Medidas de Tendencia Central y de Posición
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Prof. José Pérez Leal
Marzo de 2016
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE POSICIÓN
En este trabajo se expone de forma sencilla los conceptos básicos de medidas de tendencia central y
medidas de posición. En principio, se tiene que las medidas de tendencia central son las medidas que van a
permitir al investigador crearse una idea sobre, hacia dónde se encuentran concentrados la mayoría de los
datos y grosso modo las características del comportamiento de la variable estudiada. Por ejemplo si sabemos
que el promedio de edad de una muestra de personas es de 12 años, esperamos que se esté tratando con un
grupo de adolescente cuyas edades se encuentra, la mayoría de los casos muy cercanos a 12 años.
Por otra parte, las medidas de posición o ubicación van a permitir particionar la serie de datos en
porcentajes convenientes para la investigación. Por ejemplo, exactamente dónde se encuentra la edad menor
que permite separar al 30% de las personas mayores del 70% de personas de menor edad del grupo.
Así, se comenzará por la exposición y ejemplificación de las medidas de tendencia central para
posteriormente trabajar con las medidas de posición.
Mediadas de tendencia central
Las medidas de tendencia central, dan una idea de un número alrededor del cual tienden a concentrarse
todo un conjunto de datos y se utilizan con bastante frecuencia para resumir
un conjunto de cantidades o datos numéricos a fin de describir los datos cuantitativos que los forman.
Ejemplos de ello, pueden ser: la edad promedio o la estatura promedio de los estudiantes de la
universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal que son llenadas por una determinada máquina en un
proceso de producción, o las ventas de un negocio, el Coeficiente Intelectual, las medidas de circunferencia
craneal de un conjunto de personas observadas o hasta las calificaciones de los estudiantes de bachilleratos se
estudian aplicando medidas de tendencia central.
Las medidas de tendencia central son también frecuentemente usadas para comparar un grupo de
datos con otro, por ejemplo: el promedio de ventas obtenido por un grupo de vendedores de una zona
comparado con el promedio de ventas otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de
clientes de una sucursal, comparado con el promedio de reclamos de otra sucursal.
Otras características generales de las medidas de tendencia central son las siguientes:
- Permiten apreciar qué tanto se parecen, o se diferencian, los grupos entre sí.
- Son valores que se calculan para un grupo de datos y que se utiliza para describirlos de
alguna manera
- Normalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores incluidos en el grupo.
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- Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor
más pequeño o el más grande, sino un valor que está en algún punto intermedio del grupo,
más exactamente, se acerca a estar al centro de todos los valores, por ello se les llama medidas de
tendencia central.
- Se utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de datos en particular.
- También para comparar un grupo de datos contra otro.
El cálculo de las medidas de tendencia central se hace mediante fórmulas, las cuales cambian
según como se encuentren los datos del grupo con el cual se va a
trabajar, esto es si están como Datos no agrupados o como Datos agrupados (Distribuciones de
frecuencias).
Medidas de tendencia centr al más comunes
Las medidas de tendencia central más comúnmente usadas son:
La Media Aritmética, La Mediana y la Moda o Modo; cada una de estas medidas es representativa de
una serie de datos en una forma particular.
La media aritmética es la que frecuentemente se le denomina promedio, sin embargo, el término es
utilizado también para las otras medidas de tendencia central.
Medidas de Tendencia Central para Datos No Agrupados
La Media Ari tmética
Aún y cuando existen varias medias, como la media armónica y la media geométrica, la media
aritmética es la más frecuentemente utilizada en Estadística y la que se va desarrollar en este material de
estudio.
La media aritmética o promedio aritmético, es la suma de todos y cada uno de los valores de la serie
numérica estudiada, entre la cantidad de datos observados
La media se denota con la letra griega mhu (µ) si se trata de la media de la población, mientras que se
denotará con la equis con la barra encima se trata de una muestra. Para los efectos de este trabajo se tomará
indistintamente la equis barra ( ) para cualquiera de los dos casos.
Expresado en fórmula matemática la media aritmética para datos no agrupados se calcula con la
siguiente fórmula:
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La Mediana
Por otra parte se tiene que la median es un valor tal, que divide a la serie de datos en dos partes iguales
o dos mitades. A partir de la mediana 50% de los datos son menores a ella y el otro 50% es superior. En
resumen:
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Medidas de Tendencia Centr al para Datos Agrupados
Media Ar itmética para Datos Agr upados
Para calcular la media aritmética cuando los datos se presentan agrupados en tablas de frecuencia se
utiliza la fórmula:
Si además de estar agrupados en tablas de frecuencia y los datos se agrupan en intervalos de clases el
Xi que se usará es el punto medio de cada clase.
http://1.bp.blogspot.com/-iFUAU3xgz_o/U73v68PdJ0I/AAAAAAAAAT0/Ywi1C6Nx_iM/s1600/Formula_Media_Aritmetica_02.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-iFUAU3xgz_o/U73v68PdJ0I/AAAAAAAAAT0/Ywi1C6Nx_iM/s1600/Formula_Media_Aritmetica_02.jpg
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Moda para Datos Agrupados
Como se comentó en los datos no agrupados, la moda viene a representar el valor que más se repite en
la serie de datos y el dicha serie puede haber una moda, dos modas o más de dos modas. Si existe una sola
moda se dice que la serie es unimodal , si existen dos modas se dice que la serie de datos es Bimodal y si
existen tres o más modas se dice que la serie es Multimodal.
Para el caso de tener datos agrupados en tablas de frecuencia se utiliza la siguiente fórmula para su
cálculo:
http://1.bp.blogspot.com/-Di8AGISJ6So/U739xSL9T2I/AAAAAAAAAUo/cGMG9VU3niA/s1600/Ejemplo_Moda_002.jpg
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Medidas de Ubicación o de posición
Los estadísticos de posición van a ser valores de la variable caracterizados por superar a cierto
porcentaje de observaciones en la población (o muestra). Como base de las medidas de posición se tiene a
fundamentalmente a los percentiles, y asociados a ellos también se expondrán los cuartiles y los deciles.
Cuartiles
Se comenzará por los cuartiles como primera medida de posición a estudiar
Al igual que la mediana, que el valor que divide a la serie de datos en dos partes iguales de 50% cada
una. Los cuartiles son tres y dividen a la serie de datos en cuatro (4) partes iguales de 25% cada una de ellas.
____________ Q1 ____________ Q2 ____________ Q3 ___________
25% 25% 25% 25%
Ejemplo: Cálculo de cuartiles con una variable discreta Dada la siguiente distribución en el número de
hijos de cien familias, calcular sus cuartiles.
http://2.bp.blogspot.com/-AE-MC1Rrwq0/U73-JymQ4rI/AAAAAAAAAUw/7nlTKMEj0eQ/s1600/Moda001.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-AE-MC1Rrwq0/U73-JymQ4rI/AAAAAAAAAUw/7nlTKMEj0eQ/s1600/Moda001.jpg
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Solución:
1. Primer cuartil:
n/4 = 25; Primera Fa > n/4 = 39; luego Q1 = 2
2. Segundo cuartil:
2n/4 = 50; Primera Fa > 2n/4 = 65; luego Q2 = 3
3. Tercer cuartil:
3n/4 = 75; Primera Fa > 3n/4 = 85; luego Q3 = 4
Para variables continuas, organizadas o agrupas en una tabla de frecuencia la fórmula general para el
cálculo de los cuartiles es:
Donde:
Li: es el límite inferior del intervalo de clases donde se ubica el cuartil solicitado
k: número del cuartil a ser calculado (k = 1, 2, 3)
Fant: Frecuencia acumulada anterior a la del intervalo de clase donde se localiza el cuartil que se está
calculando
f i: Frecuencia absoluta del intervalo donde se localiza en cuartil
Ic: Longitud del intervalo de clase donde está el cuartilEjemplo:
Calcular los cuartiles en la siguiente distribución de una variable continua:
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Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
D5 coincide con la mediana.
Cálculo de los deciles
En primer lugar se busca la clase donde se encuentra posicionados los nk/10 deciles que se van a
calcular, en la tabla de las frecuencias acumuladas.
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Se aplica entonces la fórmula
La cual tiene la misma estructura básica de las fórmulas para el cálculo de la mediana y los cuartiles
Ejemplo
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Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra (k.n/100), en la tabla de las frecuenciasacumuladas.
Luego se aplica la fórmula general
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Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DOCUMENTALES
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Pérez Leal, J. (2014) Medidas de Tendencia Central. (Artículo en lína) disponible en: http://estadistica-
jpleal.blogspot.com/2014/07/medidas-de-tendencia-central.html (Consulta: 2016, febrero 21)
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Pérez-Tejada, Haroldo (2008) Estadística para las Ciencias Sociales y Comportamiento de la Salud. 3era
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disponible en: http://www.vitutor.net/2/11/cuartiles_percentiles.html [Consulta: 2016, marzo 05]
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