Megint a vitorlázásról Egy korábbi dolgozatunkban ... a vitorlazasrol.pdf · 1 Megint a...
Transcript of Megint a vitorlázásról Egy korábbi dolgozatunkban ... a vitorlazasrol.pdf · 1 Megint a...
1
Megint a vitorlázásról
Egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Hajózás ellenszélben – már volt szó vitor -
lázásról, egy népszerű ~ tudományos ismeretterjesztő könyv egyik feladata ürügyén.
Igaz, hogy az egyik szerző a fizikai Nobel - díjas L. D. Landau, de – vagy éppen ezért is –
csak egy erősen leegyszerűsített fizikai modellt választottak. Ennek ellenére az eredmény
– a szögfelező helyzetű vitorla - beállítás szél elleni hajózásnál – viszonylag jól egyezik a
gyakorlati tapasztalatokkal. Azóta kicsit jobban szétnéztünk a számunkra elérhető szak -
irodalomban; ennek néhány eredményéről lesz most szó.
Az egyik, számunkra érdekes munka e témában az interneten talált [ 1 ] könyvrészlet.
Ezt is fizikusok írták, szintén ismeretterjesztő jelleggel – gyaníthatóan középiskolai fizi -
katanárok számára – , kicsit mélyebben belemenve a részletekbe. Igaz, mintha sajtóhiba is
lenne benne.
Találkoztunk a [ 2 ] kétrészes dolgozattal is, melyben az [ 1 ] - ben olvashatókat kicsit
jobban szemléltetve és részletezve fejtik ki.
A témát [ 1 ] és [ 2 ] alapján dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra – forrása: [ 2 ]
2
Itt a hajó és a vitorla – idealizált – felülnézeti képét szemlélhetjük.
A hajó v sebességgel halad a vízhez képest, hossztengelye irányában.
A függőleges tengely körül elforgatható vitorla a haladás egyeneséhez képest β szöggel
lett beállítva.
A szél a vitorlát a hajó hossztengelyéhez képest α, a vitorla normálisához képest i szög
alatt fújja, a hajóhoz viszonyított c sebességgel.
A hajóhoz viszonyított szélsebességet az 1. ábra bal felső sarkában megrajzolt sebességi
háromszög magyarázza; itt:
~ v a hajó sebességének vektora;
~ vsz a szél sebességének vektora, a víz felszínéhez képest;
~ c: a szélnek a hajóhoz viszonyított sebessége.
A köztük fennálló összefüggés az ábráról leolvashatóan:
𝐯𝐬𝐳 = 𝐜 + 𝐯 → 𝐜 = 𝐯𝐬𝐳 − 𝐯 . ( 1 )
A továbbiakban c - t adottnak vesszük.
Célunk a hajót előre hajtó F1 erő F1 nagyságának közelítő meghatározása.
Ehhez először a vitorla „síkjára” merőleges F erő F nagyságát kell meghatározni, majd
ebből az 1. ábra alapján:
𝐹1 = 𝐹 ∙ sin𝛽 . ( 2 )
Az F erőnagyságot azzal a feltevéssel becsülhetjük meg, hogy a síknak vett vitorlát meg –
fújó szél – mint légtömeg – beesési és visszaverődési sebességének c nagysága és a vitorla
normálisával bezárt i szöge változatlan – 2. ábra.
2. ábra
Ennek bal oldali részén ábrázoltuk a vitorlába csapódó légtömeg sebességváltozását.
Ennek vektoros kifejezése:
∆𝐜 = 𝐜∗ − 𝐜 ; ( 3 )
3
ennek nagysága az ábra szerint:
∆𝑐 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 . ( 4 )
Az impulzusváltozás nagysága:
∆𝑝 = 𝑚 ∙ ∆𝑐 ; ( 5 )
most ( 4 ) és ( 5 ) - tel:
∆𝑝 = 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 . ( 6 )
A vitorla által az m légtömegre kifejtett erő nagyságának átlagos értéke:
𝐹𝑣 =∆𝑝
𝑡 . ( 7 )
Majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
𝐹𝑣 =2∙𝑚∙𝑐∙cos 𝑖
𝑡 . ( 8 )
A légtömeg ugyanilyen nagyságú, csak ellenkező nyílértelmű erővel hat a vitorlára, tehát:
𝐹 = 𝐹𝑣 ; ( 9 )
ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
𝐹 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙𝑚
𝑡 . ( 10 )
A t idő alatt a vitorlának ütköző, majd arról visszapattanó levegő tömege – a 2. ábra jobb
oldali részére is figyelve – :
𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 = 𝜌 ∙ ℎ ∙ 𝐴 ; ( 11 )
ámde:
ℎ = 𝑐 ∙ 𝑡 ∙ cos 𝑖 , ( 12 )
így a t idő alatt a vitorlának ütköző légtömeg ( 11 ) és ( 12 ) szerint:
𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝑡 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 . ( 13 )
Most ( 13 ) - ból: 𝑚
𝑡= 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 ; ( 14 )
majd ( 10 ) és ( 14 ) - gyel:
𝐹 = 2 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝑖 ∙ 𝐴 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ cos2 𝑖 , tehát:
4
𝐹 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ cos2 𝑖 . ( 15 )
Most az ( 1 ) ábráról:
𝑖 = 90° + 𝛽 − 𝛼 = 90° − 𝛼 − 𝛽 ; ( 16 )
ekkor ( 16 ) - tal:
cos 𝑖 = cos 90° − 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 − 𝛽 → cos2 𝑖 = sin2 𝛼 − 𝛽 , ( 17 )
ezért ( 15 ) és ( 17 ) - tel:
𝐹 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 . ( 18 )
Végül ( 2 ) és ( 18 ) - cal:
𝐹1 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 . ( 19 )
Ez eltér az előző dolgozatbeli
𝑆 𝛽 = 𝑅 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ sin𝛽 ( * )
alakú képlettől, ha az R = konst. feltevéssel élünk.
Nem feledkezünk meg az 1. ábrabeli,
𝐹2 = 𝐹 ∙ cos𝛽 ( 20 )
nagyságú erőkomponensről sem; ez a hajó hosszirányához és a v sebességhez képest
oldalra / jobbra igyekszik eltolni a hajótestet, a víz ellenállását legyőzve, illetve azzal
egyensúlyban maradva.
Most [ 1 ] és [ 2 ] - re is figyelve megvizsgáljuk a ( 19 ) képletet.
Ebből kiolvasható, hogy az
𝐹1 = 𝑘 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 , 𝑘 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 > 0 ( 21 )
függvény lényegében α - tól és β - tól függ. Nézzük meg, hogy milyen összefüggésben
állnak ezek a változók, amikor az F1 erőnagyság maximális lesz! Másképpen mondva:
adott α szélirány esetén mekkora β szögre állítsuk a vitorla síkját a hajó hossztengelyéhez
képest, hogy a hajtóerő nagysága a lehető legnagyobb legyen?
Ehhez F1 szélsőértékét keressük. Ennek szükséges feltétele:
5
𝑑𝐹1
𝑑𝛽= 0. ( 22 )
Elvégezve a kijelölt differenciálást: 𝑑𝐹1
𝑑𝛽= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 + sin𝛽 ∙2 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 ∙ −1 =
= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 , tehát: 𝑑𝐹1
𝑑𝛽= 𝑘 ∙ cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 ; ( 23 )
majd ( 21 / 2 ), ( 22 ) és ( 23 ) - mal:
cos𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ,
sin 𝛼 − 𝛽 ∙ sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ; ( 24 )
sin 𝛼 − 𝛽 ≠ 0 általában, így ( 25 / 1 )
( 24 ) és ( 25 / 1 ) - gyel:
sin 𝛼 − 𝛽 ∙ cos𝛽 − 2 ∙ sin𝛽 ∙ cos 𝛼 − 𝛽 = 0 ; ( 25 / 2 )
cos 𝛼 − 𝛽 ≠ 0 általában, így ( 25 / 3 )
( 25 / 2 ) és ( 25 / 3 ) - mal:
tg 𝛼 − 𝛽 = 2 ∙ tg𝛽 ; ( 26 )
egy trigonometriai azonossággal ( 26 ) - ból: tg 𝛼−tg 𝛽
1+tg 𝛼∙tg 𝛽= 2 ∙ tg𝛽 → tg𝛼 − tg𝛽 = 2 ∙ tg𝛽 + 2 ∙ tg𝛼 ∙ tg2 𝛽 ,
2 ∙ tg𝛼 ∙ tg2 𝛽 + 3 ∙ tg𝛽 − tg𝛼 = 0 ; ( 27 )
a ( 27 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva:
tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1,2 =−3± 9−4∙2∙tg 𝛼∙ − tg 𝛼
2∙2 ∙tg 𝛼=
−3± 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼 , tehát:
tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1 =−3+ 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 1 = arctg
−3+ 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼 , ( 28 / 1 )
tg𝛽𝑜𝑝𝑡 2 =−3− 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 2 = arctg
−3− 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼 . ( 28 / 2 )
A ( 28 ) függvényeket a 3. ábrán mutatjuk meg. Itt feltüntettük a β = α / 2 és a β = α / 3
egyeneseket is. Látjuk, hogy βopt = α / 2 csak α = 0º és α = 180º - nál teljesül pontosan.
Továbbá az is látszik, hogy viszonylag kisebb α értékekre: βopt ≈ α / 3.
6
3. ábra
Eszerint a modell szerint más kép rajzolódik ki, mint az előző dolgozatbeliben.
Ugyanis itt a széllel szembeni (α ≈ 0º ) hajózáshoz kedvező a β ≈ α / 3 vitorla - beállítás,
ellentétben a korábbiakban számított β = α / 2 beállítással.
Megjegyzések:
M1. Nézzük meg, hogyan viselkedik a ( 28 / 1 ) képlet kis α értékek esetében!
tg𝛽𝑜𝑝𝑡 1 =−3+ 9+8∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼=
−3+ 9∙ 1+8
9∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼=
−3+3∙ 1+8
9∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼≈
−3+3∙ 1+4
9∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼=
=−3+3+
4
3∙tg 2 𝛼
4 ∙tg 𝛼=
1
3∙ tg𝛼 , vagyis:
tg𝛽𝑜𝑝𝑡 ≈1
3∙ tg𝛼 → 𝛽𝑜𝑝𝑡 ≈
1
3∙ 𝛼 , ( 29 )
ha α „viszonylag kicsiny”. Minthogy az
1 + 𝑥 1/2 ≈ 1 +𝑥
2 ( 30 )
közelítő képlet előbbi alkalmazásánál
7
𝑥 =8
9∙ tg2 𝛼 > 0 , ( 31 )
így [ 3 ] szerint a ( 30 ) közelítés hibahatára 1,0 %, ha
0 < 𝑥 =8
9∙ tg2 𝛼 < 0,328 , ( 32 / 1 )
innen:
tg2 𝛼 < 0,328 ∙9
8= 0,369 → tg𝛼 < 0,369 = 0,6074 → 𝛼 < arctg 0,6074 = 31,27°,
tehát ha:
0° < 𝛼 < 31° . ( 32 / 2 )
Ez jól látszik a 3. ábrán is: α ≈ 30º - nál a pontos és a közelítő függvény görbéi szinte
teljesen egybeesnek, pedig ez már nem is olyan kicsiny szög.
Ennyit a „viszonylag kicsiny” - hez.
M2. Eddig a vitorláshajót hajtó szélerő számításának két modelljével ismerkedtünk meg:
itt, valamint az előző dolgozatban. Már ebből is sejthető, hogy ez még nem a vége.
Sok más, egyre bonyolultabb modell képzelhető el, és ezek bizonyára léteznek is. Ennek
több jelét is láttuk a szakirodalom nézegetése során. Ezek közül az egyik figyelemre méltó
„felkiáltás” az volt, amikor egy szakértő azt mondta, hogy meglepte őt a vitorlás szakiro -
dalomban forgalomban lévő hibás modellek megléte.
Egy másik jelét a sokféleségnek a [ 4 ] munkában találtuk. Itt egyáltalán nem foglalkoznak
a fenti – tolóhatáson alapuló – számítási modellel, hanem azt mondják, hogy a vitorláshajó
működése a Kutta ~ Zsukovszkij effektuson alapul. Eszerint egy henger körüli egyenletes
áramlás és cirkuláció együttes hatására fellép egy a hengerre ható olyan nyomóerő, mely
merőleges a henger körüli egyenletes áramlás irányára – 4. ábra.
4. ábra – forrása: [ 4 ]
A fellépő „nyomóerő” hosszirányú vetülete mozgatja a hajót.
8
M3. Természetesen eljön az idő, amikor majd „rendesen” tanítják a vitorláshajó működé -
sét, nem csak fizikusoknak. Gyanítjuk, hogy mostanság már készülnek ezek a tankönyvek;
meglehet, némelyikkel már találkoztunk is.
M4. A 3. ábrán a kék színű görbeszakasz a ( 28 / 1 ), a piros pedig a ( 28 / 2 ) függvénynek
felel meg.
M5. Az
𝐹1 = 𝑘 ∙ sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 , 𝑘 = 2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐2 > 0 ( 21 )
képletre nézve mondhatjuk, hogy ha azt akarjuk, hogy a hajó előre haladjon, akkor kell,
hogy az
𝐹1 > 0 ( 21 / 1 )
feltétel teljesüljön. Ehhez kell, hogy a
sin𝛽 > 0 → 0 < 𝛽 < 180° , sin2 𝛼 − 𝛽 > 0 → 𝛽 ≠ 𝛼 . ( 21 / 2 )
feltételek is teljesüljenek. Továbbá a 3. ábra szerinti optimális működés esetén:
𝛽 ≤𝛼
2 , ( 21 / 3 )
így ( 21 / 2 ) és ( 21 / 3 ) szerint oda jutunk, hogy
0 < 𝛽 ≤ 90° , ( 21 / 4 )
mivel az α szögtartományra vehető, hogy
0 ≤ 𝛼 ≤ 180°. ( 21 / 5 )
M6. Most megrajzoljuk a ( 21 ) szerinti
𝑓 𝛽;𝛼 =𝐹1
𝑘= sin𝛽 ∙ sin2 𝛼 − 𝛽 ( 21 / 6 )
függvényt az 𝛼 = 0°; 45°; 90°; 135°; 180° értékekre – 5. ábra.
Látjuk, hogy az első és az utolsó grafikon egybeesik.
Érdemes összehasonlítani a 3. és az 5. ábra szerinti eredményeket.
A 6. ábrán az előbb felsorolt szélirányokat mutatják, a vitorlák ( célszerű ) helyzetével
együtt. Az α ≈ 0º esetet már korábban megbeszéltük.
9
5. ábra
6. ábra – forrása: [ 2 ]
10
M7. Az [ 1 ] műben megemlítik, hogy a modell - mérések eredményei jó egyezésben áll -
nak a számításokkal. Feltéve, hogy a szél nem túlságosan erősen, állandó irányból válto -
zatlan sebességgel fúj. Ekkor ugyanis nem kell a vitorla körüli áramlási viszonyokkal fog -
lakozni – olvashatjuk ugyanott.
[ 1 ] - ben azt is szóba hozzák, hogy a hajón érzékelhető relatív szelet az árbocmerevítő
köteleken elhelyezett ún. széljelző fonalak jelzik. A vitorlák beállításánál ezek iránya a
mérvadó.
[ 1 ] - ből származik az alábbi érdekes gondolat is.
„A nagy tengeri vitorlásversenyek ma már nem csak a résztvevő sportolók versenyei, ha -
nem legalább annyira a háttérben maradó fizikusok, matematikusok, fejlesztőmérnökök
vetélkedői is.”
Ez a jelenség megfigyelhető a Formula 1 - ben is, ahol az egyik „sztártervező” hobbija
– teljesen véletlenül – a hajótervezés. Így megy ez.
M8. Érdemes lehet átnézni az [ 5 ] anyagot is. ( Ebben nincsenek képletek. Jó az nekik? )
Innen vettük a 7. ábrát, ahol az oldairányú csúszást szemléltetik. Ezt a ( 20 ) szerinti
7. ábra – forrása: [ 5 ]
oldalirányú erő okozza. Emiatt a hajó nem pontosan a kormányzott irányban halad.
M9. Megemlítjük még a [ 6 ] munkát is, ahol két vitorláshajós feladatot is találtunk,
megoldva. Az egyik a vitorla működésével foglakozik, végül a szögfelezős szabályhoz jut.
A másik a sebesség számításával foglalkozik.
M10. Akármilyen is a teljesítőképessége az egyszerűsített vitorlás - modelleknek, örülünk,
hogy vannak. Úgy is mondhatjuk, hogy megvan az a viszonyítási alap, amihez képest lehet
még fejlődni: mind a fizikai - matematikai elmélet, mind annak tanítása, illetve közkézre
adása tekintetében. Mint kiderült, nem valami jó az ellátottságunk, e témában sem. Persze,
van a külföldi szakirodalom, stb. Nekünk az a célszerű, ha magyarul és érthetően magya -
rázzák el a nem igazán könnyű elméleteket és azok alkalmazásait.
11
Források:
[ 1 ] – https://arago.elte.hu/sites/default/files/Mindennapok-fizikaja-07.pdf
[ 2 ] –
http://epa.niif.hu/00200/00220/00141/pdf/EPA00220_firka_2016-2017_03_001-006.pdf
http://epa.oszk.hu/00200/00220/00142/pdf/EPA00220_firka_2016-2017_04_001-006.pdf
[ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv
2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
[ 4 ] – Gombás Pál ~ Kisdi Dávid: Bevezetés az elméleti fizikába, 1. kötet
Akadémiai Kiadó, Budapest, 1971.
[ 5 ] – https://docplayer.hu/11368129-Tartalomjegyzek-a-vitorlazas-elmelete-40.html
[ 6 ] – Holics László: Versenyfeladatok
A fizika OKTV feladatai és megoldásai, 1961 - 1995.
Typotex, Budapest, 1995.
Összeállította: Galgóczi Gyula
ny. mérnöktanár
Sződliget, 2019. 12. 04.