Mecflu i Marcelo 1

8/16/2019 Mecflu i Marcelo 1

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Mecânica dos Fluidos


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MECÂNICA DOS FLUIDOSMarcelo de Almeida Santos Neves

Comentários introdutórios

A mecânica dos fluidos é um dos ramos mais antigos da física, e sua importânciafundamental é destacável em áreas de ciências aplicadas (astrofísica, biologia, biomedicina,meteorologia, etc.) assim como em praticamente todas as áreas da engenharia. Trata, emlinhas gerais, do estudo do equilíbrio e movimento de fluidos. A partir do século passado,com os grandes desenvolvimentos científicos então atingidos, desenvolveu-se

enormemente, alavancando-se tanto em resultados teóricos como experimentais. Contribuiucomo conhecimento central para o avanço da hidráulica na engenharia civil, bem como paraa engenharia naval, onde os trabalhos de William Froude a partir de 1852 são notáveis.

Se hoje a mecânica dos fluidos moderna avança para ultrapassar fronteiras inimagináveis hátempos atrás, suas aplicações práticas continuam permeando um sem número de situaçõescotidianas de nossas vidas e de nosso mundo. De fato, aí pode-se mencionar o vôo dos pássaros no ar e o movimento dos peixes na água como exemplos de fenômenosgovernados pela dinâmica dos fluidos. Ou ainda, nos esportes, no aprimoramento danatação esportiva, ou no futebol, por exemplo, na introdução de uma circulação doescoamento na bola de forma a chutar em curva. O vôo dos aviões e o comportamento de

navios e sistemas flutuantes são outros exemplos, os dois últimos de interesse direto naengenharia naval.

Os fluidos e o contínuo

Para iniciar de forma lógica a discussão sobre as propriedades dos fluidos, deve-sediferenciar um sólido de um fluido. A matéria existe em três estados, sólido, líquido egases. As duas últimas características definem o estado fluido. Sabe-se da Resistência dosMateriais que quando uma força é aplicada a um sólido, o corpo deforma-se, e que se aforça por unidade de área (tensão) é pequena (dentro do limite de proporcionalidade), adeformação desaparece depois que a força deixa de atuar. Se a força for grande, o sólido

pode adquirir uma deformação permanente ou quebrar. No entanto, se uma tensão decisalhamento (componente tangencial à superfície) é aplicada a um fluido, este sedeformará continuamente, independente da intensidade da força aplicada. Em outras palavras, o fluido tem a tendência a fluir, ao invés de manter-se como um bloco rígido. Essatendência pode ser explicada pelas propriedades moleculares de sólidos e fluidos. Nossólidos, grandes forças de atração intermolecular caracterizam a propriedade da rigidez.Essas forças são fracas nos líquidos e extremamente pequenas nos gases. Essascaracterísticas fazem com que moléculas nos líquidos movam-se livremente no interior da


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massa líquida, mantendo proximidade entre sí; nos gases essas moléculas têm tantaliberdade que ocupam o espaço a eles definido. A Fig. 1 ilustra essas diferentes ações detensões cisalhantes em sólidos e líquidos.

Fig. 1 Efeitos de tensões cisalhantes em sólidos e fluidos.

O estudo do comportamento de fluidos pode ser dividido em três categorias: estática,cinemática e dinâmica. No primeiro caso, todos os elementos do fluido estão em repouso, e portanto não estão atuados por tensão cisalhante. As distribuições de pressão estática no

fluido (e sobre corpos imersos no fluido) podem ser determinados com base em uma análiseestática. A cinemática dos fluidos trata da descrição da translação, rotação e deformação deuma partícula fluida. A análise dinâmica envolve o conhecimento das forças agindo nas partículas em movimento, umas em relação às outras. Como existe esse movimento relativode uma partícula em relação à outra, esforços cisalhantes são importantes nessa análise.

Fundamentalmente, a descrição do movimento de um fluido envolve o estudo dodesempenho de todas as moléculas discretas que compõem o fluido. Felizmente, emlíquidos a análise do movimento não requer a introdução de teoria molecular, uma vez queas forças coesivas intramoleculares compelem o fluido a comportar-se como massacontínua. Em gases, no entanto, os movimentos moleculares são amplos. Para evitar-se adifícil e complicada consideração da análise molecular, sempre que a quantidade demoléculas é grande no gás, efeitos médios (por exemplo, densidade, pressão, temperatura)são assumidos como representativos do conjunto das moléculas. Tal modelo simplificador échamado contínuo.

Dois fatores são importantes na determinação da validade do modelo do contínuo: adistância entre moléculas, e o intervalo de tempo entre colisões das moléculas livres paramover-se. Não sendo o interesse neste curso a análise de gases rarefeitos, estaremos sempreconsiderando que a aplicação do modelo do contínuo estará sempre representando umaaproximação aceitável para a análise do movimento de fluidos.

Ao se considerar vários tipos de fluidos sob condições estáticas, vê-se que alguns delessofrem pequena variação de densidade, apesar da existência de altas pressões. Estes fluidosestão invariavelmente no estado líquido. Em tais circunstâncias, o fluido é chamado deincompressível e nas análises considera-se sua densidade constante. O estudo dos fluidosincompressíveis sob condições estáticas é chamado de hidrostática. Quando não se podeconsiderar a densidade constante nas condições de estática, como em um gás, o fluido échamado de compressível. Algumas vezes usa-se a denominação aerostática para identificartal classe de problemas. Essa classificação de compressibilidade é restrita à estática. Narealidade, na dinâmica dos fluidos a compressibilidade ou não de um fluido envolve


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maiores considerações do que apenas a natureza do fluido. Ela depende principalmente dedeterminado parâmetro do escoamento (o número de Mach).

Propriedades fluidas

Algumas características de um fluido ocupando o contínuo são independentes domovimento do fluido. Essas propriedades do fluido são conceituadas a partir da definiçãode um conjunto de dimensões básicas: massa (kg) – ou força (N), comprimento (m) e tempo(seg). Alguns fenômenos dependerão da incorporação da temperatura como dimensão básica para serem estudados. Densidade, viscosidade, tensão superficial são exemplos de propriedades fluidas relevantes.

A pressão em um ponto do fluido define-se como força por unidade de área.Matematicamente, pode-se escrever:

A

F p

A ∆∆=

→∆lim

0

onde FÄ é a força normal exercida no ponto (sobre uma área infinitesimal AÄ ) pelas partículas que ocupam instantaneamente a vizinhança do ponto. Sobre essa áreainfinitesimal o meio é tratado como um contínuo. A pressão tem a mesma intensidade emtodas as direções.

A massa específica representa a massa de um fluido contida em um volume unitário. Asuposição do contínuo é válida em se tratando do comportamento de fluidos sob condiçõesnormais. Entretanto, ela deixa de ser válida sempre que a distância média entre as colisõesdas moléculas (aproximadamente 6103.6 − x polegadas para o ar nas condições normais detemperatura e pressão-CNTP ) tornar-se da mesma ordem de grandeza que a menordimensão relevante característica do problema. Em problemas tais como os de escoamentode gás rarefeito (por exemplo, como os encontrados nos vôos nas camadas superiores daatmosfera), a hipótese do contínuo deve ceder lugar a pontos de vista microscópico eestatístico.

Como conseqüência da hipótese do contínuo, admite-se que cada propriedade do fluidoapresente um valor definido em cada ponto no espaço. Assim, propriedades dos fluidos,como massa específica, temperatura, velocidade, e assim por diante, são consideradas comofunções contínuas de posição e tempo.

Ilustrador do conceito de contínuo é a maneira segundo a qual é determinada a massaespecífica em um ponto. Matematicamente, a densidade em um ponto é dada como:

∀=

∀→∀ δ

δρ

δδlim

m

e peso específico define-se como gñã = , onde g é a aceleração da gravidade. Para umadada região do fluido, seja um ponto de coordenadas ooo z y x ,, , ressaltado na Fig. 2(a). A


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massa específica é definida como massa por unidade volume. Assim, a massa específica

média no volume ∀ seria dada por∀

= m

ρ . Evidentemente, isso não será, em geral, igual ao

valor da massa específica no ponto C da Fig. 2(a). Para que a massa específica em C sejadeterminada, é preciso selecionar um pequeno volume, ∀δ , o menor possível, ao redor do

ponto C, e determinar o quociente da massa, mδ , contida no volume, em relação a essevolume para diferentes valores de volume. Supondo de início um volume ∀δ relativamentegrande (mas pequeno em relação ao volume ∀ ), um gráfico típico do quociente ∀δ

δm

contra ∀δ assemelha-se ao indicado na Fig. 2(b); chega-se a um valor assintótico aoreduzir-se ∀δ a um volume contendo fluido homogêneo na vizinhança imediata do pontoC. Quando ∀δ se torna tão pequeno de modo a encerrar apenas um reduzido número demoléculas, torna-se impossível fixar um valor definido para o quociente ∀δ

δm ; o valor

passa a oscilar de maneira errática à proporção que as moléculas entram e saem no volume.Portanto, há um valor inferior limite para ∀δ , designado '∀δ na Fig. 2(b). Isso justifica a

definição matemática dada acima para massa específica definida no limite quando ∀δ tende para '∀δ . Generalizando para qualquer ponto do fluido, obtém-se uma expressão paraa distribuição da massa específica, definida em coordenadas cartesianas como

),,,( t z y xρρ = , que corresponde a um campo escalar.

Fig. 2 Massa específica para volume variável

A viscosidade de um fluido é o resultado de forças intermoleculares que ocorrem quandocamadas de fluido tendem a escorregar umas sobre as outras. Assim, os esforços cisalhantesocorrendo entre camadas de um fluido sem turbulência movendo-se em movimento

retilíneo, podem ser definidos como:

y

uô yx ∂

∂∝

onde yxô é a tensão cisalhante na superfície concebida por comprimentos infinitesimais

segundo as direções em x e z (com vetor normal nr

apontando na direção y) e onde u é avelocidade na direção x. Ou seja, a tensão cisalhante entre camadas fluidas é proporcional à


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mudança de velocidade por comprimento. O efeito da viscosidade no movimento fluidoestá ilustrado na Fig. 3, onde representa-se variação da velocidade no fluido para umescoamento próximo a uma parede sólida. Experimentos comprovam que a velocidade énula no ponto de contato fluido-parede, mas aumenta consideravelmente para pontos maisdistantes da parede. Ainda fruto de evidências experimentais, a relação entre a tensão

cisalhante e o gradiente transversal de velocidade é dado como:

y

uìô yx ∂

∂=

sendo que a constante de proporcionalidade entre a tensão e o gradiente de velocidade édenominada coeficiente de viscosidade, ou viscosidade dinâmica. A relação acima éreferida como Lei de Newton da Viscosidade. A razão entre o coeficiente de viscosidade ea densidade é chamada a viscosidade cinemática.

Fig 3. Lei de Newton da viscosidade

Mais adiante será definida uma lei mais geral que a de Newton. Esta, a lei de Stokes daviscosidade, será vista mais adiante no contexto do estudo do estado de tensões em um ponto do escoamento arbitrário.

Campos. Descrições Lagrangeana e Euleriana

Para obter-se a descrição completa da movimentação de um fluido, deve-se determinar a posição (coordenadas espaciais x, y, z) de cada partícula do fluido em cada instante. Avelocidade de uma partícula pode então ser encontrada pela variação de posição à medidaque o tempo evolui. Se as velocidades em diferentes pontos são independentes do tempo, oescoamento é permanente. Escoamentos com campos de velocidade dependentes do temposão denominados não-permanentes. Independentemente de o escoamento ser permanente ounão, pode-se representar a movimentação de partículas fluidas por dois métodos, osmétodos de Lagrange e de Euler. No primeiro método descreve-se o movimento de cada partícula inequivocamente identificada das outras todas, à medida que o tempo evolui. Nosegundo, descreve-se o movimento do fluido pela descrição da cinemática em cada pontodo campo, à medida que o tempo evolui. Na maioria dos problemas de engenharia não há anecessidade de conhecer-se o desenvolvimento no tempo de cada partícula, e o método deEuler é usualmente empregado nas análises de escoamentos. Logo adiante será maisdetalhada a distinção entre os métodos de Lagrange e Euler.


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Independentemente do método empregado para descrever a movimentação fluida, há quenotar-se que a descrição de regimes não permanentes pode freqüentemente ser simplificada por meio de adequadas transformações de variáveis. Seja um torpedo movendo-se comvelocidade 0V

v

relativa ao sistema inercial xy em águas paradas. A velocidade do fluido no

ponto do campo 00 , y x será zero inicialmente, mas depois a velocidade irá passar pordiversos valores, pois estará afetada pela passagem do torpedo. Mas, tomando-se umareferência fixa no corpo, a velocidade em 00 ,ηξ será constante. A Fig 4 abaixo ilustra a

diferença resultante da mudança de sistema de referência. De fato, essa simplificação podeser feita sempre que se tem um corpo que se move com velocidade constante através defluido inicialmente não perturbado.

Fig. 4 Torpedo em velocidade constante. Dois pontos de vista.

Método Lagrangeano

Na representação Lagrangeana, sistemas de coordenadas retangulares são normalmenteempregados. Uma certa partícula é individualizada especificando-se para ela uma certa

posição inicial 0r v

em um dado instante 0t t = . Em um tempo posterior t t = , a mesma partícula está na posição r

v

. Então, a posição da partícula estará completamenteespecificada se o vetor posição r

v

ou suas componentes z y x ,, forem dadas em função do

tempo t e da posição inicial 0r v

, isto é, vetorialmente, ),( 0 t r F r vv = , onde k z j yi xr

) ) ) v ++= e

k z j yi xr ) ) )

v

0000 ++= , ou, de outra forma:

),,,(

),,,(

),,,(

0003

0002

0001

t z y x F z

t z y x F y

t z y x F x

===

As coordenadas iniciais 0r v

de uma partícula são denominadas coordenadas materiais de

uma partícula, e servem convenientemente ao propósito de identificar a partícula. Avelocidade de uma partícula identificada por 0r

v

é obtida, simplesmente, por meio da


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derivada do vetor posição. Para a componente em x,0r

dt

dxu

v

= e o campo de velocidade

fica dado por:000

,,r r r t

z w

t

yv

t

xu

vvv

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

e a aceleração por000

2

2

2

2

2

2,,

r

z

r

y

r

xt

z a

t

ya

t

xa

vvv

∂∂=

∂∂=

∂∂=

Nesse método (de aplicação usual na mecânica de corpos rígidos) a trajetória de cada partícula é conhecida. No caso de fluidos, não há facilidade para proceder-se aoacompanhamento de um conjunto de partículas regido por forças de atração molecular.Assim, na prática a aplicação desse método é difícil, e limitado a escoamentos bem simples.

Método Euleriano

Nesse método as partículas individuais do fluido não são identificadas. Ao invés, uma posição fixa no espaço é escolhida, e as velocidades das partículas nessa posição sãotraçadas. Matematicamente, a velocidade das partículas em qualquer ponto do espaço édada como:

),( t r F V v

v

=

onde:

k w jviuV ) ) ) v

++=

ou ainda:

)t,z,y,x(f w

)t,z,y,x(f v

)t,z,y,x(f u

3

2

1

===

A determinação da aceleração não é trivial, requerendo a consideração de que se,localmente, avalia-se a variação da velocidade com o tempo, há ainda que levar-se emconta que a velocidade da partícula varia de ponto para ponto. Assim, sendo:

t

V

z

V w

y

V v

x

V u

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

V d a

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==vvvvvvvvv

v

É usual a notação:

Dt

V Da

v

v =


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onde o operador:

).(t

V Dt

D

∂∂

+∇= v

é denominado derivada substantiva (ou material).

Relação entre os Métodos Lagrangeano e Euleriano

As expressões para as componentes de velocidade dadas em cada um dos métodos podemagora ser igualadas:

),,,(

),,,(

),,,(

t z y xwdt

dz

t z y xvdt

dy

t z y xudt

dx

=

=

=

Essas equações, quando integradas, serão resolvidas a menos de três constantes, as quaisserão obtidas a partir da consideração de condições iniciais 000 ,, z y x da partícula fluida. E

assim, as soluções dessas equações fornecerão as equações na forma Lagrangeana:

),,,(

),,,(

),,,(

0003

0002

0001

t z y x F z

t z y x F y

t z y x F x

===

Na maioria dos problemas da prática a resolução desse sistema simultâneo de equaçõesdiferenciais pode ser muito difícil.

Na descrição do escoamento, trajetórias de partículas fluidas estão diretamente associadas àmaneira Lagrangeana de descrever o escoamento. São obtidas pela eliminação do tempo naespecificação do vetor posição, ou seja, fazendo-se:

k t z jt yit xt r ) ) )

v

)()()()( ++=

Por outro lado, no método Euleriano, as trajetórias não são reconhecidas como ascaracterísticas cinemáticas adequadas. As linhas de corrente, definidas como linhasimaginárias formadas pelas tangentes às velocidades em cada ponto do campo retratam avisão Euleriana da movimentação fluida.


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Descrição do Escoamento

Adotando-se o método Euleriano, seja ),,,( t z y xV v

o vetor velocidade da partícula fluida no ponto de coordenadas ),,( z y x x x

vv = definidas em um sistema retangular de referência, noinstante t.

Seja um escoamento em contato com uma superfície sólida. A interação corpo-fluido geraforças em cada área dA definida sobre a superfície desse corpo. No limite, para área dA tão pequena quanto desejado, a força por unidade de área atuando em cada ponto terá umadireção genérica, a qual poderá ser decomposta em três componentes, uma alinhada com ovetor normal ao corpo, e outras duas componentes ortogonais a essa, e ortogonais entre sí.A Fig. 5 ilustra essas três componentes atuando em um dado ponto da superfície do corpo.

Fig. 5 Tensão normal nnσ e tensões cisalhantes 1 ssτ e 2 ssτ , as quais estão contidas em plano

tangente ao corpo no ponto.

A cinemática do escoamento é determinada pelas forças de superfície e de corpo atuandoem cada ponto do campo. Em cada ponto, cada componente da tensão superficial deve serdefinida não apenas pela direção em que age, mas também pela orientação da superfíciesobre a qual está atuando. Assim como no caso de um corpo sólido, dado um ponto doescoamento, conhecidas as tensões em três planos ortogonais entre sí, as tensões emqualquer outro plano poderão ser determinadas; dessa maneira, um total de 3x3=9componentes da tensão devem ser definidos em cada ponto. Para estudar-se as tensõesdefinidas em superfícies não alinhadas com os planos coordenados, seja a Fig. 6, onde otetraedro representado é assumido como sendo suficientemente pequeno, tal que as tensõessão tomadas como constantes sobre as superfícies. A nomenclatura empregada é tal que osegundo subscrito representa a direção da tensão, e o primeiro subscrito representa o plano

normal. Por exemplo, a tensão yxτ atua na direção x sobre uma superfície de y=constante.


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Fig. 6 Tetraedro indicando o conjunto de tensões atuando nas quatro faces.

Adicionalmente, decorre dessa consideração que o volume será de ordem inferior que asuperfície. As forças de corpo são proporcionais a um cubo de lado infinitesimal, e portantosão de ordem inferior às de superfície, e portanto as forças de superfície serão predominantes frente às forças de corpo (inércia e peso). Assim, no limite, as forças desuperfície atuantes nas quatro faces do tetraedro devem cancelar-se. De acordo com anomenclatura da Fig. 6, sejam, em cada uma das faces ortogonais entre si, as forças deinteração por unidade de área::

k ji P xz xy xx xˆˆˆ ττσ ++=

r

k ji P yz yy yx yˆˆˆ τστ ++=

r

k ji P zz zy zx z ˆˆˆ

σττ ++=

r

as quais, pelo raciocínio acima exposto, definem as ações em qualquer outra face oblíqua.Decorre então que para uma superfície genérica as forças superficiais, consideradas asrespectivas áreas infinitesimais em que atuam, podem ser convenientemente expressascomo:

∫∫ ++=S

z y xS dS dS

dxdy P

dS

dxdz P

dS

dydz P F )(

rrrr

Definindo ),,( z y x

nnnn =v como sendo o vetor normal (unitário) à face oblíqua do tetraedro,cada uma de suas três componentes é igual à razão entre a área correspondente e a área daface oblíqua. A expressão anterior pode então ser remodelada tal que:

∫∫ ++=S

z z y y x xS dS n P n P n P F )( rrrr

e em seguida decomposta segundo os unitários dos eixos coordenados:


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∫∫ ++++++++=S

z zz y yz x xz z zy y yy x xy z zx y yx x xxS dS k nnn jnnninnn F ˆ)(ˆ)(ˆ)( στττστττσ

r

Em notação conveniente:

∫∫ ++=S

321S dS]k ˆ)n.ô( ĵ)n.ô(î)n.ô[(F rrrrrr

r

Argumentos similares podem ser empregados para demonstrar que, assim como para corposrígidos, o tensor de tensões para fluidos é simétrico, ou seja, yx xy ττ = , zx xz ττ = ,

yz zy ττ = .

Para permitir a introdução de notação indicial, será feita a identidade de subscritos de formaque empregue-se, quando conveniente, indistintamente subscritos (1,2,3) em lugar de

(x,y,z), seja para as tensões como para a normal ou velocidades. Assim, o tensor de tensõesserá definido com suas nove componentes:

=

=

zz zy zx

yz yy yx

xz xy xx

ij

σττ

τστ

ττσ

τττ

τττ

τττ

τ

333231

232221

131211

e como o tensor é simétrico, jiij ττ = . Note-se que, sendo o tensor simétrico, as grandezasdesconhecidas requeridas para a caracterização do estado de tensões em dado ponto sãoefetivamente seis.

Conservação da Massa e da Quantidade de Movimento

As leis de conservação da física podem ser aplicadas ao movimento de um fluido desde quese retenha controle sobre um grupo específico de partículas, ou seja, um volume material defluido seja examinado, contendo o mesmo grupo de partículas ( sistema). Seja então um talvolume de fluido )(t ∇ sujeito a essas restrições. Sendo ρ a densidade, a massa total de

fluido nesse volume é expresso pela integral tripla ∫∫∫ ∇

∇d ρ e a conservação da massa

requer que essa massa permaneça a mesma, ou seja:

0=∇∫∫∫ ∇

d dt

d ρ

A quantidade de movimento de uma partícula fluida é representada pelo vetor V v

ρ . Aconservação da quantidade de movimento decorre da 2 ª lei de Newton e requer que osomatório de todas as forças atuando no volume fluido seja igual à taxa de variação no


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tempo (em relação a um sistema inercial) da quantidade de movimento. Ou, com notaçãoindicial simples:

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∇∇

∇+=∇ d F dS nd V dt

d

S

i

rrr

r

.τρ

Nessa igualdade, os termos do lado direito descrevem as forças de superfície (integral deárea) e as de corpo, que representam efeitos gravitacionais atuando nas partículas quecompõem o volume considerado. A superfície S define o volume considerado. É possívelreescrever essa equação tão somente em termos de integrais de volume, fazendo-se uso doteorema da divergência. Para um vetor Q

v

contínuo e diferenciável no volume:

∫∫∫ ∫∫ ∇

∇∇= d QdS nQS

vv

v

..

Empregando-se essa igualdade na equação de balanço de quantidade de movimento, obtém-se:

∫∫∫ ∫∫∫ ∇∇

∇+∇=∇ d F d V dt

d i ].[ r

rr

τρ

Aqui, as leis de conservação de massa e quantidade de movimento estão expressas emtermos de integrais sobre um volume material arbitrário. Esse volume especificado é em síuma dificuldade operacional, particularmente a obtenção de sua derivada em relação aotempo, como requerido acima, o que é tratado em seguida. Nesse contexto, é importanteestabelecer relações entre taxas de variação de grandezas definidas em sistemas e volumes

de controle.

O Teorema do Transporte

Seja uma integral de volume genérica da forma:

∫∫∫ ∇

∇=)(

),()(t

d t x f t I

onde f é uma função escalar arbitrária diferenciável, a ser integrada sobre um volumeassinalado )(t ∇ , que pode variar com o tempo. Da mesma forma, a superfície envolvente S variará com o tempo. Denote-se por nU a componente normal da velocidade dessasuperfície. A diferença entre valores da integral I(t) em dois tempos consecutivos pode serexpressa como sendo dada por:

∫∫∫ ∫∫∫ ∇∆+∇

∇−∇∆+=−∆+=∆)()(

),(),()()(t t t

d t x f d t t x f t I t t I I


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Desprezando-se termos de segunda ordem em t ∆ , pode-se assumir para o integrando umaexpansão do tipo:

t

t x f t t x f t t x f

∂∂

∆+=∆+),(

),(),(

Pode-se, analogamente, desenvolver o volume )(t ∇ em torno de um valor definido parat ∆ =0. Assim, a diferença entre os volumes )( t t ∆+∇ e )(t ∇ será um volume incremental∇∆ contido entre superfícies adjacentes )( t t S ∆+ e S(t), e proporcional a t ∆ . Com esses

desenvolvimentos, tem-se:

])[()( 2t O fd d t

f t fd d

t

f t f I ∆+∇+∇

∂∂

∆=∇−∇∂∂

∆+=∆ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∇∆∇∇∇∆+∇

onde o último termo denota a grandeza de segunda ordem, proporcional a 2)( t ∆ :

])[( 2t Od t

f t ∆=∇

∂∂

∆∫∫∫ ∇∆

Fig. 7 Sistema evoluindo no tempo.

A Fig. 7 ilustra a evolução do volume em dois tempos consecutivos. Para avaliar-se aintegral no volume ∇∆ , vale notar que esse volume fluido é uma região de espessura pequena definida por duas posições de S(t). O fluxo de velocidade através de cada uma das posições de S é:

∫∫ ∫∫ =S

n

S

dS V dS nV v

r

.

Dentro do intervalo de tempo t ∆ , as distâncias percorridas são as translações nV r

r

. t ∆ .Logo, a contribuição da integral volumétrica no volume incremental ∇∆ é de ordem t ∆ , edeve ser considerada. Adicionalmente, sendo f diferenciável em ∇ , pode ser tomado comosendo constante no volume infinitesimal ∇∆ definido pelas translações nas direçõesnormais a S . Considerando-se essas direções, pode-se efetuar a integração desse termo,resultando:


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∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∆=∆=∇∇∆ S S

fdS nV t fdS t nV fd r

rr

r

.).(

Substituindo-se na expressão original, dividindo-se todos os termos por t ∆ e tomando-se o

limite para 0→∆t , tem-se o Teorema do Transporte:

∫∫ ∫∫∫ +∇∂∂

=∇ S

dS nV f d t

f

dt

dI ).(

rr

onde a integral de superfície representa o transporte da quantidade de f para fora de ∇ emdecorrência do movimento da fronteira S .

Equação da Continuidade

Aplicando-se o Teorema do Transporte ao balanço de massa e em seguida o teorema dadivergência:

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∇∇∇

∇∇+∂∂

==+∇∂∂

=∇ d V t

dS nV d t

d dt

d

S

)].([0. r

rr

ρρ

ρρ

ρ

O termo da direita representa uma integração em um volume especificado em dado instantede tempo, e abrange todo um volume arbitrariamente selecionado, não apenas sub-regiõesdesse volume. Logo, o integrando é nulo, ou seja:

0).( =∇+∂

∂V

t

r

ρρ

o que estabelece a equação da continuidade como uma equação diferencial parcial.

Considerando as particularidades de um fluido incompressível de densidade constante, tem-se a forma bastante conhecida da equação da continuidade:

0=+∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

v

x

u

ou na forma vetorial: 0. =∇V v

Equações do Balanço da Quantidade de Movimento

Aplicando-se agora o Teorema do Transporte para o balanço de quantidade de movimentoapresentado acima:


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∫∫∫ ∫∫∫ ∇∇

∇+∇=∇ d F d V dt

d i ].[ r

rr

τρ

resulta em:

=∇∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂

∂∫∫∫ ∇

d z

V w

y

V v

x

V u

t

V ])()()()([

rrrr

ρρρρ ∫∫∫ ∇

∇+∇ d F i ].[ r

τ

Aqui novamente vale a argumentação de que o volume a ser considerado é arbitrário; portanto, a equação acima é válida na forma:

F z

V w

y

V v

x

V u

t

V i

rr

rrrr

+∇=∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

τρρρρ

.)()()()(

Finalmente, se as derivadas de produtos no termo à esquerda do sinal de igual são

expandidas pela regra da cadeia:

F z

V w

y

V v

x

V u

t

V V

t V i

rr

rrrr

rr

+∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∇+∂∂

τρρρ

.)()].([

e aplicando-se a equação da continuidade, obtém-se as equações de Balanço de Quantidadede Movimento:

F Dt

V DV V

t

V i

rr

r

rr

r

+∇==∇+∂∂

τρ .]).([

ou ainda, na forma de componentes:

x zx yx xx F

z y x z

uw

y

uv

x

uu

t

u+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ττσ

ρ )(

y

zy yy xy F

z y x z

vw

y

vv

x

vu

t

v+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ τστ

ρ )(

z

zz yz xz F z y x z

ww

y

wv

x

wu

t

w+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ σττ

ρ )(

Os lados esquerdos dessas equações podem ser interpretados como as componentes daaceleração de uma partícula material de fluido, tendo-se em mente que a derivadasubstantiva estabelece a regra:

∇+∂∂= .V t Dt

D v


17/76

que expressa a taxa de variação no tempo em um sistema de referência que se move com a partícula fluida.

Cinemática da Partícula Fluida. Vorticidade.

Em geral, o movimento de uma partícula fluida pode consistir de uma translação, umarotação e uma taxa de deformação. A Fig. 8 ilustra, para duas dimensões, os movimentos decorpo rígido (sem deformação) de um elemento fluido para deslocamentos infinitesimais. AFig. 9 ilustra, ainda para fluxo em duas dimensões, taxas de deformações a que fica sujeitoo elemento fluido.

Fig. 8 Movimentos de translação e rotação no plano

Fig. 9 Deformações no plano

VV1

dV

dr

r+dr

P

0

P1

Fig. 10 Diagrama de velocidades para elementos fluidos


18/76

Seja, na Fig. 10, uma partícula fluida em movimento com velocidade V r

, instantaneamente posicionada no ponto ),,( x y x P e considere-se uma segunda partícula muito próxima, em

),,( 1111 x y x P . Seja r d r

a distância elementar entre os dois pontos e 1V r

a velocidade dasegunda partícula. Essa velocidade pode ser expressa como:

dz x

V dy

x

V dx

x

V k w jviuV d V k w jviuV

∂∂

+∂∂

+∂∂

+++=+=++=rrr

rrr

ˆˆˆˆˆˆ1111

k dz z

wdy

y

wdx

x

ww jdz

z

vdy

y

vdx

x

vvidz

z

udy

y

udx

x

uu ˆ][ˆ][ˆ][

∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

+=

Por conveniência rearranja-se a expressão de 1V r

como abaixo:

idy y

u

x

vdz

x

w

z

udz

x

w

z

udy

y

u

x

vdx

x

uuV ˆ]})()[(

2

1])(

2

1)(

2

1[{1 ∂

∂−

∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+=r

jdz z v

ywdx

yu

xvdz

z v

ywdx

yu

xvdy

yvv ˆ]})()[(

21])(

21)(

21[{

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂++

k dx x

w

z

udy

z

v

y

wdy

z

v

y

wdx

x

w

z

udz

z

ww ˆ]})()[(

2

1])(

2

1)(

2

1[{

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

++

O vetor vorticidade ςr

é definido como:

k y

u

x

v j

x

w

z

ui

z

v

y

wV X ˆ)(ˆ)(ˆ)(

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

=∇= r

r

ς

Definindo também:

idz x

w

z

udy

y

u

x

vdx

x

u D ˆ])(

2

1)(

2

1[

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

r

jdz z

v

y

wdy

y

vdx

y

u

x

v ˆ])(2

1)(

2

1[

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+

k dz z

wdy

z

v

y

wdx

x

w

z

u ˆ])(2

1)(

2

1[

∂∂

+∂∂

+∂∂

++∂∂

+∂∂

+

resulta:

Dr d X V V r

rrrr

++= ς2

11

que representa a forma mais geral de movimento de um elemento fluido.


19/76

O primeiro termo representa a velocidade de translação, ou seja, movimento linear de todasas partes do elemento fluido sem alteração de forma. Nesse movimento todos os gradientesde velocidades são zero (isto é, 0... =∂∂==∂∂=∂∂=∂∂ z w z u yu xu ).

O segundo termo representa uma rotação de corpo rígido do elemento fluido. A expressão

matemática dada acima para definir o vetor vorticidade pode ser derivada a partir doconceito de que se busca definir para a cinemática do escoamento uma grandeza associadaa uma velocidade média de rotação do elemento fluido. Consideradas diferentes retas perpendiculares entre sí que sejam definidas na partícula em dado instante, deve-se aceitar ahipótese de que em tempos subsequentes essas retas não mais estarão perpendiculares entresí. Tal é a situação ilustrada na Fig. 9(b), onde tensões tangenciais desbalanceadas atuaram para deformar o elemento fluido. Diferentemente do caso ilustrado na Fig. 8(b), onde a perpendicularidade entre retas permanece. Mas quando se mede a média das velocidadesangulares de retas anteriormente ortogonais, obtém-se uma grandeza que mensura acinemática como se fora um corpo rígido. Para os movimentos planares definidos nas Figs.8(b) e 9(b) a componente vertical da velocidade angular média pode ser definida como:

)(2

1

dt

d

dt

d z

βαω +=

onde α e β são ângulos formados por posições instantâneas das retas consideradas. Para omovimento no plano, são positivas as rotações contrárias ao sentido dos ponteiros dosrelógios. Vale notar que tanto no caso da Fig. 8(b) como no da Fig. 9(b), a média dasvelocidades angulares é a mesma:

x

v

dx

vdx x

vv

r

v

dt

d

∂∂

=

−∂∂

+

=∆∆

=α

y

u

dy

udy y

uu

r

u

dt

d

∂∂

−=+

∂∂

+−=

∆∆

=)(

β

Assim,

)(2

1

y

u

x

v z ∂

∂−

∂∂

=ω

Similarmente, no caso mais geral de três dimensões:

)(2

1

z

v

y

w x ∂

∂−

∂∂

=ω

)(2

1

x

w

z

u y ∂

∂−

∂∂

=ω


20/76

Portanto, o vetor vorticidade é definido, por conveniência, como o dobro da velocidadeangular média do elemento fluido e é obtido pela aplicação do rotacional à velocidade:

V X r

r

∇=ς

A relação vetorial entre o vetor velocidade e a vorticidade pode ser apreciada na Fig. 11,onde representa-se um elemento fluido dotado de uma velocidade instantânea V

r

. Pordefinição, o rotacional desse vetor é um outro vetor normal ao plano definido pelos vetoresvelocidade e normal à superfície no ponto considerado. Assim, pode-se definirmatematicamente o vetor vorticidade da seguinte forma:

∫∫ ∀=∇=S

dS V X nV X )(1

lim rr

rr

ς

tomando-se o limite para o volume tendendo a zero. Com referência à Fig. 11, observa-se

que o vetor vorticidade é tangente à superfície elementar dS considerada no ponto, uma vezque o produto vetorial é um vetor normal ao plano definido por V r

e nr

. Sendo a normal umvetor unitário, a intensidade do vetor vorticidade elementar é dS V θsen . Somando ascontribuições em toda a superfície, dividindo pelo volume e tomando o limite para 0→∀ chega-se à vorticidade em um ponto do escoamento.

Fig. 11 Representação da vorticidade do vetor velocidade

Um tipo particular de movimento fluido será analisado aqui com o intuito de demonstrar arelação existente entre vorticidade e rotação de corpo rígido. Seja um pequeno cilindrocircular de fluido rodando em torno de seu próprio eixo, como se fosse um sólido, com

velocidade angular Ω

r

, que é um vetor paralelo ao eixo de rotação, conforme mostrado naFig. 12. O raio do cilindro é r e l é uma dimensão linear paralela ao eixo. O vetor

V X nr

r

em cada ponto da superfície cilíndrica é paralelo ao eixo e é dado por:

r r nk r X X n z Ω==Ω r

rrrr

r

).(ˆ)( ω


21/76

Fig. 12 Pequeno cilindro fluido girando como um sólido

Como αlrd dS = tem-se que:

∫∫ ∫ Ω=Ω=S

l r rlrd dS V X nπ

πα2

0

22)( rrr

r

e desse resultado segue que:

Ω=Ω=→∀

rrr

221 2

20

lim l r l r

ππ

ς

que demonstra que para rotação de corpo rígido a vorticidade é igual ao dobro davelocidade angular.

Finalmente, o último termo da expressão mais geral do movimento fluido, definido como

vetor Dr

, representa as taxas de deformação do elemento. Esses movimentos serão maisdiscutidos nas seções seguintes.

Relações entre Tensões e Taxas de Deformação em Fluidos Newtonianos

As equações de Balanço de Quantidade de Movimento representam o balanço, na forma deequações diferenciais parciais, entre forças atuantes em um ponto do escoamento, quaissejam, as forças inerciais, de superfície e de corpo. No intuito de relacionar essa equação dadinâmica dos fluidos com a movimentação do fluido, há que discutir-se os resultados sobreo padrão de movimentação do fluido quando atuado por tensões cisalhantes.

Em elasticidade a relação entre tensão e deformação em um corpo sólido dentro do limiteelástico é governado pela lei de Hooke. A lei de Hooke generalizada estabelece que cada

uma das seis componentes da tensão relativos a dado ponto pode ser expressa como umafunção linear das deformações. Na hidrodinâmica, definem-se as relações entre tensões eas taxas de movimentação e deformação do fluido. Quando essas relações são lineares, ofluido é dito ser Newtoniano.

Se o fluido está em repouso, e de forma ainda mais geral, se inexistem tensões cisalhantes,uma pressão, relacionada às tensões normais atuará de maneira isotrópica, o que pode serdemonstrado sem dificuldade ao impor-se o equilíbrio (forças e momentos) em um


22/76

tetraedro infinitesimal. Então, em geral, na ausência de tensões cisalhantes, o tensor detensões reduz-se a:

{ }

−

−−

= p

p

p

ij

00

00

00

τ

Esse resultado vale para ausência de tensões cisalhantes. Assim, escoamentos genéricosassociados a fluidos perfeitos (sem viscosidade) incorporam tão somente movimentos decorpo rígido, sem deformação, e tem seu estado de tensões dado pela expressão acima. Porhipótese, escoamentos dessa categoria podem ter em geral o seu campo de velocidade dotipo soma de vetores. De acordo com as derivações das relações cinemáticas, o campo develocidades nesse caso é do tipo: r x B AV

vvvv

+= , onde Av

e Bv

caracterizam translação erotação no campo, e r

v

define um vetor posição.

Tensões viscosas ocorrerão sempre que o campo de velocidades diferir dessa formasimples. Um caso muito simples foi discutido anteriormente, quando a lei de Newton daViscosidade foi introduzida. Conforme visto, para escoamento laminar paralelo a Lei de Newton da Viscosidade estabelece uma relação linear entre tensão e taxa de variação develocidade na direção normal ao fluxo:

B B y

u)(

∂∂

= µτ

Uma forma geral de estabelecer relações lineares entre tensões e as taxas de variação domovimento para ijτ simétrico é assumindo:

)(i

j

j

iij

x

u

x

u

∂

∂+

∂∂

= µτ para ji ≠

O coeficiente µ é o coeficiente de viscosidade já definido anteriormente. Essa lei édenominada lei de Stokes da Viscosidade.

Considerando o acréscimo devido às tensões viscosas, o tensor de tensões em sua formamais geral (para fluidos incompressíveis) fica expresso como:

{ }

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+

−−

−=

z

w2

z

v

y

w

z

u

x

wy

w

z

v

y

v2

y

u

x

vx

w

z

u

x

v

y

u

x

u2

ì

p00

0 p0

00 p

ôij


23/76

A segunda matriz é o tensor de tensões viscosas, proporcional ao coeficiente µ . Oselementos na diagonal do tensor estão associados a elongações dos elementos fluidos,enquanto que os elementos fora da diagonal são devidos a deformações cisalhantes, comodiscutido anteriormente e ilustrado na Fig. 9.

A grande maioria dos fluidos, inclusive ar e água, tem desempenhos muito próximos dasrelações lineares dadas acima, ou seja, são caracteristicamente, em quase todas as situações práticas, fluidos newtonianos.

Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes são obtidas quando as relações entre tensões e gradientes develocidades dadas acima são substituídas nas equações de Balanço de Quantidade deMovimento. As derivadas do tensor de tensões são:

)]()()2([ x

w

z

u

z x

v

y

u

y x

u

x x

p

x

ij

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂µ

τ

)]()2()([ y

w

z

v

z y

v

y y

u

x

v

x y

p

y

ij

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂µ

τ

)]2()()([ z

w

z z

v

y

w

y z

u

x

w

x z

p

z

ij

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂

∂µ

τ

Desenvolvendo essas derivadas e rearranjando termos, é possível explicitar termosenvolvendo derivadas do divergente do vetor velocidade. Para fluxo incompressível essestermos desaparecem, uma vez que pela equação da continuidade:

02

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂

j

i

ii j

j

x

u

x x x

u

Com esses resultados, tem-se a forma vetorial das equações de Navier-Stokes:

F V p Dt

V DV V

t

V vvr

vv

v

ρ ν

ρ

11).( 2 +∇+∇−==∇+

∂∂

onde ν é o coeficiente de viscosidade cinemática ρµ ν = . Esse coeficiente atua como

coeficiente de difusão de efeitos viscosos no campo de velocidade. É de interesse observaros valores desse coeficiente para alguns fluidos. Para temperatura de 15 graus Celsius e pressão de uma atmosfera, reproduz-se abaixo a Tabela 1, vide Batchelor (1974).


24/76

Fluidos

seg m

X

/

102

4 ν

Mercúrio 0.0012Água 0.011Ar 0.15Azeite de oliva 1.08Glicerina 18.5

Tabela 1: Valores da viscosidade cinemática

Os valores da Tabela 1 indicam que, comparando-se fluidos através da característicaviscosidade cinemática, o ar é bem mais viscoso que a água (13.64 vezes). Emboracomparativamente os valores de ν do ar e água não sejam grandes, é importante ter emmente que em regiões de escoamento desses fluidos bem próximas da parede do corpo,grandes esforços tangenciais associados a fortes níveis de vorticidade ocorrem devido aefeitos decorrentes da viscosidade. Conforme será visto em detalhes mais adiante nestecurso, essas regiões foram denominadas por L. Prandtl de camada limite. Nelas, amovimentação fluida é governada pela equação de Navier-Stokes.

Navier-Stokes em coordenadas cartesianas fica dada como:

x F u x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

ρ ν

ρ

11 2 +∇+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

y F v y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

ρ ν

ρ

11 2 +∇+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

z F w z

p

z

w

w y

w

v x

w

ut

w

ρ νρ

11 2+∇+∂

∂−=∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂

∂

Esse sistema de três equações diferenciais parciais, junto com a equação da continuidade eas condições de contorno pertinentes, governam o movimento de um fluido viscoso sujeitoapenas às restrições de densidade constante e relações newtonianas entre tensões egradientes de velocidades. Nota-se que essas condições são atendidas tanto pelo ar como pela água.

É muito difícil na maioria dos casos encontrar soluções para essas equações. Elas formamum conjunto acoplado de equações diferenciais parciais não-lineares, que foram resolvidas

analiticamente para algumas configurações geométricas bem simples, em particular aquelasem que os termos não-lineares de aceleração convectiva V V vv

).( ∇ podem ser desprezados.

Forças de Corpo e Gravidade

Nas derivações das equações de Balanço de Quantidade de Movimento e Navier-Stokes asforças de corpo, aqui representando os pesos das partículas fluidas foram poucocomentadas. Naturalmente, a atenção esteve concentrada na representação das ações


25/76

superficiais e inerciais. A força peso pode ser representada como - k g )

ρ onde g=9,81m/s2 éa aceleração da gravidade, onde o vetor unitário aponta para cima. Sendo o efeitogravitacional a ser considerado em F

v

, esta ação pode ser convenientemente descrita comosendo derivada de um gradiente de uma função escalar na forma: Ω∇= ρ F

v

, onde gz =Ω . No contexto da equação de Navier-Stokes, essa força pode ser convenientemente embutidano termo de pressão fazendo-se a substituição Ω−= p p~ . Com essa substituição a equaçãode Navier-Stokes não mais apresentará os termos de forças de corpo explicitamente. Defato, no que concerne à conservação da quantidade de movimento, o único efeito da forçagravitacional é o de mudar a pressão somando um valor Ω .

Usualmente p é referida como sendo a pressão total e p~ como a pressão hidrodinâmica, eΩ é chamada a pressão hidrostática. Para fluidos em repouso as pressões total ehidrostática são iguais.

Hidrostática

Considerando-se um fluido sem movimento, as ações inerciais e viscosas estarão ausentesda equação de Navier-Stokes. Assim, nesse caso:

0x

p=

∂∂

0y

p=

∂∂

gñz

p−=

∂∂

As duas primeiras equações indicam que a pressão é constante em planos normais ao eixoz. Quando a densidade é constante, a equação da pressão pode ser integrada, resultando em

C gz p +−= ρ , onde C é a constante de integração. Nesta forma integrada, a equação da pressão é denominada a equação da hidrostática. Definindo-se as condições na superfície

livre com subscrito zero, tem-se: )( 00 z z g p p −=− ρ que permite determinar a pressãohidrostática em qualquer profundidade. Denomina-se usualmente o termo

)( 00 z z g p p −=− ρ , isto é, a pressão acima da atmosférica, de pressão manométrica ouefetiva.Para um corpo imerso em fluido em repouso, chamando-se a pressão e a cota vertical na parte superior da superfície fechada do corpo de

u p e u z , respectivamente, em uma área

infinitesimal da superfície do corpo, e l p e l z as grandezas equivalentes na parte superior

do corpo, a força infinitesimal será dada por:

Z l u Z ul B dA z z dA p pdF )()( −=−= γ

que integrada fica dada como:

∫ ∫ ∫ ==−== V dV dA z z dF F Z l u B B γ γ γ )(

onde V é o volume do corpo imerso. O princípio de Arquimedes estabelece que: “todocorpo imerso recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do volume deslocado”.


26/76

O vetor posição cr

r

do centro de carena é obtido como o resultado do momento estático:

V

dV r

F

dV r r

B

c

γ

γ γ ∫ ∫ ==rr

r

que corresponde ao centróide do volume.

Estabilidade estática

Um corpo totalmente submerso é estável desde que o centro de carena esteja acima docentro de gravidade. O empuxo aplicado no centro de carena e a força peso aplicada nocentro de gravidade mantém sua igualdade qualquer que seja a inclinação do corposubmerso.

Para corpos flutuando na superfície livre, a inclinação produz alteração na forma do volumesubmerso. Essa alteração da forma submersa altera a posição do centro de carena, enquantoque o centro de gravidade não se altera. Isso está ilustrado na Fig. 13. As forças peso eempuxo, de mesma intensidade, deixam de atuar segundo a mesma vertical, surgindo um binário.

Fig. 13 Momento restaurador na inclinação

A mudança de forma submersa implica na configuração ilustrada na Fig. 14, onde observa-se que uma cunha emerge, enquanto outra imerge.


27/76

Fig. 14 Inclinação transversal de navio.

O ponto M da Fig. 14 é chamado de metacentro. Deduz-se, com a devida consideração dascunhas definidas na Fig. 14 que para pequenas inclinações o momento restaurador é dado

por:).(. θ∆∆= T r GM M

onde ∆ é o deslocamento do navio e a grandeza T GM é chamada altura metacêntricatransversal. Essa grandeza, indicadora da intensidade do momento restaurador em pequenasinclinações, é dada por:

KG KB BM GM T T −+=

ondeT BM , denominado raio metacêntrico transversal é definido como:

V

I BM T T =

sendo T I o momento de inércia transversal da área de flutuação não inclinada (conforme aFig. 14) e V o volume submerso.

Da mesma maneira, pode-se definir, para uma inclinação longitudinal, uma alturametacêntrica longitudinal:

KG KB BM GM L L −+=

onde L BM , denominado raio metacêntrico longitudinal é definido como:

V

I BM L L =


28/76

sendo L I o momento de inércia longitudinal da área de flutuação não inclinada.

Equação vetorial da vorticidade

Conforme derivado anteriormente, a equação de Navier-Stokes na forma vetorial é:

F V p Dt

V DV V

t

V vvr

vv

v

ρ ν

ρ

11).( 2 +∇+∇−==∇+

∂∂

Fazendo-se uso da identidade vetorial:

V X V X V V V rrrr

)()2

1().( 2 ∇+∇=∇

e aplicando o operador rotacional aos dois lados da equação de Navier-Stokes, nota-se deimediato que essa aplicação anula o termo quadrático da velocidade e os dois primeirostermos à direita do último sinal de igual. Esses resultados decorrem dos seguintes fatos: a) orotacional do vetor gradiente é sempre zero; b) o vetor aceleração da gravidade é constante.Segue então que:

)()( 2 ς νςς rrrr

∇=∇+∂∂

V X X t

Tendo em vista que

).().().().()( V V V V V X X r

rr

rr

rrr

r

∇+∇−∇−∇=∇ ςςςςς

e considerando a incompressibilidade dos vetores velocidade e vorticidade, e após algumremanejamento de termos chega-se à equação da vorticidade:

ς νςς rrrr

2).( ∇+∇= V Dt

D

O termo da esquerda representa a taxa total de mudança de vorticidade da partícula. O primeiro termo à direita é o que se denomina taxa de deformação das linhas de vórtices. Osegundo termo à direita representa a taxa de difusão viscosa da vorticidade. Vale notar que para escoamentos planos ou axi-simétricos, necessariamente a taxa de deformação das

linhas de vórtices é nula. Em tais escoamentos o vetor vorticidade é sempre perpendicularao vetor velocidade, logo as linhas de vórtices são perpendiculares ao plano onde se dá oescoamento.

Forças de pressão e gravitacionais não afetam diretamente a vorticidade. A justificativafísica disso vem do fato de que a vorticidade é um indicador da rotação de corpo rígido da partícula. Forças de pressão e gravitacionais atuam sobre o centro de massa de uma partícula sem produzir rotação.


29/76

Por outro lado, esforços cisalhantes agem tangencialmente na superfície de uma partícula, ese atuam desbalanceados, gerarão vorticidade. Como regra geral, a existência devorticidade significa que a partícula está (ou então esteve em seus movimentos pregressos)sujeita a forças viscosas. Em muitas situações um fluido adquire vorticidade por ação

viscosa e daí em diante o movimento é invíscido, sendo as forças viscosas desprezíveis.Condições de contorno

A equação da continuidade (escalar) e as de Navier-Stokes (vetorial) constituem asequações fundamentais que governam o movimento fluido. As incógnitas },,,{ pwvu em pontos genéricos do domínio fluido são determinadas em cada problema hidrodinâmico seesse conjunto de equações diferenciais parciais, adicionado das pertinentes condições decontorno aplicáveis ao problema considerado, forem resolvidas, seja por procedimentosanalíticos (alguns poucos casos) ou numéricos (empregando métodos computacionais).

Condições de contorno relevantes para problemas de escoamentos externos em volta decorpos são, tipicamente: nas paredes do corpo, na superfície livre, no entorno do domíniofluido (p. ex., no fundo).

a) Em paredes impermeáveis, para corpos móveis, a chamada condição cinemática

paredeV V rr

= representa a condição de não-escorregamento dos elementos fluidos sobre asuperfície do corpo.

b) Na superfície livre ),,(0),,,( t y x z t z y x F η−== a condição cinemática pode ser

convenientemente retratada por F V

t

F

Dt

DF ∇+

∂

∂== .0

r

, do que resulta a expressão para

a componente vertical dos elementos fluidos componentes da superfície livre:

yv

xu

t w

∂∂

+∂∂

+∂∂

= ηηη

Ainda na superfície livre uma condição dinâmica é requerida, qual seja, a de que emtodos os pontos dessa superfície, atue a pressão atmosférica:

),,(/ t y x z p p p a η==

c) Freqüentemente o entorno do domínio fluido é estacionário. Nesses casos, a condiçãocinemática é aplicável sobre ele. Por exemplo, para fundo rígido e plano, .0=w

Sempre que a aproximação de escoamento invíscido for aplicável )0( =µ , algumassimplificações são notáveis. As equações de Navier-Stokes ganham a forma conhecida naliteratura como equação de Euler:


30/76

p g Dt

V D∇−=

r

r

ρρ

que pode ser integrada para recair em algumas das formas da chamada equação deBernoulli, como será discutido adiante. As condições de contorno cinemáticas no corpo

retratam o fato de que em escoamentos invíscidos o fluido efetivamente escorrega sobre a parede do corpo, ou seja, não se controla a componente tangencial da velocidade. Isso podeser expresso como:

nV nV pareder

rr

r

.. =

No caso de corpo estacionário, há simplificação adicional:

0. == nV nV r

r

Função de corrente

Algumas das dificuldades analíticas relativas à integração das equações fundamentais damecânica dos fluidos podem ser evitadas ou atenuadas sempre que a equação dacontinuidade (reiteramos a ênfase deste texto em escoamento de fluidos incompressíveis):

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

v

x

u

puder ser reduzida a apenas dois termos. Nesses casos, artifícios matemáticos permitem quea equação da continuidade seja descartada, e constróem uma rota de solução eficiente,

reduzindo o problema vetorial a outro escalar pretensamente mais simples. Ao mesmotempo, os problemas assim tratados ficam dotados de interessantes interpretaçõesgeométricas e físicas que têm importância prática. Em especial, nos problemas de regime permanente, onde a linguagem gráfica das linhas de corrente têm grande significado práticona representação do fluxo, a definição da Função de Corrente se coloca. Escoamentos bidimensionais ou axi-simétricos são casos em que a equação da continuidade pode serreduzida a apenas dois termos.

Para encaminhar a presente discussão, seja um escoamento incompressível bidimensional permanente. A equação da continuidade fica limitada a:

0=∂∂+

∂∂

y

v

x

u

Essa equação é exatamente satisfeita se se define a Função de Corrente ),( y xψ (de ClasseC1) tal que:


31/76

0)()( =∂∂

−∂∂

+∂∂

∂∂

x y y x

ψ ψ

ou seja, para:

xv

yu

∂∂−=

∂∂= ψ ψ ; sendo: j

xi

yV ˆˆ

∂∂−

∂∂= ψ ψ

r

.

Para o vetor velocidade assim definido, o vetor rotacional da velocidade fica sendo umvetor perpendicular ao plano:

k k y y x x

V X ˆˆ)]()([ 2ψ ψ ψ −∇=

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂=∇

r

onde:

2

2

2

22

y x ∂∂+

∂∂=∇ ψ ψ ψ

Para regime permanente, a equação da vorticidade tem a forma:

)())(.( 222 ψ νψ ∇∇=∇∇V r

que eqüivale a:

)()()( 2222 ψ νψ ψ ∇∇=∇

∂

∂+∇

∂

∂

y

v

x

u

ou, finalmente:

)()()( 2222 ψ νψ ψ

ψ ψ

∇∇=∇∂∂

∂∂

−∇∂∂

∂∂

y x x y

Essa única equação escalar em ψ pode tomar então o lugar das equações da continuidade e Navier-Stokes. Trata-se de uma equação parcial de quarta ordem, para a qual quatrocondições de contorno são requeridas. Por exemplo, para fluxo uniforme na direção x passando por corpo sólido, as quatro condições serão:

No infinito: 0=∂∂

=∂∂

xU

y

ψ ψ

No corpo: 0=∂∂

=∂∂

xU

y

ψ ψ


32/76

Em geral, grandes dificuldades matemáticas impedem soluções analíticas. Soluçõesnuméricas existem para diversos problemas.

Uma importante aplicação ocorre para escoamento bidimensional invíscido irrotacional,onde, por definição, o vetor vorticidade é identicamente nulo. Nesse caso, a equação escalar

da Função de Corrente fica sendo:

02

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

=∇ y x

ψ ψ ψ

que é a chamada Equação de Laplace. Para essa equação, uma infinidade de soluções etécnicas analíticas estão disponíveis.

Como antecipado, a Função de Corrente tem interpretações geométricas e físicas que atorna um recurso atraente. A interpretação geométrica está associada ao fato de que linhasde .const =ψ são linhas de corrente do escoamento. Isso pode ser mostrado considerando-

se a definição de linhas de corrente, como sendo aquelas linhas às quais o vetor velocidadeem cada ponto lhe é tangente, conforme ilustra a Fig. 15.

Fig. 15 Tangência das velocidades às linhas de corrente.

Matematicamente, para um elemento infinitesimal de uma linha de corrente genérica,

0=r d X V r

r

, logo as componentes desse vetor serão necessariamente nulos. No plano, issoimplica em 0=− udyvdx , que é a equação cartesiana de uma linha de corrente.Considerando as relações entre u, v e ψ , a equação da linha de corrente fica expressacomo:

ψ ψ ψ

d dy xdx x ==∂∂

+∂∂

0

Então, ao longo da linha de corrente, a Função de corrente é constante. Ou seja, tendo-seobtido ),( y xψ para um dado problema, graficam-se as linhas de corrente.

Quanto à interpretação física, vale adiantar que existe uma importante relação entre ψ e ofluxo volumétrico. Recordando que o vetor normal a uma curva no plano define-se como:


33/76

jds

dxi

ds

dyn ˆˆ −=r

o fluxo de velocidade pelo elemento infinitesimal ds fica sendo:

ψ ψ ψ

d dsds

dx

xds

dy

ydAnV dQ =

∂∂

+∂∂

== )().( rr

conforme ilustrado na Fig. 16.

dQ = (Vi n) dA = dΨ

V = uî + vj ^

n

Fig. 16 A função de corrente como medida de vazão

Assim, a mudança de ψ ao longo do elemento é numericamente igual à vazão volumétrica

através do elemento, tal que, para duas linhas de corrente adjacentes:

12

2

1

2

1

2,1 ).( ψ ψ ψ −=== ∫ ∫ d dAnV Q r

r

Escoamentos não viscosos irrotacionais

Como visto, desconsiderando-se a viscosidade, Navier-Stokes reduz-se à equação de Euler:

p g Dt

V D∇−=

r

r

ρρ

Adicionalmente, as equações ficam bem mais simples sempre que a movimentação fluida pode ser considerada como sendo apenas de translação, sem rotação das partículas em tornode seu próprio eixo. Notar que as acelerações contém contribuições não-lineares no termodenominado convectivo. Sempre que se puder fazer a consideração de que em todo odomínio fluido a vorticidade seja nula, certas não-linearidades das acelerações estarãoausentes, reduzindo então, sobremaneira, as dificuldades associadas com a solução do


34/76

problema hidrodinâmico dado. Para clarificar esse argumento, considere-se a expressão daderivada substantiva da velocidade:

V X V t

V V V

t

V

Dt

V D rrr

rr

rr

ς+∇+∂∂

=∇+∂∂

= )2

1().( 2

Sempre que a influência do último termo à direita puder ser desconsiderada, as equações poderão ser integradas sem maiores dificuldades. No intuito de aplicar um procedimento omais genérico possível, multiplique-se escalarmente a equação vetorial de Euler pelo vetorelementar genérico r d

r

:

0].1

)2

1([ 2 =−∇++∇+

∂∂

r d g pV X V t

V rrrrr

ρς

A hipótese de interesse 0).( =r d V X r

rr

ς admite as seguintes sub-hipóteses:

i) 0≡V r

; trivial, não há fluxo, caso hidrostático.ii) 0≡ς

r

; fluxo é dito ser irrotacional.

iii) r d r

perpendicular a V X r

r

ς : caso particular sem interesse específico.

iv) r d r

paralelo a 0)(: =r d X V V r

rr

; pode-se integrar ao longo da linha de corrente.

Inicialmente, considere-se o item (iv). Pode-se mostrar que o termo )2

1( 2V ∇ , multiplicado

escalarmente por r d r

, dá:

)(2

1]

)()()([2

1 2222

V d dz z

V dy y

V dx x

V

=∂∂

+∂∂

+∂∂

logo, resulta para a expressão do produto escalar acima:

01

)2

1(. 2 =+++

∂∂

gdz dpV d r d t

V

ρ

r

r

Pode-se integrar ao longo da linha de corrente entre dois pontos quaisquer. Sendo adensidade constante:

0)()(1

)(21

12122

12

2

2

1

=−+−+−+∂∂∫ z z g p pV V dst V

ρ

onde ds é o elemento de arco na linha de corrente. Essa equação é a versão da equação deBernoulli sobre a linha de corrente válida para escoamentos não-permanentes. Para regime permanente, tem-se a forma mais comumente mencionada para a equação de Bernoullisobre a linha de corrente:


35/76

.2

1 2 cte gz V p

=++ρ

(sobre a linha de corrente)

sendo que a constante pode variar de uma linha de corrente para outra.

Considerando agora a sub-hipótese (ii), escoamento irrotacional, nesse caso r d r

é qualquer,não precisa pertencer à linha de corrente. Sendo movimento permanente, a integraçãoaplica-se a todo o domínio fluido:

.2

1 2 cte gz V p

=++ρ

(em todo o domínio)

Potencial de Velocidades

Para escoamento irrotacional define-se a função ),,,( t z y xφ a partir da qual pode-se obter a

velocidade. Se 0=∇ V X r

, então existe uma função ),,,( t z y xφ tal que φ∇=V r

, ou:

z w

yv

xu

∂∂

=∂∂

=∂∂

= φφφ

;;

Linhas de mesmo valor de φ são chamadas linhas potenciais. Vale notar quediferentemente da Função de Corrente, a Função Potencial de Velocidades pode serdefinida para escoamentos tridimensionais. Nesse caso de escoamento irrotacional, valenotar a forma que assume a integração da equação de Euler. A seguinte igualdade pode serestabelecida:

)()()()(

).(.t

d dz z

t dy y

t dx x

t r d t

r d t

V

∂∂

=∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂+

∂∂∂

∂=∇

∂∂

=∂∂ φ

φφφ

φ rr

r

Consequentemente, a integração da equação de Euler ganha a seguinte forma:

.2

1 2cte gz

p

t =+∇++

∂∂

φρ

φ

válida para escoamentos irrotacionais não-permanentes. A constante é a mesma para todosos pontos, podendo variar com o tempo. Essa equação é chamada na literatura de EquaçãoIntegral de Cauchy-Bernoulli.

Escoamentos potenciais notáveis


36/76

Diferentes escoamentos potenciais podem ser bem representados pela adequadasuperposição de escoamentos simples. Alguns desses escoamentos serão apresentadosadiante, em suas versões bi e tridimensionais.

i) bidimensionais:

i.1) Escoamento uniforme de velocidade U na direção x:

As velocidades são:

y xU u

∂∂

=∂∂

== ψ φ

; x y

v∂∂

−=∂∂

== ψ φ

0

Integrando-se as velocidades, descartando-se as constantes de integração, que não afetam asvelocidades , as linhas de corrente e de potencial são obtidas:

UxUy == φψ ;

Conforme ilustrado na Fig. 17 as linhas de corrente são retas horizontais (y = const.) e aslinhas de potencial são verticais (x = const.).

Fig. 17 Escoamento uniforme plano

i.2) Linha de fonte ou sumidouro na origem:

Representa emissão contínua de fluido Q no plano na direção radial. Em coordenadas polares, a componente circunferencial será nula. Em um raio r genérico e comprimento dalinha definido por b, a velocidade é:

θ

φψ φ

θ

ψ

π θ ∂

∂=

∂∂

−==∂∂

=∂∂

===r r

vr r r

m

rb

Qvr

10;

1

2

onde bQmπ2= é uma constante denominada intensidade, sendo positiva para a fonte e

negativa para o sumidouro. Integrando as velocidades e descartando as constantes deintegração, obtém-se as linhas de corrente e de potencial para esse escoamento radial:

r mm ln; == φθψ

A Fig. 18 ilustra esse escoamento.


37/76

Fig. 18 Linha de fonte ou sumidouro

i.3) Linha de vórtice irrotacional:

O escoamento bidimensional linha de vórtice corresponde a um movimento circular

permanente, tal que 0=r v e )(r f v =θ . Sendor

K v =θ , onde K é uma constante chamada

intensidade do vórtice. Esse escoamento satisfaz a equação da continuidade e é

irrotacional , isto é V X r

∇ = 0. Algumas vezes denominado vórtice livre, e sendo:

θ

φψ φ

θ

ψ θ ∂

∂=

∂∂

−==∂∂

=∂∂

==r r r

K v

r r vr

1;

10

Novamente integrando: θφψ K r K =−= ;ln

Como ilustrado na Fig. 19, as linhas de corrente são círculos concêntricos (r = const),

enquanto que as linhas de potencial são raios (θ = const.).

Fig. 19 Vórtice livre.

i.4) Superposição de fonte com sumidouro iguais:

Os escoamentos apresentados correspondem a fluxos incompressíveis irrotacionais quesatisfazem as equações de continuidade 02 =∇ ψ e 02 =∇ φ . Como a equação de Laplace élinear, qualquer soma dessas funções mais simples também será solução da equação de


38/76

Laplace. Para fonte de intensidade +m no ponto )0,(),( a y x −= , combinada comsumidouro de intensidade –m localizado em )0,(a , como ilustrado na Fig. 20, as linhas decorrente são simplesmente a soma das duas funções simples:

a x

ym

a x

ym

s f −−+=+=

−− 11 tantanψ ψ ψ

e as linhas de potencial são:

])ln[(2

1])ln[(

2

1 2222 ya xm ya xm s f +−−++=+= φφφ

Fig. 20 Superposição de fonte e sumidouro. Linhas de corrente contínuas, linhas de

potencial tracejadas. Setas indicam fluxo da fonte para sumidouro.Com aplicação de relações trigonométricas e logarítmicas conhecidas, as expressões dadasacima podem ser simplificadas para:

2221 2tan

a y x

aym

−+−= −ψ ; −

+−++

=22

22

)(

)(ln

2

1

ya x

ya xmφ

i.5) Doublet:

O processo de passagem ao limite da aproximação do par fonte/sumidouro produz

expressão de interesse prático, denominado doublet (ou par fluido). Pode-se demonstrar que para 0→a , excluindo-se o ponto a x = (para 0→a esse ponto é a origem) as seguintesfunções são obtidas:

22222;

sen

y x

x

r

x

y x

y

r +Λ=Λ−=

+Λ=Λ= φθψ


39/76

onde Λ é o seu chamado momento. As linhas de corrente associadas ao par fluido definidosobre o eixo x são, em coordenadas cartesianas:

022 =Λ

−+ yc

y x

que define família de círculos com centros no eixo y , conforme mostrado na Fig. 21.

Fig. 21 Par fluido.

ii) tridimensionais:ii.1) Fonte 3-D:

O potencial de uma fonte tridimensional situada na origem é:

r

m z y x

m

ππφ

4)(

42/1222 −=++

−= −

onde r é a distância radial até o ponto onde se situa a fonte e m a intensidade.

ii.2) Semi-corpo:

Soma de escoamento uniforme na direção x com fonte 3-D na origem:

2/1222 )(4

−++−= z y xmUxπ

φ

ii.3) Ovóide de Rankine:

Soma de escoamento uniforme com fonte e sumidouro:


40/76

2/12222/1222 ])[(4

])[(4

−− ++−++++−= z ya xm

z ya xm

Uxππ

φ

ii.4) Doublet:

2/3222 )(4 z y x x

++Λ=

πφ

ii.5) Soma de uniforme com doublet:

Em coordenadas esféricas a soma resulta em:

24

coscos

r Ur

π

θθφ

Λ+=

que corresponde ao escoamento de fluxo uniforme de velocidade U incidindo sobre esfera

de raio 3/1)2

(U

r π

Λ=

Caso 2-D: Ortogonalidade de linhas de corrente e de potenciais

Como visto, para escoamento invíscido e irrotacional, existe uma função potencial develocidades φ a partir da qual as características cinemáticas podem ser determinadas. Poroutro lado, no caso de escoamentos bidimensionais existe uma função ψ , a chamadafunção de corrente a partir da qual também são obtidas as velocidades. Consequentemente,tem-se:

x yu

∂∂

=∂∂

= φψ

y xv

∂∂

=∂∂

−= φψ

Essas relações na forma de derivadas parciais entre as duas funções são conhecidas comorelações de Cauchy-Riemman. Um aspecto geométrico dessas relações deve serreconhecido de imediato: a ortogonalidade entre as linhas dessas funções. Isso pode serobservado considerando-se de início que para uma linha de φ constante:

vdyudxdy y

dx x

d +==∂∂

+∂∂

= 0φφ

φ

Resolvendo:


41/76

v

u

dx

dyconst −== .)( φ

Em seguida, considere-se que para uma linha de ψ constante:

udyvdxdy y

dx x

d +−==∂∂+

∂∂= 0ψ ψ ψ

Resolvendo:

u

v

dx

dyconst == .)( ψ

E portanto verifica-se que:

.

.

)(1)(

const

const

dx

dydxdy

=

= −=ψ

φ

que é a condição matemática de ortogonalidade entre duas famílias de curvas.

Escoamentos incompressíveis viscosos

Alguns escoamentos simples serão tratados antes de se iniciar a discussão dos escoamentosviscosos em torno de corpos.

a) Escoamento de Couette

Seja a movimentação fluida resultante tão somente do deslocamento de placa plana comvelocidade constante U horizontal em presença de parede fixa. Movimento assumido comosendo 2-D sem efeito gravitacional. Inexiste gradiente de pressão, a velocidade fluidahorizontal 0≠u só depende de y , e 0== wv . As equações fundamentais são:

Continuidade: 0=∂∂+

∂∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u

reduz-se a 0=∂∂ x

u

, correspondente a )( yuu = apenas.

Navier-Stokes: x F u x

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

ρ ν

ρ

11 2 +∇+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

y F v y

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

ρ ν

ρ

11 2 +∇+∂∂−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂


42/76

a componente y dessa equação é identicamente nula, e a componente x reduz-se a:

02

2

=dy

ud µ

e integrando-se duas vezes resulta: 21 c ycu += . As duas constantes de integração sãodeterminadas pela aplicação das condições de contorno pertinentes:

=

=

+−==−=+==+=

2

2)(0;

;

2

1

21

21

U c

h

U c

ouchcuh y

chcU uh y

então:

h yh

U

yh

U

u ≤≤−+= ;22

que define um perfil linear sem escorregamento (conforme indicado na Fig. 22),correspondente à Lei de Newton da Viscosidade:

y xy y

u)(

∂∂

= µτ

Fig. 22 Perfil de velocidade para escoamento de Couette.

b) Escoamento de Poiseuille

Corresponde a fluxo 2-D com gradiente de pressão, entre duas placas planas fixas, como

ilustrado na Fig. 23. A equação da continuidade reduz-se a )(0 yuu x

u

=⇒=∂∂ e as duascomponentes de Navier-Stokes reduzem-se a:

x

p

dy

ud

∂∂

=2

2

µ


43/76

)(0 x p p y

p=⇒

∂∂

= apenas.

Logo, .2

2

const dx

dp

dy

ud ==µ

Integrando duas vezes:

21

2

2

1c yc

y

dx

dpu ++=

µ

Em

−=

==⇒±=

µ2

0

0 22

1

h

dx

dpc

c

uh y

Fig. 23 Escoamento gerado por duas placas (Poiseuille)

Então, o perfil de velocidades resultante é uma parábola:

)1(2 2

22

h

yh

dx

dpu −−=

µ

ocorrendo a máxima velocidade na linha de centro, com intensidade dada por:

µ2

2

max

h

dx

dpu −=

Essa expressão deixa evidenciado o sinal negativo do gradiente de pressão constante.

Escoamentos viscosos externos

Conforme já discutido, próximo de uma parede as ações viscosas são relevantes. Nosescoamentos internos, efeitos viscosos propagam-se das paredes para o centro, e ao final,em toda a região fluida do fluxo as tensões viscosas são relevantes. Em contrapartida, paraescoamentos externos, em princípio para números de Reynolds relativamente altos, essesefeitos ficam restritos a uma região limitada, sem que as ações viscosas difundam-se para


44/76

regiões amplas. Esse fato dá sustentação física à modelação clássica de teoria de camadalimite fina. Um aspecto constitutivo dessa modelação é de que o escoamento externo emtorno de um corpo compõe-se de uma região fina onde o movimento é governado por Navier-Stokes, com tensões viscosas importantes, que coexiste com a região mais exterioronde o escoamento é invíscido. Esse modelo tipo “colcha de retalhos” produz resultados

muito satisfatórios para corpos esbeltos e números de Reynolds elevados. A teoria decamada limite teve seus principais desenvolvimentos no primeiro quarto do século vinte,através dos pesquisadores germânicos L. Prandtl e T. von Karman. Para baixos números deReynolds ( 1000Re0 ≤≤ ) onde os efeitos viscosos não ficam restritos a camadas finas, omodelo não se aplica. Nesses casos, a análise tem que ser fortemente lastrada em resultadosexperimentais e/ou numéricos.

Fig. 24 Camada limite em escoamento plano.

A Fig. 24 apresenta diagramaticamente a camada limite resultante do movimento fluidoviscoso em contato com a superfície de uma das faces de uma placa plana. A linhatracejada pretende ilustrar a estreita região denominada camada limite. Indica-se em cada posição longitudinal x a espessura dessa camada. Sobre a placa a condição de não-

deslisamento implica em velocidade resultante nula. Desse ponto de contato onde avelocidade é nula até a região externa da camada limite, a velocidade longitudinal do fluidocresce até ajustar-se ao valor da velocidade do esco

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