ÍNDICE

OBJETIVOS (2)

FUNDAMENTO TEORICO (2)

MATERIALES UTILIZADOS (3)

PROCEDIMIENTO (9)

CUESTIONARIO (13)

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES (22)

BIBLIOGRAFÍA (25)

1

I. OBJETIVOS

Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe en

un circuito acoplado.

Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “k” y la

inductancia mutua “M” en dicho circuito.

II. FUNDAMENTO TEORICO

INDUCTANCIA MUTUA

Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la

energía de un lugar a otro del circuito. gracias a un fenómeno conocido como

inductancia mutua.

La inductancia mutua consiste en la presencia de un flujo magnético común que

une a dos embobinados. En uno de los cuales una excitación causa el cambio de

corriente y por tanto, un cambio de flujo magnético. Como este flujo es común para

los dos, entonces debe existir un voltaje en el segundo por la ley de Faraday.

El voltaje producido en el segundo inductor es proporcional a la razón de cambio de

la corriente del primer inductor y al valor del segundo inductor.

Las relación entre la corriente del primer inductor y el voltaje del segundo inductor

es:

El valor de la inductancia mutua se mide en henrys y es siempre positivo, sin

embargo, el valor del voltaje producido en una inductancia debido al flujo magnético

de otra inductancia puede ser positivo o negativo.

Como existen cuatro terminales involucradas en la inductancia mutua, no se puede

utilizar la convención de signos que hemos utilizado en otros capítulos, sino que

ahora se tiene que utilizar la convención del punto.

2

CONVENCIÓN DEL PUNTO

• Una corriente entrando a la terminal punteada de uno de los inductores

produce un voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada

del segundo inductor.

• Una corriente entrando a la terminal no punteada de un inductor produce un

voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada del otro

inductor.

El voltaje inducido del cual hemos estado hablando, es un término

independiente del voltaje que existe en el inductor. Por lo consiguiente, el

voltaje total que existe en el inductor, va a formarse por la suma del voltaje

individual y el voltaje mutuo.

De este modo también se definen los voltajes en la frecuencia s,

así como los voltajes en estado estable sinusoidal s=jw.

La convención del punto, nos evita tener que dibujar el sentido en el que está

enrollado el inductor, de tal manera que los puntos colocados en el mismo lugar en

los dos inductores indican que los flujos producidos por estos son aditivos (se

suman), y los puntos colocados en distinto lugar en los inductores indican que los

flujos se restan.

Considerando que la energía no puede ser negativa M tiene un valor máximo:

El cual es el promedio geométrico de los inductores. Definimos ahora el coeficiente

de acoplamiento k como:

3

TRANSFORMADOR LINEAL

Existen dos elementos prácticos que utilizan la inductancia mutua: El transformador

lineal y el ideal. El primero de ellos es sumamente utilizado en los sistemas de

comunicaciones.

Primero asumimos que el transformador es lineal, es decir que no posee ningún

material magnético que elimine su linealidad. En muchas aplicaciones se conecta el

primario en un circuito en resonancia mientras que el secundario muchas veces

también está en resonancia. Esto tiene como ventaja que se pueden realizar

circuitos con respuestas de picos anchos y caídas bruscas lo cual se utilizan en

sistemas de filtrado.

Podemos observar en el siguiente circuito que una impedancia en el secundario se

refleja en el primario según la relación:

Para el caso en el que el circuito conectado al primario y el secundario son

circuitos en resonancia idénticos, es decir con los mismos valores de inductancia,

capacitancia y resistencia entonces se observa que existe una frecuencia de

resonancia en el circuito es cual es w0. Sin embargo, si el acoplamiento es alto a

una frecuencia superior existe también resonancia lo mismo que a una frecuencia

inferior. Esto es lo que causa que el ancho de banda de paso sea un poco mayor

que en circuito RLC. Este es el equivalente de un transformador lineal en el cual se

muestra que el valor de cada inductor es L-M y el que une es de M. En el caso de

que alguna de las corrientes entre por una terminal en la que no haya un punto

entonces se sustituye el valor por menos M.

4

EL TRANSFORMADOR IDEAL

El transformador ideal es una útil aproximación de un transformador altamente

acoplado, cuyo coeficiente de acoplamiento se acerca a la unidad y las reactancias

inductivas primaria y secundaria son muy grandes en comparación con las

impedancias terminales.

Una aproximación al transformador ideal son los transformadores con núcleos de

fierro.

Existe un concepto nuevo dentro del tema que hablamos, la razón del número de

vueltas “a”. La inductancia individual de cualquiera de los inductores es proporcional

al número de vueltas del alambre.

La relación anterior es válida solamente si el flujo establecido por la corriente en el

alambre une a todas las espiras individuales.

De lo anterior podemos ver que la proporcionalidad entre la inductancia y el

cuadrado del número de vueltas es la siguiente:

Características del Transformador Ideal.

- El uso de líneas verticales entre los dos inductores para indicar el

uso de placas de fierro.

- El valor unitario del coeficiente de acoplamiento

- La presencia del símbolo 1:a que representa la razón del número de

vueltas de N1 a N2.

- La habilidad que tiene para cambiar la magnitud de una impedancia.

Si en el primario se tienen 100 vueltas y en el secundario se tienen 10000 vueltas

entonces la impedancia decrece en un factor de 100.

Se tiene la siguiente relación:

Con lo cual se pueden simplificar los cálculos para conocer el voltaje

en el secundario a partir del número de vueltas en el transformador.

Para las corrientes observas que la relación es:

En el caso de las impedancias

Entonces se tiene que:

5

III. MATERIALES UTILIZADOS

1 auto-transformador de 250V – 6A

Figura 1 Auto-transformador.

1 amperímetro de 0.06/0.3/1.5A.

Figura 2 Amperímetro.

6

1 vatímetro 5A – 220V.

Figura 3 Vatímetro.

3 multímetros.

Figura 4 Multímetros digitales.

1 transformador 1 de potencia 220/110V.

Figura 5 Transformador monofásico.

Juego de conductores.

7

Figura 6 Cables conductores.

IV. CIRCUITOS A UTILIZAR

Circuito Nº 1

Circuito Nº 2

Circuito Nº 3

V. PROCEDIMIENTO

8

1) Medir con el multímetro funcionando como ohmímetro como

ohmímetro la resistencia interna del primario del transformador

monofásico de potencia y anotar las características de esta

bobina.

Para el transformador se tiene:

2) Medir la resistencia interna del secundario del transformador

monofásico de potencia y anotar las características de esta bobina.

Para el transformador se tiene:

3) Verificar el buen estado de funcionamiento del autotransformador

regulando su voltaje desde cero hasta obtener Vmax.

Vmax.= 262 Voltios

4) Verificación de la polaridad del transformador monofásico de potencia:

Conectar el circuito como se muestra en la fig. 1 y energizado con el

autotransformador para medir V y V’.

Determinación de la polaridad del transformador.

Figura 7.

Prueba de la

polaridad del

transformador

Al realizar la

medición para

cierto voltaje en el primario se obtiene:

Por lo tanto, H y X son de igual polaridad. Colocamos los puntos como

se muestra en la figura 7 (los flujos son sustractivos).

9

Conexión del vatímetro.

Figura 8. Forma de conectar el vatímetro.

a. Ubicar el cursor del auto-transformador en cero antes de efectuar

cualquier medida.

b. Armar el circuito Nº 1, ubicar el cursor del auto-transformador en

220V. Tomar un juego de 10 valores de V, W, A, V1 y V2

disminuyendo V hasta 120V de 10 en 10V.

Tabla 1

V (V) W (W) A (A) V1 (V) V2 (V)

220 5 0.9 216.5 113.3

210 4 0.7 212 109.7

200 3 0.6 201 101.5

190 2.3 0.5 191.6 46.5

180 1.5 0.4 181.5 91.5

170 1.1 0.3 171.4 86.4

160 1 0.2 161.1 81.4

150 0.8 0.2 151.1 75,4

140 0.5 0.15 141.1 71.4

130 6.1 0.1 131.5 66.6

10

c. Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada

“c-d” y de salida “a-b, variando V de 10 a 110 V en pasos de 10 en

10V. Tanto en (b) como en (c) ubicar el lado de alta tensión (220V –

bornes a-b) y el de baja tensión (110V – bornes c-d).

Variamos la conexión del circuito Nº 1 de la siguiente manera:

Circuito Nº 1’

Tabla 2

V (V) W (W) A (A) V2 (V) V1 (V)

10.13 0.13 0.027 10.14 19.40

20.26 0.53 0.042 20.21 38.68

30.43 1.14 0.055 30.43 58.38

40.1 1.89 0.069 40.07 77.2

50.1 2.81 0.085 50.02 96.4

60.2 3.87 0.105 60.11 115.8

70 5.16 0.130 70.1 134.4

80 6.5 0.165 80.2 154.2

90.2 8.27 0.217 90.5 173.8

99.9 9.85 0.289 99.9 191.8

110.2 11.9 0.4 110.4 211.9

11

d. Armar el circuito Nº 2, variando el cursor del auto-transformador (V)

de 10 a 120V. Tomar un juego de 5 valores de A, V1 y V2 de 20 en

20V.

Tabla 3

V (V) A (A) V1 (V) V2 (V)

20.1 0.051 41.95 21.78

40.2 0.087 83.8 43.63

60.35 0.14 125.8 65.4

79.9 0.233 166.2 86.8

99.9 0.457 207.4 108.3

e. Armando el circuito Nº 3 repetir el procedimiento que se indica en el

paso anterior.

Tabla 4

V (V) A (A) V1 (V) V2 (V)

20.02 0.006 13.18 6.88

40.1 0.011 26.48 13.78

59.9 0.014 39.36 20.58

79.8 0.018 59.6 27.48

100.1 0.021 66.1 34.48

12

VI. CUESTIONARIO

1. Determinar los valores de L1, M21 y R1 con los datos obtenidos en el

paso (b). Presentarlos en forma tabulada y graficar M21 en función de

V2.

Graficamos el equivalente del circuito Nº 1:

Circuito Nº 1 equivalente.

Se tiene que I2 = 0, por lo tanto:

Siendo:

(f = 60Hz)

También:

13

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

Tabla 5

V1 (V) V2 (V) I1 (V) W1 (W) R1 () L1 (H) M21 (H)

216.5 113.3 0.237 12.48 222.1866 2.3503 1.2681

209.6 109.7 0.21 11.79 267.3469 2.5507 1.3856

200.2 104.4 0.178 10.66 336.4474 2.8467 1.5557

190.2 99.3 0.151 9.75 427.6128 3.1427 1.7443

180.4 94.2 0.128 8.74 533.4473 3.4603 1.9521

170.1 88.7 0.109 7.84 659.8771 3.7511 2.1585

159.7 83.2 0.093 6.85 791.9991 4.0415 2.3730

150.2 78.6 0.082 6.15 914.6341 4.2096 2.5425

139.2 72.8 0.072 6.34 1222.9938 3.9718 2.6820

130.8 68.3 0.065 4.79 1133.7278 4.4099 2.7872

120.5 63 0.057 4.06 1249.6153 4.5230 2.9317

Graficamos M21 en función de V2:

M21 vs V2 y = -0,0342x + 5,1625

R2 = 0,9945

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 20 40 60 80 100 120

V2 (V)

M21

(H

)

Gráfica 1. M21 vs V2

14

2. Determinar los valores de L2, M12 y R2 con los datos obtenidos en el

paso (c). Presentarlos en forma tabulada y graficar M12 en función de

V1.

Graficamos el equivalente del circuito Nº 1’:

Circuito Nº 1’ equivalente.

Se tiene que I1 = 0, por lo tanto:

Siendo:

(f = 60Hz)

También:

15

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

Tabla 6

V2 (V) V1 (V) I2 (V) W2 (W) R2 () L2 (H) M12 (H)

10.14 19.40 0.027 0.13 178.3265 0.8767 1.9059

20.21 38.68 0.042 0.53 300.4535 0.9970 2.4428

30.43 58.38 0.055 1.14 376.8595 1.0745 2.8155

40.07 77.2 0.069 1.89 396.9754 1.1243 2.9677

50.02 96.4 0.085 2.81 388.9273 1.1714 3.0083

60.11 115.8 0.105 3.87 351.0204 1.1996 2.9254

70.1 134.4 0.130 5.16 305.3254 1.1789 2.7423

80.2 154.2 0.165 6.5 238.7511 1.1230 2.4789

90.5 173.8 0.217 8.27 175.6249 1.0034 2.1245

99.9 191.8 0.289 9.85 117.9344 0.8619 1.7604

110.4 211.9 0.4 11.9 74.375 0.7050 1.4052

Graficamos M12 en función de V1:

M12 vs V1 y = -0,0001x2 + 0,0278x + 1,5495

R2 = 0,9709

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 50 100 150 200 250

V1 (V)

M12

(H

)

Gráfica 2. M12 vs V1

16

3. Hallar los valores promedio de L1, L2, R1, R2, M12 y M21 de los cálculos

efectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre estos.

Realizamos la siguiente tabla:

Tabla 7

L1 (H) L2 (H) R1 () R2 () M21 (H) M12 (H)

2.3503 0.8767 222.1866 178.3265 1.2681 1.9059

2.5507 0.997 267.3469 300.4535 1.3856 2.4428

2.8467 1.0745 336.4474 376.8595 1.5557 2.8155

3.1427 1.1243 427.6128 396.9754 1.7443 2.9677

3.4603 1.1714 533.4473 388.9273 1.9521 3.0083

3.7511 1.1996 659.8771 351.0204 2.1585 2.9254

4.0415 1.1789 791.9991 305.3254 2.373 2.7423

4.2096 1.123 914.6341 238.7511 2.5425 2.4789

3.9718 1.0034 1222.9938 175.6249 2.682 2.1245

4.4099 0.8619 1133.7278 117.9344 2.7872 1.7604

4.523 0.705 1249.6153 74.375 2.9317 1.4052

Promedio 3.568 1.028 705.444 264.052 2.125 2.416

Observamos que M21 no se mantiene constante ya que 21 e I1 no sigue una

relación lineal . Esto es debido a que el flujo se transmite a

través del núcleo del transformador, el cual es un material no lineal (material

ferromagnético). De igual modo con M12.

4. Los valores de M12 y M21 son diferentes. ¿Por qué? Explique.

Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son

iguales (M12 = M21) para núcleos lineales como el aire.

No se cumple M12 = M21 debido a las siguientes razones:

La relación no lineal de M21 = y M12 =

La medida de los parámetros como corriente y voltaje no se mantienen

constante por el suministro.

17

5. Considerando Z1 y Z2 conocidos (calculados en 3) y con los datos

obtenidos en el procedimiento pasos (d) y (e), determinar los valores

de M12 y M21. Tabular.

Graficamos el equivalente del circuito Nº 2:

Circuito Nº 2 equivalente.

Se tiene que I1 = I2

Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465

Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82

Por lo tanto:

18

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes

tablas:

Tabla 8

V1 (V) I1(A) R1 () XL1 () M12 ()

41.95 0.051 705.444 1345.465 2.447

83.8 0.087 705.444 1345.465 1.829

125.8 0.14 705.444 1345.465 2.092

166.2 0.233 705.444 1345.465 3.288

207.4 0.457 705.444 1345.465 COMPLEJO

Tabla 9

V2 (V) I2(A) R2 () XL2 () M21 ()

21.78 0.051 264.052 387.82 1.919

43.63 0.087 264.052 387.82 2.159

65.4 0.14 264.052 387.82 2.051

86.8 0.233 264.052 387.82 1.726

108.3 0.457 264.052 387.82 COMPLEJO

Graficamos el equivalente del circuito Nº 3:

Circuito Nº 3 equivalente.

19

Se tiene que I1 = I2

Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465

Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82

Por lo tanto:

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes

tablas:

Tabla 10

V1 (V) I1(A) R1 () XL1 () M12 ()

13.18 0.006 705.444 1345.465 1.949

26.48 0.011 705.444 1345.465 2.536

39.36 0.014 705.444 1345.465 3.65

59.6 0.018 705.444 1345.465 5.012

66.1 0.021 705.444 1345.465 4.568

Tabla 11

V2 (V) I2(A) R2 (V) XL2 (V) M21 (V)

6.88 0.006 264.052 387.82 1.931113777

13.78 0.011 264.052 387.82 2.219529028

20.58 0.014 264.052 387.82 2.80708246

27.48 0.018 264.052 387.82 2.959782733

34.48 0.021 264.052 387.82 3.269796234

20

6. Hallar el valor promedio de M12 y M21. Comentar.

De la pregunta 5, sacando el promedio por método de partes, tenemos:

SUSTRACTIVA:

Tabla 12

M21 (H) M12 (H)

1.919 2.447

2.159 1.829

2.051 2.092

1.726 3.288

COMPLEJO COMPLEJO

Observación: Obviamos el dato 5 y tomamos solo los 4 primeros debido que

según el calculo sale complejo,;al parecer se debe a error cometido al

momento de la experiencia (datos mal tomados).

ADITIVA:

Tabla 13

M21 (H) M12 (H)

1.949 1.931113777

2.536 2.219529028

3.65 2.80708246

5.012 2.959782733

4.568 3.269796234

21

De los datos calculados: , , , hallamos:

De los Map y Msp le sacamos promedio, y tenemos un M promedio general

de los casos sustractivos y aditivos:

Comentario: Los valores de los M para cada dirección y la mutua difieren

debido a los flujos de dispersión que hay en los diferentes sentidos de 1-2 y

de 2-1, ya que nuestra experiencia es real por lo cual los M se acercan

relativamente.

7. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “k” del circuito.

Sabemos: y .

De la tabla 14 tomando promedios verticalmente a M (H) para hallar M

común:

22

Entonces como:

→

Además de las tablas anteriores:

Reemplazando:

→

23

V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

Al calcular R1 y R2, no estamos midiendo resistencia de las bobinas, sino la

resistencia de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es

q los valores de R1 y R2 varían; si se tratara de la resistencia de las bobinas,

estos valores se mantendrían constantes.

Al calcular L1 y L2, no estamos midiendo inductancia de las bobinas, sino la

inductancia de magnetización de pérdidas del núcleo del transformador. La

prueba de esto, es q los valores de L1 y L2 varían; si se tratara de la

inductancia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

La inductancia mutua en los circuitos permite que se genere un voltaje en el

secundario del transformador; si no hubiera esta inductancia mutua,

simplemente no se induciría ningún voltaje en el secundario y V2 no

marcaría nada.

La inductancia mutua depende de la forma de conexión del circuito (en este

caso transformador); también depende de la corriente y del flujo inducido,

los cuales en el transformador de núcleo ferromagnético son distintos para

cada medición.

El valor complejo calculado en la pregunta 5 se debe a un error de medición

ya que resistencia sale mayor que la impedancia equivalente ( ) cosa que

es imposible es como si la hipotenusa de un triangulo rectángulo saldría

menor que sus catetos.

Las inductancias mutuas M12 y M21 son distintas debido al fenómeno de

dispersión (pérdidas de dispersión de flujo magnético).

El valor de “k” es una característica de este transformador, es decir, no

cambia cuando varían el voltaje de entrada y las corrientes.

24

RECOMENDACIONES

Buscar la mayor precisión posible al regular el auto-transformador.

Revisar la continuidad en cada cable conductor para evitar que hallan

aberturas en el circuito y los instrumentos no registren valor alguno.

VII. BIBLIOGRAFIA

Apuntes de Análisis de Circuitos Eléctricos II

LINEAR CIRCUITS – Roland E. Scott

http://es.wikipedia.org/

http://es.wikibooks.org

25