Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét

kapjuk?

Megoldás:

Legyen a keresett szám: 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1

2𝑥 ∙

1

5𝑥 = 7𝑥.

Ezt rendezve a következő hiányos másodfokú egyenlethez jutunk:

𝑥2 − 70 = 0

𝑥 ∙ (𝑥 − 70) = 0

Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

Ezek alapján 𝑥1 = 0, vagy 𝑥 − 70 = 0, amiből 𝑥2 = 70.

Válasz: A keresett szám a 0 vagy a 70.

2. Egy kétjegyű szám egyik számjegye kettővel nagyobb, mint a másik. A szám és a

számjegyek felcserélésével kapott szám négyzetösszege 𝟒𝟎𝟑𝟒. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 + 2.

Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat.

Tízesek Egyesek Szám

𝑥 𝑥 + 2 10𝑥 + 𝑥 + 2

𝑥 + 2 𝑥 10 ∙ (𝑥 + 2) + 𝑥


2

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

(10𝑥 + 𝑥 + 2)2 + (10𝑥 + 20 + 𝑥)2 = 4034.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 3 és 𝑥2 = −5.

Az 𝑥2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

Válasz: A keresett szám a 35 vagy az 53.

3. Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma eggyel nagyobb, mint az egyesek száma. A szám

és a számjegyei összegének a szorzata 𝟏𝟔𝟔𝟔. Melyik ez a szám?

Megoldás:

Legyen a tízesek száma 𝑥, az egyeseké pedig 𝑥 − 1.


Tízesek Egyesek Szám

𝑥 𝑥 − 1 10𝑥 + 𝑥 − 1


(10𝑥 + 𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 𝑥 − 1) = 1666.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 22𝑥2 + 31𝑥 − 1656 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 8 és 𝑥2 = −414

44.


Válasz: A keresett szám a 98.


3

4. Egy tört nevezője néggyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót hárommal

csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a tört értéke felére csökken. Melyik

ez a tört?

Megoldás:

Legyen a tört nevezője 𝑥, a számlálója pedig 𝑥 − 4.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 − 4 − 3

𝑥 + 3=

1

2 ∙

𝑥 − 4

𝑥.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 − 13𝑥 + 12 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 12 és 𝑥2 = 1.

Válasz: A keresett tört a 8

12=

2

3 vagy a

−3

1= −3.

5. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Mennyien vannak a társaságban,

ha összesen 𝟏𝟓 kézfogás történt?

Megoldás:

Legyen a tagok száma 𝑥.

Mivel egy ember önmagán kívül mindenkivel kezet fog, illetve egy kézfogást kétszer

számolunk, ezért az összes kézfogások száma: 𝑥 ∙ (𝑥 − 1)

2.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (𝑥 − 1)

2= 15.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 − 𝑥 − 30 = 0.



Válasz: A társaságban 6-an vannak.


4

6. Van-e olyan konvex sokszög, amelynek 𝟑𝟓 átlója van?

Megoldás:

Legyen a sokszög oldalainak a száma 𝑥.

Mivel egy csúcsból önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzhatunk átlót, illetve egy átlót

kétszer számolunk, ezért az összes átlók száma: 𝑥 ∙ (𝑥 − 3)

2.


2= 35.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 − 3𝑥 − 70 = 0.



Válasz: A konvex 10-szögnek 35 átlója van.

7. Melyik az a konvex sokszög, amelynek 𝟒𝟐-vel több átlója van, mint oldala?

Megoldás:

Legyen a sokszög oldalainak a száma 𝑥.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (𝑥 − 3)

2− 42 = 𝑥.




Válasz: A keresett sokszög a konvex 12-szög.


5

8. Hány pontot helyezhetünk el a síkon, ha a pontok összesen 𝟐𝟖 egyenest határoznak

meg, és nincs olyan 𝟑 pont, amely egy egyenesen sorakozna?

Megoldás:

Legyen a pontok száma 𝑥.

Mivel egy ponton át minden más pontba húzunk egyenest, illetve egy egyenest kétszer

számolunk, ezért az összes egyenesek száma: 𝑥 ∙ (𝑥 − 1)

2.


2= 28.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 − 𝑥 − 56 = 0.



Válasz: Összesen 8 pont határoz meg a síkon 28 egyenest.

9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 𝟐 𝒄𝒎 - rel nagyobb, mint a másik befogója,

a háromszög területe pedig 𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐. Mekkorák a háromszög befogói?

Megoldás:

Legyen a háromszög egyik befogója 𝑎 = 𝑥, a másik pedig 𝑏 = 𝑥 + 2.

Mivel a háromszög derékszögű, ezért a terület felírható a befogókkal is: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑚𝑎

2=

𝑎 ∙ 𝑏

2.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (𝑥 + 2)

2= 24.




Válasz: A háromszög befogói 6 𝑐𝑚 és 8 𝑐𝑚 hosszúak.


6

10. Egy téglatest éleinek aránya 𝟏 ∶ 𝟐 ∶ 𝟑. Ha az éleket rendre 𝟐, 𝟏, illetve 𝟑 𝒄𝒎 - rel

meghosszabbítjuk, a téglatest térfogata 𝟒𝟐𝟔 𝒄𝒎𝟑 – rel megnövekszik. Mekkorák a

téglatest élei?

Megoldás:

Legyenek a téglatest élei 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 2𝑥 és 𝑐 = 3𝑥.

Egy téglatest térfogatát a következőképpen számolhatjuk ki: 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 + 1) ∙ (3𝑥 + 3) = 𝑥 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑥 + 426.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 + 𝑥 − 20 = 0.



Válasz: A téglatest élei 4 𝑐𝑚, 8 𝑐𝑚 és 12 𝑐𝑚 hosszúságúak.

11. Egy téglalap kerülete 𝟒𝟐 𝒄𝒎, átlója pedig 𝟏𝟓 𝒄𝒎. Mekkorák a téglalap oldalai?

Megoldás:

Legyen a téglalap egyik oldala 𝑥, a másik 𝑦.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert:

2𝑥 + 2𝑦 = 42

𝑥2 + 𝑦2 = 152}

Az első egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 21 − 𝑦.

Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s a következőt kapjuk: (21 − 𝑦)2 + 𝑦2 = 225.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦2 − 21𝑦 + 108 = 0.


7

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 9 és 𝑦2 = 12.

Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦1 = 9 esetén 𝑥1 = 12 és 𝑦2 = 12 esetén 𝑥2 = 9.

Válasz: A téglalap oldalai 9 𝑐𝑚 és 12 𝑐𝑚 hosszúak.

12. Két kombájn együtt 𝟒 nap alatt learatta a szövetkezet búzatábláját. Az egyik

kombájn egyedül 𝟔 nappal hosszabb idő alatt végezte volna el ugyanazt az aratási

munkát, mint a másik. Hány napig aratott volna külön – külön a két kombájn?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy ez egyik kombájn egyedül 𝑥 nap alatt, a másik pedig 𝑥 + 6 nap alatt aratná le

a búzatáblát.


Első kombájn Második kombájn

𝑥 nap 𝑥 + 6 nap

𝟏 nap alatt 1

𝑥

1

𝑥 + 6

𝟒 nap alatt 4

𝑥

4

𝑥 + 6


𝑥 +

4

𝑥 + 6= 1.




Válasz: Az egyik kombájn 6 nap alatt, a másik 12 nap alatt aratná le egyedül a búzatáblát.


8

13. Két munkás együtt dolgozva 𝟖 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt

lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az

utóbbinak 𝟏𝟐 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy ez első munkás egyedül 𝑥 óra alatt, a második pedig 𝑥 + 12 óra alatt végezne

a munkával.


Első munkás Második munkás

𝑥 óra 𝑥 + 12 óra

𝟏 óra alatt 1

𝑥

1

𝑥 + 12

𝟖 óra alatt 8

𝑥

8

𝑥 + 12


𝑥 +

8

𝑥 + 12= 1.




Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra alatt végezné el egyedül a munkát.


9

14. A tartályt az egyik csapon át 𝟒, a másik csapon át 𝟗 órával hosszabb idő alatt

tölthetjük meg, mint ha mind a két csapot egyszerre használjuk. Mennyi idő alatt telik

meg a tartály, ha csak az egyik, illetve a másik csapot nyitjuk meg?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy a csapok együtt 𝑥 óra alatt töltik meg a tartályt. Ekkor az egyik 𝑥 + 4, a másik

pedig 𝑥 + 9 órán keresztül töltené meg egyedül a tartályt.


Első csap Második csap

𝑥 + 4 óra 𝑥 + 9 óra

𝟏 óra alatt 1

𝑥 + 4

1

𝑥 + 9

𝒙 óra alatt 𝑥

𝑥 + 4

𝑥

𝑥 + 9

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥

𝑥 + 4 +

𝑥

𝑥 + 9= 1.

Ezt rendezve a következő egyenlethez jutunk: 𝑥2 = 36.

Ebből kapjuk, hogy a két megoldás: 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −6.


Válasz: Az egyik csapon át 10 óra alatt, a másikon keresztül 15 óra alatt telik meg a tartály.


10

15. Két munkás együtt egy munkát 𝟏𝟐 óra alatt végez el. Ha az első munkás elvégezné a

munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka 𝟐𝟓 óráig tartana.

Hány óra alatt végzi el a munkát a két munkás külön – külön?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy az egyik munkás 𝑥 óra alatt, a második pedig 𝑦 óra alatt végezne a munkával.


Első munkás Második munkás

𝑥 óra 𝑦 óra

𝟏 óra alatt 1

𝑥

1

𝑦

𝟏𝟐 óra alatt 12

𝑥

12

𝑦


12

𝑥+

12

𝑦= 1

𝑥

2+

𝑦

2= 25

}

A második egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 50 − 𝑦.

Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 12

50 − 𝑦 +

12

𝑦= 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦2 − 50𝑦 + 600 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 20 és 𝑦2 = 30.

Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦1 = 20 esetén 𝑥1 = 30 és 𝑦2 = 30 esetén 𝑥2 = 20.

Válasz: Az egyik munkás 20 óra alatt, a másik 30 óra alatt végezné el egyedül a munkát.


11

16. Egy építkezéshez 𝟑𝟎 𝒕𝒐𝒏𝒏𝒂 anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél

𝟐 tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 𝟒 – gyel többet, így a szállítást

időben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak?

Megoldás:

Tegyük fel, hogy eredetileg rendeltek 𝑥 darab 30

𝑥 tonna teherbírású teherautót.

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (𝑥 + 4) ∙ (30

𝑥− 2) = 30.




Válasz: 10 𝑑𝑎𝑟𝑎𝑏 3 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑎 teherbírású teherautó végezte a szállítást.

17. Egy 𝟏𝟓 𝟎𝟎𝟎 Ft - os termék árát kétszer egymás után ugyanannyi százalékkal

csökkentették. Hány százalékos volt az árleszállítás az egyes esetekben, ha a termék

ára így 𝟏𝟐 𝟏𝟓𝟎 Ft lett?

Megoldás:

Legyen az árleszállítás mértéke 𝑝 százalék.


15 000 ∙ (1 −𝑝

100) ∙ (1 −

𝑝

100) = 12 150.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 − 200𝑝 + 1900 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 10 és 𝑝2 = 190.

A 𝑝2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

Válasz: Mindkét esetben 10 % - kal csökkentették a termék árát.


12

18. Egy áru árát felemelték, majd később – mivel nem fogyott – kétszer annyi százalékkal

csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Így az eredeti árnál

𝟓, 𝟓 % - kal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árát eredetileg?

Megoldás:

Legyen az áru ára 𝑥 forint és a növelés mértéke pedig 𝑝 százalék.


𝑥 ∙ (1 +𝑝

100) ∙ (1 −

2𝑝

100) = 𝑥 ∙ (1 −

5,5

100).

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 + 50𝑝 − 275 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 5 és 𝑝2 = −55.

A 𝑝2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

Válasz: 5 % - kal emelték meg eredetileg az áru árát.

19. Kamatozó betétbe betettünk a bankba 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 Ft – ot. Az első évi kamatnál

𝟑 % - kal több volt a második évi kamat. Két év múlva 𝟏 𝟏𝟑𝟒 𝟎𝟎𝟎 Ft lett a kamattal

növelt összeg. Hány százalékos volt a kamat az első, és mennyi a második évben?

Megoldás:

Legyen az első éves kamat mértéke 𝑝, a második éves kamat mértéke pedig 𝑝 + 3 százalék.


1 000 000 ∙ (1 +𝑝

100) ∙ (1 +

𝑝 + 3

100) = 1 134 000.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑝2 + 203𝑝 − 1040 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑝1 = 5 és 𝑝2 = −208.


Válasz: 5 % volt az első éves kamat és 8 % a második éves kamat.


13

20. Két kénsavoldat közül az első 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈, a második 𝟎, 𝟔 𝒌𝒈 tömény kénsavat tartalmaz.

Ha a két oldatot összeöntjük, akkor 𝟏𝟎 𝒌𝒈 harmadik töménységű kénsavoldatot

kapunk. Mekkora volt az első és a második oldat tömege, ha a kénsavtartalom

százaléka az első esetben 𝟏𝟎 - zel több, mint a másodikban?

Megoldás:

Legyen az első oldat tömege 𝑥, a másodiké pedig 𝑦.


0,8

𝑥∙ 100 =

0,6

𝑦∙ 100 + 10

𝑥 + 𝑦 = 10}

A második egyenletből fejezzük ki 𝑥-et, s a következőt kapjuk: 𝑥 = 10 − 𝑦.

Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 80

10 − 𝑦=

60

𝑦+ 10.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑦2 + 4𝑦 − 60 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑦1 = 6 és 𝑦2 = −10.

Az 𝑦2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy 𝑦 = 6 esetén 𝑥 = 4.

Válasz: A két oldalt tömege 4 𝑘𝑔 és 6 𝑘𝑔 volt.


14

21. Két turista egyszerre indul el egy 𝟒𝟎 𝒌𝒎 hosszúságú úton. Az egyik turista óránként

𝟐 𝒌𝒎 - rel többet tesz meg, mint a másik, és ezért egy órával előbb ér az út végére.

Mekkora a két turista sebessége?

Megoldás:

Legyen az egyik turistának a sebessége 𝑥, a másiknak pedig 𝑥 + 2.


𝒔 𝒗 𝒕

Első turista 40 𝑥 40

𝑥

Második turista 40 𝑥 + 2 40

𝑥 + 2

A megoldáshoz a következő képleteket használjuk fel: 𝑣 =𝑠

𝑡 → 𝑡 =

𝑠

𝑣 → 𝑠 = 𝑡 ∙ 𝑣.

Mivel a lassabb turista ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a gyorsabb turista idejét

ahhoz, hogy az egy órát megkapjuk.


𝑥 −

40

𝑥 + 2= 1.




Válasz: Az első turista sebessége 8 𝑘𝑚

ℎ, a második sebessége pedig 10

𝑘𝑚

ℎ.


15

22. Két folyóparti város távolsága 𝟏𝟐𝟎 𝒌𝒎. Egy hajó oda - vissza 𝟏𝟐, 𝟓 óra alatt teszi meg

az utat. A folyó sebessége 𝟒 𝒌𝒎

𝒉. Mekkora lenne a hajó sebessége állóvízben?

Megoldás:

Legyen a hajó sebessége 𝑥.

Amennyiben a sodrással egy irányba haladunk, akkor a sebességünkhöz hozzá kell adnunk a

folyó sebességét. Amennyiben folyásiránnyal szemben haladunk, úgy a sebességünkből ki kell

vonnunk a folyó sebességét.


𝒔 𝒗 𝒕

folyással ellenkező irányban

haladva 120 𝑥 − 4

120

𝑥 − 4

folyás irányában haladva 120 𝑥 + 4 120

𝑥 + 4


𝑥 − 4 +

120

𝑥 + 4= 12,5.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 12,5𝑥2 − 240𝑥 − 200 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 20 és 𝑥2 = −0,8.


Válasz: A hajó sebessége állóvízben 20 𝑘𝑚

ℎ.


16

23. Két kikötő között a távolság egy folyón 𝟐𝟏 𝒌𝒎. Egy motorcsónak elindul az egyik

kikötőből a másikba, ott 𝟑𝟎 percet áll, majd visszaindul, és így az első indulás után

𝟒 órával ér vissza a kikötőbe. A folyó vizének sebessége 𝟐, 𝟓 𝒌𝒎

𝒉. Mekkora a

motorcsónak sebessége állóvízben?

Megoldás:

Legyen a motorcsónak sebessége 𝑥.


𝒔 𝒗 𝒕

folyással ellenkező irányban

haladva 21 𝑥 − 2,5

21

𝑥 − 2,5

folyás irányában haladva 21 𝑥 + 2,5 21

𝑥 + 2,5

Mivel 30 percet állt, ezért az út megtételéhez 3,5 órára volt szüksége.


𝑥 − 2,5 +

21

𝑥 + 2,5= 3,5.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 244𝑥2 − 336𝑥 − 175 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑥1 = 12,5 és 𝑥2 = −0,5.


Válasz: A motorcsónak sebessége 12,5 𝑘𝑚

ℎ állóvízben.


17

24. Két állomás közötti távolság 𝟗𝟔 𝒌𝒎. A személyvonat, amelynek átlagsebessége

𝟏𝟐 𝒌𝒎

𝒉 – val nagyobb, mint a tehervonaté, 𝟒𝟎 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az

utat, mint a tehervonat. Mekkora a személy és a tehervonat sebessége?

Megoldás:

Legyen a személyvonatnak a sebessége 𝑥, a tehervonatnak pedig 𝑥 − 12.


𝒔 𝒗 𝒕

Személyvonat 96 𝑥 96

𝑥

Tehervonat 96 𝑥 − 12 96

𝑥 − 12

Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a személyvonat idejét ahhoz,

hogy a 40 percet megkapjuk. A 40 perc átszámítva pedig 2

3 óra.


𝑥 − 12 −

96

𝑥=

2

3.




Válasz: A személyvonat sebessége 48 𝑘𝑚

ℎ, a tehervonat sebessége pedig 36

𝑘𝑚

ℎ.


18

25. A 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝒎 hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 𝟏𝟎 𝒌𝒎

𝒉 sebességgel gyorsabban

haladt, mint a másik, és ezért fél órával a hamarabb ért célba. Mekkora sebességgel

haladt a két gépkocsi?

Megoldás:

Legyen az egyik kocsinak a sebessége 𝑥, a másiknak pedig 𝑥 − 10.


𝒔 𝒗 𝒕

Első kocsi 150 𝑥 150

𝑥

Második kocsi 150 𝑥 − 10 150

𝑥 − 10

Mivel a második kocsi ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk az első kocsi idejét, ahhoz,

hogy a fél órát megkapjuk.


𝑥 − 10 −

150

𝑥=

1

2.




Válasz: Az egyik kocsinak a sebessége 60 𝑘𝑚

ℎ, a másiknak pedig 50

𝑘𝑚

ℎ.


19

26. Egy kerékpárosnak 𝟑𝟎 𝒌𝒎-es utat kell megtennie. Mivel a kitűzött időnél 𝟑 perccel

később indult, ahhoz, hogy idejében megérkezzék, óránként 𝟏 𝒌𝒎-rel többet kellett

megtennie, mint ahogy eredetileg tervezte. Mekkora sebességgel haladt?

Megoldás:

Legyen a kerékpáros tervezett sebessége 𝑥, s a valós pedig 𝑥 + 1.


𝒔 𝒗 𝒕

Tervezett 30 𝑥 30

𝑥

Valós 30 𝑥 + 1 30

𝑥 + 1

Mivel a tervezett út ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a 3 percet, ahhoz, hogy

megkapjuk a megvalósult kerékpározás idejét. A 3 perc átszámítva pedig 3

60=

1

20 óra.


𝑥 −

1

20=

30

𝑥 + 1.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥2 + 𝑥 − 600 = 0.



Válasz: A kerékpáros valós sebessége tehát 25𝑘𝑚

ℎ volt.


20

27. Az 𝑨 vasútállomásról reggel 𝟓 órakor tehervonat indul 𝑩-be, mely 𝑨-tól 𝟏𝟎𝟖𝟎 𝒌𝒎

távolságra van. 𝟖 órakor 𝑩-ből gyorsvonat indul 𝑨-ba, ez óránként 𝟏𝟓 𝒌𝒎-rel többet

tesz meg a tehervonatnál. Félúton találkoznak. Hány órakor történik ez?

Megoldás:

Legyen a tehervonatnak a sebessége 𝑥, a gyorsvonatnak pedig 𝑥 + 15.


𝒔 𝒗 𝒕

Tehervonat 540 𝑥 540

𝑥

Gyorsvonat 540 𝑥 + 15 540

𝑥 + 15

Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a két indulás között eltelt

3 órát, ahhoz, hogy megkapjuk a gyorsvonat idejét.


𝑥 − 3 =

540

𝑥 + 15.




Válasz: A tehervonat 12 órát, a gyorsvonat 9 órát ment, így 17 órakor találkoztak.


21

28. Az 𝑨 város 𝟕𝟖 𝒌𝒎-re van 𝑩-től. 𝑨-ból elindult egy kerékpár 𝑩-be. Egy órával később

pedig egy másik kerékpáros 𝑩-ből 𝑨-ba. Ez utóbbi sebessége 𝟒 𝒌𝒎

𝒉 - val több, mint az

elsőé, így 𝑩-től 𝟑𝟔 𝒌𝒎-re találkoztak. Mennyi ideig kerékpározott mindegyik az

indulástól a találkozásig és mekkora sebességgel?

Megoldás:

Legyen az első kerékpárosnak a sebessége 𝑥, a másodiknak pedig 𝑥 + 4.


𝒔 𝒗 𝒕

𝑨-ból 𝑩-be 42 𝑥 42

𝑥

𝑩-ből 𝑨-ba 36 𝑥 + 4 36

𝑥 + 4

Mivel a második kerékpáros ideje volt a kevesebb, ezért ahhoz hozzá kell adnunk az 1 órát,

ahhoz, hogy megkapjuk az első kerékpáros idejét.


𝑥=

36

𝑥 + 4+ 1.




Válasz: Az első kerékpáros 14 𝑘𝑚

ℎ - val haladt 3 óráig, a második pedig 18

𝑘𝑚

ℎ - val 2 óráig.


22

29. Egy gépkocsi 𝟏𝟎 𝒎

𝒔 sebességgel halad el mellettünk, de abban a pillanatban

𝟒 𝒎

𝒔𝟐 gyorsulással egyenletesen növelni kezdi sebességét. Mennyi idő múlva halad el a

tőlünk 𝟏𝟎𝟎 m távolságra lévő oszlop mellett? Mekkora lesz ekkor a sebessége?

Megoldás:

Az egyenletesen gyorsuló, egyenes vonalú mozgással kapcsolatban a következő képleteket kell

használnunk:

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡

𝑠 = 𝑣0 + 𝑣

2 ∙ 𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + 𝑎

2 ∙ 𝑡2

Ahol 𝑡 az eltelt idő; 𝑠0 az óra elindulásáig megtett út; 𝑠 a 𝑡 időpillanatig megtett út; 𝑣0 a test

kezdő sebessége; 𝑣 a végsebessége, 𝑎 test gyorsulása.

A szövegben megadott adatok a következők: 𝑠0 = 0 𝑚, 𝑠 = 100 𝑚, 𝑣0 = 10 𝑚

𝑠, 𝑎 = 4

𝑚

𝑠2.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 = 0 + 10𝑡 + 4

2 𝑡2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑡2 + 5𝑡 − 50 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑡1 = 5 és 𝑡2 = −10.

Az 𝑡2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

A végsebességét pedig a következőképpen számíthatjuk ki: 𝑣 = 10 + 4 ∙ 5 = 30.

Válasz: A kocsi 5 másodperc alatt ér el az oszlopig és ekkor a sebessége 30 𝑚

𝑠 lesz.


23

30. Egy gépkocsi 𝟏𝟎 𝒎 - t megtéve érte el a 𝟐 𝒎

𝒔 sebességet. Ekkor 𝟐, 𝟔

𝒎

𝒔𝟐 egyenletes

gyorsulással (egyenes úton) növelni kezdte a sebességét, és indulási helyétől

𝟏𝟔𝟎 𝒎 távolságra elérte a végsebességét. Mennyi ideig gyorsított, és mekkora lett a

végsebessége?

Megoldás:

A szövegben megadott adatok a következők: 𝑠0 = 10 𝑚, 𝑣0 = 2 𝑚

𝑠, 𝑎 = 2,6

𝑚

𝑠2, 𝑠 = 160 𝑚.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 160 = 10 + 2𝑡 +2,6

2 𝑡2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 13𝑡2 + 20𝑡 − 1500 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 𝑡1 = 10 és 𝑡2 = −11,5.

Az 𝑡2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően.

A végsebességet pedig a következőképpen számíthatjuk ki: 𝑣 = 2 + 2,6 ∙ 10 = 28.

Válasz: A kocsi 10 másodpercig gyorsított és 28 𝑚

𝑠 lett a végsebessége.

31. Legyen 𝒂 = 𝟓; 𝒃 = 𝟏𝟓; 𝒄 = 𝟐𝟐; 𝒅 = 𝟑𝟎; 𝒆 = 𝟒𝟗. Határozd meg az 𝒂; 𝒃, illetve a

𝒄; 𝒅; 𝒆 számtani és mértani közepét!

Megoldás:

A közepek kiszámításához a következő képleteket kell használnunk.

Az 𝑛 darab nem negatív szám számtani közepén a következőt értjük: 𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎𝑛

𝑛.

Az 𝑛 darab nem negatív szám mértani közepén a következőt értjük: √𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ … ∙ 𝑎𝑛𝑛

.

Ezek alapján a megoldások:

Számtani közép: 𝐴 (𝑎; 𝑏) =5 + 125

2= 65 𝐴 (𝑐; 𝑑; 𝑒) =

22 + 30 + 49

3= 50,5

Mértani közép: 𝐺 (𝑎; 𝑏) = √5 ∙ 125 = 25 𝐺 (𝑐; 𝑑; 𝑒) = √22 · 30 · 493

≈ 31,86


24

32. Egy 𝟐 𝒎 hosszú fonál segítségével képezzünk téglalapot. Hogyan válasszuk meg a

téglalap oldalait, hogy a terület maximális legyen?

Megoldás:

Használjuk fel azt az összefüggést, hogy 𝑛 darab szám mértani közepe mindig kisebb vagy

egyenlő, mint a számok számtani közepe.

Legyen a téglalap egyik oldala 𝑥. Mivel a kerülete 2, ezért a másik oldal 1 − 𝑥 lesz.

A téglalap területe ekkor: 𝑇 = 𝑥 ∙ (1 − 𝑥).

A két oldalra írjuk fel a mértani és számtani közepek közötti összefüggést:

√𝑥 ∙ (1 − 𝑥) ≤ 𝑥+1−𝑥

2.

Ezt rendezve a következőt kapjuk: 𝑥 ∙ (1 − 𝑥) ≤ 1

4.

Ebből következik, hogy a téglalap területe akkor lesz a legnagyobb, ha pontosan 1

4.

Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 𝑥 ∙ (1 − 𝑥) = 1

4.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑥 =1

2.

Válasz: A legnagyobb területű téglalap az 1

2 𝑚 oldalú négyzet lesz.


25

33. A 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete?

Megoldás:

A téglalap kerülete: 𝐾 = 2𝑎 + 2𝑏. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: 𝐾

4=

𝑎 + 𝑏

2.

A téglalap területe: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑏. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: √𝑇 = √𝑎 ∙ 𝑏.

Ezek alapján a téglalap kerületének negyede a két oldal számtani közepével egyenlő, míg a

terület négyzetgyöke éppen a két oldal mértani közepét adja eredményül.

Írjuk fel a két oldal segítségével a számtani és mértani közepek közötti összefüggést:

√100 ≤𝐾

4.

Ezt rendezve a következőt kapjuk: 40 ≤ 𝐾.

Ebből következik, hogy a téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha pontosan 40.

A terület képletéből fejezzük ki 𝑎-t, s a következőt kapjuk: 𝑎 =100

𝑏.

Ezt helyettesítsük be a kerület képletébe, s a következő egyenletet kapjuk: 40 = 2 ∙ 100

𝑏+ 2𝑏.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑏2 − 20𝑏 + 100 = 0.

A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 𝑏 = 10.

Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy 𝑏 = 10 esetén 𝑎 = 10.

Válasz: A 40 𝑐𝑚 kerületű, vagyis 10 𝑐𝑚 oldalú négyzetnek lesz a legkisebb a kerülete.


26

34. Bontsd fel a 𝟑𝟎-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető

legkisebb legyen!

Megoldás:

Legyen az egyik szám 𝑥, a másik pedig 30 − 𝑥.

Ekkor a két szám négyzetösszege: 𝑥2 + (30 − 𝑥)2.

Tekintsük ezt úgy, mint egy függvény és keressük meg a minimumát.

𝑓 (𝑥) = 𝑥2 + (30 − 𝑥)2 = 𝑥2 + 900 − 60𝑥 + 𝑥2 = 2𝑥2 − 60𝑥 + 900 =

= 2 ∙ (𝑥2 − 30𝑥) + 900 = 2 ∙ [(𝑥 − 15)2 − 225] + 900 = 2 ∙ (𝑥 − 15)2 + 450.

Ezek alapján a függvénynek az 𝑥 = 15 helyen lesz minimuma.

Válasz: Akkor lesz a legkisebb a tagok négyzetösszege, ha a két szám 15 - 15 lesz.

35. Bizonyítsd be, hogy egy pozitív számnak és reciprokának összege nem kisebb 𝟐-nél!

Megoldás:

Legyen a feladatnak megfelelő szám 𝑥 (𝑥 > 0).

A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: 𝑥 +1

𝑥≥ 2.

Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk: 𝑥2 − 2𝑥 + 1 ≥ 0.

Az egyenlőtlenség bal oldala nevezetes azonossággal szorzattá alakítható: (𝑥 − 1)2 ≥ 0.

Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív, így az egyenlőtlenség mindig teljesül.

Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha 𝑥 = 1.

Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra...

Documents

Transcript of Megoldások - BZmatek · 2018. 3. 16. · Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra...