MecanismosProf. Jorge Luiz Erthal

Engrenagens

Projeto de Trens de Engrenagens

Nesta aula

• Ferramentas auxiliares• Aproximação por fração continuada

• Tabela de Brocot

• Fatoração

• Exemplo

Relação de transmissão

iN

N

R

R

A

A

iN

N

R

R

A

A

RARA

p

p

p

p

pp

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2211

ou

..1pR

2pR

+

-

•Máximo recomendável: 10:1

•Compatibilização do número de dentes com a relação exigida.

•O número de dentes varia na faixa entre 18 a 20 (pinhão) e 100 a 120 (coroa).•Existe uma variedade muito grande de combinações, principalmente em transmissões com mais de um estágio de redução.•Fatores comuns aos números de dentes levam ao desgaste prematuro. (ex.: 20/40).

•Qual a combinação de número de dentes que satizfaz a relação de velocidades?

Problema

2

1

N

Ni NÚMEROS INTEIROS

•Aproximação por fração continuada.• Obtenção de combinações de números inteiros que

reproduzem aproximadamente a relação exigida.

•Tabela de Brocot• Organização das frações continuadas em uma

tabela, obedecendo as exigências do projeto

•Fatoração de números primos• Fatoração de números para aumentar a escolha do

número de dentes e evitar fatores comuns.

Método

Projetar uma transmissão para uma relação total i = 0,457

32

1

2

32

2

1

21

1

22

1

1

1

1

1

11

11

1

11

1

10

11

11

10

11

10

10

10 entre darepresentaser deve relaçãoA

QQ

Q

RR

QQ

Q

Z

QQ

RR

QQ

Z

D

N

QNR

Q

Z

Zi

i

n

n

n

n

457142857,035

16

31

5

12

1

275

3

15

12

1

1000

457

454545455,011

5

51

2

1

8627

5

12

1

1000

457

5,02

1

45786

2

1

1000

4571000

457

10

457,0 :Exemplo

n

Zi

i

Aproximação por fração continuada

Aproximação por fração continuada

457002457,0407

186

21

5

13

15

12

1

21

2

15

13

15

12

1

1000

457

456989247,0186

85

51

3

15

12

1

52

5

13

15

12

1

1000

457

457142857,035

16

31

5

12

1

275

3

15

12

1

1000

457

Aproximação por fração continuada

457,01000

457

21

2

15

13

15

12

1

10

2

12

15

13

15

12

1

1000

457

457002457,0407

186

21

5

13

15

12

1

21

2

15

13

15

12

1

1000

457

Aproximação por fração continuada

457,01000457

457002457,0407186

456989247,018685

457142857,03516

454545455,0115

5,021

relaçãoDN

Aproximação por fração continuada

457,01000457

457002457,0407186

456989247,018685

457142857,03516

454545455,0115

5,021

relaçãoDN

Para uma transmissão em 1 estágio, o número máximo de dentes é 120.Portanto a tabela de Brocot deve ser construída na faixa indicada.

Tabela de Brocot

•Corresponde à seleção de frações continuadas que interessam ao projeto, obedecendo os requisitos e limitações.

•As frações continuadas são frações ditas conjugadas, ou seja, que obedecem a propriedade:

•Entre cada linha de frações continuadas ainda podem existir várias frações conjugadas.

1.. 11 iiii DNDN

Tabela de Brocot entre 5/11 e 16/35

Melhor escolha:

53/116

erro = 1,034.10-4

N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857

Transmissão em 2 estágios

457,01000457

457002457,0407186

456989247,018685

457142857,03516

454545455,0115

5,021

relaçãoDN

Para uma transmissão em 2 estágios, serão verificadas as duas possibilidades marcadas.

Frações continuadas

2

1

4

3

1

4

N

N

N

N

A

Ai

Aproximação por fração continuadae fatoração

456989247,031

25

30

17

31

17

6

5

3132

175

186

85

•Erro de 1,075.10-5

•Ignorado o questionável uso de 17 dentes.•Incluído um fator de ajuste de 5/5.

45700245,044

31

37

24

37

31

11

6

3711

3132

407

186

•Erro de 2,457.10-6 (menor do que no primeiro caso)•Número de dentes adequado.•Incluído um fator de ajuste de 4/4

Os fatores foram distribuídos nos dois estágios para evitar fator comum no mesmo engrenamento.

N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857

1 2

3 4

5 6

Transmissão em 3 estágios - estudo 1

Para uma transmissão em 3 estágios, seleciona-se uma linha da Tabela de Brocot para um dos estágios e, em seguida, resolve-se para os dois estágios restantes.

2

1

4

3

6

5

1

6

N

N

N

N

N

N

A

A

1 23 4

5 6

Transmissão em 3 estágios - estudo 1

Agora deve-se selecionar os pares para a relação parcial (iparcial).

2

1

4

3

6

5

1

6

N

N

N

N

N

N

A

A

99683929,0

10031707,1

9041457,0

457,090

41

parcial

parcialtotal

i

ii

Transmissão em 3 estágios - estudo 1

Será verificada a possibilidade marcada, juntamente com a relação 41/90 já definida.

Frações continuadas para i = 0,99683929N D razão1 1 1

315 316 0,996835443631 633 0,996840442946 949 0,9968387781577 1582 0,9968394442523 2531 0,9968391944100 4113 0,996839290

45700023,090

73

44

41

43

26

4311290

731341

946

949

90

41

•Erro: 2,349.10-7

•Utilizou-se um fator 2/2, distribuído para evitar fatores comuns num mesmo engrenamento.

N D razão5 11 0,45454545551 112 0,45535714346 101 0,45544554541 90 0,45555555636 79 0,45569620331 68 0,45588235326 57 0,45614035147 103 0,45631068021 46 0,45652173937 81 0,45679012353 116 0,45689655216 35 0,457142857

1 2

3 4

5 6

Transmissão em 3 estágios - estudo 2

2

1

4

3

6

5

1

6

N

N

N

N

N

N

A

A

1 23 4

5 6

Transmissão em 3 estágios - estudo 2

Agora deve-se selecionar os pares para a relação parcial.

2

1

4

3

6

5

1

6

N

N

N

N

N

N

A

A

998953477,0

10010476,1

4621457,0

457,046

21

parcial

parcialtotal

i

ii

Transmissão em 3 estágios

Será verificada a possibilidade marcada, juntamente com a relação 21/46 já definida.

Frações continuadas para i = 0,998953477N D razão1 1 1

954 955 0,9989529955 956 0,99895401909 1911 0,9989534

10500 10511 0,9989535

457000023,083

39

46

49

23

21

83232

1373

1909

1911

46

212

32

•Erro: 2,3.10-8

•Resultado melhor do que o obtido no estudo 1.

Projeto de TransmissãoComentários

•Existem outras possibilidades que podem ser exploradas.

•As possibilidades são imensas, mesmo na faixa entre 20 e 120 dentes.

•Necessita da habilidade do projetista.

•Importância do uso das ferramentas para orientar no projeto e na escolha da solução mais adequada.

Referência

Doughty, S.. Mechanics of Machines. New York: John Wiley, 1988.

Capítulo 5

Norton, R. L.. Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos. Porto Alegre: Bookman, 2010.Capítulo 9

Textos relacionados

Part 3: Brocot's Tables of Gear Ratios.

http://www.globalspec.com/reference/68677/203279/part-3-brocot-s-tables-of-gear-ratios

Part 4: Important Considerations in Designing Gear Trainshttp://www.globalspec.com/reference/68678/203279/html-head-part-4-important-considerations-in-designing-gear-trains

Using Continued Fractions to Find the Best Gear Ratiohttp://www.globalspec.com/reference/68679/203279/using-continued-fractions-to-find-the-best-gear-ratio