~actuichtentechrrik Herausgegeben von H .. Marko Band 20

Richard Bamler

Mehrdimensionale lineare Systeme Fourier-Transformation und o-Funktionen

Mit 128 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong 1989

Dr.-Ing. habil. RICHARD BAMLER

Wissenschaftlicher Mitarbeiter, Deutsche Forschungsanstalt flir Luft- und Raumfahrt, Oberpfaffenhofen

Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. HANS MARKO

Universitiitsprofessor, Lehrstuhl flir Nachrichtentechnik Technische Universitiit Miinchen

ISBN-13 :978-3-540-51069-7 e-ISBN-13 :978-3-642-83763-0 DOl: 10.1007/978-3-642-83763-0

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Bamler, Richard: Mehrdimensionale lineare Systeme : Fourier-Transformation und /)-Funktionen / Richard Bamler. Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo; Hong Kong: Springer, 1989

(Nachrichtentechnik ; Bd. 20) ISBN-13:978-3-540-51069-7

NE:GT

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Zur Buchreihe "Nachrichtentechnik"

Die Nachrichten- oder Informationstechnik befindet sich seit vielen Jahrzehnten in einer stetigen, oft sogarsti1rmisch verlaufenden Entwicklung, deren Ende derzeit noch nicht abzusehen ist. Durch die Fortschritte derTechnologie wurden ebenso wie durch die Verbesserung der theoretischen Methoden nicht nur die vohandenen Anwendungs­gebiete ausgeweitet und den sich stets andernden Erfordernissen angepaLH, sondern auch neue Anwendungsgebiete erschlossen.

Zu den klassischen Aufgaben der Nachrichtenubertragung und der Nachrichten­vermittlung sind die Nachrichtenverarbeitung und die Datenverarbeitung hinzu­gekommen, die viele Gebiete des beruflichen und des privaten Lebens in zunehmen­dem Ma13e verandern. Die Bedurfnisse und Moglichkeiten der Raumfahrt haben gleicherma13en neue Perspektiven eroiTnet wie die verschiedenen Alternativen zur Realisierung breitbandiger Kommunikationsnetze. Neben die ana loge ist die digitale Ubertragungstechnik, neben die klassische Text-, Sprach- und Bildubertragung ist die Datenubertragung getreten. Die Nachrichtenvermittlung im Raumvielfach wurde durch die elektronische zeitmultiplexe Vermittlungstechnik erganzt. Satelliten- und Glasfasertechnik haben zu neuen Ubertragungsmedien gefUhrt. Die Realisierung nachrichtentechnischer Schaltungen und Systeme ist durch den Einsatz von Elektro­nenrechnern sowie durch die digitale Schaltungstechnik erheblich verbessert und er­weitert worden. Die rasche Entwicklung der Halbleitertechnologie zu immer hoheren Integrationsgraden erschlie13t neue Anwendungsgebiete besonders auf dem Gebiet der digitalen Technik.

Die Buchreihe "Nachrichtentechnik" tragt dieser Entwicklung Rechnung und bietet eine zeitgema13e Darstellung der wichtigsten Themen der Nachrichtentechnik an. Die einzelnen Bande werden von Fachleuten geschrieben, die auf den jeweiligen Gebieten kompetent sind. Jedes Buch soli in ein bestimmtes Teilgebiet einfUhren, die wesent­lichen heute bekannten Ergebnisse darstellen und eine Brucke zur weiterfUhrenden Spezialliteratur bilden. Dadurch soli es sowohl dem Studierenden bei der Einarbeitung in die jeweilige Thematik als auch dem im Beruf stehenden Ingenieur oder Physiker als Grundlagen- oder Nachschlagewerk dienen. Die einzelnen Bande sind in sich abge­schlossen, erganzen einander jedoch innerhalb der Reihe. Damit ist eine gewisse Uber­schneidung unvermeidlich, ja sogar erforderlich.

Die derzeitige Planung der Reihe umfa13t die mathematischen Grundlagen, die Bau­gruppen und Systeme sowie die Technik der Signalverarbeitung und der SignalUber­tragung; eine Erganzung bildet die Me13technik (siehe Schema nachste Seite).

Herausgeber und Verlag danken fUr aile Anregungen zur weiteren Ausgestaltung dieser Reihe. Die freundliche Aufnahme in der Fachwelt hat die Richtigkeit der Idee, das sich schnell entwickelnde Gebiet der Nachrichtentechnik oder Informationstechnik in einer Buchreihe darzustellen, bestatigt.

Munchen, im Fruhjahr 1989 H. Marko

VI

Bisher erschienene Bande der Buchreihe » Nachrichtentechnik«

Mathematische Band 1: Methoden der Systemtheorie (H. Marko) Grundlagen

Band 4: Numerische Berechnung linearer Netzwerke und Systeme (H. Kremer)

Band 7: Grundlagen digitaler Filter (R. Liicker)

Band 10: Grundlagen derTheorie statistischer Signale (E. Hansler)

Band 15: Dbungsbeispiele zur Systemtheorie (1. Hofer-Alfeis)

Band 20: Mehrdimensionale Iineare Systeme (R. Bamler)

Baugruppen Band 3: Bau hybrider MikroschaItungen und Systeme (E. Liider, vergriffen)

Band 8: Nichtlineare Schaltungen (R. Elsner)

Signal- Band 5: ProzeBrechentechnik (G. Farber) verarbeitung

Band 12: Sprachverarbeitung und Sprachiibertragung (K. Fellbaum)

Band 13: Digitale Bildsignalverarbeitung (F. Wahl)

Band 19: Wissensbasierte Bildverarbeitung (C.-E. Liedtke, M. Ender)

Signal- Band 2: Femwirktechnik der Raumfahrt (P. Hartl) iibertragung

Band 6: Nachrichteniibertragung iiber Satelliten (E. Herter, H. Rupp)

Band 11: Bildkommunikation (H. Schonfelder)

Band 14: Digitale Dbertragungssysteme (G. Soder, K. Trondle)

Band 16: Lichtwellenleiter fUr die optische Nachrichteniibertragung (S. Geckeler)

Band 17: Optische Dbertragungssysteme mit Dber-lagerungsempfang (1. Franz)

Band 18: Radartechnik (1. Detlefsen)

Erganzung Band 9: Nachrichten-MeBtechnik (E. Schuon, H. Wolf)

Vorwort

Die lineare Systemtheorie mit ihren 'Werkzeugen' Fa/tung, Fourier-Transformation

und o-Funktionen ist eine wohletablierte Methode zur Beschreibung von Zeitsystemen

und -signalen. Die Erweiterung dieser nachrichtentechnischen Betrachtungsweise

auf mehrdimensionale Systeme hat wesentlich zum Verstandnis von Problemen der

Bildgewinnung, der Bildverarbeitung und der Sensorik beigetragen.

Wahrend speziell (eindimensionale) Zeitsignale und (zweidimensionale) Bildsignale

in den Banden 1 und 13 dieser Reihe ausfOhrlich behandelt werden, will das vorlie­

gende Buch die mathematischen Grundlagen einer allgemein n-dimensionalen line­

aren Systemtheorie vermitteln und anhand von Beispielen illustrieren. Dabei werden

auch Gemeinsamkeiten und Unterschiede beim Obergang von einer auf mehrere

Dimensionen verdeutlicht, wobei die o-Funktionen ihrer - im Mehrdimensionalen -

besonderen Vielfalt wegen einen groBen Raum einnehmen.

Wegen dieser angestrebten Allgemeinheit werden in den Kapiteln 3 und 4 Gesetze

und Zusammenhange weitgehend frei von physikalischer Bedeutung und fOr unbe­

schrankte Dimensionenzahl hergeleitet. Diese Rechenregeln dienen dann in Kapitel

5 beispielhaft zur systemtheoretischen Behandlung von Wellenausbreitungsproble­

men. Diesem eigentlichen 'mehrdimensionalen Teil' ist das Kapitel 2 Ober eindimen­

sionale Systemtheorie vorangestellt, einerseits urn Leser unterschiedlichen Vorwis­

sens in die Nomenklatur und den Stil dieses Buches einzufOhren, andererseits urn

einige allgemeingOltige Oberlegungen schon vorab zu diskutieren. Dies ermoglicht in

den spateren Kapiteln, Herleitungen etwas straffer zu gestalten und Zusammenhange

induktiv zu verdeutlichen.

Das vorliegende Buch entstand wahrend meiner Lehr- und Forschungstatigkeit am

Lehrstuhl fOr Nachrichtentechnik der Technischen Universitat MOnchen. DaB an

diesem Lehrstuhl die Systemtheorie einen solch hohen Stellenwert einnimmt, ist in

erster Linie das Verdienst von Professor H. Marko, der dieses Buch initiiert und unter­

stOtzt hat und der mir haufig Diskussionspartner war. Viele Anregungen, didaktische

Ratschlage und ein ungewohnlich freundschaftliches Arbeitsklima verdanke ich

H. Platzer, J. Hofer-Alfeis, H. GIOnder, A. Gerhard, R. Lenz und J. Steurer. Einen Teil

des Manuskripts hat S. Karl unter der erschwerten Bedingung meiner Handschrift in

Reinform gebracht. Mein herzlichster Dank gilt jedoch meiner Frau Gabi und meinen Kindern Richard und

Robert, die auch dann mit mir Geduld hatten, wenn ich nicht in den uns gemeinsamen

Dimensionen x, y, z und t anzutreffen war.

MOnchen, im Januar 1989 Richard Bamler

Inhaltsverzeichnis

1 EinfOhrung

Signale und Systeme .................................................................... .

Systemklassen ............................................................................. .

Spektraltransformationen

2

5

8

2 Eindimensionale lineare Zeitsysteme .................................... 10

2.1 8-Funktionen .................................................................................... 10

Rechenregeln fUr 8-Funktionen ......................................................... 12

Differenzierte 8-Funktionen ............................... ................................ 13

Obertragung von 8-Funktionen Ober lineare Systeme ........................... 15

2.2 Zeitinvariante Systeme ........................................................................ 16

Veranschaulichung der Faltung ......................................................... 17

Faltung mit 8-Funktionen .................................................................. 19

2.3 Fourier-Transformation ........................................................................ 19

Gesetze und Korrespondenzen der Fourier-Transformation .................. 22

2.4 Laplace-Transformation ..................................................................... 25

2.5 Modulatoren .................................................................................... 28

2.6 Zeitvariante Systeme ........................................................................ 29

Beispiele spezieller linearer Systeme ................................................ 30

2.7 Analytische Signale ........................................................................... 31

2.8 Regulare Abtastung ........................................................................... 33

Das Spektrum des abgetasteten Signals .......................................... 34

Die Interpolation ........................................................................... 35

Abtastung von Spektren .................................................................. 37

Zeit-Bandbreite-Produkt von Signalen und Spektren ........................... 38

3 Mehrdimensionale Signale und Systeme .............................. 39

3.1 8-Funktionen im Mehrdimensionalen .... .... ... ..... ......... .... ........ .... .......... 40

Ein- und mehrdimensionale 8-Funktionen .......................................... 41

8-Punkte ....................................................................................... 45

Integration von 8-Funktionen ............................................................ 46

Eindimensionale 8-Geraden und 8-Ebenen ....................................... 47

Eindimensionale 8-Linien und 8-Fliichen .......................................... 48

Produkt von 8-Funktionen 51

Differenzierte 8-Funktionen. Dipolfunktionen ....................................... 54

Zusammenfassende Definitionen ...................................................... 57

IX

3.2 Mehrdimensionale Faltung .................................................................. 58

Faltung mit /)-Linien und /)-Flachen ................................................... 61

Faltung mit /)-Geraden und /)-Ebenen .............. .................................. 62

3.3 Mehrdimensionale Fourier-Transformation ............................................. 65

Rechengesetze der mehrdimensionalen Fourier-Transformation ..... ....... 67

Fourier-Spektren von /)-Punkten, B-Geraden und /)-Ebenen .................. 71

Das Zentralschnitt-Theorem ............................................................ 74

Fourierspektren von /)-Linien und /)-Flachen (asymptotisches Verhalten) 77

3.4 Spezielle Gesetze fOr zweidimensionale Signale .................................... 80

Rotationssymmetrische Signale und Spektren .................................... 82

Zirkularharmonische Signale ............................................................ 85

Entwicklung in Zirkularharmonische .... ............................................... 88

3.5 Spezielle Gesetze fOr dreidimensionale Signale .................................... 90

3.6 Bemerkenswertes und Asymptotisches ................................................... 91

GauB-Funtionen ........................................................................... 92

Signale mit quadratischer Phase ...................................................... 93

Polfunktionen ................................................................................. 93

/)-Linien, &-Flachen ........................................................................ 94

/)-GeradenbOschel, /)-EbenenbOschel ................................................ 95

Asymptotisches Verhalten von Spektren bestimmter Signalklassen 98

4 Abtastung und Projektion mehrdimensionaler Signale ...... 101

4.1 Regulare Abtastfunktionen und deren Spektren ....................................... 102

Eindimensionale Abtastfunktionen ................................................... 102

Mehrdimensionale Abtastfunktionen ................................................ 104

Systematische Konstruktion von Wiederholrastern .............................. 107

Dichteste Packung isotrop begrenzter Spektren ................................. 108

Orts-Bandbreite-Produkt mehrdimensionaler Signale und Spektren ...... 113

4.2 Einige spezielle Abtastprobleme ......................................................... 114

Zeilensequenzen ........................................................................... 114

Schnittbildsequenzen ..................................................................... 121

Ein Abtasttheorem fOr zeitvariante Systeme ....................................... 122

Das Abtasttheorem der Computer-Tomographie .................................. 127

5 Systemtheoretische Beschreibung physikalischer Phanomene ................................................................................. 137

5.1 Allgemeine Problemstellungen ............................................................ 137

Ditferentialgleichungen .................................................................. 138

Das Quellenproblem ..................................................................... 144

Spezielle Quellenfunktionen ............................................................ 146

Das Anfangswertproblem ............................................................... 151

x

Das Randwertproblem ..................................................................... 155

Das Streuproblem ........................................................................ 159

Differentielle oder integrale Beschreibung? ....................................... 160

Raumliche Differentiationssatze ...................................................... 162

5.2 Wellenausbreitung ........................................................................... 164

Das Quellenproblem ..................................................................... 165

Herleitung von S(fr,f,) und s(r,t) aus der Wellengleichung ..................... 165

Spezielle Quellenfunktionen ............................................................ 169

Das Fernfeld synchroner Quellen ...................................................... 171

Das Anfangswertproblem ............................................................... 173

Das Randwertproblem ..................................................................... 175

5.3 Ausbreitung und Beugung harmonischer koharenter Wellen ..................... 177

Ebene Wellen .............................................................................. 178

Quellenproblem und Kugelwel\e ...................................................... 180

Das Teilspektrum sx.V(fx.fy'z) ............................................................ 182

Die Ewald-Kugel ........................................................................... 183

Das Fernfeld harmonischer Quel\en ................................................... 188

Randwertproblem, Punktantwort und Obertragungsfunktion des Raums ... 192

Geometrische Herleitung von S ,u(fx' fy) ............................................. 194

Beugung koheranter Wel\en ............................................................ 198

Naherungen des Beugungsintegrals ................................................ 200

Fraunhofersche Fernfeldlosung ......................................................... 202

Nachrichtentechnische Analogien ................................................... 205

Koharent-optische Fourier-Transformation .......................................... 211

Koharente Abbildung, Ortsfrequenzfilterung ....................................... 215

Streuung harmonischer Wellen ......................................................... 216

Bornsche Naherungen .................................................................. 219

Das Fourier-Beugungs-Theorem ...................................................... 222

Tabelle der Symbole und Formelzeichen .................................... 227

Literaturverzeichnis ........................................................................ 233

Sachverzeichnis .............................................................................. 237

1 EinfUhrung

Systemtheorie ist die Behandlung von Problemen aus verschiedensten Gebieten

unter Abstraktion von deren physikalischer Natur. Diese von KOPFMOLLER [1.1-1.3]

maBgeblich gepragte Betrachtungsweise diente anfangs zur - z.T. idealisierten -

Analyse von linearen Zeitsystemen fOr die NachrichtenObertragung. Ein System wird

danach z.B. durch eine Ubertragungsfunktion vollstandig beschrieben, die den

mathematischen Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal darstell!.

AuBer Spektraltransformationen, wie die Fourier- und Laplace-Transformation,

spielen dabei o-Distributionen eine zentrale Rolle. Seither ist diese bestechend

einfache und eindimensionale 'Eingangs-Ausgangs-Systemtheorie' vor allem in zwei

Richtungen erweitert worden 1: Die EinfOhrung der Zustandsdarstellung von Zeit­

systemen [1.5, 1.6] trug den BedOrfnissen der Regelungstechnik und der Automaten­

theorie Rechnung; die Anwendung der Fourier-Methoden auf mehrdimensionale

Signale und Systeme andererseits ermoglichte das Einbringen nachrichtentech­

nischer Beschreibungsweisen speziell in die Optik [1.7, 1.8]. Die letztgenannte Ent­

wicklung ist nicht etwa nur ein 'Reimport' des Fourier-KalkOls in die Physik, sondern

tatsachlich eine Betrachtungsweise physikalischer Effekte unter anderen Aspekten:

Wahrend in der Physik Spektraltransformationen in erster Linie Hi/fsmittel zur Losung

von Differentialgleichungen sind [1.9-1.11]. stellen Integraloperatoren (also auch

Spektraltransformationen) bei der nachrichtentechnisch orientierten Systemtheorie

das Beschreibungsmittel selbst dar. Diese - und damit die Einbringung des System­

beg riffs - ermoglichen die anschauliche Formulierung von Ursache-Wirkungs­

Beziehungen, deren Bedeutung in der Physik haufig vor der Notwendigkeit in den

Hintergrund tritt, wirklich aile Losungen der entsprechenden Differentialgleichung zu

ermitteln. Diese unterschiedliche Wertung liegt daran, daB in der Nachrichtentechnik

der Verlauf einer physikalischen GrOBe nicht lediglich als - wertfreie - mathematische

Funktion betrachtet wird, sondern i. allg. ein informationstragendes Signal is!. Die Systemtheorie maBt sich nicht an, physikalische Phanomene 'korrekter' zu beschrei­

ben oder gar fundamentale Erkenntnisse ausschlieBlich zu ermoglichen - zumal die

ihr und der Physik zugrundeliegende Mathematik ja dieselbe ist; vielmehr ist ihre

Domane die 'Verwertung' physikalischer Gesetze auf einem hoheren Abstraktions­

niveau, urn damit die Gemeinsamkeiten unterschiedlicher Phanomene bezOglich

ihrer Ubertragungseigenschaften aufzuzeigen.

1 Eine Historie der Systemtheorie lindet sich in [1.4).

2

Signale und Systeme

FOr das folgende genOgt es, unter einem System eine Vorschrift zu verstehen, nach

der bestimmten Eingangsgrol3en Ausgangsgrol3en zugeordnet werden. Mathema­

tisch sei diese Vorschrift durch einen Operator8{.} gegeben. Dabei ist es irrelevant,

ob die Ein- und Ausgangsgrol3en Spannung, Strom, Kraft, Feldstarke, Temperatur,

Konzentration oder aber Blutdruck, Bevolkerungsdichte, Geldmenge, Verkehrsauf­

kommen usw. bedeuten. Stellt sich z.B. bei mehreren verschiedenen Aufgabenstel­

lungen heraus, dal3 jeweils dieselbe mathematische Zuordnungsvorschrift gilt, so

werden diese Probleme im Sinne der Systemtheorie gleich behandelt.

Dieser noch relativ allgemeine Systembegriff ermoglichte zwar, dal3 sich das 'Denken

in Systemen' auf vielen Gebieten etablieren konnte, verhindert jedoch die Behand­

lung mit Hilfe einer allumfassenden und dabei noch handhabbaren Mathematik.

Daher wollen wir nun schrittweise Abstriche von obiger Aligemeinheit machen, um

schliel3lich zu der in diesem Buch behandelten Systemklasse zu gelangen.

Eine erste Annahme betrifft die Ein- und Ausgangsgrol3en: Diese seien Funktionen

vorerst beliebiger kontinuierlicher Variablen 1, und zwar sowohl

natOrlich vorkommende, physikalisch direkt erfal3bare Signa/e (z.B. Span­

nungs-, Konzentrations-, Temperatur-, Feldstarke- oder Schalldrucksignale), die

i. allg. von den Ortskoordinaten x, y, z und/oder der Zeit t abhangen,

wie auch wilikOrlich definierte Hilfsfunktionen (z.B. die Autokorrelationsfunktion

und hOhere Momente stochastischer Prozesse).

Die Grenze zwischen diesen beiden Typen ist fliel3end. So ist beispielsweise die

Autokorrelationsfunktion eines Spannungsverlaufs sehr wohl durch physikalische

Nachbildung der mathematischen Vorschrift mel3bar; der technische Aufwand im

Vergleich zur direkten Messung der Spannung ist jedoch ungleich hOher. Wir nennen

deshalb im folgenden Funktionen beider Klassen Signa/e und bezeichnen sie, falls

sich aus dem jeweiligen Kontext keine andere Schreibweise anbietet, mit 'u(.)' und

dem Index '1' bzw. '2', welcher die Unterscheidung zwischen Ein- und Ausgangs­

signalen zulal3t, z.B.

U1 (t), u1 (x,y,z,t)

fOr Eingangssignale und

u2(t) = 8{u1(t)}, u2(x,y,z,t) = 8{u1(x,y,z,t)}

fOr die entsprechenden Ausgangssignale.

Wir unterscheiden zwischen zwei Klassen von Eingangssignalen:

1 Sind die Signale Funktionen diskreterVariablen (z.B. bei Abtastsystemen), so erlaubt die Verwendung von S-Funktionen trotzdem die Rechnung mit kontinuierlichen Veranderlichen.

3

physikalische Ursachen und

beobachtete GroBen. die nur indirekt physikalisch beeinfluBbar sind.

Ein Beispiel mag dies verdeutlichen: 1st der Ortliche und zeitliche Verlauf der Warme­

energiezufuhr (Eingangssignal) in einem Raum gegeben. und soli die sich daraufhin

einstellende Temperaturverteilung (Ausgangssignal) ermittelt werden. so handelt es

sich urn die Etablierung eines Ursache-Wirkungs-Gesetzes im strengen physikali­

schen Sinn. Soli dagegen der Temperaturausgleichsvorgang nach Abschalten der

Warmequellen berechnet werden. also z.B. aus einer anfanglichen - jedoch nur

indirekt (uber den vorherigen Aufheizvorgang) beeinfluBbaren - Temperaturvertei­

lung (Eingangssignal) diejenige. die sich nach einer bestimmten Zeit einstellt (Aus­

gangssignal). so tritt hier die eigentliche Ursache. die genaue Form des Aufheizvor­

gangs. gar nicht in Erscheinung. Wir werden auf diesen Unterschied in Kapitel 5 noch

genauer eingehen.

Die Anzahl der Variablen in einem Signal ist dessen Dimensionalittit; u1(t) oder u2(t)

bezeichnen wir demnach als eindimensional und u1(x,y.z) oder u2(x,y.z) als drei­

dimensional usw. In den Kapiteln 2 bis 4 abstrahieren wir meist von der physikali­

schen Natur der Variablen und nennen sie x1• x2 •...• xn• wobei 'n' immer die Dimensi­

onalitat sei. Diese Variablen fassen wir zum Vektor

x = (x1. x2 •...• xn)T e Rn

zusammen. Wir schreiben also Ein- und Ausgangssignale z.B. als

bzw. u2(x) = 8{u1(x)} .

Ohne Einschrankung der Aligemeinheit konnen wir fUrs erste annehmen. daB u1(.)

und u2(.) von dense/ben Variablen abhangen. Falls dies physikalisch nicht gegeben

sein sollte. wird einfach eine 'Abhangigkeit' in Form einer Konstanten angenommen.

Somit haben Ein- und Ausgangssignale immer dieselbe Dimensionalitat n. Wir

nennen dann auch das System n-dimensional.

Hat ein System mehrere Ein- und Ausgange. treten also

und

als Ein- und Ausgangssignale auf. so konnen diese ebenfalls zu den Vektoren

und (1-1 )

4

zusammengefaBt werden (Bild 1-1 )1. Man beachte, daB die Anzahl der Ein- oder

Ausgangssignale nichts mit der oben definierten Dimensionalitat des Signals zu tun

hat, die eigentlich 'Dimensionalitat des Variable nvekto rs' heiBen sollte. Liegen nur

jeweils ein Ein- und Ausgang vor, sprechen wir von einem skalaren System und

skalaren Signalen, ansonsten von einem vektorie/len oder multivariablen System.

Eingangssignale System Ausgangssignale

Bild 1-1: Allgemeines multivariables System

Aus (1-1) ergeben sich vier grundsatzliche Fragestellungen, mit denen sich die

Systemtheorie beschaftigt:

Das Ubertragungsproblem. Dabei sind die Systemeigenschaften 8{.} und das

Eingangssignal u 1 (.) gegeben. Es interessiert, wie u 1 (.) durch das System

Obertragen wird, d.h. die Berechnung von u2(.). Wir werden sehen, daB dieses

Problem meist gut konditioniert und eindeutig losbar ist.

Das Inversproblem. Hier gilt es, aus u2(.) und 8{.} das Eingangssignal u1(') zu

rekonstruieren. Aile Bildgewinnungsverfahren fallen in diese Kategorie. Leider

liegt hier meist schlechte Konditionierung, also Antalligkeit gegen Storungen

(z.B. Rauschen) vor. Oft ist auch die Losung mehrdeutig. Soli nicht u 1(.)

moglichst genau ermittelt, sondern lediglich erkannt werden, ob ein bekanntes

Eingangssignal oder auch welches von wenigen moglichen Eingangssignalen

am System anliegt, sprechen wir von Detektion bzw. von Klassifizierung.

Die Systemidentifikation. Hier versucht man durch geschickte Verwendung von

Testsignalen u1(.) und Messung der entsprechenden Antworten u2(') die Eigen­

schaften des Systems 8{.} zu ermitteln. Diese Aufgabe ist i. allg. mit endlich

vielen Testsignalen nicht eindeutig losbar, es sei denn, das System weist

spezielle und bekannte Eigenschaften auf (z.B. Linearitat).

Das Anfangswert- oder Randwertproblem. Das Ausgangssignal - und evtl.

einige seiner Ableitungen - ist hierbei nur zu einem bestimmten Zeitpunkt oder

an einem bestimmten Ort (allgemein: in einem Unterraum von x) bekannt.

Gesucht wird das Ausgangssignal u2(.) z.B. fOr aile Zeiten nach dem Anfangs­

zeitpunkt. Interpretiert man die Anfangs-(Rand-)Werte (also im obigen Sinn die

beobachteten GrOBen) als Eingangssignale eines geeignet zu definierenden

1 Oftmals ist die Verwendung dieser Vektorschreibweise von der Physik her schon angezeigt; z.B. sind die elektrische und die magnetische Feldstarke von vektorieller Natur.

5

Systems, ist dieses Problem formal als Obertragungsproblem zu behandeln; die

Schwierigkeit ist dann auf die Bestimmung dieses neuen Systems abgewalzt.

Die Eigenschaften eines Systems, hangen i. allg. von bestimmten Parametern abo Bei

der Definition eines speziellen Systems ist genau festzulegen, welche GrOBen

EingangsgroBen und welche Systemparameter sind. Wird ein Systemparameter als

EingangsgroBe interpretiert oder umgekehrt, ergeben sich evtl. vollig andere Eigen­

schaften.

Beispiel Bild 1-2 zeigt einen elektrischen Schwingkreis mit einem Kondensator von variablem KapazitlUswert C(t). Der Strom itt) sei das Ausgangssignal. Je nach Aufgabenstellung kennen nun verschiedene Systeme definiert werden: a) 1st C(t) = const oder stellt C(t) einen yom System vorgegebenen von auBen nicht beeinfluBbaren Verlauf dar (wie bei einem parametrischen Verstarker), so interessiert der Zusammenhang zwischen u(t) und itt). Das entsprechende System hat u(t) als EingangsgrOBe und C(t) als Systemparameter. b) Wird der Schwingkreis mit einer vorgegebenen Spannung u(t) gespeist und kann C willkOrlich verandert werden (z.B. durch Einbringen eines Dielektrikums von zu messender Dielektrizitatskon­stante), so ist u(t) als Systemparameter zu behandeln und C(t) als EingangsgrOBe. Das System, d.h. die Zuordnungsvorschrift, ist dann ein vellig anderes als in a). c) SchlieBlich kennen u(t) und C(t) als EingangsgreBen angenommen werden. Dies ist der allgemeinste Fall, schlieBt a) und b) als Sonderfalle ein, ist jedoch evtl. mathematisch aufwendiger zu behandeln. Die vorliegende elektrische Schaltung kennte aber auch durch ein System beschrieben werden, dessen Eingangs- und Ausgangssignale keine der physikalischen GrOBen u(t) oder C(t) bzw. itt) selbst sind, sondern beispielsweise die Autokorrelationsfunktionen von u(t) bzw. itt). Wir sehen also, daB dasselbe System nicht nur verschiedene physikalische Realisierungen haben kann, sondern daB umgekehrt auch eine Realisierung je nach Problemstellung durch verschiedene Systeme beschrieben werden kann.

/ u(t)-Parameter:

f- i(t) a i(t) C(t), L

IU(t) .. C(t)-Parameter:

f- i(t) b L C(t) u(t), L

~U(t)- Parameter: - i(t) C

C(t)- L

Bild 1-2: Beschreibung einer physikalischen Realisierung durch verschiedene Systeme

Systemklassen

1m Rahmen dieses Buches verlangen wir, daB das System deterministisch ist, d.h.

daB einem Eingangssignal eindeutig ein Ausgangssignal zugeordnet ist; die Zuord­

nung braucht jedoch nicht ein-eindeutig zu sein. Wir werden also keine Systeme be­

handeln, deren Parameter sich in unvorhersehbarer Weise andern (z.B. die Schall­

ausbreitung bei zufalligen Dichte- und Stromungsanderungen des Mediums [1.12]).

6

Zur weiteren Systemklassifizierung eignen sich die Kriterien linear~ nichtlinear,

gedachtnislos ~ gedachtnisbehaftet und verschiebeinvariant ~ verschiebevariant:

Ein System ist linear, wenn jede Summe von Eingangssignalen die Summe der

entsprechenden Ausgangssignale bewirkt (lineares Superpositionsprinzip):

(1-2)

Nichtlinear sind aile die Systeme, bei denen dies nicht gilt.

Bei einem System ohne Gedachtnis1 hangt der Wert u2(xO) des Ausgangssi­

gnals an einer Stelle Xo lediglich vom Wert u1(xO) des Eingangssignals an der­

selben Stelle abo Dagegen wird bei einem gedachtnisbehafteten System u2(xO)

auch von u1(x~xO) und evtl. vom ganzen Eingangssignalverlauf beeinfluBt.

Verschiebeinvariante Systeme sind solche, bei denEln

gilt, also eine Verschiebung des Eingangssignals die entsprechende Verschie­

bung des Ausgangssignals bewirkt. Dies bedeutet, daB das System ein

Eingangssignal immer gleich behandelt, ungeachtet des Zeitpunkts (oder dEls

Orts usw.) seines Auftretens. JEl nachdem, ob es sich um Zeit- odElr OrtssystElmEl

handelt, sprElchEln wir auch von zeitinvarianten bzw. ortsinvarianten SystElmen.

Betrachten wir vorerst lineare Systeme, mit denen wir uns in diesem Buch ausschlieB­

lich bElfassen werden. In TabEllle 1-1 sind fOr den eindimensionalen Fall diEl mogli­

chen KombinationEln dElr genanntEln EigenschaftEln aufgEllistElt.

Tabelle 1-1: Einteilung linearer (eindimensionaler) Systeme

gEldachtnislos gedachtnisbElhaftet

u2(x) = a u1 (x) u2(x) = u1 (x) * s(x) = f ul (x') s(x - x') dx'

vElrschiebe- Faltung invariant

a: Konstante s(x): Punkt-(Impuls-)Antwort (nulk:limensional) ( eirx:fimensional)

u2(x) = m(x) u1 (x) u2(x) = f ul(x') h(x - x',x') dx'

vElrschiElbe- Modulation allgemeine lineare Operation variant

m(x): Modulationsfunktion h(x,x'): verschiebevariante Punkt-(Impuls-)Antwort ( eirx:Jimensional) (zwei:!imensionaQ

1 Wir benutzen hier den Begriff Gedachtnis ungeachtet der Natur von x, also z.B. auch fur Ortssysteme, obwohl die damit aSSQziierte Kausalitiitseigenschaft eigentlich nur fUr Zeitsysteme gilt.

7

Offensichtlich werden eindimensionale lineare Systeme durch Funktionen

charakterisiert, welche von keiner, einer oder auch zwei (allgemein: 0, n, oder 2n)

Variablen abhangen. Wir werden sehen, daB sich daher auch allgemeine lineare

n-dimensionale Operationen durch (2n)-dimensionale Faltungen ersetzen lassen.

Einige spezielle Klassen von nichtlinearen Operationen sind ebenfalls mit Hilfe

linearer Systemtheorie behandelbar. Am einfachsten sind nichtlineare aber gedacht­

nislose Systeme. Durch Angabe ihrer - bei Verschiebevarianz von x abhangigen -

Kennlinien sind sie bestimmt und fOr manche Anwendungen evtl. linearisierbar oder

wenigstens mit Hilfe von Taylor-Reihen beschreibbar. Einige gedachtnisbehaftete

nichtlineare Systeme sind aufspaltbar in lineare gedachtnisbehaftete und nichtlineare

gedachtnislose und damit jedes dieser Teilsysteme einer geeigneten Behandlung

zuganglich. Dabei kann diese Aufspaltung entweder in Form von Parallelsystemen

oder auch als Kaskadierung vorgenommen werden. Falls solch eine Aufspaltung

eines nichtlinearen gedachtnisbehafteten Systems nicht meglich ist, so kommt evtl.

dessen Behandlung durch eine Volterra-Reihe in Betracht [1.13-1.15]. Bei dieser

Methode wird die Nichtlinearitat im wesentlichen durch Potenzen und lineare

Integraloperationen ansteigender Dimensionalitat angenahert.

Kehren wir nun wieder zur Klasse der linearen Systeme zurOck und betrachten das

aus Bild 1-3, links 1. Es habe je zwei Ein- und Ausgange. Nach dem Superpositions­

prinzip aus (1-2) ist es meglich, statt u2 = (u2,1 ,U2,2)T aus u1 = (u1,1 ,U1,2)T direkt zu

ermitteln, die Wirkungen der beiden Eingangsignale u1,l und u1,2 getrennt zu unter­

suchen und dann zu addieren. Das bedeutet, daB wir das System 8{.} entsprechend

Bild 1-3, rechts, in die vier Teilsysteme

811,812,821 und 822

aufspalten kennen. Es ist also

u2,l(x) = 811 {ul,l(x)} + 812{u1,2(x)}

und (1-3)

Entsprechendes gilt auch fOr mehr als zwei Ein- und Ausgange. Dieser Zusammen­

hang erlaubt uns nun, die Teilsysteme einzeln zu untersuchen. Daher beschranken

wir uns im wesentlichen auf Systeme mit nur einem Ein- und Ausgang, also auf skala­

re Systeme, wollen aber nicht vergessen, daB diese Systeme evtl. Teilsysteme im

Sinne einer Aufspaltung nach (1-3) sind. In diesem Fall kennen wir, ohne Verwechs­

lungen befOrchten zu mOssen, das Ein- und Ausgangssignal z.B. mit ul(x) bzw. u2(x)

bezeichnen und die Indizes bei 8{.} weglassen, also

u2(x) = 8{u1(x)}

schreiben.

1 Lineare Systeme zeichnen wir als einfach berandete Rechtecke.

8

I

--~---------------~

Bild 1-3: Aufspaltung eines Iinearen multivariablen Systems in skalare Teilsysteme

Die bisher gemachten Einschrankungen verdeutlichen, daB die hier behandelte

lineare Systemtheorie zwar nur einen Teil aller meglichen 'Systemtheorien' darstelit;

dieser Teil ist jedoch der physikalisch bei weitem relevanteste. Die lineare System­

theorie leistet auch wertvolle Hilfe beim ersten Verstandnis 'nicht ganz so linearer'

Zusammenhange, bei denen erst ein ungleich greBerer mathematischer Aufwand

eine genauere - und leider oft auch unObersichtlichere - Theorie ermeglicht. AuBer­

dem haben wir bereits angesprochen, daB komplizierte Operationen (z.B. nichtlineare

und/oder verschiebevariante) haufig durch Obergang in einen hOherdimensionalen

Raum durch einfachere (z.B. Faltung) ersetzt oder zumindest angenahert werden

kennen.

Spektraltransformationen

Wie eingangs erwahnt, spielen Spektraltransformationen in der Systemtheorie eine

entscheidende Rolle. Die folgende Aufstellung zeigt, welche Motivationen dem zu­

grunde liegen und warum gerade die Fourier-Transformation so haufig Anwendung

findet:

Zur Beschreibung eines linearen Systems ist es bequem (und fOr dessen Inver­

tierung haufig unerlaBlich), die Signale in die Eigenfunktionen des Systems zu

entwickeln. Eine Eigenfunktion e(x;f) ist dadurch definiert, daB sie vom System

nur mit einem konstanten Faktor, dem Eigenwert A(f) beaufschlagt und anson­

sten unverandert Obertragen wird:

8{e(x;f)} = A(f) e(x;f) .

Der (kontinuierliche oder diskrete) Parameter f unterscheidet die verschiedenen

Eigenfunktionen voneinander; A(f) nennt man das Eigenwertspektrum. 1st der

Satz aller Eigenfunktionen vol/standig, so kann jedes Signal nach diesen

Funktionen entwickelt werden; es entsteht ein Spektrum, welches nur noch von f abhangt und angibt, wie 'stark' die jeweilige Eigenfunktion im Signal enthalten

ist. Die Wirkung des Systems auf ein Eingangssignal kann daher als Multiplika-

9

tion des Eingangsspektrums mit dem Eigenwertspektrum des Systems verstan­

den werden - ein sowohl konzeptioneller wie auch evtl. praktischer Vorteil. Das

Inversproblem wird dann durch Division mit diesem Eigenwertspektrum gel6st -

solange dieses nicht verschwindet oder zu kleine Werte annimmt.

FOr den Fall eines linearen verschiebeinvarianten Systems, das bekanntlich die

Faltungsoperation ausfOhrt, sind die Eigenfunktionen vom Typ ePx (mit p kom­

plex), also gerade die Basisfunktionen der Fourier- und Laplace-Transformation.

1st das System nichtlinear, so kann die Anwendung von Spektraltransforma­

tionen trotzdem sinnvoll sein, wenn dem System ein 'Emptanger' folgt, welcher

selbst linear ist. So werden beispielsweise auch nichtlineare Obertragungs­

systeme auf ihre Eignung zur Obertragung akustischer Information hin mit

harmonischen Signalen (d.h. den Basisfunktionen der Fourier-Transformation)

geprOft, weil das menschliche Ohr - in grober Naherung - ein Signal nach

solchen Funktionen analysiert und eine Veranderung des Spektrums - auch

wenn sie nicht multiplikativ ist - empfindlich registrieren kann [1.16].

Eine andere Motivation ergibt sich aus der haufigen Notwendigkeit, Signale zu

codieren, urn sie mit m6glichst wenig 'Aufwand' Obertragen zu k6nnen. Hier ist

es sinnvoll, eine Spektraltransformation anzuwenden, die Spektren liefert,

welche bei der zu codierenden Signalklasse in einem m6glichst groBen Bereich

(nahezu) verschwinden. Dann genOgt es namlich, relativ wenige Spektralwerte

zu Obertragen. Die Spektraltransformation wird hier also nicht nach den Eigen­

schaften eines Systems, sondern der Signalklasse, gewahlt. So ist z.B. die

Fourier-Transformation mit ihren amplitudenkontinuierlichen Basisfunktionen

zur Codierung von Binarsignalen keine glOckliche Wahl; hier bieten sich

Hadamard- und Walsh-Transformation an [1.17].

Zwei nicht zu· unterschatzende Vorteile der Fourier-Transformation sind ihre

einfache Implementierung (z.B. durch die Fast-Fourier-Algorithmen) sowie eine

weitverbreitete gute theoretische Durchdringung, urn nicht zu sagen 'Gew6h­

nung'. Daher wird diese Transformation evtl. auch dann eingesetzt, wenn sie

eigentlich nur suboptimal z.B. bezOglich einer gegebenen Signal- oder System­

klasse ist.

Eine v611ig andere Motivation fOr die Beschaftigung mit Fourier-Transformation

kommt aus der physikalischen Realitat: Schwingungsphanomene, und damit

(naherungsweise) harmonische Signale, sind allgegenwartig. Daher gibt es

viele Effekte, die als harmonische Analyse interpretiert werden k6nnen. Wir

werden in Abschnitt 5.3 sehen, daB das Fernfeld harmonischer Wellen tatsach­

lich ein physikalisches Analogon zur Fourier-Transformation darstellt; das

System wirkt also selbst als 'Fourier-Transformator'.

2 Eindimensionale lineare Zeitsysteme

FOr das Verstandnis dieses Buches werden Grundkenntnisse der eindimensionalen

linearen Systemtheorie mit ihren mathematischen Hiifsmitteln wie 15-Funktionen und

Fourier- und Laplace-Transformation vorausgesetzt. Wir konnen uns also kurz fassen,

wenn wir nun am Beispiel der Zeitsysteme die Aussagen der eindimensionalen line­

aren Systemtheorie diskutieren. Die entsprechenden Rechengesetze werden tabel­

larisch aufgefOhrt; detaillierte Erklarungen werden eingeschoben, falls der jeweilige

Punkt fOr die folgenden Kapitel von Bedeutung ist. Der speziell an Zeitsystemen inter­

essierte Leser sei auf die einschlagigen Standardwerke verwiesen [2.1-2.10].

In diesem Kapitel behandeln wir Zeitsignale, d.h. der allgemeine Variablenvektor x

wird nun durch die Variable t ersetzt. Ein- und Ausgangssignale bezeichnen wir mit

u1(t) bzw. u2(t). Wegen der Beschrankung auf lineare skalare Systeme laBt sich die

Zuordnungsvorschrift, also der Operator, der das System definiert, leicht explizit ange­

ben. Die allgemeinste lineare VerknOpfung eines Eingangssignals u1(t) mit einer das

System beschreibenden Funktion g(t,t') ist durch das lineare Superpositionsintegral

+00

u2(t) = S{ u1 (t)} = f u1 (I') g(t,1') dt' (2-1 ) -00

gegeben. Nach (2-1) berechnet sich ein Wert von u2(.) zu einem bestimmten Zeit­

punkt als das Integral Ober das mit g(.) bewertete Eingangssignal u1 (.). Dieser Inte­

grationskern g(.) kann fOr jeden Zeitpunkt (des Ausgangssignals) verschieden sein.

Wenn dies der Fall ist, beschreibt (2-1) eine zeitvariante Operation. Bevor wir uns so­

wohl zwei Spezialfallen wie auch dem allgemeinen Fall der linearen Systeme zuwen­

den, sei eine kurze EinfOhrung in Definition und Rechenregeln der 15-Funktionen ge­

geben. Von diesen Distributionen werden wir namlich ausgiebig Gebrauch machen.

2.1 o-Funktionen

Eine Distribution ist nicht durch ihre Form, sondern durch ihre Eigenschaft definiert1.

Bei der im folgenden haufig verwendeten Distribution, der 15-Funktion oder dem Dirac­

Impuls 15(t), ist diese Eigenschaft die lineare Zuordnung eines Zahlenwerts zu einer

1 Wegen einer ausfiihrlichen Diskussion dieser verallgemeinerten Funktionen s. [2.11).

beliebigen (aber bei t = 0 stetigen) Funktion u(t) gemaB

+00

J B(t) u(t) dt = u(O) . -00

Oa fOr u(t"# 0) beliebige Funktionsverlaufe zugelassen sind, muB gelten

B(t) = 0 fOr t"# 0 .

11

(2-2a)

(2-2b)

Oer B-Impuls B(t) ist also unendlich 'schmal', hat andererseits aber ein endliches

Impulsintegral. Oieses erhalten wir, indem wir in (2-2a) u(t) = 1 setzen:

+00

J B(t) dt = 1 . (2-2c) -00

Wir erkennen, daB B(t) keine Funktion im Oblichen Sinne ist, sie mOBte ja bei t = 0 den

Wert unendlich annehmen und sonst verschwinden.

Man kann sich den B-Impuls auch als Ergebnis des GrenzObergangs einer geeigne­

ten Funktionenfolge vorstellen. Verringern wir namlich bei einer geraden Funktion

vom Impulsintegral eins die Breite bei gleichzeitiger VergroBerung ihrer Hohe, sodaB

gerade ihr Integral erhalten bleibt, so strebt diese Funktionenfolge gegen den B-Im­

puis. In Bild 2-1 ist solch eine Foige dargestellt. Wir nennen sie eine Realisierung der

I5-Funktion und bezeichnen sie mit I5E(t):

{ 1/£

I5E(t) = 1/£ rect(t1£) = 1/62£)

Es gilt1

lim BE(t) = l5(t) . £-+0

Be (t) r-

1 1/£ .•....

~ ~~ I VII I

I I I I

fOr It I < El2 fOr It I = El2 fOr It I > El2 .

Bild 2-1: Die li-Funktion li(l) als Grenzwert der Realisierung &(1)

l5(t)

1

1 Andere - z.B. GauB-formige - Funklionen sind natOrtich auch rnOgliche Realisierungen.

(2-2d)

12

Der o-Impuls selbst ist natOrlich nicht realisierbar, er hat unendliche Energie. Wir

zeichnen ihn als Pfeil wie in Bild 2-1. Die H6he des Pfeils symbolisiert sein Impuls­

integral - und nicht den Funktionswert, der ja unendlich ist. Den o-Impuls verwendet

man immer dann, wenn ein solch kurzer Impuls vorliegt, daB das zu untersuchende

(trage) System lediglich auf dessen Impulsintegral und nicht mehr auf seine genaue

Form anspricht. Dann ist es erlaubt, statt mit dem eventuell komplizierten Impulsver­

lauf zu rechnen, die einfacheren Regeln fOr o-Impulse anzuwenden.

Rechenregeln fOr o-Funktionen

Der o-Impuls o{t) tritt bei t = 0 auf; er kann aber auch verschoben werden, z.B. zu t = to:

o{t - to). Definition und Rechenregeln fOr solche o-Funktionen beliebiger Lage sind in

Tabelle 2-1 aufgelistet.

Tabelle 2-1: Rechengeselze fOr I)·Funklionen

+00

Definition J o{t - to) u{t) dt = u(tO) mil u(l) sletig bei I = 10

-00

+00

Orthogonalitat J O(t - t1) O(t - t2) dt = 0(t1 - t2) -00

Ausblend-O(t - to) u(t) = O(t - to) u(tO)

Eigenschaft

Koordinaten-o(a(t)) = la'(to)l-l O(t - to) mil a(lo) = 0 (einfache Nullslelle)

Transformation

Ahnlichkeits-o(k t) = Ikl-1 o(t)

Transformation mil k reell

Faltung u{t) * O(t - to) = u(t - to)

Von besonderem Interesse fUr das Weitere ist die Transformation a(t) des Arguments

der o-Funktion. Das dazu in der Tabelle aufgefOhrte Gesetz kann an hand einer Reali­

sierung o£(a(t)) veranschaulicht werden (Bild 2-2). Diese habe den Wert 1/e, solange

la{t)1 < £12 ist. o£{a(t)) ist also breiter, wenn sich die Kurve von a(t) langer in diesem

engen Bereich um null'aufhalt'. Dabei ist es irrelevant, ob a(t) bei to steigt oder tallt.

Je flacher also a(t) bei to durch null geht, ein desto gr6Beres Integral weist o(a(t)) auf.

Hat a(t) mehrere isolierte einfache Nullstellen, so besteht o(a(t)) aus mehreren

13

8-lmpulsen, an jeder Nullstelle einem, jeweils bewertet mit dem Kehrwert des Betrags

der Ableitung an der Nullstelle. FOr a(t) = - t erhalt man speziell

8(- t) = 8(t) ,

d.h. 8(t) ist gerade.

8(a(t))

I- -I

'" E/la'(t 0)1

Bild 2-2: Veranschaulichung der Koordinatentransformation bei einer 5-Funktion

Differenzierte 8-Funktionen

8-lmpulse eignen sieh zur Erweiterung des Differentiationsbegriffs aueh auf Funktio­

nen mit Unstetigkeitsstellen. In Bild 2-3 ist soleh eine Funktion u(t) und deren Ablei­

tung u'(t) skizziert. An der Unstetigkeitsstelle t = tu trete ein Sprung der Hohe b auf. In

der Ableitung u'(t) wird dieser Sprung als 8-lmpuls des Integrals b berOeksiehtigt.

d/dt

Blld 2-3: Distributive Differentiation einer unstetigen Funktion

Man Oberzeuge sieh von der Plausibilitat dieser Art Differentiation, indem man

t f u'(t) dt

14

bilde. Dies9s Integral liefert fOr t < tu (bis auf eine Integrationskonstante) wieder u(t).

Sobald sich die obere Integrationsgrenz9 Ober tu hinweg bewegt, entsteht neben dem

stetigen Anteil von u(t) auch der konstante Wert b (wegen (2-2c)).

Wenn also unstetige Funktionen differenziert werden konnen, kann man dann auch

eine vernOnftige Definition eines differenzierten a-Impulses - also einer Unstetigkeit

'par excellence' - angeben? Dazu greifen wir auf die Definitionsgleichung aus Tabel­

Ie 2-1 zurOck, setzen statt a(t - to) dessen postulierte Ableitung a'(t - to) := da(t - to)/dt

ein und integrieren partiell:

+00 1+00 +00 _La'(t - to) u(t) dt = [a(t -to) u(t)] -00 - _La(t - to) u'(t) dt.

Der erste Term der rechten Seite verschwindet, da a(t=±oo) = 0 ist. Der zweite Term

laBt sich mit Hilfe von (2-2a) sofort angeben, und wir erhalten als Definition des

differenzierten a-Impulses

+00

J a'(t - to) u(t) dt = - u'(to) . (2-301 I -00

Genauso lassen sich hOhere Ableitungen definieren. Es gilt dann allgemein fOr einen

v-fach differenzierten &-Impuls an der Stelle t = to

+00 J a(vl(t - to) u(t) dt = (- 1)V u(vl(to) , (2-3b)

-00

wobei natOrlich die ersten v Ableitungen von u(t) bei t = to stetig sein mOssen.

Durch Differentiation einer Realisierung aE(t) erhalten wir eine solche des differenzier­

ten &-Impulses. Mit der speziellen Realisierung aus Bild 2-1 ergibt sich z.B. (Bild 2-4)

a'E(t) = 1/£ a(t+ el2) - 1/£ a(t - el2) .

Aus der Skizze in Bild 2-4 erklart sich auch das Symbol, das wir fOr a'(t) verwenden.

1/£

£ -1/£

Bild 2-4: Realisierung des diiferenzierten &-Impulses /i'(I)

I a'(t)

1

15

Nach (2-3a,b) berOcksichtigen auch differenzierte o-Impulse die Eigenschaften einer

mit ihnen multiplizierten Funktion u(t) nur an einer Stelle t = to. Sie weisen also

ebenfalls Ausblendeigenschaften auf. FOr den einfach differenzierten o-Impuls gilt

beispielsweise

(2-4)

wovon man sich leicht durch Berechnen von [u(t) o(t - to)]' = u(to) o'(t - to) mit Hille der

Produktregel der Differentiation Gberzeugen kann.

Ein weiteres wichtiges Gesetz betrifft die Transformation a(t) des Arguments einer

differenzierten o-Funktion: Mit

und o'(a(t)) = d o(a(t))/da = a'(to) -1 d o(a(t))/dt

erhalten wir

o'(a(t)) = [la'(to)1 a'(to)] -1 o'(t - to) , (2-5a)

bzw. bei v-fach differenzierten o-Impulsen

(2-5b)

Ein Sonderfall davon ist die Ahnlichkeitstransformation:

(2-6)

Speziell gilt 0'(- t) = - o'(t), d.h. o'(t) ist ungerade (vgl. Bild 2-4).

Ubertragung von o-Funktionen Gber lineare Systeme

o-Impulse haben eine groBe Bedeutung als 'Testsignale' zur Beschreibung Ii nearer

Systeme. Wenden wir das Superpositionsintegral (2-1) z.B. auf ul(t) = o(t - to) an, so

erhalten wir als Ausgangssignal

+00

u2(t) = 8{0(t - to)} = J 0(1' - to) g(t,l') dt' = g(t,to) . (2-7)

Wir nennen g(t,l') daher die zeitvariante Impulsantwort des Systems. Dabei bezeich­

net t' den Auftrittszeitpunkl des Eingangsimpulses (hier: t' = (0). wah rend I die Variable

des Ausgangssignals ist. In Bild 2-5, links, sind drei 8-lmpulse zu den Zeilen t" 12 und

13 mit den Impulsinlegralen a1, a2 und a3 skizziert, sowie ein mogliches Ausgangs­

signal angegeben.

16

Bei realisierbaren Zeitsystemen muB g(t,t') natUrlich die Kausalitatsbedingung

g(t,t') == 0 fOr t < t'

erfOllen, da die Wirkung u2(t) nicht vor der Ursache (o-Impuls) auftreten kann.

t1 ~

h'llhh a1s(t-t 1) a2s(t-t2) a3s(t-t3)

Bild 2-5: Antworten eines zeitvarianten (links) und eines zeitinvarianten (rechts) Systems auf &-Im­pulse verschiedener Auftrittszeiten

2.2 Zeitinvariante Systeme

Bei zeitinvarianten Systemen andert sich die Impulsantwort mit dem Auftrittszeitpunkt

eines Eingangsimpulses nicht, d.h. es gibt eine Funktion s(t), die zeitinvariante

fmpulsantwort (im folgenden kurz fmpulsantwort genannt), mit

s(t - t') = g(t,t') . (2-8)

Dann geht das Superpositionsintegral (2-1) in das Faltungsintegra/Ober:

+00

u2(t) = f u1 (t') s(t - t') dt' (2-9a)

oder in symbolischer Schreibweise:

U2(t) = u 1 (t) * s(t) . (2-9b)

Die Faltungsoperation ist kommutativ, also

U2(t) = u1 (t) * s(t) = s(t) * u 1 (t) . (2-10)

Speziell fOr einen 8-lmpuls o(t - to) als Eingangssignal erhalten wir

17

+00

U2(t) = 8(t - to) * s(t) = f 8(t' - to) s(t - t') dt' = s(t - to) , (2-11 ) -00

d.h. ungeaehtet des Zeitpunktes to' an dem der Impuls auftritt, erseheint am Ausgang

wie gefordert dieselbe Antwort, natOrlieh urn to versehoben (Bild 2-5, reehts). Bei

realisierbaren Zeitsystemen muB aueh hier die Kausalitatsbedingung erfOlit sein:

s(t) == 0 fOr t < 0 .

Veranschaulichung der Faltung

1m folgenden werden wir vom Faltungsintegral ausgiebig Gebraueh maehen. Daher

ist Ober die eindeutige Reehenvorsehrift (2-9a) hinaus eine Veransehauliehung

dieses Integrals angebraeht. Zwei Wege bieten sieh dazu an:

Die erste Erklarung der Faltung geht von (2-11) aus, also davon, daB jeder Eingangs­

impuls die entspreehend versehobene Impulsantwort erzeugt. Wir denken uns nun

naeh Bild 2-6 ein beliebiges Signal u1 (t) in differentiefle Impulse zerlegt. In Bild 2-6 ist

soleh ein Impuls markiert. Er befinde sieh bei t = t' und habe die Breite dt = dt'. Die

Impulshohe ist dureh den Signalwert von u1(.) bei t = t' gegeben, daher ist sein Im­

pulsintegral u1 (t') dt'. Mit (2-11) bewirkt dieser Impuls am Ausgang folgenden differen­

tiellen Beitrag L:U u2(t):

dU2(t) = u1(t') s(t - t') dt' .

Das Integral darOber, die lineare Oberlagerung aller dieser Beitrage, liefert das

Faltungsergebnis naeh (2-9a).

, dt=dt -+T-~ u 1 (I) sIt - t') dt' = du2(t)

~ -t'

Bild 2-6: Die Faltung als Oberlagerung differentieller Impulsantworten

Eine zweite Erklarung geht direkt vom Faltungsintegral (2-9a) aus. Danaeh sind

folgende Sehritte auszufOhren, urn das Ausgangssignal zu einem festen Zeitpunkt t zu

bereehnen (Bild 2-7):

18

a) Eingangssignal u1 (.) und Impulsantwort s(.) sind Ober t' aufzutragen:

u1 (t) ~ u1 (t') und s(t) ~ s(t') b) Die Impulsantwort ist an der Ordinate zu spiegeln: s(t') ~ s(- t')

und um t zu verschieben: s(- t') ~ s(- (t' - t)) = s(t - t').

c) u1 (t') und s(t - t') sind zu multiplizieren.

d) Das Integral Ober dieses Produkt liefert den Wert u2(t).

Um u2(t) fOr aile Zeitpunkte zu ermitteln, wird die gespiegelte Impulsantwort

kontinuierlich Ober u1 (.) 'hinweggeschoben' und dabei laufend das Produkt integriert.

Wegen der Kommutativitat der Faltung kann natOrlich auch umgekehrt u1 (.)

gespiegelt und Ober s(.) geschoben werden.

S(t)~

c t'

d

Bild 2-7: Die Impulsantwort als 8ewertungsfunktion des Eingangssignals

Wahrend die erste Erklarung zeigt, welche Wirkung ein Eingangssignalwert auf das

Ausgangssignal hat, beschreibt die zweite Version, wie die Impulsantwort bestimmt, welche Anteile des Eingangssignals zu einem Wert des Ausgangssignals beitragen1.

1 Vgl. dazu auch den 8egriff rezeptives Feld aus der Neurophysiologie.

19

Faltung mit &-Funktlonen

Die Faltung des &-Impulses B(t - to) mit einer Impulsantwort s(t) haben wir in (2-11)

angegeben. Umgekehrt kann auch die Impulsantwort die Form eines B-Impulses

haben. Allgemein erhalten wir als Faltung eines Signals u(t) mit einer B-Funktion

u(t) * B(t - to) = u(t - to) • (2-12) I also das Eingangssignal selbst. lediglich um to verschoben. Eine Zeitverschiebung

kann also als lineares zeitinvariantes System angesehen werden. Speziell fOr to = 0

erhalten wir die Identitat

u(t) * B(t) = u(t) .

Mit Hilte von (2-3a) konnen wir auch sofort das Ergebnis einer Faltung mit dem

differenzierten &-Impuls B'(t) angeben:

+00

u(t) * B'(t - to) = J u(t - t') a'(t' - to) dt' = - :' u(t - 1')1, = u'(t - to) ~ t t~

(2-13a)

oder fOr v-tache Ableitungen der B-Funktion

u(t) * B(v)(t - to) = u(v)(t - to) • (2-13b)

d.h. auch die Differentiation stellt ein lineares zeitinvariantes System dar.

2.3 Fourier-Transformation

Mit Angabe des Faltungsintegrals ist das Ubertragungsproblem, also die Ermittlung

von u2(t) aus u1(t) und s(t), gelost. Zur Losung des Inversproblems oder zur System­

identifikation mOBte jedoch dieses Integral invertiertwerden. Wenn also z.B.

gegeben ist, wie sieht dann die sog. Ruckfaltungs-Impulsantwort sinv(t) aus, mit deren

Hilte u1(t) rekonstruiert werden kann, d.h.

u1 (t) = u2(t) * sinv(t) ?

Zur Klarung dieser Frage, aber auch zur eventuellen Vereintachung der Berechnung

von Faltungen, dient z.B. die Fourier-Transformation. Sie entwickelt das Signal in

Eigenfunktionen des zeitinvarianten Systems. Eigentunktionen eines Systems

20

werden von diesem lediglich mit einer Konstanten, dem Eigenwert, multipliziert und

ansonsten unverandert Obertragen - eine Operation, die einfach invertiert werden

kann. Deshalb erleichtert (wie schon in Kapitel 1 angesprochen) eine Entwicklung

nach Eigenfunktionen wesentlich die Behandlung linearer Systeme. Die Schwierig­

keit liegt jedoch darin, diese Eigenfunktionen fOr die spezielle Systemklasse zu

fin den. Bei zeitinvarianten Systemen aber sind sie bekannt, na.mlich Exponential­

funktionen vom Typ ept, wobei p komplex ist. Davon kann man sich leicht Oberzeu­

gen, indem man u1(t) = ept in das Faltungsintegral (2-9a) einsetzt:

+~ +~

ePt * s(t) = J eP(t - t') s(t') dt' = ept J s(t') e- pt' dt' . (2-14) -~ -00

Das Integral auf der rechten Seite ist eine Konstante bezOglich t und stellt den

Eigenwert fOr jedes beliebige p dar.

Bei der Fourier-Transformation benutzt man nur rein imaginare p, und zwar

p = i21tf ,

wobei wir f als (reelle) Frequenz bezeichnen. Die verwendeten Eigenfunktionen sind

also die komplexen harmonischen Schwingungen ei21tft. Diese in (2-14) statt ept

eingesetzt, ergeben nach Substitution von t' durch t im rechten Integral

+00

ej21tft * s(t) = ei21tft J s(t) e-j21tft dt = ej21tft S(f) . (2-15) -00

Dabei ist S(f) der Eigenwert fOr jede Frequenz f. Da dieser angibt, wie harmonische

Schwingungen vom System Obertragen werden, nennen wir S(f) Ubertragungsfaktor,

Ubertragungsfunktion oder auch Systemfunktion. I. allg. ist S(f) komplex, die Expo­

nentialschwingung kann also durch das System nicht nur in ihrer Amplitude, sondern

auch in ihrer Phasenlage verandert werden. Mit

S(f) = IS(f)1 ej<Ps(f)

gilt somit

ei27tft * s(t) = S(f) ej27tft = IS(f)1 ej[21tft+<ps(f)) .

Wir sehen daraus, daB z.B. eine cos-Schwingung i. allg. keine Eigenfunktion der

Faltungsoperation ist. Hier konnte eine eventuelle Phasenverschiebung nicht durch

einen Faktor (auch nicht durch einen komplexen) beschrieben werden.

Die Integraltransformation (2-15), die S(f) aus der Impulsantwort s(t) berechnet, ist die

Fourier-Transformation. Ihre Transformationsgleichungen fOr ein allgemeines Signal

u(t) lauten fOr die Hin- bzw. ROcktransformation

21

+00

U(f) = f u(t) e-j21tft cit (2-16a) -00

und

+00

u(t) = f U(f) ej27tft df , (2-16b)

symbolisch auch

u(t) 0-. U(f) (2-16c)

oder

U(f) = t{U(t)} bzw. U(t) = t-1{U(f)} .

Wir bezeichnen U(f) als die Fourier-Transformierte, oder kurz das Spektrum, von u(t).

Speziell ist dann nach (2-15) die Ubertragungsfunktion das Spektrum der /mpu/s­

antwort des Systems:

s(t) 0-. S(f) . (2-17)

FOr ein Signal und dessen Spektrum verwenden wir jeweils dasse/be Symbol, und

zwar fOr das Signal als Klein- und das Spektrum als GroBbuchstabe.

Anmerkung Falls die Integrale (2-16a.b) nicht konvergieren. kann der konvergenzerzwingende Faktor e- oltl bzw. e- olfl (mit 0> 0) benutzt werden [2.5):

+00 • U(Q = lim f u(t) e- oltl e-j27dt dt

0'----.0 -00

+00

u(t) = lim f U(Q e- olfl ej2ltft df . 0-+0 -co

Es ist dann auch moglich. stationare und sogar mit beliebigen Potenzen von t bzw. f ansteigende (jedoch exponentiell begrenzte) Signale oder Spektren zu transformieren. Wir wollen hier die Diskussion Ober Konvergenz und Geltungsbereich der Fourier-Transformation nicht vertiefen; ein wichtiger Punkt jedoch soli angesprochen werden: Die Fourier-Transformation konvergiert nur im Sinne des mittleren quadra­tischen Fehlers. d.h. zwei Signale ua(t) und ub(t) haben dasselbe Spektrum. wenn ihre Differenzenergie verschwindet:

oj<>O

f IUa(t) - Ub(t)12 dt = 0

An beliebig (abzahlbar) vielen isolierten Stellen dOrien sich also ua(t) und ub(t) um jeweils einen endlichen Wert unterscheiden. Dieser Unterschied liefert keine Differenzenergie und ist deshalb meist physikalisch auch irrelevant. Daher betrachten wir ua(t) und ub(t) als dieselben Signale. In diesem Sinne wird im folgenden auch das Gleichheitszeichen zwischen Signalen (bzw. Spektren) verwendet.

FOr die Losung des Obertragungsproblems bietet sich nun neben der Faltung der

Weg Ober die Fourier-Transformierte an. Dazu denken wir uns das Eingangssignal

22

U1 (t) durch sein Spektrum U1 (f) reprasentiert. Dann kennen wir u1 (t) als

+00 u1 (t) = f U1 (f) ei21tft df

schreiben. Zur Faltung von u1(t) mit s(t) benutzen wir (2-15) und erhalten nach (2-15)

+00 +00 ~

u2(t) = u1 (t) * s(t) = [f U1 (f) ei21tft df] * s(t) = f U1 (f) [ei21tft * s(t)] df =

+00 = f U1(f) S(f) ei21tft df = 1'-1{U1(f) S(f)} .

-00

Damit ist das Ausgangsspektrum gleich dem mit der Obertragungsfunktion bewer­

teten Eingangsspektrum, und es gilt zusammenfassend

U2(t) = u 1 (t) * s(t) (2-18)

Gerade dies erwarten wir auch, wie anfangs angesprochen, von einer Entwicklung in

Eigenfunktionen. Eine Faltung kann somit durch eine Fourier-Transformation, eine

Multiplikation und eine ROcktransformation ersetzt werden.

Da bei diesem Berechnungsweg die einzelnen Frequenzanteile voneinander unab­

Mngig manipuliert werden und evtl. spezielle Frequenzbereiche stark bevorzugt oder

abgedamft werden kennen, bezeichnet man lineare zeitinvariante Systeme auch als

Filter. Diese teilt man bei Bedarf grob in z.B. Tiefpa8filter (wenn S(f~oo) = 0) und

Hochpa8fi1ter (S(f=O) = 0) ein.

Gesetze und Korrespondenzen der Fourier-Transformation

Wichtige Rechenregeln der Fourier-Transformation sind in Tabelle 2-2 zusammen­

gefaBt.

In Tabelle 2-3 finden sich einige grundlegende Fourier-Korrespondenzen. Dabei sind

auch die Definitionen der im folgenden haufig benutzten Funktionen, wie 'rect(.), si(.),

y(.)' usw., angegeben. Mit Hilfe der Rechenregeln aus Tabelle 2-2 lassen sich daraus

weitere Korrespondenzen berechnen. Haufig werden wir vom Verschiebungs-,

Ahnlichkeits- und Differentiationssatz Gebrauch machen. Ein umfangreiches Tabel­

lenwerk der Fourier-Transformation ist z.B. [2.12].

23

Tabelle 2-2: Gesetze der eindimensionalen Fourier-Transformation

Gesetz u(t) 0-- U(f)

Ahnlichkeitssatz u(kt) m~ k reel Ikl-1 U(f/k)

U(t) u(- f) Vertauschungssatz

U*(t) u*(f)

Satz der konjugiert-u*(t) U*(- f)

komplexen Funktionen

u(t - to) U (f) e-j27ttof Verschiebungssatz

u(t) ej21tfot U(f - fo)

d u(t)/dt j21tf U(f) Differentiationssatz

- j21tt u(t) d U(f)/df

I f u(t) dt [1 /(j21tf)+ 1/2 o(f)] U(f)

Integrationssatz -00 f [-1/ (j21tt)+ 1/2 o(t)] u(t) fU(cp)dcp

-00

Faltungssat7 ul (t) * u2(t) U1 (f) U2(f)

ul (t) u2(t) U1 (f) * U2(f)

Korrelationssatz u1 (t) ® u2(t) U1 (f) U* 2(f)

(u 1 (I) ® U2(1) := u1 (I) * u· 2(-1)) Ul (t) u* 2(t) U1 (f) ® U2(f)

+00

Momentensatz f tV u(t) dt = (- j21t) - v &U(f)/dtvl f = 0

-00 +00 (j21t) - v &U(t)/dtvil = 0 = f tv U(f) df

-00 +00 +00

Parsevalsche Gleichung f ul (t) u*2(t) dt = f U1 (f) U* 2(f) df

-00 -00

(Gleichheit der Energie in Zeit- +00 +00 und Frequenzbereich) f lu(t)12 dt = f IU(f)12 df

-00 -00

Zuordnungssatz Re{ug(t)} 0--- Re{Ug(f)}

(Index: Re{uu(t)} 0--- j Im{Uu(f)}

9 : gerader Anleil j Im{ug(t)} 0--- j Im{Ug(f)} u: ungerader Anteil) j Im{uu(t)} 0--- Re{Uu(f)}

24

Tabelle 2·3: Einige wichlige Fourier-Korrespondenzen

Zeitbereich u(t) 0-- U(I) Spektralbereich

Einheitsimpuls

Einheitssprung

8(t)

{o liirl<O

-y(t):= 11/2 fiir 1= 0 liir 1>0

Vorzeichenfunktion

{-1

sign(t):= ~ liir 1<0 liir 1=0 liir I> 0

Rechteckfunktion

{ 1 liir III < T/2

rect(tiT):= 10/2 liir III = T/2 liir III> T/2

Dreieckfunktion

tri(tiT) := {1 -oltITl fiir III ~T liir ~I > T

a-Puis

8essel-Funktion

GauB-Funktion

Chirp-Funktion

e-j27tfot

cos(27tfot)

sin(27tfot)

sin(21tfoltl)

e- 2naltl

+00

p(t) := L 8(1 - k) k=-

"7tt2 el

Itl-1/2

-y(t) t -1/2

Konstante

(j21t1) -1 + 8(1)/2

einfacher Pol

(j1tI) -1

si-(sinc-)Funktion

T si(1tTI) = T sinc(TI) := sin(1tTI)/(1tI)

8(1 - 10)

[0(1+10) + 8(1 - 10)]/2

j [8(1+10) - 8(1 - 10)]/2

fal1t (102 - 12) -1

al1t (a2+12)-1

+00

p(l) := L 8(1 - i) i=-oo

a-Puis

1/1t (a2 - 12) -1/2 rect{I/(2a))

-1t12 e

-->..-f2 --JJ e -J'"

111-1/2

1/2 [1-jsign(I)] 111-1/2

GauB-Funktion

Chirp-Funktion

25

2.4 Laplace-Transformation

Wie eingangs angesprochen, sind nicht nur stationare komplexe harmonische

Schwingungen Eigenfunktionen zeitinvarianter Systeme, sondern auch exponentiel!

an- und abklingende, also solche yom Typ ept mit einer beliebigen komplexen

Frequenzvariablen p:

ept = eat ej21tft .

Das entsprechende Transformationsintegral heiBt dann:

+00

Ub(p) = J u(t) e- pt dt (2-19) -00

und hat graBe Ahnlichkeit mit dem Fourier-Integral (einschlieBlich konvergenzerzwin­

gendem Faktor) aus der Anmerkung auf Seite 21, nur daB hier der GrenzObergang

O~ 0 nicht vollzogen wird. Daher erwarten wir, daB auch (einfach) exponentiell an­

steigende Signale transformiert werden k6nnen, z. B.

u(t) = eat mit a "# 0 .

Dies in (2-19) eingesetzt, ergibt

Das Integral konvergiert fUr die obere Integrationsgrenze t = +00, wenn a - 0 < 0, also

0> a is!. lur Konvergenz an der unteren Integrationsgrenze t = - 00 jedoch muB 0 < a

gelten, d.h. fUr keinen Wert von 0 konvergiert das Integral. WOrde u(t) im negativen

leitbereich mit einem Exponenten a_ und im positiven leitbereich mit a+ ansteigen,

so ergabe sich ein Konvergenzbereich von

fUr den Fall, daB

ist. Gibt man sich mit dieser Einschrankung nicht zufrieden, kann das Transforma­

tionsintegral in zwei Teile mit unterschiedlichem Konvergenzbereich aufgespalten

und die beiden so entstandenen Transformierten getrennt behandelt werden. Dies

fUhrt zur sog. allgemeinen Spektraltransformation [2.5).

Ein anderer Ausweg aus den geschilderten Konvergenzschwierigkeiten ist die

Beschrankung auf kausale Signale, also solche, fUr die

u(t) == 0 fUr t < 0

26

gilt. Alie physikalisch sinnvolien Impulsantworten und Zeitsignale sind von dieser Art.

Dann geht (2-19) Ober in

+00

U(p) = J u(t) e- pt dt . o

(2-20a)

Dies ist die (einseitige) Laplace-Transformation; (2-19) bezeichnet man dagegen als

zweiseitige Laplace-Transformation.

Beispiel I FOr

u(l) = ;'(1) eal

erhallen wir

U(p)= reale-pldt = __ e(a-p)1 = __ , +00 1 1+00 1

b a-p 0 p-a

wobei dieses Ergebnis nur fOr

Re{p} =(j> a

gilt. Speziell mil a = 0 finden wir die Laplace-Transformierte des Einheitssprungs zu

;'(1) 0-· 1/p fOr Re{p} > 0 . (i)

(Wir verwenden hier dassel be Symbol wie bei der Fourier-Transformation, solange Verwechslungen ausgeschlossen sind.)

Setzen wir in (i) aus obigem Beispiel fOr p = j27tf ein, um zur Fourier-Transformierten

des Einheitssprungs zu gelangen, so erhalten wir falschlicherweise das Spektrum

1/(j27tf) ,

in welchem der O-Impuls fehlt. Wir haben namlich nicht berOcksichtigt, daB

p = j2n:f , also (j = 0 ,

nicht mehr zum Konvergenzgebiet des Transformationsintegrals gehOrt. Dement­

sprechend muB auch der Integrationsweg der ROcktransformation im Konvergenz­

gebiet liegen und damit rechts an alien Polen vorbei verlaufen:

°wjoo

u(t) = +- J U(p) ept dp , J n: 0R-joo

also in unserem Beispiel mit

(2-20b)

Die Laplace-Transformation vermeidet offensichtlich lHmpulse, indem obige Bedin-

27

gung an den Integrationsweg gestellt wird, wahrend dieser bei der Fourier-Transfor­

mation festliegt, namlich die f-Achse, d.h. die Imaginarachse in der p-Ebene (Bild 2-8).

Es ist also bei der Umwandlung von Laplace-Spektren in Fourier-Spektren immer

dann Vorsicht geboten, wenn Pole auf der Imaginarachse der p-Ebene vorhanden sind. Es gilt zwar beispielsweise

1\. f P = J21t ,

aber

1/p ~ 1/021tf) + 1/2 B(f) .

./ Fourier " Laplace

Im{p} = 2m

Pol

\

(2-21 a)

Konvergenz Gebiet

" ---"*~-N'rr- Re{p} =<J

p-Ebene

Integrationswege: Fourier Laplace

Bild 2-8: Unterschied von Fourier- und Laplace-Spektrum am Beispiel des Einheitssprungs

Eine haufig auftretende Pol-Konfiguration sind zwei symmetrisch auf der Imaginar­

achse liegende Pole, z.B. bei p = ±j27do. Hier tritt ebenfalls in der Fourier-Transfor­

mierten an jeder Poistelle zusatzlich ein B-Impuls auf:

1\ (2-21 b)

Wegen einer ausfUhrlichen Diskussion Ober die Konversion von Fourier-, Laplace­

und 'allgemeinen' Spektren siehe z.B. [2.5]. Da in diesem Buch die Laplace-Transformation eine untergeordnete Rolle spielt,

wollen wir es beim bisher Gesagten belassen und lediglich in Tabelle 2-4 einige

Korrespondenzen auffUhren. Tabellen und Gesetze der Laplace-Transformation

finden sich z.B. in [2.7, 2.13].

28

Tabelle 2-4: Einige wichtige Laplace-Korrespondenzen kausaler Signale

Zeitfunktion U(t) O-e U(p) Laplace-Spektrum

y(t) 1/p

(000:= 2ltfo) y(t) cos( Olot) p/(p2+0l02)

y(t) sin(Olot) 0001 (p2+000 2)

y(t) eiOlot 1/(p - jOlO)

(a reell) y(t) eat 1/(p - a)

2_5 Modulatoren

Neben den linearen zeitinvarianten Systemen stellen Modulatoren, also lineare zeit­

variante Systeme ohne Gedachtnis, eine wichtige Klasse elementarer Systeme dar.

Ein Modulator multipliziert ein Eingangssignal mit einer Modulationsfunktion m(t):

(2-22a)

Mit dem Faltungssatz laBt sich diese Operation auch im Spektralbereich beschreiben:

+00

U2(1) = U 1 (I) * M(I) = J U 1 (I') M(I - f) dl' . (2-22b)

Wahrend also ein lineares zeitinvariantes System im Zeitbereich eine Faltung

ausfOhrt, die einer Multiplikation im Frequenzbereich entspricht, ist dies beim

Modulator gerade umgekehrt; man konnte ihn daher auch als frequenzinvariantes

System bezeichnen. In Bild 2-9 ist dies zusammenlassend skizziert, wobei auch das

spezielle Symbol fOr den Modulator verwendet wird.

Anmerkung Man beachte, daB der Modulator nur dann linear ist, wenn m(t) als SystemgroBe (wie auch die Impuls­antwort bei einem zeitinvarianten System) betrachtet wird und nicht als zweites Eingangssignalfungiert.

? s(t)

• S(I)

u2(t) = u 1 (t) * s(t)

U2 (I) = U1 (I) S(I)

m(t) o---e M(I)

Bild 2-9: Zeitinvariantes System und Modulator (frequenzinvariantes System)

29

2.6 Zeitvariante Systeme

Wegen ihrer groBen technischen Bedeutung und ihrer einfachen mathematischen

Behandelbarkeit haben wir uns bisher - auBer mit Modulatoren - nur mit zeitinvarian­

ten Systemen beschaftigt. Diese werden durch das Faltungsintegral

+00

u2(t) = S{ ul (t)} = f ul (t') s(t - t') dt' -00

beschrieben. Dabei ist s(t) die Antwort des Systems auf einen 8-lmpuls, also allgemein

s(t - t') = S{8(t - t')} .

Die Impulsantwort hat fUr jeden Auftrittszeitpunkt t' dieselbe Form. Bei zeitvarianten

Systemen ist dies nicht mehr gegeben, d.h. die nun zeitvariante Impu/santwort hangt

zusatzlich zu (t - t') noch von t' selbst abo Wir nennen diese Impulsantwort h(t,t'):

h(t - t',t') := S{8{t - t')} . (2-23)

Damit wird das Faltungsintegral zum allgemeinen linearen Superpositionsintegral

+00

u2{t) = S{ul{t)} = f ul{t') h{t - t',t') dt' . (2-24a) -00

Neben dieser Definition der zeitvarianten Impulsantwort wird oft auch die Funktion

g{t,t') := h{t - t',t') = S{8{t - t')} (2-24b)

als solche bezeichnet. Die Systemgleichung (2-24a) ist dann das Superpositions­

integral in der Form von (2-1):

+00

u2{t) = S{ul{t)} = f u1{t') g(t,t') dt' . (2-24c)

Die Definitionen (2-24a) und (2-24c) sind gleichwertig; erstere mag dem 'faltungs­

verwehnten' Leser vertrauter erscheinen. Deshalb wollen wir im folgenden unter der

zeitvarianten Impu/santwort meist h(t,t') verstehen. Diese ist offensichtlich zweidimen­

sional; daher werden wir einige Eigenschaften solcher Systeme erst diskutieren ken­

nen, nachdem wir mehrdimensionale Signale und deren Transformationen behandelt

haben. Zur Beschreibung und speziell zur Invertierung eines zeitvarianten linearen Systems

ist die Kenntnis von dessen Eigenfunktionen von groBem Wert. FOr Sonderfalle (wie

die Faltung) lassen sich diese Eigenfunktionen auch angeben. In der folgenden Auf-

30

stellung speziel/er zeitvarianter Systeme wird deshalb auch in einigen Fallen das

Inversproblem angesprochen.

Beispiele spezieller linearer Systeme

AuBer allgemeinen linearen Operationen sind in (2-24a,c) auch folgende Sonderfalle

enthalten:

Faltung (zeitinvariant):

u2(t) = u1 (t) * s(t) ~ h(t,t') = s(t) .

Damit geht (2-24a) in das Faltungsintegral Ober. Die Eigenfunktionen fOr diesen

Fall sind die Exponentialschwingungen z.B. der Fourier-Transformation. Eine

Invertierung des Eigenwertspektrums ist dann eine Fourier-Inversfilterung, die

Division durch die Obertragungsfunktion.

Multiplikation (Modulator):

u2(t) = u1 (t) m(t) ~ h(t,t') = 5(t) m(t') .

Hier sind die Eigenfunktionen die Impulse 5(.) und das Eigenwertspektrum

gleich m(.). Eine Invertierung kann somit durch Multiplikation mit 1/m(.) erfolgen.

Koordinatentransformation:

U2(t) = u1(a(t» ~ h(t,t') = 5(a(t+t') -t'), a(.) monoton

oder: g(t,n = 5( a(t) - t') .

Die Impulsantwort g(.) ist also eine &-Linie entlang t = a(t). Wir werden solche

5-Linien in Abschnitt 3.1 behandeln. Nach den dort herzuleitenden Rechenre­

geln ergibt g(t,t') in (2-240) eingesetzt tatsachlich

+00

u2(t) = J u1(t') 5(a(t) - t') dt' = u1(a(t» . -00

Eine Invertierung der Koordinatentransformation laBt sich durch die Umkehr­

funktion a -1(.) sofort angeben, falls a(.) streng monoton ist.

Fourier-Transformation:

+00 u2(t) = J u1 (t') e-j2lttt' dt' = U1 (t) ~ h(t,t') = e-j2x(t+t')t'

bzw.: g(t,t') = e-j2lttt' .

Andere lineare Spektraltransformationen lassen sich in ahnlicher Weise be­

schreiben.

31

AuBer diesen Sonderfallen gibt es noch spezielle Eigenschaften von h(.) oder g(.), die

die Berechnung von zeitvarianten Operationen erleichtern konnen, z.B. eine eventu­

elle Separierbarkeitvon h(.) in t und t' der Form

h(t,t') = s(t) m(t') .

Dann wird (2-24a) zu

+00

u2(t) = J u1 (t') m(t') s(t - t') dt' = [u1 (t) m(t)] * s(t).

Diese zeitvariante Operation kann also durch eine Multiplikation mit nachfolgender

Faltung ausgefOhrt werden.

Auf eine weitere Eigenschaft der Impulsantwort h(.), eine eventuelle Bandbegrenzt­

heit, werden wir in Abschnitt 4.2 eingehen.

2.7 Analytische Signale

Dem Zuordnungssatz aus Tabelle 2-2 entnehmen wir, daB das Spektrum Ureell(f)

eines reel/en Signals ureell(t) (und nur solche sind physikalisch sinnvoll) einen

geraden Real- und einen ungeraden ImaginMeil hat:

(Ureell(f) ist natOrlich i. allg. nicht reel!.) Es gilt also

Ureell(- f) = U· reell(f) , (2-25)

womit eigentlich die Angabe einer Halfte des Spektrums genOgt. Daher benutzt man

z.B. in der Hochfrequenztechnik und der Optik haufig statt ureell(t) das (komplexe) sog.

analytische Signal ua(t), dessen Spektrum nur bei positiven Frequenzen existiert und

dort bis auf den Faktor zwei mit Ureell(f) Obereinstimmt:

Mit

2 y(f) = 1 + sign(f) ,

also Ua(f) = Ureell(f) + Ureell(f) sign(f) ,

und der Korrespondenz (Tabelle 2-3 und Vertauschungssatz)

sign(f) -0 V(7tt)

(2-26a)

32

konnen wir das analytische Signal angeben:

ua(t) := ureeU(t) + j ureeU(t) * (ltt) -1. (2-26b)

Die Faltung eines Signals mit (nt) -1 bezeichnet man als Hilbert-Transformation. Wir

verwenden dafOr das Symbol

UUb{u(t)} := u(t) * (nt) -1 . (2-27)

Danach kann man das analytische Signal dadurch konstruieren, indem man dem ur­

sprOnglichen reellen Signal dessen Hilbert-Transformierte als Imaginarteil hinzufOgt:

(2-26c)

Das reelle Signal kann aus ua(t) durch Realteilbildung zurOckgewonnen werden:

(2-26d)

Beispiel Die wohl bekannteste Anwendung fOr das analytische Signal ist der Ersatz einer z.B. cos-Schwingung durch eine komp/exe Exponentialschwingung. Mit

ureeU(t) .. cos(21tfot)

gi~ ja nach (2-26a)

0---

Ua(l) = 2,),(t) Ureen(!) = S(I - lol

unddamit

ua(t) = ei21tfot = cos(21tfol) + j sin(21tfot) .

Die Hilbert-Translormierte der cos-Funktion ist demnach die sin-Funktion:

Ki!&{cos(21tfOI)} = sin(21tfot) .

Beispiel II Wird eine cos-Schwingung mit einem niederfrequenten (reellen) Signal a(t) inoduliert, also

u reen(t) • a(t) cos(2Jtf 01) •

so gilt mit

cos(21tfol) .. (ej21tfol + e-j21tfot)/2

und dem Verschiebungssatz (Bild 2-10):

Ureen(!) .. [A(I+lo) + A(I - 10)1/2 . (Q

lsi (wie in Bild 2-10) die Ausdehnung von A(I) k/einerals 210, so Oberlappen sich die beiden Terme aus (i) nicht, uncl Ua(!) kann solort angegeben werden:

(iQ

33

also:

(iii)

1st andererseits A(f) im Vergleich zu fa sehr breitbandig, so mOssen die dann auftretenden Oberlap­pungen in (i) berOcksichtigt werden, und das analytische Signal ist nicht mehr so einfach anzugeben. I. allg. tritt dabei eine komplexe HOllkurve stall a(t) in (iii) auf. Trotzdem gilt auch dann

Ureell (f)

A(f+fo)/2

"

Bild 2-10: Spektrum des analytischen Signals einer niederfrequent modulierten cos-Funktion

2.8 ReguJare Abtastung

Bisher haben wir Funktionen der kontinuierlichen Zeitvariablen behandelt. In vielen

Fallen der Signalerfassung oder -verarbeitung ist jedoch eine zeitlich diskrete Signal­

darstellung notwendig. Dies kann z.B. dadurch geschehen, daB aus dem Signal ein­

zelne Werte ausgeblendet werden. Diesen Vorgang bezeichnet man als Abtastung.

Inwieweit diese abzahlbar - evtl. aber unendlich - vielen Signalwerte den ursprOngli­

chen kontinuierlichen Signalverlauf korrekt beschreiben, werden wir nun diskutieren.

Dabei behandeln wir die Zeitvariable weiterhin als kontinuierlich und beschreiben

den Abtastvorgang als Multiplikation des Signals mit einer Foige von o-Impulsen. In

Bild 2-11 ist dies skizziert. Wir nehmen an, daB die o-Impulse aile dasselbe Impuls­

integral haben, ihre zeitlichen Abstande jedoch beliebig sein kennen. Es handelt sich

also um eine nichtregulare Abtastung.

T ,~/llli-, .. ·t ttl ttL

Bild 2-11: Nichlregulare Ablaslung eines Signals

34

Wenn das abgetastete Signal eine gOltige Reprasentation des konti,nuierlichen

Signals sein soli, so muB dieses wieder aus den Abtastwerten rekonstruiert werden

konnen. Es gilt nun zu klaren, unter welchen Umstanden diese Rekonstruktion

moglich ist, und wie dann die geeignete Interpolationsvorschrift aussieht. Leider ist

diese Frage in voller Allgemeinheit nicht beantwortbar.

FOr den technisch haufigsten Fall der regularen Abtastung jedoch existiert eine sehr

einfache Losung. Dazu beschreiben wir nach Bild 2-12, oben, die Abtastung des

Signals u(t) durch Multiplikation mit dem regularen B-Puls (s. Tabelle 2-3)

+00

p(t/ ~t) := ~t L B(t - ~t) . k=-

Das abgetastete Signal ist dann

Ud(t) := u(t) p(t/~t) = ~t L u(~t) B(t - ~t) . k

r

(2-28)

Bild 2-12, oben: Regulare Abtastung eines Signals, unten: Auswirkung auf dessen Spektrum

Oas Spektrum des abgetasteten Signals

Nach dem Faltungssatz bedeutet die Abtastung (2-28), daB das Signalspektrum mit

der Fourier-Transformierten des B-Pulses p(t/~t) gefaltet wird:

Ud(f) = U(f) * :F{p(t/ ~t)} . (2-29a)

Diese Fourier-Transformierte ist nach Tabelle 2-3 ebenfalls ein B-Puls, und wir

erhalten nach Anwendung des Ahnlichkeitssatzes

p(t/~t) 0--- ~t p{f~t) = L B{f - i/~t) (2-29b) i

und damit Ud(f) zu (Bild 2-12, unten):

Ud(f) = U(f) * At p(fAt) = U(f) * L B(f - i/At) . i

Nachdem die Faltung mit einem B-Impuls eine Verschiebung bewirkt, also

U(f) * B(f - it At) = U(f - it At) ,

bedeutet die Faltung mit dem B-Puls

Ud(f) = L U(f - itAt) . i

35

(2-29c)

(2-29d)

Dieses wichtige Ergebnis besagt, daB die regulare Abtastung eines Signals einer

periodischen Wiederholung dessen Spektrums entspricht. 1st dabei der Abtastab­

stand At, so ist der Wiederholabstand im Spektrum 1t At.

Die Interpolation

Kann nun u(t) aus ud(t) rekonstruiert werden? FOr ein beliebiges Signal wird dies

sicher nicht moglich sein, da der Signalverlauf zwischen den Abtastwerten unwieder­

bringlich verlorengegangen ist. Falls aber u(t) bestimmte bekannte Eigenschaften hat,

so ist die Menge aller moglichen Signale evtl. so stark eingeschrankt, daB eine ein­

deutige Rekonstruktion gelingt. Die hier interessierende Eigenschaft ist die Bandbe­

grenztheit von u(t), d.h. daB dessen Spektrum U(f) eine maximale Ausdehnung 8 hat.

B nennen wir die (mathematische) Bandbreite. Sie ist (bei symmetrischer Lage von

U(f)) doppelt so groB wie die hochste vorkommende Frequenz:

U(f);: 0 fOr If I > 8/2 .

Aus Bild 2-12, unten, ist nun sofort ersichtlich, daB sich die Wiederholspektren in Ud(f)

nicht Oberlappen, falls

d.h. At < 1/B (2-30) I

ist. Dann kann U(f) aus Ud(f) mit Hilfe eines Filters der Obertragungsfunktion rect(fAt)

'herausgefischt' werden:

U(f) = Ud(f) rect(fAt) . (2-31 a)

Mit der Korrespondenz

rect(fAt) -0 1/At Si(7rtlAt)

36

erhalten wir aus (2-31 a) auch die Interpolationsvorschrift im Zeitbereich fOr u(t):

u(t) = ud(t) * [1/6t si(7ttl6t)] . (2-31 b)

Die Bedingung (2-30) zusammen mit (2-31a,b) ist das Abtasttheorem. In Bild 2-13 ist

die Anwendung der Interpolationsformel (2-31 b) auf ud(t) skizziert. Diese Faltung

bedeutet danach, daB an jedem Abtastzeitpunkt die si-Funktion, bewertet mit dem je­

wei ligen Abtastwert, wiederholt wird und sich aile diese si-Anteile zu u(t) Oberlagern.

Bild 2-13: Rekonstruktion des abgetasteten Signals durch Faltung mit si-Funktion

1st die Bedingung (2-30) des Abtasttheorems nicht erfOllt, so ergeben sich Uberlap­

pungen in Ud(f) und U(f) ist nicht mehr (durch eine Filterung) wiederzugewinnen.

Wenden wir trotzdem (2-31 a) an, so schneiden wir vom Originalspektrum aile Teile

mit If I > 1/(26t) abo Schlimmer ist jedoch, daB Auslaufer von den Nachbarspektren das

Originalspektrum storen. Diesen Effekt nennt man Aliasing, also 'unter anderem

Namen erscheinend', da Frequenzanteile an anderen Stellen auftreten, als sie im

Originalspektrum lagen. Um Alias-Fehler zu vermeiden, ist es also wichtig, vor der

Abtastung sicherzustellen, daB u{t) ausreichend bandbegrenzt ist1. 1st andererseits

die Abtastbedingung (2-30) soweit erfOllt, daB sogar ausgedehnte spektrale 'LOcken'

zwischen den Wiederholspektren bleiben, so hat man bei der Wahl des Rekonstruk­

tionsfilters die Freiheit, von dem in (2-31 a) angegebenen - ohnehin nicht exakt

realisierbaren - rect-Verlauf abzuweichen. Es muB lediglich sichergestellt sein, daB

das Originalspektrum dieses Filter unverzerrt passieren kann, und daB die Wiederhol­

spektren weggefiltert werden.

Anmerkung Ein technisch realisierter Abtaster wird natOrlich keinen ~Puls verwenden, urn die Abtastwerte aus dem Signal zu gewinnen. Vielmehr wird er wegen seiner Tragheit einen Abtastwert als zeitliches Mittel von u(t) Ober ein, wenn auch evtl. sehr kurzes, aber endliches, Interval! bilden. So wird z.B. stat! u(k~t)

kIl.t+E12

~(~t) := 1/£ f u(t') d!' - u(~t) kIl.t-E12

(Q

gebildet (Bild 2-14, links). Wir erkennen dieses Integral unschwer als Faltung mit einer rect-Funktion, wobei jedoch vom Faltungsergebnis lediglich die Zeiten t = ~t betrachtet werden:

1 Vgl. dazu auch den falschlicherweise J. Caesar zugeschriebenen Ausspruch 'alias iacta est' [2.14].

37

u(~I) = [u(l) * 1/e rect(t/e)lt. kAt. (ii)

Wir konnen also den EinfluB der Mittelung (i) dadurch beschreiben, daB wir einem idea/en Ablasler ein Filter der Impulsantwort sl(l) = 1/e rect(l/e) vorschalten (Bild 2-14, rechlS). Je nach Realisierung weisl jedoch SI(') nichl unbedingl die beschriebene rect-Form auf, der Ablasler kann ja auch ein gewichtetes Zeitmitle bilden. Die Gewichtsfunktion zur Berechnung von u(~I) iSI dann allgemein sl (~I - n (vgl. Bild 2-7). Falls moglich, sollte Sl(') so gewlihlt werden, daB die notwendige Bandbegrenzung des Eingangs­signals weitgehend gewlihreislel isl, im Idealfall also sl(l) = L\t si(ltI/L\t), was natOrtich wegen der unend­lichen Ausdehnung der si-Funktion, und evtl. auch wegen der darin auftretenden negativen Werte (vor allem bei Bildabtastem) nicht exakt zu realisieren is!.

U{t)1 i1!1 /iTI.-'"IkM) : , ~t

: k L\t

u{t) £\t L u{l<£\t) 5{t - I<£\t)

p{t/£\t)

Bild 2-14. links: Bildung eines zeitlich gemittelten Abtastwertes, rechts: Modellierung eines rea/en Abtasters durch ein (TiefpaB-)Filter und einen idea/en Abtaster

Abtastung von Spektren

Wegen der Symmetrie der Fourier-Transformation konnen wir auch ein Abtast­

theorem fOr Spektren formulieren. Die Abtastung eines Spektrums U{f) an den Stellen

f = I<£\f korrespondiert dann mit der periodischen Wiederholung des Signals u{t) im

Abstand 1/£\f:

(2-32a)

up{t) = ~ u{t - V£\f) . I

(2-32b)

FOr die fehlerfreie Interpolation des Spektrums (z.B. durch Faltung mit einer si-Funk­

tion) muB nun gefordert werden, daB die Fourier-Transformierte von U{f) - also das

Signal u{t) selbst - in seiner Ausdehnung begrenzt ist, z.B.

u{t) == 0 fOr It I > D/2 .

Die Bedingung an den spektralen Abtastabstand lautet dann

£\f < 1/D. (2-33)

38

Zelt-Bandbreite-Produkt von Signalen und Spektren

Wir haben gesehen, daB Signale oder Spektren verlustfrei abgetastet werden ken­

nen, falls die jeweilige Abtastbedingung ertullt ist. Ein bandbegrenztes Signal dart

man also z.B. aile 6t abtasten, um es in den Speicher eines Digitalrechners einzule­

sen. Leider ist aber ein Signal von endlicher Frequenz-Bandbreite B < 1/6t immer

unendlich lang und damit auch die abzuspeichernde Zahlenfolge. Dies kann man

leicht dadurch verstehen, indem man das auf If I < B/2 begrenzte Spektrum nochmals

mit rect(f/B) multipliziert. Dadurch wird das Spektrum ja nicht beeinfluBt. Das Signal

kann offensichtlich mit B si(ltBt) gefaltet werden, ohne daB es sich andert. Da ein Fal­

tungsergebnis immer so lange ist, wie die Summe der Ausdehnungen der Faltungs­

partner, muB das solchermaBen gefaltete Signal unendlich lang sein. Dasselbe gilt

umgekehrt fOr das Spektrum eines auf das Zeitintervall It I < D/2 begrenzten Signals.

Eine endlich lange Zahlenfolge wird also nie ein kontinuierliches Signal exakt be­

schreiben kennen. Andererseits kennen meist durch ein genugend groBes Zeit- und

Frequenzintervall, innerhalb dessen das Signal oder das Spektrum betrachtet wird,

Alias-Fehler beliebig klein gehalten werden. In diesen Fallen kann man eine Zeit­

dauer D und eine Bandbreite B angeben, auBerhalb derer das Signal bzw. sein

Spektrum nahezu verschwindet:

u(ltl>D/2) = 0 und U(lfl>B/2) = 0 .

Wird solch ein Signal nun im Abstand

6t = 1/B

abgetastet, so fallen wah rend seiner Dauer D

(2-34)

Abtastwerte an 1 (D und B seien so gewahlt, daB N eine natUrliche Zahl ist). Diese

GreBe nennt man das Zeit-Bandbreite-Produkt oder auch die Anzahl der Freiheits­grade des Signals. Sie ist (zusammen mit der Amplitudenauflesung, und dam it dem

Signal-Rausch-Verhaltnis) das MaB fOr den Informationsgehalt.

Das Spektrum ist durch ebenso viele Werte darstellbar, da es aile

6f = 1/D

abgetastet werden dart und die Ausdehnung B hat.

1 Der Index bei Nl steht ffir 'E/indimensional'.

3 Mehrdimensionale Signale und Systeme

Die Methoden der linearen Systemtheorie sind natOrlich nicht nur auf (eindimensio­

nale) Zeitsignale und -systeme anwendbar; vielmehr bietet sich die Erweiterung z.B.

der Fourier-Transformation und der Faltungsoperation auf mehrdimensionale Signale

an [3.1-3.6]. Diese Erweiterung ware kein eigenes Kapitel wert, ergaben sich dabei

nicht neuartige GesetzmaBigkeiten. So hat z.B. die Drehung eines mehrdimensiona­

len Signals im Eindimensionalen keine Entsprechung. Auch die Vielfalt m6glicher

o-Funktionen im Mehrdimensionalen verdient gesonderte Betrachtung.

Wie schon in Kapitel 1 angesprochen, muB es sich bei den interessierenden mehrdi­

mensionalen Funktionen nicht notwendigerweise urn physikalische Signale handeln;

sie k6nnen auch HilfsgroBen sein, wie die Autokorrelationsfunktion nichtstationarer

stochastischer Prozesse [3.7, 3.8], die zeitvariante Impulsantwort h(t,t') aus Abschnitt

2.6 oder kombinierte Zeit-Frequenzdarstellungen von Zeitsignalen (z.B. die Ambi­

guity-Funktion [3.9] oder die Wigner-Distributions-Funktion [3.10J). Auch wenn man

also nur an Zeitsignalen interessiert ist, kann man haufig auf eine h6herdimen­

sionale Beschreibung nicht verzichten.

In den Abschnitten 3.1 mit 3.3 abstrahieren wir meist von der physikalischen Natur der

Variablen. Wir bezeichnen sie einfach mit xl 'X2' ... 'Xn und fassen sie im Vektor

x = (xl ,x2, ... ,xn)T E Rn

zusammen. Hangt ein Signal nicht von allen n Variablen ab, z.B.

so ist es in den restlichen Dimensionen als konstant (unendlich weit 'ausgeschmiert')

zu betrachten. Andererseits sieht man es dem Ausdruck 'v(xl)' nicht an, in welchem

Koordinatensystem dieses Signal dargestellt sein soil. In Fallen, in denen dadurch

Verwirrung entstehen k6nnte, benutzen wir die Schreibweise

Der Einfachheit halber nehmen wir an, daB x ein Ortsvektor sei und verwenden statt

'Zeitbereich' oder 'Zeit-Ortsbereich' den Ausdruck 'Ortsbereich'. Die Impulsantwort

wird dann zur 'Punktantwort' usw. In den spateren Abschnitten werden wir uns wieder

physikalisch indizierter Begriffe bedienen, z.B. 'Punkt-Impulsantwort' im Zusammen­

hang mit Systemen in x, y, z und t.

Anmerkung Die bildhafte Darstellung einer mehrdimensionalen Funktion bereitet naturgemM Schwierigkeiten. Wir werden uns daher in den Skizzen auf zwei und drei Dimensionen beschriinken. Bei ersteren haben wir die Wahl zwischen einer pseudo-perspektivischen Darstellung der Signalwerte fiber der xl,x2-Ebene (Bild 3-1a) und der einfachen direkten 'Aufsichl' auf diese Ebene, wobei die Funktionswerte geeignet

40

(z.B. durch Grauwert oder Hohenlinien) angedeutet werden (Bild 3-lb). Dreidimensionale Signale kon­nen nur noch auf lelztere Weise - allerdings in einem dreidimensionalen Koordinatensyslem - skizziert werden (Bild 3-lc) - es sei denn, man begnugt sich mit einem zwe.i:limensionalen Schnitt. Es ist also im folgenden jeweils die Bezeichnung der Koordinatenachsen zu beachten, um speziell Darstellungen wie die aus Bild 3-1 a unci Bild 3-1 c nicht zu verwechseln.

u2(X l'X2) X2

ax' X2

Xl

Xl Xl

a b c Bild 3-1: Mogliche Darslellungsweisen einer zwei- und einer dreidimensionalen Funktion

3.1 o-Funktionen im Mehrdimensionalen

In den folgenden Abschnitten und Kapiteln stellen o-Funktionen im Mehrdimensiona­

len ein wichtiges Hilfsmittel dar. Wir werden deshalb vorab deren Eigenschaften und

Rechengesetze ausfOhrlich behandeln (s. auch [3.1, 3.5, 3.6, 3.11 D. In Abschnitt 2.1 wurde der eindimensionale o-Impuls durch die Eigenschaft

+00

f o(t - to) u{t) dt = u{to) (3-1 )

definiert. Daraus folgte

+00

f o{t) dt = 1 (3-2a) -00

und o{t) = 0 fOr t"" O. (3-2b)

Solch eine o-Funktion ist also durch Angabe ihres Auftrittszeitpunktes und ihres

Impulsintegrals bestimmt. Dies gilt auch, wenn das Argument des o-Impulses eine

beliebige Funktion a{t) - mit nur einfachen Nullstellen - ist. Hat z.B. a{t) eine Null­

stelle bei t = to' also

(3-3a)

so ist nach Tabella 2-1

41

(3-3b)

und damit ist o(a(t)) ebenfalls allein durch Auftrittszeitpunkt (Ort) to und Impulsintegral

la'(to)I-1 beschrieben. 1m Eindimensionalen sind diese KenngroBen nur zwei Zahlen.

1m Mehrdimensionalen jedoch kann der Ort ein Punkt, eine Linie, eine Flache usw.

sein, und der Integralwert kann zusatzlich vom Ort und der Integrationsrichtung

abhangen. Die fOr solche o-Funktionen geltenden Gesetze werden wir im folgenden

anhand des zwei- oder dreidimensionalen Falls diskutieren. Zur Veranschaulichung

werden wir uns dabei meist einer Realisierung vom Typ (s. Bilder 2-1 und 2-2)

1 a(t) { 1/e fUr aile ! m~ la{!)! < d2 o£(a(t)) = - rect(-} = 1/{2e) fUr aile ! ~ la{!)1 = d2

£ £ 0 fUr aile ! m~ la{!)! > d2 (3-4)

bedienen.

Ein- und mehrdimenslonale o-Funktlonen

Ersetzen wir das Argument des S-Impulses o(a(t)) durch eine skalare reellwertige

Funktion des Ortsvektors x, erhalten wir

o(a(x)) .

Wir nennen diese Distribution - ungeachtet der Dimensionalitat n von x - eine

eindimensionale S-Funktion, da sie lediglich ein Argument a(.) hat. Nach (3-3a,b)

existiert o(a(.)) dort, wo a(.) = 0 ist (Es sind nur solche Funktionen a(.) als Argument

von 0(.) zugelassen, die sich an ihren Nullstellen in Potenzreihen mit nichtverschwin­

denden linearen Gliedern entwickeln lassen.):

o(a(x)) = 0 fOr aile x mit a(x) * 0 . (3-5) I 1m Eindimensionalen stellt also o(a(x)) einen Punkt, im Zweidimensionalen eine Linie

und im Dreidimensionalen eine Flache dar. Die Realisierung solch einer Distribution

ist analog zu (3-4)

o£(a(x)) = 1/£ rect(a(x)/£) (3-6a)

und es gilt wieder

lim 0e(a(x)) = o(a(x)) . £ .... 0

(3-6b)

Beispiel I Es sei a{x) - Xl - Xl ,0 ' d.h. wir be!rach!en die l5-Funk!ion

l5{x l -xl ,O) .

42

1m Eiroimensionalen stell! diese offensichtlich einen fJ-Punktbei xl = xl ,O dar, da nach (3-1) gilt +00 f fJ(xl - xl ,O) u(xl ) dXl = u(xl ,rY '

also

und

1m Zwek:limensionalen ist fJ(x l - xl ,O) - besser: fJ(xl - xl ,O) 1 (x2) - eine zur x2-Achse parallele fJ-Gerade, +00 f fJ(xl - xl ,O) u(xl ,x2) dXl = u(xl ,O'x2) ,

und im Drek:limensionalen eine fJ-Ebene, parallel zur xl ,x2-Ebene: +00 f fJ(x l - xl ,O) u(xl ,x2,x3) dXl = u(xl ,O'x2,x3) .

FOr Xl 0 = 0 sind Realisierungen fJt (x1) dieser drei Faile in Bild 3-2, oben, skizziert: ein Rechteckimpuls, ein gerades 'Band' und eine ebene 'Platte', jeweils von endlicher Dicke E. Das Impulsintegral bzw. das Linienintegral senkrecht zur Geraden oder zur Ebene ist gleich eins. Das Integral Ober die gesamte Gerade oder Ebene ist dann natOrlich unendlich. 1st a(x) eine allgemeine Linearform von xl ,x2 und evtl. x3, so beschreibt fJ(a(x)) eine beliebig orientierte Gerade bzw. Ebene.

Beispiel II Nun sei a(x) = r - ro und damit die zu diskutierende fJ-Funktion

m~ r:=lxl.

FOr n = 1 hat a(.) zwei einfache Nullstellen bei Xl = ±ro' d.h. (Bild 3-3, links)

fOr n = 1 .

1m Zweidimensionalen weist a(.) eine kreisformige Nullinie und im Dreidimensionalen eine kugelformige Nullflache, jeweils vom Radius ro auf. fJ(r - ro) ist also fOr n = 2 ein fJ-Kreis und fOr n = 3 eine fJ-Kugel (Bild 3-3). Das Linienintegral in radialer Richtung ist dabei immer gleich eins:

+00 f fJ(r-ro)dr= 1. o

Punkte im Zweidimensionalen oder Linien im Dreidimensionalen lassen sich offen­

sichtlich nicht mehr als eindimensionale o-Funktion angeben, sondern stellen jeweils

einen Schnitt (Multiplikation) zweier o-Linien bzw. o-Flachen o(a1 (x)) und o(a2(x)) dar.

Wir wahlen fiir solch eine zweidimensionale &-Funktion die Schreibweise

(3-7a)

bzw. allgemein fUr eine k-dimensionale &-Funktion

(3-7b)

mit a(.) e Rk. o{a(x)) existiert an den Orten. an denen a1(x) = O. a2(x) = 0 ..... ak(x) = O.

also la(x)1 = 0 ist:

o{a(x)) = 0 fUr aile x mit la(x) I¢.O . (3-8)

43

n = 1 n=2 n=3

~

J:' ~~ 1/e: r.

Oe(x 1) ! ~

x1 >

~ 'J '

-.le:~ h e: ~ .~

~ 1/e:2

Oe(x1'~) ie: 1/e:2

--- ~ t -+l ~

~e:le:v /"-.

1/e:3 ~

O£(x1·~,x3) --- - --

Bild 3-2: Beispiele eln- und mehrdimensionaler S-Funktionen (Realislerungen)

-If---+----+-- x1

Bild 3-3: Die eindimensionale S-Funktion SIr - ro)' dargestellt im Ein-, Zwei- und Dreidimensionalen

44

Eine Realisierung einer zweidimensionalen o-Funktion ist z.B.

o£(a1 (x),a2(x)) := 1/E2 rect(a1 (X)/E) rect(a2(x)/E)

und einer k-dimensionalen o-Funktion 1

o£(a(x)) := 1/Ek rect(a1 (X)/E) •...• rect(~(X)/E)

(3-9a)

(3-9b)

In Tabelle 3-1 ist zusammengefaBt, welche Unterraume ein- und mehrdimensionale

o-Funktionen belegen. Offensichtlich beschreibt eine k-dimensionale 8-Funktion im

n-dimensionalen Raum ein (n -k)-dimensionales geometrisches Gebilde.

In den nachsten Abschnitten werden wir uns genauer mit o-Punkten, o-Linien und

o-Flachen sowie den jeweiligen SonderfaHen der o-Geraden und 8-Ebenen befassen.

Nachdem wir hier vorerst nur den Ort solcher Distributionen betrachtet haben, wird

uns dabei vor aHem deren zweite KenngroBe, der Integra/wert, interessieren.

Tabelle 3·1: Geometrische Orte, die von k-dimensionalen S-Funktionen im n-dimensionalen Raum belegt werden; Sonderfalle in Klammern

n=1 n=2 n=3

k= 1: o(a(x)) Punkte Linien (Geraden) Flachen (Ebenen)

k=2: o( a1 (x) ,a2(x)) --- Punkte Linien (Geraden)

k=3: o( a1 (x),a2(x) ,a3(x)) --- --- Punkte

Beispiel III Die zweidimensionale lI-Funktion (Sild 3-2, mine)

S(Xl - x l ,O,x2 - x2,O) = S(x l - x l ,O) S(x2 - x2,O)

stell! im Zweklimensionalen einen lI-Punktvom Flachenintegral einsbei (x l ,x2) = (x l ,O'x2,o) dar: +00

If S(xl - xl ,0) S(x2 - x2,ol dx l dX2 = 1 -00

und

Sild 3-4 veranschaulicht anhand einer Realisierung, wie dieser Punkt als Schnitt der beiden Geraden S(x l - xl 0) und S(x2 - x2 0) entsteht. 1m Dreidimensionalen ist S(x l - xl o,x2 - x2 0) - genauer: S(xl -xl ;',x2 - x2 0) 1 (X3)':' eine lI-Gerade (Sild 3-2, mittel· " Ein dreiaimensionaler lI-Punkt yom Volumenintegral eins ist dagegen (Sild 3-2, unten)

1 Anhand der solchermaBen definierten Realisierung erkennt man auch, daB nicht jede beliebige Funktion a(x) ein sinnvolles Argument einer lI-Funktion ist. So exisliert beispielsweise Se(lxll+lx21) zwar nur in der Umgebung des Koordinatenursprungs, approximiert also scheinbar einen S-Punkt, dessen Fltlchenintegral (hier ist k = 2 ) verschwindet jedoch fOr £ -+ o.

45

X2 -te.-

! X .. ··· e 2,0

l X1

X1,O

Bild 3-4: Ein zweidimensionaler S-Punkt als Produkt zweier S-Geraden (jeweils Realisierungen)

Beispiel IV In Beispiel II hatten wir S(r - ro) als &-Kreis (fUr n = 2) bzw. als S-Kugel (fUr n = 3) erkannt. Ein &-Kreis dage­gen im Dre.oimensionalen ist eine zwe.oimensionale Distribution. So kann z.B. ein S-Kreis, der gerade in der x"x2-Ebene liegt und in x3 keine Ausdehnung hat, als Produkt einer S-Kugel und der &-Ebene S(x3) verstanden werden:

mit r:=lxl.

o-Punkte

Das Pendant zum zeitliehen o-Impuls ist der o-Punkt. Naeh Tabelle 3-1 hat er die

DimensionaliUit

k= n.

Ein n-dimensionaler o-Punkt ist haufig in der Form

o(x - xO) = o(x1 - x1,O) o(x2 - x2,O) ... o(xn - xn,O) (3-10)

gegeben (vgl. Bild 3-4). Soleh ein o-Punkt existiert bei x = Xo und hat einen Integral­

wert von eins:

+00

r··J o(x - xO) dnx = 1 (3-11a) -00

und

fOr x ¢ XO. (3-11 b)

46

Integration von o-Funktlonen

Das Impulsintegral des o-Impulses ist nach (3-3b)

+00

f o(a(t)) dt = la'(to)l-l .

Auch ein n-dimensionaler o-Punkt hat nach dem oben Gesagten einen eindeutigen

Integralwert. In diesen beiden Fa.llen ist namlich k = n, und es wird somit immet Ober

den gesamten Raum integriert. 1st dagegen k < n, so erstreckt sich die Integration nur

Ober einen k-dimensionalen Unterraum. Damit sind viele verschiedene 'Integrations­

wege' moglich, die dann zu unterschiedlichen Integralwerten fOhren. Zur Veranschau­

lichung dieser Aussage betrachten wir die Realisierung 0e(xl - xl.0) einer o-Gera­

den im Zweidimensionalen nach Bild 3-5 und integrieren entlang der beiden einge­

zeichneten Integrationswege. Der erste Weg liefert offensichtlich

Dabei ist das Wegelement dSl in diesem Fall gleich dxl . Integriert man jedoch

entlang 12, also im Winkel <p zur Geradennormalen. so ist die Weglange durch 0e(xl )

gleich Ellcos<pl, und somit

f o(xl ) dS2 = Icos<pl-l . (3-12) 12

Der geringste Integralwert ergibt sich offenbar bei einer zur o-Geraden senkrechten

Integrationsrichtung. Dies gilt fOr aile eindimensionalen o-Funktionen, also o-Linien im

Zweidimensionalen und o-Flachen im Dreidimensionalen. Wir nennen diesen Wert

(der in unserem Beispiel gleich eins ist) den Querschnitt. Er ist neben dem Ort die

zweite KenngroBe fOr o-Funktionen. Der Querschnitt einer o-Linie im Dreidimensiona­

len, also einer zweidimensionalen o-Funktion. sei dann das Flachenintegral senk­

recht zur o-Linie. Weist eine o-Funktion Oberall den Querschnitt von eins auf. nennen

wir sie o-Einheitsfunktion. Die bisher diskutierten Beispiele waren von dieser Art.

Bild 3-5: Realisierung einer ~Geraden unci zwei mOgliche Integrationswege

Eindimensionale &-Geraden und 8-Ebenen

Eine Gerade in der Ebene oder eine Ebene im Raum ist haufig durch die Linearform

xog - p = 0

gegeben. Ausgeschrieben lautet diese

x1g1 + x2g2 (+ x3g3) - p = 0 .

(3-13a)

(3-13b)

47

Dabei ist 9 der Normalenvektorder Geraden (Ebene). In seiner normierten Form be­

steht er aus den Kosinussen der Winkel a., ~ (und evtl. t'}). die er mit der x1-' x2- (. x3-)

Achse einschlieBt (Bild 3-6):

gig = (COSo.. cos~ (. cost'}))T

mit g:= Igl·

Der Abstand der Geraden (Ebene) zum Ursprung ist Ipl/g.

~Sg •• ..... ~ dx

". 2 '.

a. ..... dX 1

Bild 3-6. links: Gerade in allgemeiner Lage, rechts: Wegelement dSg zur Ouerschnittsberechnung

Nachdem eine 8-Funktion nur an dem Ort existiert. fOr den ihr Argument verschwindet.

kann nach (3-13a) eine eindimensionale &-Gerade bzw. 8-Ebene als

8(xog-p) (3-14) I geschrieben werden. Welchen Querschnitt hat nun solch eine 8-Gerade (8-Ebene)?

Zu dessen Ermittlung integrieren wir 8(xog - p) langs der durch 9 vorgegebenen

Richtung. Die Verschiebung p hat natlirlich keinen EinfluB auf den Querschnitt:

f 8(xog - p) dSg = f 8(xog) dSg .

Ig Ig

Das Wegelement dSg ist nach Bild 3-6. rechts. gleich

dSg = dX1 coso. + dX2 cos~ (+ dX3 cost'}) = dgox/g .

(3-15)

(3-16)

48

Mit diesem Ergebnis wird (3-15) zu

f B(xog) dSg = f B(xog) dgoxlg = 1/g . Ig Ig

Der Querschnitt einer nach (3-14) definierten B-Geraden bzw. B-Ebene ist also

f B(xog - p) dSg = 1/g . Ig

1st 9 ein Einheitsvektor,

9 = Igl = 1 ,

(3-17)

so ist (3-13a) die Hessesche Norma/form der Geraden (Ebene). Eine B-Gerade

(B-Ebene), welche dureh eine Hessesche Normalform definiert ist, hat also unge­

aehtet ihrer Orientierung den Querschnitt von eins und ist somit eine B-Einheits­

gerade bzw. B-Einheitsebene.

Eindimensionale B-Llnien und B-Flachen

1st das Argument einer B-Funktion keine Linearform, sondern eine beliebige Funktion

a(x), so stellt B(a(x)) eine beJiebig gekrOmmte Linie (L) bzw. Flaehe (P) dar, die

gerade dort existiert, wo a(.) verschwindet:

a(x) = 0 fOr aile x E L bzw. x E P. (3-18)

Betrachten wir der Einfaehheit halber vorerst die zwe.oimensionale Funktion

mit einer einfaehen Nullinie. In Bild 3-7, links, ist soleh eine Funktion durch ihre 'Fall­

linien' skizziert. Der ebenfalls eingezeichnete Gradient an der Nullinie

Va(xE L) := (aa(.)/ax1,aa(.)/ax2)TlxeL

steht offensichtlich auf dieser senkrecht und fungiert somit als Normalenvektor der

B-Linie.

Nachdem mit der Nullinie von a(x) der Ort der B-Linie gegeben ist, interessiert deren

Querschnitt. Dazu integrieren wir an einem ausgewahlten Punkt Xo = (x1,O'x2,O) E L die B-Linie entlang der dureh Va(xo) vorgegebenen Richtung (Bild 3-7, rechts). Wir

linearisieren zu diesem Zweck a(x) in der Umgebung von xo:

(3-19a)

oder kompakter:

49

(3-19b)

Die o-Linie o(a(x)) wird also durch diese Linearisierung im Punkt Xo durch eine zu ihr

tangentiale o-Gerade o(a(x)) ersetzt (Bild 3-7, rechts), wobei wir im Vergleich mit

(3-14) erkennen, daB

Va(xo) ~ 9 und Va(xo)'xo ~ p

gilt. Nach (3-17) ist somit der Querschnitt der o-Linie bei Xo gleich

J o(a(x)) ds I = J o(a(x)) ds I = IVa(xo)I-1 . IVa Xo IVa Xo

(3-20a)

Dieses Ergebnis gilt auch fUr o-Flachen, nur daB hier der Gradient drei Komponenten

hat. Der Querschnitt einer eindimensionalen o-Linie oder o-Flache ist also allgemein

J o(a(x)) ds = IVa(xo)I-1 . I.L

mit Xo E L bzw. Xo E F, (3-20b)

wobei der Integrationsweg I.L die o-Linie (o-Flache) bei x = Xo senkrecht schneide.

Der Querschnitt der Linie (Flache) ist offensichtlich i. allg. nicht konstant und hangt

von der Steilheit ab, mit der a(x) durch Null geht. 1m Eindimensionalen galt dies eben­

falls, wie wir in Abschitt 2.1 gezeigt haben, nur daB dort die Steilheit ein Skalar war1.

><:2 ....... } (a(x))

.... I .... Va •.•.

><:2,0 .............. ::::~;, :("······o (a(x)) ~ .. i"'/

~ •.•.. ----~----~~~--x1

X1 ~! """ t !

Bild 3-7, links: ll-Linie ll(a(x» und ihr Argument a(x); rechts: Linearisierung durch ll(lI(x»

Gleichung (3-20b) erlaubt die Darstellung von o-Einheitslinien bzw. o-Einheitsfiachen,

also solchen mit konstantem Querschnitt von eins. Die o-Funktion

o(a(x)/lVa(x)1) = IVa(x)1 B(a(x))

erfOIit gerade diese Bedingung:

(3-21 )

1 Eine ll-Linie oder ll-Flache der Form ll(a(x» kann wegen (3-20b) nur einen ree/.wertigen und nichtnega­liven Querschnittsverlauf aufweisen. Komp/exwertige oder negative Querschnittsbelegungen mOssen durch einen geeigneten Faktor (Bewertungsfunktion) berOcksichtigt werden, z.B.: m(x) ll(a(x».

50

J IVa(x)1 ~(a(x)) ds = 1 . 11.

(3-22)

Damit ist auch die Umrechnung von /)-Linien (/)-Flachen) in aquivalente Schreibwei­

sen meglich, also ~(a(x)) in ~(b(x)), wobei a(x) und b(x) dieselbe Nullinie (Nullflache)

haben, sonst aber unterschiedliche Funktionen sein kennen. Es gilt ja

IVa(x)1 ~(a(x)) = IVb(x)1 ~(b(x))

und somit

IVa(x)1 ~(b(x)) = IVb(x)1 ~(a(x)) .

Beispiel V Wir wenden nun die bisherigen Ergebnisse auf den fJ-Kreis

ll(r-rol mit r:=(x12+Xl)'/2

aus Beispiel" an. Hier isl also a(x) = r - ro und somit

Va(x) = (ar/ax"

ar/ax2)T = (xl/r, xlr)T = xlr.

(3-23)

(3-24)

Der Gradienl iSI hier ein sog. zentrales Vektorfeld (s. auch Kapilel 5.1) und sIehl damit (wie erwartel) bei r= ro senkrechtauf der Kreislinie (Bild 3-8, links). Der Belrag von Va(x) isl dann wegen r = Ixl

IVa(x)1 = Ixl/r", 1 ,

d.h. der fJ-Kreis fJ(r - ro) isl eine &-Einheitsiinie und kann wie in Bild 3-8, rechls, approximiert werden. 1m Vergleich dazu belrachten wir nun die fJ-Linie

fJ(x, -(r02 - xl)1I2)

im Gebiellx21 s roo Das Argument verschwindet liir

x12+xl=r02 1\ x, O!:o.

Diese fJ-Linie is! also ein fJ-Halti<reis vom Radius ro (Bild 3-9, links). Der Gradient des Arguments is! nun

Va(x) = (1, xl(r02-xl)1I2)T

und speziell liir Punkte auf derfJ-Linie, also mit x, = (r02 - Xi)1I2,

Va(xeL) .. (1, xlxl)T = xlxl .

Auch hier steht Va(.) auf der Linie senkrechl. Sein Betrag ist jedoch nichtkonstanl, sondern (BUd 3-9)

IVa(xeLlI .. ralxl = l/cosa,

und damit hat dieser &-Halbkreis einen Querschnittsverauf Ober dem Winkel a von 00

o J fJ(x , - (r02 - xl) 112) dr = cosa .

Eine mcSgliche Realisierung dieser &-Funktion zeigt Bild 3-9, rechts. Wahrend also beim &-Kreis fJ(r- rQ) das Integral in radialer Richtung - und damit der Querschnitt - gleich eins war, ergibt hier das Integral In

x, -Richtung immer den Wert eins. Zwischen beiden &-Linien gilt damit der Zusammenhang

fJ(x,-(r02-xl)'/2) -l<x, ) ll(r-ro) cosa. (Q

51

-H-----+-----41f.- X1

Bild 3-8, links: o-Kreis o(r- raJ. rechts: Realisierung o£(r - ra)

---1-----+4-- X1

Produkt von o-Funktionen

Eine mehrdimensionale o-Funktion ist nach (3-7b) als Produkt eindimensionaler

o-Funktionen definiert. In den Beispielen 11/ und IV wurden bereits die Schnitte einiger

spezieller o-Funktionen berechnet.

Wir diskutieren nun die Multiplikation zweier allgemeiner eindimensionaler o-Funktio­

nen o(a1(x)) und o(a2(x)). 1m Zweidimensionalen sind dies o-Linien (Ll und L2), die

sich in einem oder mehreren Punkten (Ps) schneiden, im Dreidimensionalen o.Fla­

chen (Pl und F2) und deren Schnitt eine oder mehrere Linien (Ls). FOr den Ort eines

dieser Schniugebilde gilt nach (3-8)

(3-25)

Nun berechnen wir deren Querschnitte.

Betrachten wir zuerst zwei o-Einheitslinien, die sich bei x = Xo unter dem Winkel

52

<p = <p(Xo) schneiden (Bild 3-10, links). In ihrer Realisierung sind dies zwei 'Bander'

der Breite £ und des Funktionswerts 1/£ (Bild 3-10, rechts) . Das Flachenintegral des

entstehenden 'Punktes' ist offensichtlich

+00

fI 8E(a1(x)) 8E(a2(x)) d2x = 1/£2. 'Parallelogrammflache' = 1/lsin<p1 . (3-26) -00

Blld 3-10: Schnitt zweier eindimensionaler S-Einheitslinien

Handelt es sich nicht um &-Einheitslinien , so muB dieses Ergebnis noch mit den Quer­

schnitten IVa1 (xo)I-1 und IVa2(xo)I-1 der beiden Linien multipliziert werden, und wir

erhalten fOr den Schnittpunkt

Eine aquivalente Betrachtung gilt auch fOr den Schnitt zweier 8-Flachen. Der Quer­

schnitt der resultierenden 8-Linie bei x E Ls ist dann

mit (3-28) ,

Die Gradienten Va1( ' ) und Va2(') stellen die Normalenvektoren der &-Flachen dar.

Sie schlie Ben den Winkel <p(.) ein und stehen fOr x E Ls auf der 8-Linie senkrecht

(Bild 3-11).

DerRichtungsvektor[(xE Ls) der Linie kann somit als das Vektorprodukt

(3-29a)

angegeben werden. Der Betrag solch eines Vektorprodukts ist bekanntlich

(3-29b)

53

also gleich dem Reziproken des Querschnitts der entstehenden l)-Linie. Damit kon­

nen (3-27) und (3-28) eleganter geschrieben werden: Das Flachenintegral bzw. der

Querschnitt der zweidimensionalen &-Funktion

mit x e R2 bzw. R3

ist dann

fOr x e P s bzw. Ls. (3-30)

wobei im zweidimensionalen Fall die Gradienten um eine dritte Komponente vom

Wert null erweitert werden.

l)-Einheitspunkte bzw. &-Einheitslinien sind danach von der Form

(3-31 )

Bild 3-11: Schnitt zweier /i-Flachen

Beispiel VI Als Sonderfall einer /i-Linie im Dreiclimensionalen diskutieren wir die zweiclirnensionale /i-Gerade

Die Gradienten der Argumente sind in diesem Fall

Va, (x) = g, und Va2(x) = g2 .

Der Richtungsvektor der Geraden is! damit t = g, x g2 und ihr Querschnitt

Ig, x g21-1 = It 1-1 .

Bei einer /i-Einheitsgeraden miissen also g, und g2 so gewahlt werden, daB gilt

Zuletzt betrachten wir den Schnitt dreierl)-Flachen l)(a1(x)). l)(a2(x)) und l)(aa(x)) im

Punkt x = xo. Zwei dieser Flachen bilden eine l)-Linie vom Querschnitt IVa1xVa21-1.

Ihr Richtungsvektor t(xo) (5. (3-29a)) am Schnittpunkt Xo weise mit der dritten Flache

54

den Winkel cp zu deren Normalenvektor Va3(') auf. Das Volumenintegral des

entstehenden o-Punktes ist in Aquivalenz zu Bild 3-10, rechts, abhangig vom Winkel

der Normalenvektoren, der nun cp + ro2 ist, also

(IVa1(xO)xVa2(xo)1 lVa3(XO) I Icoscp(xo)1) -1 = I(Va1xVa2)oVa31-1 .

Nach den Rechenregeln der Vektoralgebra ist dieses sog. gemischte oder Spat­

produkt gleich der Determinante der durch die Vektoren Va1(') ... Va3(') gebildeten

Matrix, und wir erhalten schlieBlich als Schnitt dreier B-Flachen den o-Punkt

(3-32)

Dieses Ergebnis gilt entsprechend fur B-Punkte beliebiger Dimensionalitat; Gleichung

(3-27) war ein Sonderfall davon.

Anmerkung Die Gleichungen (3-27, 3-30 und 3-32) erlauben die Berechnung des Integralwerts eines B-Punktes bzw. des Querschnitts einer mehrdimensionalen I)-Linie aus den Gradienten ihrer Argumente. Inter­pretiert man diese Formeln geometrisch, so erkennt man folgende wichtige GesetzmaBigkeit: Der Integralwert bzw. Querschnitt einer k-dimensionalen B-Funktion l)(a1(x) ..... ak(x)) ist gleich dem Kehrwert der Flache (des Volumens ... ) des von den k Gradienten Va1(.) ... Vak(.) aufgespannten Parallelogramms (Parallelepipeds ... ).

Differenzierte B-Funktionen, Dipolfunktionen

Wah rend im Eindimensionalen die Ableitung des o-Impulses durch die Vorgabe

'v-fach differenziert' eindeutig spezifiziert ist, ergibt sich bei der Differentiation

k-dimensionaler B-Funktionen im n-dimensionalen Raum eine Vielzahl von M6glich­

keiten. So kann jeder der k Faktoren o(a1(x)) ... o(ak(x)) einer nach (3-7b) definierten

o-Funktion unterschiedlich oft (v1'" vk-mal) und in jeweils beliebiger Richtung

differenziert werden. Wir sprechen in diesem Fall von v-fach differenzierten o-Funktio­

nen, wobei

(3-33)

seL In diesem Abschnitt diskutieren wir nur einfach differenzierte B-Funktionen und

nennen diese B-Dipolfunktionen.

Die allgemeinste Form einer eindimensionalen Dipolfunktion ist durch

d o(a(x))/ d[b(x)ox] (3-34a)

gegeben, wobei b(.) ein (evtl. 6rtlich variierender) Vektor ist, welcher die Differen­

tiationsrichtung angibt. Verlauft diese senkrecht zur o-Linie (o-Flache) o(a(x)), so kann

b(x) zu Va(x) gewahlt werden, und wir erhalten in diesem speziellen Fall

55

o'(a(x)) := d ~(X) o(a(x)) - d[V~X).X] o(a(x)) . (3-34b)

Dies stelit die formale Erweiterung des differenzierten o-Impulses o'(a(t)) aus Ab­

schnitt 2.1 dar.

Zur Veranschaulichung zeigt Bild 3-12, links, eine o-Linie und ihren Normalenvektor

Va(xE L). Die Realisierung dieser Linie ist ein E breites 'Band' vom Wert (EIVa(.)I) -1.

Deren Differentiation entlang Va(.) liefert eine Realisierung von o'(a(x)), namlich zwei

parallele o-Linien (Bild 3-12, rechts) unterschiedlichen Vorzeichens, im Abstand E und

jeweils vom Querschnitt

± (EIVa(xE L)12) -1 . (3-35a)

1st dagegen eine beliebige Differentiationsrichtung b(.) vorgegeben, die mit Va(.) den

Winkel <p(XE L) einschlieBt, so berechnen sich die genannten Querschnitte zu

± cos<p(.) (ElVa(.)i Ib(.)I) -1 = ± Va(.)·b(.) (E IVa(.)12 Ib(.)12) -1 , (3-35b)

wovon man sich leicht Oberzeugen kann, indem man die so berechnete Approxima­

tion der Ableitung wieder entlang b(.) integriert und damit die Realisierung der ur­

sprOng lichen 15-Funktion erhalt. Mit Hilfe von (3-35a,b) laBt sich eine differenzierte

o-Funktion nach (3-34a) in die Form o'(a(.)) aus (3-34b) umrechnen:

d o(a(x)) = Va(x)·b(x) o'(a(x)). d[b(x)·x] Ib(x)l2

(3-36)

1/(EIVal) o~(a(x))

Bild 3-12: Differentiation einer li-Linie entlang ihres Normalenvektors

Mehrdimensionale o-Dipolfunktionen kennen Ober die Differentiationsregel fOr Pro­

dukte auf die obigen Faile zurOckgefOhrt werden, z.B. fOr k = 2:

56

Jeder dieser beiden Terme kann bei Bedarf noch entsprechend (3-36) umgeformt werden.

Beispiel VII Ein in radialer Richtung differenzierter &-Kreis ist durch

S'(r - ro) = d S(r- ro)/dr

gegeben. Nachdem hier IVa(.)1 .. 1 ist (s. BeispielI/), kann nach (3-35a) dieser Dipolkreis durch zwei konzentrische S-Kreise im Abstand E und vom Querschnitt ±l/E approximiert werden (Bild 3-13, links). Soli dagegen die Differentiation in xt-Richtung erfolgen, ist also z.B. b(x) = (l,O)T und der Querschnitt der approximierenden S-Kreise ist nach (3-35b) ±coSq>(X)/E. Der Winkel q>(x) ist hier gleich dem in Bild 3-9 eingetragenen Winkel a. Der nach xt differenzierte Kreis unterscheidet sich also von S'(r - ro) durch den cosa-Faktor:

d S(r - ro)/dx t = S'(r - ro) casa .

Interessant ist in diesem Zusammenhang, das Integral iiber den gesamten S-Dipolkreis S'(r - ro) zu berechnen. Nach der Realisierung aus Bild 3-13, links, erhalten wir

+~

II S'E(r - ro) dxt dx2 = 2n(ro - El2)/E - 2n(ro+El2)/E = - 2n .

Dieses Integral verschwindet offensichtlich nicht, wie das des differenzierten &-Impulses S'(t). Eine Integration aile in in radialer Richtung jedoch wiirde das Ergebnis nul/liefern.

Beispiel VIII Eine mehldimensionale Dipolfunktion ist der &-Dipolpunkt d S(x)/dxt , also z.B. im Zwetlimensionalen

d S(x t ,x2)/dx t = S(x t ) d S(x2)/dx t + S(x2) d S(xt)/dxt = S'(x1) S(x2) .

Er kann durch zwei &-Punkte bei (x t ,x2) = (±El2,O) vom Flachenintegral ±t/E approximiert werden (Bild 3-13, rechts).

+1/£

11----+-----11- X rO 1

~ -1/£ £" Bild 3-13: Realisierungen eines S-Dipolkreises (links) und eines &-Dipolpunktes (rechts)

57

Zusammenfassende Definltionen

In diesem Abschnitt 3.1 haben wir die Eigenschaften von 15-Funktionen im Mehrdi­

mensionalen induktiv aus denen des vertrauten 15-lmpulses 15(t) hergeleitet. Dieses

Vorgehen so lite ein Verstandnis vermitteln, das Ober die reine Anwendung mathe­

matischer Formeln hinausgeht. Zum SchluB dieses Abschnitts ist es jedoch ange­

bracht, Definitionen der &-Funktionen 'nachzureichen', die aile hergeleiteten Eigen­

schaften (einschlieBlich derer des 15-lmpulses aus Abschnitt 2.1) umfassen.

So ist eine eindimensionale 15-Funktion 15(a(x)) durch

+00

If···f u(x) l5(a(x)) d"x = f.··f u(x) IVa(x)I-1 d" -1S a(x)=O

(3-38)

definiert. Dabei wird das (n - 1 )-fache Integral auf der rechten Seite Ober die durch

a(x) = 0 gegebene Linie (Flache ... ) ausgefOhrt; d"-1S sei das zugehOrige differentielle

Weg-(Flachen- ... )Element. 1st beispielsweise 15(a(x)) eine 15-Linie (also n = 2), so

besagt diese Definition, daB aus einer Funktion u{.) durch Multiplikation mit 15(.) die

Werte auf der Linie 'ausgeblendet' und mit dem Querschnittsverlauf IVal-1 bewertet

werden. Das Flachenintegral kann dann durch ein Linienintegral ersetzt werden.

Entsprechend lautet die Definition einer eindimensionalen 15-0ipolfunktion 15'(a(x))

+00

ff- .. J u(x) 15'{a{x)) d"x = J-.. J u'(x) IVa(x)l- 2 d" -1 5 , (3-39) -00 a(x)=O

wobei hier u'{.) die Normalenableitung (gebildet in Richtung von Va{.)) von u{.) auf

der Linie (Flache ... ) seL

Die zweidimensionale 15-Funktion 15(a1 (x) ,a2{x)) - hier speziell fOr n = 3, also die

15-Unie - definieren wir mit (3-30) durch

+00

Iff u(x) 15(a1 (x),a2(x)) d3x = If u(x) IVa1 (x)xVa2(xll-1 ds . a(x)-O

Dabei ist ds das differentielle Wegelement entlang der Linie.

(3-40)

Einen Spezialfall stellen die (k = n)-dimensionalen 15-Punkte dar, die das eigentliche

Pendant zum 15-lmpuls 15(t) sind. Ihre Definition ist nach (3-32b)

+00

If ... J u{x) 15(a1 (x), ... ,an(x)) d"x = Idet(Va1 (xo),·· .,van{xo)) 1-1 u{xo) {3-41a)

-00

58

mit a1 (xo) = a2(xO) = ... = an(xo) = O. 1st der O-Punkt als Einheitspunkt der Form o(x - xo)

gegeben, so wird obige Gleichung zu

+00

If ... f u(x) o(x - xo) d"x = u(xo) . (3-41 b) -00

Anmerkung Zur Vereinfachung der Formeln wurde in diesem Abschnitt immer angenommen, daB beim Schnitt von II-Funktionen jeweils nur eine Linie bzw. ein Punkt entsteht. Die Erweiterung auf mehrere solcher Schnittgebilde ist trivial.

3.2 Mehrdimensionale Faltung

Die fundamentale Faltungsoperation ist im Mehrdimensionalen folgendermaBen

definiert:

+00

u3(x) = u1 (x) * u2(x) := ff-··f u1 (x') u2(x - x') d"x' . (3-42)

Dabei kann u2(x) z.B. die Punktantwort s(x) eines ortsinvarianten Systems sein.

Speziell die Faltung mit einem B-Punkt bewirkt - wie im Eindimensionalen - lediglich

eine Verschiebung des Signals, wie sich leicht mit (3-41 b) zeigen laBt, also

u(x) * B(x - xo) = u(x - xo) . (3-43)

Wir verwendeten in (3-42) als mehrdimensionales Faltungssymbol das fettgedruckte

Sternchen '*'. Soli verdeutlicht werden, in wievielen Dimensionen die Faltungsopera­

tion ausgefOhrt wird, werden wir entsprechend viele normal gedruckte Sternchen

schreiben. Manchmal ist es angezeigt, zusatzlich Ober das Faltungssymbol die dazu­

gehOrende Variable zu setzen (z.B. falls nicht in allen Dimensionen gefaltet wird). Es

werden also im folgenden, je nach ZweckmaBigkeit, verschiedene Schreibweisen

benutzt, wie z.B. fOr die zwe.oimensionale Faltung:

x x1 x2 u1(x) * u2(x) = u1(x) * u2(x) = u1(x) ** u2(x) = u1(x) * * u2(x).

Wie die eindimensionale Faltung aus Abschnitt 2.2 kann auch die mehrdimensionale

Faltung auf zwei Arten interpretiert werden:

- In der ersten Version wird u1 (.) in differentielle Elemente (Punkte) zerlegt, und fOr

jeden dieser Punkte wird u2(')' entsprechend bewertet und verschoben, ins

59

Ausgangskoordinatensystem eingetragen. Diese Interpretation bietet sich vor

aHem dann an, wenn u1(.) ohnenhin aus ~-Punkten besteht. In Bild 3-14 ist dies

fOr zweidimensionale Signale skizziert.

- Die zweite Interpretation ist in Bild 3-15 veranschaulicht. Danach werden ul(') und

u2 (.) zuerst im x'-Koordinatensystem dargestellt. Dann wird u2(') am Ursprung

gespiegelt und um x verschoben. Das Integral Ober das Produkt von u1 (x') und

u2(x - x') liefert den Wert des Faltungsergebnisses bei x. In Bild 3-15 werden

binare zweidimensionale Signale miteinander gefaltet. Daher ist hier das Integral

des Produkts gleich der Oberlappungsflache der beiden Signale.

X2 x2 X2

1. /li-Punkl

1. x, ** x, -= X, 1.

u,(x"x2) u2(x, ,X2) u3(x, ,x2)

Blld 3-'4: Fa Hung mit li-Punkten

x' 2 uz (x, - X; ,X2- x2 ) u, (x'l ,xi)

/ x, J (.) dx; dX'2

X2 X2

/ X2

0

XI ** XI -= XI

Bild 3-15: Zweidimensionale Faltung. wobei u2(') als Bewertungsfunklion verslanden wird

60

Anmerkung Speziell die zweklimensionale Faltung reeller nichtnegativer Signale kann durch ein einfaches Experi­ment verdeutlicht werden. und zwar durch Schattenwurfzwischen parallelen Ebenen [3.12]. wie in Bild 3-16 skizziert. Wir denken uns in Ebene I ein Signal a(x1.x2) als Leuchtdichtefunktion (Lichtleistung pro Flacheneinheit) realisiert. In Ebene II befinde sich ein Diapositiv. dessen Transparenzfunktion b(xl .x2) sei. Wegen der Parallelitat der Ebenen wirft nun jedes Flachenelement. also jeder Punkt. aus a(.) einen Schatten von b(.) auf die Mattscheibe in Ebene III. und zwar gemaB der Lage des Punktes verschoben. Dabei erscheint natiirlich b(.) entsprechend der Abstande der Ebenen vergr6Bert. bei der skizzierten Konfiguration gerade um den Faktor zwei. (Dieser MaBstabsfaktor kann Obrigens durch geeignete EinfOgung einer Sammellinse zwischen den Ebenen II und III beseitigt werden.) Das Ausgangsbild c(x l .x2) in Ebene III ist dann die Superposition aller dieser skalierten Replika. also

In a{.) muBten dabei die Koordinatenachsen invertiert werden. da ja ein Punkt aus a(.). der z.B. 'oben' liegt. den Faltungskem b{.) 'unten' in der Ebene III reproduziert. Wahlen wir also a(xl .x2) zu ul (- xl' - x2) und b{x1.x?) zu u2{2xl .2x2). so ist die Anordnung aus Bild 3-16 ein zweidimensionaler Faltungsrechner. WOrden wlr a(xl .x2) selbst als Eingangsfunktion u1(x l .x2) ansehen. so erhielten wir die Korrelation1

zwischen u2{.) und ul (.). Die Konfiguratio~ aus Bild 3-16 ist daher unter dem Namen inkohiirenter Schattenwurfkorrelatorbekannt (die lineare Uberlagerung der Leuchtdichten in Ebene III gilt namlich nur fOr Ortlich inkoharentes Licht). Versuchen wir nun z.B. mit Hiije von Sonnenlicht ein Diapositiv auf eine Wand zu projizieren. so wirkt die Sonnenscheibe als a{.) und das Dia als b{.). Das Bild c(.) an der Wand ist dann die Faltung des Dias mit einer Kreisscheibe und erscheint deshalb stark verunschartt. Ein Sonderfall der Apparatur aus Bild 3-16 ist die Lochkamera. Hier ist die Ebene II opak bis auf ein kleines Loch; b(.) ist also naherungsweise ein S-Punkt S{x1.x;:!). Damit rnuB c{xl'x2) = a{- xl' - x2) sein. d.h. in der (Film-)Ebene III entsteht ein Abbild der Leuchtdlchteverteilung in Ebene I (unter Vernach­lassigung von Beugungseffekten).

d~ Bild 3-16: Realisierung von Faltung bzw. Korrelation durch Schattenwurf

1 Die Korrelation zwischen zwei Signalen ul{x) und u2{x) ist definiert als ul{x) ® u2{x) := u1{x). u2*{- x) .

61

Faltung mit 8-Unlen und 8-FIAchen

Wie bereits angesprochen reproduziert ein S-Punkt als Faltungskern das Signal

selbst, und zwar an die Stelle des Punktes verschoben und mit seinem Integral

bewertet. Die interessanteren Faile sind aber die Faltung mit 8-Linien und 8-Flachen.

Die dafOr geltenden Rechenregeln konnen direkt aus den Gleichungen (3-38 ... 3-40)

hergeleitet werden. Exemplarisch betrachten wir die zweidimensionale Faltung mit

einer 8-Linie. Nach (3-38) gilt dann

u(x) * * S(a(x)) = f u(x') IVa(x - x')I- 1 ds' , a{x-x').O

(3-44)

wobei ds' ein Wegelement in der x1,x2-Ebene entlang der Nullinie von a(x - x') ist.

Das Faltungsprodukt am Ort x berechnet sich demnach als Linienintegral durch u(.)

langs der am Ursprung gespiegelten und um x verschobenen S-Linie (Bild 3-17).

AuBerdem erfolgt eine Gewichtung der zu integrierenden Funktionswerte von u(.)

entsprechend dem Querschnitt IVa(.)1-1 der 8-Linie.

_ ................................... f(.) ds'

/ ----#--- x1 =

Bild 3-17: Faltung mit einer S-Linie, interpretiert als Linienintegral durch das Signal

Eine zweite Interpretation geht von einer Naherung der S-Linie durch eine 'Kette' von

S-Punkten im Abstand .:1s aus. Jeder dieser Punkte reproduziert das Signal entspre­

chend seiner Lage und seines Flachenintegrals .:1sIVal-1 (Bild 3-18). Das Faltungs­

produkt stellt nach dem GrenzObergang .:1s ~ ds eine 'Verschmierung' des Signals

u(.) langs der Linie dar.

Aquivalente Oberlegungen gelten auch fOr die Faltung mit 8-Flachen und S-Linien im

Dreidimensionalen.

62

X2 1 • ... 65

....... , .'

--.. -..• - .• --: ...... _. -- X1 = --::~~~T"~- X1 .,. Bild 3-18: Faltung mit einer li-Linie, interpretiert als 'Verschmierung' des Signals entlang dieser Linie

Faltung mit &-Geraden und 8-Ebenen

Die Faltung mit &-Funktionen nimmt eine besonders einfache Form an, wenn diese

8-Geraden bzw. &-Ebenen sind. Dann erfolgt die 'Verschmierung' des Signals u(.)

langs der Geraden (Eben e), d.h. das Faltungsprodukt ist eine (Paraliel-)Projektion

des Signals. In Bild 3-19 ist dies fOr eine &-Gerade durch den Ursprung

8(gox)

und mit (konstantem) Querschnitt von eins (also 191 = 1) skizziert. ZweckmaBigerweise

fUhrt man ein Hilfskoordinatensystem (R,T) ein, das gegenOber dem ursprOnglichen

urn den Winkel q> gedreht ist, sodaB die 8-Gerade auf der T-Achse zu liegen kommt

(Bild 3-19):

8(gox) == 8(R) 1 (T) .

R R --,'E''!cod~I--- x1 * * __ --::::~~-...;L.....;...- x1 =

U(X1'X~ = uCP(R,T)

Bild 3-19: Parallelprojektion eines Signals durch Faltung mit einer li-Geraden

Bezeichnen wir das Signal in diesem neuen Koordinatensystem mit

ucp(R,T) := u(x1,x2) (3-45a)

und die Projektion mit up(R;q», so gilt

63

+00

up(R;q» := J u",(R.T) cIT = u",(R.T) * * S(R). (3-46a) -00

Die Projektion von u(.) in T-Richtung auf die R-Achse ist also nur noch eine ein­

dimensionale Funktion; der Projektionswinkef q> ist hier ein Parameter. Wird er

dagegen als Variable interpretiert. so stellt die nun zweidimensionale Funktion

up(R.q» das Kontinuum der Projektionen unter allen Winkeln q> dar und wird als

Radon-Transformierte [3.13] des Signals bezeichnet. Sie spielt eine wichtige Rolle

bei allen Bildgewinnungsverfahren. die sich auf Projektionen des zu erfassenden

Objekts stOtzen. wie bei der Rontgen-Tomographie [3.14-3.17].

Dreidimensionale Signale konnen sowohl entlang von Geraden wie auch Ebenen

parallelprojiziert werden. In ersterem Fall wahlt man zweckmaBigerweise ein R1.R2.T­

Hilfskoordinatensystem. sodaB die Projektionsgerade durch

gegeben ist. Das Signal in diesem Koordinatensystem nennen wir

(3-45b)

(Hier bedarf es natOrlich zweier Winkel zur Festlegung der Projektionsrichtung.) Die

Projektion fangs der T -Achse auf die R1• R2-Ebene ist dann

+00

up(R1.R2;q>.t'}) := J u",,~(R1.R2.T) dT = u",,~(R1,R2.T) * * * S(R1) S(R2)· -00 ~~

Soli dagegen langs Ebenen. also auf eine Gerade. projiziert werden. fOhren wir ein

R.T 1.T 2-Koordinatensystem ein. sodaB die Projektionsebene durch T1 und T 2 gege­

ben ist:

Die Projektion des Signals

u",,~(R.T 1.T 2) := u(x1'x2'x3)

ist in diesem Fall

+00

upp(R;q>.t'}):= JJ u",,~(R.T1.T2) cIT1dT2 = u",,~(R.T1.T2) * * * S(R). -00

Wir nennen upp(.) eine pfanare Projektion von u(.).

(3-45c)

(3-46c)

64

Beispiel ll-Linien eignen sich zur Beschreibung der Bewegung slarrer Objekle. Denken wir uns dazu speziell ein sich zeitlich anderndes Bildsignal u(x,y,I), das aus einem Objekl o(x,y) beslehl, welches entlang der Trajektorie

x=x(I) , y=y(I) (i)

verschoben wird (Bild 3-20, links). Die Momentangeschwindigkeit nennen wir v = (Vx,Vy)T mil

und Vy := a y(1)/at .

Der Hintergrund sei schwarz (nu/~. Das Bildsignal isl also

u(x,y,l) = o(x - x(1), Y - y(l)) .

Durch diese Bewegung des zweidimensionalen Objekls enisle hi der dre.i::limensionale Vorgang u(x,y,I). Siellen wir diesen in einem dreidimensionalen Koordinalensyslem dar, wie in Bild 3-20, rechls, so ergibl sich eine Art 'Schlauch' entlang der gegebenen Linie. Damit isl u(x,y,l) auch als zweidimensionale Fal­lung von o(x,Y) mit einer o.Linie beschreibbar:

x y u(x,y,l) = o(x,Y) * * b(x,y,l)

mit b(x,y,l) := ll(x - x(1), Y - y(l))

oder als

u(x,y,l) = [o(x,y) ll(1)) * * * ll(x - x.(I), Y - y(I)) .

Diese zweidimensionale o.Linie hal die Eigenschaft +00 If ll(x - x(1), Y - y(1)) dxdy = 1 fOr aile I.

(ii)

Damit ist sichergeslellt, daB das Objekl wah rend seiner Bewegung immer gleich 'hell' is!. Die Projektion +00

bt(x,y) := J b(x,y,l) cit = b(x,y,l) * * * ll(x,y) (iii)

dieser ll-Linie auf die x,y-Ebene isl eine eirx:limensionale ll-Linie entlang der Trajeklorie. Ihr Ort isl nach Invertierung von (i) gegeben durch

tx(X) = ty(Y) ,

wobei tx(x) und tY.(Y) die - als existent angenommenen - Umkehrfunklionen zu x.(t) und y(t) seien. Die T rajektorie laBt sich also als

bt(x,y) = (Ivx(tx(x))llvy(ty(Y))i) -111(tx(x) - ty(Y))

angeben (die Herleitung dieses Ergebnisses moge der Leser mit Hille der Rechenregeln aus Abschnitl 3.1 selbsl vollziehen). Ihr Ouerschnitt iSI\v\-I, der Kehrwert des Geschwindigkeilsbelrags, und damil proportional zur 'Verweildauer' des Objekls am jeweiligen Ort x,y. Wurden wir eine Langzeitbelichtung des Objekts aufzeichnen, wahrend sich dieses bewegt, so wurden wir das Bild

+00

uL(x,y) := J u(x,y,t) cit = u(x,y,l) * * * ll(x,y)

erhalten, also mit (iii)

uL(X,y) = o(x,Y) * * bt(x,y) .

Die 'Verwischung' des Objekts durch seine Bewegung wahrend der Belichtung laBt sich somit als Fal­tung mit der Trajektorie bt(x,y) beschreiben [3.11]. An Stellen, an denen die Momenta~geschwindigkeil klein ist, wird das Objekl nalUrlich enlsprechend hell erscheinen und umgekehrt. Dlese Bewertung sleckl bereits im Querschnitt der ll-Linie bt(x,y). Ein Sonderfall isl die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit:

b(x.y.l) und bt(x.y) sind dann &-Geraden:

b(x.y.l) = 5(x - vxl. Y - Vyl) und

x

Bild 3-20: 5-Linien als Trajeklorien

65

y

b(x.y.t)

M .... ..<-·11

y i 0:0 oJ::.> X

t '. ········· ...... ~:t ....... ··············

3.3 Mehrdimensionale Fourier-Transformation

Auch die Fourier-Transformation laBt sich formal leicht auf mehrere Dimensionen

erweitern. Mit dem Frequenzvektor

f=(f1.f2 •... .fn)T E Rn

gelten die Transformationsgleichungen1:

+00 U(f) = ff .. ·f u(x) e-j27tf·x d"x (3-47a)

-00

und

+00

u(x) = ff···f U(t) ej27tf•X d"t (3-47b) -00

oder symbolisch:

u(x) 0- U(t) . (3-47c)

1 Falls nolig. fOhrt man auch hier einen konvergenzerzwingenden Faklor ein (s. Anmerkung auf S. 21).

66

Wie bei der Faltung verwenden wir auch fOr die mehrdimensionale Fourier-Transfor­

mation von Fall zu Fall unterschiedliche Symbole:

u(x) 0- U(f). x

u(x) 0--- U(f).

oder z.B. bei zwei Dimensionen:

Das Skalarprodukt fox in (3-47a.b) lautet ausgeschrieben

fox = f1 x1 +f2x2+ ... +fnxn .

Die Basisfunktionen ej27tfox. nach denen entwickelt wird. lassen sich also auch als

Produkt eindimensionaler komplexer harmonischer Schwingungen darstellen:

Demnach kann die n-dimensionale Fourier-Transformation auch getrennt nach den

einzelnen Variablen ausgefOhrt werden.

FOr manche Anwendungen ist es angezeigt. nicht das totale Spektrum zu berechnen.

sondern mit einem Teilspektrum zu arbeiten. Dies ist ein Spektrum. das durch Trans­

formation nach nicht allen Variablen entstehen. Transformieren wir z.B. das zwei­

dimensionale Signal u(x1.x2) nur nach x1. so erhalten wir das Teilspektrum

Dieses nach x2 transformiert ergibt U(f1.f2). UX1 (f1.x2) ist also auch ein Teilspektrum

von U(f1.f2). allerdings bezOglich x2. Wir konnen es somit auch als uX2(f1.x2) bezeich­

nen. ZusammengefaBt gilt (hier fOr zwei Dimensionen):

X1 UX1 (f 1.x2) == uX2(f 1.x2)

x2 0-- 0--

u(x1·x2) x1

U(f 1 .f2) . (3-48) a x2

~ UX2(X1.f2) == UX1 (x1·f2)

x1 0-- 0--

Besonders einfach gestaltet sich die mehrdimensionale Fourier-Transformation fOr

separierbare Signale. also solche vom Typ

(3-49a)

Dann kann das Transformationsintegral ebenfalls aufgespalten werden in lauter ein­

dimensionale. und U(f) ist

mit U(f) = U1 (f1) U2(f2) .. , Un(fn)

~ uy(l<y) 0-- Uy(fy).

67

(3-49b)

(3-49c)

Obwohl das Signal das Produkt mehrerer Funktionen ist, muB im Spektralbereich

nicht gefaltet werden, da die Faltung in diesem Fall in eine Multiplikation entartet.

Rechengesetze der mehrdimensionalen Fourier-Transformation

In Tabelle 3-2 sind die wichtigsten Rechenregeln der mehrdimensionalen Fourier­

Transformation zusammengefaBt (s. auch [3.1-3.6,3.18]). Dabei sind einige Satze

exemplarisch fOr die Richtung einer xrAchse aufgefOhrt; sie gelten natOrlich auch fOr

beliebig orientierte Achsen.

Einige dieser Gesetze stellen bemerkenswerte Verallgemeinerungen ihrer eindimen­

sionalen Varianten dar. So braucht beispielsweise im Mehrdimensionalen die Fal­

tung nicht nach allen Variablen ausgefOhrt zu werden; vielmehr ist auch eine partielle

Faltung moglich. Dazu korrespondiert die partielle Faltung der Spektren nach den

'restlichen' Frequenzvariablen. Hier erweisen sich die Teilspektren, gebildet bezOg­

lich der an der Faltung beteiligten Koordinaten, als nOtzlich: diese Spektren mOssen

namlich nur multipliziert werden. Es gilt z.B. im Zweidimensionalen:

Xl X X:! 12 u1 (x1 ,x2) * U2(X1'X2) 0_1__ U1Xl (f1 'X2) Ull (f1 ,x2) 0--- U1 (f1 ,f2) * U2(f1,f2)·

(3-50)

Ein weiterer Unterschied zum Eindimensionalen ist die Vielzahl moglicher linearer

Koordinatentransformationen. Wah rend sie im Eindimensionalen lediglich die

Ahnlichkeitsabbildung umfassen, sind dies im Mehrdimensionalen aile Transfor­

mationen, bei denen der Ortsvektor x durch die Matrix-Vektor-Multiplikation

x'=Ax (3-51 a)

in den neuen Vektor x' ObergefOhrt wird. Die Determinante von A gibt dabei an, wie

sich die Ausdehnung (Flache, Volumen, ... ) des Signals andert. Nach Substitution von

(3-51 a) in die Transformationsgleichung (3-47a) finden wir. daB auch das Spektrum

eine Koordinatentransformation eriahrt, welche durch die Matrix

(3-51 b)

beschrieben wird. Es gilt also (Tabelle 3-2)

u(Ax) 0--- IdetAI-1 U(Bf) . (3-51 c)

Vergleichbar zum Ahnlichkeitssatz im Eindimensionalen ist dieses Spektrum mit

IdetAI-1 = IdetBI bewertet.

68

Tabelle 3-2: Gesetze der n-djmensionalen Fourjer-Transformation

Gesetz u(x) 0-- U(f)

lineare Koordinaten- u(Ax) IdetAI-1 U(Bf) transformation mit B = (A-1)T

U(x) u(- f) Vertauschungssatz

U*(x) u*(f)

Satz der konjugiert-u*(x) U*(- f)

komplexen Funktionen

u(x - xo) U(f) e-j21txo'f Verschiebungssatz

u(x) ej27tfo'x U(f - fo)

Differentiationssatz o u(x)/OXj j27tfj U(f)

- j2ltxj u(x) o U(f)/ofj

Xj J u(x1'·· .• ~j •...• xn) d~j [1/Q27tfj)+1/2 S(fj)] U(f)

Integrationssatz -00 fj [-1/(j2ltxj)+ 1/2 S(Xj)] u(x) J U(f1.···.<pj····.fn) d<pj

-00

u1 (x) * u2(x) U1 (f) U2(f) Faltung nach allenVariablen

Faltungssatz u1 (x) u2(x) U1 (f) * U2(f)

xa xb Xg fhfj 'm partielle Faltung u1 (x) * * ... * U2(X) U1(f) * * ... * U2(f)

(a,b, ... ,gju{h,j, ... ,mj = 0

Korrelationssatz u1 (X) ® U2(X) U1 (f) U2 *(f)

u1 (x) u2 *(x) U1(f) ® U2(f)

Separierungssatz u(x) = u1 (X1) ... un(xn) U(f) = U1 (f1) ... Un(fn)

+00 J XjV U(X) dXj (-j2lt) - v oVU(f)/ofjV 15(fj)

Momentensatz -00 +00 Q2lt)V OVu(x)/OXjV S(Xj) J fjV U(f) dfj

-00 Sonderfall (v = 0): +00

J U(X) dXj U(f1 •...• f j=0 •...• fn) 15(fj) Projektionssatz

-00 und umgeketvt

Tabelle 3-2: Geselze der n-dimensionalen Fourier-Transformation (Fortsetzung)

Gesetz

Rotationssymmetrische U(x) = ur(r) mit r:= Ixl => U(f) = Ufr(fr) mit fr := If I

00

Signale und Spektren Ufr(fr) = 21t fr1 - n12 J r"/2 ur(r) J"/2_1(21trfr) dr

(Jp(.) : Bessel-Funktion 0

00 Jrter Ordnung) ur(r) = 21t r1- n12 J frnl2 Ufr(fr) J"/2_1(21trfr) dfr .

0 +00 +00

Parsevalsche Gleichung J-.. J u 1 (x) u· 2(x) d"x = J---J U 1 (f) U· 2(f) d"f -00 -00

(Gleichheit der Energie in Orts- +00 +00

und Spektralbereich) J---J lu(x)l2 d"x = J---J IU(f)12 d"f -00 -00

Zuordnungssatz Re{ug(x)} 0-- Re{Ug(f)}

(Index: Re{uu(x)} 0--- j Im{Uu(f)}

g: gerader Anteil j Im{ug(x)} 0-- j Im{Ug(f)} u: ungerader Anteil) j Im{uu(x)} 0-- Re{Uu(f)}

Beispiele I Spezielle Koordinatentransformationen sind in Bild 3-21 fur das zweklimensionale Signal

rect(x/D) rect(xiD) Q===e D2 si(ltDf1) si(ltDf2)

und dessen Spektrum skizziert:

a) Drehung um a: Die Matrix A ist dann

( cosa sina) A=

-sina cosa mit detA = 1.

Die inverse Koordinatentransformation ist natlirlich die Drehung um - a. d.h.

und damit ist

-sina) • cosa

69

Eine Drehung um a im Ortsbereich bewirkt also die gleiche Drehung des Spektrums. Daraus folgt sofort. daB ein rotationssymmetrisches Signal ein ebensolches Spektrum hat. Solche Signale bzw. Spektren sind durch Angabe ihrer Radia/schnitte - eindimensionaler Funktion also - bestimmt. In Tabelle 3-2 ist die Transformation angegeben. die den Radialschnitt Ufr(fr) des Spektrurns direkt aus ur(r). dem des Signals. berechnet und umgekehrt.

70

X2 '2

l ! a 0 X1 O=e -1/0 '1

! l I+- 0-..

~ -.. X2

b X1 O=e

c -+--- X1 O=e

a

d X1 O=e

Bild 3·21: Lineare Koordinatentransformationen eines zweidimensionalen Signals und deren Auswir· kungen auf sein Spektrum

b) Stauchung um kl und k2 in XI bzw. x2: Sie wird durch

beschrieben. Vergleichbar dem Anlichkeitssatz im Eindimensionalen ergibt sich dann das Spektrum zu

(i)

71

d.h. es wird in den entsprechenden Richtungen gestreckt. Dies gilt auch, wenn diese Richtungen nicht zufallig die Koordinatenachsen sind. c) Scherung, z.B. entlang xl mit dem Koordinatenursprung als Zentrum. 1m dies em Fall gilt

m~ detA= 1.

Daraus erhalten wir

d.h. das Spektrum wird entlang der f2-Achse geschert, und zwar mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Fourier-Spektren von o-Punkten, o-Geraden und o-Ebenen

Aus dem Eindimensionalen kennen wir die Korrespondenzen

o(t) O-e und O-e o(f)

oder allgemein

o(t - to) o--e e-j2lttof und

Mit Hilfe des Separierungssatzes (3-49a ... c) kennen dann auch (mehrdimensionale)

o-Punkte, speziell gelegene o-Ebenen oder o-Geraden gliedweise transformiert

werden. FOr den mehrdimensionalen o-Punkt heil3t dies

(3-52)

bzw. fOr eine allgemeine Lage

(3-53)

Oem o-Punkt fallt also hier die gleiche Bedeutung zu wie im Eindimensionalen dem

o-Impuls, da er ebenfalls ein (in allen Dimensionen) konstantes Betragsspektrum hat.

Ahnlich kennen wir nun eine o-Ebene im Dreklimensionalen,

(3-54)

oder eine o-Gerade im Zweidimensionalen,

(3-55)

transformieren, usw. In Bild 3-22 ist die Korrespondenz (3-55) als GrenzObergang

eines immer schmaler und langer werdenden Rechtecks und dessen si-fermigen

Spektrums veranschaulicht (die Funktion si(ltf/E)/E ist auch eine megliche Approxima­

tion der o-Funktion o(f)).

72

1 1/a·1 a

1 f

--------1------- f1

Bild 3-22: Veranschaulichung der Korrespondenz (3-55)

Nachdem eine Rotation im Ortsbereich einer ebensolchen im Spektralbereich ent­

spricht, sind damit auch beliebig orientierte Geraden oder Ebenen behandelbar.

Offensichtlich ist das Spektrum einer k-dimensionalen o-Geraden (o-Ebene ... ) im

n-Dimensionalen eine (n - k)-dimensionale o-Gerade (o-Ebene ... ) gleichen Quer­

schnitts, die auf der im Ortsbereich senkrecht steht (bei Verwendung gleich orientier­

ter Koordinatensysteme fOr Signal und Spektrum). Verlaufen die o-Funktionen nicht

durch den Koordinatenursprung, so wird dies nach dem Verschiebungssatz durch

einen linearen Phasenfaktor im Fourier-Bereich benJcksichtigt.

Spezieli fOr eine o-Gerade der Form

o(X'g-p)

nach (3-14), erhalten wir nach dem bisher Gesagten (im Zweidimensionalen)

(3-56a)

mit

und (3-56b)

d.h. gJ. ist ein zu 9 senkrecht stehender Vektor derselben Lange. In Bild 3-23, oben,

ist diese Korrespondenz skizziert, wobei auf der spektralen o-Geraden die Orte markiert sind, an denen die Phase Vielfache von 1t annimmt. Eine entsprechende

73

Korrespondenz gilt auch umgekehrt fOr 5-Geraden allgemeiner Lage im Spektrum.

1m Dreidimensionalen stellt B{x'g -p) eine B-Ebene dar. Nach (3-54) ist deren Spek­

trum eine dazu senkrechte 5-Gerade gleichen Querschnitts, d.h. ihr Richtungsvektort

ist gleich dem Normalenvektor 9 der Ebene im Ortsbereich (so auch Abschnitt 3.1,

Beispiel V~:

B{x·g - p) 0==- B{f'g l ,f'g2) e-j2ltpf'g/g2 ,

mit 91 und 92 so, daB

91 x92=±g·

Bild 3-23, unten, zeigt diesen Zusammenhang.

(3-57a)

(3-57b)

8(g·x - p) B(g.l'x) e -j21tp f·g Ig2

-211

-11 l' O==~ •• __ --'¥-_ g/IPJ.. f

, 1

•

Bild 3-23: Die Spektren von Il-Gerade und Il-Ebene

Die Spektren gekrOmmter8-Linien und B-Flachen kennen im Gegensatz dazu i. allg.

nicht so einfach berechnet werden. Aussagen Ober ihr asymptotisches Verhalten (fOr

If I ~ 00) sind jedoch meglich (5. Obernachster Abschnitt).

74

Beispiel II Wir betrachten nochmals die translatorische Bewegung eines starren Objekts enllang einer Trajektorie aus dem Beispiel in Abschnitt 3.2 (s. Bild 3-20). Da sich nach (il) die Bewegung als Faltung mit der Linie li(x- x(t),y - y(tj) beschreiben lieB, wirkt offensichtlich die dreidimensionale Fourier-Transformierte B(fx.fy,9 dieser li-Linie als Bewegungsfaktor im Spektrum O(fx.fy) des Objekts:

U(fx.fy,9 = O(fx,fy)1 (9 B(fx,fy,9 . FOr den Sonderfall der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeitv = (Vx,Vy)T nimmt B(fx.fA) eine einfache Form an; dann wird namlich wie erwahnt die li-Linie zur li-Geraden im x,y,t-Raum:

b(x,y,t) = li(x - vxt, Y - Vyt) .

Eine li-Gerade hat eine li-Ebene als dreidimensionale Fourier-Transformierte. Diese konnen wir leicht berechnen, indem wir b(x,y,t) als Produkt zweier li-Ebenen schreiben:

b(x,y,t) = li(x - vxt) I\(y - Vyt)

und zuerst nach x und y transformieren (Verschiebungssatz):

b(x,y,t) ~ e-j21t(vxfx+vyfy)t.

Die Transformation nach t liefert schlieBlich den spektralen BewegungsfaktorfOr Bewegung mit konstan­ter Geschwindigkeit:

B(fx,ly,9 = li(vxlx+v/y+ft) •

Das Spektrum dieses speziell bewegten Objekts existiert offensichtlich nur auf einer Ebene. 1m Grenzlall eines stationaren Objekts (vx = Vy = 0) ist diese - trivialerweise - die fx,Iy"Ebene, wahrend sie bei endlichen Geschwindigkeiten entsprechend geneigt is!.

Cas Zentralschnitt-Theorem

Aus dem Eindimensionalen kennen wir den Zusammenhang

+00

J u(t) dt = U(O) , -00

der sich aus dem Momentensatz oder auch direkt aus dem Fourier-Transformations­

integral herleitet, wenn darin f = 0 gesetzt wird. Entsprechend gilt natUrlich auch im

Mehrdimensionalen

+00

H···J u(x) dnx = U(O) mit 0 := (O,O, ... ,O)T . -00

Was bedeutet es aber fOr das Spektrum, wenn u(x) nur nach einigen Variablen

integriert und damit auf die restlichen Koordinaten projiziert wird?

Diese Frage diskutieren wir nun beispiel haft fOr den zweidimensionalen Fall. Um uns

auf keine spezielle Projektionsrichtung festlegen zu mOssen, verwenden wir wieder

das R,T-Koordinatensystem aus Bild 3-19 und fOhren die ebenso orientierten fR,fr

Achsen im Spektrum ein. Es gilt also

(3-58a)

75

oder ausgeschrieben

+00

U<p(fR.fr) = If u<p(R,T) e-j21t(RfR+ TfT) dRdT . (3-58b) -00

Setzen wir in darin fT = 0, so erhalten wir Up(fR;<P), die eindimensionale Fourier-Trans­

formierte der Projektion up(R;<p) von u(.) in T-Richtung auf die R-Achse (vgl. (3-46a)):

+00 +00 +C>C? Up(fR;<p) = J [J u<p(R,T) dT] e-j21tRfR dR = J up(R;<p) e-j21tRfR dR . (3-59)

-00 -00 -00

Dieser als Zentra/schnitt-Theorem (auch: central slice theorem) bekannte Zusammen­

hang, namlich

+00

J u<p(R,T) dT = up(R;<p) -00

R O-e (3-60)

besagt, daB die Parallelprojektion eines Signals mit einem zentralen Schnitt durch

dessen Spektrum korrespondiert1 (Bild 3-24); Projektionsrichtung und Schnitt stehen

dabei aufeinander senkrecht. Dieses Gesetz gilt auch umgekehrt fUr die Projektion

von Spektren.

Bild 3-24: Illustration des Zentralschnill·Theorems (lOr ein zweidimensionales Signal)

1 Wird in U (IR,O) der Winkel II' als gleichberechtigte Variable betrachtet, so konnte man aul den ersten Blick anneht,en, es handle sich um die Polarkoordinatendarstellung des Spektrums U(.). Dies stimmt aber nicht im strengen Sinne, da 'R sowohl positive wie auch negative Werte annimmt. Der einlache Zusammenhang

fOr 0 S II' < It mit I (I 2+1 2)1/2 r = 1 2

verbindet jedoch beide Darstellungsweisen.

76

Bei dreidimsnsionalen Signalen kann eine Paralielprojektion entweder entlang von

Geraden oder aber von Ebenen geschehen (planare Projektion). Die Projektionen sind dann zwei- bzw. eindimensional und deren Spektren Ebenen- bzw. Geraden­

schnitte durch das Originalspektrum. Bei mehr als drei Dimensionen gibt es eine

entsprechend gr5Bere Vielfalt von Projektionsm5glichkeiten.

Anmerkung Mit den Korrespondenzen aus dem vorangegangenen Abschnitt (Bild 2-23) konnen wir das Zentral­schnitt-Theorem ebenfalls herleiten. Nach (3-46a) kann namlich die Projeklion eines (z.B. zweidimen­sionalen) Signals als Faltung mil einer &-Einheitsgeraden beschrieben werden (das Faltungsprodukl muB man sich noch in der T-Richlung unendlich ausgedehnt vorslellen). 1m Spektrum bedeulet dies eine Multiplikation mit der Fourier-Transformierten dieser &-Geraden, welche nach (3-56a) eine dazu orthogo­nale &-Gerade ist (hier mil p = 0):

Diese enlnimmt dem Signalspeklrum gerade den Zenlralschnitt, wie schon oben gezeigl (Bild 3-25). Eine Projeklion eines dre.oimensionalen Signals entlang von Ebenen kann dann als Faltung mil einer /i-Ebene verstanden werden (s. (3-46c)). Das - eindimensionale - Speklrum der Projeklion isl daher ein Geradenschnitl aus dem Signalspektrum (vgl. Bild 3-23, unlen). Enlsprechend liefert die Projeklion des dreidimensionalen Signals langs einer Geraden eine zweidimensionale Funktion, deren Speklrum der enlsprechende Ebenenschnilt durch das Signalspeklrum is!.

~2

**

U(X1.X2l = ucp(R.T) u p(R;<p) 1 (T)

~ ~ i U(f 1.f2) = Ucp(f R.fT) 15(9 Up (fR ; <B 15(fT)

fT

• ==

Bild 3-25: Veranschaulichung des Zentralschnitt-Theorems durch Fallung bzw. Mulliplikalion mil /i-Geraden

Beispiel III Wir diskutieren die Projektion eines a-Kreises

auf eine beliebige R-Achse (Rotationssymmetrie). d.h. es soli +00

up(R) = La(r - ro) efT

77

und dessen Spektrum Up(fR) berechnet werden. In Bild 3-26 ist ein moglicher Integrationsweg skizziert. Dieser schneidet den a-Kreis zweimal im Winkel ex zur Liniennormalen mit

Daher ist die gesuchte Projektion

up(R) =21lcosexl = 2rc!(ro2 - R2) 1/2 rect(RI(2ro)) .

Mit Tabelle 2-3 finden wir das zugehorige Spektrum - den Radialschnitt durch das zweidimensionale Spektrum des a-Kreises also - zu

T ucp(R.T) =8 (r - ro)

--;-----f----!--R

Bild 3·26: Projektion eines a-Kreises und dessen Spektrum

Fourierspektren von 8-Unien und 8-Flachen (asymptotisches Verhalten)

Die Spektren allgemeiner8-Linien (8-Flachen) sind nicht wie z.B. das einer 8-Gera­

den, eines 8·Kreises oder einer 8-Kugel (s. Abschnitte 3.4 und 3.5) explizit angebbar,

es konnen aber z.B. Aussagen Ober ihr asymptotisches Verhalten fOr If I -+ co gemacht

78

werden. Die folgende Herleitung findet sich zusammen mit einer ausfOhrlicheren

Diskussion in [3.11].

Wir betrachten beispiel haft eine - eindimensionale - o-Linie in einem geeignet ge­

wahlten R,T-Koordinatensystem, also (Bild 3-27)

u(x1,x2) = ucp(R,T) = o(a(x1,x2)) = o(acp(R,T)) ,

und deren Spektrum U(f1,f2)= Ucp(fR.fr). Dieses Spektrum soli auf einem Zentral­

schnitt im Winkel cp zur f1-Achse untersucht werden. Durch Variation von cp kennen

Aussagen Ober das gesamte Spektrum gemacht werden. Nach dem Zentralschnitt­

Theorem gewinnt man den Schnitt Ucp(fR,O) durch das Spektrum als eindimensionale

Fourier-Transformierte der Projektion up(R;cp) des Signals. Interessiert nur der Verlauf

des Spektrums bei hohen Frequenzen, genOgt es up(R;cp) nach Unstetigkeiten, Polen

oder anderen 'hochfrequenten' Anteilen zu untersuchen. Es sind dies:

Der Pol, hervorgerufen durch die Tangentialstelle, d.h. die Stelle, an der die

Linie gerade einen Normalenwinkel von cp hat. Zur Vereinfachung nehmen wir

an, daB, wie in Bild 3-27 gezeichnet, bei der Projektion der o-Linie nur eine

tangentiale Stelle auftritt. Ansonsten, z.B. bei einer sich 'schlangelnden' Linie,

wird diese in TeilstOcke aufgebrochen, die dann getrennt behandelt werden.

Knicke oder SprOnge, hervorgerufen durch unstetigen KrOmmungsverlauf der

Linie oder durch Endpunkte.

Starke Schwankungen des Querschnittsverlaufs der Linie. Diese kennen als zu­

satzliche Modulation einer o-Linie konstanten Querschnitts betrachtet werden.

FOr die folgende Abschatzung wird diese Modulation als vernachlassigbar

angenommen, sie kennte aber durch eine zusatzliche Faltung des Spektrums

mit dem Spektrum dieser Modulationsfunktion berOcksichtigt werden.

R ~

Bild 3-27: Zur Abschiitzung des Spektrums von /i-Linien (hier: Tangentialstelle im Ursprung)

79

Der EinfluB der Sprunge oder Knicke kann am einfachsten abgeschatzt werden. In

Abschnitt 2.3 haben wir gesehen, daB eindimensionale Signale mit SprOngen ein mit

f-1 asymptotisch abfallendes Spektrum haben, z.B. die Signale "((t) oder rect(t). Bei

Knicken ist der Abfall proportional zu f-2 usw., wie wir in Abschnitt 3.6 zeigen

werden. Linienendpunkte, d.h. Sprungstellen in der Projektion, sind also fOr einen

fR -1-Abfall des &-Linien-Spektrums verantwortlich.

Der EinfluB des Pols hangt vom Verlauf der Linie in der Nahe der Tangentialstelle abo

Diese wurde bei Bild 3-27 der Einfachheit halber in den Ursprung R = T = 0 gelegt.

Wir nehmen an, daB die B-Linie an der Tangentialstelle einen endlichen Krummungs­

radius rep hat. Dann kennen wir B(aep(R,T)) in der Nahe der Tangentialstelle durch

einen &-Kreis vom Radius rep und dem Querschnitt IVaep(O,O)I-1 ersetzen (Bild 3-28).

Die Projektion solch eines &-Kreises kennen wir dem vorangegangenen Beispiel 11/

entnehmen. Wir mOssen lediglich R gegen (R - rep) substituieren, da der Kreis nun

nicht mehr im Ursprung sondern bei (R,T) = (rep'O) zentriert ist (Bild 3-28), und erhalten

fOr 0 < R < 2rep

Nachdem uns nur das Verhalten nahe der Poistelle interessiert, kennen wir

annehmen. Wir erhalten schlieBlich die Ntiherung fOr die Projektion up(R;<p) nahe der

Tangentialstelle zu

(3-61 )

Anmerkung Damit haben wir die zu untersuchende &-Linie zwar zuerst durch einen Kreis, dann aber dies,m durch eine Parabel ersetzt, die an der Tangentialstelle in Orientierung, KrOmmung und Querschnitt mit der ursprOnglichen Linie Obereinstimmt (Bild 3-28).

R

Bild 3-28: Verschiedene Naherungen der &-Linie aus Bild 3-27

80

Mit der Korrespondenz (Tabelle 2-3)

y(R) R -1/2 0-- 112 [1 - j sign(fR)) IfRI-1/2 = (2IfRD -1/2 e-j(7tf4)sign(fR)

kennen wir (3-61) Fourier-transformieren und damit das asymptotische Verhalten von

Up(fR;<p) fOr fR -+ 00 angeben:

(3-62a)

Liegt die Tangentialstelle nicht wie hier angenommen bei R = O. sondern an einer

beliebigen Stelle R = Rep. so kommt zum Ausdruck (3-62a) lediglich der Phasenfaktor

e-j2ltRepfR

hinzu. FOr das Betragspektrum gilt in jedem Fall

(3-62b)

Zusammenfassend bedeutet dies fOr das asymptotische Verhalten des (Betrags-)

Spektrums von &-Linien:

Bei Projektionswinkeln <po bei denen die ~-Linie eine Tangente hat. fallt (bei endli­

chem KrOmmungsradius rep an der Tangentialstelle) das Spektrum mit fR -1/2 zu hohen

Frequenzen hin abo Dabei weist das Betragspektrum fOr fR -+ 00 einen azimutalen

Verlauf (d.h. Ober <p) auf. welcher proportional zum Querschnitt lVaepl-1 der ~-Linie an

der jeweiligen Tangentialstelle und zu rep 1/2 ist. Bei Winkeln. bei denen keine

Tangente existiert. fallt dagegen das Spektrum mit mindestens fR -1 abo

So wie wir die Spektren von &-Linien asymptotisch abgescMtzt haben. ist dies auch

fOr gekrOmmte ~-FUichen meglich. Die Herleitung wollen wir hier nicht im Detail

nachvollziehen; lediglich das Ergebnis fOhren wir der Volistandigkeit halber auf [3.111:

In den Richtungen. unter denen bei (planarer) Projektion der &-Flache mindestens ein

Tangentialpunkt auftritt. an welchem die Flache endliche (und positive) KrOmmung

hat. fallt die HOlikurve des Spektrums mit fR -1 abo Bei anderen Richtungen (ohne

Tangentialpunkt) ist der Abfall mindestens entsprechend fR- 3/2.

3.4 Spezielle Gesetze fur zweidimensionale Signale

Nachdem zweidimensionale Signale meist Funktionen der Ortskoordinaten x und y

sind (z.B. Bildsignale). ersetzen wir in diesem Abschnitt die bisher verwendeten

Variablen x1' x2 und f1• f2 durch x. y und fx. fy und fassen sie im Ortsvektor

r = (X,y)T

mit

bzw. im Ortsfrequenzvektor

fr = (fx,fy)T

derLange

fr = Ifrl = (fx 2+fy 2) 1/2

81

zusammen. FOr zweidimensionale Fourier-Korrespondenzen verwenden wir das

Symbol

(3-63a)

mit +00

U(fx,fy) = If u(x,y) e-j21t(xfx+yfy) dxdy (3-63b) -00

und +00

u(x,y) = If U(fx.fy) ej21t(xfx+yfy) dfxdfy . (3-63c)

Die Basisfunktionen ej21t(xfx+yfy), nach denen hier das Signal entwickelt wird, sind

zweidimensionale komplexe harmonische Schwingungen. FOr einen speziellen

Frequenzvektor fr = fa ist solch eine Funktion in Bild 3-29 skizziert. Die Phase wachst

linear in der durch den Frequenzvektor vorgegebenen Richtung, quer dazu ist sie

konstant. Diese elementare Funktion hat nach dem Verschiebungssatz die o-Funk­

tion o(fr - fa) als Fourier-Transformierte. Zur DurchfUhrung der zweidimensionalen

Fourier-Transformation muB das Signal also mit der skizzierten Basisfunktion multi­

pliziert und das Integral Ober das Produkt an der Stelle fr = fa in die Fourier-'Ebene'

eingetragen werden - und dies fUr Frequenzvektoren aller Richtungen und Betrage.

Bild 3-29: Basisfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihr Spektrum

82

Far manche Anwendungen ist es gOnstiger, Signal und Spektrum nicht in karthesi­schen, sondern in Polarkoordinaten darzustellen (Bild 3-30). Wir schreiben in diesem

Fall zur einfacheren Unterscheidung:

"(r,<p) := u(x,y) = u(r cos<p, r sin<p)

und

Dann gehen die Fourier-Integrale Ober in

00 +x U(fr,cII) = J r J "(r,<p) e-j2xrfrCOS(cII- <p) d<pdr

o -x

und

00 +x "(r,<p) = J fr J U(frocll) ej2xrfrCos(cII- <p) dclldfr .

o -x

(3-64a)

(3-64b)

Aus dieser Darstellung erkennen wir, daB eine Drehung des Signals eine ebensolche des Spektrums bewirkt, wie schon im vorausgegangenen Abschnitt hergeleitet.

y

----~--~---+ x

Bild 3-30: Polarkoordinaten in Orts- und Frequenzbereich

Rotationssymmetrlsche Signale und Spektren

1st das Signal rotationssymmetrisch, also

"(r,<p) = ur(r) ,

so gilt dies auch fOr das Spektrum

U(frocll) = Ufr(fr) .

fx

In diesem Fall kennen wir in (3-64a) ur(r) aus dem inneren Integral Ober <p heraus­

ziehen und erhalten mit der Beziehung

+x J eix cosa da = 2x Jo(x) -x

83

den als Hanke/-Transformation (nullter Ordnung) bezeichneten Zusammenhang

zwischen den Radia/schnitten ur(r) und U'r(fr) von Signal und Spektrum1:

00

U'r(fr) = 21t f r ur(r) JO(2ltrfr) dr o

bzw.

00

ur(r) = 21t f fr Ufr(fr) JO(21trfr) dfr ' o

symbolisch auch

oder

Wenn wir im folgenden M.ufig auch

ur(r) O===e Ufr(fr)

schreiben, so denken wir uns dabei die Argumente ersetzt durch

r = (x2+y2) 1/2 bzw. fr = (fx 2+f/) 1/2 .

Die Hankel-Transformation ist symmetrisch, d.h.

KO-1{.} =Ko{.}·

(3-65a)

(3-65b)

(3-65c)

(3-66)

Sie ist ein Sonderfall (fOr n = 2) der Transformationsformel bei Rotationssymmetrie

aus Tabelle 3-2. In Tabelle 3-3 sind einige ihrer Korrespondenzen zusammengestellt.

Urn diese auf gegebene Signale anzuwenden, ist es haufig notig umzunormieren,

d.h. den Ahnlichkeitssatz anzuwenden. Nachdem es sich urn zweidimensionale

Signale und Spektren handelt, gilt hier natOrlich (s. Abschnitt 3.3, Beispiel I, b)

(3-67)

Weitere Gesetze und Korrespondenzen finden sich z.B. in [3.1, 3.4-3.6].

Die Hankel-Transformation berechnet nach (3-65a) den Radialschnitt des Spektrums

aus dem des Signals (Bild 3-31, oben). Das Zentralschnitt-Theorem aus (3-60)

andererseits stellt den Zusammenhang zwischen einer Projektion up(R;cp) des Signals

und einem Schnitt Ucp(fR,O) durch dessen Spektrum her. Bei rotationssymmetrischen

Signalen und Spektren entfallt dabei die Abhangigkeit von cpo Wir setzen beispiels­

weise den Projektionswinkel cp = 0 und damit R = x (Bild 3-31, unten):

(3-68)

1 Wegen der Besselfunklion JO(.) s. Bild 3-26, rechls unlen.

84

Tabelle 3-3: Einige Hankel-Korrespondenzen

Ortsbereich ur(r) -0- Ufr(fr) Spektralbereich

~-Kreis B(r- ro) 21tr 0 Jo(21tr Ofr)

Kreisscheibe rect[r/(2ro)] ro J1 (21trofr}lfr 'Sombrero'-Funktion

Kreisring rect[r/(2ra)] - rect[r/(2ri)] [r aJ1 (21tr afr) - riJ1 (21trifr)]/fr

einfacher Pol r-1 f -1 r einfacher Pol

Gau8-Funktion -1tr2 -1tf 2

e e r Gau8-Funktion

quadratische Phase e j1tr2 . -j7tf 2

J e r quadratische Phase

(ro2 - r2)-1/2 rect(r/(2ro)) 21tr 0 si(21tr ofr) si·Funktion

u r(r) Ufr(fr )

t ~r -0- l-" t fy Schnitt y Schnitt

I x,Y I x O====e fx

I I Projektion Schnitt

~LE-U(fx'O)

~ x= R A" x <>---e

Bild 3-31: Zusammenhang zwischen Hankel-Transformation (oben) und Zentralschnill-Theorem (untenl bei einem rotationssymmetrischen Signal (mittel

Damit kennen wir nun auch den Radialschnitt ur(r) aus der Projektion up(x) eines rota­

tionssymmetrischen Signals berechnen. Dazu bestimmen wir zuerst durch eindimen­

sionale Fourier-Transformation U(fx,Q). Da dieses Spektrum fOr positive Frequenzen

gleich Ufr(fr) ist, kennen wir daraus durch Hankel-Transformation den Radialschnitt

ur(r) angeben:

Der umgekehrte Berechnungsweg ist natUrlich auch moglich:

up(x) = 'F -1{f!o{ur(r)}} ,

(3-69a)

(3-69b)

85

wobei HO{ur(r)} = Ufr(fr) symmetrisch fortgesetzt werden muB, urn U(fx.D) zu erhalten

(s. FuBnote S. 75). Die Berechnung der Projektion aus dem Radialschnitt eines rota­

tionssymmetrischen Signals nach (3-69b) kann man in einer einzigen Integral­

transformation zusammenfassen. Diese ist unter dem Namen Abel-Transformation

[3.1] bekannt. Entsprechend ist (3-69a) die Abel-ROcktransformation.

Zirkularharmonische Signale

Eine weitere interessante Klasse von Signa!en sind solche, welche in r und cp sepa­

rierbar sind, also

(3-70a)

Ein Spezialfall davon sind Signale mit

u<p(cp) = eimcp , d.h. u(r,cp) = ur m(r) eimcp . (3-70b).

Diese Signale nennt man zirkular-(oder azimuta~harmonisch. Sie weisen m-fache

Rotationsperiodizitat auf. Solch ein Signal in (3-64a) eingesetzt, ergibt mit

+1t f ej(ma- x sina) da = 21t Jm(x) -1t

das Spektrum

U(fr,cp) = 21t eim(cp -7tl2) f r ur.m(r) Jm(21trfr) dr . o

Offensichtlich ist dieses ebenfal/s zirkularharmonisch vom Typ

U(fpcp) = Ufr,m(fr) U.p(cp)

mit U.p(cp) = eim(cp - 7tl2) = (_ j)m eimcp .

(3-71 )

(3-72a)

(3-72b)

Der azimutale Verlauf U.p(cp) ist lediglich gegenOber u<p(cp) urn - m1t/2 gedreht (bei

Verwendung gleichorientierter Koordinatensysteme fOr Signal und Spektrum). Es

genOgt also auch hier, den Radialschnitt Ufr,m(fr) ZU berechnen. Dies leistet die

Hankel-Transformation m-ter Ordnung, welche sich aus (3-71) zu

86

00

U'r,m(fr) = 21t J r ur,m(r) Jm(21trfr) dr o

bzw.

Ur,m(r) = 21t J fr U'r,m(fr) Jm(21trfr) dfr o

(3-73a)

(3-73b)

ergibt. FOr m = 0 sind darin auch rotationssymmetrische Signale enthalten. Wir

verwenden das Symbol'- m -' oder :H:m{.}. Wegen

J_ m(x) = (-1)m Jm(x)

gilt fOr negative Ordnungen

Bei reel/en Signalen kann eine Rotationsperiodizitat z.B. in der Form

u(r,<p) = ur,m(r) cos(m<p) = ur,m(r) (eim<P+e-im<P)/2

vorliegen. Dann gilt fOr das Spektrum entsprechend

U(fpq,) = U'r,m(fr) [(- j)m eimq, + (-1 )mO)m e-imq,]/2

= (- j)m U'r,m(fr) cos(mq,) .

Beispiel I

(3-74)

(3-75a)

(3-75b)

Die Integrale, die bei der Hankel-Transformation m-ter Ordnung au/treten, fuhren meist auf relativ kompli­zierte AusdrUcke, sofern sie uberhaupt analytisch IOsbar sind. Ein sehr einfaches Beispiel jedoch ist das folgende: Ein Signal von radialemVertauf ur(r) = r-1sei azimutalcos-formig moduliert (Bild 3-32):

u(r,<p) = r-1 cos(mcp) .

Den Radialschnitt ur,m(r) = r-1 in (3-73a) eingesetzt ergibt

U'r,m(fr) = 2lt J Jm(2ltrfr) dr .

Wegen

fUr m~O

erhalten wir schlieBlich die Korrespondenz

r-1 -m- fr- 1

fur aile m ~ 0 (fur m = 0 s. auch Tabelle 3-3). Man beachte, daB diese Korrespondenz eine Ausnahme darstelll, normalerweise ist die Hankel-Transformierte sehr wohl von m abMngig. In unserem Fall jedoch erhallen wir das einfache Ergebnis

(i)

Signal und Spektrum sind also bis auf die Konstante (- j)m gleich. Die Spektren fUr gerade m sind reel/, da die zugehOrigen Signale gerade sind, wahrend bei ungeraden mauch die Signale ungerade und damit die Spektren rein imaginarsind (Zuordnungssatz).

87

y y

--~_,+-----~-++r~--~+-+------+---x --1------4~HK--+__H~~----~~-x

-,

m = 1: u(r,cp) = r -1 COS(cp)

y , y

-,

m = 2: u(r,cp) = r-1 cos(2cp) m = 3: u(r,cp) = r-1 cos(3cp)·

Bild 3-32: Das Signal u(r.cp) = r -1 cos(mcp) fUr m = 0 ... 3 skizziert in Form seiner 'Hohenlinien' bei u(.) =±1.0. ±2.0 ..... ±S.O; dicke Linien: positive. dOnne Linien: negative Werte

Beispiel II Das Signal

u.(r.cp) = r- 2 coscp

wollen wir auf zwei verschiedene Weisen Fourier-transformieren: 1. SelZen wir ur(r) = r- 2 in (3-73a) mit m = 1 ein. erhallen wir wegen

J J1(x)/x dx = 1

und mit (3-7Sb) das Spektrum zu

(i)

2. u.(r.cp) kann aber auch als Differentiation nach x der einfachen rotationssymmetrischen Polfunklion verslanden werden:

88

Mit dar Korrasponclanz

r-1 -0- fr- 1

unci dam Differentiationssatz amaHan wir abanfalls das Spaktrum aus (i)

Entwlcklung In Zirkularharmonlsche

Mit dem bisher Gesagten kannen wir die sog. Zirku/arharmonischen-Entwick/ung

eines Signals zu verstehen [3.5]. Dazu betrachten wir ein beliebiges zweidimen­

sionales Signal und sein Spektrum im jeweiligen Polarkoordinatensystem (Bild 3-33):

u(x,y) = u.(r,<p)

und

Trivialerweise sind u.(r,<p) und U(fpcjl) in 'II bzw. cjI periodisch mit der Periode 21t. FOr

einige AnwendungsUille ist es notwendig, z.B. das Signal einer azimuta/en

Spektra/ana/yse zu unterziehen, d.h. die Fourier-Transformation bezOglich 'II durchzufOhren. Wegen der angesprochenen Periodizitat besteht diese - fOr jeden

festen Wert von r -Iediglich aus I5-lmpulsen bei f'P = 0, ±1/(21t), ± 1/(41t), ... , also

'I' u.(r,<p) 0-

+00

L ur.m(r) l)(f'P - m/(21t)} . 1T1=-

(3-76a)

Das Signal u.(r,<p) laBt sich also als Summe von Zirku/arharmonischen schreiben:

u.(r,<p) = L ur,m(r) ejm<p . (3-76b) m

Dies ist eine Fourier-Reihe. Solche haben wir bisher bewuBt ausgespart, da sie zum

Verstandnis dieses Buches nicht unbedingt notwendig sind; die Koeffizienten ur,m(r)

lassen sich namlich auch als die Impulsintegrale der I)-Funktionen der Fourier­

Transformierten bestimmen, wie wir das hier getan haben.

Wir berechnen nun das Spektrum U(fr'cjI) des Signals unter BerOcksichtigung der Dar­

steilung von (3-76b). Dazu benutzen wir (3-72a,b) und kOnnen sofort angeben

U(fr'cjI) = L U'r,m(fr) ejm(cjI+1t/2) = L (- j)m U'r,m(fr) eimcjl (3-77a) m m

mit

ur,m(r) - m - U'r,m(fr). (3-77b)

Diese Darstellung ist offensichtlich ihrerseits eine Zirkularharmonischen-Entwicklung

89

des Spektrums. Wir erhalten somit als Ergebnis (Bild 3-33):

Der mote Koeffizient (- j)m Ufr m(fr) der Zirkularharmonischen-Entwicklung des Spek­

trums ist - bis auf den Faktor (_j)m - die Hankel-Transformierte m-ter Ordnung des

m-ten Koeffizienten ur,m(r) der entsprechenden Entwicklung des Signals.

y

I POlarkoordinaten-Darstellung

x,y a • fx

I Polarkoordinaten-Darstellung

f, U(f"I»~

Bild 3-33: Zirkularharmonischen-Entwicklung eines Signals (links) und seines Spektrums (rechts); die i. allg. komplexwertigen Spektralwerte sind betragsmilBig skizziert

90

Beispiel III Gegeben ist das in r und IjI separierbare reelle Signal

u(r,ljI) = r-1 uq>(IjI) . (i)

Wegen des speziellen Radialverlaufs u,(r) = r-1 ergeben sich die Zirkularharmonischen Ufr m(9 des Spektrums aus ur,m(r), denen des SignalS, mit der einfachen Korrespondenz (i) in Beispiel I zu'

fOr m<:O,

d.h. die Koefiizienten des Signals und des Spektrums sind - bis auf den Faktor (- j)m - identisch. 1st das Signal punktsymmetrisch, d.h.

uq>(IjI) = uq>(1jI + It) ,

so verschwinden aile ungeradzahligen Zirkularharmonischen und

(_j)m= 1,-1,1, ... fOr m=O,2,4, ....

Zirkularharmonische, welche Ciber dem Winkel 7tl2 bereits eine ganze Anzahl von Perioden durchlaufen, erscheinen in Signal und Spektrum gleich, wahrend solche, die bei 7tl2 gerade gegenphasig zum Wert bei IjI = 0 sind, negativeingehen. Beide Faile kann man als Drehung um 7tl2 interpretieren. Ein punktsym­metrisches Signal vom Typ (i) hat also sich selbst - um 7tl2 'gedreht' - als Fourier-Transformierte:

u(r,ljI) = r-1 uq>(IjI) = u.(r,<p+It) Od-l!=_ U(fr,41) = fr- 1 uq>(41 ± 7tl2) = u.(fr,41 ± 7tl2) . (i~

3.5 Spezielle Gesetze fUr dreidimensionale Signale

Fur dreidimensionale Fourier-Korrespondenzen benutzen wir - falls die Zahl der

Dimensionen sofort erkennbar sein soli - das Symbol

u(X,y,z) 0===- U(fx,fy.fz) ,

sonst jedoch meist das aus (3-47c).

Sind Signal und Spektrum in Kugelkoordinaten gegeben (Bild 3-34),

u(r,<p,l'}) := u(r sinl'} cos<p, r sinl'} sin<p, r cosl'})

und U(f"c!>,9) := U(fr sine cosc!>, fr sine sinc!>, fr cos9) ,

so gelten die Transformationsgleichungen

00 It +It

U(fr,c!>,e) = J r2 J sinl'} J u(r,<p,l'}) e-j2ltrfr(cos9 cosl'}+sin9 sinl'} cos(<p -c!») d<pd1'}dr

o 0 -It (3-78a) und

00 It +It

u(r,<p,l'}) = J f/ J sin9 J U(fp«l>,9) ej2ltrfr(cos9 cosl'}+sin9 sinl'} cos(<p - «1») d$d9dfr·

o 0 -It (3-78b)

91

y

(X,y,z)

z

Bild 3-34: Kugelkoordinaten in Orts- und Frequenzbereich

Wieder erkennen wir, daB eine beliebige Drehung des Signals eine ebensolche des

Spektrums bewirkt.

Liegt Kugelsymmetrie vor, d.h.

u.(r,<p,t}) = ur(r) und

so verbindet nach Tabelle 3-2 folgende Transformation die Radialschnitte von Signal

und Spektrum:

und

7- ffr Ufr(fr) sin(21trfr) dfr . o

(3-79a)

(3-79b)

(Dabei haben wir die Beziehung J 1I2(x) = [2/(1tx)]1/2 sin(x) benutzt.) Einige kugelsym­

metrische Signale und ihre Spektren sind in Tabelle 3-4 zusammengetragen.

3.6 Bemerkenswertes und Asymptotisches

In den Korrespondenztabellen 2-3, 3-3 und 3-4 sind einige interessante Signale und

Spektren enthalten. Manche von ihnen werden otters fur grobe asymptotische Ab­

schatzungen benutzt, andere zeigen systematische Unterschiede oder Gemeinsam­

keiten bei verschiedenen Dimensionalitaten auf. Die folgende Betrachtung ausge­

wah Iter Signale und Spektren soli das Verstandnis dieser GesetzmaBigkeiten fordern.

92

Tabelle 3-4: Einige dreidimensionale kugelsymmetrische Signale und ihre Spektren

Ortsbereich ur(r) U'r(fr) Spektralbereich

6-Kugel S(r- ro) 4rer 02 si(2rer ofr) si-Funktion

6-Dipolkugel S'(r - ro) - 2 [sin(2rer ofr)+2rcfrr ocos(2rer ofrHltr

r-1 S'(r - ro) - 4re cos(2rer ot,) cos-Funktion

(Vo"-)Kuge' rect[r/(2ro)] [sin(2rer Ofr) - 2rcfrr ocos(2rer ofr)]/ (2re2f,3)

(r2 - r02)-1 TC cos(2rer Ofr)/fr

(r2 + r02)-1 re e- 2rer Ofr It r (meN) si(2rear) rect(ar/m) ( -1)m m si(remf/a)/[2rea(f,2 - a2)]

eineinhalb-facher Pol r- 3I2 f -312 r

einfacher Pol TC r-1 f -2 r

-rer2 -TCf 2 Gau8-Funktion e e r

jrer2 . f 2 quadratische Phase ·312 -.Ire r e J e

Wir verwenden hier wieder die allgemeinen Variablen

x = (x1.x2 ..... xn)T

und

eineinhalb-facher Pol

doppelter Pol

Gau8-Funktion

quadratische Phase

Rotationssymmetrische Signale und Spektren sind dann Funktionen von

r := Ixl = (x12+X22+ ... +xn2)1/2

b~w.

fr := If I = (f12+fl+ .. ·+fn2)1/2 .

GauB-Funktionen

Die mehrdimensionale rotationssymmetrische GauB-Funktion

2 e- rer

ist separierbar:

- rer2 - rex12 - rex22 - rex 2 e = e • e ..... e n

Nach dam ~Separierungssatz gilt dann dasselbe fOr das Spektrum. und wir erhalten

unabhangig von der Dimensionenzahl:

93

I _1tf2 e r. (3-80) I

Die GauB-Funktion geht also durch Fourier-Transformation in sich selbst Ober. Auffal­

lend ist, daB sie zwar rotationssymmetrisch, jedoch zusatzlich separierbar ist.

Signale mit quadratischer Phase

Ebenfalls rotationssymmetrisch und separierbar sind Signale vom Typ

. 2 . 2 . 2 . 2 eJ1tr = eJltX1 • elltX2 •...• eJltXn ,

also solche mit Ober dem Radius quadratisch verlaufender Phase. Nach Tabelle 2-3

gilt im Eindimensionalen

o-e

Bei n Dimensionen bedeutet dies

jltr2 x .nl2 -jltf l e 0-- J e

und damit z.B. auch

COS(ltfr2 - nl4) fUr n=1

sin(ltfr2) fOr n=2

cos(ltr2) O-e Sin(ltf/ - nl4) fUr n=3

- cos(ltfr2) fOr n=4

Polfunktionen

Aus Tabelle 2-3 kennen wir bereits die Korrespondenz

Itl-1/2 o-e Ifl-1/2 .

(3-81 a)

(3-81 b)

Bei zweidimensionalen Signalen gilt nach Tabelle 3-3 die entsprechende Korrespon­

denz fOr den einfachen Pol

r-1 0==- f -1 r '

(3-82)

wah rend im Dreidimensionalen

94

r- 3/2 0==- f -3/2 r

gilt. Aligemein gehen also n-dimensionale rotationssymmetrische Signale der Form

r- nl2 durch Fourier-Transformation in sich selbst Ober:

r- nl2 02- f - nl2 r . (3-83) I

Um uns mit diesen speziellen Signalen vertrauter zu machen, betrachten wir nun statt

des Signals u(x) = r - n/2 aus (3-83) dessen Leistung, also

lu(x)12 = r-n.

Welche Energie steckt nun in einer Hyper-Kugelschale - also einer Kreislinie bei

zwei und einer Kugelflache bei drei Dimensionen - der differentiellen Dicke dr? Die

Oberflache dieser Hyper-Kugel ist offensichtlich proportional zu r" - 1, und damit ist ihr

differentie/ler Energiebeitrag

d 'Energie' dr

Wegen (3-83) gilt dies auch fOr den Spektralbereich:

d 'Energie' dfr

Interessanterweise ist dieser Verlauf von der Dimensionenzahl n unabhangig.

o-Linien, B-Flachen

(3-84a)

(3-84b)

Die Transformierten von B-Punkt, o-Gerade und o-Ebene haben wir bereits in Ab­

schnitt 3.3 besprochen. Dort hatten wir auch das asymptotische Verhalten der

Spektren gekrOmmter o-Linien bzw. B-Flachen hergeleitet. Ein Sonderfall davon is!

der B-Kreis bzw. die o-Kugel, allgemein also ein Signal der Form

u(x) = o(r - ro) .

1m Eindimensionalen entartet o(r - ro) mit r = It I zu zwei B-Impulsen mit einem cos­

f6rmigen Spektrum:

o(ltl- to) = o(t+to) + o(t - to) 0-· 2 cos(21ttof) .

Der (zweidimensionale) o-Kreis hat nach Tabelle 3-3 als Spektrum

o(r - r 0) Q====e 2m 0 Jo(21tr ofr}

und die o-Kugel

95

Bei n Dimensionen berechnet sich allgemein nach Tabelle 3-2 der Radialschnitt des

Spektrums eines rotationssymmetrischen Signals zu:

Speziell mit ur(r) = o(r - r 0) erhalten wir

(3-85)

Interessant ist auch das asymptotische Verhalten dieser Spektren. Bei Besselfunktio­

nen gilt allgemein

fUr x ~ OQ.

Dies in (3-85) eingesetzt ergibt fUr fr ~ OQ

Die spektrale Hullkurve fUr fr ~ 00 hat demnach den Verlauf

2 (f Ir )(1 - n)/2 r 0 '

(3-86a)

(3-86b)

was fUr n = 1 eine Konstante, fUr n = 2 einen fr- 1/2 -Abfall und fUr n = 3 einen fr- 1-Ab­

fall bedeutet. Gerade dies haben wir schon in Abschnitt 3.3 fOr o-Linien und o-Flachen

endlicher KrOmmung hergeleitet.

Betrachten wir die spektrale Energieverteilung Ober der Radialfrequenz fro so erhalten

wir unter Vernachlassigung der cos-Funktion, also fUr die Hullkurve

d 'Energie' _ f 1 - n f n -1 _ dr r r - const .

Hier ist offensichtlich die Energie im Spektralbereich gleichmaBig verteilt, wahrend

sie im Ortsbereich beim Radius ro konzentriert ist.

o-GeradenbOschel, 1>-EbenenbOschel

Weitere fOr das folgende interessante o-Funktionen sind Geraden- bzw. Ebenen­

buschel. Darunter wollen wir ein Ensemble von 1>-Geraden bzw. o-Ebenen verstehen,

welche sich im Ursprung schneiden. In Bild 3-35, oben ist ein GeradenbOschel im

Zwek:timensionalen skizziert. Die Querschnitte der 1>-Geraden seien konstant und aile

gleich grol3. Nachdem eine einzelne o-Gerade eine ebensolche - allerdings dazu

96

senkrecht stehende - als Spektrum hat, ist die Fourier-Transformierte solch eines

GeradenbOschels dasselbe um rc/2 'gedrehte' GeradenbOschel (Bild 3-35,oben).

Ein Sonderfall sind BOschel mit konstantem Winkelinkrement.icp = rc/p, wobei p die

Anzahl der Geraden sei (Bild 3-35, unten). Speziell bei gerader Anzahl p geht das

BOschel durch Drehung um rr.l2 in sich selbst Ober, d.h. Signal und Spektrum sind

identisch. Die mittlere Belegung der x1 ,x2-Ebene mit Geraden ist hier proportional zu

r-1 im art und zu fr- 1 im Spektrum. 1m Grenzfall p --700 geht also dieses BOschel in

die r -1-Funktion Ober; sein Spektrum wird zu fr-1. Damit erklart sich auch die

Korrespondenz aus (3-82).

Bild 3-35: S-Geradenbuschel und ihre zweidimensionalen Spektren

Anmerkung Durch GeradenbOschel mit sehr vielen - geeignet uber dem Winkel <p verteilten - Geraden konnen zwei­dimensionale punktsymmetrische Funktionen vom Typ

angeniihert werden, wie wir sie schon in Beispiel 111 aus Abschnitt 3.4 diskutiert haben. Nachdem das Spektrum eines Geradenbuschels dasselbe um w2 'gedrehte' Buschel ist, ist damit - im Grenzlall unendlich vieler Geraden - auch das Spektrum von u.(r,<p) gleich u.(lr,<I> ± w2). Dieses Ergebnis haben wir auch im genannten Beispiel erha~en (Gleichung (ii)).

Eine frGerade im Dreklimensionalen hat nach Abschnitt 3.3 eine S-Ebene als Spek­

trum, und damit korrespondiert hier ein GeradenbDschel mit einem EbenenbDschel

und umgekehrt. Dabei ki:lnnen die Geraden natUrlich beliebig im Raum orientiert sein.

Eine wichtige Einschrankung jedoch ergibt sich dabei im Vergleich zum zweidimensi-

97

onalen GeradenbOschel: wah rend im Zweidimensionalen be/iebig viele Geraden wie

in Bild 3-35, unten, mit konstantem Winkelinkrement d<p angeordnet werden konnten,

gibt es nur wenige solcher regularer Anordnungen im Dreidimensionalen bezOglich <p

und ~. Der Grund dafOr liegt in der Nichtabwickelbarkeit einer Kugeloberflache auf

eine Ebene im Gegensatz zur Abwickelbarkeit eines Kreises auf eine Gerade.

Denken wir uns eine konzentrische Kugelschale um ein dreidimensionales Geraden­

bOschel und markieren darauf die 'DurchstoBpunkte' der Geraden (Bild 3-36). LaBt

sich eine regulare Verteilung von p Geraden Ober den Winkeln <p und ~ finden, so

formen die an jeden dieser Punkte gelegten Tangentialflachen einen regularen die

Kugel umschreibenden KOrper, also ein regulares Polyeder (oder einen platonischen

Korper). Von diesen gibt es aber nur fDnfverschiedene, und zwar

das Tetraeder den Warfel das Oktaeder daslkosaeder das Dodekaeder

mit 4, mit 6, mit 8, mit 12, mit 20 Begrenzungsflachen .

Da das Tetraeder nicht punktsymmetrisch ist, jede Gerade aber zwei diametral zum

Ursprung liegende 'DurchstoBpunkte' erzeugt, folgt daraus, daB es im Dreidimensi­

onalen nur vier verschiedene regulare GeradenbDsche/, namlich die mit

p = 3, 4, 6 und 10

Geraden gibt. Dasselbe gilt wegen der angesprochenen Fourier-Korrespondenz auch

fOr dreidimensionale EbenenbOschel. FOr sehr hohe Werte von p kann man jedoch

wieder annahernd regulare Anordnungen finden .

.•.•••.•••••.••••••.•. x1

Bild 3-36: Geradenbiischel im Dreidimensionalen. charaklerisiert durch das Punktmusler. das die Geraden beim Schnitt mit einer konzentrischen Kugel erzeugen

Ein dreidimensionales GeradenbOschel belegt den Raum fOr p -+ 00 proportional zu

r-2. Das spektrale EbenenbOschel jedoch belegt den Fourier-Raum proportional zu

fr-1. Die Korrespondenz

98

bzw. f- 2 r

aus Tabelle 3-4 finden wir damit bestatigt.

1m Vieroimensionalen gibt es sechs sog. regulare Polytope, wovon eines wieder

wegen fehlender Punktsymmetrie ausscheidet. Damit sind hier fUnf regulare Gera­

denbOschel moglich, und zwar mit p = 4, 8, 12, 60 und 300.

Asymptotisches Verhalten von Spektren bestimmter Signalklassen

Das Verhalten von Spektren fOr If I -+ 00 wird wesentlich durch die Stetigkeitseigen­

schaften des Signals (und dessen Ableitungen) bestimmt, und umgekehrt.

1m Eindimensionalen gelten dabei folgende einfachen Zusammenhange (Bild 3-37):

Enthalt das Signal S-Impulse, so ist die HOlikurve seines Spektrums fOr f -+ 00

konstant, z.B.

o(t - to) 0--- e-j27ttof oder

O{t+to)+o{t - to) 0-- 2 cos(2lttof) .

Weist ein Signal u(t) selbst keine o-Impulse, jedoch Sprunge auf, so treten diese

in der ersten Ableitung d u(t)/dt wieder in Form von Impulsen in Erscheinung. Mit

dem Differentiationssatz (Tabelle 2-2)

d u(t)/dt 0--- j27tf U(f)

bedeutet dies, daB nun U2ltf U{f)] fOr f -+ 00 eine konstante HOlikurve aufweist

und damit U(f) mit f -1 abfallt, z.B.

sign(t) 0--- Oltf)-1 oder

rect{tIT) 0--- sin(ltTf)/{7tf) .

- Knicke im Signalverlauf verursachen dann einen f - 2-Abfall des Spektrums, z.B.

tri(tIT) 0-- 11T [sin{ltTf)/(ltf)]2 .

Treten also allgemein in der v-ten Ableitung eines eindimensionalen Signals erstma­

lig o-Impulse auf, so fallt dessen Spektrum asymptotisch mit f - v abo Spektren von

Signalen, deren samtliche Ableitungen stetig sind (und die nicht beliebig hochfre­

quent oszillieren), fallen damit starker als jede Potenz von f ab, z.B. (Bild 3-37, unten)

-7tt2 - 7tf2 e 0-- e

t u(t)

I t

u(t)

u(t)

• • • u(t)

U(f)

\ - f-1 '. / L$ '. /"""\.. ........• ~ ....

~ V....., U(f)

~ . - f- 2 ... / ' . ....

~"'f

• • • U(f)

4<-Bild 3-37: Oas asymptotische Verhalten der Spektren verschiedener eindimensionaler Signale

99

Wollen wir diese Betrachtungen auf mehttlimensionale Signale erweitern. sehen wir

uns mit der Schwierigkeit konfrontiert. daB nun die Spektren fOr verschiedene Winkel

<I> (oder 9 und <1» unterschiedliches asymptotisches Verhalten aufweisen kennen. So

hat z.B. eine 5-Gerade ein extrem anisotropes Spektrum. welches in einer Richtung

unendlich ausgedehnt. in der anderen jedoch unendlich schmal ist. Solche speziel­

len Signale (welche ja eigentlich niedrigere Dimensionalitiit aufweisen) wollen wir

von der folgenden Betrachtung ausschlieBen. Dann kennen wir mehrdimensionale

Signale und das asymptotische Verhalten ihrer Spektren einteilen in:

Signale. welche fI-Punkte enthalten. Diese haben ein fOr fr -+ 00 konstantes

Betragsspektrum:

- Signale. welche eindimensionale fI-Funktionen (z.B. fI-Linien bei n = 2 oder fI-Flii­

chen bei n = 3) endlicher Krummung enthalten. Nach Abschnitt 3.3 fallen deren

100

Spektren mit fr- 1/2 bzw. fr- 1, allgemein also mit fr-(n-1)/2, ab, z.B. (Bild 3-38, oben)

l5(r-ro) e==- 27troJo(27trofr) [-fr-1/2] oder

Signale mit SprOngen. Wieder lassen sich solche durch Differentiation (in

geeignet gewahlter Richtung) auf - eindimensionale - I5-Linien (bzw. I5-Flachen)

zurOckfOhren. Sind diese von endlicher KrOmmung, so fallen die Spektren

solcher Signale mit fr- 3/2 (n = 2) bzw. fr- 2 (n = 3 ) oder allgemein mit fr- (n+1)/2

abo Beispiele sind (Bild 3-38, unten):

und

Die HOllkurve des Betragsspektrums eines n-dimensionalen Signals, bei dessen v-ter

Ableitung erstmals Unstetigkeiten in Form von - eindimensionalen - I5-Linien

(I5-Flachen, ... ) endlicher KrOmmung auftreten, verhalt sich also fOr fr -7 00 wie

fr- [(n -1)/2+v] .

FOr Signale mit Polen oder beliebig hochfrequenten Oszillationen, wie sie z.B. qua­

dratische Phasenverlaufe fOr r -7 00 aufweisen, gilt diese Betrachtung nicht.

Signal zweidimensionales Spektrum dreidimensionales Spektrum

rect(r/D)

R-r -f- 2

...•••• ~ r .-. ---- f r

Blld 3-38: Asymptotisches Verhalten der Spektren spezieller zwei- und dreidimensionaler Signale

4 Abtastung und Projektion mehrdimensionaler Signale

Bei vielen Signalverarbeitungsaufgaben, speziell bei Verwendung von Digitalrech­

nern, ist die Abtastung von Signalen unumganglich. In Abschnitt 2.8 haben wir diese

durch Multiplikation mit dem I)-Puis p(t/dt) beschrieben. 1m Eindimensionalen ist dies

die einzig mogliche Art einer regularen Abtastung; lediglich der Abtastabstand dt

sowie die relative zeitliche Lage des Abtastpulses zum Signal konnen verandert

werden. Unter 'regular' verstehen wir dabei, daB jeder Abtastimpuls dieselbe Umge­

bung hat. Bei mehrdimensionalen Signalen jedoch ergeben sich eine Vielzahl mog­

licher regularer Abtastfunktionen. So ist es z.B. moglich, nur in einer Dimension abzu­

tasten oder mit verschiedenen Abtastabstanden fOr die einzelnen Variablen. Einige

der moglichen Abtastschemata werden im folgenden diskutiert.

Die Abtastung eines Signals bedeutet Reduzierung seiner Dimensionalitat. So ent­

steht das eindimensionale Videosignal eines zweidimensionalen Bildsignals durch

dessen zeilenweise Abtastung. Eine weitere Moglichkeit solch einer Dimensions­

Transformation [4.1] stellen Projektionen dar. Speziell eine Paralle/projektion kann

aber nach dem Zentralschnitt-Theorem (Abschnitt 3.3) als Schnitt durch das Spektrum

verstanden werden. Ein ganzer Satz solcher Projektionen unter verschiedenen Win­

keln, wie er z.B. bei der Computer-Rontgen-Tomographie [4.2-4.7] gemessen wird,

entspricht dann der Abtastung des Spektrums auf einem Geraden- bzw. Ebenen­

bOschel. Einer anderen Projektionsmodalitat bedient man sich bei der Kernspin­

Tomographie [4.2,4.3,4.8]; hier ist es moglich, die Objektfunktion wahrend der

Projektion mit einem linearen Phasenfaktor zu belegen. Durch geschickte Variation

des Phasengradienten kann dann das Spektrum sogar auf einem regularen Raster

abgetastet werden. In den angesprochenen Fallen konnen also Projektionsprobleme

auf Abtastprobleme zurOckgefOhrt werden. Die Dualitat 'Abtastung - Projektion' wird

uns in den Beispielen in Abschnitt 4.2 noch ofters begegnen.

Wir wollen im folgenden unter Abtastung jeden Vorgang verstehen, der sich als

Multiplikation eines Signals u(x) mit einer Abtastfunktion a(x) beschreiben laBt:

Ud(X) = u(x) a(x) . (4-1 a)

Die Abtastfunktion muB dabei aus I)-Funktionen bestehen, z.B. aus I)-Flachen,

I)-Linien oder I)-Punkten. Das Spektrum des abgetasteten Signals ist in jedem Fall die

Faltung des Signalspektrums mit dem Spektrum A(f) der Abtastfunktion:

Ud(f) = U{f) * A{f) . (4-1 b)

Wie wir in Abschnitt 2.8 gesehen haben, ist eine - eindeutige - Rekonstruktion mit

Hilfe eines Interpolationsfilters immer dann moglich, wenn in U(f) * A(f) keine Alias­

Fehler, also keine Oberlappungen, auftreten. Bezeichnen wir Obertragungsfunktion

102

und Punktantwort des /nterpo/ationsfilters mit Sm bzw. si(x), so muB also gelten

U(f) = [U(f) * A(f)] Sm bzw.

u(X) = [u(x) a(x)] * si(x) .

(4-2a)

(4-2b)

Nehmen wir ein isotrop auf B begrenztes Signalspektrum U(f) an, so muB, wie man

sich leicht anhand von Bild 4-1 Oberlegen kann, A(f) von der Form

A(f) = 15(f) + Aa(f) mit

fOr If I ~ B

(4-3a)

(4-3b)

sein, damit (4-2a) erfOlit ist. Damit ist das Problem der Interpolation zumindest theore­

tisch gelest, und wir beschranken uns im folgenden auf die Diskussion verschiedener

Abtastfunktionen.

==

Bild 4-1: Allgemeinste Form des Spektrums A(f) einer Abtaslfunktion fur ein isotrop bandbegrenztes Signal

4.1 ReguUire Abtastfunktionen und deren Spektren

Elndlmenslonale Abtastfunktionen

In Abschnitt 2.8 haben wir den eindimensionalen 15-Puls p(tI~t) als Abtastfunktion

verwendet. Wir haben uns dabei der Korrespondenz

p(t1~t) := ~tL 15(t - ~t) 0-­k

L 15(f - if ~t) = ~t p(f~t) i

bedient. In zwei Dimensionen beschreibt z.B.

P(Xl/~Xl) = ~1 'L O(Xl - k6xl) k

einen &-Geraden-Puls, welcher in x2 konstant ist, also vollstandig als

P(xl/ ~xl) 1 (x2)

103

(4-4)

zu bezeichnen ware. Sein Spektrum kann mit Hilfe des Separierungssatzes sofort

angegeben werden:

(4-5)

und stellt einen o-Punkte-Puls entlang der frAchse dar (Bild 4-2, oben). Dabei sind

die Abstande der Geraden im Ort zu denen der Punkte im Spektrum reziprok. Bei

allgemeiner Orientierung des Geraden-Pulses gelten grundsatzlich dieselben Zusam­

menhange; wir verwenden dann zweckmaBigerweise statt Xl' X2 ein geeignet orien­

tiertes Sl' S2-Koordinatensystem im Ort und <jll' <jl2 im Spektrum (Bild 4-2, unten).

Xl Q:::==:e '1 -+I ~~

--.! ~Xl

14-

<jl2 f2

Sl

Xl Q:::==:e ! fl

I. 1/~~

Bild 4-2: Geraden-Pulse und ihre Spektren (im Zweidimensionalen)

Die Multiplikation eines Signals mit einem Geraden-Puls beschreibt die Abtastung

entlang paralleler Geraden, wie sie z.B. aus der Fernsehtechnik bekannt is!. FOr das

Signalspektrum bedeutet dies eine periodische Wiederholung, und zwar gerade an

den Stellen, an denen in A(f) die o-Punkte liegen. Wir nennen daher Spektren regula­

rer Abtastfunktionen Wiederholraster. In Bild 4-3 ist diese spektrale Wiederholung fOr

die diskutierte Abtastfunktion skizziert. Dabei wurde angenommen, daB das Signal-

104

spektrum U(f1,f2) in f1 und f2 begrenzte Ausdehnung hat. Die Bandbreiten sind mit B1

und B2 in Bild 4-3 eingetragen. Man erkennt, daB nicht unbedingt

~x1 < 1/B1 und ~x2 < 1/B2

gelten muB, wenn das Spektrum den Bereich

und

nicht vollsUindig ausfOlit. Vielmehr sind beliebige 'Schachtelungen' der Wiederhol­

spektren erlaubt, solange das Originalspektrum unbeeinfluBt bleibt. Die genaue Form

des Definitionsbereichs von U(f1.f2) muB natOrlich bekannt sein.

1m Dreidimensionalen ist p(x1/~x1) ein o-Ebenen-Puls. Das Spektrum ist jedoch

wieder ein O-Punkte-Puls entlang der frAchse:

(4-6)

Eine Abtastung mit einem Ebenen-Puls kann dazu verwendet werden, um die

Darstellung dreidimensionaler Signale in Form von zweidimensionalen Schnittbild­

sequenzen zu beschreiben. Wir werden darauf in Abschnitt 4.2 noch eingehen.

~~-=--+--- f1

~ /' 1I~~1

Bild 4-3: Abtastung mit einem Geraden-Puls und die korrespondierende Wiederholung des Spektrums

Mehrdimenslonale Abtastfunktionen

Ein zweidimensionales Signal, welches nach Bild 4-3 abgetastet wurde, ist reduziert

auf einen Satz eindimensionaler Funktionen. Diese sind jedoch weiterhin kontinuier­

Iich. FOr eine digitale Speicherung oder Verarbeitung von Fernsehbildern z.B.

mOssen diese kontinuierlichen (Zeilen-)Signale nochmals abgetastet werden. Wird

das Signal beispielsweise zuerst mit p(x1/~x1) multipliziert und danach mit P(xi~2)' so kann dies auch durch die zweidimensionale Abtastfunktion

mit (4-7)

105

beschrieben werden. Die Multiplikation der beiden Geraden-Pulse ergibt ein zwei­

dimensionales S-Punkt-Raster, wie in Bild 4-4, oben, skizziert. Wir nennen solch eine

Abtastfunkton auch ein Rechteck-Raster. Den Sonderfall, bei dem AX1 = AX2 ist,

bezeichnen wir als Quadrat-Raster.

Das Spektrum eines Rechteck-Rasters kann auf zweierlei Wegen hergeleitet werden.

So kann wieder der Separierungssatz angewandt werden. Daraus ergibt sich sofort

(4-8a)

und damit

(4-8b)

Ein zweiter Weg ist in Bild 4-4 angegeben: Nach dem Faltungssatz erM-lt man das

gesuchte Spektrum als Faltung der (nun zweidimensional interpretierten) Spektren

der Geraden-Pulse p(x1/AX1}1 (x2) und 1 (x1) P(xiAx2}.

X2 .lAX 2

X2 lAx2

X2

••• ••• l l··· •••

X1 • X1 = X1

••• ••• ••• • •• AX1

AX1 ~ t--~ t--

i i i f2 f2 f/AX 2 f2

f/Ax 2 • • • • l· • • • T • • • •

f1 ** f1 = f1

~~ • • • • • • • • • • ~ Bild 4-4: Herleitung des Spektrums eines Punkt-Rasters

Wir stellen fest, daB ein Rechteck-Raster ein ebensolches als Spektrum hat, wobei die

Abstande der Punkte in art und Spektrum zueinander reziprok sind. Durch Scherung

und Rotation konnen wir aus einem Rechteckraster beliebig schiefwinklige Abtast­

raster erzeugen. Mit den Rechenregeln aus Tabelle 3-2 lassen sich die Spektren

solcher Raster sofort angeben.

106

Anmerkung Ein liir die technische Anwendung interessantes Abtastraster ist das Rauten-Raster, bei welchem jede zweite Punktreihe identisch ist, die dazwischenliegenden jedoch gerade mit diesen aul LOcke stehen, wie in Bild 4-5 angegeben. Verbindet man benachbarte Punkte mite in ander, so entsteht ein Rauten­muster, sowohl im Orts- wie auch im Spektralbereich. Sind dabei die Rauten im Ortsbereich in xl langer als in x2, so liegen sie im Spektralbereich gerade senkrechtdazu, sind also in 12 we iter ausgedehnt als in 11 und umgekehrt. Solch ein Raster eignet sich besonders zur Abtastung von Signalen, welche ausge­pragte Strukturen in x1- und x2-Richtung aufweisen. So sind z.B. in vie len Bildsignalen hauliger senk­rechte und waagerechte Linien und Kanten vorhanden als beliebig schrag orientierte. Die Spektren dieser Signale sind dann nicht isotrop, sondern in 11' und I -Richtung ausgedehnter. Wird nun solch ein Signal mit einem Rauten-Raster abgetastet, so konnen 5ei geeigneter Wahl der Abtastabstande die Wiederholspektren dichter 'gepackt' werden (Bild 4-6, links), als dies mit einem Rechteckraster moglich ware, d.h. die Abtastpunkte im Ort dOrfen relativ weit auseinander liegen. Benutzt man dieselbe 'Dichte' von Abtastpunkten, ordnet sie aber zu einem Rechteckraster, so ergeben sich sowohl Oberlappung wie auch unnotig groBe 'LOcken' im Spektrum (Bild 4-6, rechts). Es mOBte also hier wesentlich dichter abgetastet werden.

~){' '1~ .... . ... ..

.. ~. ." • • • • • · . . ........ .... : ...•..... / ........... /. \\ .•.•.• //

.... -.- ---....... E"-3I ••. -... -. -: ..•. ~.f;:-..•.•. ~.~ .•.• O===e - .. -..... -. '-"".-.. --"'~;';':';"'''':'--j~- 11 .. . '" .. "" \" · . ...... . ........... .., . .... .r.;.... .. ..

..... ;.:., • Bild 4·5: Rauten-Raster und dessen Spektrum

Bild 4-6: Wiederholung eines spezieUen anisotropen Spektrums aul einem Rauten-Raster (links) und einem Rechteck-Raster (rechts)

Die Konstruktion von Punkt-Rastern im Dreidimensionalen kann nach denselben

Regeln geschehen, wie wir sie im Zweidimensionalen angewandt haben. So ergibt die Multiplikation zweier Ebenen-Pulse einen Geraden-Puls. Durch nochmalige

107

Multiplikation mit einem Ebenen-Puls entsteht ein Punkt-Raster. Das Spektrum ist

dann die Faltung dreier Punkte-Pulse. Damit hat auch ein dreidimensionales Punkt­

Raster ein ebensolches (mit reziproken Abstanden) als Spektrum.

Systematlsche Konstruktlon von Wiederholrastern

Wir haben Wiederholraster, also Spektren von Abtastrastern, dadurch ermittelt, indem

wir uns das jeweilige Abtastraster als Multiplikation von Geraden- oder Ebenen­

Pulsen konstruiert haben, was etwas umstandlich und auch fehlertrachtig ist. Wir

haben dabei gesehen, daB ein regulares Abtastraster ein ebensolches Wiederhol­

raster bedingt. Mit dem bisher erworbenen Wissen kennen wir eine vereinfachte

Konstruktion der Wiederholraster angeben, wobei es uns nur auf die Lage der

Punkte, nicht jedoch auf ihr Impulsintegral, ankommt (5. auch [4.9]):

In Bild 4-7 ist ein allgemein schiefwinkliges regulares zweidimensionales Abtastraster

skizziert. Es entsteht z.B. (wie in Bild 4-7 angedeutet) aus zwei Geraden-Pulsen. Zur

Beschreibung dieses Rasters wahlen wir nun die zwei Basisvektoren

und

sodaB jeder Punkt des Rasters durch zwei ganze Zahlen i und k eindeutig adressier­

bar ist; der art dieses Punktes ist dann

Das Raster ist also durch die Angabe von b 1 und b2 spezifiziert. Entsprechend

kennen wir auch das spektrale Wiederholraster aus zwei Basisvektoren

und

aufbauen.

Wie hang en nun w 1 und w2 mit b 1 und b2 zusammen? Mit etwas elementarer

Geometrie und den Bezeichnungen aus Bild 4-7 erkennen wir:

W2 steht auf b1 und w1 auf b2 senkrecht, d.h.

b1·w2 = 0 und b2·w1 = 0 .

Bezeichnet man die Lange der Projektion von b1 auf die Richtung von w 1 mit

6 1, so hat w1 selbst die Lange 1/61. Es muB also gelten:

b1·w1 = 1 und entsprechend b2·w2 = 1 .

Diese Bedingungen liefern vier Gleichungen fUr die vier unbekannten Komponenten

der beiden Vektoren w1 und w2 und kennen elegant durch

[b1,b2j[w1,w21 T = E (4-9a)

108

zusammengefaBt werden. Dabei bedeutet z.B. [b1.b21 die Matrix. deren Spalten­vektoren die Basisvektoren b1 und b2 sind und E die Einheitsmatrix. Daraus lassen

sich nun w1 und w2 berechnen:

(4-9b)

Aus dieser Gleichung ergibt sich eine interessante ReziproziUit

(4-10)

d.h. die Flache des durch die ortlichen Basisvektoren aufgespannten Parallelo­

gramms ist gerade reziprok zu der des durch die spektralen Basisvektoren gegebe­

nen Parallelogramms (in Bild 4-7 markiert).

1m Dreidimensionalen wird durch die Basisvektoren jeweils ein Parallelepiped

aufgespannt und obige Reziprozitat gilt entsprechend zwischen den Volumina in Ort

und Spektrum. 1m Eindimensionalen degenerieren die Matrizen [b1 •.. . 1 und [w1 •... 1 zu

den Skalaren 6t und 1/6t. womit (4-10) natUrlich auch erfOlit ist.

...................... ~.~

"

-1---- x1 O=e • •

• Bild 4-7: Basisvektoren zur Beschreibung eines schiefwinkligen Abtastrasters und seines Spektrums

Dichteste Packung Isotrop begrenzter Spektren

Bei vielen Problemen der Signalverarbeitung geht man von Signalen aus, deren

Spektren - im Mittel - eine isotrope Belegung aufweisen, sei es weil keine Informa­

tion Ober bestimmte Vorzugsrichtungen vorliegt, oder weil jedes Signal in beliebiger

Orientierung vorkommen kann. Wurde ein Bildsignal durch ein Obliches optisches

System abgebildet, 50 entsteht sogar zwang51aufig ein isotrop bandbegrenztes

Signal (z.B. [4.10-4.12]).

109

Welches Abtastraster ist nun fOr solche Signale optimal? Zur Beantwortung dieser

Frage gehen wir von einem zweidimensionalen Signal u(x1,x2) aus, dessen Spek­

trum auf das Gebiet innerhalb eines Kreises vom Durchmesser B begrenzt ist, also

fOr If I > B/2 .

Tastet man solch ein Signal mit einem Quadrat-Raster ab, so muB

~x1=~x2=~<1/B

(4-11)

(4-12)

gewahlt werden, um Aliasing zu vermeiden. FOr den Grenzfall ~x '" 1/B ist dies in Bild

4-8, links, skizziert. Man erkennt, daB zwar Aliasing vermieden wurde, jedoch un­

notige spektrale LOcken entstehen. Die eigentlich genutzte Flache pro Wiederhol­

spektrum ist schlieBlich nur rc/4 B2, wahrend durch das Wiederholraster fOr jedes

Spektrum die Flache B2, allgemein

Idet(w1,w2)1,

'reserviert' ist. Wir bezeichnen als Wirkungsgrad eines Abtastrasters das Verhaltnis

von belegter zu zur VerfOgung stehender spektraler Flache [4.9], also

'1'\2 a = rc/4 '" 79% (4-13)

fOr das Quadrat-Raster.

Die Frage nach dem idealen Abtastraster lauft somit darauf hinaus, die dichteste

Packung von Kreisen in einer Ebene zu ermitteln. Diese wird durch die Anordnung

auf einem Hexagonal-Raster nach (Bild 4-8, rechts) erreicht.

Man kann sich ein Hexagonal-Raster als Spezialfall eines Rauten-Rasters vorstellen.

Dabei bilden jeweils die Nachbarpunkte eines beliebigen Rasterpunktes ein regula­

res Sechseck. In Bild 4-9 ist ein solches sowohl im Ort wie auch im Spektrum mar­

kiert. Diese beiden erscheinen um rc/2 zueinander verdreht. Zwei mogliche Basis­

vektoren sind ebenfalls eingetragen:

und sowie

w1 = 1/~x (1, O)T und

Die Abstande zweier benachbarter Punkte im Orts- bzw. Frequenzbereich sind also

Ib11 = Ib21 = 21..[3 ~x und

Zur Berechnung des Wirkungsgrads des Hexagonal-Rasters betrachten wir das in

Bild 4-8, rechts, markierte Parallelogramm. Es enthalt zwei Sechstel und zwei Drittel,

insgesamt also ein Wiederholspektrum und damit eine genutzte Flache von

rc/4 B2 .

110

Das Parallelogramm selbst hat die Flache von

Idet(w1,w2)1 = 13i2 82 .

Somit ist der Wirkungsgrad des Hexagonalrasters (und gleichzeitig der fOr zwei­

dimensionale Signale maximal erreichbare)

112,max = 7tI(2-f3) '" 91 % ,

d.h. man 'spart' an Abtastwerten gegenOber dem Quadratraster

1 - 112,d112,max '" 13% .

(4-14a)

(4-14b)

Blld 4·8: Wlederholung eines Isotrop begrenzten Speklrums bel Abtaslung des Signals durch eln Quadrat·Raster (links) bzw. eln Hexagonal-Raster (rechls)

X2 f2

• • • • •

O==e X1 f 1

• •

Blld 4·9: Hexagonal-Rasler und seln Spektrum

Die Ermittlung des optimalen Abtastrasters fOr isolrop bandbegrenzle dreidimen-

111

sionale Signale fGhrt auf das Problem der dichtesten Kugelpackung im Spektralbe­

reich. Zu deren Konstruktion denken wir uns viele gleich groBe Kugeln, die wir zuerst

auf einer ebenen Unterlage moglichst dicht zu einer Schicht der spateren dreidimen­

sionalen Konfiguration anordnen. Dies fGhrt nach dem bisher Gesagten zur Hexa­

gonalpackung wie sie in Bild 4-10 skizziert und mit Schicht 1 bezeichnet ist. (Die

kAchse stehe senkrecht zur Zeichenebene.)

Schicht 2

Bild 4-10: Konslruklion eines oplimalen Wiederholraslers fOr isolrop begrenzte dreidimensionale Speklren

Damit haben wir bereits zwei der drei Basisvektoren festgelegt, z.B.

w1 = B (1,0, O)T und w2 = B (1/2, ...f3/2, O)T.

Wollen wir nun auf dieser Schicht weiter in die 'Hohe' bauen, so werden die Kugeln

der nun folgenden Schicht 2 in den trichterartigen Bereichen zu liegen kommen, die

von jeweils drei Kugeln der Schicht 1 freigegeben werden. Beim Betrachten von Bild

4-10 erkennt man, daB nicht aile diese 'Trichter' belegt werden kennen. Liegt namlich

eine Kugel bereits in einem solchen Trichter, so sind die drei gerade angrenzenden

'blockiert'. Eine der beiden sich daraus ergebenden Konfigurationen von Schicht 2 ist

in Bild 4-10 eingezeichnet. Hatten wir gerade die hier freigebliebenen Trichter belegt,

so erhielten wir eine gleichwertige Konfiguration, die durch Drehung um x/3 in die

aus Bild 4-10 OberzufGhren ist.

Mit dem Aufbau von Schicht 2liegt auch der dritte Basisvektor fest, hier also

w3 = B (1/2, ...[316, ..f2J...f3)T .

Zum Aufbau der weiteren Schichten ergeben sich nun zwei Moglichkeiten:

112

Soli das Wiederholraster regular sein, so muB das bisherige Konstruktions­

prinzip weiterbefolgt werden. Zum Aufbau von Schicht 3 mOssen dann die in

Bild 4-10 mit Kreuzen markierten Trichter belegt werden, die Kugeln in Schicht 4

kommen dann genau Ober denen der Schicht 1 zu liegen. In kRichtung ergibt

sich also eine Periode von drei Schichten.

Ebenfalls eine mogliche dichteste Kugelpackung wird erreicht, wenn die mit

Punkten markierten Trichter von den Kugeln der Schicht 3 eingenommen

werden. Dann entspricht bereits die Schicht 3 der Schicht 1. Bei jeder weiteren

Schicht hat man dann die zwei angesprochenen Moglichkeiten. Das entstehen­

de Wiederholraster ist jedoch nicht mehr regular. Damit ist nicht sichergestellt,

daB das entsprechende Abtastraster Oberhaupt aus l}-Punkten besteht. FOr

einige spezielle Faile ist dies jedoch weiterhin der Fall, so z.B. wenn Schicht 3

wie besprochen aufgebaut wird (also identisch Schicht 1 ist), Schicht 4 dann

wieder Schicht 2 entspricht, usw. Es entsteht dann ebenfalls ein periodisches

Wiederholraster (Periode: zwei Schichten); dieses ist jedoch nicht regular, da

nicht jeder Punkt dieselbe Umgebung hat, sondern zwei verschiedene solcher

Umgebungen abwechselnd auftreten. Dasselbe gilt dann fOr das zugehOrige

Abtastraster, welches wir hier jedoch nicht herleiten werden.

FOr das erstgenannte regulare Wiederholraster berechnen sich nach (4-9b) die

Basisvektoren des Abtastrasters zu (mit ~x = 1/B)

b 1 = ~x (1, -1/-13, -1/-./6)T ,

b2 = ~x (1,2/-13, -1/-./6)T,

b3 = ~x (0, 0, -I3N2)T.

Der Wirkungsgrad dieses Rasters berechnet sich aus dem belegten spektralen

Volumen

4/3 x (B/2)3 = x/6 B3

und dem zur VerfOgung stehenden

Idet(w1,w2,w3)1 = 1/...[2

zu

113 max = X m6 .. 74% . (4-15a)

Man 'spart' im Vergleich zu einem kubischen Raster (Wirkungsgrad 113,q = xl6 .. 52%)

(4-15b)

der Abtastwerte. Die Wirkungsgrade optimaler Wiederholraster fOr n = 1 ... 8 finden sich in [4.9].

113

Orts-Bandbrelte-Produkt mehrdimenslonaler Signale und Spektren

1m Eindimensionalen hatten wir das Zeit-Bandbreite-Produkt

(4-16a)

die Anzahl der voneinander linear unabha.ngigen Signalwerte. als wichtige Kenn­

grOl3e eines Signals der Dauer D und der Bandbreite B verwendet. 1m Mehrdimen­

sionalen ergeben sich bei einer entsprechenden Definition eines Orts-Bandbreite­

Produkts zwei Schwierigkeiten:

Bandbegrenzung und Ortsausdehnung sind i. allg. nicht isotrop . Daher genOgt

meist die Angabe der zwei Zahlen D und B nicht; vielmehr kommt es auf die

spezielle Form des Definitionsbereichs von Signal und Spektrum an.

Auch. und gerade. bei isotroper Bandbegrenzung ist eine 10ckeniose 'Schachte­

lung' der Spektren nicht moglich. wie wir fOr n = 2 und n = 3 gesehen haben.

Wieviele Abtastwerte notig sind. um ein gegebenes n-dimensionales Signal zu

beschreiben. mu8 also von Fall zu Fall durch Konstruktion eines geeigneten (meist

aber suboptimalen) Wiederholrasters geklart werden 1.

Trotzdem ist ein Ma8 der 'Komplexitat' von mehrdimensionalen Signalen. vor allem

fOr grobe Abschatzungen. wOnschenswert. Wir definieren daher - ohne ROcksicht auf

die angesprochenen Probleme - als Orts-Bandbreite-Produkt eines n-dimensionalen

Signals (und damit auch desses Spektrums) in Analogie zu (4-16a)

Nn := [belegte Flache (Volumen •... ) im ort) • [belegte Flache (Volumen •... ) im Spektrum) .

(4-16b)

Speziell fOr isotrop auf D und B orts- und frequenzbegrenzte Sinale erhalten wir also

(4-17a)

in zwei.

(4-17b)

in drei Dimensionen und allgemein

Nn:gerade 1tn

------ (DB)n n2 22n - 2 (n/2 -1 )!2

(4-17c) bzw.

N . = 1tn- 1 ((n -1)/2)!2 (DB)n. n.ungerade n!2

1 Wagen einer systematischen Untersuchung der mCiglichen Formen von Definitionsbereichen zweidi­mensionaler Spektren fOr /uckenlose Wiederholung siehe z.B. [4.13).

114

Anmerkung Dagegen benatigen aile Abtastschemata, auch salche, welche die Isotrop begrenzten Spektren best­meglich dicht packen, mehr Abtastwerte als Nn zur alias-Ireien Darsteilung eines Signals. Dies bedeutet, daB dann weiterhin line are Abhiingigkeiten in den Abtastwerten enthalten sind. Es kennen also

(1/11-1) Nn

Werte weggelassen und nachtriiglich aus den resllichen - wenn auch nicht einfach durch Faltung, sondem durch Losung eines linearen Gleichungssystems - rekonstruiert werden [4.14].

4.2 Einige spezielle Abtastprobleme

Zellensequenzen

Zur Obertragung eines (der Eintachheit halber zeitlich konstanten) Bildes u(x,y) mit

Hilte von Fernsehtechnik wird dieses zeilenweise im Abstand 6.y abgetastet. Die da­

bei entstehenden eindimensionalen (kontinuierlichen) Zeilensignale werden nach­

einander angeordnet und als ein eindimensionales (Zeit-)Signal Obertragen.

Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen dem ursprOnglichen Bild und diesem

Videosignal untersuchen und speziell das Spektrum des Videosignals herleiten. Wir

vereintachen die Autgabe dahingehend, daB Synchronisationssignale, wie sie fOr

eine technische Realisierung netig sind, auBer acht gelassen werden, und daB wir

vorerst ein Abtastschema ohne Zeilensprungverfahren annehmen. Dann kennen wir

uns die Bildung des Videosignals us(x) wie in Bild 4-11 skizziert vorstellen. Wir den­

ken uns also die einzelnen Zeilen Mlich nebeneinander im Abstand 6.x aufgereiht:

+00

Us (x) := 6.y L u(x - k6.x, k6.y) . k=-

(4-'8) I Wir nennen solch eine Darstellung eine Zeilensequenz. Diese entspricht dem realen

Videosignal, wenn wir

x =vt

setzen, wobei v die Geschwindigkeit des Abtaststrahls seL

Um zu kleren. welchen Anforderungen Systeme zur Obertragung von Us (x) gerecht

werden mOssen, ist es notwendig, den Zusammenhang zwischen U(fx.ty) und dem

Sequenzspektrum

Us(fx) ---0 us(x)

herzustellen, also den Abtast- und 'Umordnungs'-Vorgang aus Bild 4-11 im Spektral­

bereich zu beschreiben.

115

Bild 4-11: Darstellung eines zweidimensionalen Signals als eindimensionale Zeilensequenz

Zu diesem Zweck leiten wir nun us(x) aus u(x,y) mit Hilfe zweier systemtheoretisch

einfach zu beschreibenden Schritte her (Bild 4-12, oben):

1. Wir denken uns das ursprungliche Bild u(x,y) periodisch wiederholt im Abstand

~x in x-Richtung und einem jeweiligen Versatz von ~y in y-Richtung. Diese

periodische Wiederholung beschreiben wir als Faltung mit dem o-Punkte-Puls

Ps(x,y) := ~y L 8(x - ~x, y+~y) , k

wie in Bild 4-12, oben, skizziert:

u(x,y) * * ps(x,y) = ~y L u(x - ~x, y+~y) . k

(4-19a)

(4-20a)

2. Blenden wir schlieBlich aus diesem Faltungsergebnis die Werte auf der x-Achse

aus, indem wir y = 0 setzen, so erhalten wir gerade Us (x) aus (4-18).

Jeden dieser beiden Schritte konnen wir nun in den Frequenzbereich transformieren

(Bild 4-12, unten):

1. Die Faltung von u(x,y) mit ps(x,y) entspricht dann der Multiplikation von U(fx.fy}

mit der Transformierten P s(fx.fy} von Ps(x,y}. Aus Bild 4-2 wissen wir bereits, daB

ein o-Punkte-Puls und ein o-Geraden-Puls ein Fourier-Paar bilden. Ausge­

schrieben lautet P s(fx.fy}:

Ps(fx.fy} = ~y ~ o(~fx -~yfy- i}. (4-19b) I

116

Das ursprOngliche Spektrum U(fx.fy) wird also entlang paralleler Geraden

abgetastet

U(fx• fy) P s(fx.fy) = !J.y ~ U(fx' !J.xI!J.y (fx - if!J.x») S(!J.xfx - !J.yfy - i). (4-20b) I

2. 1m zweiten Schritt hatten wir y = 0 gesetzt. Dies bedeutet im Spektralbereich

eine Projektion auf die fx-Achse. also

+00

Us(fx) = f U(fx.fy) P s(fx.fy) dfy . -00

Das Sequenzspektrum ist somit schlieBlich (s. auch [4.15. 4.16])

(4-21 )

y y y

i · e - .6y 6x

.<iiji ~ X ** e x- x e

*I Ox ...

~ u(x.y)

~ ps(x.y) I ",(x)

U(fx .fy} P s(fx.fy) Us(fx)

fy

Blld 4-12: Herleitung des Sequenzspektrums Us(fx) aus dem Signalspektrum U(fx.fy)

Das eindimensionale Spektrum Us(fx) der Zeilensequenz us(x). das Sequenzspek­

trum also. ist offensichtlich ebenfalls eine Zeilensequenz des Originalspektrums U(.).

Allerdings geschieht hier die Abtastung entlang von Geraden. die gegenOber den Ko­

ordinatenachsen geneigt sind; der Winkel zur fy-Achse ist arctan(!J.yf !J.x). Die spektra­

len Schnitte werden entsprechend dem 2. Schritt ebenfalls 'nebeneinander' angeord-

117

net, wobei sie zusatzlich nach der Projektionsgeometrie aus Bild 4-12 urn den Faktor

6.x/6.y

gestaucht erscheinen. Der Abstand der einzelnen gestauchten Spektralschnitte

zueinander, also z.B. der Abstand zweier fx-Frequenzen, bei denen jeweils im

Originalspektrum fy = 0 war, ist dann

1/6.x.

Das Spektrum Us(fx) ist nur dann eine gOltige Reprasentation von U(fx.fy)' wenn in

jenem keine spektralen Uberlappungen auftreten. Hat U(fx,fy) die Bandbreite By in

fy-Richtung, so beansprucht diese in Us(fx) ein Frequenzband der Breite

6.y/6.x By .

Urn Aliasing zu vermeiden, muB diese Breite kleinerals der erwahnte Abstand 1/6.x

sein. Es muB also die Abtastbedingung in y-Richtung

(4-22a) I gelten. Urn andererseits Oberlappungen der Zeilensignale im Ortsbereich zu vermei­

den, muB trivialerweise 6.x grOBer als die maximale Ausdehnung Ox des Bildes u(x,y)

in x-Richtung sein, also

(4-22b) I Die Gleichungen (4-22a,b) sind die Abtastbedingungen zur Erzeugung einer Zeilen­

sequenz (z.B. eines Videosignals).

Eine mogliche Anwendung der Zeilensequenz-Darstellung von Signalen ist die

Simulation der zweidimensionalen Faltung

U2(X,y) = u1 (x,y) * * s(x,y) (4-23a)

durch eine sog. Sequenzfaltung, indem sowohl u1(x,y) wie auch die Punktantwort

s(x,y) als Sequenzen u1s(x) bzw. ss(x) dargestellt und miteinander - eindimensional -

gefaltet werden. Das Ergebnis ist dann u2S(x), die Zeilensequenz von u2(x,y):

(4-23b)

vorausgesetzt, daB u1S(.) und ss(.) dieselben Parameter 6.x und 6.y aufweisen.

In Bild 4-13, oben, ist eine spezielle zweidimensionale Faltung skizziert. Eingangs­

signal und Punktantwort wurden als Kreisscheiben unterschiedlicher Durchmesser

angenommen. Bild 4-13, unten, zeigt die Sequenzfaltung nach (4-23b), welche die

Faltung aus Bild 4-13, oben, simuliert.

118

U1(X,y) Y s(X,Y) y _ ........ · ...... · ...... ,,1 .. · .... ,- .... ·_- .1

.2

13

-x ** .S

.6

·_·· .. ·_ .. · ...... ··1 .. · .. · .. · .... ·.......... .7

x"

-t DS•X I+-

U1,s (X)

~ 10 xb,o, ~ ** x #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7

U2(X,y) y

I+--- D2,X--+l

I ~ m(X), ~

X

U2 s(X)

= ~ JJ /\&fJJJ I ~ X

#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7

Bild 4-13: Zeilensequenzlaltung (unten) zur Simulation einer zweidimensionalen Faltung (oben); die zu laltenden Signale sind hier nicht bandbegrenzt. und damit ist die Abtastbedingung (4-22a) verletzt

Wir erkennen, daB es nicht genOgt, die Bedingung (4-22b) allein fOr die Eingangsse­

quenz u1s(x) zu erfOllen, sondern daB diese auch fOr die Ausgangssequenz u2s(x) gelten muB, d.h. nach Bild 4-13:

(4-22c) I

NatOrlich kann eine Sequenzfaltung auch durch Multiplikation der Sequenzspektren

U1s(fx) und Ss(fx) beschrieben werden:

(4-24)

Der Vollstandigkeit halber wollen wir auch das Spektrum einer Zeilensequenz unter

BerOcksichtigung des Zeilensprungverfahrens herleiten (so auch [4.16]). Hierbei wer­

den die Zeilensignale so angeordnet, daB zuerst aile z.B 'ungeradzahligen' Zeilen

aneinandergereiht werden und danach die 'geradzahligen' (Bild 4-14). Dieser Abtast­

vorgang kann (ahnlich Bild 4-12) beschrieben werden als periodische Wiederholung

des Bildes und einer Ausblendung der Werte auf der x-Achse. Allerdings besteht nun

die Wiederholfunktion aus zwei parallelen O-Punkte-Pulsen, wie in Bild 4-15 skizziert.

~y! ....... _ ... _ ........ _--l --

'9 ,e '7

I~I I~I~ #1 #3 #5 #7 #9-#0 #2 #4 #6

Blld 4·14: Zellensprung-Sequenz

y

• Do ., .......................... J.uy

r-- mt.y 'l t-• .1 I • • ... Zelle #1 • •

#3 #5 • #7 •

m: ungerade

Blld 4·15: Systemtheorelische Beschreibung des Zeilensprungverfahrens

119

~I #8

~l

•

#8

Diese spezielle Wiederholfunktion kennen wir als Faltung eines o-Punkte-Pulses mit

einem o-Punkte-Paarauffassen (Bild 4-16):

pdx,y) = (o(x) [o(y+m~y/2)+o(y - m~y/2)]) ** ~y L o(x - ~x, y+2~y) , k

(4-25a)

wobei m die (ungerade) Gesamtanzahl der Zeilen ist (in Bild 4-15 ist m = 9). Mit

(4-19b) laBt sich sofort die Fourier-Transformierte P sz(fx,fy) angeben (Bild 4-17):

P sz(fx,fy) = 2~y cos(1tm~yfy) ~ o(~xfx - 2~yfy - i) . I

(4-25b)

120

Y Y

m!:J.y/2 • • • 2!J.y !J.X x **

......... ······ .... ···x •

- m!:J.y/2 • m: ungerade •

--• y .,

• m!J.y •

• .1 • x !J.x • • • • • • •

Bild 4-16: Synthese des Doppel-Punkte-Pulses psz(x,y) aus Bild 4-15 (m = 9)

fy cos{nm!J.yfy) --

......... fx •

Bild 4-17: Der Zusammenhang aus Bild 4-16 im Spektralbereich (m = 9)

fy I i I !

I I I I I I I I i I I I I I I I ! I I

I 1 I I I I I I I I

I I I J I I I I I I I I I

Anste"e des Geraden-Pulses P s{.) aus Bild 4-12 tritt also hier P sZ{.)' ein cos-modu­

fierter Geraden-Puls, welcher um den Winkel arctan{2!J.y/!J.x) statt um arctan{!J.y/!J.x)

gegen die fy-Achse geneigt ist. Das Zeilensprung-Sequenzspekfrum UsZ{fx) ist damit:

121

+00

UsZ(fx) = J U(fx.fy) P SZ(fx.fy) dfy -00

= L U(fx' 6:xJ(26y) (fx - i/~x)) cos(1tm~x(fx - i/~x)/2) . (4-26) i

Schnitlblldsequenzen

Genauso. wie wir ein zweidimensionales Signal unter den genannten Bedingungen

durch eine eindimensionale Zeilensequenz reprasentieren kennen. laBt sich auch ein

dreidimensionales Signal als zweidimensionale Schnittbi/dsequenz darstellen [4.17.

4.18]. Beim Kinofilm wird davon Gebrauch gemacht. indem ein sich zeitlich andern­

des Bild u(x.y.t) in t abgetastet wird. und die entstehenden Schnittbilder Mlich regular

auf einem Filmstreifen angeordnet werden (Bild 4-18).

Bild 4-18: Beispiel einer Schnittbildsequenz

Diese Art von Sequenz unterscheidet sich von einer Zeilensequenz dadurch. daB

eine weitere Dimension dazugekommen ist. in der aber keine Abtastung stattfindet.

Wir kennen also die fUr Zeilensequenzen hergeleiteten Formeln benutzen. wenn wir y durch t ersetzen und y zusatzlich mitfOhren. Die Schnittbildsequenz us(x.y) ist also

us(x.y) := ~t L u(x - k6x. y. kt:.t) k

und das Sequenzspektrum nach (4-21)

Us(fx.fy) = ~ U(fx' fy• ~~t (fx - i1~x)) . I

(4-27a)

(4-27b)

Es laBt sich analog zu Bild 4-12 herleiten als Multiplikation von U(fx.fy.fz) mit dem

o-Ebenen-Puls P s(fx.ft)1 (fy) und anschlieBender Projektion auf die fx.fy-Ebene. Daher

ist auch hier das Sequenzspektrum eine Schnittbildsequenz des ursprOnglichen

122

Spektrums. Die im vorangegangenen Abschnitt gemachten Aussagen bezOglich der

Abtastbedingungen und der Moglichkeit von Sequenzfaltungen gelten entsprechend.

Anmerkung Beim Kinofilm werden die Schnittbilder nicht neben- sondern Obereinander (also In y-Richtung) arran­giert. Zur Obertragung solch einer Schnittbildsequenz mit HiHe von Fernsehtechnik wird diese nochma/s, und zwar in y, abgetastet, d.h. als eiooimensionale Zeilensequenz reprasentiert. In analoger Weise ist dann auch die Darstellung vietdimensionaler Signale als zweilimensionale Schnittbildsequenzen denk­bar. Die Schnittbilder werden dann (z.B. liquidistant in x- und in y-Richtung) in einer Ebene angeordnet.

Eln Abtasttheorem fur zeltvariante Systeme

In Abschnitt 2.6 hatten wir gesehen, daB sich zum Verstandnis zeitvarianter Systeme

eine zweidimensionale Beschreibung anbietet, da die Impulsantwort h(t,t') von zwei

Variablen abhangt. Mit dem in Kapitel 3 erworbenen Wissen Ober mehrdimensionale

Systeme konnen wir nun solche Operationen genauer analysieren.

Wir gehen von den bereits aus (2-24a,c) bekannten Definitionen zeitvarianter

Systeme aus (Bild 4-19):

+~ +~

u2(t) = s{ u1 (t)} = J u1 (t') h(t - t',t') dt' = J u1 (t') g(t,t') dt' (4-28a) -~ -~

mit

g(t,t') = h(t - t' ,t') . (4-28b)

Bei zeitinvarianten Systemen hatten wir die Fourier-Transformation, also die Entwick­

lung in die Eigenfunktionen solcher Systeme, als beque me Beschreibungsmoglich­

keit benutzt. Entsprechend mOBten wir nun Eigenfunktionsentwicklungen von (4-28a)

suchen, um mit ahnlichen Formalismen arbeiten zu konnen. Wir werden jedoch im

weiteren zeitvariante Systeme trotzdem durch Fourier-Methoden beschreiben, und

zwar aus folgenden Grunden:

Es ist i. allg. sehr schwer, die Eigenfunktionen fOr die jeweils zu untersuchende

- kontinuierliche - Systemklasse zu finden. (Liegen jedoch die Signale und die

Impulsantworten abgetastet, und dam it als Vektoren bzw. als Matrizen vor, so

geht (4-28a) in eine Matrix-Vektor-Multiplikation Ober und die Suche nach

Eigenfunktionen und Eigenwerten wird zur bekannten Aufgabe der Diagonali­

sierung der Impulsantwort-Matrix. Dieses Problem ist numerisch zu losen.)

Eine Faltungsoperation ist technisch relativ einfach und mit groBer Verarbei­

tungsgeschwindigkeit zu realisieren, z.B. durch R-L-C-Filter, Laufzeitfilter oder

auch durch optische Faltungsrechner (s. Abschnitt 5.3). Daher bietet sich eine -

evtl. naherungsweise - Implementierung eines zeitvarianten durch mehrere

zeitinvariante Syteme an, wie wir dies im folgenden diskutieren werden.

t' h{t,t')

\ I h(t - t' ,t') = g(t,t') t'

/_~ U1 (t·)/ ___ ~~ __ _

'\_~~--

BUd 4-19: Grafische Interpretation der Gleichungen (4-28a,b)

:;... "0

t'

--.,-, ......... T .... ' ........ _ ..... .......... -..................... ..

I I -··_·111111" " •• _ ...... _ .... _ ._ ................... ..

123

Zuerst transformieren wir die Definitionsgleichungen (4-28a,b) in den Fourier-Bereich.

Mit

g(t.t') (F=e G(f,f') und h{t.t·) 0 • H(f,1')

erhalten wir die Korrespondenz

g(t,t') = h{t - t',t') ~ Ht(f,t') e-j2ltt'f t 0-· H(f. f+1') = G{f,f') , (4-29)

Das hier auftretende Teilspektrum Ht(f,t') ist die zeitvariante Ubertragungsfunktion des

Systems. Sie ist die eindimensionale Fourier-Transformierte der jeweiligen Impuls­

antwort fOr jeden Auftrittszeitpunkt t', Nun konnen wir (4-28a) mit Hilfe des Parseval­

schen Satzes (Tabelle 2-2) Fourier-transformieren:

+~ +~

U2(f) = f U1 (f) H(f. f - f) df' = f U1 (1') G{f, - 1') df' , (4-30) -~ -~

Eine Iineare zeitvariante Operation korrespondiert also erwartungsgemaB mit einer

linearen frequenzvarianten Operation.

Anmerkung Beim 50nderfall der Faltungwird h(t,t') zu s(t)l(1') und damit H(f,I') zu 5(1)5(1'). Dies in (4-30) eingesetzt lieler! gerade

124

Beim zweiten Sonderfall, dem Modulator, ist h(t,t') = m(t')S(t) und damit H(f,f') = M(f')1(f). Dies fOhrt in (4-30) wie erwartet auf das spektrale Faltungsintegral

+00 U2(1) = J U1 (f) M(f - f) dt' = U1 (I) * M(I) .

In Bild 4-20 ist (4-30) in ahnlicher Weise grafisch interpretiert wie die Definitionsglei­

chungen (4-28a,b) in Bild 2-19. Dabei wurde angenommen, daB sowohl das

Eingangsspektrum U1(f) wie auch das Impulsantwort-Spektrum H(f,f') bezOglich f

bandbegrenzt sind, und zwar auf B1 bzw. Bh. AuBerdem sei H(f,f') auch in f' bandbe­

grenzt mit B'h' Das bedeutet, daB die Impulsantwort nur 'langsam' bezOglich des

Auftrittszeitpunktes t' variiert. Das System mage also nicht abrupt sein Obertragungs­

verhalten andern. Solch ein System nennen wir variationsbegrenzt [4.19] und B'h die

Variationsbandbreite (bei der speziellen Impulsantwort aus Bild 4-19 ist diese

Bandbegrenzung natOrlich nicht gegeben). Wir erkennen, daB unter diesen

Voraussetzungen, das Ausgangssignal ebenfalls bandbegrenzt ist, und zwar auf

{ Bh fOr Bh ~ B1+B'h

B2 = B1+B'h fOr Bh> B1+B'h'

(4-31 )

f

A, T B' h

~ B1 t-

1

! ;;.... "0 -

f' 0....;...

f'

H(f,f - f) :: G(f, - f)

Bild 4-20: Zeitvariante Operation, beschrieben im Spektralbereich; hier ist Bh > B1+B'h

125

Zur technischen Realisierung zeitvarianter (oder auch ortsvarianter) Operationen sind

in der Literatur verschiedene Vorschlage zu finden [4.19-4.25], welche sich im

Aufwand und in den Forderungen an die zu realisierende Impulsantwort unterschei­

den. Wir werden hier ein einfaches Abtasttheorem formulieren [4.25], welches die

Implementierung variationsbegrenzter Systeme erlaubt. Zu dessen Herleitung zeigen

wir zuerst, daB sich die eindimensionale zeitvariante Operation (4-28a) auch mit Hilfe

einer zweidimensionalen Fa/tung realisieren liiBt. Wir definieren dazu nach Bild 4-21

die zweidimensionale (Hilfs-)Eingangsfunktion

mit dem Spektrum

Diese Hilfsfunktion werde nun zweidimensional mit h(t,t') gefaltet:

+00 t t '

u2'(t,t') := u'1 (t,t') * * h(t,t') = If u1 (t) ~(t+t') h(t - t, t' - t') dt'dt

t' u'1(t,t') iJ.l

." '. '. '. f"f""·Hf--t_

I ·····i'········...! I , ....

t t'

**

-00

+00

= J u1 (t) h(t - 't, t'+1:) d't . -00

t'

t' h(t,t')

(4-32a)

(4-32b)

(4-33)

Bild 4-21: Ausfiihrung einer zeitvarianten Operation mit Hille einer zweidimensionalen Faltung

126

Entnehmen wir dem Faltungsergebnis die Werte bei t' = 0, so erhalten wir

+00 u'2(t,0) = J u1 (t) h(t - t,t) dt . (4-34)

-00

1m Vergleich mit (4-28a) erkennen wir darin die zu realisierende zeitvariante Opera­

tion (mit t = t'). ZusammengefaBt gilt also (Bild 4-21):

(4-35a)

oder nach gliedweiser Fourier-Transformation:

+00 +00 U2(f) = J U'2(f,f) df' = J U1 (f - f) H(f,f') df . (4-35b)

Der Ersatz einer eindimensionalen zeitvarianten durch eine zweidimensionale, nun

allerdings zeitinvarianten, Operation ist bezOglich des Realisierungsaufwands nicht

unbedingt ein gutes Geschaft. Vorteile bringt diese Betrachtungsweise erst, wenn

Variationsbegrenztheit gegeben ist, also

H(f,f) = 0 fOr If'I > B't/2 .

Unter dieser Voraussetzung dOrfen wir auch U1 (f - 1') in (4-35b) auf dieselbe Band­

breite begrenzen. Wir konnen also u1 '(t,t') in (4-33) durch

(4-36)

ersetzen. In Bild 4-21 erscheint nun statt der unendlich schmalen o-Garaden o(l+t') ein

breiteres 'Band' von si-formigem Profil. In diesem Fall konnen wir die t'-Faltung in

(4-35a) als diskrete Faltung ausfOhren:

U2(t) = .1t'L [u'1w(t,l<.1t') ! h(t, t' - I<.1t')] I ' k f=O

und damit ist

mit

U2(t) = .1t' L ([U1(t) si{1t(t/.1t' - k))] ~ h(t,I<.1t')) k

M < 1/B'h'

(4-37)

Diese Abtastvorschrift erlaubt die Realisierung von variationsbegrenzten zeitvarian­

ten Operationen auf folgende Weise (Bild 4-22): Zuerst wird das Eingangssignal mit si-formigen Bewertungsfunktionen in einzelne

AuszOgeaufgeteilt. Der k-te Auszug entsteht dabei durch Multiplikation von u1 (t) mit

127

si(x(t/tit'-k)}. Jeder Auszug wird mit der entsprechenden Impulsantwort h(t,ktit') ge­

faltel. SchlieBlich werden die Ausgiinge aller dieser Kanale summiert.

Es ist also nicht mehr notig, die Impulsantwort fOr aile Werte von t' zu kennen; es

genOgt eine Art Filterbank, welche die Faltungskerne h(t,ktit') (bzw. die Obertragungs­

funktionen Ht(f,ktit')) fOr disk rete Auftrittszeitpunkte ktit' enthalt.

Bild 4-22: Realisierung einer zeitvarianten variationsbegrenzten Operation

Anmerkungen - Das obige Verfahren Ahnelt dem sag. piecewise isoplanatic approach [4.23, 4.26}. der darauf beruht, daB u1(t) in disjunkte Zenabschnitte eingeteilt wird. Diese Teile des Eingangssignals werden dann wie oben mit der zum jeweiligen Zenpunkt geltenden Impulsantwort gefaltet und anschlieBend summiert. Bei diesem Vorgehen wird in (4-36) die si-Funktion durch eine rect-Funklion ersetzt. Die dabei auflretenden harten Intervallbegrenzungen sind die Hauptfehlerursache dieser Realisation. - Die behandelte Methode zur Realisierung zeitvarianter Systeme laBt sich natOrlich auch auf oltsvarian­te Operationen Obertragen [4.25). Die ortsvariante Punktantwort h(x,y.x',y') ist dann vietdimensional. Bei Variationsbegrenztheit ist die Realisierung wie o.a. rrKiglich, nur daB nun die Beweltungsfunktionen von derForm

si(lt(x/6l(' -~) si(lt(y/l1y' - k))

sind. Mit Hilfe dieser sich Oberlappenden si-'Fenster' wird also das Eingangsbild in einzelne Kanale auf­geteilt und jeder dieser AuszOge mit einer eigenen Punktanwort h(x,y,i6l(',kI1y') gefaltet.

Das AbtasHheorem der Computer-Tomographle

FOr die MaterialprOfung und die medizinische Diagnostik sind zerstorungsfrei, nicht­

invasiv gewonnene Bilder aus dem Inneren von 'Objekten' unverzichtbar geworden.

Manche der verwendeten Verfahren jedoch liefern lediglich Linienintegralwerte durch

das Objekt. So kann zwar bei einer klassischen Rontgenaufnahme die Schwachung

des Rontgen-Strahls durch den Patienten gemessen werden; diese Messung sagt

128

aber nichts darOber aus, ob der Strahl eine lange Strecke in einem Gewebe von

niedrigem Schwachungskoeffizienten oder einen kurzen Weg im Knochen (starke

Schwachung) zurOckgelegt hat. In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man trotzdem ein

Bild der Mlichen Verteilung des Schwiichungskoeffizienten gewinnen kann und

welche Abtastbedingungen bei der Realisierung eingehalten werden mOssen.

Durchdringt ein Rontgen-Strahl der Rate A.o (Photonen pro Fliiche und Zeit) eine

Materialprobe einer Dicke d und eines Schwl1chungskoeffizienten p" so ist die Rate A.

beim Verlassen der Probe bekanntlich

(4-38a)

Bei den hier interessierenden Objekten ist p, eine Funktion des Ortes, also p, = p,(x,y,z).

Dann wird (4-38a) zu

~ _ ~ - I Il(X,Y.Z) cis 1Io-lIooe . (4-38b)

(ds sei ein Wegelement entlang des Strahls.) Diese Gleichung gilt nun fOr jeden

Strahl von der Rontgen-Quelle zum Detektor (Film, Floureszenzschirm,,,.). Aus einer

zweidime!,!sionalen Rontgenaufnahme kann also p,(x,y,z) i. allg. nicht mehr rekonstru­

iert werden, da speziell die Strukturen in Richtung des Strahls 'wegintegriert' wurden.

Einen moglichen Ausweg bietet die transaxiale Rontgen-Computer-Tomographie

(siehe z.B. [4.2-4.7]), die sich auf mehrere solcher Messungen stOtzt - jeweils unter

verschiedenen Winkeln durchgefOhrt. Zur Beschreibung dieser Methode betrachten

wir vorerst nur eine Schicht1 des Objekts, hier bei z = const, und bezeichnen sie mit

o(x,y) := p,(x,y,z=const) .

Weiterhin nehmen wir an, daB die Rontgen-Strahlen zueinander parallel sind. Es ist

dann zweckmaBig, wie in Bild 3-19 ein rechtwinkliges R,T-Koordinatensystem einzu­

fOhren, welches urn den Winkel cp gegenOber dem ursprOnglichen gedreht ist. Die

T-Achse werde dabei durch die Strahlrichtung vorgegeben, und der Detektor sei auf

einer zur R-Achse parallelen Geraden angeordnet. Diese spezielle Geometrie der

MeBwertaufnahme ist in Bild 4-23 skizziert. Dann wird (4-38b) zu

(4-39)

mit

0cp(R,T) := o(x,y) und

R = x coscp + y sincp , T = - x sincp + y coscp .

1 In der technischen Realisierung wird ohnehin nur die zu untersuchende Schicht durchstrahlt und damit der ionisierenden R6ntgen-Strahlung ausgesetzt. Die MOglichkeit, einen Schnitt aus dem Objekt zu isolieren, gibt den tomographischen Verfahren ihren Namen: 'toJ.LOCi (griech.) : 'Schnitt'.

x,y O==e

129

Bild 4-23: MeBwerterfassung (links) bei der Computer-Tomographie mit Parallelstrahlgeometrie und die korrespondierende Operation im Spektrum (rechts)

Offensichtlich ist die MeBgrOBe A(R;<p) nichtlinear mit der Objektfunktion verknOpft.

Betrachtet man dagegen statt 1..(.) das DampfungsmaB

a(R;<p) := In(Ao(R;<p)/A,(R;<p)) , (4-40)

als das Ergebnis der Messung, so gilt der lineare Zusammenhang

+co

a(R;<p) = I 0<p(R,T) dT . (4-41 a) -co

Das DampfungsmaB a(.) ist also die Paralle/projektion 1 des Objekts, d.h. in der

Schreibweise aus (3-46a)

a(R;<p) = o(x,y) * * 5(R) =: 0p(R;<p) . (4-41 b) I Damit ist dieses Bildgewinnungsproblem auf die Rekonstruktion einer Funktion o(x,y)

aus Paralle/projektionen zurOckgefOhrt. Nach dem Zentra/schnitt-Theorem aus

Abschnitt 3.3 korrespondiert jede dieser Projektionen mit einem Schnitt aus dem

Objektspektrum O(fx,fy) = O<p(fR.1r), wie in Bild 4-23, rechts, skizziert:

R o--e (4-42)

1 Die meisten der heutigen Tomographen arbeiten dagegen mit Zentra4:!rojektion ('fan beam geometry') wegen der M6glichkeit, trotz Verwendung von nur siner (punktformigen) Rontgen-Quelle eine gesamte Projeklion in einem MeBzyklus aufzeichnen zu konnen (wegen leehniseher Realisierungen siehe z.B. [4.2,4.7)). Die so gewonnenen Projeklionsdalen kOnnen jedoch leiehl zu Parallelprojektionen arrangiert werden. Daher isl die folgende Diskussion aueh fur diese Art der MeBwerterfassung gullig.

130

Diesen Zusammenhang hatten wir uns auch damit erklart, daB der Faltung (4-49b) mit

einer B-Geraden im Spektrum die Multiplikation mit deren Fourier-Transformierten -

also einer dazu orthogonalen B-Geraden - entspricht (vgl. Bild 3-25). Bei dieser

Beschreibung ist zu beachten, daB hier die eindimensionale Projektion 0p(R;<p) in

T-Richtung als unendlich 'ausgeschmiert' betrachtet wird, also eigentlich 0p(R;<p)1 (T)

heiBen mOBte. Man nennt dieses 'Verschmieren' auch ROckprojektion. Das MeB­

system zur Aufnahme einer Projektion (einschlieBlich ROckprojektion) unter dem

Winkel <p ist also charakterisiert durch die Punktantwort

B(R) 1 (T) = B(x cos<p + y sin<p)

bzw. die Obertragungsfunktion (vgl. Bild 3-25)

B(fT) 1 (fR) = B(- fx sin<p + fy cos<p) .

(4-43a)

(4-43b)

Eine Projektion enthalt danach nur Information Ober Spektralwerte auf der Geraden

fxsin<p = fycos<p. Daraus ist die Rekonstruktion eines allgemeinen Objekts nicht mog­

lich. Liegt kein weiteres Wissen Ober das Objektspektrum au Berhalb der Geraden vor,

so ist die bestmogliche Schiitzung des Objekts die ROckprojektion, deren Spektrum

auf der Geraden mit dem des Objekts Obereinstimmt, sonst jedoch verschwindet.

Bei der Computer-Tomographie miBt man viele Projektionen (Anzahl: p), meist mit

konstantem Winkelinkrement

~<p = nIp. (4-44)

Es liegt nun nahe, zur Rekonstruktion aile p ROckprojektionen linear zu Oberlagern. In

Bild 4-24 ist dies fOr einen 'einzelnen Objektpunkt skizziert.

BlId 4-24: Vier Projektionen (links) eines Objektpunktes und dessen 'Rekonstruktion' durch Ruckprojektion und Summation (rechts)

Die Punktantwort eines auf der ROckprojektion von p Parallelprojektionen basieren­

den Abbildungssystems ist also ein B-GeradenbOschel (s. Abschnitt 3.6):

p

sR p(x,y) = L B(x cos(kt.<p) + y sin(kt.<p) . , k-1

(4-45a)

131

Entsprechend ist die Ubertragungsfunktion von der Form

p

SR,p(fx.fy) = ~ S(- fx sin(kt.<p) + fy cos(kt.<p») . (4-45b)

Die Obertragungseigenschaften solch eines Systems sind in zweifacher Hinsicht

nicht ideal:

Punktantwort und Obertragungsfunktion sind auf Grund der Winkeldiskretisie­

rung stark anisotrop. Es handelt sich offensichtlich urn eine Abtastung des Spek­

trums entlang zentraler Geraden (Bild 4-25, oben). Wir erwarten daher eine

Verbesserung der Rekonstruktion bei Erhohung der Abtastrate, also bei hoher

Anzahl p der Projektionen. Wieviele Projektionen notig sind, werden wir noch

klaren.

Auch fOr p ~ 00 ist die Obertragungsfunktion nicht Ober aile Frequenzen

konstant - was wir aber fOr eine fehlerfreie Rekonstruktion fordern mOssen.

Vielmehr geht das GeradenbOschel in die Funktion fr- 1 = (fx 2+ fy 2) -1/2 Ober (s.

Abschnitt 3.6, 'o-GeradenbOschel, .. .'). Wegen der Korrespondenz

sR,oo(x,y) = r-1 CF=- fr- 1 = SR,oo(fx.fy)

ist die Punktantwort dann von derselben Form (Bild 4-25, unten). Dies bewirkt

eine starke 'Verunscharfung' des rekonstruierten Objekts.

y

I p ~ 00

~ 1/r

I'------fr

Bild 4-25: Punktantwort und Obertragungsfunktion der Riickprojektionsmethode bei endlicher Anzahl p von Projektionen (oben); der Grenziibergang p -+ 00 (unten) zeigt die fr- 1-Belegung des Spektralbereichs und damit die Notwendigkeit der p-Filterung

132

Das letztgenannte Artefakt kann durch eine zweidimensionale Ortsfrequenzfilterung

der Obertragungsfunktion

(4-46)

beseitigt werden (Bild 4-25). Statt das gesamte Bild zu filtern, kann man natOrlich

auch jede einzelne Projektion - vorder ROckprojektion und der Summation - mit

eindimensional filtern. Man nennt dies die p-Filterung (fOr die Radialfrequenz fr = IfRI

wird namlich haufig das Symbol 'p' verwendet). Auch bei endlicher Anzahl von

Projektionen ist die p-Filterung notig, da die mittlere Be/egung des Spektralbereichs

durch die B-Geraden ebenfalls proportional zu fr- 1 ist. Das hier beschriebene

Rekonstruktionsverfahren, die Summation der p-gefilterten und rOckprojizierten

Projektionsdaten, ist unter dem Namen filtered back projection bekannt. Das auf diese

Weise gewonnene Bild u(x,y) des Objekts o(x,y) ist also 1

u(X,y) = o(x,y) ** sR,p(x,y) ** sp(x,y)

bzw. dessen Spektrum

FOr p ~ 00 wird wegen SR, .. (fx,fy) Sp(fx,fy) = 1 die Rekonstruktion fehlerfrei.

(4-47a)

(4-47b)

Wenden wir uns nun dem erstgenannten Defekt, der Anisotropie von Impulsantwort

und Obertragungsfunktion auf Grund der endlichen Anzahl von Projektionen zu. Es

gilt zu klaren, welchen EinfluB die Winke/abtastung einer zweidimensionalen

Funktion (hier des Objektspektrums) auf deren Fourier-Transformierte (Objekt) hat.

Wir folgen dabei den zu Beginn von Kapitel 4 gemachten Oberlegungen (5. Bild 4-1),

wobei wir nur Orts- und Frequenzbereich vertauschen mOssen. Danach dOrfte fOr eine

artefaktfreie Rekonstruktion eines Objekts mit der maximalen Ortsausdehnung D die

(von der Winkeldiskretisierung stammende) Punktantwort sR,p(x,y) innerhalb eines

Kreises vom Durchmesser 2D keine Winkelabhangigkeit aufweisen. Diese

Bedingung ist aber von einem GeradenbOschel auch bei beliebig hohen Werten von

p < 00 nicht erfO"t.

Einen Ausweg bietet die Annahme, daB das Objekt nicht nur orts- sondern auch -

naherungsweise - bandbegrenzt ist2, also

1 Die Punktantwort s (.) des p-Fillers kann mit den in diesem Buch verwendelen Rechengeselzen nichl berechnel werden, ~a das enlsprechende Fourier-Inlegral auf sog. 'a-Dislribulionen' [4.27) fOhrt. Das p-Filler isl aus diesen Grunden ohnehin nichl im gesamlen Frequenzbereich realisierbar. Die Form der Punktantwort hiing! damit stark von der Art einer eventuellen Bandbegrenzung ab [4.5,4.7]. 2 Bei der technischen Realisierung wird solch eine Bandbegrenzung entweder schon durch die Art (Ausdehnung) der ROntgen-QueUe und des Delektors erreicht, spatestens aber bei der p-Filterung eingebracht.

133

o(X,y) = 0 (4-48a) und

(4-48b)

Oas Orts-Bandbreite-Produkt einer Projektion, d.h. die Mindestanzahl der Oetektoren

bei der technischen Realisierung, ist dann

und das des gesamten Objekts nach (4-17a)

N2 = rc2/16 (OB)2 = rc2/16 N12 .

(4-48c)

(4-48d)

1st das Objektspektrum begrenzt, so konnen wir auch die Obertragungsfunktion als

auf diesen Bereich begrenzt annehmen (Bild 4-26):

SR,p(fx,fy) := SR,p(fx.fy) rect(VB) .

y

=:---+-- fx

B --~.~I

Bild 4-26: Die Punktantwort sR.p(x,y) als Summe von si-'Profilen' (nichl maBsUiblich!)

Oiese besteht aus regular Ober dem Winkel cp angeordneten GeradenstOcken der

Lange B. Ein einzelnes solches GeradenstOck

134

hat nun keine a-Gerade mehr als Fourier-Transformierte, sondern nach dem Sepa­

rierungssatz ein si-formiges 'Band' in T-Richtung (Bild 4-26, oben):

5(fr) rect(fR/B) -==0 B si(1tBR) 1 (T) . (4-49)

Die resultierende - bandbegrenzte - Punktantwort SR,p(x,y) ist dann die Summe von

p solcher regular Ober dem Winkel verteilter si-'Profile' (Bild 4-26, unten). Durch diese

Oberlagerung wird nahe des Ursprungs die Winkelabhangigkeit der Punktantwort

verschwinden, da dort die si-Funktionen sehr eng aneinander liegen; weiter auBen

wird die Anisotropie erhalten bleiben. Urn die Grenze zwischen diesen beiden Be­

reichen zu finden, untersuchen wir den Verlauf der bandbegrenzten Punktantwort

SR,p(X,y) auf einem Kreis vom Radius ro' d.h. wir berechnen nach Bild 4-27

w(l;ro):= SR p(x,y) I . , r=ro

Diese Funktion besteht offensichtlich aus der periodischen Wiederholung - im Ab­

stand ~I = ~<pro - des kreisformigen Schnitts durch ein si-'Profil'. 1st

ro» 1/B , (4-50)

so ist solch ein Schnitt ungefahr gleich der si-Funktion selbst, und wir erhalten

w(l;ro)" BL, si(1tB(I- ~<pro» - si(1tBI) * p(I/(~<pro») , k

(4-51 a)

eine periodische Wiederholung im Abstand ~<pro von si-Funktionen der Breite 1/B.

y

I S R,p(x,y)

-x

-i...-t ---L....I...t l--1--t --+-f ---4-t -+-,-1 t ----"--, f I

1/(ro~<P) / '8/2

Blld 4-27: Zur Berechnung der Winkelabhlingigkeit von SR,P(x,y)

135

Wie klein muB nun ro werden, daB die si-Funktionen so nahe aneinanderligen, daB

sie sich zu einer Konstanten Oberlagern? Diese Frage laBt sich leicht im Fourier­

Bereich (bezOglich I) beantworten. Dazu ist in Bild 4-27 das Spektrum von (4-51a)

aufgetragen, nlimlich (Konstanten unterschlagen wir hier)

(4-51 b)

wobei wir die Korrespondenz des S-Pulses p(.) aus Tabelle 2-3 benutzt haben. For­

dern wir w(.) = const(I), muB W(.) = 8W sein, und aile anderen 8-Funktionen mOssen

auBerhalb des DurchlaBbereichs der rect-Funktion zu liegen kommen. Daraus erhal­

ten wir die Bedingung (Bild 4-27)

Die Punktantwort sR,p(x,y) ist also bis zu einem Radius

rgrenz = 21(6!pB) = 2p/(xB)

(4-52a)

(4-52b)

frei von Artefakten der Winkeldiskretisierung, wie dies bereits in Bild 4-26 skizziert ist.

Soli ein Objekt der maximalen Ausdehnung 0 von solch einem System fehlerfrei (bis

auf eine isotrope Bandbegrenzung) Obertragen werden, muB

(4-52c)

sein. Aus (4-52b,c) erhalten wir schlieBlich das Abtasttheorem der Computer­Tomographie [4.4, 4.5, 4.2S, 4.29]

I . p,x/2 N, mit

N1 = BD.

(4·S2d) I

Nachdem jede Projektion N1 linear unabhlingige Werte enthalt, werden zur Aufnah­

me eines Tomogramms mit einem Orts-Bandbreite-Produkt von N2 = x2/16 N12 (vgl.

(4-48d)) insgesamt

Z = N1 P = w2 N12

also

z = sIx N2 ... 2.55 N2 (4-52e)

MeBwerte benOtigt.

1 Dieses Gesetz kann auch als Grenzfall (fOr p -. 00) eines allgemeineren Theorems fOr Winkelabtastung hergeleitet werden (4.30, 4.31).

136

Anmerkungen - Die obige Herleitung gilt nur, solange die angewandte Naherung (4-51 a) gerechtfertigt ist, also (4-50) auch fOr ra = rgrenz erfOl1t ist:

rgrenz ~ 0» 1/B

unddamit

bzw. p»lf1'2.

FOr p -+ 00 gilt sie exakt. - Die Abtastfunktion Geradenbiischel hat offensichtlich einen - schlechten - Wirkungsgradvon

Es handelt sich dabei um eine nichtregulare Abtastfunktion (in karthesischen Koordinaten betrachtet); die Abstande der Geraden hangen namlich von fr abo Nichtregulare Abtastschemata haben wir in diesem Buch bewuBt ausgespart, da sie mathematisch unverhaltnismaBig schwierig zu behandeln sind. Bei dem hier vorliegenden GeradenbOschel unterscheiden sich jedoch Abstand und Richtung benachbarter Geraden - bei hohen Werten von p - so wenig, daB wir von gebietsweise regular sprechen konnen. Das klassische Abtasttheorem kann dann naherungsweise angewandt werden und muB auch noch fOr den groBten Abtastabstand gelten, welcher bei fr .max = B/2 auftritt und gleich 6cp 8/2 ist. Dieser Abstand darf nun hochstens so groB sein wie das Reziprol<e der Ausdehnung D des Objekts:

6cp 8/2 S 1/0.

Mit 6cp = nip fOhrt diese Betrachtung ebenfalls auf (4-52d). Sie zeigt aber auch, daB das Spektrum bei Frequenzen kleiner als B/2 - im Mittel um den Faktor zwei - zu fein abgetastet wird. Dies resulliert einerseits in der Oberbewertung tiefer Frequenzen, die durch die p-Filterung korrigiert wird, andererseits im o.a. schlechten Wirkungsgrad. In der Tat ist dieser Wirkungsgrad genau halb so groB wie der eines Quadratrasters nach (4.13). Durch diese eher intuitive Herleitung des Theorems (4-52d) wird auch eine mogliche Modifikation des abtastenden GeradenbOschels bei nichlisotroper Orts- bzw. Bandbegrenzung verstandlich: 6cp braucht nicht unbedingt konstant Ober cp bzw. 4> zu sein, die azimutale 'Dichte' der Geraden kann der Orts- oder Spektralausdehnung angepaBt werden, d.h. die Projektionen werden dann nicht mit konstantem Winkelschritt aufgezeichnet [4.28, 4.29).

Beispiel Zur tomographischen Rekonstruktion eines Objekts mit einer Auflosung von Nl = 256 Bildpunkten sind mindestens

Projektionen nolig, um Winkeldiskrelisierungs-Artefakte, die sich als Art 'Strahl en' im Bild bemerkbar machen, zu vermeiden.

5 Systemtheoretische Beschreibung physikalischer Phanomene

5.1 Allgemeine Problemstellungen

Die Domane der einciimensionalen linearen Systemtheorie ist die vereinheitlichte Be­

handlung von Zeitsystemen. Dagegen haben wir in den vorangegangenen Kapiteln

Ober mehrdimensionale Fourier-Transformation und &-Funktionen Signale und Varia­

bien meist nicht mit physikalischen Bedeutungen belegt. Dies holen wir nun nacho

Direkt erfahrbare Signale in der physikalischen Welt sind z.B. Temperatur-, Konzen­

trations-, Potential- oder Schalldruckverteilungen, welche vom Ort und evtl. von der

Zeit abMngen. FOr solche Signale verwendet man auch den Begriff Feld und spricht

z.B. vom 'zeitabha.ngigen Temperaturfeld' u(x,y,z,t). Die Temperatur bezeichnet man

in diesem Fall als die FeJdgro8e. Wir werden in diesem Abschnitt einige Moglichkei­

ten zur systemtheoretischen - operationellen - Beschreibung der Ausbreitungs- und

Fernwirkmechanismen von FeldgrOBen aufzeigen. In den Abschnitten 5.2 und5.3

werden dann diese Methoden auf das Phanomen der Wellenausbreitung angewandt.

Zur Vereinfachung der Schreibweise benutzen wir im folgenden den Ortsvektor

r := (x,y,z)T .

Ein zeitabhangiges skalares Feld kann dann auch als

u(x,y,z,t) == u(r,t)

geschrieben werden. Solch ein Feld hangt i. allg. von drei Ortskoordinaten und der

Zeit ab, ist also vierdimensional. 1m Gegensatz zu den vorangegangenen Kapiteln

soli im folgenden die Zahl 'n' nur die ortliche Dimensionalitat bezeichnen, im obigen

Fall ist also n = 3 und nicht vier. 1st ein Feld raumlich nur zweklimel1sional (n = 2), z.B.

unabhangig von y, so benutzen wir den lediglich zweikomponentigen Vektor

r = (x,z)T.

Die Lange des Ortsvektors ist in jedem Fall

{ (x2+y2+Z2)1/2 fOr n = 3

r = Irl = (x2+z2)1/2 fOr n = 2

Izl fOr n = 1 .

Entsprechend werden wir den Ortsfrequenzvektor

fr := (fx,fy,fz)T

138

verwenden. Die Zeitfrequenz bezeichnen wir mit ft.

1st die Darstellung von Feldern und deren Spektren in Polar(Kugel-)koordinaten

angezeigt, so verwenden wir zur Unterscheidung eine andere Schrifttype (vgl.

Abschnitt 3.5 und Bild 3-34), also z.B. fOr n = 3:

u.(r,<p,~,t) := u(rsin~cos<p, rsin~sin<p, rcos~, t) = u(x,y,z,t)

und U(fp cp,e,9 := U(fr sine coscp, fr sine sincp, fr cose, ft) = U(fx,fy,fz,ft)

und fOr n = 2:

u.(r,~,t) := u(r sin~, r cos~, t) = u(x,z,t)

und

Die oben beispielhaft aufgefOhrten FeldgrOl3en sind Skalare. Andererseits sind viele

wichtige GreBen vektoriel/er Art:

v(r,t) = (vx(r,t), vy(r,t), vz(r,t)) T ,

wie die Schnelle bei Schallwellen, der Warmestrom oder die elektrische und magne­

tische Feldstarke. 1st jedoch das zu untersuchende Vektorfeld wirbelfrei, so kennen

wir statt dessen mit seinem skalaren Potential rechnen, da das Vektorfeld aus diesem

durch Gradientenbildung eindeutig hervorgeht (siehe z.B. [5.1 J). Das elektrostatische

Potential z.B. ist skalar, die elektrische Feldstarke (dessen Gradient also) ein Vektor;

der Schalldruck ist das Potential der zeitlichen Ableitung der Schnelle und die

Temperatur das Potential des Warmeflusses. Wir werden uns daher - so weit wie

meglich - auf skalare Felder beschranken. Lediglich in Anmerkungen und Beispielen

uber elektromagnetische Wellen mussen wir dem vektoriellen Charakter der Feld­

greBen Rechnung tragen. Diese Felder sind namlich nicht wirbelfrei, und damit ist die

Angabe eines skalaren Potentials nicht meglich.

Differentialgleichungen

Physikalische Phanomene wie Warmeleitung oder Wellenausbreitung werden ubli­

cherweise durch partielle, also mehrdimensionale, Differentialgleichungen vom Typ

:Of u(r ,t)} = - q(r ,t) (5-1 )

beschrieben. Die Que/lenverteilung oder Que/lenfunktion q(.) faBt aile Ursachen­

greBen (z.B. WarmezufluB) zusammen, die das Feld u(.) erzeugen. Sie kann ihrerseits

ein Differentialausdruck einer oder mehrerer physikalischer Ursachen sein. Die Quel­

lenverteiJung ist von qualitativ anderer Art als das Feld und hat deshalb i. allg. auch

eine andere physikalische Einheit. Beispielsweise kann es keine zwei verschiedenen

im gesamten r,t-Raum definierten Temperaturtelder geben; die GrOl3en Warmezufuhr'

139

und 'Temperatur' jedoch kennen zwei Aspekte am selben Ort und zur selben Zeit

sein.

D{.} enthalt zeitliche und raumliche Differentialoperatoren, also

a/at, a2/at2, ...

und

a/ax, a/ay, ... , a2/ax2, a2/ay2, ... , a2/axay, ...

oder auch den Nabla-Operator

V := (a/ax, a/ay, a/az}T

und den Laplace-Operator1

t:. := V-V = a2/ax2+ a2/ay2+ a2/az2 .

Wir unterscheiden zwischen der zeitlichen und raumlichen Ordnung einer nach (5-1)

gegebenen Differentialgleichung entsprechend der hOchsten vorkommenden

zeitlichen bzw. ertlichen Ableitungen in D{.}.

Der Operator 1J{.} enthalt auBerdem MaterialgraBen, die die Eigenschaften des

Mediums beschreiben (Warmeleitfahigkeit, Dichte, Dielektrizitat ... ). FOr das Foigende

treffen wir bezOglich dieser Materialeigenschaften vereinfachende Annahmen:

Das Ausbreitungsmedium sei linear, d.h. D{.} ist eine Linearkombination der

erwahnten partiellen Differentialoperatoren. Die Materialeigenschaften hangen

dann nicht von der Feldgre Be abo

Das Medium sei orts- und zeitinvariant, d.h. es ist raumlich homogen und andert

sich nicht mit der Zeit. Die MaterialgreBen kennen wir dann als Material­

konstanten bezeichnen. Die Bedingung der Homogenitat werden wir jedoch bei

der Behandlung von Streuproblemen aufgeben mOssen.

Das Medium sei isotrop, d.h. die Materialkonstanten sind ungerichtet (Skalare,

keine Tensoren). Damit ist z.B. die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle

richtungsunabhangig.

Die ersten beiden Bedingungen erlauben die Anwendung von Faltung und Fourier­

Transformation, wah rend die Isotropie kugel- bzw. rotationssymmetrische Obertra­

gungsfunktionen zur Foige hat und hier vor allem einer einfacheren mathematischen

Beschreibung wegen gefordert wird.

Es zeigt sich, daB fOr verschiedene Phanomene ahnliche oder dieselben Differential­

gleichungen gelten (siehe z.B. [5.2)). Differentialgleichungen stellen somit bereits

eine Beschreibung auf heherem Abstraktionsniveau dar, eine Eigenschaft, die sie mit

einer systemtheoretischen Betrachtungsweise gemeinsam haben. In den folgenden

1 Der Laplace-Operator 'A' mi:lge nicht mil dem Symbol fOr Abtast- oder Wiederholabslande AI, Ax, ... verwechselt werden.

140

Beispielen sind einige einfache Differentialgleichungen aufgefOhrt; fOr deren Herlei­

tung wird jeweils auf die einschlagige Literatur verwiesen. Die Kenntnis der Rechen­

regeln fOr Nabla- und Laplace-Operator wird dabei vorausgesetzt.

Beispiel I: WArmeleltung. Diffusion Zur Uisung des Problems der Warmeleitung in festen Korpern hat J.B. Fourier 1822 eine Entwicklung in harmonische Funktionen verwendet und damit den Grundstein zu der nach ihm benannten Theone gelegt [5.3, 5.4). In einem homogenen Medium gilt die Fouriersche Differentialgleichung der Warme­leitung [5.5)

mit

.1u(r,t) - 1/a ~(r,t) = - w(r,t)/b

u(.) w(.) a b

Temperaturfeld (Wirkung) [K) Warmeenergiezufuhr (Ursache) [Wm - 3) Temperaturleitfahigkeit [m2s -1) Warmeleitfahigkeit [WK-1m-1).

(Ein Punkt '.' Ober einer Funktion bedeute die einfache zeitliche Ableitung) 1m Vergleich mit (5-1) ist die Ouellenfunktion hier

q(r,t) = w(r,t)/b .

Die Differentialgleichung der Warmeleitung ist von zeitlich erster und von raumlich zweiter Ordnung. Sie beschreibt u.a. auch den Konzentrationsausgleich durch Diffusion. Dann ist

u(.) w(.) a=b

Teilchendichte TeilchenzufluB von auBen Diffusionskoeffizient

Beispiel II: Schallwellenausbreitung Schallwellenfelder werden entweder durch den (skalaren) Schalldruck p(r,t) oder die (vektorielle) Schallschnelle v(r,t) beschrieben. Bei kleinen Amplituden (wegen der Druckabhangigkeit der Eigenschaften des Mediums) genOgt der Schalldruck der Wellengleichung [5.6)

mit

.1p(r,t) -1/c2 p(r,t) = - ~(r,t)

p(.) m(.) c = (pIC) -1/2 p IC

Schalldruck MassezufluB von auBen (Ursache) Schallausbreitungsgeschwindigkeit Dichte Kompressibilitat

(~

Die zeitliche Ableitung des von auBen 'aufgezwungenen' Massezuflusses fungiert in dieser Gleichung als Quellenterm

q(r,t) = m(r,t) .

FOr die Schnelle laBt sich ebenfalls eine Wellengleichung aufstellen:

.1v(r,t) - 1/c2 ;(r,t) = Vm(r,t)/p .

Die FeldgreBe ist hier vektoriellund damit auch die Ouellenfunktion:

q(r,t) .. - Vm(r,t)/p .

(iQ

Eine der beiden Gleichungen genOgt zur Behandlung von Schallwellen. Haufig arbeltet man jedoch mit einer Art 'KompromiB' aus den FeldgrOBen p(.) und v(.), dem Geschwindigkeitspotential u(r,t). Aus diesem berechnen sich Druck und Schnelle zu

. p(r,t) = p u(r,t)

und v(r,t) .. - Vu(r,t) .

FOr diese - skalare - GroBe gilt dann die Wellengleichung

6u(r,t) -1/c2 ~(r,t) = - m(r,t)/p .

Die Ouelienfunktion

q(r,t) = m(r,t)/p

hat nun die Bedeutung einer VolumenzufluBrate.

141

(iii)

Die Wellengleichung ist - unabhangig von der Wahl der FeldgroBe - von zeitlich und raumlich zweiter Ordnung.

Beispiel III: Maxwellsche Glelchungen Die Maxwellschen Gleichungen lauten in Differentialform fOr ein homogenes, isotropes, verlustloses (nicht leitendes) Medium [5.1, 5.7]

mit

Vxe(r,t) = -11 h(r,t)

Vxh(r,t) = j(r,t) + e e(r,t)

V'e(r,t) .. p(r,t)/e

V'h(r,t) = ° e(.) h(.) j(.) p(.) e

elektrische Feldstarke magnetische Feldstarke Stromdichte (evtl. Ursache) Raumladungsdichte (evtl. Ursache) Dielektrizitatskonstante Permeabilitatskonstante

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

FOr einige Sonder/alle lassen sich diese vier Gleichungen zu einerverdichten. Betrachten wir zuerst den Fall der Elektrostatik. Hier ist definitionsgemaB

e(.) ",0 und j(.) ",0.

Es interessiert also nur noch die Gleichung (iii). Benutzt man das Potentia/u(r) von e(.) mit

Vu(r) := - e(r) ,

so erhalten wir aus (iii) die bekannte - skalare - Potentialgleichung der Elektrostatik

6u(r) =-p(r)/e. (v)

Die Raumladungsdichte ist also hier die Quellenfunktion, die Ursache fOr das elektrostatische Potential. Ein anderer Sonder/all sind elektromagnetische WeI/en. Zur Herleitung der entsprechenden Wellen­gleichung fOr die elektrische Feldstarke e(.) als FeldgroBe bilden wir die Rotation 'Vx(.)' von (i), differenzieren (Ii) nach t und eliminieren die magnetische Feldstarke h(.): - .

VxVxe(.) + Ell e(.) = -11 j(.) .

Mit der Rechenregel

VxVxe. V(V·e) - M ,

der Gleichung (iii) und c = (ell) -1/2 (Lichlgeschwindigkeit) erhalten wir schlieBlich die Wellengleichung fOr

e(.):

142

.de(r,t) -1-/c2 ~(r,t) = J.L i(r,t) + vplE , (vi)

wobei i(.) und p(.) wegen (ii), (iii) und (iv) Ober die Beziehung

p(r,t) .. - Vi(r,t) (vii)

zusammenhll.ngen und damit nicht unabhlingig voneinander als Erregungen vorgegeben werden kennen. Die - vektorielle - Quellenfunktion ist hier ein schon relativ komplizierter Differentialausdruck der eigentlichen physikalischen Ursachen. Auf ll.hnliche Weise Ill.Bt sich eine Wellengleichung fOr die magnetische Feldstll.rke h(.) herleiten:

.dh(r,t) -1/c2 hO(r,t) = - VxJ(r,t) . (viii)

Diese Gleichung ist 'handlicher' als (vi). weil hier auf der rechten Seite nur noch eine physikalische Ursache auftritt und daher die Ouellenfunktion direkt aus der vorgegebenen Stromdichte (z.B. in einer Antenne) berechnet werden kann. Beide Wellengleichungen sind - fOr jede einzelne Komponente betrachtet - yom selben Typ wie die fOr (skalare) Schallwellen, lediglich die Quellenterme unterscheiden sich grundsll.tzlich voneinander.

Offensichtlich tragt die Zusammenfassung aller physikalischen UrsachengrOBen in

eine Quellenfunktion erheblich zur vereinheitlichten Betrachtung verschiedener Pha­

nomene beL

Eine Differentialgleichung ist ein mathematisches Kondensat der zu ihrer Herleitung

verwendeten Axiome. Sie beschreibt zwar das Phanomen vollstandig, muB zur

Behandlung eines speziellen Problems jedoch erst gelost werden. Es gibt zwei

Klassen solcher Losungen: die homogenen Losungen 1 uH(.)' welche die Differential­

gleichung trotz verschwindender Quellenverteilung erfOllen, also

(5-2a)

und die partikularen Losungen uq(.), die die eigentliche Wirkung auf die jeweilig

vorgegebene Quellenverteilung darstellen, also

uq(r,t) = S{ q(r ,t}} , (5-2b)

und daher auch

fOr q(r,t) == 0 . (5-2c)

Eine Differentialgleichung kann somit nicht einfach durch ein System S{.} mit dem

Eingang q(.) und dem Ausgang u(.) ersetzt werden, da sonst die homogenen Losun­

gen unberOcksichtigt blieben; vielmehr mOssen in dieses System auch Randbedin­gungan Eingang finden, die gerade solcha homogenen Losungen zur Wirkung

haben, daB das gesamte (Ausgangs-)Feld

(5-2d)

1 UnglOcklicherweise wird der Begriff 'homogen' in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet: 1. Homogenitll.t des Mediums bedeutet, daB die Materialeigenschaften und damit die Koeffizienten der Differentialgleichung konstant sind. 2. Homogenitll.t der Differentialgleichung, bzw. deren Lesungen, heiBt, daB q(r,t) Ii 0 is!. Um Verwechs­lungen mit der erstgenannten Bedeutung zu vermeiden, verwenden wir dafOr den Begriff 'quellenfrei'.

143

diese Randbedingungen erlOIit. Wir unterscheiden im folgenden zwischen dem

Quellenproblem, d.h. der Berechnung von uq{.) aus q(.}, und den - zeit lichen oder

raumlichen - Randwertproblemen, der Ermittlung von uH('} bei verschwindender

Quellenfunktion. Bei Randwertaufgaben ist meist das Feld nur in einem begrenzten

Gebiet des r,t-Raums zu ermitteln (z.B. fOr t > 0 oder innerhalb einer geschlossenen

Flache); das restliche Gebiet braucht also nicht als quellenfrei angenommen zu wer­

den. Dies erlaubt uns, wie wir in den nachsten Abschnitten sehen werden, eine ROck­

fOhrung von Randwertproblemen auf das Quellenproblem, indem wir eine - fiktive­

Quellenverteilung konstruieren, welche nur in dem Gebiet existiert, Ober das keine

Aussage gemacht werden soli, und deren Feld gerade die Randbedingungen erlOIit.

Wir denken uns also auch die homogene Losung innerhalb des fraglichen Gebiets

erzeugt durch Quellen auBerhalb dieses Gebiets.

Anmerkung Die Erzeugung einer - in einem bestimmten Gebiet - homogenen Uisung durch fiktive Ouellen ist nur moglich, wenn q(.) wie vereinbart als Ouellenfunktion betrachtet wird, und nicht die wirklichen physikalischen Ursachen, welche in q(.) eingehen. Ein eindimensionales Beispiel moge dies veranschaulichen: In der Differentialgleichung

sei u1 (x) die physikalische Ursache und u2(x) die Wirkung. Die Losung dieser Gleichung ist

u2(x) = f q(x) dx = u1(x) + C.

Es werde nun die Randbedingung

u2(0) = a und u 1 (x>O) E 0

vorgegeben, und u2(x>0) 5011 ermittelt werden. Aus (ii) erhalt man sofort

u2(x>0) = a = const .

(i)

(ii)

Wir konnten aber auch (wie angedeutet) eine Quellenverteilung bei x < 0 annehmen, die gerade ein Feld u2(x) zur Foige hat, welches die Randbedingung eriOllt, z.B.

q(x) = ali(x-Xol mit (iii)

Diese Ouellenverteilung bewirkt nach (ii) das Feld

welches im Gebiet x > 0 mit obiger Losung Obereinstimmt. Hatten wir jedoch u1(x) statt q(x) als Quellenfunktion betrachtet, so kc5nnten wir keine Erregung linden, die fOr x > 0 verschwindet und trotzdem die Randbedingung eriOIIt; so stammt beispielsweise die oben angenommene Funktion q(x) aus (iii) von der physikalischen Erregung

die nicht fOr x > 0 verschwindet.

In den folgenden Abschnitten werden wir das Quellenproblem, spezielle Randwert­

probleme sowie das Streuproblem diskutieren. Wir beschranken uns dabei auf Faile,

bei denen die Losung die Form eines Faltungsintegrals annimmt.

144

Cas Quellenproblem

Das Quellenproblem, die Ermittlung des resultierenden Feldes aus der gegebenen

Quellenfunktion, ist eine fundamentale Fragestellung, auf die meist andere Probleme

zurOckgefOhrt werden kennen. Wir nehmen hier an, daB ein Feld u(r,t) ausschliel3lich

die Wirkung auf eine gegebene Ursache q(r,t) ist (Bild 5-1); wir betrachten also nur

die partikulare Lesung der Differentialgleichung, verzichten aber der Einfachheit

halber auf den Index 'q'.

Unter diesen Voraussetzungen definiert die Differentialgleichung das System (5-2b)

mit einem Eingang q(.) und dem Ausgang u(.). 1st das Medium linear und homogen,

so ist auch dieses System linear und zeit- und ortsinvariant, und das Feld berechnet

sich aus der Quellenverteilung durch Faltung mit einer noch zu bestimmenden Punkt­

Impulsantwort s(r,t):

r t u(r,t) = q(r ,t) * * s(r,t) (5-3a)

oder durch Multiplikation im Spektralbereich:

U(fr,ft) = Q(fr,ft) S(fr,ft) . (5-3b)

resultierendes Feld u(.)

//'~l~~-J'--: Quellenverteilung q(.)

s( r ,t) q(r ,t) 1---- u(r ,t)

Bild 5-1: Zum Quellenproblem

Das Quellenproblem ist also gelest, wenn wir die das jeweilige Phanomen (Warme­

leitung, Wellenausbreitung usw.) beschreibende Punkt-Impulsantwort s(r,t) bzw. die

Obertragungsfunktion S(fr.ft) kennen. Diese kann, wie wir sehen werden, aus dar

145

entsprechenden Differentialgleichung hergeleitet werden. Experimentel! konnte s(r,t)

als Antwort auf

q(r,t) = 8(r) 8(t)

ermittelt werden, z.B. durch kurzzeitige ortlich punktformige Warmezufuhr und

Beobachtung der daraus resultierenden Temperaturverteilung und deren zeitlichen

Verlaufs.

Bisher sind wir von ortlich dreidimensionalen Quellenverteilungen ausgegangen.

Variiert dagegen q(.) z.B. in y-Richtung nicht, so gilt in diesem zwek:limensionalen Fall

x z t u(x,z,t) = q(x,z,t) * * * s(x,z,t) (5-3c)

mit +00

s(x,z,t) := f s(r,t) dy . (5-3d)

Die spektrale Beschreibung (5-3b) andert sich dabei nicht, im Frequenzvektor fr enttallt lediglich fy. Entsprechend berechnet sich die Punkt-Impulsantwort fOr den

eindimensionalen Fall zu

+00

s(z,t) := If s(r,t) dxdy . (5-3e) -00

Die folgenden Betrachtungen gelten wieder fOr das allgemeine dreidimensionale

Problem.

Gerade fOr abbildende Systeme ist das inverse Quellenproblem von groBer Bedeu­

tung. Hierbei ist das Feld u(r,t) bekannt und die Quellenverteilung q(r,t) gesucht.

Durch Invertierung von (5-3b), also

Q(fr,9 = U(fr,fl ) /S(fr,fl ) , (5-4)

ware dieses Problem formal gelost, wenn wir das Feld im gesamten Raum kennen

wOrden. Dies ist jedoch in der Praxis i. allg. nicht der Fall. Gerade das wichtige

Gebiet, in dem sich die Quellen befinden, ist meist aus prinzipiellen Grunden einer

Messung nicht zuganglich. Dies trifft auf aile abbildenden Systeme zu. Neben dem

Problem, daB die Inversfilterung nach (5-4) evtl. in weiten Frequenzbereichen gar

nicht moglich ist, da dort S(fr,fl ) '" 0 ist, tritt also als weitere Erschwernis hinzu, daB

das gemessene Feld zuerst uber das Me Bgebiet hinaus extrapoliert werden mu B. Die

Mehrdeutigkeit der Losung des inversen Quellenproblems speziell bei Wellenphano­

menen kommt in der - zumindest mathematischen - Existenz nichtemittierender

Quel/en zum Ausdruck [5.8-5.10]. Diese Quellen erzeugen zwar ein Feld, dieses

verschwindet jedoch auBerhalb des Quellengebiets und kann daher nicht erfaBt werden.

146

Spezlelle Quellenfunktlonen

FOr spezielle Formen der Quellenverteilung q(.) vereinfacht sich evtl. die DurchfOh­

rung der Faltung (5-3a). Dies gilt z.B., wenn q(r,t) in Ort und Zeit separierbarist:

q(r ,t) = qr(r) qt(t) . (5-5a)

Wir nennen solche Quellen synchrone Quellen, da an jedem Ort der Quellenvertei­

lung gleichzeitig das Zeitsignal ~(t) - lediglich bewertet mit dem Ortsfaktor qr(r) -

'ausgesandt' wird. Das Feld einer synchronen Quelle ist mit (5-3a)

r t r t u(r,t) = q(r,t) * * s(r,t) = qr(r) * [qt(t) * s(r,t)]

t r = qt(t) * [qr(r) * s(r,t)] . (5-5b)

Falls entweder qM oder qr(') als Systemparameter interpretiert werden soli, sind die

geklammerten Faltungsprodukte als drei- bzw. eindimensionale Punkt-(Impuls-)

antwort zu betrachten.

Ein Sonderfall einer synchronen Quelle ist die bereits angesprochene Punkt-Impuls­

quelle, z.B. am Ort ro und zur Zeit to:

q(r,t) = B(r - ro) B(t - to) .

Deren Feld ist trivialerweise die um ro und to verschobene Punkt-Impulsantwort

u(r,t) = s(r - ro' t - to) .

Es ist wegen der eingangs getroffenen Vereinbarungen kugelsymmetrisch um roo

Ebenfalls von groBer Bedeutung - speziell zur Behandlung von Randwertproblemen

- ist die punktformige Dipo/quelle mit impulsformigem Zeitverlauf, z.B.

(5-6a)

Diese kann man durch zwei gegenphasig emittierende Punkt-Impulsquellen an den

Orten r = (Xo,yo,zo±El2)T approximieren (vgl. Bild 3-13, rechts). Das Feld der Dipol­

quelle ist

u(r,t) = a s(r - ro' t - to)/az . (5-6b)

Da wir fOr s(.) Kugelsymmetrie angenommen haben, liefert diese Differentiation (hier

der Einfachheit halber fOr ro = 0 und to = 0)

a ara za a :\ s(r,t) = :\ 3'"" s(r,t) = -:\ s(r,t) = cos~:\ s(r,t) . aZ aZ ar r ar ar

(5-6c)

Das Feld dieser Dipolquelle verschwindet also auf der x,y-Ebene, da dort die Rich­

tung der Differentiation tangential zu den 'Hohenlinien' von s(.) verlauft. Weist jedoch

s(.) bei r = 0 einen Pol auf, so verschwindet das Dipolfeld zwar fOr z = O~ jedoch mit

147

Ausnahme des Ursprungs x = y = O. Dort ist das Feld unendlich groB. Dieser Fall kann

nur fOr t = 0 auftreten, da wir annehmen, daB das System durch eine Differentialglei­

chung endlicher Ordnung beschrieben wird, und daher das Feld nach der Erregung

stetig sein muB. Wir werden sehen, daB in den hier interessierenden Fi:i.llen dieses

Feld einer Dipolquelle in der Ebene z = 0 (genauer: z = 0+) gerade einen o-Punkt­

Impuls darstellt, also (Bild 5-2)

lim {a s(r,t)/az} = a o(x,y) o(t) , Z~O+

(5-7a)

wobei sich die Konstante a zu

+00 a a = lim {Iff a s(r,t) dxdydt }

Z~O+ -00 Z (5-7b)

errechnet.

x,y ardz x,y

y y

a O(X,y) o{t)

/ +-+-+-H$H++-f-x ------~.------- x

Bild 5-2: Das Feld einer Punk!-Impulsquelle (links) und das das einer Dipolquelle (rachts); skizziert is! jeweils auch das Feld in der Ebene z = 0+ (unten)

Die bisher diskutierten Quellen waren ortlich und zeitlich o-formig. Etwas allgemei­

ner ist bereits die Impulsquel/e (mit beliebiger Ortsabhangigkeit)

q(r,t) = ~o(r) o(t - to) . (5-Sa)

Das Feld auf solch eine kurzzeitige Erregung hin ist dann (Bild 5-3, oben)

148

r I u(r,t) = [qlo(r) o(t - to)] * * s(r,t)

(S-8b)

(Wegen der Kausalitat existiert dieses Feld natOrlich nur fOr t ~ to.)Wir haben damit ein

dreK:limensionales System definiert, welches das Feld zum Zeitpunkt taus dem Orts­

verlauf qlo(r) der Impulsquelle berechnet. Die Zeitdifferenz t - to spielt dabei die Rolle

eines Systemparameters. Nennen wir diese Differenz ~t := t - to' so erhalten wir das

Feld im zeitlichen Abstand von ~t nach der Erregung zu (Bild S-3, unten)

bzw. dessen Ortsspektrum

ur(fr,to+~t) = QtO(fr) sr(fr,~t) .

q(r ,t) = q lo( r) O(t - to) u(r ,t)

(S-8c)

(S-8d)

--------~-------- --------~--------~ ~ ~ ~

>k'~>k >k'~ z z

t <to t = to t >to

! 1 qlo (r ) u(r ,to+~t)

Qlo(fr )

Bild 5-3: Zur Berechnung des Feldes einer Impulsquelle

1st der zeitliche Verlauf der Quellensignale ein differenzierter o-Impuls, also

q(r,t) = ~.Io(r) o(v)(t -to) ,

so entsteht das Feld

u(r,to+~t) = ~.Io(r)! [aVs(r,t)/atV ]1=61 •

(S-9a)

(S-9b)

149

Ein weiterer wichtiger Sonderfall ist die Punktquelle beliebigen Zeitverlaufs

(5-10a)

Der zeitliche Verlauf der FeldgrOBe am Ort r = ro+6r berechnet sich in Analogie zum oben Gesagten durch die - nun eindimensionale - Faltung (Bild 5-4)

, u(ro+6r,t) = qrO(t) * s(6r,t) .

bzw. im Zeitspektralbereich

U'(ro+6r,f,) = 0ro(f,) SI(6r,ft) .

qro(t)

~ l

z

s(~r,t)

Bild 5-4: Zur Berechnung des Feldes einer Punklquelle

(5-10b)

(5-10c)

Haufig werden wir auch ebene Quellen betrachten, z.B .. auf der Ebene z = zo:

q(r,t) = qzo(x,y,t) l5(z - zo) .

Deren Feld, speziell auf einer Ebene z = ZO+6z, ist dann

x y , u(x,y,ZO+6z,t) = qzo(x,y,t) * * * S(X,y,6z,t)

bzw. dessen Spektrum bezuglich x, y und t

ux,y,l(fx,fy,zO+6Z,fl ) = 0zo(fx.fy,ft) sx,y,l(fx,fy,6Z,ft) .

Das dam it definierte dreidimensionale System ist in Bild 5-5 skizziert.

(5-11a)

(5-11b)

(5-11c)

150

qz (X,y,t) o

S(X,Y,&.t)

sx,y,t (f f & f ) X' Y' ' t

Bild 5-S: Zur Berechnung des Feldes einer ebenen Quene

u(X,y,Zo+b.Z,t)

u(X,y,Zo+b.z·t)

Falls die ebene Quellenverteilung in z-Richtung die Form einer v-fach differenzierten

o-Funktion hat, also

q(r,t) = Qy,zo(x,y,t) o(v)(z - zo) , (5-12a)

so ist das Feld auf einer parallelen Ebene im Abstand b.z gegeben durch

u(x,y,zo+b.z,t) = qv,zo(x,y,t) : l ! [aVs(r,t)/azV] z=6z . (5-12b)

Bei den hier aufgefOhrten speziellen Quellenverteilungen mu Bte zur Feldberechnung

nicht vier- sondern nur noch ein- bzw. dreidimensional gefaltet werden. Die entspre­

chenden Faltungskerne waren dabei Schnitte durch die Punkt-Impulsantwort s(r.t) bei

t = b.t, r = Moder z = b.z. Zur Beschreibung dieser Operationen im Spektralbereich ha­

ben wir daher haufig auf Teilspektren von s(r,t) bzw. S(fr,9 zurOckgegriffen. Abschlie­

Bend seien die Zusammenhange zwischen diesen Teilspektren nochmals aufgefOhrt:

s(r,t)

0---'"

t 0----

0...-----

z 0----

(5-13)

151

Oas Anfangswertproblem

Bei der Anfangswertaufgabe (auch zeitliche Randwertaufgabe genannt) ist eine

'Momentaufnahme' u(r,to) des Feldes zum Zeitpunkt t = to bekannt. Gesucht wird das

Feld u(r,to+6t) zu einem spateren Zeitpunkt t > to (Bild 5-6). Dabei sei fOr t > to keine

Erregung mehr vorhanden:

q(r,t > to) == o.

Es 5011 also z.B. untersucht werden, wie ein homogener Kerper, ausgehend von einer

bekannten Temperaturverteilung, in sein thermisches Gleichgewicht zurOckkehrt, oh­

ne daB die physikalische Ursache des Anfangszustandes u(r,to) bekannt ist. Wir ken­

nen jedoch eine Quellenverteilung bei t ~ to annehmen, welche ein Feld erzeugt, das

bei t = to gerade den vorgegebenen Anfangswert aufweist. I. allg. gibt es natOrlich vie­

le solcher fiktiven Quellenverteilungen, die aile auf denselben Anfangszustand u(r,to)

fOhren. Zuerst gilt es zu klaren, ob in allen diesen Fallen auch der weitere Feldverlauf

derselbe ist; dann genOgte namlich die Angabe von u(r,to)' um u(r,t > to) eindeutig zu

spezifizieren. Bei den Ausgleichsvorgangen wie der Warmeleitung ist dies sicherlich

der Fall, da das Streben nach einem Gleichgewichtszustand zeitlich gerichtet ist.

Einer Momentaufnahme einer Welle jedoch sieht man es nicht an, in welche Richtung

sie sich fortbewegt. Hier muB der Eindeutigkeit halber noch der Wert der ersten

zeitlichen Ableitung a u(.)/at fOr t = to mit angegeben werden. Dieser Unterschied zeigt

sich in der Ordnung der entsprechenden Differentialgleichung. Die der Warmeleitung

ist namlich von zeitlich erster und die Wellengleichung von zweiter Ordnung.

y y

~t x x

z

Bild 5-6: Zum Anfangswertproblem

152

Anmerkung Bei Phanomenen, die nicht durch eine Dilferentialgleichung (endlicher Ordnung) beschrieben werden k6nnen, isl das Anfangswertproblem i. allg. nichl eindeulig 16sbar. Man denke beispielsweise an ein rei­nes Verz6gerungsglied im Eindimensionalen; der Signalwert und seine Ableitungen bei I = 10 sagen nichls dariiber aus, welches Signal noch im Syslem 'gespeichert' is!.

Bleiben wir jedoch vorerst bei Differentialgleichungen zeitlich erster Ordnung, bei

denen lediglich u(r,to) bekannt zu sein braucht. Dann kennen wir das Anfangswert­

problem auf das Ouellenproblem zuruckfUhren, wenn wir eine der Ouellenvertei­

lungen q(r,t) finden, deren Feld bei t = to den vorgegebenen Anfangswert aufweist.

Insbesondere kennen wir eine Impulsquel/e annehmen:

(5-14a)

Deren Feld ist in (5-8c) gegeben und ist spezieU fOr t = to' also ~t = 0, von der Form r

u(r,to) = qlo(r,t) * s(r,O). (5-14b)

Dieses Feld muB gleich dem vorgegebenen Anfangswert sein. Wir erzwingen also

durch eine geeignet gewahlte Impuls-Ouellenfunktion die Anfangsbedingung u(r,to)1.

1m Orts-Spektralbereich lautet (5-14b)

(5-14c)

Das Spektrum der gesuchten Ouellenverteilung qtO(r) laBt sich nun durch Invertierung

dieser Gleichung ermitteln:

(5-15)

und daraus schlieBlich das Orts-Spektrum des Feldes zu einem spateren Zeitpunkt

berechnen:

(5-16)

Damit erhalten wir als Losung des Anfangswertproblems (bei Systemen zeitlich erster

Ordnung)

fur ~t ~ 0 (5-17a)

mit

(5-17b)

1 Slreng genommen slel~ sich dieser Feldverlauf ersl unmittelbar nach 10 ein. Wir werden jedoch im folgenden zwischen dem rechlsseiligen (I = 10+), dem linksseiligen (I = loJ Grenzwert und dem Wert selbsl bei I = 10 nur wenn n61ig unlerscheiden.

153

Anmerkungen - Bei Systemen von zeitlich erster Ordnung ist Sr(lr,O) immer eine Konstante beziiglich 1 . S~t(lr) ist damit bis auf einen konstanten Faktor gleich Sr(fr,~t); obige Gleichungen sehen also 'kompfizierter' aus als sie eigentlich sind. Das (z.B. Temperatur-)Feld unmittelbar nach einer impulsartigen Erregung (Warmezufuhr) ist dann ein Abbild der OueUenverteilung, wie schon in Bild 5-3 skizziert. - Die Gleichungen (5-17a,b) gellen im Grenzfall auch fOr ~t = O. Lassen wir namlich ~t ~ 0, also t ~ to+ gehen, so wird erwartungsgemllB S~~lr) .. So(lr) 51! 1 und s~t(r) = so(r) .. _S(r). - Die eigentliche Form der fiktiven Quellenverteilung erscheint in der Ubertragungsfunktion S ~t(lr) gar nicht mehr. Hatten wir z.B. statt ImpulsqueUen solche mit S'(t)-Verlauf angenommen, so ware

S~t(lr) .. Sr(lr,&)/Sr(lr,O) .

Wegen der eindeutigen Uisbarkeit der Anfangswertaufgabe ist bei Systemen von zeitlich erster Ord­nung die so berechnete Obertragungsfunktion immer identisch mit der aus (5-17b). Oasselbe gill fiir hOhere Ableitungen von S(t).

Wir haben mit (5-17a,b) ein dreidimensionales System definiert, dessen Eingangs­

signal der Anfangswert u(r,to) ist. Die Zeitdifferenz ist hier ein Systemparameter. Der

Zusammenhang dieses Systems mit dem System zur Losung des Quellenproblems

ist nochmals in Bild 5-7 dargestellt.

__ B~r.tOJ Quellenproblem: t = to

~o(r) Anfangswertproblem

u(r,to+~t)

---8--Quellenproblem: t = to+ ~t

Bild 5-7: Zusammenhang zwischen QueUenproblem (Impulsquellen) und Anfangswertproblem bei zeitlich erster Ordnung (vgl. (5-17a,b»

Anmerkungen - Das Anfangswertproblem bei Zeitsystemen wird iiblicherweise mit Hilfe der Laplace-Transformation angegangen [5.11). Wir haben jedoch hier das Konzept fiktiver QueUen verwendet, da wir damit im folgenden Abschnitt auch das raumliche Ranclwertproblem IOsen werden. Wir miiBlen uns ansonsten der Laplace-Transformation auch in x, yoder z bedienen. - Oa wir zur Uisung des Anfangswertproblems die Fourier-Transformation benutzt haben, miissen wir iibrigens zeitlich exponentieU anklingende Felder ausschlieBen. Bei den hier zu behandelnden Phano­menen konnen solche Zeitverlaufe aber ohnehin nicht auftreten, da ja q(r,t > to) '" 0 gefordert war. - Ein weiterer Unterschied zur iiblichen Behandlung des Anfangswertproblems besleht darin, daB wir hier ein eigenes System mit der Punktantwort s~t(r) definieren und damit den Anfangswert als Eingangs­signal dieses Systems und nicht als Zustand des urspriinglichen Systems s(r,t) interpretieren.

Das bisher Gesagte gilt fUr Pha.nomene wie die Warmeleitung, deren Differentialglei­

chung von zeitlich erster Ordnung sind, Nun betrachten wir den Fall zweiter Ordnung;

eine Erweiterung zu hOheren Ordnungen ist dann in entsprechender Weise moglich.

Urn das Anfangswertproblem eindeutig losen zu konnen, mOssen jetzt

154

u(r.to) und u(r.to) := a u(r.t)/atl 1 ='0

gegeben sein. Oiese beiden Anfangsbedingungen lassen sich natUrlich nicht mehr

durch eine Impuls-Ouellenverteilung qlo(r) o(t - to) erzwingen. Eine Moglichkeit ist

der Ansatz einer o(t)- und einer o'(t)-formigen Ouellenfunktion:

q(r,t) = qO,IO(r) o(t - to) + q1,IO(r) o'(t - to) . (5-1 Sa)

Oas resultierende Feld ist dann nach (5-Sc) und (5-9b) (mit v = 1) r r •

u(r,to+~t) = qO,IO(r) * s(r,~t) + q1,IO(r) * s(r.~t) (5-1Sb)

und dessen Ortsspektrum

ur(fr.to+~t) = 00,IO(fr) sr(fr,~t) + 0l,lo(fr) Sr(fr.~t) . (5-1Sc)

Oie fiktiven Ouellen qo,lO(.) und ql,lO(.) bzw. deren Spektren °0,10(.) und 01,10(.) wer­

den nun so gewahlt. daB die Anfangsbedingungen u(r,to) und u(r,to) erfullt sind, d.h.

Ur(fr,to) = 00,IO(fr) sr(fr,O) + 0l,lo(fr) sr(fr'O) und (5-19)

Oieses lineare Gleichungssystem ist nun nach 00,IO(fr) und 0l,lo(fr) aufzulosen. Nach

kurzer Rechnung erhalten wir

00,IO(fr) = (Sr(fr.O)Ur(fr.to) - Sr(fr.O)lhfr,to) )/O(fr) und (5-20a)

wobei O(fr) die Oeterminante

O(fr) := 13r(fr'O) sr(fr'O) - Sr(fr.0)2 (5-20b)

ist. Mit (5-20a.b) ist dann die Losung des Anfangswertproblems (fUr Systeme zeitlich

zweiter Ordnung):

fur ~t ~ 0 (5-21 a)

mit

so .. ",,(r) r

0-- (5-21 b)

und

s1.l\I(r) r

0-- (5-21C)

155

Das damit definierte System hat also zwei Eingange fOr die beiden Anfangsbedingun­

gen u(r.to) und u(r.to). wie in Bild 5-8 skizziert.

u(r.to+t.t)

Bild 5-8: System zur Uisung des Anlangswertproblems bei zeitlich zweiter Ordnung nach (5-21a,b,c)

1st nun auch eine zeitliche ROckverfolgung des Feldes moglich. d.h. konnen wir

u(r.to-t.t) aus u(r.to) berechnen? Dieses inverse Anfangswertproblem lal3t sich for­

mal durch Inversfilterung losen. z.B. bei zeitlich erster Ordnung: r

u(r.to - t.t) = u(r,to) * s_6t(r) (5-22a) mit

r 0-- (5-22b)

In vielen Fallen jedoch existiert s_6t(r) nicht. da 1/S6t(fr) nicht Fourier-transformierbar

is!. Beispielsweise ist im Fall der Warmeleitung S6t(fr) vom Typ einer Gaul3-Funktion.

und daher weist S_ 6t(fr) doppelt exponentiellen Anstieg zu hohen Ortsfrequenzen hin

auf. Die zeitliche ROckverfolgung kann dann nicht durch Faltung im Ortsbereich

ausgefOhrt werden. 1st jedoch die Anfangsbedingung u(r.to) so beschaffen. daB das

Produkt seines Ortsspektrums Ur(fr,to) mit S_ 6t(fr) Fourier-transformierbar ist. so kann

das Feld trotzdem zeitlich zurOckvertolgt werden:

(5-22c)

In diesem Faile kompensiert offensichtlich Ur(fr.tO) das unerwOnschte Verhalten von

S_ 6t(fr) . Solch eine Anfangsbedingung liegt aber i. allg. nur dann vor, wenn die

physikalische Ursache auf die Zeiten t s to - t.t beschrankt war. d.h. q(r.t > to - t.t) == 0

is!. Ein Feld kann also auch mit Hilfe von (5-22c) zeitlich nur bis zu dem Zeitpunkt

zurOckvertolgt werden. an dem die Quellenfunktion letztmalig vorhanden war und

damit z.B nicht Ober einen Zeitpunkt hinaus, an dem Ortliche Unstetigkeiten auftreten.

Oas Randwertproblem

Bei der Randwertaufgabe (oder auch: raumlichen Randwertaufgabe) ist das Feld auf

einer Flache gegeben, und das Feld im gesamten Raum soli berechnet werden. Wir

vereinfachen die Aufgabe dahingehend. daB wir uns u(x.y,zo.t). also das Feld auf ei-

156

ner Ebene Z = zo' vorgeben (Bild 5-9). Diese bezeichnen wir als Eingangsebene. Die

Ausgangsebene sei eine dazu parallele Ebene bei z = zo+6z. Den Halbraum z > Zo

nehmen wir als quellenfrei an:

q(X,y,Z> zo,t) :; 0 .

Unter diesen Voraussetzungen ist das Randwertproblem in gleicher Weise losbar wie

das Anfangswertproblem; es ist lediglich z mit t zu vertauschen. Handelt es sich z.B.

um ein System ortlich erster Ordnung, so konnen wir eine fiktive Quellenverteilung in

der Ebene z = Zo ansetzen, welche die Randbedingung u(x,y,zo,t) erzwingt:

q(r,t) = qzo(x,y,t) 8(z - zo) , (5-23a)

Die Losung des Randwertproblems ist dann analog zu (5-17a,b)

mit

X Y t u(x,y,Zo+6z,t) = u(x,y,zo,t) * * * s!'>z(x,y,t)

sx.y,t(fx.fy,6z.ft) S'z(fx,fy,ft) = ---'---

U sx,y,t(f f 0 f ) x' y' ,t

u(x,y,zo.t) ---I j-YI

Bild 5-9: Zum Randwertproblem (einseitig eben berandeter Raum)

(5-23b)

(5-23c)

U(X,y,zO+6Z,t)

x

u(x,y,ZO+6z,t)

157

Aile der eingangs beispielhaft aufgefOhrten Differentialgleichungen sind von Mlich

zweiter Ordnung. Hier muB neben dem Randwert u(x.y.zo.t) i. allg. noch die

Normalenableitung

u·(x.y.zo.t) := 0 u(r.t)/ozl z=zo

des Eingangsfeldes gegeben sein. Wie beim Anfangswertproblem kennen wir nun

zwei Quellenverteilungen annehmen: eine l)(z)- und eine l)'(z)-fermige:

q(r.t) = qo.zo(x.y.t) l)(z - zo) + q1.z0(x.y.t) l)'(z - zo) .

Das dabei auftretende Gleichungssystem ist aquivalent zu (5-19). Daraus erhalten wir

die Losung des Randwertproblems bei Systemen Mlich zweiter Ordnung zu

xyt • xyt u(x.y.zo+~z.t) = u(x.y.zo.t) * * * SO.6Z(x.y.t) + u (x.y.zo.t) * * * s1.6Z(x.y.t) (5-24a)

(5-24b)

SX.V.I"( .•.• O •. ) Sx.v.I( .•.• & .. ) - Sx.v.I·( .•.• O •. ) SX.V.I·( .... ~z •. )

Sx.v.I"( .•.• O •. ) Sx.v.I( .•.• O •. ) - Sx.v.I·( .•.• O •. )2 und

Sx.v.I( .•.• O •. ) SX.V.I·( .•.• ~z •. ) - Sx.v.I·( .•.• O •. ) Sx.V.I( .•.• ~z •. ) =----------------------------------

Sx.v.I"( .•.• O •. ) Sx.v.I( .... O •. ) - Sx.v.I·( .•.• O •. )2

wobei

SX.V.I( .•.• ~Z •. ) = SX.V.I(fx.fy.&.ft)

bedeute.

(5-24c)

Die eingangs angesprochenen Phanomene sind jedoch von der Art. daB die

Determinante (also der Nenner in (5-24b.c)) verschwindet:

SX.V.I"( .•.• O •. )SX.V.I( .•.• O •. ) - Sx.v.I·( .•.• O •. )2 == 0 . (5-25)

Das Gleichungssystem ist somit Oberbestimmt. und das System kann wie eines von

erster Ordnung behandelt werden. Dann genOgt wieder die Angabe von u(x.y.zo.t).

urn das Feld im quellenfreien Halbraum z > Zo eindeutig zu berechnen. Wir brauchen

also im folgenden auf die komplizierte Lesung aus (5-24a.b.c) nicht mehr zurOck­

greifen. sondern kennen das Randwertproblem durch Faltung von u(x.y.zo.t) mit der

Punkt-Impulsantwort S6Z(x.y.t) aus (5-23b.c) losen. Der einzige Unterschied zum Fall

Mlich erster Ordnung ist. daB nun der Nenner SX.V.I(fx.fy.O.ft) in (5-23c) i. allg. keine

Konstante mehr ist. Dieser Nenner kompensiert namlich die laterale Ausbreitung des

158

Feldes, also den Effekt, daB das Feld in der x,y-Ebene kein getreues Abbild der dort

konzentrierten Quellenbelegung qzo(x,y,t) ist. Man erkennt diesen Unterschied

zwischen Randwert und ebener Quellenfunktion sofort, wenn man beispielsweise als

Randbedingung

annimmt, also einen - zweidimensionalen - o-Punkt in der Ebene z = Zo von beliebi­

gem Zeitverlauf. 1m Vergleich dazu hat die Punktquel/e (dreidimensionaler Punkt)

q(r,t) = o(x,y,z - zo) qt(t)

gerade das Feld s(x,y,z - zo.t) * Clt(t) zur Foige. welches aber wegen der Kugelsym­

metrie von s(.) auch Anteile in der Eingangsebene selbst aufweist. also bei z = Zo

nicht die Form eines o-Punktes hat.

Zur Herleitung von s~z(.) ist es daher oft einfacher, statt der fiktiven Quellen nach

(5-23a) eine ebene DipoJ..Quelienfunktion anzunehmen. d.h.

q(r.t) = q1.z0{x.y.t) o'{z - zo) . (5-26a)

Diese konnen wir uns als GrenzObergang zweier gegenphasig emittierender ebener

Quellenverteilungen bei z = Zo - £12 und z = zo+£I2 vorstellen:

q{r.t) = q1 z{x.y.t) lim {[8(z - (zo - £12)) - 8(z - {zo+£I2))]/e} . • £-->0

(5-26b)

Wie wir bereits gesehen haben. ist das Feld einer punkt-impulsformigen Dipolquelle

in der Ebene z = zo+ gerade ein 8-Punkt-lmpuls (vgl. (5-7a) und Bild 5-2); das laterale

Feld verschwindet also hier und eine Kompensation ist nicht notwendig. Das Feld in

der Eingangsebene ist somit bei dieser Art fiktiver Quellen - bis auf einen konstanten

Faktor - gleich der Dipol-Quellendichte q1,ZO{x,y,t):

q1,ZO{x.y.t) = 1/a u{x.y.zo,t) (5-26c)

mit +00

a = lim {Iff a s{r.t)/az dxdydt } . z-->o+ -00

(5-26d)

Daher konnen die Punkt-Impulsantwort s~z{x.y.t) und die Obertragungsfunktion

S ~(fx.fy.ft) zur Losung des Randwertproblems durch die - im Vergleich zu (5-23c)

einfachere - Vorschrift (fOr 6z > 0)

1 a s~z{x.y,t) = a az s(r.t)lz=~ (5-27a)

bzw. 1 a

S~{fx.fy.ft) = a az SX'Y'!(fx.fy.z.ft) Iz=~ (5-27b)

aus s{r,t) respektive SX'Y'!{fx.fy.z.ft) berechnet werden.

159

Anmerkung 1st die Flache, auf der das Feld vorgegeben ist, nicht eben, sondern beliebig gekrQmmt, so laBt sich das gesamte Feld aus diesen Randwerten nicht mehr durch Faltung sondern durch eine allgemeine lineare (ortsvariante) Operation berechnen. Zur Losung dieser sehr bedeutenden Aufgabe bedient man sich­bei Systemen ortlich zweiter Ordnung - Oblicherweise des Greenschen Integrationssatzes, der den Zusammenhang zwischen einem Volumenintegral und dem zugehOrigen Oberflachenintegral herstellt, wobei i. allg. auch die Normalenableitung des Feldes auf der vorgegebenen Flache bekannt sein muB (siehe z.B. [5.2, 5.12, 5.13]).

Wir werden in den folgenden Abschnitten auch auf das - speziell fOr bildgebende

Systeme bedeutende - inverse Randwertproblem eingehen, d.h. die 6rtliche Extrapo­

lation des Feldes in den linken Halbraum z < zo0 Auch dieses Inversproblem ist formal

durch ROckfaltung (hier fOr 6rtlich erste Ordnung) losbar:

x y t u(x,y,zo - L\z,t) = u(x,y,zo,t) * * * s_ 6Z(x,y,t) (5-28a)

mit

( t) o~~. s_ 6z x,y, (5-28b)

Wir werden aber sehen, daB dieser Faltungskern meist nicht existiert und daB auch

die Berechnung im Fourier-Bereich nicht fOr aile Werte von L\z zulassig ist. So kann

das Feld keinesfalls Ober die am weitesten 'rechts' liegenden Quellen hinaus extra­

poliert werden.

Anmerkung Obwohl das inverse Quellenproblem und die inverse Randwertaufgabe auBerst schlecht konditioniert sind, scheint deren Losung doch jedem optischen Abbildungssystem keinerlei Schwierigkeiten zu bereiten. Diesen Systemen steht namlich auch nur das Feld auf einer Ebene (in der Offnung des Objektivs) zur VerfOgung, um das Feld oder die Quellenverteilung im Objektraum zu rekonstruieren. Die optische Abbildung ist jedoch nur eine grobe Nliherungslosung des Inversproblems, da die dreklimen­sionale Struktur des Objekts nur mangel haft wiedergegeben wird [5.14, 5.15).

Das Streuproblem

Nun soli der EinfluB von Materialinhomogenitaten auf die Ausbreitung der FeldgroBe

geklart werden. Da man von Streuung lediglich im Zusammenhang mit Wellenaus­

breitung spricht, beziehen wir uns in diesem Abschnitt ausschlie Blich auf dieses

Phanomen. Meist stellen die Inhomogenitaten des Mediums das (evtl. abzubildende)

Objekt dar, z.B. 6rtliche Variationen des Brechungsindex oder des Absorptions­

koeffizienten (Ultraschalldiagnostik, Mikroskopie) oder auch stark rOckstreuende

Objekte (Radar). Wir bezeichnen mit ui(r,t) eine bekannte einfallende Welle, d.h. das

Feld ohne Vorhandensein des Streuobjekts und fassen die ortsabhangigen Material­

eigenschaften in geeigneter Weise in der (hier zeitkonstanten) Objektfunktion o(r)

zusammen (Bild 5-10). Das gesamte zu ermittelnde Feld sei u(r,t).

Betrachten wir ui(r,t) als Eingangs- und u(r,t) als Ausgangssignal, so ist o(r) eine Systemgr6Be, und das System ist linear aber ortsvariant. Das Faltungsintegral mull

160

also durch das allgemeinere lineare Superpositionsintegral ersetzt werden.

Solch eine Beschreibung wird jedoch in den meisten Fallen dem Streuproblem nicht

gerecht, da ja ui(r,t) eigentlich der einmal festgelegte Systemparameter einer MeB­

apparatur ist und o(r) das Eingangssignal darstellt. Dann ist das beschreibende

System zusatzlich nichtlinear. Man denke z.B. an eine Linse als 'Streukorper', welche

mit einer achsparallelen ebenen Welle ui(.) beleuchtet wird. Das 'Streufeld' weist einen Brennpunkt im entsprechenden Abstand von der Linse auf. Verdoppeln wir nun

die Starke der einfallenden Welle, so verdoppelt sich auch das Streufeld. VergroBern wir aber den Brechungsindex der Linse und damit die sie beschreibende Objekt­

funktion o(r), so wird sich das resultierende Feld nicht einfach in seiner Amplitude

vergroBern, sondern nimmt eine andere Form an, weil die Brennweite der Linse nun

kOrzer ist. Wir werden in Abschnitt 5.3 dieses nichtlineare System fOr 'schwach

streuende' Objekte linearisieren und werden sehen, daB sich unter dieser Voraus­

setzung das Streuproblem auf das Quellenproblem zurOckfOhren laBt. Beim eigentlich

interessanten inversen Streuproblem, d.h. der Ermittlung des Objekts aus seinem

Streufeld, treten dann natOrlich dieselben Probleme auf, wie wir sie beim inversen

Quellenproblem kurz angesprochen haben.

u(r,t)

Bild 5-10: Streuung einer Welle an einer Materialinhomogenitat (Objekt)

Differentielle oder integrale Beschrelbung?

Die Punkt-Impulsantwort s(r,t) nimmt offensichtlich eine SchlOsselstellung bei der

Beschreibung des jeweiligen Phanomens ein, die Faltungskerne s6t(r) aus (5-17b)

bzw. s&(x,y,t) aus (5-23c) oder (5-27a) lassen sich von dieser herleiten. Obwohl die

Faltung (5-3a), die integrale Beschreibung des jeweiligen Phanomens also, nicht

gleichwertig mit der ursprOnglichen Differentialgleichung ist (da sie nur partikuliire

Losungen berOcksichtigt), konnen damit offensichtlich auch spezielle Anfangs- und

Randwertprobleme gelost werden. Lediglich die im gesamten r,t-Raum homogenen

Losungen mOssen wir getrennt berOcksichtigen. Diese Losungen sind entweder (stationare) harmonische Funktionen oder solche mitexponentiellem Anstieg/Abfal1.

Letztere sind - im gesamten Raum betrachtet - nicht Fourier-transformierbar und evtl. physikalisch unsinnig.

161

Falls jedoch die eingangs genannten Bedingungen der Linearitat und Homogenitat

nicht erfOlit sind, so erweist sich die Darstellung in (5-3a) als zu unflexibel. In der

Differentialgleichung dagegen kann man leicht einen bisher konstanten Koeffizienten

nun als orts- oder zeitabhangig zulassen. Die Gleichung (5-3a) wird dann zur orts­

und zeitvarianten Operation, und s(.) ist nicht mehr vier- sondern i. allg. achtdimensi­onal, also 1:

s(r,t) ~ g(r,r',t,t').

Bei nichtfinearen Differentialgleichungen jedoch versagt auch diese Darstellung. Das

ist nicht verwunderlich, da solche Differentialgleichungen meist auch schwieriger zu

lesen sind und ein Integral wie (5-3a) nicht nur eine zur Diffenentialgleichung alter­

native Beschreibung ist, sondern gewissermaBen schon eine Losung dieser darstellt.

Es sieht also so aus, als sei die Differentialgleichung eine zwar unanschaulichere

jedoch allgemeiner gOltige Beschreibung eines Phanomens als eine integrale Formu­

Iierung. Dies gilt aber nur unter der Voraussetzung, daB das Medium ein Kontinuum

ist, daB sich also eine Erregung nur Ober Nahwirkung ausbreitet. Diese Vorausset­

zung ist netig, um Oberhaupt eine Differentialgleichung (endlicher Ordnung) aufstel­

len zu kennen. Ein System jedoch, bei welchem eine Erregung zuerst, oder aus­

schlieBlich, Wirkung an weiter entfernten Orten zeigt, kann zwar mit einer Punkt­

Impuls-antwort beschrieben werden (diese ist dann in der Nahe des Ursprungs gleich

null), nicht aber durch eine Differentialgleichung. Solch ein System besteht auch nicht

aus einem kontinuierlichen Medium, sondern ist diskret 'verdrahtet', wie z.B. das

Nervensystem. Unter diesem Aspekt ist nun die integrale Beschreibung die allge­

meinere.

1m folgenden Abschnitt 5.2 bedienen wir uns der Vorteile beider Darstellungen. Wir

werden zwar von der jeweiligen Differentialgleichung ausgehen und daraus s(r,t)

berechnen. Dann werden wir aber nur noch die Darstellung aus (5-3a,b) benutzen

und z.B. die Faltungskerne st.t(r) bzw. s&(x,y,t) der Anfangs- und der Randwertauf­

gabe herleiten, wie wir das bereits fOr ein allgemeines s(.) getan haben. Der erste

Schritt hat den Vorteil, daB s(.) auch mit seinen Konstanten die aus der einschlagigen

Literatur bekannte Form aufweist. Trotzdem bleibt es uns fOr das weitere Vorgehen

unbenommen, s(.) auch auf andere Weise zu ermitteln:

Handelt es sich z.B. um ein physikalisch vorliegendes System von unbekannter

Funktion, so muB s(.) experimentell gefunden werden, wie schon angedeutet. Statt einer o-fermigen Erregung kennen wir natOrlich auch eine sprungfermige verwenden

und die Antwort anschlieBend differenzieren usw. Wir kennen aber auch mit harmo­

nischen Testsignalen anregen und damit die Obertragungsfunktion S(fr.ft) oder die

Teilspektren sr(fr,t) bzw. S!(r,ft) messen. Handelt es sich um ein System von regelmaBiger (homogener) 'Verschaltung' der

1 Dieser Integrationskern wird in der physikalischen Literatur als Greensche Funktion der entsprechen­den Diflerentialgleichung bezeichnet.

162

Raumpunkte miteinander, und kann das Zeitverhalten sowie die Geometrie dieser

raumlichen Kopplungen ermittelt werden, so kann man daraus wieder auf S(fr,9 und

s(r,t) zurOckschlieBen1.

1m Gegensatz dazu behandeln wir Phanomene wie Warmeleitung und Wellenaus­

breitung als idealisierte physikalische Erscheinungen, die durch Angabe der zu­

grundegelegten Axiome definiert sind. Normalerweise gehen diese Axiome in die

Differentialgleichung ein. Es ist aber auch moglich, ahnliche Axiome bezOglich s(r,t)

direkt aufzustellen, wie Kugelsymmetrie oder zeitlich konstanter Integralwert der

FeldgroBe oder der Energie. Wir werden jeweils auch von dieser zweiten Moglichkeit

Gebrauch machen.

Raumliche Differentiationssatze

In den eingangs aufgefOhrten Beispielen und im folgenden Kapitel tauchen die Volu­

menableitungen Gradient, Divergenz und Rotation auf.

Der Gradient eines skalaren Feldes u(r) (die Zeitabhangigkeit brauchen wir hier nicht

zu betrachten) ist das Vektorfeld

grad u(r) = Vu(r) := (au(.)/ax, au(.)/ay, au(.)/az) T . (5-29a)

Die Fourier-Transformierte dieses Vektorfeldes, welche durch die komponentenweise

Fourier-Transformation gegeben sei, erhalten wir in Analogie zum eindimensionalen

Differentiationssatz:

Vu(r) 0-- (j21tfxU(fr), j21tfyU(fr), j21tfzU(fr))T

oder kOrzer:

(5-29b)

Die Divergenz ist die Volumenableitung eines Vektorfeldes v(r) = (vx(r),vy(r),vz(r)) T:

div v(r) = V·v(r) := avx(.)/ax + aVy(.)/ay + avz(.)/az . (5-30a)

Die Fourier-Transformierte von v(r) sei V(fr) = (Vx(fr),Vy(fr),Vz(fr)}T. Dann gilt folgen­

der Differentiationssatz:

also:

(5-30b)

Die Rotation schlieBlich ist das Vektorprodukt

1 Die lOr diese Aulgabe lormulierte sog. 'Systemtheorie der homogenen Schichten' lindet sich in [5.16).

163

rot v(r) = Vxv(r) (5-31 a)

:= (dvz(.)/ay - aVy(.)/az, avx(.)/az - avz(.)/ax, aVy(.)/ax - aVx(.)/ay)T.

Wir erhalten als Spektrum

Vxv(r) <>---- j2d, x V(I,H2. U: -i: -i: ) V(I,). (5-31 b)

Diese Rechenregeln konnen wir in der (symbolischen) Korrespondenz

(5-32)

zusammenfassen. Der Nabla-Operator 'V' hat also im Spektralbereich eine anschau­

liche Entsprechung in Form des Vektorfeldes j27tfr. In Bild 5-11 ist ein zweidimensio­

naler Schnitt durch dieses Feld skizziert. Es ist ein sog. zentrales Vektorfeld, d.h. aile

Vektoren liegen auf Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.

Bild 5-11: Oas zentrale Vektorfeld U(fr) = fr

Beispiel IV Mit Hille dieser Vorstellung werden auch bekannte Satze der Vektoranalysis plausibel, z.B. der, daB die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet:

rot grad u(r) = V x [Vu(r)) "' 0 .

Nach (5-29b) ist namlich die Fourier-Transformierte eines Gradientenfeldes das zentrale Vektorfeld j21tf U(f). Bilden wir nun nach (5-31b) das Vektorprodukt zwischen diesem Feld und j21tfr, so ver­sch.1ind~t dieses Produkt, da die Vektoren der beiden Felder iiberall kollinearsind:

wegen fr x fr E O.

164

Die zweifache Volumenableitung eines skalaren Feldes ist definiert als

div grad u(r) = 6u(r) := a2u(.)/ax2 + a2u(.)/ay2 + a2u(.)/az2 .

Mit (5-30b) und

gilt dann die Korrespondenz

(5-33a)

(5-33b)

Mit den hier hergeleiteten Rechenregeln (s. auch [5.17, 5.18]) konnen lineare partielle

Differentialgleichungen in den Fourier-Bereich transformiert werden.

5.2 WelJenausbreitung

Die bisher allgemein gehaltenen AusfOhrungen Ober eine systemtheoretische Be­

handlung physikalischer Phanomene solien nun am Beispiel der Wellenausbreitung

konkretisiert werden. Zuerst werden wir die grundlegende Punkt-Impulsantwort s(r,t)

und ihr Spektrum S(fr.ft) herleiten, um dann daraus die Faltungskerne zur Losung von

Anfangs- und Randwertproblem zu gewinnen.

In den Beispielen /I und 11/ aus Abschnitt 5.1 erschien mehrmals die Wellengleichung,

wobei die linke Seite immer diesel be Form aufwies, der Quellenterm auf der rechten

Seite jedoch davon abhing, ob die FeldgrOBe Schalldruck, Geschwindigkeitspotential

oder elektrische oder magnetische Feldstarke waren. Wir hatten vereinbart, aile Ursa­

chengroBen in dem Quellenterm q(.f zusammenzufassen, und konnen daher von

einer vereinheitlichten Wellengleichung (fOr das homogene, verlustlose Medium),

6u(r,t) -1/c2 u(r,t) = - q(r,t)

bzw. im Spektralbereich

41t2(f? - ft2/c2) U(fr,ft) = Q(fr,ft) ,

(5-34a)

(5-34b)

ausgehen; auf die jeweilige physikalische Bedeutung der FeldgroBe u(.) und der

Quellenfunktion q(.) kommen wir in Anmerkungen und Beispielen zuruck.

1m folgenden werden wir das Quellen-, das Anfangswert- und das Randwertproblem

fOr Wellen beliebigen Zeitverlaufs mit den Methoden aus Abschnitt 5.1 losen. Die -

zugegebenermaBen immer noch etwas unanschaulichen, jedoch allgemein gOltigen

- Ergebnisse werden dann in Abschnitt 5.3 am Beispiel der harmonischen, koharen­

ten Wellenfelder ausgiebig diskutiert.

165

Oas Quellenproblem

Wir bestimmen die Punkt-Impulsantwort s(r,t), also das Feld auf Grund der Erregung

q(r,t) = o(r) ott) ,

zuerst mit Hilfe von plausiblen Annahmen und gehen dann erst auf die mathema­

tische Herleitung aus der Differentialgleichung (5-34a) ein.

Die erste Annahme - oder das erste Axiom - besagt, daB sich jede Erregung mit

einer konstanten Geschwindigkeit c im Raum ausbreiten mege. Ein beliebiges Zeit­

signal, welches von einer punktfermigen Quelle im Ursprung 'ausgesandt' wird,

erscheint an einem Aufpunkt r um ric verzegert und evtl. mit einem isotropen Entfer­

nungsfaktor d(r) bewertet. Wird speziell ein 8-lmpuls gesendet, so erhalten wir aus

dieser Oberlegung

s(r,t) = d(r) ott - ric) . (5-35a)

Dies stellt eine zur Quelle konzentrische o-Kugelschale dar, die sich mit der Ge­

schwindigkeit c von der Quelle entfernt (Bild 5-12, unten). Zur Bestimmung von d(r)

ziehen wir die Forderung nach Verlustlosigkeit des Mediums heran, d.h. die Leistung

von s(r,t) muB zu jedem Zeitpunkt dieselbe sein 1. Die Gesamtleistung von s(r,t) ist auf

eine Kugelschale vom Radius r = ct, also der Oberflache 4rcr2, verteilt. Der Entfer­

nungsfaktor d(r) muB dies kompensieren:

Id(r)12 - 1/r2 .

Damit hat s(r,t) die Form

s(r,t) - 1/r ott - rIc) . (5-35b)

Die nun noch fehlende Proportionalitatskonstante kennen wir vorerst nicht festlegen,

da wir nichts Ober die physikalische Natur der Quellen ausgesagt haben. Um mit der

einschlagigen Literatur konform zu gehen, werden wir die Konstante so wahlen, wie

sie sich ergibt, wenn wir s(r,t) direkt aus der Wellengleichung herleiten.

Herleitung von S(fr.ft) und s(r,t) aus der Wellengleichung

Wir berechnen zuerst S(fr.ft) aus der Wellengleichung und dann s(r,t) durch Fourier­

ROcktransformation. Aus (5-34b) folgt sofort die Obertragungsfunktion in der Form

1 Urn hier Schwierigke~en wegen der nichtenergiebegrenzten Ii-Funktion in s(r,t) zu urngehen, konnen wir uns diese durch eine Realisierung IiE(.) ersetzt denken.

166

fOr (5-36a)

fOr

Offensichtlich ist damit S(fr,9 nicht eindeutig bestimmt, da die Spektralanteile bei

ft = ± cfr oder fr = IWc vorerst frei wahlbar sind1. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die

Kausalitatsbedingung

s(r,t) == 0 fOr t<O

beseitigt werden2. Diese berOcksichtigen wir, indem wir die Pole bei ft = ±cfr als

p-Pole im Sinne der Laplace-Tansformation behandeln, also (mit p = j21tft):

(5-36b)

FOr jeden Wert von fr handelt es sich urn zwei einfache symmetrisch liegende p-Pole.

Diese spezielle Konfiguration kennen wir bereits aus (2-21 b):

Die (Fourier-)Ubertragungsfunktion zur Losung des Quellenproblems lautet also voll­

standig3

(5-36c)

oder:

(5-36d)

In Bild 5-12, oben, ist ein Schnitt S(fr,ft = const) aufgetragen.

1 Die Wellengleichung besitzt also auch homogene losungen, die Fourier-translormierbar sind, namlich gerade die harmonischen Funktionen mit 'r = Iltl/c. Der geometrische Ort dieser Spektralwerte ist Iur jeden Wert von 't eine Kugel im 'r-Raum vom Radius Iltl/c, im gesamten 'r,lrRaum betrachtet also ein Hyper-Doppelkegelmantel. AuBer diesen existieren exponentiell ansteigende homogene losungen, die wir jedoch hier noch nicht betrachten wollen. 2 Die Kausalitatsbedingung ist gleichbedeutend mit der sog. Abstrahlungsbedingung [5.12], die besagt, daB die Welle von einer Quelle abgestrahlt werden soli, um ins Unendliche zu laulen und nicht umge­kehrt, also nur Quellen und keine Senken erlaubt sind. letztere waren nach der Dillerentialgleichung (5-34a) auch zulassig. 3 S('r,9 gilt (wie schon erwahnt) auch fUr den raumlich zwei- und eindimensionalen Fall.

167

8(f r,t t = const)

s(r ,t) y y

x x

z z

t----.... ~

Bild 5-12: Obertragungsfunktion (oben) und Punkt-lmpulsantwort (unten) zur Uisung des Quellen­problems bei Wellenfeldern

Zur Berechnung der Punkt-Impulsantwort s(r,t} benutzen wir die Laplace-Korrespon­

denz (s. Tabelle 2-4)

1/(p2+a2} e-o y(t} sin(at}/a

und erhalten durch zeitliche ROcktransformation von (5-36b) das Teilspektrum

t O-e (5-37a)

Die ortliche Fourier-ROcktransformation schlieBlich liefert mit der Korrespondenz (s.

Tabelle 3-4)

2ro sin(21trofr}/fr .~~o o(r- ro}

die gesuchte Punkt-Impulsantwortdes Quellenproblems fOrt> 0 (Bild 5-12):

1 c 1 s(r t} = - o(r - ct} = - o(r - ct} = - o(t - ric} . , 47tt 41tr 41tr

(5-37b)

Der in (5-35b) noch fehlende Proportionalitatsfaktor hat also den Wert 1/(47t}.

Mit den Ergebnissen aus (5-36c,d) und (5-37b) konnen wir nun das Quellenproblem

168

sowohl im Orts-Zeit- wie auch im Spektralbereich losen: r I

u(r,t) = q(r,t) * * s(r,t) bzw.

Wir hatten zur Herleitung von s(r,t) auch S(fr.fl) zuerst MUch und dann zeitlich trans­

formieren konnen; als Zwischenergebnis ware dann das Teilspektrum SI{r,fl) aufge­

treten. In Bild 5-13 sind zusammenfassend S{.) und s{.) fUr n = 1 ... 3 sowie aile fUr das

folgende interessante Teilspektren nach dem Schema aus (5-13) aufgelistet.

y-O

s(x,Y,z,l) ., d(41tr) S(r - ct)

s(x,Z,I) = d(21t) (c2t2 -,2) -112 rect(r/(2C1»)

S(z,l) = d2 rect{z/(2C1»)

~e

m~

~. bzw.

o-e x

o_r_e

O-e I

0,<-

S(fr,fJ

= [4Jt2(lr2 - (1/C)2)]-1 - jd(8JtfI) 5(lr -IIII/c)

~e

lur 1/+1/ ~ '12/c2

fUr Ix 2+1/ > f12/c2 .

BUd 5-13: Zusammenlassende Aulslellung der Teilspeklren yon s(r,l) und 8('r,9: liir I> 0

Anmerkung Wir haben s(r,I), das Feld der elemenlaren Punkl-lmpulsqueUe q(r,l) = 5(r) S(I), hergeleilel, ohne uns dabei urn die physikalische Bedeulung und die Realisierbarkeil soleh einer QueUe zu kiimmern. Daher unlersuchen wir in dieser Anmerkung, wie eine Punkl-Impulsquelle speziell fUr die Wellengleichungen aus den Beispielen /I und 11/ aus Abschnitt 5.1 aussieht. - Beim Schalldruck als FeldgroBe isl

q(.) = m(.).

Eine Punkt-Impulsquelle ware in diesem Fall ein schlagartig einselzender, dann jedoch slationarer, Ortlich aul einen Punkl begrenzter MassezufluB

m{r,l) = 5(r) tl) ,

dessen zeitliche Ableitung dann ein Impuls isl. - 1m Gegensatz dazu slellt bei der Wellengleichung des Geschwindigkeitspotentials der MassezufluB selbsl (diYidiert durch die Dichle) den Quellenterrn dar, also muB hier

m(r,l) - p 5(r) 6(1)

169

sein. Eine technische Realisierung ist z.B. eine punktformige 'Explosion', wobei zwar keine Masse zugefuhrt, jedoch die Dichte p lokal stark verringert wird, was letztlich einem VolumenzufluB gleichkommt. - In den beiden genannten Fallen kann eine Punkt-Impulsquelle zumindest naherungsweise realisiert werden. Dies ist nicht mehr moglich, wenn als FeldgroBe die Schnelle betrachtet wird. Hier ist namlich der Quellenterm

q(.) = - Vm(.)lp bzw. im Ortsspektrum

Man erkennt sofort, daB es keine Funktion m(.) gibt, so daB q(.) - komponentenweise betrachtet -a(r)-formig is!. Es miiBte namlich dann ar(.) konstant beziiglich 'r sein. Dies wiederspricht aber obiger Gleichung, nach der ar(.) die Richtung von 'r hat. Eine Punkt-Impulsquelle beziiglich der Schnelle gibt es also gar nich!. Eine elementare Quelle ist bestenfalls durch

- m(r,t)/p = a(r) a(t)

und damit

q(.) = a(t) (a(y,z)a'(x), a(x,z)a'(y), a(x,y)a'(z)) T

gegeben. Jede der drei Komponenten ist also ein Dipo.punkt. - Eine ahnliche Betrachtung gilt fur elektromagnetische Felder, z.B. mit h(.) als FeldgrOBe. Nun ist

q(.) = Vxj(.)

Wieder kann ar(.) kein konstanter Vektor sein, da dieser sonst nicht uberall senkrecht auf 'r stehen wurde. Eine elementare Quelle ist hier z.B.

j(r,t) = a(t) (o, 0, a(r))T

also

q(r,t) = a(t) (a(x,z)a'(z), -a(y,z)a'(x). O)T.

Fur eine technische Realisierung solch einer Quelle muBten zwei entgegengesetzt geladene kleine Metallkugeln, die symmetrisch zum Ursprung auf der z-Achse liegen, so nahe zusammengebracht werden, bis sie sich berOhren oder ein Oberschlag stattfindet. In diesem Augenblick flieBt kurzzeitig am Ort r = 0 ein Strom in z-Richtung. Wir werden bei den harmonischen Wellen in Abschnitt 5.3 auf das Feld von Dipolquellen naher eingehen.

Spezielle Quellenfunktionen

Wir haben s{r,t), das Feld der Punkt-Impulsquelle, hergeleitet. Sendet eine Punkt­

quelfe bei r = 0 eine be/iebige Zeitfunktion qo{t) aus, also

q{r,t) = 8{r) qo{t) , (5-38a)

so berechnet sich das gesamte Feld nach (5-10b) zu

t t u{r,t) = qo{t) * s{r,t) = 1/{41tr) qo{t) * 8{t - ric)

= 1 I{ 41tr) qo{t - ric) , (5-38b)

d.h. an einem Aufpunkt im Abstand r von der Quelle erscheint das 'Sendesignal' qo{t),

wie schon eingangs angenommen, um ric verzogert und mit 1/{41tr) bewertet.

Eine weitere interessante Quellenfunktion ist die Dipol-Punktquelfe, z.B. bei r = 0 und

mit impulsformigem Zeitverlauf:

170

qOipol(r,t) = S(X,y) S'(Z) S(t) .

Deren Feld ist nach (5-6b,c)

uOipol(r,t) = a s(r,t)/az = 1/(47tt) cost} S'(r - ct)

mit = -1/(47tc2t) cost} S'(t - rIc)

cost} = zlr

oder umgeformt mit Hilfe der Rechenregel (2-5a)

uOipol(r,t) = cI(47tr) cost} [S'(r - ct) - 1/r S(r - ct)]

= -1/(47tr) cost} [1/c S'(t - rIc) + 1/r S(t - rIc)] .

(5-39a)

(5-39b)

(5-39c)

(5-39d)

(5-3ge)

Es handelt sich also bei dem Feld der Dipolquelle um die Summe einer S- und einer

S'-Kugel vom selben Radius, welcher mit der Zeit gemaB r= ct anwachst. Beide

Kugeln weisen eine cost}-Gewichtung auf. Dieses Feld hat die bereits in (5-7a,b)

angedeutete Eigenschaft, daB es einerseits wegen des cost}-Faktors in der x,y-Ebene

verschwinden muBte, daB andererseits das Integral

+00

a(z) = Iff uOipol(r,t) dxdydt (5-40a) -00

auch fUr z ~ 0+ einen endlichen Wert hat. Nach etwas Integralrechnung erMlt man

namlich

a(z>O) = -1/2 = const . (5-40b)

Daher geht uOipol(r,t) bei rechtsseitiger Annaherung an die x,y-Ebene in einen

S-PunkHmpuls uber:

lim {uOipol(r,t)} = -1/2 B(x,y) S(t) . z~o+

(5-40c)

Ebenfalls fUr das Weitere von Bedeutung sind Dipol-Punktquellen mit beliebigem

Zeitsignal qo(t), also

q(r,t) = S(x,y) S'(z) qo(t) .

Deren Feld ist mit (5-3ge)

u(r,t) = -1/(47tr) cost} [1/c S'(t - rIc) + 1/r S(t - rIc)] 1 qo(t)

= -1/(41tr) cost} [1/c qo'(t - rIc) + 1/r qo(t - rIc)] .

(5-41 a)

(5-41 b)

An einem Aufpunkt im Abstand r vom Dipol erscheint also die Summe des 'Sen de­

signals' und dessen Ableitung, wobei der EinfluB von ersterem gemaB r- 2, der der

Ableitung nur nach r-1 mit der Entfernung abtallt. Fur gr08e Entfernungen r vom Dipol

kann somit nur noch die zeitliche Ableitung von qo(t) empfangen werden.

171

Oas Fernfeld synchroner Quellen

Wir betracheten eine synchrone Quellenfunktion mit vorgegebenem Zeitverlauf qt(t)o

Die Ortsfunktion qr(r) nennen wir das Objekto(r):

q(r,t) =: o(r) qt(t) 0 (5-42a)

Dessen Feld berechnet sich allgemein zu

r t u(r,t) = o(r) * [qt{t)* s{r,t)]

= o{r) ~ [1/{41tr) qt{t - rIc)] 0 (5-42b)

Wir nehmen nun an, daB das Objekt auf D ortsbegrenzt sei,

o{r) == 0 fOr r> D/2, (5-43a)

und untersuchen das Feld an einem Punkt re im Abstand R, der groB im Vergleich zur

Objektausdehnung ist, also (Bild 5-14, links)

(5-43b)

x,y R

R /

Bild 5-14: Zur Berechnung des FernfeJdes synchroner Quellenfunktionen

Ausgeschrieben lautet dann die Faltung (5-42b) fOr r = re

+00

u{r e,t) = Hf o{r') 1/{41tlr e - r'D qt{t - Ire - r'IIc) d3r' 0 (5-44a) -00

Zur Vereinfachung benutzen wir das in Bild 5-14, links, eingetragene R,T1,T2-Koordi­

natensystem, wobei die R-Achse durch die Richtung von re gegeben sei (vgl. (3-45c)):

o~{R,T1,T2) := o{r) 0

R, <p und l'} sind die Kugelkoordinaten des Punktes reo Es ist dann

Ire - r'l = ({R - R')2+T1'2+T2'2 )1/2,

und Ire - r'l kann wegen (5-43b) genahert werden durch (Bild 5-14, rechts)

(5-45a)

172

(S-4Sb)

1m Nenner des Entfernungsfaktors 1/(41t1 ... 1) kennen wir zusatzlich R' weglassen.

Das Ergebnis des solchermaBen genaherten Faltungsintegrals nennen wir das

Fernfeld und bezeichnen es mit uF(r,t) bzw. (in Kugelkoordinaten) "F(r,<p,t'},t):

+00 u(re,t) '" 1/(41tR) Iff 0<pt)(R',T1',T2') q,(t - R/c+R'/c) dT1'dT2'dR'

-00

+00 +00 = 1/(41tR) f [If 0<pt)(R',T1 ',T 2') dT1 'dT 2' ] ql(t - R/c+R'/c) dR'

-00 -00

(S-44b)

Das Doppelintegral in der Klammer erkennen wir als die planare Projektion (also die

dreklimensionale Radon-Transformierte, falls <p und t') als Variablen betrachtet werden)

+00 0pp(R;<p,t'}) :=If o(r) dT1dT2

des Objekts auf die R-Achse (vgl. (3-46c)). Nach der Substitution

t' := - R'/c

im auBeren Integral erhalt man schlieBlich

+00 "F(R,<p,t'},t)= c/(41tR) f 0pp(- ct';<p,t'}) ql(t - t'- Ric) dt' .

(S-44c)

Der zeitliche Verlauf des Fernfeldes eines synchron abstrahlenden Objekts an einem

ausgewahlten Punkt ist also die die planare Projektion des Objekts auf die Verbin­

dungslinie zwischen Objekt und 'Empfanger', gefaltet mit dem um Ric verzegerten

'Sendesignal' q,(.). Aus Abschnitt 3.3 wissen wir nun, daB die eindimensionale

Fourier-Transformierte der planaren Projektion eines Objekts ein Schnitt entlang

einer Geraden durch das Objektspektrum

ist. Angewandt auf (S-44c) bedeutet dies (mit Ahnlichkeits- und Verschiebungssatz)

Durch Erfassung des Fernfeldes Ober aile Winkel <p und t'} und Inversfilterung der

gemessenen Zeitsignale mit 1/01(f,) kann also das Objektspektrum, und dam it das

173

Objekt selbst, mit Hilfe der tomographischen Methoden aus Abschnitt 4.2 vollstandig

rekonstruiert werden - vorausgesetzt, Qt(9 weist keine Nullstellen in dem fOr 0(.)

relevanten Spektralbereich auf. Interessant ist in diesem Zusammenhang, daB eine

Variation der Entfernung R keine weitere Objektinformation bringt. Die dreidimensi­

onale raumliche Struktur des Objekts o(x,y,z) ist im Fernfeld offensichtlich in zwei

raumliche Koordinaten <p und t'} und die Zeit 'codiert'.

Anmerkung Den Zusammenhang aus (5-44c) kennen wir leicht verstehen, wenn wir uns an eine der beiden Interpre­tationen des Faltungsintegrals (5. Bild 3-15) erinneren. Danach wird der Faltungskern - in unserem Fall 1/(4nr) qt(t- rIc) - zuerst am Koordinatenursprung gespiegelt, was hier wegen der Kugelsymmetrie entfallt, und anschlieBend an den Ort des Aufpunktes verschoben. Das Produkt dieses Kerns mit dem Objekt wird schlieBlich integriert. In Bild 5-15 ist dies skizzlert. Der Faltungskern ist hier ein kugelsym­metrisches Gebilde mit dem (zeitverzegerten) Abbild des Sendesignals als Radialverlauf. Die Volumen­integration Ober das Produkt aus Objekt und dem Faltungskern kann in eine zwe.i:limensionale Integra­tion Ober die Kugelschalen und anschlieBender radialer Integration aufgespalten werden. Da die Aus­dehnung des Objekts klein gegeniiber dem KrOmmungsradius dieser Kugelschalen ist, kennen diese durch Ebenen genahert werden (vgl. (5-45b)), und die erstgenannte Integration wird zur planaren Projektion. Die noch verbleibende Integration in R-Richtung entspricht gerade der Vorstellung, die wir uns von der DurchfOhrung einer eindimensionalen Faltung gemacht haben (5. Bild 2-7): Verschiebung des Faltungskerns Ober die zu faltende Funktion (in unserem Fall geschieht dies durch die Ausbreitung von qt(.) mit der Geschwindigkeit c) und anschlieBende Integration.

re R'

Bild 5-15: Veranschaulichung der Zusammenhange aus (5-44c,d)

Oas Anfangswertproblem

Die Anfangswertaufgabe hat fOr Wellenfelder im Gegensatz zum Randwertproblem

eine geringe technische Bedeutung. Wir werden sie deshalb hier relativ formal

abhandeln. Die Wellengleichung ist von zeitlich zweiter Ordnung; daher mussen sowohl der Anfangswert der FeldgroBe wie auch der der zeitlichen Ableitung gegeben sein, also

und

174

Zur Berechnung des Feldes zum Zeitpunkt t = to+£\t greifen wir auf (5-21 a ... c) zurOck.

Die datur benetigten Faltungskerne berechnen sich aus dem Teilspektrum S'(f"t) und

dessen zeitlichen Ableitungen. Wir entnehmen S'(f"t) aus (5-37a), erhalten

S'(f,,£\t) = c sin(27tcMr)/(27tfr) ::) S'(f"O) = 0

5'(f,,£\t) = c2 cos(2ltc£\tfr)

8'(f,,£\t) = - 27tfrc3 sin(21tcMr)

5'(f,,0) = c2

8'(f,,0) = 0

und kennen damit die beiden Obertragungsfunktionen

und

(5-46a)

(5-46b)

angeben. Die dreidimensionale Fourier-ROcktransformation mit Hilfe von Tabelle 3-4

liefert schlieBlich die Punktantworten (vgl. Bild 5-8)

sO,al(r) = -1/(47tr) a'(r- C£\t)

und

S1,al(r) = 1/( 4ltcr) a(r - c£\t) .

Beispiel I Wir belraehlen eine impulsformige, sieh in z-Richlung ausbreilende, ebene Welle der Form

u(',I) = a(z - ct) = 1/e 15(1 - zle) .

(5-46c)

(5-46d)

Dieses Feld isl Mlich eilXlimensional; wir bezeiehnen es mit u(z,I). Es seien die Anfangswerte fOr 10 ", 0

u(z,O) = a(z) und ~(z,O) = 1/e 15'(- zle) = - e S'(z)

gegeben. Wir losen diese Anfangswertaufgabe im Ortsspeklralbereieh mil Hilfe der Obertragungs­funktionen aus (5-46a,b), wobei wir fr - fz selzen. Die Ortsspeklren der Anfangsbedingungen sind

und

Mit (5-46a,b) berechnel sich daraus das Ortsspeklrum des zeillichen Feldverlaufs fOr I > 0 zu

UZ(fz,t>O) = cos(2Itctlz) - j2ltfzct si(27tCtfz)

(hier ist al = I) und daraus schlieBlich

u(z,t>O) -1/2 [S(z+Ct) + S(z - ct)]- ct a [1/(2ct) rect(zI(2ct»)]/az

=1/2 [S(z+Ct) + S(z - ct)]-1/2 [S(z+Ct) - a(z - ct)]

'" S(z-ct).

Diese Terme stellen zwei Wellen von entgegengesetzen Richtungen dar. Erst die Einbeziehung beider Anfangswerte erm6glicht die korrekte und eindeutige Losung (Bild 5-16).

175

'''W=''z + _-r_-t-_....a...._ ..... _ .. illl·Z = -cl cl .. ,;,....... -112

I 1t ...... ,ill •. -++'=:Z

cl

Bild 5-16: Losung der Anfangswertaufgabe aus Beispiel I (rechts) als Summe zweier Terme. jeweils berechnel aus dem Anfangswert der Feldgrol3e (links) und dem deren Ableilung (mitte).

Oas Randwertproblem

Nach Abschnitt 5.1 ist das raumliche Randwertproblem, also die Berechnung des

Feldes im quellenfreien Halbraum z > Zo aus dem Feld auf der Ebene z = zo' in glei­

cher Weise zu losen wie die Anfangswertaufgabe; es ist lediglich t durch z zu erset­

zen. Da die Wellengleichung auch von ortlich zweiter Ordnung ist, mOl3ten sowohl

u(X,y,zo.t) und

gegeben sein. Der Versuch, die Punkt-Impulsantworten so.,\z(.) und s1,,\z(.) bzw. die

Obertragungsfunktionen SO.t\z(.) und Suz(.) nach (5-24b,c) unter Zuhilfenahme des

Teilspektrums

SX.y.t(fx.fy,z,fl) = - j/(41t1c) e-j21t1clzl

aus Bild 5-13 zu berechnen, scheitert jedoch daran, dal3 der Nenner (die Determinan­

tel in (5-24b,c) verschwindet:

sx.y.t(.,.,Q,.) sx.y.t"(.,.,Q,.) - sx.y.t'(.,.,Q,.)2 = [- j/(41t1c)]2 [(- j21t1c)2 - (- j21t1c)2] == Q .

Wie bereits in Abschnitt 5.1 angesprochen, ist in diesem Fall einer der Randwerte

redundant, und es genOgt z.B. die Angabe von u(x,y,zo,t), urn das Feld im Halbraum

z>zo eindeutig berechnen zu konnen.

Zur Ermittlung der Punkt-Impulsantwort st\z(x,y,t), also des Feldes mit dem Randwert

so+(x,y,t) = o(x,y) o(t) ,

konnen wir auf (5-23c) oder beser auf (5-27a) zurOckgreifen, also die Randbedingung

als Wirkung einer geeignet gewahlten ebenen Dipolquellenfunktion bei z = Zo anse­

hen. Den Faktor a aus (5-27a,b) haben wir bereits in (5-4Qb) zu a = - 1/2 berechnet.

Damit ist

(5-47a)

und

(5-47b)

Wir erhalten schliel3lich die zur Losung des Randwertproblems in der Form

176

bzw.

x y I u(x,y,zo+~,t) = u(x,y,zo,t) * • * s,1z(x,y,t)

ux,y,l(fx,fy,zO+6Z,fl) = uX,y,l(fx,fy,zO,fl) S,1z(fx,fy,fl)

benotigte Punkt-Impulsantwort oder Obertragungsfunktion mit (5-39d,e) und Bild 5-13

fOr ~> 0 zu

s,1z(x,y,t) = - c/(2ru\r) COS~4 [B'(M - ct) - 11M B(M - ct)]

= 1/(21t6r) COS~4 [1/c B'(t - Mlc) + 1/6r B(t - Mlc)]

mit M:= (X,y,6Z)T und

sowie

(5-47c)

(5-47d)

(5-47e)

Wie erwartet nimmt S,1z(') fOr 6Z -+ 0 den konstanten Wert von eins an; in diesem Fall

sind Eingangs- und Ausgangsebene identisch. Wir werden diese Funktionen in Ab­

schnitt 5.3 fOr den Sonderfall harmonischer Zeitverlaufe, also konstanter Zeitfrequenz,

ausgiebig diskutieren sowie eine anschaulichere Herleitung von S,1z(') angeben.

Beispiel II Das einfaehsle Randwertproblem isl das liir den eindimensionalen Fall, also liir Felder, die in x und y konstant sind. Der Randwert isl dann das reine Zeitsignal

Naliirlich Irill dieses Signal in gleieher Form bei z = zo+,1z, nur urn Azle verzOgert, wieder auf. Genau dieses Ergebnis erMl1 man aueh mit

St\Z(fx=O,fy .. O,9" e-j21tAZf/e

und damit (Verschiebungssalz)

st\Z,eindim.ll) = S(I - Az/e) ,

nlimlieh

U(zO+,1z,I) .. u(zo,l) * S(I - Az/e) = u(zo,1 - Az/e) .

177

5.3 Ausbreitung und Beugung harmonischer koharenter Wellen

In diesem Abschnitt betrachten wir Wellenfelder, die an jedem Ort einen harmoni­

schen Zeitverlauf der Frequenz

fl = Y = const

aufweisen und bei denen die Zeitverlaufe an beliebigen zwei Punkten phasenstarr

(kohiirent) zueinander sind. Solche Wellenfelder werden z.B. in der Optik in guter

Naherung von Lasern erzeugt, oder in der Akustik von monofrequenten Schallwand­

lern. Dann ist das Feld von der Form

ureell(r,t) = lu(r)1 cos(2ltVt + <p(r)) . (5-48a)

Es hat sich jedoch fOr harmonische Wellenfelder die bequemere komplexe Schreib­

weise bewahrt, die wir im folgenden ausschlief3lich benutzen werden, .d.h. wir

verwenden statt ureell(r,t) dessen (zeitlich) analytisches Signal, wie in Abschnitt 2.7

beschrieben, und bezeichnen es mit u(r,t). Dieses laf3t sich in einen Orts- und einen

Zeitfaktor separieren 1:

u(r,t) = lu(r)1 ej(21tvt + <p(r)) = u(r) ej21tVt (5-48b) mit

u(r) := lu(r)l ei<p(r) . (5-48c)

Somit genCigt es, mit dem komplexen zeitunabhangigen Feld u(r) zu rechnen. Das

reelle Feld kann am Ende immer aus u(r) gewonnen werden:

ureell(r,t) = Re{ u(r) ei21tvt} . (5-48d)

Das (vierdimensionale) Spektrum von u(r,t) ist

mit

U(fr) e-Q u(r) .

Es existiert also nur im Unterraum fl = Y. Unter dem Spektrum eines Wellenfeldes

verstehen wir daher im folgenden U(fr).

1 Beim Vergleich mit der Literat\Jr isl zu beachten, daB in BOchem der Optik oder der theoretischen Physik meist der Zeitfaktor als e-J2ltVl angenolT)men wird. wahrend in Werken Ober Hochfrequenzlech­nik haufiger der auch hier benutzte Zeitfaktor e+J27tVt verwendet wird. Die komplexen Wellenfelder in der erslen Darstellung sind dann die konjugiert komplexen Versionen derer in unserer Schreibweise. da gilt

Re{u(r) ej21tVt} = Re{u'(r) e-j21tVt} .

Das Spektrum U(lr) eines Wellenfeldes ist dann zur Umrechnung in die jeweils andere Darstellung durch U·(- Ir) zu ersetzen (Satz der konjugiert komplexen Funktionen).

178

In komplexer Schreibweise, mit

~'(r,t) = u(r) o2(ei21tVt)/at2 = - 41t2V2 u(r,t)

und nach KOrzung des Zeitfaktors wird die Wellengleichung (5-34a) zur (zeitunab­

hi:ingigen) Helmholtz-Gleichung

6u(r) + k2u(r) = - q(r) , (5-49a)

wobei

k:= 21tV/c (5-49b)

die sog. Weflenzahl ist.

Ebene Wellen

Wir untersuchen zuerst die homogenen Losungen uH(r) von (5-49a), d.h. die Felder

fOr q(r) == O. Lassen wir wieder exponentiell anklingende Funktionen auBer acht, so

dOrfen wir (5-49a) Fourier-transformieren und erhalten

(5-50a)

also

fr = kl21t = vic. (5-50b)

Dies bedeutet, daB das Spektrum einer - stationaren - homogenen Losung nur

Werte auf einer Kugelschale vom Radius fr = kl21t aufweist. Ein einzelner solcher

Spektralanteil auf dieser Kugelschale, z.B. bei

fr = - kJ21t , (5-51 a)

ist gegeben durch

W(fr) = B(fr + kl21t) , (5-51 b)

wobei k der Wellenvektor oder k-Vektor ist, mit Ikl = k. 1m Ortsbereich erhalten wir

dann unter Verwendung des Verschiebungssatzes

w(r) = e-ik' r (5-51 c)

oder in reeller Darstellung

wreeU(r,t} = cos(21tvt - k'r) .

Das stellt offensichtlich eine ebene Welle dar, die sich in die durch den Wellenvektor

vorgegebene Richtung ausbreitet. Dies erkennen wir leicht, wenn wir fOr k einen

speziellen Vektor einsetzen, z.B. k = (O,O,k}T. Dann ist das Skalarprodukt

k·r = (O,O,k)T • (X,y,Z)T = k z

und die ebene Welle

w(r) = e-jkz

oder in reeller Schreibweise

wreell (r,t) = cos{2ltvt - kz) .

179

Die Welle wandert in z-Richtung, der Richtung des hier speziell gewahlten Wellen­

vektors, mit der Geschwindigkeit c und hat eine Wellen/tinge A. von

A. := 2lt/k = C/V . (5-52) I Die gleichen Oberlegungen gelten nun fUr beJiebige Richtungen des Wellenvektors.

Aile moglichen homogenen (und exponentiell beschrankten) Losungen der Wellen­

gleichung setzen sich offensichtlich aus ebenen Wellen verschiedener Richtung aber

derse/ben Wellenlange A. zusammen.

Anmerkungen - Wir haben in (5-51 a,b) k ant.parallel zu fr angeselzl, da es ul:,llich isl, k in Fortpflanzungsrichlung der Welle zu orientieren. Mit dem hier verwendeten.Zeitfaktor e+J21tVt ist zwangsl1iufig f von entgegen­gesetzter Richtung. Hier wurde der Zeitfaktor e-J21tV~ die elegantere Beschreibung Herern. Dann w1ire namlich k parallel zu fund die ebene Welle durch e+1k' r gegeben. - Vielfach wird auch der k-Raum slatt des frRaums als 'Spektralbereich' bezeichnet, d.h. die Ortliche Fourier-Transformation durch eine Riicktransformation ersetz!. Dies gilt es beim Vergleich mit einschlagi­ger Literatur zur beachten.

Bild 5-17 illustriert an hand einer einzigen ebenen Welle die Zusammenhange im

Orts- und Spektralbereich. Dabei ist auch gezeigt, wie die Komponenten des Wellen­

vektors von der Ausbreitungsrichtung abhangen. Schreiben wir namlich (5-51 c)

komponentenweise aus,

w{x,y,z) = e-j(kxx+kyy+kzz)

und benennen die Winkel, die der k-Vektor jeweils mit der kx-' ky" und kz- Achse

einschlieBt, mit respektive Ct, ~ und 1'}, so gilt

k = k (COSCt, cos~, COSl'})T (5-53a) mit

(5-53b)

Dies sind aber gleichzeitig die Winkel, die auch die Fortpflanzungsrichtung mit den

Koordinatenachsen x, y und z einschlieBt. Der k-Vektor setzt sich also (bis auf eine

Konstante) aus den Richtungskosinussen der ebenen Welle zusammen. Benutzen wir

statt der Winkel Ct, ~ und 1'} die ebenfalls in Bild 5-17 angegebenen Winkel Ct', W und

1'}' mit

180

a' = rc/2 -a, W = rc/2 - p, i)' = rc/2 - i) , (S-S3c)

so ist

k = k (sina', sinW, sini),)T . (S-S3d)

Wir werden von beiden Darstellungen Gebrauch machen, je nachdem, welche gera­

de anschaulicher ist.

x,y

O{fr+k/2rc)'~ /

ky

Bild 5-17, oben: Ebene Welle und ihr Fourier-Spektrum, unten: Zusammenhang zwischen den Komponenten des k-Vektors und den Winkeln u, /3, 1'} bzw. u', W,1'}'

Quellenproblem und Kugelwelle

Nachdem nun der Zeitverlauf als harmonisch vorgeschrieben ist, gibt es keine Punkt­

Impulsantwort wie die aus (S-37b), sondern lediglich die (komplexe) Punktantwort

s{r). Diese ist das Feld einer harmonisch schwingenden Punktquelle

q(r) = o{r) ej2rcvt

und berechnet sich mit qo(t) = ej2rcvt direkt aus (S-38b):

181

s(r) ei27tVt = 1/(41tr) ei21tv(t - ric) .

Nach Kurzung des Zeitfaktors erhalten wir die Punktantwort zur Lesung des Quellen­

problems:

1 'k s(r) = - e-J r. 41tr

(S-54a)

Diese spezielle Welle wird Kuge/wel/e genannt. Sie beschreibt eine kugelsymmetri­

sche von der Quelle abgestrahlte harmonische Welle mit konzentrischen aquiradialen

Flachen gleicher Phase und einem r -1-Abfall. Diesen hatten wir in Abschnitt S.2

bereits aus Grunden der Energieerhaltung gefordert.

Die zugehOrige Ubertragungsfunktion S(fr) kennen wir der Gleichung (S-36d) entneh­

men, wobei wir ft = v = const setzen. Mit e/v = A erMlt man

S(fr) = _1_ :- j 8A1t 8(fr - 1/A) . 41t2 f?-1/A2

(S-S4b)

Diese gilt natOrlich auch fUr den zwei- und eindimensionalen Fall. Dagegen nimmt

deren Fourier-ROektransformierte - s(r) also - je nach Dimensionalitat unterschiedli­

ehe Formen an. In Bild S-18 sind diese zusammen mit dem fUr das folgende wichtige

Teilspektrum SX.Y(fx.fy'z) (vgl. Bild S-13) aufgelistet und in Bild S-19, getrennt nach

Real- und Imaginarteil, skizziert.

s(X,y,z) = 1/(4ltr) e-jkr

s(X,y,Z) = - V(2k) e-jklzl

bZW~ o >.

m~ 1(= { [1/A,2_(1/+1/)]112 lOr 1/+1/5.1/A,2

-J'[I 2+1 2_11A.2]112 fOr 12+1 2>1/A,2 x Y x Y

Bild 5-18: Punktantwort sir) (lOr n = 1,..3), Obertragungslunktion S(fr) und Teilspektrum SX'Y(lx,f ,z) zur L6sung des Ouellenproblems bei harmonischen Wellen; Ho(2)(.) ist die Han~el-F~nktion nullter Ord­nung: Ho(2)(.) := Jo(.) - j No(.) mit Jo(.) der Bessel- und No(.) der Neumann-Funktlon (slehe z.B. [5.19)).

182

1m

s(X,y,z) s(X,z) s(z)

Re

1m 1m Re

Bild 5-19: Radialschnitte von S(.) (oben) und 5(.) fUr n = 1 ... 3 (unten)

Das in Bild 5-18 aufgefOhrte Teilspektrum sx,Y(fx,fy'z), also die zweidimensionale

Fourier-Transformierte eines ebenen Schnitts durch die Kugelwelle bei z = const,

konnte direkt Bild 5-13 entnommen werden, indem clf! = A gesetzt wurde. Da diese

sog. Weylsche Formel [5.20] fOr das folgende von groBer Bedeutung ist, leiten wir sie

nun nachtraglich Ober Fourier-ROcktransformation von

aus (5-54b) nach z her. Wir unterscheiden dabei zwei Bereiche:

1. 1m Bereich fx 2+fy 2 :s; 1 11..2 benutzen wir die AbkOrzung

K := [111..2 - (f/+f/)]1/2

und die Umformung (5. (3-24) und Beispiel V in Abschnitt 3.1)

15(fr - 1 II..) = 1/(AK) [15(fz+K) + 15(fz - K)] •

also eine Aufspaltung der 15-Kugel in zwei Halbkugeln. Damit laBt sich S(fr) in

Obersichtlicherer Form angeben :

S(fr) = [4lt2(f? - 1/')...2)] -1 - j/(8Jt1c) [O(fz+K) + o(fz - K)]

Mit den Korrespondenzen (s. Tabelle 2-3)

1/(~ - f/) ....:.-0 (It/K) sin(2ltKlzl) unci z

O(fz+K) + o(fz - K) --0 2 COS(2ltKZ)

erhalten wir das gesuchte Teilspektrum im Bereich f/+f/ ~ 1/')...2:

sx,Y(fx.fy'z) = -1/(4ltK) [sin(2ltKlzl) + j COS(2ltKZ)] = - j/(4ltK) e-j2ltKIZI .

2. 1m Bereich f/+f/ > 1/')...2 und mit der AbkOrzung

K:= - j {f/+f/ _1/')...2)1/2 =: - j K' gilt

und damit (s. Tabelle 2-3)

sx,y(Vy'z) = 1/(4ltK) e- 2ltK'izi

Zusammenfassend erhalten wir das gesuchte Teilspektrum aus Bild 5-18 zu

e-j2ltlzl{1/')...2 - (f/+f/))1/2 -j fu"r f 2+f 2 < 1/"A.2 x y-

183

4lt [1 1')...2 - (f/+f/)]1/2

e-2ltlzl{fi+f/ -1f')... 2)1/2

4lt (f/+ f/ - 1 1')...2) 112

(5-55)

Das Spektrum eines ebenen Schnitts durch das Feld einer Punktquelle existiert also

in der gesamten fx,fy-Ebene. Wahrend jedoch Spektralanteile unter 1/')... bei Veran­

derung der Entfernung Izl von der Quelle lediglich eine Phasenverschiebung erlei­

den, werden jene Ober 1/"A. mit wachsender Entfernung exponentiell gedampft und

sind im Abstand einiger Wellenlangen praktisch verschwunden; daher auch der

Name evaneszente oder quergedampfte Wellen fOr diese Anteile.

Die Ewald-Kugel

Die bisher diskutierte Punktantwort s(r) und die Obertragungsfunktion S(fr) erlauben

die Berechnung des Feldes einer gegebenen Quellenverteilung im gesamten Raum:

u(r) = q(r) * s(r) .

Bei vielen technischen MeBwerterfassungssystemen ist es jedoch hochstens moglich,

184

das Feld in einem quellenfreien Gebiet des Raums zu messen. Wir betrachten dazu

die Anordnung in Bild 5-20, oben links: das Feld einer Quellenverteilung begrenzter

Ausdehnung (zmin~ Z ~ zmax) soli auf einer Ebene z = Zo > zmax ermittelt werden. Der

Beitrag eines einzelnen Volumenelements der Quelle zum Gesamtfeld, also eine Ku­

gelwelle s(.), ist ebenfalls eingezeichnet. Offensichtlich ist der Verlauf von s(x,y,z~O)

fOr das Feld bei z = Zo irrelevant, solange nur Zo > zmax ist. Speziell kann in diesem

Bereich statt einer abgestrahlten Kugelwelle eine eingestrahlte (also dazu konjugiert­

komplexe) von negativem Vorzeichen angenommen werden:

s(r) ~ {- s*(r)

s+(r) := s(r) fOr z < 0 fur z ~ 0 .

(5-56a)

Jede Punktquelle haben wir also durch eine Art Fokus ersetzt (Bild 5-20, oben rechts).

Die Faltung einer Quellenverteilung mit s+(.) liefert ein Feld u+(.), das mit dem Ober

s(.) berechneten fOr z > zmax Obereinstimmt, im Obrigen Raum jedoch nicht:

u+(r) = q(r) * s+(r) = u(r) . l'

z>zmax

Dies klingt nicht gerade nach einer Rechenerleichterung; der konzeptionelle Vorteil

der Punktantwort s+(.) gegenOber s(.) wird aber deutlich, wenn man die zugehorige

Obertragungsfunktion S+(fr) berechnet, mit

{S*(f r) fOr z < 0

S(fr) ~ S+(fr) = S(fr) fOr z ~ 0 .

(5-56b)

Dies kann z.B. durch Transformation des im vorangegangenen Abschnitt hergeleite­

ten Teilspektrums SX,V(fx,fy'z) nach z geschehen, wobei wir wieder die beiden Berei­

che f/+f/ ~1/"A.2 und fx2+f/ >1/"A.2 (evaneszente Wellen) unterscheiden mOssen.

Nachdem die evaneszenten Wellen ohnehin in z-Richtung, also zur MeBebene hin,

exponentiell abfallen und nach einigen Wellenlangen praktisch verschwunden sind,

werden wir sie bei der Transformation nicht berOcksichtigen, eine Naherung, die

immer dann gerechtfertigt ist, wenn die MeBapparatur ohnehin nicht direkt an den

Rand der Quelle gebracht werden kann. Wir berechnen also statt S+(fr)

fOr f/+f/ ~ 1/"A.2

fOr f/+f/ > 1/"A.2 . (5-56c)

S_(fr) kann nun aus SX,V(fx,fy'z) mit Hilfe des Verschiebungssatzes ermittelt werden,

da wegen (5-56b) im Exponenten von (5-55) Izl durch z ersetzt wird. Wir erhalten

S_(fr) = - V(47tlC) ~(fz+lC) = V(47tfz) ~(fz+lC) mit

lC = [1/"A.2 - (fx2+f/)]1/2

(5-56d)

185

oder nach Umformung der &-Funktion:

(5-56e)

X,Y s(.) u(X,y,Zo)

Zmin Zo Zo

Ewald-Kugel

X,Y Q:=e

X,Y Q:=e

Bild 5-20, aben: Ersatz der von einem Volumenelement einer Quelle ausgehenden Kugelwelle durch eine 'fokussierte· Welle; miUe: Zusammenhang zwischen Quellenspektrum und Spektrum des Feldes auf der MeBebene z = Zo uber die Ewald-Kugel; unten: EinfluB der Orientierung der MeBebene

186

Die Obertragungsfunktion aus (5-56d,e) stellt eine o-Halbkugelschale 1 dar, die unter

dem Namen Ewald-Kugel [5.21] bekannt ist2.

Mit diesem Ergebnis berechnet sich das Feld u+(.) nun naherungsweise zu

u+(r) 0- U+(fr) = Q(fr) S_(fr) = - j/(41t1() Q(fx,fy' -K) O(fz+K)

und damit schlief3lich das Feld u(x,y,zo) = u+(x,y,zo) in der Mef3ebene

+00

f Q(fr) S_(fr) ej27tzofz dfz

+00

= - j/(41t1() f Q(fr) O(fz+K) ei27tzofz dfz . -00

(5-57a)

(5-57b)

Das zweidimensionale Spektrum des Feldes bei z = Zo ergibt sich also aus dem

dreidimensionalen Spektrum der Quellenfunktion folgendermaf3en (Bild 5-20, mittel:

Aus dem Que"enspektrum Q(.) werden durch Multiplikation mit S_(.) die Werte auf der

Ewald-Kugel 'ausgeblendet' und anschlief3end auf. die fx,fy"Ebene projiziert, wobei

noch der (von Zo abhangige) lineare Phasenfaktor el27tzofz eingeht.

Das Integral in (5-57b) ist wegen der o-Funktion leicht auszuwerten. Wir erhalten

dann das Spektrum des Feldes in einer etwas kompakteren Schreibweise:

(5-57c)

mit

K = [1/1..2 - (f/+f/)]1/2 .

Die Mef3ebene ist in Bild 5-20, oben, wi"kQrlich senkrecht zur z-Achse angenommen

worden. Fur jede andere Mef3ebene (au8erhalb der Quelle) erhalt man natOrlich die

grundsatzlich selben Ergebnisse; die Lage der Ewald-Kugel und die Projektions­

richtung mussen dann nur der Orientierung der Mef3ebene angepaf3t werden (Bild

5-20, unten).

Vom Spektrum der Que"enverteilung tragen also nur Werte auf der Kugel fr =1/1.. zum

Feld im que"enfreien Raum bei. Diese Obertragungsfunktion ist eigentlich nur zwei­

dimensional, da jeder Spektralwert durch Angabe zweier Winkel bestimmt ist. Daher

1 Offensichtlich laBI sich das Feld in dem quellenfreien MeBgebiel - und unler Vernachlassigung evaneszenler Wellen - aus lauler ebenen Wellen zusammenselzen, da S_(f ) ja nur Speklralwerte auf einer Halbkugelschale yom Radius 1/J.. passieren laBI. Speziell wird die die Kugemelle sIr) erselzende 'fokussierte' Welle beschrieben als Konlinuum gleichmaBig Ober den Raumwinkel verteiller ebener Wellen, die sich yom linken in den rechlen Halbraum ausbreilen. oer Effekl der TiefpaBfillerung, die die Vernachlassigung evaneszenler Wellen eigentlich darslelll, isl damil offensichllich: durch Oberlagerung ebener Wellen endlieherWellenlange kann niemals die Poslelle bei r = 0 erzeugt werden. 2 Oblicherweise wird als 'Ewald-Kugel' die Halbkugel im (eehlen Halbraum, also genau die gesPieg~lte Version. der Halbkugel aus (5-56d,e), bezeichnel. Dies liegl daran, daB entweder der Zeitfaklor e-I ltV! stall e+12ltVt verwendel wurde oder daB die Ewald-Kugel im k-Raum stall im fr-Raum betrachtel wurde.

187

ist eine eindeutige Rekonstruktion der dreidimensionalen Struktur einer Ouellen­

verteilung aufgrund von MeBungen im quellenfreien Gebiet (und in einem Abstand

von mindestens einigen Wellenlangen von den Ouellen) nicht moglich. Der in Bild

5-19, oben, skizzierte Verlauf der Obertragungsfunktion S(fr) tauscht somit eine

'IOckenlose' Belegung des Frequenzbereichs - und damit eine Invertierbarkeit von

S(fr) - vor, die in den meisten Fallen gar nicht nutzbar ist, da von dieser Obertra­

gungsfunktion (bei Aussparung des Ouellengebiets von der Messung) nur noch die

Ewald-Kugel Obrigbleibt.

Beispiel I Eine Ouellenfunktion, deren Spektrum bei fr = 1/'J... verschwindet, durfte nach dem Gesagten eigentlich auBerhalb des Ouellengebiets kein Feld erzeugen, oder zumindest nur evaneszente Wellen aussen­den. Dies untersuchen wir beispiel haft an einer kugelformigen gleichphasig emittierenden Flache yom Durchmesser eines ganzzahligen Vielfachen von 'J..., also

mit 2ro = rnA..

Das Spektrum des Fe/des ist dann

wobei gleich die I\-Funktion in S(.) weggelassen wurde, da sie ohnehin auf einer Nullstelle von sin(21trOfr) liegt. Mit Tabelle 3-4 erhalten wir schlieBlich das Feld

u(r) = (_1)m ro si(21trl'J...) rect(r/(2ro)) .

Es verschwindet offensichtlich auBerhalb r = ro vollsUindig; bei dieser speziellen Ouellenform loschen sich sagar die evaneszenten Wellen aus. Es handel! sich also hier urn eine der in Abschnitt 5.1 erwahn­ten nichtemittierenden Duellen. 1m Eindimensionalen ist die Wirkung soleh einer Quelle leichter verstandlich. Daher bereehnen wir nun das Feld zweier gleichphasig emittierender paralleler Ebenen im Abstand /.../2, also

q(z) = 1\(z+/.../4) + I\(z - /.../4) ,

uber die Faltung mit der eindimensionalen Punktantwort

s(z) = - V(2k) e-jklzl

aus Bild 5-18. Diese Faltung liefert

also

und

u(z) = q(z) * s(z) = - V(2k) [e-j21t1z+/.../41/'J... + e-j21tIZ - /.../41/'J...] ,

u(z) = - V(2k) [e-jkz e-j1t/2 + ejkz e-j7tl2] = -11k cos(21tzl'J...)

u(z) = - V(2k) [e-jkz e-j7tl2 + e-jkz ej7tl2] = 0

fUr IZI :S /.../4

fUr Izl > /.../4 .

In Bild 5-21 is! dieses Feld als Summe der Felder der beiden Quellen skizziert.

188

q(z)

t I z + -A/4

_t.l.-.-...jlf---Lt_ z

t .o(z)

1m "'-.. .f' ,. z +

Bild 5-21: Veranschaulichung des Feldes der nich'emittierenden QueUe aus Beispiel I

Das Fernfeld harmonise her Quellen

Wir nehmen in diesem Abschnitt 5.3 an, daB aile Quellen harmonisch und zueinander

phasenstarr (koharent) emittieren; eventuelle Zeitunterschiede zwischen verschiede­

nen Orten der Quelle sind bereits in der Phase der komplexen Quellenfunktion q(r)

enthalten. Somit sind koharente harmonische Quellen ein Sonderfall synchroner

Quellen, wie wir sie schon in Abschnitt 5.2 diskutiert haben. Deren Fernfeld, also in

einer Entfernung R groB gegen die Objektausdehnung 0, wies einen - vor allem fOr

das inverse Quellenproblem - interessanten Zusammenhang mit den planaren

Projektionen der Quellenfunktion unter allen Winkeln <p und i} des Raums (also mit

der dreidimensionalen Radon-Transformierten) auf.

Wie sieht nun das Fernfeld einer harmonischen Quellenfunktion

q(r) = o(r)

aus? Zu dessen Ermittlung greifen wir auf (5-44d) zurOck und setzen darin

Q,(f,) = 8(f, - v) ,

also (mit A = C/V und k = 2rr.1A)

UFt(R,<p,i},f,) = 1/(41tR) Qqn')(-1/A,O,O) 8(f, - v) e-jkR . (5-58)

Der zentrale Geradenschnitt durch das Quellenspektrum degeneriert also zu einem

Punkt bei fR = -1/A. Benutzen wir fOr das Spektrum Kugelkoordinaten, also

Q(fr,<\),e) := Q(fr sine cos<J>, fr sine sin<J>, fr cose) , (5-59a)

so ist

Q<pil(-1/A,O,O) = Q(fr=1/A, <J>=<p, e=i} -1t) . (5-59b)

Damit liefert die zeitliche Rucktransformation das Fernfeld in der Form

189

UF(R,<p,'t},t) = 1/(41tR) Q(1/)", <p, 't} -1t) e-jkR ej21tvt (5-60a)

oder nach Wegfall des Zeitfaktors

uF(R,<p,'t}) = 1/(41tR) e-jkR Q(1/)", <p, 't} -1t) . (5-60b)

Der Verlauf des Fernfeldes Ober <p und 't} ist also - bis auf einen winkelunabhangigen

Entfernungsfaktor - gleich dem Objektspektrum auf der Kugel fr = 1/)" (Bild 5-22)1 .

Wahrend wir bisher die Fourier-Transformation lediglich als mathematisches Hills­

mittel benutzt hatten, erfahrt sie nun eine physikalische Realisierung durch das

Fernfeld harmonischer koharenter Quellen. MiBt man das Fernfeld auf einer Kugel­

oberflache z.B. vom Radius R = const, wie in Bild 5-22 skizziert, so entsteht der Ein­

druck, sich direkt auf der Kugel fr = 1/)" im Spektrum zu bewegen, mit dem Unter­

schied, daB eine Veranderung von R den Radius der spektralen Kugel nicht veran­

dert, und damit keine weitere Information Ober das Objekt erbringt.

Das Ergebnis aus (5-60b) zeigt wieder die generelle Unlosbarkeit des inversen

Quellenproblems bei harmonischen Quellen; durch den Wegfall der wichtigen Zeit­

variablen ist das Fernfeld eigentlich nur noch zweidimensional (<p und ~). Daher wird

haufig das Fernfeldverhalten von Quellen (z.B. von Schallwandlern) durch Richtdia­

gramme (also die Verteilung der Leistung Ober <p und ~) charakterisiert.

x,y

Bild 5-22: Das Fernfeld harmonischer QueUen nach (5-60b)

Anmerkung Wir hatten in der Anmerkung auf Seite 173 und mit Bild 5-15 versucht, eine anschauliche Erklarung der Fernfeldlosung synchroner QueUen zu geben. Dabei hatten wir uns die Punkt-Impulsantwort des Quel· lenproblerns am Ort des Empfangers zentriert gedacht und Qber das Produkt dieser mit dem Objekt integriert. Die Naherung bestand darin, die kugelformigen Flachen gleicher Entfernung von ra durch tangentiale Ebenen zu ersetzen. Auf diese Erklarung kommen wir nun zurQck, benutzen aber die zeitunabhangige Punktantwort als

1 DaB dabei die Richlung im Spektrum ant.parallel zu der im Ort isl, lieg! wieder an dem hier verwendelen Zeitfaklor e +J27tV1.

190

Integrationskern:

In Bild 5-23 ist gezeigt, wie diese Kugelwelle lur R » D durch die ebene Welle

1/(4ltR) e-j2ltR/).. ei2ltR'/)..

ersetzt wird (vgl. (5-45b)). Das Integral des Produkts von ei2ltR'/).. mit dem Objekt hat in der Tat die Form eines Fourierintegrals speziell Iur die Frequenz (IR,IT1 .fT2) = (-1/)..,0,0) :

Jll 0(.) e-i21t(R'IR, + T ,'Ill' + T 2 'IT2,) dR'dT ,'dT 2"

-00 (IR,IT"IT2) = (-1/)..,0,0)

Der Grund dalur, daB sich im Fernleld das Spektrum des Objekts (fUr Ir = II)..) wiederfindet, liegt im harmonischen Zeitverlaul der Welle; in diesem Fall ist namlich eine ebene Welle gleich einer Fourier­Basislunktion der Frequenz Ir = II)...

'. R'

Bild 5-23: Veranschaulichung der Fernleldnaherung aus (5-60b)

Beispiel II Die Gleichung (5-60b) gilt (bis aul eine andere Form des Enlfernungslaktors) auch fUr den zwe.oimensionalen Fall, also

Wir betrachten nun eine bei z = 0 konzentrierte Quelle

q(x,z) = a(x) O(z) .

Deren Spektrum ist konstant in Iz:

In Bild 5-24 ist skizziert, wie sich daraus Q(l/).., ~ -It) berechnet:

Q(l/).., ~ -It) = A(-l/).. sin~) .

Bild 5-25, oben, zeigt das zugehOrige Richtdiagramm. Vergr6Bert man die Abmessungen der Quelle um einen bestimmten Faktor, so wird die 'Keule' um denselben Faktor schmaler (Ahnlichkeitssatz). In der Radar- und Ultraschalltechnik ist es hiiufig n6tig, die 'Keule' der QueUe (Antenne, Schallwandler) zu schwenken. Dies kann mechanisch durch Drehung der Quellenanordnung geschehen oder aber auch elektronisch, indem der QueUenfunktion o(x) ein linearer Phasenterm aufgepragt wird:

a(x) -t a(x) ei2ltbx/)" .

191

Dadurch wird das Spektrum zu (Verschiebungssatz)

A(fx) ~ A(fx - b) = A(-1/A(sin\} +bA») .

Bild 5-25, unten, zeigt, wie auf diese Weise die Keule geschwenkt (und leicht deformiert) wird. 1st das Quellenspektrum A(fx) schmalbandig (<<1/),,) und ist b ebenfalls klein, so ist

sin\} + b)" ~ sin(\} + arcsin(b)"») ,

d.h. die Keule wird in diesem Fall urn den Winkel arcsin(b)") geschwenkt. Die Oberlagerung des oben genannten linearen Phasenterms geschieht in der Praxis z.B. durch Auf­spaltung des Wandlers in viele kleinere Wandler, die dann zueinander entsprechend zeitverz6gert angesteuert werden k6nnen (phased arrays).

x q(x,z) = a(x) 0 (z)

-1---- z ():=:e

Bild 5-24: Die spezielle Quellenfunktion aus Beispiel 1/, deren Spektrum und die geometrische Bezie­hung zwischen fx und \)

~~~~~~~~-~ ~ arcstn(b)' )

arcsin(b)')

Bild 5-25, oben: Spektrum und Richtdiagramm der Quelle aus Bild 5-24; unten: Keulenschwen­kung bei Verschiebung des Spektrums (wegen Oberlagerung der Quelienfunktion mit einem linearen Phasenfaktor)

192

Randwertproblem, Punktantwort und Ubertragungsfunktion des Raums

Die Randwertaufgabe fUr harmonische Wellenfelder ist zur Behandlung von Beu­

gungsphanomenen von zentraler Bedeutung. Da wir uns mit diesem Problem nun

uber mehrere Abschnitte hinweg befassen werden, ist folgende vereinfachte Schreib­

weise angebracht:

uzo(x,y) := u(x,y,zo) ~ Uzo(fx,fy):= ux,Y(fx.fy'zo)

und

uz(x,y) = UZo+dz(x,y) := u(x,y,zo+~z) ~ Uz(fx,fy) = Uzo+6z(fx.fy) := UX'Y(fx,fy'zo+~z).

In den Abschnitten 5.1 und 5.2 hatten wir gezeigt, dal3 sich die Randwertaufgabe auf

das Quellenproblem zuruckflihren lal3t, indem eine der Randbedingung angepal3te

Quellenfunktion angenommen wird (fiktive Quellen). Dazu halte sich eine Dipolquel­

lenverteilung besonders gut geeignet, da diese proportional zur vorgegebenen Rand­

bedingung gewahlt werden dart. Dies gilt natUrlich auch fUr harmonische Wellen; wir

ersetzen also die - nun zeitunabhangige - Randbedingung uzo(x,y) durch die Dipol­

quellenfunktion (vgl. (5-47a))

q(r) = - 2 uzo(x,y) 15'(z - zo) . (5-61 a)

Deren Feld

u(r) = uz(x,y) = q(r) * s(r) = - 2 uzo(x,y) ~ ~ [a s(r)/az] z-6Z (5-61 b)

nimmt in der Tat wegen (vgl. (5-40c))

lim {a s(r)/az} = -1/215(x,y) (5-61c) z~o+

fUr z ~ zo+ den Randwert uzo(x,y) an.

Die Punktantwort S6Z(x,y) zur Losung des Randwertproblems in der Form

uz(x,y) = uzo(x,y) ~ ~ Sdz(X,y) (5-62a)

ist somit

Sdz(X,y) = - 2 [a s(r)/az] z-6Z ' (5-62b)

also

s (x,Y) = cos~ [_1 _ + j _1_] e-j~r dz A 2ltM2 Mr

(5-62c)

mit

M:= (x,y,~z)T

Wir nennen sie auch die Punktantwort des Raums, da sie die 'Obertragung' einer

zweidimensionalen Randbedingung liber ein 'StUck Raum' der Dicke ~z beschreibt.

193

1st das Feld nur zweidimensional, die Randbedingung also eindimensional (z.B.

konstant in y-Richtung), so berechnet sich Sill(x) mit s(x,z) aus Bild 5-18 zu

Sill (x) = - j1t COS~d H1(2)(~r) . (5-62d)

Anmerkung Das Faltungsintegral (5-62a) ist eine m6gliche mathematische Formulierung des Huygens-Fresnelschen Prinz ips, das die Ausbreitung einer Welle folgendermaBen veranschaulicht: jede Stelle einer gege­benen Wellenfront stell! man sich als Ausgangspunkt einer differentiellen Elementarwelle vor, und aile diese Wellen werden uberlagert (siehe z.B. [5.22)). Wir haben hier allerdings stat! einer beliebigen Wellen/ront speziell das Feld u~o(x,y) auf einer Ebene gegeben. Mit dieser Vorgab~ ubernimmt die Punktantwort des Raums, also die Dipolwelle, die Rolle der Elementarwelle, und die Uberlagerung ist durch obige Faltung gegeben.

In Bild 5-26 ist der radiale Verlauf der Phase von Sill(')' sowie I stiz(.) I in Form eines

Richtdiagramms skizziert; Sill(x,y) wird dabei dreidimensional, also als Dipolwelle,

betrachtet.

x,y Richtdiagramm

arg{s",,(x.y)} = arctan(kM) - kM -+-..,....------r------~ dr, r

-2. -----------

zum Vergleich: /

arg{s(r)} = - kr

2l.

Bild 5-26: Die Punktantwort des Raums (Dipolwelle) fur ill > 0

Interessant ist in diesem Zusammenhang ein Vergleich der Kuge/INelie s(r) und der

Dipo/welle Sill(x,y). Dabei fallen folgende Unterschiede auf:

Die Kugelwelle strahlt isotrop, also in aile Richtungen gleich stark, wahrend die

Dipolwelle eine cos~d-Belegung aufweist, d.h. in z-Richtung wird am starksten,

quer dazu gar nichts abgestrahlt. Letzteres mul3 auch gefordert werden, da Sill(')

ja die Randbedingung eines o-Punktes in der Ebene z = Zo erfOIit.

194

Wahrend der asymptotische Abfall der HOlikurve fOr groBe Entternungen r bzw.

M sowohl bei s(.) wie auch bei sL\z(.) proportional zu r -1 ist, dominiert nahe des

Ursprungs bei der Dipolwella ein r - 2_pol.

Die Phase von s(.) nimmt proportional mit r zu, d.h. die Flachen gleicher Phase

sind konzentrische aquidistante Kugelschalen:

arg{s(r)} = - kr .

Bei sL\z(.) dagegen gilt dies nur fOr M ~ co. In der Nahe des Ursprungs wird eine

Phasenverschiebung durch den r - 2_Pol verursacht. Das Fernfeld (oM ~ co) der

Dipolwelle hat also gegenOber dam Feld bei M ~ 0 eine Phasenverschiebung

von w2 (Bild 2-26):

arg{sL\z(x,y)} = - k.oM + arctan(Likr) .

Mit (5-62a,c,d) ist die raumliche Randwertaufgabe im Ortsbereich gelost. Die zuge­

hOrige Obertragungsfunktion SL\z(fx,fy) zur Losung im Spektrabereich in der Form

Uz(fx,fy) = Uzo(fx,fy) SL\z(fx,fy) (5-63a)

kann direkt (5-47e) entnommen werden, wenn darin ft = v gesetzt wird. Mit elv = ).

erhalt man die Ubertragungsfunktion des Raums (fOr Liz >0) zu

I e-j21tLiz(1/).2 - (fx2+fl»)1/2 fOr f/+f/ ~ 1/')...2

SL\z(fx,fy)= l e-21t~z(fx2+fl-1/')...2)1/2 fOr f/+fl> 1/')...2. (5-63b)

(1m Fall einer eindimensionalen Randbedingung wird z.B. fy = 0 gesetzt.)

Da diese Obertragungsfunktion fOr das Verstandnis von Wellenausbreitungs- und

Beugungsphanomenen wichtig ist, wollen wir uns mit der obigen formalen Herleitung

nicht zufrieden geben und zeigen nun, wie sich SL\z(fx.fy) auch geometrisch herleiten

laBt [5.23].

Geometrische Herleitung von SL\z(fx.fy}

Zur Ermittlung der Obertragungsfunktion eines Systems untersucht man zweck­

maBigerweise, wie eine Fourier-Basisfunktion ej21t(xfx+yfy}. und dam it ein einzelner

Spektralwert des Eingangssignals uzo(x,y), Obertragen wird. Dazu betrachten wir

vorab ein spezielles Feld, namlich die ebene Welle

u(x,y,z} = e-jkoM = e-j(kxx+kyy+kzLiZ} , (5-64a)

wie in Bild 5-27 skizziert. Diese breite sich vom linken in den rechten Halbraum hinein

aus, d.h. kz> 0, oder im Grenzfall kz = 0 .

Verschiebung der Fourier-Komponente fx,y = - k x,y/(27t)

~~~~~~r-~~~~~~--z

Bild 5-27: Zur geometrischen Herleitung der Obertragungsfunktion des Raums

Die Randbedingung uzo(x,y), die von dieser Welle erzeugt wird, ist

uzo(x,y) = u(x,y,z=zo) = e-j(kxx+kyY) .

195

(5-64b)

Wir erkennen darin die angesprochene Fourier-Basisfunktion ej27t(xfx+yfy), wenn wir

kx und ky als

(5-64c)

interpretieren. Ein Schnitt durch eine dreidimensionale ebene Welle ist also eine

zweidimensionale ebene Welle mit dem Wellenvektor (kx,ky)T, der damit von der

Richtung der ursprOnglichen Welle abhangt. Nach (5-53a ... d) gilt namlich

kx = k cosa = k sina' und ky = k cos/3 = k sinW .

Der zweidimensionale Wellenvektor hat die Lange (k/+k/)1/2, und damit ist die

Wellenlange

A = :A. /(cos2a + cos2/3)1/2 ~ :A. • (5-64d)

Zur Veranschaulichung lassen wir fUrs erste den k-Vektor in der kx,kz-Ebene Iiegen,

d.h. wir nehmen ky = 0 und dam it /3 = 90° an. Dann ist

A = A/cosa,

wie auch in Bild 5-27 geometrisch leicht nachgeprOft werden kann. Die durch die

Einfallsrichtung a 'einstellbare' Ortsfrequenz fx ist

fx = 1/A = 1/:A. cosa.

Sie kann zwischen fx = 0 (bei Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle parallel zur z-Achse, also a = 90°) und fx = 1/:A. (bei ganz flachem Einfall, a -+ 0°) variieren. Vor­

erst mOssen wir also die Diskussion auf Fourier-Komponenten mit f/+f/:!> 1/:A.2 be-

196

schranken.

Geben wir uns nun eine Fourier-Komponente ej21t(xfx+yfy) des Eingangssignals vor,

so laBt sich sofort die dazugehOrige ebene Welle, und damit das Ausgangssignal fOr beliebiges ~z, angeben:

e-j(xkx+Yky+&kz) = ej21t(xfx+yfy) e-j~zkz (5-65a)

mit

Wir erkennen

e-j~zkz

mit (5-65b)

(5-65c)

als die gesuchte Ubertragungsfunktion des Raums, die fOr fx2+f/ ~ 1/'J..2 identisch ist

mit S6z(fx,fy) aus (5-63b) . Dieses Obertragungsverhalten stellt somit lediglich eine

Verschiebung, also eine Phasenverzogerung, der Welle dar, wie sie auch aus Bild

5-27 geometrisch ermittelt werden kann.

1st nun f/+f/ > 1/'J..2, also k/+k/ > k2, so ist die geometrische Deutung nicht mehr

so einfach moglich. In diesem Fall muB jedoch die Bedingung

kx 2+k/+kz 2 = k2

weiterhin erfOllt sein. 1m rechtwinkligen Dreieck in Bild 5-27, rechts, bedeutet dies,

daB die Kathete, welche kx und ky reprasentiert, langer ist als die Hypothenuse k. Dann wird zwangslaufig kz imaginar.

kz = 21t [1/'J..2 - (fx 2+f/)]1/2 = ±j21t (f/+f/- 1/'J..)1/2 . (5-65d)

Mit geeigneter Wahl des Vorzeichens in (5-65b) eingesetzt, ergibt sich nun S6z(.)

auch fOr fx2+f/ > 1/'J..2. Die dabei auftretenden Wellen sind keine ebenen, sich un­

gedampft ausbreitenden mehr, sondern in z-Richtung exponentiell gedampfte

(quergedampfte) Wellen, die sich quer zu z ausbreiten, also keine Energie in z-Richtung transportieren. Der EinfluB dieser Wellen verschwindet offensichtlich mit

wachsendem ~z rapide, daher auch die bereits erwahnte Bezeichnung evaneszente WeI/en.

Anmerkungen - Die Fourier-Translormation von uzo(x,y) ist ollensichtlich (lOr Ix 2+!l S 1/A.2) gleichbedeutend mit einer Entwicklung des Feldes u(x,y,z) in ebene Wellen. Diese EntwicKlung nennt man auch das Winke/­spektrum, da die Ortslrequenzen durch die Winkel ex ulld p, bzw. ex' und po reprasentiert sind. - Die Herleitung des Obertragungslaktors nach Bild 5-27 zeigt einen anderen Aspekt der Bedingung der Ouellenfreiheit des rechten Halbraums. Bei vorgegebenen Werten von lund Iy' und damit kx und k.., ist zwar ~ vom Betrag her eindeutig lestgelegt, das Vorzeichen jedoch breibt noch Irei wahlbar, d.h. dfe in Bild 5-~7 eingezeichnete ebene Welle ist nicht die einzige, die uzo(x,y) erzeugt; auch die an der x,y-Ebene gespiegelte Welle, also die von rechts nach links mit k < 0 verlaulende, erfOlIt die Randbe­dingung bei z • zoo DaB diese zweite Moglichkeit (die bei jeder ~ourier-Komponente zu jeweils einer Zweideutigkeit IUhren wurde) ausgeschlossen wird, ist die gleiche Forderung wie die der Quellenlreiheit des rechten Halbraums. Fur den Bereich der evaneszenten Wellen in (5-63b) haben wir das Vorzeichen

197

so gewahlt, daB die Wellen mit wachsendem ll.Z. abklingen. Auch diese MaBnahme ist notwendig, urn Felder zu erhalten, wie sie bei queUenfreiem rechten Halbraum entstehen kennen.

Der nunmehr auf zweifache Weise hergeleitete Obertragungsfaktor des Raums ver­

dient genauere Betrachtung. In Bild 5-28 sind dazu Radialschnitte durch Sll.Z.(fx.fy)

gesondert nach Betrag und Phase fOr verschiedene Werte von Az aufgetragen. Das

Obertragungssystem 'Raum' wirkt offensichtlich folgendermaBen auf Eingangssignale

uzo(x,y):

Frequenzanteile unter 1/'A. werden ungedampft, jedoch phasenverzerrt Obertra­

gen.

Frequenzanteile uber 1/'A. werden nicht dispergiert, sondern gedampft, und zwar

um so starker, je groBer die Frequenz und je groBer Az, die Entfernung von Ein­

gangs- zu Ausgangsebene, ist.

Bei Az > 5'A. bleibt vom Eingangssignal praktisch nur noch ein (phasenverzerrter)

TiefpaBauszug Obrig. FOr Az -t 0 strebt die Obertragungsfunktion natOrlich dem

konstanten Wert eins zu, da hier Eingangs- und Ausgangsebene identisch werden.

Aus den genannten Eigenschaften der evaneszenten Wellen folgt, daB eine ortliche

Ruckverfolgung von Feldern, also in das Gebiet z < zo' i. allg. nicht moglich ist. Es

mOBten namlich dabei die Frequenzanteile Ober 1/'A. exponentiell verstarkt werden.

Weist jedoch das Spektrum ohnehin einen exponentiellen Abfall zu hohen Frequen­

zen hin auf, so kann diese ROckrechnung innerhalb einer vom Signal-zu-Rausch­

Verhaltnis abhiingigen Bandbreite und bis zu einem bestimmten Wert von z moglich

sein. Auf keinen Fall jedoch kann ein Feld Ober den Ort einer Quelle hinaus extra­

poliert werden. Beschranken wir uns jedoch auf Spektralanteile unter 1/'A., so bleibt

die Feldberechnung mit Hilfe von Sll.Z.(fx.fy) fOr beliebige Werte Az stabil.

1/1,.

-7tL----

-27t

- 47t

Bild 5-28: Die Obertragungsfunktion des Raums fOr verschiedene Werte von liz

198

Beugung koharenter Wellen

Trifft eine Welle auf ein 'Hindernis', also eine Inhomogenitat des Ausbreitungsmedi­

ums, so wird die Wellenausbreitung anders verlaufen, als wenn die Inhomogenitat

nicht vorhanden ware. Diese Beeinflussung der Welle wird Oblicherweise durch die

drei Effekte Ref/exion, Brechung und Beugung beschrieben. Lauft z.B. ein Teil der

Welle wieder - grob gesprochen - in die Richtung zurOck, aus der die ursprOngliche

Welle gekommen ist, spricht man von Ref/exion. Besteht die Inhomogenitat aus einem

Material anderer Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, z.B. einem Prisma oder einer

Linse aus Glas bei optischen Wellen, so wird die Richtung der Welle (verglichen mit

Reflexion) relativ schwach beeinfluBt, und der Effekt der Brechung Oberwiegt. Besteht

das Hindernis aus einem opaken Schirm mit einer Apertur, so zeigt sich, daB der Teil

der Welle, der die Apertur passiert, sich nicht wie durch die Apertur 'ausgestanzt'

fortbewegt und somit einen exakten Schatten des Schirms erzeugt, sondern, daB die

Welle auch in die Schattengebiete gebeugt wird, daher die Bezeichnung Beugung.

1m Gegensatz zu diesen Beispielen ist die Trennung der drei genannten Effekte oft

willkOrlich und nicht immer in exakter Form moglich. Dies gilt umso mehr, je kleiner

die Inhomogenitaten im Vergleich zur Wellenlange sind. So erzeugt z.B. ein kleiner

mit Laserlicht beleuchteter Tropfen eines Aerosols ein Storfeld, das nicht mehr sinn­

voll in Reflexions-, Brechungs- und Beugungsanteil zerlegt werden kann. Eine groBe

Linse jedoch laBt sich sehr gut durch Angabe ihrer brechenden Wirkung auf einzelne

Strahlen beschreiben. Andererseits werden wir zeigen, daB durch den im folgenden

herzuleitenden Beugungsformalismus z.B. auch die Brechung durch dOnne Linsen

beschrieben werden kann. Diese Oberlegungen machen deutlich, daB die Grenzen

zwischen den genannten Effekten flieBend sind. 1m folgenden verwenden wir den

Ausdruck Beugung immer dann, wenn das Hindernis 'flach' ist, also beispielsweise

eine Ebene z = const (oder eine andere schwach gekrOmmte Flache) okkupiert und

die Tiefen-(z-)Ausdehnung vernachlassigt werden kann (die einfallende Welle breite

sich im wesentlichen in z-Richtung aus) und wenn nur das Feld rechts von diesem

Hindernis interessiert (damit ist die Reflexion ausgeklammert). 1st die Inhomogenitat

deutlich dreidimensional ausgepragt und sollen nicht nur Brechungseffekte unter­

sucht werden, so sprechen wir von Streuung (engl. scattering) als Oberbegriff.

Nach dieser Begriffsklarung untersuchen wir das Phanomen der Beugung an hand der in Bild 5-29, oben, skizzierten klassischen Anordnung: Die einfallende Welle uj(r)

trifft von links auf einen Schirm aus opakem Material in der Ebene z = Zo mit einer

oder mehreren Offnungen (Aperturen). Zu bestimmen ist das Feld rechts vom Schirm,

z.B. speziell das Feld uz(x,y) = u(x,y,zo+~z), also auf einer zum Schirm parallelen Ebene im Abstand ~z. Die Aufgabe ist in zwei Schritten zu losen:

1. Berechnung des Feldes uzo(x,y) in der Schirmebene.

2. Berechnung von uz(x,y) aus uzo(x,y).

199

u i (r) X,y u zO(X,y) u z(X,y)

m(x,y)

Bild 5-29: 8eugung am ebenen Schirm (aben) und nachrichtentechnisches Analogon (unten)

Der zweite Schritt ist leicht auszufOhren, es handelt sich dabei namlich urn das bereits

diskutierte Randwertproblem.

Der erste Schritt jedoch, die Bestimmung der Randbedingung aus den physikalischen

Eigenschaften des Schirms, bereitet Schwierigkeiten und ist bisher nur fOr ganz we­

nige spezielle Aperturformen gelungen. Dagegen finden sich in der einschlagigen

Literatur verschiedene Naherungen zur Berechnung von uzo(x,y); im folgenden wer­

den wir die von Sommerfeld [5.12] vor allem wegen ihrer einfachen systemtheoreti­

schen Behandelbarkeit benutzen. Diese Naherung besagt, daB uzo(.) in der Apertur

identisch der einfallenden Welle ui(x,y,z=zo) in der Schirmebene ist, auBerhalb der

Apertur am opaken Schirm jedoch gleich null. Die Apertur schneidet also f6rmlich aus

der einfallenden Welle uzo(.) heraus. Dies klingt plausibel, wenn auch die entsehen­

den Unstetigkeiten am Rand der Apertur schon zeigen, daB es sich nicht urn die

exakte L6sung handeln kann, da solche Unstetigkeiten der Laplace-Operator in der

Wellengleichung verbietet. Definieren wir als Transparenzfunktion des Schirms

m(x,y) = { ~ innerhalb der Apertur

auBerhalb , (5-66a)

so wirkt dieser gleichsam als Modulator auf die einfallende Welle. Damit ist die

Beugungsaufgabe (zumindest mit der Genauigkeit der benutzten Naherung) gel6Sl:

(5-66b)

200

Dieses Faltungsintegral ist als Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsintegral bekannt. Die

verkOrzte operationelle Schreibweise in (5-66b) legt das nachrichtentechnische

Analogon aus Bild 5-29, unten, nahe.

Falls uj(r} = e-j~z ist, also eine senkrecht auf die Aperturebene fallende ebene Welle

des Betrags eins, gilt natOrlich

und daher uzo(x,y} = m(x,y} .

Dann werden wir im folgenden die Transparenzfunktion wahlweise als Modulations­

funktion m(x,y} oder als Eingangssigna/uzo(x,y} bezeichnen. Wir sprechen dann, z.B.

in einem optischen Beugungsversuch, von einer Aperturfunktion als Eingangssignal.

Naherungen des Beugungsintegrals

Bei der Faltung (5-66b) wird als Kern die exakte Punktantwort des Raums nach

(5-62c) benutzt:

s/U(x,y} = cosl'}L\ [1/(2ltAr2} + VrUr}] e-j~r. (5-67a)

Interessiert uns das Beugungsfeld nicht sehr nahe an der Apertur, sondern erst in

gewisser Entfernung oder nur fOr kleine Winkell'}L\' so sind Naherungen von sL\z{x,y}

erlaubt:

Die erste Naherung vernachlassigt den M - 2_pol. Dies ist fOr Az > 5A. zulassig:

sL\z{x,y} ~ j/(Ur} cosl'}L\ e-j~r . {5-67b}

Wenn uzo(x,y} auf einen Kreis vom Radius R1 ortsbegrenzt ist und uz{x,y} nur

innerhalb eines Kreises vom Radius R2 berechnet werden soli, so ist der

maximal auftretende Winkell'}L\max gegeben durch

tanl'}L\max = {R1+R2}/AZ .

FOr Az>6(R1+R2} ist l'}L\max< 10°; in {5-67b} kann also cosl'}L\ = 1 gesetzt werden:

s/U(x,y} ~ V(Ur} e-j~r = j2k S(M} . (5-67c)

In dieser haufig verwendeten Naherung hat die Punktantwort des Raums die

Form einer Kugelwel/e. Der Faktor j2k ist das Relikt der Differentiation nach z,

durch die die Dipolwelle aus der Kugelwelle s(r} hervorging.

In (5-67c) kann natUrlich M im Nenner auch durch Az ersetzt werden.

1st Az im Verhaltnis zu R1+R2 noch groBer, konnen wir M im Exponentsn von

(5-67c) in eine Reihe entwickeln. Es gilt namlich allgemein

(1 +a) 1/2 = 1 + a/2 - a2/8 + ... '" 1 + a/2 , {5-68a}

wobei der Fehler durch den Abbruch der Reihe ungefahr der Betrag des grOBten

vernachlassigten Glieds, also a2/8, ist. Angewandt auf

M = (x2+y2+~z2) 1/2 = ~z (1 + (x2+y2)/ ilz2) 1/2

erhalten wir

mit dem maximalen Fehler

201

(S-68b)

und damit eine weitere Naherung der Punktantwort des Raums (mit 2rriA. = k):

( ) ( ) . V(") -j~z -jlt(x2+y2)/(Uz) st.,z x,y ~ st.zF x,y.= /\.ilZ e e . (S-69a)

Erlauben wir einen maximalen Phasenfehler von ± So, so mul3 gelten

also

und damit fUr fJ.z

Die Naherung szF(x,y) aus (S-69a) ist als Fresnel-Naherung bekannt und der Bereich,

in dem sie gilt, als der Bereich der Fresnel-Beugung. Dabei sind in der Dipolwelie die

kugelformigen Flachen konstanter Phase durch Paraboloide ersetzt worden. Wir er­

kennen, dal3 st.zF(') einen zweidimensionalen Faltungskern mit quadratischer Phase

darstelit, wahrend der Phasenverlauf von st.z{.) fUr fJ.z > SA. hyperbolisch ist. Die Punkt­

antwort st.,zF(') andert sich mit ~z, bis auf die komplexe Konstante j/(A.~z) e-:-j~z, nur

im Mal3stab.

Das Faltungsintegral, das die Fresnel-Beugung beschreibt, lautet ausgeschrieben

uz(x,y) = uzo(x,y) ~ X st.,zF(x,y)

j -j~z +JooJ (' ') -jlt((x - x')2+(y - y')2)/(A.fJ.z) d 'd ' = ,'- e uzo x ,y e x y.

II.LlL -00 (S-69b)

Eine interessante Interpretation dieses Fresnel-Beugungsintegrals ergibt sich, wenn

der Exponent des Faltungskerns ausmultipliziert wird:

- jlt [(x - x')2+(y - y')2]/(Uz) = - jlt [(x2+y2) + (x'2+y'2) - 2(xx'+ yy')]/(Uz) .

Dann lal3t sich (S-69b) folgendermal3en schreiben:

+00 ut.,z(x,y) = Jz e-j~z e-j'Vt.z(x,y} JJ [uzo(x',y'} e-j'Vt.,z(x',y'}] ej2lt(xx'+yy'}/(Uz} dx'dy'

mit (S-69c)

(5-69d)

202

Wir erkennen das Integral unschwer als Fourier-Transformation, wenn wir - x/('J..l1z)

und - y/('J..b.z) als Ortsfrequenzen interpretieren. Somit laBt sich Fresnel-Beugung

folgendermaBen realisieren (Bild 5-30):

1. uzo(x,y) wird mit dem quadratischen Phasenfaktor e-j'l'£\z(x,y) multipliziert.

2. Von diesem Produkt wird die zweidimensionale Fourier-Transformierte berech­

net und die Frequenzkoordinaten gemaB fx ~ - x/('J..l1z) und fy ~ - y/('J..l1z) 'um­

geeicht'.

3. Das Ergebnis wird nochmals mit dem Phasenfaktor e-i'l'Az(x,y) und der Kon­

stanten j/('J..l1z) e-jkl1z multipliziert.

Dies ist eine interessante Eigenschaft aller Faltungskerne mit quadratischer Phase.

S6zF(X,y)

= j/('J..l1z) e-jkl1z e-i'l' AZ(X,y)

i/(AL\z) e-jkl1z

Bild 5-30: Zwei mogliche Interpretationen des Fresnel-Beugungsintegrals

Fraunhofersche Fernfeldlosung

Ein Grenzfall der Fresnel-Beugung ist die Fraunhofer-Beugung. Bei dieser wird der

oben aufgefOhrte erste Schritt vernachlassigt, d.h. im Integral aus (5-69c)

gesetzt. Diese Naherung ist gerechtfertigt, wenn gilt:

also

Beispiel III In einem optischen Experiment mit A - O.5j.1m und einer Aperturfunktion von der GroBe eines Kleinbild­dias (Bilddiagonale 2Rl = 40 mm) gilt diese Naherung z.B. erst im Bereich

6z » It(20mm)2/0.5 j.1m - 2.5 km .

203

Unter diesen Voraussetzungen wird das Integral in (S-S9c) zum Fourier-Integral. Die

Fraunhofer-Fernfeldnaherung lautet dann:

(S-70a)

mit

(S-70b)

Auf einer zur Aperturebene parallelen Ebene im Fernfeld tritt also (bis auf einen qua­

dratischen Phasenfaktor und eine Umnormierung und Invertierung der Koordinaten­

achsen) die zweidimensionale Fourier-Transformierte, bzw. (bei gleicher Orientierung

der Koordinaten von Apertur und Beugungsebene) die Fourier-ROcktransformierte

des Eingangssignals auf.

Beispiel IV Eine quadralische Apertur der SeitenlAnge 0.1 mm (Rl = O.07mm) werde von einer senkrechl einfallen­den ebenen Welle (A. = 0.5J,lm) beleuchlet. Es isl also

uzo(x,y) = reel (x/0.1 mm) reel (y/0.1 mm) und

Uzo(fx ,fy) = (0.1 mm)2 si(x 0.1 mm fx) si(x 0.1 mm fy) .

Die IntensiUit luz(x,y)l2 (diese isl physikalisch leichler erfaBbar als das Feld selbsl) des Beugungsfeldes soli im Abstand

L\z = 1m

berechnel werden. Hier gilt die Fraunhofer-FernfeldnAherung sicher, da

L\z = 1 m» xR12/A. a 31mm

ist. Nach (5-70a) erhalten wir

IUz(x,y)l2= 11/(0.5·10 - 6m2)·0.01mm2 si(-xx 0.1mrn/(0.5·10- 6m2)) si(- xy ... )12

= 4·10 - 4 si2(xx/5mm) si2(xy/5mm).

Sowohl in x- wie auch in y-Richlung Irelen also in diesem Beugungsbild aile 5mm Nullinien auf.

Das Ergebnis aus (S-70a) kann auch direkt aus der Fernfeldlosung (S-SOb) des

Que/lenproblems hergeleitet werden, da die Randwertaufgabe - und damit das

Beugungsproblem - ja durch Verwendung der Dipolquellenfunktion (S-S1 a) als

spezielles Quellenproblem behandelt werden kann (der einfacheren Schreibweise

wegen nehmen wir nun zo = 0 an):

q(r) = - 2 uo(x,y) ~'(z) .

Das Quellenspektrum ist dann (Differentiationssatz)

Q(fx,fy.fz) = - j4ltfz Uo(fx.fy)

bzw. in Kugelkoordinaten

(S-71a)

(S-71b)

204

Q(fpcp,e) = Q(fr sine coscp, fr sine sincp, fr cose)

= - j41tfr cose Uo(fr sine coscp, fr sine sincp) . (5-71 c)

Dieses Spektrum ist offensichtlich bis auf einen linearen Anstieg in fz-Richtung kon­

stant1. Setzen wir dieses in (5-60b) ein, erhalten wir mit fr = 1/').., sin(~-7t) = - sin~ und cos(~-7t) = - cos~ das Beugungsfernfeld in Kugelkoordinaten:

u.(R,cp,~) = j/(')..R) e-jkR cos~ UoH/').. sin~ coscp, -1/').. sin~ sincp). (5-71 d)

Dieses Ergebnis laBt sich noch etwas eleganter schreiben, wenn wir die bereits zur

Veranschaulichung des k-Vektors in Bild 5-17, unten, eingefOhrten Winkel n und J3

bzw. n' und /3' verwenden. Damit ergibt sich das Fernfeld (wir beschranken uns nun

nicht mehr auf eine konstante Entternung R, sondern setzen dafOr r):

mit

u.(r,cp,~) = j/(')..r) e-jkr cos~ UoH/').. cosn, -1/').. cosJ3)

= j/(')..r) e-jkr cos~ UoH/').. sinn', -1/').. sin/3')

sin~ coscp = cosn = sinn' = xlr und

sin~ sincp = cosJ3 = sinJ3' = y/r .

(5-71e)

(5-71f)

Das schon erwahnte Winkelspektrum hat also im Fernfeld eine physikalische Entspre­

chung. Am Ort (r,cp,~) eines 'Empfangers' kann namlich gerade die Spektralkompo­

nente der Frequenz fx,y gemessen werden, die auch das Feld einer ebenen Welle in

der x,y-Ebene aufweist, deren k-Vektor gerade vom Ursprung zum 'Empfanger' zeigt.

In Bild 5-31 ist dies veranschaulicht.

x,y (r,cp ,~) ...• ....•..•........

fx,y

///--_ .. I

~~~~~~---------- z (

Bild 5-31: Veranschaulichung der Fernfeldlosung (5·71 e)

1 Vgl. auch Bild 5-24 zu Beispiel 1/.

205

Die Gleichungen (5-71d,e) gelten fOr beliebig groBe Winkel (innerhalb des rechten

Halbraums). Die Schreibweise in Kugelkoordinaten bietet sich vor allem dann an,

wenn das Feld ohnehin auf einer (Halb-)Kugelschale berechnet werden soli (also r =

R = const). 1m Gegensatz dazu gibt (5-70a) das Feld auf einer Ebene (z = const) und

Oberdies nur fOr kleine Winkel '6<\ (bzw. '6) an. Wegen letzterem ist die Naherung

(5-71d,e) auch genauet[5.23, 5.24]. Sie laBt sich leicht in (5-70a) OberfOhren, wenn

sina' = xlr ... tana' = xlz, sinW = y/r ... tanW = ylz und cos'6 = zlr ... 1

gesetzt, sowie e-jkr entsprechend (5-68b) entwickelt wird:

e-jkr ... e-jkz e-i'l'z(x,y) .

Wie schon erwahnt, entspricht also das Fernfeld auf einer Ebene nur fOr kleine Winkel

- und damit fOr niedrige Ortsfrequenzen - dem Spektrum des Eingangssignals; die

Zuordnung zwischen Orts- und Frequenzkoordinaten ist namlich nicht streng linear,

sondern folgt der Funktion

x,y = z tan[arcsin(- A.fx,yH . (5-72)

Hohe Frequenzen kommen also in der Ebene z = const weiter auBen zu liegen, als es

(5-70a) vermuten laBt. Speziell fOr Ix,yl -+ 00 geht Ifx,yl -+ 1/A..

Nachrichtentechnische Analogien

In Bild 5-29 hatten wir bereits ein systemtheoretisches 'Ersatzschaltbild' eines Beu­

gungsexperiments angegeben; der EinfluB der Apertur m(x,y) wurde dabei als mUlti­

plikativapproximiert. Diese Besehreibungsmethode laBt sich auch auf komplexere

optische Systeme ausweiten, wobei zweckmaBigerweise einige weitergehende Na­

herungen gemacht werden. Der im folgenden zu diskutierende Formalismus wird

haufig als Fourier-Optik bezeichnet, da hierOber die Fourier-Rechnung und die Me­

thoden der linearen Systemtheorie Zugang zur Optik gefunden haben [5.25-5.27].

Wir betraehten nun optische Anordnungen wie die aus Bild 5-32, oben. Aperturen

oder 'dOnne' optische Elemente (Linsen, Prismen ... ) seien auf zueinander paral/elen

Ebenen z = const angebraeht. Das - zweidimensionale - Feld auf soleh einer Ebena

nannen wir optisches Signal [5.28]. Weiterhin nehmen wir an, daB die Ausbreitungs­

richtungen 1 des Feldes nicht stark von der z-Riehtung abweichen, also nur paraxiale

Wellen zugelassen sind. In diesem Fall genOgt die Fresnel-Naherung2, die wir in

1 Diese seien durch die k-Vektoren der ebenen Wellen, in die das Feld zerlegt werden kann, gegeben. 2 Die Beschrankung auf die Fresnel-Naherung in diesem Abschnitt ist kein notwendiges Attribut der Fourier-Optik, vielmehr die operationelle Beschreibung von Beugung und Wellenausbreitung wie in (5-66b). Diese Methoden sind natOrlich auch - und besonders wegen ihrer skalaren Natur - auf Schall­wellen anwendbar (siehe. z.B. [5.29)). Wegen der GOItigkeit von Fourier-Optik unter BerOcksichtigung des vektoriellen Charakters elektromagnetischer Wellen siehe z.B. [5.30).

206

diesem Zusammenhang ausschliel3lich benutzen werden.

In Tabelle 5-1 sind vier haufig vorkommende optische Signale (fOr z = 0 und normiert

auf luo(O,O)1 = 1) und ihre Spektren aufgelistet, zusammen mit den Wellenformen,

durch die sie erzeugt werden, sowie jeweils einem nachrichtentechnischen Analogon

[5.31-5.33]; die zugehorigen Skizzen finden sich in Bild 5-33. Die Kuge/wel/e ist dabei als Fresnel-Naherung aufgefOhrt:

1/(47tr) e-jkr ~ 1/(47tz) e-jkz e-i'Vz(x,y) (5-73) mit

Z1 z2 z3 ~ tlZ ----t----- tlZ2 -----..,~ I m1 (x,y) 1 m2(x,y) m3 (x,y)

I ··················1···························· .... ····· ............................................................................................................................................... - z

/1'\., / '>-~ ~ ~ ~

I + I + ............ N N

fl""'(X'Y)~ ; m1(x,y)

Bild 5-32: Optisches System (oben) und dessen systemtheoretische Beschreibung (unten)

Tabelle 5-1: Einige spezielle optische Signale (fur z = 0), normiert auf luo(O,Oll = 1; Skizzen s. Bild 5·33

Wellentyp uO(x,y) O=e UO(fx.fy) Analogie

a achsparalle/e ebene Welle 1 o(Vy) Konstante

b ebene Welle e-j27t(xfxo+yfyO) o(fx+fxO' fy+fyo) komp/exe harmonische

m~ fxo,yo = 1/').. cosa,~ Schwingung

-j7t(x2+y2)/(Ad) _ jAd ej7tAd(fx 2+fy 2) C divergente Kuge/welle e Chirp

d konvergente Kuge/welle e j7t(x2+y2)/(Ad) jAd e -j7tAd(fx 2+fy 2)

Chirp

x,y

k ---.. -t-H-t-H-t-- z

a b

207

x,y x,y

-e-H-Hi-+lH-- z -+-fH--+-lf-+-.... - z

c d

Bild 5-33: Skizzen der Wellen, die die optischen Signale aus Tabelle 5-1 erzeugen

Betrachten wir nun die einzelnen 'Bauteile' eines optischen Systems nach Bild 5-32,

namlich optische Elemente wie Aperturen, Diapositive, Linsen, Prismen und 'StOcke'

homogenen Raums der Lange ~zl' ~z2"'" Letztere treten in der systemtheoretischen

Beschreibung (Bild 5-32, unten) als lineare verschiebeinvariante Systeme in· Erschei­

nung. Deren Punktantwort ist die Punktantwort des Raums - hier in der Fresnel­Naherung nach (5-69a):

( ) '/(") -j~ -j1t(x2+y2)/(Uz) S6zF x,y = J IV.J.Z e e

= V(Uz) e-j~z e-j'l' 6.z(x,y) . (5-74a)

Die zugehorige Obertragungsfunktion S6.zF(fx,fy) konnten wir mit Hilfe der Korrespon­

denz (3-81 a) ermitteln. Wir erhalten sie aber auch als Naherung des exakten Ober­

tragungsfaktors des Raums S6Z(fx.fy) aus (5-63b), wenn wir

(5-74b)

annehmen. Dann kann die Wurzel im Exponenten von S6Z(') in gleicher Weise ent­

wickelt werden wie Min (5-68b):

[1/).,2 - (f/+f/)]1/2 '" 1/)" - )"(f/+f/)/2 .

Damit ist

-j~z j1t~z)"(f/+f/) S 6.zF(fx,fy) = e e

= e-j~z ei'l'6.z(Uzfx,Uzfy) . (5-74c)

Nun untersuchen wir die Wirkung der optischen Elemente in der Anordnung nach Bild

5-32, oben. Wir behandeln diese Elemente als Modulatoren (Bild 5-32, unten). Bei

einer Apertur ist dabei die Modulationsfunktion m(.) lediglich zweiwertig, wahrend ein

Diapositiv seinem ortlichen (Amplituden-)Transparenzverlauf entsprechend durch

208

eine reelle Funktion yom Wertebereich 0 ~ m(.) ~ 1 beschrieben wird. Ein nachrich­

tentechnisches Analogon dafOr ist ein Amplitudenmodulator.

1m Gegensatz dazu stellen Elemente aus Glas Phasenmodulatoren (mit 0 ~ Im(.)1 ~ 1)

dar. In Glas ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c kleiner als die im umgeben­

den Medium co' d.h. der Brechungsindex ist n = crlc > no = 1 (Bild 5-34). Soleh ein

Element verzogert die einfallende Welle entsprechend seinem Dickenverlauf g(x,y).

Das Element sei bei z = 0 positioniert (Bild 5-34). Das durch die einfallende Welle

erzeugte optische (Eingangs-)Signal (bezogen auf z = 0) bezeichnen wir mit uO--(x,y)

und setzen es mit dem Zeitfaktor an:

uO--(x,y) ej21tvt = uojx,y) ejkct . (5-75a)

Zum Passieren des optischen Elements benotigt die Welle an jedem Crt (x,y) die Zeit

g(x,y)/c, wird also um (1/co - 1/c) g(x,y) gegenOber dem Fall verzogert, daB kein

Element vorhanden ware. Dann ist das Ausgangssignal uo+(x,y) des Modulators

uo+(x,y) ej21tvt '" uo-Jx,y) ejkc(t - (1/co -1/c)g(x,y))

= uO--(x,y) e-jk(n - 1 )g(x,y) ejkct . (5-75b)

Nach KOrzung des Zeitfaktors erhalt man schlieBlich die Modulationsfunktion des opti­

schen Phasenmodulators nach Bild 5-34 ('n' sei hier der Brechungsindex und nicht

die Zahl der Dimensionen):

m(x,y) = e-jk(n - 1 )g(x,y) . (5-75c) I Diese Herleitung gilt nur, solange die einfallende Welle vor und wahrend des Durch­

gangs durch das Element paraxial ist, sonst werden die effektiven Weglangen erheb­

Iich gro Ber als g(x,y) 1.

x,y g(x,y)

............. -----Hif----- Z -==

no= 1 Brechungsindex: n > no

~~ e-jk(n -1)g(x,y)

Bild 5-34: Realisierung eines optischen Phasenmodulators fOr paraxiale Wellen

1 Diese Forderung muB Obrigens auch erfiillt sein, damit Diapositive als Modulatoren behandelbar sind; deren Transparenz Mngt natOrlich auch vom Winkel ab, unter dem die Welle eintritt. Lediglich bei Apertu­ren entfallt diese AbMngigkeit, da hier m(.) nur die Werte 0 und 1 annimmt.

209

In Tabelle 5-2 und Bild 5-35 sind sowohl Amplituden- wie auch Phasenmodulatoren

aufgefOhrt, jeweils mit der entsprechenden Modulationsfunktion m(x,Y), deren Fourier­

Transformierten M(fx,fy) und je einem nachrichtentechnischen Analogon [5.31-5.33].

Interessant ist dabei, daB optische Elemente, die Gblicherweise durch den Effekt der

Brechung beschrieben werden, auch durch diesen Formalismus behandelt werden

kennen, solange sie 'dOnn' sind. So multipliziert eine Sammellinse eine einfallende

ebene Welle mit einem quadratischen Phasenfaktor und wandelt sie somit in eine

konvergente Welle, usw. Um diesbezOglich Konsistenz zur Fresnel-Naherung zu

wahren, wird in Tabelle 5-2 der Dickenverlauf von Linsen parabolisch und nicht

kugelfermig angenommen.

Tabelle 5-2: Einige elementare Amplituden- und Phasenmodulatoren; Skizzen s. Bild 5-35

Bezeichnung m(x,y) 0==- M(fx,fy) Analogie

a Beugungsgitter 1/2 o(fx.fy) harmonischer 1/2 [1+cos( 21t(xfxo+yfyo))] + 1 /4 o{fx+fxO' fy+fyO) Ampfituden-

+ 1/4 o{fx - fxO ' fy - fyo) Modulator

b Prisma e-j21t{xfxo+yfyo) o{fx+ fxO ' fy+ fyo) komplexer Frequenzumsetzer

mit ixO,yO = 1/1.. cosa,~

C Zerstreuungslinse -j1t(x2+y2)/{Ad) _ jAd e j1tAd{fx 2+fy 2) Modulation (Brennweite: - d) e mit Chirp

d Sammellinse j1t{x2+y2)/{Ad) jAd e -j1tAd{fx 2+fy 2) Modulatiun (Brennweite: d) e mit Chirp

X,y X,y X,y

;-H-+HtH-z i-T-'\-\-- z -'''':"-1:: f-+-I-H z ! ! ....

ld1f-······· a b c d

Bild 5-35: Skizzen zu Tabelle 5-2

210

Beim Vergleich der Tabellen 5-1 und 5-2 sowie den Gleichungen (5-74a,c) fa lit

folgendes auf: Sowohl bei der konvergenten und divergenten Welle, wie bei Sammel­

und Zerstreuungslinse, aber auch beim Obertragungsfaktor und der Punktantwort des

Raums treten immer Funktionen desselben Typs, namlich quadratische Phasenterme,

auf. Deren Spektren sind dabei wegen der Korrespondenz (3-81 a) ebenfalls von

diesem Typ. Das Beispiel aus Bild 5-35d verdeutlicht, warum dies so sein muB:

Eine ebene Welle uojx,y) = 1 beleuchte eine Sammellinse (Phasenmodulator). Das optische Signal

uo+(x,y) = ej'l'd(x,y)

nach der Linse ist also das einer konvergenten Welle, was auch physikalisch plausi­

bel ist. Das Signal ud(x,y) im Abstand z = d ergibt sich dann zu

ud(x,y) = uo+(x,y) ** sdF(x,y)

oder im Spektralbereich

Ud(fx,fy) = Uo+(fx.fy) SdF(fx.fy)

= jAd e-j'l'd(Adfx) .. dfy) e-jkd ej'l'd(Adfx,Adfy)

= jAd e-jkd

und damit

ud(x,y) = jAd e-jkd B(x,y) .

Das gleiche Ergebnis erwarten wir auch aufgrund geometrisch-optischer Oberlegun­

gen: Die Linse erzeugt in der Ausgangsebene einen Fokus, also (naherungsweise)

einen &-Punkt. An diesem Beispiel faUt auf, daB, obwohl der Modulationsfaktor der

Linse wie auch die verwendete Obertragungsfunktion Naherungen sind, im Ergebnis

doch die (ideal e) &-Funktion erscheint und nicht eine Approximation dieser. Die in

den Tabellen 5-1, 5-2 und den Gleichungen (5-74a,c) angegebenen Funktionen

formen also einen in sich konsistenten Formalismus, dessen physika/ische Relevanz

jedoch auf den GOltigkeitsbereich der Fresnel-Naherung beschrankt ist. Offensichtlich

'kompensieren' namlich die angewandten Naherungen einander. Aus diesem Grund

hatten wir z.B. auch parabolisch statt spharisch gekrOmmte Linsen angenommen.

Anmerkung Auf dem oben besprochenen Prinzip beruht auch die Pulskompression in der Radartechnik. Stall eines kurzen HF-Impulses, der eigentlich natig ware, um eine hohe Entfernungsauflasung zu erreichen, wird dem Sendesignal ein quadratischer Phasenverlauf aufmoduliert, also ein Chirp-Signal ausgesandt. Dies entspricht der Linse in Bild 5-35d. Das empfangene Echo durchlauft im Empfanger ein Fiker mit einer ebenfalls Chirp-farmigen Impulsantwort, das sog. Impulskompressionsfilter. Am Ausgang dessen entsteht dann aus jedem empfangenen Chirp-Signal (naherungsweise) ein 5-lmpuls. 1m Vergleich dazu wirkt also in der Anordnung aus Bild 5-35d der Raum hinter der Linse als Impulskompressionsfilterfiir das Signal uo+(x,y).

211

Kohllrent-optische Fourier-Transformation

Eine fOr die optische Informationsverarbeitung wichtige Konfiguration zeigt Bild 5-36,

oben: Ein Diapositiv wird von siner ebenen achsparallelen Welle der Amplitude eins

beleuchtet. Das Feld hinter dem Diapositiv bezeichnen wir als Eingangssigna/ uo(x,y);

es ist gleich der Amplitudentransparenz des Dias. Die nachfolgende Anordnung

nennen wir eine 'Linse-Raum-Linse'-Konfiguration. Die Linsen seien beliebig nahe

an der Eingangs- bzw. Ausgangsebene. Ihr Abstand d sei gleich ihrer Brennweite. Wir

bestimmen nun mit Hilfe des in Bild 5-36, unten, angegebenen nachrichtentechni­

schen Analogons das Ausgangssigna/ ud(x,y) bei z = d. Dazu berechnen wir nach­

einander folgende optischen Signale:

1. EinfluB der (ersten) Linse bei z = 0:

uo+(x,y) = uo(x,y) ei'l'd(x,y) . (5-76a)

2. EinfluB des Raums der Lange d:

uct-(x,y) = uo+(x,y) ** sdF(x,y) . (5-76b)

3. EinfluB der (zweiten) Linse bei z = d:

ud(x,y) = ud-(x,y) ei'l'd(x,y) . (5-76c)

1 x Y Uo Uo.r ud- u d

e~kz.1 '#I~:~/-----------';~~z Diapositiv: m(x,y) ~ 0 z = d

Eingangsebene Ausgangs-(Fourier-)Ebene

SdF!"Y) I "d-)of "d

ei'l'd(X'Y)

Bild 5-36: Koharent-optischer Fourier-Translormator

Wir wissen aber aus Bild 5-30, daB der 2. Schritt, die Faltung mit sdF(x,y). auch als

ucj.Jx,y) = V(Ad) e-ikd e-i'l'd(x,y) FxFy{uo+(x,y) e-i'l'd(x,y)} I Ix ~-x/(Ad) (5-76d) Iy ~-y/(Ad)

geschrieben werden kann. Setzen wir uo+(') aus (5-76a) in diese Gleichung ein, so

212

erhalten wir als Feld vorder zweiten Linse zu

ud-(X,y) = j/(Ad) e-jkd e-j'l'd(x,y) Uo(- x/(Ad) , - Y/(Ad)) . (5-77a)

Dieses ist (fOr z = d) identisch mit (5-70a), der Fraunhofer-Fernfeldlosung, obwohl wir

hier lediglich die (weniger restriktive) Fresnel-Naherung angewandt haben. Die Linse

bei z '" 0 garantiert offensichtlich die GOltigkeit der Fraunhofer-Naherung. Bei z = d_

liegt dam it - bis auf einen quadratischen Phasenfaktor - die zweidimensionale

Fourier-Transformierte des Eingangssignals vor, wenn wir die Koordinaten x und y

durch - Adfx und - Adfy ersetzen. Die Aufgabe der zweiten Linse ist nun, den in

(5-77a) noch enthaltenen Faktor e-j'l'd(') zu kompensieren (3. Schritt). Das Aus­

gangssignal ud(x,y) ist schlieBlich

Ud(X,y) = j/(Ad) e-jkd Uo(- x/(Ad) , - Y/(Ad)) . (5-77b)

Wir nennen daher die Apparatur aus Bild 5-36, oben, einen (phasenrichtigen)

koharent-optischen Fourier-Transformator1•

In Bild 5-37a ist die besprochene Anordnung nochmals skizziert. 1m Aufbau von Bild

5-37b dagegen wurde die zweite Linse weggelassen. Dann ist das Ausgangssignal

das in (5-77a) mit udjx,y) bezeichnete Fraunhofer-Fernfeld, also eine mit einem

quadratischen Phasenfaktor behaftete Fourier-Transformierte. Interessiert lediglich

die - physikalisch direkt meBbare - Leistung IUd(.)12, und dam it das Leistungsspek­

trum IUo(.)12 von uo(.), so ist diese Anordnung gleichwertig zur phasenkorrigierten aus Bild 5-37a.

Die Phasenkorrektur konnen wir statt durch die zweite Linse (vor der Fourier-Ebene)

auch dadurch erreichen, daB wir die Eingangsebene nach z = - d verlegen (Bild

5-37c). Wir 'schalten' also der Konfiguration aus Bild 5-37b ein 'StOck Raum' der

Lange d vor. Damit wird das Eingangssignal u_d(') mit sdF(') gefaltet, bevor das

Fraunhofer-Fernfeld 'errechnet' wird:

uo(X,y) = u-d(x,y) * * sdF(x,y) bzw.

Uo(Vy) = U-d(Vy) SdF(fx.fy) .

In (5-77a) mOssen wir also Uo(- x/(Ad) , - Y/(Ad)) durch

U_d(- x/(Ad), - Y/{Ad)) SdF(- x/{Ad) , - y/{Ad))

= U-d(- x/(Ad), - y/(Ad)) e-jkd ej'l'd(x,y)

ersetzen und erhalten schlieBlich das Ausgangssignal der Anordnung aus Bild 5-37c:

1 Wahlen wir die Frequenzachsen gleichorientiert zu den x,y-Koordinaten der Ausgangsebe, die wir im folgenden Fourier-Ebene nennen werden, so liefert die besprochene Konfiguration die Fourier-Ruck­transformation.

213

Ud(X,y) = j/(Ad) e-j2kd U-<I(- x/(Ad), - y/(Ad)) . (5-77c)

Damit ist die 'Raum-Linse-Raum'-Anordnung ebenfalls ein Fourier-Transformator. Der

Unterschied zur 'Linse-Raum-Linse'-Konfiguration ist die (hier doppelte) Baulange.

Dieser tragt der Faktor e-j2kd in (5-77c) statt e-jkd in (5-77b) Rechnung.

~-~" Fourier-

~ IRaum l ~ Transformation

J I I J (phasenrichtig)

z=o z=d Lmse Lmse a

"~--" _JO\ I Raum I Fraunhofersches

T L' J Fernfeld

z=o z=d Linse b

--""~---- .. Fourier-

Rauml ~

:Raum Transformation

T (phasenrichtig)

z=-d z=o z=d Linse C

Bild 5-37: Obergang von 'Linse-Raum·Linse'-Anordnung zu 'Raum-Linse-Raum'-Konfiguration

Die Fahigkeit der besprochenen koharent-optischen 'Rechner', die Fourier-Transfor­

mation auszufOhren, laBt sich auch geometrisch-optisch plausibel machen [5.23].

Dazu betrachten wir die 'Raum-Linse-Raum'-Anordnung in Bild 5-38.

X,y

Bild 5-38: Geometrisch-optische Varanschaulichung eines Fourier-Transformators

214

Eine einzelne Fourier-Komponente UO(fxO,fyO) ej2lt(xfxO+yfyO) aus UO(x,y) ist durch

eine ebene Welle reprasentiert, mit der Amplitude Uo(fxO,fyo) und den Richtungskosi­

nussen (vgl. Bild 5-17)

coso. = sino.' = - Afxo und cos~ = sinW = - AfyO (5-78a) mit

eJ.' =xl2-eJ. und

Nach dem in Bild 5-38 eingezeichneten Strahlengang fokussiert die Linse diese

ebene Welle (naherungsweise) zu einem B-Punkt an der Stelle (xo,yo) in der 'Fourier­

Ebene'. Die Koordinaten dieses Punktes sind offensichtlich

(Xo )=d (tana' )= d (sina'/(1 - sin2a')1/2 ).

lyo tanW sinW/(1 - sin2W)1/2 (5-78b)

Da die vorangegangene Herleitung auf der Fresnel-Naherung beruht und damit die

Winkel eJ.' und W im Bereich von ca. ± 10° Iiegen mOssen, gilt

sin2a' « 1 und sin2W « 1 ,

also

co) (Sino.' ) (fxo) ",-d =-Ad . o sinW fyo

(5-78c)

Gerade dies erwarten wir von einem Fourier-Transformator, da ja ein Ii nearer Pha­

senterm ej2lt(xfxo+yfyo) den Punkt B(fx - fxo ' fy - fyo) als Spektrum hat. Umgekehrt ist

das Spektrum eines B-Punktes ein Iinearer Phasenterm, was man wegen der Sym­

metrie der Anordnung aus Bild 5-38 ebenfalls sofort nachvollziehen kann.

Die durch die obige Naherung von tan(a',W) durch sin(a',W) unterschlagene geome­

trische Verzerrung des Spektrums in der Fourier-Ebene ist in Bild 5-39 aufgetragen.

tant}/sint}

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

1.0 ................................................................................................................................ .

.;::::; o I

f1' 200 I

30" 40°

I t} 5f1'

Bild 5-39: Geomelrische Verzerrung des Speklrums bei koharenl-optischer Fourier-Transformation

Es ist dabei t} der Winkel zur z-Achse mit (vgl. Bild 5-17)

sint} = (sin2u'+ sin2W) 1/2

215

Hohe Spektralanteile liegen also in der Fourier-Ebene etwas weiter auBen, als eine

lineare Skalierung erwarten lie Be. Es handelt sich urn dieselbe Zuordnung zwischen

Orts- und Frequenzkoordinaten wie bei der Fraunhofer-Naherung (vgl. (5-72)).

Koharente Abbildung, Ortsfrequenzfilterung

'Schaltet' man zwei koharent-optische Fourier-Transformatoren hintereinander, erhalt

man wegen (Vertauschungssatz)

eine 'auf dem Kopf stehende' (aber phasenrichtige) Abbi/dung des Eingangssignals.

In Bild 5-40 ist solch ein System bestehend aus zwei 'Linse-Raum-Linse-Anord­

nungen' skizziert. Dessen Ausgangssignal ist mit (5-77b)

ud{x,y) = j/{Ad) e-jkd Uo(- x/{Ad), - Y/{Ad))

= j/{Ad) e-jkd U/{Ad) e-jkd (Ad)2 u-d{- x, - y)]

= - e-j2kd u-d{- x, - y) . (5-79a)

In der Ebene z = 0 liegt bei solch einem Abbildungssystem die Fourier-Transformierte

des Eingangssignals vor und kann dort durch das EinfUhren eines Diapositivs der

Amplitudentransparenzfunktion mo{x,y) manipuliert werden [5.25-5.27,5.34-5.37). urn

beispielsweise Bildsignale einer Ortsfrequenzfilterung zu unterziehen. Zur Realisie­

rung einer vorgegebenen Ubertragungsfunktion S{fx.fy) mu B dabei

mo{x,y) = S(- x/{Ad) , - y/{Ad)) (5-79b)

sein, also ein geeignet skaliertes Abbild des gewunschten Ubertragungsfaktors.

!~ U -<l -U -<l "( -U -<l S

~I+-~------------~~!~------------~~~ Z

'"0 ("y»)= 0 z=-d Eingangsebene Fourier-Ebene

z=d Ausgangsebene

Bild 5-40: Koharent-optisches Abbildungssystem mit der Moglichkeit der Ortsfrequenzfilterung

216

Auf diese Weise sind nur reelle niehtnegativwertige Filter realisierbar; komplexe

Obertragungsfunktionen werden dureh h%graphische Filter implementiert [5.25-

5.27,5.35-5.37].

Befindet sieh in der Fourier-Ebene kein Filter, so wirkt der endliehe Linsendurehmes­

ser Dais Tiefpa8 der mathematisehen Bandbreite B = D/(Ad). Die Verarbeitungskapa­

zitat soleh eines koharent-optischen Prozessors (oder aueh eines koharenten Abbil­

dungssystems) ist also dureh die GroBe der Linsen begrenzt. Das grOBtmogliehe

Eingangsbild hat den Durehmesser D und damit die Flaehe

7tI4 D2. (5-80a)

In der Fourier-Ebene dagegen bestimmt die LinsengroBe die maximal Obertragbare

Bandbreite. Die maximal nutzbare spektra/e Flaehe ist

(5-80b)

und dam it das maximale (zweidimensionale) Orts-Bandbreite-Produkt, das dureh

soleh einen Prozessor Obertragen werden kann:

(5-80e)

Beispiel V Bei einer Wellen lange A. = 0.511m, einem Linsendurchmesser D = Scm und einer Brennweite d = 1 mist

Ad = 0.5mm2 ,

d.h. 1 mm in der Fourier-Ebene entspricht einer Ortslrequenz von 2mm -1. Die hOchste iibertragbare Ortslrequenz ist also 50mm -1 und damit die mathematische Bandbreite

B=100mm-1.

Yom Eingangssignal konnen somit (eiooimensional entlang eines Durchmessers betrachtet)

Punkte iibertragen werden; das zwe.oimensionale Orts-Bandbreite-Produkt ist dann

N2 = x2/16 N12 ~ 15'106 .

Streuung harmonischer Wellen

Wir hatten bisher Wellen angenommen, die sieh in einem - bis auf Quellen - homo­

genen Medium ausbreiten. Urn aueh Beugung behandeln zu konnen, muBten wir be­

reits /nhomogenitaten in Form dOnner Transparenzobjekte zulassen. Das Beugungs­

problem haben wir dann auf das Randwertproblem zurOekgefOhrt. Bei 'dicken' Streu­

korpern, also deutlich dreidimensional ausgepragten Inhomogenitaten, versagt je­

doeh diese Methode. 1m folgenden werden wir uns daher mit dem allgemeineren

217

Streuproblem befassen und fOr einen Spezialfall Naherungslesungen erarbeiten.

Wir betrachten nach Bild 5-41 ein - raumlich begrenztes- Objekt, das sich vom

umgebenden homogenen Medium durch eine ortsabhangige WeJlenausbreitungs­

geschwindigkeit c(r) unterscheidet:

{ beliebig

c(r) = Co

innerhalb des Objekts

auBerhalb. (5-81 a)

Das Gesamtfeld u(r) kennen wir aufspalten in die einfallende Welle ui(r) und das eigentliche Streufelcf1 us(r):

(5-82)

Dabei ist ui(r) das Feld, das sich ohne Streuobjekt einstellen wOrde.

Zur Lesung des Streuproblems greifen wir auf die Helmholtz-Gleichung (5-49a)

zurOck und setzen darin die bisher als konstant angenommene Wellenzahl

k = 21tv/c

als ortsabhangig an:

k(r) = 21tV/c(r) = kon(r) mit

und dem Brechungsindex

n(r) := colc(r) .

Bild 5-41: Slreuung an Mlicher Inhomogenilal des Ausbreitungsmediums

(5-61 b)

(5-81 c)

(5-81d)

1 Die Annahme eines additiven Streuterms nach (5-82) fiihrt auf die im folgenden herzuleitende Born­sche Naherungslosung. Die sog. Rytovsche Naherung dagegen geht von einem multiplikativen EinfluB der Streuung aus, also

u(r) = uj(r) us,Rytov(r) ,

und liefert bei vielen Problemslellungen eine genauere Losung (5.38-5.42). Wegen der leichteren Einbindung in die Systematik dieses Buches werden wir jedoch ausschlieBlich die Definition des Streu­feldes nach (5-82) verwenden.

218

Durch die Aufspaltung des Gesamtfeldes in einfallende Welle und Streufeld nach

(5-82) nimmt die Helmholtz-Gleichung folgende Form an:

(5-83a)

Der Quellenterm q(r) beinhaltet dabei die Quellen, welche die einfallende Welle ui(r) erzeugen 1. FOr ui(r) gilt also

f.ui(r) + ko2ui(r) = - q(r) , (5-83b)

da dies das Feld bei homogenem Medium, also ohne Streuk6rper ware. Setzen wir

nun (5-83a) und (5-83b) gleich, so erhalten wir nach Wegfall einiger Terme

(5-83c)

oder Obersichtlicher2

(5-83d)

mit der Objektfunktion

(5-83e)

Diese Gleichung sieht wie die ursprOngliche Helmholtz-Gleichung (5-49a) fOr ein

homogenes Ausbreitungsmedium aus. Die rechte Seite von (5-83d) Obernimmt dabei

die Rolle eines Quellenterms. Somit k6nnen wir sofort eine - formale - Losung des

Streuproblems angeben:

(5-84a)

wobei s(r) die Punktantwort des Quellenproblems, also die Kugelwelle, aus (5-54a)

und Bild 5-19 ist. Gleichung (5-84a) besagt folgendes:

Jedes differentielle Volumenelement des Objekts o(r) kann als Punktquelle betrachtet

werden, deren 'Sende'-Amplitude und -Phase gleich dem Produkt der Objektfunktion

und dem Gesamtfeld am jeweiligen Ort ist.

Es sieht also so aus, als hatten wir das Streuproblem auf das Quellenproblem

zurOckgefOhrt. Dies ist jedoch nur eine 'Schein'-L6sung, da das Gesamtfeld das

(unbekannte) Streufeld enthalt. Damit ist us(r) durch (5-84a) nur implizit gegeben.

1 151 ui(r) eine ebene Welle oder aus solchen zusammengeselzl, so isl q(r) .. O. 2 Die Gleichung (5-83d) beschreibl in dieser Form eine Vielzahl von Slreuproblemen, die sich (auBer in der Art der FeldgrOBe) nur noch in der pysikalischen Bedeulung der Objektfunktion unlerscheiden. 151 z.B. o(r) ein Polentialleld und u(r) die Wahrscheinlichkeilsamplilude eines Quanlums, so slelll (5-83d) bis aul eine Konslanle die Schrodinger·Gleichung dar. Eine in diesem Sinne vereinheitlichte Darstellung des skalaren Streuproblems lindet sich in [5.43).

219

AuBerdem tauscht diese Gleichung auf den ersten Blick einen linearen Zusammen­

hang zwischen Objekt und Streufeld vor. In Abschnitt 5.1 hatten wir jedoch schon

plausibel gezeigt, daB das Streuproblem nichtlinear (und ortsvariant) ist, falls o(r) als

Eingangssignal und ui(r) als Systemparameter betrachtet werden. 1m folgenden leiten

wir eine explizite Naherungslesung des Streuproblems her.

Anmerkung Zur Herleitung von (5-83d) und (5-84a) haben wir eine ortsabhangige Wellenausbreitungsgeschwindig­keit c(r) in die Helmholtz-Gleichung eingesetzt Dabei wurde nicht beriicksichtigt 1. ob die Helmholtz-Gleichung dann iiberhaupt noch gilt und 2. daB in c(r) eigentlich zweiMaterialeigenschaften enthalten sind. Die Schallgeschwindigkeit ist namlich (s. Abschnitt 5.1,Beispie/ /I)

c = (Kp) -1/2 (I(: Kompressibilitat, p: Dichte)

und die Lichtgeschwindigkeit (s. Abschnitt 5.1,Beispie/lII)

c = (Ell) -1/2 (E: Dielektrizitat, 11: Permeabilitat) .

Es konnen also I( undloder p bzw. E undloder 11 ortsabhangig und damit das Streuverhalten - trotz evtl. gleichen Verlaufs von c(r) - unterschiedlich sein. Man kann jedoch zeigen, daB das Ergebnis aus (5-83d) speziell fur Schallwellen korrekt ist, wenn nur die Kompressibilitat zur Ortsabhangigkeit von c(r) beitrag!, und

p = const

is!. Fur elektromagnetische Wellen kann das obige Ergebnis - schon wegen deren vek!orieller Natur­nicht direkt ubernommen werden.

Bornsche Naherungen

Wir kennen (5-84a) linearisieren, indem wir fUrs erste annehmen, daB das Streufeld

wesentlich schwacher als die einfallende Welle ist, zumindest in dem Gebiet, in

welchem das Objekt existiert:

fUr aile r mit o(r) * 0 . (5-85)

Unter dieser Voraussetzung eines 'schwachen' Streuobjekts kennen wir us(r) auf der

rechten Seite von (5-84a) vernachlassigen. Dann erhalten wir die sog. erste Born­

sche Naherung [5.13, 5.38, 5.40-5.45] des Streufeldes:

(5-86a)

Wir haben also das Objekt durch eine Quellenverteilung ersetzt, welche nur durch die

einfallende Welle zur Emission angeregt wird. Dies ist in Bild 5-42 anhand eines

Volumenelements skizziert. Darunter ist (links) das nachrichtentechnische Analogon

angegeben. 1m folgenden werden wir die Operation 'Multiplikation und anschlie­

Bende Faltung mit s(r)' (rechte Seite von (5-86a)) haufig verwenden. Wir fOhren daher

zweckmaBigerweise den linearen Operator

220

:Bo{u(r)} := [o(r) u(r)] * s(r) (5-86b)

ein 1. Damit werden die Bestimmungsgleichung fUr us(.) (5-84a) und die erste Born­

sche Naherung (5-86a) zu (Bild 5-42, unten rechts)

(5-84b)

und

(5-86c)

Es gilt bei Verwendung dieser verkOrzten Schreibweise zu beachten, daB nun -

entgegen unserer ursprOnglichen Intention - das Objekt als System parameter und

die einfallende Welle als Eingangssignal betrachtet werden.

o(r) ~s(r) ~ ",,1(r)

u i (r)

Bild 5-42, oben: Erste Bornsche Naherung am Beispiel eines Volumenelements des Streuobjekls; unten: Zwei mogliche systemtheoretische Beschreibungen; die Bedeutung des Operators Bo{.}

Durch die erste Bornsche Naherung wird vernachlassigt, daB einerseits ui(.) bereits

den Streuk6rper teilweise passieren muB, bevor diese Welle das entsprechende

Volumenelement erreicht, andererseits die yom Volumenelement ausgehende

Kugelwelle ebenfalls durch die Inhomogenitat in ihrer Ausbreitung gestOrt wird. Diese

Naherung gilt deshalb sicher nur, solange die Phasenverschiebung der einfallenden

Welle beim Durchgang durch das Objekt nicht zu groB ist. Bei einem Objekt mit einem

'mittleren' Brechungsindex von n '" 1 und einer maximalen Ausdehnung von D muB

dann fUr die GOltigkeit der ersten Bornschen Naherung notwendigerweise gelten (vgl.

auch 5-75c):

koln - 11D « 1t

1 Dabei steht '1}. fUr 'Born'; der Index ·0· deutet an, dal3 der Operator von der Objektfunktion o(r) abhangt.

221

und damit fOrden durch das Objekt verursachten scheinbaren Weglangenunterschied:

In - 110 « iJ2 . (5-87)

Dies ist eine mogliche Quantifizierung der Forderung nach einem 'schwachen'

Streuobjekt.

Beispiel VI FOr biologisches Weichgewebe lieg! die Schallgeschwindigkeit im Bereich von

1470rns-1 scS1570rns-1 (Felt ... MuskeQ .

Bezogen auf eine mittlere Schallgeschwindigkeit von Co = 1520 ms -1 ist der Brechungsindex

0.967 S n S 1.033 und damit In-11 S 0.033.

Bei einer lOr Ultraschalldiagnostik Oblichen Frequenz von v = 1 MHz, also einer Wellenlange von

A. =cofv = 1.52 mm,

gilt nach (5-87) die erste Bornsche Naherung nur lOr Objekte mit einer Ausdehnung von

D«23mm.

Das Gesamtfeld

uges,l (r) := ui(r) + us,l (r) = ui + :So {ui}

aufgrund der ersten Bornschen Naherung ist, auch wenn (5-85) nicht erfOllt ist, evtl.

eine bessere Schatzung als Uj(') selbst. Dies macht sich die zweite Bornsche

Naherung zunutze, indem in (5-84a,b) US.1(') statt us(.) eingesetzt wird:

uS.2(r) = [o(r) Uges,l(r)] '" s(r) = (o(r) [uj(r)+US.1(r)]) '" s(r) (5-88a)

oder in unserer Kurzschreibweise:

(5-88b)

Die Bornschen Naherungen hoherer Ordnung berechnen sich dann wie folgt:

US.1 = :So{ujl

us.2 = :So{Ui+US,ll = :So{ujl + :So 2{ujl

us.3 = :so{ Ui+US.2l = :So{ujl + :So 2{ ujl + :So 3{ Uj}

k

Us k = :So{Uj+us k -ll = :So{ujl +:So 2{ujl +· .. +:So k{ujl = L:So V{ujl .. v=l

(5-89a)

00

Us 00 = :So{ ui+us ool = L:So V{ ujl = Us . . . v=l

(5-89b)

In der letzten Gleichung wurde vorausgesetzt, daB die angegebene Reihe konvergiert

222

(siehe z.B. [5.45]). In diesem Fall stellt us,oo(.) die Losung des Streuproblems mit Hilfe

der Bornschen Reihe dar1. Ein Vergleich von (5-84b) und (5-89b) zeigt, daB tatsach­

lich us,oo(.) = us(.) ist2.

Das Fourier-Beugungs-Theorem

1m folgenden letzten Abschnitt beschranken wir uns auf die erste Bornsche Naherung

nach (5-86a) und schreiben verkOrzt fOr das Streufeld

u(r) := us,1 (r) . (5-90)

Offensichtlich wird durch diese Naherung das Streuproblem auf das Quellenproblem

zurOckgefOhrt, wobei der Term ui(') 0(.) als Quellenfunktion zu interpretieren ist:

u(r) = q(r) * s(r) (5-91 a)

mit q(r) = ui(r) o(r) (5-91 b)

oder im Frequenzbereich:

(5-91 c)

mit (5-91d)

Somit sind aile fOr das Quellenproblem hergeleiteten Gesetze auch hier gOltig.

Wir betrachten nun das spezielle Streuproblem nach Bild 5-43, oben. Das einfallende

Feld sei hier eine ebene Welle in z-Richtung, also

q(r) = o(r) e-jkz = o(r) e-j2ltzlA.

und damit (Verschiebungssatz)

Q(fr) = O(fx,fy,fz+1/A.).

(5-92a)

(5-92b)

Das Streufeld 5011 nun auf der (MeB-)Ebene z = Zo ermittelt werden (vgl. Bild 5-20).

Dazu greifen wir auf das Ergebnis aus (5-57b,c) zurOck und setzen darin fOr das

Quellenspektrum Q(fr) das um 11A. nach 'links' verschobene Objektspektrum, also

O(fx,fy,fz+ 11A.), ein:

+00

- j/(4ltK) J O(fx,fy,fz+ 1/A.) l)(fz+K) ej2ltzofz dfz (5-92c)

1 Die Bornsche Reihe ist Obrigens vom Typ einer Neumann-Iteration [5.46). 2 Man erkennt wieder den nichdinearen EinfluB des Objekts auf das Streufeld; B {Uj} ist zwar linear be­zOglich uj(.) und 0(.), seine mehrfache Anwendung jedoch, also Bo V{Uj}, ist eine N}chninearitat fOr 0(.).

223

bzw. nach AusfOhrung der Integration:

u(x,y,zo} (5-92d)

mit

Dieses Fourier-Beugungs-Theorem, welches auf E. Wolf [5.47] zurOckgeht und eine

wichtige Rolle bei tomographischen Ultraschall-Bildgewinnungsverfahren (Beu­

gungs-Tomographie) spielt [5.41, 5.42, 5.44], besagt, daB sich das Spektrum des

Streufeldes - innerhalb der ersten Bornschen Naherung und unter Vernachlassigung

evaneszenter Wellen - folgendermaBen berechnen laBt (Bild 5-43, oben rechts):

Zuerst wird das Objektspektrum O(fr} um 1/).. nach 'links' verschoben (wegen der

Multiplikation von o(r) mit der einfallenden ebenen Welle}. Aus diesem verschobenen

Spektrum werden die Werte auf der Ewald-Kugel 'ausgeblendet' (Wellenausbreitung)

und anschlieBend - mit einem linearen Phasenfaktor behaftet - auf die fx,f(Ebene

projiziert (wegen der Betrachtung des Feldes nur auf einer Ebene z = Zo = const).

x~ MeBebene

H-H-Hf+- Z

Zo l ___ _ -1/).. j X,Y

Q::::=e

o(r} u(x,y,Zo}

o(Z - zo}

Bild 5-43, oben: Spezielles Streuexperiment und zugehorige spektrale Beschreibung; unten: Systemtheoretische Darstellung

Anmerkung Interessant ist ein Vergleich des Fourier·Beugungs-Theorems mit dem Zentralschnill·Theorem aus Abschnill 3.3. Letzteres besagt. daB eine Parallelprojektion des Objekts (z.B. durch sich ungebeugt ausbreitende Rontgen·Strahlen) mit einem zentralen geraden bzw. ebenen Schnill durch das Spektrum korrespondiert. Beim Streuexperiment nach Bild 5-43 jedoch wird die einfallende Welle auch in ihrer

224

Richtung gestiirt und an jeder 'Schicht' des Objekts gebeugt, die 'Projektionsstrahlen' sind daher weder gerade noch linienformig . Speziell der 8eugung tragt das Fourier-8eugungs-Theorem aufgrund der ersten 80rnschen Naherung dadurch Rechnung, daB der korrespondierende Schnitt im Spektrum nun keine Ebene mehr, sondern eine Halbkugelschale ist. Fur ).. ~ 0, bzw. fUr Objektspektren mit einer Ausdehnung « 1/)", was fur die Rontgen-Tomographie zutrifft, kann die 8eugung vemachlassigt werden, und die Ewald-Kugel geht in die vom Zentralschnitt-Theorem geforderte Ebene uber.

Statt das Objektspektrum zuerst nach 'links' zu verschieben und dann mit der Ewald­

Kugel zu multiplizieren, kann naWrlich auch jene um 1/'A. nach 'rechts' verschoben

und das Objektspektrum dafOr in seiner ursprOnglichen Lage belassen werden. Die

Projektion auf die fx,f(Ebene liefert in beiden Fallen dasselbe .Ergebnis (5-92d). Die

um 1/'A. nach 'rechts' verschobene Ewald-Kugel (Bild 5-44, oben) stellt somit die

Ubertragungsfunktion zur Beschreibung des Streuexperiments aus Bild 5-43 dar.

Bild 5-44, unten, zeigt, wie sich die Ewald-Kugel in Lage und Orientierung andert,

wenn die Einfallsrichtung (Wellenvektor k) von un und die Orientierung der MeB­

ebene (Normalenvektor g) verandert werden.

X,Y

H-- -+-Z

t ____ _ x,y e==-

X,y

J+---\--Z

Bild 5-44: EinfluB von Einfallsrichtung der ebenen Welle und Neigung der MeBebene auf die Lage der Ewald-Kugel

Soli mit Hilte einer Anordnung wie der in Bild 5-43 aus dem Streufeld das Objekt

rekonstruiert werden (inverses Streuproblem), so mOssen viele Messungen mit unter­schiedlichen Richtungen von k und 9 gemacht werden, da eine solche Messung nur einen zweidimensionalen (halbkugelformigen) Schnitt aus dem Objektspektrum re-

225

prasentiert. Wird die Orientierung der Me8ebene variiert, so bleibt der Ort (Mittelpunkt

bei fr = kl21t) der Ewald-Kugel unverandert, lediglich deren Orientierung andert sich

entsprechend, sodal3 (im Grenzfall der Aufzeichnung des gesamten Streufeldes) die

Halbkugel zur vollstandigen Kugelschale erweitert wird (Bild 5-45, links). Variiert man

dagegen die Einfallsrichtung, also k, so bleibt die Orientierung der Ewald-Kugel

erhalten, deren Mittelpunkt kann jedoch beliebig auf einer Kugeloberflache yom

Radius 1 fA. plaziert werden. In Bild 5-45, rechts, ist das Gebiet markiert, das unter

Ausnutzung aller Einfallsrichtungen (aber stationarer Mel3ebene) erfaBt werden

kann 1.

Um dreidimensionale Information Ober das Objekt zu gewinnen, mul3 also notwen­

digerweise die Beleuchtungs-(Beschallungs-)Richtung, und nicht nur die Orientierung

der Mel3ebene, variiert werden.

9 variabel

Bild 5-45: ErfaBbarer Spektralbereich bei Variation der Neigung der MeBebene (links) bzw. der Richtung der einfallenden Welle (rechts), ausgehend von dem in Bild 5·44, unten, skizzierten Fall

In vielen technischen Fallen sind k und 9 nicht frei wahlbar, weil z.B. Schallgeber und

Detektoren eines Ultraschallgerats fest zueinander montiert sind. Die Variation von k

und 9 wird dann z.B. durch eine Drehung des Objekts ersetzt. Zwei spezielle MeB­

anordnungen sind in Bild 4-46 skizziert, namlich

und giJ,k

giik

Reflexionsverfahren, ROckstreuung

Transmissionsverfahren, Vorwartsstreuung,

1 Die Skizzen zeigen der Obersichtlichkeit halber nur jeweils einen zwektimensionalen Schnitt durch die Spektren. So muB man sich das in Bild 5·45, rechts, markierte Gebiet als Rotationsfigur vorstellen; die Rolalionsachse isl durch den Koordinalenursprung und durch 9 feslgelegt.

226

zusammen mit den damit maximal erfaBbaren Gebieten des Objektspektrums.

Wiihrend in ersterem Fall nur ein BandpaBauszug (..[2f1. .. S fr S 2/'A) des Objekts

rekonstruiert werden kann, liefert letzteres Verfahren eine TiefpaBversion (fr S ~/'A). Beide Verfahren miteinander kombiniert erlauben die Erfassung des Objektspektrums

im (groBten durch Streufeldmessung moglichen) Bereich von fr S 2/'A.

9 -

Rack­Streuung

x,Y 9 -

+-+---... Z

Vorwllrts­Streuung

Bild 5-46, links: Mel3anordnung mit zur Detektorebene senkrecht einfallender Welle; skizziert sind die zwei Faile 9 i,l. k (Erfassung des rOckgestreuten Feldes) und 9 ii k (Messung des vorwartsge­streuten Feldes); rechts: Die zugeh6rigen Ewald-Kugeln, sowie der durch Variation der Objektorien­tierung erfal3bare Spektralbereich

Genauso, wie wir das Fourier-Beugungs-Theorem (5-92c,d) direkt aus den entspre­

chenden Gleichungen (5-57c,d) fUr das Quellenproblem hergeleitet haben, indem wir

darin

q(r) = o(r) ui(r) = o(r) e-jkz

und damit

gesetzt haben, konnen wir auch die Fernfeldl6sung aus (5-60b) fUr das Streuproblem adaptieren. Wir begnOgen uns jedoch mit dem Hinweis auf Bild 5-22, in welchem

lediglich das Quellenspektrum Q(.) durch das um 1/'A nach 'links' verschobene

Objektspektrum 0(.) ersetzt werden muB (eine einfallende ebene Welle in z-Rich­

tung vorausgesetzt).

Tabelle der Symbole und Formelzeichen

Symbole und Operatoren

Rn

L,P Ls' Ps dnx 8{.}

:Bo{.}

n{.}

v

t:. Re{.}, Im{.}

* ** * x * ®,® :f{.}, :f -1{.}

:fx{.}

O-e

o -0===­O-e

X o-e

x

Variablen

Orts-Zeit-Bereich:

Menge aller reellen n-Tupel

Menge der Punkte einer Linie, Flache

Menge der Punkte einer Schnittlinie, Menge der Schnittpunkte

dX1dx2 ... dxn; n-dimensionales differentielles Volumenelement

Systemoperator

Operator zur Berechnung von Bornschen Naherungen

allg. Differentialoperator

Nabla-Operator, z.B.: Va(.) = grad a(.)

Laplace-Operator

V-b(.) = div b(.)

Vxb(.) = rot b(.)

Realteil, Imaginarteil

eindimensionale Faltung

zweidimensionale Faltung

mehrdimensionale Faltung

eindimensionale Faltung bezOglich der Variablen x

ein-, mehrdimensionale Korrelation

Fourier-Transformation, Fourier-ROcktransformation

Fourier-Transformation bezOglich der Variablen x

eindimensionale Fourier-Transformation

zweidimensionale Fourier-Transformation

dreidimensionale Fourier-Transformation

allg. mehrdimensionale Fourier-Transformation

Fourier-Transformation bezOglich der Variablen x

Hilbert-Transformation

Hankel-Transformation m-ter Ordnung

Hankel-Transformation m-ter Ordnung

Skalar- oder inneres Produkt zwischen Vektoren

Vektor- oder au Beres Produkt zwischen Vektoren

Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren b1, b2, ...

t Zeitvariable

t' zweite Zeitvariable zur Beschreibung zeitvarianter Systeme

228

x r

M

x,y,z

~z

R,T

r, <p, i}

M, <p, ~i}

X', y', ~1' ~2' t', 1:

Spektralbereich:

f, f. f'

fr fr

fx' fy' fz

fR' fT

fR' fT1' fT2 fro $, e

Funktionen

a(.)

A(.)

b(.)

c(.)

e(.)

g(t,t'), h(t,t')

G(f,f'), H(f,f') HO(2)(.), H1(2)(.)

allg. Variablenvektor (x1,x2, ... ,xn)T eines n-dimensionalen Signals

Ortsvektor, z.B. (x,y,z)T bei drei Dimensionen

(x,y,~z)T

Irl oder auch Ixl karthesische Ortskoordinaten

z-zo

karthesische Hilfs-Ortskoordinaten zur Beschreibung der Parallel­

projektion einer zweidimensionalen Funktion auf die R-Achse

dito bei Projektion einer dreidimensionalen Funktion auf die

R1,R2-Ebene

dito bei planarer Projektion einer dreidimensionalen Funktion auf

die R-Achse

Kugel-(Polar-)koordinaten im Ort

Kugel-(Polar-)koordinaten im Ort, zentriert bei (D,D,zO)T

Integrations- oder Hilfsvariablen

Zeitfrequenz

Integrations- oder Hilfsfrequenzvariable, zweite Frequenzvariable

zur Beschreibung zeitvarianter Systeme

Hilfsfrequenzvariable (Abschnitt 4.1)

komplexe Zeitfrequenz bei der Laplace-Transformation

allg. Frequenzvektor (f1 ,12" .. ,1n) T eines n-dimensionalen

Spektrums

Ortsfrequenzvektor, z.B. (fx.fy.fz)T bei drei Dimensionen

Ifrl oder auch If I karthesische Spektralkoordinaten

karthesische Hilfs-Spektralkoordinaten zur Beschreibung der

Parallelprojektion eines zweidimensionalen Signals

dito bei planarer Projektion eines dreidimensionalen Signals

Kugel-(Polar-)koordinaten im Spektralbereich

Hilfsfunktion mit jeweils unterschiedlicher Bedeutung, meist

Argument einer 8-Funktion oder: Abtastfunktion (Kapitel 4)

Spektrum der Abtastfunktion a(.)

Vektorfeld zur Vorgabe der Differentiationsrichtung (Abschnitt 3.1)

5rtlich variierende Wellenausbreitungsgeschwindigkeit (Abschnitt

5.3)

Eigenfunktion (Kapitel 1)

zeitvariante Impulsantwort; g(t,t') = h(t - r,t')

zweidimensionale Spektren von g(t,t'), h(t,t')

Hankel-Funktion nullter, erster Ordnung (Kapitel 5)

Jp(.)

m(.)

n(.)

NO(.)' N1 (.)

p(.)

PS(.)' PSZ(') PS(.)' PsZ(') 0(.),0(.)

0cp,-6(.)' 0cp,-6(')

Opp(.) q(.), Q(.)

Q(.)

Qcp,-6(')

qr(r), ql(t)

qIO(r), Qto(fr)

qro(t), QrQ(fl)

rect(.)

s(.)

S(.)

s(r,t), S(fr.fl)

SJ)

So ,61 (.), Sl,61(.)'

SO,61(.)' Sl,61(.)

S/lZ(.)' S/lZ(')

SO,6Z(')' Sl,6Z(')'

SO,6Z(.)' Sl,6z(.)

S6zF(')' S6zF(')

SR,p(.)' SR,p(.)

SR,P(.)' SR,P(.) Sl), Sp(.)

si(.)

sign(.)

U(.), "(.) U(.), U(.) UX(.), Ut(.)

Bessel-Funktion p-ter Ordnung, mit pER

Modulationsfunktion

Ortlich variierender Brechungsindex (Abschnitt 5.3)

Neumann-Funktion nullter bzw. erster Ordnung (Kapitel 5)

I)-Puis (unendliche Reihe aquidistanter I)-Impulse)

spezielle I)-Punkte-Pulse (Abschnitt 4.2)

deren Spektren (Abschnitt 4.2)

Objektfunktion und deren Spektrum (Kapitel 5)

vgl. ucp,-6(R,T1,T2), Ucp,-6( fRh1,fT2)

vgl. upp(R;<p,t})

Quellenfunktion und deren Spektrum (Kapitel 5)

Spektrum der Quellenfunktion in Kugelkoordinaten (Kapitel 5)

vgl. Ucp,-6( fR.fn ,fT2) (Kapitel 5)

Orts-, Zeitverlauf einer in r und t separierbaren Quellenfunktion

Ortsverlauf einer Impulsquelle bei t = to' dessen Ortsspektrum

Zeitverlauf einer Punktquelle bei r = ro' dessen Zeitspektrum

Rechteckfunktion

allg. (zeitinvariante) Punkt-(Impuls-)antwort

allg. Obertragungsfunktion

Punkt-Impulsantwort, Obertragungsfunktion zur L6sung des

Quellenproblems (Kapitel 5)

Obertragungsfunktion zur naherungsweisen Uisung des Quellen­

problems, gultig fur ca. z> 5A. (Kapitel 5)

229

Punktantwort, Obertragungsfunktion zur L6sung des Anfangswert­

problems erster Ordnung (Kapitel 5)

Punktantworten, Obertragungsfunktionen zur L6sung des Anfangs­

wertproblems zweiter Ordnung (Kapitel 5)

Punkt-(Impuls-)antwort, Obertragungsfunktion zur L6sung des

Randwertproblems erster Ordnung (Punktantwort,Obertragungs­

funktion des Raums) (KapiteI5)

Punkt-(Impuls-)antworten, Obertragungsfunktionen zur L6sung des

Randwertproblems zweiter Ordnung (Kapitel 5)

s/lZ(.), S6z(') in Fresnel-Naherung (Abschnitt 5.3)

Punktantwort, Obertragungsfunktion eines auf p Ruckprojektion

basierenden tomographischen Abbildungssystems (Abschnitt 4.2)

sR,p(.) , SR,p(.) nach Bandbegrenzung (Abschnitt 4.2)

Punktantwort, Obertragungsfunktion des p-Filters (Abschnitt 4.2)

si-Funktion

Vorzeichenfunktion

Signal in karthesischen, Polar-(Kugel-)Koordinaten

Spektrum von u(.) in karthesischen, Polar-(Kugel-)Koordinaten

Teilspektrum von u(.), gebildet bezuglich der Variablen x, t usw.

230

U(.)

Uz(X,y)

Uz(fx.fy)

u1 (.), U2(')

U1 (.), U2(·)

U'(.), U"(.) u<vl(.)

U1'(·), U2'(·)

U1'(·), U2'(·)

U'(.), U"(.)

U(.), G(.)

Ua(.)

ur(r), U'r(fr)

uljI(<p), U,(cp)

UIjI,,,( fRh1,fT2)

up(R;<p)

Up(fR;<p)

up(R1,R2;<p,1'})

UF(.)' "F(') Ud(t), Ud(f)

Us(X), us(x,y)

Us(fx)' Us(fx.fy)

us(r)

us,1 (.), us,v(.) ~W.--V(.)

Naherung von u(.)

u(x,y,z) (Abschnitt 5.3)

UX'Y(fx,fy'z) (Abschnitt 5.3)

Eingangs-, Ausganssignal eines Systems

Fourier-Spektren von u1(')' u2(')

erste, zweite Ableitung von u(.) nach dem Argument

v-te Ableitung von u(.) nach dem Argument

Ausnahmen:

Hilfsfunktionen (Abschnitt 4.2)

Spektren von u1'(.), u2'(.) (Abschnitt 4.2)

erste, zweite Ableitung nach z (Kapitel 5)

erste, zweite zeitliche Ableitung (Kapitel 5)

analytisches Signal von u(.)

Radialverlauf eines rotationssymmetrischen Signals, Spektrums

azimutaler Verlauf eines in Radius und Azimut separierbaren

Signals, Spektrums

u(x1,x2), dargestellt im R,T-Koordinatensystem, welches um <P

gegenOber x1,x2 gedreht ist

U(f1,f2), dargestellt im fRh-Koordinatensystem, welches um <P

gegenOber f1,f2 gedreht ist, also zweidimensionales Fourier­

Spektrum von uljI(R,T) bezOglich R und T

u(x1,x2,x3), dargestellt im R1,R2,T-Koordinatensystem, welches um

<P und 1'} gegenuber x1,x2,x3 gedreht ist

u(x1,x2,x3)' dargestellt im R,T 1,T 2-Koordinatensystem, welches urn

<P und 1'} gegenuber x1,x2,x3 gedreht ist

dreidimensionales Fourier-Spektrum von uljI,t)(R,T1,T 2)

Parallelprojektion von uljI(R,T) == u(x1,x2) langs T auf die R-Achse

eindimensionales Fourier-Spektrum von up(R;<p) bezuglich R

Parallelprojektion von uljI,t)(R1,R2,T) == u(x1,x2,x3) langs T auf die

R1,R2-Ebene

planare Projektion von uljI,t)(R,T1,T 2) == u(x1,x2,x3) langs der T1,T 2-

Ebene auf die R-Achse

Fernfeld in karthesischen, Polar-(Kugel-)Koordinaten (Kapitel 5)

abgetastetes Signal u(.) und zugehoriges (periodisch wieder­

holtes) Fourier-Spektrum (Kapitel 1)

periodisch wiederholtes Signal, zugehOriges (abgetastetes)

Spektrum (Kapitel 1)

Zeilen-, Schnittbildsequenz von u(x,y) bzw. u(x,y,t) (Abschnitt 4.2)

zugehOrige Sequenzspektren

Streufeld (Abschnitt 5.3) dito nach der ersten, v-ten Bornschen Naherung (Abschnitt 5.3) allg. Vektorfeld, dessen Fourier-Spektrum (komponentenweise)

O(.),Oe(.)

O'(.),Oe'(·)

A(.), AO(.) y(.)

Verlauf von SR,P(.) auf einem Kreis vom Radius ro' dessen (ein­

dimensionales) Spektrum (Abschnitt 4.2)

o-Funktion, deren Realisierung

differenzierte o-Funktion, deren Realisierung

231

R6ntgenrate nach, vor Durchdringung eines Objekts (Abschnitt 4.2)

Sprungfunktion

s. Bilde r 5-13 u nd 5-18

R6ntgen-Schwachungskoeffizient (Abschnitt 4.2)

quadratische (Phasen-)funktion, z.B. 'JId(x,y) := 1t{x2+y2)/(Ad)

(Abschnitt 5.3)

Sonstige GroBen und Vektoren

b 1, b2 , ... Basisvektoren eines Abtastrasters (Abschnitt 4.1)

c Wellenausbreitungsgeschwindigkeit (Kapitel 5)

D,B

ds

9 g.l k

k [(.)

m

n

p

rql

Wellenausbreitungsgeschwindigkeit des homogenen Mediums

(Abschnitt 5.3)

Zeitdauer des Signals, Ausdehnung des Spektrums (mathema­

tische Bandbreite)

Zeitdauer des Signals in x, Ausdehnung des Spektrum in fx' usw.

Bandbreite von u1 (.), u2{') (Abschnitt 4.2)

Bandbreite von h(t,t') bezOglich f' (Abschnitt 4.2)

Abstand zweier parallelen Ebenen

oder: Brennweite von Linsen (Abschnitt 5.3)

differentielies Wegelement

Normalenvektor einer Geraden (Ebene) (Kapitel 3)

auf 9 senkrecht stehender Vektor gleichen Betrags (Kapitel 3)

Wellenvektor {kx,ky,kz)T (Abschnitt 5.3)

Wellenzahl Ikl (Abschnitt 5.3)

Richtungsvektor einer Linie oder Geraden (Kapitel 3)

Anzahl der Perioden einer zirkularharmonischen Funktion

(Abschnitt 3.4)

Anzahl der Dimensionen (in Kapitel 5: ohne Zeitdimension)

oder: Brechungsindex (Abschnitt 5.3)

Brechungsindex des homogenen Mediums (Abschnitt 5.3)

Zeit-{bzw. Orts-)Bandbreite-Produkt eines eindimensionalen,

n-dimensionalen Signals oder Spektrums

Anzahl von Geraden (Ebenen) eines Geraden-{Ebenen-)bOschels

oder: Anzahl von Projektionen (KapiteI4)

oder: Konstante in der Geraden-{Ebenen-)gleichung x·g - p = 0

(Abschnitt 3.1 )

KrOmmungsradius einer Linie an der Tangentialstelle bei Pro­

jektionsrichtung cp (Abschnitt 3.3)

232

dt, df

dX,dY

a,p,y

a', W, Y €

A. v

11

Abtast-, Wiederholabstande in Zeit- und Frequenzbereich

Abtast-(Verschiebe-)abstande im Ort

Basisvektoren eines Wiederholrasters (Abschnitt 4.1)

Mindestanzahl der notigen Mel3werte zur Aufnahme eines Com­

puter-Tomogramms (Abschnitt 4.2)

Winkel zwischen (Wellen-)vektor und Koordinatenachsen x, y, z

(Abschnitt 5.3)

rr./2 - a, rr./2 - p, rr./2 - y (Abschnitt 5.3)

'kleine' reelle nichtnegative Zahl

Wellen lange (Abschnitt 5.3)

(feste) Zeitfrequenz harmonischer koharenter Wellenfelder (Ab­

schnitt 5.3)

Wirkungsgrad eines Abtastrasters (Kapitel 4)

Literaturverzeichnis

1 ElnfUhrung

1.1 KOPFMOLLER, K.: Ober Beziehungen zwischen Frequenzcharakteristiken und Ausgleichsvor­gi!ngen ~n linearen Systemen, E.N.T. 5, 18-32, 1928

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1.4 WUNSCH, G.: Geschichte der Systemtheorie: Dynamische Systeme und Prozesse, Oldenbourg, Munchen, 1985

1.5 ZADEH, L.A., DESOER, C.A.: Linear System Theory, The State Space Approach, McGraw-Hili, New York, 1963

1.6 WUNSCH, G., Hrsg.: Handbuch der Systemtheorie, Oldenbourg, Munchen, 1986 1.7 STROKE, G.W.: An Introduction to Coherent Optics and Holography, Academic Press, New York,

1966 1.8 BRACEWELL, R.N.: The Fourier Transform and its Applications, McGraw-Hili, New York, 1965 1.9 FOURIER, J.B.: Theorie analytique de la Chaleur, Gauthier-Villars, Paris, 1822 1.10 FOURIER, J.B.: Theorie der Warme, Deutsche Obersetzung: B. Weinstein, Springer, Berlin, 1884 1.11 SOMMERFELD, A.: Vorlesungen Dber Theoretische Physik, Band VI, Partielle Differentialglei-

chungen der Physik, Geest & Portig, Leipzig, 1945, und Dieterich'sche Verlagsbuchh., Wiesba­den, 1947

1.12 ZIOMEK, L.J.: Underwater Acoustics, A Linear Systems Theory Approach, Academic Press, Orlando, 1985

1.13 VOLTERRA, V.: Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations, Blackie, London, 1930, und Dover Publikations, New York, 1959

1.14 BUTTERWECK, H.-J.: Frequenzabhangige nichtlineare Obertragungssysteme, A.E.O. 21,239-254,1967

1.15 BEDROSIAN, E., RICE, S.O.: The Output Properties of Volterra Systems (Nonlinear Systems with Memory) Driven by Harmonic and Gaussian Inputs, Proc. IEEE 59,1688-1707,1971

1.16 ZWICKER, E.: Das Ohr als Nachrichtenempfanger, Hirzel, Stuttgart, 1967 1.17 ANDREWS, H.C., Hrsg.: Tutorial and Selected Papers in Digital Image Processing, IEEE Compo

Soc. Cat. No. EHO 133-9, New York, 1978

2 Eindimensionale lineare Zeltsysteme

2.1 KOPFMOLLER, K.: Die Systemtheorie der elektrischen Nachrichtenubertragung, Hirzel, Stuttgart, 1949

2.2 WUNSCH, G.: Moderne Systemtheorie, Geest & Portig, Leipzig, 1962 2.3 WUNSCH, G.: Systemtheorie der Informationstechnik, Geest & Portig, Leipzig, 1971 2.4 UNBEHAUEN, R.: Systemtheorie, Oldenbourg, Miinchen, 1969 2.5 MARKO, H.: Methoden der Systemtheorie, Springer, Berlin, 1977 2.6 PAPOULlS, A.: Signal Analysis, McGraw-Hili, New York, 1977 2.7 DOETSCH, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation, Oldenbourg,

Miinchen, 1956 2.8 REID, G.: Linear System Fundamentals, McGraw-Hili, New York, 1983 2.9 FRITZSCHE, G.: Signale und Funktionaltransformationen, VEB Verlag Technik, Berlin, 1985 2.10 BABOVSKY, H., BETH, T., NEUNZERT, H., SCHULZ-REESE, M.: Mathematische Methoden in

der Systemtheorie: Fourieranalysis, Teubner, Stuttgart, 1987 2.11 LlGHTHILL, M.J.: EinfUhrung in die Theorie der Fourier-Analysis und der Verallgemeinerten

Funktionen, B.I. Hochschultaschenbuch 139, 1966 2.12 CAMPBELL, G.A., FOSTER, R.M.: Fourier Integrals for Practical Applications, Van Nostrand,

Princeton, 1948 2.13 DOETSCH, G.: Handbuch der Laplace-Transformation, I-III, Birkauser, Basel, 1950, 1955, 1956 2.14 BRECHENBACHER, G., Personliche Mitteilung, 1988

234

3 Mehrdimensionale Signale und Systeme

3.1 BRACEWELL, R.N: The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hili, New York, 1965 3.2 STROKE, G.W.: An Introduction to Coherent Optics and Holography, Academic Press, New York,

1966 3.3 PFEILER, M.: Lineare Systeme zur Obertragung zeitabhangiger Orlsfunktionen und Bilder, NTZ

2, 97-108, 1968 3.4 MARKO, H.: Die Systemtheorie der homogenen Schichten, Kybernelik 5, 221-240, 1968 3.5 PAPOULlS, A.: Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw-Hili, New York, 1968 3.6 GASKILL, J.D.: Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics, John Wiley & Sons, New York,

1976 3.7 PAPOULlS, A.: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw-Hili, New York,

1977 3.8 HANSLER, E.: Grundlagen der Theorie slatistischer Signale, Springer, Berlin, 1983 3.9 WOODWARD. P.M.: Probability and Information Theory, with Applications to Radar, D.W. Frey,

Hrsg., Pergamon, London, 1953 3.10 CLAASEN, T.A.C.M., MECKLENBRAUKER, W.F.G.: The Wigner Distribution Function - a Tool for

Time-Frequency Signal Analysis, Part I: Continuous-Time Signals, Philips J. Res. 35, 217-250, 1980 Part": Discrete-Time Signals, Philips J. Res. 35, 276-300,1980 Part"l: Relation with other Time·Frequency Signal Transformations, Philips J. Res. 35, 372-389, 1980

3.11 HOFER-ALFEIS, J.: Entzerrung linienhafter Verwischung zur Bildrekonstruktion aus Projektio­nen, Dissertation, Lehrstuhl fUr Nachrichtentechnik, TU-Munchen, 1982

3.12 MEYER-EPPLER, W.: Die funktional-analytische Behandlung des Schattenproblems. Optik 1, 465- 474, 1946

3.13 RADON, J.: Ober die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfanigkeiten, Berichte Ober die Verhandlungen der Koniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften - Mathem.-physik. Klasse 69, 262-277, 1917

3.14 BARRETT, H.H., SWINDELL, W.: Radiological Imaging 1 und 2, Academic Press, New York, 1981 3.15 CORMACK, A.M.: Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological

Applications, J. of Applied Physics 34, 2722-2727, 1963; Teilll: J. of Applied Physics 34,2908-2913, 1963

3.16 HERMAN, G.T., Hrsg: Image Reconstruction from Projections, Topics in Applied Physics 32, Springer, Berlin, 1979

3.17 KRESTEL. E.. Hrsg.: Bildgebende Systeme fUr die medizinische Diagnoslik: Grundlagen. Technik. Bildgiile. Siemens-AG Abt. Veri., Berlin, 1980

3.18 PLATZER, H., ETSCHBERGER, K.: Fouriertransformation zweidimensionaler Signale, Laser+ Elektro-Optik 4, (1) 39-45, (2) 43-49, 1972

4 Abtastung und Projektion mehrdimenslonaler Signa Ie

4.1 BARTELT, H.O., LOHMANN, A.w.: Signal Processing Systems with Dimensional Transducers, in: Transformations in Optical Signal Processing, Hrsg.: W.T. Rhodes et aI., Proc. SPIE 373, 3-10, 1981

4.2 MACOVSKI, A.: Medical Imaging Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1983 4.3 Sonderhefte Ober Computer-Tomographie: Proc. IEEE 71, Marz 1983, Appl. Optics 24, Dez.

1985 4.4 HERMAN, G.T_, Hrsg: Image Reconstruction from Projections, Topics in Applied Physics 32,

Springer, Berlin, 1979 4.5 BARRETT, H.H., SWINDELL, W.: Radiological Imaging 1 und 2, Academic Press, New York, 1981 4.6 HOUNSFIELD, G.N., AMBROSE, J., PERRY, J.: Computerized Transverse Axial Scanning (Tomo­

graphy), Parts 1, 2, 3, Brit. J. of Radiology 46,1016-1051,1973 4.7 KRESTEL, E., Hrsg.: Bildgebende Sysleme fOr die medizinische Diagnostik: Grundlagen, Tech­

nik, BildgOte, Siemens-AG Abt. Veri., Berlin, 1980 4.8 Pykett, I.L., et al.: Principles of Nuclear Magnetic Resonance Imaging, Radiology 143, 157-168,

1982 4.9 PETERSEN, D.P.: Sampling and Reconstruction of Wave-Number-Limited Functions in N-Dimen-

sional Euclidean Spaces, Information and ControlS, 279-323, 1962 4.10 BORN, M., WOLF, E.: Principles of Optics, 4. Autl., Pergamon Press, Oxford, 1970 4.11 HECHT, E.: Optics, 2. Aufl., Addison-Wesley, Reading. Mass., 1987 4.12 GOODMAN, J. W.: Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hili, New York, 1968

235

4.13 KLAAS, l.: Beitrag zur optimalen Abtastung reeller Funktionen in der euklidischen Ebene, AEU 39, 57-60, 1985

4.14 MARKS, R.J.: Restoring Lost Samples from an Oversampled Band-Limited Signal, IEEE Trans. ASSP·31, 752-755, 1983

4.15 LOHMANN, A.W., WERLlCH, H.W.: Spatial Pulse Modulation, Appl. Optics 10, 2743-2753, 1971 4.16 PAULUS, E.: Uber den Zusammenhang zwischen dem Spektrum des Video signals und der

zweidimensionalen Fouriertransformierten der Bildvorlage, Frequenz 12, 330-333, 1980 4.17 HOFER-ALFEIS, J., BAMLER, R: Three-Dimensional and Four-Dimensional Convolutions by

Coherent Optical Filtering, Transformations in Optical Signal Processing, Proc. SPIE 373, 77-87, 1981

4.18 BAMLER, R, HOFER-ALFEIS, J.: Three- and Four-Dimensional Filter Operations by Coherent Optics, Optica Acta 29, 747-757, 1982

4.19 MARKS, RJ., WALKUP, J.F., HAGLER, M.O.: Sampling Theorems for Linear Shift-Variant Systems, IEEE Trans. CAS·25, No.4, 228-233,1978

4.20 CUTRONA, l.J.: Recent Developments in Coherent Optical Technology, Optical and Electro-Optical Informations Processing, Chapter 6, M IT Press, Cambridge, 1965

4.21 GOODMAN, J.w.: Operations Achievable with Coherent Optical Information Processing Systems, Proc. IEEE 65, 29-38, 1977

4.22 GOODMAN, J.W., KELLMAN, P., HANSEN, E.w.: Linear Space-Variant Optical Processing of 1 D Signals, Appl. Optics, 16,733-738, 1977

4.23 MARKS, RJ., WALKUP, J.F., HAGLER, M.O.: Methods of linear System Characterization Through Response Cataloging, Appl. Optics 18, 655-658, 1979

4.24 MARKS, R.J.: Two-Dimensional Coherent Space-Variant Processing Using Temporal Holography: Processor Theory, Appl. Optics 18, 3570-3674,1979

4.25 BAMLER, R: HOFER-ALFEIS, J.: 20 Linear Space-Variant Processing by Coherent Optics: A Sequence Convolution Approach, Optics Comm. 43, 97-102, 1982

4.26 SHING-HONG, l., KRILE, T.F., WALKUP, J.F.: Piecewise Isoplanatic Modeling of Space-Variant linear Systems, JOSA A 4,481-487,1987

4.27 MARKO, H.: Methoden der Systemtheorie, Springer, Berlin, 1977 4.28 PLATZER, H. : Optical Image Processing, in: Proc. of the 2nd Scandinavian ConI. on Image

Analysis, Hrsg: E.Oja et aI., Helsinki, Finland, 15-17, 1981 4.29 PLATZER, H.: Abtastung durch winkelperiodische GeradenbOschel: Das Sampling-Theorem der

Computertomographie, Nachrichtentechnische Berichte 12, Inst. fOr Nachrichtentechnik der Technischen Universitat MOnchen, 1985

4.30 STARK, H., SARNA, C.S.: Image Reconstruction Using Polar Sampling Theorems, Appl. Optics 18, 2086-2088, 1979

4.31 STARK, H.: Sampling Theorems in Polar Coordinates, JOSA 69,1519-1525,1979

5 Systemtheoretische Beschreibung physikalischer PhAnomene

5.1 SCHWAB, A.J.: Begriffswelt der Feldtheorie, 2. Aufl., Springer, Berlin, 1987 5.2 SOMMERFELD, A.: Vorlesungen Ober Theoretische Physik, Band VI, Partielle Differentialglei­

chungen der Physik, Geest & Portig, Leipzig, 1945, und Dieterich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden, 1947

5.3 FOURIER, J.B: Theone analytique de la Chaleur, Gauthier-Villars, Paris, 1822 5.4 FOURIER, J.B.: Theorie der Warme, Deutsche Ubersetzung: B. Weinstein, Springer, Berlin, 1884 5.5 GROBER, H., ERK, S., GRIGULL, U.: Die Grundgesetze der WarmeObertragung, 3. Auf I. ,

Springer, Berlin, 1961 5.6 MORSE, P.M., INGARD, U.K.: Theoretical Acoustics, McGraw-Hili, New York, 1968 5.7 SCHUMANN, W.O.: Elektrische Wellen, Hanser, MOnchen, 1948 5.8 BLEISTEIN, N., COHEN, J.K.: Nonuniqueness in the Inverse Source Problem in Acoustics and

Electromagnetics, J. of Mathematical Physics 18,194-201,1977 5.9 KIM, K., WOLF, E.: Non-Radiating Monochromatic Sources and Their Fields, Optics Comm. 59,

1-6, 1986 5.10 PORTER, RP., DEVANEY, A.J.: Holography and the Inverse Source Problem, JOSA 72, 327-

330, 1982 5.11 DOETSCH, G.: Handbuch der Laplace-Transformation, Bd. I-III, Birkauser, Basel, 1950, 1955,

1956; wg. einer Diskussion dieser Methoden s.: TERHARDT, E.: Evaluation of linear-System Responses by Laplace-Transformation. Critical Review and Revision of Method, Acustica 64, 63-72, 1987

5.12 SOMMERFELD, A.: Vorlesungen Ober theoretische Physik, Band IV: Optik, 3. Aufl., Geest & Portig, Leipzig, 1964

236

5.13 MORSE, P.M., FESHBACH, H.: Methods ofTheoretical Physics, McGraw-Hili, New York, 1953 5.14 LOHMANN, W.A.: Three-Dimensional Properties of Wave-Fields, Optik 51, 105-117, 1978 5.15 STREIBL, N.: Three-Dimensional Imaging by a Microscope, JOSA A 2,121-127,1985 5.16 MARKO, H.: Die Systemtheorie der homogenen Schichten, Kybernetik 5, 221-240, 1969 5.17 DALLAS, W.J.: Fourier Space Solution to the Magnetostatic Imaging Problem, Appl. Optics 24,

4543-4546,1985 5.18 CATIERMOLE, K.w.: Signale und Wellen, VCH, Weinheim, 1985 5.19 ABRAMOWITZ, M., STEGUN, I.A.: Handboock of Mathematical Functions, Dover Publications,

New York, 1965 5.20 WEYL, H.: Ausbreitung elektromagnetischer Wellen Ober einem ebenen Leiter, Ann. der Physik

60, 481-500, 1919 5.21 EWALD, P.P.: Zur BegrOndung der Kristalloptik, Teill, Ann. der Physik 49, 1-39; Teil II, Ann. der

Physik 49, 117-143,1916 5.22 BORN, M., WOLF, E.: Principles of Optics, 4. Aufl., Pergamon Press, Oxford, 1970 5.23 GASKILL, J.D.: Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics, John Wiley & Sons, New York,

1976 5.24 HARVEY, J.E., SHACK, R.V.: Aberrations of Diffracted Wave Fields, Appl.Optics 17, 3003-3009,

1978 5.25 STROKE, G.w.: An Introduction to Coherent Optics and Holography, Academic Press, New York,

1966 5.26 GOODMAN, J. W.: Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hili, New York, 1968 5.27 MENZEL, E., MIRANDE, W., WEINGARTNER, I.: Fourier-Optik und Holographie, Springer, Wien,

1973 5.28 LUTZ, E., TRONDLE, E.: Systemtheorie der optischen Nachrichtentechnik, Oldenbourg,

MOnchen, 1983 5.29 FLEISCHER, H., AXELRAD, V.: Fourier-Akustik: Ein Verfahren zur Schallfeldanalyse, Acustica

57,51-61,1985 5.30 MUKUNDA, N., SIMON, R., SUDARSHAN, E.C.G.: Fourier Optics for the Maxwell Field: Formalism

and Applications, JOSA A 2, 416-426,1985 5.31 VANDER LUGT, A.,: Operational Notation for the Analysis and Synthesis of Optical Data-

Processing Systems, Proc. IEEE 54, 1055-1063, 1966 5.32 PAPOULlS, A.: Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw-Hili, New York, 1968 5.33 MARKO, H.: Anwendung der Systemtheorie in der Optik, in: Kleinheubacher Berichte 20,1977 5.34 O'Neill, E.L.: Spatial Filtering in Optics, IRE Trans. IT-2, 56-68, 1956 5.35 VANDER LUGT, A.: Signal Detection by Complex Spatial Filtering, IEEE Trans. IT-l0, 139-145,

1964 5.36 STROKE, G.w.: Optical Computing, IEEE Spectrum, 24-41, Dez. 1972 5.37 PRESTON, K.Jr.: Coherent Optical Computers, McGraw-Hili, New York, 1972 5.38 KELLER, J., B.: Accuracy and Validity of the Born and Rytov Approximations JOSA 59, 1003-

1004, 1969 5.39 DEVANEY, A.J.: Inverse-Scattering Theory within the Rytov Approximation, Optics Letters 6, 374-

376, 1981 5.40 BEYKLlN, G., ORISTAGLlO, M.,L.: Distorted-Wave Born and Distorted-Wave Rytov Approxi­

mations, Optics Comm. 53, 213-216, 1985 5.41 MUELLER, R.K., KAVEH, M., WADE, G.: Reconstructive Tomography and Applications to

Ultrasonics, Proc. IEEE 67, 567-587, 1979 5.42 KAVEH, M., SOUMEKH, M.: Computer-Assisted Diffraction Tomography, in: Image Recovery:

Theory and Application, Hrsg.: H. Stark, Academic Press, Orlando, 1987 5.43 FISCHER, Martin: Eine einheijliche Darstellung der Verlahren zur Behandlung des skalaren

inversen Streuproblems, Dissertation, SaarbrOcken, 1984 5.44 DEVANEY, A.J.: A Filtered Backpropagation Algorithm for Diffraction Tomography, Ultrasonic

Imaging 4, 336-350, 1982 5.45 KOHN, W.: On the Convergence of Born Expansions, Rev. of Modern Physics 26, 292-310,

1954 5.46 BRONSTEIN, I.N., SEMENDJAJEW, K.A., Taschenbuch der Mathematik, 14. Autl., Harri Deutsch,

ZOrich,1974 5.47 WOLF, E.: Three-Dimensional Structure Determination of Semi-Transparent Objects from Holo­

graphic Data, Optics Comm. 1, 153-156, 1969

Sachverzeichnis

Abbildung -, kohllrente 215 -, sverfahren --+ Bildgewinnungsverfahren Abel-Transformation 85 Ableitung 98,100,173 Abstrahlungsbedingung 166 Abtastabstand 35, 37 Abtastbedingung 36ff, 117, 128 Abtaster -, idealer 37 -, technisch realisierter, realer 361 Abtastfunktion 101f,136 -, eindimensionale 101 -, mehrdimensionale 104 -, nichtregulare 136 -, regulare 101 -, zweidimensionale 104 Abtastraster 10711 -, optimales 1101 -, schiefwinkliges 105,1071 -, Wirkungsgrad 1091 Abtasllheorem 361 -, der Computer-Tomographie 127, 135 -, lur zeitvariante Systeme 122, 1251 Abtastung 33 -, entlang zentraler Geraden 131 -, nichtregulare 33 -, regulare 33ff,101 -, von Spektren 37, 101 Ahnlichkeitssatz 23,67,83 a-Distribution 132 Alias-Fehler 36,38,101,109,117 Aliasing --+ Alias-Fehler allgemeine Spektraltranslormation 25 Ambiguity-Funktion 39 Analogon, nachrichtentechnisches 200,2051, 209 analytisches Signal 31fI, 177 Anlangsbedingung --+ Anlangswert Anfangswert 151ff Anlangswertproblem 4, 151ft, 161, 164, 173ff -, inverses 155 Anlangszustand --+ Anlangswert Anisotropie 134 Apertur 19811,203,205,2071 Aperturebene 200, 203 Aperturfunktion 200, 202 Argument einer 3-Funktion 44 Artelakt 1351 asymptotisches Verhalten 73,77,91,941, 98ff Auftrillszeitpunkt 401 Ausblendeigenschaft -, einer 3-Funktion 12,57 -, einer diflerenzierten /I-Funktion 15

Ausbreitungsmedium 139 Ausbreitungsrichtung 179 Ausgangsebene 156,197, 211f Autokorrelationsfunklion 2, 39 Axiom 142,162,165

Bandbegrenztheit 31,35 Bandbegrenzung 37, 113 Bandbreite 35,38,216 BandpaB 226 Basislunktion 66 Basisvektor 1 07ff, 111f Beschreibung -, dillerentielle 160 -, integrale 1601 -,operationelle 137,200,205 -, systemtheoretische 137,164,220,223 Bessel-Funktion 24,69,94,181 Beugung 192, 198ff, 216 Beugungsintegral 200 Beugungs-Tomographie 223 Bewegung 64,74 -, mit konstanter Geschwindigkeit 64,74 -, -slaktor 74 Bildgewinnungsverfahren 4,127,130,223 Bornsche Naherung 217,219ff Bornsche Reihe 222 Brechung 198,209 Brechungsindex 208,217,2201 Brennweite 211

Central slice theorem --+ Zentralschnill­Theorem Chirp 24, 206, 2091 Computer-Tomographie 101,12711

OamplungsmaB 129 3-Dipollunktion 541, 57 /I-Dipolkreis 56 /I-Dipolkugel 92 /I-Dipolpunkt 56, 169 3-Ebene 42, 441, 471, 62 -, eindimensionale 41ff -, Einheits- 48 -, Spektrum 71f1 /I-Ebenenbuschel 9511, 101 /I-Ebenen-Puls 104,1061,121 /I-Flache 42,44,46, 49ft, 61 -, eindimensionale 48, 57 -, Einheits- 491, 52 -, Produkt 51ff

238

-, Spektrum 77,94 /I-Funktion 1011, 3911 -, Delinition 12,57 -, dillerenzierte 541,150 -, eindimensionale 4111,51 -, Einheits- 46 -, im Mehrdimensionalen 40, 57 -, Integration 46 -, k-dimensionale 42, 44 -, mehrdimensionale 41,43,51 -, Rechengesetze 12 -, Obertragung iiber line are Systeme 15 -, zweidimensionale 44 /I-Gerade 42,4411,62,74,951,126,130 -, eindimensionale 47 -, Einheits- 48, 53

-, Spektrum 7111, 96 -, tangentiale 4 -, zweidimensionale 53 /I-Geradenbiischel 9511, 101, 13011, 136 -, regulares 96 /I-Geraden-Puls 10311,107,115,120 /I-Halbkreis 501 /I-Halbkugelschale 186 /I-Impuls 111,40,57,98 -, dillerenzierter 14,55,148 /I-Kreis 42,45,501, 77, 79, 84 -, dillerenzierter 56 -, Spektrum 77, 94 /I-Kugel 42,45,77,92,94,165,182 /I-Linie 42,44,46,4911,57,61,64,74 -, eindimensionale 4, 100 -, Einheits- 49ff -, Produkt 511 -, Spektrum 77,94 /I-Puis 24,34,36,102, 135 /I-Punkt 42,441, 57ft, 99,158,210 -, Einheits- 53, 57 -, -Impuls 147, 170 -, -raster 10511 -, Spektrum 71 /I-Punkte-Puls 1031,107,115,11811 Detektion 4 Determinante 67, 154, 157, 175 Differentialgleichung 13811, 142ff, 15111 -, partie lie 138, 164 Dillerentialoperator 139 Differentiation 19,87,100 -, distributive 13 -, -srichtung 54 -, -ssatz 23,68,88,98, 162 Differenzenergie 21 Diffusion 140 Dimensionalitat 3,91,99 Dimensionstranslormation 101 Dipol(-Punkt)quelle 1461,1691,175,19,203 Dipolwelle 1931,2001 Dirac-Impuls 10 Divergenz 162 Dreiecklunktion 24 Drehung 69

Ebene ~ /I-Ebene Eigenlunktion 8, 191,25,291, 122 Eigenwert 8, 20 - -spektrum 81,30 Einlallsrichtung 2241 Eingangsebene 156,197,2111 Einheitsimpuls 24 Einheitssprung 24 -, Fourier-Translormierte 261 -, Laplace-Translormierte 261 Einheitsvektor 48 Elektrostatik 141 Endpunkt 781 Energie 69, 941 evaneszente Wellen 1831,1861,1961,223 Ewald-Kugel 183, 18511, 223ft

Faltung 6,16,211, 29ft, 60, 1221, 1251, 143 -, diskrete 126 -, Eigenlunktionen 9, 20 -, mehrdimensionale 58 -, mit II-Ebene 62 -, mit II-Flache 61 -, mit II-Funktionen 12, 19 -, mit /I-Gerade 62, 76 -, mit II-Linie 61 -, mit II-Punkt 581 -, partielle 67 -, -sintegral ~ Faltung -, -skern 61 -, -ssatz 23,68 -, -symbol 58 -, Veranschaulichung 17 -, zweidimensionale 5811 Ian beam geometry 129 Fehler -, der Fresnel-Naherung 201 -, mittlerer quadratischer 21 Feld 1371 -, elektromagnetisches 169 -, Fern- 9,172,18811,20211,226 -, -greBe 1371,1681,173 -, komplexes zeitunabhangiges 177 -, skalares 1371,162,164 -, -starke

-, elektrische 138, 141, 164 -, magnetische 138,1411,164

-, Vektor- 138, 1621 -, wirbeifreies 138 Filter 22, 35, 37 -, -bank 127 -, HochpaB- 22 -, holographisches 216 -, Rekonstruktions- 36 -, TielpaB- 22, 37 liltered backprojection 132 Flache ~ /I-Flache Flachenintegral 46 Fokus 184,210 lokussierte Welle 1851 Fourier

-, -Beugungs-Theorem 22211 -, -Ebene 2111, 21411 -, -Integral 82 -, -Korrespondenzen 22, 24

-, zweidimensionale 81 -, -Optik 205 -, -Reihe 88 -, -ROcktransformation 20, 22 -, -sche Dillerentialgleichung der Warme-

leitung 140 -, -Spektrum ~ Spektrum -, Transformation 811,1911,30,189

-, eines Vektorfeldes 1621 -, eindimensionale 23 -, Gesetze 221,68f -, koharent-optische 211, 214 -, mehrdimensionale 65 -, n-dimensionale 65,68f -, Symbol 66,81

-, -Translormator 9 -, koharent-optischer 21111

-, -Transformierte ~ Spektrum Fraunholer-Beugung 202 Fraunholersches Fernfeld 202f, 2121 Freiheitsgrade, Anzahl 38 Frequenz 20 -, komplexe 25 -, -vektor 65 Fresnel-Beugung 2011 Fresnel-Naherung 2011,205, 209f, 212, 214 Funktionenlolge 11

GauB-Funktion 11,24,84,921, 155 Gedachtnis 6, 28 gemischtes Produkt 54 Gerade ~ S-Gerade GeradenstOck 133 Geschwindigkeitspotential 140, 164, 168 Gradient 4811,521,138,162 Gradientenfeld 162 Greensche Funktion 161 Greenscher Integrationssatz 159

Hadamard-Transformation 9 Hankel -, -Funktion 181 -, -Korrespondenzen 84 -, -Translormation 83,85 Helmholtz-Gleichung 178,21711 Hessesche NormaHorm 48 Hexagonal-Raster 10911 Hilbert-Transformation 32 HiHslunktion 2 HiHsgroBe 39 Hillskoordinatensystem 621 homogene Losung 142,160,166,1781 Homogenitat 142,161 HOlikurve 95,98,100 Huygens-Fresnelsches Prinzip 193

Impulsantwort 1611,301,39, 12211, 127 -, zeitinvariante 16 -, zeitvariante 15f,29 Impulsintegral 111,401,46 Impulskompressionsfilter 210 Impulsquelle 147f,15211 Inlormationsgehalt 38 Inhomogenitat 198,2161 Integralwert eines &-Punktes 45 Integrationssatz 23, 68 Integrationsweg 46,49,77 Interpolation 34,361, 1011 Inverslilterung 155 Inversproblem 4,9, 19,30

Kausalitat 16f,166 Kernspin-Tomographie 101 Keule 1901 -, Schwenkung 1901 Kinofilm 121 Klassifizierung 4 Knick 78f,98 koharent-optischer Prozessor 216 Konvergenz -, -bereich 25 -, der Fourier-Translormation 21 -, der Laplace-T ranslormation 25 -, -gebiet 26 konvergenzerzwingender Faktor 21, 25, 65 Koordinatentransformation 30,6711 Korrelation 60 -, -ssatz 23, 68 Kosinus 47 -, Richtungs- 179,214 KrOmmung 100 -, -sradius 79 kubisches Raster 112 Kugelkoordinaten 90,138,1711,188.20311 Kugelwelle 18011,18411,193,200.206.218 k-Vektor 17811, 204

Langzeitbelichtung 64 Laplace-Operator 1391, 199 Laplace-Translormation 91,2511, 153. 166 -, Gesetze 27 -, Korrespondenzen 271, 167 Leuchtdichtefunktion 60 Lichtgeschwindigkeit 141 Linearform 47 Linearitat 161 Linienintegral 57,61,127 Linse-Raum-Linse-Konfiguration 211.213 Lochkamera 60 LOcken. spektrale 36,106

Materialinhomogenitat 1591 Materialkonstante 139,219 Maxwellsche Gleichungen 141 Medium 13911,144,161,198, 217f

239

240

Mehrdeutigkeit 145 MeBebene 1851,222,2241 Mittel, zeitliches 361 Modulation 6 - -slunktion 6, 28, 78, 207 Modulator 28,30, 199,207 -, Amplituden- 2081 -, Phasen- 20811 Momentangeschwindigkeit 64 Momentensatz 23, 68

Nabla-Operator 1391, 163 Neumann-Funktion 181 Neumann-Iteration 222 Normalenableitung 57,157,159 Normalenvektor 471,52,541,73 Normalenwinkel 78 NulHlache 50 Nullinie 48, 50

Objekt(lunktion) 128ft, 160, 171ft, 218ft -, -ausdehnung 171,188 -, ortsbegrenztes 171 Operation (5. auch System) -, nichtlineare 7 -,ortsvariante 125,127,161 -, zeitvariante 10,12211,161 Operator 2,2191 Ordnung (einer Difterentialgleichung oder eines Systems) -, raumliche 139ft,175 -, zeitliche 139ft, 151fI, 173 Orts-Bandbreite-Produkt 113, 133, 135, 216 Ortslrequenz 202, 2041, 216 Ortslrequenzfilterung 132,215 Ortslrequenzvektor 81,137 Ortssysteme 6 Ortsvektor 39,80,137

Packung, dichteste 1081, 111 Parabel 79 Parallelepiped 54, 108 Parallelogramm 52, 54, 108 Parallelstrahlgeometrie 129 Parameter 5 Parsevalsche Gleichung 23,69,123 partikulare Lesung 142, 144, 160 periodische Wiederholung 35, 37 Phase -,Iineare 72,81,101,1901 -, quadratische 84,921, 100, 201f, 203, 2091,

212 phased array 191 Phasenlaktor -+ Phase Phasenterm -+ Phase Phasenverschiebung 183,220 physikalische PMnomene 137 piecewise isoplanatic approach 127 platonischer Kerper 97

Pol 261,78,84,921,100,166 Polarkoordinaten 75, 82, 138 Polyeder 97 Polytop 98 Potential 138 -, elektrostatisches 138 Projektion 621 , 74ft, 84, 101, 116, 13011, 186 -, eines 5-Kreises 77 -, Parallel- 62, 75, 129, 223 -, planare 63,76,1721,188 -, -sgerade 63 -, -srichtung 63,75,186 -, -ssatz 68 -, -swinkel 63 -, Zentral- 129 Punktantwort 39,58,1301,174,180 -, des Raums 1921,2001,207,210 -, ortsvariante 127 -, zur Lesung des Anlangswertproblems 153 -, zur Lesung des Quellenproblems 181,183,

218 Punkt-Impulsantwort 1641,176 -, verschiebevariante 6 -, zur Lesung des Quellenproblems 144ft,

150,167 -, zur Lesung des Randwertproblems 1571 PunktqueUe 149,158,180,184 Punkt-Impulsquelle 147, 1681 Pulskompression 210

Quadrat-Raster 105, 1091 Quelle -, Dipol(-Punkt)- 1461,158,1691,175,192,

203 -, ebene 1491 -, harrnonische 1881 -,Impuls- 1471,152ft -, nichtemittierende 145, 1871 -, Punkt- 149,158,180 -, Punkt-Impuls- 1461, 1681 -, Realisierbarkeit 168 -,synchrone 146, 171f, 188 quellenlrei 1421, 184, 187, 1961 Quellenlunktion 138, 140ft, 164, 183ft, 218 -,Iiktive 143, 151, 156, 158, 192 -,spezielle 146,169 Quellenproblem 143ft, 153,160, 164ft, 1801, 203,218,226 -, inverses 145,1881 Quellenterm -+ Ouelienlunktion Quellenverteilung -+ Ouellenlunktion Querschnitt 46, 51f1 -, einer 5-Ebene 471, 72 -, einer 5-Flache 491 -, einer 5-Geraden 471,53, 62, 721 -, einer 5-Unie 481, 53ft, 57, 64, 78ft -, eines 5-Halbkreises 50 -, eines 5-Punktes 54

Radartechnik 190,210 Radialschnitt 69, 83ft, 91,182

Radon-Translormierte 63,172,188 Randbedingung 1421,175,192,199 Randwertaulgabe ~ Randwertproblem Randwertproblem 4,143, 155ft, 1601, 164, 1751, 192 -, raumliches 143,155 -, zeitliches 143,151 Raum-Linse-Raum-Konliguration 213 Rauten-Raster 106, 109 Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsintegral 200 Realisierung -, einer &-Funktion 111,4111, 50ft, 71 -, einer dillerenzierten a-Funktion 14, 55 -, physikalische 189 Rechteck-(rect-)Iunktion 24,41,44 Rechteck-Raster 1051 Reflexion 198 regular 97 Rekonstruktion 34ft, 101, 130, 132, 187 rezeptives Feld 18 p-Filter 1311,136 Richtdiagramm 189ft Richtungskosinus 179,214 Richtungsvektor 521, 73 Rontgen-Strahl 128 Rontgen-Tomographie (s. auch Computer­Tomographie) 63 Rotation 105,1621 Rotationsperiodizitat 851 Riicklaltungs-Impulsantwort 19 Riickprojektion 130ft Rytovsche Naherung 217

Satz der konjugiert komplexen Funktionen 23, 68 scattering ~ Streuung Schalldruck 1371,140,164,168 Schallschnelle 138,140,169 Schallwellen 140 Schatten 60 -, -wurfkorrelator 60 Scherung 71,105 Schnitt -, -punkt 521 -, dreier &-Flachen 531 -, zweier &-Flachen 511 -, zweier &-Linien 511 -, -bildsequenz 104,121 SchrOdinger-Gleichung 218 Schwachungskoeftizient 128 Separierbarkeit 31 Separierungssatz 68,71, 134 Sequenzfaitung 1171 Sequenzspektrum 114,11611,121 -, Zeilensprung- 120 si-Funktion 24, 36ft, 84, 92,1341 Signal 2, -, abgetastetes 34, 36 -, dreidimensionales 90 -, Eingangs-, Ausgangs- 2ft,10 ._, exponetiell ansteigendes 25

-, exponetiell begrenztes 21 -, kausales 25 - -klasse 9,98 -, kugelsymmetrisches 911 -, mehrdimensionales 38,99, 113 -, optisches 205ft -, orts- und Irequenzbegrenztes 113 -, rotationssymmetrisches 69, 82ft, 92, 95 -, separierbares 66, 90 -, skalares 4 -, Zeit- 10 -, zikularharmonisches 85 -, zweidimensionales 70, 80 Sombrero-Funktion 84 Spatprodukt 54 Spektraitranslormation 1, 8 Spektrum 8, 21 -, anisotropes 106 -, des abgetasteten Signals 34 -, einer &-Ebene 71ft -, einer a-Flache 73, 77, 80 -, einer &-Geraden 71f1 -, einer &-Kugel 71 -, einer &-Linie 73, 77ft -, eines &-Kreises 77 -, eines &-Punktes 71 -, eines Rechteckrasters 105 -, Eingangs-, Ausgangs- 22 -, isotrop begrenztes 102, 108, 110 -, kugelsymmetrisches 91f -, mehrdimensionales 113 -, rotationssymmetrisches 69, 821, 92 -, Teil- 661,150,168,175, 181f1 -, totales 66 Sprung 781,98,100 Stauchung 70 Stetigkeit 98 Streu/eld 160, 217ft, 222ft Streukorper 160, 216ft Streuobjekt ~ Streukorper Streuproblem 139,143,159, 217ft -, inverses 160,224 Streuung 1591,198, 216ft -, Riick- 2251 -, Vorwiirts- 2251 Summation 130,132 Superpositionsintegral 151 -,lineares 10,29,160 Superpositionsprinzip 61 System 2 -, deterministisches 5 -, eindimensionales 10 -, Irequenzinvariantes 28 -, -Iunktion ~ Obertragungslunktion -, gedachtnisbehaftetes 61 -, gedachtnisloses 61 - -identilikation 4,19 - -klassen 5, 9 -,Iineares 6,10

-, Beispiele 30 -, mehrdimensionales 39 -, multivariables 4, 7

241

Erratum

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-, nichtlineares 6f,160 -,ortsinvariantes 6, 144 - ·parameter 5,146,148,153,160,220 -, skalares 4, 7 -, Teil· 71 -, ·theorie 1, 2, 137, 162

-, lineare 7f, 39 -, variationsbegrenztes 124ft -, vektorielles 4 -, verschiebeinvariantes 6 -, verschiebevariantes 6 -, Zeit· 6,10 -, zeitinvariantes 6,16,191,28,144 -, zeilvariantes 16, 28ft, 122

Tangentialstelle 78ft Taylor·Reihe 7 Temperatur 1371 -, ·feld 137,140 Tiefpal3 216, 226 -, -filterung 186 Trajektorie 64f,74 Translormation -, des Arguments einer S-Funktion 12 -, des Arguments einer difterenzierten

S-Funktion 15 Transparenzlunktion 1991,215 Transparenzobjekt 217

Oberlappung 36,117 Obertragungslaktor ~ Obertragungslunktion Obertragungslunktion 1,20, 130f, 174, 176, 215f -, des Raums 192, 194ft, 207,210 -, zeitvariante 123 -, zur Losung des Anfangswertproblems . 153 -, zur Losung des Quellenproblems 144ft, 1661,181,183 -, zur Losung des Randwertproblems 158 Obertragungsproblem 4,19,21 Ultraschall 190,221,223 Unstetigkeit 78,100 Ursache-Wirkung 3

Variationsbandbreite 124 Variationsbegrenztheit 126 Vektorfeld 138,1621 -, zentrales 50 Vektorprodukt 52,162f verallgemeinerte Funktionen 10 Verschiebevarianz 7, 23 Verschiebung -, des Signals 58 -, ssalz 23, 68 Verschmierung (Verwischung) eines Signals 611,64,130 Vertauschungssatz 23,68

Videosignal 114,118 Volterra·Reihe 7 Volumenableitung 162, 164 Volumenintegral 54

Warmeleitung 140 Warmestrom 138 Walsh·Transformation 9 Welle -, Oipol- 1931,2001 -, divergente 206,210 -, ebene 178ft, 186, 194ft, 206, 2241 -, einfallende 159, 217ft, 2221, 2251 -, elektomagnetische 141 -, fokussierte 1851 -, harmonische kohiirente 177,216 -, konvergente 206, 209f -, Kugel- 180ft, 184ft, 193,200,206 -, paraxiale 205, 208 -, quergedampfte (evaneszente) 183f,1861,

196f Wellenausbreitung 164ft -,-sgeschwindigkeit 198,217,219 Wellengleichung 140ft, 151, 165, 173, 175, 1781,199 Wellenlange 179,195 Wellenvektor 178f,224 Wellenzahl 178,217 Weylsche Formel 182 Wiederholabstand 35 Wiederholraster 103,107,113 -, optimales 111 -, regulares 112 Wiederholspektren 35f, 104 Wiederholung 1031,113,134 Wigner-Distributions·Funktion 39 Winkelabhangigkeil 132, 134 Winkelabtastung (Winkeldiskretisierung) 1311, 135f Winkelinkrement 96,130 Winkelspeklrum 196, 204 Wirkungsgrad eines Abtastrasters 1 09f, 112, 136

Zeilensequenz 1141f,1211 Zeilensprungsequenz 119 Zeilensprungverfahren 114, 118ft Zeil-Bandbreile-Produkl 38, 113 Zeitdauer 38 ZeiUaktor 177,186,189 Zeilsystem 6, 10 Zeitsignal 10 Zeitverschiebung 19 Zentralschnill-Theorem 74ft, 78, 831,101,129, 2231 Zirkularharmonische 88ft Zuordnungssatz 23, 31, 69 Zusstandsdarslellung 1

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