MEETKUNDE VAN 2D VORMS HERSIENING:...

MEETKUNDE VAN 2D VORMS

HERSIENING: DRIEHOEKE

Algemeen:

Die som van die binnehoeke van enige driehoek is gelyk aan 180°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Gelyksydige driehoek

Al die sye van ‘n gelyksydige driehoek is ewe lank.

Al die hoeke van ‘n gelyksydige driehoek is ewe groot

(elkeen = 60°).

Gelykbenige driehoek

Twee sye van ‘n gelykbenige driehoek is ewe lank.

Twee hoeke van ‘n gelykbenige driehoek (die hoeke

oorkant die gelyke sye) is ewe groot.

Reghoekige driehoek

Een hoek in ‘n reghoekige driehoek = 90°.

Die sy oorkant die 90°-hoek word die skuinssy genoem.

In enige driehoek is die langste sy altyd oorkant die

grootste hoek. In ‘n reghoekige driehoek is die skuinssy

dus die langste sy.

Pythagoras se Stelling (kyk Eenheid 4.3):

[𝑠𝑦1]2 + [𝑠𝑦2]2 = [𝑠𝑘𝑢𝑖𝑛𝑠𝑠𝑦]2

∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

HERSIENING: VIERHOEKE

Algemeen:

Enige vierhoek kan in twee driehoeke verdeel word.

Ons weet die som van die binnehoeke van ‘n driehoek = 180°.

In ‘n vierhoek is die som van die binnehoeke dus 180° × 2 = 360°.

Parallelogram

Die teenoorstaande sye van ‘n parallelogram is ewe

lank.

Die teenoorstaande hoeke van ‘n parallelogram is ewe

groot

Die teenoorstaande sye van ‘n parallelogram is

ewewydig (parallel).

(Twee lyne is ewewydig as hulle altyd ewe ver van

mekaar af is.)

Die hoeklyne halveer mekaar.

Spesiale parallelogramme

Reghoeke, ruite en vierkante is spesiale parallelogramme. Hulle het al bogenoemde eienskappe asook die

volgende spesiale eienskappe.

Reghoek

Al die hoeke van ‘n reghoek is ewe groot (elkeen = 90°).

Ruit (rombus)

Al die sye van ‘n ruit is ewe lank.

Vierkant

Al die sye van ‘n vierkant is ewe lank.

Al die hoeke van ‘n vierkant is ewe groot (elkeen = 90°).

Ander vierhoeke

Trapesium

Een paar teenoorstaande sye (met ander woorde twee

sye) is ewewydig.

Vlieër

Twee pare aangrensende sye is gelyk.

Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk.

Gelykvormige figure

As twee figure gelykvormig is, het hulle dieselfde grootte hoeke, maar die een is ‘n vergroting van die ander. Soos die volgende drie pare figure:

Omdat die een figuur ‘n vergroting van die ander is, is hulle sye altyd in verhouding.

Voorbeeld 1 Kyk na die volgende figure en bespreek hulle gelykvormigheid.

Oplossing:

Driehoeke ABC en DEF is sigbaar gelykvormig. As jy na hulle sye kyk, kry jy die volgende:

2

1

24

12

DE

AB ;

2

1

14

7

EF

BC en

2

1

28

14

DF

AC

Gevolglik kan ons aflei dat ABC die helfde so groot is as DEF.

Die skaalfaktor = 2

1.

ABC is gevolglik gelykvormig aan DEF en in Wiskunde skryf ons ABC III DEF.

Kongruente figure As twee figure kongruent is, is hulle dieselfde in elke opsig. Hulle het gelyke hoeke en gelyke sye.

As twee figure kongruent is, sal ons dit as volg skryf ABC ≡ DEF.

MEETKUNDE VAN 3-D VOORWERPE

Prismas

‘n Prisma is ‘n 3D figuur wat plat kante het en ‘n konstante deursnit.

‘n Deursnit is die figuur wat jy kry as jy deur ‘n voorwerp sny (soos ‘n brood – of ‘n pakkie reghoekige of vierkantige koekies).

Die nette van prismas: Aangesien prismas plat kante het, bestaan die net van ‘n prisma uit twee kongruente figure (wat funksioneer as die “deksels”) en reghoeke of soms vierkante. Driehoekige prisma

‘n Driehoekige prisma is ‘n 3D figuur met twee driehoeke as sy basis. Dit kan enige soort driehoek wees; reghoekig; gelykbenig; ongelyksydig of gelyksydig. Die net van ‘n driehoekige prisma.

Die net van ‘n driehoekige prisma bestaan uit twee driehoeke en drie reghoeke.

Reghoekige prismas

‘n Reghoekige prisma is ‘n 3D figuur met twee reghoeke as sy basis.

Die net van ‘n reghoekige prisma.

Omdat die sye van ‘n reghoekige prisma ook reghoekig is (of vierkantig), bestaan die net uit ses reghoeke. Enige van die sye kan dien as die basis van ‘n reghoekige prisma.

Ander prismas en hulle nette:

Pentagonale prisma (Vyfhoekige prisma)

Die net van ‘n pentagonale prisma.

Heksagonale prisma (Seshoekige prisma)

Die net van ‘n heksagonale prisma.

‘n Baie spesiale prismas: Kubus/ sesvlak/ heksaëder

‘n Kubus het twee vierkante as sy basis, maar al die ander kante is ook vierkante.

Die net van ‘n kubus.

Die net van ‘n kubus bestaan uit ses kongruente vierkante en kan gevolglik op elf maniere gerangskik word!

Piramides

‘n Piramide is ‘n 3D figuur waarvan die basis ‘n veelhoek (poligoon) is. Die sye is driehoeke wat op die toppunt ontmoet.

Driehoekige piramide/ viervlak/ tetraëder. Die net van ‘n driehoekige piramide.

Vierkantige piramide (soos die piramides in Egipte)

Die net van ‘n vierkantige piramide.

Pentagonale piramide Die net van ‘n pentagonale piramide.

Reëlmatige veelvlakke

‘n Reëlmatige veelvlak is ‘n 3D figuur waarvan elke vlak ‘n kongruente reëlmatige veelhoek is en dieselfde aantal veelhoeke by elke hoekpunt ontmoet. Die algemene reël is: h – r + v = 2, waar h = aantal hoekpunte; r = aantal rande; v = aantal vlakke

Tetraëder/ viervlak/ driehoekige piramide

3 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt 4 Hoekpunte 6 Rande 4 Vlakke 4 – 6 + 4 = 2

Die verskeidenheid nette van ‘n tetraëder word hierbo gewys.

Heksaëder/ sesvlak/ kubus 3 vierkante ontmoet by elke hoekpunt 8 Hoekpunte 12 Rande 6 Vlakke 8 – 12 + 6 = 2

Sommige van die verskeidenheid nette van ‘n heksaëder word hierbo gewys.

Oktaëder/ agtvlak Net van ‘n oktaëder. 4 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt

6 Hoekpunte 12 Rande 8 Vlakke 6 – 12 + 8 = 2

Dodekaëder/ twaalfvlak Net van ‘n dodekaëder. 3 pentagone ontmoet by elke hoekpunt


Ikosaëder/ twintigvlak Net van ‘n ikosaëder. 5 driehoeke ontmoet by elke hoekpunt


MEETKUNDE VAN REGUIT LYNE

Skerphoek

Tussen 0° en 90°.

Regte hoek

90°

Stomphoek

Tussen 90° en 180°.

Gestrekte hoek/ Reguitlyn/ Supplementêre ∠𝑒

180° (reguit lyn)

Inspringende hoek

Tussen 180° en 360°.

Omwenteling

360°

Komplementêre hoeke

Gee saam 90°.

∠1 + ∠2 = 90°

Supplementêre hoeke

Gee saam 180°.

∠1 + ∠2 = 180°

Regoorstaande hoeke

∠1 = ∠2 ∠3 = ∠4

Loodregte lyne

𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷

Parallelle lyne

𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷

Verwisselende hoeke

∴ ∠𝐵1 = ∠𝐸2 (verwisselende ∠𝑒; 𝐴𝐶 ∥ 𝐷𝐹)

Ooreenkomstige hoeke

∴ ∠𝐵2 = ∠𝐸2 (ooreenkomstige ∠𝑒; 𝐴𝐶 ∥ 𝐷𝐹)

Ko-binnehoeke

∴ 𝑥 + 𝑦 = 180° (ko-binne ∠𝑒; 𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐶)

Binnehoeke van ’n driehoek =𝟏𝟖𝟎°

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180°

Hoeke van ’n gelykbenige driehoek

∠𝐵 = ∠𝐶

Hoeke van ’n gelyksydige driehoek

∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60°

Buitehoek van ‘n driehoek = die som van die teenoorstaande binnehoeke

𝑧 = 𝑥 + 𝑦 (buite ∠ van ∆)

Reghoekige driehoek

Het een hoek = 90°.

Skerphoekige driehoek

Al die hoeke is skerphoeke.

Stomphoekige driehoek

Een hoek is ‘n stomphoek.

Ongelyksydige driehoek

Al die sye het verskillende lengtes.

Vierhoek

Die som van die binnehoeke van ‘n vierhoek is 360°.

Trapesium

1. Slegs een paar

teenoorstaande sye is parallel.

Parallellogram

1. Beide teenoorstaande sye is

parallel. 2. Beide teenoorstaande sye is

gelyk. 3. Beide pare teenoorstaande

hoeke is gelyk.

Ruit / Rombus

1. Alle eienskappe van ‘n

parallelogram geld ook hier. 2. Alle sye is gelyk.

Reghoek


parallelogram geld ook hier. 2. Al die hoeke is 90°.

Vierkant


parallelogram geld ook hier. 2. Al die hoeke is 90°. 3. Alle sye is gelyk.

Voorbeelde

1. Beskou die volgende figuur en bepaal (met redes) die grootte van 𝑎 en 𝑏.

Oplossing

𝑎 = 40° (regoorstaande ∠𝑒) 𝑏 = 180° − 40° (aangrensende supplementêre ∠𝑒)

= 140°

2. Bereken (met redes) die grootte van 𝑎 en 𝑏.

Oplossing

METODE 1 METODE 2

𝑎 = 30° (regoorstaande ∠𝑒) 𝑎 = 30° (regoorstaande ∠𝑒)

𝑏 = 30°

(ooreenkomstige ∠𝑒; 𝐴𝐵 ∥ 𝐹𝐷) 𝑏 = 30°

(verwisselende ∠𝑒; 𝐴𝐵 ∥ 𝐹𝐷)

3. Bereken die onbekendes in elk van die volgende:

Oplossings:

3.1 3.1 𝑥 + 130° = 180° (ABC ’n reguit lyn)

𝑥 = 180° − 130° = 50°

3.2 3.2 𝑥 + 100° + 125° = 360° (omwenteling = 360°)

𝑥 = 360° − 100° − 125° = 135°

3.3 3.3 𝑥 + 2𝑥 + 105° = 180° (ABC ’n reguit lyn)

3𝑥 = 180° − 105° 3𝑥 = 75° 𝑥 = 25°

3.4 3.4 𝑥 = 75° (regoorstaande ∠𝑒)

𝑦 + 75 = 180° (gestrekte ∠) 𝑦 = 180° − 75° = 105°

3.5 3.5 𝑥 + 115° = 180° (ko-binne ∠𝑒; AC ∥ DG)

𝑥 = 180° − 115° = 65° 𝑦 = 41° (verwiss. ∠e; AC ∥ DG)

3.6 3.6 𝑥 = 45° (verwiss. ∠e; AE ∥ BD)

𝑧 = 55° (ooreenkomstige ∠e;AE ∥ BD) 𝑦 + 55° + 45° = 180° (ABC ’n reguit lyn)

𝑦 = 180° − 55° − 45° 𝑦 = 80°

ONTHOU!

Skryf dadelik die hoek wat jy gekry het op jou skets neer, sodat jy dit weer kan gebruik.

Skryf met ‘n potlood.

Skryf altyd ‘n rede by jou antwoord.

TRANSFORMASIE MEETKUNDE

1. TRANSLASIES:

’n Translasie/ gly is wanneer ’n punt(e) op die Cartesiese vlak geskuif word.

1.1 Translasie van A na A’ deur 3 eenhede na links te beweeg.

1.2 Translasie van B na B’ deur 2

eenhede links en 3 eenhede af te beweeg.

1.3 Skuif R(2;4) volgens die volgende

translasiereël na R’: (𝑥; 𝑦) → (𝑥 − 2; 𝑦 − 3)

R’ = (2 − 2; 4 − 3)

= (0; 1)

2. REFLEKSIES:

’n Refleksie is ’n spieëlbeeld van ’n punt om ’n simmetrie-as.

2.1 Dui die refleksie van A om die 𝑥-as aan. Noem dit B.

2.2 Teken die refleksie van die reghoek A om die 𝑦-as. Noem dit B.

3. VERGROTING:

Beskou die volgende figuur met sylengtes 1 cm.

3.1 Bereken die oppervlakte van die figuur.

3.2 Vergroot die sye van die vierkant in die verhouding 1:2.

3.3 Bereken die nuwe figuur se oppervlakte.

3.4 Wat is die verhouding tussen die oppervlakte van die eerste figuur en dié van die tweede?

Oplossing

3.1 Oppervlakte = 1 𝑐𝑚2

3.2 Vergroting: nuwe sylengtes is 2 cm

3.3 Oppervlakte = 4 𝑐𝑚2

3.4 1:4

4. VERKLEINING:

Beskou die driehoek hierbo met sylengtes 8 cm en 10 cm.

4.1 Bereken die oppervlakte van die figuur.

4.2 Verklein die sye van die driehoek in die verhouding 2:1.

4.3 Bereken die nuwe driehoek se oppervlakte.

4.4 Wat is die verhouding tussen die oppervlakte van die eerste driehoek en dié van die tweede?

Oplossing

4.1 Oppervlak =1

2(10)(8) 𝑐𝑚2 = 40 𝑐𝑚2

4.2 Verkleining:

4.3 Oppervlak =1

2(5)(4) 𝑐𝑚2 = 10 𝑐𝑚2

4.4 4:1

KONSTRUKSIE EN METING

ONTHOU!

Gebruik ’n liniaal en skerp potlood.

Werk uiters akkuraat.

Hoogtelyn / loodlyn van ‘n driehoek

CD is ’n hoogtelyn van ΔABC.

CD⊥AB.

Swaartelyn / mediaan

CD is die swaartelyn van ΔABC. AD = DB.

Konstruksie Metode Oplossing

1. Lynsegment

Trek ’n lynsegment van 40 mm.

(a) (b) (c) (d)

Trek ’n lang lyn. Merk A. Meet 40 mm af op liniaal met passer. Sit passerpunt op A en kap af by B.

2. Hoeke

Konstrueer ’n hoek

van 50°. (a) (b) (c) (d)

Trek lyn AB. Sit middelpunt van gradeboog by A. Merk C af by 50°. Verbind AC.

3. Halvering van ’n hoek

Halveer ∠CAB. (a) (b) (c)

Sit passerpunt by A en maak ’n bogie om AC en AB te sny. Sit passerpunt onderskeidelik by snypunte AC en AB en maak nog 2 kruisboë wat mekaar kruis om punt X te vorm. Verbind punt A met X.

4. Middelloodlyn

Trek ’n middelloodlyn op AB.

(a) (b) (c)

Plaas passer op punt A en maak kruisboog wat lyn AB sny, met die snypunt nader aan punt B as aan punt A. Sonder om die passer te verstel, plaas die passer op punt B en maak ‘n kruisboog wat lyn AB sny. Verbind die 2 punte waar die boë mekaar kruis.

5. Loodlyn vanaf ’n punt op ’n lyn

Trek AB. Plaas punt C enige posisie op lyn AB.

Trek XC⊥AB.

(a) (b) (c) (d)

Sit passerpunt op C en maak bogies op AB aan weerskante van C. Sit passerpunt op die eerste snypunt van die lyn AB en maak ‘n boog aan die bokant van die lyn AB. Sonder om die passer te verstel, plaas die passer op die ander snypunt op die lyn AB en maak nog ‘n boog aan die bokant van lyn AB sodat die twee boë in X sny. Verbind X met C.

6. Loodlyn vanaf ‘n punt buite ‘n lyn

Konstrueer XC⊥AB. (a) (b) (c)

Sit passerpunt op X en maak ’n bogie om AB te sny in twee punte. Maak ’n kruisboog vanaf albei snypunte aan die ander kant van AB as X en noem dit C. Verbind X met die kruisboog, C.

7. Konstrueer 𝟔𝟎°-hoek sonder ‘n gradeboog

Konstrueer ∠ABC =60° Dui die hoek aan op die skets.

(a) (b)(c) (d) (e)

Trek lyn AB. Meet AB met passer. Sonder om passer te verstel, plaas passerpunt op A en maak boog aan bokant van AB. Plaas passerpunt op B en maak kruisboog in C. Verbind B en C.

8. Konstrueer 𝟑𝟎°-hoek sonder ‘n gradeboog

Konstrueer ∠ABD =30° Dui die hoek aan op die skets.

(a) (b)

Kontrueer ∠ABC = 60°. Halveer ∠ABC sodat ∠ABD = 30°.

9. Konstrueer 𝟒𝟓°-hoek sonder ‘n gradeboog

Konstrueer ∠ABC =45° Dui die hoek aan op die skets.

(a) (b) (c) (d)

Trek AB = 50mm. Trek loodlyn op A. Kap 50mm op loodlyn vanaf A af en noem die snypunt C. Verbind B en C.

10. ΔABC met 3 sylengtes gegee:

AB 40 mm; AC 50 mm; BC 60 mm.

(a) (b) (c)

Trek AB = 40 mm. Met passerpunt by B, maak ’n boog van 60 mm. Met passerpunt by A, maak ’n boog van 50 mm. Waar hulle sny, is punt C. Verbind A met C en B met C.

11. ΔABC met ’n sy en twee hoeke gegee

AB 40 mm; ∠A = 40°; ∠B = 50°.

(a) (b) (c) (d)

Trek AB = 40 mm. Meet ’n 40°-hoek by A af met gradeboog.

Meet ’n 50°-hoek by B af met gradeboog. Waar lyne gekonstrueer in (b) en (c) sny, is C. Verbind A met C en B met C.

12. ΔABC met twee sye en ’n hoek gegee

AB 40 mm; AC 65 mm; ∠A = 100°.

(a) (b) (c) (d)

Trek AB = 40mm. Meet ’n 100°-hoek by A met ‘n gradeboog af. Vanaf A, kap C af op lyn gekonstrueer in (b) met AC = 65 mm. Verbind C en B.

13. ΔABC met ’n 𝟗𝟎°-hoek, ’n sy en die skuinssy gegee

AB 30 mm;

∠B = 90°; AC 50 mm.

(a) (b) (c) (d)

Trek AB = 30 mm. Gebruik ’n passer om ’n stippelloodlyn by B te trek. Trek loodlyn onbepaald hoog. Vanaf A, kap C af op loodlyn met AC = 50mm. Verbind B en C.

MEETKUNDE VAN 2D VORMS HERSIENING:...

Documents

Transcript of MEETKUNDE VAN 2D VORMS HERSIENING:...