Fisica 2018/2019 Lezione 3

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Meccanica (2) Cinematica BidimensionaleLezione 3, 8/10/2018, JW 3.1-3.5, 4.1-4.5

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Grandezze scalari e vettoriali

scalari• massa• volume• tempo• temperatura• pressione• energia• carica elettrica

vettoriali• spostamento• velocità• accelerazione• forza• campo elettrico• campo magnetico

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Grandezze scalari caratterizzate completamente da un numero (con unità)Grandezze vettoriali hanno direzione, verso e modulo

Grandezze vettoriali indicate con una piccola freccia sopra, e.g.: "⃗, $⃗, %⃗, &⃗, ', (

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2. Componenti di un vettorePossiamo scomporre un vettore nelle sue componenti scalari utilizzando un sistema di coordinate bidimensionale.

2. Componenti di un vettorell modulo, l’angolo e le componenti di un vettore possono essere ricavate le une dalle altre attraverso le loro relazioni trigonometriche.

!" = ! cos ' !( = ! sin ' ! = !"+ + !(+ tan ' = !(!"

NB: Solo valide se ' definito come l'angolo tra il vettore e l'asse / !

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3. Somma di vettori con il metodo graficoPer sommare graficamente due vettori "⃗ e # si dispone la coda di # sulla punta di " : la somma $⃗ = "⃗ + # è il vettore che va dalla coda di "⃗ alla punta di #.

Proprietà commutativa: # + "⃗ = "⃗ + #

3. Somma di vettori mediante le loro componenti1. Determiniamo le componenti dei vettori da sommare.

2. Sommiamo separatamente le componenti ! e "3. Otteniamo il vettore risultante.

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3. Sottrazione di due vettoriMetodo grafico: sommare con il vettore opposto: ! = $⃗ − & = $⃗ + (−&)

Componenti: sottrarre le componenti: !) = $) − &), !* = $* − &*

4. Vettori unitariI vettori unitari (o versori) sono vettori adimensionali di modulo unitario.

!" è il versore che ha il verso e la direzione dell'asse #!$ è il versore che ha il verso e la direzione dell'asse %

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4. Vettori unitari

Le componenti vettoriali possono essere rappresentate come proiezioni del vettore sugli assi ! e " : $⃗ = $& '! +$) '"

5. I vettori posizione e spostamento

Il vettore posizione "⃗ punta dall’origine alla posizione in cui si trova l’oggetto.

"⃗ = $%$ +'%'

Il vettore spostamento ∆"⃗punta dalla posizione inizialealla posizione finale.

∆"⃗ = "⃗) − "⃗+

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5. I vettori velocità media e istantanea

Il vettore velocità istantanea

"⃗ = lim∆(→*∆+⃗∆,

è tangente alla traiettoria della particella.

Il vettore velocità media

"⃗- = ∆+⃗∆,è parallelo a ∆+⃗

5. I vettori accelerazione media e istantanea

Il vettore accelerazione media

"⃗# = ∆&⃗∆'è parallelo alla variazione di velocità

∆&⃗ = &⃗( − &⃗*

Il vettore accelerazione istantanea

"⃗ = lim∆.→0∆&⃗∆'

in genere ha direzione diversa da &⃗Se "⃗ ∥ &⃗ cambia solo il modulo di &⃗Se "⃗ ⊥ &⃗ cambia solo la direzione di &⃗

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1. Moto in due dimensioniIl moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

Per il moto con accelerazione costante:

! = !# + %#&' + ()*&'+ %& = %&# + *&'

, = ,# + %#-' + ()*-'+ %- = %-# + *-'

1. EsempioVelocità iniziale "⃗# = (4,6m/s) -.Accelerazione /⃗ = (11ms12)-3Posizione e velocità a 4 = 0,55s ?

3 = 3# + "#84 + 92/842 = 0 + 0 + 9

2 : 11 : 0,552= 1,7m

. = .# + "#<4 + 92/<42 = 0 + 4,6 : 0,55 + 0 = 2,5m

"8 = "8# + /84 = 0 + 11 : 0,55 = 6,1m/s

"< = "<# + /<4 = 4,6 + 0 = 4,6m/s

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2. Moto di un proiettile: equazioni di base

Ipotesi

• La resistenza dell’aria viene ignorata.

• L’accelerazione di gravità è costante, è diretta verso il basso e ha modulo ! = 9,81 '/)2

• La rotazione della Terra viene ignorata.

⇒ ,- = 0, ,/ = −!Equazioni di moto:

1 = 12 + 42-5 4- = 4-26 = 62 + 42/5 − 7

8!59 4/ = 4/2 − !5

2. Moto di un proiettile: equazioni di base

L’accelerazione è indipendente dalla direzione della velocità.

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3. Lancio ad angolo zeroLancio orrizzontale: !"# = !", !"% = 0Punto di lancio: '"= 0, )" = ℎEquazioni di moto:

' = !"+ !# = !" = costante

) = ℎ − -./+0 !% = −/+

Traiettoria: eliminare +

' = !"+ ⟹ + = #23

) = ℎ − -./+0 = ℎ − -

./#23

0= ℎ − -

.423.'0 : parabola!

3. Lancio ad angolo zeroIl moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti

Il punto di atterraggio si ricava ponendo ! = 0 e risolvendo $ :

! = ℎ − '()*+($( = 0

⟹ '()*+($( = ℎ

⟹ $( = 2ℎ ./0

1 , $ = *+ (21

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4. Lancio ad angoloVelocità iniziale:

!" = !$ cos (, !) = !$ sin (Punto di lancio:

,$= 0, /$ = 0Equazioni del moto:

, = !$ cos ( 0!" = !$ cos ( = costante

/ = !$ sin ( 0 − 23405

!) = !$ sin ( − 40

Traiettoria per !" = 20,0m/s, * = 35°i puntini rossi corrispondono agli istanti . = 1s, . = 2s, e . = 3s

4. Lancio ad angolo

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5. Moto di un proiettile: gittata

Distanza orizzontale percorsa dal proiettile prima di atterrare.

Se livello iniziale = livello finale

1) trovare il tempo di volo:

! = #$ sin ( ) − +,-). = 0

⟹ #$ sin ( = +,-) ⟹ ) = .12

3 sin (

2) trovare la posizione 4 quando atterra

5 = #$ cos ( ) = #$ cos ( .123 sin (

= .12,3 sin ( cos ( = 12,

3 sin 2( 9:;< = 12,3 per ( = 45°

5. Moto di un proiettile: altezza massima

Proiettile raggiunge altezza massima quando !" = 0!" = !% sin ) − +, = 0

⟹ !% sin ) = +, ⟹ , = ./0 sin )

trovare la corrispondente posizione 12 = !% sin ) , − 3

4+,5

⟹ 2678 = !% sin ) ./0 sin ) −

34+

./0 sin )

5= ./4 9:;4 <

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