Mechanika teoretyczna - fuw.edu.plszymacha/MT9.pdf · Mechanika teoretyczna Wykład 9 1. Bąk...
Transcript of Mechanika teoretyczna - fuw.edu.plszymacha/MT9.pdf · Mechanika teoretyczna Wykład 9 1. Bąk...
Mechanika teoretyczna
Wykład 9
1
Bąk symetryczny ciężkiZacznijmy od zbadania warunku prowadzącego do regularnej precesji bąka, którego
środek ciężkości leży na osi symetrii w odległości d od punktu unieruchomienia
(podparcia)
k ′r
krkbka ′+=
rrrω
2
gMr
kkMgd
kMgdkN
′×=
=−×′=rr
rrr)()(
( )
kbIaIIkaI
kkaIkbaI
kbkkakaIJ
′+−+=
=′−+′+=
=′+′−+′=
⊥⊥
⊥rr
rrr
rrrrr
)cos)((
)cos()cos(
)cos(cosˆ
||||
||
ϑ
ϑϑ
ϑϑ
kbIaIIJkkMgd =′+−==′×&r&rrr
)cos)(( ϑ
3
kkabIaII
kbIaIIJkkMgd
′×++−=
=′+−==′×
⊥
⊥rr
&&
))(cos)((
)cos)((
||||
||||
ϑ
ϑ
MgdabIaII =+− ⊥ )cos)(( |||| ϑ
ϑcos1||||
aI
I
aI
Mgdb
−+= ⊥
Bąk szybki (duże b) - małe a. Dominuje pierwszy człon. Precesja możliwa przy
każdym wybranym kącie .
Bąk kulisty. Niezależnie od prędkości pozostaje pierwszy człon.
4
aI
Mgdb
||
=
cos2
cos2
2
2
222
||
ϑ
ϑω
=+
+=
=++=
=
MgdMgda
abba
I
Mgdab
5
)cos1(2
cos2
||
2
||
||||
2
ϑ
ϑ
++
−=
=+
+=
I
Mgd
aI
Mgda
I
Mgd
aI
Mgda
Obrót wokół osi pionowej bąka odchylonego.
0cos1||||
=
−+= ⊥ ϑa
I
I
aI
Mgdb
a) Dla bąka kulistego jest to niemożliwe!
b) Dla ciała wydłużonego (typowego wahadła
6
b) Dla ciała wydłużonego (typowego wahadła
fizycznego) jest to możliwe dla kątów
większych od 90° , zgodnie z intuicją
c) Dla talerza z obciążnikiem środek ciężkości musi
być wyżej niż punkt podparcia. Sam się wczoraj
zdziwiłem!
||II >⊥
4/22MRmh <
M
m
ωh
R
7
Niemożliwe! Możliwe!
Ruchy inne niż precesja – użyjemy r. Lagrange’a
xxrm
rrm
rmvmT
jijiij
rr
rrr
ωωδ
ωω
ω
2
2
1
222
2
1
2
2
12
2
1
)(
))((
)(
=−=
=⋅−=
=×==
∑∑
∑∑
8)cos()cos( ϑϕψϑϕϑ
ψϕϑω
kkkw
kkw
′−+′++=
=′++=rr
&r
&&r&
r&
r&
r&r
JII
xxrm
jiij
jijiij
rrrrωωωωω
ωωδ
2
1
2
1
2
1
2
ˆ
)(
===
=−= ∑
( )ϑϕψϑϕϑ
ϑϕψϑϕϑ
ϑϕψϑϕϑ
ωω
22221
||
2
1
2
1
sin)cos(
)cos()cos(
)cos()cos(
ˆ
&
rr&
r&&
r&
rr&
r&&
r&
rr
⊥⊥
+++=
′−+′++⋅
⋅′−+′++=
==
III
kkIkIwI
kkkw
IT
9
( )ϑϕψϑϕϑ 222
||
2
2
1sin)cos( &&&&
⊥⊥ +++= III
( )ϑϕψϑϕϑ
ϑϕψϑϕϑ
ϑϕψϑϕϑ
ωω
22221
||
2
1
2
1
sin)cos(
)cos()cos(
)cos()cos(
ˆ
&&&&
rr&
r&&
r&
rr&
r&&
r&
rr
⊥⊥
+++=
′−+′++⋅
⋅′−+′++=
==
III
kkIkIwI
kkkw
IT
10
( )ϑϕψϑϕϑ 222
||
2
2
1sin)cos( &&&&
⊥⊥ +++= III
ϑϑϑϑϑ 222 sincoscoscos21)cos( =+−=′− kkrr
( ) VIIIL −+++= ⊥⊥ ϑϕψϑϕϑ 222
||
2
2
1sin)cos( &&&&
Dla bąka ciężkiego: ϑcosMgdV =
Dwie współrzędne cykliczne. Dwie całki pierwsze:
ψϑϕψ || )cos( && +=∂
= IL
p
11
ϑϕϑ
ϑϕϑψϑϕϕ
ψϑϕψ
ψ
ϕ
ψ
2
2
||
||
sincos
sincos)cos(
)cos(
&
&&&&
&&&
⊥
⊥
+=
=++=∂
∂=
+=∂
=
Ip
IIL
p
Ip
)cos()cos(|| ϑϕψϑϕϑ kkIkIwIJ ′−+′++= ⊥⊥
rr&
r&&
r&r
Interpretacja tych całek
zJ ′
||
Rzut na kierunek z wynosi:
ϑϕψϑϕ kkkkIkkIkJJ =⋅′−⋅+⋅′+=⋅= )cos()cos(rrrr
&rr
&&rr
12
ϕψψ ϑϕϑϑϕϑ
ϑϕψϑϕ
pIpIp
kkkkIkkIkJJ z
=+=−+=
=⋅′−⋅+⋅′+=⋅=
⊥⊥
⊥
22
||
sincos)cos1(cos
)cos()cos(
&&
rrrr&
rr&&
rr
Moment siły prostopadły i do . Stałość rzutu na oś z układu inercjalnego jest
oczywista. Stałość rzutu na oś z’ wymaga przypomnienia równania Eulera
kk ′rr
do i
'''''' )(
d
d ,
d
dzxxyx
zz
z NIIt
JN
t
J=−+= ωω
( )
ϑϑϑ
ϑ
ϑϑϕψϑϕϑ
ψϕψ cos)cos(sin2
1
2
1
cossin)cos(
2
2
2
||
2
2
1
222
||
2
2
1
MgdppI
pI
I
MgdIIIE
+−++=
=++++=
⊥
⊥
⊥⊥
&
&&&&
Znajomość 2 całek pierwszych pozwala w trzeciej całce pierwszej – energii,
wyeliminować prędkości , co prowadzi do równania pierwszego rzędu, o
rozdzielonych zmiennych, na funkcję . O ile nawet całka nie jest elementarna,
dyskusja wyniku jest w pełni możliwa. Dla małych odchyleń od ruchu precesyjnego
(tzn. jeśli zmiana odbywa się w wąskim przedziale) możliwe jest skuteczne
przybliżenie.
ψϕ && i )(tϑ
)(tϑ
13
ϑsin22 || II ⊥
ϑϑξ
ξϑϑξ
sin
1sin ,cos 22
&& −=
−==
Po pomnożeniu stronami przez mamy: 21 ξ−
222
||
2
2
1)(
2
1)1)(
2
1( ξξξξ ψϕψ pp
IMgdp
IEI −−−−−=
⊥
⊥&
Wielomian 3-go stopnia po prawej stronie, będący wartością kwadratu prędkości (mnożonej
przez moment bezwładności) , ma szereg charakterystycznych własności. Poza szczególnymi
dwoma przypadkami: , kiedy dla prawa strona staje się zerem, zawsze jest
ona dla tych skrajnych wartości cosinusa ujemna. Gdzieś wprzedziale musi być chociaż
nieujemna, a w nieskończoności dąży do +¶ po stronie prawej i do -¶ po lewej. Jej wykres
wygląda więc, przykładowo, tak:
ϕψ pp ±= 1±=ξ
-1 1 2
14
Granice przedziału dodatnich wartości funkcji mogą kurczyć się do pojedynczego
punktu. To oznacza precesję ze stałą wartością kąta ϑ. Łatwo podać warunek
algebraiczny, by wielomian nasz miał taki podwójny pierwiastek. Łatwo też
rozwinąć funkcję wokół maksimum, uzyskując rozwiązanie harmoniczne dla ξ.
Równanie powyższe pozwala dawać odpowiedzi na różne pytania dotyczące ruchu bąka.
Zbadajmy, na przykład, problem stabilności wirowania bąka wokół osi pionowej „na głowie”.
Stałe całkowania, w idealnym przypadku „zakręcenia” wokół osi są:
=−−−−−=
+=+=
==
ppMgdpEI
MgdI
pMgdIE
Ipp
)(1
)1)(1
(
22
1
22221
||
2
2
||
||
ψ
ϕψ
ξξξξ
ω
ω
&
−+−=−−−−=
=−−−−−+=
=−−−−−=
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
Mgd
IpMgd
I
pMgd
I
pMgdp
IMgd
I
p
ppI
MgdpI
EI
2/1)1()1(
2)1)(1(
)1(2
)1)(2
1
2(
)(2
1)1)(
2
1(
2
22
2
2
2
2
22
||||
2
222
||
2
2
1
ψψ
ψψ
ψ
ψϕψ
ξξξξξ
ξξξ
ξξξξ&
15
Przebieg funkcji decydującej o ewolucji zmiennej ξ zależy istotnie tylko od jednego
parametru jakim jest stosunek energii kinetycznej „u góry” do energii potencjalnej w tym
położeniu, mierzonej od punktu podparcia.
−+−= ⊥
⊥Mgd
IpMgdI
2/1)1(
2
22
2
1 ψξξξ&
Gdy stosunek ten przekracza 2 i wynosi 2+ε, decydująca część wynosi:
( ) ))1(()1(21)1( 22 εξξεξξ +−−=−−+−8ε=80.1,4<<
-1 1 2 3 4 5
-20
-10
10
8 8 <<
16
0.9999 0.99995 1.00005 1.0001
-6×10-10
-4×10-10
-2×10-10
8ε=80.1,4<<
W obszarze {-1,1} jedyną wartością „nadającą” się na wartość , jest 0 w punkcie
ξ=1. Przyjrzyjmy się w powiększeniu otoczeniu tego punktu:
2ξ&
-1×10-9
-8×10-10
Jeśli wyobrazić sobie, że nie byliśmy „zbyt staranni” i wartości początkowe różnią się
nieznacznie od tych idealnych, wykresy trochę się przesuną, czy zdeformują. Bąk
szybki, o stromym maksimum, może wygenerować niewielki przedział wokół ξ=1. Dla
bąka spełniającego „skromnie” warunek stabilności , przedział fluktuacji kąta będzie
dużo większy.
17
,02/
2
2
≥> ⊥
Mgd
Ipψ
Gdy bąk jest naprawdę powolny, tj. dla:
czyli dla 0 > ε ¥ -2 , przebieg funkcji wyznaczającej kwadrat prędkości, ulega
zmianie, gdyż teraz funkcja mnożąca jest dodatnia w otoczeniu ξ=1
2ξ&2)1( ξ−
8ε=8−0.1,−2<<
-1 -0.5 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
8 8 <<
18
Spójrzmy na ten wykres „przez lupę”:
0.85 0.9 0.95 1.05 1.1
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
8ε=8−0.1,−2<<
Aczkolwiek punkt ξ=1 jest rozwiązaniem (zarówno dla bąka „leniwego” jak i całkiem
niewirującego, tj. dla wahadła fizycznego) równań ruchu, to najdrobniejsze zakłócenie
wyzwala ruch w skończonym przedziale – w powyższym przykładzie bąk odchyla się od
pionu o arccos(0.9) = 25.4°, po czym wraca w okolice wierzchołka.
0.85 0.9 0.95 1.05 1.1
-0.001
-0.0005
19
Ruch jest wyjątkowo „parszywy”, gdyż formalnie, okres oscylacji jest nieskończony
( ) ∫∫∫ −−≈
−−+−∝=
112 )1(
d-1
21)1(
d-d
ξ
ξ
εεξξ
ξ
ξ
ξ&
t
Bąk rzeczywisty, wskutek, minimalnego choćby, tarcia w kolejnym cyklu odpadania i
powrotu zmienia stałe całkowania nieznacznie, ale odstępstwa od wartości idealnych
zmieniają się procentowo znacznie.
20
Zbadajmy wreszcie sytuację, jaka powstaje, gdy rozkręcony wokół swojej osi bąk
uwolnimy od więzów podtrzymujących tę oś w trakcie rozkręcania.
Warunki początkowe są:
+=+=
=
=
===≡=
22
1
0)0()0(0)0()cos()0(
0
||
2
0
2
||
0
||
00
ξξω
ξ
ω
ϕωψξξϑξ
ψ
ψϕ
ψ
MgdI
pMgdIE
pp
Ip
&&&
21
−−−−=−−−−=
=−−−−−+=
=−−−−−=
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
)(2/
1)()(2
)1)((
)(2
)1)(2
1
2(
)(2
1)1)(
2
1(
22
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
22
||
0
||
2
222
||
2
2
1
||
ξξξξξξξξξξ
ξξξξξ
ξξξξ
ψψ
ψψ
ψ
ψϕψ
Mgd
IpMgd
I
pMgd
I
pMgdp
IMgd
I
p
ppI
MgdpI
EI
I
&
−−−− ⊥
)(2/
1)( 0
2
2
0 ξξξξξ ψ
Mgd
Ip
Trójmian kwadratowy w nawiasie można, oczywiście rozłożyć na iloczyn czynników
w sposób ścisły. Całka z pierwiastka kwadratowego wielomianu trzeciego stopnia
jest nie elementarna. Chcąc mieć jasne wnioski dotyczące zachowania bąka
wykonującego małe nutacje, wystarczy trójmian kwadratowy przybliżyć. Przy
naszych warunkach początkowych oznacza to, że bąk musi być szybki. Ostatni człon
w nawiasie spowoduje znikanie trójmianu już dla niewielkiej zmiany ξ. Wolno
zmienny czynnik ξ2. możemy zastąpić jego wartością początkową.
22
zmienny czynnik ξ2. możemy zastąpić jego wartością początkową.
+−−
=
=−
−−≈−−−
⊥
⊥
⊥⊥
ξξξ
ξξξξξξ
ψ
ψ
ψψ
0
2
02
2
0
2
2
00
2
2
)1(2/
2/
)(2/
1)(2/
1
Ip
Mgd
Mgd
Ip
Mgd
Ip
Mgd
Ip
−−−−=
+−−
−=
⊥⊥
⊥
⊥
⊥
))1(2/
()(
)1(2/
2/)(
2
0200
2
2
2
||2
0
2
02
2
0
2
2
1
ξξξξξωξ
ξξξξξξ
ψ
ψ
ψ
Ip
Mgd
I
I
Ip
Mgd
Mgd
IpMgdI
&
&
2
10
2
10))((
+
−−
−
=−−ξξ
ξξξ
ξξξξ
23
Jest to równanie oscylatora harmonicznego! Zmienna ξ=cosϑ zmienia się w
przedziale:
0
2
200 sin2/
coscoscos ϑϑϑϑψ ⊥
−≥≥Ip
Mgd
Częstością nutacji jest ,a amplitudą: ωω⊥
=I
I ||
nut
101010
22))((
+−−
−=−−
ξξξ
ξξξξξξ
0
2
22
||
sin ϑωI
MgdI⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥⊥
−=
=
−−=
=
+−=
I
tIMgdI
I
tI
I
MgdI
tI
I
I
MgdI
I
MgdI
2sinsin
2cos
cos1sincos
cossinsincoscos
||2
0
2
220
||
0
2
22
||
0
||
0
2
22
||
0
2
22
||
0
ωϑ
ωϑ
ωϑ
ωϑ
ωϑω
ϑω
ϑϑ
24
⊥
−=II 2
sinsincos 022
||
0 ϑω
ϑ
))(sin()cos()cos( 000 ϑϑϑϑϑ −−=−
⊥
⊥=−I
tI
I
MgdI
2sinsin
2 ||2
022
||
0
ωϑ
ωϑϑ
⊥⊥⊥
⊥
≈−
=−
=
=−
I
tI
I
Mgd
II
I
pp
Ipp
2sin
2
sin
coscos
sin
cos
sincos
||2
||
2
0||2
2
ω
ωϑ
ϑϑω
ϑ
ϑϕ
ϑϕϑ
ψϕ
ψϕ
&
&
)sin(
)cos1(2
sin2
||
||||
||
||
||2
||
⊥
⊥
⊥⊥
−=
−==
I
tI
I
It
I
Mgd
I
tI
I
Mgd
I
tI
I
Mgd
ω
ωωϕ
ω
ω
ω
ωϕ&
Uśredniając po wielu okresach nutacji, widzimy systematyczny wzrost wartości azymutu
j z prędkością średnią
ϕMgd
>=< &
25
ωϕ
||I
Mgd>=< &
Jednak w czasie krótkim, mamy
3||
||||
2||2
022
||
0
)sin(
2sinsin
2
tI
tI
I
It
I
Mgd
tI
tI
I
MgdI
∝−=
∝=−
⊥
⊥
⊥
⊥
ω
ωωϕ
ωϑ
ωϑϑ
Oś symetrii opada początkowo pionowo!
Z kolei co oznacza, iż do początkowej prędkości kątowej dochodzi składowa na
kierunku linii węzłów. Koniec wektora prędkości kątowej „rusza w drogę” (po
równoleżniku) od razu ze skończoną prędkością. Oś symetrii zostaje w tyle, a prędkość
kątowa jej ucieka.
Narastające oddalenie powoduje iż biegun bryły zaczyna uczestniczyć w ruchu. W
pierwszym etapie w kierunku pionowym, a stopniowo, im jest niżej, tym bardziej
narasta składowa pozioma.
t∝ϑ&
26
A jak zachowują się wektory prędkości kątowej i momentu pędu?
Mamy wszystkie niezbędne elementy, by to zbadać. Z rysunku definiującego kąty Eulera
odczytujemy macierz przejścia od układu bryły do układu inercjalnego:
i
k
Cos@ϕD Cos@ψD − Cos@θD Sin@ϕD Sin@ψD −Cos@θD Cos@ψD Sin@ϕD − Cos@ϕD Sin@ψD Sin@θD Sin@ϕDCos@ψD Sin@ϕD + Cos@θD Cos@ϕD Sin@ψD Cos@θD Cos@ϕD Cos@ψD −Sin@ϕD Sin@ψD −Cos@ϕD Sin@θD
Sin@θD Sin@ψD Cos@ψD Sin@θD Cos@θD
y
{
Wyprowadzaliśmy także wzory na prędkości kątowe w układzie bryły:
27
Wyprowadzaliśmy także wzory na prędkości kątowe w układzie bryły:
ωx' = θ�∗Cos@ψD +ϕ
�∗Sin@θD Sin@ψD;
ωy' = −θ�∗Sin@ψD + ϕ
�∗Sin@θD Cos@ψD;
ωz' = ψ�+ ϕ�∗Cos@θD;
)sin(
)cos1(2
sin2
||
||||
||
||
||2
||
⊥
⊥
⊥⊥
−=
−==
I
tI
I
It
I
Mgd
I
tI
I
Mgd
I
tI
I
Mgd
ω
ωωϕ
ω
ω
ω
ωϕ&
ψ�= −
MgdCos@θ0DB»» ∗ω
∗ik1 −CosA
B»» ω
B tEy
{
Zbieramy wzory na kąty Eulera i ich pochodne:
28
ψ = −@ D
B»» ∗ω∗ik1 −CosA »»
BT tEy
{
ψ = ωt ik1 −
MgdCos@θ0DB»» ω2
y{+
BT MgdCos@θ0DB»»2 ω2
SinAB»» ∗ ω
BT∗ tE
⊥
⊥+=I
tI
I
MgdI
2sinsin
2 ||2
022
||
0
ωϑ
ωϑϑ
⊥
=I
tI
I
Mgd ωϑ
ωϑ ||
0
||
sinsin&
9ω CosA dt Mg
ω BrE Sin@θ0D −
d Mg I2 CosA dt Mg E Cos@θ0D SinA t ω Br E2 +SinA dt Mg E SinA t ω Br EM Sin@θ0D HBr − BtrL
9ω CosA dt Mg
ω BrE Sin@θ0D Br, ω SinA dt Mg
ω BrE Sin@θ0D Br, ω Cos@θ0D Br=
Teraz już tylko pomnożyć macierzowo, raz wektor momentu pędu:
drugi raz wektor prędkości kątowej i rozwinąć względem małego parametru:
Wektor momentu pędu (w tym przybliżeniu wykonuje precesję!!!
Prędkość kątowa już nie, ale w pierwszej chwili, też zaczyna ruch względem równoleżnika.
},,{ 'r'tr'tr zyx BBB ωωω
29
9 A E @ D
d Mg I2 CosA dt Mg
ω BrE Cos@θ0D SinA t ω Br
2 BtrE2 +SinA dt Mg
ω BrE SinA t ω Br
BtrEM Sin@θ0D HBr − BtrL
ω Br2
,
ω SinA dt Mg
ω BrE Sin@θ0D +
d Mg I−2 Cos@θ0D SinA dt Mg
ω BrE SinA t ω Br
2 BtrE2 + CosA dt Mg
ω BrE SinA t ω Br
BtrEM Sin@θ0D HBr −BtrL
ω Br2
,
ω Cos@θ0D +2 d Mg SinA t ω Br
2 BtrE2 Sin@θ0D2 HBr − BtrL
ω Br2
=
Skoro wiemy gdzie jest moment pędu i gdzie oś symetrii, to prędkość chwilowa musi być na
tym samym południku. )tan(*)tan(
,rtr, ωαα
kJkBB
′′= rrr