Mehanika I

Draga

n-Goca

-NenadDeo I

Dinamika

5

Draga

n-Goca

-Nenad

Draga

n-Goca

-Nenad

GLAVA

1

UVOD

Pri proucavanju kretanja u kinematici uvode se osnovni pojmovi: pros-tor i vreme. Pomocu tih pojmova moze da se opise kretanje geometrijskihobjekata i na taj nacin posmatra se:

promena njihovog polozaja u toku vremena kao i

pojave koje su vezane za promenu polozaja (brzina, ubrzanje).

Me -dutim, kinematika ne moze da objasni uzroke kretanja, pa je neophodno,pored prostora i vremena, uvesti i treci osnovni pojam – masu.

U prirodi, mehanicka kretanja nastaju usled me -dudejstva (interakcija)tela, koje se iskazuje merama mehanickog dejstva, tj. silama i spre-govima.

Oblast mehanike u kojoj se izucava kretanje ovakvih materijalnih telanaziva se dinamika. Osnovne veze izme -du prostora geometrijskih objekata,vremena i mase uspostavljaju se pomocu osnovnih zakona. Mehanika neuvodi samo neophodne osnovne pojmove vec i pretpostavlja vazenje (pos-tulira) odre -denog broja osnovnih zakona i tezi da pomocu njih objasni kre-tanje.

Izbor osnovnih zakona nije sasvim proizvoljan, vec mora da ispuni odre -deneuslove. Ti uslovi zavise pre svega od karaktera pojava koje se tumace, jer

7

Draga

n-Goca

-Nenad

1.1 Njutnovi zakoni 1 Uvod

Njutnovi zakoni svaka teorija ima svoje granice vazenja. Mehanika izucava pojave pri kre-tanju tela koja se krecu brzinama malim u odnosu na brzinu svetlosti i neuzima u obzir mikrostrukturu tela. Cesto se u literaturi naziva i klasicnamehanika. Kad su brzine kretanja velike i ne mogu da se zanemare upore -denju sa brzinom svetlosti dolaze do izrazaja tzv. relativisticki efekti.Relativisticka mehanika, ili u sirem smislu teorija relativnosti, izucavapojave koje su posledica kretanja tela brzinama bliskim brzaini svetlosti.Kod pojava vezanih za mikrostrukturu materije dolaze do izrazaja oni ekektikoji se makroskopski ne mogu primetiti. Njih proucva atomska fizika ikvantna mehanika.

Osnovni zakoni ne smeju, u okviru svoga vazenja, da budu u suprotnostisa iskustvom, treba da budu dovoljni za formulisanje potpune teorije kre-tanja i naravno ne smeju da budu me -du sobom protivrecni. Mehanika josne raspolaze potpunim sistemom nezavisnih i neprotivrecnih aksioma (os-novnih zakona), vec se sluzi tzv. Njutnovim osnovnim zakonima dinamike1.

1.1 Njutnovi zakoni

Osnovne zakone dinamike2 formulisao je Njutn (Newton) 1687. godineu svom cuvenom delu ”Matematicki principi filozofije prirode”3, polazeci odosnovnih pojmova: prostor, vreme, masa. Oni se ne dokazuju, dakle pred-stavljaju aksiome mehanike (klasicne, Njutnove). Najbolja potvrda njihoveispravnosti je mogucnost da se na osnovu ovih principa prognozira kretanjetela u prirodi i napravi niz tehnickih naprava (masina).

Prvi Njutnov zakon

Svako telo ostaje u stanju mirovanja, ili jednolikog pravolinijskog kretanja,dok pod dejstvom sile ne bude prinu -deno da to svoje stanje promeni. 4

Drugi Njutnov zakon

Promena kretanja proporcionalna je sili koja dejstvuje na telo i vrsi se upravcu sile. 5

1Ovaj deo mehnike zato sa csto zove i Njutnova dinamika.2Axiomata sive leges Motus.3Philosophiae naturalis principia mathematica4Corpus omne perseverare in statu suo qitiescendi vel moven’li uniformiter in directurn,

nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur ftatum suum mutare.5Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam

rectam qua vis illa imprimitur.

8

Draga

n-Goca

-Nenad

1 Uvod 1.1 Njutnovi zakoni

kruto teloTreci Njutnov zakon

Dejstvu (akciji) uvek je jednako protivdejstvo (reakcija), ili me -dusobna de-jstva, dvaju tela uvek su jednaka i suprotno usmerena.6

Njutnovi zakoni govore o kretanju tela, gde se pod telom podrazumevamaterijalna tacka (cestica) ili telo koje vrsti translatorno kretanje. Speci-jalan slucaj kretanja je mirovanje. O mirovanju materijalne tacke, uodnosu na okolinu, govori nam prvi Njutnov zakon. Me -dutim, kad se posma-tra mirovanje tela potrebno je uzet u obzir, sem sila, i neke druge velicine,kao sto su: moment sile, spreg. U narednom poglavlju definisacemo ovepojmove kao i relacije koji se odnose na ovaj specijalni slucaj dinamike –Statiku.

Napomena. U delu mehanike, koji se zove dinamika, proucava se kre-tanje materijalnih tela pod dejstvom sila i spregova koji deluju na dato telo.Pretpostavlja se da su tela kruta, tj. ne deformisu se tokom kretanja. Zadeformabilna tela u ravnotezi mogu se primeniti isti uslovi ravnoteze kao iza kruta tela.

6Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporun duorum ac-tiones in se mutuo semper esse aequales et in partes cortrarias dirigi.

9

Draga

n-Goca

-Nenad

1.1 Njutnovi zakoni 1 Uvod

10

Draga

n-Goca

-Nenad

Ravnote“v zaSila

GLAVA

2

STATIKA

2.1 Uvod

Statika je oblast mehanike u kojoj se izucava ravnoteza jednog ili visekrutih tela na koja deluju sile.

Pod ravnotezom tela podrazumeva se da se telo ne krece u odnosu naokolinu.

Napomena. Treba uociti da (III Njutnov zakon) sile akcije i reakcije, kakodeluju na razlicita tela, nisu u ravnotezi.

2.2 Osnovni pojmovi i definicije Statike

2.2.1 Sila

U mehanici se pod pojmom sila podrazumeva uzrok koji menja stanjekretanja ili mirovanja tela. Ako se telo nalazi u miru, onda ce se ono poddejstvom odre -dene sile pokrenuti i nadalje kretati, sve dok ga neki drugiuzrok - sila - ne zaustavi. Dakle, sila je velicina koja predstavlja merumehanickog me -dudejstva materijalnih tela. Me -dutim, ovakva definicija silenije potpuna. Naime, iz ove definicije se ne vidi priroda sile (skalar, vektor,tenzor).

11

Draga

n-Goca

-Nenad

2.2 Osnovni pojmovi i definicije Statike 2 Statika

sistem silasistem sila!ravanskisistem sila!prostorni

Pojam sile, preko osnovnih velicina (duzina, vreme, masa), kao sto jevec receno, definisao je Njutn u obliku cetiri aksioma (principa) mehanike,koji je u potpunosti odre -duju i po prirodi, i po velicini i ukazuju na njenizvor. Ovi aksiomi u literturi poznati su kao Njutnovi zakoni, pa cemo ih imi nadalje tako zvati.

Prethodno su navedena tri Njutnova zakona. Iz treceg (zakon akcije ireakcije) sledi da izvor sile treba traziti u materijalnim telima. Me -dutim,Njutn je formulisao i cetvrti princip

Pri istovremenom dejstvu dve sile na materijalnu tacku, tacka se krecepo dijagonali paralelograma, konstruisanog nad tim silama kao stranama,za isto vreme za koje bi se kretala po pojedinim njegovim stranamapri dejstvu svake sile posebno.

A

B

Slika 2.1: Paralelogram sila.

Ovaj princip poznat je kao princip nezavisnosti dejstva sila. Njutn ga jeformulisao kao dopunu drugom aksiomu. On odre -duje prirodu sile, ukazujucida se ta dejstva sabiraju geometrijski, tj. da je sila vektorska velicina.

Sistem sila. Rezultanta

Sistem sila je skup svih sila koje deluju na posmatrano telo. Neka natelo deluju sile S1, S2, . . . , Si, . . . , Sn, sa napadnim tackama A1, A2, . . . ,Ai, . . . , An. Tada se sistem sila simbolicki predstavlja u obliku (S1, . . . ,Sn),ili krace sa (Si), i = 1, 2, . . . , n.

Sistem sila moze da bude:

- ravanski (napadne linije svih sila leze u jednoj ravni) ili

- prostorni (napadne linije sila su raspore -dene u prostoru 1).

1Pod prostorom podrazumeva se trodimenzionalni Euklidski prostor. Pojave kojeizucava klasicna mehanika desavaju se u ” Svetu doga -daja” W , koji cini trodimenzionalni

12

Draga

n-Goca

-Nenad

2 Statika 2.2 Osnovni pojmovi i definicije Statike

Sistem sila!su“v celjniSistem sila!paralelniSistem sila!proizvoljanSistem sila!kolinearniSistem sila!ekvivalentanRezultantaTelo!vezanoTelo!slobodnoVezeReakcija vezeVeza!reakcijaSila!aktivna

Pored ove podele, sistem sila moze da bude i:

- suceljni (napadne linije svih sila seku se u jednoj tacki),

- paralelni (napadne linije sila su me -dusobno paralelne) i

- proizvoljni (napadne linije sila zauzimaju proizvoljan polozaj u pros-toru ili ravni).

Napomena. Ako se napadne linije svih sila sistema poklapaju, tada takavsistem nazivamo sistem kolinearnih sila.

Dva sistema sila (Si), i = 1, 2, . . . , n i (Sj), j = 1, 2, . . . ,m, su ekviva-lentna, ako pri zameni jednog sistema drugim ne dolazi do promene stanjakretanja (mirovanja) tela. Specijalno, ako je jedna sila ekvivalentna datomsistemu sila, tada se ona naziva rezultanta i obelezava se sa R.

F2

F2

Fi

FR

Fi

F1

F1

F3

F3

Fn

Fn

A

O

a) b)

Slika 2.2: Rezultanta.

2.2.2 Veze, vrste veza i njihove reakcije

Telo cija su moguca pomeranja ogranicena naziva se vezano telo, inaceje telo slobodno. Tela koja sprecavaju pomeranje posmatranog tela nazi-vaju se veze. Ako veze dopustaju telu neko pomeranje, tada kazemo da jeposmatrano telo delimicno vezano.

Sila kojom veza deluje na dato telo i sprecava njegovo pomeranje nazivase reakcija veze.

Na osnovu prethodnog, sile delimo na:

- aktivne sile (sile koje izazivaju kretanje ili uravnotezavanje tela) i

Euklidski prostor E3 u kome se odre -duje mesto, i jednodimenzionalni Euklidski prostorE u kome se odre -duje vreme doga -danja, tako da je (simbolicki napisano) W = E3 × E.

13

Draga

n-Goca

-Nenad


Reakcija vezeVeza!reakcijaSila!pasivnaVeza!spolja“v snjaVeza!unutra“v snjaVeza!idealnaPrincip!osloba“djanja odveza

- sile reakcija veza ili krace reakcije. Ove sile se nekad nazivajui pasivne sile (sile koje, za razliku od aktivnih, ne mogu da izvrsepomeranje tela).

Da bi se odredili uslovi ravnoteze nekog sistema, potrebno je uzeti uobzir sve spoljasnje sile, aktivne i reakcije. Otuda je veoma vazno da se,zavisno od vrste veza, pravilno odredi pravac reakcija veza tog sistema.

Kada razmatramo sistem tela, veze delimo na:

- spoljasnje (veze kojima je posmatrani sistem povezan sa okolinom) i

- unutrasnje (veze izme -du tela posmatranog sistema).

Za vezu kazemo da je idealna ako je njena reakcija upravna na pravacbeskonacno malog vezom dopustenog pomeranja tacke tela u kojoj delujereakcija veze, ili veza je idealna ako se, iz bilo kojih razloga, trenje mozezanemariti. Idealne veze u prirodi ne postoje, ali je veliki broj problema ukojima se sile trenja mogu zanemariti u pore -denju sa drugim silama. Ipak,postoje i takvi problemi u kojima se trenje, makako malo, mora uzeti uobzir.

2.2.3 Princip osloba -danja od veza

Proucavanje ravnoteze vezanog tela omogucava nam

Princip 1 (osloba -danja od veza) Svako vezano (neslobodno) telo mozeda se smatra slobodnim ako se veze uklone, a njihov uticaj zameni silamaveze (reakcijama) (neki primeri dati su na Sl. 2.3).

Vrlo je vazno, pri resavanju zadataka u statici, unapred znati pravac silareakcije, ako je moguce. Primer na Slici 2.3a ilustruje pravce reakcija utackama dodira A, B i C tela sa okolinom.

Postoji bezbroj nacina da se telo (sistem) veze za druga tela: na primerpomocu uzeta, stapa, zgloba, raznih oslonaca itd. (Sl. 2.3). Otuda ima imnogo nacina na koje deluju reakcije tih veza.

U sledecoj tabeli prikazani su neki slucajevi veza i odgovarajuce reakcije.

14

Draga

n-Goca

-Nenad


B

A A

B B

CC

FA

FB

FC

Jedna nepoznata. Reakcija je silakoja deluje nor alno na površinupodloge u tački kontakta.

m

Jedna nepoznata. Reakcija je silakoja deluje nor alno nam ravanoslonca

Dve nepoznate. Reakcije su dvemeđusobno upravne slie.

Tri nepoznate. Reakcije su dvemeđusobno upravne sile i moment.

glatka podloga

F

uže

Jedna nepoznata. Reakcija je silakoja deluje od tela, u pravcu užeta.

sferni zglob

pokretni oslonac

nepokretni oslonac

uklještenje

Tri nepoznate. Reakcije su trimeđusobno upravne sileFy

Y

Y

Y

X

XM

Y

Fz

Fx

.

.

.. .

Slika 2.3: Tabela reakcija veza.

2.2.4 Moment sile za tacku

Iz iskustva je poznato da ako na slobodno telo deluje jedna sila S, telo cese pomerati duz napadne linije sile (koja prolazi kroz srediste tela). Dakle,

15

Draga

n-Goca

-Nenad


MomentMoment!sile za ta“v ckuRavan obrtanja

telo nije u ravnotezi. Ako se to telo veze u nekoj tacki O, koja se nalazina napadnoj liniji sile, ono ce biti u ravnotezi, jer se sila S i reakcija vezeu tacki O uravnotezavaju. Me -dutim, ako se telo veze za tacku O, koja nelezi na napadnoj liniji sile, ono ce se obrtati oko tacke (sl. 2.4). Prematome, dejstvo sile na kruto telo moze imati i obrtni efekat. Obrtni efekatsile izrazava se velicinom koju nazivamo moment.

Definicija:

Moment sile S za tacku O je vektor MSO definisan vektorskim

proizvodomMS

O = r× S, (2.1)

gde je: r - vektor polozaja napadne tacke A sile S (r =−→OA), O - mo-

mentna tacka.

a

A A

O

O

S

S

S

MO

MO

Sr r

h

Slika 2.4: Moment sile za tacku.

Ravan koju obrazuju vektori r i S 2 naziva se ravan obrtanja.Iz definicije momenta sile za tacku, sledi da je:

- intenzitet momenta sile za tacku |MSO| = h·S, gde je h = |r| sinα –

najkrace rastojanje od momentne tacke do napadne linije sile i nazivase krak sile, pri cemu je α ugao izme -du pravaca r i S.

- pravac momenta je pravac upravan na ravan koju cine vektori r i S.

- smer momenta odre -duje se pravilom desne ruke (zavrtnja).

2Dve prave, koje se seku ili su paralelne, odre -duju ravan.

16

Draga

n-Goca

-Nenad


Dimenzija momenta sile za tacku je [M ] = SL = ML2T−2, gde je S - sila,L - duzina, M - masa, T - vreme.

Jedinica mere za merenje intenziteta momenta sile za tacku, u SI sistemu,je Nm (Njutnmetar).

Poznato je, iz vektorske algebre, da se vektorski proizvod moze prikazatisimbolicnom determinantom,3 tj.

MSO = r× S =

∣∣∣∣∣∣i j kx y zX Y Z

∣∣∣∣∣∣ , (2.2)

odakle, posle razvijanja detrminante, dobijamo

MSO = i(yZ − zY ) + j(zX − xZ) + k(xY − yX). (2.3)

Napomena. Ovde su velicine prikazane u odnosu na Dekratov koordinatnisistem. Jasno je da mogu da budu prikazani i u odnosu na neki drugikoordinatni sistem.

Dakle, moment sile za tacku je u potpunosti odre -den ako znamo koor-dinate napadne tacke sile (ili bilo koje tacke na napadnoj liniji sile, jer sene menja krak ako se napadna tacka pomeri duz napadne linije) i ako supoznate projekcije sile na ose izabranog koordinatnog sistema.

2.2.5 Moment sile za osu

Definicija:

Moment sile za osu definise se kao projekcija momenta sile za tackuna toj osi, na osu, tj.

Mℓ = MSO· ℓ0,

gde je ℓ0 – jedinicni vektor ose na koju se projektuje i O ∈ ℓ.

3Determinanta je skalarna vrednost, a ovde razvijanjem dobijamo vektor, pa zbog togakazemo ”simbolicka”.

17

Draga

n-Goca

-Nenad


yO

O

z

x

S

A

r

SM

O

M

Slika 2.5: Moment sile za osu.

Napomena. Moment sile za osu ne zavisi od izbora tacke.

2.2.6 Spreg sila

Definicija:

Spreg sila predstavlja sistem od dve paralelne sile istih intenziteta, asuprotnih smerova.

Sile koje cine spreg nazivaju se sile sprega (na Sl. 2.6 par S, S′). Ravan

koju odre -duju sile sprega naziva se ravan dejstva sprega. Rastojanjeizme -du sila sprega naziva se krak sprega (na Sl. 2.6 oznaceno sa a).

Efekat obrtanja karakterise se momentom sprega.

a

ravan dejstva sprega

a

S

S’A

B

r

m

Slika 2.6: Spreg sila.

18

Draga

n-Goca

-Nenad


Moment sprega sila je vektor odre -den vektorskim proizvodom

M =−−→AB × S, (2.4)

gde su A i B napadne tacke sila S′ i S (vidi Sl. 2.6).

Ovaj vektor je slobodan vektor i moze da se slobodno premesta u pros-toru.

2.2.7 Redukcija sile na tacku. Torzer

Redukcija sile na tacku

Kako je sila klizeci vektor, ona se ne moze proizvoljno premestati sa jednenapadne linije na neku drugu, bez posledice. Postupak premestanja sile izjedne tacke u neku drugu izvan napadne linije, a da se dejstvo sile na telone promeni, naziva se redukcija sile na tacku. Postupak redukcije sile,iz tacke B u tacku A, prikazan je na Slici 2.7, gde je M vektor momentasprega

M = r× S. (2.5)

S S

-SS SA A A

B B B

r r

= =

S SM

AM

Am

SM

A

Slika 2.7: Redukcija sile na tacku.

Neka je dat proizvoljan sistem sila Si[Xi, Yi, Zi] cije su napadne tackePi(xi, yi, zi) (i = 1, 2, . . . , n) (Sl.2.8a).

19

Draga

n-Goca

-Nenad


O O

z

x

y

z

x

y

S1

SS

RR

S2

S4

S3

Si

Sn

P1

P3

P4

Pi

P2

Pn

r1

r2

r3

r4

ri

rn

MO

a) b)

Slika 2.8: Prostorni sistem sila.

Vektori polozaja ri napadnih tacaka Pi sila Si su

ri = xii+ yij+ zik. (2.6)

Redukujmo ovaj sistem sila na tacku O. Neka je, bez gubljenja u opstosti,ta tacka ujedno i koordinatni pocetak Dekartovog koordinatnog sistema.Redukcijom, svih sila na tacku O, dobija se pramen4 suceljnih sila i pramenmomenata (spregova). Sabiranjem sila ovog sistem (Sl. 2.8b), dobija se

SR =

n∑i=1

Si = i

n∑i=1

Xi + j

n∑i=1

Yi + k

n∑i=1

Zi = XRi+ YRj+ ZRk. (2.7)

Zbir SR naziva se glavni vektor datog sistema sila. 5

Pored toga, kao posledicu redukcije dobicemo i n redukcionih momenata.Njihov zbir daje tzv. glavni moment6 sistema sila za redukcionu tacku O

4U geometriji, kada sve prave prolaze kroz jednu tacku, koristi se pojam ”pramenpravih”, pa je taj pojam preuzet, jer su napadne linije sila prave. Koristi se i pojam skupsila.

5Napomenimo da ovaj vektor ne predstavlja rezultantu (vidi definiciju !!!), jer porednjega postoje i momenti spregova, dobijeni redukcijom, pa dati sistem nije ekvivalentansamo jednoj sili.

6Napomenimo da se cesto glavni vektor naziva i glavni vektor sile, a glavni moment iglavni vektor monenta.

20

Draga

n-Goca

-Nenad


(Sl. 2.8b), koji mozemo da prikazemo u obliku

MSRO =

n∑i=1

ri × Si = (2.8)

= i

n∑i=1

(yiZi − ziYi) + j

n∑i=1

(ziXi − xiZi) + k

n∑i=1

(xiYi − yiXi) =

= Mxi+Myj+Mzk.

Glavni vektor sile SR i glavni moment MSRO , prostornog sistema sila, su

vektori razlicite vrste (razlicite prirode) i ne mogu se vektorski sabrati u trecivektor. Ovaj par vektora naziva se torzer, i predstavlja staticki ekvivalentdatom sistemu sila, tj. svaki sistem sila moze se, u opstem slucaju, zamenitijednim torzerom.

2.2.8 Uslovi ravnoteze

Uslovi ravnoteze u vektorskom obliku

Da bi proizvoljan sistem sila, koji deluje na kruto telo, bio u ravnotezi,potrebno je i dovoljno da glavni vektor i glavni moment budu jednaki nuli:

SR =

N∑i=1

Si = 0, MSRO =

N∑i=1

MSiO = 0.

Uslovi ravnoteze u skalarnom obliku

Da bi proizvoljan sistem sila, koji deluje na kruto telo, bio u ravnotezi,potrebno je i dovoljno da projekcije svih sila i momenata svih sila, za datutacku, na ose Dekartovog koordinatnog sistema, budu jednake nuli:

N∑i=1

Xi = 0,

N∑i=1

Yi = 0,

N∑i=1

Zi = 0,

N∑i=1

MSix = 0,

N∑i=1

MSiy = 0,

N∑i=1

MSiz = 0.

21

Draga

n-Goca

-Nenad


22

Draga

n-Goca

-Nenad

GLAVA

3

DINAMIKA MATERIJALNETACKE

3.1 Njutnovi zakoni dinamike

U Uvodu ovog dela (str. 8) definisani su:

Prvi Njutnov zakon. Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili jedno-likog pravolinijskog kretanja, dok pod dejstvom sile ne bude prinu -deno da tosvoje stanje promeni.

Drugi Njutnov zakon. Promena kretanja proporcionalna je sili kojadejstvuje na telo i vrsi se u pravcu sile.

Treci Njutnov zakon. Dejstvu (akciji) uvek je jednako protivdejstvo(reakcija), ili me -dusobna dejstva dvaju tela uvek su jednaka i suprotno us-merena.

Iz prvog Njutnovog zakona, koji se uvek mora tumaciti zajedno sa prin-cipom odre -denosti (nize definisanim), moze da se zakljuci nekoliko cinjenica.Ovim zakonom se ukazuje na svojstvo materijalne tacke da ostane u miruili da se krece jednoliko pravolinijski, ako od trenutka t0, odnosno pocetkanaseg posmatranja, na nju ne deluje nikakva sila. Tacka ostaje u miru akoje bila u miru pre tog trenutka. Ona se krece jednoliko pravolinijski, znacikonstantnom brzinom v, ako je u pocetnom trenutku imala brzinu v. Ovim

23

Draga

n-Goca

-Nenad

3.1 Njutnovi zakoni dinamike 3 Dinamika materijalne tacke

inertnostkoli“v cina kretanjaosnovna jedna“v cinadinamike

zakonom se ukazuje na svojstvo tacke da zadrzi svoje stanje, mirovanja illjednolikog pravolnijskog kretanja, ako nema nikakvog dejstva sile na nju.Ovo svojstvo materijalne tacke zove se inertnost. Indirektno, ovaj zakonukazuje na uticaj pocetnog stanja na stanje tacke posle tog trenutka. Ovimzakonom se ukazuje da samo dejstvo sile moze primorati tacku da promeni tostanje mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja. U izvesnom smislu,prvi Njutnov zakon ne pravi razliku izme -du mirovanja i jednolikog pravolin-ijskog kretanja tacke.

F

M

v

mv

a

Slika 3.1: Drugi Njutnov zakon.

Drugi Njutnov zakon se odnosi na slobodnu materijalnu tacku. Njutnpod kretanjem podrazumeva vektor koji se pridruzuje pokretnoj materijal-noj tacki M , a koji je proizvod mase m materijalne tacke i brzine v u datomtrenutku vremena (Slika 3.1). Ovaj vektor (mv) nazive se kolicina kre-tanja materijalne tacke. Pod promenom kretanja podrazumeva se izvodpo vremenu ovog vektora. Zato drugi Njutnov zakon glasi

d

dt(mv) = F, (3.1)

gde je F sila koja dejstvuje na tacku. Ako se masa materijalne tacke nemenja tokom vremena, odnosno ako je konstantna, ovaj zakon postaje

ma = F, (3.2)

gde je a = dv/dt apsolutno ubrzanje materijalne tacke u datom trenutku.Drugi Njutnov zakon u ovom obliku predstavlja osnovna jednacina di-namike.

Poznato je da je ubrzanje, koje je prema (3.2) kolinearno sa silom kojadeluje na tacku, usmeren u izdubljenu stranu trajektorije tacke. Zato trajek-torija tacke, pri poznatom pravcu i smeru sile, ne moze imati oblik putanje

24

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.1 Njutnovi zakoni dinamike

jedna“v cinakretanja!diferencijalna

kretanje po inercijipo“v cetni trenutak

dat isprekidanom linijom (vidi Sliku 3.1), vec samo onaj prikazan punom lin-ijom. Prema relaciji (3.2) masa je, po Kirhofu1, koeficijent proporcionalnostiizme -du sile F, koja je uzrok pojave ubrzanja tacke, i dobijenog ubrzanja a.Materijalna tacka manje mase dobija vece ubrzanje nego tacka vece mase,ako na njih deluje ista sila. Zbog toga, moze da se kaze da je sila kolicinskamera inertnosti materijalne tacke. Relacija (3.2) naziva se diferencijalnajednacina kretanja materijalne tacke.

Ako materijalna tacka ima konstantnu masu i ako na nju ne delujenikakva sila, odnosno ako je F = 0, onda iz (3.2) sledi da je za vremekretanja brzina tacke v konstantna, sto tvrdi prvi Njutnov zakon. Takvokretanje naziva se kretanje po inerciji.

Napomena. Drugi Njutnov zakon vazi za svaki trenutak vremena t ≥t0, ako je brzina tacke diferencijabilna funkcija vremena. U vremenskimtrenucima, ili u vrlo kratkim vremenskim intervalima, u kojima brzina tackenije diferencijabilna funkcija, drugi Njutnov zakon ne vazi.

3.1.1 Princip odre -denosti

Kretanje tela ili njihovo mirovanje u prirodi odvija se neprekidno tokomvremena. U nekom trenutku, pocinje da se proucava kretanje tela i pokusavada se predvidi njegovo dalje kretanje. Trenutak u kome pocinje proucavanjekretanja naziva se pocetni trenutak. Obicno se obelezava sa t0.

Princip 2 (Njutn-Laplasov) 2 princip odre -denosti klasicne mehanike tvrdida pocetno stanje mehanickog sistema, tj. stanje u pocetnom trenutku vre-mena t0, koje je odre -deno polozajem i brzinama tacaka sistema, jednoznacnoodre -duje njegovo dalje kretanje.

Period pre pocetnog trenutka t0, za posmatrani mehanicki sistem, je njegovapredistoriju. Njutn-Laplasov princip odre -denosti tvrdi da nijedan podatak izpredistorije kretanja, osim onih koji na njenom kraju u trenutku t0 odre -dujupolozaj i brzine tacaka sistema, ne utice na dalje kretanje sistema.

Pocetni uslovi kretanja

Drugi Njutnov zakon se primenjuje zajedno sa principom odre -denosti. Zatoje kretanje materijalne tacke odre -deno vektorskom jednacinom (3.2) i stan-

1R. Kirchoff, 1824 - 1887.2P. S. Laplace, 1749 - 1827.

25

Draga

n-Goca

-Nenad

3.2 Osnovni zadaci dinamike 3 Dinamika materijalne tacke

jem tacke na pocetku kretanja, koje se najjednostavnije moze iskazati zada-tim pocetnim uslovima kretanja

r = r0(= r(t0) = r|t=t0), v = v0(= v|t=t0

= v(t0)), za t = t0,(3.3)

gde je r0 pocetni vektor polozaja, a v0 pocetna brzina tacke.

3.2 Osnovni zadaci dinamike

Na osnovu II Njutnovog zakona, koji predstavlja osnovnu jednacinu kretanja(3.2) ma = F, u dinamici se mogu resavati dve vrste zadataka.

Prvi zadatak dinamike

Ako je poznato kretanje materijalne tacke poznata je funkcija vektora polozajatacke od vremena, odnosno r = r(t). U ovom slucaju treba odrediti silukoja izaziva to kretanje. Dvostrukim diferenciranjem zakona r(t) po vre-menu dobija se ubrzanje tacke a = r. Trazena sila, u funkciji od vremena,je F(t) = mr. Posto se diferenciranje uvek moze izvrsiti3 ovaj zadatakdinamike uvek ima resenje.

Drugi zadatak dinamike

Ako je zadat analiticki oblik sile, koja deluje na materijalnu tacku, tj. poznatje oblik funkcije F = F(t, r,v), tada treba naci zakon kretanja tacke r(t).Diferencijalna jednacina kretanja je oblika

mr = F(t, r,v),

a to je sistem od najvise tri (skalarne) diferencijalne jednacine drugog reda.Ove jednacine odre -duju kretanje tacke zajedno sa pocetnim uslovima kre-tanja (3.3)

r = r0, r = v0, za t = t0, (3.4)

gde je r0 pocetni vektor polozaja, a v0 pocetna brzina tacke (princip odre -denosti!).

Znaci, do zakona kretanja materijalne tacke dolazi se resavanjem diferen-cijalnih jednacina sa odgovarajucim pocetnim uslovima. Takav matematickiproblem naziva se pocetni ili Kosijev problem diferencijalnih jednacina.

3Na pocetku je pretpostavljeno da je funkcija r = r(t) dvaput diferencijabilna.

26

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.3 Diferencijalne jednacine kretanja tacke

3.3 Diferencijalne jednacine kretanja tacke

Posmatrajmo kretanje materijalne tacke M mase m u trodimenzionalnomprostoru pod dejstvom sile F. Ako se polozaj tacke M u prostoru odre -dujenjenim vektorom polozaja r, u odnosu na neku nepomicnu tacku O, tadadiferencijalna jednacina kretanja (u vektorskom obliku) tacke glasi

ma = F(t, r,v). (3.5)

Pri resavanju konkretnih problema kretanja, ova jednacina se zamenjujeodgovarajucim brojem skalarnih diferencijalnih jednacina u odabranom ko-ordinatnom sistemu.

Dekartov koordinatni sistem

Kretanje materijalne tacke u prostoru ima tri stepena slobode i moze seposmatrati u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu Oxyz (Slika3.2),

yO

z

x

F

M

a

v

j

k

i

r

Slika 3.2:

gde su vektor polozaja, brzine i ubrzanja tacke

r = xi+ yj+ zk, v = xi+ yj+ zk, a = xi+ yj+ zk.

x, y i z su koordinate tacke M . Projektovanjem jednacine (3.5) na ose x, y

27

Draga

n-Goca

-Nenad

3.3 Diferencijalne jednacine kretanja tacke 3 Dinamika materijalne tacke

i z dobijaju se diferencijalne jednacine kretanja

mx = Fx(t, x, y, z, x, y, z),

my = Fy(t, x, y, z, x, y, z),

mz = Fz(t, x, y, z, x, y, z),

(3.6)

gde su Fx, Fy, Fz projekcije na ove ose rezultujuce sile F, koja deluje natacku. Projektovanjem pocetnih uslova (3.4) na ose istog koordinatnog sis-tema dobija se sest pocetnih uslova

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0,

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0,(3.7)

gde su x0, y0, z0, x0, y0 i z0 zadate konstante. Opste resenje tri diferencijalnejednacine drugog reda (3.6) sadrzi sest integracionih konstanti C1, C2,. . . ,C6,koje se odre -duju iz sest pocetnih uslova (3.7).

U slucaju kretanja materijalne tacke u ravni, koje ima dva stepena slo-bode, izraz (3.6) se svodi na dve diferencijalne jednacine kretanja, a iz (3.7)slede cetiri odgovarajuca pocetna uslova.

Pri kretanju materijalne tacke po liniji zadatog oblika, koje ima jedanstepen slobode, postoji samo jedna diferencijalna jednacina kretanja i dvapocetna uslova.

Polarni koordinatni sistem

Posmatrajmo ravansko kretanje materijalne tacke, koje ima dva stepenaslobode, u polarnom koordinatnom sistemu Orφ, gde su brzina i ubrzanjetacke dati izrazima:

v = rr0 + rφp0, a =(r − rφ2

)r0 + (rφ+ 2rφ)p0,

a r0 i p0 su jedinicni vektori ovog koordinatnog sistema (Slika 3.3).

j

0

Mr

po

ro

F

a

Slika 3.3: Polarni koordinatni sistem.

28

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.3 Diferencijalne jednacine kretanja tacke

Projektovanjem vektorske jednacine (3.5) na pravce jedinicnih vektorar0 i p0 dobijaju se dve skalarne jednacine kretanja

m(r − rφ2) = Fr(t, r, φ, r, φ),

m (rφ+ 2rφ) = Fp(t, r, φ, r, φ),(3.8)

gde su Fr i Fp projekcije rezultujuce sile na radijalan i cirkularan pravac.Odgovarajuci pocetni uslovi kretanja tacke u polarnim koordinatama glase:

r(t0) = R0, φ(t0) = φ0,

vr(t0) = vr0, vp(t0) = vp0,(3.9)

gde su vr i vp radijalna i cirkularna projekcija vektora brzine tacke a R0,φ0, vr0, vp0 zadate konstante.

Sferni koordinatni sistem

U Kinematici su izvedeni izrazi za brzinu i ubrzanje u sfernim koordinatama(vidi na str. ??), respektivno:

v = rer + rφ cos θeφ + rθeθ, (3.10)

a = (r − rφ2 − rθ2)er+

+ (2rφ cos θ + rφ cos θ − 2rφθ sin θ)eφ+

+ (2rθ + rϱdotθ + rφ2 cos θ sin θ)eθ.

(3.11)

Projektovanjem vektorske jednacine (3.5) na pravce jedinicnih vektoraer, eφ i eθ, dobija se:

m(r − rφ2 − rθ2) = Fr(t, r, φ, θ, r, φ, θ),

m(2rφ cos θ + rφ cos θ − 2rφθ sin θ) = Fφ(t, r, φ, θ, r, φ, θ),

m(2rθ + rϱdotθ + rφ2 cos θ sin θ) = Fθ(t, r, φ, θ, r, φ, θ),

(3.12)

gde su Fr, Fφ i Fθ projekcije sile na odgovarajuce ose sfernog koordinatnogsistema. Odgovarajuci pocetni uslovi se mogu napisati u obliku:

r(t0) = r0, φ(t0) = φ0, θ(t0) = θ0,

r(t0) = vr0, φ(t0) = vφ0, θ(t0) = vθ0.(3.13)

29

Draga

n-Goca

-Nenad

3.3 Diferencijalne jednacine kretanja tacke 3 Dinamika materijalne tacke

Prirodni koordinatni sistem

Posmatrajmo kretanje materijalne tacke pomocu krivolinijske koordinate s,koja se meri duz trajektorije tacke, u prirodnom triedru jedinicnih vektoratangente T, glavne normale N i binormale B (Slika 3.4). Brzina i ubrzanjetacke su:

v = sT, a = sT+s2

RkN,

gde je Rk poluprecnik krivine trajektorije tacke. Ubrzanje tacke, a zbog togai rezultanta svih sila koje deluju na tacku, nalaze se u oskulatornoj ravnitrajektorije tacke. Zbog toga, projektovanjem vektorske jednacine kretanja(3.5) na pravce jedinicnih vektora T i N u oskulatornoj ravni dobijaju sejednacine kretanja

ms = FT (t, s, s),

ms2

Rk= FN (t, s, s),

(3.14)

gde su FT i FN projekcije rezultante svih sila koje deluju na tacku na pravcevektora T i N.

s

0

N

T

B

M

+

-

F

a

Slika 3.4:

Koriscenje krivolinijske koordinate s za opisivanje kretanja tacke oprav-dana je samo ako je trajektorija tacke poznata, tj. kada je poznat oblikkrive linije po kojoj se tacka krece. Tada tacka ima jedan stepen slobodekretanja i za nalazenje zavisnosti s(t) (zakon puta), tj. zakona kretanjatacke, korisit se samo prva jednacina (3.14), dok se iz druge (3.14), koja jetada algebarska, odre -duje reakcija veze.

Pri resavanju prve diferencijalne jednacine (3.14) odgovarajuce konstanteintegracije odre -duju se iz pocetnih uslova:

s(t0) = s0, s(t0) = s0,

gde su s0 i s0 zadate konstante.

30

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.4 Oscilatorno kretanje

slobodneoscilacije!harmonijske

harmonijske oscilacije

3.4 Oscilatorno kretanje

Oscilatorno kretanje proucava posebna disciplina mehanike Teorija os-cilacija, koja predstavlja osnovu citavog niza oblasti u fizici i tehnici. Iakosu oscilacije, koje se proucavaju u razlicitim oblastima (npr. u mehanici,radiotehnici, akustici i dr.), razlicite fizicke prirode, ipak osnovni zakonikojima se one pokoravaju su isti. Iz tog razloga, proucavanje mehanickihoscilacija vazno je ne samo zbog toga sto te oscilacije zauzimaju vrlo vaznomesto u tehnici, vec i zbog toga sto rezultati, koji se na taj nacin dobijaju,mogu vrlo korisno da se upotrebe pri proucavanju svih drugih oscilatornihpojava u drugim oblastima.

3.4.1 Uvod

U ovu kategoriju kretanja spadaju ona koja se ponavljaju tokom vremena.Kretanje klipa u automobilskom motoru, okretanje Zemlje oko svoje oseili njena revolucija oko Sunca, oscilovanje zice na gitari ili violini kada sepobudi, oscilovanje molekula vazduha u duvackim instrumentima, oscilo-vanje membrane zvucnika ili membrane mikrofona, naizmenicna struja itd.

U opstem slucaju postoje dve vrste oscilacija: slobodne i prinudne.Slobodne oscilacije se javljaju kada se kretanje odrzava gravitacionim ilielasticnim silama, kao sto je kretanje klatna ili oscilovanje elasticnog stapa.Prinudne oscilacije su uzrokovane spoljasnjom periodicnom silom koja delujena telo. Obe ove vrste oscilacija mogu biti neprigusene ili prigusene.

Neprigusene oscilacije se mogu ponavljati beskonacno, jer se efekti trenjazanemaruju. S obzirom da su u stvarnosti prisutne sile i unutrasnjeg ispoljasnjeg trenja, oscilatorno kretanje je, zapravo, uvek priguseno.

3.4.2 Slobodne oscilacije

Na pocetku, proucimo slobodne harmonijske oscilacijematerijalne tacke.

Harmonijske oscilacije

Neka se tacka M , mase m, krece pravolinijski (neka je to x osa), u hori-zontalnoj ravni, pod uticajem restitucione sile4 Se, koja je usmerena kanepokretnom centru O. Njen intenzitet proporcionalan je udaljenju tacke odcentra, tj. Se = c x. Ona tezi da tacku vrati u polozaj ravnoteze, otud i ime.Primer takve sile je sila u opruzi. U tom slucaju konsatanta c predstavlja

4Sila uspostavljanja. Naziva se i elasticna sila.

31

Draga

n-Goca

-Nenad

3.4 Oscilatorno kretanje 3 Dinamika materijalne tacke

krutost opruge, a x predstavlja izduzenje opruge (razlika duzina napregnutei nenapregnute opruge).

Oslobodimo se prvo veza, pa na posmatranu tacku deluju sile: tezeG = mg, restituciona Se i reakcija (pretpostavka da je podloga glatka) N.Diferencijalna jednacina kretanja (3.5) je

ma = Se +G+N = −Sei−Gj+N j. (3.15)

Projektovanjem na x osu, dobijamo

x+ ω2x = 0, ω2 =c

m. (3.16)

cije je resenje

x = C1 cosωt+ C2 sinωt, (3.17)

ili

x = R sin(ωt+ α) (3.18)

gde su C1, C2 iliR, α integracione konstante. Nisu nezavisne, jer su povezanerelacijama

C1 = R sinα, C2 = R cosα.

Kako je resenje periodicna funkcija (jednacina (3.17) ili (3.18)) to je kretanjetacke periodicno, odnosno oscilatorno, sa periodom

T =2π

ω[s]. (3.19)

Kretanje koje vrsi tacka po zakonu (3.18), naziva se slobodne harmonijskeoscilacije.

Ako su zadati pocetni uslovi

x(0) = x0, x(0) = x0,

za konstante C1 i C2 dobijamo:

x(0) = C1 = x0, x(0) = ωC2 = x0 ⇒

C1 = x0, C2 =x0ω

(3.20)

Za konstante R i α, iz (3.18) dobija se

x0 = R sinα, x0 = Rω cosα,

32

Draga

n-Goca

-Nenad


kru“v zna frekvencijaugaona frekvencijaamplituda oscilovanjafrekvencija oscilovanjafaza oscilovanja

odakle se dobija:

R =

√x20 +

(x0ω

)2

tgα =x0ω

x0. (3.21)

Iz ovih izraza se vidi da kretanje tacke, opisano jednacinama (3.17) ili(3.18), postoji samo ako je R = 0, tj. ako je x0 ili x0 razlicito od nule. Dakle,slobodne oscilacije tacke postoje samo ako je tacka izvedena iz ravnoteznogpolozaja ili ako joj je saopstena pocetna brzina.

Radi definisanja jos nekih velicina u kretanjima ili procesima, koji suopisani diferencijalnom jednacinom (3.16), posmatrajmo kretanje tacke Mpo krugu poluprecnika r (Slika 3.5) konstantnom ugaonom brzinom ω, kojeje pocelo iz polozaja M0 na krugu. Centru kruga usvojiti za koordinatnipocetak sistem Oxy. Projekcija tacke M na osu x, tacka M1, krece se pox osi prema zakonu r sin(ωt+α), koji se poklapa sa jednacinom oscilovanjatacke sa oprugom. Zbog ove ekvivalencije oscilovanja tacke na opruzi ikretanja projekcije na osu x tacke koja se krece po krugu, kaze se da je ω,u jednacini (3.17) ili (3.18), kruzna frekvencija ili ugaona frekvencijaoscilovanja. Najvece udaljenje tacke od ravnoteznog polozaja, odnosno r,naziva se amplituda oscilovanja. Broj krugova, koje opise tacka M ujednoj sekundi, je frekvencija oscilovanja. Ona iznosi

f =1

T=

ω

2π[Hz],

gde je jedinica za frekvenciju [Hz] herc5 broj ciklusa kretanja u jednojsekundi. Ugao α, koji definise polozaj M0 iz kog je tacka zapocela kre-tanje, naziva se pocetna faza oscilovanja. Ceo ugao ωt − α naziva se fazaoscilovanja.

5H. Hertz, 1857-1894.

33

Draga

n-Goca

-Nenad


r

y

0

M

Mo

M1

w

a

wt

x

Slika 3.5:

Vidi se da kruzna frekvencija ω, period T i frekvencija f ne zavise odpocetnih uslova kretanja. Te velicine zavise samo od karakteristika sistemai one su svojstvo svakog fizickog sistema.

Neka svojstva slobodnih harmonijskih oscilacija:

1) amplituda i pocetna faza oscilovanja zavise od pocetnih uslova (vidirelacije (3.21)),

2) frekvencija ω (3.16b) i period oscilovanja T (3.19) ne zavise od pocetnihuslova i predstavljaju nepromenljive karaktereisitke (fizicke konstante)datog sistema.

Na osnovu ovog, moze da se zakljuci da ako u nekom zadatku trebada se odredi samo period i/ili frekvencija oscilovanja tada treba postavitidiferencijalne jednacine (3.16a) i odatle se dobija period T , bez integracije.

Prigusenje oscilacije

Posmatrajmo sada slucaj, kada pored restitucione sile Se na tacku, mase m,deluje i sila otpora sredine6, koja je proporcionalna prvom stepenu brzineSo = −bv. Znak minus znaci se ova sila suprotstavlja kretanju (koci ga!).Pretpostavimo da se tacka krece pravolinijski i to u horizontalnom pravcu(recimo x-osa). Polazeci od dif. jednacine kretanja (3.5) je

ma = Se +G+N+ So = −Sei−Gj+N j− Soi. (3.22)

6Uzima se da je, pri malim brzinama ova sila proporcinalna prvom stepenu brzine, apri vecim brzinama drugom stepenu.

34

Draga

n-Goca

-Nenad


Slika 3.6: Sile koje se javljaju pri prigusenim oscilacijama.

Projektovanjem na x osu, dobijamo

mx+ cx+ bx = 0. (3.23)

Podelimo obe strane sa m i uvedimo sledece smene

ω2 =c

m, 2δ =

b

m. (3.24)

Diferencijalna jednacina (3.23) dobila oblik

x+ ω2x+ 2δx = 0. (3.25)

Ovu jednacinu nazivamo diferencijalna jednacina prigusenih oscilacija.Predstavlja diferencijalnu jednacinu drugog reda sa konstantnim koeficijen-tima. Pogodnom smenom (x = ze−δt) mozemo da je svedemo na vec pos-matranu jednacinu (3.16). Naime, kako je:

x = e−δt (z − δz) i x = e−δt(z − 2δz + δ2z

),

to jednacina (3.25) postaje

z +(ω2 − δ2

)z = 0 . (3.26)

Ako sada uvedemo oznaku

ω2 = ω2 − δ2 (3.27)

vidimo da je ona po obliku jednaka jednacini (3.16). Sada mozemo da isko-ristimo resenje te jednacine i odgovarajucu analizu, sprovedenu pri resavanju

35

Draga

n-Goca

-Nenad


prigu“v sene oscilacijeperiod prigu“v senihoscilacija

dif. jednacine harmonijskih oscilacija. Naime, ako je ω2, tj. ω2 > δ2, resenjeje funkcija trigonometrijskog oblika

z = R1 sin (ω t+ α1)

odnosno resenje odgovarajuce jednacine je

x = R1e−δt sin (ω t+ α1) . (3.28)

R1 i α1 su integracione konstante, a odre -duju se, tako -de, iz pocetnih uslova.Oscilacije koje zadovoljavaju zakonu (3.28), zovu se prigusene oscilacije,

jer se blagodareci koeficijentu prigusenja eδt velicina x brzo smanjuje i tezinuli. Dijagram ovih oscilacija prikazan je na Sl. 3.7 (dijagram je nacrtanizme -du krivih x = R1e

−δt i x = −R1e−δt, jer je sin (ω t+ α1) po intenzitetu

ne moze da bude vece od jedinice).

Slika 3.7: Sile koje se javljaju pri prigusenim oscilacijama.

Iz dijagrama se vidi da ove oscilacije nisu periodicne. Me -dutim, oneimaju svojstvo izvesnog ponavljanja. Npr., trenutak kada tacka, krecucise udesno (ili ulevo), prolazi kroz centar oscilovanja (x = 0), periodickise ponavlja posle vremenskog intervala T , koji je jednak periodu funkcijesin (ω t+ α). Iz tog razloga velicina

T =2π

ω=

2π√ω2 − δ2,

(3.29)

uslovno se zove period prigusenih oscilacija. Ako uporedimo izraze(3.29) i (3.19). Vidimo da je T > T , tj. vidimo da otpor unekoliko povecava

36

Draga

n-Goca

-Nenad


dekrement oscilacijalogaritamski dekrement

period oscilovanja. Me -dutim, kad je otpor vrlo mali (δ ≪ ω), onda velicinaδ2 moze da se zanemari prema velicini ω2, tako da se moze smatrati da jeT ≈ T . Prema tome, mali otpor prakticno ne utice na period.

Vremenski interval izme -du dvaju uzastopnih ponavljanja najvecih am-plituda, pri kretanju udesno, ili ulevo, tako -de je jednak T 7. Prema tome,ako se prvo maksimalno udaljenje, pri kretanju udesno desava u trenutku t1onda ce drugo maksimalno udaljenje x2, pri kretanju udesno, biti u trenutkut2 = t1+ T , itd. Tada, prema formuli (3.28), imajuci u vidu da je ωT = 2π,dobijamo

x1 = R1eδt1 sin (ω t1 + α1) ,

x2 = R1eδt1+T sin

(ω t1 + ωT + α1

)= x1e

−δT .

Analogno za bilo koje udaljenje xn+1, bite xn+1 = xne−δT . Na taj nacin,

kao sto vidimo, amplitude oscilacija menjaju se po geometrijskoj progresiji.

Kolicnik ove geometrijske progresije e−δT zove se dekrement oscilacija, anjegov logaritam tj. velicina δT logaritamski dekrement.

Iz svih dobijenih rezultata proizlazi da mali otpor skoro ne utice naperiod oscilovanja; me -dutim, otpor utice na amplitude oscilacija i smanjujeih u geometrijskoj progresiji.

U slucaju vrlo velikog otpora, kada je δ > ω, resenje jednacine (3.26)ne sadrzi trigonometrijske funkcije. Kretanje tacke u tom slucaju nece bitioscilatorno i ona ce se pod uticajem restitucione sile postepeno priblizavatipolozaju ravnoteze. Dijagram kretanja u tom slucaju (ako je za t = 0;x = x0; v0 = x0 > 0) ima oblik koji je pokazan na Sl. 3.8.

7Trenutke vremena kada x dostize svoj maksimum, odnosno minimum, nalazimo izjednacine x = R1e

−δt [ω cos(ω t+ α)− δ sin(ω t+ α)] = 0. Ako izraz u zagradi postaje

nula pri nekom t = t1, onda ce on, ocigledno, biti nula i u trenucima t + 1 + T , t1 + 2T ,itd.

37

Draga

n-Goca

-Nenad


Slika 3.8: Jako prigusene oscilacije.

3.4.3 Prinudne oscilacije

Ako na materijalnu tacku deluje i sila F, tada je diferencijalna jednacinakretanja data sa (??). To je nehomogena diferencijalna jednacina, zbog pris-ustva clana koji ne sadrzi nepoznatu funkciju x ili njene izvode po nezavisnopromenljivoj vremenu t. Resenje jednacine (??) je zbir opsteg integrala xhhomogenog dela jednacine

xh + ω2xh = 0,

i partikulamog integrala xp jednacine (??)

xp + ω2xp = H cosΩt,

odnosno

x = xh + xp.

Opste resenje homogenog dela jednacine, kao i kod slobodnih oscilacija, je

xh = C1 cosωt+ C2 sinωt.

Partikulamo resenje jednacine (??) trazi se u obliku

xp = A cosΩt.

Unosenjem ovog resenja, u jednacinu (??) dobija se

(−AΩ2 +Aω2 −H) cosΩt = 0,

38

Draga

n-Goca

-Nenad


i posto cosΩt nije nula za svaki trenutak vremena, a prethodna jednacinamom biti identicki zadovoljena, sledi

A =H

ω2 − Ω2.

Prema tome, zakon kretanja materijalne tacke glasi

x = C1 cosωt+ C2 sinωt+H

ω2 − Ω2cosΩt.

Unosenjem prethodnog izraza u pocetne uslove nalaze se vrednosti integra-cionih konstanti

C1 = x0 −H

ω2 − Ω2, C2 =

x0ω,

pa je krajnje resenje problema

x = x0 cosωt+x0ω

sinωt+H

ω2 − Ω2(cosΩt− cosωt) . (3.30)

Odavde zakljucujemo:

1. Ako je H = 0, tj. sila F ne deluje na tacku, tacka se krece u skladu saprva dva clana na desnoj strani izraza (3.30). To su slobodne oscilacijetacke.

2. Ako su x0 i x0 jednaki nuli, tacka se krece u skladu sa trecim i cetvrtimcanom na desnoj strani jednacine (3.30). To znaci, da kretanje nastaje,i pored toga sto je tacka bila u ravnoteznom stanju i bez pocetnebrzine, zbog delovanja, sile F. Zbog toga se sila F naziva prinudna sila,jer primorava tacku da se krece, a nastalo kretanje prinudne oscilacije.

3. U opstem slucaju, kada su u resenju (3.30) prisutni clanovi razlicitihkruznih frekvencija ω i Ω, i ako te frekvencije nisu racionalan umnozakjedna druge, kretanje nije periodicno.

WO O

H/(w2

- )W2

(H/2w2

)t

-(H/2w2

)t

H/w2

w=W

xr

t

a) b)

Slika 3.9:

39

Draga

n-Goca

-Nenad


rezonancija Dalje se detaljno analiziraju prinudne oscilacije nastale zbog dejstvasamo prinudne sile F = F1 cosΩt, odnosno kretanje kada je x0 = 0 i x0 = 0u izrazu (3.30)

x =H

ω2 − Ω2(cosΩt− cosωt) . (3.31)

Amplituda ovog kretanja H/(ω2 −Ω2) zavisi od odnosa kruznih frekvencijaω i Ω slobodnih oscilacija tacke i prinudne sile. Na slici 3.9a data je zavisnostte amplitude od kruzne frekvencije prinudne sile Ω. Kada Ω → ω amplitudaoscilovanja tezi ka beskonacnosti. To je fenomen rezonancije u oscilatoru.

Za dalju analizu kretanja opisanog jednacinom (3.31) uvodi se ∆, kaomera razlike kruznih frekvencija ω i Ω, odnosno

ω − Ω = 2∆.

Koristeci ovu vezu i poznatu relaciju trigonometrije

cosα− cosβ = −2 sinα+ β

2sin

α− β

2,

izraz (3.31) postaje

x =H

2∆(Ω +∆)sin(∆t) sin(Ω +∆)t. (3.32)

U slucaju rezonancije, odnosno kada Ω → ω i ∆ → 0, sin(∆t) ≈ ∆t, pa seiz (3.32) dobija odgovarajuci zakon kretanja

xr =H

2ωt sinωt.

Znaci, pri rezonanciji amplituda kretanja raste proporcionalno vremenu(Slika 3.9b), a kretanje se odvija po zakonu sinωt izme -du granicnih krivaHt/(2ω) i −Ht/(2ω). Iz ove analize i slike 3.9a sledi da pri rezonanciji am-plituda kretanja, dostize beskonacnu vrednost, ako su kruzne frekvencije ωi Ω jednake dovoljno dugo vremena.

40

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.5 Neslobodno (prinudno) kretanje tacke

tO

xp

TD

TW

Slika 3.10:

Ako su krruzne frekvencije Ω i ω bliske, ali nisu jednake, odnosno kadaje ∆ malo ali ne tezi ka nuli, izraz (3.32) postaje

xp =H

2∆Ωsin(∆t) sin(Ωt),

jer je ∆ malo, pa se moze zanemariti u odnosu na konacno Ω. Kretanjeopisano ovim izrazom moze se posmatrati kao kriva izme -du granica

± H

2∆Ωsin(∆t)

ciji je period T∆ = 2π/∆ vrlo velik. Izme -du ovih granica je upisana krivasin(Ωt), ciji je period TΩ = 2π/Ω konacan i daleko manji od T∆. Sa slike3.10, vidimo da kod ovog kretanja amplitude, naizmenicno raste i opada.Ovakvo kretanje materijalne tacke, koje nastaje kada su kruzne frekvencijeΩ i ω vrlo bliske, naziva se podrhtavanje oscilatora.

3.5 Neslobodno (prinudno) kretanje tacke

Do sada smo posmatrali kretanje tacke za koju smo pretpostavili da je slo-bodna, tj. da njeno kretanje u prostoru nije ograniceno vezama. Za tajslucaj vazi II Njutnov princip (zakon). Me -dutim, u praksi je cest slucajkada je kretanje tacke ograniceno postojanjem veza. Takvo kretanje nazi-vamo neslobodno kretanje materijalne tacke. U ovom slucaju ogranicenjana kretanje tacke su posledica delovanja drugih tela, a ne samo aktivnihsila. Recimo, ako je tacka prinu -dena da se krece po nekoj liniji tada njene

41

Draga

n-Goca

-Nenad

3.5 Neslobodno (prinudno) kretanje tacke 3 Dinamika materijalne tacke

princip!osloba“djanja odveza

koordinate moraju, u svakom trenutku, da zadovoljavaju jednacinu linije(jednacinu veze) po kojoj se krece.

Pri proucavanju neslobodnog kretanja tacke koristi se princip osloba -danjaod veza Vidi Princip 1, na str. 14. Dakle, kretanje vezane materijalne tackeposmatra se kao kretanje slobodne tacke pod dejstvom aktivnih sila F i silareakcije (sila veze) R.

Primenivsi princip osloba -danja od veza, II Njutnov princip moze da sezapise u obliku

ma = F+R (3.33)

gde je F rezultanta svih aktivnih sila, a R rezultanta svih sila veze. Ovarelacija predstavlja diferencilanu jednacinu neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u vektorskom obliku.

3.5.1 Diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u Dekartovim koordinatama

Projektovanjem jednacine (3.33) na ose nepokretnog Dekartovog koordi-natnog sistema, dobijaju se sledece jednacine:

mx = X +Rx,

my = Y +Ry,

mz = Z +Rz.

(3.34)

One predstavljaju skalarne diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog)kretanja, u Dekartovim koordinatama.

3.5.2 Diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog) kre-tanja, u prirodnim koordinatama

Projektovanjem jednacine (3.33) na ose prirodnog koordinatnog sistema,dobijaju se sledece jednacine:

mat = Ft +Rt,

man = Fn +Rn,

0 = Fb +Rb.

(3.35)

One predstavljaju skalarne diferencilane jednacine neslobodnog (prinudnog)kretanja, u prirodnim koordinatama.

42

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.5 Neslobodno (prinudno) kretanje tacke

inercijalna sila

Slika 3.11: kretanje tacke po liniji.

3.5.3 Dalambrov princip

Posmatrajmo zapis II Njutnovog aksioma, za kretanje neslobodne tacke

ma = F+R (3.36)

Ovu jednacinu mozemo da napisemo u obliku

F+R+ (−ma) = 0 (3.37)

ili

F+R+ Fin = 0 (3.38)

gde smo sa Fin oznacili takozvanu inercijalnu silu. Jednacina (3.38)izrazava

Princip 3 (Dalamberov princip) Ako u svakom trenutku aktivnim sil-ama i reakcijama veza, koje deluju na materijalnu tacku, pridodamo sileinercije, onda je njihov zbir jednak nuli.

43

Draga

n-Goca

-Nenad

3.6 Mere mehanickog kretanja 3 Dinamika materijalne tacke

mere mehani“v ckogkretanja

Slika 3.12: Inercijalne sile.

Ovaj princip pogodan je za odre -divanje nepoznatih reakcija veza. Me -dutim,da bi se njime resio problem nepoznatih reakcija neophodno je poznavanjepravca i smera ubrzanja materijalne tacke kako bi se aktivnim silama i reak-cijama veze tacno mogla pridodati sila inercije.

3.6 Mere mehanickog kretanja

Da bi se definisali opsti zakoni dinamike, koji su od posebnog znacaja zaproucavanje kretanja materijalne tacake, uvode se nove karakteristike kre-tanja, koje se zovumere mehanickog kretanja, a to su: kolicina kretanja,moment kolicine kretanja i kineticka energija.

Kolicina kretanja

Neka se materijalna tacke M mase m, krece tako da u datom trenutku t imabrzinu v (Slika 3.13). Kolicina kretanja materijalne tacke je vektor K, kojije proizvod mase tacke i njene brzine, tj.

K = mv. (3.39)

Jasno je da je ovaj vektor kolinearan sa brzinom. Vektor kolicine kretanjamoze se izraziti u svim koordinatnim sistemima u kojima je data brzina.

44

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.6 Mere mehanickog kretanja

kineti“v cka energija

O

LO

M

v

mv=K

r

Slika 3.13:

Moment kolicine kretanja

Pri nekim kretanjima, umesto vektora kolicine kretanja materijalne tacke Mpovoljnije je koristiti moment tog vektora za neku tacku. Moment kolicinekretanja materijalne tacke LO (Slika 3.13), u odnosu na nepokretni pol Oodre -den je vektorskim proizvodom

L0 = r×K = r×mv, (3.40)

gde je r - vektor polozaja materijalne tacke M , K - kolicina kretanja ma-terijalne tacke.

Kao i kod momenta sile za tacku, taj vektor zavisi od polozaja izabranetacke O, odnosno on se menja sa promenom polozaja momentne tacke O.

Kineticka energija

Kineticka energija materijalne tacke mase m, cija je trenutna apsolutnabrzina v, definisana je sa

Ek =m

2v·v ili Ek =

m

2v2 (3.41)

i predstavlja skalarnu meru kretanja tacke. Jasno je da je uvek E ≥ 0 ida kineticka energija ima apsolutni minimum za v = 0. Kineticka energijamoze se izraziti na razne nacine u zavisnosti od toga u kom je koordinatnomsistemu izrazen vektor brzine tacke. Ti razliciti izrazi za kineticku energijuu prirodnom, Dekartovom i polarnom koordinatnom sistemu glase:

Ek =m

2s2,

Ek =m

2

(x2 + y2 + z2

),

Ek =m

2

(r2 + r2φ2

).

(3.42)

45

Draga

n-Goca

-Nenad

3.7 Mere mehanickog dejstva 3 Dinamika materijalne tacke

mere mehani“v ckogdejstva

impuls silerad sile

3.7 Mere mehanickog dejstva

Pored mera mehanickog kretanja, za definisanje opstih zakona dinamiketacke, potrebne su i velicine koje predstavljajumere mehanickog dejstva.

U prvom poglavlju knjige, definisane su dve osnovne mere mehanickogdejstva: sila i spreg. To su mere mehanickog dejstva nezavisne od pro-toka vremena i promene polozaja tacke. U dinamici, gde se posmatrajupromene polozaja tacke u prostoru tokom vremena, uvode se nove meremehanickog dejstva, a u dinamici materijalne tacke, posmatraju se novemere mehanickog dejstva, koj su vezane samo za silu. To su impuls i radsile.

Impuls sile

Neka na materijainu tacku M deluje sila F. Elementarnim impulsom sile Fnaziva se vektorska velicina dI, koja je jednaka proizvodu sile i elementarnogvremenskog intervala dt, u kome sila deluje, tj.

dI = Fdt. (3.43)

Ova mera mehanickog dejstva sile u toku elementarnog vremenskog intervalapoklapa se sa pravcem i smerom sile.

Ako se tacka M pod dejstvom sile F pomeri iz polozaja M0 u polozajM1 u vremenskom intervalu (t0, t1), tada je konacan impuls sile F za vremetog kretanja odre -den sa

I01 =

t1∫t0

Fdt. (3.44)

Konacan impuls I01 sile F u vremenskom intervalu (t0, t1), ne mora biti upravcu sile F ni u jednom od trenutaka u intervalu (t0, t1), jer integracija uprethodnom izrazu menja pravac definisan silom F.

Posto je impuls sile vektor, moze se predstaviti pomocu projekcija urazlicitim koordinatnim sistemima. Na primer, ako se kretanje posmatra uDekartovom koordinatnom sistemu onda postoje tri projekcije impulsa sileF u vremenskom intervalu (t0, t1) na ose x, y i z

I01x =

t1∫t0

Fx dt, I01y =

t1∫t0

Fy dt, I01z =

t1∫t0

Fz dt, (3.45)

46

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.7 Mere mehanickog dejstva

elementarni rad silegde su Fx, Fy i Fz projekcije sile na te koordinatne ose. Intenzitet konacnogimpulsa sile u vremenskom intervalu (t0, t1) ima viednost

I01 =√

I01x2 + I01y

2 + I01z2, (3.46)

dok su uglovi tog vektora sa osama odre -deni relacijama

cosα =I01xI01

, cosβ =I01yI01

, cos γ =I01zI01

. (3.47)

Svaka od projekcija impulsa, na primer I01x moze se izracunati bez pozna-vanja kretanja, ako je Fx dt totalni diferencijal neke funkcije. Taj uslov jesigurno ispunjen ako je Fx:

1. konstantno, tj.

Fx = const., I01x = Fx(t1 − t0),

2. neprekidna funkcija vremena,

Fx = f(t), I01x =

t1∫t0

f(t) dt,

3. linearna kombinacija sa konstantnim koeficijentima c1, c2 i c3 Dekar-tovih projekcija brzine tacke

Fx = c1x+ c2y + c3z,

I01x = c1(x1 − x0) + c2(y1 − y0) + c3(z1 − z0).

Rad i potencijalna energija sile

Posmatrajmo kretanje tacke M , na koju deluje sila F, koja se pomerila zadr, gde je r vektor polozaja tacke M u odnosu na neku nepokretnu tacku O(slika 3.14). Elementarni rad sile F na pomeranju dr definisan je izrazom

dA = F·dr (3.48)

ilidA = Fdr cosα, (3.49)

gde je α ugao izme -du vektora F i dr. Ako je ugao α ostar tada je elementarnirad pozitivan, dok je za tup ugao α rad negativan. Sila ne vrsi elementarnirad ako je normalna na elementarno pomeranje.

47

Draga

n-Goca

-Nenad


M

v

d r

d rF

T

FT

F

Slika 3.14:

Elementarni rad moze se izraziti na razne nacine:

1. Sa slike 3.14 je drF = dr cosα, pa je iz (3.49)

dA = F drF , (3.50)

tj. elementarni rad je proizvod intenziteta sile F i pomeranja drF upravcu sile;

2. sa slike 3.14 je FT = F cosα, gde je FT projekcija sile na pravacpomeranja dr, koje ima pravac tangente T na trajektoriju tacke, pase dobija

dA = FT dr, (3.51)

tj. elementarni rad je proizvod pomeranja i projekcije sile na pravacpomeranja. Posto je dr ≈ ds, gde je s krivolinijska prirodna koordi-nata merena duz trajektorije tacke, ovaj izraz postaje

dA = FT ds. (3.52)

3. Ako je vektor polozaja tacke M dat u nepokretnom Dekartovom ko-ordinatnom sistemu, tj. r = xi+ yj+ zk, tada je

dr = dxi+ dyj+ dzk

i elementarni rad (3.48) postaje

dA = Fxdx+ Fydy + Fzdz, (3.53)

gde su Fx, Fy i Fz projekcije sile na Dekartove ose.

48

Draga

n-Goca

-Nenad


snaga silepotencijalna energija

Ako se tacka M pomeri iz polozaja M0 u neki drugi polozaj M1, tada silaF vrsi konacan rad na tom pomeranju, koji je jednak integralu bilo kojegod prethodnih izraza za elementarni rad na tom pomeranju. Na primer, onje

A01 =

M1∫M0

(Fxdx+ Fydy + Fzdz) . (3.54)

Konacan rad sile F izracunava se pomocu linijskog integrala i njegova vred-nost zavisi od pocetnog M0 i krajnjeg M1 polozaja tacke M na koju delujesila pri pomeranju. Konacan rad ne zavisi od vremena proteklog za vremepomeranja.

Jedinica za rad je dzul8 [J ], a to je rad koji izvrsi sila od jednog njutnana pomeranju od jednog metra.

Ako je potreban rad koji sila F izvrsi tokom kretanja u jedinici vremena,tada se dolazi do pojma snage sile F. Ako se tacka M pomeri za dr tokomvremena dt, tada je snaga te sile

P =dA

dt= F·v = FT s, (3.55)

gde su upotrebljeni izrazi (3.48) i (3.52) za elementaran rad sile. Jedinica zasnagu je vat9 [W ]. Vat je snaga koja odgovara radu od jednog dzula koji seizvrsi u jednoj sekundi. Vidi se da istoj snazi odgovaraju razlicite vrednostibrzine kretanja tacke s i projekcije sile na pravac tangente putanje tackeFT . Manjoj vrednosti sile odgovara veca brzina i obrnuto.

Umesto rada, koji je mera mehanickog dejstva sile na pomeranju tacke,vrlo cesto se uvodi potencijalna energija sile. Elementarna potencijalnaenergija sile F je definisana je kao negativan elementarni rad te sile, tj.

dΠ = −dA. (3.56)

Ukoliko je moguca jednoznacna integracija izraza (3.56) bez poznavanja kre-tanja, u granicama izme -du dva polozajaM0 iM1 na trajektoriji tacke, dobijase rad na konacnom pomeranju

A01 = Π0 −Π1, (3.57)

koji je razlika vrednosti potencijalne energije u pocetnom i krajnjem polozajutacke. Ovaj izraz jasno ukazuje da rad zavisi samo od razlike vrednosti po-

8J.P. Joule, 1818-1889.9J. Watt. 1736-1819.

49

Draga

n-Goca

-Nenad


polje silepolja!konzervativnakonzervativna poljakonzervativne sile

tencijalne energije u granicnim polozajima, a ne od njene apsolutne vred-nosti i oblika putanje po kojoj se tacka krece. Apsolutna vrednost poten-cijalne energije nije od interesa u dinamici, pa se zbog toga ne propisujepolozaj u kome ona ima neku zadatu vrednost. Prema tome, kada se izdΠ = −dA, znaci pomocu elementarnog rada, nalazi oblik potencijalne en-ergije, posle obavljene integracije ne mora se dodavati integraciona kon-stanta. Ta integraciona konstanta bi se, posle oduzimanja prema (3.57),potrla i ne bi imala nikakvog uticaja na krajnji rezultat.

Ako je potencijalna energija jednoznacna funkcija, i ako se krajnja ipocetna tacka trajektorije poklapaju, tada je ukupni rad pri tom kretanjujednak nuli.

3.7.1 Polje sile, potencijalna energija, uslovi konzervativnosti

Posmatracemo sile koje zavise od polozaja materijalne tacke F = F(x, y, z).Deo prostora, u cijoj svakoj tacki, kada se pokretna tacka na -de u njoj,

dejstvuje u svakom trenutku jednoznacno odre -dena sila po velicini, pravcui smeru, zove se polje sile.

Koordinate sila nestacionarnih polja, pored koordinata, zavise eksplic-itno i od vremena. Mi se ogranicavamo na razmatranje samo stacionarnihpolja, kod kojih je

X = X(x, y, z), Y = Y (x, y, z), Z = Z(x, y, z).

Posebno cemo posmatrati stacionarno polje sile, kod kojih rad sile poljane zavisi od oblika putanje i duzine puta, pri prelazu iz polozaja A u polozajB. Ovakva se polja sile, kao poseban slucaj zovu konzervativna polja, asile polja konzervativne sile.

Polje sile je konzervativno ako postoji funkcija Π(x, y, z) zavisna od ko-ordianta, takva da je

F = −gradΠ

ili

X = −∂Π

∂x, Y = −∂Π

∂y, Z = −∂Π

∂z. (3.58)

Elementarni rad konzervativne sile

-dA = Fdr = Xdx+ Y dy + Zdz = −(∂Π

∂xdx+

∂Π

∂ydy +

∂Π

∂zdz

)=

= −dΠ = dA,

(3.59)

predstavlja totalni diferencijal funkcije Π sa promenjenim znakom.

50

Draga

n-Goca

-Nenad


Pri prelazu tacke iz polozaja M1(x1, y1, z1) u polozaj M2(x2, y2, z2) rasile polja iznosi

A12 = −M2∫

M1

dΠ = Π(x1, y1, z1)−Π(x2, y2, z2). (3.60)

Ovim smo pokazali da rad konzervativnih sila ne zavisi od oblika putanjepokretne tacke, kao ni od duzine pre -denog puta, vec samo od vrednostifunkcije Π u pocetnom i krajnjem polozaju.

Prema obrascima (3.59) i (3.60) potencijalna energija se odre -duje satacnoscu do proizvoljne konstante, jer ako uzmemo Π ili Π + C obrasciod (3.58) do (3.60) nece se izmeniti. Zato se ova cinjenica i koristi tako,da se proizvoljno odabere neka tacka M0(x0, y0, z0) u kojoj cce, uslovno,potencijalna energija biti jednaka nuli, tj. Π(x0, y0, z0) = 0 i zove se tackanultog potencijala.

Rad konzervativnog polja pri prelazu materijalne tacke iz proizvoljnogpolozaja M(x, y, z) u tacku nultog potencijala M0(x0, y0, z0) iznosi

AMM0 = −M0∫M

dΠ = − [Π(x0, y0, z0)−Π(x, y, z)] = Π(x, y, z).

Dako dolazimo do zakljucka da je potencijalna energija u datoj tackijednaka radu, koji izvrse sile polja pri prelazu tacke iz datog polozaja u nekiproizvoljno izabrani polozaj, u kome je jednaka nuli.

Za funkciju potencijala se pretpostavlja da je jednoznacna, konacna,neprekidna i da ima neprekidne izvode bar do drugog reda. Na osnovujednoznacnosti funkicije potencijala i nezavisnosti od reajektorije sledi josjedno svojstvo konzervativnog polja sila: rad po zatvorenoj konturi (putanji)u konzervativnompolju jednak je nuli.

Rad sile zemljine teze

Neka se materijalne tacku M mase m krece u polju zemljine teze (slika 3.15)od polozaja M0 do polozaja M1.

51

Draga

n-Goca

-Nenad


y

y1

x1

x1

z0

z1

y0

O

z

x

G

MM

1

M0

h

Slika 3.15:

Elementarni rad sile mg, koja deluje na tacku M , dobija se na visenacina:

1. projekcije sile na koordinatne ose su

Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg,

pa je prema (3.53)dA = −mg dz, (3.61)

2 . tacka M vrsi elementarna pomeranja dx, dy i dz, koja su uvek upozitivnom smeru odgovarajucih osa. Sila mg se projektuje samo napomeranje dz, i to u suprotnom smeru od pomeranja dz, pa je prema(3.51) ponovo elementarni rad dA dat sa (3.61).

Integracijom izraza (3.61) u granicama od z0 do z1, koji odgovarajupolozajima tacaka M0 i M1, dobija se

A01 =

z1∫z0

(−mg) dz = −mg(z1 − z0) ⇒ A01 = ±mgh.

Vidi se da rad sile zemljine teze ne zavisi od oblika putanje (slika 3.15) pokojoj se tacka pomera iz polozaja M0 u polozaj M1. Ako je z1 > z0, tj. akose tacka pomera navise, rad je negativan. Za z1 < z0, znaci pri pomeranjuna dole, rad je pozitivan. Ako je z1 = z0 sila zemljine teze ne vrsi rad napomeranju tacke. Naglasimo da ovaj znak rada sile zemljine teze ne zavisi

52

Draga

n-Goca

-Nenad


od orijentacije ose z, vec samo od smera pomeranja (navise ili nanize) tackeu polju zemljine teze.

Napomena. Kako rad sile zemljine teze ne zavisi od putanje, to je silazemljine teze konzervativna sila!

Prema (3.56) i (3.61), potencijalna energija sile zemljine teze glasi

Π = −mgz.

Rad sile u opruzi

Ako na kraj opruge deluje sila F (slika 3.16) opruga se izduzuje za velicinux, i u njoj se javlja elasticna sila opruge Fc u suprotnom smeru od sile F.Ta sila je intenziteta F = cx, gde je c krutost opruge.

x0

x

c

x

O

O

G

N

FC

Slika 3.16: Rad sile u opruzi.

Projekcije sile na koordinatne ose su Fx = −cx, Fy = N −mg i Fz = 0.Kako je pomeranje samo u pravcu opruge, tj. dr = dxi + 0j + 0k to je,prema (3.53)

dA = −cxdx,

pa se integraljenjem dobija

A01 =

x1∫x0

(−cx) dx = − c

2(x21 − x20). (3.62)

Ako je pocetno izduzenje x0 = 0, to je

A01 = −cx212

.

Prema (3.62) rad sile u opruzi ce biti negativan ak se tacka udaljavaod ravnoteznog polozaja, a pozitivan kada se deformacija opruge smanjuje(x1 < x0).

Napomena. Kako rad sile u poruzi zavisi samo od krajnjeg i pocetnogpolozaja to je i sila u opruzi konzervativna sila.

53

Draga

n-Goca

-Nenad


Iz (3.56) i integracijom dobija se potencijalna energija sile u opruzi

Π =c

2x2.

Ovaj izraz za potencijalnu energiju sile u opruzi moze se koristiti i u slucajukada se pravac deformisane opruge ne poklapa sa pravcem opruge u nede-formisanom stanju. U tom slucaju, deformacija opruge x je promena njeneduzine ∆ℓ, koja je razlika duzina opruge u dva nekolinearna pravca.

Rad sile trenja

Kada se tacka M , tezine G, krece po hrapovoj povrsi (slika 3.17) tada na njudeluju sila trenja, intenziteta Fµ = µN . Ovde smo sa µ oznacili koeficijenttrenja, a sa N intenzitet normalne komponente sile reakcije. Rad sile trenja,pri klizanju je

A01 = −M1∫

M0

Fµ ds = −µ

M1∫M0

N ds. (3.63)

U slucaju kada je sila trenja konstantnog intenziteta tada je rad

A01 = −Fµ s,

gde je s = M0M1.

Iz ovog izraza sledi da sila trenja nije konzervativna sila.

G

N

M1

M0

Fm v

Slika 3.17: Rad sile trenja.

54

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.8 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke

3.8 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke

Opsti zakoni dinamike materijalne tacke uspostavljaju vezu pri kretanjuizme -du mera kretanja tacke i mera dejstva sile koja deluje na tacku. Oni seizvode iz drugog Njutnovog zakona i mogu se koristiti umesto diferencijalnihjednacina kretanja. Sta vise, nekad se njihova upotreba bas preporucuje priresavanju pojedinih problema kretanja. Njihovom primenom izbrgava seslozeni proces integracije, ali se pomocu njih mogu prouciti samo pojediniaspekti kretanja, a nikako problem kretanja u celini.

Neka je F rezultanta svih sila koje deluju na materijalnu tacku tokomkretanja. U te sile se ukljucuju sve aktivne sile i sve reakcije veza, kojeogranicavaju kretanje tacke. Kretanje tacke se odvija u skladu sa drugimNjutnovim zakonom

ma = F. (3.64)

Na osnovu ove vektorske jednacine kretanja izvode se svi opsti zakoni di-namike materijalne tacke.

Zakon o promeni kolicine kretanja

Mnozeci vektorsku jednacinu kretanja materijalne tacke (3.64) elementarnimprirastajem vremena dt, zbog konstantnosti mase tacke i cinjenice da jeubrzanje a = dv/dt, sledi

d(mv) = Fdt,

odnosno

dK = dI, (3.65)

gde je prema (3.39) K = mv kolicina kretanja tacke, a prema (3.43) dl =Fdt elementarni impusl sile F. Znaci, elementarna promena kolicine kre-tanja materijalne tacke jednaka je elementarnom impulsu sile F. Integraci-jom jednacine (3.65), od jednog trenutka vremena t0 do nekog drugog t1,dobija se

t1∫t0

dK =

t1∫t0

dI

odnosno

K1 −K0 = I01. (3.66)

Ovo je

55

Draga

n-Goca

-Nenad

3.8 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke 3 Dinamika materijalne tacke

Zakon 1 (zakon o promeni kolicine kretanja) Svaka promena kolicinekretanja materijalne tacke, za konacan vremenski interval, jednaka je im-pulsu sile za to vreme.

Ovo je vektorski zakon koji se moze iskazati u raznim koordinatnim sis-temima. Na primer, u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu Oxyzovaj zakon je ekvivalentan sa tri zakona o promeni kolicine kretanja tackeu pravcu osa x, y i z

K1x −K0x = I01x,

K1y −K0y = I01y,

K1z −K0z = I01z,

gde su Kx, Ky, Kz, Ix, Iy i Iz projekcije kolicine kretanja i impulsa sile naove ose.

Posto je kolicina kretanja materijalne tacke definisana brzinom tacke, tosu prvi izvodi koordinata po vremenu najvisi red izvoda koji se pojavljujeu zakonu o promeni kolicine kretanja. Zato je ovaj zakon prvi integraljednacine kretanja (3.64). Uostalom, do zakona (3.66) se dolazi posle jedneformalne integracije vektorske jednacine kretanja. Ovaj zakon je pogodan zaresavanje zadataka u kojima su sile takve da se mogu izracunati njihovi im-pulsi. Ako brzina tacke nije diferencijabilna funkcija u nekom vremenskomintervalu, tada se ovaj zakon primenjuje za trenutke pocetka i kraja tog in-tervala kretanja. Primetimo da se u tom slucaju, u navedenom intervalu,drugi Njutnov zakon ne moze primeniti.

Zakon o promeni momenta kolicine kretanja

Pomnozi se vektorski jednacina kretanja materijalne tacke M (3.64) sa levestrane vektorom polozaja r te tacke u odnosu na neku nepokretnu tacku O.Tako se dobija

r×ma = r× F,

odnosnod

dt(r×mv) = r× F.

Posto je, prema (3.40) LO = r×mv, moment kolicine kretanja materijalnetacke O, a MF

O = r× F moment sile F za istu tacku, dobija se

LO = MFO (3.67)

odnosno

56

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.8 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke

Zakon 2 (zakon o promeni momenta kolicine kretanja) Brzina promenemomenta kolicine kretanja materijalne tacke za nepokretnu tacku O jednakaje momentu sile za istu momentnu tacku.

Naglasavamo, da ovaj zakon nije prvi integral jednacine kretanja tacke.

Zakoni o promeni kineticke energije i odrzanju ukupne mehanickeenergije

Jednacinu kretanja materijalne tacke (3.64) projektujemo na pravac tan-gente trajektorije tacke. U pravcu tangente se nalazi brzina tacke v = dr/dt,pa i vektor dr. Zato se, projekcija vektorske jednacine kretanja (3.64) napravac tangente, dobija njenim skalarnim mnozenjem jedinicnim vektoromdr/dr pravca tangente. Time se dobija

ma·dr = F·dr.

Ovaj izraz, zbog poznatih relacija

a =dv

dt, dr = vdt,

postajemv·dv = F·dr.

Posto je masa tacke konstantna, prethodni izraz se svodi na

d(mv·v2

)= F·dr,

ilidEk = dA, (3.68)

gde je prema (3.41) Ek = mv·v/2 kineticka energija materijalne tacke, aprema (3.48) dA = F·dr elementarni rad sile F. Ova relacija pokazuje da je,za vreme kretanja tacke, elementarna promena kineticke energije jednaka el-ementarnom radu sile koje deluju na tacku na odgovarajucem pomeranju10.

Ako se tacka pomeri, za vreme kretanja, iz polozaja M0 u polozaj M1

na putanji, tada se integracijom izraza (3.68) u tim granicama, dobija

Ek1 − Ek0 = A01, (3.69)

tj.

10Istorijski razvoj mehanike pokazuje da je ovo fundameutalna relacija koja moze daposluzi kao polazna tacka za formiranje jednog posebnog pravca dinamike. Sta vise, ovacinjenica, koja uspostavlja jednakost izme -du elementarnog prirastaja kineticke energije ielemeatarnog rada, koristi se kao polazna cinjenica i u drugun oblastima fizike i tehnikeza uspostavljanje energijskih jednacina.

57

Draga

n-Goca

-Nenad

3.8 Opsti zakoni dinamike materijalne tacke 3 Dinamika materijalne tacke

Zakon 3 (zakon o promeni kineticke energije) Svaka konacna prom-ena kineticke energije materijalne tacke jednaka je zbiru rada svih sila, kojedeluju na tu tacku, na pomeranju iz pocetnog u krajnji polozaj tacke.

Posto se u kinetickoj energiji pojavljuju samo prvi izvodi po vremenubilo kojih koordinata tacke, ovaj treci opsti zakon dinamike tacke je prviintegral jednacine kretanja. Ovaj zakon je pogodan za primenu, umestojednacina kretanja, kad god se moze izracunati rad svih sila koje deluju natacku.

Zakon o promeni kineticke energije materijalne tacke moze dobiti i drugioblik, ako se umesto rada kao mere dejstva sile pri kretanju upotrebi poten-cijalna energija. Tada se iz (3.56) i (3.68) dobija

d(Ek +Π) = 0,

odnosnoEk +Π = E, (3.70)

gde je E konstanta koja se izracunava iz pocetnih uslova kretanja. Ovo jezakon o odrzanju, ili konzervaciji, totalne mehanicke energije, odnosno zbirakineticke energije tacke i potencijalne energije sile koja deluju na tacku:

Zakon 4 za vreme kretanja materijalne tacke pod dejstvom potencijalne sileodrzava se ili konzervira njena totalna, ili ukupna, mehanicka energija.

Kao i zakon o promeni kineticke energije i ovaj zakon je prvi integraljednacine kretanja. Svaka njegova upotreba je potpuno ekvivalentna sakoriscenjem zakona o promeni kineticke energije. Posto ovaj zakon, zakon okonzervaciji totalne mehanicke energije, vazi samo za potencijalne sile to seranije dobijeni uslov (??) potencijalnosti sile naziva i uslov konzervativnostisile. Sta vise, i sve sile se mogu podeliti na one koje imaju potencijalnu en-ergiju, koje se zovu konzervativne sile, i one za koje ne postoji potencijalnaenergija, takozvane nekonzervativne sile.

Zakon o odrzanju totalne mehanicke energije govori o neprekidnoj promenienergije tokom kretanja, odnosno promeni kineticke energije tacke u poten-cijalnu energiju sile koja deluju na tacku, ili obrnuto. Posto je kinetickaenergija tacke uvek pozitivna velicina, u polozaju gde je ona maksimalnapotencijalna energija sile koja deluju na tacku je minimalna, ili obrnuto11.

11Na primer, voda na vrhi vodopada ima potencijalnu energiju sile zemljne teze, kojase pri padu pretvara u kineticku energiju. Kineticka energija vode koja pada moze se uhidrocentrali pretvoriti u kineticku energiju obrtanja turbine, inace se ona u podnozjuvodopada pretvara u toplotnu energiju.

58

Draga

n-Goca

-Nenad

3 Dinamika materijalne tacke 3.9 Relativno kretanje materijalne tacke

3.9 Relativno kretanje materijalne tacke

Proucimo kretanje materijalne tacke M mase m u odnosu na koordinatnisistem Oxyz, koji je vezan za plocu S, koja se ravanski krece u ravni Ax1y1z1nepomicnog koordinatnog sistema Ax1y1z1 (slika 3.18). Znaci, proucavase relativno kretanje tacke u odnosu na kretanje ploce. Kretanje ploce jeprenosno kretanje za tacku M . Cilj je da se, znajuci prenosno kretanje isve aktivne sile koje deluju na materijalnu tacku, odredi relativno kretanjetacke i sve reakcije veza koje deluju na tacku, ako je kretanje tacke

y1

y

x1

x

0

A

in

inM

z1

z

F

S

FC

FP

aC

aP

Slika 3.18:

ograniceno vezama. Ako je F rezultanta svih sila koje deluju na tacku i akoje a apsolutno nbrzanje tacke, onda se kretanje tacke odvija u skladu sadrugim Njutnovim zakonom

ma = F.

Iz kinematike je poznato da je apsolutno ubrzanje tacke vektorski zbirprenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja, tj. vazi

a = ap + ar + ac.

Posle zamene ovog izraza u drugi Njutnov zakon, izdvaja se proizvod masetacke i njenog relativnog ubrzanja. Time se dobija

mar = F−map −mac,

ili

mar = F+ Finp + Fin

c (3.71)

gde su

Finp = −map, Fin

c = −mac, (3.72)

59

Draga

n-Goca

-Nenad

3.9 Relativno kretanje materijalne tacke 3 Dinamika materijalne tacke

prenosna i Koriolisova sila inercije. Ove velicine nazivaju se silama samozato sto one imaju dimenziju sile. Poznato je da je sila rezultat mehanickogdejstva dva tela, a na osnovu treceg Njutnovog zakona, ako sila deluje namaterijainu tacku onda mora postojati i drugo telo, izvor te sile, na kojedeluje sila istog intenziteta i pravca, a suprotnog smera. Za ove sile (3.72)ne postoji takvo telo, pa ovo nisu prave sile. To su prividne sile, ali njihovouvo -denje pomaze da se problem relativnog kretanja jednostavnije prouci.Naime, u svakom problemu odredi se prenosno i Koriolisovo ubrzanje tackei, prema (3.72), u suprotnom smeru od tih ubrzanja dodaju se ove dve ”sile”(slika 3.18). Zatim se jednacina kretanja (3.71) projektuje na ose pokretnogkoordinatnog sistema, koji je uslovno Dekartov, ali moze biti i neki drugi.Tim projektovanjem dobijaju se diferencijalne jednacine relativnog kretanja.Da bi se odredilo relativno kretanje, integrali se onoliko jednacina kolikostepeni slobode ima relativno kretanje tacke. Iz ostalih jednacina odre -dujuse reakcije veza.

Pored svih ranije definisanih reakcija veza, koje se javljaju pri vezanomkretanju tacke, pri vezanom relativnom kretanju tacke na nju deluje uvek ijedna reakcija veze u suprotnom smeru od Koriolisove sile inercije.

3.9.1 Fukoovo klatno

Diferencijalnim jednacinama relativnog kretanja tacke se moze objasniti kre-tanje Fukoovog klatna. Ovo klatno cini teska kugla okacena o dug konac,zanemarljive tezine, cija je tacka vesanja nepokretna u odnosu na Zemlju,a koje osciluje u vertikalnoj ravni. Leon Fuko je ovakvim klatnom izveoeksperiment kojim je 1851. godine dokazao Zemljinu rotaciju.

Kretanje Fukoovog klatna se moze posmatrati kao relatinvo kretanjetacke M , mase m, u odnosu na referntni koordinatni sistem koji je vezan zaZemlju, Oxyz (Slika 3.19).

60

Draga

n-Goca

-Nenad


Cy

O

zx

w

w

j

Slika 3.19: Slika f1.

Diferencijalna jednacina relativnog kretanja tacke M je:

mar = F+ S+ Finpn + Fin

C (3.73)

gde je:

F - privlacna sila Zemlje,

S - sila u koncu,

Finpn - prenosna sila inercije i

FinC - Koriolisova sila inercije.

Vektorski zbir F+Finpn = mg 12 odre -duje tezinu tacke ciji je pravac paralelan

osi Oz.

Neka se tacka A vesanja klatna nalazi nao osi Oz. Polozaj klatnau odnosu na zadati pokretni sistem referencije se moze odrediti pomocupolarno-cilindricnih kooordinata (Slika 3.20).

12Kada se tacka M nalazi u stanju mirovanja pod dejstvom aktivnih sila i reakcijepodloge na povrsi Zemlje, za koju je vezan pokretni koordinatni sistem Oxyz, njenarelativna brzina i relativno ubrzanje su vr = ar = 0, pa je i acor = 0, a samim timje i Fin

C = 0. Diferencijalana jednacina relativnog kretanja tacke postaje F + N + Finpn.

Dejstvo materijalne tacke na povrs oslonca se odre -duje silom −N = mg, pa je na osnovuprethodne jednacine F+ Fin

pn = mg.

61

Draga

n-Goca

-Nenad


y

O

A

M

z

x

m

mg

l

k

lj

w

r

q

FC

S

in

Slika 3.20: Slika f2.

Projekcije vektora ugaone brzine ω obrtanja Zemlje oko sopstvene osena koordinatne osu su:

ωx = ω cosφ, ωy = 0, ωz = ω sinφ.

Stoga su projekcije ovog vektora na polarno-ciclindricne ose odre -dene izraz-ima (vidi ????):

ωϱ = ω cosφ sin θ,

ωθ = ω cosφ cos θ,

ωz = ω sinφ.

(3.74)

Projekcije relativne brzine tacke M na polarno cilindricne ose su:

vϱ = ϱ, vθ = ϱθ, vz = z. (3.75)

Na osnovu izraza (3.74) i (3.75), Koriolisova sila inercije se moze napisati uobliku

FinC = −2m(ω × vr) = −2m

∣∣∣∣∣∣λϱ µθ kωϱ ωθ ωz

vϱ vθ vz

∣∣∣∣∣∣ (3.76)

gde su λϱ, µθ i k jednicni vektori polarno-cilindricnih osa.Projekcije sile u koncu S na polarno-cilindricne ose su:

Sϱ = −Sϱ

ℓ, Sθ = 0, Sz = −S

ℓ− z

ℓ, (3.77)

gde je ℓ duzina konca.

62

Draga

n-Goca

-Nenad


Projektovanjem jednacine (3.73) na polarno-cilindricne ose, pri cemu jeF+ Fin

pn = mg, dobija se:

maϱ = m(ϱ− ϱθ2) = 2mωϱθ sinφ− 2mωz cosφ cos θ − Sϱ

ℓ,

maθ = m(ϱ+ 2ϱθ) = 2mωz cosφ sin θ − 2mωϱ sinφ,

maz = mz = −mg + 2mωϱ cosφ cos θ − 2mωϱθ sinφ+ Sℓ− z

ℓ.

(3.78)

Ove jednacine sadrze tri nepoznate funkcije ϱ, θ i S, dok se velicina zz mozeizraziti preko ϱ kao:

z = ℓ

√1−

√1−

(ϱℓ

)2.

Integracija jednacina (3.78) se u opstem slucaju ne moze izvesti pomocuelementarnih funkcija. Me -dutim, ako se predpostavi da je otklon klatna odvertikale mali u pore -denju sa njegovom duzinom (ϱ ≪ ℓ), stokod Fukoovogklatna jeste slucaj, moze se usvojiti da je z = z = z = 0. U tom slucaju seiz druge jednacine sistema (3.78) dobija:

ϱθ + 2ϱθ = −2ωϱ sinφ,

odnosnod

dt

(ϱ2θ + ωϱ2 sinφ

)= 0,

odakle sledi prvi integral

ϱ2θ + ωϱ2 sinφ = C. (3.79)

Kada klatno pri kretanju pro -de kroz koordinatni pocetak ϱ = 0, odakle sledida je C = 0, pa jednacina (3.79) postaje

θ + ω sinφ = 0 ⇒ θ = −omega sinφ. (3.80)

Ovaj rezultat pokazuje da se ravan u kojoj klatno osciluje obrce u suprotnomsmeru od smera obrtanja Zemlje. Ugaona brzina obrtanja ravni oscilovanjaklatna θ zavisi od geografske sirine φ. Ova ugaona brzina, prema (3.80),najveca je za φ = π/2, tj na polovima. Tada je ova brzina jednaka brziniobrtanja Zemlje oko ose ω, sto znaci da ravan oscilovanja napravi pun krugza 24h. Sa povecavanjem geografske sirine ugaona brzina obrtanja ravnioscilovanja klatna se smanjuje, tj produzava se vreme potrebno da se opisepun krug. Na ekvatoru, gde je φ = 0 i θ = 0, tako da uopste nema obrtanjaravni osilovanja klatna.

63

Draga

n-Goca

-Nenad


U Parizu, gde se originalno Fukoovo klatno i nalazi (slika 3.21), ravanklatna opise pun krug za 32.7h, a u Beogradu za 34h.

Kako se svako fizicko klatno za vreme slobodnog oscilovanja krece ujednoj nepokretnoj ravni, to je obrtanje ravni prividno jer se, u stvari, obrcepodloga tj. Zemlja.

Fukoov eksperiment kojim je se dokazuje rotacija Zemlje nije bio novonaucno otkrice. Naucnici su i pre njega bili uvereni, na osnovu astronomskihi matemetickih dokaza, da je Kopernikov koncept kreteanja planeta tacan.Ipak ti dokazi su ”spoljasnji” tj. do njih se doslo posmatranjem nebeskogsvoda i kretanja zvezda. Fukoov dokaz je ”unutrasnji”, sto znaci da koristisamo ”zemaljska sredstva”, i u tome lezi njegova originalnost.

Slika 3.21: Slika f3

Slika f3

64

Draga

n-Goca

-Nenad

INDEX

amplituda oscilovanja, 33

dekrement oscilacija, 37

elementarni rad sile, 47

faza oscilovanja, 33frekvencija oscilovanja, 33

harmonijske oscilacije, 31

impuls sile, 46inercijalna sila, 43inertnost, 24

jednacina kretanjadiferencijalna, 25

kineticka energija, 45kolicina kretanja, 24konzervativna polja, 50konzervativne sile, 50kretanje po inerciji, 25kruzna frekvencija, 33

kruto telo, 9

logaritamski dekrement, 37

mere mehanickog dejstva, 46mere mehanickog kretanja, 44Moment, 16

sile za tacku, 16

Njutnovi zakoni, 8

osnovna jednacina dinamike, 24

period prigusenih oscilacija, 36pocetni trenutak, 25polja

konzervativna, 50polje sile, 50potencijalna energija, 49prigusene oscilacije, 36Princip

osloba -danja od veza, 14princip

osloba -danja od veza, 42

132

Draga

n-Goca

-Nenad

INDEX INDEX

rad sile, 46Ravan obrtanja, 16Ravnoteza, 11Reakcija veze, 13, 14rezonancija, 40Rezultanta, 13

Sila, 11aktivna, 13pasivna, 14

Sistem silaekvivalentan, 13kolinearni, 13paralelni, 13proizvoljan, 13suceljni, 13

sistem sila, 12prostorni, 12ravanski, 12

slobodne oscilacijeharmonijske, 31

snaga sile, 49

Teloslobodno, 13vezano, 13

ugaona frekvencija, 33

Vezaidealna, 14reakcija, 13, 14spoljasnja, 14unutrasnja, 14

Veze, 13

133

Part I

Kinematika - elementi teorije

koordinate!generalisanevektor polo“v zja

GLAVA

1

Kinematika tacke

1.1 Polozaj tacke

Polozaj tacke u trodimenzionom prostoru (u daljem tekstu krace - prostor)moze da se odredi pomocu neka tri me -dusobno nezavisna parametra q1, q2,q3 (krace qi, i = 1, 2, 3).

Svakoj tacki u prostoru odgovara jedan i samo jedan ure -deni skup odtri realna broja (q1, q2, q3) i obrnuto, svakom ure -denom skupu od tri broja(q1, q2, q3) odgovara jedna i samo jedna tacka u prostoru. Ovi parametriq1, q2, q3, kojima se odre -duje polozaj tacke, nazivaju se generalisane ko-ordinate tacke.

Polozaj tacke u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru odre -duje se iu odnosu na jednu unapred odre -denu tacku, recimo O, pomocu vektora~r, koji se naziva vektor polozaja. Kako svakom vektoru polozaja odgo-vara samo jedna tacka prostora i obrnuto, sledi da je vektor polozaja tackevektorska funkcija generalisanih koordinata tacke, tj.

~r = ~r(q1, q2, q3). (1.1)

Kad u nekom sistemu koordinata qi jedna koordinata zadrzava stalnuvrednost (druge dve se menjaju), dobice se povrs, koju nazivamo koordi-

10 Kinematika tacke

koordinatna povr“v skoordinatna linijasistem koordinata!

krivolinijskitriedarvektorska bazakoordinate!Dekartovekomponente!vektora

polo“v zajavektor polo“v

zaja!komponente

natna povrs. Na primer

q3 = c3 = const. (1.2)

definise koordinatnu povrs, ciji je vektorski zapis

~r = ~r(q1, q2, c3). (1.3)

Uopste, postoje tri koordinatne povrsi qi = ci (i = 1, 2, 3). Presek dvekoordinatne povrsi odre -duje liniju koju nazivamo koordinatna linija. Naprimer, presek povrsi q2 = c2 i q3 = c3 odre -duje koordinatnu liniju q1.

Koordinatne linije obrazuju krivolinijski sistem koordinata.

Presek tri koordinatne povrsi je tacka cije su koordinate

qi = ci, i = 1, 2, 3. (1.4)

Obrnuto, kroz svaku tacku prostora prolaze, pri usvojenim uslovima, trirazlicite koordinatne povrsi, u cijim presecima se nalaze koordinatne linije.

U svakoj tacki prostora se mogu, na koordinatne linije u toj tacki, povucitangente, ciji su vektori pravaca orijentisani u smeru u kome rastu vrednostiq1, q2 i q3. One obrazuju u toj tacki triedar krivolinijskih koordinata,a njihovi (jedinicni) vektori vektorsku bazu sistema.

Prema obliku koordinatnih linija i koordinatnih povrsi pojedini sistemikoordinata, koji se najcesce koriste, imaju posebna imena.

i) Dekartov koordinatni sistem

Svojstvo ravnih prostora je postojanje pravolinijskih i pravouglih koor-dinatnih sistema. Takvi sistemi nazivaju se Dekartovi sistemi koordinata.Opste prihvacen nacin oznacavanja ovih koordinata je: x, y, z.

U odnosu na Dekartov sistem koordinata Oxyz sa pocetkom u polu O,polozaj tacke se odre -duje koordinatama tacke x, y i z. Ako su jedinicnivektori (ortovi) u pravcu osa Ox, Oy i Oz oznaceni sa ~i, ~j i ~k, respektivno,tada je (sl. 1.1)

~r = x~i+ y~j + z~k, (1.5)

pri cemu se vektori x~i, y~j i z~k nazivaju komponente vektora polozaja.

1.1 Polozaj tacke 11

koordinate!cilindri“v cne

rk

i j y

y

0

M x,y,z( )

z

z

x

x

Slika 1.1: Dekartov koordinatni sistem

♥

Za razliku od Dekartovog koordinatnog sistema, kod kojeg je sistembaznih vektora ~i, ~j i ~k, isti za sve tacke prostora, sistem baznih vektorakrivolinijskih koordinata zavisi od tacke prostora u kojoj se definisu.

Od krivolinijskih koordinatnih sistema najcesce su u upotrebi cilindricnii sferni.

ii) Cilindricni koordinatni sistem

U prostoru, polozaj tacke M moze da se jednoznacno odredi i pomocusledecih parametara: %, ϕ i z (vidi sl. 1.2). Ove parametre nazivamo cilin-dricne koordinate.

Bazni triedar cine jedinicni vektori ~r0, ~p0 i ~k.

Veza cilindricnih koordinata sa Dekartovim koordinatama je (vidi sl.1.2):

x = % cosϕ, y = % sinϕ, z = z. (1.6)

r y

y

j0

M

z

z

x

x

r

kpo

ro

Slika 1.2: Cilindricni koordinatni sistem

♥

12 Kinematika tacke

koordinate!polarnekoordinata!lu“v cna

iii) Polarni koordinatni sistem

Polozaj tacke u ravni moze da se odredi pomocu dva parametra. Izabe-rimo za te parametre: ugao ϕ, kojim je odre -den pravac vektora polozajau odnosu na neku fiksnu osu - polarnu osu (u ovom slucaju x osa) i ras-tojanje r (r = OM). Polarne koordinate tacke su: r i ϕ (videti sl.1.3).Jedinicne vektore tangenti na ove koordinatne linije oznacavacemo sa ~r0 i~p0, respektivno.

Polarne koordinate povezane su sa Dekartovim koordinatama relacijama:

x = r cosϕ, y = r sinϕ. (1.7)

x

y

j

0

M( ,r j)

y

x

r

po

ro

Slika 1.3: Polarni koordinatni sistem

Polarne koordinate su specijalni slucaj cilindricnih koordinata, koji sedobija kada se stavi z = 0.

♥

Pri kretanju, tacka opisuje neku liniju (putanju) `. Kada je poznatalinija po kojoj se tacka krece, za odre -divanje njenog polozaja dovoljna jesamo jedna koordinata (lucna koordinata).

iv) Prirodni koordinatni sistem

Polozaj tacke moze da se odredi ako za koordinatnu liniju izaberemoliniju `, na kojoj oznacimo tacku (recimo tacka O) od koje se meri lucna

koordinata s =_

OM i smer u kome se meri (vidi sl. 1.4)

s = s(t). (1.8)

Lucna koordinata se meri po putanji od izabrane referentne tacke O, uodgovarajucem smeru.

1.2 Izvod jedinicnog vektora 13

s

0

N

T

B

M

Slika 1.4: Prirodni koordinatni sistem

Prirodni triedar cine jedinicni vektori: ~T - tangente, ~N - normale i ~B -binormale.

♥

1.2 Izvod jedinicnog vektora

Cesto je u zadacima potrebno naci izvod jedinicnog vektora po vremenu1.Na ovom mestu cemo pokazati kako se odre -duje promena (izvod) ovog vek-tora u ravni.

Posmatrajmo jedinicni vektor ~r0 promenljivog pravca. Razlozimo ga nakomponente u pravcima x i y ose (nepokretni koordinatni sistem!):

~r0 = cosϕ~i+ sinϕ~j.

Diferenciranjem, imajuci na umu da su ~i i ~j vektori konstantnog intenzitetai pravca, tj. konstantni vektori, dobija se

~r0 = ϕ(− sinϕ~i+ cosϕ~j). (1.9)

Izraz u zagradi oznacimo sa ~p0, tj.

~p0 = − sinϕ~i+ cosϕ~j. (1.10)

Uocimo da je vektor ~p0 jedinicni (~p0· ~p0 = sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1) i upravan navektor ~r0 (vidi sl. 1.5).

1Napomenimo da tacka iznad neke velicine oznacava izvod te velicine po vremenu, tj.

() ≡d

dt().

14 Kinematika tacke

jedna“v cinakretanja!vektorska

x

j

cos jsin j

co

sj

sin jj

y

po

ro

ro

w

Slika 1.5: Izvod jedinicnog vektora

Imajuci na umu da je:

~i = ~j × ~k, ~j = ~k ×~i, ~k =~i×~j, (1.11)

zamenom ovih relacija u (1.9) dobijamo

ϕ(~k ×~j sinϕ+ ~k ×~i cosϕ) = ϕ~k × (cosϕ~i+ sinϕ~j) = ~ω × ~r0. (1.12)

Sa ~ω = ϕ~k smo oznacili vektor pravca upravnog na ravan u kojoj se okrecevektor ~r0, cija je algebarska vrednost ϕ.

Dakle,

~r0 = ~ω × ~r0. (1.13)

Iz (1.10) dobijamo za izvod jedinicnog vektora ~p0

~p0 = −ϕ~r0. (1.14)

1.3 Konacna jednacina kretanja. Trajektorija.Zakon puta

Tokom kretanja, tacka menja svoj polozaj u odnosu na neki koordinatnisistem. Njen polozaj, u bilo kom trenutku, odre -den je vektorskom funkcijom

~r = ~r(t) (1.15)

gde je sa t oznaceno vreme. Ovu jednacinu (1.15) zovemo konacna jedna-cina kretanja tacke (vektorski oblik).

Konacne jednacine kretanja tacke mogu biti zadate i analiticki, kaofunkcije vremena, preko:

1.3 Konacna jednacina kretanja. Trajektorija. Zakon puta 15

linija putanjetrajektorija ta“v ckeputanja ta“v ckeputzakon puta

i) Dekartovih koordinata

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (1.16)

ii) cilindricnih koordinata

% = %(t), ϕ = ϕ(t), z = z(t). (1.17)

iii) polarnih koordinata

r = r(t), ϕ = ϕ(t). (1.18)

Vektorska funkcija (1.15), odnosno skalarne jednacine (1.16)-(1.18) odre--duju krivu liniju koja se zove linija putanje. Deo linije putanje, za vrednostparametra t ≥ 0 naziva se putanja (trajektorija) tacke. Geometrijskomesto onih tacaka sa kojima se pokretna tacka u uocenom vremenskomintervalu (t1, t2) poklapa, naziva se pre -deni put ili, krace, put tacke. Kadse, na uobicajeni nacin, utvrdi tacka na trajektoriji od koje se luk racuna ismer u kome se meri, tada relacija

s = s(t) (1.19)

omogucava da se odredi polozaj tacke na trajektoriji, u svakom trenutku,i duzina puta koji je ona presla u odre -denom intervalu vremena. Relacija(1.19) zove se i zakon puta pokretne tacke.

Kretanje tacke potpuno je odre -deno njenom trajektorijom izakonom puta.

Iz konacne jednacine kretanja (1.15), ili iz (1.16), koje predstavljajuparametarske jednacine krive linije putanje, moze da se odredi zakon puta

d~r· d~r = ds2 = dx2 + dy2 + dz2 =

=

[(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2]

dt2 = [f(t)]2 dt2, (1.20)

odakle sledids = f(t) dt, (1.21)

pa integracijom dobijamo

s =

∫

f(t) dt+ C = s(t) + C, (1.22)

16 Kinematika tacke

direktno kretanjepovratno kretanjeretrogradno kretanje

gde je C integraciona konstanta.

Ukupan pre -deni put S tacke je uvek pozitivan i odre -den je relacijom

S =

n∑

i=1

|∆si|, (1.23)

gde je |∆si| promena lucne koordinate u vremenskom intervalu, u kometacka ne menja smer kretanja, ili koristeci (1.22),

S =

t2∫

t1

|f(t)| dt. (1.24)

Ako s raste kada i t raste, kretanje je direktno, a ako s opada kad traste, kretanje je povratno (retrogradno).

Napomenimo da su sve funkcije (1.16)-(1.18) neprekidne, jednoznacne i na-jmanje dvaput diferencijabilne.

Napomena: Ako su u tekstu zadatka zadate samo dve koordinate, tada se po-drazumeva da se tacka krece u odgovarajucoj koordinatnoj ravni. Ukoliko jezadata samo jedna koordinata, tacka se krece duz odgovarajuce koordinatnelinije.

1.4 Brzina tacke

Definicija:

Brzina tacke je izvod po vremenu vektora polozaja, tj.2

−→v =d−→rdt

. (1.25)

Napomenimo da cemo u daljem tekstu da koristimo skraceni oblik ovogpojma - brzina, umesto brzina tacke.

2Napomenimo da se u savremenoj literaturi vektorske velicine obicno oznacavaju”masno”, tj. ~r ≡ r. Mi cemo da koristimo oznaku ~r.

1.4 Brzina tacke 17

brzina!komponentebrzina!pravacbrzina!intenzitet

1.4.1 Brzina u Dekartovim koordinatama

Kada se kretanje tacke posmatra u odnosu na Dekartov koordinatni sistem,tada se brzina moze prikazati u obliku:

~v =d~r

dt=

d

dt(x~i+ y~j + z~k) = x~i+ y~j + z~k = vx

~i+ vy~j + vz

~k, (1.26)

pa su:

- projekcije brzine na ose Dekartovog koordinatnog sistema:

vx =dx

dt= x, vy =

dy

dt= y, vz =

dz

dt= z, (1.27)

- kosinusi pravca brzine, u odnosu na x, y, z ose

cos(~i, ~v) =vx

v, cos(~j,~v) =

vy

v, cos(~k,~v) =

vz

v, (1.28)

- intenzitet brzine:

v =√

v2x + v2

y + v2z . (1.29)

rk

i j y

y

0

z

z

x

x

M

v

vy

vz

vz

Slika 1.6: Brzina u Dekartovim koordinatama.

1.4.2 Brzina u cilindricnim koordinatama

Po -dimo od definicije brzine, a vektor polozaja izrazimo preko cilindricnihkoordinata, tj,

~v =d~r

dt=

d

dt(%~r0 + z~k) = %~r0 + %~r0 + z~k = %~r0 + %ϕ~p0 + z~k, (1.30)

pa su:

18 Kinematika tacke

brzina!komponentebrzina!intenzitetbrzina!uzdu“v znabrzina!radijalnabrzina!popre“v cnabrzina!transverzalnabrzina!cirkularnabrzina!azimutnabrzina!aksijalnabrzina!algebarska vrednost

- projekcije brzine na odgovarajuce ose

v% = %, vϕ = %ϕ, vz = z, (1.31)

- intenzitet brzine

v =√

v%2 + vϕ

2 + vz2. (1.32)

Projekcija v% naziva se uzduzna (radijalna), vϕ poprecna (transverzalna,cirkularna, azimutna)3, a vz = z aksijalna brzina tacke.

U specijalnom slucaju kada se tacka krece u ravni (uvek mozemo daizaberemo koordinatni sistem tako da je z=const.) iz prethodnih relacijasledi: v% = %, vϕ = %ϕ i z = 0.

x

y

j

j

0

M( ,r j)

y

x

r

po

vp

vr

v

ro

Slika 1.7: Brzina u polarnim koordinatama.

1.4.3 Brzina u prirodnim koordinatama

Brzinu mozemo da prikazemo i u obliku4

~v =d~r

dt=

d~r

ds

ds

dt=

ds

dt~T = v ~T , (1.33)

gde je ~T jedinicni vektor tangente na trajektoriju ` u tacki M , uvek orijen-tisan u smeru u kome lucna koordinata s raste, a v je algebarska vrednostbrzine, koja u sebi sadrzi intenzitet i smer brzine

v =ds

dt. (1.34)

3Napomenimo da cemo za ove projekcije koristiti i oznake vu - za uzduznu i vp - zapoprecnu.

4Napomenimo da se u vecini knjiga iz ove oblasti koristi ista oznaka (v) i za intenzitetbrzine i za njenu projekciju na tangentu. U knjizi [?], da bi se izbegli nesporazumi, koristese posebne oznake v i vT . Mi cemo koristiti jednu oznaku. Verujemo da nece doci donesporazuma.

1.4 Brzina tacke 19

sektor

0

N

TM

v

l

Slika 1.8: Brzina u prirodnom koordinatnom sistemu

1.4.4 Sektorska brzina tacke

Sektor je element povrsi koju opisuje vektor polozaja ~r u intervalu vremena∆t (vidi sl. 1.9). To je vektor definisan relacijom

∆~P =1

2~r × ∆~r. (1.35)

r

Dr

DP

r+

Dr

Slika 1.9: Sektor

Definicija:

Brzina promene sektora

~P =1

2~r × ~v (1.36)

naziva se sektorska brzina tacke.

U Dekartovom koordinatnom sistemu, sektorska brzina ima oblik

~P = ~σ =1

2~r × ~v =

1

2

∣∣∣∣∣∣

~ı ~ ~kx y zx y z

∣∣∣∣∣∣

=1

2(yz − zy)~i+

1

2(zx− xz)~j +

1

2(xy − yx)~k.

(1.37)Ako se tacka krece u ravni Oxy, tada je z = 0 i z = 0, pa je

~σ =1

2(xy − yx)~k.

20 Kinematika tacke

ubrzanje!projekcijeubrzanje!pravacubrzanje!intenzitet

U polarnom koordinatnom sistemu, ona ima oblik

~σ =1

2~r × ~v =

1

2

∣∣∣∣∣∣

~r0 ~p0~k

r 0 0r rϕ 0

∣∣∣∣∣∣

=1

2r2ϕ~k.

1.5 Ubrzanje tacke

Definicija:

Ubrzanje tacke je izvod njene brzine po vremenu, odnosno drugi izvodvektora polozaja po vremenu, tj.

−→a =d−→vdt

=d2r

dt2. (1.38)

1.5.1 Ubrzanje u Dekartovim koordinatama

Kada se kretanje tacke posmatra u odnosu na Dekartov koordinatni sistem,ubrzanje tacke (nadalje samo ubrzanje) moze da se prikaze u obliku:

~a =d~v

dt=

d

dt(vx~i+ vy

~j + vz~k) =

dvx

dt~i+

dvy

dt~j +

dvz

dt~k, (1.39)

pri cemu su:

- projekcije ubrzanja na ose Dekartovog koordinatnog sistema:

ax =dvx

dt= x, ay =

dvy

dt= y, az =

dvz

dt= z, (1.40)

- kosinusi pravca ubrzanja u odnosu na pozitivne smerove x, y i zosa, respektivno:

cos(~i,~a) =ax

a, cos(~j,~a) =

ay

a, cos(~k,~a) =

az

a, (1.41)

- intenzitet ubrzanja

a =√

a2x + a2

y + a2z. (1.42)

1.5 Ubrzanje tacke 21

ubrzanje!projekcijeubrzanje!intenzitetubrzanje!uzdu“v znoubrzanje!radijalnoubrzanje!popre“v cnoubrzanje!transverzalnoubrzanje!cirkularnoubrzanje!aksijalno

rk

i j y

y

0

z

z

x

x

M

v

a

ay

az

az

Slika 1.10: Ubrzanje u Dekartovim koordinatama.

1.5.2 Ubrzanje u cilindricnim koordinatama

Polazeci od izraza za brzinu u odnosu na cilindricne koordinate (1.30) idefinicije ubrzanja tacke (1.38), za ubrzanje dobijamo

~a =d~v

dt=

d

dt(%~r0 + %ϕ~p0 + z~k) =

= %~r0 + %~r0 + %ϕ~p0 + %ϕ~p0 + %ϕ~p0 + z~k =

= (%− %ϕ2)~r0 + (2%ϕ+ %ϕ)~p0 + z~k; (1.43)

- projekcije ubrzanja na ose cilindricnog koordinatnog sistema

a% = %− %ϕ2, aϕ = 2%ϕ+ %ϕ, az = z, (1.44)

- intenzitet ubrzanja

a =√

a%2 + aϕ

2 + az2. (1.45)

Projekcija a% naziva se uzduzno (radijalno), aϕ poprecno (transverzalno,cirkularno), a az = z aksijalno ubrzanje tacke.

U specijalnom slucaju kada se tacka krece u ravni, kao sto je vec receno,uvek mozemo da izaberemo tako koordinatni sistem da ta ravan bude z =const. tj. z = z = 0, tako da se za projekcije ubrzanja na ose polarnogkoordinatnog sistema dobija

a% = %− %ϕ2, aϕ = 2%ϕ+ %ϕ. (1.46)

U ovom slucaju a% naziva se radijalno, a aϕ poprecno (ili transverzalnoili cirkularno) ubrzanje.

22 Kinematika tacke

ubrzanje!tangencijalnoubrzanje!normalno

x

yj

j

0

M( ,r j)

y

x

r

po

ap

ar

a

ro

Slika 1.11: Ubrzanje u polarnom koordinatnom sistemu.

1.5.3 Ubrzanje u prirodnim koordinatama

Vektor ubrzanja tacke moze se predstaviti u obliku

~a =d~v

dt=

d

dt(v ~T ) =

dv

dt~T + v

d~T

dt=

=dv

dt~T + v

d~T

ds

ds

dt=

dv

dt~T + v· v 1

Rk

~N =

=dv

dt~T +

v2

Rk

~N, (1.47)

gde je Rk – poluprecnik krivine, odnosno 1/Rk – krivina putanje.5

Simbolicki ovo oznacavamo sa6

~a = ~aT + ~aN , (1.48)

gde je ~aT tangencijalna komponenta ubrzanja, a ~aN normalna komponentaubrzanja i ocigledno je:

~aT =dv

dt~T , ~aN =

v2

Rk

~N. (1.49)

Intenzitet ubrzanja tacke je

a =√

a2T + a2

N , (1.50)

dok je njegov pravac, u odnosu na normalu na putanju, odre -den sa

tgα =|aT |aN

. (1.51)

5Iskoriscen je prvi Freneov obrazacd~T

ds=

~N

Rk

.6Napomenimo da je ~aB = 0, tj. projekcija ubrzanja na binormalu jednaka je nuli, pa

ubrzanje lezi u oskulatornoj ravni.

1.6 Kinematicki dijagrami 23

0

N

TM

a

l aT

aN

a

Slika 1.12: Ubrzanje u prirodnom koordinatnom sistemu

Veza izme -du projekcija na prirodne koordinatne ose i Dekartoveose

Pretpostavimo da vektori ~T i ~N pripadaju Oxy ravni. Tada je

aT =dv

dt=

d

dt

√

x2 + y2 =xx+ yy

√

x2 + y2

ili

aT = ~a· ~T = ~a· ~vv

=1

v(~v·~a) =

xx+ yy√

x2 + y2,

i

aN = ~a· ~N = a· 1 cos](~a, ~N) = a sin ](~a, ~T ) =

=∣∣∣~a× ~T

∣∣∣ =

∣∣∣∣~a× ~v

v

∣∣∣∣=

1

v|~v × ~a| =

|~v × ~a|v

=

=

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kx y 0x y 0

∣∣∣∣∣∣

√

x2 + y2=

|xy − yx|√

x2 + y2,

a poluprecnik krivine je

Rk =v2

aN=

v3

|~v × ~a| =(x2 + y2)

√

x2 + y2

|xy − yx| =(x2 + y2)3/2

|xy − yx| .

1.6 Kinematicki dijagrami

Definisanje neprekidne matematicke funkcije, koja opisuje kretanje tacke,moze biti problematicno, u slucaju kada je kretanje tacke u duzem vre-

24 Kinematika tacke

menskom intervalu nepravilno (stihijsko). U tom slucaju je kretanje na-jbolje predstaviti graficki pomocu serije krivih. Ako se takvim dijagramomopisuje ponasanje bilo koje dve od promenljivih a, v, s i t, onda se na osnovunjega moze formirati dijagram koji opisuje ponasanje drugih promenljivih.

Formiranje tog dijagrama vrsi se pomocu kinematickih jednacina v =ds

dti

a =dv

dt.

1.6.1 Dijagram rastojanje – vreme

Ukoliko se polozaj tacke pri kretanju u toku nekog vremena t moze eksperi-mentalno odrediti, moze se formirati s−t dijagram, pri cemu se na apscisu udatoj razmeri nanosi vreme, a na ordinatu se nanose rastojanja s (sl. 1.13).

t3

t0 t2

t1

s1

s2

s3

s

Slika 1.13:

1.6.2 Dijagram brzina – vreme

Kako je v =ds

dt, to se v − t dijagram moze formirati merenjem nagiba

ds

dts− t dijagrama u razlicitim vremenskim trenucima i crtanjem rezultata (pricemu se nagib u slucaju grafickog odre -divanja meri lenjirom i uglomerom).Tako se merenjem nagiba u tackama cije su koordinate (t0, s0), (t1, s1), (t2,s2) i (t3, s3) sa s− t dijagrama (sl. 1.14a), dobijaju podaci za brzine v0, v1,v2 i v3 u odgovarajucem v − t dijagramu (sl. 1.14b)


t3

to

t1

t2

t3

t3

t

t

0

0

t2

t2

t1

t1

dt

dt

dt

dt

ds ds

ds

s

v

s1

v1vo

s2

v2

s3

v3

ds

vo

v1

v2

v3

=

=

=

=

a)

b)

Slika 1.14:

Dijagram brzine i vremena moguce je odrediti i matematicki, pod uslovomda se krive u s− t dijagramu mogu izraziti u obliku s = f(t). Odgovarajucejednacine koje opisuju krive u v − t dijagramu se onda odre -duju diferenci-ranjem jednacina s = f(t) po vremenu.

1.6.3 Dijagram ubrzanje(tangentno)– vreme

Slicno kao u prethodnom slucaju, kada je poznat v − t dijagram kretanjatacke, u svakom trenutku se moze odrediti ubrzanje na osnovu jednacine

a =dv

dt. Dakle, a − t dijagram se moze formirati merenjem nagiba (

dv

dt)

v − t dijagrama u razlicitim vremenskim trenucima i crtanjem rezultata.Tako se merenjem nagiba u tackama cije su koordinate (t0, v0), (t1, v1), (t2,

26 Kinematika tacke

v2) i (t3, v3) sa v − t na v − t dijagramu (sl. 1.15a), dobijaju podaci zaubrzanja a0, a1, a2 i av3 u odgovarajucem a− t dijagramu (sl. 1.15b).

to

t1

t2

t3

t3 t

t

0

0

t2

t2 t3

t1

t1

dt

dt

dtdt

dv

dv

dvdv

v

a

v1vo

a1

v2

a2a3

v3

ao

a1

a2

a30=

=

=

==

a)

b)

ao 0=

Slika 1.15:

Ukoliko se svaka kriva u v− t dijagramu moze izraziti kao funkcija oblikav = g(t), onda se dijagram ubrzanja i vremena moze odrediti i matematicki,i to diferenciranjem jednacina v = g(t) po vremenu.

Kako se pri diferenciranju polinom n-tog stepena svodi na polinom (n−1)-vog stepena, na osnovu prethodnog objasnjenja moze se zakljuciti da akoje s − t dijagram parabola (kriva drugog stepena), v − t dijagramce bitinagibna prava (kriva prvog stepena), dok ce a− t dijagram biti konstantanaili horizontalna prava (kriva nultog stepena) (sl. 1.16).


t

t

t

0

0

0

v

a

A

A

A

B

B

s

B

Slika 1.16:

1.6.4 Odre -divanje v − t dijagrama na osnovu a− t dijagrama

Ako je poznat a− t dijagram kretanja tacke (sl. 1.17a), moze se na osnovu

njega formirati dijagram v−t pomocu jednacine a =dv

dtnapisane u integral-

28 Kinematika tacke

nom obliku kao ∆v =∫a dt (sl. 1.17b). U ovom slucaju je promena brzine

kretanja tacke u vremenskom intervalu jednaka povrsini ispod dela kriveu a − t dijagramu koja odgovara istom vremenskom intervalu (u slucajugrafickog odre -divanja, svaka dovoljno mala povrsina moze biti aproksimi-rana trapezom ili pravougaonikom). Me -dutim, neophodno je poznavanjepocetne brzine v0, na koju se algebarski dodaje prirastaj ∆v odre -den saa− t dijagrama. Na ovaj nacin se odre -duju uzastopne tacke, v1 = v0 + ∆v,itd za v− t dijagram. Vazno je uociti da je algebarsko sabiranje neophodno,buduci da povrsine koje leze iznad t-ose odgovaraju porastu brzine (”pozi-tivna” povrsina), dok povrsine koje leze ispod t-ose odgovaraju smanjenjubrzine (”negativna” povrsina).

t

t

0

0

t2

t2

t1

t1

a

va)

ao

vo

ò=D

D

t2

t1

dtav

v

b)

Slika 1.17:

Ako se krive u a− t dijagramu mogu predstaviti serijom jednacina, ondase svaka od ovih jednacina moze integraliti i dati jednacine koje opisujuodgovarajuce krive u v− t dijagramu. Dakle, ako je a− t dijagram linearan


(kriva prvog reda), integraljenjem ce se u v − t dijagramu dobiti parabola(kriva drugog reda).

1.6.5 Odre -divanje s− t dijagrama na osnovu v − t dijagrama

U slucajevima kada je poznat v− t dijagram (sl. 1.18a), moguce je odrediti

s − t dijagram pomocu jednacine v =ds

dtnapisane u integralnom obliku

kao ∆s =∫v dt (sl. 1.18b). U ovom slucaju pomeranje tacke, koja se

krece u vremenskom intervalu, jednaka je povrsini ispod dela krive u v − tdijagramu koji odgovara istom vremenskom intrvalu. Slicno kao i u prethod-nom slucaju, naophodno je poznavanje pocetnog polozaja tacke s0 na kojuse algebarski dodaje prirastaj ∆s odre -den sa v − t dijagrama.

t

t

0

0

t2

t2

t1

t1

v

sa)

vo

so

ò=D

D

t2

t1

dtvs

s

b)

Slika 1.18:

I ovde je moguce integracijom dobiti jednacine koje opisuju krive u s−t dijagramu, ali samo pod uslovom da se krive u v − t dijagramu mogu

30 Kinematika tacke

predstaviti serijom odgovarajucih jednacina.

1.6.6 Odre -divanje v− s dijagrama na osnovu a− s dijagrama

U slucajevima kada je poznat a − s dijagram, moguce je odrediti tackena v − s dijagramu koriscenjem jednacine v dv = a ds. Integraljenjem ovejednacine izme -du granica v = v1 za s = s1 i v = v2 za s = s2, dobija se

1

2

(v22 − v2

1

)=

s2∫

s1

a ds. (1.52)

s

s

0

0

s2

s2

s1

s1

a

va)

b)

ao

vo

v1

v2

(( )s2

s1

v1

2v2

2

2

1dsa -ò =

Slika 1.19:

Stoga je povrsina malog segmenta ispod a − s krive jednakas2∫

s1

a ds,

koja je osencena na sl. 1.19, a jednaka je polovini razlike kvadrata brz-ina 1

2

(v22 − v2

1

).


Aproksimacijom pomenute povrsine moguce je izracunati vrednost v2 zas2, ako je poznata pocetna vrednost v1 za s1 (sl. 1.19b), pa je

v2 =

√√√√√2

s2∫

s1

a ds+ v21. (1.53)

Dijagram v−s se na ovaj nacin moze formirati, pocev od pocetne brzine v0.

Drugi nacin za konstruisanje v−s dijagrama podrazumeva najpre defin-isanje matematickih jednacina kojima se opisuju krive koje formiraju a− sdijagram. Tada se odgovarajuce jednacine koje definisu krive u v − s di-jagramu mogu dobiti direktno integracijom pomocu pomenute jednacinev dv = a ds.

1.6.7 Odre -divanje a− s dijagrama na osnovu v− s dijagrama

U slucajevima kada je poznat v−s dijagram, ubrzanje a u bilo kojoj pozicijis se moze odrediti graficki na sledeci nacin. U bilo kojoj tacki P (s, v) (vidisliku 1.20a) je definisan nagib v − s dijagrama, dv/ds.Posto je a ds = v dv,onda je a = v(dv/ds) (vidi sliku 1.20b). Podrazumeva se da se u svakomtrenutku mora voditi racuna o odgovarajucim jedinicama: na primer, akoje v mereno u [m/s] i s u [m], onda ce a biti odre -deno u [m/s2].

Odre -divanje krivih koje opisuju a−s dijagram moze se izvrsiti i analiticki,pod uslovom da su odgovarajuce jednacine krivih u v−s dijagramu poznate.Kao i prethodno, potrebno je koristiti izraz a ds = v dv.

32 Kinematika tacke

s

s0

v

aa)

b)

0

s

aoa

BA

P

vo v

a

q

q ds

dvtg =q

Slika 1.20:

translacija

GLAVA

2

Kinematika krutog tela

2.1 Translatorno kretanje krutog tela

Translacija je takvo kretanje krutog tela pri kome se ne menja pravacpravih nepomicno vezanih za telo. Sve prave nepomicno vezane za telopomeraju se paralelno. Pri takvom kretanju putanje (trajektorije) svihtacaka tela mogu da budu:

- paralelne prave linije – translacija je pravolinijska (slika 2.1a),

- paralelne krive linije – translacija je krivolinijska (slika 2.1b).

a) b)

Putanja pravolinijske translacije Putanja krivolinijske translacije

Slika 2.1: a) Putanja pravolinijske translacije. b) Putanja krivolinijske translacije.

34 Kinematika krutog tela

Prema tome, pri translatornom kretanju dovoljno je odrediti kretanjesamo jedne tacke tela, a kretanje svih ostalih tacaka tela, pa i samog tela,tada je potpuno odre -deno.

Dakle, u ovom slucaju, brzine i ubrzanja svih tacaka tela su iste, atrajektorije su paralelne prave ili krive.

2.1.1 Polozaj

Polozaj tacaka koje pripadaju telu, A i B, u nepokretnom Dekartovom ko-ordinatnom sistemu Oxyz, odre -den je odgovarajucim vektorima polozaja ~rA

i ~rB (slika 2.2).

rB

rA

rAB

y

y ’

0

A

B

z

z ’

x

x ’

Slika 2.2:

Pokretni koordinatni sistem Ax′y′z′, je vezan za telo u tacki A, dok jepolozaj tacke B, u ovom koordinatnom sistemu, odre -den vektorom polozaja−→r AB. Prema prethodnoj slici, a na osnovu sabiranja vektora, vektor polozajatacke B se moze napisati u obliku:

−→r B = −→r A + −→r AB. (2.1)

2.1.2 Brzina

Veza izme -du trenutnih brzina tacaka A i B se dobija diferenciranjem povremenu prethodne vektorske jednacine polozaja:

−→v B =d−→r B

dt=

d

dt(−→r A + −→r AB) =

d−→r A

dt+

d−→r AB

dt. (2.2)

2.2 Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose 35

obrtna osaobrtanje!oko nepokretne

ose

pri cemu je izrazd−→r AB

dt= 0, jer je pri translatornom kretanju vektor −→r AB

konstantnog intenziteta i pravca, tj. konstantan kao vektor, pa sledi da je:

d−→r B

dt=

d−→r A

dtodnosno −→v B = −→v A. (2.3)

2.1.3 Ubrzanje

Diferenciranjem jednacine za brzinu (2.3) po vremenu dobijaju se trenutnaubrzanja tacaka A i B:

d−→v B

dt=

d−→v A

dtodnosno −→a B = −→a A. (2.4)

Na osnovu prethodne dve jednacine mozemo zakljuciti da se sve tacke tela,koje vrsi bilo pravolinijsku bilo krivolinijsku translaciju, krecu na isti nacin:imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. To znaci daje celokupno kretanje tela, u slucaju translacije, odre -deno kretanjem samojedne tacke tela.

2.2 Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose

Ako se kruto telo krece tako da su dve njegove tacke nepokretne, nepokretnesu i sve tacke tela koje se nalaze na pravoj koja prolazi kroz te tacke. Ori-jentisana prava koja prolazi kroz te tacke naziva se obrtna osa tela, a takvokretanje naziva se obrtanje tela oko nepokretne ose.

Po dogovoru, obrtanje je pozitivno kad je, gledano iz pozitivnog smeraose, suprotno kretanju kazaljke na satu.

Tacke tela, koje se ne nalaze na osi obrtanja, krecu se po kruznicama cijise centri nalaze na osi obrtanja. Ove kruznice pripadaju paralelnim ravnimaupravnim na osu obrtanja.


ugao obrtanjajedna“v cina obrtanjavektor rotacijeugaona brzina tela

u

j

0

j

PoP

djM

Mo

Slika 2.3: Promena polozaja tela pri obrtanju oko nepokretne ose

Polozaj krutog tela koje se obrce oko neke nepokretne ose moze da seodredi pomocu jednog parametra, pod uslovom da je osa obrtanja odre -dena.Neka je Π (sl. 2.3) ravan koja prolazi kroz osu obrtanja, a Π0 nepokretnaravan, koja tako -de prolazi kroz osu obrtanja. Ugao ϕ izme -du ravni Π0 iΠ naziva se ugao obrtanja i odre -duje polozaj tela. Konacna jednacinaobrtanja tela oko nepokretne ose je

ϕ = ϕ(t), [rad], (2.5)

pa telo ima jedan stepen slobode1.Ugao obrtanja tela povezan je sa brojem obrtaja tela N na sledeci

nacinϕ = 2πN. (2.6)

Vektor koji ima orijentaciju (pravac i smer) istu kao osa rotacije, a in-tenzitet jednak uglu obrtanja naziva se vektor rotacije

~ϕ = ϕ~u, (2.7)

gde je sa ~u oznacen jedinicni vektor obrtne ose.Velicina koja karakterise promenu vektora rotacije ~ϕ po vremenu, naziva

se ugaona brzina tela i obelezava se sa

~ω =d~ϕ

dt= ϕ~u. (2.8)

1Stepen slobode je broj nezavisnih parametara potrebnih da se odredi polozaj bilo kogobjekta (tacka, sistem tacaka i tela).


broj obrtaja u minutiugaono ubrzanje tela

Sa ωu cemo oznacavati ϕ, tj. ωu = ϕ. U zadacima, koji se odnose naobrtanje krutog tela oko nepokretne ose, koristice se pojam ugaona brzinapri cemu ce se misliti na projekciju ovog vektora na osu obrtanja.

Broj obrtaja tela racunat u jedinici vremena (obicno u minutu) nazivase broj obrtaja u minuti i obelezava se sa n. Veza izme -du intenzitetaugaone brzine ω i broja obrtaja u minuti n (u slucaju konstantne ugaonebrzine) data je sa

ω =πn

30. (2.9)

Ugaona brzina izrazava se u [rad/s].

Velicina koja karakterise promenu ugaone brzine sa promenom vremenanaziva se ugaono ubrzanje tela i obelezava se sa

~ε =d~ω

dt= ω~u =

d2ϕ

dt2~u = ϕ~u, (2.10)

Ugaono ubrzanje izrazava se u [rad/s2].

U slucaju kada jedω

dt> 0 ugaona brzina ω se povecava, tj. telo se obrce

ubrzano. U slucaju kada jedω

dt< 0 ugaona brzima ω se smanjuje, tj. telo

se obrce usporeno.

Pri ravnomernom obrtanju tela je ω = ϕ =const. U tom slucaju jednacinaobrtanja tela ima oblik

ϕ = ϕ0 + ωt. (2.11)

Sa ϕ0 je oznacena pocetna vrednost ugla ϕ.

Pri ravnomerno promenljivom obrtanju tela je ε = ω=const. Razliku-jemo ravnomerno ubrzano (ε > 0) i ravnomerno usporeno (ε < 0) obrtanjetela. Ugaona brzina, pri ravnomernom promenljivom obrtanju tela, imaoblik

ω = ω0 + εt, (2.12)

dok je jednacina obrtanja

ϕ = ϕ0 + ω0t+1

2εt2. (2.13)

Sa ω0 je oznacena pocetna vrednost ugaone brzine.


2.2.1 Brzina i ubrzanje tacke telakoje se obrce oko nepokretne ose

Kao sto je ranije receno, kod obrtnog kretanja tela sve tacke tela, koje nepripadaju obrtnoj osi, krecu se u ravnima upravnim na obrtnu osu i opisujukruznice, ciji se centri nalaze na osi obrtanja.

Polozaj neke tacke M u odre -denom trenutku vremena odre -den je lucnomkoordinatom s. Veza izme -du ugla obrtanja i lucne koordinate je (sl. 2.4)

s = Rϕ, (2.14)

gde je R rastojanje tacke od ose obrtanja.

u

w

R

j

M

s

Mo

v

Slika 2.4: Brzina tacke tela pri obrtanju oko nepokretne ose

Algebarska vrednost brzine tacke M , koja se krece po kruznici, moze dase izrazi u obliku:

v =ds

dt= R

dϕ

dt= Rϕ = Rωu. (2.15)

Ubrzanje tacke M , koja se krece po kruznici, (videti sl. 2.5) jednako je(videti (1.48), str. 22)

~a = ~aT + ~aN . (2.16)


ubrzanje!tangencijalnoubrzanje!normalna

komponentaubrzanje!intenzitet

M

aT

aN

u

Slika 2.5: Ubrzanje tacke tela pri obrtanju oko nepokretne ose

Algebarska vrednost tangencijalne komponente ubrzanja je

aT =dv

dt= R

dω

dt= Rω = Rε, (2.17)

i ona ce postojati samo u slucaju promenljivog obrtanja tela. Intenzitetnormalne komponente ubrzanja je

aN =v2

R= Rω2 (2.18)

i postoji kako u slucaju ravnomernog tako i u slucaju ravnonomerno pro-menljivog obrtanja tela i uvek je usmerena ka sredistu kruznice (vidi slike2.5 i 2.6).

Intenzitet ubrzanja tacke M dat je izrazom

a =√

a2T + a2

N = R√

ε2 + ω4, (2.19)

M

aT

a

aN

a

Slika 2.6: Ubrzanje tacke tela pri obrtanju oko nepokretne ose


ravno kretanje dok je pravac, u odnosu na normalu, dat sa

tgα =|~aT |aN

=|ε|ω2. (2.20)

2.3 Ravno kretanje krutog tela

Ravno (ravansko) kretanje krutog tela naziva se takvo kretanje krutogtela pri kome se sve tacke tela krecu samo u ravnima koje su paralelne nekojnepokretnoj (osnovnoj) ravni. Sve trajektorije, onih tacaka tela koje su naistoj normali na osnovnu ravan, istovetne su i samo paralelno pomerene.Stoga se i kretanje citavog tela moze odrediti posmatranjem kretanja ujednoj ravni.

Umesto dva prostorna koordinatna sistema dovoljno je, u ovom slucaju,za odre -divanje polozaja tela i za opisivanje kretanja uociti samo dva ravan-ska koordinatna sistema Oxy i Aξη (sl. 2.7). Tada se posmatra samo kre-tanje pokretne ravni Aξη, vezane za telo (pokretni koordinatni sistem), ponepokretnoj ravni Oxy (nepokretni koordinatni sistem). Polozaj pokretneravni, a time i citavog tela, bice odre -den, recimo Dekartovim koordinatamaxA i yA, pokretnog pola A, i uglom ϕ koji osa Aξ gradi sa osom Ox (uglomobrtanja tela oko ose upravne na ravan kretanja).

r r

rA

x

x

0

A

B

y

h

j

Slika 2.7: Ravno kretanje

Konacne jednacine kretanja tela su:

xA = xA(t), yA = yA(t), ϕ = ϕ(t). (2.21)

Polozaj proizvoljne tacke B ravne figure bice odre -den vektorom polozaja

~r = ~rA + ~%, (2.22)

2.3 Ravno kretanje krutog tela 41

brzina!ta“v cke telaili u skalarnom obliku:

x = xA + ξ cosϕ− η sinϕ,

y = yA + ξ sinϕ+ η cosϕ.(2.23)

Napomena. Posto se u mehanici izucava model krutog tela, to znaci da je ~%vektor konstantnog intenziteta, ali mu se, u opstem slucaju, tokom kretanjamenja pravac. O tome treba voditi racuna pri diferenciranju ovog vektora.

2.3.1 Brzina tacke tela pri ravnom kretanju

Brzina tacke je, kao sto je vec receno (str. 16 (1.25)), izvod vektora polozajapo vremenu. Na istovetan nacin se definise i brzina tacke krutog tela.Me -dutim, elementarna pomeranja tacaka krutog tela nisu potpuno proiz-voljna. Odre -dena su pomeranjem nekog proizvoljno izabranog pola A utelu, elementarnim obrtanjem ∆~ϕ = ∆ϕ~u i polozajem posmatrane tacke B

tela u odnosu na pokretni pol A, odre -den vektorom ~% =−−→AB, gde jedinicni

vektor ~u odre -duje trenutnu osu obrtanja. Dakle,

brzina proizvoljne tacke B tela jednaka je izvodu njenog vektorapolozaja, tj. 2

~vB =d~r

dt=

d

dt(~rA + ~%) = ~vA + ~% =

= ~vA + ~ω × ~% = ~vA + [~ω, ~%] = ~vA + ~vAB, (2.24)

gde je ~ω = ~ϕ = ϕ~u trenutna ugaona brzina tela.

Dakle, brzina proizvoljne tacke B, krutog tela, jednaka je vektorskom zbirubrzine tacke A (~vA) kao pola, koja odre -duje translatornu komponentu brzine~vB i brzine tacke B pri njenom obrtanju zajedno sa ravnom figurom oko oseupravne na ravan 3 (sl. 2.8), tj. obrtne komponente brzine (~vA

B) (citamo”brzina tacke B oko A”).

2Uobicajen nacin obelezavanja vektorskog proizvoda je ~a×~b. Me -dutim, cesto se koristi ioznaka [~a,~b]. U ovoj knjizi koristice se oba zapisa. Slicno, skalarni proizvod bice obelezavan

sa ~a·~b ili (~a,~b).3Napomenimo da je prodor ose kroz ravan tacka, pa se moze desiti da neki put u

zadatku, za ravno kretanje, govorimo o kretanju oko tacke misleci na ovaj prodor.


r

r

rA

vA

vB

vA

vB

rB

0

A

A

B

ba

=

w

Slika 2.8: Brzina tacke ravne figure

Kako je~vA

B = ~% = ~ω × ~%, (2.25)

to je intenzitet obrtne komponente brzine tacke B pri njenom obrtanju okoose koja prolazi kroz tacku A jednak

vAB = BA·ω, (2.26)

pri cemu je ω intenzitet trenutne ugaone brzine obrtanja tela, a pravac ovekomponente je

~vAB ⊥ −−→

BA. (2.27)

Teorema 1 Projekcije brzina dve tacke ravne figure, recimo A i B, na osu−−→AB4 koja prolazi kroz te dve tacke, jednake su (sl. 2.8), tj.

vB cosβ = vA cosα, (2.28)

pri cemu su α i β uglovi koje brzine ~vA i ~vB zaklapaju sa ovim vektorom,respektivno.

Dokaz.

Kako je, prema (2.24)

~vB = ~vA + ~ω ×−−→AB,

to skalarnim mnozenjem sa−−→AB dobijamo

vB cosβ = vA cosα+ ~ω ×−−→AB· −−→AB = vB cosβ = vA cosα.

4Kada u tekstu govorimo o osi−→

AB podrazumevamo osu koja prolazi kroz tacke A i B,sa smerom od A ka B.


Ovde smo iskoristili osobinu mesovitog proizvoda: mesoviti proizvod je jed-nak nuli ako su dva vektora kolinearna.

♥

Teorema 2 Trenutna ugaona brzina ~ω ne zavisi od izbora pola obrtanja Au telu.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno, da se promenom pola menjaju i trenutne ugaonebrzine. Neka su A i B dve tacke nekog krutog tela, koje su izabrane za poloveobrtanja, a ~ωA i ~ωB su odgovarajuce trenutne ugaone brzine. Brzinu ~v, neketacke tela M , mozemo da prikazemo preko jednog od polova:

~v = ~vA + ~ωA ×−−→AM,

ili

~v = ~vB + ~ωB ×−−→BM.

Kako su leve strane jednake to sledi da je i

~vA + ~ωA ×−−→AM = ~vB + ~ωB ×−−→

BM.

Me -dutim, prema (2.24) je

~vB = ~vA + ~ωA ×−−→AB,

pa iz poslednje dve relacije sledi

~vA + ~ωA ×−−→AM = ~vA + ~ωA ×−−→

AB + ~ωB ×−−→BM,

odnosno

~ωA ×−−→AM − ~ωA ×−−→

AB = ~ωB ×−−→BM.

Kako je−−→AM =

−−→AB +

−−→BM , to se prethodna relacija moze napisati kao

~ωB ×−−→BM = ~ωA ×−−→

BM,

odnosno

(~ωB − ~ωA) ×−−→BM = 0.


Tacka M je proizvoljna tacka, pa, u opstem slucaju, vektor−−→BM nije nula

vektor. Kako ovaj vektor nije ni kolinearan sa vektorom ~ωB − ~ωA, to sledida je

~ωB = ~ωA.

♥

Definicija:

Trenutni pol brzina naziva se ona tacka tela (koje vrsi ravno kretanje)cija je brzina u datom trenutku jednaka nuli.

Polozaj trenutnog pola brzina nalazi se u preseku normala povucenih izdatih tacaka na pravce njihovih brzina (sl. 2.9).

vA

vB

PV

A

B

w

Slika 2.9: Trenutni pol brzina

Pomocu trenutnog pola brzina mozemo odrediti brzinu proizvoljne tackeB tela (koje vrsi ravno kretanje), ciji je intenzitet

vB = PvB·ω, (2.29)

gde je ω intenzitet ugaone brzine obrtanja tela oko ose koja prolazi kroztrenutni pol brzina.

2.3.2 Ubrzanje tacke tela, pri ravnom kretanju

Ubrzanje neke tacke B tela (koje vrsi ravno kretanje) jednako je, kao iubrzanje tacke, izvodu brzine, tj.

~aB =d~vB

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~%) = ~aA + ~ω × %+ ~ω × ~% =

= ~aA + ~ε× ~%+ ~ω × (~ω × ~%) =

= ~aA + ~ε× ~%+ (−ω2~%) = ~aA + ~aABT + ~aA

BN . (2.30)


ubrzanje!ta“v cke ravnefigure

Napomenimo da je u prethodnom izrazu clan (~ω· ~%)~ω = 0, jer su u ovomposebnom slucaju vektori ~% i ~ω ortogonalni, pa je njihov skalarni proizvodjednak nuli. Tako -de je iskoriscen izraz za dvostruki vektorski proizvod

~ω × (~ω × ~%) = (~ω· ~%)~ω − ω2~%. (2.31)

Dakle, ubrzanje proizvoljne tacke B tela pri ravnom kretanju, moze dase prikaze izrazom

~aB = ~aA + ~aABT + ~aA

BN , (2.32)

gde je ~aA ubrzanje tacke A.

Sa ~aABT oznacena je tangencijalna komponenta ubrzanja tacke B pri obr-

tanju oko ose koja prolazi kroz tacku A. Njen intenzitet je

aABT = AB· |ω| = AB· |ε|, (2.33)

pravac je upravan na pravacAB, a smer je odre -den smerom ugaonog ubrzanja.

Sa ~aABN oznacena je normalna komponenta ubrzanja tacke B pri obrtanju

oko ose koja prolazi kroz tacku A, ciji je intenzitet

aABN = AB·ω2, (2.34)

a pravac AB, sa smerom od tacke B ka tacki A (sl. 2.10). Napomenimo dase zbir ove dve komponente obelezava sa ~aA

B, tj. ~aAB = ~aA

BT + ~aABN i cita se

”ubrzanje tacke B oko A”.

aA

aBN

aB a

BT

aA

aB

A

A

A A

B

e

ew

Slika 2.10: Ubrzanje tacke ravne figure

Intenzitet ubrzanja tacke B oko pola A dat je u obliku

aAB =

√(aA

BT

)2+

(aA

BN

)2= AB

√

ε2 + ω4. (2.35)


obrtanje!oko nepokretneta“v cke Definicija:

Tacka tela cije je ubrzanje, u datom trenutku, jednako nuli, zove setrenutni pol ubrzanja.

Ako je u nekom trenutku poznato ubrzanje tacke A, ugaona brzina ω iugaono ubrzanje ε tela (koje vrsi ravno kretanje), onda se polozaj trenutnogpola ubrzanja Pa nalazi na krugu poluprecnika

APa =aA√ε2 + ω4

. (2.36)

Pravac na kome se nalazi trenutni pol ubrzanja Pa odre -den je ostrim uglomα

tgα =|ε|ω2, (2.37)

koji se nanosi od napadne linije ubrzanja, na primer ~aA, u smeru ugaonogubrzanja (sl. 2.11). Rastojanje APa nalazi se pomocu (2.36).

aA

aPNa

P

aPT

aA

A

L

Pa

AA

A

a

a

Slika 2.11: Trenutni pol ubrzanja

2.4 Obrtanje krutog tela oko nepokretne tacke

Kada se kruto telo krece tako da je jedna tacka tela nepokretna, tada seta tacka moze izabrati istovremeno i za pocetak pokretnog i nepokretnogkoordinatnog sistema, tj. O ≡ A. Ovakva vrsta kretanja krutog tela nazivase obrtanje krutog tela oko nepokretne tacke. U tom slucaju bice

2.4 Obrtanje krutog tela oko nepokretne tacke 47

koordinatnisistem!nepokretni

koordinatnisistem!pokretni

obrtanje!oko nepokretneta“v cke

sferno kretanjeOjlerovi ugloviOjlerovi ugloviugao!precesije

xA = yA = zA = 0. Vektor polozaja proizvoljne tacke tela se svodi na 5

(vidi (2.22), str. 40, za ~rA = 0)

~r = ~%, (2.38)

ili u komponentalnom obliku, izrazeno u odnosu na nepokretni i pokretnikoordinatni sistem:

x~i+ y~j + z~k = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν, (2.39)

gde su:

– Ox, Oy i Oz ose nepokretnog koordinatnog sistema, a ~i, ~j i ~k odgova-rajuci ortovi,

– Oξ, Oη i Oζ ose pokretnog koordinatnog sistema, a ~λ, ~µ i ~ν odgova-rajuci ortovi.

Kako se radi o krutom telu, to je ~% vektor konstantnog intenziteta, a pro-menljivog pravca (|~%| = % = const.). Dakle, pri kretanju krutog telaoko nepokretne tacke sve tacke tela opisuju krive linije koje leze na sferi% = const. ciji su centri u nepokretnoj tacki O. Iz ovog razloga obrtanje(rotacija) oko nepokretne tacke naziva se i sferno kretanje.

Ovakvo kretanje tela odre -deno je poznavanjem Ojlerovih uglova u funkcijivremena, tj.

ϕ = ϕ(t), ψ = ψ(t), θ = θ(t), (2.40)

pa ima tri stepena slobode. Ove jednacine (2.40) predstavljaju konacnejednacine kretanja za obrtanje krutog tela oko nepokretne tacke.

2.4.1 Ojlerovi uglovi

U pocetnom trenutku pokretni koordinatni sistem Oξηζ (koji je vezan zatelo) poklapa se sa nepokretnim koordinatnim sistemom Oxyz (sl. 2.12).

Od pocetnog polozaja do polozaja u proizvoljnom trenutku dolazi se satri nezavisna obrtanja.

Prvo se izvrsi obrtanje koordinatnog sistema Oξηζ oko ose Oz za ugaoψ – ugao precesije (sl. 2.13a).

5Pozvali smo se na relaciju koja je napisana za ravno kretanje. Me -dutim, vektorskizapisi su isti, s tim sto u prvom slucaju (ravno kretanje) vektor polozaja ~r ima dvekoordinate, a u drugom (obrtanje oko nepomicne tacke) ima tri.


linija “v cvorovaugao!nutacijeugao!sopstvene rotacije

Slika 2.12: Pocetni polozaj

Drugo obrtanje koordinatnog sistemaOξηζ oko oseON (linija cvorova)za ugao θ – ugao nutacije (sl. 2.13b) i

trece obrtanje oko ose Oζ za ugao ϕ – ugao sopstvene rotacije (sl.2.13c).

Trenutni polozaj prikazan je na sl. 2.14.

Slika 2.13: Ojlerovi uglovi


koordinatnisistem!nepokretni

Slika 2.14: Ojlerovi uglovi

Vektor trenutne ugaone brzine odre -den je pomocu komponenata u prav-cima osa Oz, ON (linija cvorova) i Oζ, tj.

~ω = ψ~k + θ~n+ ϕ~ν. (2.41)

Projektovanjem relacije (2.41) na ose pokretnog i nepokretnog koordinatnogsistema dobijaju se projekcije vektora trenutne ugaone brzine na te ose,izrazene pomocu Ojlerovih uglova i njihovih prvih izvoda po vremenu. Zanepokretni koordinatni sistem imamo

ωx = ~ω·~i = ϕ sinψ sin θ + θ cosψ

ωy = ~ω·~j = −ϕ cosψ sin θ + θ sinψ (2.42)

ωz = ~ω·~k = ϕ cos θ + ψ

a za pokretni

ωξ = ~ω·~λ = ψ sinϕ sin θ + θ cosϕ = p

ωη = ~ω· ~µ = ψ cosϕ sin θ − θ sinϕ = q (2.43)

ωζ = ~ω·~ν = ψ cos θ + ϕ = r.

Brzina proizvoljne tacke M krutog tela odre -dena je obrascem

~v = ~ω × ~%, (2.44)


trenutna osa!jedna“v cina gde je ~% vektor polozaja tacke M sa pocetkom u nepomicnoj tacki tela.Kako se vektorski proizvod moze prikazati formalnom determinantom, to

u ovom slucaju, ako odgovarajuce velicine izrazimo u odnosu na nepokretnikoordinatni sistem, za brzinu imamo

~v = ~ω × ~% =

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kωx ωy ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣

(2.45)

Odavde (2.44), za projekcije brzine ~v na ose nepokretnog koordinatnog sis-tema Oxyz, dobijamo

x = zωy − yωz,

y = xωz − zωx, (2.46)

z = yωx − xωy.

Definicija:

Trenutna osa obrtanja je geometrijsko mesto tacaka cije su brzine udatom trenutku jednake nuli.

Vektor trenutne ugaone brzine ~ω je usmeren duz trenutne ose obrtanja.Jednacina trenutne ose obrtanja u odnosu na nepokretni koordi-

natni sistem je (neposredno sledi iz (2.46) kada se stavi da je x = y = z = 0)

x

ωx=

y

ωy=

z

ωz. (2.47)

Definicija:

Trenutno ugaono ubrzanje ~ε je izvod trenutne ugaone brzine ~ω, tj.

~ε =d~ω

dt. (2.48)

Neka je ~u jedinicni vektor trenutne ose. Njegova promena po vremenuje

d~u

dt= ~ω1 × ~u (2.49)

gde ~ω1 predstavlja ugaonu brzinu obrtanja vektora ~ω – brzinu promenepravca.


obrtno ubrzanjeubrzanje!obrtnoaksipetalno ubrzanjeubrzanje!aksipetalno

Kako je ~ω = ω~u to iz definicije (2.48) sledi

~ε =d

dt(ω~u) = ω~u+ ω~u = ω~u+ ω(~ω1 × ~u) =

= ω~u+ ~ω1 × ~ω = ~ε1 + ~ε2, (2.50)

gde je

~ε1 = ω~u, ~ε2 = ω~u = ~ω1 × ~ω. (2.51)

Vektor ~ε1 usmeren je duz trenutne ose i karakterise promenu ugaone brzinepo intenzitetu, a vektor ~ε2 karakterise promenu ugaone brzine po pravcu.

Ubrzanje proizvoljne tacke M krutog tela jednako je izvodu brzine povremenu, pa prema (2.45), za telo koje se okrece oko nepomicne tacke,imamo

~a =d~v

dt=

d(~ω × ~%)

dt=

= ~ε× ~%+ ~ω × (~ω × ~%) = ~ε× ~%+ ~ω × ~v =

=

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kεx εy εzx y z

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kωx ωy ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣

. (2.52)

Komponentu ubrzanja ~ε× ~% = ~aε zovemo obrtno ubrzanje, a ~ω×~v =~ω × (~ω × ~%) = ~aω zovemo aksipetalno ubrzanje.

Iz (2.52) sledi da su projekcije ubrzanja ~a na ose nepokretnog koordi-natnog sistema Oxyz:

x = zεy − yεz + ωx(xωx + yωy + zωz) − xω2,

y = xεz − zεx + ωy(xωx + yωy + zωz) − yω2, (2.53)

z = yεx − xεy + ωz(xωx + yωy + zωz) − zω2.

Ovde smo iskoristili relacije (2.31) na str. 45 i (2.46) na str. 50.

Postoje analogni izrazi za projekcije brzine i ubrzanja na ose pokretnogkoordinatnog sistema. Navescemo ih bez izvo -denja.

Projekcije brzina:

ξ = ζωη − ηωζ ,

η = ξωζ − ζωξ, (2.54)

ζ = ηωξ − ξωη.


Projekcije ubrzanja:

ξ = ζεη − ηεζ + ωξ(ξωξ + ηωη + ζωζ) − ξω2,

η = ξεζ − ζεξ + ωη(ξωξ + ηωη + ζωζ) − ηω2, (2.55)

ζ = ηεξ − ξεη + ωζ(ξωξ + ηωη + ζωζ) − ζω2.

slo“v zeno kretanjekoordinatni

sistem!nepokretnikoordinatni

sistem!pokretnikoordinatni

sistem!materijalniGLAVA

3

Slozeno kretanje tacke

Ako se tacka M krece po telu koje se i samo krece, tada se kaze da ona vrsislozeno kretanje u odnosu na nepokretnog posmatraca.

r

r

rA

y

x

h

x

0

A

Mz

z

Slika 3.1: Slozeno kretanje tacke

Za opisivanje slozenog kretanja tacke koristicemo dva koordinatna sis-tema (sl. 3.1): nepokretni Oxyz, u cijem se koodinatnom pocetku nalaziposmatrac i pokretni ili materijalni, ciji je koordinatni pocetak vezan zapokretno telo u tacki A, sa osama Aξηζ.

54 Slozeno kretanje tacke

prenosno kretanjerelativno kretanjeapsolutno kretanjeapsolutna brzina

Kretanje tacke tela, koja se u datom trenutku poklapa sa tackom M(koja se krece po telu), naziva se prenosno kretanje tacke.

Kretanje koje vrsi tacka M u odnosu na pokretni koordinatni sistem(telo) Aξηζ naziva se relativno kretanje tacke.

Kretanje koje vrsi tacka M , u odnosu na nepokretni koordinatni sistemOxyz, naziva se apsolutno kretanje ili slozeno kretanje tacke.

Ocigledno je da je apsolutno kretanje tacke M slozeno kretanje koje cineprenosno i relativno kretanje.

Brzina tacke pri slozenom kretanju izrazena je teoremom o slozenojbrzini koja glasi:

Teorema 3 Apsolutna brzina (~va) tacke jednaka je vektorskom zbiruprenosne (~vp) i relativne (~vr) brzine tacke, tj.

~va = ~vp + ~vr, (3.1)

gde je~vp = ~vA + ~ω × ~% i ~vr = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν.

Dokaz.

Vektor polozaja tacke (vidi sl. 3.1) mozemo da prikazemo u obliku

~r = ~rA + ~% = ~rA + ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν. (3.2)

Ova relacija je formalno ista kao i relacija za vektor polozaja tacke kru-tog tela. Sustinska razlika je u tome sto u ovom slucaju ~% nije vektor kon-stantnog intenziteta, sto ce imati uticaja pri diferenciranju. Diferenciranjemdobijamo

~va =d~r

dt= ~rA + ~% =

= ~vA + ξ~λ+ ξ~λ+ η~µ+ η~µ+ ζ~ν + ζ~ν (3.3)

Kako su izvodi jedinicnih vektora (vidi (1.13), str. 14)

~λ = ~ω × ~λ, ~µ = ~ω × ~µ, ~ν = ~ω × ~ν, (3.4)

to (3.3) moze da se napise u obliku:

~va = ~vA + ~ω × ~%︸︷︷︸

~vp

+ ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν︸︷︷︸

~vr

, (3.5)

55

ubrzanje!apsolutnoubrzanje!prenosnoubrzanje!relativnoubrzanje!Koriolisovo

pa je~va = ~vp + ~vr, (3.6)

cime je teorema dokazana.

♥

Teorema 4 Apsolutno ubrzanje (~aa) tacke jednako je vektorskom zbiruprenosnog (~ap), relativnog (~ar) i Koriolisovog ubrzanja (~acor), tj.

~aa = ~ap + ~ar + ~acor, (3.7)

gde je:~ap = ~a0 + ~ε× ~%+ ~ω × (~ω × ~%),

~ar = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν,

~acor = 2(~ω × ~vr).

(3.8)

Dokaz.

Prema definiciji ubrzanje tacke je

~aa =d~va

dt=

d

dt(~vA + ~ω × ~%+ ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν) =

= ~aA + ~ε× ~%+ ~ω × ~%+ ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν + ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν.

Kako je ~% (vidi (3.3))

~% = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν + ~ω × ~% (3.9)

i iskoristivsi (3.4), za apsolutno ubrzanje dobijamo

~aa = ~aA + ~ε× ~%+ ~ω × (~ω × ~%)︸︷︷︸

~ap

+ ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν︸︷︷︸

~ar

+ 2~ω × ~vr︸︷︷︸

~acor

cime je teorema dokazana.

♥

- Prenosna komponenta ubrzanja karakterise promenu prenosnebrzine pri prenosnom kretanju,

- relativna komponenta ubrzanja karakterise promenu relativne brzinepri relativnom kretanju i

- Koriolisova komponenta ubrzanja karakterise promenu prenosnebrzine pri relativnom kretanju i promenu relativne brzine pri prenos-nom kretanju.

56 Slozeno kretanje tacke

Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja

Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja, primenom pravila Zukovskog, glasi:projekcija vektora relativne brzine vr na ravan1 upravnu na vektor prenosneugaone brzine ωp zaokrene se za ugao π/2 u smeru prenosnog obrtanja tela.Tako dobijen vektor bice po pravcu i smeru jednak koriolisovom ubrzanjutacke M (slika 3.2). Njegov intenzitet pomnozen sa 2ω i dobijamo intenzitetkoriolisovog ubrzanja.

vr

1

2p

ac

w

a

Slika 3.2: Odre -divanje Koriolisovog ubrzanja.

1Projekcija vektora na ravan je vektor!

INDEX

aksipetalno ubrzanje, 51apsolutna brzina, 54apsolutno kretanje, 54

broj obrtaja u minuti, 37brzina

aksijalna, 18algebarska vrednost, 18azimutna, 18cirkularna, 18intenzitet, 17, 18komponente, 17, 18poprecna, 18pravac, 17radijalna, 18tacke tela, 41transverzalna, 18trenutni pol, 44uzduzna, 18

brzina tacke, 16

direktno kretanje, 16

jednacina kretanja

vektorska, 14

jednacina obrtanja, 36

komponente

vektora polozaja, 10

koordinata

lucna, 12

koordinate

cilindricne, 11

Dekartove, 10

generalisane, 9

polarne, 12

koordinatna linija, 10

koordinatna povrs, 10

koordinatni sistem

materijalni, 53

nepokretni, 47, 49, 53

pokretni, 47, 53

linija cvorova, 48

linija putanje, 15

obrtanje

104 INDEX

oko nepokretne ose, 35oko nepokretne tacke, 46, 47

obrtna osa, 35obrtno ubrzanje, 51Ojlerovi uglovi, 47

povratno kretanje, 16prenosno kretanje, 54put, 15putanja tacke, 15

ravno kretanje, 40relativno kretanje, 54retrogradno kretanje, 16

sektor, 19sektorska brzina, 19sferno kretanje, 47sistem koordinata

krivolinijski, 10slozeno kretanje, 53

trajektorija tacke, 15translacija, 33trenutna osa, 50

jednacina, 50trenutni pol

brzina, 44ubrzanja, 46

triedar, 10

ubrzanjeaksijalno, 21aksipetalno, 51apsolutno, 55cirkularno, 21intenzitet, 20, 21, 39Koriolisovo, 55normalna komponenta, 39normalno, 22obrtno, 51

poprecno, 21pravac, 20prenosno, 55projekcije, 20, 21radijalno, 21relativno, 55tacke ravne figure, 45tangencijalno, 22, 39transverzalno, 21trenutni pol, 46uzduzno, 21

ubrzanje tacke, 20ugao

nutacije, 48precesije, 47sopstvene rotacije, 48

ugao obrtanja, 36ugaona brzina tela, 36ugaono ubrzanje, 50ugaono ubrzanje tela, 37

vektor polozajakomponente, 10

vektor polozja, 9vektor rotacije, 36vektorska baza, 10

zakon puta, 15

GLAVA

1

Dinamika sistema materijalnih

tacaka

Skup N materijalmh tacaka Mi u kome kretanje svake tacke zavisi odpolozaja i kretanja svih ostalih tacaka tog skupa, cini sistem materijalnihtacaka. Na slici 1.1 sistem materijalmh tacaka je u unutrasnjosti zatvorenepovrsi S u prostoru. Sve materijalne tacke, na primer Ms1 i Ms2, koje senalaze izvan datog sistema materijalnih tacaka, a cije se kretanje ne uzima uproucavanje, nazivaju se spoljasnje tacke. Ako kretanje tacaka sistema nijespreceno nikakvim ogranicenjima, ondaje sistem slobodan. U slucaju da supolozaji i pomeranja tacaka sistema ogranicena nekim uslovima, sistem jeneslobodan ili vezan.

M1

M2

Mi

M3

Ms1

Ms2

NS

Slika 1.1:

6 Dinamika sistema materijalnih tacaka

stepen slobodeveze!stacionarneveze!skleronomneveza!nestacionarnaveza!geometrijskeveza!holonomneveza!neholonomnesile!aktivnereakcije veza

U proucavanju dinamike materijalnih tacaka, neobicno vaznu ulogu imapojam stepena slobode kretanja sistema. Zato se ponavlja definicija ovogpojma iz kinematike: broj nezavisnih kretanja, ili broj nezavisnih param-etara, koji jednoznacno odre -duju polozaj svih tacaka materijalnog sistematokom kretanja, naziva se broj stepena slobode kretanja.

Ako se ima slobodan sistem od N tacaka, tada je njihov polozaj potpunoodre -den sa 3N Dekartovih koordinata ovih tacaka. Ako su te Dekartove ko-ordinate me -dusobno povezane nekim relacijama, koje se nazivaju jednacineveza, a kojih ima p, onda je broj stepena slobode kretanja n = 3N − p.Mora biti n > 0, odnosno p < 3N . Ako je n = 0, odnosno p = 3N , tada sesve Dekartove koordinate tacaka sistema nalaze iz jednacina veza i sistem jenepokretan.

Posmatrajmo dva stapa AB i BC duzina b1 i b2 koji su vezani sfernimzglobom u tacki B i koji mogu slobodno da se krecu u prostoru. Polozajovog sistema u prostoru je potpuno odre -den polozajem tri tacke A, B i C,tj. poznavanjem devet Dekartovih koordinata ovih tacaka. Me -dutim, postosu stapovi kruti, mora biti zadovoljen uslov da su rastojanja izme -du krajnjihtacaka stapova konstantna, tj.

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 = b21,

(xB − xC)2 + (yB − yC)2 + (zB − zC)2 = b22.

Ove jednacine su jednacine veza. Ima ih dve, p = 2, pa je broj stepenislobode kretanja ovog sistema n = 3N − p = 9 − 2 = 7.

Prethodne veze, koje ne zavise eksplicitno od vremena, nazivaju se sta-cionarne ili skleronomne. Ako vreme ulazi u jednacinu veze eksplicitnoona je nestacionarna ili reonomna. Ako su duzine b1 i b2 u prethodnimjednacinama veza poznate eksplicitne funkcije vremena, onda je to nesta-cionarna veza.

Veze koje ogranicavaju koordinate tacaka sistema nazivaju se geometri-jske ili holonomne. Postoje i veze koje ogranicavaju brzine tacaka sistemakoje se nazivaju neholonomne veze.

Sve sile koje deluju na tacke materijalnog sistema mogu se podeliti sadva me -dusobno nezavisna stanovista:

1. Sa stanovista da li izazivaju kretanje tacaka sistema ili ga sprecavaju,sile se dele na aktivne sile i reakcije veza. Sa Fi oznacava se aktivnasila, a sa Ri reakcija veza koje deluju na i - tu tacku sistema.

2. Sa stanovista gde je izvor sile one se dele na unutrasnje i spoljasnje.Unutrasnje sile su rezultat me -dusobnog dejstva tacaka istog sistema.

7

Spoljasnje sile su rezultat dejstva tacaka koje se nalaze van datogmaterijalnog sistema na tacke posmatranog sistema. Unutrasnja sila,

koja deluje na i - tu tacku sistema, oznacava se sa F(u)i , a spoljasnja

sa F(s)i .

Sve sile, pa i unutrasnje, javljaju se u parovima. Izdvoje se dve tackeMi i Mj (slika 1.2) iz materijalnog sistema i posmatra njihovo me -dusobno

dejstvo. Unutrasnja sila F(u)i je rezultat dejstva tacke Mj na tacku Mi,

dok je sila F(u)j rezultat dejstva tacke Mi na tacku Mj . Po trecem zakonu

dinamike, ove sile su istog intenziteta i pravca a suprotnog smera, odnosnovazi

F(u)i = −F

(u)j . (1.1)

Uocavaju se sledeca svojstva unutrasnjih sila:

drj

dri

Fi

Fj

Mj

O( )u

( )u

aj

ai

Mi

Slika 1.2:

1. Posto se sve unutrasnje sile javljaju u parovima, koji zadovoljavajuuslov (1.1), glavni vektor svih unutrasnjih sila jednak je nuli

F(u)g =

N∑

i=1

F(u)i = 0. (1.2)

2. Posto se sve unutrasnje sile javljaju u parovima, koji zadovoljavajuuslov (1.1), glavni moment svih unutrasnjih sila, za bilo koju tacku Ojednak je nuli

M(u)gO =

N∑

i=1

MF

(u)i

O =N∑

i=1

ri × F(u)i = 0. (1.3)

3. Rad unutarsnjih sila F(u)i i F

(u)j na elementarnim pomeranjima dri, i

drj tacaka sistema Mi i Mj iznosi

dA(u)ij = F

(u)i dri + F

(u)j drj .


Zbog (1.1) ovaj izraz postaje

dA(u)ij = F

(u)i (dri cos αi − drj cos αj).

Izrazi u zagradi predstavljaju projekcije pomeranja tacaka Mi i Mj

na pravac MiMj . Taj izraz u zagradi je jednak nuli samo ako je ras-tojanje ovih tacaka konstantno tokom kretanja, a inace je razlicit odnule. Odavde jasno zakljucujemo, da je rad unutrasnjih sila sistemamaterijalnih tacaka razlicit od nule ako je bar jedno rastojanje izme -dudve tacke Mi i Mj tog sistema razlicito od nule.

Posmatrajmo kretanje materijalnog sistema N tacaka, cije su mase mi

(i = 1, 2, . . . , N) i ciji je polozaj odre -den vektorima polozaja r, u odnosuna neku nepokretnu tacku O. Ako se svaka tacka izoluje iz sistema i svadejstva na tu tacku zamene silama dejstva ostalih tacaka sistema i onih vannjega, onda za kretanje svake tacke vazi drugi Njutnov zakon

miai = F(u)i + F

(s)i , i = 1, 2, . . . , N, (1.4)

gde je ai = ri apsolutno ubrzanje i - te tacke sistema. Nalazenje kre-tanja svih tacaka sistema, pri zadatim silama, je povezano sa integracijomdiferencijalnih jednacina kretanja koje odgovaraju prethodnim vektorskimjednacinama. To je vrlo obiman i slozen problem i on se u dinamici materijal-nih sistema uglavnom izbegava. Isto tako, nekad nam ne treba pojedinacnokretanje svake tacke sistema, vec samo neke globalne krakteristike kretanjacelog sistema, pa su i za resavanje ovog problema jednacine (1.4) nepogodne.

Problem kretanja materijalnog sistema se resava na dva nacina:

1. Primenom opstih zakona dinamike,

2. Metodama analiticke dinamike.

Opsti zakoni dinamike sistema su posledice jednacina kretanja (1.4). Udinamici sistema tacaka postoje cetiri opsta zakona dinamike, za jedan visenego u dinamici materijalne tacke. To je zato sto se za proucavanje sistemauvodi jedan nov pojam, pojam sredista ili centra mase materijalnog sistema,koji nije postojao u dinamici tacke.

1.0.1 Centar mase sistema materijalnih tacaka

Posmatrajmo sistem N materijalnih tacaka masa mi, ciji su vektori polozajau odnosu na neku nepokretnu tacku O dati sa r, (Slika 1.3a).Pod ukupnom

9

masom sistema m podrazumeva se algebarski zbir masa mi svih tacakasistema

m =N∑

i=1

mi. (1.5)

Centar mase ili srediste materijalnog sistema definisan je vektorom polozajarC na sledeci nacin

rC =1

m

N∑

i=1

miri, (1.6)

ili skalarno, na primer u Dekartovom koordinatnom sistemu, sa

xC =1

m

N∑

i=1

mixi, yC =1

m

N∑

i=1

miyi, zC =1

m

N∑

i=1

mizi. (1.7)

Centar mase je geometrijska tacka u prostoru, koja se moze nalaziti uome -denoj oblasti prostora u kojoj se nalazi sistem, ali i izvan te oblasti.U opstem slucaju, centar mase se ne poklapa ni sa jednom tackom sistema.

ri

ri

vC

vi

vir

vC

rC

rC

riri

mi

Mi

y

O O

C

z

x

a) b)

j

k

i

N

Slika 1.3:

Isto tako, polozaj centra mase C ne zavisi od izbora koordinatnog sis-tema.


ri

ri’

rC’

rO’

y

xx’

y’

z’

0

0’

CMi

z

rC

Slika 1.4:

Ako se uoci koordinatni sistem O′x′y′z, takav da je−−→OO′ =

−→r

′

O, tada jepolozaj i-te tacke materijalnog sistema u odnosu na ovaj koordinatni sistem

dat relacijom−→r

′

i = −→r i −−→r

′

0 , a polozaj centra mase u tom koordinatnomsistemu je:

−→r

′

C =

∑Ni=1 mi

−→r

′

i

m=

∑Ni=1 mi

(

−→r i −−→r

′

O

)

m=

=

∑Ni=1 mi

−→r i

m−∑N

i=1 mi

−→r

′

O

m=

−→r

′

C =−→r

′

C +−→r

′

O.

Ova jednacina pokazuje da se vrhovi vektora −→rC i−→r

′

C poklapaju, tj. odre -dujujednu istu tacku C, sto je i trebalo pokazati.

Centar mase se nalazi u delu prostora u kome se nalazi vise vecih masanego u drugim delovima sistema. Centar mase je pojam koji ne zavisi od silakoje deluju na tacke sistema. Ako se sistem tacaka nalazi u polju zemljineteze tada je M = G/g i mi = Gi/g, gde su G i Gi tezine celog sistema ipojedinih tacaka. Zamenom ovih relacija u (1.7), zakljucuje se da se tadacentar mase poklapa sa tezistem sistema.

Pisanjem (1.6) u obliku

mrC =N∑

i=1

miri,

1.1 Momenti inercije materijalnog sistema 11

polarni moment inercijei diferenciranjem ovog izraza po vremenu dobija se

mvC =

N∑

i=1

mivi, maC =

N∑

i=1

miai, (1.8)

gde su vC i aC brzina i ubrzanje centra mase, a vi i ai brzina i ubrzanjetacke Mi sistema.

U opstim zakonima dinamike najcesce se polozaj tacaka sistema odre -dujeu odnosu na centar mase vektorom %, (slike 1.3a i 1.3b). Vidi se daje

ri = rC + %i. (1.9)

Diferenciranjem ovog izraza po vremenu dobija se

vi = vC + vir, (1.10)

gde je vir = %i brzina kretanja tacke Mi u odnosu (slika 1.3b) na centarmase C. Zamenom izraza (1.10) u (1.6), a izraza (1.10) u (1.8), uz koriscenje(1.5), dobijaju se relacije

N∑

i=1

mi%i = 0,N∑

i=1

mivir = 0, (1.11)

koje se cesto koriste pri izvo -denju opstih zakona dinamike sistema materi-jalnih tacaka.

1.1 Momenti inercije materijalnog sistema

Polozajem centra mase C materijalnog sistema ne karakterise se u pot-punosti raspored masa materijalnog sistema. Ako je u pitanju translatornokretanje materijalnog sistema ili krutog tela, mera inertnosti jeste masa, akarakteristika rasporeda je tada centar masa C. Me -dutim, u slucaju obrtnogkretanja materijalnog sistema ili krutog tela, mera inertnosti je momentinercije. Ova velicina dopunski karakterise i raspored masa materijalnogsistema.

Moment inercije materijalnog sistema u odnosu na dati pol O naziva sepolarni moment inercije, a odre -den je formulom:

IO =N∑

i=1

mir2i . (1.12)


aksijalni moment inercijecentrifugalni moment

inercije

Moment inercije materijalnog sistema u odnosu na datu osu z naziva seaksijalni moment inercije, a odre -den je formulom:

Iz =N∑

i=1

mih2zi. (1.13)

gde je hzi normalno rastojanje i-te tacke do ose z.

Centrifugalni moment inercije se odre -duje prema formuli:

Iuv =N∑

i=1

mihuihvi, (1.14)

gde je hui normalno rastojanje i-te tacke do ose u, a hvi normalno rastojanjei-te tacke do ose v.

Na osnovu definicije momenta inercije slede i njegove jedinice mere. USI sistemu mera, jedinica za moment inercije je:

[I] = kgm2.

1.1.1 Momenti inercije u odnosu na ose Dekartovog pravou-

glog koordinatnog sistema

Kako je (slika 1.5)

r2i = x2

i + y2i + z2

i ,

polarni moment inercije je onda

IO =N∑

i=1

mi

(

x2i + y2

i + z2i

)

.

Na slici 1.5 se moze videti da je

h2xi = y2

i + z2i ,

pa je aksijalni monet inercije IOx:

IOx =N∑

i=1

mi

(

y2i + z2

i

)

.


Analogno prethodnom izrazu moze se napisati da je:

IOy =N∑

i=1

mi

(

x2i + z2

i

)

,

IOz =

N∑

i=1

mi

(

y2i + x2

i

)

.

ri

y

x

xi

yi

h ix

zi

0

Mi

z

Slika 1.5:

Centrifugalni momenti inercije u odnosu na ose Dekartovog pravouglogkoordinatnog sistema su:

Ixy = Iyx =N∑

i=1

mixiyi,

Iyz = Izy =N∑

i=1

miyizi,

Ixz = Izx =N∑

i=1

mixizi.

Ocigledno je, na osnovu prethodnih izraza, da su aksijalni momenti inercijeuvek veci od nule, dok centrifugalni momenti inercije mogu biti i veci i manjiod nule.

Ako se saberu aksijalni momenti inercije za ose Dekartovog pravouglog


koordinatnog sistema, dobija se:

IOx + IOy + IOz =

N∑

i=1

mi

(

y2i + z2

i

)

+

N∑

i=1

mi

(

x2i + z2

i

)

+

N∑

i=1

mi

(

x2i + y2

i

)

=

=N∑

i=1

miy2i +

N∑

i=1

miz2i +

N∑

i=1

mix2i +

N∑

i=1

miz2i +

N∑

i=1

mix2i +

N∑

i=1

miy2i =

=2N∑

i=1

mix2i + 2

N∑

i=1

miy2i + 2

N∑

i=1

miz2i = 2

N∑

i=1

mi

(

x2i + y2

i + z2i

)

.

Dakle:

IOx + IOy + IOz = 2IO.

Zbir aksijalnih momenata inercije u odnosu na ose Dekartovog pravouglogkoordinatnog sistema jednak je dvostrukoj vrednosti polarnog momenta togsistema za tacku O koja se nalazi u koordinatnom pocetku datog sistemareferencije.

1.1.2 Zavisnost momenata inercije materijalnog sistema u

odnosu na dve paralelne ose: Stajnerova teorema

Neka je poznat moment inercije materijalnog sistema u odnosu na osu Cxkoja prolazi kroz centar masa sistema, tacku C:

ICx =

N∑

i=1

mi

(

y2i + z2

i

)

.

Moment inercije datog sistema u odnosu na osu Ax, koja je paralelna osiCx i nalazi se na normalnom rastojanju od nje (slika 1.6) je:

IAx =N∑

i=1

mi

(

y21i + z2

1i

)

.


ri

r

rA

y

x

xA

yA

h x

zA

z1

y1

x1

C

A

Mi

z

Slika 1.6:

Kako je:~% = ~r − ~rA,

odnosno

x1i = xi − xA,

y1i = yi − yA,

z1i = zi − zA,

to se moment inercije datog sistema moze napisati kao:

IAx =N∑

i=1

mi

(

y21i + z2

1i

)

=N∑

i=1

mi

[

(yi − yA)2 + (zi − zA)2]

=

=N∑

i=1

mi

[

y2i − 2yiyA + y2

A + z2i − 2zizA + z2

A

]

=

=

N∑

i=1

mi

[

(yi + zi)2 + (yA + zA)2 − 2yiyA − 2zizA

]

=

=N∑

i=1

mi (yi + zi)2 + (yA + zA)2

N∑

i=1

mi − 2yA

N∑

i=1

miyi − 2zA

N∑

i=1

mizi =

= ICx + mh2x − 2yAmyC − 2zAmzC .

Kako je tacka C koordinatni pocetak, to su yC = zC = 0, to su poslednjadva clana u prethodnom izrazu jednaka nuli, pa je:

IAx = ICx + m·h2x.

Ova jednacina izrazava Stajnerovu teoremu, koja glasi:


moment inercije Teorema 1 Moment inercije materijalnog sistema (tela) za neku osu jednakje zbiru momenta inercije tog sistema (tela) u odnosu na paralelnu osu,koja prolazi kroz centar mase sistema, i proizvoda mase sistema i kvadratarastojanja izme -du tih osa.

1.2 Moment inercije krutog tela

Pri proucavanju kretanja krutog tela, koja se razlikuju od translatornog,vazan je raspored mase krutog tela u odnosu na neku osu z (slika 1.7). Osaz zauzima stalan pravac prema telu, bez obzira koji polozaj telo zauzima uprostoru. Uoci se u telu elementarna masa dm i kroz nju se

rdm

z

Slika 1.7:

postavi ravan normalna na osu z. Rastojanje preseka ose z i te ravni odmase dm je najkrace rastojanje mase dm od ose z, koje je oznaceno sa r.Moment inercije tela za osu z je definisan zbirom po celom telu proizvodamase dm i kvadrata rastojanja mase dm od ose z, odnosno

Jz =

∫

(m)

r2 dm, (1.15)

gde oznaka (m) znaci da se integracija obavlja po celoj masi tela. Znaci, ovakarakteristika raspodele mase tela oko ose z naziva se moment inercijekrutog tela za osu z. Dimenzija te velicine je [m2kg]. Za nepromenljivpolozaj ose z u odnosu na telo moment inercije je konstantna velicina, tj.nezavisna od vremena.

1.2 Moment inercije krutog tela 17

polupre“v cnik inercije

ra

a

r1

dm

C

z

x

z1

Slika 1.8:

Ako se postavi pitanje na kojoj razdaljini iz od ose z treba postavitimaterijalnu tacku iste mase kao telo, a da ona ima i isti moment inercije zaosu z, onda je odgovor

iz =

√

Jz

m, (1.16)

jer je Jz = i2zm. Rastojanje is naziva se poluprecnik inercije tela u odnosuna osu z.

Cesto je poznat, na primer iz tehnickih prirucnika, moment inercije telaza osu z, koja prolazi kroz centar mase tela C (slika 1.8), a u dinamickimjednacinama je potreban moment inercije tela za osu z1 koja je paralelna osiz i nalazi se na rastojanju a od nje. Da bi se uspostavila neka veza izme -dumomenata inercije za paralelne ose, uoci se u telu elementarna masa dm.Kroz masu se postavi ravan upravna na ose z i z1. Elementarna masa ipreseci osa z i z1 sa tom ravni formiraju trougao sa stranicama duzina a,r i r1 i uglom α izme -du stranica a i r. Kosinusna teorema za taj trougaodaje r2

1 = a2 + r22ra cosα. U produzetku strane duzine a usmeri se osa x,koja se meri od ose z. Sa slike se vidi da je x koordinata mase dm jednakar cos α, pa prethodni izraz postaje r2

1 = a2 + r22ax. Moment inercije tela zaosu z1 je definisan sa

Jz1 =

∫

(m)

r21 dm =

∫

(m)

a2 dm +

∫

(m)

r2 dm − 2a

∫

(m)

x dm.

Rastojanje centra mase tela, odnosno tacke C, u pravcu x ose je odre -denosa

xC =

∫

(m)

x dm

m,

a ono je ocigledno jednako nuli (slika 1.8), pa je poslednji clan u prethodnomizrazu jednak nuli. Clan

∫

(m)

a2 dm u izrazu za moment inercije tela za osu


z1 postaje a2m, jer je a konstanta, a prema (1.15) clan∫

(m)

r2 dm je moment

inercije tela u odnosu na osu z. Time se dobija

Jz1 = Jz + a2m, (1.17)

odnosno Hajgens-Stajnerova1 teorema:

Teorema 2 Moment inercije tela u odnosu na osu z1 jednak je sumi mo-menta inercije tela za njoj paralelnu osu z, koja prolazi kroz centar mase C,i proizvoda mase tela i kvadrata rastojanja izme -du tih osa.

Zbog oblika veze (1.17) momenata inercije za dve paralelne ose sledi dajeod momenata inercije za skup svih paralelnih osa najmanji moment inercijeza osu koja prolazi kroz centar mase C.

Moment inercije stapa

Posmatrajmo homogeni stap duzine ` i mase m. Trazi se moment inercijestapa za osu z1 koja je normalna na stap i prolazi kroz kraj stapa A (slika1.9).

dm

drr

l,m

C BA

zz1

Slika 1.9:

Kao element mase usvoji se masa dm dela stapa duzine dr, u kome sutacke priblizno na istom rastojanju r od ose z1. Ako je masa jedinice duzinestapa m/` onda je dm = (m/`)dr, pa se zamenom u (1.15) dobija

Jz1 =

`∫

0

r2 m

`dr =

m

3`2.

Prema (1.16) poluprecnik inercije stapa za osu z1 iznosi iz1 = `/√

3. PremaHajgens - Stajnerovoj teoremi, momenti inercije za paralelne ose z i z1 su

1Huyyew. 1629- 1695, .7. Sterner, 1796- 1863.


povezani relacijom (1.17), pa je moment inercije stapa za tezisnu osu z

Jz = Jz1 − m

(

`

2

)2

=m

12`2.

Moment inercije tanke cevi

Posmatrajmo tanku homogenu cev poluprecnika r i mase m (slika ??a).Trazi se moment inercije tela za osu simetrije cevi z. Posto je cev tankamoze se smatrati da je r priblizno konstantno za sve delice tela. Zbog togaje

Jz = r2

∫

(m)

dm = mr2.

Vidi se da ovaj moment inercije ne zavisi od duzine cevi, pa je to momentinercije i tanke kruzne homogene zice poluprecnika r i mase m.

Moment inercije kruznog cilindra

Posmatrajmo pravi kruzni homogeni cilindar poluprecnika osnove R, masem i visine H. Neka je osa z osa simetrije cilindra. Neka elementarna masabude tanka cev unutar cilindra debljine dr, ciji su delici na priblizno istomrastojanju od ose z (slika ??b). Ako je % masa jedinice zapremine tela ondaje masa tanke cevi dm2pTrrdrH, i moment inercije za osu z

Jz =

R∫

0

r2%2πrH dr =1

2mR2,

jer je masa cilindra m = %R2πH. Odgovarajuci poluprecnik inercije za osuz iznosi iz = R/

√2. Posto moment inercije kruznog cilindra ne zavisi od

visine cilindra H, to ovi rezultati vaze i za disk poluprecnika R male debljine.


a) b)

r,m

r

dr

R,mH

z z

Slika 1.10:

Moment inercije lopte

Trazimo moment inercije homogene lopte poluprecnika R za osu z kojaprolazi kroz teziste C lopte (slika 1.11). Presecanjem lopte sa dve ravni,koje su normalne na osu z, a na me -dusobnom rastojanju dz, dobija se diskpoluprecnika r, gde je r2 = R2 − z2. Masa tog diska je dm = %r2π dz, gdeje % masa jedinice zapremine lopte. Moment inercije ovog diska iznosi

dJz =1

2r2 dm =

1

2

(

R2 − z2)2

%π dz.

Integracijom ovog izraza po celoj masi lopte, tj. od R do +R, dobija semoment inercije lopte za osu z

Jz =2

5mr2,

gde je m = 4%πR3/3 masa lopte. Prema (1.16) odgovarajuci poluprecnikinercije homogene lopte za osu z iznosi iz = R

√

2/5.


r dz

zR

z

C

Slika 1.11:

1.2.1 Mere kretanja sistema materijalnih tacaka

Kao i kod proucavanja kretanja materijalne tacke, i kod analize kretanjasistema materijalnih tacaka koriste se tri mere kretanja: kolicina kretanja,moment kolicine kretanja i kineticka energija.

Kolicina kretanja sistema

Posmatrajmo sistem od N materijalnih tacaka Mi masa mi, koje u datomtrenutku vremena imaju brzine vi. Kolicina kretanja i - te tacke sistema jeKi = mivi. Vektor kolicine kretanja sistema definise se kao vektorski zbirkolicine kretanja svih tacaka sistema

K =N∑

i=1

Ki =N∑

i=1

mivi, (1.18)

koji se zbog (1.8) moze dati i u obliku

K = mvC . (1.19)

Ako se kretanje centra mase posmatra u Dekartovim koordinatama, ondaovoj vektorskoj jednacini odgovaraju tri skalarne

Kx = mxC , Ky = myC , Kz = mzC , (1.20)

gde su Kx, Ky i Kz kolicine kretanja sistema u pravcu koordinatnih osa.


Moment kolicine kretanja sistema

Vektor momenta kolicine kretanja i - te tacke sistema u odnosu na nekunepokretnu tacku O iznosi LOi = ri × mivi, gde se vektor polozaja ri meriod tacke O. Moment kolicine kretanja sistema materijalnih tacaka definisese kao vektorski zbir momenata kolicine kretanja pojedinih tacaka sistema

LO =N∑

i=1

LOi =N∑

i=1

ri × mivi. (1.21)

Ako se u ovaj izraz zamene izrazi (1.9) i (1.10) i vodi racuna da su vektorirC i vC zajednicki za sve clanove pod znakom sabiranja, onda se dobija

LO = rC × vC

N∑

i=1

mi +

(

N∑

i=1

mi%i

)

× vC+

+rC ×(

N∑

i=1

mivir

)

+N∑

i=1

%i × mivir,

sto zbog (1.5) i (1.11) postaje

LO = LC + rC × mvC , (1.22)

gde je

LC =N∑

i=1

%i × mivir, (1.23)

moment kolicine kretanja sistema za centar mase.I pored toga sto su izrazi (1.21) i (1.23) formalno isti, ipak postoji razlika

izme -du njih. LO je vektor momenta kolicine kretanja sistema za nepomicnutacku O, gde se kolicine kretanja tacaka sistema izracunavaju pomocu nji-hovih apsolutnih brzina. LC je vektor momenta kolicine kretanja u odnosuna pokretan centar mase C, ali se kolicine kretanja tacaka racunaju pomocunjihovih relativnih brzina u odnosu na centar mase.

Naglasimo da kod momenta kolicine kretanja vazi ista veza momentakolicine kretanja za tacku i momenta kolicine kretanja za neku osu z kojaprolazi kroz tu tacku, koja postoji izme -du momenta sile za tacku i osu.Naime, moment kolicine kretanja za osu z je projekcija na osu z momentakolicine kretanja za tacku O, koja lezi na toj osi z, tj.

k·LO ≡ Lz, (1.24)

gde je k jedinicni vektor u pravcu z ose.


Kineticka energija sistema

Kineticka energija sistema materijalnih tacaka je algebarski zbir kinetickihenergija svih tacaka sistema. Brzine u kinetickoj energiji su apsolutne brzinetacaka. Ako je Eki kineticka energija i - te tacke mase mi onda je kinetickaenergija sistema

Ek =N∑

i=1

Eki =1

2

N∑

i=1

miv2i . (1.25)

Posto je kineticka, energija sistema zbir pozitivnih velicina, to je i ona uvekpozitivna, a moze biti jednaka nuli samo ako su istovremeno brzine svihtacaka sistema jednake nuli.

Ako su xi, yi i zi Dekartove koordinate tacke Mi sistema u nepokretnomkoordinatnom sistemu Oxyz, onda prethodni izraz postaje

Ek =1

2

N∑

i=1

(

x2i + y2

i + z2i

)

.

Ako se brzina svake tacke sistema izrazi preko brzine centra mase, premarelaciji (1.10), tada se iz izraza (1.25) dobija

Ek =1

2

N∑

i=1

mi (vC + vir) · (vC + vir) =

=1

2v2C

N∑

i=1

mi + vC ·(

N∑

i=1

mivir

)

+1

2

N∑

i=1

miv2ir,

odnosno zbog uslova (1.5) i (1.11)

Ek =1

2mv2

C + ECkr, (1.26)

gde je

ECkr =

1

2

N∑

i=1

miv2ir (1.27)

kineticka energija relativnih kretanja svih tacaka sistema u odnosu na centarmase. Cinjenica iskazana jednacinom (1.26), da je kineticka, energija sis-tema zbir kineticke energije translatornog kretanja centra mase i kinetickeenergije relativnog kretanja tacaka sistema u odnosu na centar mase, cestose naziva Kenigova2 teorema.

2Konig, 1712 - 1757.


1.2.2 Opsti zakoni dinamike sistema tacaka

Svi opsti zakoni dinamike sistema materijalnih tacaka izvode se iz vektorskejednacine kretanja tacaka sistema u obliku (1.4)

miai = F(u)i + F

(s)i , i = 1, 2, . . . , N, (1.28)

gde su sva dejstva na i - tu tacku sistema iskazana jednom unutrasnjom ijednom spoljasnjnom silom.

Zakon o kretanju centra mase

Sabiranjem svih N vektorskih jednacina (1.28), i zbog relacija (1.8) i (1.2),dobija se zakon o kretanju centra mase sistema:

maC =N∑

i=1

F(s)i . (1.29)

Centar mase materijalnog sistema se krece kao jedna materijalna tacka, cijaje masa jednaka masi sistema, i na koju deluju sve spoljasnje sile sistema.

Kao sto se vidi, unutrasnje sile ne uticu na kretanje centra mase sistema.

U zavisnosti od izabranog koordinatnog sistema u kome se posmatra kre-tanje centra mase ovoj vektorskoj jednacini odgovara odre -den broj skalarnihjednacina. Na primer, u Dekartovom sistemu one glase

mxC =N∑

i=1

F(s)ix , myC =

N∑

i=1

F(s)iy , mzC =

N∑

i=1

F(s)iz , (1.30)

gde su F(s)ix , F

(s)iy i F

(s)iz projekcije spoljasnjih sila na ose x, y i z.

Ako je suma svih spoljasnjih sila, koje deluju na tacke sistema, jednakanuli, onda iz (1.29) sledi da je brzina centra mase vC konstantna, pa secentar mase krece jednoliko i pravolinijski, odnosno po inerciji3.

Ako je suma projekcija svih spoljasnjih sila na neku osu, na primer y osu,jednaka nuli, onda iz (1.30) sledi da je brzina centra mase yC konstantna.Tada se centar mase krece po inerciji u pravcu y ose.

3Na primer, uticaj gravitacionih sila vasionskih objekata na Suncev sistem je zane-marljiv, pa se centar mase Suncevog sistema krece brzinom od priblizno 18 [km/s] kajed-noj tacki sazvez -da Herkulesa.


Zakon o promeni kolicine kretanja sistema

Pomnozimo vektorsku jednacinu (1.29), koja predstavlja zakon o kretanjucentra mase sistema, sa dt. Time se, ako je masa celog sistema konstantna,i zbog cinjenice da je aC = dvC/dt, dobija

d(mvC) =N∑

i=1

F(s)i dt,

odnosno zbog (1.19)

dK =N∑

i=1

dI(s)i (1.31)

gde je dI(s)i = F

(s)i dt elementarni impuls sile F

(s)i . Znaci, elementarna prom-

ena kolicine kretanja sistema jednaka je sumi elementarnih impulsa svihspoljasnjih sila. Ako se ovaj izraz integrali od trenutka t0 do trenutka t1,dobija se

K1 − K0 =N∑

i=1

I(s)i01, (1.32)

gde je

I(s)i01 =

t1∫

t0

F(s)i dt,

konacan impuls sile F(s)i . Ovo je

Zakon 1 (o promeni kolicine kretanja) Svaka konacna promena kolicinekretanja sistema, u nekom vremenskom intervalu jednaka je vektorskoj sumikonacnih impulsa, svih spoljasnjih sila za to vreme.

Ovaj zakon je prvi integral jednacina kretanja sistema i pogodan je zaupotrebu kad god je moguce izracunati konacne impulse spoljasnjih sila.


I ovaj se vektorski zakon moze posmatrati u raznim koordinatnim sis-temima. U Dekartovom sistemu, odgovarajuce skalarne jednacine glase

K1x − K0x =

N∑

i=1

I(s)i01x,

K1y − K0y =N∑

i=1

I(s)i01y,

K1z − K0z =N∑

i=1

I(s)i01z,

(1.33)

gde, kao i uvek, donji indeks x, y ili z oznacava projekciju vektora na odgo-varajucu osu.

1.2.3 Zakon o promeni momenta kolicine kretanja sistema

Momentna tacka je nepokretna

Neka je ri vektor polozaja tacke Mi u odnosu na neku nepokretnu tacku O.Dodavanjem nile u obliku vi × mivi levoj strani jednacine (1.28) dobija seposle sabiranja svih tako dobijenih jednacina

N∑

i=1

(ri × miai + vi × mivi) =N∑

i=1

ri × F(s)i +

N∑

i=1

ri × F(u)i .

Clanovi na desnoj strani ove jednacine su momenti svih spoljasnjih i un-utrasnjih sila za tacku O, a transformacija leve strane dovodi do relacije

d

dt

N∑

i=1

ri × mivi =

N∑

i=1

MF

(s)i

O +

N∑

i=1

MF

(u)i

O

Odavde se, koristeci (1.3), dobija zakon o promeni momenta kolicine kre-tanja sistema za nepokretnu tacku O:

LO =N∑

i=1

MF

(s)i

O . (1.34)

Zakon 2 (o promeni momenta kolicine kretanja) Brzina promene mo-menta kolicine kretanja sistema za neku nepokretnu tacku O jednaka je sumimomenata svih spoljasnjih sila, za istu tacku.


I u ovom zakonu nema uticaja unutrasnjih sila. Ovaj zakon se narocitokoristi pri proucavanju obrtnih kretanja sistema.

Koristeci vezu (1.24) momenta kolicine kretanja za neku osu i za tacku natoj osi i usvajanjem Dekartovog koordinatnog sistema Oxyz, ova vektorskajednacina se zamenjuje sa tri skalarne

Lx =N∑

i=1

MF

(s)i

x , Ly =N∑

i=1

MF

(s)i

y , Lz =N∑

i=1

MF

(s)i

z , (1.35)

gde su Lx, Ly i Lz momenti kolicine kretanja, a desne strane momentispoljasnjih sila, za koordinatne ose x, y i z.

Momentna tacka je centar mase

Za mnoge probleme, a narocito u dinamici krutog tela, pogodnije je promenumomenta kolicine kretanja posmatrati, umesto u odnosu na nepokretnutacku O, u odnosu na centar mase, koji je u opstem slucaju pokretan. Za-menjujuci izraze (1.22) i (1.9) u (1.34) i koristeci cinjenicu da je moment i

- te spoljasnje sile za nepokretnu tacku O dat sa ri × F(s)i , dobija se

LC + vC × mvC + rC × maC = rC ×N∑

i=1

F(s)i +

N∑

i=1

%i × F(s)i .

Posto se centar mase sistema krece u skladu sa zakonom (1.29) i posto jevektorski proizvod vC × mvC jednak nuli, prethodna relacija postaje

LC =N∑

i=1

MF

(s)i

C (1.36)

gde su sa desne strane momenti spoljasnjih sila za centar mase C. Ovo jezakon o promeni momenta kolicine kretanja za centar mase.

Naglasrmo da postoji razlika izme -du zakona (1.36) i (1.34): U izrazu(1.34) momentna tacka O je nepokretna, a moment kolicine kretanja seizracunava preko apsolutnih brzina tacaka sistema. U zakonu (1.36) mo-mentna tacka C je pokretna, a moment kolicine kretanja se izracunavapomocu relativnih brzina tacaka sistema u odnosu na centar mase C.

Posmatrajmo primenu zakona (1.36) na kretanje Suncevog sistema, nakoji deluju samo unutrasnje sile, jer su sve spoljasnje site zanemarljivo male.Za takvo kretanje, iz (1.36), sledi zakljucak Laplasa da je vektor momentakolicine kretanja Suncevog sistema za centar mase LC konstantan.


Slicno izrazima (1.35), i vektorska jednacina (1.36) moze se zameniti satri skalarne jednacine u Dekartovom koordinatnom sistemu, ciji se koordi-natni pocetak nalazi u centru mase C.

1.2.4 Zakoni promene kineticke energije i odrzanja ukupne

mehanicke energije

Zakoni o promeni kineticke energije

Posmatrajmo kretanje sistema N materijalnih tacaka masa mi. Na svakutacku sistema deluje jedna unutrasnja i jedna spoljasnja sila. Za izolovanui- tu tacku sistema vazi zakon o promeni kineticke energije tacke u elemen-tarnom obliku

dEki = dA(s)i + dA

(u)i , i = 1, 2, . . . , N,

gde su dA(s)i i dA

(u)i elementarni radovi spoljasnje i unutrasnje sile, koje

deluju na tu tacku. Ako se sve ove jednacine saberu dobija se zakon oelementarnoj promeni kineticke energije sistema materijalnih tacaka

dEk = dA(s) + dA(u) (1.37)

gde je Ek, prema (1.25), kineticka energija sistema dA(s) =∑N

i=1 dA(s)i je

elementarni rad svih spoljasnjih sila u sistemu, a dA(u) =∑N

i=1 dA(u)i svih

unutrasnjih.Neka M0 i M1 oznacavaju dva polozaja svih tacaka sistema Mi0 i Mi1.

Tada se, integracijom izraza (1.37) u tim granicama, i koristeci (??), dobija

Ek1 − Ek0 = A(s)01 + A

(u)01 .

Ova relacija iskazuje zakon o promeni kineticke energije sistema:

Zakon 3 (o promeni kineticke energije) Svaki konacan prirastaj kinetickeenergije materijalnog sistema, pri pomeranju sistema iz jednog polozaja udrugi, jednak je zbiru radova svih spoljasnjih i unutrasnjih sila na tompomeranju.

Prema ranije iznesenim cinjenicama, vidi se da je ovaj zakon prvi integraljednacina kretanja i pogodan je za upotrebu kad god je moguce izracunatirad svih sila.

Ovo je jedini opsti zakon dinamike u kojem se pojavljuje uticaj un-utrasnjih sila. U opstem slucaju, kada se tacke sistema krecu, jedna uodnosu na drugu, rad unutrasnjih sila je razlicit od nule.


Zakon odrzanja energije

Neka su sve spoljasnje i unutrasnje sile, koje deluju na tacke sistema, konz-ervativne, odnosno neka se za svaku od ovih sila moze naci potencijalnaenergija. Potencijalna energija svih spoljasnjih i unutrasnjih sila sistema sedefinise vezom

dΠ = −(

dA(s) + dA(u))

.

Zamenom ovog izraza u (1.37) sledi da je d(Ek + Π) = 0, odnosno da morabiti

Ek + Π = E, (1.38)

gde se zbir kineticke i potencijalne energije sistema zove totalna mehanic-ka energija i gde se konstanta E izracunava iz pocetnih usiova kretanja. Ovoje

Zakon 4 (o odrzanju totalne mehanicke energije) Zbir kineticke en-ergije materijalnog sistema i potencijalne energije svih spoljasnjih i un-utrasnjih sila ostaje tokom kretanja konstantan, ako su sve spoljasnje i un-utrasnje sile u sistemu potencijalne, odnosno konzervativne.

Napomene:

1. Ako se u sistemu nalazi telo koje se krece translatorno, prema rezul-tatima kinematike, posmatra se kao materijalna tacka.

2. Za resavanje svakog problema kretanja sistema materijalnih tacakapotrebno je upotrebiti onoliko skalarnih jednacina opstih zakona di-namike koliko sistem ima stepeni slobode kretanja. Te skalarne jednacinemogu biti diferencijalne jednacine drugog reda, ili ako se koristi nekiopsti zakon dinamike, koji je prvi integral, i diferencijalne jednacineprvog reda.

sudarudarne sile

GLAVA

2

Teorija sudara

2.1 Uvod

Sudar je fizicko-mehanicki proces pri kom dva ili vise tela ostvaruju kratko-trajni me -dusobni kontakt. Pri ovom kontaktu javljuju se takozvane udarnesile, ciji je intenzitet dosta veci u odnosu na takozvene obicen sile, kao stoje recimo sila teze. Njihovo dejstvo se ”oseca” samu u kratkom vremenskomintervalu, dok sudar, odnosno udar traje.

t0 t

F

Fud

Iud

Fob

Iob

Slika 2.1:

Ako se, tokom ovog procesa, jedno telo (A) krece, a drugo miruje (B),

32 Teorija sudara

udar tada se kaze da je telo A udarilo u telo B. Ako su se oba tela kretala, tadase kaze da je doslo do sudara. Dakle, udar je specijalan slucaj sudara, kadjedno telo miruje.

Vreme trajanja sudara/udar τ je vrlo kratko, reda 10−4 – 10−2 [sec].Sile koje se javljaju u ovom intervalu su vrlo velike. Za vreme udara/sudaravrednost sile F us raste od nule na pocetku udara, do velike vrednosti, azatim opada do nule na kraju. Maksimalna vrednost sile udara je reda I0/τ ,gde je τ vreme trajanja udara, a I0 konstanta koja ima dimenziju impulsasile. Maksimalna vrednost sile udara moze da bude i po nekoliko desetinahiljada puta veca od tezine tela koje vrsi udar. Za vreme trajanja udarabrzina tacke se menja po intenzitetu i pravcu, a smer menja u polozaju gdejoj brzina nije jednaka nuli, pa ona nije diferencijabilna funkcija, i u tomintervalu ne vazi drugi Njutnov zakon.

Pri udaru dolazi i do, manjeg ili veceg, deformisanja tela.

2.2 Sudar-udar

Teorija sudara zasnovana je na sledecim pretpostavkama, od kojih su nekevec navedene u uvodu:

- vreme sudara - τ je mala velicina,

- udarne sile su promenljive tokom vremena τ , a njihovi intenzitetidostizu velike vrednosti reda velicine 1/τ ,

- promena kolicine kretanja tacke, za vreme sudara, konacna je velicina,pa je konacan i impuls, tj.

Iu =

τ∫

0

Fu(t) dt = Fusr· τ, (2.1)

gde je Fusr srednja vrednost udarne sile, za vreme trajanja sudara τ .

Neka se tacka krece pod dejstvom obicne sile F i neka je u trenutkut njena brzina v. U tom trenutku pocinje sudar i dejstvo udarne sileFus, a zavrsava se u trenutku t′ = t + τ , kada tacka ima brzinu v

′

.Prema teoremi o promeni kolicine kretanja je:

mv′ − mv =

t′

∫

t

F(t) dt +

t′

∫

t

Fus(t) dt. (2.2)

2.2 Sudar-udar 33

osnovnu jedna“v cinuteorije sudara

pravac sudaracentralni sudarekscentri“v can sudar

- Konacna velicina obicne sile F i njeno kratko dejstvo daje zanemarljivomali impuls sile I, u odnosu na udarne impulse. Uzimajuci ovo u obzir,i zanemararujuci ovaj impuls, prethodna jednacina svodi se na:

m(v′ − v) = Ius. (2.3)

Ova jednacina predstavlja osnovnu jednacinu teorije sudara. Onanije diferencijalana jednacina, vec je jednacina sa konacnim velicinamapomocu koje je moguce odrediti brzinu koju tacka ima na kreju udara,ako je poznat impuls udarne sile i obrnuto.

- Ako je r vektor polozaja tacke u nekom trenutku t i njena brzina napocetku sudara v, a v

′

brzina na kraju sudara, pri cemu je intervaltrajanja sudara τ , tada, iz prethodne jednacine, sledi:

v′

(t) =dr

′

dt= v +

1

mIus.

Integraljenjem ove jednacine, od 0 do τ , dobija se:

r′ − r =

(

v +1

mIus

)

τ.

Kako je izraz u zagradi konacan, a vreme τ beskonacno mala velicina toje r

′ −r ≈ 0 tj. r′

= r. To znaci da se pomeranje tacke za vreme udaramoze zanemariti i smatrati da je ona za vreme udara nepokretna.

2.2.1 Pravac sudara

Neka su m1 i m2 mase dvaju tela, v1 i v2 njihove brzine pre sudara, av

′

1 i v′

2 brzine posle sudara. U trenutku sudara tela ce se dodirnuti utacki P (N1 tacka tela 1, koja se poklapa sa tackom dodira P , N2 tackatela 2, koja se poklapa sa tackom doditra P ). Normala na ovu ravan,koja prolazi kroz tacku P , naziva se normala sudara ili pravacsudara (linija sudara ili osa sudara). Ukoliko na pravcu sudara lezecentri masa oba tela takav sudar nazivamo centralni sudar (vidi sliku2.2b), u suprotnom sudar nazivamo ekscentrican (vidi sliku 2.2a).

34 Teorija sudara

faza kompresijefaza restitucije

N1 N1

C1

C1N2

P P

N2

C2

C2

Ravan dodira (kontakta) Ravan dodira (kontakta)

Pravac sudara Pravac sudara

a) b)

Slika 2.2:

2.2.2 Koeficijent restitucije

u procesu sudara uocene su dve faze. U prvoj fazi, fazi kompresije,udarne sile rastu od nule, na pocetku sudara do maksimalne vrednostina kraju sudara. u ovoj fazi tela se deformisu, pri cemu se kinetickaenergija transformise u potencijalnu energiju. Zatim pocinje drugafaza sudara, faza restitucije. U ovoj fazi udarne sile opadaju odmaksimalne vrednosti do nule, u trenutku kada se tela razdvajaju.U toku ove faze, unutrasnje elasticne sile tela teze da uspostave ranijioblik tela i tom prilikom dolazi do transformacije potencijalne energijeu kineticku energiju.

Sa gledista teorijske mehanike dve faze sudara su vazne zbog promeneprojekcija relativne brzine dodirnih tacaka N1 i N2 na zajednicku nor-malu. Za vreme prve faze ova se projekcija smenjuje do nule, kada sutela maksimalno deformisana, da bi u drugoj fazi, kada se tela vracajuu prvobitan oblik, promenila znak i dostigla maksimalnu vrednost utrenutku razdvajanja tela. Ova razmatranja su rezultat eksperimentai predstravljaju sustinu Njutnove hipoteze, koja se moze formulisatina sledeci nacin:

Intenziteti normalnih komponenata relativnih brzina dodirnih tacakatela na kraju i pocetku sudara su u konstantnom odnosu:

(+−→)k =

∣

∣

∣(v

′

2 − v′

1)·n∣

∣

∣

|(v2 − v1)·n|=

v′

2n − v′

1n

v1n − v2n, (2.4)

gde su v1 i v2 brzine dodirnih tacaka na pocetku sudara, v′

1 i v′

2

brzine dodirnih tacaka na kraju sudara, odnosno v′

2n i v′

1n projekcijebrzina na kraju sudara na pravac sudara, v2n i v1n projekcije brzinana pocetku sudara na pravac sudara, a n zajednicka normala povrsitela u tackama N1 i N2 usvojenog smera.

2.2 Sudar-udar 35

koeficijent sudarakoeficijent restitucijesudar!apsolutno neelasti“v

cansudar!apsolutno elasti“v

can

Velicina k je fizicka konstanta, koja izrazava fizicka svojstva tela kojase sudaraju i zove se koeficijent (s)udara ili koeficijent restitucije.Ova velicina na posredan nacin pruza informaciju o materijalima odkojih su napravljeni objekti koji se sudaraju. Ona se moze smatratikao prva aproksimacija stvasrne situacije, ali je u mnogim slucajevimasasvim zadovoljavajuca.

Uvo -denjem koeficijenta sudara u problemina teorije udara/sudara klasicnamehanika odstupa od hipoteze o apsolutno krutom telu i u analizuuvodi elasticno telo.

Iskustvo pokazuje da su brzine na kraju sudara uvek manje ili jednakebrzinama pre sudara, pa je 0 ≤ k ≤ 1.

Apsolutno neelastican sudar

Kada je k = 0 sudar se naziva apsolutno neelastican sudar. To jeslucaj kada se tela na kraju sudara ne rastavljaju, tj. kada nastavl-jaju kretanje zajedno. Tada postoji samo prva faza sudara i tada jenormalna komponeta na kraju sudara jednaka 0.

Apsolutno elastican sudar

U drugom granicnom slucaju je k = 1. Tada se sudar naziva apso-lutno elastican sudar. Tada su intenziteti normalnih komponenatarelativnih brzina tacaka N1 i N2 na pocetku i kraju sudara jednake.

2.2.3 Eksperimentalno odre -divanje koeficijenta restitutcije

Za razne materijale koeficijent k moze da se odredi eksperimentalno. Kugli-cae, mase m, pusi sa sa neke visine (h1) i izmeri se njena odskocne visine(h2). Neka je kuglica pustena iz polozaja M1, bez pocetne brzine, sa visineh1 (vidi sliku 2.3)

36 Teorija sudara

n

v1

v ’1

M0

M2

h1

h2

M1

Slika 2.3:

Na osnovu zakona o promeni kineticke energije (??!!!!), brzina na pocetkuudara je

Ek1 − Ek0 = A ili

mv21

2− mv2

0

2= mgh1 ⇒ v1 =

√

2gh1.(2.5)

Ako se kuglica nasla na visini h2 njena brzina na kraju udara je v′

1

mv22

2− mv

′

12

2= −mgh2 ⇒ v

′

1 =√

2gh2. (2.6)

Prema jednacini (2.4), str.34, je

k =v

′

1

v1=

√2gh2√2gh1

⇒

k =

√

h2

h1,

jer je v2n = v′

2n = 0 (nepomicna podloga), v1n = v1 i v′

1n = v′

1.

Navedimo neke koeficijente restitucije. Tako je k = 15/16 za udar staklao staklo, k = 8/9 za udar slonove kosti o slonovu kost (bilijarske kugle),k = 5/9 za udar celik o celik i k = 1/2 za udar tvrdog drveta o tvrdo drvo.

2.2 Sudar-udar 37

2.2.4 Kos udar o nepokretnu glatku pregradu

n

t

v

v

=

v’I

us

v ’n

vn

v ’t

vt

a b

Slika 2.4:

Materijalna tacka udari o nepokretnu idealnoglatku povrs brzinom v i na kraju udara imabrzinu v

′

(sl. 2.4). Pravci ovih brzina suodre -deni uglovima α i β, a koeficijent resti-tucije je k. Za vreme udara od strane povrsidejstvuje udarni impuls ~I u pravcu normaleu tacki dodira. Prema osnovnoj jednaciniteorije sudara, je:

m(v′ − v) = I,

cije su projekcije na pravce tangente i nor-male na povrs

m(v′

T − vT ) = 0,

m(v′

n − vn) = I.(2.7)

Kako je v′

T = v′

sin β i vT = v sin α, s obzirom na jednakost tangencijalnihkomponenata brzina na pocetku i na kraju udara, koja sledi iz prve jednacine(2.7), imamo da je

v′

T = v′

sin β = v sin α. (2.8)

Prema Njutnovoj hipotezi, je

|v′

n| = k|vn| ili v′

n = −kvn,

i kako je v′

n = v′

cos β i vn = −v cos α, to je

v′

n = v′

cos β = −k(−v cos α) = kv cos α. (2.9)

Iz jednacina (2.8) i (2.9) sledi

v′

=

√

v′

n2+ v

′

T

2=√

v2 sin2 α + v2k2 cos2 α = v√

sin2 α + k2 cos2 α

i

tgβ =v

′

T

|v′

n|=

vT

k|vn|=

sin α

k cos α=

1

ktgα.

Kako je k ≤ 1, to je tgβ ≥ tgα i β ≥ α. Za k = 1 (apsolutno elastican udar)α = β, a za k = 0 (plastican udar) β = π/2.

38 Teorija sudara

upravni udar Iz druge jednacina (2.7) odre -dujemo ukupan udarni impuls

I = m(

v′

n − vn

)

= m(kv cos α + v cos α) = (1 + k)m cos α.

Razdvajajuci dve faze udara, za vreme kojih se tangencijalne kompo-nente brzine menjaju, postavljamo osnovnu teoremu teorije udara, za svakufazu posebno:

m(~0 − ~v) = ~I1,

m(~v′ −~0) = ~I2,

jer prva faza traje do potpunog zaustavljanja kuglice, kadsa druga fazapocinje. Projekcije ovih jednacina na pravac normale na povrs, daju jed-nakosti:

−mvn = I1,

mv′

n = I2,

iz kojih mozemo da izracunamo udarne impulse svake faze. Intenziteti ovihimpulsa su:

I1

I2=

vn

v′

n

=v

′

n

kv′

n

=1

k.

2.2.5 Upravni udar o nepokretnu glatku pregradu

Neka kugla mase m pada vertikalno nanize i neka je brzina ~v centra kugleusmerena po normali na nepokretnu horizontainu ravan (sl. 2.5), u trenutkukada kugla udari o horizontalnu nepokretnu ravan imamo tzv. upravniudar.

Centralni upravni udar tela o nepokretnu pregradu naziva se onaj udarkada normala u tacki udara tela o nepokretnu pregradu prolazi kroz tezistetela, u protivnom udar je necentralni.

Posmatrajmo upravni centraini udar kugle M mase m o nepokretnuhorizontalnu ravan. Kugla se pri padanju krece translatorno i brzina centrakugle na pocetku udara o nepokretnu ravan je ~v, a na kraju udara je ~v

′

i obeove brzine usmerene su po normali povucenoj u tacki udara na nepokretnojhorizontalnoj ravni (sl. 2.5).

Pri udaru kugle o nepokretnu ravan javlja se udarna reakcija ~Nud nepokretneravni, koja je u slucaju glatke ravni usmerena po normali On povucenoj utacki udara na nepokretnoj ravni. Na kuglu usled udarne reakcije dejstvuje

2.2 Sudar-udar 39

udarni impuls ~I i on je za kuglu spoljasnji udarni impuls, koji je tako -deusmeren po normali On (sl. 2.5).

n

v’

Ius

Nus

v

Slika 2.5:

Zakon o promeni kolicine kretanja kugle, koja se krece translatorno, glasi

m(~v′ − ~v) = ~I. (2.10)

Projektovanjem jednacine (2.10) na pravac normale On dobicemo

m(v′

n + vn) = In.

Posto je v′

n = v′

, vn = −v i In = I, prethodna jednacina svodi se na oblik

m(v′

+ v) = I. (2.11)

Pri udaru kugle o nepokretnu pregradu pretpostavlja se da je brzinav kugle na pocetku udara poznata, onda u jednacini (2.11) figurisu dvenepoznate velicine: brzina v

′

kugle na kraju udara i spoljasnji udarni impulsI.

Na osnovu Njutnove hipoteze o koeficijentu restitucije, kada se jednacini(2.11) pridoda koeficijent restitucije (??), moguce je odrediti nepoznatevelicine, udarni impuls

I = mv(1 + k) (2.12)

odnosno brzinu tacke na kraju udara

m

(

v′

+v

′

k

)

= I ⇒ v′

=k

m(k + 1)I.

40 Teorija sudara

Iako se Njutnovom hipotezom o koeficijentu restitucije resavaju osnovnielementi udara, treba naglasiti da se pri udaru javlja slozen proces trans-formacije energije i do sada nije jos izgra -dena tacna teorija udara, vec seodre -denim pretpostavkama uvodi idealizacija u probleme udara. Za prob-leme sudara tela prostih geometrijskih oblika osnovna jednacina teorije su-dara (15.3!!!!!) i koeficijent restitucije (??) omogucuju da se problem udarau klasicnoj mehanici svestrano prouce.

Na osnovu jednacine (2.12) sledi da velicina udarnog impulsa pri udarutela ne zavisi samo od mase i brzine tela pre udara, vec i od elasticnihosobina tela, sto se karakterise koeficijentom restitucije.

Kada se, na osnovu jednacine (2.12), odredi impuls udarne sile i ako seeksperimentom utvrdi vreme udara τ , moguce je iz jednacine

I =

τ∫

0

N dt = Nsrτ

naci srednju vrednost normalne udarne reakcije nepokretne ravni

Nsr =I

τ=

mv(1 + k)

τ.

2.2.6 Zakon odrzanja kolicine kretanja materijalnog sistema

pri sudaru

Na i-tu tacku materijalnog sistema, od N tacaka, pored impulsa obicnih sila,cije se dejstvo zanemaruje, dejstvuju udarni impulsi spoljasnjih i unutrasnjihsila. Osnovna jednacina teorije udara za ovu tacku ima oblik

miv′

i − mivi = Isi + Iu

i . (2.13)

Sabiranjem ovih osnovnih jednacina za svaku tacku sistema dobija se jednacina

N∑

i=1

miv′

i −N∑

i=1

mivi =N∑

i=1

Isi +

N∑

i=1

Iui ,

u kojoj je∑N

i=1~Iui = 0, pa se prva osnovna jednacina teorije udara materi-

jalnog sistema moze da napise u obliku

K′ − K = Is, (2.14)

gde su K′

i K kolicine kretanja sistema na kraju i pocetku udara, a Is glavnivektor spoljasnjih udarnih impulsa.

2.2 Sudar-udar 41

Kako je K′

= mv′

C i K = mvC , to se jednacina (2.14) moze napisati uvidu teoreme o promeni kolicine kretanja centra masa

m(

v′

C − vC

)

= Is (2.15)

koja glasi:

Teorema 3 promena kolicine kretanja centra masa sistema za vreme udarajednaka je glavnom vektoru spoljasnjih udarnih impulsa.

Ako je Is = 0 za vreme udara, sledi jednakost

K′

= K,

koja izrazava zakon o odrzanju kolicine kretanja sistema za vreme udaraprema kome, ocevidno, unutrasnji udarni impulsi ne mogu izmeniti kolicinukretanja sistema.

2.2.7 Kos centralni sudar

Neka su −→v 1 i −→v 2 brzine na pocetku sudara dveju kugli, masa m1 i m2

(slika 2.6) i neka zaklapaju uglove α1 i α2 sa normalom sudara. Ovakavsudar naziva se kos sudar. Brzine na kraju sudara −→v ′

1 i −→v ′

2 ce zaklapati sanormalom sudara uglove β1 i β2. Da bi se odredilo kretanje kugli na krajusudara potrebno je odrediti cetiri velicine: brzine na kraju sudara −→v ′

1 i −→v ′

2 iuglove β1 i β2. Razlozimo brzine posle sudara na dve komponente: u pravcunormale sudara (pravac impulsa) i upravno na taj pravac (u tangencijalnojravni dodira).

Zakon odrzanja kretanja, za ovaj materijalni sistem, bi bio

m1v′

1 + m2v′

2 = m1v1 + m2v2.

Projektovanjem jednacine, na pravac normale (pravac sudara) i tangente, sedobija

m1v′

1n + m2v′

2n = m1v1n + m2v2n, (2.16)

m1v′

1T + m2v′

2T = m1v1T + m2v2T , (2.17)

gde je:

v1n = v1 cos α1, v2n = v2 cos α2,

v′

1n = v′

1 cos β1, v′

2n = v′

2 cos β2,

42 Teorija sudara

i

v1T = v1 sin α1, v2T = v2 sin α2,

v′

1T = v′

1 sin β1, v′

2T = v′

2 sin β2.

Kako ne postoje udarne sile u pravcu tangente (glatka povrs), to je v′

1T = v1T

i v′

2T = v2T . Na osnovu jednacine (2.16) i jednacine (2.4) dobija se

v′

1n = v1n − m2

m1 + m2(1 + k) (v1n − v2n) ,

v′

2n = v2n +m1

m1 + m2(1 + k) (v1n − v2n) .

Brzine ovih kugli, na kraju sudara, su:

v′

1 =√

(v′

1n)2 + (v′

1T )2 i

v′

2 =√

(v′

2n)2 + (v′

2T )2,

a uglovi, koje one zaklapaju sa osom sudara, su:

tgβ1 =v

′

1T

v′

1n

i

tgβ2 =v

′

2T

v′

2n

.

Ravan dodira (kontakta)

Linija sudara

v1

v2

a1

a2m

1

C1

C2

m2

Slika 2.6:

2.2.8 Upravni centralni sudar dva tela

Pretpostavimo da je brzina tela C1 veca od brzine tela C2, tj. v1 > v2, alida su te brzine, pre sudara, kolinearne sa pravcem sudara (slika 2.7), tada

2.2 Sudar-udar 43

koristeci zakon odrzanja kolicine kretanja

m1v1 + m2v2 = m1v′

1 + m2v′

2

i koeficijenta sudara (?????) mozemo odrediti brzine tela nakon sudara,prema (????)

v′

1 =(m1 − km2)v1 + (1 + k)m1v1

m1 + m2= v1 −

1 + k

1 + m1/m2(v1 − v2),

v′

2 =(m1 − km2)v2 + (1 + k)m1v1

m1 + m2= v2 +

1 + k

1 + m1/m2(v1 − v2).

Linija sudarav

1

v1

v2

> v2

m1

m2

Slika 2.7:

Za neelastican (plastican) sudar (k=0) bice

v′

1 = v′

2 =m1v1 + m2v2

m1 + m2, (2.18)

a za elastican (k = 1) bice

v′

1 = v1 −2m2

m1 + m2,

v′

2 = v1 +2m1

m1 + m2.

(2.19)

2.2.9 Gubitak kineticke energije pri udaru

Pri udaru materijalne tacke, kineticka energija na pocetku udara

Ek0 =1

2mv2

delimicno prelazi, usled deformacije podloge, u toplotnu energiju, tako daje njena preostala kineticka energija na kraju udara

Ek =1

2mv

′2.

44 Teorija sudara

izgubljena brzinakineti“v cka

energija!izgubljenihbrzina

To znaci da je izgubljeni deo energije

Ek0 − Ek =1

2m(

v2 − v′2)

=1

2m(

v2n + v2

T − v′

n

2 − v′

T

2)

=

=1

2m(

v2n − v

′

n

2)

,

(2.20)

gde su obe brzine zamenjene zbirom kvadrata normalne i tangencijalne kom-ponente, i iskoriscena veza v

′

T = vT . Dalje se ovaj gubitak energije mozetransformisati na oblik

Ek0 − Ek =1

2m(

1 − k2)

v2n, (2.21)

jer je v′

n = k|vn|.Ocevidno je da pri apsolutno elasticnom udaru, kada je k = 1, nema

gubitka energije, a pri apsolutno neelasticnom sudaru (k = 0), gubi secelokupna kineticka energija, tj. prelazi u toplotnu energiju.

S obzirom na jednakost v′

T = vT , sledi da je

|~v′ − ~v| = | ~v′

n + ~v′

T − ~vn − ~vT | = | ~v′

n − ~vn| = v′

n + |vn| = (1 + k)vn,

jer su komponente ~v′

n i ~vn kolinearne i razlicitog smera. Odavde sledi jed-nakost

v2n =

( ~v′

n − ~v)2

(1 + k)2,

tako da se izgubljena kineticka energija, pri sudaru, moze napisati u obliku

Ek0 − Ek =1

2m

1 − k2

(1 + k)2(~v′ − ~v)2, (2.22)

gde se razlika vektora (~v′ − ~v) naziva izgubljena brzina, a izraz

1

2m(~v′ − ~v)2

kineticka energija izgubljenih brzina.Jednakost (2.22) izrazava Karno-ovu teoremu, prema kojoj je izgubljena

kineticka energija, pri sudaru, proporcionalna kinetickoj energiji izgubljenihbrzina, sa koeficijentom proporcionalnosti

1 − k2

(1 + k)2=

1 − k

1 + k.

INDEX

aksijalni moment inercije, 12

centralni sudar, 33centrifugalni moment inercije, 12

ekscentrican sudar, 33

faza kompresije, 34faza restitucije, 34

izgubljena brzina, 44

kineticka energijaizgubljenih brzina, 44

koeficijent restitucije, 35koeficijent sudara, 35

moment inercije, 16

osnovnu jednacinu teorije sudara, 33

polarni moment inercije, 11poluprecnik inercije, 17pravac sudara, 33

reakcije veza, 6

sileaktivne, 6

stepen slobode, 6sudar, 31

apsolutno elastican, 35apsolutno neelastican, 35

udar, 32udarne sile, 31upravni udar, 38

vezageometrijske, 6holonomne, 6neholonomne, 6nestacionarna, 6

vezeskleronomne, 6stacionarne, 6

Draga

n-Goca

-Nenad

GLAVA

9

ELEMENTI ANALITICKEMEHANIKE

U periodu posle objavljivanja i prihvatanja Njutnovih zakona doslo je dointenzivnijeg razvoja mehanike. Me -dutim, mnoga su se razmatranja i daljeprvenstveno oslanjala na aparat algebre i geometrije, sto je dovelo i do nizapogresnih rezultata usled oslanjanja na argument geometrijske ociglednosti.Kao jednu vrstu antiteze ovoj tendenciji Lagranz je 1788. godine objavio”Analiticku mehaniku”, knjigu u kojoj je doslednom primenom aparatamatematicke analize1 dosao do opste forme diferencijalnih jednacina kre-tanja materijalnog sistema, danas poznatih kao Lagranzeve jednacinedruge vrste. Ideje koje je Lagranz uveo u svom delu imale su snazan odjeki burno su se razvijale sve do danasnjih dana. One su prevazisle graniceklasicne mehanike i naisle su na plodno tlo i u drugim oblastima fizike itehnike.

Osim specificnog matematickog aparata analiticku mehaniku odlikuju ifizicke osnove. Za razliku od Njutnovog vektorskog pristupa, koji se oslanja

1Lagranz je insistirao na matematickoj (logickoj) strukturi u mehanici. Rezultatdosledne primene matematickog aparata je da na 890 strana njegove knjige nema ni jednogjedinog crteza.

Draga

n-Goca

-Nenad

276 9 Elementi analiticke mehanike

na kolicinu kretanja i silu kao vektorske velicine, u osnovi analiticke mehanikese nalaze skalarne velicine - energija i rad. Da bismo sagledali osnovne ra-zlike izme -du vektorskog i analitickog pristupa najpre cemo se pozabavitidinamikom sistema materijalnih tacaka. Tu ce se videti sustina metodaanaliticke mehanike i upoznacemo se sa Lagranz-Dalamberovim prin-cipom - centralnim principom na koji cemo se oslanjati prilikom formiranjamatematickih modela koji opisuju ponasanje mehanickih sistema.

Veze i njihova klasifikacija

Polozaj materijalnih tacaka cije su masem1, m2, . . . , mN koje obrazuju nekimaterijalni sistem odre -den je vektorima polozaja r1, r2, . . . , rN u odnosuna neki proizvoljno izabrani pol. Polozaj svih tacaka sistema u nekomtrenutku je konfiguracija Σ tog sistema, jer je polozajem materijalnihtacaka odre -den i izgled (oblik) sistema. Kad se tacke krecu vektori polozajasu funkcije vremena i relacije

ri = ri(t), (i = 1, 2, . . . , N) (9.1)

predstavljaju konacne vektorske jednacne kretanja sistema. Tih jednacinaima N , tj. onoliko koliko materijalnih tacaka obrazuje posmatrani sistem.Kretanjem materijalnih tacaka cije su mase mi menja se i konfiguracija sis-tema, sto se simbolicki moze napisati Σ = Σ(t).

Skalarne jednacine kretanja materijalnog sistema zavise od izbora ko-ordinatnog sistema. Svakoj tacki u prostoru odgovaraju tri koordinatepolozaja, a celom sistemu stoga odgovara 3N = n koordinata. U odnosu naDekartov pravougaoni koordinatni sistem je ri = (xi, yi, zi) i odgovarajucekonacne jednacine kretanja ce biti

xi = xi(t), yi = yi(t), zi = zi(t), (i = 1, 2, . . . , N). (9.2)

Polozaji i brzine tacaka materijalnog sistema mogu biti bez ikakvihogranicenja i tada se materijalne tacke mi krecu potpuno slobodno u datompolju sila prema drugom Njutnovom zakonu. Za takav materijalni sistemkaze se da slobodan. Konfiguracija Σ slobodnog sistema odre -dena je sa 3Nnezavisnih koordinata sistema, a broj nezavisnih koordinata sistema n = 3Nje broj stepena slobode sistema.

Polozaji i brzine tacaka sistema mogu biti ograniceni izvesnim vezama(vidi odeljak ???2.10!!!). Ove veze mogu biti, kao i u slucaju jedne ma-terijalne tacke, zadrzavajuce (dvostrane, bileteralne) ili nezadrzavajuce(jednostrane, unilateralne), cele (holonomne, konacne) ili diferencijalne

Draga

n-Goca

-Nenad

277

(neholonomne), stacionarne (skleronomne) ili nestacionarne (reonomne).Kad su polozaj i brzina materijalnog sistema ograniceni izvesnim vezama,kaze se da je sistem vezan ili neslobodan. U narednim izlaganjimazadrzavamo se samo na zadrzavajucim vezama.

U opstem slucaju polozaj i brzine tacaka sistema mogu biti ogranicenisa k1 holonomnih veza

fα(ri; t) ≡ fα(r1, r2, . . . , rN ; t) = 0, α = 1, 2, . . . , k1 (9.3)

i k2 neholonommh veza

φβ(ri;vi; t) ≡ φβ(r1, r2, . . . , rN ;v1, v2, . . . , vN ; t) = 0, β = 1, 2, . . . , k2(9.4)

ili u koordinatnom obliku

fα(x1, y1, z1; . . . ;xN , yN , zN ; t) = 0 α = 1, 2, . . . , k1 (9.5)

φβ(x1, y1, z1; . . . ; xN , yN , zN ; t) = 0 β = 1, 2, . . . , k2. (9.6)

Analiticki pristup problemu tretiranja veza je specifican po tome stose kod njega veze opisuju u matematickoj formi kao funkcije koje povezujuparametre stanja sistema (polozaje i brzine tacaka) i vreme. Najopstiji oblikjednacine veze glasi:

f(t, rν ,vν) = 0. (9.7)

U konkretnim problemima se ne javljaju uvek veze najopstijeg karaktera,kakva je (9.7). Zato je pogodno izvrsiti klasifikaciju veza, odnosno uocitispecificne klase veza, i to:

- geometrijske (konacne, holonomne) i

- kinematicke (diferencijalne, neholomne).

Jednacine geometrijskih veza imaju sledeci oblik:

f(t, rν) = 0. (9.8)

One namecu ogranicenja materijalnim tackama u pogledu polozaja kojemogu zauzeti u trenutku t. Kinematicke veze su opisane sledecom relacijom:

f(t, rν ,vν) = 0. (9.9)

Ovaj tip veza prevashodno namece ogranicenja u pogledu brzina koje tackemogu imati u posmatranom polozaju2.

2Dva su tipicna primera kinematickih veza. Prvi se javlja kod klizaljki, odnosno rolera:seciva klizaljki i tockovi na rolerima namecu pravac koji brzine stopala mogu imati uposmatranom polozaju. Drugi se javlja kod kotrljanja bez klizanja jednog krutog tela popovrsi drugog: brzine tacaka dodira ovih tela moraju biti jednake.

Draga

n-Goca

-Nenad


Opisane klase veza se mogu podeliti i na stacionarne ili sklerortomneveze, kod kojih vreme t ne figurise eksplicitno u jednacinama veza, i nesta-cionarne ili reonomne veze, koje eksplicitno zavise od vremena t. Celokupnaklasifikacija veza se moze prikazati u vidu tabele:

veze geometrijske kinematicke

skleronomne f(rν) = 0 f(rν ,vν) = 0

reonomne f(t, rν) = 0 f(t, rν ,vν) = 0

S obzirom na klasifikaciju veza, koja je ovde izvrsena, uobicajena je iodgovarajuca podela materijalnih sistema na:

- holonomne i

- neholonomne sisteme.

Holonomni materijaini sistemi su podvrgnuti iskljucivo ogranicenjima ge-ometrijskog karaktera, dok je kretanje neholonomnih sistema ogranicenokinematickim i geometrijskim vezama. Zbog toga se u literaturi geometri-jske veze (9.8) cesto nazivaju i holonomnim vezama, a kinematicke veze(7.69) neholonomnim vezama.

9.0.1 Stepeni slobode i generalisane koordinate

Posmatrajmo sistem od N materijalnih tacaka ciji je polozaj odre -den vek-torima polozaja

ri = xii+ yij+ zik, i = 1, . . . , N.

Ako je sistem slobodan njegov polozaj odre -denje sa 3N koordinata xi, yi i zi.Neka je sistem podvrgnut sa fp (p = 1, . . . , r) holonomnih (geometrijskih)stacionarnih zadrzavajucih veza. Ako je broj veza r = 3N tada je posma-trani sistem nepokretan. Da bi sistem mogao da se krece broj veza r morada bude manji od broja koordinata 3N . U tom slucaju nisu sve koordinateme -dusobno nezavisne. Naime, kako postoji r jednacina, koje povezuju ovekoordineate, to je broj nezavisnih koordinata 3N − r.

Definicija:

Ukopan broj nezavisnih koordinata, koje su potrebne i dovoljne, da bise opisalo kretanje sistema nazivaju se stepeni slobode materijalnogsistema.

Draga

n-Goca

-Nenad

279

U slucaju zadrzavajucih stacionarnih holonomnih veza broj stepeni slo-bode odre -den je relacijom

n = 3N − r, (9.10)

gde je N broj materijalnih tacaka, a r broj zadrzavajucih stacionarnihholonomnih veza.

Definicija:

Nezavisni parametri, ciji je broj jednak stepenu slobode materijalnog sis-tema, pomocu kojih se jednoznacno odre -duje polozaj sistema nazivaju segeneraslisane ili uopstene koordinate, i obelezavaju se sa

qj , j = 1, . . . , n. (9.11)

Generaslisane koordinate su funkcije oblika

qj = qj(t). (9.12)

Generalisane brzine su

qj = qj(t), (9.13)

a generalisana ubrzanja su

qj = qj(t). (9.14)

9.0.2 Stvarna, moguca i virtualna pomeranja

Osnovna razlika izme -du vektorskog i analitickog pristupa sastoji se u ra-zlicitom modeliranju uticaja veze na kretanje materijalnog sistema. U vek-torskom pristupu to se cini posredstvom reakcija veza - sila koja odrazavajuogranicenja nametnuta sistemu. U analitickom pristupu uticaj veza se izrazavau vidu pomeranja koja veze dopustaju materijalnom sistemu. Na ovoj idejipociva celokupan analiticki pristup dinamici materijanih sistema.

Posmatrajmo kretanje vezanog materijalnog sistema od N materijalnihtacaka. Tada diferencijalne jednacine kretanja sistema glase:

miai = Fi +Ri, i = 1, . . . , N, (9.15)

gde su Fi rezultante aktivnih sila, a Ri rezultante reakcija veza.

Draga

n-Goca

-Nenad


Definicija:

Pod stvamim pomeranjima materijalnog sistema podrazumevaju sebeskonacno mala pomeranja tacaka sistema koja su saglasna diferencijal-nim jednacinama kretanja (9.15).

Primetimo da na strukturu stvarnih pomeranja uticu i aktivne sile, i vezekoje su nametnute sistemu.

Pretpostavimo da je kretanje materijalnog sistema ograniceno sa r ge-ometrijskih veza:

fp(ri) = 0, p = 1, . . . , r, (9.16)

pri cemu vazi r < 3N .

Definicija:

Pod mogucim pomeranjima materijalnog sistema podrazumevaju sebeskonacno mala pomeranja tacaka sistema dri = dxii+dyij+dzik kojadopustaju veze tokom beskonacno malog vremenskog intervala dt.

Vazno je napomenuti da moguca pomeranja predstavljaju siru klasu odstvarnih pomeranja, odnosno da se me -du mogucim pomeranjima nalaze istvarna. Me -dutim, ”ostvarivost” mogucih pomeranja zavisi i od aktivnihsila koje dejstvuju na sistem, a ne samo od strukture veza.

Da bi se definisala virtualna pomeranja potrebno je ignorisati zavisnostjednacina veza od vremena t. Drugim recima, treba zamisliti da su veze udatom trenutku vremena ”zamrznute”. U formalnom matematickom smisluovo se ostvaruje tako sto se umesto operatora diferenciranja d uvodi novioperator δ - operator variranja, koji ”ignorise” promenu vremena: δt = 0.

Definicija:

Pod virtualnim pomeranjima materijalnog sistema podrazumevaju sezamisljena beskonacno mala pomeranja tacaka sistema δri = δxii+δyij+δzik koja veze dopustaju tackama sistema u odnosu na dati polozaj udatom trenutku vremena.

Napomenimo da u slucaju zadrzavajucih stacionarnih holonomnih vezavirtualna pomeranja identicki su jednaka mogucim, tj. δri ≡ dri.

Draga

n-Goca

-Nenad

281

Virtualni rad. Idealne veze

Pojam virtualnog rada je jedan od sredisnjih pojmova analiticke mehanike.On se definise potpuno analogno pojmu elementarnog rada uvedenom uklasicnoj dinamici.

Definicija:

Pod virtualnim radom sile (radom sile na virtualnom pomeranju) po-drazumeva se skalani proizvod vektora sile i vektora virtualnog pomeranjamaterijalne tackea na koju sila dejstvuje:

δA = F· δr. (9.17)

Kod materijalnog sistema razlikovacemo virtualni rad aktivnih sila δAF

i virtualni rad reakcija veza δAR:

δAF =

N∑i=1

Fν · δri, δAR =

N∑i=1

Rν · δri. (9.18)

aAtribut materijalna treba prihvatiti uslovno, jer se pojam virtualnog rada naidentican nacin definise i kod krutih tela, pri cemu se tada radi o virtualnim pomeran-jima napadnih tacaka sila.

Pojam virtualnog rada se ni u kom slucaju ne sme poistovetiti sa pojmomelementarnog rada:

dA = F·dr,

jer je kod njega u pitanju rad koji sila izvrsi prilikom stvarnog pomeranjamaterijalne tacke, a koje je pri zadatim pocetnim uslovima odre -deno najedinstven nacin. Nasuprot tome, virtualni rad je rad koji sila vrsi nazamisljenom pomeranju. Na pojam virtualnog rada se oslanja drugi vazanpojam analiticke mehanike - pojam idelane veze.

Draga

n-Goca

-Nenad


Definicija:

Veze nametnute materijalnom sistemu su idealne ako je ukupana radreakcija veza na ma kakvim virtualnim pomeranjima jednak nuli:

N∑ν=1

Rν · δrν = 0. (9.19)

U razvijenom obliku ovaj uslov glasi:

N∑i=1

(Rixδxi +Riyδyi +Rizδzi) = 0.

aTreba imati na umu da veza, nakon uklanjanja, svojim reakcijama moze dejstvovatii na vise tacaka sistema. Zbog toga se mora posmatrati ukupan virtualni rad reakcijaveza, a ne samo virtualni rad rezultante reakcija veza koja dejstvuje na jednu tacku.

Da li su sve veze kojima se kretanje materijalnog sistema moze ogranicitiidealne? Odgovor je, na zalost, negativan. Ipak, pretpostavka da su vezeiskljucivo idealne pokazala se plodotvornom, jer je omogucila zadovoljavajucemodeliranje realnih sistema, odnosno dobijanje adekvatnih matematickihmodela. Upravo zbog toga ce hipoteza o idealnim vezama odigrati kljucnuulogu u analitickoj dinamici.

Lagranz-Dalamberov princip

Posmatrajmo materijaini sistem cije je ponasanje opisano diferencijalnimjednacinama (9.15):

miai = Fi +Ri, i = 1, . . . , N.

Osnovni princip na koji cemo se u ovom proucavanju analiticke mehanikeoslanjati jeste Lagranz-Dalamberov princip. Njegova matematicka formazove se opsta jednacina dinamike.

Teorema 7 (Opsta jednacina dinamike) Ako su sve veze nametnute ma-terijalnom sistemu idealne, onda njegovo kretanje zadovoljava opstu jednacinudinamike:

N∑i=1

(Fi −miai) · δri = 0. (9.20)

Draga

n-Goca

-Nenad

283

Dokaz.

Pomnozimo skalarno svaku od diferencijalnih jednacina kretanja (9.15)odgovarajucim vektorom virtualnog pomeranja δri, i tako dobijene izrazesaberimo. Posle elementarne transformacije dolazi se do relacije:

N∑i=1

(Fi −miai) · δri +N∑i=1

Ri· δri = 0.

Ako se sada iskoristi pretpostavka o idealnim vezama, opisana jednacinom(9.19), poslednja relacija ce se svesti na trazeni oblik (9.20).

Da bismo formulisali Lagranz-Dalaberov princip formalno cemo recimadefinisati:

- inercijalnu silu, koja dejstvuje na i-tu tacku,

Fini −miai,

- izgubljenu silu, koja dejstvuje na istu tacku, kao zbir rezultanteaktivnih sila i inercijalne sile

Fizi = Fi + Fin

i = Fi −miai.

Sada se ovaj princip moze iskazati na sledeci nacin:

Princip 5 (Lagranz-Dalamberov) Ukupan rad izgubljenih sila koje de-jstvuju na materijalni sistem na ma kakvim virtualnim pomeranjima tacakasistema jednak je nuli.

Glavna odlika opste jednacine dinamike (9.20) jeste da u njoj, kao posled-ica hipoteze o idealnim vezama, ne figurisu reakcije veza. Na ovaj nacin se, uanalitickoj mehanici, problem odre -divanja kretanja sistema odvaja od prob-lema odre -divanja reakcija veza. Zbog toga se opsta jednacina dinamike ikoristi kao polazna tacka u formiranju diferencijalnih jednacina kretanja.Poled toga, ona vazi za sva kretanja materijalnog sistema koja su saglasnasa vezama, a koja su nastala pod dejstvom aktivnih sila Fi.

Draga

n-Goca

-Nenad


9.0.3 Lagranzeove jednacine druge vrste

Kao sto je receno, koristeci Lagranz-Dalamberov princip moguce je formiratidiferencijalne jednacine kretanja proizvoljnog materijalnog sistema.

Formiranje diferencijalnih jednacina kretanja primenom Lagranz - Dalam-berovog principa, kada se sistem koji ima vise stepeni slobode sastoji iz sis-tema krutih tela koja se ne krecu translatorno je otezano, jer je potrebnoformirati jednacine kretanja za svako telo ponaosob, sto moze biti prilicnozametan posao ako imamo veliki broj tela, a potom iz formiranih jednacinaeliminisati zavisne koordinate i njihove varijacije. Zbog toga je pogodnije,u takvim slozenim slucajevima formiranje diferencijalnih jednacina kretanjamaterijalnih sistema u odnosu na generalisane koordinate, sto se postizeLagranzevim jednacinama druge vrste.

Posmatrajmo materijaini sistem sa n stepeni slobode, podvrgnut sta-cionarnim idealnim holonomnim zadrzavajucim vazama. Polozaj sistemau prostoru odre -den je sa n nezavisnih generalisanih koordinata q1, . . . , qn.Vektor polozaja ri svake tacke sistema moze se izraziti u funkciji general-isanih koordinata formulom

ri = ri (t; q1, q2, . . . , qn) , i = 1, 2, . . . , N,

odakle je varijacija vektora polozaja

δri =

n∑j=1

∂ri∂qj

δqj , (9.21)

pritom, saglasno formulisanom uslovu o nezavisnosti generalisanih koordi-nata, varijacije δqj (j = 1, 2, . . . , n) predstavlaju tako -de nezavisne velicine.

Brzina proizvoljne tackeM materijalnog sistema podvrgnuta nestacionarnimvezama odre -dena je izrazom

vi = ri =∂ri∂t

+

n∑j=1

∂ri∂qj

qj , (9.22)

gde je

qj =dqjdt

− generalisana brzina.

U slucaju stacionarnih veza, brzina proizvoljne tacke M odre -dena jerelacijom

vi = ri =

n∑j=1

∂ri∂qj

qj . (9.23)

Draga

n-Goca

-Nenad

285

Iz jednacine (9.23) sledi da je parcijalni izvod vektora brzine vi, po bilokojoj generalisanoj brzini qj , jednak koeficijentu uz generalisanu brzinu, tj.jednak je parcijalnom izvodu vektora polozaja ri po generalisanoj koordinati

∂vi

∂qj=

∂ri∂qj

=∂ri∂qj

.

Dokazimo sada da je∂vi

∂qj=

∂ri∂qj

=d

dt

∂ri∂qj

. (9.24)

Posto je parcijaini izvod vektora polozaja po generalisanoj koordinati∂ri∂qj

funkcija istih promenljivih kao i sam vektor polozaja ri, to u slucaju sta-cionarnih veza sistema, kada prodiferenciramo obe strane (??) po qk dobi-jamo

d

dt

∂ri∂qk

=

n∑j=1

∂2ri∂qk∂qj

qj .

S druge strane je

∂vi

∂qk=

n∑j=1

∂2ri∂qk∂qj

qj .

Upore -dujuci poslednje dve jednakosti, vidimo da je zadovoljeno (9.24). Uocimoopstu jednacinu dinamike (7.65) i napisimo je u obliku

N∑i=1

Fi· δri −N∑i=1

miai· δri = 0,

gde je N broj tacaka sistema. Uvo -denjem generalisanih koordinata, vari-jacija vektora polozaja i-te tacke moze se pomocu tih koordinata napisati uobliku (9.21), pa prethodni izraz postaje

n∑k=1

N∑i=1

[Fi

∂ri∂qk

−midvi

dt

∂ri∂qk

]· δrk = 0. (9.25)

Iz jednacine (9.25) vidi se da velicina

δA =

N∑i=1

Fi· δri,

Draga

n-Goca

-Nenad


predstavlja rad aktivnih sila na virtualnim pomeranjima. Me -dutim, saglasnojednacini (9.21), ovaj izraz moze da se napise u obliku

δA =

n∑k=1

(N∑i=1

Fi∂ri∂qk

)δqk =

n∑k=1

Qkδqk, (9.26)

gde smo sa Qk oznacili tzv. generalisanu silu, koja je definisana izrazom

Qα =N∑i=1

Fi∂ri∂qk

=N∑i=1

(Xi

∂xi∂qk

+ Yi∂yi∂qk

+ Zi∂zi∂qk

), k = 1, 2, . . . , n.

(9.27)Iz jednacine (9.26) sledi da je generalisana sila jednaka koeficijentu uz vari-jaciju generalisane koordinate u izrazu za virtuaini rad aktivnih sila.

Koriscenjem oznake za generalisanu silu i poznate relacije diferencijalnogracuna u dv = d (uv)− v du, izraz (9.25) postaje

n∑k=1

[Qk −

N∑i=1

d

dt

(mivi

∂ri∂qk

)+

N∑i=1

mivid

dt

∂ri∂qk

]δqk = 0.

Koriscenjem relacija (??) i (9.24), ovaj izraz postaje

n∑k=1

[Qk −

N∑i=1

d

dt

(mivi

∂vi

∂qk

)+

N∑i=1

mivi∂vi

∂qk

]δqk = 0. (9.28)

Ako uvedemo kineticku energiju sistema izrazom

Ek =1

2

N∑i=1

mi(vi·vi) =1

2

N∑i=1

miv2i ,

jednacina (9.28) postaje

n∑k=1

[Qk −

d

dt

∂Ek

∂qk+

∂Ek

∂qk

]δqka = 0. (9.29)

Ova jednacina predstavlja oblik opste jednacine dinamike (9.26) izrazenapreko nezavisnih generalisanih koordinata qk (k = 1, 2, . . . , n). Kako suvarijacije generalisanih koordinata δqk po pretpostavci nezavisne, izrazi uzagradama jednacine (9.29) moraju biti jednaki nuli, pa dobijamo trazeneLagranzeve jednacine druge vrste:

d

dt

∂Ek

∂qk− ∂Ek

∂qk= Qk. (9.30)

Draga

n-Goca

-Nenad

287

Kada je materijalni sistem podvrgnut holonomnim vezama, broj La-granzevih jednacina druge vrste jednak je broju generalisanih koordinatasistema, tj. jednake je broju stepeni slobode sistema.

Kada se pomocu Lagranzevih jednacina druge vrste odredi kretanje sis-tema, tada je moguce odrediti reakcije veza na taj nacin sto se izdvojiodre -deno telo iz razmatranog sistema, veze zamene reakcijama, pa se pri-menom odgovarajucih diferencijalnih jednacina kretanja odrede reakcije.

Mehanika I

Documents

Transcript of Mehanika I