Meccanica: Cinematica: Dinamica - mi.infn.itcamera/Com-dig/dispense/Meccanica.pdf · Meccanica:...

Cinematica -Cutnell Cap III + Cap VI (pg 64-66 + pg 74-78 + pg 137-141) 1

MOTI

Meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare

Cinematica: descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

Dinamica: è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate:

Caso Mono-dimensionale

• Coordinate Cartesiane

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con X

Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

Coordinata- spesso indicata con - X


Caso Bidimensionale

• Coordinate Polari

• Distanza Radiale r• Angolo θ

O

---> (r, θ)

rθ


• Ascissa X• Ordinata Y

O x

y

---> (X,Y)

E’ ovviamente possibile trasformare le coordinate cartesiane in polari e viceversa

( ))sin(

cosθθ

ryrx

==

=

+=

xyr

yxr

tan

22

θ


Caso Tridimensionale


• Coordinate Sferiche

• Coordinate Cilindriche

( ) ( )( ) ( )( )θ

ϕθϕθ

cossinsincossin

rzryrx

===

( )( )

zzryrx

===

θθ

sincos

yx

z


Esempio alla lavagna

Trasformazioni di coordinate


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificata la posizione del corpo, definire lo spostamento, la velocità e l’accelerazione.

Spostamento: Lo spostamento di un corpo è il vettore il cui modulo è la distanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moto misurata lungo la retta che li congiunge. La direzione è quella delle retta che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il verso è quello rivolto dalla posizione iniziale alla posizione finale

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore spostamento.

Per definire lo spostamento è necessario aver definito in precedenza sia l’origine del sistema di coordinate che il sistema di coordinate da usare. Altrimenti non sapremmo da dove far partire il vettore posizione.

01 pps −=

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine

Il vettore spostamento infinitesimo risulta quindi essere un segmentino della traiettoria.

La traiettoria risulta essere composta dall’inviluppo di tutti i vettori spostamento

ds

ds dsdsdsds


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento, definire quanto velocemente un corpo si muove

Velocità: La velocità di un corpo è, per definizione, il rapporto fra lo spazio percorso (cioè lo spostamento) e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo

Poiché ho bisogno del vettore spostamento, anche la velocità dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore spostamento| * 1/intervallo di tempoDirezione: quella del vettore spostamentoVerso: quella del vettore spostamento

Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore velocità

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore velocità diventa sempre più vicino alla tangente alla traiettoria.

Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore velocità istantaneav(t) che dà la velocità di un punto materiale nell’istante t. La velocità istantanea risulta essere tangente alla traiettoria

dtds

ttssv

ttssv

ttist ⇒−−

=⇒−−

=→

12

12

12

12

12

lim [ ] [ ][ ]smv =


Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento e la velocità, definire quanto velocemente un corpo cambia la sua velocità

Accelerazione: L’accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporto fra il vettore velocità istantanea e l’intervallo di tempo associato

Poiché ho bisogno del vettore velocità, anche la accelerazione dovrà essere un vettore.

Modulo: |vettore velocità| * 1/intervallo di tempoDirezione: … dipende da caso a casoVerso: … dipende da caso a caso

Tanto più la velocità iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore accelerazione

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo è possibile definire il vettore accellerazione istantanea a(t) che dà la accelerazione di un punto materiale nell’istante t.

dtdv

ttvva

ttvva

ttist ⇒−−

=⇒−−

=→

12

12

12

12

12

lim [ ] [ ][ ]2sma =

Nota:

Lo spostamento infinitesimo è un segmentino di traiettoriaLa velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaL’accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria


• Spostamento infinitesimo

=−=−=−

=−=dzzzdyyydxxx

ssds

12

12

12

12

=

=

==

dtdzdtdydtdx

dtdsdt

dsdtds

vvv

dtdstv

z

y

x

z

y

x

)(• Velocità istantanea

• Accelerazione istantanea

=

===

2

2

2

2

2

2

2

2

dtsd

dtsd

dtsd

dtsd

dtdvdt

dvdt

dv

dtdva

z

y

x

z

y

x

==

==

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫dtta

dtta

dtta

dtta

dttv

dttv

dttv

dttvts

z

y

x

z

y

x

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

==

∫∫∫

∫dtta

dtta

dtta

dttatv

z

y

x

)(

)(

)(

)()(


Equazione Oraria

( )tt

s

ts

tempottfs

y

x

3log3753

)(

+−=

+=

==

t

sx

t2

s3

s2

s1

t3t1 tt2

s2

s1

t1

sy

L’equazione oraria permette di determinare le componenti del vettore posizione del corpo in studio in qualsiasi istante di tempo t


Analogamente una equazione del tipo

ttv

v

tempottgv

y

x

1373

)(

2 +=

=

==

Permette di conoscere le componenti della velocità di un corpo in qualsiasi tempo t

vy

Un discorso Analogo vale per l’accellerazione

vx

t t

Accellerazione, Velocita’ e Spostamento sono legate tra loro da relazioni matematiche


Esempi alla lavagna:

1 - Calcolo della velocità e dell’accellerazionenoto lo spostamento

2 - Calcolo dello spostamento nota la velocità


Spostamento, velocità ed accelerazione relativa

Per definire sia le quantità spostamento, velocità ed accelerazione è stato necessario definire un sistema di riferimento. Cosa succede se devo cambiare questo sistema di riferimento ?

O’

y’

x’

k

Se il nuovo sistema di coordinate è fermo rispetto al primo, cambiano i vettori posizione ma il vettore spostamento risulta essere lo stesso in entrambi i sistemi di

coordinate

spppkpks

pps

=−=+−+=

−=

0101,

01

)()(

Se il nuovo sistema di coordinate è fermo rispetto al primo allora il vettore velocità risulta essere lo stesso in entrambi i sistemi

di coordinate

vttss

ttss

v

ttssv

=−−

=−

−=

−−

=

12

12

12

,,,

12

12

12

y

x

x’

y’

O

O’k

Ragionamento analogo vale per l’accelerazione


Se il nuovo sistema di coordinate risulta essere in moto rispetto al primo ….

La velocità vettoriale di un corpo è relativa all’osservatore che compie l’osservazione

tsptps vvv +=

La velocità del passeggero rispetto all’osservatore al suolo vps è pari alla velocità del passeggero rispetto al treno vpt sommata alla velocità del treno rispetto al suolo vts

La velocità di un punto materiale relativamente ad un sistema di riferimento fermo risulta essere la somma della velocità del punto materiale rispetto al sistema di coordinate in moto con la velocità del sistema di coordinate stesso

v

Un ragionamento analogo vale nel caso a più dimensioni. E’ sufficiente scomporre secondo le componenti (p.es. x,y,z)


Moto Circolare

Coordinate Cartesiane 2D

)/(

)/(

)/(

)/(

)(

22

2

22

2

smylelungooneaccelerazidt

yda

smxlelungooneaccelerazidt

xda

smylelungovelocitàdtdyv

smxlelungovelocitàdtdxv

metriylelungoospostamenty(metri)xlelungoospostamentx

y

x

y

x

==

==

==

==

==

v

x

y vrθ

Coordinate Polari 2D

)/(

)/(

)/(

)/(

)((

22

2

22

2

smradialeoneaccelerazidt

rda

sradangolareoneaccelerazidtda

smradialevelocitàdtdrv

sradangolarevelocitàdtdv

metriradialeospostamentrrad)angolareospostament

r

r

==

==

==

==

==

θ

θ

θ

θ

θ

Ma in un moto circolarer = costantevr= 0 e ar = 0

Riduco il problema in 1D

Nuove Osservabili

Periodo (T) : tempo necessario per fare un giro Frequenza (ν) : 1/T (Hz)


Moto Circolare

Coordinate Polari (1D)

vrθ

)(2

)()(

)()(

2)(

)(

1

22

2

−=

=

=

==

=

=

=

=

==

srtvt

stvrtT

ara

)(m/sdt

xddtdva

zialeone tangenaccelerazia

rv

(m/s)dtdxv

etangenzialvelocitàv

metangenzialospostamentxrx

t

t

t

tt

t

t

t

t

πν

π

ω

ϑ

θ

)(2

)()(

)()(

2)(

)/(

)(

1

22

2

−=

=

==

=

=

=

=

stt

st

tT

)(rad/sdtθd

dtda

angolareioneaccelleraza

sraddtdθ

angolarevelocità

rado angolarespostamentθ

θ

θ

πω

ν

ωπ

ω

ω

ω

Nota:Quando ω è costante prende il nome di pulsazione

Dinamica - Cap II + Cap. III + Cap. IV + Cap V + Cap IX Cutnell 1

ForzeIl termine forza nel senso comune indica una trazione od una spinta

Nell’indicare una forza si usa una freccia in quanto una trazione o spinta ha sempre una intensità (il modulo) una direzione ed un verso. Da un punto di vista fisico quindi la forza è un vettore.

Se la forza è una quantità reale deve poter essere misurabile, per essere misurabile deve indurre degli effetti che possono essere quantificati.

Prima legge di Newton

‘Un corpo rimane nel suo stato di quiete o nel suo stato di moto rettilineo a velocità costante se una forza risultante non nulla non lo costringe a variare il suo stato di moto’

oppure

‘Un corpo non soggetto a forze o la cui risultante di tutte le forze a lui applicate è nulla permane nel suo stato di quiete o nel suo stato di moto rettilineo uniforme’

L’assenza di forze (o il fatto che la loro somma vettoriale sia il vettore nullo) quindi implica l’assenza di una variazione di moto, cioè l’assenza di accelerazione.

Un corpo senza accelerazione si dice in equilibrio


Esempio

Incidente Stradale

Esempio

Le cinture di sicurezza nelle auto


Seconda legge di Newton

‘Se una forza risultante ΣF non nulla agisce su un corpo di massa m il modulo della conseguente accelerazione a è direttamente proporzionale al modulo della forza risultante ed inversamente proporzionale alla massa. La direzione ed il verso dell’accelerazione è uguale alla direzione e verso della forza risultante.’

amFmFa =Σ

Σ=

La massa (quello che noi quantifichiamo come la quantità di materia) risulta essere il termine di proporzionalità tra forza ed accelerazione.Maggiore è la massa di un corpo maggiore dovrà essere la forza necessaria per dare al corpo una data accelerazione.

Le dimensioni della forza sono:

L’equazione di newton è di natura vettoriale e quindi può essere scomposta nelle sue componenti (cartesiane, sferiche, cilindriche … )

Un corpo è quindi in equilibrio quando la somma di tutte le forze agenti è nulla

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] NewtonNsmKgForza ==⋅= 2

ammamama

FFF

F

z

y

x

z

y

x

=

=

ΣΣΣ

=Σ Poiché la massa è uno scalare compare tale e quale in tutte le tre equazioni


Esempi alla lavagna

Calcolo legge del moto rettilineo uniformeCalcolo legge moto uniformemente accelerato


Composizione delle forze ⇒ Forza risultante


Forze in natura

In natura esistono 4 forze fondamentali, con cui è possibile descrivere tutti i fenomeni naturali noti:

• Forza Gravitazionale … è responsabile di tutti i fenomeni astronomici e ed è la forza che percepiamo nel modo più immediato

… Legge di gravitazione universale di Newton… Relatività Generale

• Forza Elettromagnetica … lega gli elettroni al nucleo ed è responsabile di tutti i fenomeni elettrici

… Equazioni di Maxwell

• Forza Nucleare forte …….lega i mattoni più elementari della materia stessa. Mantiene unite le particelle ed impedisce ai nuclei di disintegrarsi per la reciproca repulsione fra protoni.

… La forma esplicita completa è tuttora ignota

• Forza Nucleare debole …. Assicura la produzione di luce e calore per opera della fusione nucleare, è responsabile dei decadimenti radioattivi.

… La forma esplicita non è completamente nota

Qualsiasi altra forza deriva da queste quattro

Forza peso

Forza di attrito

Forza viscosa

Forza elettrostatica

Forza di Lorentz

∧

= rrmmGF 2

21

2/80.9 smgjmgF =−=∧

NkF=

vkF 0−=∧

= rrqqF 2

21

041πε

BvqF ∧=


Esempio:

Caduta libera


Esempio

Caduta libera


Le equazioni di moto di un corpo in caduta libera NON dipandono dalla massa del corpo stesso. Quindi in assenza di attrito un sasso es una piuma impiegano il medesimo tempo per arrivare a terra

C’e’ un bel filmato fatto dagli astronauti sulla Luna

http://vesuvius.jsc.nasa.gov/er/seh/feather.avi


Esempio:

Moto Parabolico

Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo di 40° rispetto al suolo. Quale è la gittata del cannone e quale è la massima altezza raggiunta dal proiettile(trascurare l’attrito).

Quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata.


Esempio

La velocità e l’accellerazione sono molto differenti


Applicazione delle leggi di Newton

Caduta libera con attritoSollevamento di un pesoSlitta con attrito


Terza legge di Newton

‘Se un corpo esercita una forza su un secondo corpo, il secondo corpo esercita sul primo corpo una forza uguale in modulo e direzione ma opposta in verso.’

FF

2

2

/39.09236

/0033.011000

36

sma

sma

uomo

astronave

−=−

=

==

Le due forze sono identiche ma vengono esercitate su corpi diversi, con masse differenti. Quindi l’effetto indotto da queste due forze identiche può essere sensibilmente differente.

Esempio

F = 36 Nmastronave = 11000 kgmuomo = 92 kg


Esempio

Che forza devo applicare per avere la corda orizzontale



esercizi dal Cutnell


Moto Circolare

Coordinate Polari (1D)

vrθ

)(2

)()(

)()(

2)(

)(

1

22

2

−=

=

=

==

=

=

=

=

==

srtvt

stvrtT

ara

)(m/sdt

xddtdva

zialeone tangenaccelerazia

rv

(m/s)dtdxv

etangenzialvelocitàv

metangenzialospostamentxrx

t

t

t

tt

t

t

t

t

πν

π

ω

ϑ

θ

)(2

)()(

)()(

2)(

)/(

)(

1

22

2

−=

=

==

=

=

=

=

stt

st

tT

)(rad/sdtθd

dtda

angolareioneaccelleraza

sraddtdθ

angolarevelocità

rado angolarespostamentθ

θ

θ

πω

ν

ωπ

ω

ω

ω

Nota:Quando ω è costante prende il nome di pulsazione


Moto circolare Uniforme

Moto in cui :

• vt costante ⇔ ω costante ⇔ ω = pulsazione• T costante ⇒ T = Periodo• ν costante ⇒ ν = frequenza

Un corpo che si muove in moto circolare uniforme subisce una forza non nulla (detta centripeta) SEMPRE diretta verso il centro

vF

rmrvmF t 2

2

ω==



Le equazioni del moto rotatorio

Lavoro ed Energia Meccanica - Cap. VII Cutnell 1

Lavoro ed Energia

Il concetto di lavoro intuitivamente quantifica la fatica che una persona o una macchina devono fare per spostare un oggetto.

Maggiore è lo spostamento del corpo, maggiore è la forza impiegata per spingere, maggiore sarà la fatica e intuitivamente maggiore dovrà essere il

lavoro compiuto.

Intuitivamente il lavoro dovrà quindi essere legato sia allo spostamento che all’intensità della forza

E’ chiaro che la componente della forza che ‘lavora’ è quella che induce direttamente lo spostamento, cioè quella parallela alla spostamento

( )θcosdsFdLdsFdL =⋅=

Il lavoro infinitesimo dL fatto da una forza F per spostare un corpo di un tratto ds si definisce come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento


Il lavoro:

• E’ un numero, infatti non necessita di una direzione o di un verso• E’ nullo se la forza è nulla• E’ nullo se lo spostamento è nullo

• Spingere contro una cassa che rimane ferma non da lavoro • E’ nullo se lo spostamento è perpendicolare alla forza • La forza di Lorentz è a lavoro nullo• E’ positivo se la forza è parallela allo spostamento (lavoro motore)• E’ negativo se la forza è opposta allo spostamento (lavoro resistente)

Il lavoro si misura in Joule:

La definizione si può semplificare in alcuni casi particolari e solo in questi !!

Caso 1D ⇒ Non è più necessario il prodotto scalare dL = Fds

Spostamento Rettilineo + ⇒ Si può passare alla forma integrale L = F s cos(θ)

Forza costante

In tutti gli altri casi per calcolare il lavoro è necessario risolvere un integrale di linea

[ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] JouleJsmkgm

smkgsFLavoro ===== 2

2

2

∫ ⋅=),( BAldsFL

A

Bl


Il lavoro è la conseguenza dell’applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associato ad una variazione di velocità.

Il calcolo del lavoro secondo la definizione implica un processo di integrazione che è il più delle volte lungo e complesso

Tuttavia per una forza costante:

2222

22

21

21

2)(

).(2

0

0

mvmvvv

mL

acceleratounifmotounperVeroasvvmassamFssFL

amF

−=−

=

+=

=⋅==⋅=

=

Il lavoro L fatto da una forza F costante per portare un corpo di massa m dal punto A al punto B può essere espresso dalla differenza dell’energia cinetica calcolata in B ed in A

AcinEAinCineticaEnergiaAmv ,2)(

21

⇒⇒


Il lavoro è la conseguenza dell’applicazione di una forza, cioè di una accelerazione, è quindi associato ad una variazione di velocità.

Il calcolo del lavoro secondo la definizione implica un processo di integrazione che è il più delle volte lungo e complesso

Piu in generale:

( ) ( )21

22

22

21

21

21

21

21

mvmvL

vdmdtvdtdmdL

dtvvdtdmdtv

dtdvmdtvFdt

dtdsFdL

dsFdL

−=

==

⋅=⋅=⋅=⋅=

⋅=

Il lavoro L fatto da una qualsiasi forza F o somma di queste per portare un corpo di massa m dal punto A al punto B può essere espresso dalla differenza dell’energia cinetica calcolata in B ed in A

Teorema del lavoro e dell’energia cinetica

Quando una forza risultante non-nulla compie un lavoro L su un corpo, l’energia cinetica del corpo varia dal suo valore iniziale Ecin,0 al valore finale Ecin,f e la differenza fra l’energia cinetica finale e quella iniziale è uguale al lavoro compiuto dalla forza.

AcinEAinCineticaEnergiaAmv ,2)(

21

⇒⇒

L’unità di misura dell’energia cinetica è ovviamente il Joule


Esempi alla lavagna:

Calcolo del lavoro da forza gravitazionale

mediante la definizionemediante il teorema L-Ecin


Nel caso di una forza semplice come la forza peso F=- mg j il lavoro risulta essere

• indipendente dalla traiettoria• legato solo alla quota iniziale e finale

Noti cioè due punti A e B qualsiasi è possibile conoscere il lavoro necessario per andare da A a B semplicemente con la formula mg(hB-hA)

Energia Potenziale

Per la forza peso e’ quindi possibile costruire, in ogni punto dello spazio una funzione, Energia potenziale U(P). L’Energia potenziale di una massa m in un punto P è definita come il lavoro necessario per portare la massa m da punto P ad un punto di riferimento precedentemente determinato.

Poiché per la forza peso il lavoro non dipende dalla traiettoria ma unicamente dalla posizione di partenza e da quella di arrivo allora l’Energia Potenziale è univocamentedefinita in ogni punto dello spazio

Prif

Prif

mghmghPUrifPLPU

mghmghrifPL

jmgF

−=−=

−=−

−=∧

)()()(

)(

P

rifhrif

hP

rif

Forze Conservative

Se il lavoro compiuto da una forza nello spostare un corpo da una posizione ad un altra è indipendente dal cammino percorso, la forza è detta conservativa


( ) ( )( )( ) ( )

( ))()()()(

)()()(

AUPUPUAUhhmghhmg

hhhhmgPrifLrifALPAL

rifPArif

rifPArif

−−=−=

−−−=

−+−=→+→=→

Poiché in un campo conservativo il lavoro fatto per andare dal punto A al punto B non dipende dal percorso fatto è possibile immaginare una traiettoria che va punto A al punto di riferimento per il calcolo del potenziale e da questo al punto P.

Quindi la differenza del valore dell’energia potenziale calcolata nel punto A e nel punto P fornisce il lavoro necessario per portare un corpo dal punto A dal punto P al punto A.

Per calcolare il lavoro quindi la fisica ha a disposizione tre differenti tecniche:

• La prima mediante, la definizione, implica una processo di integrazione in più dimensioni che spesso può essere complesso o non risolvibile analiticamente.

• La seconda per mezzo del teorema del Lavoro e dell’Energia Cinetica, banale se si conoscono le velocità iniziale e finale.

• La terza, nell’ipotesi di forza conservativa, per mezzo dell’energia potenziale.

In questa ultima tecnica è necessario sapere SOLO ed ESCLUSIVAMNTE il valore dell’energia potenziale nei due punti A e P.

∫ ⋅=),( BAldsFL

22

21

21

AB mvmvL −=

))()(( AUBUL −−=


AcinPcin

AcinPcin

AcinPcinAP

EAUPUEPUAUEE

PUAUPAL

EEmvmvPAL

,,

,,

,,22

)()()()(

)()()(21

21)(

+=+

−=−

−=→

−=−=→

L’energia cinetica e l’energia potenziale sono quindi due quantità molto legate tra loro infatti entrambe esprimono il lavoro fatto per andare tra due punti A e P

Un corpo in caduta a mano a mano che diminuisce di quota aumenta di velocità ma diminuisce di energia Potenziale

In altre parole è come se l’energia potenziale si trasformasse in energia cinetica

Principio di conservazione dell’energia (meccanica)

La somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica possedute da un corpo in un punto P si dice Energia Meccanica.

L’Energia Meccanica di un corpo, in un sistema isolato, si conserva in ogni punto della sua traiettoria


La forza peso ha la proprietà che il lavoro compiuto non dipende dalla scelta del cammino percorso

- E’ stato possibile definire l’Energia Potenziale- E’ stato possibile definire l’Energia Meccanica- E’ valido il principio di conservazione dell’Energia meccanica

Forze Conservative

Se il lavoro compiuto da una forza nello spostare un corpo da una posizione ad un altra è indipendente dal cammino percorso, la forza è detta conservativa

Per una forza conservativa è quindi possibile definire la funzione Energia Potenziale

Energia Potenziale

Per una forza conservativa e’ quindi possibile costruire, in ogni punto dello spazio una funzione, Energia potenziale U(P). L’Energia potenziale in un punto P è definita come il lavoro necessario per portare il corpo dal punto P ad un punto di riferimento precedentemente determinato.

Ogni forza conservativa ha la proprietà che il lavoro che essa compie su un corpo lungo un cammino chiuso è nullo

∫−

⋅=)(

)(rifPl

dsFPU


Esempi di forze conservative

Forza Peso:

Forza Elastica:

Forza Gravitazionale:

Forza Elettrostatica:

PmghPUjmgF =−=∧

)(

2

21)( pkxPUikxF =−=

∧

prqqPUr

rqqF 21

02

21

0 41)(

41

πεπε==

∧

prmmGPUr

rmmGF 212

21 )( ==∧

Non tutte le forze sono conservative, una forza è non conservativa se il lavoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso (p.es. la forza di attrito)

PotenzaLa potenza è la rapidità con cui viene compiuto il lavoro L ed è definita

come la derivata del lavoro rispetto al tempo

[ ] [ ][ ][ ]3

2

smkgWattP

dtdLP ===



Corpo in caduta libera + EnergieUso del principio di conservazione energia


Curve di Potenziale

E’ possibile mettere in grafico l’andamento del potenziale di una data forza

Forza Pesom = 1 kg g = 9.8 m/s2

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-4 -2 0 2 4 6

Altezza

Ener

gia

Pote

nzia

le

mghhU =)(

L’Energia Potenziale della forza peso è una funzione lineare dell’altezza. Maggiore è l’altezza maggiore è l’energia potenziale.Ovviamente la forza peso non ha punti di equilibrio


Curve di Potenziale

E’ possibile mettere in grafico l’andamento del potenziale di una data forza

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-4 -2 0 2 4 6

Allungamento

Ener

gia

Pote

nzia

le

Forza ElasticaK = 3.5 N/m 2

21)( kxxU =

L’Energia potenziale della forza elastica è una parabola con un minimo nel punto ad allungamento zero. Un minimo di potenziale (anche relativo) indica un punto di equilibrio stabile del sistema. Un punto cioè dove il corpo non è soggetto a forze.

Moto Armonico - Cap. XI Cutnell (pg 274-300) 1

Moto Armonico

Un materiale elastico è un materiale che ha la capacità di riacquistare la forma iniziale dopo essere stato compresso o deformato (p.es. la molla)

La forza necessaria per allungare o accorciare una molla (caso 1D) è linearmente proporzionale all’allungamento stesso. La costante di proporzionalità k è detta costante elastica

)( 0xxkF −=

La osservabile x0 rappresenta l’estensione della molla quando non è soggetta a forze, l’osservabile x indica l’attuale estensione della molla

• Se comprimo la molla la forza che esercito è negativa

• Se estendo la molla la forza che esercito è positiva

Per motivi di semplicità si considera sempre la molla di estensione nulla, cioè x0 = 0. E’ facile correggere i calcoli in caso contrario

0)( 00 <−=< xxkFxx

0)( 00 >−=> xxkFxx


Per il principio di azione e reazione la forza che esercita la molla è di modulo e direzione uguale ma opposta in verso

Che per semplicità viene scritta con x0 = 0

Il moto associato ad una forza del tipo F = -kx è detto moto armonico semplice ed l’andamento della coordinata x in funzione del tempi è rappresentato da una sinusoide

)( 0xxkF −−=

kxF −=


L’escursione massima dalla posizione di equilibrio A è detta ampiezza del moto.

L’intervallo di tempo T impiegato per

compiere un ciclo è detto Periodo.

T1

=ν

Tw π2=

Frequenza

Pulsazione oVelocità angolare

kxdtxdmkxmakxF −=−=−=2

2


Un moto armonico semplice, si può anche descrivere come la proiezione sull’asse delle x o delle y del moto, a velocità in modulo costante, di un

punto su una circonferenza (moto circolare uniforme)

( )( )tAytAx

ωω

sincos

==

( )( )tAwvtwAv

y

x

ωω

cossin

=−=

( )( )tAwa

twAa

y

x

ω

ω

sin

cos2

2

−=

−=

( ) ( )

2

2

24224222 sincos

Awa

mAwamF

wtwAwtwAmaamamF yx

=

==

+=+==

L’accelerazione in un moto circolare si dice centripeta è nel caso di moto circolare uniforme vale a=ω2r


La forza elastica, che induce una oscillazione armonica, è una forza conservativa con potenziale

2

21)( kxxU =

La forza elastica o il potenziale armonico sono gli stereotipi di un gran numero di sistemi fisici, in pratica di tutti i fenomeni in cui è

presente una oscillazione come ad esempio il pendolo


Pendolo

( )( )

( )( )θτ

θ

θτθ

τ

cossin

0cossin

mgmgma

mgFmgF

jmgmaF

x

y

x

=−=

=−=−=

+−==∧

-mg

τX

θ

θ

Y

Lo spostamento su una circonferenza può essere scritto come

se l’angolo θ è sufficientemente piccolo allora

l’equazione che descrive dal pendolo

θrx =

θθ ≈)sin(

( )2

2

2

2

2

2

dtdmr

dtrdm

dtxdmmaF xx

θθ====

θθ mgdtdmr −≈2

2

( ) θθ mgmgFx −≈−= sin

( )ttrg

ωθθθ coscos 00 =

=


La forza elastica ed il potenziale armonico approssimano una qualsiasi forza in prossimità di un punto di equilibrio stabile

x

U(x)

x1

x2

Sia U(x) l’energia potenziale di una generica forza conservativa F

I punti x1 ed x2 sono due punti di minimo di potenziale e quindi di equilibrio stabile

Sviluppiamo in serie U(x) intorno al punto x1

( )2

1

2

2

2

1

11

21

2

2

2

11

1

1

1

11

21)(

)()..(

)()(

.....)(21)()()(

xxkcostantexU

xinxUdiconcavitàlaindicaquantoinkesppositivonumerounèdxUd

relativominimodipuntoexquantoinnulloèdxdU

xinpotenzialedelvaloreilnumerounèxU

xxdxUdxx

dxdUxUxU

xx

xx

xxxx

−+=

+−

+−

+=

=

=

==

Morale: a meno di costanti ho un potenziale armonico

quantità di moto - Cap. VIII Cutnell 1

Conservazione della quantità di moto

Le leggi della dinamica sono in grado di prevedere come un corpo risponde alle forze,

A volte però con calcoli estremamente complessi. Il concetto di lavoro ed la conservazione dell’energia a volte permettono di semplificare di molto i calcoli.

Esempio

Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce partendo dal valore zero fino ad un valore massimo (quando la palla entra in pieno contatto con la mazza) fino a ritornare a zero quando la palla si allontana dalla mazza. Il comportamento preciso della forza è estremamente complicato e il più delle volte ignoto

Se quello che interessa studiare è il moto della pallina è sufficiente conoscere la velocità

iniziale e finale della palla, ciò che è accaduto durante l’urto non serve

Impulso = Prodotto tra la forza F per l’intervallo di tempo durante il quale agisce

pdvmdimpulso

vmdvdmdtdtvdmdtamimpulso

dtFimpulso

==

====

=

)(

)(

Quantità di moto = Prodotto tra la massa e la velocità


Teorema impulso - quantità di moto

Se su un corpo agisce una forza risultante F, l’impulso della forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo

Dati due corpi che urtano tra loro

Forze interne:

Forze che I corpi all’interno del sistema esercitano l’uno sull’altro (urto)

Forze esterne:

Forze esercitate sui corpi del sistema da agenti esterni al sistema (p.es. Gravità)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) 0int

2,021,012,21,1int

2,02,21,01,121122,1,

2,02,2212,1,01,1121,

ppdtFF

vmvmvmvmdtFF

vvmvvmdtFFFF

vvmdtFFvvmdtFF

fext

ffext

ffextext

fextfext

−=Σ+Σ

−−+=Σ+Σ

−+−=+++

−=+−=+

Per il principio di azione e reazione la somma delle forze interne è nulla

( ) 0ppdtF fext −=Σ

Se la somma delle forze esterne è nulla

00 0 pppp ff ==−


Principio di conservazione della quantità di moto

La quantità di moto totale (la risultante della somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi) di un sistema isolato rimane costante (si conserva). Un sistema

isolato è un sistema per cui è nulla la somma vettoriale delle forze esterne che agiscono su di esso (gli urti devono essere cioè elastici).

1

221

22110

mvm

v

vmvmpp

ff

ff

fo

−=

+=

=

Esempio

22112,021,01

22,

21,

22,0

21,0

.,,,

21

21

21

21

ff

ff

fo

fcinocinfMoM

vmvmvmvm

mvmvmvmv

pp

EEEE

+=+

+=+

=

=⇒=

Esempio

( )( )( )

1,021

12,1,0

21

211,

2,21,1,0122111,01

22,21,1,01,1,01

22,

21,

21,0

2

21

21

21

vmm

mvvmmmmv

vmvvmvmvmvm

vmvvvvmmvmvmv

ff

ffff

fffff

+

=

+−

=

=−⇒+=

=+−⇒+=


Momento Angolare

Si definisce momento angolare di un corpo di massa m, velocità v rispetto ad punto P il vettore L:

ω2mrprvmrL =∧=∧=

Nota: L è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla velocità ed al

vettore posizione

Nota: Il momento angolare è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

v

r

LP

Un corpo che si muove radialmente rispetto al punto P ha momento angolare nullo

v

rL=0

P

( ) 00sin ==∧= mvrvmrL

Un corpo che si muove di moto circolare uniforme con centro nel punto P ha momento angolare costantev

r

LP

( ) mvrmvrvmrL ==∧= 90sin


Un corpo con momento angolare non nullo non è detto che abbia una traiettoria cruva

Un corpo che si muove in moto rettilineo uniforme può avere momento angolare non nullo

( ))(sin)()( tmvtrvmtrL ϑ=∧=vr

L

P

θ

Momento della forza M

Si definisce momento della forza M di un corpo rispetto ad punto P il prodotto vettoriale tra la forza che agisce sul corpo e il vettore che

congiunge P al corpo:

FrM ∧=

Nota: M è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla Forza ed al

vettore posizione

Nota: Il momento della forza è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

F

r

M

P


A partire dalle definizione di momento angolare e momento della forza è possibile riscrivere la seconda equazione di Newton in termini di M ed L

( )dtLd

dtvmrdM

dtvdmrFr

dtvdamF

=∧

=

∧=∧

== Il momento della forza è pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare


Principio di conservazione del Momento Angolare:

Se il momento delle forze esterne agenti su un sistema è nullo, allora il Momento Angolare Totale Ltot si conserva.

Vale sia vettorialmente che per una sola componente

In un sistema composto da un corpo:

Quando si conserva Lz il corpo si muove con velocità angolare costanteQuando si conserva L allora il moto avviene su un piano

Forza Centrale

Una forza si dice centrale quando la sua intensità dipende solo ed esclusivamente dalla distanza della sorgente ed il verso è radiale

• La forza di gravità è una forza centrale

• La forza elettrostatica è una forza centrale

L’esempio tipico sulla conservazione del momento angolare è la ballerina che ruotando su se stessa ritrae le braccia. La sua velocità angolare aumenta

ω2mrmvrL ==

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