meetkunde formules.pdf

22
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde 1 Axioma’s 2 Rechten en hoeken 3 Driehoeken 4 Vierhoeken 5 De cirkel 6 Veelhoeken 7 Analytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules van de eerste en de tweede graad. Wat je gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.

Transcript of meetkunde formules.pdf

  • Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

    1 Axiomas

    2 Rechten en hoeken

    3 Driehoeken

    4 Vierhoeken

    5 De cirkel

    6 Veelhoeken

    7 Analytische meetkunde

    Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules van de eerste en de tweede graad.

    Wat je gezien hebt, is aangeduid met een kruisje in een vierkantje.

  • 1 Axioma's

    Twee punten bepalen juist n rechte.

    Axioma punt-rechte A

    B

    a

    Door elk punt van het vlak dat niet op een rechte ligt, kan

    men juist n rechte tekenen die evenwijdig is met de

    gegeven rechte.

    Axioma van Euclides

    P

    a

    b

    Door elk punt van het vlak kan men juist n rechte tekenen loodrecht op een gegeven rechte.

    Axioma van de loodrechte stand a

    P

    b

    Een rechte die twee punten gemeenschappelijk heeft met

    een vlak ligt in dat vlak.

    Axioma rechte - vlak

    Drie niet-collineaire punten bepalen n vlak. Axioma punt - vlak

  • 2 Rechten en hoeken

    Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte,

    dan zijn die twee rechten evenwijdig. a

    c

    b

    // en // //b a c a b c

    Als een rechte n van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt ze ook de andere.

    a

    b

    c // en //b a c //a c b

    Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn die twee rechten evenwijdig.

    a

    c

    b

    en //b a c a b c

    Als twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan staat elke rechte die evenwijdig is met n van deze rechten loodrecht

    op de andere.

    b

    a

    c

    en //a b c a c b

    Overstaande hoeken zijn gelijk. A

    12

    =1 2 A A

    Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan zijn

    1 twee overeenkomstige hoeken gelijk,

    2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk,

    3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk,

    4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

    elkaars supplement,

    5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

    elkaars supplement.

    b

    a

    c

  • Omgekeerde stelling Als bij twee rechten gesneden door een rechte

    1 twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zijn de twee

    rechten evenwijdig,

    2 twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn, dan zijn de

    twee rechten evenwijdig,

    3 twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn, dan zijn de

    twee rechten evenwijdig,

    4 twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

    elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten

    evenwijdig,

    5 twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn

    elkaars supplement zijn, dan zijn de twee rechten

    evenwijdig.

    Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk a.s.a.

    het punt even ver ligt van de grenspunten van het lijnstuk.

    Kenmerk van de middelloodlijn

    A BM

    P

    m

    =

    ligt op ml

    P AB

    PA PB

    Een punt ligt op een deellijn van twee snijdende rechten a.s.a.

    het punt even ver ligt van de snijdende rechten.

    Kenmerk van de deellijn

    a

    b

    P

    ligt op een deellijn van de

    snijdende rechten en

    P

    a b

    Pa Pb=

    Een spiegeling, een verschuiving, een draaiing en een puntspiegeling bewaren de afstand

    het midden van een lijnstuk,

    de evenwijdigheid,

    de loodrechte stand.

    Een hoek en zijn spiegelbeeld zijn tegengesteld. Een hoek en zijn schuifbeeld, zijn draaibeeld en zijn puntspiegelbeeld zijn gelijk.

  • Het spiegelbeeld, het schuifbeeld, het draaibeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte.

    Het schuifbeeld en het puntspiegelbeeld van een rechte is een rechte met dezelfde richting.

    Het projectiebeeld van een rechte, die geen rechte is van de projectierichting, is de projectieas.

    Het projectiebeeld van een rechte van de projectierichting

    is het snijpunt van de rechte en de projectieas.

    x

    y ab

    S

    ( )( )

    =

    =

    yx

    yx

    p a x

    p b S

    Het projectiebeeld van een lijnstuk, waarvan de drager geen rechte is van de projectierichting, is een lijnstuk dat

    bepaald is door de projectiebeelden van de grenspunten

    van het lijnstuk.

    Het projectiebeeld van een lijnstuk waarvan de drager

    een rechte is van de projectierichting, is het snijpunt van

    de drager van het lijnstuk en de projectieas.

    x

    y

    S

    C

    D

    A

    B

    A'

    B'

    ( )( )

    =

    =

    ' 'yxyx

    p AB A B

    p CD S

    Een projectie bewaart de verhouding van evenwijdige lijnstukken. A

    C

    A'

    y

    x

    B

    B' C'

    D

    D'

    = ' '

    //' '

    AB A BAB CD

    CD C D

    De projectiebeelden van evenwijdige en even lange lijnstukken zijn even lang. A

    C

    A'

    y

    x

    B

    B' C'

    D

    D' =

    =

    //

    ' ' ' '

    AB CD en AB CD

    A B C D

    Een projectie bewaart het midden. A

    A'

    y

    x

    B

    B'

    M

    M'

    is het midden van

    ' is het midden van ' '

    M AB

    M A B

  • Drie evenwijdige rechten bepalen op twee snijlijnen evenredige lijnstukken.

    Stelling van Thales A

    BC

    M N P

    a b c

    x

    y

    =// //AB MN

    a b cBC NP

    Als een rechte twee lijnstukken, waarvan de grenspunten op twee evenwijdige rechten liggen, in evenredige lijnstukken

    verdeelt, dan is deze rechte evenwijdig met de rechten door

    de grenspunten.

    Omgekeerde stelling van Thales

    AB

    C

    x

    y

    PNM

    //

    // //

    AB MNAM CP en

    BC NP

    BN AM CP

    =

    Een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn gelijkvormig.

    In een figuur en een homothetiebeeld ervan zijn de overeenkomstige zijden evenwijdig.

    Het eerste cordinaatgetal van het beeldpunt van een hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de cosinus

    van de hoek.

    Het tweede cordinaatgetal van het beeldpunt van een

    hoek op de goniometrische cirkel, noemt men de sinus

    van de hoek.

    Het quotint van de sinus en de cosinus van een hoek,

    noemt men de tangens van de hoek.

    Voor elke hoek geldt: 2 2sin cos 1 + = .

    Hoofdformule goniometrie

    ( )cos 90 sin = ( )sin 90 cos = ( ) 1tan 90

    tan

    =

    Goniometrische getallen van

    complementaire hoeken

  • ( )cos 180 cos = ( )sin 180 sin = ( )tan 180 tan =

    Goniometrische getallen van

    supplementaire hoeken

    Een vlak wordt bepaald door:

    drie niet-collineaire punten,

    een rechte en een punt buiten de rechte,

    twee snijdende rechten,

    twee evenwijdige rechten.

    ( )vl ,A a =

    ( )vl ,a b =

    ( )vl ,a b = Als n van twee evenwijdige rechten een vlak snijdt, dan

    snijdt de andere rechte ook dat vlak.

    // en |a b a |b

    Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan ligt de rechte die door een punt van dat vlak gaat en evenwijdig is met de

    gegeven rechte volledig in dat vlak.

    // en ligt in

    gaat door en //

    ligt in

    a A

    b A b a

    b

    Als een rechte a niet in een vlak ligt, maar evenwijdig is met een rechte van het vlak , dan is de rechte a

    evenwijdig met het vlak .

    //

    ligt niet in

    ligt in

    //

    a b

    a

    b

    a

  • Als een vlak n van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt het ook het andere vlak.

    | en // |

    Als een vlak twee evenwijdige vlakken snijdt, dan zijn de snijlijnen evenwijdig.

    | met snijlijn |

    a

    met snijlijn //

    //

    b

    a b

    Als een rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten van een vlak, dan is deze rechte een loodlijn op dat vlak.

    en

    |

    AE AB AE AD

    AB

    ( )vl , ,AD

    AE A B D

    Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als in het ene vlak een rechte ligt die loodrecht staat op het andere vlak.

    ( )( ) ligt in vl , ,

    vl , ,

    AE

    AE A E G

    A E G

  • 3 Driehoeken

    De som van de hoeken van een driehoek is 180. A

    BC + + = 180A B C

    Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de

    niet-aanliggende binnenhoeken.

    A

    BC

    1

    = +1 A B C

    In een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn op de basis ook

    de deellijn van de tophoek,

    de zwaartelijn naar de basis,

    de middelloodlijn van de basis.

    C B

    A

    M

    Een driehoek is gelijkbenig

    a.s.a.

    twee hoeken van de driehoek gelijk zijn.

    Kenmerk gelijkbenige driehoek

    C B

    A

    =

    ABC is gelijkbenig

    B C

    Een driehoek is gelijkzijdig a.s.a.

    alle hoeken van de driehoek gelijk zijn.

    Kenmerk gelijkbenige driehoek

    C B

    A

    ABC is gelijkzijdig

    A B C

    = =

  • Als een paar zijden van twee driehoeken even lang is en de

    twee paar aanliggende hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

    congruent.

    Congruentiekenmerk HZH A

    BC

    K

    LM

    Als twee paar zijden van twee driehoeken even lang zijn en

    de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

    congruent.

    Congruentiekenmerk ZHZ A

    BC

    K

    LM

    Als de drie paar zijden van twee driehoeken even lang zijn,

    dan zijn de driehoeken congruent.

    Congruentiekenmerk ZZZ A

    BC

    K

    LM

    Als de schuine zijden van twee rechthoekige driehoeken en

    een paar rechthoekszijden even lang zijn, dan zijn de

    driehoeken congruent.

    Congruentiekenmerk voor rechthoekige driehoeken.

    A

    B

    C

    K

    L

    M

    Een rechte die evenwijdig is met een zijde van een driehoek,

    bepaalt met de andere zijden een driehoek die gelijkvormig is

    met de gegeven driehoek.

    A

    BC

    L K

    met //

    ABC KL BC

    ABC AKL

  • Als twee paar hoeken van twee driehoeken gelijk zijn, dan

    zijn de driehoeken gelijkvormig.

    Gelijkvormigheidskenmerk HH

    A

    BC

    K

    M L

    =

    =

    A K

    B L

    ABC KLM

    Als twee paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn en

    de ingesloten hoeken gelijk, dan zijn de driehoeken

    gelijkvormig.

    Gelijkvormigheidskenmerk ZHZ

    A

    BC

    K

    M L

    =

    =

    A K

    AB AC

    KL KM

    ABC KLM

    Als de drie paar zijden van twee driehoeken evenredig zijn,

    dan zijn de driehoeken gelijkvormig.

    Gelijkvormigheidskenmerk ZZZ

    A

    BC

    K

    M L

    = =

    AB BC AC

    KL LM KM

    ABC KLM

    De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan een

    gelijkvormigheidsfactor.

    De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het

    kwadraat van een gelijkvormigheidsfactor.

    De verhouding van de inhouden van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de derdemacht

    van een gelijkvormigheidsfactor.

  • Het lijnstuk bepaald door de middens van twee zijden van

    een driehoek is een middenparallel van de driehoek.

    In een driehoek is een middenparallel evenwijdig met en

    half zo lang als de derde zijde.

    A

    BC

    KL

    =

    is een middenparallel

    van

    1// en

    2

    KL

    ABC

    KL BC KL BC

    De rechte door het midden van een zijde van een driehoek,

    evenwijdig met een tweede zijde, gaat door het midden van

    de derde zijde.

    A

    BC

    KL

    is het midden van

    en //

    is het midden van

    K AB

    KL BC

    L AC

    In een driehoek verdeelt het zwaartepunt elke zwaartelijn in

    twee stukken waarvan het ene tweemaal zo lang is als het

    andere.

    A

    BC

    KM

    L

    Z

    = =

    =

    is het zwaartepunt

    van

    2 , 2 ,

    2

    Z

    ABC

    AZ LZ BZ ZM

    CZ ZK

    In een driehoek verdeelt de deellijn van een hoek de

    overstaande zijde in twee lijnstukken die zich verhouden

    zoals de aanliggende zijden.

    A

    BCD

    =

    =

    met dlABC AD A

    CD AC

    BD AB

  • In een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de

    schuine zijde half zo lang als de schuine zijde.

    A

    B

    C

    M

    =

    =

    met 90 en

    zwaartelijn

    1

    2

    ABC A

    AM

    AM BC

    Als de zwaartelijn naar een zijde van een driehoek half

    zolang is als deze zijde, dan is de driehoek rechthoekig.

    A

    B

    C

    M

    =

    met zwaartelijn

    1en

    2

    is rechthoekig

    ABC AM

    AM BC

    ABC

    In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte

    op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken

    waarin ze de schuine zijde verdeelt. A

    B

    C

    H

    2

    met 90

    en hoogte

    ABC A

    AH

    AH BH CH

    =

    =

    In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een

    rechthoekszijde gelijk aan het product van de schuine zijde

    en de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de

    schuine zijde. A

    B

    C

    H

    =

    =

    =

    2

    2

    met 90

    en hoogte

    ABC A

    AH

    AB BC BH

    AC BC CH

    In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine

    zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de

    rechthoekszijden.

    Stelling van Pythagoras A

    B

    C

    =

    = +2 2 2

    met 90ABC A

    BC AB AC

  • Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan

    de som van de kwadraten van de andere zijden, dan is de

    driehoek rechthoekig.

    Omgekeerde stelling van Pythagoras X

    Y

    Z

    = +

    2 2 2

    is rechthoekig

    YZ XY XZ

    XYZ

    In een rechthoekige driehoek is

    de overstaande rechthoekszijdesinus

    schuine zijde =

    de aanliggende rechthoekszijde

    cosinusschuine zijde

    =

    de overstaande rechthoekszijde

    tangensde aanliggende rechthoekszijde

    =

    Goniometrische getallen van een scherpe hoek

    A

    B

    C

    sin

    cos

    tan

    AC

    BC

    AB

    BC

    AC

    AB

    =

    =

    =

    In een rechthoekige driehoek met scherpe hoek geldt: + =2 2sin cos 1

    =

    sintan

    cos

    1 1 1A sin sin sin2 2 2ABCb c a c a b = = =

    In ABC geldt: sin sin sin

    a b c

    = = .

    Sinusregel

    In ABC met omgeschreven cirkel ( ),M rc geldt:

    2sin sin sin

    a b cr= = =

    .

    In ABC geldt:

    2 2 2 2 cosa b c bc = +

    2 2 2 2 cosb a c ac = +

    2 2 2 2 cosc a b ab = +

    Cosinusregel

  • De drie middelloodlijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt.

    Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van een

    driehoek noemen we het middelpunt van de driehoek.

    De cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek

    noemen we de omgeschreven cirkel van de driehoek.

    De drie hoogtelijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt.

    Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek

    noemen we het hoogtepunt van de driehoek.

    De drie deellijnen van een driehoek hebben een gemeenschappelijk punt.

    Het snijpunt van de drie deellijnen van een driehoek

    noemen we het deelpunt van de driehoek.

    De cirkel die de drie zijden van een driehoek raakt,

    noemen we de ingeschreven cirkel van de driehoek.

  • 4 Vierhoeken

    De som van de hoeken van een vierhoek is 360.

    A

    B

    C

    D

    + + + = 360A B C D

    Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.

    A

    B C

    D

    Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de aanliggende hoeken van een basis gelijk zijn.

    A

    B C

    D

    Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn.

    A

    B C

    D

    Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke hoeken.

    A

    B C

    D

    Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. A

    B

    C

    D

    Een vierkant is een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier

    even lange zijden.

    A

    B C

    D

    Een vierhoek is een parallellogram

    a.s.a.

    de overstaande zijden even lang zijn.

    Zijden-kenmerk parallellogram A

    B C

    D

    = =

    is een parallellogram

    ABCD

    AB CD en AD BC

  • Een vierhoek is een parallellogram

    a.s.a.

    twee overstaande zijden evenwijdig zijn en even lang.

    Overstaande zijden-kenmerk parallellogram A

    B C

    D

    =

    is een parallellogram

    //

    ABCD

    AB CD en AB CD

    Een vierhoek is een parallellogram

    a.s.a.

    de overstaande hoeken gelijk zijn.

    Hoeken-kenmerk parallellogram A

    B C

    D

    = =

    is een parallellogram

    ABCD

    A C en B D

    Een vierhoek is een parallellogram

    a.s.a.

    de diagonalen elkaar middendoor snijden.

    Diagonalen-kenmerk parallellogram A

    B C

    D

    M

    = =

    is een parallellogram

    ABCD

    AM CM en BM DM

    Rechthoek

    In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig en even lang.

    In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en snijden ze elkaar middendoor.

    Ruit

    In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.

    In een ruit zijn de overstaande hoeken gelijk.

    In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en snijden ze elkaar middendoor .

    Vierkant

    Een vierkant is een parallellogram, een rechthoek en een ruit. Een vierkant bezit dus alle

    eigenschappen van deze vlakke figuren.

    Trapezium

    Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een

    basis gelijk zijn, dan zijn de aanliggende hoeken van de

    andere basis ook gelijk.

    Als in een trapezium de aanliggende hoeken van een

    basis gelijk zijn, dan zijn de opstaande zijden even lang.

    A

    B C

    D trapezium met

    en

    ABCD A D

    B C AB CD

    =

    = =

  • 5 Cirkels

    Door drie niet-collineaire punten gaat juist n cirkel.

    Een middellijn van een cirkel is een symmetrieas van de cirkel.

    Het middelpunt van een cirkel is het

    symmetriecentrum van de cirkel.

    Symmetrie bij een cirkel

    Voor een koorde van een cirkel, die geen middellijn is, geldt:

    de middelloodlijn van de koorde is een middellijn van

    de cirkel;

    de middellijn die loodrecht op de koorde staat, snijdt

    de koorde middendoor;

    de middellijn die de koorde middendoor snijdt, staat

    loodrecht op de koorde.

    Stellingen koorde-middellijn

    Het apothema van een koorde deelt de koorde middendoor.

    is het apothema van

    is het midden van

    MV AB

    V AB

    Voor elke twee koorden van een cirkel geldt: de koorden zijn even lang

    de apothema's van de koorden zijn even lang.

    Kenmerk koorde-apothema AB DE MV MZ= =

    Een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van een cirkel is, noemt men een middelpuntshoek van de

    cirkel.

    Een hoek waarvan het hoekpunt op een cirkel ligt en

    waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men een

    omtrekshoek van de cirkel.

  • Een omtrekshoek van een cirkel is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog.

    1

    2D M=

    Alle omtrekshoeken van een cirkel die op dezelfde boog staan zijn gelijk.

    1

    1...

    2= = = =D E F M

    Een omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht.

    1

    1 1180 90

    2 2= = = D M

    Een hoek waarvan het hoekpunt buiten een cirkel ligt en waarvan de benen de cirkel snijden, noemt men

    een buitenomtrekshoek van de cirkel.

    Een hoek waarvan het hoekpunt binnen een cirkel ligt,

    noemt men een binnenomtrekshoek van de cirkel.

    Een buitenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan het halve verschil van de middelpuntshoeken die op dezelfde

    bogen staan.

    ( )1 212A M M= Een binnenomtrekshoek van een cirkel is gelijk aan de

    halve som van de middelpuntshoeken die op dezelfde

    bogen staan.

    ( )1 1 212A M M= +

  • Voor twee koorden van een cirkel en de bijbehorende kleinste middelpuntshoeken geldt:

    de middelpuntshoeken zijn gelijk

    de koorden zijn even lang.

    Kenmerk koorde-middelpuntshoek

    1 2O O AB CD= =

    Het product van de afstanden van een punt tot de snijpunten van een cirkel en een willekeurige rechte door

    dat punt is constant.

    Dit constante getal noemen we de macht van het punt

    ten opzichte van de cirkel.

    PA PB PC PD =

    Een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, noemt men een koordenvierhoek.

    De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn

    supplementair.

    180D F+ = en 180E G+ =

    Als twee cirkels raken, dan ligt het raakpunt op de centraal van de twee cirkels.

    ( ) ( ), , en raken in

    ligt op

    O r M sc c A

    A OM

  • Een rechte en een cirkel kunnen geen, n of twee punten gemeenschappelijk hebben.

    Een rechte s en een cirkel ( ),M rc hebben twee punten

    gemeenschappelijk Ms r < .

    Een rechte t en een cirkel ( ),M rc hebben n punt

    gemeenschappelijk Mt r = .

    Een rechte u en een cirkel ( ),M rc hebben geen punten

    gemeenschappelijk >Mu r .

    Afstand van het middelpunt van een

    cirkel tot een rechte

    Voor een rechte, een cirkel en een punt A van de cirkel geldt:

    de rechte is een raaklijn aan de cirkel in een punt A

    de rechte staat in A loodrecht op de middellijn door A

    Kenmerk raaklijn aan een cirkel

    ( ), raakt in A t MAM rt c

    De afstanden van het punt, waaruit men de raaklijnen aan een cirkel tekent, tot de raakpunten zijn gelijk.

    De rechte die een punt buiten de cirkel verbindt met

    het middelpunt is een deellijn van de hoek gevormd

    door de raaklijnen uit dat punt aan de cirkel.

    Eigenschappen van de raaklijnen uit een punt

    c (M,r)

    M

    A

    B

    P

    12

    ( )

    ( )

    ,

    ,

    1 2

    raakt in

    raakt in

    en

    M r

    M r

    PA c A

    PB c B

    PA PB P P

    = =

    De kleinste hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de helft van de kleinste middelpuntshoek op

    die koorde.

    1 1

    1

    2A M=

  • 7 Regelmatige veelhoeken

    De som van de hoeken van een hoekn is ( )2 180n .

    Voor een regelmatige hoekn met straal r is

    de hoek ( )2 180n

    n

    ,

    de lengte van de zijde 180

    2 sinnz r n

    = ,

    de lengte van het apothema 180

    cosna r n

    = ,

    de omtrek 180

    2 sinnO n r n

    = ,

    de oppervlakte 21 360

    sin2n

    A n rn

    = .

    6 Analytische meetkunde

    Voor twee rechten, die niet dezelfde richting hebben als de assen, geldt:

    de rechten staan loodrecht op elkaar

    het product van hun richtingscofficinten is gelijk aan 1 .

    Kenmerk loodrechte stand

    Voor het punt ( ),P PP x y en de rechte : 0u ax by c+ + = geldt: 2 2

    P Pax by cPua b

    + +=

    +.

    Formule afstand punt-rechte

    De cirkel ( ),M rc met ( ),M MM x y heeft als vergelijking ( ) ( ) ( )2 2 2, : M MM rc x x y y r + = . Middelpuntsvergelijking van een cirkel

    Als 2 2 4 0a b c+ > , dan is 2 2 0x y ax by c+ + + + = de vergelijking van een cirkel ( ),M rc

    met ,2 2

    a bM

    en 2 21

    42

    r a b c= + .

    Algemene vergelijking van een cirkel