mech.math.msu.sumech.math.msu.su/~konkov/conspectus.pdf · ÓÐÀÂÍÅÍÈß...

ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ

ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ

1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Âñþäó íèæå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòüíåïóñòîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1. ×åðåç C∞(Ω) îáîçíà÷àåì ïðî-ñòðàíñòâî ôóíêöèé, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω, à ÷åðåç C∞(Ω) ñóæåíèÿ íà Ω ôóíêöèé èç C∞(Rn). Ïðè ýòîì ïîä C∞

0 (Ω) ìû áóäåì ïîäðàçó-ìåâàòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç C∞(Rn) ñ êîìïàêòíûìè íîñèòåëÿìè1, ïðèíàä-ëåæàùèìè Ω. Âìåñòî C∞

0 (Ω) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå D(Ω).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êëàññû Cs(Ω), Cs(Ω), Cs

0(Ω) ôóíêöèé, èìåþùèõíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûìè ïîðÿäêà s.Ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂

Rn, äëÿ êîòîðûõ

∥f∥Lp(E) =

(∫E

|f |p dx) 1

p

<∞, p ≥ 1,

áóäåì îáîçíà÷àòü Lp(E). Â ñâîþ î÷åðåäü, ïîä Lp,loc(Ω) ìû áóäåì ïîíèìàòüïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, ñóììèðóåìûõ ñî ñòåïåíüþ p íà âñÿêîì êîìïàêòå, ïðè-íàäëåæàùåì îòêðûòîìó ìíîæåñòâó Ω.Êàê ýòî ïðèíÿòî, ïîëàãàåì |α| = α1 + α2 + . . . + αn, α! = α1!α2! . . . αn! è

∂α = (∂/∂x1)α1(∂/∂x2)

α2 . . . (∂/∂xn)αn , ãäå α = (α1, α2, . . . , αn) ìóëüòèèíäåêñ.

Ïîä Bxr ìû ïîäðàçóìåâàåì îòêðûòûé øàð Bx

r = y : |y − x| < r ðàäèóñàr > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x ∈ Rn, à ïîä Sxr ñôåðó Sxr = y : |y − x| = r. Åñëèx = 0, òî âìåñòî B0

r è S0r ïèøåì äëÿ êðàòêîñòè Br è Sr.

2. Îáîáùåííûå ôóíêöèè. Ïðîñòðàíñòâî D′(Ω)

Îïðåäåëåíèå 2.1. Ãîâîðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé φi ∈ D(Ω), i =1, 2, . . ., ñõîäèòñÿ ê φ ∈ D(Ω), åñëè íàéäåòñÿ êîìïàêò K ⊂ Ω òàêîé, ÷òî, âî-ïåðâûõ, suppφi ⊂ K, i = 1, 2, . . ., à, âî-âòîðûõ, ∥φi − φ∥Cs(Ω) → 0 ïðè i → ∞äëÿ âñÿêîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà s, ãäå

∥ψ∥Cs(Ω) =∑|α|≤s

supΩ

|∂αψ|, ψ ∈ Cs(Ω).

Â D(Ω) ìîæíî ââåñòè òîïîëîãèþ, ñõîäèìîñòü â êîòîðîé áóäåò ñîâïàäàòü ñîïðåäåëåííîì âûøå [2, ðàçäåë 6.2]. Òàêèì îáðàçîì, D(Ω) íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòó-ðîé òîïîëîãè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ìíîæåñòâî D(Ω) áóäåì òàêæåíàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì îñíîâíûõ (èëè ïðîáíûõ) ôóíêöèé.

1Íàïîìèíàåì, ÷òî íîñèòåëåì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèå ìíîæåñòâàòî÷åê, â êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.

1

2 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ

Îïðåäåëåíèå 2.2. Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f : D(Ω) → C áóäåì íàçûâàòü(ñåêâåíöèàëüíî) íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè φi ∈ D(Ω),i = 1, 2, . . ., ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè φ ∈ D(Ω),

limi→∞

f(φi) = f(φ).

Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà D(Ω), î÷åâèäíî, îáðàçó-åò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä C. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîìîáîáùåííûõ ôóíêöèé íà Ω è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç D′(Ω).

Çàìåòèì, ÷òî â óïîìÿíóòîé âûøå òîïîëîãèè âD(Ω) ëþáàÿ îáîáùåííàÿ ôóíê-öèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â îáû÷íîì ñìûñëå, ò.å. ïðîîáðàç âñÿêîãî îòêðû-òîãî ìíîæåñòâà â C îòêðûò â D(Ω).

Ãîâîðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ fi : D(Ω) → C, i = 1, 2, . . . ,ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèîíàëó f : D(Ω) → C, åñëè

limi→∞

fi(φ) = f(φ)

äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).

Ïðîñòðàíñòâî D′(Ω) çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, à èìåííî,ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Òåîðåìà 2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fi ∈ D′(Ω), i = 1, 2, . . .,ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèîíàëó f : D(Ω) → C, òîãäà f ∈ D′(Ω).

Ìû ïðèâîäèì òåîðåìó 2.1 áåç äîêàçàòåëüñòâà, æåëàþùèå ìîãóò íàéòè åãî âìîíîãðàôèè [4, ãëàâà 2, 9].

Äåéñòâèå ôóíêöèîíàëà f ∈ D′(Ω) íà îñíîâíóþ ôóíêöèþ φ ∈ D(Ω) ïðèíÿòîîáîçíà÷àòü (f, φ).

Ïðîñòðàíñòâî Lloc(Ω) åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàåòñÿ â D′(Ω), åñëè âñÿ-êóþ ôóíêöèþ f ∈ Lloc(Ω) îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêöèîíàëîì, äåéñòâóþùèé ïîïðàâèëó

(f, φ) =

∫Ω

fφ dx, φ ∈ D(Ω). (2.1)

Â ÷àñòíîñòè, D′(Ω) ñîäåðæèò â ñåáå C∞(Ω), ïîñêîëüêó C∞(Ω) ⊂ Lloc(Ω). Ôóíê-öèè èç Lloc(Ω), ïîíèìàåìûå êàê îáîáùåííûå, áóäåì íàçûâàòü ðåãóëÿðíûìè.Î÷åâèäíî, D′(Ω) íå èñ÷åðïûâàåòñÿ îäíèìè ðåãóëÿðíûìè ôóíêöèÿìè. Â êà÷å-ñòâå ïðèìåðà, ïîäòâåðæäàþùåãî ýòî, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òàê íàçûâàåìóþäåëüòà-ôóíêöèþ Äèðàêà

(δ, φ) = φ(0), φ ∈ D(Ω).

Óïðàæíåíèå 2.1. Ïîêàæèòå, ÷òî ðàçëè÷íûì ôóíêöèÿì èç Lloc(Ω) ñîîòâåòñòâó-þò ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëû èç D′(Ω).

Ïóñòü f ∈ C∞(Ω). Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îáîáùåííûå ôóíêöèè, îòîæ-äåñòâëÿåìûå ñ f è ïðîèçâîäíîé ∂f/∂xi? Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååì(

∂f

∂xi, φ

)=

∫Ω

∂f

∂xiφdx = −

∫Ω

f∂φ

∂xidx = −

(f,∂φ

∂xi

), φ ∈ D(Ω).

ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 3

Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà íàâîäèò íà ìûñëü äëÿ âñÿêîãî f ∈ D′(Ω) îïðåäåëèòü∂f/∂xi ∈ D′(Ω) ðàâåíñòâîì(

∂f

∂xi, φ

)= −

(f,∂φ

∂xi

), φ ∈ D(Ω). (2.2)

Ñîãëàñíî (2.2) ëþáàÿ ôóíêöèÿ f ∈ D′(Ω) â îáîáùåííîì ñìûñëå äèôôåðåí-öèðóåìà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, ïðè÷åì

(∂αf, φ) = (−1)|α|(f, ∂αφ), φ ∈ D(Ω).

äëÿ âñÿêîãî ìóëüòèèíäåêñà α.

Óïðàæíåíèå 2.2. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ îò θ-ôóíêöèè Õåâèñàéäà

θ(x) =

0, x < 0,1, x ≥ 0.

Îòâåò: θ′(x) = δ(x).

Îáîáùåííûå ôóíêöèè ìîæíî óìíîæàòü íà áåñêîíå÷íî ãëàäêèå, åñëè äëÿëþáûõ f ∈ D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω) ïîëîæèòü

(ψf, φ) = (fψ, φ) = (f, ψφ), φ ∈ D(Ω).

Óïðàæíåíèå 2.3. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åñòå-ñòâåííûì. Èìåííî, ïóñòü ι : Lloc(Ω) → D′(Ω) âëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà Lloc(Ω)â D′(Ω), çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì (2.1). Òîãäà ι(ψf) = ψι(f) äëÿ ëþáûõ f ∈D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω).

Óïðàæíåíèå 2.4. Äîêàæèòå, ÷òî

∂(ψf)

∂xi=∂ψ

∂xif + ψ

∂f

∂xi(2.3)

äëÿ âñåõ f ∈ D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω).

Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîá-ùåííîé ôóíêöèè èìååì (

∂(ψf)

∂xi, φ

)= −

(ψf,

∂φ

∂xi

).

Ïðè ýòîì (ψf,

∂φ

∂xi

)=

(f, ψ

∂φ

∂xi

)ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ îáîáùåííîé ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íî ãëàä-êóþ. Òàêèì îáðàçîì, (

∂(ψf)

∂xi, φ

)= −

(f, ψ

∂φ

∂xi

). (2.4)

Àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì (∂ψ

∂xif, φ

)=

(f,∂ψ

∂xiφ

)è (

ψ∂f

∂xi, φ

)= −

(f,∂(ψφ)

∂xi

).


Ñêëàäûâàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà, áóäåì èìåòü(∂ψ

∂xif + ψ

∂f

∂xi, φ

)=

(f,∂ψ

∂xiφ− ∂(ψφ)

∂xi

)= −

(f, ψ

∂φ

∂xi

),

îòêóäà ââèäó (2.4) íåìåäëåííî ñëåäóåò (2.3).

Äàëåå ìû õîòèì âûÿñíèòü, êàêèì îáðàçîì ó îáîáùåííûõ ôóíêöèé îñóùåñòâ-ëÿåòñÿ çàìåíà ïåðåìåííîé. Ïóñòü èìååòñÿ äèôôåîìîðôèçì îòêðûòîãî ìíîæå-ñòâà G ⊂ Rn íà Ω, ðåàëèçóþùèé çàìåíó ïåðåìåííîé x = x(y), y ∈ G. Îáðàòíóþçàìåíó áóäåì îáîçíà÷àòü y = y(x), x ∈ Ω.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî f ∈ C∞(Ω). Ðàññìàòðèâàÿ ñóïåðïîçèöèþ f(x(y))

êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì

(f(x(y)), φ(y)) =

∫G

f(x(y))φ(y) dy

=

∫Ω

f(x)φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥| dx

= (f(x), φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥|) , φ ∈ D(G),

ãäå ∥∂y/∂x∥ ìàòðèöà ßêîáè.Ïóñòü òåïåðü f(x) ∈ D′(Ω), îïðåäåëèì ôóíêöèþ f(x(y)) ∈ D′(G), ïîëàãàÿ

(f(x(y)), φ(y)) = (f(x), φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥|) , φ ∈ D(G).

Óïðàæíåíèå 2.5. Äîêàæèòå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóïåðïîçèöèè

∂f(x(y))

∂yi=

n∑j=1

∂f(x)

∂xj

∣∣∣∣x=x(y)

∂xj(y)

∂yi,

ãäå f(x) ∈ D′(Ω).

Òåîðåìà 2.2 (î ïåðâîîáðàçíîé îò îáîáùåííîé ôóíêöèè). Äëÿ ëþáîãî f ∈D′(R) íàéäåòñÿ F ∈ D′(R) òàêîå, ÷òî F ′ = f .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ D′(R). Îïðåäåëèì F ∈ D′(R) ñîîòíîøåíèåì

(F (x), φ(x)) = −(f(t),

∫ t

−∞φ(x) dx− η(t)

∫ ∞

−∞φ(x) dx

), (2.5)

ãäå η ∈ C∞(R) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî η|[1,∞) = 1 è η|(−∞,0] = 0.Èìååì, î÷åâèäíî,

(F ′(x), φ(x)) = −(F (x), φ′(x)) =

(f(t),

∫ t

−∞φ′(x) dx− η(t)

∫ ∞

−∞φ′(x) dx

)= (f(t), φ(t))

äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R) èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, F ′ = f .Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Óïðàæíåíèå 2.6. Ïîêàæèòå, ÷òî (2.5) îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ.

Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü f ∈ D′(R) è ïðè ýòîì f ′ = 0, òîãäà f ïîñòîÿííàÿ

ôóíêöèÿ.


Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîáùåííîé ôóíê-öèè

(f, ψ′) = 0 (2.6)

äëÿ ëþáîãî ψ ∈ D(R). Ïîëîæèì

ψ(t) =

∫ t

−∞φ(x) dx− η(t)

∫ ∞

−∞φ(x) dx,

ãäå φ ∈ D(R), à ôóíêöèÿ η òàêàÿ æå, êàê â òåîðåìå 2.2. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.6)íåìåäëåííî ïîëó÷èì

(f, φ) =

∫ ∞

−∞Cφ(x) dx = (C,φ),

ãäåC = (f, η′)

íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.

3. Íîñèòåëü îáîáùåííûõ ôóíêöèé

Îãðàíè÷åíèåì f |ω îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Ω) íà îòêðûòîå ìíîæåñòâîω ⊂ Ω áóäåì íàçûâàòü îãðàíè÷åíèå ôóíêöèîíàëà f : D(Ω) → C íà ïðîñòðàí-ñòâî D(ω). Òåì ñàìûì,

(f |ω , φ) = (f, φ), φ ∈ D(ω).

Â ÷àñòíîñòè, f |ω = 0, åñëè (f, φ) = 0 äëÿ âñåõ φ ∈ D(ω).

Ëåììà 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω) è ïðè ýòîì f |ω1= 0 è f |ω2

= 0 äëÿ íåêîòîðûõîòêðûòûõ ìíîæåñòâ ω1, ω2 ⊂ Ω, òîãäà f |ω1∪ω2

= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(ω1 ∪ ω2). Òàêèì îáðàçîì, suppφÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ïðèíàäëåæàùèì ω1∪ω2. Êàê ýòî ïðèíÿòî,÷åðåç suppφ ìû îáîçíà÷àåì íîñèòåëü ôóíêöèè φ, ò.å. çàìûêàíèå ìíîæåñòâàòî÷åê â êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.Ïîñêîëüêó suppφ \ ω2 êîìïàêò, ïðèíàäëåæàùèé ω1, íàéäåòñÿ îòêðûòîå

ìíîæåñòâî V1 ñ êîìïàêòíûì çàìûêàíèåì, ïðèíàäëåæàùèì ω1, òàêîå, ÷òî

suppφ \ ω2 ⊂ V1,

îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, áóäåì èìåòü

suppφ ⊂ V1 ∪ ω2.

Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùåå ðàññóæäåíèå â îòíîøåíèè ðàçíîñòè suppφ\V1, ïîëó÷èì,÷òî ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî V2 ñ êîìïàêòíûì çàìûêàíèåì, ïðèíàäëå-æàùèì ω2, òàêîå, ÷òî

suppφ ⊂ V1 ∪ V2.Âîçüìåì, äàëåå, íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè ψ1 ∈ D(ω1) è ψ2 ∈ D(ω2), ðàâíûå,ñîîòâåòñòâåííî, åäèíèöå íà V1 è V2. Îáîçíà÷èì

φi(x) =

ψi(x)φ(x)ψ1(x)+ψ2(x)

, x ∈ V1 ∪ V2,0, x ∈ Rn \ (V1 ∪ V2),

i = 1, 2.

Ïîëó÷èì, î÷åâèäíî, φ(x) = φ1(x) + φ2(x) äëÿ âñåõ x ∈ ω1 ∪ ω2, ïðè÷åì φ1 ∈D(ω1) è φ2 ∈ D(ω2). Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî

(f, φ) = (f, φ1) + (f, φ2) = 0.


Ñëåäñòâèå 3.1. Ïóñòü f |ωi

= 0, i = 1, 2, . . . , k, ãäå f ∈ D′(Ω), ωi îòêðûòûå

ïîäìíîæåñòâà Ω, à k ≥ 2 íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî, òîãäà f |∪ki=1ωi

= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èíäóêöèåé ïî öåëîìó ÷èñëó k. Â ñëó-÷àå k = 2, íàøå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ëåììû 3.1. Ïðåä-ïîëîæèì, ÷òî k > 2 è ïðè ýòîì äëÿ k − 1 óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Îáîçíà÷èìω1 = ∪k−1

i=1 è ω2 = ωk. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ω1∪ω2 = ∪ki=1ωi. Ñîãëàñíî ïðåäïî-ëîæåíèþ èíäóêöèè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî f |ω1

= 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿëåììó 3.1, ïîëó÷èì f |ω1∪ω2

= 0.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω) è ïðè ýòîì

ωmax =∪f |ω=0

ω, (3.1)

òîãäà f |ωmax= 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(ωmax). Ìíîæåñòâà ω â ïðàâîé ÷à-ñòè (3.1) îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå íîñèòåëÿ ôóíêöèè φ. Ïîñêîëüêó íîñè-òåëü φ ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîä-ïîêðûòèå, êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü ω1, ω2, . . . , ωk. Â ÷àñòíîñòè, φ ∈ D(∪ki=1ωi).Ââèäó ñëåäñòâèÿ 3.1, èìååì f |∪k

i=1ωi= 0, ïîýòîìó (f, φ) = 0.

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Îïðåäåëåíèå 3.1. Íîñèòåëåì îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Ω) íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî

supp f = Ω \ ωmax,ãäå ωmax îïðåäåëåíî ñ ïîìîùüþ (3.1).

Çàìåòèì, ÷òî supp f çàìêíóò â òîïîëîãèè Ω, èíäóöèðîâàííîé èç Rn, ïî-ñêîëüêó ωmax ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Ïðè ýòîì ωmax ìîæåò áûòü èïóñòûì, íàïðèìåð, åñëè f = const = 0. Â ýòîì ñëó÷àå íîñèòåëü f , î÷åâèäíî,ñîâïàäàåò ñ Ω.

Ïðèìåð 3.1. Íîñèòåëåì δ-ôóíêöèè Äèðàêà δ(x) ∈ D′(R) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîñîñòîÿùåå èç îäíîãî íóëÿ: supp δ(x) = 0.

Óïðàæíåíèå 3.1. Íàéäèòå íîñèòåëü îáîáùåííîé ôóíêöèè, òîæäåñòâåííî ðàâ-íîé íóëþ (ôóíêöèîíàëà, ïåðåâîäÿùåãî ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé D(Ω)â íóëü). Ïîêàæèòå, ÷òî íîñèòåëü íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, åñëè åå ïîíèìàòü êàêîáîáùåííóþ, ñîâïàäàåò ñ çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà òî÷åê, â êîòîðûõ ýòà íåïðå-ðûâíàÿ ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.

Ñâîéñòâà íîñèòåëÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé:

supp(f + g) ⊂ supp f ∪ sup g, (3.2)

supp(ψf) ⊂ suppψ ∩ supp f, (3.3)

supp∂f

∂xi⊂ supp f, (3.4)

ãäå f, g ∈ D′(Ω), ψ ∈ C∞(Ω), Ω îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn.

Óïðàæíåíèå 3.2. Äîêàæèòå ñîîòíîøåíèÿ (3.2)(3.4).


Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω), òîãäà ψf = f äëÿ ëþáîãî ψ ∈ C∞(Ω)òàêîãî, ÷òî ψ = 1 â îêðåñòíîñòè supp f .

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) èìååì (ψ − 1)φ ∈∈ D(Ω \ supp f),ïîýòîìó

((ψ − 1)f, φ) = (f, (ψ − 1)φ) = 0,

îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî

(ψf, φ) = (f, φ) + ((ψ − 1)f, φ) = (f, φ).

Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Óïðàæíåíèå 3.3. Îñòàíåòñÿ ëè ïðåäëîæåíèå 3.1 â ñèëå, åñëè â åãî óñëîâèÿõ ïî-òðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ ψ áûëà ðàâíà åäèíèöå íà supp f , à íå â îêðåñòíîñòèýòîãî ìíîæåñòâà?

Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f ∈ D′(Ω) èìååò êîìïàêòíûé

íîñèòåëü, òîãäà íàéäóòñÿ ïîñòîÿííàÿ A > 0 è öåëîå ÷èñëî m ≥ 0 òàêèå,

÷òî

|(f, φ)| ≤ A∥φ∥Cm(Ω)

äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèåòåîðåìû íå âåðíî. Òîãäà äëÿ âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåëAm > 0 íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé φm ∈ D(Ω), m = 1, 2, . . ., óäî-âëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

|(f, φm)| > Am∥φm∥Cm(Ω). (3.5)

Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Am > 0, m = 1, 2, . . ., òàêóþ, ÷òî

limm→∞

Am = ∞.

Îáîçíà÷èì

ψm =ηφm

Am∥φm∥Cm(Ω)

,

ãäå η ∈ D(Ω) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f .Î÷åâèäíî,

(f, ψm) =(f, ηφm)

Am∥φm∥Cm(Ω)

,

îòêóäà ââèäó (3.5) è òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî

(f, ηφm) = (ηf, φm) = (f, φm),

âûòåêàåò íåðàâåíñòâî

|(f, ψm)| > 1, m = 1, 2, . . . . (3.6)

Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî suppψm ⊂ supp η äëÿ âñåõ m = 1, 2, . . .. Â òî æåâðåìÿ,

limm→∞

∥ψm∥Ck(Ω) = 0 (3.7)

äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ≥ 0. Â ñàìîì äåëå, èìååì

∥ηφm∥Ck(Ω) ≤ Bk∥η∥Ck(Ω)∥φm∥Ck(Ω),


ãäå ïîñòîÿííàÿ Bk > 0 çàâèñèò òîëüêî îò k. Òàêèì îáðàçîì,

∥ψm∥Ck(Ω) =∥ηφm∥Ck(Ω)

Am∥φm∥Cm(Ω)

≤Bk∥η∥Ck(Ω)

Am

äëÿ âñåõ m ≥ k, îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (3.7).Â ñèëó ñêàçàííîãî ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ψm → 0 â D(Ω) ïðè m→ ∞,

ïîýòîìó

limm→∞

(f, ψm) = 0,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò (3.6).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f ∈ D′(Ω) ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì ìîæíî ïðîäîë-æèòü íà ìíîæåñòâî C∞(Rn). Â ñàìîì äåëå, âîçüìåì η ∈ D(Ω) òàêîå, ÷òî η = 1â îêðåñòíîñòè supp f . Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ

(f, ψ) = (f, ηψ)

äëÿ âñåõ ψ ∈ C∞(Rn). Ïîñêîëüêó ηf = f , íà ìíîæåñòâå D(Ω) îáîáùåííàÿôóíêöèÿ f îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî îïðåäåëåííîåâûøå ïðîäîëæåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà η. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè η1, η2 ∈ D(Ω) äâå ôóíêöèè, ðàâíûå åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f , òî supp(η1 − η2)ψ ∈D(Ω \ supp f) äëÿ ëþáîãî ψ ∈ C∞(Rn), ïîýòîìó

(f, η1ψ)− (f, η2ψ) = (f, (η1 − η2)ψ) = 0.

4. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé

Â ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ïî óìîë÷àíèþ ïðåäïîëàãàòü, ÷òîX ⊂ Rn è Y ⊂ Rm

íåïóñòûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ãäå n ≥ 1 è m ≥ 1 öåëûå ÷èñëà.

Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü g(y) ∈ D′(Y ), òîãäà (g(y), φ(·, y)) ∈ D(X) äëÿ ëþáîãî

φ ∈ D(X × Y ), ïðè÷åì

∂

∂xi(g(y), φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)) =

(g(y),

∂

∂xiφ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)

), (4.1)

ãäå i = 1, 2, . . . , n.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì

(g(y), φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y))− (g(y), φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y))

h

=

(g(y),

φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y)− φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)

h

)äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà h = 0.Ñ÷èòàÿ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ X è y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Y ôèêñèðîâàííûìè,

îáîçíà÷èì

ψ(h) = ∂αy φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y),

ãäå

∂αy =∂|α|

∂yα11 ∂yα2

2 . . . ∂yαnn

,


α = (α1, α2, . . . , αn) íåêîòîðûé ìóëüòèèíäåêñ, à |α| = α1 + α2 + . . . + αn.Èíòåãðèðóþ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì

ψ(h)− ψ(0) =

∫ 1

0

dψ(th)

dtdt =

dψ(ht)

dt

∣∣∣∣t=0

+

∫ 1

0

(1− t)d2ψ(th)

dt2dt

= hψ′(0) + h2∫ 1

0

(1− t)ψ′′(th) dt,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

ψ(h)− ψ(0)

h− ψ′(0) = h

∫ 1

0

(1− t)ψ′′(th) dt

èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,

∂αy φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y)− ∂αy φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)

h− ∂xi∂

αy φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)

= h

∫ 1

0

(1− t) ∂2ξ∂αy φ(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, y)

∣∣ξ=xi+th

dt. (4.2)

Äîïóñòèì, äàëåå, ÷òî hk > 0, k = 1, 2, . . ., íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ñõîäÿùàÿñÿ ê íóëþ. Ïîëîæèì

λk(y) =φ(x1, . . . , xi + hk, . . . , xn, y)− φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)

hk− ∂xiφ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y).

Ñîãëàñíî (4.2) áóäåì èìåòü

∥∂αλk∥C(Y ) ≤ hk∥φ∥C|α|+2(X×Y ), k = 1, 2, . . . ,

îòêóäà ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè α ñëåäóåò, ÷òî

∥λk∥Cs(Y ) → 0 ïðè k → ∞

äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî äëÿ âñåõ äîñòà-òî÷íî áîëüøèõ k íîñèòåëè ôóíêöèé λk ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó êîìïàêòíîìóïîäìíîæåñòâó Y . Òåì ñàìûì, λk → 0 â D(Y ) ïðè k → ∞, ïîýòîìó

limk→∞

(g(y), λk(y)) = 0

â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îáîáùåííîé ôóíêöèè g(y). Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âëå-÷åò çà ñîáîé (4.1). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî supp(g(y), φ(·, y)) ÿâëÿåòñÿ êîìïàêò-íûì ìíîæåñòâîì, ïîñêîëüêó ïðèíàäëåæèò ïðîåêöèè suppφ íà X. Òåì ñàìûì,(g(y), φ(·, y)) ∈ D(X).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Ïóñòü f ∈ C∞(X) è g ∈ C∞(Y ). Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì f è g ïðèíÿòîíàçûâàòü îòîáðàæåíèå, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó

(x, y) 7→ f(x)g(y), (x, y) ∈ X × Y.

Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé, î÷åâèäíî, òàêæå ÿâëÿåòñÿáåñêîíå÷íî ãëàäêîé ôóíêöèåé. Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ f è g ïðèíÿòû ñëå-äóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: f · g, f ⊗ g, f(x)g(y). Ìû â îñíîâíîì áóäåì ïîëüçîâàòüñÿïîñëåäíèì.


Ïîïûòàåìñÿ âûÿñíèòü, êàê äåéñòâóåò íà îñíîâíóþ ôóíêöèþ φ ∈ D(X × Y )ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé f(x)g(y), åñëè åãî ïîíèìàòüêàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ. Èìååì

(f(x)g(y), φ(x, y)) =

∫X×Y

f(x)g(y)φ(x, y) dx dy

=

∫X

f(x)

∫Y

g(y)φ(x, y) dy dx = (f(x), (g(y), φ(x, y))).

Ïðèâåäåííîå âûøå ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò ââåñòè ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îáîá-ùåííûõ ôóíêöèé f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ).

Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ) íà-çûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f(x)g(y) ∈ D′(X×Y ), äåéñòâóþùàÿ ïî ïðàâèëó

(f(x)g(y), φ(x, y)) = (f(x), (g(y), φ(x, y))), φ ∈ D(X × Y ). (4.3)

Èç òåîðåìå 4.1 âûòåêàåò, ÷òî (g(y), φ(·, y)) ∈ D(X). Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ÷àñòü (4.3) êîððåêòíà. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå ñïîìîùüþ (4.1), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íà D(X ×Y ). Äîêàæåì åãîíåïðåðûâíîñòü. Èìåííî, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φi ∈ D(X×Y ), i = 1, 2, . . .,ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ) ê ôóíêöèè φ ∈ D(X × Y ). Ïîêàæåì, ÷òî

limi→∞

(f(x), (g(y), φi(x, y))) = (f(x), (g(y), φ(x, y))). (4.4)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî H ⊂ X × Y êîìïàêò, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò íîñèòåëèôóíêöèé φi, i = 1, 2, . . ., à HX è HY åãî ïðîåêöèè íà ìíîæåñòâà X è Y ,ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì

λi(x) = (g(y), φi(x, y)− φ(x, y)).

Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî

suppλi ⊂ HX , i = 1, 2, . . . .

Â òî æå âðåìÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1 áóäåì èìåòü

∂αλi(x) = (g(y), ∂αx (φi(x, y)− φ(x, y))), i = 1, 2, . . . , (4.5)

äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α = (α1, α2, . . . , αn).Âîçüìåì ôóíêöèþ η ∈ D(Y ), ðàâíóþ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè HY . Òàê êàê

η(y)φ(x, y) = φ(x, y) è η(y)φi(x, y) = φi(x, y) äëÿ âñåõ (x, y) ∈ X×Y , i = 1, 2, . . .,ôîðìóëà (4.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî

∂αλi(x) = (η(y)g(y), ∂αx (φi(x, y)− φ(x, y))), i = 1, 2, . . . ,

îòêóäà ââèäó òåîðåìû 3.2 âûòåêàåò îöåíêà

∥∂αλi∥C(X) ≤ A∥φi − φ∥Ck(X×Y )

äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α = (α1, α2, . . . , αn), ãäå ïîñòîÿííàÿ A > 0 è öåëîå÷èñëî k ≥ 0 íå çàâèñÿò îò i. Òàêèì îáðàçîì,

limi→∞

∥λi∥Ck(X) = 0

äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ≥ 0 è ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî λi → 0 âïðîñòðàíñòâå D(X) ïðè i → ∞. Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îáîáùåííîé ôóíêöèèf ïîëó÷èì

limi→∞

(f, λi) = 0,

îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (4.4).


Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ), òîãäà

(f(x), (g(y), φ(x, y))) = (g(y), (f(x), φ(x, y)))

äëÿ âñåõ φ ∈ D(X × Y ).

Äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 4.1. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ φ ∈ D(X × Y ) ïðåäñòàâèìà â âèäå ðÿäà

φ(x, y) =∞∑p=1

φp(x)ψp(y), (4.6)

ñõîäÿùåãîñÿ â D(X × Y ), ãäå φp ∈ D(X) è ψp ∈ D(X), p = 1, 2, . . ..

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ, ÷òî suppφ ïðèíàäëå-æèò îòêðûòîìó êóáó (−π, π)n+m â Rn+m ñ öåíòðîì â íóëå è äëèíîé ðåáðà 2π.Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé êîîðäèíàò. Ðàñêëàäûâàÿ φ â ðÿäÔóðüå, ïîëó÷èì

φ(x, y) =∑

k∈Zn,l∈Zm

ck,lei(kx+ly), (4.7)

ãäå i =√−1, à

ck,l =1

(2π)n+m

∫(−π,π)n+m

e−i(kx+ly)φ(x, y) dxdy.

Ïîñêîëüêó φ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà íà âñå ìíîæåñòâî Rn+m äî áåñêîíå÷íîãëàäêîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì 2π, ðÿä (4.7) ñõîäèòñÿ â íîðìåïðîñòðàíñòâà Cs((−π, π)n+m) äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0.Âîçüìåì η ∈ D((−π, π)n) è σ ∈ D((−π, π)m) ðàâíûå åäèíèöå â îêðåñòíîñòÿõ

ïðîåêöèé suppφ íà ìíîæåñòâà (−π, π)n è (−π, π)m, ñîîòâåòñòâåííî. Íåñëîæíîóáåäèòüñÿ, ÷òî

η(x)σ(y)φ(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ (−π, π)n+m,ïîýòîìó, äîìíîæàÿ (4.7) íà η(x)σ(y), áóäåì èìåòü

φ(x, y) =∑

k∈Zn,l∈Zm

ck,lη(x)σ(y)ei(kx+ly). (4.8)

Ïðè ýòîì (4.8) ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà çàíóìåðóåì ìíîæåñòâî Zn+m íàòóðàëüíûìè

÷èñëàìè. Ïîñëåäíåå, î÷åâèäíî, ìîæíî ñäåëàòü, ò.ê. Zn+m ñ÷åòíî. Îáîçíà÷èìφp(x) = ck,lη(x)e

ikx è ψp(y) = σ(y)eily, ãäå (k, l) ýëåìåíò ìíîæåñòâà Zn+m,ñîîòâåòñòâóþùèé íàòóðàëüíîìó ÷èñëó p. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.2. Ñîãëàñíî ëåììå 4.1 ôóíêöèþ φ ∈ D(X × Y )ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà (4.6), ñõîäÿùåãîñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ).Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ f(x)g(y) èìååì

(f(x), (g(y), φ(x, y))) =∞∑p=1

(f(x), (g(y), φp(x)ψp(y))).

Àíàëîãè÷íî,

(g(y), (f(x), φ(x, y))) =∞∑p=1

(g(y), (f(x), φp(x)ψp(y))).


Òåì ñàìûì, îñòàëîñü ëèøü çàìåòèòü, ÷òî

(f(x), (g(y), φp(x)ψp(y)))

= (f(x), φp(x))(g(y), ψp(y))

= (g(y), (f(x), φp(x)ψp(y))), p = 1, 2, . . . .

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Óïðàæíåíèå 4.1. Ïóñòü f ∈ D′(X) è g ∈ D′(Y ). Ïîêàæèòå, ÷òî

∂(f(x)g(y))

∂xi=∂f(x)

∂xig(y), i = 1, 2, . . . , n, (4.9)

è∂(f(x)g(y))

∂yj= f(x)

∂g(y)

∂yjj = 1, 2, . . . ,m.

Çäåñü, êàê è âûøå, x = (x1, x2, . . . , xn) è y = (y1, y2, . . . , ym).

5. Ñâåðòêà îáîáùåííûõ ôóíêöèé

Íàïîìíèì êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f, g ∈ L1(Rn). Ñâåðòêîé f ñ gíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ

f ∗ g(x) =∫Rn

f(x− y)g(y) dy. (5.1)

Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî èíòåãðàë ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàîïðåäåëåí äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Rn è ïðè ýòîì ñâåðêà f ∗ g òàêæå ïðèíàäëåæèòïðîñòðàíñòâó L1(Rn). Â ñàìîì äåëå,∫

Rn

|f ∗ g(x)| dx =

∫Rn

∣∣∣∣∫Rn

f(x− y)g(y) dy

∣∣∣∣ dx ≤∫Rn

∫Rn

|f(x− y)||g(y)| dy dx.

Ïîìåíÿâ ìåñòàìè èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâå, ïîëó÷èì∫Rn

∫Rn

|f(x− y)||g(y)| dx dy =

∫Rn

|g(y)| dy∫Rn

|f(x)| dx.

Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ôóáèíè ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî∫Rn

|f ∗ g(x)| dx ≤∫Rn

|g(y)| dy∫Rn

|f(x)| dx <∞.

Ïîïðîáóåì òåïåðü âûÿñíèòü, êàê äåéñòâóåò ñâåðòêà äâóõ ôóíêöèé èç L1(Rn)íà φ ∈ D(Rn), åñëè åå ïîíèìàòü êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ. Èìååì∫

Rn

f ∗ g(x)φ(x) dx =

∫Rn

∫Rn

f(x− y)g(y)φ(x) dy dx

=

∫Rn

∫Rn

f(ξ)g(y)φ(ξ + y) dy dξ. (5.2)

Ôîðìóëó (5.2) ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü â âèäå

(f ∗ g(x), φ(x)) = (f(x) ∗ g(ξ), φ(ξ + y)),

åñëè áû íîñèòåëü ôóíêöèè

(ξ, y) 7→ φ(ξ + y), (ξ, y) ∈ R2n,

áûë êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Ê ñîæàëåíèþ, ýòî íå òàê, ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òî-áû ââåñòè îïðåäåëåíèå ñâåðêè îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D(Rn),íàì ïîòðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ðàññóæäåíèÿ.


Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ηk ∈ D(Rm), k = 1, 2, . . ., íàçûâàåò-ñÿ êîìïàêòíûì èñ÷åðïàíèåì åäèíèöû â Rm, ãäå m íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå÷èñëî, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

1) äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà H ⊂ Rm ñóùåñòâóåò k0 òàêîå, ÷òî

ηk|H = 1

äëÿ âñåõ k ≥ k0;

2) äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0 ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ A > 0 òàêàÿ, ÷òî

∥ηk∥Cs(Rm) ≤ A

äëÿ âñåõ k ≥ 1.

Ïðèìåð 5.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî η ∈ D(B1) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäè-íèöå íà øàðå B1/2. Â êà÷åñòâå êîìïàêòíîãî ðàçáèåíèÿ åäèíèöû äîñòàòî÷íîâçÿòü

ηk(x) = η(xk

), k = 1, 2, . . . .

Îïðåäåëåíèå 5.2. Ãîâîðèì, ÷òî îáîáùåííûå ôóíêöèè f, g ∈ D′(Rn) äîïóñêà-þò ñâåðòêó f ∗g, åñëè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) è ëþáîãî êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿåäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., ñóùåñòâóåò ïðåäåë

(f ∗ g, φ) = limk→∞

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)). (5.3)

Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðåäåë â (5.3) íå çàâèñèò îò âûáîðà êîìïàêòíîãîèñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü ηk è λk, k = 1, 2, . . ., äâà êîìïàêò-íûõ èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû. Ïîñòðîèì òðåòüå êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèå åäèíèöû,ïîëàãàÿ

σk(x, y) =

ηk(x, y), k íå÷åòíî,λk(x, y), k ÷åòíî,

k = 1, 2, . . . .

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (5.2) äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

(f(x)g(y), σk(x, y)φ(x+ y)), k = 1, 2, . . . ,

èìååò ïðåäåë, ñîâïàäàþùèé, î÷åâèäíî, ñ ïðåäåëîì âñÿêîé åå ïîäïîñëåäîâà-òåëüíîñòè. Â ÷àñòíîñòè,

limk→∞

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞

(f(x)g(y), λk(x, y)φ(x+ y)).

Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî (5.3) îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íàD(Rn), íåïðå-ðûâíîñòü êîòîðîãî ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.1, ïîñêîëüêó êàæäûé èç ôóíêöèîíà-ëîâ

φ 7→ (f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)), φ ∈ D(Rn), k = 1, 2, . . . , (5.4)

ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.

Óïðàæíåíèå 5.1. Ïðèâåäèòå ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíê-öèîíàëîâ (5.4).

Ïðèìåð 5.2. Ïóñòü f, g ∈ L1(Rn), φ ∈ D(Rn) è ηk ∈ (R2n), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîéñõîäèìîñòè, ïîëó÷èì

(f ∗ g, φ) = limk→∞

∫Rn

∫Rn

f(x)g(y)ηk(x, y)φ(x+ y) dx dy

=

∫Rn

∫Rn

f(x)g(y)φ(x+ y) dx dy,


÷òî ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ (5.2).

Óïðàæíåíèå 5.2. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f, g ∈ L1,loc(Rm) ñóùå-ñòâîâàíèå ñâåðòêè f ∗ g ∈ L1,loc(Rm) â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå (5.1) âëå÷åò çàñîáîé ñóùåñòâîâàíèå ñâåðêè â îáîáùåííîì ñìûñëå (5.3), ïðè÷åì îáå ýòè ñâåðò-êè ñîâïàäàþò.

Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêàÿ ñâåðêà f ∗g ∈ L1,loc(Rm),è ïóñòü φ ∈ D(Rn). Ïî òåîðåìå Ôóáèíè φ(x)f(x− y)g(y) ∈ L1(R2m) è ïðè ýòîì

(f ∗ g, φ) =∫Rm

φ(x) dx

∫Rm

f(x− y)g(y) dy =

∫R2m

φ(x)f(x− y)g(y) dxdy.

Ñîâåðøàÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííûõ x x− y, áóäåì èìåòü

(f ∗ g, φ) =∫R2m

φ(x+ y)f(x)g(y) dxdy.

Â ÷àñòíîñòè, φ(x+ y)f(x)g(y) ∈ L1(R2m) è, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðà-íè÷åííîé ñõîäèìîñòè, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî

limk→∞


∫R2m

φ(x+ y)f(x)g(y)ηk(x, y) dxdy

=

∫R2m

φ(x+ y)f(x)g(y) dxdy

äëÿ ëþáîãî êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2m). Ïîñëåäíåå, î÷å-âèäíî, äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ñâåðêè â îáîáùåííîì ñìûñëå è ñîâïàäåíèååå ñ êëàññè÷åñêîé.

Óïðàæíåíèå 5.3. Ïóñòü f1, f2, g ∈ D′(Rn) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñâåðòêè f1 ∗ gè f2 ∗ g. Ïîêàæèòå, ÷òî

(λ1f1 + λ2f2) ∗ g = λ1f1 ∗ g + λ2f2 ∗ gäëÿ âñåõ λ1, λ2 ∈ C, ïðè÷åì ñâåðòêà â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà òàêæåñóùåñòâóåò. Àíàëîãè÷íî,

g ∗ (λ1f1 + λ2f2) = λ1g ∗ f1 + λ2g ∗ f2äëÿ âñåõ λ1, λ2 ∈ C.

Òåîðåìà 5.1 (î êîììóòàòèâíîñòè ñâåðòêè). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò

ñâåðêà f ∗ g, ãäå f, g ∈ D′(Rn). Òîãäà ñóùåñòâóåò ñâåðòêà g ∗ f è ïðè ýòîì

f ∗ g = g ∗ f .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èìååì

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))

è

(g(x)f(y), ηk(y, x)φ(y + x)) = (g(x), (f(y), ηk(y, x)φ(y + x))).

Â òî æå âðåìÿ, èç òåîðåìû 4.2 âûòåêàåò, ÷òî

(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))) = (g(x), (f(y), ηk(y, x)φ(y + x))),

ïîýòîìó

limk→∞


(g(x)f(y), ηk(y, x)φ(y + x)) (5.5)


äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè φ ∈ D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöûηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . .. Ïðè÷åì ñóùåñòâîâàíèå îäíîãî èç ïðåäåëîâ â ôîðìó-ëå (5.5) âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå âòîðîãî.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü f, g ∈ D′(Rn). Òîãäà åñëè íîñèòåëü õîòÿ áû îäíîé èç

ýòèõ äâóõ ôóíêöèé êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî ñâåðêà f ∗ g ñóùåñòâóåòè ïðè ýòîì

(f ∗ g, φ) = (f(x), (g(y), φ(x+ y))) (5.6)

äëÿ âñåõ φ ∈ D(Rn).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ôîð-ìóëû (5.6) êîððåêòíî îïðåäåëåíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè supp f êîìïàêò, òîf ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå ïðîñòðàíñòâî C∞(Rn) (ñì. ñ. 8), â êîòîðîì ââèäóòåîðåìû 4.1 ñîäåðæèòñÿ ôóíêöèÿ

x 7→ (g(y), φ(x+ y)), x ∈ Rn, (5.7)

Â ñâîþ î÷åðåäü, åñëè êîìïàêòîì ÿâëÿåòñÿ supp g, òî ôóíêöèÿ (5.7) ÿâëÿåòñÿýëåìåíòîì D(Rn). Â ñàìîì äåëå, âçÿâ τ ∈ D(Rn), ðàâíîå åäèíèöå â îêðåñòíîñòèsupp g, ïîëó÷èì τg = g. Òåì ñàìûì,

(g(y), φ(x+ y)) = (τ(y)g(y), φ(x+ y)) = (g(y), τ(y)φ(x+ y)) = 0

äëÿ âñåõ x, íå ïðèíàäëåæàùèõ ïðîåêöèè íîñèòåëÿ ôóíêöèè

(x, y) 7→ τ(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n, (5.8)

íà ïåðâûå n êîîðäèíàò.Äîêàæåì ôîðìóëó (5.6) â ñëó÷àå, êîãäà supp g êîìïàêò. Äëÿ ëþáîãî φ ∈

D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., èìååì

ηk(x, y)τ(y)φ(x+ y) = τ(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n,

äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k, ò.ê. íîñèòåëü (5.8) êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.Òàêèì îáðàçîì,

(f ∗ g, φ) = limk→∞

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))

= limk→∞

(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))

= limk→∞

(f(x), (g(y), ηk(x, y)τ(y)φ(x+ y)))

= (f(x), (g(y), τ(y)φ(x+ y))) = (f(x), (g(y), φ(x+ y))).

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî êîìïàêòîì ÿâëÿåòñÿ supp f . Âîçüìåì σ ∈ D(Rm),ðàâíîå åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f . Êàê è âûøå, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè φ ∈D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., ïîëó÷èì

ηk(x, y)σ(x)φ(x+ y) = σ(x)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n,

äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k, ïîýòîìó

(f ∗ g, φ) = limk→∞


= limk→∞

(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))

= limk→∞

(f(x), (g(y), ηk(x, y)σ(x)φ(x+ y)))

= (f(x), (g(y), σ(x)φ(x+ y))) = (f(x), (g(y), φ(x+ y)))


è ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê (5.6).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Óïðàæíåíèå 5.4. Ïîêàæèòå, ÷òî

f ∗ δ = f

äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Rn), ãäå δ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 5.2, íàõîäèì

(f ∗ δ, φ) = (f(x), (δ(y), φ(x+ y))) = (f(x), φ(x))

äëÿ âñåõ φ ∈ D(Rn).

Òåîðåìà 5.3. Ïóñòü f, g ∈ D′(Rn) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà f ∗ g,òîãäà ñóùåñòâóþò ñâåðòêè (∂f/∂xi) ∗ g, f ∗ (∂g/∂xi) è ïðè ýòîì

∂(f ∗ g)∂xi

=∂f

∂xi∗ g = f ∗ ∂g

∂xi, i = 1, 2, . . . , n. (5.9)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî ðàâåíñòâà âôîðìóëå (5.9), âòîðîå áóäåò ñëåäîâàòü èç íåãî â ñèëó êîììóòàòèâíîñòè ñâåðòêè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(Rn) è ηk ∈ D(Rn), k = 1, 2, . . ., íåêîòîðîå ðàçáèåíèååäèíèöû. Èìååì(

∂(f ∗ g)∂xi

, φ

)= −

(f ∗ g, ∂φ

∂xi

)= − lim

k→∞

(f(x)g(y), ηk(x, y)

∂φ(x+ y)

∂xi

).

(5.10)Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë(

∂f

∂xi∗ g, φ

)=

(∂f(x)

∂xig(y), φ

)= lim

k→∞

(∂f(x)

∂xig(y), ηk(x, y)φ(x+ y)

)è ýòîò ïðåäåë ðàâåí ïðàâîé ÷àñòè (5.10). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (4.9), ïîëó÷èì(

∂f(x)

∂xig(y), ηk(x, y)φ(x+ y)

)= −

(f(x)g(y),

∂(ηk(x, y)φ(x+ y))

∂xi

)= −

(f(x)g(y),

∂ηk(x, y)

∂xiφ(x+ y)

)−(f(x)g(y), ηk(x, y)

∂φ(x+ y)

∂xi

).

Òàêèì îáðàçîì, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî

limk→∞

(f(x)g(y),

∂ηk(x, y)

∂xiφ(x+ y)

)= 0, i = 1, 2, . . . , n. (5.11)

Ðàññìîòðèì êîìïàêòíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû

λk = ηk +∂ηk∂xi

, k = 1, 2, . . . .

Ïîñêîëüêó ïðåäåë â îïðåäåëåíèè ñâåðòêè íå çàâèñèò îò âûáîðà êîìïàêòíîãîèñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû, áóäåì èìåòü

limk→∞


(f(x)g(y), λk(x, y)φ(x+ y))


limk→∞



+ limk→∞

(f(x)g(y),

∂ηk(x, y)

∂xiφ(x+ y)

),


îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (5.11).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

6. Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ

óðàâíåíèÿ Lu = f(x) â D′(Rn)

Â ýòîì ðàçäåëå ïîä L ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëü-íûé îïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè

L =∑|α|≤m

cα∂α, cα ∈ C, |α| ≤ m.

Îïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðà-òîðà L íàçûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ E ∈ D′(Rn) òàêàÿ, ÷òî

LE(x) = δ(x),

ãäå δ ∈ D′(Rn) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.

Ïðèìåð 6.1. Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãîîïåðàòîðà

L =d

dx

ÿâëÿåòñÿ θ-ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà (ñì. óïðàæíåíèå 2.2).

Óïðàæíåíèå 6.1. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äèô-ôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà åäèíñòâåííî?

Òåîðåìà 6.1 (î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ). Ïóñòü f ∈ D′(Rn) íåêîòîðàÿ

îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà

u = f ∗ E , (6.1)

ãäå E ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, òîãäà

Lu = f. (6.2)

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî

Lu = f ∗ (LE) = f ∗ δ = f.

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Òåîðåìà 6.2 (î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ). Ïóñòü u ∈ D′(Rn) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (6.2) è ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ñâåðòêà u∗E, ãäå E ôóíäàìåíòàëü-

íîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, òîãäà äëÿ ôóíêöèè u ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (6.1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì, î÷åâèäíî,

L(u ∗ E) = u ∗ (LE) = u ∗ δ = u

è

L(u ∗ E) = (Lu) ∗ E = f ∗ E ,÷òî íåìåäëåííî äîêàçûâàåò òåîðåìó.


7. Çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

Â ýòîì ðàçäåëå ïîä L ìû áóäåì ïîíèìàòü îáûêíîâåííûé äèôôåðåíöèàëüíûéîïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè

L =

(d

dx

)m+ am−1

(d

dx

)m−1

+ . . .+ a1d

dx+ a0, as ∈ C, s = 1, 2, . . . ,m− 1.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C∞(R) è wp ∈ C, p = 0, 1, . . . ,m − 1. Èçâåñòíî, ÷òîçàäà÷à Êîøè

Lw = f(x), w(p)(0) = wp, p = 0, 1, . . . ,m− 1, (7.1)

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé [3].

Ëåììà 7.1. Ïóñòü w ðåøåíèå çàäà÷è (7.1). Îáîçíà÷èì

w(x) = θ(x)w(x) (7.2)

è

f(x) = θ(x)f(x). (7.3)

Òîãäà

Lw =m∑s=1

s−1∑p=0

aswpδ(s−p−1)(x) + f(x). (7.4)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìàòðèâàÿ w êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ èç D′(R), ïîëó-÷èì

(Lw, φ) = (w,L∗φ) (7.5)

äëÿ âñåõ φ ∈ D(R), ãäå

L∗ = (−1)m(d

dx

)m+ (−1)m−1am−1

(d

dx

)m−1

+ . . .+ a2

(d

dx

)2

− a1d

dx+ a0

äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé ê L. Ââèäó òîãî,÷òî w ∈ L1,loc(R), ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

(w,L∗φ) =

∫RwL∗φdx,

îòêóäà, ïîëàãàÿ am = 1, áóäåì èìåòü

(w,L∗φ) =m∑s=0

(−1)sas

∫ ∞

0

wφ(s) dx. (7.6)

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî∫ ∞

0

wφ(s) dx =s−1∑p=0

(−1)p+1w(p)(0)φ(s−p−1)(0) + (−1)s∫ ∞

0

w(s)φdx, s = 1, 2, . . . .

Òàêèì îáðàçîì, (7.6) âëå÷åò çà ñîáîé ðàâåíñòâî

(w,L∗φ) =m∑s=1

s−1∑p=0

(−1)s+p+1asw(p)(0)φ(s−p−1)(0) +

∫ ∞

0

Lwφdx,

îáúåäèíÿÿ êîòîðîå ñ (7.1) è (7.5), çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.


Òåîðåìà 7.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ W ∈ C∞(R) óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè

LW = 0, W(p)(0) = 0, p = 0, 1, . . . ,m− 2, W(m−1)(0) = 1, (7.7)

òîãäà E(x) = θ(x)W(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 7.1, èìååì

LE(x) = δ(x).

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ëåììà 7.2. Ìíîæåñòâî A = f ∈ D′(R) : supp f ∈ [0,∞) ÿâëÿåòñÿ êîììó-òàòèâíîé àëãåáðîé ñ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñâåðòêè, ñëîæåíèÿ è

óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ f, g ∈ A ñóùåñòâóåòñâåðòêà f ∗ g è ýòà ñâåðêà ñîäåðæèòñÿ â A. Âîçüìåì íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå÷èñëî ε > 0 è ôóíêöèþ τ ∈ C∞(R), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì τ |(−∞,−1] = 0

è τ |[−1/2,∞) = 1. Îáîçíà÷èì

τε(x) = τ(xε

), x ∈ R.

Ïóñòü òàêæå f, g ∈ A, φ ∈ D(R) è ηk ∈ D(R), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîåèñ÷åðïàíèå åäèíèöû. Ïîñêîëüêó τεf = f è τεg = g, ïîëó÷èì

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+y)) = (f(x)g(y), ηk(x, y)τε(x)τε(y)φ(x+y)), k = 1, 2, . . . ,

îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî íîñèòåëü ôóíêöèè

(x, y) 7→ τε(x)τε(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2,

êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, áóäåì èìåòü

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x)g(y), τε(x)τε(y)φ(x+ y))

äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k. Òàêèì îáðàçîì, ñâåðêà f∗g ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì

(f ∗ g, φ) = limk→∞

(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x)g(y), τε(x)τε(y)φ(x+ y)).

Íåñëîæíî óâèäåòü, supp f ∗ g ⊂ [0,∞). Â ñàìîì äåëå, äëÿ ëþáîé ôóíêöèèφ ∈ D(R) ñ íîñèòåëåì, ïðèíàäëåæàùèì ïðîìåæóòêó (−∞, 0), íàéäåòñÿ ε > 0òàêîå, ÷òî τε(x)τε(y)φ(x+ y) = 0 äëÿ âñåõ (x, y) ∈ R2, ÷òî, î÷åâèäíî, âëå÷åò çàñîáîé ðàâåíñòâî (f ∗ g, φ) = 0.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî åäèíèöåé â A ÿâëÿ-

åòñÿ δ-ôóíêöèÿ Äèðàêà. Óïðàæíåíèå 7.1. Äîêàæèòå, ÷òî A àññîöèàòèâíàÿ àëãåáðà, ò.å.

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)

äëÿ ëþáûõ f, g, h ∈ A.

Òåîðåìà 7.2. Ïóñòü w ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (7.1), òîãäà

w(x) =m∑s=1

s−1∑p=0

aswpW(s−p−1)(x) +

∫ x

0

W(x− ξ)f(ξ) dξ, (7.8)

ãäå W ðåøåíèå çàäà÷è (7.7).


Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ëåììó 7.1 è òåîðåìó 6.2, ïîëó÷èì

w(x) =m∑s=1

s−1∑p=0

aswpδ(s−p−1) ∗ E(x) + f ∗ E(x), (7.9)

ãäå E(x) = θ(x)W(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, à ôóíêöèè wè f îïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ (7.2) è (7.3), ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.3

δ(s−p−1) ∗ E(x) = δ ∗ E (s−p−1)(x),

îòêóäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

E (s−p−1)(x) = θ(x)W(s−p−1)(x), 1 ≤ s ≤ m, 0 ≤ p ≤ s− 1,

áóäåì èìåòü

m∑s=1

s−1∑p=0

aswpδ(s−p−1) ∗ E(x) = θ(x)

m∑s=1

s−1∑p=0

aswpW(s−p−1)(x).

Òàê êàê f , E ∈ L1,loc(R), äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè (7.9) ñïðàâåä-ëèâî ðàâåíñòâî

f ∗ E(x) = θ(x)

∫ x

0

W(x− ξ)f(ξ) dξ

(ñì. óïðàæíåíèå 5.2). Òåì ñàìûì, (7.9) ïðèíèìàåò âèä

w(x) = θ(x)m∑s=1

s−1∑p=0

aswpW(s−p−1)(x) + θ(x)

∫ x

0

W(x− ξ)f(ξ) dξ,

è ìû äîêàçàëè ôîðìóëó (7.8) äëÿ âñåõ x > 0. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (7.8)òàêæå ñïðàâåäëèâà è äëÿ âñåõ x < 0. Ñïðàâåäëèâîñòü (7.8) â òî÷êå x = 0,î÷åâèäíî, ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû.Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ

v(x) = (−1)mw(−x)

óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè

(−1)mL∗v = f(−x), v(p)(0) = (−1)p+mwp, p = 0, 1, . . . ,m− 1,

ãäå L∗ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé ê L (ñì.ñ. 18). Ïîëàãàÿ, äàëåå,

V(x) = (−1)m−1W(−x),ïîëó÷èì ââèäó òåîðåìû 7.1, ÷òî θ(x)V(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïå-ðàòîðà (−1)mL∗. Òåì ñàìûì, çàìåíÿÿ â ðàññóæäåíèÿõ, ïðèâåäåííûõ âûøå,ôóíêöèþ w íà v(x) = θ(x)v(x), áóäåì èìåòü

v(x) = θ(x)m∑s=1

s−1∑p=0

(−1)s+paswpV(s−p−1)(x) + θ(x)

∫ x

0

V(x− ξ)f(−ξ) dξ,

îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü (7.8) äëÿ âñåõ x < 0.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.


8. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà

Íàì áóäóò ïîëåçíû ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ.

Òåîðåìà 8.1. Ïóñòü Ω ⊂ Rn, n ≥ 1, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî

ãëàäêîé ãðàíèöåé è h ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), òîãäà∫Ω

∂h

∂xidx =

∫∂Ω

h cos(xi, ν) dS, i = 1, 2, . . . , n, (8.1)

ãäå cos(xi, ν) êîñèíóñ óãëà ìåæäó i-ûì êîîðäèíàòíûì îðòîì è âåêòîðîì

âíåøíåé íîðìàëè ν ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω, à dS ýëåìåíò (n − 1)-ìåðíîãîîáúåìà ∂Ω.

Äîêàçàòåëüñòâî. Â îáùåé ôîðìóëå Ñòîêñà1∫∂ω

ω =

∫Ω

dω

âîçüìåì ω = (−1)i−1h(x) dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn [1].

Òåîðåìà 8.2. Ïóñòü Ω ⊂ Rn, n ≥ 1, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî

ãëàäêîé ãðàíèöåé è ïðè ýòîì f, g ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), òîãäà∫Ω

∂f

∂xig dx =

∫∂Ω

fg cos(xi, ν) dS −∫Ω

f∂g

∂xidx, i = 1, 2, . . . , n, (8.2)

ãäå cos(xi, ν) êîñèíóñ óãëà ìåæäó i-ûì êîîðäèíàòíûì îðòîì è âåêòîðîì

âíåøíåé íîðìàëè ν ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω, à dS ýëåìåíò (n − 1)-ìåðíîãîîáúåìà ∂Ω.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàåì h = fg â òåîðåìå 8.1.

Ôîðìóëà (8.1) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì õîðîøî èçâåñòíîé ôîðìó-ëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, â òî âðåìÿ êàê (8.2) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðàâèëîèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Âûðàæåíèÿ (8.1) è (8.2) ïðèíÿòî òàêæå íàçûâàòüôîðìóëàìè Ãðèíà.

Òåîðåìà 8.3. Ïóñòü

En(x) =

1

2πln |x|, n = 2,

− 1

(n− 2)|S1||x|2−n, n ≥ 3,

(8.3)

ãäå |S1| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì åäèíè÷íîé ñôåðû â Rn, òîãäà

∆En = δ(x)

èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, En ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûé ðåøåíèåì îïåðàòîðà

Ëàïëàñà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) ïîëó÷èì

(∆En, φ) =∫Rn

En∆φdx = limr→+0

∫BR\Br

En∆φdx, (8.4)

1Ñ÷èòàåì, ÷òî îðèåíòàöèÿ ∂Ω ñîãëàñîâàíà ñ íîðìàëüþ ν, âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê Ω.


ãäå R > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî suppφ ⊂ BR. Ïðè ýòîì,èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü∫

BR\Br

En∆φdx =

∫∂(BR\Br)

Enn∑i=1

∂φ

∂xicos(xi, ν) dS −

∫BR\Br

n∑i=1

∂En∂xi

∂φ

∂xidx,

ãäå ν = (cos(x1, ν), cos(x2, ν), . . . , cos(xn, ν)) âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê∂(BR \Br), âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè BR \Br, îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî

∂φ

∂ν=

n∑i=1

∂φ

∂xicos(xi, ν),

ñëåäóåò ðàâåíñòâî∫BR\Br

En∆φdx =

∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS −

∫BR\Br

n∑i=1

∂En∂xi

∂φ

∂xidx.

Àíàëîãè÷íî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàõîäèì∫BR\Br

n∑i=1

∂En∂xi

∂φ

∂xidx =

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS −∫BR\Br

∆Enφdx.

Òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâå ôîðìóëû, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî∫BR\Br

En∆φdx =

∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS −

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS

+

∫BR\Br

∆Enφdx. (8.5)

Èìååì ∣∣∣∣∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS

∣∣∣∣ ≤ ∫Sr

En∣∣∣∣∂φ∂ν

∣∣∣∣ dS ≤ const rn−1 En|Sr,

ãäå const > 0 íå çàâèñèò îò r. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé÷àñòè (8.5) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè r → ∞.Äàëåå, èç îïðåäåëåíèÿ En ñëåäóåò, ÷òî

∂En∂ν

∣∣∣∣Sr

= − 1

|Sr|,

ãäå |Sr| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì ñôåðû ðàäèóñà r â Rn, ïîýòîìó∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS =

∫Sr

∂En∂ν

φ dS = − 1

|Sr|

∫Sr

φdS.

Èìååì òàêæå

1

|Sr|

∫Sr

φdS = φ(0) +1

|Sr|

∫Sr

(φ(x)− φ(0)) dS,

ãäå ∣∣∣∣ 1

|Sr|

∫Sr

(φ(x)− φ(0)) dS

∣∣∣∣ ≤ supx∈Sr

|φ(x)− φ(0)| → 0 ïðè r → +0.

Òåì ñàìûì, äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (8.5) ñïðàâåäëèâî ñîîòíî-øåíèå

limr→+0

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS = −φ(0).


Íàêîíåö, òðåòèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (8.5) ðàâåí íóëþ. Â ñàìîì äåëå,ïåðåõîäÿ ê ìíîãîìåðíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−1), ïîëó÷èì

∆ =∂2

∂r2+n− 1

r

∂

∂r+

1

r2∆S1 ,

ãäå ∆S1 îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè íà åäèíè÷íîé ñôåðå, çàâèñÿùèé òîëü-êî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−1, ïîýòîìó

∆En = E ′′n +

n− 1

rE ′n = 0, r = |x| > 0,

ãäå

En(r) =

1

2πln r, n = 2,

− 1

(n− 2)|S1|r2−n, n ≥ 3.

Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (8.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî

limr→+0

∫BR\Br

En∆φdx = φ(0).

Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è (8.4), çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî.

9. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè

Òåîðåìà 9.1. Ôóíêöèÿ

En(x, t) =θ(t)

(2a√πt)n

e−|x|2

4a2t , (x, t) ∈ Rn+1, a > 0, (9.1)

ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè ∂t−a2∆,ò.å.

∂tEn − a2∆En = δ(x, t).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(Rn) è ïðè ýòîì R > 0 íåêîòîðîåâåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî suppφ ⊂ BR × R. Ïîñêîëüêó En ∈ L1,loc(Rn+1),ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

(En, φ) = −∫ ∞

0

∫Rn

En(φt + a2∆φ) dx dt

= − limε→+0

limr→+0

∫ ∞

ε

∫BR\Br

En(φt + a2∆φ) dx dt. (9.2)

Äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà∫ ∞

ε

∫BR\Br

En(φt + a2∆φ) dx dt =

∫ ∞

ε

∫BR\Br

Enφt dx dt

+ a2∫ ∞

ε

∫BR\Br

En∆φdx dt (9.3)

áóäåì èìåòü∫ ∞

ε

∫BR\Br

Enφt dx dt =∫BR\Br

∫ ∞

ε

Enφt dt dx

= −∫BR\Br

En(x, ε)φ(x, ε) dx−∫BR\Br

∫ ∞

ε

∂tEnφdt dx.


Â ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫ ∞

ε

∫BR\Br

En∆φdx =

∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS −

∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS

+

∫ ∞

ε

∫BR\Br

∆Enφdx,

ãäå ν âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ãðàíèöå øàðîâîãî ñëîÿ BR \Br, âíåøíåéïî îòíîøåíèþ ê ýòîìó ñëîþ1.Òåì ñàìûì, (9.3) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå∫ ∞

ε

∫BR\Br

En(φt + a2∆φ) dx dt =−∫BR\Br

En(x, ε)φ(x, ε) dx

+ a2∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS

− a2∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS

−∫ ∞

ε

∫BR\Br

(∂tEn − a2∆En)φdx dt. (9.4)

Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (9.4) ðàâåí íóëþ, ò.ê.

∂tEn − a2∆En = 0 â Rn × (0,∞). (9.5)

Ââèäó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ En è åå ïðîèçâîäíûå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû íà ìíî-æåñòâå Rn × (ε,∞), áóäåì òàêæå èìåòü

limr→+0

∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

En∂φ

∂νdS = lim

r→+0

∫ ∞

ε

∫Sr

En∂φ

∂νdS = 0

è

limr→+0

∫ ∞

ε

∫∂(BR\Br)

∂En∂ν

φ dS = limr→+0

∫ ∞

ε

∫Sr

∂En∂ν

φ dS = 0.

Òàêèì îáðàçîì, (9.4) âëå÷åò çà ñîáîé ñîîòíîøåíèå

limr→+0

∫ ∞

ε

∫BR\Br

En(φt + a2∆φ) dx dt = −∫BR

En(x, ε)φ(x, ε) dx

= −∫Rn

En(x, ε)φ(x, ε) dx. (9.6)

Ïåðåõîäÿ â ïðàâîé ÷àñòè (9.6) ê íîâûì ïåðåìåííûì ξ = x/(2a√ε), ïîëó÷èì∫

Rn

En(x, ε)φ(x, ε) dx =1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2φ(2a√εξ, ε) dξ,

îòêóäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî

limε→+0

∫Rn

En(x, ε)φ(x, ε) dx =1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2φ(0) dξ = φ(0).

Òåì ñàìûì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

limε→+0

limr→+0

∫ ∞

ε

∫BR\Br

En(φt + a2∆φ) dx dt = −φ(0),

îáúåäèíÿÿ êîòîðîå ñ (9.2), çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî. 1Ñðàâíèòå ñ ôîðìóëîé (8.5), c. 22.


10. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà

Òåîðåìà 10.1. Ôóíêöèÿ

E1(x, t) =1

2aθ(at− |x|), (x, t) ∈ R2, a > 0, (10.1)

ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì âîëíîâîãî îïåðàòîðà a = ∂2t − a2∂2x,ò.å.

aE1 = δ(x, t). (10.2)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî

a = (∂t + a∂x)(∂t − a∂x).

Ñîâåðøàÿ, äàëåå, çàìåíó ïåðåìåííûõx = aξ − aη,

t = ξ + η,

áóäåì èìåòü ∂ξ = ∂t + a∂x,

∂η = ∂t − a∂x.

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (10.2) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó

∂ξ∂ηE1 = δ(ξ, η), (10.3)

ãäåE1(ξ, η) = E1(aξ − aη, ξ + η)

èδ(ξ, η) = δ(aξ − aη, ξ + η).

Èç îïðåäåëåíèÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ ó îáîáùåííûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî

δ(ξ, η) =1

2aδ(ξ)δ(η), (10.4)

ïîýòîìó ôóíêöèÿ

E1(ξ, η) =1

2aθ(ξ)θ(η)

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (10.3). Âîçâðàùàÿñü â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè êïåðåìåííûì x è t, ïîëó÷èì

E1(x, t) =1

2aθ

(at+ x

2a

)θ

(at− x

2a

)=

1

2aθ(at− |x|).

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Óïðàæíåíèå 10.1. Ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (10.4).

Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R2) èç îïðåäåëåíèÿ çàìåíû ïåðåìåííîé ó îáîá-ùåííûõ ôóíêöèé, ñ. 4, íàõîäèì

(δ(ξ, η), φ(ξ, η)) =

(δ(x, t), φ

(at+ x

2a,at− x

2a

) ∣∣∣∣det∥∥∥∥∂(ξ, η)∂(x, t)

∥∥∥∥∣∣∣∣) =1

2aφ(0, 0).

Òåì ñàìûì, îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî(1

2aδ(ξ)δ(η), φ(ξ, η)

)=

1

2a(δ(ξ), ((δ(η), φ(ξ, η)))) =

1

2a(δ(ξ), φ(ξ, 0)) =

1

2aφ(0, 0)

ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.


Ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåíèÿìè âîëíîâîãî îïåðàòîðà â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àåÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôóíêöèè:

E2(x, t) =θ(at− |x|)

2πa√a2t2 − |x|2

, n = 2, (10.5)

è

E3(x, t) =θ(t)

4πa2tδSat(x), n = 3. (10.6)

11. Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

Çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿ çàäà÷à î íàõîæ-äåíèè ôóíêöèè u, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèÿì

ut = ∆u+ f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,

u(x, 0) = u0(x).(11.1)

Ìû áóäåì ãîâîðèòü îá îáîáùåííîé è êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêàõ ýòîé çàäà÷è.

Îïðåäåëåíèå 11.1. Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u ∈ C(Rn × [0,∞)) òàêàÿ, ÷òî u(·, t) ∈C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞), u(x, ·) ∈ C1(0,∞) äëÿ âñåõ x ∈ Rn è ïðè ýòîìâûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (11.1).

Èç ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ (11.1), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òîôóíêöèè f è u0 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì f ∈ C(Rn × (0,∞)) è u0 ∈C(Rn). Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî â òåîðåìå 11.2 ýòè óñëîâèÿ ïðèäåòñÿ çíà-÷èòåëüíî óñèëèòü.

Ëåììà 11.1. Ïóñòü u ∈ C(Rn × [0,∞)) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî

u(·, t) ∈ C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞), u(x, ·) ∈ C1(0,∞) äëÿ âñåõ x ∈ Rn è ïðè

ýòîì ut −∆u ∈ L1,loc(Rn × [0,∞)). Îáîçíà÷èì

u(x, t) =

u(x, t), t ≥ 0,

0, t < 0,(11.2)

è

f(x, t) =

ut −∆u, t > 0,

0, t ≤ 0.

Òîãäà

ut = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ(t)

â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Rn+1) èìååì

(ut −∆u, φ) = (u,−φt −∆φ) = −∫ ∞

0

∫Rn

uφt dtdx−∫ ∞

0

∫Rn

u∆φdxdt. (11.3)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ε > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Èíòåãðèðóÿ ïî÷àñòÿì, íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî∫ ∞

ε

u(x, t)φt(x, t) dt = −u(x, ε)φ(x, ε)−∫ ∞

ε

ut(x, t)φ(x, t) dt, x ∈ Rn,

è ∫Rn

u(x, t)∆φ(x, t) dx =

∫Rn

∆u(x, t)φ(x, t) dx, t ∈ (ε,∞). (11.4)


Òàêèì îáðàçîì,∫ ∞

ε

∫Rn

uφt dtdx+

∫ ∞

ε

∫Rn

u∆φdxdt

=

∫ ∞

ε

∫Rn

(∆u− ut)φdxdt−∫Rn

u(x, ε)φ(x, ε) dx,

îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, ïîëó÷èì∫ ∞

0

∫Rn

uφt dtdx+

∫ ∞

0

∫Rn

u∆φdxdt

=

∫ ∞

0

∫Rn

(∆u− ut)φdxdt−∫Rn

u(x, 0)φ(x, 0) dx.

Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ñ ôîðìóëîé (11.3), áóäåì èìåòü

(ut −∆u, φ) =

∫ ∞

0

∫Rn

(ut −∆u)φdxdt+

∫Rn

u(x, 0)φ(x, 0) dx


(ut −∆u, φ) = (f(x, t) + u(x, 0)δ(t), φ).

Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 11.2. ÏîäM áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé,ðàâíûõ íóëþ ï.â. íà Rn× (−∞, 0) è ïðèíàäëåæàùèõ L∞(Rn× (0, T )) äëÿ âñåõâåùåñòâåííûõ ÷èñåë T > 0.

Ëåììà 11.2. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ M ñóùåñòâóåò ñâåðòêà En∗f ∈ M, ãäå

En ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè, îïðåäåëåííîå

ðàâåíñòâîì (9.1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðêà En∗f ∈ M â êëàñ-ñè÷åñêîì ñìûñëå, òî áóäåò ñóùåñòâîâàòü è îáîáùåííàÿ ñâåðêà è îáå ñâåðêèáóäóò ñîâïàäàòü (ñì. óïðàæíåíèå 5.2).Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ êëàññè÷åñêîé ñâåðêè

En ∗ f (x, t) =

∫Rn+1

En(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ

= θ(t)

∫ t

0

∫Rn

e− |x−y|2

4a2(t−τ)

(2a√π(t− τ))n

f(y, τ) dydτ, (x, t) ∈ Rn+1. (11.5)

Ñîâåðøàÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé ξ = (x − y)/(2a√t− τ),

ïîëó÷èì

En ∗ f (x, t) =θ(t)

πn/2

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, (x, t) ∈ Rn+1,


|En ∗ f (x, t)| ≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,t))θ(t)t

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2 dξ

= θ(t)t∥f∥L∞(Rn×(0,t)), (x, t) ∈ Rn+1.

Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.


Îïðåäåëåíèå 11.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ M è u0 ∈ L∞(Rn). Îáîáùåííûìðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿôóíêöèÿ u ∈ M òàêàÿ, ÷òî

ut = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ(t), (11.6)

ãäå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîíèìàåòñÿ â îáîáùåííîì ñìûñëå êàê îò ôóíêöèè èçïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1).

Òåîðåìà 11.1. Îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåï-ëîïðîâîäíîñòè, ãäå f ∈ M è u0 ∈ L∞(Rn), ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðå-

äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïóàññîíà

u(x, t) = θ(t)

∫ t

0

∫Rn

e− |x−y|2

4a2(t−τ)

(2a√π(t− τ))n

f(y, τ) dydτ

+θ(t)

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn+1. (11.7)

Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.2 è ëåììû 11.2. Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîó ïðàâîé ÷àñòè (11.6) ñóùåñòâóåò ñâåðêà ñ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðà-òîðà òåïëîïðîâîäíîñòè (9.1). Ââèäó ëåììû 11.2 ó ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé÷àñòè (11.6) òàêàÿ ñâåðêà ñóùåñòâóåò è äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (11.5).Ìîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (11.5) ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãàåìûìâ ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (11.7).Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) ∈ M, ïðè÷åì

En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) =θ(t)

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn+1. (11.8)

Â ñàìîì äåëå, ïóñòü ηk ∈ D(R2n+2), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèååäèíèöû. Äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Rn+1) èìååì

limk→∞

(En(ξ, t)u0(y)δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))

= limk→∞

(En(ξ, t), (u0(y), (δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))))

= limk→∞

(En(ξ, t), (u0(y), ηk(ξ, t, y, 0)φ(ξ + y, t)))

=

∫ ∞

−∞

∫Rn

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|ξ|2

4a2tu0(y)ηk(ξ, t, y, 0)φ(ξ + y, t) dydξdt.

Ñîâåðøàÿ, äàëåå, çàìåíó ïåðåìåííûõ x = ξ + y, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî

limk→∞


=

∫ ∞

−∞

∫Rn

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0)φ(x, t) dydxdt

=

∫ ∞

−∞

∫Rn

φ(x, t)

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dydxdt.

Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dy →∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy


ïðè k → ∞ äëÿ ï.â. (x, t) ∈ Rn+1. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî∣∣∣∣∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dy

∣∣∣∣≤ ∥ηk∥C(R2n+2)∥u0∥L∞(Rn)

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t dy

= θ(t)∥ηk∥C(R2n+2)∥u0∥L∞(Rn).

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû íîðìà ∥ηk∥C(R2n+2)

îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò k. Òàêèì îáðàçîì,ïðèìåíÿÿ åùå ðàç òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè, ïîëó÷èì∫ ∞

−∞

∫Rn

φ(x, t)

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dydxdt

→∫ ∞

−∞

∫Rn

φ(x, t)

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dydxdt

ïðè k → ∞, îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî

limk→∞


=

∫ ∞

−∞

∫Rn

φ(x, t)

∫Rn

θ(t)

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dydxdt

=

(θ(t)

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy, φ(x, t)

).

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíî ôîðìóëå (11.8). Èìååì òàêæå∣∣∣∣ θ(t)

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy

∣∣∣∣≤ ∥u0∥L∞(Rn)

θ(t)

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t dy = θ(t)∥u0∥L∞(Rn)

äëÿ âñåõ (x, t) ∈ Rn+1, ïîýòîìó En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) ∈ M.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (11.8)

ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (11.7). Íàì ïîòðåáóåòñÿ îäíî óòâåðæäåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå èç ñåáÿ ïðàâèëî äèô-

ôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.

Ëåììà 11.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a < λ0 < b âåùåñòâåííûå ÷èñëà, M

ìíîæåñòâî ñ ìåðîé Ëåáåãà µ, à f : (a, b) × M → R íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ

òàêàÿ, ÷òî ∫M

|f(λ0, y)| dµ(y) <∞,

f(·, y) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà (a, b) ïî÷òè äëÿ âñåõ y ∈M , è∫(a,b)×M

∣∣∣∣∂f(λ, y)∂λ

∣∣∣∣ dλ dµ(y) <∞.

Òîãäà èíòåãðàë

φ(λ) =

∫M

f(λ, y) dµ(y)


ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî λ ∈ (a, b), ôóíêöèÿ φ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà èíòåð-

âàëå (a, b) è ïðè ýòîì

dφ(λ)

dλ=

∫M

∂f(λ, y)

∂λdµ(y) (11.9)

äëÿ ïî÷òè âñåõ λ ∈ (a, b).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà

f(λ, y) = f(λ0, y) +

∫ λ

λ0

∂f(θ, y)

∂θdθ

äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b) è ïî÷òè âñåõ y ∈ M , îòêóäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ôóáèíèíàõîäèì

φ(λ) = φ(λ0) +

∫ λ

λ0

dθ

∫M

∂f(θ, y)

∂θdµ(y)

äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b).Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Çàìå÷àíèå 11.1. Åñëè â óñëîâèÿõ ëåììû 11.3 ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû∫M

∂f(λ, y)

∂λdµ(y) ∈ C(a, b)

êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà λ, òî áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü φ ∈ C1(a, b) è ôîðìó-ëà (11.9) áóäåò âûïîëíåíà äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b).Íè÷òî òàêæå íå ìåøàåò ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû λ0 ñîâïàäàëî ñ îäíèì èç êîíöîâ

èíòåðâàëà (a, b), íàïðèìåð, λ0 = a. Òîãäà åñëè∫M

∂f(λ, y)

∂λdµ(y) ∈ C([a, b))

êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà λ, òî φ ∈ C1([a, b)) è ôîðìóëà (11.9) áóäåò âûïîë-íåíà äëÿ âñåõ λ ∈ [a, b). Ïðè ýòîì â òî÷êå a ïîäðàçóìåâàåòñÿ îäíîñòîðîííÿÿïðîèçâîäíàÿ.

Òåîðåìà 11.2. Ïóñòü u0 ∈ C(Rn)∩L∞(Rn), f(·, t) ∈ C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞)è ïðè ýòîì ∂αx f ∈ M ∩ C(Rn × (0,∞)) äëÿ âñåõ α = (α1, . . . , αn) òàêèõ, ÷òî|α| ≤ 2. Òîãäà êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëî-ïðîâîäíîñòè ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïóàññîíà

u(x, t) =

∫ t

0

∫Rn

e− |x−y|2

4a2(t−τ)

(2a√π(t− τ))n

f(y, τ) dydτ

+1

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn × (0,∞).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 11.1 ñóùåñòâóåò îáîáùåííîå ðåøåíèå çà-äà÷è (11.1), äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî (11.7). Îáîçíà÷èì

J1(x, t) =

∫ t

0

∫Rn

e− |x−y|2

4a2(t−τ)

(2a√π(t− τ))n

f(y, τ) dydτ (11.10)

è

J2(x, t) =1

(2a√πt)n

∫Rn

e−|x−y|2

4a2t u0(y) dy. (11.11)


Âûïîëíèâ çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = (x− y)/(2a√t− τ) ïîëó÷èì

J1(x, t) =1

πn/2

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ

äëÿ âñåõ (x, t) ∈ Rn × (0,∞).Ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Rn × (0,∞) ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå

∂αxJ1(x, t) =1

πn/2

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, |α| ≤ 2,

è

∂tJ1(x, t) =1

πn/2

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdz

+1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2f(x, t) dξ,

íåïðåðûâíûå â îáëàñòè Rn× (0,∞). Äåéñòâèòåëüíî, ïî óñëîâèÿì òåîðåìû äëÿâñåõ (x, t) ∈ Rn × (0,∞) èìååì

1

πn/2

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ

≤ t∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,t))1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2 dξ

= t∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,t)) <∞, |α| ≤ 2, (11.12)

1

πn/2

∫ t

t0

∫Rn

e−|ξ|2|∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ

≤ ∥∇f∥L∞(Rn×(0,t))a

πn/2

∫ t

t0

dτ√t− τ

∫Rn

|ξ|e−|ξ|2 dξ

= ∥∇f∥L∞(Rn×(0,t))2a

√t− t0

πn/2

∫Rn

|ξ|e−|ξ|2 dξ <∞, 0 ≤ t0 < t, (11.13)

è

1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2|f(x, t)| dξ ≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,t))1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2 dξ = ∥f∥L∞(Rn×(0,t)) <∞.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ëåììó 11.3 è çàìå÷àíèå 11.1, äîñòàòî÷-íî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü â Rn × (0,∞) ôóíêöèé

Fα(x, t) =

∫ t

0

∫Rn


G(x, t) =

∫ t

0

∫Rn

e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ

è

H(x, t) =

∫Rn

e−|ξ|2f(x, t) dξ.

Ïóñòü K ⊂ Rn × (0,∞) íåêîòîðûé êîìïàêò. Âîçüìåì âåùåñòâåííîå ÷èñëîM > 0 òàêîå, ÷òî K ⊂ Rn × (0,M). Åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî

∥Fα − Fα,m∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞, (11.14)

∥G−Gm∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞ (11.15)


è

∥H −Hm∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞, (11.16)

ãäå

Fα,m(x, t) =

∫ t

1/m

∫Bm


Gm(x, t) =

∫ t−1/m

1/m

∫Bm

e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ

è

Hm(x, t) =

∫Bm

e−|ξ|2f(x, t) dξ,

òî ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé Fα,m, Gm è Hm íà ìíîæåñòâå K (ñì. óïðàæ-íåíèå 11.1), ìû ïîëó÷èì, ÷òî Fα, G è H òàêæå íåïðåðûâíû íà K.Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî

∥Fα − Fα,m∥C(K) ≤∫ 1/m

0

∫Rn

e−|ξ|2 |∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ

+

∫ M

0

∫Rn\Bm

e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ.

Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñòðåìèòñÿ ê íóëþïðè m→ ∞ ñîãëàñíî îöåíêå (11.12). Äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî èìååì∫ M

0

∫Rn\Bm

e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ

≤M∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,M))

∫Rn\Bm

e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.

Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè (11.14).Àíàëîãè÷íî,

∥G−Gm∥C(K) ≤∫ t

t−1/m

∫Rn


+

∫ 1/m

0

∫Rn


+

∫ M

0

∫Rn\Bm

e−|ξ|2 |∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ,

ãäå äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè m → ∞ââèäó (11.13), à äëÿ òðåòüåãî ñïðàâåäëèâà îöåíêà∫ M

0

∫Rn\Bm


≤ a∥∇f∥L∞(Rn×(0,M))

∫ T

0

dτ√t− τ

∫Rn\Bm

|ξ|e−|ξ|2 dξ

= 2a√T∥∇f∥L∞(Rn×(0,M))

∫Rn\Bm

|ξ|e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.

Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè ñïðàâåäëèâîñòü (11.15).


Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (11.16) îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî

∥H −Hm∥C(K) ≤∫Rn\Bm

e−|ξ|2|f(x, t)| dξ

≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,M))

∫Rn\Bm

e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.

Ìîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî J2 ∈ C∞(Rn × (0,∞)), ïðè÷åì

∂βJ2(x, t) =

∫Rn

∂β(

1

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t

)u0(y) dy

äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1). Äëÿ ýòîãî ñîãëàñíî ëåì-ìå 11.3 è çàìå÷àíèþ 11.1 äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü â Rn × (0,∞)ôóíêöèé

Iβ(x, t) =

∫Rn

∂β(

1

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t

)u0(y) dy.

Ïóñòü K ⊂ Rn × (0,∞) íåêîòîðûé êîìïàêò. Ïîêàæåì, ÷òî

∥Iβ(x, t)− Iβ,m(x, t)∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞ (11.17)

äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1), ãäå

Iβ,m(x, t) =

∫Bm

∂β(

1

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t

)u0(y) dy, m = 1, 2, . . . .

Òàê êàê Iβ,m ∈ C(K) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m, îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü,÷òî Iβ ∈ C(K). Äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1) èìååì

∂β(

1

(2a√πt)n

e−|x−y|2

4a2t

)= Aβ(x, t)e

− |x−y|2

4a2t ,

ãäå Aβ ∈ C(K), ïîýòîìó

∥Iβ(x, t)− Iβ,m(x, t)∥C(K) ≤∫Rn\Bm

∣∣∣∣Aβ(x, t)e− |x−y|2

4a2t u0(y)

∣∣∣∣ dy≤ ∥Aβ∥C(K)∥u0∥L∞(Rn)

∫Rn\Bm

e−(|y|−l)2

4a2ε dy,

ãäå

l = sup(x,t)∈K

|x| <∞

è

ε = inf(x,t)∈K

t > 0,

÷òî íåìåäëåííî âëå÷åò çà ñîáîé (11.17).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèè J1 è J2, à çíà÷èò è ïðàâóþ ÷àñòü (11.7) ìîæíî

íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðîäîëæèòü íà ìíîæåñòâî Rn× [0,∞)1. Äåéñòâèòåëüíî,âçÿâ α = 0 â (11.12), ïîëó÷èì, ÷òî J1(x, t) → 0 ïðè t → +0 ðàâíîìåðíî ïî

1Çàìåòèì, ÷òî ôîðìàëüíî J1 è J2 íå îïðåäåëåíû ïðè t = 0. Â ñëó÷àå ðåøåíèÿ (11.7)îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè ýòî, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì, ò.ê. ôóíêöèþ èçL1,loc(Rn+1) äîñòàòî÷íî çàäàòü íà ìíîæåñòâå ïîëíîé ìåðû, ò.å. íà äîïîëíåíèè ìíîæåñòâàìåðû íóëü.


x ∈ Rn, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî J1(x, 0) = 0. Â ñâîþ î÷åðåäü, âûïîëíèââ (11.11) çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = (x− y)/(2a

√t), áóäåì èìåòü

J2(x, t) =1

πn/2

∫Rn

e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ.

Â îòëè÷èå îò (11.11) ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëåíà íà âñåììíîæåñòâå Rn× [0,∞), â òîì ÷èñëå è ïðè t = 0. Ïîêàæåì, ÷òî îíà íåïðåðûâíàíà Rn × [0,∞). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî

∥J2 − J2,m∥C(Rn×[0,∞)) → 0 ïðè m→ ∞, (11.18)

ãäå

J2,m(x, t) =1

πn/2

∫Bm

e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ,

ò.ê. ôóíêöèè J2,m íåïðåðûâíû íà Rn × [0,∞). Èìååì

∥J2 − J2,m∥C(Rn×[0,∞)) ≤1

πn/2

∫Rn\Bm

e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ

≤ ∥u0∥L∞(Rn)1

πn/2

∫Rn\Bm

e−|ξ|2 dξ,

îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (11.18).Òåì ñàìûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå ðåøåíèå (11.7) îáîáùåííîé

çàäà÷è Êîøè óäîâëåòâîðÿåò òåì æå óñëîâèÿì ãëàäêîñòè, ÷òî è êëàññè÷åñêîåðåøåíèå (ñì. îïðåäåëåíèå 11.1). Ïðè ýòîì (11.6) ïîçâîëÿåò, î÷åâèäíî, óòâåð-æäàòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå Rn × (0,∞) óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

ut = ∆u+ f(x, t)

ñïðàâåäëèâî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå, ò.å. â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà.×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî

u(x, 0) = u0(x), (11.19)

çàìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 11.1

ut = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ(t).

Âû÷èòàÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èç (11.6), ïîëó÷èì

(u0(x)− u(x, 0))δ(t) = 0,

îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò (11.19) (ñì. óïðàæíåíèå 11.2).Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî åäèíñòâåííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò èç

åäèíñòâåííîñòè îáîáùåííîãî, ò.ê. ïî ëåììå 11.1 êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, ïðî-äîëæåííîå íóëåì ïðè t < 0, ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Óïðàæíåíèå 11.1. Ïóñòü f ∈ C(X × Y ), ãäå X ⊂ Rk è Y ⊂ Rl, k, l ≥ 1, êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ

F (x) =

∫Y

f(x, y) dy

íåïðåðûâíà íà X.


Ðåøåíèå. Ìîæíî, î÷åâèäíî, óòâåðæäàòü, ÷òî f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íàêîìïàêòå X × Y , ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ κ > 0 òàêîå, ÷òî|f(x1, y)− f(x2, y)| < ε äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ X è y ∈ Y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ|x1 − x2| < κ. Òàêèì îáðàçîì,

|F (x1)− F (x2)| ≤∫Y

|f(x1, y)− f(x2, y)| dy ≤ εmesY

äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ X òàêèõ, ÷òî |x1 − x2| < κ.

Óïðàæíåíèå 11.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîm∑k=0

uk(x)δ(k)(t) = 0,

ãäå uk ∈ D′(Rn). Äîêàæèòå, ÷òî uk = 0, k = 0, 1, . . . ,m.

Ðåøåíèå. Ïóñòü φ ∈ D(Rn) è l ∈ 0, . . . ,m è ïóñòü η ∈ D(R) íåêîòîðàÿôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Èìååì(

m∑k=0

uk(x)δ(k)(t), φ(x)tlη(t)

)=

m∑k=0

(uk(x), φ(x))(δ(k)(t), tlη(t))

= (−1)ll!(ul(x), φ(x)) = 0.

12. Çàäà÷à Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ

Çàäà÷åé Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à î íàõîæäåíèèôóíêöèè u, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèÿì

utt = ∆u+ f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,

u(x, 0) = u0(x).

ut(x, 0) = u1(x).

(12.1)

Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, ìû áóäåì ãî-âîðèòü îá îáîáùåííîé è êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêàõ çàäà÷è (12.1).

Îïðåäåëåíèå 12.1. Ðåøåíèåì êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ âîëíî-âîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u ∈ C1(Rn × [0,∞)) ∩ C2(Rn × (0,∞)),óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèÿì (12.1).

Ëåììà 12.1. Ïóñòü u ∈ C1(Rn× [0,∞))∩C2(Rn× (0,∞)) íåêîòîðàÿ ôóíê-

öèÿ òàêàÿ, ÷òî utt −∆u ∈ L1,loc(Rn × [0,∞)). Òîãäà

utt = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t) (12.2)

â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1), ãäå u çàäàíî ñ ïî-

ìîùüþ (11.2), à

f(x, t) =

utt −∆u, t > 0,

0, t ≤ 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîáùåííîé ôóíê-öèè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn+1)

(utt −∆u, φ) = (u, φtt −∆φ) =

∫ ∞

0

∫Rn

uφtt dtdx−∫ ∞

0

∫Rn

u∆φdxdt. (12.3)


Ïóñòü ε > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫ ∞

ε

u(x, t)φtt(x, t) dt =− u(x, ε)φt(x, ε) + ut(x, ε)φ(x, ε)

+

∫ ∞

ε

utt(x, t)φ(x, t) dt, x ∈ Rn.

Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà è (11.4) ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî∫ ∞

ε

∫Rn


ε

∫Rn

u∆φdxdt

=

∫ ∞

ε

∫Rn

(utt −∆u)φdxdt−∫Rn

u(x, ε)φt(x, ε) dx+

∫Rn

ut(x, ε)φ(x, ε) dx.

Ïåðåõîäÿ â ýòîì âûðàæåíèè ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, áóäåì èìåòü∫ ∞

0

∫Rn


0

∫Rn

u∆φdxdt

=

∫ ∞

0

∫Rn


u(x, 0)φt(x, 0) dx+

∫Rn

ut(x, 0)φ(x, 0) dx,

îòêóäà ââèäó (12.3) ñëåäóåò, ÷òî

(ut −∆u, φ) =

∫ ∞

0

∫Rn


u(x, 0)φt(x, 0) dx

+

∫Rn

ut(x, 0)φ(x, 0) dx


(ut −∆u, φ) = (f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t), φ).

Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. Îïðåäåëåíèå 12.2. Ïóñòü u0, u1 ∈ D′(Rn), f ∈ D′(Rn+1) è ïðè ýòîì supp f ⊂Rn × [0,∞). Ðåøåíèåì îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿu ∈ D′(Rn+1) òàêàÿ, ÷òî suppu ⊂ Rn × [0,∞) è

utt = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t). (12.4)

Ëåììà 12.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E è f îáîáùåííûå ôóíêöèè èç D′(Rn+1)òàêèå, ÷òî supp E ⊂ Ka è supp f ⊂ Rn × [0,∞), ãäå Ka = (x, t) : |x| ≤ at

êîíóñ â Rn+1. Òîãäà ñâåðòêà E ∗ f ñóùåñòâóåò, supp E ∗ f ⊂ Rn × [0,∞) è

(E ∗ f, φ) = (E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ)) (12.5)

äëÿ âñåõ φ ∈ D′(Rn+1), ãäå η ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç C∞(R), ðàâíàÿ åäèíèöå â

îêðåñòíîñòè çàìêíóòîãî ïðîìåæóòêà [0,∞) è íóëþ â îêðåñòíîñòè −∞.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λk ∈ D(R2n+2), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèååäèíèöû. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D′(Rn+1) èìååì

(E ∗ f, φ) = limk→∞

(E(x, t)f(ξ, τ), λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ)).

Ôóíêöèÿ η(t)η(a2t2 − |x|2) ðàâíà åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp E , ïîýòîìóη(t)η(a2t2 − |x|2)E(x, t) = E(x, t).

Àíàëîãè÷íî,η(τ)f(ξ, τ) = f(ξ, τ).


Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì

(E ∗ f, φ) = limk→∞

(η(t)η(a2t2 − |x|2)E(x, t)η(τ)f(ξ, τ), λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ))

= limk→∞

(E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ)),

îòêóäà ñëåäóåò (12.5), ïîñêîëüêó íîñèòåëü η(t)η(τ)η(a2t2−|x|2)φ(x+ ξ, t+ τ) êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.Ðàâåíñòâî (12.5), â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî supp E ∗ f ⊂

Rn × [0,∞). Â ñàìîì äåëå, ïóñòü supφ ⊂ Rn × (−∞, 0). Âîçüìåì ôóíêöèþη ∈ C∞(R), óäîâëåòâîðÿþùóþ ñîîòíîøåíèÿì

η|(−∞,−ε/2] = 0 è η|[−ε/4,∞) = 1,

ãäå ε > 0 âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî supφ ⊂ Rn × (−∞,−ε). Íåñëîæíîóâèäåòü, ÷òî η(t)η(τ)φ(x+ ξ, t+ τ) = 0 äëÿ âñåõ (x, t, ξ, τ) ∈ R2n+2, ïîýòîìó

(E ∗ f, φ) = (E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ)) = 0.

Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Òåîðåìà 12.1. Ïóñòü u0, u1 ∈ D′(Rn), f ∈ D′(Rn+1) è ïðè ýòîì supp f ⊂ Rn×[0,∞). Òîãäà ðåøåíèå îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìàìè 6.1, 6.2 è ëåììîé 12.2.

Òåîðåìà 12.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C1(R × [0,∞)), u0 ∈ C2(R) è u1 ∈C1(R). Òîãäà ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ îäíîìåðíîãî âîë-íîâîãî óðàâíåíèÿ (n = 1) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéÄàëàìáåðà

u(x, t) =1

2(u0(x+ at) + u0(x− at)) +

1

2a

∫ x+at

x−atu1(ξ) dξ

+1

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξdτ. (12.6)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîäîëæèì f íóëåì íà ìíîæåñòâî R × (−∞, 0). Ïî òåîðå-ìå 12.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

u(x, t) = E1(x, t) ∗ (f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t)) (12.7)

îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ãäå E1 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îäíîìåð-íîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà, çàäàííîå ñ ïîìîùüþ (10.1). Âû÷èñëèì ñâåðêó, ñòî-ÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè (12.7). Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêàÿ ñâåðòêàE1∗f ∈ L1,loc(R2), êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, áóäåò è îáîáùåííîé (ñì. óïðàæíåíèå 5.2).Èìååì

E1 ∗ f (x, t) =1

2a

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞E1(x− ξ, t− τ)f(ξ, τ) dξdτ

=θ(t)

2a

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞θ(a(t− τ)− |x− ξ|)f(ξ, τ) dξdτ

=θ(t)

2a

∫ t

0

∫ x+a(t−τ)

x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξdτ.


Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðè t ≥ 0 âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåä-íåãî ðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñ òðåòüèì ñëàãàåìûì ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äà-ëàìáåðà (12.6). Íåïîñðåäñòâåííî äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ìîæíî òàêæåóáåäèòüñÿ, ÷òî E1 ∗ f ∈ C2(R× [0,∞)).Íàéäåì òåïåðü ñâåðòêó E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)). Ïóñòü ôóíêöèÿ η òàêàÿ æå, êàê

â ëåììå 12.2. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R2), ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (12.5), ïîëó÷èì

(E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))= (E1(x, t)u1(ξ)δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))

= (E1(x, t), (u1(ξ), (δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))))

= (E1(x, t), (u1(ξ), η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t)))

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞E1(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dξdxdt.

Ñîâåðøàÿ çàìåíó x x+ ξ, áóäåì èìåòü∫ ∞

−∞E1(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dx

=

∫ ∞

−∞E1(x− ξ, t)u1(ξ)η(t)η(a

2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dx

äëÿ âñåõ ξ, t ∈ R. Òàêèì îáðàçîì,

(E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞E1(x− ξ, t)u1(ξ)η(t)η(a

2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dξdxdt

=1

2a

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞θ(at− |x− ξ|)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dξdxdt

=θ(t)

2a

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ x+at

x−atu1(ξ)φ(x, t) dξdxdt =

(θ(t)

2a

∫ x+at

x−atu1(ξ) dξ, φ(x, t)

)èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,

E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) =θ(t)

2a

∫ x+at

x−atu1(ξ) dξ.

Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè t ≥ 0 ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ñëàãàå-ìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äàëàìáåðà (12.6). Ìîæíî òàêæå óáåäèòüñÿ, ÷òîE1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) ∈ C2(R× [0,∞)).Àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì

E1(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =∂

∂t(E1(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)))

=∂

∂t

(θ(t)

2a

∫ x+at

x−atu0(ξ) dξ

)=

1

2(u0(x+ at) + u0(x− at)),

ãäå âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãà-åìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äàëàìáåðà (12.6). Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, E1(x, t)∗(u0(x)δ

′(t)) ∈ C2(R× [0,∞)).Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) ïðèíàäëåæèò

C2(R× [0,∞)). Òåì ñàìûì, ââèäó (12.4) óðàâíåíèå

utt = ∆u+ f(x, t), x ∈ R, t > 0,


èìååò ìåñòî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå, ò.å. â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà R× (0,∞).Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ òàêæå âûïîëíåíû â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå. ×òîáû â ýòîìóáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî ëåììå 12.1 ñïðàâåäëèâî óðàâíå-íèå (12.2), âû÷èòàÿ êîòîðîå èç (12.4), íàõîäèì

(u0(x)− u(x, 0))δ′(t) + (u1(x)− ut(x, 0))δ(t) = 0, (12.8)


u(x, 0) = u0(x) è ut(x, 0) = u1(x) (12.9)

(ñì. óïðàæíåíèå 11.2).Íàêîíåö, åäèíñòâåííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè

îáîáùåííîãî, ò.ê. ïî ëåììå 12.1 ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ïðî-äîëæåííîå íóëåì ïðè t < 0, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé îáîáùåííîéçàäà÷è.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Óïðàæíåíèå 12.1. Ïîëó÷èòå (12.9) íåïîñðåäñòâåííî èç (12.6).

Òåîðåìà 12.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C2(R2 × [0,∞)), u0 ∈ C3(R2) è u1 ∈C2(R2). Òîãäà ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ äâóìåðíîãî âîë-

íîâîãî óðàâíåíèÿ (n = 2) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéÏóàññîíà

u(x, t) =1

2πa

∂

∂t

∫Bx

at

u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

+1

2πa

∫Bx

at

u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

+1

2πa

∫ t

0

∫Bx

a(t−τ)

f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2

. (12.10)

Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 12.2, ïðîäîëæèì f íóëåìíà ìíîæåñòâî R× (−∞, 0). Ïî òåîðåìå 12.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå

u(x, t) = E2(x, t) ∗ (f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t)) (12.11)

îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ãäå E2 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äâóìåð-íîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà, çàäàííîå ñ ïîìîùüþ (10.5). Ïîêàæåì, ÷òî ïðàâàÿ÷àñòü (12.11) ïðèíàäëåæèò C2(R2 × [0,∞)). Èìååì

E2(x, t) ∗ f(x, t) =1

2πa

∫ ∞

−∞

∫R2

θ(a(t− τ)− |x− ξ|)f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2

=θ(t)

2πa

∫ t

0

∫Bx

a(t−τ)

f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2

(ñì. óïðàæíåíèå 5.2). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (12.10). Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòîñëàãàåìîå ïðèíàäëåæèò êëàññó C2(R2 × [0,∞)). Â ñàìîì äåëå, çàìåíîé ïåðå-ìåííûõ ξ = a(t− τ)y + x ìîæíî óâèäåòü, ÷òî∫ t

0

∫Bx

a(t−τ)

f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2

=

∫ t

0

∫B1

(t− τ)f(a(t− τ)y + x, τ)√1− |y|2

dydτ.


Íàéäåì ñâåðòêó E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)). Ñîãëàñíî ôîðìóëå (12.5) ëåììû 12.2áóäåì èìåòü

(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))= (E2(x, t)u1(ξ)δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))

= (E2(x, t), (u1(ξ), (δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))))

= (E2(x, t), (u1(ξ), η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t)))

=

∫ ∞

−∞

∫R2

∫R2

E2(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dξdxdt

ëþáîãî φ ∈ D(R2), ãäå η ∈ C∞(R) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíè-öå â îêðåñòíîñòè ïðîìåæóòêà [0,∞) è íóëþ â îêðåñòíîñòè −∞. Òåì ñàìûì,ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (10.5), ïîëó÷èì

(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))

=1

2πa

∫ ∞

−∞

∫R2

∫R2

θ(at− |x|)u1(ξ)φ(x+ ξ, t)√a2t2 − |x|2

dξdxdt,

îòêóäà çàìåíîé x x+ ξ íàõîäèì

(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))

=1

2πa

∫ ∞

−∞

∫R2

∫R2

θ(at− |x− ξ|)u1(ξ)φ(x, t)√a2t2 − |x− ξ|2

dξdxdt

=1

2πa

∫ ∞

0

∫R2

∫Bx

at

u1(ξ)φ(x, t)√a2t2 − |x− ξ|2

dξdxdt

=

(θ(t)

2πa

∫Bx

at

u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

, φ(x, t)

).

Òàêèì îáðàçîì,

E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) =θ(t)

2πa

∫Bx

at

u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

(12.12)

è ìû ïîëó÷èëè âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà. Íåñëîæíîóâèäåòü, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå ïðèíàäëåæèò êëàññó C2(R2× [0,∞)). Äåéñòâèòåëü-íî, âûïîëíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè (12.12) çàìåíó ïåðåìåííûõ y = (x−ξ)/(at), áóäåìèìåòü ∫

Bxat

u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

= at

∫B1

u1(x− aty) dy√1− |y|2

.

Íàéäåì òåïåðü ñâåðêó E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)). Ñîãäàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðî-âàíèÿ ñâåðêè

E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =∂

∂t(E2(x, t) ∗ (u0(x)δ(t))).

Â òî æå âðåìÿ, ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ áûëà ïîëó÷åíàôîðìóëà (12.12), áóäåì èìåòü

E2(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) =θ(t)

2πa

∫Bx

at

u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

,



E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =1

2πa

∂

∂t

∫Bx

at

u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

.

Òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷èëè ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàñ-ñîíà (12.10). ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå òàêæå ïðèíàäëåæèò êëàññóC2(R2 × [0,∞)) äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî∫

Bxat

u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2

= at

∫B1

u0(x− aty) dy√1− |y|2

.

Âñå ñêàçàííîå âûøå, ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî u ∈ C2(R2× [0,∞)). Òàê êàêêëàññè÷åñêèå ïðîèçâîäíûå, êîëü ñêîðî îíè ñóùåñòâóþò, îáÿçàíû ñîâïàäàòü ñîáîáùåííûìè, òî ââèäó ñîîòíîøåíèÿ

utt = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t) (12.13)

ìû ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-ìû (12.1) â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå.Âû÷èòàÿ, äàëåå, èç (12.13) ñîîòíîøåíèå

utt = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t),

êîòîðîå ñëåäóåò èç ëåììû 12.1, áóäåì èìåòü (12.8), îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü,ñëåäóåò (12.9).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøå-

íèå çàäà÷è Êîøè (12.1). Åäèíñòâåííîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ, î÷åâèäíî, âûòåêàåòèç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îáîáùåííîé çàäà÷è.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

13. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 13.1. Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ u ∈ D′(Ω) íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷å-ñêîé â Ω, åñëè

∆u = 0 â Ω.

Òåîðåìà 13.1. Ëþáàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ⊂ Rn ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî

ãëàäêîé.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13.1 íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 13.1. u ∈ D′(Ω) è K ∈ C∞0 (Ω× Ω). Òîãäà(

u(x),

∫Ω

K(x, y) dy

)=

∫Ω

(u(x), K(x, y)) dy

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ðàññìîòðèì ðàçáèåíèåîáëàñòè Ω íà ïîäîáëàñòè Ω1,Ω2, . . . ,ΩN . Ïîçàáîòèìñÿ ïðè ýòîì ÷òîáû äèàìåòððàçáèåíèÿ

λN = max1≤i≤N

diamΩi

ñòðåìèëñÿ ê íóëþ ïðè N → ∞. Âîçüìåì òàêæå yi ∈ Ωi, i = 1, 2, . . . , N .


Äëÿ ëþáîãî x ∈ Ω è ìóëüòèèíäåêñà è α = (α1, . . . , αn), î÷åâèäíî, èìååì

∂α∫Ω

K(x, y) dy =N∑i=1

∫Ωi

∂αxK(x, y) dy

=N∑i=1

∂αxK(x, yi)|Ωi|+N∑i=1

∫Ωi

(∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)) dy,

ãäå |Ωi| ìåðà ìíîæåñòâà Ωi. Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íàêîìïàêòå, ÿâëÿåòñÿ íà ýòîì êîìïàêòå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé, ïîëó÷èì

N∑i=1

∫Ωi

|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)| dy

≤N∑i=1

|Ωi| supx∈Ω, y∈Ωi

|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)|

≤ |Ω| max1≤i≤N

supx∈Ω, y∈Ωi

|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)| → 0 ïðè N → ∞.

Òàêèì îáðàçîì,

N∑i=1

K(·, yi)|Ωi| →∫Ω

K(·, y) dy ïðè N → ∞

â ïðîñòðàíñòâå D(Ω). Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî

N∑i=1

(u(x), K(x, yi))|Ωi| →(u(x),

∫Ω

K(x, y) dy

)ïðè N → ∞.

Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî

N∑i=1

(u(x), K(x, yi))|Ωi| →∫Ω

(u(x), K(x, y)) dy ïðè N → ∞,

ò.ê. (u(x), K(x, ·)) ∈ C∞(Ω).

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z ∈ Ω. Âîçüìåì ε > 0 òà-êîå, ÷òî øàð Bz

ε ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå z öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â Ω. Ïóñòüòàêæå η ∈ C∞

0 (Bzε ) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî η ≡ 1 â îêðåñòíîñòè Bz

ε/2.Ïðîäîëæàÿ ôóíêöèþ v = uη íóëåì çà ïðåäåëû øàðà Bz

ε , èìååì

∆v = f â Rn,

ãäå f = 2∇u∇η+u∇η, îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî supp f êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî,ïîëó÷èì

v = En ∗ f, (13.1)

ãäå En ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îïðåäåëåííîå ñ ïîìî-ùüþ (8.3).Ïîêàæåì, ÷òî v áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü φ ∈

C∞0 (Bz

ε/2). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñâåðòêè è òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî

supp f ⊂ Bzε \Bz

ε/2,


èìååì

(En ∗ f, φ) = (f(x)En(y), φ(x+ y)) = (f(x), (En(y), φ(x+ y)))

=

(f(x),

∫Rn

En(y)φ(x+ y) dy

)=

(f(x),

∫Rn

En(ξ − x)φ(ξ) dξ

)=

(λ(x)f(x),

∫Rn

σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ

)=

(f(x),

∫Rn

λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ

), (13.2)

ãäå λ, σ ∈ C∞0 (Bz

ε ) íåêîòîðûå ôóíêöèè òàêèå, ÷òî λ ≡ 1 â îêðåñòíîñòè supp f ,σ ≡ 1 â îêðåñòíîñòè Bz

ε/2 è ïðè ýòîì dist(suppλ, suppσ) > 0.

Ïîñêîëüêó λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ), êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòîâ x è ξ, ïðèíàäëå-æèò ïðîñòðàíñòâó C∞

0 (Bzε ×Bz

ε ), ïðèìåíÿÿ ëåììó 13.1, ïîëó÷èì(f(x),

∫Rn

λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ

)=

∫Rn

(f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ)) dξ

=

∫Rn

(f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x))φ(ξ) dξ.

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (13.1) è (13.2), ìîæíî, î÷åâèäíî, óòâåðæäàòü, ÷òî

v(x) = (f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)).

Òàêèì îáðàçîì, v ∈ C∞0 (Bz

ε ) è äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîçàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèÿ u ñîâïàäàåò ñ v íà ìíîæåñòâå Bz

ε/2.

Òåîðåìà 13.2 (î ñðåäíåì ïî ñôåðå). Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷å-

ñêîé â îòêðûòîì øàðå Bzr è íåïðåðûâíîé â çàìûêàíèè ýòîãî øàðà. Òîãäà

u(z) =1

|Sr|

∫Szr

u dS,

ãäå |Sr| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì ñôåðû Sr, à dS ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè Szr .

Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z = 0. Â ïðî-òèâíîì ñëó÷àå ñäâèíåì íà÷àëî êîîðäèíàò. Äëÿ ëþáûõ 0 < ε < ρ < r ñîãëàñíîïðàâèëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (ôîðìóëå Ãðèíà) èìååì

0 =

∫Bρ\Bε

u∆En dx

=

∫∂(Bρ\Bε)

u∂En∂ν

dS −∫Bρ\Bε

∇u∇En dx

=

∫∂(Bρ\Bε)

u∂En∂ν

dS −∫∂(Bρ\Bε)

∂u

∂νEn dS +

∫Bρ\Bε

∆uEn dx,

ãäå ν âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ∂(Bρ \ Bε), à En ôóíäàìåíòàëüíîå ðå-øåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îïðåäåëåííîå ñ ïîìîùüþ (8.3), îòêóäà íåìåäëåííîïîëó÷èì

0 =

∫Sρ

u∂En∂ν

dS +

∫Sε

u∂En∂ν

dS −∫Sρ

∂u

∂νEn dS −

∫Sε

∂u

∂νEn dS. (13.3)


Çàìåòèì, ÷òî En ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé, äëÿ êîòîðîéñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

∂En∂ν

∣∣∣∣Sρ

=1

|Sρ|,

∂En∂ν

∣∣∣∣Sε

= − 1

|Sε|.

Òàêèì îáðàçîì, (13.3) âëå÷åò çà ñîáîé ñîîòíîøåíèå

0 =1

|Sρ|

∫Sρ

u dS − 1

|Sε|

∫Sε

u dS − En|Sρ

∫Sρ

∂u

∂νdS − En|Sε

∫Sε

∂u

∂νdS. (13.4)

Èìååì ∣∣∣∣ 1

|Sε|

∫Sε

u dS − u(0)

∣∣∣∣ ≤ 1

|Sε|

∫Sε

|u(x)− u(0)| dS

≤ supx∈Sε

|u(x)− u(0)| → 0 ïðè ε→ +0,

ïîýòîìó1

|Sε|

∫Sε

u dS → u(0) ïðè ε→ +0.

Â òî æå âðåìÿ, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫Sρ

∂u

∂νdS =

∫Bρ

∆u dx = 0

è ∫Sε

∂u

∂νdS = −

∫Bε

∆u dx = 0.

Òåì ñàìûì, ïåðåõîäÿ â (13.4) ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, áóäåì èìåòü

u(0) =1

|Sρ|

∫Sρ

u dS,

îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ→ r − 0, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷èì

u(0) =1

|Sr|

∫Sr

u dS.

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Óïðàæíåíèå 13.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ u ∈ C2(Bzr ) ∩ C(Bz

r ) ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì íåðàâåíñòâà

∆u ≥ 0 â Bzr . (13.5)

Äîêàæèòå, ÷òî

u(z) ≤ 1

|Sr|

∫Szr

u dS.

Òåîðåìà 13.3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 13.2 è ïóñòü η : (0, r) → R èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî∫

Br

η(|x|) dx = 1. (13.6)

Òîãäà

u(z) =

∫Bz

r

η(|x− z|)u(x) dx.


Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 13.2 èìååì

u(z) =1

|Sρ|

∫Szρ

u dS

äëÿ âñåõ 0 < ρ < r. Óìíîæàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà |Sρ|η(ρ) è èíòåãðèðóÿ ïîρ îò íóëÿ äî r, ïîëó÷èì

u(z)

∫ ρ

0

|Sρ|η(ρ) dρ =∫ ρ

0

∫Szρ

η(ρ)u dS dρ.

Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî∫ ρ

0

|Sρ|η(ρ) dρ =∫Br

η(|x|) dx = 1

è ∫ ρ

0

∫Szρ

η(ρ)u dS dρ =

∫Szr

η(|x− z|)u(x) dx.

Óïðàæíåíèå 13.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ u ∈ C2(Bz

r ) ∩ C(Bzr ) ÿâëÿåòñÿ

ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà (13.5). Äîêàæèòå, ÷òî

u(z) ≤∫Bz

r

η(|x− z|)u(x) dx

äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé ôóíêöèè η : (0, r) → [0,∞), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëî-âèþ (13.6).

Òåîðåìà 13.4 (î ñðåäíåì ïî øàðó). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 13.2,òîãäà

u(z) =1

|Br|

∫Bz

r

u dx, (13.7)

ãäå |Br| îáúåì øàðà ðàäèóñà r â Rn.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì η ≡ 1/|Br| â òåîðåìå 13.3. Óïðàæíåíèå 13.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u ∈ C2(Bz

r )∩C(Bzr ) ðåøåíèå íåðàâåí-

ñòâà (13.5). Äîêàæèòå, ÷òî

u(z) ≤ 1

|Br|

∫Bz

r

u dx.

Òåîðåìà 13.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè Ω è ïðè

ýòîì

u(x0) = supΩu

äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ Ω. Òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ω = z ∈ Ω : u(z) = u(x0). Â ñèëó íåïðåðûâ-íîñòè ôóíêöèè u ìíîæåñòâî ω çàìêíóòî â òîïîëîãèè, èíäóöèðîâàííîé èç Ω.Ïîêàæåì, ÷òî ω òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Â ñàìîì äåëå, äëÿ ëþ-áîãî z ∈ ω íàéäåòñÿ r > 0 òàêîå, ÷òî Bz

r ∈ Ω. Ïðè ýòîì ïî òåîðåìå î ñðåäíåìáóäåò, î÷åâèäíî, âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (13.7) èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,

u(x0) =1

|Br|

∫Bz

r

u dx. (13.8)


Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî u(y0) < u(x0) äëÿ íåêîòîðîãî y0 ∈ Bzr . Òîãäà

ñóùåñòâóåò λ < u(x0) òàêîå, ÷òî mesωλ > 0, ãäå ωλ = y ∈ Bzr : u(y) < λ,

ïîýòîìó ∫Bz

r

u dx =

∫ωλ

u dx+

∫Bz

r\ωλ

u dx

≤ λmesωλ + u(x0)(mesBr −mesωλ) < u(x0)mesBr,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèþ (13.8). Òàêèì îáðàçîì, Bzr ⊂ ω.

Ââèäó ñâÿçíîñòè Ω ëþáîå åãî ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ îäíîâðåìåííî îò-êðûòûì è ñâÿçíûì, äîëæíî áûòü ïóñòûì èëè ñîâïàäàòü ñ Ω. Ìíîæåñòâî ω íåïóñòîå, ò.ê. x0 ∈ ω. Òåì ñàìûì, ω = Ω.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Óïðàæíåíèå 13.4. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà 13.5 îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ âñåõ ôóíê-öèé u ∈ C2(Ω), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó

∆u ≥ 0 â Ω. (13.9)

Ñëåäñòâèå 13.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè Ω è

ïðè ýòîì

u(x0) = infΩu

äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ Ω. Òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿåì òåîðåìó 13.5 ê ôóíêöèè −u. Òåîðåìà 13.6 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â

îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω, íåïðåðûâíàÿ â çàìûêàíèè ýòîé îáëàñòè, òîãäà

sup∂Ω

u = supΩ

u. (13.10)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Ω êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, íàéäåòñÿ x0 ∈ Ωòàêîå, ÷òî

u(x0) = supΩ

u.

Åñëè x0 ∈ ∂Ω, òî ñîîòíîøåíèå (13.10) î÷åâèäíî. Â ñâîþ î÷åðåäü, åñëè x0 ∈ Ω,òî ïî òåîðåìå 13.5 ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå Ω è ââèäóòîãî, ÷òî u ∈ C(Ω), ìû ñíîâà èìååì (13.10). Óïðàæíåíèå 13.5. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà 13.6 îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ âñåõ ôóíê-öèé u ∈ C2(Ω), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (13.9).

Ñëåäñòâèå 13.2 (ïðèíöèï ìèíèìóìà). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â

îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω, íåïðåðûâíàÿ â çàìûêàíèè ýòîé îáëàñòè, òîãäà

inf∂Ωu = inf

Ωu.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿåì òåîðåìó 13.6 ê ôóíêöèè −u. Çàìå÷àíèå 13.1. Òåîðåìó 13.5 òàêæå ïðèíÿòî íàçûâàòü ñòðîãèì ïðèíöèïîììàêñèìóìà, à ñëåäñòâèå 13.1 ñòðîãèì ïðèíöèïîì ìèíèìóìà.

Òåîðåìà 13.7 (íåðàâåíñòâî Õàðíàêà). Ïóñòü u íåîòðèöàòåëüíàÿ ãàðìî-

íè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â îòêðûòîì øàðå Bxr ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x,

òîãäà

infBx

λr

u ≥ C supBx

λr

u (13.11)


äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà 0 < λ < 1, ãäå ïîñòîÿííàÿ C > 0 çàâèñèò

òîëüêî îò λ è îò ðàçìåðíîñòè îñíîâíîãî ïðîñòðàíñòâà n.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì íåðàâåíñòâî (13.11) â ñëó÷àå λ = 1/4. Äëÿëþáûõ äâóõ òî÷åê y, z ∈ Br/4, ñîãëàñíî òåîðåìå î ñðåäíåì èìååì

u(y) =1

|Br/4|

∫By

r/4

u dξ

è

u(z) =1

|B3r/4|

∫Bz

3r/4

u dξ.

Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî Byr/4 ⊂ Bz

3r/4 è ïðè ýòîì |B3r/4| = 3n|Br/4|. Òàêèì îáðà-çîì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèè u íà ìíîæåñòâå Bz

3r/4,ïîëó÷èì

1

|B3r/4|

∫Bz

3r/4

u dξ ≥ 1

|B3r/4|

∫By

r/4

u dξ =1

3n|Br/4|

∫By

r/4

u dξ,


u(z) ≥ 1

3nu(y).

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà y, z ∈ Br/4 ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî,âëå÷åò çà ñîáîé îöåíêó

infBx

r/4

u ≥ 1

3nsupBx

r/4

u.

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî λ ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî èç èíòåð-âàëà (0, 1). Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê y, z ∈ Bx

λr íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

øàðîâ Bxi(1−λ)r, i = 1, . . . , k, òàêàÿ, ÷òî y ∈ Bx1

(1−λ)r/4, z ∈ Bxk(1−λ)r/4 è ïðè ýòîì

Bxi(1−λ)r/4 ∩ B

xi+1

(1−λ)r/4 = ∅, i = 1, . . . , k − 1. Î÷åâèäíî, ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî2

k ≤[

4λ

1− λ

]+ 1.

Äëÿ ýòîãî öåíòðû øàðîâ íàäî ðàçìåñòèòü íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè y èz, íà ïîäõîäÿùåì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå,

infB

xi(1−λ)r/4

u ≥ 1

3nsup

Bxi(1−λ)r/4

u, i = 1, . . . , k.

Òåì ñàìûì, ïîëó÷èì

u(z) ≥ 1

3knu(y),

îòêóäà ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà y, z ∈ Bxλr ñëåäóåò (13.11).

Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Òåîðåìà 13.8 (òåîðåìà Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â Rn

òàêàÿ, ÷òî

infRnu > −∞, (13.12)

òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.

2Êàê ýòî ïðèíÿòî, êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè ìû îáîçíà÷àåì öåëóþ ÷àñòü âåùåñòâåííîãî÷èñëà.


Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèìv = u− inf

Rnu.

Ïîñêîëüêó v ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé â øàðå B2r

äëÿ ëþáîãî r > 0, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Õàðíàêà áóäåì èìåòü

infBr

v ≥ C supBr

v,

ãäå ïîñòîÿííàÿ C > 0 çàâèñèò òîëüêî îò n. Òàêèì îáðàçîì, óñòðåìëÿÿ r êáåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì

infRnv ≥ C sup

Rn

v,

îòêóäà ââèäó î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà

infRnv = 0

íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî v ≡ 0.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

14. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè

Ïóñòü Ω îáëàñòü â Rn+1, n ≥ 1. Ïîä C2,1(Ω) ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòüìíîæåñòâî ôóíêöèé u : Ω → R, êîòîðûå â ëþáîé òî÷êå (x1, . . . , xn, t) ∈ Ωíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû ïî t è äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ xi, i = 1, . . . , n.Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x = (x1, . . . , xn). Îáîçíà÷èì

òàêæå Qt1,t2x,r = (ξ, t) ∈ Rn+1 : |ξ − x| < r, t1 < t < t2, x ∈ Rn, r > 0, t1 < t2.

Îïðåäåëåíèå 14.1. Ãîâîðèì, ÷òî òî÷êà (x, t) ∈ ∂Ω ïðèíàäëåæèò âåðõíåéêðûøêå ìíîæåñòâà Ω, åñëè íàéäóòñÿ âåùåñòâåííûå ÷èñëà r > 0 è h > 0 òàêèå,÷òî Qt−h,t

x,r ⊂ Ω è Qt,t+hx,r ⊂ Rn+1 \ Ω.

Ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ âåðõíåé êðûøêå Ω, áóäåì îáîçíà÷àòü γ.Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî Γ = ∂Ω\γ áóäåì íàçûâàòü ïàðàáîëè÷åñêîé (ñîáñòâåííîé)ãðàíèöåé Ω.

Òåîðåìà 14.1 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ïóñòü u ∈ C2,1(Ω ∪ γ) ∩ C(Ω) óäîâëå-òâîðÿåò íåðàâåíñòâàì

ut −∆u ≤ 0 â Ω ∪ γ,ãäå Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn+1, òîãäà

supΓu = sup

Ω

u.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Γ ⊂ Ω, èìååì

supΓu ≤ sup

Ω

u.

Òàêèì îáðàçîì, îñòàåòñÿ äîêàçàòü íåðàâåíñòâî

supΓu ≥ sup

Ω

u.

Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, äîïóñòèì, ÷òî

supΓu < sup

Ω

u.

Òîãäà ïîëàãàÿv(x, t) = u(x, t)− εt,


ãäå ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëî, ïîëó÷èì

vt −∆v < 0 â Ω ∪ γ (14.1)

è ïðè ýòîì

supΓv < sup

Ω

v. (14.2)

Òàê êàê v ∈ C(Ω), ñóùåñòâóåò òî÷êà (x, t) ∈ Ω, äëÿ êîòîðîé

v(x, t) = supΩ

v, (14.3)

ïðè÷åì ñîãëàñíî (14.2) áóäåì èìåòü (x, t) ∈ Ω∩γ, ïîýòîìó íàéäóòñÿ âåùåñòâåí-íûå ÷èñëà r > 0 è h > 0 òàêèå, ÷òî Qt−h,t

x,r ⊂ Ω.Èç ñîîòíîøåíèÿ (14.1) ñëåäóåò, ÷òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî õîòÿ îäíî èç

äâóõ íåðàâåíñòâ

vt(x, t) < 0 (14.4)

èëè

∆v(x, t) > 0. (14.5)

Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî èìååò ìåñòî (14.4). Âûáðàâ h > 0 äîñòàòî÷íî ìà-ëûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî vξ(x, ξ) < 0 äëÿ âñåõ ξ ∈ [t− h, t]. Òåì ñàìûì, ïðèìå-íÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, áóäåì èìåòü

v(x, t− h) = v(x, t)−∫ t

t−hvξ(x, ξ) dξ > v(x, t),

÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèþ (14.3).Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåíî (14.5). Òîãäà íàéäåòñÿ 1 ≤ i ≤ n, äëÿ êîòîðîãî

∂2u(x, t)

∂x2i> 0.

Âûáðàâ r > 0 äîñòàòî÷íî ìàëûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

∂2u(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, t)

∂ξ2> 0

äëÿ âñåõ ξ ∈ (xi, xi + r). Ñîãëàñíî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà

∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)

∂ζ=∂u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t)

∂xi

+

∫ ζ

xi

∂2u(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, t)

∂ξ2dξ

äëÿ âñåõ ζ ∈ (xi, xi+r). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàââèäó óñëîâèÿ (14.3) ðàâíî íóëþ, à âòîðîå ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî, ïîýòîìó

∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)

∂ζ> 0


äëÿ âñåõ ζ ∈ (xi, xi + r), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî

u(x1, . . . , xi−1, xi + r, xi+1, . . . , xn, t)

= u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t)

+

∫ xi+r

xi

∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)

∂ζdξ

> u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t),

è ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ óñëîâèåì (14.3).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

15. Ïðîñòðàíñòâà Ñ.Ë. Ñîáîëåâà

Âñþäó â ýòîì ðàçäåëå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîíè-ìàòü íåïóñòîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1.

Îïðåäåëåíèå 15.1. Ìíîæåñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèè èç D′(Ω), ïðèíàäëåæà-ùèõ Lp(Ω) âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè ïîðÿäêà m, íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàí-ñòâîì Ñ.Ë. Ñîáîëåâà Wm

p (Ω).

Ïðîñòðàíñòâî Ñ.Ë. Ñîáîëåâà Wmp (Ω) = f ∈ D′(Ω) : f ∈ Lp(Ω), ∂

αf ∈Lp(Ω), |α| = m åñòåñòâåííûì îáðàçîì íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé áàíàõîâà ïðî-ñòðàíñòâà ñ íîðìîé

∥f∥Wmp (Ω) =

∫Ω

|f |p dx+∑|α|=m

∫Ω

|∂αf |p dx

1/p

.

Îïðåäåëåíèå 15.2. Ïîäo

Wmp (Ω) áóäåì ïîíèìàòü çàìûêàíèå ìíîæåñòâà C∞

0 (Ω)â íîðìå ïðîñòðàíñòâà Wm

p (Ω).

Â ñëó÷àå p = 2 ïðîñòðàíñòâà Wm2 (Ω) è

o

W m2 (Ω) ïðèíÿòî òàêæå îáîçíà÷àòü

Hm(Ω) èo

Hm(Ω), ñîîòâåòñòâåííî. Â ýòîì ñëó÷àå, íîðìà â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ,î÷åâèäíî, ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì

(u, v)m =

∫Ω

uv dx+∑|α|=m

∫Ω

∂αu ∂αv dx.

Òåîðåìà 15.1. Ïðîñòðàíñòâî Wmp (Ω) ïîëíîå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî fi, i = 1, 2, . . ., ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü â Wm

p (Ω). Òîãäà ôóíêöèè fi è âñå èõ ïðîèçâîäíûå ∂αfi ïî-ðÿäêà |α| = m, i = 1, 2, . . ., îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âLp(Ω). Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî Lp(Ω) ïîëíîå, íàéäóòñÿ ôóíêöèè f ∈ Lp(Ω) èfα ∈ Lp(Ω), |α| = m, òàêèå, ÷òî

∥fi − f∥Lp(Ω) → 0 ïðè i→ ∞

è

∥∂αfi − fα∥Lp(Ω) → 0 ïðè i→ ∞, |α| = m.

Ïîêàæåì, ÷òî f ∈ Wmp (Ω), ïðè÷åì ∂αf = fα, |α| = m. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü

φ ∈ D(Ω), òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé áóäåì


èìåòü ∫Ω

∂αfi φdx = (−1)|α|∫Ω

fi ∂αφdx, |α| = m, i = 1, 2, . . . . (15.1)

Â òî æå âðåìÿ, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, ïîëó÷èì∣∣∣∣∫Ω

(∂αfi − fα)φdx

∣∣∣∣ ≤ (∫Ω

|∂αfi − fα|p dx)1/p(∫

Ω

|φ|p/(p−1) dx

)(p−1)/p

äëÿ âñåõ |α| = m, i = 1, 2, . . .. Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ, î÷åâèäíî,ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè i→ ∞, Òàêèì îáðàçîì, èìååì∫

Ω

∂αfi φdx→∫Ω

fα φdx ïðè i→ ∞. (15.2)

Àíàëîãè÷íî,∣∣∣∣∫Ω

(fi − f) ∂αφdx

∣∣∣∣ ≤ (∫Ω

|fi − f |p dx)1/p(∫

Ω

|∂αφ|p/(p−1) dx

)(p−1)/p

äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . ., îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå∫Ω

fi ∂αφdx→

∫Ω

f ∂αφdx ïðè i→ ∞. (15.3)

Òåì ñàìûì, îáúåäèíÿÿ (15.1), (15.2) è (15.3), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî∫Ω

fα φdx = (−1)|α|∫Ω

f ∂αφdx, |α| = m.

Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. Òåîðåìà 15.2. Ïðîñòðàíñòâî Wm

p (Ω) ñåïàðàáåëüíîå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì

W = Lp(Ω)× . . .× Lp(Ω)︸︷︷︸N+1

,

ãäå N îáùåå êîëè÷åñòâî ìóëüòèèíäåêñîâ α òàêèõ, ÷òî |α| = m. Òàê êàê Lp(Ω) ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, òî W òàêæå áóäåò òàêîâûì, åñëè åãîíàäåëèòü íîðìîé

∥w∥W =

(N+1∑i=1

∥vi∥p)1/p

, w = (w1, . . . , wN+1) ∈ W.

Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Wmp (Ω) èçîìåòðè÷åñêè âêëàäûâàåòñÿ

â W , åñëè êàæäîé ôóíêöèè f ∈ Wmp (Ω) ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åí-

íûé íàáîð (f, . . . , ∂αf, . . . ), ãäå íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñàìà ôóíêöèÿ f , à íàïîñëåäóþùèõ ìåñòàõ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîé óïîðÿäî÷åííîñòè âñå åå ïðîèç-âîäíûå ïîðÿäêà m.Îáðàç Wm

p (Ω) ïðè ýòîì âëîæåíèè áóäåò, î÷åâèäíî, ñåïàðàáåëüíûì, ò.ê. ÿâ-ëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îá-ðàçîì, ïðîñòðàíñòâî Wm

p (Ω) ÿâëÿåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.

Óïðàæíåíèå 15.1. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè-÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.


Òåîðåìà 15.3 (íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà). Ïóñòü Ω íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå

îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1. Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u ∈o

W 1p(Ω)

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ∫Ω

|u|p dx ≤ C

∫Ω

|Du|p dx,

ãäå D = (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn) îïåðàòîð ãðàäèåíòà, à C > 0 íåêîòîðàÿ

ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò p, n.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Ω îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ñóùåñòâóþò âåùå-ñòâåííûå ÷èñëà a < b òàêèå, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè (x′, xn) ∈ Ω èìååì a < xn < b.Çäåñü è íèæå ìû îáîçíà÷àåì x′ = (x1, . . . , xn−1).

Ïóñòü u ∈o

W 1p(Ω). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ui ∈ D(Ω), i =

1, 2, . . ., òàêóþ, ÷òî∥ui − u∥W 1

p (Ω) → 0 ïðè i→ ∞. (15.4)

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ôóíêöèè ui ïðîäîëæåíû íóëåì çà ïðåäåëû ìíîæå-ñòâà Ω, òîãäà |ui(x′, ·)|p, i = 1, 2, . . ., áóäóò, î÷åâèäíî, àáñîëþòíî íåïðåðûâíû-ìè ôóíêöèÿìè íà ïðîìåæóòêå [a, b]. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà,ïîëó÷èì

|ui(x′, xn)|p =∫ xn

a

∂|ui(x′, ξ)|p

∂ξdξ =

∫ xn

a

|ui(x′, ξ)|p−1∂|ui(x′, ξ)|∂ξ

dξ, i = 1, 2, . . . ,

äëÿ âñåõ x′ ∈ Rn−1, xn ∈ [a, b], îòêóäà íåìåäëåííî áóäåì èìåòü

|ui(x′, xn)|p ≤∫ b

a

|ui(x′, ξ)|p−1

∣∣∣∣∂ui(x′, ξ)∂ξ

∣∣∣∣ dξ, i = 1, 2, . . . ,

Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïî xn, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ñïðàâåäëèâûîöåíêè∫ b

a

|ui(x′, xn)|p dxn ≤ (b− a)

∫ b

a

|ui(x′, ξ)|p−1

∣∣∣∣∂ui(x′, ξ)∂ξ

∣∣∣∣ dξ, i = 1, 2, . . . ,

èíòåãðèðóÿ êîòîðûå ïî x′, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷èì∫Ω

|ui|p dx ≤ (b− a)

∫Ω

|ui|p−1

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣ dx, i = 1, 2, . . . . (15.5)

Â òî æå âðåìÿ, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ãåëüäåðà∫Ω

|ui|p−1

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣ dx ≤(∫

Ω

|ui|p dx)(p−1)/p(∫

Ω

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣p dx)1/p

, i = 1, 2, . . . ,

ïîýòîìó (15.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî(∫Ω

|ui|p dx)1/p

≤ (b− a)

(∫Ω

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣p dx)1/p

, i = 1, 2, . . . . (15.6)

Ïî ñâîéñòâó ïîëóíîðìû èìååì∣∣∣∣∣(∫

Ω

|ui|p dx)1/p

−(∫

Ω

|u|p dx)1/p

∣∣∣∣∣ ≤(∫

Ω

|ui − u|p dx)1/p

è ∣∣∣∣∣(∫

Ω

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣p dx)1/p

−(∫

Ω

∣∣∣∣ ∂u∂xn∣∣∣∣p dx)1/p

∣∣∣∣∣ ≤(∫

Ω

∣∣∣∣∂(ui − u)

∂xn

∣∣∣∣p dx)1/p


äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . ., îòêóäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (15.4), íàõîäèì(∫Ω

|ui|p dx)1/p

→(∫

Ω

|u|p dx)1/p

ïðè i→ ∞

è (∫Ω

∣∣∣∣ ∂ui∂xn

∣∣∣∣p dx)1/p

→(∫

Ω

∣∣∣∣ ∂u∂xn∣∣∣∣p dx)1/p

ïðè i→ ∞.

Òåì ñàìûì, îáúåäèíÿÿ äâà ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèÿ ñ ôîðìóëîé (15.6) çàâåð-øàåì äîêàçàòåëüñòâî. Óïðàæíåíèå 15.2. Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîëóíîðìîé ∥ · ∥. Äî-êàæèòå, ÷òî |∥v1∥ − ∥v2∥| ≤ ∥v1 − v2∥ äëÿ ëþáûõ v1, v2 ∈ V .

16. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà

Â ýòîì ðàçäåëå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîíèìàòüíåïóñòîå îòêðûòîå îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1.

Îïðåäåëåíèå 16.1. Ôóíêöèÿ u ∈ W 12 (Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì â ñìûñëå

Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

∆u = f0 +n∑i=1

∂fi∂xi

â Ω, (16.1)

ãäå fi ∈ L2(Ω), i = 0, 1, . . . , n, åñëè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) ñïðàâåäëèâî èíòå-ãðàëüíîå òîæäåñòâî

−∫Ω

n∑i=1

∂u

∂xi

∂φ

∂xidx =

∫Ω

f0φdx−∫Ω

n∑i=1

fi∂φ

∂xidx.

Ãîâîðèì òàêæå, ÷òî u ∈ W 12 (Ω) â îáîáùåííîì ñìûñëå óäîâëåòâîðÿåò êðàåâî-

ìó óñëîâèþ Äèðèõëåu|∂Ω = u0, (16.2)

ãäå u0 ∈ W 12 (Ω), åñëè u− u0 ∈

o

W12(Ω).

Óïðàæíåíèå 16.1. Ïóñòü Ω áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ îáëàñòü, f0 ∈ C∞(Ω), u0 ∈C∞(∂Ω) è ïðè ýòîì u ∈ C∞(Ω) êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

∆u = f0 â Ω,

óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (16.2). Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ îáîá-ùåííûì â ñìûñëå Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ðåøåíèåì çàäà÷è (16.1), (16.2), ãäå fi = 0,i = 1, . . . , n.

Òåîðåìà 16.1. Îáîáùåííàÿ çàäà÷à Äèðèõëå (16.1), (16.2) èìååò è ïðèòîì

åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ v = u−u0, áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü v ∈o

W12(Ω) è ïðè

ýòîì

−∫Ω

n∑i=1

∂v

∂xi

∂φ

∂xidx =

∫Ω

f0φdx+

∫Ω

n∑i=1

(∂u0∂xi

− fi

)∂φ

∂xidx (16.3)

äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò

åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ v ∈o

W 12(Ω), óäîâëåòâîðÿþùàÿ äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Ω)

èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó (16.3).


Îáîçíà÷èì

[w1, w2] =

∫Ω

n∑i=1

∂w1

∂xi

∂w2

∂xidx, w1, w2 ∈

o

W12(Ω).

Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ôðèäðèõñà íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ C > 0 òàêàÿ, ÷òî

[w,w] ≥ C∥w∥2W 12 (Ω)

äëÿ ëþáîãî w ∈o

W12(Ω). Òåì ñàìûì, áèëèíåéíàÿ ôîðìà [·, ·] îïðåäåëÿåò ñêàëÿð-

íîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâåo

W 12(Ω), ïîðîæäàþùåå íîðìó, ýêâèâàëåíò-

íóþ ñîáîëåâñêîé. Ïðè ýòîì íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå

l(φ) = −∫Ω

f0φdx−∫Ω

n∑i=1

(∂u0∂xi

− fi

)∂φ

∂xidx

ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íåïðåðûâíûì ôóíêöèîíàëîì â ýòîé íîðìå.Â ñàìîì äåëå, ëèíåéíîñòü l ïðîâåðÿåòñÿ áåç òðóäà â òî âðåìÿ, êàê íåïðåðûâ-

íîñòü ñëåäóåò èç îöåíêè

|l(φ)| ≤∣∣∣∣∫

Ω

f0φdx

∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫Ω

n∑i=1

(∂u0∂xi

− fi

)∂φ

∂xidx

∣∣∣∣∣≤(∫

Ω

|f0|2 dx)1/2(∫

Ω

|φ|2 dx)1/2

+

(∫Ω

n∑i=1

∣∣∣∣∂u0∂xi− fi

∣∣∣∣2 dx)1/2(∫

Ω

n∑i=1

∣∣∣∣ ∂φ∂xi∣∣∣∣2 dx

)1/2

≤

(∫Ω

|f0|2 dx)1/2

+

(∫Ω

n∑i=1

∣∣∣∣∂u0∂xi− fi

∣∣∣∣2 dx)1/2

∥φ∥W 12 (Ω)

äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ

v ∈o

W12(Ω) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

[v, φ] = l(φ),

êîòîðîå, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíî (16.3).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] À.Ñ. Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé òîïîëîãèè è ãåîìåòðèè. Èçä-âîÌÃÓ, 1980.

[2] Ó. Ðóäèí. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì: Ìèð, 1975.[3] Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974.[4] Ã.Å. Øèëîâ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Âòîðîé ñïåöèàëüíûé êóðñ. Ì.: Íàóêà, 1965.

mech.math.msu.sumech.math.msu.su/~konkov/conspectus.pdf · ÓÐÀÂÍÅÍÈß...

Documents

Transcript of mech.math.msu.sumech.math.msu.su/~konkov/conspectus.pdf · ÓÐÀÂÍÅÍÈß...