MECHANICKÉ VLNĚNÍ

Dosud jsme při studiu uvažovali pouze harmonický pohyb izolované částice (hmotného bodu nebo tělesa), která konala kmitavý pohyb kolem rovnovážné polohy. Jestliže takový objekt bude součástí hmotného prostředí (tuhého, kapalného, plynného), pak se kmity neomezí jen na samotný hmotný bod, ale budou se přenášet i na sousední body tohoto prostředí. Z místa prvotního kmitu – zdroje – se bude přenášet ENERGIE i na ostatní body prostředí. Říkáme, že v prostředí vzniká vlnění, případně, že prostředím se šíří postupná vlna. Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, který vzniká na vodní hladině po dopadu kamene. V daném hmotném prostředí se vlnění šíří konstantní rychlostí v. To znamená, že pro popis rychlosti můžeme použít vztah pro rychlost rovnoměrného pohybu

t

sv .

Jednotlivé body pouze kmitají kolem rovnovážných poloh. Tato poloha zůstává stálá. Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních dějů.

Šíří se jím zvuk , světlo , pohyby v zemské kůře při zemětřesení.

Vlnění má různou fyzikální podstatu a může mít i složitý průběh. Základní poznatky o vlnění je možné nejsnadněji objasnit na vlnění mechanickém.

1. Druhy vlnění

Mechanické vlnění se šíří v hmotném prostředí. Jednotlivé body jsou navzájem spojeny molekulovými silami (pružnou vazbou). Prostřednictvím této vazby se přenáší rozruch z jednoho bodu na druhý. Nejpřehlednější je vlnivý pohyb v bodové řadě, kdy jedna její částice začne kmitat. Vznikne lineární postupná vlna. Body prostředí mohou kmitat v libovolných směrech:

o napříč ke směru šíření vlnění – příčná vlna,

o podél směru šíření vlnění – podélná vlna.

2. Rychlost šíření vlnění

Pro rovnoměrný pohyb platí t

sv .

Vzdálenost, do které se rozruch rozšíří za dobu kmitu ( periodu ) T krajního bodu, se nazývá vlnová délka . Jednotkou vlnové délky je m. Pak rychlost šíření vlnění je možné vyjádřit vztahem

Tv

nebo fv

Rychlost v nazýváme fázovou rychlostí. Pak vlnová délka je nejkratší vzdálenost dvou bodů, které kmitají se stejnou fází. Při přestupu vlnění do jiného prostředí zůstává frekvence stejná, mění se fázová rychlost a vlnová délka. Příklad: Prostředím se šíří postupné vlnění, jehož úhlová

frekvence je 12 rad.s-1 a rychlost šíření vlnění je 6 m.s-1. Určete vlnovou délku tohoto vlnění. Řešení:

=12 rad.s-1, v = 6 m.s-1,

Pro vlnovou délku platí ze vztahu pro fázovou rychlost f

v .

Frekvenci f kmitavého pohybu vyjádříme ze vztahu f 2 . Pak

2f .

Po dosazení do vztahu pro vlnovou délku je 112

2.62

vm.

Vlnová délka je 1 m.

3. Rovnice výchylky postupné vlny Budeme uvažovat řadu bodů. Krajní bod řady (zdroj vlnění) kmitá s výchylkou popsanou rovnicí

tAu sin .

Poznámka: Okamžitá výchylka hmotného bodu z rovnovážné polohy při vlnivém pohybu se obvykle značí u. Bod řady ve vzdálenosti x bude uveden do kmitavého pohybu s časovým zpožděním . Pak rovnice pro výchylku tohoto bodu bude zapsaná ve tvaru

-tsinAu .

Protože vlnění se šíří konstantní rychlostí, pak

v

xxv

.

Dosadíme do vztahu pro výchylku

v

xtAu -sin .

Protože fázová rychlost je T

v

,

pak

xT

tA

T

xtAu sin-sin .

Vzhledem k tomu, že T

2 , pak

xTt

TAu

2sin .

Po úpravě získáme rovnici

x

T

tAu 2sin .

Tato rovnice představuje vztah pro okamžitou výchylku bodu, který leží ve vzdálenosti x od zdroje vlnění v časovém okamžiku t. Příklad: Jakou rovnici má vlna o frekvenci 40 Hz, amplitudě 2 cm, která postupuje rychlostí 80 m.s-1.

a) v kladném směru osy x b) v záporném směru osy x

Řešení: f = 40 Hz, A = 0,02 m, v = 80 m.s-1

a) Rovnice okamžité výchylky vlny je

x

T

tAu 2sin . Vlnová délka m2

40

80

f

v

Můžeme ji přepsat do tvaru

m2

40sin2,02sin

xt

xtfAu

b) V rovnici změníme pro orientaci znaménko

m2

40sin2,02sin

xt

xtfAu

4. Fázový a dráhový rozdíl Jestliže se řadou bodů šíří energie, pak jednotlivé body vykutávají se zpožděním. Tomuto zpoždění říkáme fázový posuv (rozdíl). Rovnici pro okamžitou výchylku

x

T

tAu 2sin

upravíme na tvar

xtA

x

T

tAu 2sin22sin .

pak člen

x

2

představuje fázi bodu ve vzdálenosti x od zdroje vlnění vůči tomuto bodu. Jestliže budeme uvažovat dva body řady ve vzdálenostech x1 a x2, pak jejich fázový rozdíl bude

xxxxx

2222 12

1212

.

Fázový rozdíl bude úměrný dráhovému rozdílu x .

Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna sudému

násobku polovin vlnových délek 2

2kx to je kx ,

pak fázový rozdíl bude roven k2 a oba body budou kmitat ve fázi. Budou dosahovat

maxima a minima současně.

kde ,...,3,2,1k

Jestliže budeme uvažovat dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenost bude rovna lichému

násobku polovin vlnových délek 2

)12(

kx ,

pak fázový rozdíl bude roven )12( k a oba body budou kmitat v opačné fázi.

Příklad: Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech cm161 x a

cm482 x od zdroje vlnění, jestliže vlnění se šíří rychlostí -1m.s128v s frekvencí Hz400f .

Řešení: x1 = 0,16 m, x2 = 0,48 m, v = 128 m.s-1, f = 400 Hz Fázový rozdíl je

12

2xx

.

K výpočtu je nutné určit vlnovou délku

m32,0400

128

f

v .

Pak

rad232,032,0

216,048,0

32,0

2

.

Body budou ve fázi.

5. Interference vlnění V pružném prostředí se mohou současně šířit vlnění z různých zdrojů. Nastává skládání kmitů příslušejících jednotlivým vlněním. Vlnění se překrývají a pak se opět rozcházejí a šíří se tak, jakoby se nikdy nesetkala. Každé vlnění se tak šíří nezávisle na ostatních vlněních a chová se tak, jakoby v prostoru bylo samo. Tento fakt nazýváme principem nezávislosti šíření vlnění. Skládání vlnění se nazývá interference. Jevy, které skládáním vlnění vznikají, jsou interferenční jevy. Interferenční jevy můžeme pozorovat v různých prostředích. Pozorujeme je při vlnění:

1. mechanickém, 2. akustickém, 3. elektromagnetickém (optika).

Poznámka: K interferenci dochází například tehdy, když na klidnou vodní hladinu hodíme na dvě různá místa dva kamínky. Dopad kamenů rozkmitá vodní hladinu. Stane se zdrojem vlnění, ze kterého se šíří vlny v kruhových vlnoplochách. Kruhové se vzájemně prostoupí, projdou jedna druhou a pokračují tak, jakoby se nesetkaly. Kmity jednotlivých bodů se skládají na principu superpozice. V některých místech nastane zesílení (zvětšení amplitudy) v jiných místech zeslabení (zmenšení amplitudy).

Obecně jsou interferenční jevy velmi složité. Důležité interferenční případy nastávají tehdy, když sledujeme interferenci koherentních vln. Koherentní vlny mají stejnou frekvenci, vlnovou délku, stejný směr kmitání, šíří se stejnou rychlostí a mají konstantní fázový rozdíl. Amplituda výsledného kmitu je podle teorie skládání stejnosměrných kmitání

1221

2

2

2

1 cos2 AAAAA ,

x

2

Mohou nastat významné případy:

1. jestliže 2

212

kxx , pak se obě vlnění setkají ve fázi a nastane interferenční maximum o

amplitudě

21 AAA .

¨

2. jestliže 2

1212

kxx , pak se obě vlnění se setkají v opačné fázi a nastane

interferenční minimum o amplitudě 21 AAA .

Může nastat případ, kdy 21 AA . Pak se obě vlnění zruší.

Příklad: Vlnění je charakterizováno vlnovou délkou 4 m. a) Určete fázový rozdíl mezi dvěma body, které leží ve vzdálenostech 12 m a 20 m od zdroje

vlnění. b) Určete, zda body kmitají ve fázi.

Řešení:

= 4 m, x1=12 m, x2=20 m, =?

Pro fázový rozdíl platí rad412204

2212

xx .

Fázový rozdíl je roven sudému násobku rad, body jsou ve fázi.

6. Stojaté vlnění Stojaté vlnění vznikne interferencí dvou postupných vlnění stejné amplitudy a stejné vlnové délky, které se šíří proti sobě. Typickým příkladem je stojaté vlnění, které vznikne při chvění struny. Struna je upevněna na dvou koncích. Drnkneme-li na strunu v určitém místě, bude se z tohoto místa šířit postupná vlna na obě strany. Dospěje k místům, kde je upevněná. Tam se odrazí a od obou konců budou proti sobě postupovat dvě koherentní vlny se stejnou amplitudou. Tyto dvě vlny se složí – budou interferovat. pak rovnice stojaté vlny bude mít tvar

tAuT

2sin

x2cos2

Je tvořena ze dvou částí. První představuje amplitudu kmitu bodu v umístění x. Druhá část je harmonická. Amplituda bude v každém bodě jiná a je určena výrazem

2cos2AAV .

V určitých bodech bude amplituda trvale nulová JE 0 . Nazývají se uzly. Na Obr. se jedná o body 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Body, které budou mít amplitudu trvale maximální, je energie2

2

1kAE . Nazývají se kmitny. Na

Obr. se jedná o body E, B, C, D, E.

Ve všech ostatních bodech bude mít amplituda určitou hodnotu závislou na vzdálenosti x. Vzdálenost d dvou uzlů je rovna polovině vlnové délky

2

d .

Poznámka: Se stojatým vlněním se můžeme setkat i v rovině. Typickým příkladem jsou tzv. Chladniho obrazce. Jev je možné demonstrovat i na dětském bubínku, na který nasypeme prášek. Úderem v kolmém směru bubínek rozechvějeme. Vlnění bude postupovat k hranám, tam se odrazí a bude se vracet zpět. Na bubínku vznikne rovinné stojaté vlnění. V místech, kde budou uzly, budou zrníčka v klidu. V místech kmiten budou kmitat s maximální amplitudou. Srovnání vlnění

1. U postupného vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou, ale různou fází. Kmitová energie, která je pro všechny body stejná se šíří prostředím.

2. U stojatého vlnění závisí amplituda kmitů na poloze bodu a fáze mezi dvěma uzly je stejná. Kmitová energie se liší pro jednotlivé body v závislosti na jejich amplitudě a nedochází k jejímu přenosu.

Příklad: V určitém prostředí vzniklo stojaté vlnění interferencí dvou postupných vln s frekvencí 480 Hz. Určete rychlost vlnění v tomto prostředí, je-li vzdálenost dvou sousedních uzlů stojatého vlnění 1,5 m. Řešení: f=480 Hz, d=1,5 m, v=?

Pro fázovou rychlost vlnění platí fv Po dosazení ze vztahu pro vzdálenost sousedních uzlů

2

d dostaneme 1440480.5,1.22 fdv m.s-1

Rychlost šíření vlnění je 1440 m.s-1.

7. Energie vlnění, tok energie, intenzita

1. Každá částice kmitající kolem rovnovážné polohy má energii kmitavého pohybu

2

2

1AkE ,

kde 2mk je konstanta charakterizující pružnost prostředí a A je amplituda kmitů.

2. Kmitová energie se přenáší z jednoho bodu na druhý, proudí z jednoho místa prostředí do druhého. Hovoříme o toku energie . Tok energie vysílané zdrojem vlnění do prostředí

za jednotku času td představuje výkon zdroje vlnění P. Jednotkou toku energie výkonu je watt (W).

t

EP

d

d

3. Zavedeme veličinu intenzita vlnění I, což je množství celkové energie E , která projde jednotkovou plochou S kolmou na směr šíření vlnění za jednotku času t .

S

E

tI

1 nebo

SSt

EI

d

d

dd

d .

Po úpravě lze intenzitu zapsat jako

S

PI

d

d

Jednotkou intenzity je W.m-2. Příklad: Popište změnu intenzity vlnění v závislosti na vzdálenosti r od bodového zdroje vlnění konstantního výkonu P. Řešení: Vlnění se šíří ze zdroje ve tvaru kulových vlnoploch. Plochu kulové vlnoplochy určíme jako obsah

povrchu koule o poloměru r. Pak 2r4S .

Intenzita 2r4

PI

. S rostoucí vzdáleností intenzita klesá.

8. Huygensův princip V hmotném prostředí se rozruch šíří všemi směry. Pokud se bude šířit ve všech směrech stejnou rychlostí, pak toto prostředí bude izotropní. V opačném případě bude anizotropní. Vlnoplocha V izotropním prostředí se energie rozšíří za stejný časový interval do stejné vzdálenosti. Všechny body v této vzdálenosti budou kmitat se stejnou fází. Množina všech těchto bodů se nazývá vlnoplocha. Směr šíření vlnění se nazývá paprsek. Je kolmý k vlnoploše. Jestliže je zdrojem vlnění jeden hmotný bod, pak vlnoplochy v prostoru budou mít tvar koule. V případě, že se vlnění bude šířit v rovině, budou vlnoplochy tvořit kruhy (např. známá kola na vodní hladině).

Jednotlivé body prostředí se postupně rozkmitávají a samy se tak stávají zdroji vlnění. Šíří se z nich tzv. elementární vlnoplochy. Jejich vnější obálka se pak stane celkovou výslednou vlnoplochou. Teorií vlnoploch se zabýval Christian Huygens. Proto se tento závěr nazývá Huygensovým principem.

Jestliže bude zdroj kmitů přímkového tvaru, pak vlnoplochy budou rovinné. V případě, že postavíme hlavním vlnoplochám do cesty překážku (např. desku s vyříznutými otvory), pak se hlavní vlnoplochy rozšíří do těchto otvorů. Body prostředí se v těchto otvorech rozkmitají a vytvoří elementární vlnoplochy.

Hlavní vlnoplocha bude mít tvar překážky. Pomocí Huygensova principu jsou odvozeny např. zákony lomu a odrazu vlnění nebo ohyb vlnění na překážce.

Zákon odrazu Při vysvětlení zákona odrazu použijeme rovinných vlnoploch. Tyto vlnoplochy se vytvářejí, když má zdroj vlnění přímkový tvar nebo je zdroj vlnění v tak velké vzdálenosti, že poloměr vlnoplochy je příliš

velký a zakřivení je zanedbatelné. Zákon odrazu je odvozován pomocí Huygensova principu. Paprsek p dopadne na rozhraní dvou prostředí o různých hustotách. Bod dopadu se rozkmitá a stane zdrojem vlnění, ze kterého se šíří vlnoplocha ve směru paprsku p, zpět do původního prostředí.

Úhel dopadu se rovná úhlu odrazu 21 .

Zákon lomu Budeme opět uvažovat rovinnou vlnu. Paprsek p dopadne na rozhraní prostředí. Bod na rozhraní se rozkmitá a vlnoplocha se šíří do druhého prostředí ve směru paprsku p,. Protože druhé prostředí má jinou hustotu, budou se vlnoplochy v jednotlivých prostředích šířit různou rychlostí a výsledná vlnoplocha bude mít jiný sklon. Jestliže v prvním prostředí se šíří vlnění rychlostí v1 a ve druhém rychlostí v2, pak zákon lomu

zapíšeme ve tvaru. Úhel 1 je úhel dopadu, úhel

2 je úhel lomu.

nv

v

2

1

2

1

sin

sin

Veličina n je rovna poměru rychlostí v obou prostředích a nazývá se index lomu vlnění pro daná prostředí.

Lom ke kolmici nastává tehdy, jestliže 21 vv . Pak

21 .

Lom od kolmice nastává tehdy, jestliže 21 vv . Pak

21 .

Při specifickém úhlu dopadu (mezním úhlu m ), který je pro každé

prostředí jiný, nastává totální odraz. Úhel lomu je v tomto případě roven 90º.

Ohyb vlnění Tento jev nastává tehdy, když je velikost překážky srovnatelná s vlnovou délkou vlnění.

Budeme uvažovat vlnění, které se bude šířit ve tvaru rovinných vlnoploch. Kolmo ke směru šíření je umístěna překážka s otvorem. Vlnění dospěje k otvoru.

Částice prostředí v otvoru se rozkmitají a šíří se z nich vlnoplochy i za překážku do prostoru geometrického stínu.

Příklad: Pod jakým úhlem může nejvýše dopadnout zvuková vlna, aby se úplně od desky odrazila? Rychlost vlnění ve vzduchu je 342 m.s-1, v mosazi 3200 m.s-1. Řešení:

v1=342 m.s-1, v2=3200 m.s-1, =?

Úhel lomu je v tomto případě 90. Pak zákon lomu zapíšeme ve tvaru

2

1

90sin

sin

v

v

.

Po dosazení je 61069,0sin

PŘÍKLADY

1. Vlnění je popsáno rovnicí .Jaká je amplituda, perioda, rychlost a vlnová délka tohoto vlnění?

2. Rovnice rovinné mechanické vlny má tvar: u(x,t) = 16 sin (15πt-12πx). Určete amplitudu,

periodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost této vlny a rovnici pro rychlost kmitající částice v bodě x, jsou-li všechny zadané proměnné v základních jednotkách SI.

3. Rovnice postupná mechanické vlny má tento tvar: u(x,t) = 6 sin (4 π t-8 π x). Určete

amplitudu, periodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost této vlny a rovnici pro rychlost kmitající částice v bodě x, jsou-li všechny zadané proměnné v základních jednotkách SI.

4. Výchylka bodu, který je ve vzdálenosti 40 mm od zdroje vlnění, je v okamžiku t = 1/6 T rovna

polovině amplitudy. Určete vlnovou délku vlnění.

5. Napište rovnici postupné vlny, jestliže frekvence vlnění je 1 kHz, amplituda výchylky je 0,3 mm a rychlost vlnění 340 m.s-1.

6. Vlnění o frekvenci 450 Hz se šíří fázovou rychlostí o velikosti 360 m.s-1 ve směru přímky p. Jaký je fázový rozdíl kmitavých pohybů dvou bodů, které leží na přímce p a mají vzájemnou vzdálenost 20 cm?

7. Vypočítejte šířku jezera, víte-li, že zvuk šířící se ve vodě se dostane k protějšímu břehu o 1 s dříve, než ve vzduchu. Rychlost zvuku ve vodě je 1400 m.s-1 a ve vzduchu je 340 m.s-1.

Mechanické vlastnosti některých pevných látek:

- hustota, E - modul pružnosti v tahu, G - modul pružnosti ve smyku, - Poissonovo

číslo

látka 3-kg.m

Pa

10 10E

Pa

10 10G

mosaz 8300 až 8600

9,9 3,65 0,36

ocel uhlíková

7800 21,0 8,10 0,29

olovo 11341 1,6 0,56 0,44

hliník 2699 7,1 2,64 0,34

měď 8960 12,3 4,55 0,35

platina 21450 17,0 6,10 0,39

stříbro 10503 7,9 2,87 0,37

zinek 7140 9,0 3,60 0,25

sklo tabulové

2400 až 2600

6 až 7 2,6 až 3,2 0,2 až 0,27

led 917 (-

4oC)

0.93 0,35 0,33

pryž 1150 až 1350

0,00015 až

0,0005

0,00005 až

0,00015

0,46 až

0,49

Podélné vlnění (longitudinální) a příčné (transverzální) se šíří v pevném neohraničeném prostředí rychlostí

211

1.

EcL

kde E (jednotka Pa) je modul pružnosti v tahu v pevné látce hustoty . Poměr rychlostí a modulů pružností je

V ohraničeném prostředí

a) deska

1

1.

EcL ,

b) tyč

EcL ,

Souvislost mezi podélným a příčným vlněním určuje vztah

,

kde G je modul pružnosti v torzi (jednotka Pa) a m je Poissonova konstanta charakteristické pro každý materiál. Platí

9. Zvuk se šíří ve vodě rychlostí 1 480 m.s-1, ve vzduchu rychlostí 340 m.s-1. Jak se změní při

přechodu zvuku ze vzduchu do vody jeho vlnová délka?

[Vlnová délka je ve vzduchu 4,35 krát kratší]

10. Uslyšíme zvuk, jehož vlnění je popsáno rovnicí xtu 69801sin05,0 ? Vypočtěte

také vlnovou délku a rychlost tohoto zvuku.

11. Rychlost zvuku v ledu je 3300 m.s-1. Vypočítejte modul pružnosti v tahu ledu, je-li jeho

hustota 9.102 kg.m-3.

[E = 9,8.109 Pa].

12. Vypočítejte modul pružnosti v tahu oceli, rozšíří-li se podélné vlnění do vzdálenosti 1000

m za dobu 0,188 s. Hustota oceli je 7,8.103 kg.m-3.

[E =2,12.1011 Pa]

13. Vypočítejte modul pružnosti v tahu mědi, rozšíří-li se podélné vlnění v mědi do

vzdálenosti 1000 m za dobu 0,269 s.

[E = 1,22.1011 Pa]

14. Vypočítejte koeficient stlačitelnosti alkoholu , je-li jeho hustota 8,06.102 kg.m-3 a

rychlost šíření podélných vln v alkoholu 1227 m.s-1.

[ =8,26.10-10 Pa-1]

15. Rychlost šíření podélných vln v oceli v1= 5100 m.s-1. Ocel je ve tvaru tyče. Jaká je rychlost

šíření příčných vln, jestliže Poissonovo konstanta m = 3,1?

[v2 = 3111 m.s-1].

16. Jaká je intenzita zvuku v postupující zvukové vlně o tlakové amplitudě 0,1 Pa a o

frekvenci 1 kHz ve vzduchu, kde hustota vzduchu je 1,293 kg.m-3 a rychlost šíření 331,7

m.s-1.

[I = 11,7.10-6 W.m-2]

17. Bodový zdroj výkonu 1 W vysílá zvukové vlny. Za předpokladu, že energie vln se

zachovává, jaká je intenzita zvuku ve vzdálenosti 1 m od zdroje?

[I = 0,08 W.m-2]

18. Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně. Když

se přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila. Vypočtěte vzdálenost D.

[D = 170,7 m]