Mécanique Physique Matériaux

1/85MPMAlain Ehrlacher

2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Mécanique-physique des matériaux

et de comprendre les concepts utilisés par les codes de calcul industriels pour les calculs en grandes transformations.

L’objectif principal de cette partie du cours est de fournir la culture minimale permettant d’écrire

des comportements de matériaux en grandes déformations


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Programme indicatifSéance 1: Classification des matériaux

Séance 2: Une méthode générale de modélisation en mécanique:

description géométrique des objets, description du mouvement, déformation, contrainte,comportement.

L’exemple de la « MMC classique », la mécanique de Cauchy: concepts dedéformation et de contrainte en grandes transformations.

Séance 3: Écriture générale des relations constitutives.

Dérivée matérielle, équations de bilan, analyse thermodynamique des processus de déformation, objectivité, introduction des hypothèses de simplicité matérielle et d’indifférence matérielle, rôle de la rotation de la matière.

Forme la plus générale de l’écriture des comportements sous ces hypothèses.

Les difficultés de l’identification expérimentale

Questionnaire

Séance 4: Comportement des polymères et des élastomères:

élasticité entropique, élasticité enthalpique

Séance 5: Comportement hyperélastique. Identification expérimentale.

Séance 6: Etude de cas de calcul de structures en hyperélasticité

Rapport sur l’étude de cas ou devoir


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Séance 3

La Mécanique des milieux tridimensionnels classique suite et finNiveau 3: Thermodynamique et comportement


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

La Mécanique des milieux tridimensionnels classique

Niveau 1: Géométrie et cinématique

Niveau 2: Définition des efforts

Niveau 3: Thermodynamique et comportement


2005-2006Séance 3: 21/11/2005



2/ Description du mouvement et cinématique

1/ Description de la famille d ’objets


2005-2006Séance 3: 21/11/2005






2005-2006Séance 3: 21/11/2005



3/ Principe des puissances virtuelles

2/ Choix des formes linéaires définissant les efforts

1/ Choix de l ’espace vectoriel des mouvements virtuels

Méthode des puissances virtuelles


2005-2006Séance 3: 21/11/2005






2005-2006Séance 3: 21/11/2005



3/ Relations constitutives

1/ Analyse thermodynamique du processus de déformation

2/ Objectivité

Mais d’abord quelques rappels de définitions et résultats généraux


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Conservation de la masse

t

dtxtM ,)(

0,.,,,)(

tt

dStxntxvtxdtxt

tM

0,,,)(

t

dtxvtxdivtxt

tM

0,,,

txvtxdivtxt

tPour tout domaine


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Dérivée matérielle

txvtxggradtxt

gtxg ,.,,,

ttXxgtXg ,,,~

Evolution de g attachée à la particule X


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Equations de bilan

GGPAG

00 M

G =Variation de G dans le temps en suivant la matière

GA = Apports extérieurs

GP = Production interne

Exemple:

G grandeur attachée à une quantité de matière (par exemple la masse M ).


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Equations de conservation

GGPAG

0G

P

Exemples: Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement (équilibre)Conservation de l ’énergie totale (Premier principe de la thermodynamique)

X


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Évolution de G attachée à un ensemble de particules

t

dtxgtxtG ,,)(

tt

dStxntxvtxgtxdtxgtxt

tG ,.,,,,,)(

t

dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(

Equations de bilan


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t

dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(

txvtxgtxdiv ,,,

t

dtxgtxtG ,,)(

t

dvggradgt

vdivt

gtG .)(

0 g

txvtxdivtxg ,,, txvtxtxggrad ,,.,

t

dtxvtxgtxdivtxgtxt

tG ,,,,,)(


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

L’apport extérieur GA est décomposé en

Un apport volumique et un apport surfacique

t t

dSt,xadt,xaA SG

VGG

t

dt,xpP GG

La production interne GP est généralement volumique

Equations de bilan


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

GG PAG

t

dt,xgt,xG

t t

dSt,xadt,xaA SG

VGG

t

dt,xpP GG

t t

dSt,xadt,xpt,xat,xgt,x SGG

VG

t,xn.t,xat,xa SG

SG Alors

t,xaSG sont les flux extérieurs

Equations de bilan


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

GG PAG

t t

dSt,xn.t,xadt,xpt,xat,xgt,x SGG

VG

0

dt,xadivt,xpt,xat,xgt,xt

SGG

VG

t,xadivt,xpt,xat,xgt,x SGG

VG

t

Forme locale de l’équation de bilan

Equations de bilan


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t,xadivt,xpt,xat,xgt,x SGG

VG

Forme locale de l’équation de bilan

Exemple: Bilan (conservation) de la quantité de mouvement

t,xdivt,xft,xvt,x 0

accélération Force de volume Contrainte de Cauchy

Conservation

Equations de bilan


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Inégalité de Clausius Duhem

Équation de bilan d ’entropie

Équation de conservation de l ’énergie totale



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

CET

1/ Analyse thermodynamique du processus de déformationOn postule l’existence de l’énergie totale T attachée à l’ensemble des particules considérées

L’énergie totale comprend l’énergie cinétique C

L’énergie totale moins l’énergie cinétique est appelée l’énergie interne E


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

CET

TACET

QPCE EXT

Le premier principe de la thermodynamique postule la conservation de l ’énergie totale

0TP


QPA EXTT

Les particules ne produisent pas d’énergie

L’apport extérieur d’énergie comprend la puissance des efforts extérieurs dans le champ de vitesses réelles

TAEXTP

La différence entre l’apport extérieur d’énergie et la puissance des efforts extérieurs est appelée apport de chaleur

TAEXTP Q

Équation globale de conservation de l’énergie totalePremier principe de la thermodynamique en MMC:


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t

dtxvtxvtxtC ,.,,2

1)(

t

dtxtxvtxtC ,.,,)(

txvtxvgradtxt

vtxvtx ,.,,,,

La dérivée matérielle de l’énergie cinétique n’est rien d’autre que la puissance des efforts d’accélération dans le champs de vitesse réelle .

ACCP



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Le premier principe de la thermodynamique implique donc :

QPCE EXT 0 QPPE EXTACC

EXTACCINT PPP

0 QPE INT

Équation de bilan d’énergie interne



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t

dtxetxtE ,,)(

t

dtxetxtE ,,)(

t

dtxdtxtPINT ,:,)(

tt

dStxntxqdtxrtQ ,.,,)(

t

dtxqdivtxrtQ ,,)(

0QPE INT

t

t

dt,xqdivt,xrt,xd:t,xt,xet,x

0



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

0,,,:,,, txqdivtxrtxdtxtxetx

Forme locale du premier principe de la thermodynamique.



2005-2006Séance 3: 21/11/2005






2005-2006Séance 3: 21/11/2005

SS PAS

0SP

Le second principe de la thermodynamique postule que lesparticules ne peuvent avoir qu’une production positive d’entropie


On postule l’existence d’une grandeur scalaire Smesurant le désordre dans l’ensemble des particules

Cette grandeur scalaire S est appelée l’entropie



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Forme locale du deuxième principe de la thermodynamique :

t

dtxstxtS ,,)(

t

dtxstxtS ,,)(

t

dtxptP SS ,)(

0, txpS

tSP 0



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

L ’apport d’entropie est lié à l’apport de chaleur qui provoque au niveau microscopique une agitation des molécules.

txT

txr

,

,

terme surfacique dont le flux sortant sur estt txT

txq

,

,terme de volume de densité

L’apport extérieur d’entropie

Nous postulons l’existence d’une grandeur scalaire positive appelée température absolue T telle que l’apport extérieur d’entropie est égal à l’apport de chaleur divisé par la température absolue.

Pour le même apport de chaleur, l’augmentation du désordre seramoindre si le matériau est déjà chaud et ses molécules très agitées.



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tt

dStxT

txntxqd

txT

txrtAS ,

,.,

,

,)(

t

dtxT

txqdiv

txT

txrtAS ,

,

,

,)(



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Le bilan d’entropie peut se réécrire :

SS PAS

0,

,

,

,

,,,

t

dtxptxT

txqdiv

txT

txrtxstx S

0,,

,.,

,

,

,

,,, 2 txp

txT

txTgradtxq

txT

txqdiv

txT

txrtxstx S

forme locale du bilan d’entropie


2t,xT

t,xTgrad.t,xq

t,xT

t,xqdiv


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Forme locale du bilan d ’énergie interne

0,,

,.,

,

,

,

,,, 2 txp

txT

txTgradtxq

txT

txqdiv

txT

txrtxstx S

0,,,:,,, txqdivtxrtxdtxtxetx

0,,

,

,.,,,,,,:, txptxT

txT

txTgradtxqtxstxTtxetxtxdtx S

txr ,L’apport volumique de chaleur étant très difficile à connaître il est commode de combiner ces deux équations pour éliminer

forme locale du bilan d’entropie



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

On introduit alors la définition de la densité massique d’énergie libre

0,,

,

,.,,,,,,:, txptxT

txT

txTgradtxqtxstxTtxetxtxdtx S

txstxTtxetx ,,,,

0

.: STp

T

TgradqsTd



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

0 STp

T

Tgrad.qsTd.tr


.FJ 1 F.

F.F tt 1

0

111

Stt TJp

T

F.Tgrad.q.FJsTJF.d.F:F.FJ

11 F.FJ t F.d.Fe t J0 F.TgradTGrad

q.FJq 1

0

SS Jpp 0

00

0000 STp

T

TGrad.qsTe:

0 ss 0


2005-2006Séance 3: 21/11/2005






2005-2006Séance 3: 21/11/2005


0, txpS

0

,

,.,,,,,,:,

txT

txTgradtxqtxstxTtxtxtxdtx

ID

TD

dissipation intrinsèque volumique dissipation thermique volumique

0

.: STp

T

TgradqsTd



2005-2006Séance 3: 21/11/2005


0

t,xT

t,xTgrad.t,xqt,xst,xTt,xt,xt,xd:t,x

ID

dissipation intrinsèque volumique

TD

dissipation thermique volumique

00

000 t,XT

t,XTGrad.t,Xqt,Xst,XTt,Xt,Xt,Xe:t,X


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

2/Objectivité

Définition de l ’objectivité

Changement de référentiel

Pour les champs scalaires

Pour les champs vectoriels

Pour les champs tensoriels


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Changement de référentiel

orthogonaltOtbxtOx **** .

tbtXtOtX *** ,.,

tXFtOtXF ,., **

iiexx Dans R:

***ii exx Dans R*:

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Champs scalaires objectifs

tXFtOtXF ,., **

tXFtXF ,det,det * (invariant)

2/Objectivité

Exemple: élément de volume

0 dFdetd 0 dFdetd **

Donc: *dd

Sca(x,t) est un champ scalaire objectif, si et seulement siDéfinition:

t,xScat,xSca **


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Exemples de Champs scalaires objectifs

ttXxTttXxT ,,,,**

ttXxettXxe ,,,,**

ttXxrttXxr ,,,,**

ttXxsttXxs ,,,,** Densité massique d ’entropie

Apport volumique de chaleur

Densité massique d ’énergie interne

Température

2/Objectivité

t,xt,x** Masse volumique


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Champs de vecteurs objectifs

t,xVec.tOt,xVec ***

Vec(x,t) est un champ de vecteurs objectif si et seulement siDéfinition:

2/Objectivité

Exemple: vecteur matériel

0dM.FdM 0dM.FdM **

tXFtOtXF ,., **

dM.tOdM **


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Exemples de champs de vecteurs non objectifs

tbxtOx *** .

tbtXtOtX *** ,.,

tbtXtOtXVtOtXV**** ,.,.,

tbtbtXtOtOtXVtOtXV t ******* ,..,.,

Champ de vitesses non objectif

Position non objective

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Exemple de champ de vecteurs objectif

*

*** .,,,,x

xttXxgradttXxgrad

t,t,Xxgrad.tOtO.t,t,Xxgradx

x.t,t,Xxgrad **t

*

Le gradient d ’un champ scalaire objectif est un champ de vecteurs objectif

2/Objectivité

tbxtOx *** . tbxtOx t ***.


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Autres exemples de champs de vecteurs objectifs

txftOtxf ,., ***

txqtOtxq ,., ***

Le flux de chaleur est objectif

La force massique est objective

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

tO.t,xTen.tOt,xTen *t***

2/Objectivité

Exemple: MddM

dM.tOdM **

tO.MdMd.tOMd*t**

tO.MddM.tOMddM*t***

Ten(x,t) est un champ de tenseurs d’ordre 2 objectif si et seulement si

Définition:


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Exemples de champs de tenseurs d ’ordre 2 non objectifs

tXFtOtXF ,., **

tOtOtOVgradtOVgrad tt ****** ...

CtXFtXFtXFtOtOtXFFFC tttt ,.,,...,. *****

Tenseur de dilatation de Cauchy non objectif

Gradient du champ de vitesses non objectif

Gradient de la transformation non objectif

2/Objectivité

Chaque composante du tenseur de dilatation de Cauchy est objective


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

txVgradtxVgradtxd t ,,2

1,

txVgradtxVgradtxd t ,,2

1, ********

tbtbxtOtOVtOV t ******* ...

tOtOtOVgradtOVgrad tt ****** ...

tOdtOd t *** ..

Exemple: Taux de déformation

Antisymétrique

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Exemples de champs de tenseurs d ’ordre 2 objectifs

tOdtOd t *** ..

tOtO t *** ..

Taux de déformation objectif

Tenseur de contrainte de Cauchy objectif

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Champs de tenseurs d ’ordre n objectifs

nnnn iiijijjj AOOA ....***

.... 1111......

*....

***.... det......

1111OAOOA

nnnn iiijijjj

Définition:Un champ de tenseurs d ’ordre n est axialement objectif si:

Définition:Un champ de tenseurs d ’ordre n est objectif si:

2/Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

t,xBt,xB **

t,xt

Bt,xV.t,xBgradt,xB *

********

t

Bbx.OV.O.O.BgradB

*****t*

***t***t* bx.O.O.Bgradt

Bbx.O.O.BgradV.BgradB

t

B*

Bt

BV.BgradB*

t,xt

Bt,xV.t,xBgradt,xB

Dérivée à X fixé

Dérivée à X fixé

Dérivée à x* fixé

tbx.tOx *** tbx.tOx ***t

t,t,xxBt,xB ***

tb.tOtbx.tOt

x **t***t tb.tOx.tO.tO

t

x **t**t

tbx.tO.tOt

x ***t ***t

*

bx.O.O.Bgradt

B

t

B

2/Objectivité

Dérivée matérielle d ’un Champ scalaire B objectif

La dérivée matérielle d ’un champ scalaire objectif est objective.

Faux si le champ n ’est pas scalaire!!!

Antisymétrique


2005-2006Séance 3: 21/11/2005




1/ Analyse thermodynamique de la déformation

2/ Objectivité


2005-2006Séance 3: 21/11/2005





2005-2006Séance 3: 21/11/2005




Forme la plus générale des relations constitutives

Principe d’indifférence matérielle



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Histoire jusqu’à l ’instant t d ’une grandeur g attachée à X: fonction définie sur pour tout tXg t

,XgXg t

0, ,0

XtXgXg t

0,0 surdéfinieg t

tetsurdéfinieg t 0,0

tXXgXg t ,,, 0,0

Notations:

Histoire de la Distribution de g sur jusqu’à l ’instant t :0

Distribution de g sur à l ’instant t :0

Exemple: trajectoire de X tX

Exemple: Configuration à l’instant t t,0

Exemple:Histoire de la Configuration

t,0

3/Relations constitutives (comportement)


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tetsurdéfinieT tt 0,, 00,

tXXXt ,,, 0,0

tXXTXT t ,,, 0,0

Définitions des processus:

(Inconnues principales):

Histoire de la Distribution de tetsurdéfiniesTet 0

Processus jusqu ’à t sur 0



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tetsurdéfinieft

0,0

tetsurdéfinier t 0,0

Données:

Histoire de la Distribution des forces massiques et des apports volumiques de chaleur sur jusqu’à l ’instant t0



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

te ,0

t

q,0

t,0

ts ,0

tsp ,0

Grandeurs constitutives:Histoire de la Distribution des inconnues auxiliaires sur jusqu’à l’instant t 0



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Histoire de la Distribution des inconnues auxiliaires sur 0 jusqu’à l’instant tfonctions du processus

tttt TEe ,,,, 0000,

ttttTQq ,,,, 0000

,

ttttT ,,,, 0000

,

tttt TSs ,,,, 0000,

tttts TPp ,,,, 0000,

Relations constitutives:

Ceci est la forme la plus générale du comportement dans le cadre de la mécanique des milieux de Cauchy.

Notez que ce comportement est « non local »

Par exemple la contrainte est fonction des positions de toutes les particules

Fonctionnelles d’Histoires de Distribution



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Hypothèse des Matériaux simples: Inconnues auxiliaires en X à l’instant t fonctions locales du processus

tttttX XTGradXTXFXEttXxe ,,,,, ,

tttttXXTGradXTXFXQttXxq ,,,,,

,

tttttXXTGradXTXFXttXx ,,,,,

,

tttttX XTGradXTXFXSttXxs ,,,,, ,

tttttXs XTGradXTXFXPttXxp ,,,,, ,

Relations constitutives:

Fonctionnelles d’Histoires

Le Comportement est local

Inconnues principales en X et dans le voisinage seulement (Premier gradient)



2005-2006Séance 3: 21/11/2005








2005-2006Séance 3: 21/11/2005

Principe d ’indifférence matérielle:

tttttX XTGradXTXFXEe ,,,,

tbxOx *** .

,,,,** XeXe

tttttX XTGradXTXFXEe ****,

* ,,,

tbetO **

Comportement indépendant de l ’observateur

C’est la même fonctionnelle



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttX XTGradXTXFXEe ,,,,

tttttXtttttX XTGradXTXFXEXTGradXTXFXE ****,, ,,,,,,

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:



L’observateur * suit la particule sans « tourner »

ttttttt XTGradXTGradXTXTXFXFX **** ;;;0


tttt,Xttttt,X XTGrad,XT,XF,EXTGrad,XT,XF,XE 0


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXtttttX XTGradXTXFXEXTGradXTXFXE ****,, ,,,,,,

tbetO **

,.,, XUXRXF

tbetXRO t 0, **

ttttXttttX XTGradXTXUXREXTGradXTXFEe ,,.,, ,,

Deuxième choix:



L’observateur * « tourne » avec la particule

ttttttXTGradXTGradXTXTXUXF *** ;;

Rotation de la particule

Déformation pure

Gradient par rapport à X



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttX XTGradXTXUEttXxe ,,,, ,

ttttX XTGradXTXUSttXxs ,,,, ,

L ’énergie interne, l ’entropie et la production d’entropiene dépendent pas de la rotation de la matière



ttttXs XTGradXTXUPttXxp ,,,, ,



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFXQq ,,,

,

tbxOx *** .

ttXqtOttXq ,,.,, ***

tttttXXTGradXTXFXQq ****

,

* ,,,

tbetO **

Flux de chaleur




Rotation de l’observateur *



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFXQq ,,,

,

tttttXtttttXXTGradXTXFXQXTGradXTXFXQtO ****

,,

* ,,,,,,.

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:

Flux de chaleur







2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXtttttXXTGradXTXFXQXTGradXTXFXQtO ****

,,

* ,,,,,,.

tbetO **

tbetXRO t 0, **

ttttXttttXXTGradXTXUQtXRXTGradXTXFQq ,,.,,,

,,

Deuxième choix:

Flux de chaleur




,.,, XUXRXF

Rotation de la particuleà l’instant t

Déformation pure


Gradient par rapport à X




2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttXXTGradXTXUQtXRttXxq ,,.,,,

,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expression de q et non l ’histoire de la rotation.

Flux de chaleur





2005-2006Séance 3: 21/11/2005


tttttXXTGradXTXFX ,,,

,

tbxOx *** .

tOttXtOttX t **** .,,.,,

tttttXXTGradXTXFX ****

,

* ,,,

tbetO **

Contrainte



Rotation de l’observateur *



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttXXTGradXTXFX ,,,

,

tttttX

ttttttX

XTGradXTXFXtOXTGradXTXFXtO ****

,

*

,

* ,,,.,,,.

tbetO **

tXbetO ,1 **

Premier choix:


Contrainte






2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttttX

ttttttX

XTGradXTXFXtOXTGradXTXFXtO ****

,

*

,

* ,,,.,,,.

tbetO **

tbetXRO t 0, **

tXRXTGradXTXUtXRXTGradXTXF tttttXttttX

,.,,.,,,,,

Deuxième choix:


Contrainte



,.,, XUXRXF

Déformation pure



Gradient par rapport à XRotation de la particuleà l’instant t



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tXRXTGradXTXUtXRttXx tttttX

,.,,.,,,,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expression de la contrainte de Cauchy et non l ’histoire de la rotation.


Contrainte




2005-2006Séance 3: 21/11/2005


,.,,.,,,,


,



ttttXs XTGradXTXUPttXxp ,,,, ,

Seule la rotation actuelle de la matière intervient dans l ’expressiondes grandeurs constitutives et non l ’histoire de la rotation.

Récapitulons:



2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttXxetXe ,,,0 t,t,Xxst,Xs 0

ttXxqtXFtXFtXq ,,.,,det, 1

0

tXFttXxtXFtXFtX t ,.,,.,,det, 11

,.,, XUXRXF ,.,, 11 XRXUXF t

,.,, 11 XUXRXF tt ,det,det XUXF

,.,,,, XUXUXFXFXC tt


tttXTGradXTXCEtXe

tX,,, 0

0 ,

Point de vue lagrangien:


t,t,Xxpt,XFdett,Xp SS 0


2005-2006Séance 3: 21/11/2005


0






tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

0 ,



ttXxetXe ,,,0 t,t,Xxst,Xs 0 t,t,Xxpt,XFdett,Xp SS 0


2005-2006Séance 3: 21/11/2005


0

t,XF.t,t,Xx.t,XFt,XFdett,X t 11




tttt,XS XTGrad,XT,XUPt,t,Xxp

tttS XTGrad,XT,XCPt,XPt,X

00





2005-2006Séance 3: 21/11/2005


,

tttXTGradXTXCQtXq

tX

,,, 0

0 ,


0









2005-2006Séance 3: 21/11/2005


,.,,.,,,,

ttttXXTGradXTXCtX ,,,

,


0









2005-2006Séance 3: 21/11/2005

ttttXXTGradXTXCtX ,,,

,

tttXTGradXTXCQtXq

tX

,,, 0

0 ,

tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

0 ,

tttXTGrad,XT,XCEt,Xe

t,X

00

Point de vue lagrangien (récapitulatif):

Souvent

ttttXs XTGradXTXCPttXxp ,,,, 0,0


Un comportement de matériau= 00000

t,Xt,Xt,Xt,Xt,X ,Q,P,S,E


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

tttXTGradXTXCStXs

tX,,, 0

0 ,

tttXTGradXTXCtX

tX,,, 0

0 ,


DONC

tttXTGradXTXCEtXe

tX,,, 0

0 ,

est aussi une grandeur constitutive



2005-2006Séance 3: 21/11/2005








2005-2006Séance 3: 21/11/2005


0

,

,.,,,,,,:,

txT


ID

TD


Grandeurs constitutives Observables


2005-2006Séance 3: 21/11/2005

TD

ID

Inégalité de Clausius Duhem en Lagrangien

0

,

,.,,,,,:, 0

000 tXT

tXTGradtXqtXstXTtXXtXetX

tXFttXxtXFtXFtX t ,.,,.,,det, 11 ttXxetXe ,,,0 ttXxstXs ,,,0


0

11 .. FeFd t

0

,

,.,,,,,,:,

dtxT


t

0

,

,.,,,,,:, 0

0000

0

dtXT

tXTGradtXqtXstXTtXXtXetX



Mécanique Physique Matériaux

Documents

Transcript of Mécanique Physique Matériaux