatu balok kayu bermassa m1 diletakkan di permukaan yang licin (tidak adagesekan), kemudian peluru bermassa m2 ditembakkan dengan kecepatan v2 ke balokke arah kanan. Tentunya peluru akan menancap di balok, bergabung, dan sama-samabergerak ke kanan dengan kecepatan sebut v’. Dengan hukum kekekalan momentumdidapatkan:

')( 212211 vmmvmvm (3.76)

Patut diingat momentum adalah besaran vektor, sehingga jika berpatokan padaarah v1, bila v2 searah maka nilainya (+) dan jika berlawanan nilainya (-), ataubergantung pada sumbu koordinat.

IMPULS

Secara sederhana impuls dapat didefinisikan sebagai perubahan momentum.Mengingat persamaan 3.72, dapat kita tuliskan

ptF (3.77)

Kuantitas ruas kiri persamaan 3.77, yakni perkalian antara gaya F denganinterval waktu t , disebut impuls.

MOMENTUM SUDUT DAN MOMEN GAYA (TORKA)

Momentum sudut suatu sistem diberikan dalam persamaan:

rvmprL (3.78)

Jika total gaya = 0, berlaku pula hukum kekekalan momentum sudut, yaitumomentum sudut pada suatu sistem terisolir adalah konstan. Jika massa sistem jugakonstan didapatkan perbandingan:

rv 1

Jadi semakin besar radius semakin lamban juga kecepatan rotasinya.


Kemudian kita turunkan hubungan penting antara torka dan momentum sudut.

Telah diketahui untuk sebuah partikel berlakudtdmvdtdpmaF / . Bila kedua

ruas dikalikan dengan r didapatkan:

)( prdtd

dtpdrFr

dtpdrpr

dtd

)( (3.79)

Selanjutnya persamaan 3.79 menjadi

dtLdFr (3.80)

Torka atau momen gaya ini analog dengan gaya pada gerak translasi. Padagerak rotasi juga berlaku:

I (3.81)

Dengan I momen inersia (analog dengan massa) dan α percepatan sudut( dtd / ). Momen inersia suatu benda dapat dicari dengan persamaan diferensial

dmrI 2 (3.82)

Adapun energi kinetik untuk benda berotasi dinyatakan dengan:

2)( 2

1 IE rotk (3.83)


LATIHAN

1. Jika seseorang memukul pipi kanan saya dengan gaya 5 N, dan seorang lainmemukul pipi kiri saya dengan gaya yang sama secara bersamaan, makaresultannya sama dengan nol. Jikalau demikian, mengapa kepala saya sakit sepertidipukul dengan gaya 10 N?

2. Seekor semut berjalan ke selatan sejauh 120 cm, kemudian belok ke tenggara dan,eh… setelah 80 cm ternyata terdapat lubang vertikal sedalam 60 cm. tentukanlahperpindahan dan arah semut sekarang dari titik awal.

3. Vektor kjiP

623 dan kjiB

524 , tentukanlah:a. QP ;b. QP ;c. Sudut yang diapit vektor P dan Q.

4. Kelajuan suatu partikel dinyatakan dalam 826)( 2 tttv . Jika saat 2t sposisi partikel 60s m, tentukan posisi partikel saat 5t s!

5. Sebuah mobil dikendarai dari kota A menuju kota B dengan kecepatan 60 km/jamdan kembali dari kota B ke kota A dengan kelajuan 40 km/jam. Jika mobildianggap tidak berhenti, tentukanlah kelajuan rata-rata mobil itu.

6. Lala terbang dari toples kue ke toples biskuit dengan kelajuan 0,3 m/s, lalu segerakembali lagi ke toples kue. Jika kelajuan rata-rata Lala dari total penerbangan itu0,6 m/s, berapakah kelajuan Lala dari toples biskuit ke toples kue?

7. Perhatikan grafik yang menyatakan pergerakan Lulu berikut!

Dengan t dalam detik dan v dalam meter per detik. Jika fungsi kecepatan Lulu dari

t = 5 detik hingga t = 9 detik adalah8

1749

8)(

2

tttv , hitunglah total jarak

yang ditempuh Lulu.

0 3 5 9 t

v8

6

3

s1

s2

S3


8. Kecepatan sebuah mobil bergerak ke arah timur mengalami perlambatan dari 45km/jam menjadi 35 km/jam dalam jarak 300 m.a. Berapakah besar dan arah perlambatan mobil.b. Berapa waktu yang ditempuh mobil tersebut dalam selang jarak 300 m itu.c. Jika diasumsikan mobil tersebut secara kontinu mengalami perlambatan,

hitunglah waktu dan jarak yang ditempuh oleh mobil tersebut sampai berhenti.

9. Sebuah bandul digantung dengan tali yang tiba-tiba putus. Pada saat s2t bandultelah menempuh setengah jalur (h/2). Tentukan kecepatan sesaat untuk s2t danwaktu yang diperlukan hingga bandul menyentuh tanah!

10. Hitunglah periode oposisi Bumi dan Mars!

11. Dengan menggunakan data pada daftar konstanta, tentukan jarak dan letak titikpusat massa gabungan, L1, L2, L3, L4 dan L5 sistem Matahari – Bumi (hitungjaraknya dari Matahari)!.

12. Diketahui percepatan gravitasi di permukaan planet Mars sebesar 3,7 ms-2. Jikadiketahui diameter planet Mars 7946 km, berapakah percepatan gravitasi yangdialami sebuah wahana yang berada 34 km dari permukaan Mars?

13. Dengan menganggap orbit Venus dan Bumi sebidang, tentukanlah periode transitVenus!

14. Andi melempar koin vertikal ke atas dengan kelajuan awal m/s6 dariketinggian m1 di atas permukaan tanah. Jika hambatan udara diabaikan, hitunglahketinggian maksimum koin itu dari permukaan tanah!

15. Sebuah pesawat tempur, sepertinya milik AURI, terbang pada ketinggian m9601dengan kecepatan 100 m/s. Pesawat tersebut menjatuhkan bom untukmenghancurkan kapal perang musuh, yang berada pada jarak 2 km di depanpesawat diukur dari permukaan Bumi. Tentukan dan jelaskan apakah bom itu tepatmengenai sasaran atau tidak! )sm8,9( -2g

16. Sebuah mobil dengan massa 1000 kg melaju dengan kecepatan 20 m/s, kemudianmesinnya tiba-tiba mati. Jika gaya gesekan oleh permukaan jalan terhadap waktudiberikan dalam persamaan 22 )N/s100()( ttF . Berapakah kecepatan mobil saat

s5t ?

17. Buktikan bahwa periode synodis dapat dinyatakan dengan persamaan

AB TTS111

!


18. Sebuah bola golf dipukul dengan kecepatan awal 0v , dan ternyata jarak terjauhyang ditempuh bola sama dengan ketinggian maksimumnya. Seandainya koefisiengesek udara diabaikan, tentukan sudut elevasi dari vektor kecepatan bola!

19. Sebuah balok bermassa m1 digantung dengan seutas tali dengan panjang l,sehingga balok berada h meter dari permukaan tanah. Sebuah peluru tajamditembakkan horizontal dari sebuah pistol bertenaga angin dengan percepatan a,dan tertanam pada balok sehingga balok berputar ke atas. Seandainya panjanglintasan peluru dari pistol hingga balok = x dan massa peluru m2, tentukan tinggimaksimum yang dicapai balok dari permukaan tanah (sebut h’).

20. Periode rotasi Matahari pada ekuatornya sekitar 25 hari. Seandainya nantiMatahari menjadi bintang neutron yang jejarinya 10000 km, tentukanlah perioderotasi Matahari saat itu.

21. Dengan penurunan rumus, buktikan bahwa jarak terjauh pada gerak parabola dapatdicapai jika sudut elevasinya 45º!

22. Kasasi membuat roket air dan melesatkannya ke udara. Jika kecepatan awalnya 10ms-1 dan sudut elevasinya 60º, tentukanlah ketinggian maksimum dan jarakterjauhnya (ambil g = -9,8 ms-2)!

23. Saya membayangkan sebuah planet dengan massa dan radius dan bentuk yangsama dengan Bumi. Sesosok makhluk di planet itu berkendara dari kutub menujuekuatornya, dan semakin mendekati ekuator beratnya mulai berkurang hingga padaekuator ia terlempar ke angkasa. Mekanisme apakah yang mungkin menyebabkankeadaan itu terjadi? Jelaskan dengan rinci!

24. Seorang makhluk asing mengaku sebagai alien. Saat tengah diwawancarai salahsatu stasiun TV swasta internasional, makhluk asing itu mengatakan bahwa planetasalnya memiliki massa jenis yang sama dengan bumi, tetapi jejarinya tiga kalijejari Bumi. Tentukanlah percepatan gravitasi di permukaan planet itu!

25. Saat saya mendorong pintu dengan jari saya maka pintu akan bergerak ke depan,mengapa peluru yang bergerak lebih cepat justru akan membuat lubang di pintu,alih-alih mendorong pintu ke depan? (Adegan berbahaya, jangan meniru ini dimana saja!)


4. MEKANIKA BENDA LANGIT

4.1. PENGENALAN ELIPS

Elips adalah bangun datar yang mempunyai dua titik fokus (dengan jarakkedua titik fokus adalah tetap) yang mana jumlah jarak setiap titik yang terletak padakeliling elips terhadap kedua fokusnya adalah sama.

Perhatikan elips di atas.Panjang f1-A-f2 = f1-B-f2 = f1-C-f2 = f1-D-f2 = DE = lDemikian seterusnya, hal ini berlaku pada setiap titik yang terletak pada gariskeliling.

Besaran-besaran dalam elips adalah: apfokus (Q) (f1-D atau f2-E) perifokus (q) (f1-E atau f2-D) eksentrisitas (e) (kepepatan elips, yaitu jarak fokus per sumbu semi mayor) elipstisitas (E) (kepepatan elips, yaitu sumbu minor per sumbu mayor) sumbu mayor (l) (DE) sumbu semi mayor (a) (PE atau PD) sumbu minor (AF) sumbu semi minor (b) (PA atau PF) radius sejajar sumbu minor (f2-C) jarak fokus (c) (f1-P atau f2-P) parameter kerucut (p) (C-f2)

Gambar 4.1 Elips.


RUMUS UMUM KOMPONEN ORBIT

1) sumbu semi mayor (a)Sumbu semi mayor adalah setengah sumbu mayor (sumbu panjang), dan dapatdianggap jarak rata-rata sebuah titik yang mengelilingi elips.

2qQa

(4.1)

2) sumbu semi minor (b)Sumbu semi minor adalah setengah dari sumbu pendek.

222 cab perhatikan gambar segitiga di halaman belakang.

qQb

qQqQqQqQb

qQqQb

2

22222

222

2412

41

22

qQb (4.2)

3) apfokus (Q)Apfokus adalah jarak terjauh dari fokus ke suatu titik pada elips.

qcQqlQ

2caQ (4.3)

4) perifokus (q)Perifokus adalah jarak terdekat dari fokus ke suatu titik pada elips.

arlq caq (4.4)

5) panjang fokus/jarak fokus (c)Jarak fokus adalah jarak fokus dari pusat elips. Perhatikan gambar elips di depan,perhatikan bahwa panjang P-f2 (c) sama dengan setengah dari E-f2 dikurangi D-f2.

2qQc

(4.5)

Atau c = e a

6) eksentrisitas (e)Eksentrisitas adalah perbandingan nilai panjang fokus dan sumbu semi mayor.

qQ

qQqQqQ

ace

2/2/ (4.6)


7) elipstisitas (E)Elipstisitas adalah parameter yang sama dengan eksentrisitas, yaitu menunjukkannilai kepepatan suatu elips. Nilai elipstisitas sendiri adalah perbandingan panjangsumbu semi minor dan panjang sumbu semi mayor.

qQqQ

abE

2(4.7)

Elipstisitas sangat berguna untuk menentukan nilai eksentrisitas dengan cepat,sehingga Anda dapat menurunkan rumus-rumus lainnya, misal apfokus danperifokus. Anda akan sangat mudah membayangkan elips dengan elipstisitas0,333, yaitu panjangnya tiga kali lebarnya. Tetapi bagaimana anda membayangkanelips dengan eksentrisitas 0,943?

Perhatikan gambar segitiga f2-P-A berikutA

b a

θP c f2

Telah diketahui panjang f1-A-f2 = l . Perhatikan pula panjang f1-A = A-f2. Dengandemikian panjang :

A-f2 =21 l = a

AP = bP-f2 = c

Perhatikan bahwa :

cosace sedangkan sin

abE

Maka : Ee 1sincos (4.8.a)eE 1cossin (4.8.b)

atau 22 1 eE (4.9)

Sehingga didapatkan hubungan

22

1 eab

21

2 )1( eab (4.10)


8) radius orbitKarena bentuk lintasan orbit benda langit adalah elips, berarti jarak benda langititu ke fokusnya berubah-ubah tergantung dari sudut orbitnya. Radius orbit inidapat dicari dengan rumus

)cos(1

1 2

e

ear (4.11)

Nilai )1( 2ea ini disebut parameter kerucut (p), sedangkan nilai θ – ω disebutanomali benar (v).Besar sudut θ adalah besar sudut dari benda langit ke bidang langit berlawananjarum jam, sedangkan sudut ω (bujur perifokus) diukur dari perifokus ke bidanglangit tersebut berlawanan arah jarum jam. Sehingga anomali benar (v) adalahbesar sudut antara perifokus dan benda langit. Misalnya jika matahari berada di f2dan Bumi berada di C, maka anomali benarnya (v) adalah 270°.

Nilai e dan p menentukan bentuk dan jenis irisan kerucut. Eksentrisitasmenunjukkan jenis irisan kerucut, yaitu dengan ketentuan berikut:1) Jika e=0, maka ra = rp sehingga orbit berbentuk lingkaran.2) Jika e berada diantara 0 dan 1 (0<e<1) maka rp>p dan ra>0 sehingga orbit

membentuk elips.

3) Jika e=1, maka2prp dan ar . Bentuk lintasan ini dikenal sebagai

parabola.4) Jika e>1 maka rp<p dan ra<0 (fokus terletak di belakang bukaan orbit), lintasan

seperti ini disebut hiperbola.

Parameter kerucut bernilai )1( 2eap , (4.12)

dengan

2hp , dimana GM dan h adalah konstanta kecepatan luas vph .

Adapune

pra

1dan

eprp

1

Fungsi deri total energi sistem persamaannya :

22

221m

Ehe (4.13)

sehingga :1) Energi total sistem E = 0, maka e = 1 (orbit parabola)2) Energi total sistem E < 0, maka e < 1 (orbit elips)3) Energi total sistem E > 0, maka e > 1 (orbit hiperbola)


Hubungan antara sudut orbit (θ atau ν) dapat dirumuskan sebagai:

dtcdr21

21 2 (4.14)

Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius (vektor yangmenghubungkan kedua benda) dalam waktu dt. Untuk suatu selang waktu yangtetap, ruas kanan berharga tetap pula. Ini adalah Hukum Kepler kedua yangmenyatakan bahwa luas daerah yang disapu vektor radius dalam selang waktuyang sama akan sama pula. Akibat hukum ini benda yang berada dekat perifokusakan bergerak cepat, sedangkan di sekitar apfokus kecepatannya rendah. Integrasipersamaan 4.14 untuk t dari 0 hingga P, dengan P sebagai kala edar orbit (selangwaktu benda menempuh sekali keliling orbit), maka

cPA21 (4.15)

dimana vpc dengan A sebagai luas elips

baA

karena 21

2 )1( eab , maka

21

22 )1( eaA (4.16)

Jadi,

21

22 )1(2 eacP (4.17)

Karena pc 2 , sedangkan )( mMG , maka

21

2221

2 )1(2)()1( eaPmMGea

2

2422 )1(4)()1(

PeamMGea

22

3

4)(

mMG

Pa (4.18)


Telah diketahui bahwa dalam selang waktu yang sama, vektor radius akanmenempuh luas yang sama, maka dapat ditentukan luas daerah yang disapu olehvektor radius dalam selang waktu t adalah

APtL j (4.19)

dengan Lj adalah luas sapuan vektor radius, A adalah luas elips (orbit) dan Padalah periode. Sedangkan waktu tempuh dalam dua kedudukan (dari v1 ke v2)

dapat ditentukan, karenat dan

rGMv 2 , maka

32

rGM

(4.20)

dimana radius dalam sudut orbit rata rata vr =2

21 vv rr , maka

21

23

)(GM

rt v (4.21)

Dimana

212 vv

dalam radian, vr dalam meter, M (massa pusat) dalam kg

dan t dalam detik.

Adapun luas daerah yang disapu tiap satuan waktu sesuai dengan Hukum KepplerII yaitu :

APtA '


4.2. PERSAMAAN UMUM ORBIT ELIPS

Persamaan umum orbit elips ini digunakan untuk menyatakan struktur dandinamika sebuah orbit polar agar dapat dengan mudah digambarkan. Pada materi inihanya akan dibahas persamaan umum orbit tunggal, yaitu orbit elips yang pusatnyaterletak di titik (0,0) dan sumbu mayor berimpit dengan sumbu X. Tentunya Andamasih ingat persamaan kuadrat lingkaran yaitu 222 xry , persamaan elipsmemiliki bentuk yang lebih umum (lingkaran adalah elips dengan eksentrisitas = 0).

1) bentuk umumBentuk persamaan umum orbit elips horizontal adalah

12

2

2

2

by

ax (4.22.a)

Sedangkan untuk elips vertikal

12

2

2

2

ay

bx (4.22.b)

Jika kita hanya menggunakan elips horizontal, persamaan dapat ditulis menjadilebih sederhana menjadi

2

2

2

2

1ax

by

2

2222

axbby

Didapatkan

2222 xEby (4.23)

dengan b adalah panjang sumbu semi minor dan E adalah elipstisitas.

Untuk orbit yang berpusat di titik P(a,b) dapat dituliskan

(y – b )2 = b2 – E2 (x – a)2


2) komponen orbit

Panjang sumbu semi mayor =Eba atau dapat juga dicari dari nilai x

pembuat nol (x0). Jika elips tidak berpusat di titik (0,0) maka panjang

sumbu semi mayor adalah2

0201 xx .

Panjang sumbu semi minor sudah jelas merupakan 2b .

Panjang fokus = 2

2

2

bEbc .

Titik fokus, dituliskan dalam koordinat ),( yx . Jika elips horizontal yangberpusat di titik (a,b) maka titik fokusnya )b,( ca atau jika elips vertikal

c)(a,b . Apfokus, perifokus dan eksentrisitas dapat dicari dari rumus umum

komponen orbit yang telah disajikan sebelumnya.

CONTOH:1. Diketahui sebuah orbit asteroid skaga-247 yang mengelilingi Matahari memenuhi

persamaan 22

2116 xy , dengan x, y dalam satuan AU. Tentukanlah:

a. panjang sumbu semi mayor (a)b. panjang sumbu semi minor (b)c. jarak fokus (c)d. aphelium dan perihelium (Q dan q)e. eksentrisitas orbit (e)f. jarak asteroid dari Matahari jika berada pada v = 210°g. periode orbith. luas daerah yang disapu dalam selang 1 tahun

Penyelesaian:

Kita tentukan terlebih dahulu komponennya, yaitu b = 416 dan E2 =21 .

a. 657,55,0

4

Eba AU

a dapat pula dicari dari x0, silahkan Anda coba.

b. 416 b AU

c. 4165,0

1622

2

bEbc AU


d. Q = a + cQ = 5,657 + 4 = 9,657 AUq = a – cq = 5,657 – 4 = 1,657 AU

e. E = 707,0212 E

22 707,01e707,0e (perhatikan bahwa sin 45° = cos 45°)

f. ve

earcos1

1 2

)210cos(707,01)707,01(657,5 2

r

2974,7r AU

g. karena pusat massa adalah Matahari, maka

23

32

657,5

P

aP

455,13P tahun

h. 21

22 )1( eaA

21

22 )707,01()657,5( A08,70A AU2

sehingga :

APtL j

08,70455,131jL

2085,5jL AU2


4.3. REVOLUSI PLANET

HUKUM I KEPPLERHukum I Keppler menyatakan bahwa planet-planet beredar dalam lintasan berbentukelips dengan Matahari berada pada salah satu titik fokusnya.

dengan r’ + r = 2a

jarak sumbu semi mayor =2

qQa (4.25)

aphelium-perihelium =2

qQc (4.26)

Untuk orbit berbentuk elips, nilai eksentrisitasnya (e) adalah:

qQqQ

ace

(4.27)

Gambar 4.2 Diagram orbit elips.


Untuk penurunan rumus lebih lanjut dalam Hukum I Keppler dan periode sinodis,sebaiknya Anda memahami pengubahan bentuk-bentuk suku berikut ini:

1.

yxxyx

xyxyx

y

1

5.

yxxyx

xyxyx

xyxyx

yxxxyxyx

21

2)(

2

2.

yxyyx

yyxyx

x

1

6.

yxy

yxyyx

yxyyx

yxyyyx

yxyx

21

2)(

2

3.

yxx

yxxyx

yxy

1

7.

yxxyx

xyxyx

xyxyx

yxxxyxyx

21

2)(

2

4.

yxyyx

yyxyx

x

1

8.

yxyyx

yyxyx

yyyxyxyx

21

2

(4.28)


Karena2

qQa , maka :

qQqQe

qQqQe

qQQe

21 (4.29)

qQqe

21 (4.30)

qQ

Qe 21

qQ

qe 21

aQe 1

aqe 1

)1( eara )1( earp

Jadi, jika diketahui eksentrisitas :aphelium = ca maka : aphelium = a (1 + e) (4.31)perihelium = ca maka : perihelium = a (1 - e) (4.32)

Berdasarkan gambar, dapat kita peroleh bahwa jarak planet dari bintang berubahtergantung sudutnya. Jarak planet dari bintangnya dapat ditentukan dengan rumuscosinus.

Dari definisi elips dan gambar 4.1 kita peroleharr 2' (4.33)

22 )2(' rar 22 44 rara (4.34)

Dengan menggunakan rumus kosinus pada segitiga FPF’, diperoleh

)180cos(4)2(' 222 vaeraerr (4.35)

Mengingat 222 44' rarar dan vv cos)180cos( , maka

22 44 rara = vaeraer cos4)2( 22 ara 44 2 = vaerea cos44 22

222 44 eaa = vaerar cos44 )(4 2aeaa = )cos1(4 vear )( 2aea = )cos1( ver

r =)cos1(

)1( 2

veea

(4.36)


HUKUM II KEPPLER

Gambar di atas melukiskan Hukum II Kepler. Hukum II Kepler ini dapat jugadiartikan bahwa benda yang mengorbit akan bergerak lebih cepat pada saatposisinya lebih dekat dengan pusat orbit. Sebenarnya hukum luas ini identikdengan hukum kekekalan momentum sudut, dimana L = mvr. Anggap A adalahluas yang disapu oleh garis penghubung pusat orbit dengan benda yang mengorbitselama selang waktu t . Secara pendekatan luas ini adalah sama dengan luassegitiga dengan alas r . Dengan membagi luas segitiga ini dengan t kita akanmemperoleh laju sapuan.

trr

tA

)(

21 (4.37)

Dengan mengambil limit 0t , kita peroleh

dtdA

tA

t

0lim = 2

0 21

21lim r

tr

t

(4.38)

Dengan menggunakan rumus momentum sudut rmmvrL 2 kita akan peroleh

mL

tA

2

(4.39)

Karena pada lintasan planet ini momentum sudut kekal (tidak ada torka bekerja)

makatA juga konstan yang berarti bahwa dalam kurun waktu yang sama garis

penghubung benda yang mengorbit dengan pusat orbit akan menyapu luasan yangsama.

Hukum Keppler II merumuskan

hr 2 (4.40)

Gambar 4.3 Luas sapuan vektor radius terhadap waktu


Dengan h adalah konstanta kecepatan luas. Nilai h untuk tiap sistem (orbit) akantetap, yang nilainya:

TAh (4.41)

Dari persamaan 4.40 didapatkan

rhv (4.42)

Kecepatan saat di perihelium dan aphelium adalah

)1( eahv p

, dan

)1( eahva

Sehingga:

ee

vv

a

p

11 (4.43)

Persamaan energi dinyatakan denganCEE pk

Cr

v 2

21 (4.44)

Sehingga pada perihelium

Cea

v p

)1(2

1 2 (4.45)

dan pada aphelium

Cea

va

)1(2

1 2 (4.46)

Berdasarkan persamaan-persamaan di atas didapatkan

ee

av p 1

12 (4.47)


ee

ava 1

12 (4.48)

Dengan demikian kecepatan sirkular suatu massa dengan jarak r pada orbit elipsdapat dirumuskan

arvr

122 (4.49)

Bila persamaan 4.49 dikalikan dengan ½ m, maka kembali didapatkan persamaanenergi

arGMmmvr

1222

1 2

aGMm

rGMmmvr 22

1 2

konstan Pκ ΕΕ


HUKUM III KEPPLER

Untuk pembuktian hukum ke-3 ini yang termudah adalah menganggap lintasanplanet berupa lingkaran. Pada lintasan lingkaran ini benda mengalami gayasentripetal sebesar F = -GMm/r2, di mana M adalah massa pusat benda di orbit(Matahari), m adalah massa benda yang mengorbit (planet) dan r merupakan jarakkedua benda tersebut.Kita telah ketahui rumus untuk percepatan gravitasi pada sebuah benda (planet

maupun bintang) memenuhi persamaan gravitasi Newton dimanamFa , maka :

(4.50)

maF =r

vm2

=rrm

22

= rm 2

= rT

m22

= 2

24T

mr (4.51)

atau :

2

2

2

4T

mrr

GMm dan diperoleh rumus

GMrT

322 4 (4.52)

Sehingga didapatkan perbandingan : kTr2

3

; dimana k adalah suatu konstanta.

Pada sistem Matahari dan benda-benda yang mengitarinya dapat digunakan rumus :

23 Tr

dengan r dalam AU dan T dalam tahun. Sedangkan untuk sistem ekstrasolar denganbintang bermassa M kali massa Matahari memiliki hubungan :

32 rMT (4.53)

2rGMmga


KECEPATAN ORBIT

Radius orbit, misalnya dalam sistem Bumi dan satelitnya dapat dicari dengan rumus:

GMrT

322 4 Dengan

2

T

GMr 322 42

GMr 32

2

2 44 dimana GMgR

RGMg 2

2

2

3

2

11gR

r

32

2

gRr (4. 54)

Dimana r = jarak Bumi-satelit (planet-satelit)ω = kecepatan sudut satelitR = radius Bumig = percepatan gravitasi Bumi di permukaanT = periode orbit satelit

Atau dengan menggunakan persamaan 4.49Rumus kecepatan gerak sebuah benda dalam lintasan elips dengan setengah sumbupanjang a, dan pada jarak R dari M adalah

arGMv 122 (4.55)

Dengan penyederhanaan untuk orbit hampir bulat menjadi

GMr

vr

GMrT

322322 424

GMr

vGMr

vr

2

32

2

22 144

rGMv 2

Ataua

v (4.56)


CONTOH1. Suatu satelit mengorbit Bumi dengan jarak 4,2 x 104 km. Tentukan kecepatan linier

dan periode satelit!Penyelesaian :Diketahui r = 4,2 x 107 m , massa Bumi = 6 x 1024 kg

sm

rGMv

/84,086.31053,9

)102,4()106)(1067,6(

6

7

2411

jams

vrT

747,2395,489.85

84,086.3)102,4(2

2

7

2. Jika diketahui periode revolusi Bumi 365,25 dan jarak Bumi-Matahari 1 SA.Tentukan massa Matahari!Penyelesaian:

2

324T

rGM

)1067,6()60602425,365()10496,1(4

112

3112

M

301099,1 M kg

3. Diketahui jarak Bumi-Bulan 3,844.108 m , periode sideris bulan 2,3605.106 sekon,dan massa Bumi 5,976.1024 kg. Perkirakanlah massa Bulan berdasarkan data yangtelah diberikan!Penyelesaian:

kgmkgkgm

kgmM

mM

GTrmM

22

2424

24

2611

382

2

32

10.9,510.976,510.035,6

10.035,6)10.3605,2)(10.67,6(

)10.844,3(4

4)(

Massa Bulan menurut perhitungan modern adalah sebesar 7,349.1022 kg. Perbedaanini terjadi karena pada kenyataannya interaksi Bumi-Bulan juga dipengaruhi olehMatahari.


4.4. GAYA PASANG-SURUT DI BUMI

mB

Fp

FsfX

XRR

r1BUMI

rMBL

Fg

BULAN

MBL = massa Bulan = garis gayamB = massa Bumir = jarak Bulan-BumiRB = jari-jari Bumir1 = r-RB

Perhatikan gambar diatasDalam sistem, terdapat dua gaya yang bekerja, yaitu gaya sentrifugal (Fsf) dan gayagravitasi (Fg). Bulan bergerak mengelilingi Bumi dengan jarak r. Dapat dianggapBumi secara semu bergerak mengelilingi Bulan. Maka gaya pasang yang didapatkanoleh suatu tempat di permukaan Bumi (misalnya di X) adalah selisih dari Fsf dan Fg.Karena pusat massa dianggap adalah PBL (pusat Bulan), gaya sentrifugal yangbekerja pada X adalah maFsf .

Sedangkan gaya gravitasi Bulan yang sampai pada X adalah 2B

BBLg Rr

mGMF

.

Gambar 5.4 Diagram gaya pasang.

PBL

PB

RB


Besar gaya pasang (Fp) adalahsfgp FFF (4.57)

1

1)(

)(1

)(1

)())()((

)()()(

)()(

2

2

2

2

2

22

22

22

22

22

22

B

BBL

B

BBL

BBBL

B

BBBL

B

BBBLBBL

BBL

B

BBL

Rrr

rmGM

Rrr

rmGM

rRrmGM

RrrRrrmGM

RrRRrmGMrmGM

rmGM

RrmGM

(4.58)

Jadi gaya pasang yang dirasakan di titik X adalah sebesar:

3

2r

RMmGF BB (4.59)

Dengan M , r , dan BR masing-masing adalah massa Bulan (Matahari), jarak Bumi-Bulan (Bumi-Matahari), dan jejari Bumi.


CONTOH:

1. Tentukanlah gaya pasang maksimum yang dirasakan oleh sebuah lokasi dipermukaan Bumi serta perbandingan gaya pasang akibat Matahari dibandingkangaya pasang akibat Bulan! (diketahui massa Bulan 7,349.1022 kg, massa Matahari1,99.1030 kg, massa Bumi 5,976.1024 kg)

Penyelesaian:Gaya pasang maksimum adalah pada saat Matahari-Bumi-Bulan berada pada satugaris lurus, dengan demikian F =FBL+FM.

- Gaya interaksi Bumi-Bulan

NF

F

rRmGMF

BL

BL

BL

BBBLBL

18

38

6242211

3

10.622,6)10.844,3(

)10.4,6)(10.976,5)(10.349,7)(10.67,6(2

2

- Gaya interaksi Bumi Matahari

NF

F

rRmGMF

M

M

M

BBMM

18

311

6243011

3

10.0325,3)10.496,1(

)10.4,6)(10.976,5)(10.99,1)(10.67,6(2

2

F =FBL+FM = 6,622.1018 + 3,0825.1018 = 9,2545.1018 N

Perbandingan FM dan FBL = 458,010.622,610.0325,3

18

18

Jadi gaya pasang akibat Matahari hanya sekitar setengah kali gaya pasang akibatBulan.


4.5. DENSITAS PLANET

Densitas (rapat massa) suatu planet dapat dinyatakan dengan rumus :

2

32

2

32 )(44T

hRGMT

r (4.60)

Massa planet, M, berkaitan dengan massa jenis, ρ, dan volum planet ( 33

4 RV )3

34; RVM

2

323 )(4

34

ThRRG

32

32

43)(4

RGThR

3

2

3

RhR

GT

3

2 13

Rh

GT (4.61)

dengan h adalah ketinggian satelit dari permukaan, T adalah periode orbit satelit danR adalah jari-jari planet. Dengan demikian rapat massa suatu planet dapat dihitungberdasarkan satelitnya.

4.6. KELAJUAN SIRKULAR DAN KELAJUAN LEPAS

Kelajuan sirkular adalah kelajuan yang dimiliki benda yang sedang mengorbit.Rumus kelajuan sirkular adalah

grr

GMvc (4.62)

Kelajuan sirkular untuk benda –benda di Bumi yaitu :

13

62

108

)104,6)(8,9(

msv

mmsv

grv

c

c

c


Kelajuan lepas adalah kelajuan minimum yang diperlukan suatu benda untukmelepaskan diri dari pengaruh gravitasi benda lain (misalnya Bumi), yangmemenuhi persamaan

gk EE

rGMmmv 2

21

grr

GMve 22 (4.63)

Kelajuan lepas benda di permukaan Bumi adalah

ce vv 231082 ev

m/s71,313.11evkm/s314,11ev

Jadi, agar bisa lepas dari pengaruh gravitasi Bumi, suatu benda harus memilikikecepatan 11,314 km/s.

SATELIT GEOSTASIONER

Satelit geosinkron adalah satelit yang kedudukannya terhadap suatu titik dipermukaan Bumi relatif tetap sedangkan satelit geostasioner adalah satelitgeosinkron yang mengorbit sepanjang ekuator Bumi. Ini terjadi karena periode orbitsatelit sama dengan periode rotasi Bumi, yaitu 23h 56m. Agar dapat menjadi satelitgeostasioner, satelit harus diletakkan pada jarak:

21

3

2

aT

s10616,82 421

3

a

Nilai untuk Bumi adalah -1214 kgmN10983,3 , sehingga didapatkanm1022,4 7a


4.7. TRANSFER ORBIT

Untuk mengamati suatu objek langit di Tata Surya sering dibutuhkan pengamatandalam jarak dekat. Untuk itu berbegai kendaraan luar angkasa diluncurkan ke Bulanmaupun berbagai planet untuk melakukan penelitian jarak dekat. Untuk itudiperlukan suatu penransferan kendaraan luar angkasa itu dari Bumi ke planettujuan. Transfer Hohmann adalah transfer dari dua orbit yang saling sejajar (co-planar) dengan tempo setengah periode.

Misal suatu satelit P yang ditransfer dari orbitnya dari planet A menuju planet B,yang merupakan planet dari bintang S. Sehingga untuk transfer Hohmann APB, orbitP berlaku:

BA aaaAB 2 (4.64)

2BA aaa

(4.65)

Dengan a adalah sumbu semi-mayor satelit, aA sumbu semimayor planet A dan aBsumbu semi-mayor planet B. Adapun pada orbit satelit P diketahui

o perihelium: )1( eaaSA A (4.66)o aphelium: )1( eaaSB B (4.67)

sehingga

AB

AB

aaaae

(4.68)

Gambar 4.5 Transfer Hohmann.


Periode satelit dapat dicari dengan rumus Keppler III

32

2 4 aT (4.69)

Sehingga waktu transfer yang merupakan T21 adalah

21

3

2

aT (5.70)

Dengan menggunakan persamaan 4.65

21

3

8)(

GMaa BA (4.71)

Jika menggunakan satuan tahun untuk waktu, AU untuk jarak dan massa Matahariuntuk massa, maka nilai GM untuk Matahari adalah 24 , sehingga:

21

3

32)(

BA aa (4.72)

Adapun tambahan kecepatan dari Av ke Bv . Untuk Av perhatikan bahwaperubahan kecepatan terjadi dari kecepatan sirkuler planet A ke kecepatan sirkulersatelit P di periheliumnya.

cAPA VVV (4.73)

Dari persamaan 4.47 dan 4.56

21

21

11

A

A aee

aV

1)1( 2

121

ea

VA

A (4.74)

Dengan persamaan 4.68 didapatkan:

1

2 21

21

BA

B

AA aa

aa

V (4.75)


Dengan cara yang sama didapatkan AcBB VVV , sehingga

21

21

21

BA

A

AB aa

aa

V (4.76)

Jadi untuk transfer Hohmann dari Bumi ke planet lain berlaku

o perihelium Bumiao aphelium planeta

sehingga

Bumiplanet

Bumiplanet

aaaa

e

(4.77)

Adapun kecepatan sebagai fungsi eksentrisitas dirumuskan:

21

2

2 eVV

cA

(4.78)

Atau cAVeV2

1 (4.79)

Sedangkan kecepatan lepas untuk Bumi ( cBumiV ) pada persamaan 4.63 adalah 11.3km/detik

planet Waktu transfer (tahun)

Waktu tungguminimum Wt

(tahun)

Total misiWM tt 2

(tahun)

Eksentrisitasorbit

transfer eMerkurius 0,289 0,183 0,76 0,44Venus 0,400 1,278 2,08 0,16Mars 0,709 1,242 2,66 0,21Jupiter 2,731 0,588 6,05 0,68Saturnus 6,048 0,936 13,03 0,81Uranus 16,040 0,932 33,01 0,91Neptunus 30,620 0,766 62,01 0,94Pluto 45,470 0,061 91,00 0,95

Tabel 4.1 waktu transfer dan eksentrisitas orbit transfer.


4.8. GERAKAN PLANET

Gerakan-gerakan planet yaitu:1. Rotasi

Rotasi adalah gerakan benda langit berputar pada porosnya sendiri.2. Revolusi

Revolusi adalah gerakan benda langit berputar mengelilingi massa yang lebihbesar yang mempengaruhinya.

3. Presesi

Peristiwa perubahan kedudukan sumbu suatu planet. Sumbu rotasi Bumibergerak mengelilingi kutub ekliptika dengan inklinasi sekitar 23,5°. Peristiwaini terjadi akibat pengaruh gravitasi Matahari pada bumi yang tidak berbentuksferis, sehingga Bumi melakukan presesi agar porosnya tidak ‘tergelincir’jatuh. Periode presesi Bumi adalah 75925 tahun. Arah putaran presesi inisama dengan arah rotasi Bumi, yaitu direct. Karena gerak semu tahunan bendalangit (termasuk titik Aries) dari timur ke barat (retrograde), maka periode titikAries kembali ke titik Aries kurang dari 360°.

4. NutasiPeristiwa perubahan kedudukan sumbu Bumiakibat gravitasi Bulan, periode nutasi sekitar

3218 tahun. Nutasi mengakibatkan sumbu

rotasi Bumi bergerak bergelombang.Amplitudo gelombang ini sekitar 2,"9 .

5. Regresi (presesi orbit)Peristiwa perubahan arah bidang orbit, yaitu berputarnya kedudukan titikperihelium.

Gambar 4.7 Presesi dan nutasi.

Gambar 4.6 Presesi sumbu Bumi..


Tabe

l4.

2D

ata

fisis

pla

net-p

lane

t.

Dat

a fis

is p

lane

t-pl

anet


keterangan :

a = panjang sumbu semi mayor

albedo = persentase energi Matahari yang direfleksikan

terima

pantul

EE

* = rotasi rata-rata Matahari, karena Matahari berbentuk gas, lama rotasi di tiap .cvclintang berbeda.

** = arah rotasi retrograde (searah jarum jam)pada Bulan, nilai a, P dan e, diukur menurut Bumi.

Sedangkan posisi orbit planet diberikan dalam tabel 5.3

Nama inklinasi

ekuator )(

pemepatan inklinasi orbit

)(i

eksentrisitas

e

Merkurius 0.0 0 7,00 0,206

Venus 177,3 0 3,39 0,0068

Bumi 23,44 0,003353 0,00 0,0167

Mars 25,19 0,005786 1,85 0,093

Jupiter 3,12 0,06481 1,31 0,048

Saturnus 26,73 0,10762 2,49 0,054

Uranus 97,9 0,030 0,77 0,046

Neptunus 26,6 0,2259 1,77 0,010

Pluto 118 ? 17,44 0,246

Tabel 4.3 tabel data orbit planet-planet.


4.9. KLASIFIKASI DAN KONFIGURASI PLANET

Planet dapat dibagi berdasarkan tiga kategori, yaitu:1. Menurut kedudukannya terhadap Bumi, yaitu planet inferior yang mengorbit di

sebelah dalam orbit Bumi dan planet superior yang mengorbit di sebelah luar orbitBumi.

2. Menurut kedudukannya terhadap sabuk asteroid, yaitu planet dalam (inner planet)yang mengorbit di sebelah dalam sabuk asteroid dan planet luar (outer planet) yangmengorbit di sebelah luar sabuk asteroid.

3. Menurut komposisi dasarnya, yaitu planet jovian yang tersusun dari gas danberukuran raksasa (mayor) seperti Jupiter, Saturnus, Uranus, dan Neptunus, danplanet kebumian (terresrtial) yang tersusun dari mineral padat seperti Merkurius,Venus, Bumi, dan Mars.

Konfigurasi planet merupakan posisi/fase planet dilahat dari Bumi terhadapMatahari. Fase planet diukur berdasarkan sudut elongasi, yaitu sudut yang dibentukantara garis hubung Bumi – planet dengan garis hubung Bumi – Matahari. Sudutelongasi dapat diukur sebesar 0° – 360° dari garis hubung Bumi – Matahari, namunlebih sering diukur 0° – 180° disertai arahnya, barat atau timur. Posisi planet saatmembentuk sudut 180° disebut oposisi, yakni posisi planet berseberangan dengan letakMatahari, sedangkan posisi planet saat membentuk sudut 0° disebut konjungsi. Planetdalam tentunya tidak dapat beroposisi, namun dapat berkonjungsi pada dua posisi, yaitusaat berada di belakang Matahari, disebut konjungsi atas, maupun saat berada diantaraBumi dan Matahari, disebut konjungsi bawah.

Sudut elongasi maksimal untuk planet dalam dapat dihitung dengan metodetrigonometri, dengan jarak Bumi – Matahari sebagai sisi miring dan planet – Mataharisebagai sisi hadapan, sehingga sudut elongasi, θ dapat ditentukan.

Gambar 4.8Konfigurai beberapa planet dilihat dariBumi:V1 = Venus sedang konjungsi bawahMe1 = Merkurius sedang konjungsi atasV2 = Venus sedang elongasi barat 48°

yang merupakan elongasi terbesarVenus.

Me2 = Merkurius sedang elongasi timur28° yang merupakan elongasiterbesar Merkurius.

Ma1 = Mars sedang elongasi barat 60°.Ma2 = Mars sedang oposisi (elongasi

180°).(Sumber : IPBA)

Gambar 4.8 Konfigurasi planet.


SOAL LATIHAN 2

1. Dengan menggunakan hukum Titius-Bode, tentukanlah jarak Saturnus-Matahari(dalam satuan km)!

2. Sebuah elips dengan fokus (0, ±3,5) berpusat di (0,0) dan memiliki sumbu semi-mayor 8 satuan. Tentukan apakah elips ini termasuk elips vertikal atau horizontalserta tuliskan persamaan elips tersebut!

3. Dua buah lingkaran dengan persamaan 422 yx dan 722 yx .Tentukanlah:a. Persamaan garis singgung lingkaran pertama yang melalui titik (7,0);b. persamaan garis yang melalui titik (4,120º) dan titik (7,0);c. sudut slope garis singgung terhadap sumbu X.Serta jelaskan analoginya dengan sudut elongasi.

4. Jika diketahui Bumi melintasi sabuk meteoroid sehingga terjadi hujan meteor.Berapakah ketebalan sabuk meteoroid tersebut jika hujan meteor berlangsungselama 3,5 hari.

5. Diketahui sebuah satelit beredar dengan jarak orbit empat kali jari-jari Bumiberada tepat diatas kepala seorang pengamat di kota A. Di kota B, satelit ituterlihat dengan sudut elevasi 80○. Tentukan jarak dari kota A ke kota B.

6. Sistem dua benda dengan massa M

dan MJ yang dipisahkan oleh jarak r akanbergerak mengitari pusat massanya. Jika diketahui jarak rata-rata Matahari-Jupiter adalah 778 juta km, massa Matahari M

= 1,99.1030 kg, dan massa

Jupiter MJ = 1,90.1027 kg, Tentukanlah di mana pusat massa sistem Matahari-Jupiter!

7. Suatu satelit mengorbit Bumi dengan jarak 9,8.104 km dari pusat Bumi.Berapakah kecepatan sudut dan periode satelit tersebut mengelilingi Bumi.

8. Sebuah asteroid melintas dekat Bumi dengan arah tangensial pada ketinggiankm600 dan radiusnya 0,5 km. Jika kelajuan asteroid tersebut km/s00011 ,

apakah asteroid itu akan menghantam Bumi?

9. Suatu planet dengan sumbu semi-mayor 0,387 AU dan eksentrisitasnya 0,206.Tentukan perbandingan fluks Matahari saat planet berada di aphelium danperihelium.

10. Berapakah kecepatan linier Bulan mengelilingi Bumi jika diketahui jarak Bumi-Bulan = 60 kali jari-jari Bumi.

11. Jika diketahui periode Jupiter sama dengan 12 tahun Bumi, bagaimanakahperbandingan antara percepatan gravitasi Matahari pada Yupiter denganpercepatan gravitasi Matahari pada Bumi?


12. Berapakah kecepatan linier Bumi mengelilingi Matahari?

13. Suatu satelit dengan orbit berjarak km00010 mengorbit Bumi. Pada pukul 06.00WITA, satelit tersebut tepat berada di atas Monumen Mandala. Pada pukulberapakah paling cepat satelit itu akan kembali berada di atas MonumenMandala?

14. Diketahui jarak Venus ke Matahari adalah 0,723 AU. Berapakah sudut elongasimaksimum Venus? Berapa pula jarak Venus dari Bumi saat itu?

15. Venus tentunya akan tampak paling terang saat fase....

16. Jelaskan perbedaan antara barycenter (pusat massa) dan Lagrange-1!

17. Jika massa Matahari yang ‘hilang’ akibat pancaran radiasinya sekitar 4,5 juta tonsetiap detiknya, berapakah laju perubahan periode revolusi Bumi tiap abadnya?a. hitung laju perubahan periode revolusi Bumi.b. hitung perubahan eksentrisitas Bumi.

18. Jelaskan mengapa lebih banyak meteor yang dapat kita saksikan lewat tengahmalam dibandingkan saat sebelum tengah malam.

19. Jika diameter Bumi di kutub km71412 dan diamater di katulistiwa km75712 ,hitunglah perbandingan berat seseorang yang berdiri di katulistiwa dan di titikkutub! (Periode rotasi Bumi jam24 dan 2-211 mkgN1067,6 G )

20. Angin matahari yang isotropik (sama ke segala arah) menyebabkan lajukehilangan massa matahari 3×10-14 MMatahari setiap tahunnyaa. Berapa massa yang di’tangkap’ setiap hari oleh Bumi ketika mengelilingi

matahari?b. Berapa persen pertambahan berat badan kita setiap hari akibat pertambahan

massa bumi yang disebabkan oleh angin matahari ini?(OSN Astronomi 2009)


5. BOLA LANGIT

5.1. BOLA LANGIT

Jika kita sering memperhatikan langit malam, akan nampak bahwa bintang-bintang memiliki kedudukan yang tetap di langit, dan bergeser secara teratur darihari kehari. Agar dapat dengan mudah menentukan lokasi bintang, diperlukan suatusistem koordinat dalam pemetaan bintang-bintang tersebut, sistem koordinat itudisebut dengan tata koordinat bola langit. Dikenal empat macam tata koordinatdalam astronomi, yaitu tata koordinat horizon, ekuator, ekliptika dan galaktik,namun yang akan dibahas di sini hanya tiga dari yang disebut pertama.

Sebelum kita melukis posisi bintang pada sistem koordinat, ada baiknya kitamengenal terlebih dahulu tentang bola langit. Bola langit adalah suatu bola imajinerdimana seluruh bidang langit terproyeksi pada permukaannya, yang mana pusat daribola langit tersebut adalah pengamat (Bumi). Agar lebih paham, perhatikan gambar5.1.

1. S, B, U, T adalah arah mata angin menurut pengamat. Untuk menggambar bolalangit, biasanya ada ketentuan tentang letak titik Utara dan Selatan, namun dibuku ini digunakan titik Selatan di kiri.

2. Z adalah titik Zenit, yaitu titik yang berada tepat di atas kepala pengamat,sebaliknya titik N (Nadir) adalah titik yang berada tepat di bawah kakipengamat.

3. Lingkaran besar SBUT adalah horizon pengamat.4. Lingkaran besar SZUN adalah meridian pengamat (meridian langit).

Gambar 5.1 Bola langit.

mekanika astronomi

Documents

Transcript of mekanika astronomi