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Medidas de posicao
MEDIDAS DE POSICAO
Lucas Santana da [email protected]
http://www.uel.br/pessoal/lscunha/
Universidade Estadual de Londrina
10 de maio de 2017
Lucas Santana da Cunha INICIACAO A ESTATISTICA
Medidas de posicao
Media aritmetica simplesMedia aritmetica ponderadaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Introducao
Sao utilizadas para sintetizar, em um unico numero, o conjuntode dados observados da variavel em estudo;
Usualmente emprega-se uma das seguintes medidas de posicao(ou localizacao) central:
Media;
Mediana;
Moda.
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Medidas de posicao
Media aritmetica simplesMedia aritmetica ponderadaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Media aritmetica simples
A medida mais utilizada para descrever resumidamente um conjuntode dados, tabelados ou nao, e a media aritmetica simples.
E definida como soma das observacoes dividida pelo numero delas,ou seja:
µ =
∑Ni=1 yiN
(Media Populacional)
y =
∑ni=1 yin
(Media Amostral)
em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo, N e n e otamanho da populacao e da amostra, respectivamente.
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Media aritmetica simplesMedia aritmetica ponderadaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Exemplo 1
Os pesos, em kg, de 10 coelhos da raca Nova Zelandia Brancoforam anotados, obtendo-se os seguintes valores:
3,7 3,8 4,8 5,1 3,94,1 4,2 4,0 4,5 5,0
Qual o peso medio dos coelhos?
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Media aritmetica simplesMedia aritmetica ponderadaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Media aritmetica ponderada
A media aritmetica e considerada ponderada se os valores observadostiverem pesos diferentes. De forma generica tem-se:
y =
∑ni=1 yipi∑ni=1 pi
em que yi e o valor observado do i-esimo indivıduo e pi e seu res-pectivo peso.
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Exemplo 2
Do plano de ensino da disciplina Iniciacao a Estatıstica aplicada aZootecnia, tem-se que os pesos das provas P1 e P2 sao p1 = 2,p2 = 3, respectivamente, e o T e a media geral dos trabalhos compeso pt = 1. Assim, pede-se:
a) Se um aluno obteve as seguintes notas: P1 = 8, P2 = 5, T = 8,qual sera sua media final?
b) Sabendo que a media mınima para o aluno ser aprovado e 6,0 esupondo que um aluno obteve P1 = 7, P2 = 5, qual deve ser a notamınima de trabalho para que ele passe na disciplina?
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Media para dados agrupados
A media aritmetica para dados agrupados nada mais e que umamedia ponderada, assim:
y =
∑ki=1 yini∑ki=1 ni
em que yi e o valor medio da i-esima classe e ni e a frequenciaabsoluta da i-esima classe.
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Exemplo 3
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 1: Distribuicao dos pesos (kg) de 30 caes da raca Pastor Alemao.
Peso ni fi5 ` 11 1 0,03
11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17
TOTAL 30 1,000
Qual e o peso medio dessa amostra de caes?
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Exemplo 4
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 2: Distribuicao do numero de filhotes de cadelas submetidas ainseminacao artificial no Hospital Veterinario da UEL em 2005.
no de filhos ni fi0 1 0,031 4 0,132 6 0,203 10 0,334 7 0,235 2 0,07
TOTAL 30 ≈ 1,0000
Qual o numero medio de filhotes dessas cadelas?
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Mediana
E uma quantidade que, como a media, tambem procura carac-terizar o centro da distribuicao de frequencias;
E a medida que ocupa a posicao central do conjunto de dados,ou seja, 50% das observacoes estao a cima da mediana e 50%estao a baixo.;
Para determinar a mediana e preciso ordenar os dados;
Em seguida aplique um dos processos a seguir:
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Media aritmetica simplesMedia aritmetica ponderadaMedianaModaCaracterısticas das medidas de centralidade
Se n e ımpar, a mediana e dada por
Md = y( n+12 )
em que y( n+12
) e o valor do elemento que se encontra na posicaon+12 .
Exemplo 5
Os pesos, em kg, de 11 coelhos da raca Nova Zelandia Brancoforam anotados, obtendo-se os seguintes valores:
3,7 3,8 4,8 5,1 3,9 3,54,1 4,2 4,0 4,5 5,0
Qual o peso mediano dos coelhos?
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Se n e par, a mediana e dada por
Md =y( n
2 ) + y( n2+1)
2
em que y( n2) e y( n
2+1) sao os valores dos elementos que se
encontram nas posicoes n2 e n+2
2 .
Exemplo 6
Os pesos, em kg, de 10 coelhos da raca Nova Zelandia Brancoforam anotados, obtendo-se os seguintes valores:
3,7 3,8 4,8 5,1 3,94,1 4,2 4,0 4,5 5,0
Qual o peso mediano dos coelhos?
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Mediana para dados agrupados
A mediana, para dados agrupados em classes, e dada por:
Md = Li +
(n2 − Fi−1
)ni
ac
em que Li e o limite inferior da classe mediana; ac e a amplitudedo intervalo da classe mediana; Fi−1 e a frequencia acumuladaanterior a classe mediana; ni e a frequencia absoluta da classemediana.
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Exemplo 7
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 3: Distribuicao dos pesos (kg) de 30 caes da raca Pastor Alemao.
Peso ni fi5 ` 11 1 0,03
11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17
TOTAL 30 1,000
Qual e o peso mediano dessa amostra de caes?
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Exemplo 8
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 4: Distribuicao do numero de filhotes de cadelas submetidas ainseminacao artificial no Hospital Veterinario da UEL em 2005.
no de filhos ni fi0 1 0,031 4 0,132 6 0,203 10 0,334 7 0,235 2 0,07
TOTAL 30 ≈ 1,0000
Qual o numero mediano de filhotes dessas cadelas?
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Moda
A moda, Mo , e definida como a realizacao mais frequente doconjunto de valores observados.
A moda pode ser obtida para variaveis qualitativas.
Um conjunto de dados pode ser:
amodal (nenhuma moda);
unimodal (uma moda);
bimodal (duas modas);
multimodal (tres ou mais modas);
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Exemplo 9
O conjunto de numeros 1, 2, 3, 4, 5 nao tem moda (amodal).
Exemplo 10
Consideremos as alturas, em cm, de uma amostra de dez alunos docurso de Zootecnia:
165 171 173 173 178178 178 178 179 182
Temos que a altura modal e 178cm (Mo = 178).
Exemplo 11
O conjunto de numeros 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5 tem duas modas (bimodal),Mo = 2 e Mo = 3.
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Moda para dados agrupados
Para dados agrupados em classes, pode-se utilizar um dosseguintes metodos:
Moda bruta: e o ponto medio da classe modal (aquela queapresenta maior frequencia);
Metodo de Czuber: a moda e dada por
Mo = Li +
(δ1
δ1 + δ2
)ac
em que Li e o limite inferior da classe modal; ac e a amplitudeda classe modal; δ1 e a diferenca entre a frequencia absolutada classe modal e a anterior imediata; δ2 e a diferenca entre afrequencia absoluta da classe modal e a posterior imediata.
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Exemplo 12
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 5: Distribuicao dos pesos (kg) de 30 caes da raca Pastor Alemao.
Peso ni fi5 ` 11 1 0,03
11 ` 17 5 0,1717 ` 23 8 0,2723 ` 29 7 0,2329 ` 35 4 0,1335 ` 41 5 0,17
TOTAL 30 1,000
Qual e o peso modal dessa amostra de caes?
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Exemplo 13
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 6: Distribuicao do numero de filhotes de cadelas submetidas ainseminacao artificial no Hospital Veterinario da UEL em 2005.
no de filhos ni fi0 1 0,031 4 0,132 6 0,203 10 0,334 7 0,235 2 0,07
TOTAL 30 ≈ 1,0000
Qual o numero modal de filhotes dessas cadelas?
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Exemplo 14
Considere os dados da tabela de distribuicao de frequencias abaixo:
Tabela 7: Distribuicao de frequencias da cor favorita.
cor ni fi piAmarelo 3 0,1000 10,00
Azul 11 0,3667 36,67Preto 5 0,1667 16,67Verde 4 0,1333 13,33
Vermelho 4 0,1333 13,33
TOTAL 30 1,0000 100,00
Qual a cor favorita para o conjunto de dados?
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Exercıcio
Tabela 8: Distribuicao dos pesos (kg) das carcacas de bovinos.
Pesos ni yi Fi
120 ` 140 8 130 8140 ` 160 12 150 20160 ` 180 15 170 35180 ` 200 17 190 52200 ` 220 14 210 66220 ` 240 11 230 77240 ` 260 9 250 86
TOTAL 86 - -
Calcule a media, a mediana e a moda dos pesos das carcacas debovinos.
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Media
e vista como ponto de equilıbrio dos dados;
utilizada quando a distribuicao dos dados e pelo menos aproxi-madamente simetrica;
utilizada ser for necessario obter posteriormente outros parametrosque podem depender da media, como por exemplo a variancia,o desvio padrao, etc.
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Mediana
e vista como ponto medio dos dados;
utilizada quando ha valores extremos;
utilizada quando deseja-se conhecer o ponto central da distri-buicao;
utilizada quando a distribuicao dos dados e muito assimetrica.
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Moda
e vista como ponto de maxima frequencia dos dados;
utilizada quando a medida de interesse e o ponto mais tıpicoou popular dos dados;
utilizada quando precisa-se apenas de uma rapida ideia sobre atendencia central dos dados.
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