Mécanique Mechanics - Jeulin – Produits de Physique ... · TP n° 1 Le mouvement rectiligne...

Mécanique

Mechanics

Ref : A332 045

Français – p 1 English – p 3 Version : 7002

Banc de mécaniqueComposition détaillée

Mechanical benchItemized composition

Mécanique Banc de mécanique composition détaillée Ref : A332 045

FRANÇAIS 1

1 Composition Le banc de mécanique est composé de :

- 1 rail avec pieds supports, - 8 clips de fixation (montés sur le rail), - mires sur tige (montées sur clips), - ensembles butées mobiles (montées sur clips), - 2 mâts de 1 m, - 1 notice.

2 Service après vente La garantie est de 2 ans, le matériel doit être retourné dans nos ateliers. Pour toutes réparations, réglages ou pièces détachées, veuillez contacter :

JEULIN - SUPPORT TECHNIQUE Rue Jacques Monod

BP 1900 27 019 EVREUX CEDEX FRANCE

+33 (0)2 32 29 40 50

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1 Composition The mechanical bench is composed of:

- 1 rail with feet supports, - 8 clips of fixing (gone up on the rail), - Test cards on stem (gone up on clips), - Sets movable stop (rises on clips), - 2 masts of 1 m, - 1 note.

2 After-Sales Services This material is under a two year warranty and should be returned to our stores in the event of any defects. For any repairs, adjustments or spare parts, please contact:

JEULIN - TECHNICAL SUPPORT Rue Jacques Monod


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1 Caisson de rangement n°1 : chariot - 1 chariot muni de 4 embouts velcro (2 mâles + 2 femelles) - 1 lanceur balistique - 1 pince de serrage avec tige hexagonale - 1 tige hexagonale - 1 poulie étagée sur roulement - 1 support de dynamomètre avec noix de serrage - 1 panier récepteur transparent - 1 support de panier avec noix de serrage




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1 Box of arrangement n°1: carriage - 1 carriage provided with 4 ends velcro (2 males + 2 females), - 1 ballistic launcher, - 1 collet with hexagonal stem, - 1 hexagonal stem, - 1 pulley stepped on bearing, - 1 support of dynamometer with nut of tightening, - 1 transparent receiving basket, - 1 support of basket with nut of tightening.




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1 Caisson de rangement n°2 : accessoires - 1 support lanceur vertical, - 1 jeu de trois balles, - 1 bande velcro jaune, - 3 tiges Ø 6 mm, - 1 bande velcro rose, - 1 niveau à bulle, - 4 pastilles velcro adhésives, - 3 noix de serrage, - 1 manchon, - 1 inclinomètre, - 1 tige 5 fixations, - 1 pince étau Modumontage®, - 2 embouts (butées caoutchouc), - 4 surcharges, - 1 lanceur, - 2 butées caoutchouc, - 2 ressorts pour lanceur, - 2 jeux de trois ressorts.




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1 Box of arrangement n°2: accessories - 1 vertical launcher support, - 1 set of three balls, - 1 yellow band Velcro, - 3 stems Ø 6 mm, - 1 pink band Velcro, - 1 spirit level, - 4 adhesive pastilles Velcro, - 3 nuts of tightening, - 1 sleeve, - 1 inclinometer, - 1 stem 5 fixings, - 1 grip Modumontage® vice, - 2 ends (thrusts rubber), - 4 overloads, - 1 launcher, - 2 obstinate rubber, - 2 springs for launcher, - 2 sets of three springs.




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Banc de mécanique Réf. 332 045

6002

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Cette notice se décompose en deux parties : un guide d’utilisation et un recueil de travaux pratiques dont le contenu est choisi pour correspondre aux niveaux d’enseignement des lycées : Seconde, Première S et Terminale S.

Les expériences décrites s’appuient toutes sur la réalisation, puis le traitement des vidéos obtenues à l’aide d’une caméra et d’un logiciel d’acquisition vidéo. Nous recommandons l’utilisation des éléments suivants (non fournis) :

- Webcam TouCam Pro Philips Réf. 571 201

- Trépied photo Réf. 202 024

- Logiciel Généris 5 plus Réf. 000 511 ou

- Logiciel Cinéris Réf. 000 344 Les thèmes des manipulations proposées se regroupent en trois parties :

• La première partie est consacrée à l’étude des mouvements rectilignes, étude cinématique et étude dynamique. Chaque fois que la manipulation y invite, l’aspect énergétique est traité.

• La deuxième partie aborde le mouvement d’un corps soumis à son propre poids dans le champ de pesanteur.

• La troisième partie étudie quelques chocs entre deux mobiles et vérifie la validité des lois de conservation : quantité de mouvement et énergie cinétique.

SOMMAIRE 1ère partie : Guide d’utilisation

I. Description Page 7

II. Mise en œuvre Page 8

III. Enregistrement vidéo Page 13 2ème partie : Recueil de Travaux Pratiques

TP n° 1 Le mouvement rectiligne uniforme

TP n° 2 Le plan incliné. La nature du mouvement Page 22

TP n° 3 Le plan incliné. Le lancement vers le haut Page 27

TP n° 4 Le plan incliné. L’étude énergétique Page 30

TP n° 5 Le mouvement d’un solide soumis à une force constante Page 38

TP n° 6 Le mouvement d’un projectile lancé verticalement Page 47

TP n° 7 Le mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur Page 54

TP n° 8 Le mouvement d’un projectile lancé depuis un mobile Page 60

TP n° 9 Les chocs entre deux solides Page 68

TP de Physique

Banc de mécanique

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1ère partie :

Guide d’utilisation

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Banc de mécanique

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I. Description Le banc de mécanique est composé d’un ensemble d’éléments modulables (rails, chariots, clips, butées …) permettant de réaliser la plupart des expériences portant sur la dynamique des mouvements de translation. De nombreuses manipulations sont réalisables et utilisent des techniques élaborées de mesures. L’une d’entre elles est l’exploitation, par un logiciel de traitement informatique Généris 5 Plus ou Cinéris, des images vidéo saisies par une caméra (webcam ou caméscope).

Le banc est constitué de deux profilés d’aluminium identiques de 1,20 m assemblés par deux armatures en plastique dur, fixées aux extrémités des profilés. Des pieds munis de vis réglables assurent la stabilité et le réglage de l’horizontalité (transversale et longitudinale). Deux butées, mobiles par glissement sur les profilés, permettent d’arrêter le chariot en mouvement et de monter différents accessoires à clip : on peut par exemple fixer un lanceur à ressort, comme indiqué sur la photo ci-dessus. Les deux rainures longitudinales externes des profilés servent de chemin de roulement pour le chariot. Un des profilés porte une graduation latérale (au mm) permettant des repérages d’abscisses. On peut y adjoindre un inclinomètre qui donne une indication de l’angle du banc par rapport à l’horizontale. Le banc présente un chemin de roulement lisse et rectiligne qui assure au chariot un déplacement avec un minimum de frottement.

Composition

- 1 banc de guidage en profilé aluminium avec échelle graduée en mm, - 1 chariot avec exploseur et panier de réception, - 12 embouts : 4 velcro + 4 aimantés + 2 butées caoutchouc, - 4 surcharges de 115 g chacune, - 1 lanceur balistique + 1 jeu de 3 balles Φ = 25 mm - 1 poulie étagée (Φ = 20-40-60 mm), - 1 inclinomètre, - 2 mâts de 1 m, - 2 rubans rose et jaune (à découper et à coller sur le chariot), - 1 jeu de 3 mires, - 8 clips de fixation, - 1 jeu d’accessoires de fixation (tiges + noix de serrage), - 1 niveau à bulle, - 1 notice.

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II. Mise en œuvre 1. Installation du banc

Le banc doit être placé sur une table avec un arrière plan uniforme afin d’obtenir un bon contraste lors de l’enregistrement vidéo. Pour augmenter le contraste de l’image on peut également utiliser les accessoires suivants avec un fond sombre (non fournis) :

- Pince étau Modumontage® Réf. 703 529

- Tiges carrées Réf. 703 458 à 703 460

- Noix Polynux® Réf. 703 452

Sur le schéma ci-dessous, le fond sombre est installé à l’arrière du dispositif, maintenu par deux pinces étaux. Une largeur de 70 à 80 cm convient, par exemple du papier peint mat, du carton ou encore un tissu épais.

Une pastille colorée magenta (à découper) doit être fixée par velcro sur le côté du chariot et sert de mire pour repérer les positions du chariot par vidéo. Les trois mires (croix de couleur magenta) doivent alors être positionnées dans le plan vertical contenant la pastille colorée. Cette précaution est indispensable pour éviter les erreurs de parallaxe dues à la webcam et obtenir des mesures exactes des coordonnées. Les mires se disposent selon les deux directions du plan, verticale et horizontale, et définissent les échelles des coordonnées du plan. Elles servent au repérage au cours du traitement des vidéos. Selon l’expérience réalisée, le plan de mesure peut varier par rapport au banc. Les butées pour arrêter le chariot se montent par serrage sur deux clips de part et d’autre du banc (voir photos ci-dessous). Des embouts (trois au maximum) peuvent se fixer sur une butée en fonction de l’expérience à réaliser.

L’horizontalité doit être contrôlée en plaçant le niveau à bulle sur le banc, l’ajustement se fait par vissage / dévissage des pieds support. Pour les manipulations en plan incliné, il convient d’utiliser un support élévateur (non fourni) pour régler l’inclinaison.

Tige carrée

Tige transversale Noix de serrage

Rideau suspendu à la tige transversale

Fixation de la tige de 6 mm support

des mires

Organisation possible de l’espace de travail

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2. Lanceur balistique Le lanceur se compose des éléments suivants :

1. Poignée de réglage de l’inclinaison

2. Levier de déclenchement

3. Goupille de blocage de l’exploseur

4. Exploseur

5. Inclinomètre

6. Pince étau (pour le montage sur une table)

Attention !! Bien que la puissance du lancer reste faible, le port de lunettes de protection est conseillé lors de l’utilisation de l’appareil : réf. 150 069 (taille junior) ou réf. 150 001 (grande taille).

Réglage de l’inclinaison Débloquer la poignée de serrage, Incliner manuellement le lanceur selon l’angle souhaité ; l’inclinomètre indique la valeur de l’angle avec l’horizontale entre 0 et 90°, Bloquer la poignée pour maintenir le lanceur dans la position choisie. Le levier de blocage est débrayable pour permettre le réglage du lanceur dans toutes les positions : il suffit de tirer sur le levier dans l’axe de serrage (A), puis de relâcher le levier dans la position souhaitée pour serrer plus facilement (B).

(A) Débrayage du levier de serrage (B) Positionnement du levier pour faciliter le serrage Armer le lanceur Placer le levier de déclenchement en position droite ou gauche, Appuyer d’une main sur la tige de l’exploseur jusqu’à la position choisie, Appuyer avec l’autre main sur la goupille de blocage, voir photo ci-contre, Replacer le levier en position centrale pour maintenir la tige en position armée, Déclencher le tir en tirant sur le levier. La puissance du tir se règle en choisissant l’une des 8 positions du lanceur et en utilisant le second jeu de ressorts de raideur différente.

2 5

1

4

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Caractéristiques du chariot Masse du chariot nu : m = 330 g Longueur du chariot : l = 20 cm

3. Lanceur-exploseur Il s’agit de la même pièce que dans le lanceur balistique. Le lanceur, commandé par une gâchette, libère une énergie élastique ajustable et permet des lancers reproductibles. Il est prévu pour le lancement de balles de diamètre 25 mm et l’étude balistique de leur mouvement. Le lanceur-exploseur peut être monté de plusieurs façons, par son système de fixation à clip :

1. Sur le support de l’extrémité du banc, parallèlement à celui-ci, il permet de lancer le chariot, avec une impulsion réglable. Dans cette configuration, il sert également à amortir la course du chariot lancé sur le banc de mécanique.

2. Sur le chariot, par l’intermédiaire d’un support auxiliaire qui permet d’ajuster la verticalité du lanceur.

3. Sur un support réglable en inclinaison, à fixer par une tige hexagonale sur deux clips de montage.

Changement des ressorts Démonter le ressort en commençant par l’ergot A situé à l’extrémité de la tige de l’exploseur puis par celui B situé dans l’exploseur. Monter le nouveau ressort dans l’ordre inverse. Le lanceur est livré avec 2 jeux de 2 ressorts interchangeables : 5 N et 10 N pour augmenter le nombre de possibilités de lancers.

4. Mobile Le chariot est réalisé avec les mêmes matériaux que le banc. Il est muni de quatre roues montées sur des roulements à billes de haute qualité pour minimiser les frottements. Le chariot s’adapte parfaitement aux rails du banc, sans frottement latéral. Ces roulements à billes, de petite taille et de faible masse, ont une inertie négligeable devant celle du chariot au cours du mouvement. Une pastille colorée, collée sur le côté du chariot, sert au repérage des positions du chariot et aux mesures d’abscisse sur les images des vidéos réalisées pendant les manipulations.

Remarques : 1. Avant toute manipulation, il convient de peser chaque élément sur une balance pour

déterminer sa masse avec précision. 2. L’étude des chocs entre mobiles nécessite l’utilisation d’un second chariot réf. 332 047 (non

fourni).

A B

3 1 2

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Montage du lanceur-exploseur 1) Fixer la plaque support du lanceur sur le dessus du chariot à l’aide de deux vis. 2) Monter ensuite le lanceur-exploseur sur la plaque support par le système de clip. 3) Fixer le panier de réception pour récupérer la bille à l’aide d’un clip sur le côté du chariot. Un

manchon permet alors d’armer le lanceur sur le chariot muni du panier. Le panier peut également se fixer sur le banc pour être utilisé avec le lanceur balistique (voir page 7), une languette permet alors de boucher le fond du panier pour récupérer la bille. Réglage de la verticalité Placer le niveau à bulle sur le lanceur, puis actionner les vis de réglage longitudinal et transversal pour ajuster le lancer, voir photos ci-dessous. Lorsque la verticalité est bien réglée, la bille retombe dans la coupelle du lanceur.

Le déclenchement se fait lors du mouvement du chariot, lorsque le levier de déclenchement du lanceur heurte le mât fixé sur le côté du banc de mécanique, voir ci-dessous.

Montage des surcharges et des embouts Des surcharges de 115 g peuvent se monter sur le chariot pour effectuer des expériences de chute sur un plan incliné et de chocs entre 2 mobiles : la fixation se fait par deux vis + deux rondelles caoutchouc sur le dessus du chariot (en remplacement de la plaque support du lanceur). Trois types d’embouts se montent aux extrémités du chariot en fonction du type de manipulation réalisée : aimant, velcro ou caoutchouc, voir § 6.

Vis de fixation

3

2 1

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Masses des butées Caoutchouc : m = 25 g Aimantée : m = 32,7 g Velcro : m = 25 g

5. Poulie étagée La poulie se monte sur un clip à l’extrémité du banc de mécanique en utilisant 2 tiges hexagonales+ 2 noix de serrage, voir photos ci-dessous. Ce montage est utilisé dans le TP n°5 « Mouvement d’un solide soumis à une force constante ». Le centrage de la poulie et le réglage en hauteur se font en débloquant les noix de serrage.

6. Embouts Les embouts possèdent un système de fixation par clip. Ils peuvent ainsi, selon les besoins de la manipulation, être fixés en plusieurs endroits : soit aux extrémités du chariot, soit sur les butées du banc métallique.

• Les embouts avec tampon de caoutchouc se fixent au centre à l’avant du chariot ou de la butée du banc. Ils servent d’amortisseur en cas de choc (contre éventuellement une butée identique montée en regard sur le butoir du banc ou du chariot).

• Les embouts aimantées (se repoussant deux à deux), montées en regard sur deux chariots, exercent des forces de répulsion.

• Les embouts «velcro», montées en regard sur deux chariots, permettent de les solidariser lorsqu’ils se télescopent.

7. Accessoires

Des tiges verticales de 6 mm (de diverses longueurs) se fixent sur la paroi latérale du banc de mécanique par le système à clip. Chaque tige peut être disposée à l’endroit souhaité et se déplace par glissement du clip le long du banc.

Deux pinces étaux munies de tiges verticales de section carrée (non fournies) peuvent se fixer solidement sur le banc. Une utilisation consiste à les positionner aux deux extrémités du banc : elles servent alors de supports pour une tenture souple sombre servant de fond uni pour les prises de vue. Elles peuvent également être utilisées en bout de banc pour l’incliner.

Pinces étau

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III. Enregistrement vidéo 1. Choix de la caméra

L’enregistrement vidéo peut se faire avec n’importe quelle caméra possédant des performances suffisantes (voir notice logiciel). Les mesures suivantes ont été réalisés avec la webcam TouCam Pro Philips. • La webcam est placée à environ 1 m du banc, sur un plan

horizontal. Elle vise vers le centre du banc, pour que l’ensemble du champ soit visible (vérifier sur l’écran de Généris 5 Plus ou Cinéris).

• L’idéal est de placer le banc devant une fenêtre pour que le champ soit suffisamment éclairé en lumière naturelle.

• La TouCam est assez légère sur son pied : on aura tout intérêt à la fixer sur un statif plus lourd afin qu’elle reste stable.

Remarque : La webcam engendre des aberrations géométriques visibles (distorsions en barillet) : elles expliquent par exemple l’allure courbe du banc bien qu’il soit parfaitement rectiligne. On observera ces distorsions sur certaines des photographies qui suivront. Les mesures restent toutefois conformes aux attentes pédagogiques.

2. Réglage de la caméra On suppose la webcam TouCam installée et reliée au port USB de l’ordinateur. Elle est mise en position devant le banc de mécanique prêt à fonctionner.

Pour les expériences de cette notice, réalisées avec Généris 5 Plus, les réglages sont les suivants : • Choisir le format 320 x 240 qui permet l’acquisition sans problème à 20 images par seconde. • Régler le Taux Image à 20 images par seconde ce qui convient pour la plupart des

manipulations (utiliser 30 images par secondes si l’ordinateur le permet). • Ajuster Luminosité et Saturation qui rectifient la qualité visuelle de l’image selon l’éclairage

ambiant (à observer sur l’écran). • Régler la Vitesse d’obturation pour l’amener sur 1/100 ème, 1/250 ème ou 1/500ème de seconde si

la luminosité le permet (1/50ème de seconde par défaut). Ces valeurs permettent d’obtenir des images de la pastille colorée très nettes, sans traînée, mais au détriment de leur luminosité : les images sont plus sombres.

• Le réglage du Gain compense ce manque d’exposition, avec une dégradation de la qualité de l’image qui reste supportable. Il faut faire en sorte que le contraste soit satisfaisant.

• Confirmer le nombre d’images par secondes (20 dans notre cas). • Préciser la durée du film (une durée de 5 à 10 secondes semble être bien adaptée selon

l’expérience effectuée).

Remarques : - Il est parfois nécessaire d’utiliser la lumière de projecteurs si l’élévation du Gain n’est pas suffisante. Pour éviter le phénomène d’oscillation (du aux néons), cliquer sur Marche dans Sans Oscillation. Pour des vidéos en intérieur, il est souvent indispensable de cocher cette dernière case. - Pendant l’enregistrement vidéo l’image reste fixe. - En cas de perte d’image, le logiciel signale et remplace l’image perdue par un écran noir afin d’exploiter tout de même le fichier obtenu.

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3. Montage des images Les images saisies au cours de la prise de vue ne sont pas toutes utiles. Il faut commencer par choisir, dans le film obtenu, les images qui vont réellement servir aux mesures de positions.

Le protocole à suivre pour choisir la séquence de film est décrit dans la notice et dans l’ Aide en ligne des logiciels Généris 5 Plus et Cinéris.

4. Observation en chronophotographie Cette fonction permet de superposer les positions de la mire de toutes les images sélectionnées. En faisant défiler le film image par image, la vue ci-dessous apparaît :

5. Traitement des images Cette partie du travail concerne la sélection d’images réalisées au cours du paragraphe précédent. Définition du repère de la trajectoire

• Choisir le fichier à utiliser : la première image de la vidéo apparaît. Le repérage des positions successives de la mire attachée au chariot est fait dans un repère du plan de l’image qu’il convient de définir : origine, direction des axes, étalonnage des axes.

• Placer le curseur sur le point choisi de l’image qui sera l’origine des axes du repère. Un clic dessine alors les axes.

Pour étalonner ces axes, on met à profit l’existence des mires en forme de croix magenta qui apparaissent sur l’image (Figure 7).

• Placer le curseur sur la croix magenta de gauche (bas), puis glisser avec le clic maintenu jusqu’à la croix de droite.

Figure 7

Figure 6

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Le paramétrage et l’affichage • On peut choisir de représenter 1 ou 2 points en sélectionnant les modes suivants :

o par rapport à l’origine, donne les positions absolues des deux points dans le repère, o par rapport au mobile 1, donne les positions relative du point 2 par rapport au point 1, o par rapport au mobile 2, donne le même cas que précédemment pour les positions relative

du point 1 par rapport au point 2.

• La représentation graphique peut se faire de deux façons : soit en fonction du temps t, il s’agit alors des équations horaires du mouvement, soit en fonction de l’abscisse X du point 1), c’est-à-dire, pour le point 2, sa trajectoire dans le plan vertical défini : Y2T=f(X).

Saisie des positions successives du mobile

Le travail consiste maintenant à viser la tache colorée de chaque image successive, avec la plus grande précision possible, grâce au curseur. Sur l’exemple ci-dessous on voit apparaître l’allure parabolique de la trajectoire de la balle (objet 1) ; l’objet 2 est le lanceur.

Figure 8

Objet 2

Objet 1

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6. Etude graphique Cette partie relève de l’emploi plus traditionnel du traitement des courbes expérimentales d’acquisition de données. Elle renvoie à la rubrique Aide de Généris 5 Plus ou Cinéris.

Courbe obtenue

Dans le cas des images présentées précédemment, l’équation horaire du mouvement est donnée par le graphe suivant :

Traitement : la modélisation

Le logiciel offre la possibilité d’utiliser plusieurs modèles prédéfinis. On peut par exemple choisir le modèle Parabole :

La modélisation permet d’atteindre aisément la valeur de l’accélération terrestre : g=9,8 m.s-2.

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2ème partie :

Recueil de Travaux Pratiques

Rédigé par Jacques Philippe

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TP n°1 : Le mouvement rectiligne uniforme

A. Objectifs de la manipulation L’objectif de cette expérience est d’étudier le mouvement d’un mobile, lancé sur un plan horizontal, avec une vitesse initiale quelconque. Cette étude simple définit les caractéristiques d’un mouvement uniforme et conduit à la notion de bilan des forces sur un mobile et de repère galiléen. Le niveau est celui de la classe de Seconde. Remarque : La nature du mouvement, qui doit être uniforme, donne aussi des indications sur les frottements éventuels dus au roulement du chariot sur le banc de mécanique. B. Mise en oeuvre de l’expérience

1. Dispositif expérimental

• Le banc de mécanique est horizontal (vérification faite à l’aide d’un niveau à bulle). • Le chariot est muni d’une butée avec tampon de caoutchouc. Sa masse totale est M=355 g. • La butée de gauche est munie d’un lanceur à ressort.

2. Déroulement de l’expérience

• Le chariot est placé à gauche, contre l’extrémité du lanceur tendu sur la graduation 7. • La webcam est réglée sur 5 s d’enregistrement et 20 images par seconde. L’ouverture est au

1/500ème de seconde. • Déclencher le lanceur immédiatement après le départ de la prise de vue.

Remarque : Plusieurs essais ont montré qu’il est nécessaire de tendre les ressorts du lanceur suffisamment pour que la vitesse de lancement du chariot soit suffisante. De bons résultats ont été obtenus pour le lanceur tendu au maximum.

Vue du dispositif à la fin du mouvement

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3. Résultats

a ) Traitement des images

Le pointage des positions successives du repère en mouvement sur les images de la vidéo est illustré ci-dessous :

b ) Mesures et courbe représentative

Le tableau de mesures figure ci-dessus. L’ensemble des points expérimentaux correspondants donne le graphe suivant, en fonction du temps, X1=f(t) :

Observations : o sur la photographie, la trajectoire est rectiligne et les pointages semblent équidistants. o sur le graphe, la répartition des points a une allure linéaire.

Partie de l’image, dans l’onglet Vidéo, à l’issue du pointage

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C. Exploitation des mesures obtenues 1. Modélisation de la courbe

La Modélisation est réalisée par une droite. Elle est représentée ci-dessous. La courbe X1m(t) obtenue coïncide parfaitement avec les points expérimentaux. C’est l’équation horaire du mouvement qui s’écrit (en négligeant l’ordonnée à l’origine b) :

2. Vitesse du mobile

a ) Calcul de la vitesse

Utiliser la fonction Tableur-grapheur du logiciel. Pour le calcul de la vitesse, on utilise la relation :

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

Celle-ci est calculée à l’aide de la formule du tableau ci-contre, dans la cellule C2, puis étendue à toutes les valeurs du tableau. On constate que les valeurs obtenues sont variables mais voisines de 1,35 m.s-1.

X1m = 1,35*t

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G

P→

R→

b ) Graphe et modélisation de la vitesse

Utiliser la représentation Graphique du logiciel. Le graphe de v1 est représenté ci-dessous. Sa modélisation v1m s’obtient également par une droite d’ordonnée constante b (en limitant l’intervalle de mesure du temps pour éliminer la valeur de v1 correspondant au premier point). La valeur obtenue par le modèle correspond à la valeur moyenne des vitesses ponctuelles :

3. Conclusion

L’abscisse X1 des points s’écrit donc :

La vitesse v1 est constante.

C’est l’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme. Sur le support horizontal, le bilan des interactions qui s’exercent sur le

chariot fait apparaître son poids P→

et la réaction verticale R→

du banc. Ces deux forces opposées ont une somme nulle. Dans le repère, lié à un référentiel terrestre, on constate que le chariot, soumis à un ensemble de forces nulles, est en mouvement rectiligne uniforme. Cette propriété exprime le Principe de Galilée (ou d’inertie) ou la Première Loi de Newton. « Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s’exercent sur lui se compensent » Le référentiel terrestre est alors appelé galiléen.

Remarque : La valeur constante de la vitesse v1, tout au long de la trajectoire, montre aussi que les frottements sont négligeables entre le chariot et le banc de mécanique, à condition d’utiliser des vitesses assez grandes.

v1 = 1,35 m.s-1

X1 = v1.t

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TP n°2 : Le plan incliné – La nature du mouvement D. Objectifs de la manipulation Le plan incliné permet d’illustrer plusieurs aspects du programme de la classe de Première S ou Terminale S.

• Cette étude définit les caractéristiques d’un mouvement rectiligne uniformément varié. • L’aspect dynamique établit le lien avec les interactions qui s’exercent sur le mobile.

E. Mise en oeuvre de l’expérience 1. Dispositif expérimental

Surélever un côté du banc de mécanique en utilisant un support élévateur (non fourni). L’angle d’inclinaison peut facilement être modifié en ajustant la hauteur du support.

Le chariot est muni d’une butée avec tampon de caoutchouc ou du lanceur exploseur. Sa masse totale doit être mesurée précisément à l’aide d’une balance (non fournie).

La mesure de l’angle d’inclinaison du banc (l’inclinomètre à gauche du banc donne seulement une indication) est réalisée simplement, avec le protocole suivant :

Les hauteurs h1 et h2 sont mesurées à l’aide d’une règle plate ou d’un mètre rigide. La distance D est choisie entière (1 m) par exemple. Cette méthode donne directement la valeur du sinus de l’angle α d’inclinaison.


• Le chariot est abandonné sans vitesse initiale, depuis la partie supérieure gauche du banc. • La webcam est réglée sur 10 s d’enregistrement et une prise de vue de 20 images par seconde.

L’ouverture est au 1/500ème de seconde. • Dans le traitement des images, pour éviter d’avoir une trajectoire inclinée par rapport à l’axe des

abscisses, la webcam doit être inclinée pour obtenir une image dans laquelle le banc paraît horizontal (à vérifier sur l’image donnée dans la page Vidéo du logiciel).

sin(α)=(h2-h1)/D

h1

h2

α

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Page 23

3. Résultats obtenus

a ) Mesure de l’angle d’inclinaison α.

Les résultats des mesures, D=0,9 m ; h1= 0,288 m et h2=0,092 m, donnent :

b ) Traitement des images

Le pointage des positions successives du repère en mouvement sur les images de la vidéo est illustré ci-dessous :

c ) Mesures obtenues et courbe représentative

L’ensemble des points expérimentaux donne le graphe X1=f(t) en fonction du temps : Observations :

o sur la photographie, la trajectoire est rectiligne et les points relevés sont de plus en plus écartés lorsque le mobile progresse le long du plan incliné.

o sur le graphe, la répartition des points correspondants a une allure parabolique.


Tableau des mesures

sin(α) = 0,218 soit α = 12,6 °

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Page 24

F. Exploitation des mesures obtenues : nature du mouvement 1. Modélisation de la courbe

La Modélisation est réalisée par une parabole. Le modèle est représenté sur la courbe ci-dessous. La parabole X1m=f(t) obtenue coïncide parfaitement avec les points expérimentaux. L’équation horaire du mouvement s’écrit (en négligeant l’ordonnée à l’origine c) :

2. Vitesse et accélération du mobile

a ) Calcul de la vitesse et de l’accélération

Pour le calcul de la vitesse, on utilise la relation classique :

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

Pour celui de l’accélération, on utilise une relation similaire, à partir des valeurs de la vitesse :

1n1n

1n1nn

tt1v1v

a−+

−+

−

−=

X1m = ½*2,12*t² + 0,219*t

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Page 25

Les deux grandeurs sont calculées à l’aide de formules similaires à celle de la case D3 du tableau ci-contre. Chaque calcul est étendu, par cliquer-glisser, dans les cases pour lesquelles la grandeur correspondante est définie (voir le tableau ci-contre). On constate que les valeurs obtenues pour la vitesse v1 croissent de façon régulière, mais que celles de l’accélération a1 sont sensiblement identiques et voisines de 2,1 m.s-2.

b ) Graphe et modélisation de la vitesse et de l’accélération

Les graphes de v1 et de a1 sont représentés ci-dessous.

Les modélisations v1m et a1m donnent des droites d’équations respectives : La valeur 0,22 représente sur le graphe la vitesse du premier point représenté (sélectionné dans les images de la vidéo) ; cette vitesse v0 est appelée vitesse initiale : v0 = 0,22 m.s-1.

3. Caractéristiques du mouvement

L’accélération, la vitesse et l’équation horaire du mouvement s’écrivent donc, en généralisant : La valeur X0 est appelée abscisse initiale. Par le choix de l’origine des axes : X0 = 0 m.

v1m = 2,12*t + 0,22 et a1m = 2,12 m.s-2

a = Constante v = a*t + v0 X = ½*a*t² + v0*t + X0

Ces égalités définissent les caractéristiques d’un mouvement uniformément accéléré. (le mot « uniformément » vient de la valeur constante de l’accélération).

Les ordonnées sont celles de la courbe de la vitesse v1

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Page 26

G. Etude dynamique du mouvement 1. Bilan des forces

Sur le support incliné, le bilan des interactions qui s’exercent sur le chariot fait apparaître son poids P→

et la réaction R→

du banc, perpendiculaire à celui-ci.

Dans le repère (Ox, Oy), lié à un référentiel terrestre, on constate que la somme des deux interactions est :

avec

2. Valeur théorique de l’accélération du système

D’après la seconde loi de Newton, l’accélération du mouvement est telle que :

soit

Valeur théorique de l’accélération du mobile : L’écart avec la valeur expérimentale a1 = 2,12 m.s-2 est :

3. Conclusion

Les résultats expérimentaux coïncident à moins de 1 % près avec ceux de l’étude dynamique du système. Le mouvement d’un mobile le long d’un plan incliné, en supposant les frottements négligeables, est un mouvement uniformément accéléré.

P→

α

R→

G P→

R→

α

x

y

xP→

O

α

Px = P.sin(α) = mg.sin(α)

a = g.sin(α) a.mRP→→→

=+

xPRP→→→

=+

a = 2,14 m.s-2

Δa/a ≈ 0,9 %

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Page 27

Tableau des mesures

TP n°3 : Le plan incliné – Le lancement vers le haut

A. Objectifs de la manipulation Dans le T.P. n° 2, le chariot est abandonné sans vitesse initiale sur le plan incliné. Dans ce T.P., il est lancé vers le haut avec une vitesse initiale. Cette expérience complète et généralise l’étude d’un mouvement rectiligne uniformément varié.

B. Mise en oeuvre de l’expérience 1. Dispositif expérimental

C’est le même que dans le T.P. n° 2.


• Le chariot est lancé avec une vitesse initiale, depuis la partie inférieure droite du banc. • Les réglages de la caméra et de la prise de vue restent identiques.

Remarque : Ici encore, pour éviter une trajectoire inclinée par rapport à l’axe des abscisses du repère de mesure, la webcam est inclinée pour obtenir une image horizontale du banc.


a ) Mesure de l’angle d’inclinaison α.

Même valeur :

b ) Traitement des images

Le pointage des positions successives du chariot en mouvement sur les images de la vidéo est illustré ci-dessous : L’axe des abscisses est orienté vers la gauche. Le chariot parcourt déjà le banc vers la gauche avec un mouvement décéléré. Arrivé à une abscisse extrême (il atteint un point de rebroussement), son mouvement change de sens et redescend le banc vers la droite avec un mouvement accéléré (flèche bleue). Les pointages successifs de la pastille colorée du chariot ont volontairement été décalés vers le bas, après le point de rebroussement, pour éviter leur superposition sur la même direction. Le tableau des mesures obtenues ci-contre, montre effectivement l’existence d’une abscisse maximale : elle se situe à la quinzième mesure : X1 = 0,552 m, à la date t = 0,72 s (cf. courbe p. 3).

sin(α) = 0,218 soit α = 12,6 °


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Page 28

c ) Mesures obtenues et courbe représentative

Le graphe X1=f(t) en fonction du temps : les points apparaissent dans la reproduction d’écran ci-dessous, en même temps que la modélisation. C. Exploitation des mesures obtenues : nature du mouvement

1. Modélisation de la courbe

• La parabole X1m=f(t) obtenue coïncide avec les points expérimentaux. • L’équation horaire du mouvement s’écrit (en négligeant l’ordonnée à l’origine c) :



On peut reprendre le modèle de calcul décrit dans le T.P. n° 2. Il est également possible d’utiliser la dérivée de l’équation horaire en fonction du temps (selon le niveau des élèves) : c’est l’option utilisée ici :

dtdX

v 11 =

Pour celui de l’accélération, on utilise la dérivée de la vitesse :

dtdv

a 11 =

Remarque : Il est préférable de prendre la dérivée v1 du modèle X1m plutôt que de X1 : la courbe obtenue est plus régulière et il est inutile de la modéliser elle-même.

X1m = -½*2,13*t² + 1,53*t

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Page 29


Les graphes de v1 et de a1 sont représentés ci-dessous.

Les deux courbes correspondantes ont pour expressions respectives :

La valeur 1,53 est la vitesse du point de départ, c’est la vitesse initiale : v0 = 1,53 m.s-1.


L’accélération, la vitesse et l’équation horaire du mouvement s’écrivent donc, en généralisant :

L’abscisse initiale X0 =0 dans l’expérience (origine des abscisses confondue avec le premier point de la courbe).

On constate que le mouvement du chariot possède deux phases symétriques. Il est décrit par les mêmes relations mathématiques que le mouvement du chariot descendant le plan incliné avec un mouvement accéléré, étudié dans le T.P. n° 2. La différence de signe de l’accélération a1 dépend seulement du choix différent de l’orientation de l’axe des abscisses. La valeur numérique de a1 est la même à moins de 0,5 % près.

4. Conclusion

Les deux phases du mouvement du chariot sur le plan incliné sont décrites par un même type de mouvement : le mouvement uniformément varié. Selon les signes de la vitesse et de l’accélération (voir les commentaires sur la courbe) :

• Si l’accélération et la vitesse sont de mêmes sens (donc de même signe), le mouvement est uniformément accéléré.

• Si l’accélération et la vitesse sont de sens contraires (donc de signes opposés), le mouvement est uniformément retardé (ou décéléré).

v1 = - 2,13*t + 1,53 et a1 = - 2,13 m.s-2


t = 0,72 s

V1>0 et a1<0Signes opposés

Mouvement

V1<0 et a1<0 Mêmes signes

Mouvement

Les ordonnées sont celles de la courbe de la vitesse v1

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Page 30

TP n°4 : Le plan incliné – L’étude énergétique

A. Objectifs de la manipulation A partir des mesures obtenues par le traitement des images effectué dans les T.P. n° 2 et 3, le travail entrepris dans cette étude concerne différents aspects énergétiques :

• Dans une première partie, on se propose de vérifier le théorème de l’énergie cinétique, • Dans une seconde partie, on étudie la transformation de l’énergie potentielle de pesanteur en

énergie cinétique et inversement.

Ce travail sur l’énergie entre dans le programme des classes de Première S.


C’est le même que dans les T.P. n° 2 et 3.


Les réglages de la caméra et de la prise de vue restent identiques. Rappel : Pour éviter une trajectoire inclinée par rapport à l’axe des abscisses du repère de mesure, la webcam est inclinée : on obtient ainsi une image horizontale du banc. L’angle d’inclinaison α conserve la même valeur :

C. Exploitation des mesures : théorème de l’énergie cinétique L’objectif suivi est la vérification du théorème de l’énergie cinétique. On utilisera les mesures du TP N°2 : le chariot est abandonné sans vitesse initiale sur le plan incliné.

1. Traitement des images

Le pointage des positions successives du chariot et les mesures correspondantes sont indiquées ci-dessous :

Parmi l’ensemble des points expérimentaux d’abscisse X1, on en choisit deux, les plus éloignés possibles l’un de l’autre mais pour lesquels il est possible de calculer une vitesse : le point A (ligne 2) et le point B (ligne 13).

sin(α) = 0,218 soit α = 12,6 °

Partie de l’image, choix de deux points particuliers

A B

Tableau des mesures

A

B

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2. Calcul des vitesses

a ) Définition de la vitesse en un point

C’est la relation déjà utilisée : 1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

b ) Calcul des vitesses dans le Tableau des mesures

Le calcul est obtenu par la formule (déjà employée) écrite dans la cellule C2 du tableau ci-contre. Le calcul est étendu, par cliquer-glisser, dans les cases C2 à C13. On constate que les valeurs obtenues pour la vitesse v1 sont croissantes, régulièrement. Parmi les résultats, on relève les vitesses des points A et B :

3. Energie cinétique

L’énergie cinétique d’un solide indéformable de masse M dont la vitesse de translation est v est : Pour chacun des points A et B considérés :

4. Travail des forces

AB est la différence des abscisses des lignes 13 et 2 :

Sur le support incliné, le bilan des interactions qui s’exercent sur le chariot fait apparaître son poids P→

et la réaction R→

du banc, perpendiculaire à celui-ci.

Pour une translation AB, le travail des forces en présence s’écrit :

Soit :

vA = 0,333 m.s-1 et vB = 1,493 m.s-1

ΣWAB = Mg.AB.sin(α) = 2,14.M.AB = 0,787.AB

0)sin(.AB.Mg)AB,Rcos(.AB.R)AB,Pcos(.AB.MgAB.RAB.PWAB +α=+=+=Σ→→→→→→→→

EcA = 0,055.M = 0,020 J et EcB = 1,114.M = 0,410 J

Ec = ½.M.v2 M = 0,368 kg

P→

R→

z α

G

.90deangleunest)AB,R(puisque0)AB,Rcos(et)sin()AB,Pcos(Or °=α=→→→→→→

AB = 0,513 - 0,015 = 0,498 m

A

B

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Page 32

5. Théorème de l’énergie cinétique

a ) Enoncé du théorème :

b ) Cas des points A et B :

Variation de l’énergie cinétique entre A (date t2) et B (date t13) : ΔEc = 0,410-0,020 = 0,390 J Somme des travaux de toutes les forces entre ces dates : ΣWAB = 0,787*0,498 = 0,392 J Remarque : On peut exprimer les deux grandeurs en fonction de la masse M et constater que leur égalité est indépendante de la valeur de M :

ΔEc = 1,114.M - 0,055.M = 1,059.M et ΣWAB = 2,14.M*0,498 = 1,066.M

Le même travail peut évidemment s’appliquer à d’autres couples de points puisque toutes les valeurs nécessaires aux calculs figurent dans le tableau des résultats de la page précédente.

6. Conclusion

Les deux grandeurs ΔEc et ΣWAB coïncident à 0,5 % près.

On peut considérer que le théorème de l’énergie cinétique est vérifié.

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au solide entre les instants t1 et t2.

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D. Exploitation des mesures : énergie cinétique et énergie potentielle Le but de cette étude est de comparer l’évolution des énergies cinétique et potentielle de pesanteur pendant des deux phases du mouvement enregistré au cours des TP N° 3 : le chariot est lancé vers le haut sur le plan incliné avec une vitesse initiale.

1. Traitement des images

Pointage des positions successives du chariot :

2. Expressions des énergies cinétique et potentielle de pesanteur

L’énergie cinétique d’un solide indéformable de masse M dont la vitesse de translation est v est : L’énergie potentielle de pesanteur a pour expression : La masse du chariot est M = 0,368 kg, v est la vitesse de son centre d’inertie G (vitesse de translation) et z est l’altitude de G par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement comme altitude nulle. On choisit comme l’altitude nulle celle du premier point O repéré au départ du chariot : z0 = 0. Le point O est aussi l’origine du repère OX, axe des abscisses des points expérimentaux. Pour une position A quelconque du point G, à l’abscisse XA sur l‘axe des abscisses OX, son altitude est : zA = XA.sin(α), d'où l'expression :

3. Construction du tableau de valeurs numériques

Le traitement des images donne un tableau de mesures semblable à celui de la première page du T.P. n°3. Pour le calcul de la vitesse, on peut choisir la dérivée de l’équation horaire. Si on utilise la relation classique ci-dessous, on peut calculer l’énergie cinétique directement dans le tableau :

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

Dans la colonne C2, on écrit la formule =(X[3]-X[1])/(t[3]-t[1]) étendue jusqu’à C29.

Mouvement rectiligne retardé puis accéléré du chariot

Les pointages de la pastille colorée du chariot ont volontairement été décalés vers le bas pour distinguer chacune des phases du mouvement. O

Ec = ½.M.v2

Ep = M.g.z

P→

R→

z0=0 α

G

Ep = M.g. XA.sin(α)

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Le travail qui suit consiste à compléter le tableau par trois nouvelles colonnes dans lesquelles apparaissent, pour chaque ligne, les valeurs de l’énergie cinétique, de l’énergie potentielle de pesanteur et de leur somme. La méthode de travail reste la même : utiliser une formule dans une cellule et l’étendre, par cliquer-déplacer, à l’ensemble de la colonne du tableau. Remarque : Il est commode de noter, en tant que constantes, les valeurs de la masse (M=0,368 kg), de l’accélération terrestre (g=9,81 m.s-2) et du sinus de l’angle (sinα=0,218) dans trois cellules de la droite du tableau en indiquant leurs noms M, g et sinα dans la case qui indique le numéro d’ordre des cellules. Cette méthode rend les formules plus lisibles dans les cellules. Dans la cellule D2 on a introduit la formule : =0,5*M*v1[1]*v1[1] pour le calcul de l’énergie cinétique Ec et dans la cellule E2 la formule ci-dessous : L’observation du tableau montre que, dans les colonnes D et E, les évolutions des valeurs de Ec et de Ep sont opposées :

o à la ligne 2, Ec est maximale tandis que Ep est minimale, o jusqu’à la ligne 15, Ec diminue alors que Ep augmente, o pour cette ligne 15, Ec est nulle alors que Ep passe par un maximum, o jusqu’à la ligne 29, Ec augmente alors que Ep diminue.

Dans le colonne F, la somme des deux énergies est représentée par : On constate que cette somme est presque constante, avec des écarts assez faibles.

ΣE = Ec + Ep = Constante

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4. Graphe des énergies

a ) Représentation et modélisation des courbes

Les représentations graphiques de Ec, Ep, ainsi que de leur somme ΣE peuvent être représentées comme suit : Les trois graphes sont ensuite modélisés par les fonctions qui semblent le mieux convenir aux allures des ensembles de points représentés. Ainsi :

o L’énergie cinétique Ec est modélisée par une parabole d’expression :

o L’énergie potentielle de pesanteur Ep est également modélisée par une parabole d’expression :

o Enfin, leur somme ΣE semble en premier abord être modélisée par une droite d’ordonnée constante :

Les deux énergies Ec et Ep coïncident bien avec les deux paraboles, sensiblement symétriques. On remarque (voir les segments tracés sur le graphe) qu’à tout moment, on a :

ΣE = Ec + Ep Remarque : L’intervalle temporel de modélisation doit être réduit (0,05 s et 0,140 s dans le cas ci-dessus) pour encadrer uniquement les points définis dans le tableau. On est contraint, en effet, d’ignorer les lignes 1 et 30 pour lesquelles la vitesse v et donc l’énergie cinétique Ec ne sont pas définies.

Ec

Ec

Ep

ΣE

Ecm = ½.1,7.t² - 1,24.t + 0,451

Epm = - ½.1,67*t² + 1,19.t + 0,008

ΣEm = 0,437

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b ) Modélisation réelle de la somme des énergies

Si on propose de tracer un modèle du type ΣEm=a.t+b, on obtient : On observe que la somme des deux énergies cinétique Ec et potentielle de pesanteur Ep n’est plus modélisée par une droite d’ordonnée constante mais par une droite de pente négative :

• La conservation de l’énergie mécanique totale n’est donc qu’approchée. • Cette décroissance traduit l’existence de frottements dus au contact des roues du chariot avec le

banc de roulement. Elle est normale dans un système mécanique.

Remarque : Autres modélisations possibles : L’expression de la modélisation linéaire laisse supposer que l’énergie totale devient nulle au bout d’une durée tf telle que :

0 = - 0,023*tf + 0,453 soit tf = 19,7 s. Durée qui semble faible !! La somme des énergies peut être traduite autrement :

o Soit par un modèle parabolique : ΣEm = ½*0,03*t² - 0,053*t + 0,453 qui traduit la somme algébrique des deux fonctions Ecm et Epm exprimée page précédente. Ce modèle est cependant inapproprié puisqu’il semble supposer qu’avec une durée plus grande (et un chemin de roulement plus long), ΣE, après être passée par un minimum, recommencerait à croître, ce qui est aberrant puisqu’elle ne peut que diminuer.

o Soit par un modèle exponentiel décroissant : ΣEm = 0,453*exp(-t/18,6) dont la constante de temps est t = 18,6 s.

Ce dernier modèle est plus satisfaisant. La décroissance de l’énergie totale est plus lente. Par exemple, au bout de 18,6 s, l’énergie est encore 0,453 / 2,72 =0,16 J.

ΣEm = - 0,023.t + 0,453

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c ) Expressions théoriques de Ec et Ep en fonction du temps

Le cas de l’énergie cinétique Ec :

Ec= ½Mv2, or v=at+v0 soit Ec= ½M(at+v0)2 = ½M(a2*t2 + 2av0t+v02) = ½Ma2.t2 + Mav0t + ½ v0

2M

En tenant compte de l’expression théorique de l’accélération a=-gsin(α), le signe négatif venant du choix d’orientation de l’axe des abscisses : L’expression ½ M v0

2 apparaît comme étant la valeur de l’énergie cinétique initiale Ec0. Avec les valeurs numériques connues : M=0,368 g, g=9,81 m.s-2, sin(a)=0.218 et celle de la vitesse initiale v0=1,54 m.s-1 (valeur déduite, à la date t=0, de la modélisation de la vitesse v), on trouve : L’énergie cinétique initiale Ec0 = 0,436 J Le cas de l’énergie potentielle de pesanteur Ep :

Ep= MgXsin(α), avec X = ½ at2 + v0t + X0, d’où : Ep = Mgsin(α).(½ at2 + v0t + X0) qui donne : Ep = ½ a Mgsin(α)t2 + Mgsin(α)v0t + Mgsin(α).X0

En tenant compte de l’expression théorique de l’accélération a=-gsin(α) L’expression Mgsin(α).X0 apparaît comme étant la valeur de l’énergie potentielle de référence Ep0. Elle a été choisie nulle. Avec les mêmes valeurs numériques: M=0,368 g, g=9,81 m.s-2, sin(a)=0,218, on trouve :

d ) Conclusion

Les expressions théoriques de Ec et Ep ont une analogie certaine. Elles sont complémentaires et leur somme est égale à ΣE = Ec0 = 0,436 J : c’est l’énergie fournie au système, en lui donnant une impulsion manuelle pour le lancer.

On peut aussi constater que les résultats expérimentaux sont très proches des valeurs théoriques et que les écarts relatifs sont inférieurs à 1 %.

Ec = ½.Mg2.sin(α)2.t² - Mg.sin(α).v0.t + ½ M v02

Ep = - ½.Mg2.sin(α)2.t2 + Mg.sin(α)v0t + Mg.X0sin(α).

Ec = ½.1,683.t² - 1,21.t + 0,436

Ep = - ½.1,683.t² + 1,21.t

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Page 38

TP n°5 : Le mouvement d’un solide soumis à une force constante

A. Objectifs de la manipulation L’étude du mouvement d’un chariot, soumis à un ensemble de forces équivalentes à une force constante, est exploitée sous un double aspect :

• Définir les caractéristiques du mouvement du chariot, en liaison avec les interactions qui s’exercent sur lui,

• Vérifier la validité du théorème de l’énergie cinétique et de la conservation de l’énergie mécanique.


Le banc de mécanique est horizontal (vérification effectuée avec un niveau à bulle). Le chariot est relié, par un fil inextensible et de masse négligeable passant sur une poulie, à une masse à crochet.

• Une butée assure l’arrêt du chariot en fin de course • La masse du chariot est M = 330 g. • La masse à crochet est m = 201,8 g. • La poulie a une inertie qui peut être considérée comme négligeable.

Remarque : Plusieurs essais pour choisir la valeur de la masse m par rapport à celle M du chariot ont conduit à préférer une masse plutôt importante. Ceci a pour conséquence de minimiser l’influence de la poulie dont la masse (bien que faible) perturbe un peu les résultats.

Vue d’ensemble du dispositif

Butoir Poulie

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Page 39


• Le chariot est abandonné sans vitesse initiale avec la masse à crochet en position haute (à l’altitude z).

• La webcam est réglée sur 5 s d’enregistrement et une prise de vue de 20 images par seconde. L’ouverture est au 1/1000ème de seconde (1/500ème suffit si la lumière est insuffisante). Une prise à 30 images par seconde peut être utilisée pour obtenir plus d’images.

• Le déplacement du chariot et la chute de la masse m sont très rapides et la vitesse acquise importante. La masse totale en mouvement est assez importante : il faut prendre des précautions concernant la chute des objets (consignes de sécurité).



Pointage des positions successives du chariot et le tableau des mesures :

b ) Mesures obtenues et courbe représentative

L’ensemble des points expérimentaux donne le graphe X=f(t) en fonction du temps : il figure sur la courbe suivante, avec la modélisation.

Observations :

o sur la photographie, la trajectoire horizontale est rectiligne. Les 9 pointages sont de plus en plus écartés lorsque le mobile progresse vers la droite.

o sur le graphe, la répartition des points a une allure parabolique.

Partie de l’image du pointage : le nombre de points est réduit à 9

Les ordonnées sont celles de la

courbe X

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C. Exploitation des mesures obtenues : nature du mouvement 1. Modélisation de la courbe

On choisit le modèle parabole. Le tracé est représenté sur la courbe de la page précédente. La parabole Xm=f(t) obtenue coïncide parfaitement avec les points expérimentaux. L’équation horaire du mouvement s’écrit (en négligeant l’ordonnée à l’origine) :

2. Vitesse et l’accélération du mobile


Pour le calcul de la vitesse, on utilise la relation classique :

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

Pour celui de l’accélération, on utilise une relation similaire, à partir des valeurs de la vitesse :

1n1n

1n1nn

tt1v1v

a−+

−+

−

−=

Les deux grandeurs sont calculées à l’aide de formules similaires à celle de la case D3 du tableau ci-contre (pour l’accélération a). Chaque calcul est étendu, par cliquer-glisser, dans les cases pour lesquelles la grandeur correspondante est définie (tableau ci-contre). On constate que les valeurs obtenues pour la vitesse v croissent de façon régulière mais que celles de l’accélération an sont sensiblement identiques et voisines de 3,6 m.s-2. La mesure n° 7 (3,1) est médiocre.


Dans l’onglet Graphique, les graphes de v et de a sont représentés (voir page précédente). Les modélisations vm et am (sans la mesure 7) donnent des droites d’équations respectives : La valeur 0,708 représente la vitesse du premier point sur le graphe ; cette vitesse v0 est la vitesse initiale : v0 = 0,708 m.s-1.


L’accélération, la vitesse et l’équation horaire du mouvement s’écrivent donc, en généralisant :

La valeur X0 est l’abscisse initiale. Par le choix de l’origine des axes : X0 = 0 m.

Xm = ½*3,61*t² + 0,710*t

vm = 3,63*t + 0,708 et am = 3,6 m.s-2


Ces égalités définissent les caractéristiques d’un mouvement uniformément accéléré.

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Page 41

4. Bilan des forces Le bilan des interactions sur le chariot fait apparaître son poids P

→, la réaction R

→ du banc horizontal,

perpendiculaire à celui-ci donc verticale, et la tension horizontale T→

du fil. La poulie, de masse négligée, change la direction du poids de la masse m sans en changer l’intensité : on en conclut que T = mg, poids de la masse à crochet.

Dans le repère (Ox, Oy), lié à un référentiel terrestre, on constate que la somme des deux interactions est : On en déduit que l’ensemble des interactions qui s’exercent sur le chariot est équivalent à une force

unique T→

telle que T = mg.

5. Valeur théorique de l’accélération du système

D’après la seconde loi de Newton, l’accélération du mouvement est telle que :

soit

Valeur théorique de l’accélération du mobile : L’écart avec la valeur expérimentale a = 3,61 m.s-2 est :

6. Conclusion

Les résultats expérimentaux coïncident avec ceux de l’étude dynamique du système. Le mouvement d’un mobile soumis à une force constante, en supposant les frottements négligeables, est un mouvement uniformément accéléré.

mg = (M + m).a a)mM(TTRP→→→→→

+==++

)0RPsoitopposéessontRetPpuisque(TTRP→→→→→→→→→

=+=++

ath = 3,67 m.s-2

Δa/a ≈ 1,7 %

P→

R→

T→

G

a = mg/(M+m)

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D. Exploitation des mesures : théorème de l’énergie cinétique L’objectif de cette exploitation est la vérification du théorème de l’énergie cinétique.

1. Calcul des énergies cinétiques

a ) Calcul des vitesses dans le Tableau des mesures

Parmi l’ensemble des points expérimentaux d’abscisse X, on en choisit deux, les plus éloignés possibles l’un de l’autre mais pour lesquels il soit possible de calculer une vitesse : le point A (ligne 2) et le point B (ligne 7).

Le tableau des résultats est complété par les colonnes donnant la vitesse et l’énergie cinétique qu’il est intéressant de connaître pour chaque ligne.

Les colonnes sont remplies par extension de la formule notée dans la première cellule vers le bas de la colonne(pour les valeurs qui sont définies). Formule du type de celle entourée ci-dessus pour ce qui concerne l’énergie cinétique. Remarque : On note, en tant que constantes, les valeurs des masses (M = 0,338 kg et m = 0,2018 kg) et de l’accélération terrestre (g = 9,81 m.s-2) dans trois cellules de la droite du tableau en indiquant successivement leurs noms M_(1), m et g dans la case qui indique le numéro d’ordre des cellules. Cette méthode rend les formules plus lisibles dans les cellules. (1) Le nom donné est M_et non pas M qui serait confondu avec m. Le logiciel ne distingue pas les majuscules des minuscules pour les constantes.

b ) Valeurs des énergies cinétiques aux points A et B

L’énergie cinétique totale du chariot et de la masse à crochet en translation de même vitesse v est : Pour chacun des points A et B considérés on lit :

EcA = 0,210 J et EcB = 0,864 J

Ec = ½.(M-m).v2 (M+m) ≈ 0,540 kg

On choisit les points A et B

A B

Point A

Point B

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2. Travail des forces

AB est la différence des abscisses des lignes 8 et 2 : Pour une translation AB, le travail des forces en présence s’écrit :

Le travail du poids P→

et celui de la réaction du banc R→

sont nuls puisque les deux forces sont perpendiculaires au déplacement.

L’expression du travail de la tension T→

se déduit de la valeur de l’angle ( T→

, AB→

) qui est nulle et dont le cosinus vaut 1.

Soit :

3. Théorème de l’énergie cinétique

a ) Enoncé du théorème

b ) Cas des points A et B

Variation de l’énergie cinétique entre A (date t2) et B (date t8) : ΔEc = 0,864– 0,210 = 0,654 J Somme des travaux de toutes les forces entre ces dates : ΣWAB = 0,665 J L’écart relatif est : (0,665-0,654)/0,665 = 0,0165 soit 1,7 %. Le même travail peut évidemment s’appliquer à d’autres couples de points puisque toutes les valeurs nécessaires aux calculs figurent dans le tableau des résultats de la page précédente. Cependant, les mesures relatives au point 8 sont médiocres et à écarter.

4. Conclusion

Les deux grandeurs ΔEc et ΣWAB coïncident à 1,7 % près.

On peut considérer que le théorème de l’énergie cinétique est vérifié.

ΣWAB = mg.AB = 0,2018.9,81.0,430 = 0,665 J

AB.mg)AB,Tcos(.AB.mgAB.T00AB.TAB.RAB.PWAB ==++=++=Σ→→→→→→→→→→→→

AB = 0,375-0,039 = 0,336 m

Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide entre deux instants t1 et t2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au solide entre les instants t1 et t2.

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E. Exploitation des mesures : énergie cinétique et énergie potentielle Le but de cette étude est de comparer l’évolution des énergies cinétique et potentielle de pesanteur pendant le mouvement.

1. Expressions des énergies cinétique et potentielle de pesanteur

L’énergie cinétique d’un solide (masse M) de vitesse de translation v, est : Ec = ½.M.v2. Comme le système contient deux solides en translation possédant la même vitesse v, l’énergie cinétique totale est : L’énergie potentielle de pesanteur :

L’axe Oz des altitudes est orienté vers le haut. Son origine coïncide avec la position de départ du chariot (X=0 et z0=0). Les altitudes zA et zB sont négatives. On peut ainsi écrire que, d’une façon générale, z = - X puisque le fil liant le chariot et la masse à crochet est inextensible : les deux solides ont des déplacements semblables (à la direction près). Soit zA = - XA et que zB = - XB. On choisit comme niveau de référence d’énergie potentielle de pesanteur nulle le plan horizontal passant par l’altitude z0. Si on considère l’ensemble du système, la variation d’énergie potentielle concerne seulement le poids de la masse à crochet dont le centre d’inertie s’abaisse de l’altitude zA à l’altitude zB. L’énergie potentielle du chariot reste constante pendant le déplacement.

L’énergie potentielle de pesanteur a pour expression :

2. Construction du tableau des valeurs numériques

Le travail qui suit reprend le tableau déjà utilisé et le complète par deux nouvelles colonnes dans lesquelles apparaissent, pour chaque ligne, après les valeurs de l’énergie cinétique Ec, celles de l’énergie potentielle de pesanteur Ep et celles de leur somme ΣE. La méthode de travail reste la même : utiliser une formule dans une cellule et l’étendre, par cliquer-déplacer, à l’ensemble de la colonne correspondante du tableau. Par exemple, dans la cellule E1 on a introduit la formule : = m*g*X[1] pour le calcul de l’énergie potentielle de pesanteur Ep, comme le montre la figure ci-dessous :

L’observation du tableau montre que, dans la colonne F, la somme des deux énergies ΣE reste sensiblement constante, sauf pour la ligne 8 (mesure erronée à écarter).

Ec = ½.(M + m).v2

Ep = mg.z = - mg.X

+z

z0= 0

Butoir

→

O A B +X

Point A

Point B

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3. Graphe des énergies

a ) Représentation et modélisation des courbes

Les représentations des graphiques de Ec, Ep, et de leur somme ΣE peuvent être visualisées ci-dessous : Les trois graphes sont ensuite modélisés par les fonctions qui semblent le mieux convenir aux allures des ensembles de points représentés. Ainsi :

o L’énergie cinétique Ec est modélisée par une parabole d’expression :

o L’énergie potentielle de pesanteur Ep est également modélisée par une parabole d’expression :

o Enfin, leur somme ΣE semble au premier abord être modélisée par une droite d’ordonnée constante :

Les deux énergies Ec et Ep coïncident bien avec les deux paraboles, sensiblement symétriques. On remarque (voir les segments tracés sur le graphe) que leur somme est à peu près constante :

ΣE = Ec + Ep

Remarque : L’intervalle temporel de modélisation doit être réduit pour encadrer uniquement les points définis dans le tableau. On est contraint, en effet, d’ignorer les lignes 1 et 9 pour lesquelles la vitesse v et donc l’énergie cinétique Ec ne sont pas définies. Il est préférable également de ne pas inclure la ligne 8 (valeur erronée) dans les plages de modélisation.

Ecm = ½.6,36.t² - 1,5.t + 0,129

Epm = - ½.7,15*t² - 1,41.t

ΣEm = 0,134 J

Ec

Ep

ΣE

Ep

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b ) Expressions théoriques de Ec et Ep en fonction du temps

Le cas de l’énergie cinétique Ec :

Ec= ½.(M+m).v2, or v=at+v0 soit Ec= ½.(M+m). (at+v0)2 = ½.(M+m).(a2*t2 + 2av0t+v0

2) = ½.(M+m).a2.t2 + (M+m).av0t + ½.(M+m).v02

En tenant compte de l’expression théorique de l’accélération a= mg/(M+m), le signe négatif venant du choix d’orientation de l’axe des abscisses : L’expression ½ (M+m) v0

2 apparaît comme étant la valeur de l’énergie cinétique initiale Ec0. Avec les valeurs numériques connues : M=0,338 kg, m=0,2018 kg, g=9,81 m.s-2 et celle de la vitesse initiale v0=0,708 m.s-1 (valeur déduite, à la date t=0, de la modélisation de la vitesse v, voir la page 3), on trouve : L’énergie cinétique initiale Ec0 = 0,135 J, valeur qui se confond avec la valeur ΣE. Le cas de l’énergie potentielle de pesanteur Ep : Ep= -mgX, avec X = ½ at2 + v0t + X0, d’où : Ep = -mg.(½ at2 + v0t + X0) qui donne

Ep = -½ a.mg.t2 - mgv0t - mg.X0 En tenant compte de l’expression théorique de l’accélération a=mg/(M+m) L’expression mgX0 apparaît comme étant la valeur de l’énergie potentielle de référence Ep0. Elle a été choisie nulle. Avec les mêmes valeurs numériques: M=0,338 kg, m=0,2018 kg et g=9,81 m.s-2, on trouve :

c ) Conclusion

Les expressions théoriques de Ec et Ep ont une analogie certaine. Elles sont complémentaires et leur somme est égale à ΣE = Ec0 = 0,147 J : c’est l’énergie du système au moment du passage du chariot par le premier point retenu dans les images de la vidéo.

On peut aussi constater que les résultats expérimentaux sont proches des valeurs théoriques. Ecth = ½.7,26.t² + 1,40.t + 0,135 ; Ecexp = ½.6,36.t² - 1,5.t + 0,129 ; Écart relatif : 12,4 % et 4,4 % Epth = - ½.7,26.t² - 1,40.t ; Epexp = - ½.7,15*t² - 1,41.t ; Écart relatif : 1,5 % et 0,7 % ΣEth = 0,135 J ; ΣEexp = 0,134 J ; Écart relatif : 0,7 % L’expression expérimentale de l’énergie cinétique s’écarte le plus de l’expression théorique. Les autres comparaisons sont satisfaisantes.

Ec = ½.m2g2/(M+m).t² + mg.v0.t + ½.(M+m).v02

Ep = - ½.m2g2/(M+m).t² - mg.v0.t + mg.X0

Ec = ½.7,26.t² + 1,40.t + 0,135

Ep = - ½.7,26.t² - 1,40.t

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TP n°6 : Le mouvement d’un projectile lancé verticalement

A. Objectifs de la manipulation Cette première expérience de lancement d’un projectile met en œuvre une balle lancée verticalement vers le haut par un lanceur à ressort fixe. L’objectif est double :

• L’étude des équations horaires du mouvement de la balle abandonnée à son propre poids dans le champ de pesanteur,

• La comparaison entre l’énergie cinétique de la balle et le travail de son poids. Cette expérience s’adresse aux élèves de Première S.


• Le lanceur est fixé sur le chariot par commodité. Celui-ci est bloqué par des cales sur les rails du banc.

• La verticalité du lanceur doit être réglée avec soin. Ce réglage, à l’aide de vis placées sur le support du lanceur, est détaillé à la page 2 du TP n° 8.

• Un tir réussi voit retomber la balle dans la coque du lanceur.

• Les mires (croix magenta) doivent être parfaitement installées dans le plan vertical de la trajectoire. Elles sont distantes de 0,4 m.

Remarque : Si le lanceur est solidement fixé, les tirs sont reproductibles.


• La webcam est réglée sur 10 s d’enregistrement et une prise de vue de 20 images par seconde. L’ouverture est au 1/1000ème de seconde (1/500ème peut suffire).

• Il faut régler la tension des ressorts du lanceur pour que le point culminant de la trajectoire de la balle reste dans le champ de la caméra.

• Une expérience est très rapide à réaliser. Pour éviter une saisie mal réussie, on a intérêt à sélectionner les images retenues dans une première prise vidéo et à refaire une ou plusieurs prises de vue successives pour disposer de plusieurs fichiers.

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L’emploi de la Chronophotographie (voir le premier chapitre) donne une vision imagée de la trajectoire suivie par la balle : elle est verticale (la ligne pointillée le vérifie).

La première position de la balle détachée du lanceur sert d’origine O aux axes (OY vertical orienté vers le haut) et OX (non utilisé ici). La distance entre les croix magenta est 0,4 m. Le pointage des positions de la balle, en fonction du temps, est illustrée ci-dessus.

b ) Les mesures obtenues et la courbe représentative

L’ensemble des points expérimentaux donne le graphe Y=f(t). Il figure ci-dessous.

La répartition des points expérimentaux a une allure parabolique.

Pointage de la trajectoire

Y

O

Observation stroboscopique

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C. Exploitation des mesures obtenues : la nature du mouvement 1. Modélisation de la courbe

On choisit une parabole pour modéliser Y(t). Son tracé Ym(t) est représenté à la page précédente. La parabole Ym=f(t) coïncide avec les points expérimentaux. L’équation horaire du mouvement s’écrit :

2. La vitesse et l’accélération du mobile


La dérivée de l’équation horaire donne la vitesse vY et celle de la vitesse vY donne l’accélération aY.

Remarque : Il est préférable de prendre la dérivée des modèles Ym et Xm.

b ) Graphe de la vitesse et de l’accélération

Dans l’onglet Graphique, les graphes de vY et de aY sont représentés ci-dessous.

Les deux ensembles de points vY et aY sont ensuite modélisés par vYm et aYm, deux droites dont les expressions respectives sont :

La valeur 3,32 est la vitesse au point origine O, c’est la vitesse initiale : vY0= 3,32 m.s-1.

Ym = - ½*9,79*t² + 3,32*t + 0,283

vY = - 9,79*t + 3,32 aY = - 9,79 m.s-1

vY = et aY = dY dvY dt dt

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L’équation horaire du mouvement a pour expression générale :

Ce sont les caractéristiques d’un mouvement rectiligne uniformément varié.

4. Bilan des forces et valeur théorique de l’accélération du mouvement

La seule force qui agit sur la balle lorsqu’elle parcourt sa trajectoire est son poids P→

. Elle se trouve en chute libre, mais avec une vitesse initiale verticale vers le haut. D’après la seconde loi de Newton, l’accélération du mouvement est telle que : m.aY = m.g Soit aY = - g, avec g = 9,81 m.s-2, or la valeur expérimentale de aY a pour valeur 9,79 m.s-2

L’écart relatif avec la valeur expérimentale est Δa/a = 0,2 %. Le résultat est très satisfaisant. 5. Conclusion

Le mouvement de chute libre dans le champ de pesanteur, avec une vitesse initiale vers le haut, est un mouvement rectiligne vertical uniformément varié.

Y = ½*aY*t² + vY0*t + Y0 vY = aY*t + vY0 aY = Constante

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D. Exploitation des mesures : étude énergétique Le but de cette étude est de comparer l’évolution de l’énergie cinétique et du travail du poids au cours de la chute libre précédente.

1. Expressions de l’énergie cinétique et du travail du poids

L’énergie cinétique de la balle de masse M et de vitesse vY est :

Le travail de son poids P→

a pour expression : La masse de la balle est M = 0,0205 kg, vY est la vitesse de son centre d’inertie G.

Le travail du poids P→

est : WP→

= -M.g.Y Remarque : Le signe de WP

→

vient du produit scalaire négatif. Le point culminant atteint par la balle est Y0 = 0,279 m.

2. Construction du tableau des valeurs numériques

On passe dans la page Tableau dans laquelle on affiche seulement l’ordonnée des points Y et leur vitesse vY. La première ligne horizontale vY est déjà transcrite.

Il est commode de noter, comme constantes, dans les trois lignes qui suivent, les valeurs de la masse de la balle (M=0,0205 kg), de l’accélération terrestre (g=9,81 m.s-2) et de l’ordonnée du point culminant (Y0=0,279 m). Cette procédure rend les formules suivantes plus lisibles. On génère ainsi les deux lignes Ec = 0,5*M*vY*vY et WP = - M*g*Y L’observation du tableau montre que, dans les colonnes D et E, les évolutions des valeurs de Ec et de WP sont identiques.

Ec = ½.M.vY2

→ → WP

→ = M.g.OG

P→

→ → M.g.OG

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Graphe des deux énergies a ) Représentation des courbes

La représentation des graphes de Ec et de WP est donnée ci-dessous :

Les deux graphes ont des allures paraboliques analogues, mais les deux ensembles sont décalés. Pour tenter de les superposer, il suffit de décaler la courbe WP en la translatant vers les valeurs positives : l’origine du travail du poids passe au point culminant de la balle. Le travail du poids s’exprime alors par : Wpdec = -M.g(Y – Y0).

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b ) Modélisation des courbes

L’énergie cinétique Ec est modélisée par une parabole d’expression : Le travail WP du poids est modélisé également par une parabole d’expression : Enfin, le travail du poids, mesuré depuis le point culminant de la courbe, est aussi modélisé par une parabole :

On constate, avec un écart relatif voisin de 1 %, que les expressions de Ecm et de WPdecm sont identiques. Les deux courbes se superposent de façon presque parfaite.

c ) Conclusion

Au cours d’une chute libre, le travail du poids du corps, exprimé dans un repère convenablement choisi, est à tout moment identique à son énergie cinétique.

Le référentiel dans lequel une telle égalité se produit est galiléen.

Ecm = ½.1,99.t² - 0,674.t + 0,114

WPm = - ½.1,97*t² + 0,667.t + 0,057

WPdecm = ½.1,97.t² - 0,667.t + 0,113

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TP n°7 : Le mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

A. Objectifs de la manipulation Le mouvement d’une balle lancée avec une vitesse initiale inclinée est exploitée de deux façons complémentaires :

• L’étude des équations horaires du mouvement de la balle abandonnée à son propre poids dans le champ de pesanteur,

• L’étude de la trajectoire de la balle et de ses caractéristiques : flèche et portée. Cette expérience s’adresse aux élèves de Terminale S.


Le banc de mécanique est horizontal. Les mires (croix magenta) doivent être parfaitement installées dans le plan vertical de la trajectoire. Le lanceur (en position inclinée à gauche) est fixé sur le banc. Un cône de plastique transparent fixé sur un anneau (à droite) sert de réceptacle à la balle. Sa position est ajustée expérimentalement (pas toujours facile !!) … attention aux chutes de balle. Remarque : Si le lanceur est solidement fixé, les tirs sont reproductibles.


• L’angle de l’axe du lanceur avec l’horizontale est repéré (l’inclinomètre donne une indication à 1° près environ). Le déclenchement du tir par le levier ne pose pas de problème.

• La webcam est réglée sur 10 s d’enregistrement et une prise de vue de 20 images par seconde. L’ouverture est au 1/1000ème de seconde (1/500ème peut suffire). Une prise à 30 images par seconde est préférable pour obtenir un plus grand nomnbre d’images.

• Le mouvement est très rapide, on a intérêt à sélectionner les images retenues et à refaire tout de suite quelques prises de vue afin de disposer de plusieurs fichiers vidéo.

Vue d’ensemble du dispositif (photo-montage)

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Le pointage des positions successives de la balle, en fonction du temps :

Le premier point expérimental de gauche sert d’origine O aux deux axes orthonormés définissant un repère dans le référentiel galiléen de l’image. L’axe vertical OY est orienté vers le haut, l’axe horizontal OX vers la droite. La distance entre les croix magenta est 0,4 m.

b ) Mesures obtenues et la courbe représentative

L’ensemble des points expérimentaux donne les deux graphes Y=f(t) et X=g(t) en fonction du temps : ils figurent sur la courbe suivante, avec leurs modélisations.

Observations :

o sur le graphe, la répartition des points du graphe Y(t) a une allure parabolique et celle de X(t) est linéaire.

Remarques sur la courbe

Le choix du premier point de la séquence, définie au montage vidéo, ne correspond pas au point de départ de la balle depuis la coque du lanceur. La vitesse initiale n’est donc pas celle communiquée par le lanceur au moment du tir. L’angle α de cette vitesse avec l’horizontale n’est pas égal à l’angle du lanceur.

Le pointage donne 9 points expérimentaux

O X

Y

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C. Exploitation des mesures obtenues : nature du mouvement 1. Modélisation de la courbe

On choisit une parabole pour modéliser Y(t) et une droite pour X(t). Leurs tracés sont représentés à la page précédente. La parabole Ym=f(t), comme le droite Xm=g(t), coïncident avec les points expérimentaux. Les équations horaires du mouvement s’écrivent, pour chacun des axes, (en négligeant l’ordonnée à l’origine) :



Les dérivées des équations horaires donnent les vitesses vX et vY, celles des vitesses donnent les accélérations aX et aY.


b ) Graphe de la vitesse

Les graphes de vx et de vy sont représentés ci-dessous.

Les deux courbes correspondantes ont pour expressions respectives :

La valeur 1,72 est la vitesse au point de départ, c’est la vitesse initiale : vY0= 1,72 m.s-1.

Ym = - ½*9,76*t² + 1,74*t Xm = 2,11*t

vY = - 9,76*t + 1,74 vX = 2,11 m.s-1

vX = vY = et aX = aY = dXm dYm dvX dvY dt dt dt dt

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c ) Valeur de l’accélération

Les valeurs obtenues par dérivation donnent :


Le mouvement se décompose en deux projections : o Selon la direction verticale : le mouvement est uniformément varié, d’expression

générale :

o Selon la direction horizontale : le mouvement est uniforme, d’expression générale :

Les coordonnées initiales Y0 = X0 =0 dans l’expérience (origine confondue avec le premier point de la courbe).

4. Calcul de la vitesse initiale et de l’angle de sa direction avec l’horizontale

La valeur de la vitesse initiale se déduit de ses projections à l’instant t=0 :

v = √ (vY02 + vX0

2) = 2,73 m.s-1 et tan(α) = vY0 / vX0 = 0,825 soit α = 39,5 ° 5. Bilan des forces et valeur théorique de l’accélération du système

La seule force qui agit sur la balle lorsqu’elle parcourt sa trajectoire est son poids P→

. D’après la seconde loi de Newton, l’accélération du mouvement est telle que m.aY = m.g

Soit aY = - g, avec g = 9,81 m.s-2, or la valeur expérimentale de aY a pour valeur 9,76 m.s-2

L’écart relatif avec la valeur expérimentale est Δa/a = 0,5 %. Le résultat est satisfaisant. 6. Conclusion

Les résultats expérimentaux coïncident avec ceux de l’étude dynamique du système.

Le mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur résulte de la superposition d’un mouvement vertical uniformément varié et d’un mouvement horizontal uniforme.


aY = - 9,76 m.s-2 aX = 0

X = v0*t + X0 vX = vX0

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D. Exploitation des mesures : étude de la trajectoire 1. Trajectoire Y = f(X)

a ) Obtention directe de la courbe Y = f(X)

La modélisation par une Parabole donne la représentation suivante :

Le modèle YTm a pour expression :

b ) Expression théorique de la trajectoire

A partir des équations horaires théoriques du mouvement, on obtient :

Les coordonnées initiales Y0 = X0 =0 dans l’expérience (origine confondue avec le premier point de la courbe).

On remarque que v0.cos(α) = vX0.

Les valeurs expérimentales obtenues aux pages précédentes sont : vX0 = vX = 2,11 m.s-1 et tan(α) = 0,825

Soit g/(v02.cos(α)2) = g/vX0

2 = 2,20 m-1

L’angle α=39,5 ° est représenté sur le graphique ci-dessus.

YTm = - ½*2,21*X² + 0,836*X

YTth = -½*g/(v02.cos(α)2)*X² + tan(α)*X

α=39,5 °

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c ) Comparaison des résultats

La comparaison entre les valeurs théoriques et expérimentales donne des écarts relatifs de : 0,3 % pour le coefficient de X2 et 1,3 % pour le coefficient de X.

2. Caractéristiques de la trajectoire YT = f(X)

a ) Détermination expérimentale de la flèche et de la portée

La flèche est l’ordonnée du point culminant atteint par le projectile. La portée est le point le plus extrême atteint (pour une ordonnée nulle). Les valeurs expérimentales de ces deux grandeurs sont mesurées sur la figure ci-dessous par les coordonnées du pointeur, inscrites au bas de l’écran.

La flèche et la portée ont pour mesures : YTmax = 0,158 m et Xmax = 0,757 m.

b ) Comparaison avec les valeurs théoriques (avec α = 39,5 ° et v0 = 2,73 m.s-1).

La flèche a pour expression théorique : ymax = v02.sin(α)2/2g. Numériquement, ymax = 0,154 m.

La portée a pour expression théorique : xmax = v02.sin(2α)/g. Numériquement, xmax = 0.746 m.

Les écarts relatifs avec les mesures faites sur la courbe sont respectivement : 2,5 % et 1,5 %.

YTmax

Xmax

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TP n°8 : Le mouvement d’un projectile lancé depuis un mobile

A. Objectifs de la manipulation Dans cette manipulation une balle est lancée verticalement, à l’aide du lanceur à ressort installé sur un chariot en mouvement rectiligne uniforme sur le banc de mécanique.

• La première partie concerne l’étude de la trajectoire de la balle, envisagée selon deux points de vue : soit dans un repère lié à la salle de TP, soit dans un repère lié au chariot en mouvement.

• La deuxième partie, pour le même tir, est consacrée à l’étude des équations horaires du mouvement de la balle dans le repère lié à la salle de TP.

Cette expérience s’adresse plus particulièrement aux élèves de Seconde pour la première partie et aux élèves de Terminale pour la deuxième partie (ainsi que pour l’interprétation de l’équation de la trajectoire).


Le banc de mécanique est horizontal. Les mires (croix magenta) doivent être installées dans le plan vertical de la trajectoire. Le lanceur est fixé sur le chariot. Pour visualiser son déplacement, une gommette jaune est collée sur la tige du lanceur (dans le même plan que les mires). Un deuxième lanceur, fixé à gauche sur le banc de mécanique, permet de lancer le chariot vers la droite, avec une vitesse réglable.

Remarque : Si les deux lanceurs sont correctement fixés, les tirs sont reproductibles.


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Page 61

B

2A

1

Levier


a ) Réglage du lanceur

Le lanceur fixé sur le chariot doit être réglé verticalement avec grande attention. Il est nécessaire que la bille retombe dans la coque du lanceur, depuis laquelle elle a été lancée. Pour y parvenir, le lanceur est monté sur une plaque horizontale munie de vis de réglage. Les vis 1 et 2 maintiennent la plaque support sur le chariot. Les vis A règlent la verticalité avant-arrière. La vis B règle la verticalité gauche-droite. Si ce réglage est précis, la balle retombe dans la coque du lanceur, quelques décimètres plus loin ! Avant le départ du chariot, son lanceur est tendu, balle en place dans la coque. Lorsque le chariot est lancé, une tige fixée sur le bord du banc de mécanique fait basculer, à son passage, le levier du lanceur : la balle est lancée vers le haut.

b ) Réglage de la caméra

La webcam est réglée sur 10 s d’enregistrement et une prise de vue de 20 images par seconde. L’ouverture est au 1/1000ème de seconde.

C. Etude de la trajectoire selon le repère utilisé

1. Réglage des paramètres

Comme on s’intéresse à la trajectoire de la balle, il faut paramétrer Généris 5 Plus selon le cas à traiter : par rapport à la salle de TP ou par rapport au chariot.

Choisir la représentation des courbes Y(X).

Choisir de réaliser le pointage sur deux points : l’un au centre de la gommette jaune du lanceur (point 1), l’autre au centre de la balle magenta (point 2).

Il reste enfin à choisir le mode de représentation : o « par rapport à l’origine » : pour obtenir le tracé des trajectoires YT2(X) et YT1(X),

respectivement décrites par la balle et par le chariot, dans le repère lié à l’origine du mouvement, fixe par rapport à l’observateur (la salle de TP).

o « par rapport au point mobile n°1 » : pour obtenir le tracé de la trajectoire YT2(X) dans le repère lié au point 1, c’est-à-dire dans un repère lié au chariot mobile.

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Il est intéressant, pour cette expérience, d’utiliser la fonction Stroboscopie (explications dans le premier chapitre). La figure obtenue est représentée ci-dessous :

L’observation de la figure montre les trajectoires suivies par les deux gommettes jaune et magenta. Après un parcours lanceur tendu (trois premières images, avec les demi-cercles magenta car la balle est dans la coque du lanceur), le tir a lieu. Si on trace des verticales blanches (ajoutées à la copie d’écran), on constate que les deux images des gommettes sont toujours sur la même verticale au même instant. On voit également que la balle retombe sur la coque du lanceur, rebondit et décrit un deuxième arc de trajectoire avant de s’immobiliser dans la coque.

Pour la saisie des coordonnées des points 1 et 2, la vue ci-dessus à droite en montre le déroulement.

• L’origine O des deux axes orthonormés du repère est choisie sur le premier point de la trajectoire du point n°1, observable après le tir (voir la figure).

• L’axe vertical OY est orienté vers le haut, l’axe horizontal OX vers la droite. La distance entre les croix magenta est 0,4 m.

• On limite la saisie des points n° 1 et n° 2 au premier arc de trajectoire (10 couples de mesures).

b ) Mesures obtenues et courbes représentatives

Selon le choix du paramétrage des images, on obtient deux types de courbes.

Premier cas : trajectoire dans un repère lié à la classe (fixe par rapport à l’observateur).

L’ensemble des points expérimentaux donne les deux graphes YT1=f(X) et YT2=g(X) en fonction de l’abscisse X : ils figurent sur la courbe de la page suivante, avec leurs modélisations. Sur le graphique, les allures des groupes de points conduisent à modéliser la trajectoire YT1=f(X) du chariot par une droite et celle YT2=g(X) de la balle par une parabole. Les modèles des courbes YT1m(X) et YT2m(X) ont pour équations :

L’équation de YT2m sera reprise et interprétée ultérieurement.

Observation stroboscopique Pointage des deux trajectoires

Point n° 1

Point n° 2

Y

O X

YT2m = - ½*22,1*X² + 3,24*X + 0,053 YT1m = 0

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Premier cas : trajectoire dans un repère lié à la salle (fixe par rapport à l’observateur).

Comme pour la stroboscopie page précédente (qui en est la représentation en images !), toute droite parallèle à l’axe des ordonnées (droite verticale), d’abscisse confondue avec un point de la courbe 1, passe également par le point 2 saisi à la même date.

Deuxième cas : trajectoire dans un repère lié au chariot (mobile par rapport à l’observateur).

La trajectoire YT2=g(X) est une droite de direction verticale (aux erreurs de pointage près).

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3. Conclusion

La nature de la trajectoire varie :

• Si le repère est lié à la salle de classe (référentiel fixe par rapport à l’expérimentateur), la trajectoire de la balle est une courbe parabolique.

• Si le repère est lié au chariot (référentiel mobile par rapport à l’expérimentateur), la trajectoire de la balle est une droite verticale. C’est la trajectoire d’une balle lancée verticalement vers le haut dans un référentiel fixe (cas des TP n° 6).

La trajectoire d’un corps dans le champ de pesanteur dépend du référentiel dans lequel on l’observe.

D. Etude de la nature du mouvement 1. Réglage des paramètres et le traitement des images

La deuxième partie a pour but d’établir les équations horaires du mouvement de la balle dans le repère lié à la salle de TP. Il faut donc rétablir le paramétrage par défaut. Avec ces nouveaux réglages, le pointage (identique à celui réalisé dans le première partie) donnera les coordonnées d’un point de la balle. Les mesures s’expriment alors en fonction du temps pour chaque point repéré : Y(t) et X(t).

2. Représentation graphique des mesures obtenues et modélisation

Les coordonnées de la balle sont représentées sur la figure ci-dessous, en fonction du temps.

On choisit une parabole pour modéliser Y(t) - pour les points correspondant au mouvement de la balle soumise à son seul poids - et une droite pour X(t). Leurs tracés sont représentés ci-dessus.

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La parabole Ym=f(t), comme la droite Xm=g(t), coïncident avec les points expérimentaux. Les équations horaires du mouvement s’écrivent, pour chacun des axes :



Les dérivées des équations horaires donnent les vitesses vX et vY, celles des vitesses donnent les accélérations aX et aY.


b ) Graphe des vitesses

Les graphes de vX et de vY sont représentés ci-dessous.

Les deux courbes ont pour expressions respectives :

La valeur 3,62 est la vitesse initiale communiquée par la détente du lanceur : vY0= 3,62 m.s-1.

c ) Valeur de l’accélération

Les valeurs obtenues par dérivation donnent :

Ym = - ½*9,79*t² + 3,62*t – 0,38 Xm = 0,666*t – 0,1

vY = - 9,79*t + 3,62 vX = vX0 = 0,666 m.s-1

aY = - 9,79 m.s-2 aX = 0

vX = vY = et aX = aY = dXm dYm dvX dvY dt dt dt dt

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Toutes les caractéristiques, exprimées dans les pages précédentes, sont identiques à celles du mouvement parabolique d’une balle lancée avec une vitesse initiale inclinée (cf. TP n° 7). Les projections sur deux axes, vertical et horizontal, ont les mêmes équations horaires :

o Selon la direction verticale : le mouvement est uniformément varié de type :

o Selon la direction horizontale : le mouvement est uniforme, d’expression générale : En poursuivant l’analogie, on peut établir les égalités suivantes :

a ) Valeur de l’angle α incliné à la date du tir

Sur les courbes ci-dessous, on constate que la date du tir est t1 = 0,150 s .

La vitesse verticale à cette date est vY1 = 2,15 m.s-1. La tangente de l’angle α du tir est donc : tan(α) = vY1 / vX1 = vY1 / vX0 = 2,148/0,666 = 3,23 soit α = 72,8 °

b ) Expression théorique de la trajectoire dans le référentiel « salle de classe ».

L’équation théorique de la trajectoire dans un repère OY, OX s’écrit (cf. TP n° 6) : On note que v0.cos(α) = vX0 = 0,666 m.s-1 et que tan(α) = 3,23.

Avec g = 9,81 m.s-2, on obtient g/(v02.cos(α)2) = g/vX0

2 = 22,1 m-1. D’où, numériquement, sachant que l’ordonnée du premier point est 0,053 m (cf. courbe YT(X)) :


X = vX0*t + X0 vX = vX0

YT2th = -½*g/(v02.cos(α)2)*X² + tan(α)*X + Y0

t1

vY1

YT2th = - ½*22,1*X² + 3,23*X + 0,053

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Les valeurs expérimentales obtenues à la fin de la première partie sont :

L’équation de la trajectoire YT2m = f(X) traduit donc bien les équations horaires à partir desquelles on a retrouvé son expression.

5. Bilan des forces et valeur théorique de l’accélération du système

Comme pour le mouvement parabolique du tir incliné, l’accélération de l’équation horaire est aY = - g, avec g = 9,81 m.s-2, or la valeur expérimentale de aY est 9,79 m.s-2

L’écart relatif avec la valeur expérimentale est ΔaY/aY = 0,2 %. Le résultat est satisfaisant.

6. Conclusion

La vitesse horizontale communiquée à la balle peut provenir soit du lanceur incliné, soit de la vitesse du chariot porteur : l’origine de cette vitesse n’a aucun effet sur la nature ultérieure du mouvement.

Lorsque la balle a été lancée verticalement depuis le chariot en mouvement rectiligne uniforme horizontal, il n’y a aucun moyen, dans un référentiel lié à la salle de classe, de distinguer sa trajectoire de celle résultant d’un tir incliné.

YT2m = - ½*22,1*X² + 3,24*X + 0,053

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TP n°9 : Les chocs entre deux solides

A. Objectifs de la manipulation L’objectif de ces expériences est de vérifier si la quantité de mouvement et l’énergie cinétique d’un système se conservent ou pas au cours d’un choc entre les deux solides qui le constituent. Plusieurs types de chocs seront successivement réalisés et analysés :

• Deux chocs élastiques, un ou les deux solides sont en mouvement avant le choc, • Deux chocs avec incrustation, un ou les deux solides sont en mouvement avant le choc, • Un éclatement d’un système de deux solides, réunis et immobiles avant le choc.

Les masses des deux solides sont soit identiques, soit différentes.

Le niveau est celui des classes d’enseignement secondaire. B. Mise en oeuvre d’une expérience

1. Dispositif expérimental commun

Avec quelques variantes, c’est le même dispositif qui est utilisé pour chaque expérience. Le banc de mécanique est horizontal (vérification faite à l’aide d’un niveau à bulle). On utilise deux chariots, munis de butées différentes selon le type de choc à illustrer : sur la photographie, on utilise deux butées avec tampon de caoutchouc, montées en regard l’une de l’autre sur les chariots. Une pastille colorée différente est collée sur chacun des chariots pour les distinguer. La masse d’un chariot varie selon la butée et éventuellement la surcharge qui l’équipent. L’emploi d’une balance monoplateau à 0,1 g près est très conseillé pour disposer d’une valeur précise de chaque masse. Le butoir de gauche du banc de mécanique est muni d’un lanceur horizontal à ressort qui permet des lancements reproductibles du chariot. Si on possède deux lanceurs, le second sera installé à droite pour le même usage. Les mires (croix magenta) sont disposées horizontalement, dans le plan des pastilles colorées. Leur écartement est de 0,40 m.

2. Déroulement d’une expérience

• Dans tous les cas envisagés, la direction des mouvements (et donc des vitesses) est déterminée : c’est la direction rectiligne horizontale du banc de mécanique.

• Il est préférable de travailler avec des vitesses suffisantes : par exemple, le chariot est lancé par le lanceur tendu sur la graduation 6 ou plus.

• La webcam est réglée sur 10 s d’enregistrement et sur 20 images par seconde. L’ouverture est au 1/500ème de seconde.

• Si les deux chariots sont en mouvement, l’expérience requiert deux expérimentateurs.

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3. Traitement équivalent des images

Quelle que soit l’expérience réalisée, les images de la vidéo sont exploitées de la même façon.

a ) Montage des séquences d’images

Il convient de choisir le nombre d’images retenues dans la séquence filmée. Ce nombre d’images, qui précèdent et suivent le choc, n’a pas à être très grand (4 à 6 par exemple) :

o Les chariots, avant comme après le choc, sont en mouvement rectiligne uniforme. Leurs vitesses sont constantes (parfois nulles) et quelques images, juste avant et après le choc, suffisent à les déterminer.

o Trop d’images, avec la diminution faible mais réelle de la vitesse due aux frottements, risquent de conduire à des modélisations erronées des vitesses.

b ) Réglage des paramètres

Les choix par défaut doivent être modifiés pour réaliser le pointage sur deux points : les centres des deux gommettes jaune et magenta des deux chariots. Il reste à choisir le mode de représentation par rapport à l’origine pour obtenir le tracé des trajectoires X1(t) et X2(t) des chariots dans le repère lié à l’origine du mouvement (fixe par rapport à l’observateur, la salle de TP).

c ) Traitement des images

Le pointage, sur les images de la vidéo, des positions successives des deux chariots en mouvement est illustré ci-dessous :

d ) Représentation graphique

Les points expérimentaux traduisent, par des allures linéaires, les abscisses de chacun des solides avant et après le choc (ou l’éclatement). La modélisation de ces ensembles, selon deux portions pour chaque solide, fait apparaître les équations horaires de chaque trajectoire, du type : Le coefficient directeur de chaque partie définit la vitesse correspondante du chariot considéré. La valeur algébrique de la vitesse rend compte du sens du mouvement.

Remarque : S’il apparaît nettement, au cours du temps, que la vitesse diminue dans une portion de courbe, il faut restreindre sa modélisation à un intervalle plus petit, proche de la date du choc.

Remarques sur la photographie Le solide n° 1 est le chariot de gauche (magenta) et le n° 2 celui de droite (jaune).

Le choix du premier point du solide n° 1 est défini comme origine des abscisses. L’axe OX est orienté vers la droite.

Le pointage des positions des deux chariots

O X

Y

x1 = v1*t + b

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C. Premier cas : choc avec rebond 1. Conditions expérimentales particulières

• Les deux chariots ont même masse : M1 = M2 = 0,364 kg. • L’un des chariots (n° 2) est immobile au centre du banc. L’autre chariot (n° 1) est lancé (lanceur

à ressort) depuis la gauche. • Les deux chariots sont munis de butées en caoutchouc. 2. Représentation graphique et traitement des résultats

a ) Courbe représentative

L’ensemble des points expérimentaux est modélisé par les quatre morceaux de droites, pour les chariots n° 1 et 2, avant et après le choc : x1 et x’1 ; x2 et x’2. Résultats : les coefficients directeurs des quatre droites donnent les vitesses suivantes :

b ) Quantité de mouvement p et énergie cinétique Ec de l’ensemble du système :

3. Conclusion

On constate qu’il y a conservation de la quantité de mouvement avec une précision de 2,1 % Il n’y a pas conservation complète de l’énergie cinétique : l’écart correspond à une perte d’énergie de 22 % transformés en chaleur. Le choc n’est que partiellement élastique.

Avant le choc Après le choc

v1 = 0,775 m.s-1 v2 = 0 m.s-1 v’1 = 0,080 m.s-1 v’2 = 0,678 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = 0,282 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = 0,276 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0,109 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0,085 J

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D. Deuxième cas : autre choc avec rebond 1. Conditions expérimentales

• Les deux chariots ont des masses différentes : M1 = 0,567 kg et M2 = 0,367 kg • Les deux chariots sont lancés l’un vers l’autre avec des vitesses voisines. • Les deux chariots sont munis de butées en caoutchouc. 2. Représentation graphique et traitement des résultats


L’ensemble des points expérimentaux est modélisé par les quatre morceaux de droites, pour les chariots n° 1 et 2, avant et après le choc : x1 et x’1 ; x2 et x’2.

Remarque : Le chariot n° 1 s’immobilise presque à la suite du choc !!

Résultats : les coefficients directeurs des quatre droites donnent les vitesses suivantes :


3. Conclusion

On constate qu’il y a conservation de la quantité de mouvement avec une précision de 2 % Il n’y a pas conservation de l’énergie cinétique. La perte d’énergie est de 83 % qui se transforme en énergie thermique dans le système. Le choc est très peu élastique.


v1 = 0,663 m.s-1 v2 = - 0,621 m.s-1 v’1 = - 0,0115 m.s-1 v’2 = 0,428 m.s-1



Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0,195 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0,034 J

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E. Troisième cas : choc avec incrustation 1. Conditions expérimentales

• Les deux chariots ont même masse : M1 = M2 = 0,389 kg • L’un des chariots (n° 2) est immobile au centre du banc. L’autre chariot (n° 1) est lancé (lanceur à

ressort) depuis la gauche. • Les deux chariots sont munis de butées en velcro qui s'accrochent les unes aux autres. 2. Représentation graphique et traitement des résultats


Les quatre morceaux de droites avant et après le choc : x1 et x’1 ; x2 et x’2 donnent :

Remarque : Le système s’immobilise presque à la suite du choc !!

Les résultats : les coefficients directeurs des quatre droites donnent les vitesses suivantes :

b ) Quantité de mouvement p énergie cinétique Ec de l’ensemble du système :

3. Conclusion

On constate qu’il y a conservation précise de la quantité de mouvement. Au cours du choc, presque toute l’énergie cinétique (99,8 %) est absorbée par le système, sous forme d’énergie thermique. Le choc est totalement inélastique.


v1 = 0,518 m.s-1 v2 = - 0,566 m.s-1 v’1 = - 0,024 m.s-1 v’2 = - 0,024 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = - 0,0187 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = - 0,0187 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0,114 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 2,2.10-4 J

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F. Quatrième cas : autre choc avec incrustation 1. Conditions expérimentales

• Les deux chariots ont des masses différentes : M1 = 0,367 kg et M2 = 0,567 kg • L’un des chariots (n° 2) est lancé du centre du banc avec une vitesse faible. L’autre chariot (n°1)

est lancé dans le même sens avec une vitesse supérieure et le rattrappe. • Les deux chariots sont munis de butées en velcro qui s'accrochent les unes aux autres. 2. Représentation graphique et traitement des résultats


Les quatre morceaux de droites avant et après le choc : x1 et x’1 ; x2 et x’2 donnent :

Remarque : Les deux chariots ont même vitesse après le choc.

Les résultats : les coefficients directeurs des quatre droites donnent les vitesses suivantes :

b ) Quantité de mouvement p énergie cinétique Ec de l’ensemble du système :

3. Conclusion

On constate qu’il y a approximativement conservation de la quantité de mouvement à 8,4 %. Une part importante l’énergie cinétique (37 %) est absorbée par le système, sous forme d’énergie thermique. Le choc est inélastique.


v1 = 0,728 m.s-1 v2 = 0,230 m.s-1 v’1 = 0,39 m.s-1 v’2 = 0,39 m.s-1



Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0,112 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0,071 J

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G. Cinquième cas : éclatement d’un solide en deux parties 1. Conditions expérimentales

• La masse des chariots est M1 = M2 = 0,407 kg • Les deux chariots sont munis de butées

aimantées qui se repoussent. • Ils sont réunis par un fil de nylon, serrés au plus

proche l’un de l’autre (l’opération est assez délicate). Ils sont immobiles avant le choc.

• L’éclatement est obtenu en brûlant le fil. Remarque : Une autre possibilité consiste à installer un lanceur sur l’avant d’un des chariots, placés l’un contre l’autre. L’éclatement a lieu en actionnant la gâchette du lanceur tendu.

2. Représentation graphique et traitement des résultats


Les quatre morceaux de droites avant et après le choc : x1 et x’1 ; x2 et x’2 donnent : Les résultats : les coefficients directeurs des quatre droites donnent les vitesses suivantes :



v1 = 0 m.s-1 v2 = 0 m.s-1 v’1 = 0,185 m.s-1 v’2 = - 0,192 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = 0 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = - 2,8.10-3 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0,0145 J

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3. Conclusion

On constate que les deux chariots se repoussent avec des vitesses quasiment opposées. Compte tenu de la quantité de mouvement acquise par chacun d’eux :

p’1 = M1v’1 = 0,0753 kg.m.s-1 et p’2 = M2v’2 = 0,0781 kg.m.s-1 Il y a conservation de la quantité de mouvement. En effet, si on compare la quantité de mouvement de chaque chariot après le choc, l’écart relatif entre les deux valeurs opposées est de 3,6 %. On constate l’apparition d’une énergie cinétique provenant de l’énergie magnétique mise en jeu au cours de la répulsion. Le choc est inélastique.

Plus généralement, en observant les résultats expérimentaux obtenus, on tire les enseignements suivants :

• Au cours d’un choc, la quantité de mouvement se conserve toujours. • L’énergie cinétique est transférée de façon très variable, depuis une proportion importante

(choc élastique) jusqu’à une proportion nulle (choc totalement inélastique). Le premier cas se produit lorsque des matériaux élastiques (caoutchouc) sont en contact au point d’impact, le deuxième cas est celui de la réunion (ou incrustation) des solides qui se heurtent.

• Le cas idéal d’un choc parfaitement élastique, avec conservation totale de la quantité de mouvement et de l’énergie cinétique, ne se rencontre pas dans le domaine macroscopique. On ne peut que l’approcher grâce au choix de matériaux de grande élasticité.

Dans le domaine microscopique, en revanche, les chocs entre particules sont, dans de nombreux cas, parfaitement élastiques et les deux grandeurs se conservent.

Service après vente Pour tous problèmes, réparations, réglages ou pièces détachées, adressez-vous à :

S.A.V. JEULIN BP 1900

27019 EVREUX CEDEX FRANCE

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MECHANICS

Mechanics experiments bench Ref. 332 045

5011

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This manual is divided into two parts: a user guide and a set of practical exercises whose content is suitable for secondary schools (three final years).

All the experiments described are based on the shooting and analysis of video films obtained using a camcorder / webcam and video acquisition software. We recommend the following components (not supplied with the apparatus):

- Webcam TouCam Pro Philips Ref. 571 201

- Tripod photo Ref. 202 024

- Software Généris 5 plus Ref. 000 511 or

- Software Cinéris Ref. 000 344 The subjects of the experiments may be grouped into three themes:

• The first part is devoted to the study of rectilinear movements, kinetic and dynamic studies. Depending on the context of the experiment, the energy aspects are also studied.

• The second part deals with the movement of a body under its own weight in the field of gravity. • The third part studies some collisions between two moving bodies and verifies the validity of

conservation: quantity of movement and kinetic energy.

CONTENTS Part 1: User Guide

I. Description Page 81

II. Set up Page 82

III. Video recording Page 88 Part 2: Set of practical exercises

Exercise No 1 Uniform rectilinear movement

Exercise No 2 Inclined plane. The nature of movement Page 97

Exercise No 3 Inclined plane. Launching upwards Page 102

Exercise No 4 Inclined plane. The study of energy Page 105

Exercise No 5 Movement of a solid body under constant forces Page 113

Exercise No 6 Movement of a projectile launched vertically Page 122

Exercise No 7 Movement of a projectile in the field of gravity Page 129

Exercise No 8 Movement of a projectile launched from a moving body Page 135

Exercise No 9 Collision between two solid bodies Page 143

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Part 1:

User Guide

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I. Description The mechanics experiments bench is composed of a set of modular components (rails, trolleys, clips, limits…) that allow conducting most of the experiments regarding the dynamics of translation movements. Several experiments can be conducted using the sophisticated measurement techniques described here. One such technique is the analysis, using a data-processing software Généris 5 Plus or Cinéris, of video images recorded by a camcorder or webcam.

The experimental bench is made up of two identical aluminium profiles of 1.20 m each, assembled on two hard plastic frames, fixed at the ends of the profiles. Adjustable feet with adjustable screws provide the stability and the setting of horizontal levels (transversal and longitudinal). Two stop limits, moving by sliding on the profiles allow stopping the trolley in movement and to mount the different clip accessories: for example, one can fix a spring launcher as shown in the above photo. The two longitudinal external profiles are used as the running path of the trolley. One of the profiles has a lateral scale graduated in mm for reading the abscissae. An inclinometer, giving the angle of the bench with reference to the horizontal, can also be added. The bench offers a smooth and rectilinear running path allowing the displacement of the trolley with minimum friction

Composition

- 1 guidance bench made of aluminium profiles, with scale graduated in mm - 1 trolley with exploder and reception basket - 12 bumpers 4 Velcro + 4 magnet + 2 rubber stops - 4 extra weights of 115 g each - 1 ballistic launcher + 1 set of 3 balls Φ = 25 mm - 1 stepped pulley (Φ = 20-40-60 mm), - 1 inclinometer - 2 masts of 1 m - 2 pink and yellow (adhesive) tapes (to cut and stick on the trolley) - 1 set of 3 test charts - 8 fixing clips - 1 set of fixing accessories (rods + clamping nuts) - 1 spirit level - 1 manual.

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II. Set up 1 Installation of the experimental bench

The bench must be placed on a table with a clear background so that a good contrast can be obtained during the video recording. For increasing the contrast of the image, the following accessories (not supplied) may be used against a dark background:

- Vise-grip wrench Modumontage® Ref. 703 529

- Square rods Ref. 703 458 to 703 460

- Nuts Polynux® Ref. 703 452

In the following diagram, the dark background is installed behind the apparatus,held in place by two vise-grip wrenches. A width of 70 to 80 cm is sufficient and paper with matt paint, cardboard or thick cloth for example, can be used.

A magenta coloured sticker (to be cut out) should be fixed with velcro on the side of the trolley and is used for marking the position of the trolley on the video. The three test charts (magenta coloured crosses) should be positioned on the vertical plane containing the coloured sticker. This precaution is essential for preventing parallax errors due to the webcam and obtaining exact measurements of the coordinates. The test charts are arranged in the two directions of the plane, vertical and horizontal and define the scales of the coordinates of the plane. They are used as markers during the video processing. Depending on the experiment conducted, the measurement plane may vary with reference to the bench. The stop limits for stopping the trolley are mounted by clamping the two clips, one on each side of the bench (refer photos below). Some bumpers (maximum three) may be fixed on a stop limit depending on the experiment to be conducted.

The horizontal level should be checked by placing the spirit level on the bench, adjustment by screwing / unscrewing the supporting feet. For experiments on the inclined plane, it is recommended to use an elevator support (not supplied) for adjusting the inclination.

Square rod

Cross nut Clamping nut

Curtain suspended on the cross rod

Fastening of the 6 mm support rod of

the test charts

Suggested organisation of the work space

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2 Ballistic launcher The launcher is made up of the following components:

1. Handle for adjusting the inclination

2. Trigger lever

3. Blocking pin of the exploder

4. Exploder

5. Inclinometer

6. Vise-grip wrench (for mounting on a table)

Attention!! Even though the launcher is not very powerful, the use of protective eyeglasses is recommended while using the apparatus: ref. 150 069 (junior size) or ref. 150 001 (large size).

Adjusting the inclination Unlock the clamping handle Incline the launcher manually at the desired angle, the inclinometer shows the value of the angle against the horizontal from 0 to 90° Block the handle for maintaining the launcher in the selected position. The blocking lever can be released for allowing the adjustment of the launcher in any of the possible positions. Pull on the lever in clamping axis (A), then release the lever in the desired position for facilitating the clamping (B). (A) Releasing the clamping lever (B) Positioning the lever for facilitating the clamping

Arming the launcher Place the trigger lever in right or left position Press with one hand on the rod of the exploder till it is in the desired position Press with the other hand on the blocking pin (refer photo on right)

2 5

1

4

6

3

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Characteristics of the trolley Weight of bare trolley: m = 330 g Length of the trolley: l = 20 cm

Replace the lever in the central position for maintaining the rod in armed position Trigger the shot by pulling on the lever. The power of the shot can be adjusted by selecting one of the 8 positions of the launcher and using a second set of springs with a different stiffness.

3 Launcher-exploder This is the same part as in the ballistic launcher. The launcher commanded by a trigger releases an adjustable elastic energy and allows reproducible launchers. It is designed for launching balls of diameter 25 mm and for the ballistic study of their movement. The launcher-exploder can be mounted in several configurations using its clip fixing system:

4. On the support at the end of the bench, parallel to it, it allows launching the trolley through an adjustable pulse. In this configuration, it can also be used for damping the travel of the trolley, launched on the mechanics experiments bench.

5. On the trolley, through an auxiliary support that allows aligning the launcher vertically. 6. On a support whose inclination can be adjusted, to be fixed by a hexagonal rod on two

mounting clips.

Replacement of springs Dismantle the spring starting with the stop pin A located at the tip of the exploder rod, then the stop pin B located in the exploder. Mount the new pin in the reverse order. The launcher is delivered with two sets of two interchangeable springs for increasing the number of possibilities of launchers.

4 Mobile trolley The trolley is fabricated using the same materials as the bench. It is fitted with four wheels mounted on high quality ball bearings for minimising the friction. The trolley is adapted perfectly to the rails of the bench, without lateral friction. These ball bearings of small size and low weight have negligible inertia compared with the inertia of the trolley during its movement. A coloured sticker placed on the side of the trolley serves as marker of the positions of the trolley and is also used for measuring the abscissae on the video images recorded during the experiments.

A B

3 1 2

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Notes: 3. Before any experiment, it is recommended to weigh each component on a balance for

determining its weight precisely. 4. The study of collisions between moving objects requires the use of a second trolley ref. 332 047

(not supplied).

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Mounting the launcher-exploder 1) Fix the support plate of the launcher above the trolley using two screws. 2) Then mount the launcher-exploder on the support plate by means of the clip system. 3) Fix the reception basket for receiving the ball, by means of a clip on the side of the

trolley. A lever then allows arming the launcher on the trolley equipped with the basket. The basket can also be fixed on the bench for use with the ballistic launcher (refer page 7), a strip then allows plugging the bottom of the basket for recovering the ball. Adjusting the vertical alignment Place the spirit level on the launcher, then use the longitudinal and transversal setting screws for adjusting the launcher, as shown in the following photos. When the vertical alignment is completed, the ball falls back into the cup of the launcher.

The trigger is used during the movement of the trolley, when the trigger lever of the launcher hits the mast fixed on the side of the mechanical experiments bench, see below.

Mounting the extra weights on the tips Extra weights of 115 g can be mounted on the trolley for conducting experiments of dropping on an inclined plane and on collisions between two moving objects: fixing by means of two screws and two rubber bumpers above the trolley (by replacing the support plate of the launcher). Three types of bumpers can be mounted on the ends of the trolleys depending on the type of experiment to be conducted: magnetic, Velcro or rubber, refer § 6.

Fixing screw

3

2 1

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Weight of stop limits Rubber: m = 25 g Magnetic: m = 32.7 g Velcro :m = 25 g

5 Step pulley The pulley is mounted on a clip at the end of the mechanics experiments bench using two hexagonal rods + 2 clamping nuts, refer photos below. This set up is used in the exercise No 5 “Movement of a solid object under a constant force”. The pulley is centered and the height is adjusted by unscrewing the clamping nuts.

6 Bumpers The bumpers are provided with a system of fastening using clips. Depending on the needs of the experiment, they can also be fixed in several places: either at the ends of the trolley or on the stop limits of the metallic bench.

• The bumpers with rubber dampers are fixed at the front centre of the trolley or the stop limit of the bench. They serve as dampers in case of shock (against eventually an identical stop limit mounted in front of the stop limit on the bench or the trolley).

• The magnetic bumpers (repelling each other), mounted facing each other and exercising forces of repulsion.

• The “Velcro” bumpers mounted face to face on the two trolleys allow them to be joined when they are telescoped.

7 Accessories

The vertical rods of 6 mm (of various lengths) are fixed on the side wall of the mechanics experiments bench using the clip system. Each rod can be fixed at the desired location and moved by sliding the clip along the bench.

Two vise-grip wrenches fitted with vertical rods of square cross-section can be fixed firmly on the bench. One of the uses is to position them at the two ends of the bench: they can then be used as supports for dark coloured flexible hangings forming plain backgrounds during video shooting. They can also be used at the end of the bench for holding it in inclined position.

Vise-grip wrenches

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III. Video recording 1 Choice of camcorder

Any camcorder with adequate performance can be used for the video recording (refer software manual). The following measurements are obtained using a webcam TouCam Pro Philips. • The webcam is placed about 1 m from the bench, on a

horizontal plane. It is focussed on the centre of the bench, so that the entire field is visible (verify on the screen of Généris 5 Plus or Cinéris).

• The ideal is to place the bench in front of a window so that the field is sufficiently lit with natural light.

• The TouCam is quite light on its feet: it is suggested to fix it on a heavier stand so that it remains stable.

Note: The webcam generates visible geometrical aberrations (barrel shaped distortions): for example, they make the bench look curved even though it is perfectly rectilinear. Such distortions may be observed in some of the following photographs. The measurements however satisfy the teaching requirements.

2 Adjusting the camcorder It is assumed that the webcam TouCam is installed and connected to the USB port of the computer. It is positioned in front of the mechanics experiments bench, ready to operate...

For the experiments in this manual, conducted with Généris 5 Plus, the settings are as follows: • Choose the format 320 x 240 that allows acquisitions without problems at 20 images per second. • Adjust the Image rate to 20 images per second, this is suitable for most experiments (you may

use 30 images per second if the computer is capable of processing them). • Adjust the Brightness and Saturation for rectifying the visual quality of the image depending on

the ambient lighting (can be checked on the screen). • Adjust the Shutter speed to 1/100 th, 1/250 th or 1/500th of a second if the brightness allows it

(1/50th of second by default). These values allow obtaining very clear images of the coloured stickers, without trails, but to the detriment of their brightness: the images are darker.

• The adjustment of Gain compensates this lack of exposure, with a degradation of the image quality that remains within acceptable limits. The adjustment must result in a satisfactory contrast.

• Confirm the number of images per second (20 in our case). • Specify the length of the film (a length of 5 to 10 seconds seems quite adequate, depending on

the type of experiment).

Notes: - It may be necessary sometimes to use floodlights if the increase of Gain is not sufficient. For preventing the phenomena of oscillation (due to neon lights), click on Run in No Oscillation. For video recordings in interiors, it is often necessary to activate this checkbox. - The image remains fixed during the video recording. - In case of loss of image, the software displays a warning and replaces the lost image with a black screen so that the file obtained can be used nevertheless.

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3 Editing the images The images recorded during the shooting are not all useful. To start with, select from the film obtained only the images that are really useful for measuring the positions.

The protocol to be followed for selecting the film sequence is described in the manual and the online Help of the software applications Généris 5 Plus and Cinéris.

4 Observation in chronophotography This function allows superposing the positions of all the selected images. By scrolling the film image by image, the following view is displayed:

5 Processing the images This part of the work concerns the selection of images made according to the previous paragraph. Definition of the trajectory marker

• Select the file to be used: the first image of the video appears. The successive positions of the test chart attached to the trolley are marked in a section of the image plane that has to be defined: origin, direction of axes, calibration of the axes.

• Place the cursor on the selected point of the image that will be the origin of the axes of the marker. The axes are then drawn by clicking.

For calibrating these axes, we make use of the test charts in the form of magenta crosses that appear on the image (Figure 7).

• Place the cursor on the magenta cross to the left (bottom) then click and move to the cross on the right.

Figure 7

Figure 6

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Parameterisation and display • One or two points can be represented by selecting the following modes:

o With reference to the origin, give the absolute positions of the two points in the marker o With reference to the moving body 1, give the relative positions of the point 2 with

reference to point 1, o With reference to the moving body 2, give the same case as previously for the relative

positions of the point 1 with reference to point 2.

• Two methods may be used for the graphic representation: firstly as a function of the time t, the time equations of the movement are then used or, secondly as a function of the abscissa X of the point 1), that is, for the point 2, its trajectory in the vertical plane defined: Y2T=f(X).

Reading the successive positions of the moving body

The work consists now in focussing on the coloured spot of each successive image, as precisely as possible, using the cursor. In the following example, we can see the parabolic shape of the trajectory of the ball (object 1); the object 2 is the launcher.

Figure 8

Object 2

Object 1

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6 Study of graphs This part deals with the more traditional plotting of experimental curves based on the acquired data. It is also described in the Help section of the software Généris 5 Plus or Cinéris.

Curve obtained

In the case of images presented above, the time equation of the movement is given by the following graph:

Launching a ball upwards from a trolley in uniform movement

Processing: the modelling

The software offers the possibility of using several predefined models. For example, the Parabola model can be used:

The modelling easily allows reaching the value of terrestrial acceleration: g=9.8 m.s-2.

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2nd part:

PRACTICAL EXERCISES

Author: Jacques Philippe

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Exercise No.1: Uniform rectilinear movement

A. Objectives of the experiment The objective of this experiment is to study the movement of a moving body, launched in the horizontal plane with a given initial velocity. This simple study defines the characteristics of a uniform movement and sets out the notion of balances of forces on a moving body and the Galilean marker. This level is suitable for senior students. Note: The nature of the movement that has to be uniform, also gives indications on possible friction due to the movement of the trolley on the mechanics bench. B. Conducting the experiment

1. Experimental set up

• The mechanics experiments bench is horizontal (verification with a spirit level). • The trolley is fitted with a stop limit with rubber damper. Its total weight is M=355 g. • The stop limit on the left is fitted with a spring launcher.

2. Experimental procedure

• The trolley is placed to the left, against the end of the launcher tensioned to the graduation 7. • The webcam is set to 5 s of recording and 20 images per second. The aperture is at 1/500th of

second. • Trigger the launcher immediately on starting the shooting.

Note: Several tests have shown that it is necessary to tension the springs of the launcher sufficiently so that the launch speed of the trolley is sufficient. Good results have been obtained with the launcher tensioned to the maximum.

View of the set up at the end of the movement

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3. Results

a ) Processing the images

The plotting of the successive positions of the marker in movement on the video images is illustrated below:

b ) Measurements and representative curve

The table of measurements is shown below. The set of corresponding experimental points gives the following graph, as a function of time, X1=f(t):

Observations: o On the photograph, the trajectory is rectilinear and the points seem equidistant. o On the graph, the distribution of points appears linear.

Part of the image, in the tab Video, after plotting

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A Analysis of measurements obtained 1. Modelling the curve

The Modelling is obtained by a straight-line. It is represented below. The curve X1m (t) obtained coincides perfectly with the experimental points. It is the time equation of movement that is written as below (omitting the ordinate at the origin b):

2. Velocity of the moving body

a ) Calculation of the velocity

Use the Spreadsheet function of the software. For calculating the velocity, the following equation is used:

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

It is calculated using the formula of the table on the right, in the cell C2, then extended to all the values of the table. It is observed that the values obtained are variable but close to 1.35 m.s-1.

X1m = 1.35*t

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G

P→

R→

b ) Graph and modelling the velocity

Use the Graphic representation of the software. The graph of v1 is shown below. Its modelling v1m is obtained also by a constant straight ordinate b (by limiting the interval of time measurement for eliminating the value of v1 corresponding to the first point). The value obtained from the model corresponds to the average value of individual velocities:

3. Conclusion

The abscissa X1 of the points is therefore written as:

The velocity v1 is constant.

It is the time equation of a uniform rectilinear movement. On the horizontal support, the balance of interactions exercised on the

trolley shows its weight P→

and the vertical reaction R→

of the bench. These two opposing forces have a nil sum. In the marker, linked to a terrestrial reference system, it is observed that the trolley, subjected to a set of nil forces is in uniform rectilinear movement. This property expresses the Principle of Galileo (or of inertia) or the First Law of Newton. “A body continues in its state of rest or uniform rectilinear movement if the forces exercised on it are balanced” The terrestrial reference system is then called Galilean marker.

Note: The constant value of the velocity v1 along the trajectory also shows that the friction is negligible between the trolley and the mechanics experiments bench, provided quite large velocities are used.

v1 = 1.35 m.s-1

X1 = v1.t

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Exercise No. 2: Inclined plane – The nature of movement A. Objectives of the experiment The inclined plane allows illustrating several aspects of the curriculum of the two last classes of Grammar School.

• This study defines the characteristics of a uniform rectilinear movement with variations. • The dynamic aspects establish the relation with the interactions exercised on the moving

objects.

B. Conducting the experiment 1. Experimental set up

Raise a side of the mechanics experiments bench by using an elevator support (not supplied). The angle of inclination can be initially modified by adjusting the height of the support.

The trolley is fitted with a stop limit with rubber damper or a launcher exploder. Its total weight should be measured precisely using a balance (not supplied).

The angle of inclination of the bench (the inclinometer to the left of the bench gives only an approximate measurement) is measured simply, using the following protocol:

The heights h1 and h2 are measured using a flat scale or a rigid meter. The distance D is chosen as an entire number (1 m) for example. This method gives directly the value of the sine of the angle of inclination α.


• The trolley is abandoned without initial velocity, from the top left part of the bench. • The webcam is set to 10 s of recording and shooting 20 images per second. The aperture is

1/500th of second. • In the processing of images, for avoiding an inclined trajectory with reference to the axes of

abscissae, the webcam should be inclined for obtaining an image in which the bench appears horizontal (to be verified on the image given in the page Video of the software).

sin(α)=(h2-h1)/D

h1

h2

α

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3. Results obtained

a ) Measurement of angle of inclination α.

The results of measurements, D=0.9 m; h1= 0.288 m and h2=0.092 m, gives:

b ) Processing of images

The plotting of the successive positions of the marker in movement on the video images is illustrated below:

c ) Measurements obtained and the representative curve

The set of experimental points give the graph X1=f(t) as a function of time: Observations:

o On the photograph, the trajectory is rectilinear and the points read are increasingly separated when the moving body progresses along the inclined plane.

o On the graph, the distribution of corresponding points has a parabolic shape.


Table of measurements

sin(α) = 0.218 or α = 12.6 °

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C. Analysis of measurements obtained: nature of movement 1. Modelling the curve

The Modelling is obtained by a parabola. The model is represented in the following curve. The parabola X1m=f(t) obtained coincides perfectly with the experimental points. It is the time equation of movement that is written as below (omitting the ordinate at the origin c):

2. Velocity and acceleration of the moving body

a ) Calculation of the velocity and the acceleration

For calculating the velocity, the classic relation is used:

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

For calculating the acceleration, a similar relation is used, using the values of the velocity:

1n1n

1n1nn

tt1v1v

a−+

−+

−

−=

X1m = ½*2.12*t² + 0.219*t

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The two magnitudes are calculated using formulas similar to the cell D3 of the table on right. Each calculation is extended, by clicking-sliding, in the cells for which the corresponding magnitude is defined (refer to table). It is observed that the values obtained for the velocity v1 increase in a regular manner but those of the acceleration a1 are almost identical and are close to 2.1 m.s-2.

b ) Graph and modelling of the velocity and the acceleration

The graphs of v1 and a1 are shown below.

The modellings v1m and a1m give the respective straight lines of equations: The value 0.22 represents on the graph the velocity of the first point represented (selected from the video images); this velocity v0 is called initial velocity: v0 = 0.22 m.s-1.

3. Characteristics of the movement

The acceleration, the velocity and the time equation of the movement are therefore written, by generalising, as follows: The value X0 is called the initial abscissa. By the choice of the origin of axes: X0 = 0 m.

v1m = 2.12*t + 0.22 and a1m = 2.12 m.s-2

a = Constant v = a*t + v0 X = ½*a*t² + v0*t + X0

These equalities define the characteristics of a uniformly accelerating movement (the term “uniform” is based on the constant value of the acceleration).

The ordinates are those of the graph of velocity v1

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D. Dynamic study of movement 1. Balance of forces

On the inclined support, the balance of interactions exercised on the trolley shows its weight P→

and the

reaction R→

of the bench, perpendicular to it.

At the point (Ox, Oy), linked to a terrestrial reference system, it is observed that the sum of the two interactions is:

with

2. Theoretical value of the acceleration of the system

According to the second law of Newton, the acceleration of movement is represented by:

That is,

Theoretical value of the acceleration of moving body: The deviation from the experimental value a1 = 2.12 m.s-2 is:

3. Conclusion

The experimental results coincide within less than 1 % with those of the dynamic study of the system. The movement of a moving body along an inclined plane, assuming that the friction is negligible, is a uniformly accelerating movement.

P→

α

R→

G P→

R→

α

x

y

xP→

O

α

Px = P.sin(α) = mg.sin(α)

a = g.sin(α) a.mRP→→→

=+

xPRP→→→

=+

a = 2.14 m.s-2

Δa/a ≈ 0.9 %

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Tableau des mesures

Exercise No. 3: Inclined plane – Launching upwards

A. Objectives of the experiment In the exercise no. 2, the trolley is abandoned without initial velocity on the inclined plane. In this exercise, it is launched upwards with an initial velocity. This experiment completes and generalises the study of a uniformly varying rectilinear movement.


It is the same as in the exercise no. 2.


• The trolley is launched with an initial velocity from the bottom right part of the bench. • The settings of the webcam and the shooting remain identical.

Note: Here again, for avoiding a trajectory inclined with reference to the axes of abscissae of the measurement point, the webcam is inclined for obtaining a horizontal image of the bench.

3. Results obtained

a ) Measurement of the angle of inclination α.

Same value:

b ) Processing of images

The plotting of the successive positions of the marker in movement on the video images is illustrated below: The axis of abscissae is oriented to the left. The trolley already travels through the bench towards the left with a decelerating movement. Reaching an extreme abscissa (it reaches a turn back point), its movement changes direction and redescends the bench to the right with an accelerating movement (blue arrow). The successive plottings of the coloured stickers of the trolley are deliberately shifted downwards after the turn back point for avoiding their superposition in the same direction. The table of measurements obtained effectively shows the existence of a maximum abscissa: it is situated on the 15th measurement: X1 = 0.552 m, on the date t = 0.72 s (cf. curve on page 3).

sin(α) = 0.218 that is α = 12.6 °


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c ) Measurements obtained and representative curve

The graph X1=f(t) as a function of time: the points appear in the screen shown below, at the same time as the modelling. C. Analysis of measurements obtained: nature of movement

1. Modelling the curve

• The parabola X1m=f(t) obtained coincides with the experimental points. • It is the time equation of movement that is written as below (omitting the ordinate at the origin c):



We can reproduce the calculation model described in the exercise no. 2. It is also possible to use the deviation of the time equation as a function of time (depending on the level of students): this is the option used here:

dtdX

v 11 =

The deviation of velocity is used for calculating the acceleration:

dtdv

a 11 =

Note: It is preferable to take the derivation v1 of the model X1m rather than the X1: the curve obtained is more regular and it is not useful to model it.

X1m = -½*2.13*t² + 1.53*t

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b ) Graph and modelling of the velocity and acceleration

The graphs v1 and a1 are shown below.

The two corresponding graphs are expressed respectively as:

The value 1.53 is the velocity of the starting point, it is initial velocity: v0 = 1.53 m.s-1.


The acceleration, the velocity and the time equation of the movement are therefore written, by generalising, as follows:

The initial abscissa X0 =0 in the experiment (origin of the abscissas merged with the first point of the graph).

It is observed that the movement of the trolley has two symmetrical phases. It is described by the same mathematical relation as the movement of the trolley descending the inclined plane with an accelerated movement, studied in the exercise no. 2. The difference in the sign of the acceleration a1 depends only on the different choices of the orientation of the axis of the abscissa. The numerical value of a1 is almost the same, with 0.5 % variation.

4. Conclusion

The two phases of the movement of the trolley on the inclined plane are described by a same type of movement: uniformly varying movement. Depending on the signs of the velocity and the acceleration (refer comments on the graph):

• If the acceleration and the velocity are in the same direction (therefore with the same sign), the movement is uniformly accelerating.

• If the acceleration and the velocity are in opposite directions (therefore with opposite signs), the movement is uniformly delayed (or decelerating).

v1 = - 2.13*t + 1.53 and a1 = - 2.13 m.s-2


t = 0,72 s

V1>0 and a1<0Opposite signs

Uniform movement

V1<0 and a1<0 Mêmes signes

Movement

The ordinates are those of the graph of velocity v1

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Exercise No. 4: Inclined plane – The study of energy

A. Objectives of the experiment Based on the measurements obtained by processing the images as in exercise nos. 2 & 3, the work assignment in this study concerns the different energy aspects:

• In the first part, the kinetic energy theorem is to be verified • In the second part, we shall study the conversion of the potential energy of gravity into kinetic

energy and vice-versa.

This work on energy is suitable for students of the last classes of Grammar School.


Same as in the exercise nos. 2 & 3.


The settings of the webcam and the shooting remain identical. Reminder: For avoiding a trajectory inclined with reference to the axis of the abscissae of the measurement marker, the webcam is inclined: a horizontal image of the bench can thus be obtained. The angle of inclination α keeps the same value:

C. Analysis of measurements: The kinetic energy theorem The objective defined is the verification of the kinetic energy theorem. We shall use the measurements of the exercise no. 2: the trolley is abandoned without initial velocity on the inclined plane.

1. Processing of images

The plotting of the successive positions of the trolley and the corresponding measurements are indicated as below:

Among the set of experimental points of the abscissa X1, we shall select two, as far away from each other as possible but for which, it is still possible to calculate a velocity: the point A (line 2) and the point B (line 13).

sin(α) = 0.218 therefore α = 12.6 °

Part of the image, choice of two particular points

A B

Tableau des mesures

A

B

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2. Calculation of velocities

a ) Definition of the velocity at a point

It is expressed by the relation already used: 1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

b ) Calculation of velocities in the Table of measurements

The calculation is made using the formula (already used) written in the cell C2 of the table on the right. The calculation is extended by clicking-sliding, in the cells C2 to C13. It is observed that the values obtained for the velocity v1 are increasing regularly. Among these results, the velocities of the points A and B are noted:

3. Kinetic energy

The kinetic energy of a rigid body of mass M whose translation velocity v is: For each of the points A and B considered:

4. Work of forces

AB is the difference of abscissae of lines 13 and 2:

On the inclined support, the balance of interactions that are exercised on the trolley show its weight P→

and the reaction R→

of the bench, perpendicular to it.

For a translation AB, the works of the forces present is written as:

Therefore:

vA = 0.333 m.s-1 and vB = 1.493 m.s-1

ΣWAB = Mg.AB.sin(α) = 2,14.M.AB = 0,787.AB

0)sin(..),cos(..),cos(.... +=+=+=Σ→→→→→→→→

αABMgABRABRABPABMgABRABPWAB

EcA = 0.055.M = 0.020 J and EcB = 1.114.M = 0.410 J

Ec = ½.M.v2 M = 0.368 kg

P→

R→

z α

G

.90),(0),cos()sin(),cos( °==→→→→→→

ofangleanisABRbecauseABRandABPBut α

AB = 0.513 - 0.015 = 0.498 m

A

B

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5. Theorem of kinetic energy

a ) Statement of the theorem:

b ) Case of points A and B:

Variation of the kinetic energy between A (date t2) and B (date t13): ΔEc = 0.410-0.020 = 0.390 J Sum of works of all the forces between these dates: ΣWAB = 0.787*0.498 = 0.392 J Note: One can express the two magnitudes as a function of the mass M and observe that their equality is independent of the value of M:

ΔEc = 1.114.M – 0.055.M = 1.059.M and ΣWAB = 2.14.M*0.498 = 1.066.M

The same work can evidently be applied to other pairs of points since all the values necessary for the calculations appear in the table of results on the previous page.

6. Conclusion

The two magnitudes ΔEc and ΣWAB coincide to nearly 0.5 %.

We can consider that the theorem of kinetic energy is verified.

In a Galilean reference system, the variation of kinetic energy of a solid body between two instants t1 and t2 is equal to the sum of works of all the forces applied on the body between the instants t1 and t2.

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D. Analysis of measurements: kinetic energy and potential energy The objective of this study is to compare the changes in kinetic and potential energies of gravity during the two phases of movement recorded during the exercise no. 3: the trolley is thrown upwards with initial velocity on the inclined plane.

1. Processing of images

Plotting the successive positions of the trolley:

2. Expressions of kinetic and potential energies of gravity

The kinetic energy of a rigid body of mass M whose translation speed v is:

The potential energy of gravity can be expressed as: The mass of the trolley is M = 0.368 kg, v is the velocity of its centre of inertia G (translation velocity) and z is the altitude of G with reference to a reference level chosen arbitrarily as nil altitude. The first point O read during the start of the trolley is taken as the nil altitude: z0 = 0. The point O is also the origin of the reading OX, axis of the abscissae of experimental points. For a given position A of the point G, at the abscissa XA on the axis of abscissae OX, its altitude is: zA = XA.sin(α), resulting in the expression:

3. Construction of the table of numerical values

The processing of images gives a table of measurements similar to that of the first page of the exercise no. 3. For calculating the velocity, we can select the derivation of the time equation. If we use the classic relation below, we can calculate the kinetic energy directly in the table:

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

In the column C2, we write the formula =(X[3]-X[1])/(t[3]-t[1]) extended up to C29.

Delayed, then accelerated rectilinear movement of the trolley

The plottings of the coloured sticker of the trolley are deliberately shifted downwards for distinguishing each phase of the movement. O

Ec = ½.M.v2

Ep = M.g.z

P→

R→

z0=0 α

G

Ep = M.g. XA.sin(α)

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The following work consists in completing the table with three new columns in which appear, for each line, the values of the kinetic energy, the potential energy of gravity and their sum. The method of work remains the same: use a formula in a cell and extend it, by clicking and sliding, to the entire column of the table. Note: It is suggested to note, as constant, the values of the mass (M=0.368 kg), the acceleration of the earth (g=9.81 m.s-2) and the sine of the angle (sinα=0.218) in the three cells on the right of the table by indicating their names M, g and sinα in the box indicating the order number of cell. This method makes the formulas easier to read in the cells. In the cell D2, we introduce a formula: =0.5*M*v1[1]*v1[1] for calculating the kinetic energy Ec and in the cell E2, the following formula: The observation of the table shows that in the columns D and E, the changes in the values of Ec and Ep are opposed:

o Till the line 2, Ec is maximum while Ep is minimum o Till the line 15, Ec reduces while Ep increases o In this line 15, Ec is nil while Ep reaches a maximum o Till the line 29, Ec increases while Ep reduces.

In the column F, the sum of two energies is represented by: We may note that this sum is almost constant, with very small deviation.

ΣE = Ec + Ep = Constant

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4. Graph of energies

a ) Representation and modelling of curves

The graphic representations of Ec, Ep, as well as their sum ΣE are shown below: The three graphs are then modelled by the functions that appear most suited to the shapes of all the points represented. Thus:

o The kinetic energy Ec is modelled by a parabola expressed as:

o The potential energy of gravity Ep is also modelled by a parabola expressed as:

o Lastly, their sum ΣE seems firstly to be modelled by a straight line of constant ordinate:

The two energies Ec and Ep coincide well with the two parabolas, significantly symmetrical. Note that (refer segments plotted on the graph) at any moment, we have:

ΣE = Ec + Ep Note: The time interval of modelling should be reduced (0.05 s and 0.140 s in the above case) for covering only the points defined in the table. We are in fact obliged to ignore the lines 1 and 30 for which the velocity v and thus the kinetic energy Ec are not defined.

Ec

Ec

Ep

ΣE

Ecm = ½.1.7.t² - 1.24.t + 0.451

Epm = - ½.1.7*t² + 1.9.t + 0.08

ΣEm = 0.437

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Page 111

b ) Real modelling of the sum of energies

When plotting a model of type ΣEm=a.t+b, we obtain: Note that the sum of the two energies, kinetic Ec and potential of gravity Ep, is not modelled by a straight line of constant ordinate but by a straight line of negative slope:

• The total conservation of mechanical energy is thus only approached. • This decrease represents the existance of friction due to the contact of the wheels of the trolley

with the running track. This is normal in a mechanical system.

Note: Other possible modellings: The expression of linear modelling allows supposing that the total energy becomes null at the end of the period, so that:

0 = - 0.023*tf + 0.453 or tf = 19.7 s. This duration seems short!! The sum of energies can be translated by other methods:

o By a parabolic model: ΣEm = ½*0.03*t² - 0.053*t + 0.453 that translates the algebraic sum of the two functions Ecm and Epm expressed in the previous page. This model is however inappropriate because it appears to suppose that with the longer period (and a longer running path), ΣE, after passing through a minimum, will start increasing again, this is aberrant because it can only be reduced.

o By a decreasing exponential model: ΣEm = 0.453*exp(-t/18.6) whose time constant is t= 18.6 s.

This last model is more satisfactory. The decrease of total energy is slower. For example, at the end of 18.6 s, the energy is still 0.453 / 2.72 =0.16 J.

ΣEm = - 0.023.t + 0.453

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Page 112

c ) Theoritical expressions of Ec and Ep as a function of time.

The case of kinetic energy Ec:

Ec= ½Mv2, or v=at+v0 that is Ec= ½M(at+v0)2 = ½M(a2*t2 + 2av0t+v02) = ½Ma2.t2 + Mav0t + ½ v0

2M

Taking into account the theoretical expression of the acceleration a=-gsin(α), the negative sign through the choice of orientation of the axis of the abscissae: The expression ½ M v0

2 appears as the value of the initial kinetic energy Ec0. With the known numerical values: M=0.368 g, g=9.81 m.s-2, sin(a)=0.218 and the value of the initial velocity v0=1.54 m.s-1 (value deduced, on the date t=0, from the modelling of the velocity v), we find: The initial kinetic energy Ec0 = 0.436 J The case of potential energy of gravity Ep:

Ep= MgXsin(α), with X = ½ at2 + v0t + X0, therefore: Ep = Mgsin(α).(½ at2 + v0t + X0) we obtain: Ep = ½ a Mgsin(α)t2 + Mgsin(α)v0t + Mgsin(α).X0

Taking into account the theoretical expression of the acceleration a=-gsin(α) The expression Mgsin(α).X0 appears as the value of reference potential energy Ep0. It is chosen as nil. With the same numerical values: M=0.368 g, g=9.81 m.s-2, sin(a)=0.218, we find:

d ) Conclusion

The theoretical expressions of Ec and Ep are quite analogous. They are complementary and their sum is equal to ΣE = Ec0 = 0.436 J: it is the energy supplied to the system by giving it a manual pulse for launching it.

We can also note that the experimental results are quite close to theoritical values and that the relative deviations are lower than 1 %.

Ec = ½.Mg2.sin(α)2.t² - Mg.sin(α).v0.t + ½ M v02

Ep = - ½.Mg2.sin(α)2.t2 + Mg.sin(α)v0t + Mg.X0sin(α).

Ec = ½.1.683.t² - 1.21.t + 0.436

Ep = - ½.1.683.t² + 1.21.t

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Exercise No. 5: Movement of a solid under constant forces

A. Objectives of the experiment The study of movement of a trolley, subjected to a set of forces equivalent to a constant force, involves two aspects:

• Define the characteristics of the movement of the trolley, in relation with the interactions that are exercised on it

• Verify the validity of the kinetic energy theorem and the conservation of mechanical energy.


The mechanics experiments bench is horizontal (check with a spirit level). The trolley is linked, by a non elastic wire of negligible mass passing over a pulley to a mass with a hook.

• A stop limit stops the trolley at the end of travel • The mass of the trolley is M = 330 g • The mass of the hook is m = 201.8 g • The pulley has an inertia that may be considered as negligible.

Note: Several trials for selecting the value of the mass m with reference to the mass M of the trolley have led to a heavier mass being preferred. This has the result of minimising the influence of the pulley whose mass (even though low) disturbs the results.

Layout of the apparatus

Stop limit Pulley

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• The trolley is abandoned without initial speed with the mass on hook in top position (at the altitude z).

• The webcam is set to 5 s of recording and for shooting 20 images per second. The aperture is 1/1000th of second (1/500th is enough if the lighting is poor). A shooting speed of 30 images per second can be used for obtaining a larger number of images.

• The movement of the trolley and the dropping of the weight m are very rapid and a high velocity is acquired. The total mass in movement is quite high: precautions have to be taken regarding the dropping of objects (safety instructions).

3. Results obtained

a ) Processing of images

Plotting the successive positions of the trolley and the measurement tables:

b ) Measurements obtained and representative curve

The set of experimental points gives the graph X=f(t) as function of time: it is shown in the following curve, with the modelling.

Observations:

o In the photograph, the horizontal trajectory is rectilinear. The 9 coordinates are increasingly separated when the moving body progresses to the right.

o On the graph, the distribution of points has a parabolic shape.

Part of the plotted image: the number of points is reduced to 9

The ordinates are those of the graph

X

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C. Analysis of measurements obtained: nature of movement 1. Modelling the curve

The parabola model is chosen. The curve obtained is shown on the previous page. The parabola Xm=f(t) obtained coincides perfectly with the experimental points. The time equation of the movement is written as follows (neglecting the ordinate of the origin):



For calculating the velocity, the classic relation is used:

1n1n

1n1nn

tt1X1X

v−+

−+

−

−=

For calculating the acceleration, a similar relation is used, based on the values of the velocity:

1n1n

1n1nn

tt1v1v

a−+

−+

−

−=

The two magnitudes are calculated using formulas similar to that of the cell D3 of the table on the right (for the acceleration a). Each calculation is extended by clicking/sliding, in the cells for which the corresponding magnitude is defined (table on the right). It is noted that the values obtained for the velocity v increase regularly but those for the acceleration an are quite identical and close to 3.6 m.s-2. The measurement no. 7 (3.1) is aberrant.

b ) Graph and modelling the velocity and the acceleration

The graphs of v and a are represented in the tab Graph (refer previous page). The modellings vm and am (without the measurement 7) give the lines of respective equations: The value 0.708 represents the velocity of the first point on the graph; this velocity v0 is the initial velocity: v0 = 0.708 m.s-1.


The acceleration, the velocity and the time equation of the movement can therefore be written as follows:

The value X0 is the initial abscissa. By the choice of the origin of axes: X0 = 0 m.

Xm = ½*3.61*t² + 0.710*t

vm = 3.63*t + 0.708 and am = 3.6 m.s-2


These equalities define the characteristics of a uniformly acceleratng movement

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4. Balance of forces The balance of forces on the trolley shows its weight P

→, the reaction R

→ of the horizontal bench,

perpendicular to it, therefore vertical and the horizontal tension T→

of the wire. The pulley, of negligible mass, changes the direction of the weight of mass m without changing its intensity: we can conclude that T = mg, weight of the mass on the hook.

In the reference (Ox, Oy), linked to a terrestrial reference system, it is observed that the sum of the two interactions is: We can therefore deduce that the set of interactions that are exercised on the trolley is equivalent to a

single force T→

so that T = mg.

5. Theoretical value of the acceleration of the system

According to the second law of Newton, the acceleration of movement can be expressed as:

that is

Theoretical value of the acceleration of the moving body: The deviation from the experimental values = 3.61 m.s-2 is:

6. Conclusion

The experimental results coincide with those of the dynamic study of the system. The movement of a moving body subjected to a constant force, assuming that the friction is negligible, is a uniformly accelerating movement.

mg = (M + m).a a)mM(TTRP→→→→→

+==++

)0,(→→→→→→→→→

=+=++ RPthereforeoppositeareRandPbecauseTTRP

ath = 3.67 m.s-2

Δa/a ≈ 1.7 %

P→

R→

T→

G

a = mg/(M+m)

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D. Analysis of measurements: kinetic energy theorem The objective of this analysis is the verification of the kinetic enrgy theorem.

1. Calculation of kinetic energies

a ) Calculation of velocities in the table of measurements

From the set of experimental points of abscissa X, we select two, as far away from each other as possible but for which, it is possible to calculate a velocity: the point A (line 2) and the point B (line 7).

The results table is completed with the columns giving the velocity and the kinetic energy useful for each line.

The columns are filled in by extension of the formula entered in the first cell to the bottom of the column (for the values that are defined). Formula of type boxed cell above for the kinetic energy. Note: As constants, the values of masses (M = 0.338 kg and m = 0.2018 kg) and the terrestrial acceleration (g = 9,81 m.s-2) in three cells to the right of the table indicate successively their names M_(1), m and g in the cell that indicates the order number of cells. This method makes the formulas easier to read in the cells. (1) The name given is M_ and not M that may be confused with m. The software does not distinguish between the capitals and small letters for the constants.

b ) Values of kinetic energies at points A and B

The kinetic energy of the trolley and the mass on the hook in translation of the same velocity v is: For each of the points A and B considered, we have:

EcA = 0.210 J and EcB = 0.864 J

Ec = ½.(M-m).v2 (M+m) ≈ 0.540 kg

The points A and B are selected

A B

Point A

Point B

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2. Work of forces

AB is the difference between the abscissae of lines 8 and 2: For a translation AB, the work of forces present is written as:

The work of weights P→

and that of the reaction of the bench R→

are nil because the two forces are perpendicular to the movement.

The expression of work of the tension T→

is deduced from the value of the angle ( T→

, AB→

) that is null and whose cosine is equal to 1.

Therefore:

3. Kinetic energy theorem

a ) Statement of the theorem

b ) Case of points A and B

Variation of the kinetic energy between A (date t2) and B (date t8): ΔEc = 0.864– 0.210 = 0.654 J Sum of works of all the forces between these dates: ΣWAB = 0.665 J The relative deviation is: (0.665-0.654)/0.665 = 0.0165 that is 1.7 %. The same work can evidently be applied to other pairs of points since all the values necessary for the calculations appear in the table of results on the previous page. However, the measurements relating to the point 8 are not correct and may be rejected.

4. Conclusion

The two magnitudes ΔEc and ΣWAB coincides to nearly 1.7 %.

We can consider that the theorem of kinetic energy is verified.

ΣWAB = mg.AB = 0.2018.9.81.0.430 = 0.665 J

AB.mg)AB,Tcos(.AB.mgAB.T00AB.TAB.RAB.PWAB ==++=++=Σ→→→→→→→→→→→→

AB = 0.375-0.039 = 0.336 m

In a Galilean reference system, the variation of kinetic energy of a solid body between two instants t1 and t2 is equal to the sum of works of all the forces applied on the solid between the instants t1 and t2.

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E. Analysis of measurements: kinetic energy and potential energy The objective of this study is to compare the changes in kinetic and potential energies of gravity during the movement.

1. Expressions of kinetic and potential energies of gravity

The kinetic energy of a rigid body of mass M whose translation speed v is: Ec = ½.M.v2. Since the system contains two bodies in translation having the same velocity v, the kinetic energy is: The potential energy of gravity:

The axis Oz of altitudes is oriented to the top. Its origin coincides with the starting position of the trolley (X=0 and z0=0). The altitudes zA and zB are negative. One can thus write in general, z = - X because the wire connecting the trolley and the mass on hook is non elastic: the two solid bodies have similar movements (except for the direction). Therefore, zA = - XA and zB = - XB. We choose as the reference level of potential energy of nil gravity the horizontal plane passing through the altitude z0. If we consider the entire system, the variation of potential energy concerns only the weight of the mass on the hook whose centre of inertia is lowered from the altitude zA to the altitude zB. The potential enrgy of the trolley remains constant during the movement.

The potential energy of gravity can be expressed as:

2. Construction of the table of numerical values

The following work consists in completing the table with two new columns in which appear, for each line, the values of the kinetic energy Ec, the potential energy of gravity Ep and their sum ΣE. The method of work remains the same: use a formula in a cell and extend it, by clicking and sliding, to the entire column corresponding to the table. For example, in the cell E1, we have introduced a formula: = m*g*X[1] for calculating the potential energy of gravity Ep, as shown in the following figure:

The analysis of the table shows that in the column F, the sum of two energies ΣE remains almost constant except for the line 8 (incorrect measurements to be rejected).

Ec = ½.(M + m).v2

Ep = mg.z = - mg.X

+z

z0= 0

Stop limit

→

O A B +X

Point A

Point B

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3. Graph of energies

a ) Representation and modelling of curves

The representations of graphs of Ec, Ep and their sum ΣE can be displayed as shown below: The three graphs are then modelled by the functions that seem most suitable to the speeds of the sets of points represented. Thus:

o The kinetic energy Ec is modelled by a parabola expressed as:

o The potential energy of gravity Ep is also modelled by a parabola expressed as:

o Lastly, their sum ΣE seems to be modelled, to start with, by a constant ordinate line:

The two energies Ec and Ep coincide well with the two parabolas, significantly symmetrical. It may be noted (refer the segments plotted on the graph) that their sum is almost constant:

ΣE = Ec + Ep

Note: the time interval of modelling should be reduced for covering only the points defined in the table. We are in fact obliged to ignore the lines 1 and 9 for which the velocity v and therefore the kinetic energy Ec are not defined. It is preferable not to include the line 8 (incorrect value) in the modelling ranges.

Ecm = ½.6.36.t² - 1.5.t + 0.129

Epm = - ½.7.15*t² - 1.41.t

ΣEm = 0.134 J

Ec

Ep

ΣE

Ep

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b ) Theoretical expressions of Ec and Ep as a function of time

The case of kinetic energy Ec:

Ec= ½.(M+m).v2, or v=at+v0 Therefore, Ec= ½.(M+m). (at+v0)2 = ½.(M+m).(a2*t2 + 2av0t+v0

2) = ½.(M+m).a2.t2 + (M+m).av0t + ½.(M+m).v0

2

Taking into account the theoretical expression of the acceleration a= mg/(M+m), the negative sign through the choice of orientation of the axis of the abscissae: The expression ½ (M+m) v0

2 appears as the value of the initial kinetic energy Ec0. With the known numerical values: M=0.338 kg, m=0.2018 kg, g=9.81 m.s-2 and those of the initial velocity v0=0.708 m.s-1 (value deduced, on the date t=0, from the modelling of the velocity v, refer page 3), we find: The initial kinetic energy Ec0 = 0,135 J, value that is merged with the value ΣE. The case of potential energy of gravity Ep : Ep= -mgX, with X = ½ at2 + v0t + X0, therefore: Ep = -mg.(½ at2 + v0t + X0) that gives

Ep = -½ a.mg.t2 - mgv0t - mg.X0 Taking into account the theoretical expression of the acceleration a=mg/(M+m) The expression mgX0 appears as the value of reference potential energy Ep0. It is chosen as nil. With the same numerical values: M=0.338 kg, m=0.2018 kg and g=9.81 m.s-2, we find:

c ) Conclusion

The theoretical expressions of Ec and Ep are quite analogous. They are complementary and their sum is equal to ΣE = Ec0 = 0.147 J: it is the energy of the system at the instant of the passing of trolley through the first point retained in the video images.

We can also note that the experimental results are quite close to theoritical values. Ecth = ½.7.26.t² + 1.40.t + 0.135; Ecexp = ½.6.36.t² - 1.5.t + 0.129; Relative deviation: 12.4 % & 4.4 % Epth = - ½.7.26.t² - 1.40.t ; Epexp = - ½.7.15*t² - 1.41.t ; Relative deviation: 1.5 % & 0.7 % ΣEth = 0.135 J ; ΣEexp = 0.134 J ; Relative deviation: 0.7 % The experimental expression of kinetic energy deviates most from the theoretical expression. The other comparisons are satisfactory.

Ec = ½.m2g2/(M+m).t² + mg.v0.t + ½.(M+m).v02

Ep = - ½.m2g2/(M+m).t² - mg.v0.t + mg.X0

Ec = ½.7.26.t² + 1.40.t + 0.135

Ep = - ½.7,26.t² - 1,40.t

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Exercise No. 6: Movement of a projectile launched vertically

A. Objectives of the experiment This first experiment of launching a projectile uses a ball launched vertically upwards by a launcher with fixed springs. There are two objectives:

• The study of time equations of the movement of the ball abandoned under its own weight in the field of gravity

• The comparison between the kinetic energy of the ball and the work of its weight. This experiment is suitable for students of the last classes of Grammar School.


• The launcher is fixed on the trolley for convenience. It is blocked by the wedges on the rails of the bench.

• The launcher should be carefully aligned vertically. This setting, using the screws placed on the support of the launcher, is described in the page 2 of exercise no. 8.

• A successful shot results in the ball falling back in the shell of the launcher.

• The test charts (magenta cross) should be perfectly installed in the vertical plane of the trajectory. They are at intervals of 0.4 m.

Note: The shots are reproducible if the launcher is solidly fixed.


• The webcam is set to 10 s of recording and shooting 20 images per second. The aperture is 1/1000th of second (1/500 may be sufficient).

• The tension of the launcher springs must be adjusted so that the final point of the trajectory of the ball remains within the field of the camera.

• An experiment can be conducted very rapidly. For avoiding incorrect inputs, it is recommended to select the images retained in a first video sequence and repeat one or more successive shots for obtaining more files.

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3. Results obtained


The use of Chronophotography (refer to first chapter) gives a sequential view of the trajectory followed by the ball: It is vertical (as shown by the dotted line).

The first position of the ball detached from the launcher is used as the origin O of the axes (OY vertically oriented to the top) and OX (not used here). The distance between the magenta crosses is 0.4 m. Plotting the positions of the ball, as a function of time, is illustrated above.

b ) Measurements obtained and the representative curve

The set of experimental points gives the graph Y=f(t) as shown below.

The distribution of experimental points has a parabolic shape.

Plotting the trajectory

Y

O

Stroboscopic observation

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Page 124

C. Analysis of measurements obtained: the nature of movement

1. Modelling the graph

The parabola model is chosen Y(t). Its graph Ym(t) is represented on the previous page. The parabola Ym=f(t) coincides perfectly with the experimental points. The time equation of the movement is written as:



The deviation of the time equation gives the velocity vY and that of the velocity vY gives the acceleration aY.

Note: It is preferable to take the derivations of the models Ym and Xm.

b ) Graph of the velocity and the acceleration

The graphs of vY and aY are represented in the tab Graph.

The two sets of points vY and aY are then modelled by vYm and aYm, two lines whose respective expressions are:

The value 3.32 is the velocity at the point of origin O, it is the initial velocity: vY0= 3.32 m.s-1.

Ym = - ½*9.79*t² + 3.32*t + 0.283

vY = - 9.79*t + 3.32 aY = - 9.79 m.s-1

vY = aY = dY and dvY dt dt

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The time equation of the movement can be generally expressed as:

These are the characteristics of a rectilinear movement with uniform variation.

4. Balance of forces and the theoretical value of the acceleration of movement

The only force that is acting on the ball when it travels its trajectory is its weight P→

. It is placed in freefall, but with an initial vertical velocity upwards. According to the second law of Newton, the acceleration of movement can be expressed as: m.aY = m.g That is, aY = - g, with g = 9.81 m.s-2, but the experimental value of aY has a value 9.79 m.s-2

The relative deviation with the experimental value is Δa/a = 0.2 %. The result is quite satisfactory. 5. Conclusion

The movement in freefall in the field of gravity with an initial upward velocity, is a vertical rectilinear movement with uniform variation.

Y = ½*aY*t² + vY0*t + Y0 vY = aY*t + vY0 aY = Constant

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Page 126

D. Analysis of measurements: energy study The pupose of this study is to compare the changes in the kinetic energy and the work of weights during the freefall described previously.

1. Expressions of kinetic energy and the work of weights

The kinetic energy of the ball of mass M and velocity vY is:

The work of its weight P→

can be expressed as: The mass of the ball is M = 0.0205 kg, vY is the velocity of its centre of inertia G.

The work of weights P→

is: WP→

= -M.g.Y Note: The sign of W P

→

comes from the scalar product negative. The final point reached by the ball is Y0 = 0.279 m.

2. Construction of table of numerical values

We go to the page Table in which are displayed only the ordinates of points Y and their velocity vY. The first horizontal line vY is already input.

It is recommended to note, as constants, in the following three lines, the values of the mass of the ball (M=0.0205 kg), the terrestrial acceleration (g=9.81 m.s-2) and the ordinate of the final point (Y0=0.279 m). This procedure makes the following formulas easier to read. We generate thus the two lines Ec = 0.5*M*vY*vY and WP = - M*g*Y The observation of the table shows that, in the columns D and E, the changes in the values of Ec and WP are identical.

Ec = ½.M.vY2

→ → WP

→ = M.g.OG

P→

→ → M.g.OG

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Page 127

Graph of two energies a ) Representation of curves

The representation of graphs of Ec and WP is shown below:

The two graphs have analogous parabolic shapes but the two sets are offset. For trying to superpose them, simply shift the curve WP by translating it towards the positive values: the origin of work of the weights passes through the final point of the ball. The work of the weights is then expressed as: Wpdec = -M.g(Y – Y0).

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Page 128

b ) Modelling the graphs

The kinetic energy Ec is modelled by a parabola expressed as: The work WP of the weight is also modelled by a parabola expressed as: Lastly, the work of weights, measured from the final point of the curve, is also modelled by a parabola:

It is observed that with a relative deviation of around 1 %, the expressions of Ecm and WPdecm are identical. The two curves are superposed almost perfectly.

c ) Conclusion

During a freefall work of the weight of the body, expressed in a suitable selected reference, is identical at all moments to its kinetic energy.

The reference system in which such an equality is produced is Galilean.

Ecm = ½.1.99.t² - 0.674.t + 0.114

WPm = - ½.1.97*t² + 0.667.t + 0.057

WPdecm = ½.1.97.t² - 0.667.t + 0.113

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Exercise No. 7 : Movement of a projectile in the field of gravity

A. Objectives of the experiment The movement of a ball launched with an initial inclined velocity can be analysed in two complementary methods:

• The study of time equations of the movement of the ball abandoned under its own weight in the field of gravity

• The study of the trajectory of the ball and its characteristics: curvature and range. This experiment is suitable for students final year of Grammar School.


The mechanics experiments bench is horizontal. The test charts (magenta cross) must be perfectly installed in the vertical plane of the trajectory. The launcher (in position inclined to left) is fixed on the bench. A transparent plastic cone fixed on a ring (to right) is used as the receptacle for the ball. Its position is adjusted by trial and error (not always easy!!) … attention when the ball falls. Note: The shots are reproducible if the launcher is solidly fixed.


• The angle of the axis of the launcher with the horizontal is noted (the inclinometer gives a reading correct to 1°). Triggering the shot with the lever does not pose any problem.

• The webcam is set to 10 s of recording and for shooting 20 images per second. The aperture is 1/1000th of second (1/500th may be sufficient). Shooting 30 images per second is preferable for obtaining a larger number of images.

• The movement is very fast, we recommend selecting the images retained and re-shooting immediately a few images so that you have several video files available.

Layout of the apparatus (photo-assembly)

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3. Results obtained


The plotting of successive positions of the ball, as a function of time:

The first experimental point to the left is the origin O of the two orthonormal axes defining a position in the Galilean reference system of the image. The vertical axis OY is oriented to the top, the horizontal axis OX to the right. The distance between the magenta crosses is 0.4 m.

b ) Measurements obtained and the representative curve

The set of experimental points gives the two graphs Y=f(t) and X=g(t) as a function of time: they are shown below, with their modelling.

Observations:

o On the graph, the distribution of points of the graph Y(t) has a parabolic shape and the distribution of X(t) is linear.

Notes on the graph

The choice of the first point of the sequence, defined in the video sequence, does not correspond to the starting point of the ball from the shell of the launcher. The initial velocity is therefore not the one communicated by the launcher at the instant of the shot. The angle α of this velocity with the horizontal is not equal to the angle of the launcher.

The plotting gives 9 experimental points

O X

Y

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E. Analysis of measurements obtained: nature of movement 1. Modelling the curve

A parabola is chosen for modelling Y(t) and a straight line for X(t). Their paths are represented on the previous page. The parabola Ym=f(t), like the straight line Xm=g(t), coincides with the experimental points. The time equations of the movement are written as follows, for each of the axes, (omitting the ordinate of the origin):



The derivatives of the time equations give the velocities vX and vY, those of the velocities give accelerations aX and aY.

Note: It is preferable to take the derivatives of models Ym and Xm.

b ) Graph of the velocity

The graphs of vx and vy are shown below.

The two corresponding curves can be expressed respectively as:

The value 1.72 is the velocity of the starting point, it is the initial velocity: vY0= 1.72 m.s-1.

Ym = - ½*9.76*t² + 1.74*t Xm = 2.11*t

vY = - 9.76*t + 1.74 vX = 2.11 m.s-1

vX = vY = et aX = aY = dXm dYm dvX dvY dt dt dt dt and

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c ) Value of the acceleration

The values obtained by derivations are as follows:


The movement is composed of two projections: o In the vertical direction: The movement varies uniformly, generally expressed as:

o In the horizontal direction: The movement is uniform, generally expressed as:

The initial coordinates Y0 = X0 =0 in the experiment (origin merged with the first point of the curve).

4. Calculation of the initial velocity and the angle of its direction from the horizontal

The value of the initial velocity is deduced from its projections at the instant t=0:

v = √ (vY02 + vX0

2) = 2.73 m.s-1 and tan(α) = vY0 / vX0 = 0.825 therefore α = 39.5 ° 5. Balance of forces and theoretical value of the acceleration of system

The only force that acts on the ball while it travels its trajectory is its weight P→

. According to the second law of Newton, the acceleration of the movement can be expressed as m.aY = m.g

That is aY = - g, with g = 9.81 m.s-2, however, the experimental value of aY is 9.76 m.s-2

The relative deviation from the experimental value is Δa/a = 0.5 %. The result is satisfactory. 6. Conclusion

The experimental results coincide with those of the dynamic study of the system.

The movement of a projectile in the field of gravity results from the superposition of a uniformly varying vertical movement on a uniform horizontal movement.


aY = - 9.76 m.s-2 aX = 0

X = v0*t + X0 vX = vX0

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F. Analysis of measurements: study of the trajectory 1. Trajectory Y = f(X)

a ) Obtaining directly the curve Y = f(X)

The modelling by a Parabola gives the following representation:

The model YTm can be expressed as:

b ) Theoretical expressions of the trajectory

Based on the theoretical time equations of the movement, we obtain:

The initial coordinates Y0 = X0 =0 in the experiment (origin merged with the first point of the curve).

We note that v0.cos(α) = vX0.

The experimental values obtained on the previous pages are: vX0 = vX = 2,11 m.s-1 and tan(α) = 0.825

That is, g/(v02.cos(α)2) = g/vX0

2 = 2.20 m-1

The angle α=39.5 ° is represented on the above graph.

YTm = - ½*2.21*X² + 0.836*X

YTth = -½*g/(v02.cos(α)2)*X² + tan(α)*X

α=39,5 °

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c ) Comparison of results

The comparison of the theoretical and experimental values gives relative deviations of: 0.3 % for the coefficient of X2 and 1.3 % for the coefficient of X.

2. Characteristics of the trajectory YT = f(X)

a ) Experimental determination of the curvature and the range

The curvature is the ordinate of the final point reached by the projectile. The range is the farthest point reached (for a null ordinate). The experimental values of these two magnitudes are measured in the following figure by the coordinates of the cursor, displayed at the bottom of the screen.

The curvature and the range have the following values: YTmax = 0.158 m and Xmax = 0.757 m.

b ) Comparison with the theoretical values (with α = 39.5 ° and v0 = 2.73 m.s-1).

The curvature can be expressed theoretically as: ymax = v02.sin(α)2/2g. Numerically as, ymax = 0.154 m.

The range can be expressed theoretically as: xmax = v02.sin(2α)/g. Numerically as, xmax = 0.746 m.

The relative deviations from the measurements obtained on the curves are respectively: 2.5 % and 1.5 %.

YTmax

Xmax

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Exercise No. 8 : Movement of a projectile launched from a moving

body A. Objectives of the experiment In this experiment, a ball is launched vertically, using a spring launcher installed on a trolley in uniform rectilinear movement on the mechanics experiments bench.

• In the first part, the trajectory of the ball is studied from two points of view: either in a marker linked to the experimental room or in a marker linked to the trolley in movement.

• The second part, for the same shot, covers the study of time equations of the movement of the ball in the marker linked to the experimental room.

The first part of this experiment is more suitable for the final years students of Grammar School while the second part (along with the interpretation of the equation of the trajectory) is recommended for senior students.

B Conducting the experiment 1. Experimental set up

The mechanics experiments bench is horizontal. The test charts (magenta crosses) should be installed in the vertical plane of the trajectory. The launcher is fixed on the trolley. For viewing its movement, a yellow sticker is placed on the rod of the launcher (in the same plane as the test charts). A second launcher, fixed to the left on the mechanics experiments bench allows launching the trolley to the right, with an adjustable velocity.

Note: The shots are reproducible if the two launchers are correctly fixed.


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B

2A

1

Lever


a ) Adjustment of the launcher

The launcher fixed on the trolley must be carefully aligned vertically. It is necessary that the ball falls back into the shell of the launcher from which it was launched. For this purpose, the launcher is mounted on a horizontal plate provided with setting screws. The screws 1 and 2 maintain the support plate on the trolley. The screw A adjusts the vertical alignment front to back. The screw B adjusts the vertical alignment left to right. If this setting is precise, the ball falls back into the shell of the launcher, a few decimetres further! Before starting the trolley, its launcher is tensioned; the ball is placed in the shell. When the trolley is launched, a rod fixed on the mechanics experiments bench tilts during its passage the lever of the launcher: the ball is launched upwards.

b ) Setting of the webcam

The webcam is set for 10 s of recording and for shooting 20 images per second. The aperture is 1/1000th of second.

C Study of the trajectory according to the marker used

1. Setting of parameters

For studying the trajectory of the ball, the Généris 5 Plus software has to be configured according to the case to be studied: with reference to the experimental room or with reference to the trolley.

Select the representation of curves Y(X).

Select the plotting of two points: one of them at the centre of the yellow sticker of the launcher (point 1), and the other at the centre of the magenta ball (point 2).

We now have to select the mode of representation: o “With reference to the origin”: For obtaining the graph of the trajectories YT2(X) and

YT1(X), respectively travelled by the ball and the trolley, in the marker linked to the origin of the movement, fixed with reference to the observer (the experimental room).

o “With reference to the moving point no. 1”: For obtaining the graph of the trajectory YT2(X) in the marker linked to point 1, that is, in a marker linked to the moving trolley.

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2. Results obtained


The use of Stroboscope function is suggested for this experiment (explanations in the first chapter). The figure obtained is shown below:

The observation of the figure shows the trajectories followed by the two stickers, yellow and magenta. After travelling with the launcher tensioned (first three images, with the magenta half-circles, because the ball is in the shell of the launcher), the shot takes place. If we plot the white vertical lines (added on the screen shot), it is observed that the two images of the stickers are always on the same vertical at the same moment. It is also seen that the ball falls back in the shell of the launcher, rebounds and makes a second arc of the trajectory before being immobilised in the shell.

For entering the coordinates of the points 1 and 2, the above view on right shows the sequence.

• The origin O of the two orthonormal axes of the marker is chosen in the first point of the trajectory of point no. 1, observable after the shot (refer to figure).

• The vertical axis OY is oriented upwards, the horizontal axis OX to the right. The distance between the magenta crosses is 0.4 m.

• We limit the entry of point no. 1 and point no. 2 to the first arc of the trajectory (10 pairs of measurements).

b ) Measurements obtained and the representative curves

Depending on the parameterisation of images, two types of curves can be obtained.

First case: Trajectory in a marker linked to the laboratory room (fixed with reference to the observer).

The set of experimental points gives the two graphs YT1=f(X) and YT2=g(X) as a function of the abscissa X: they are shown in the curve of the following page, with their modelling. On the graph, the shapes of groups of points lead to the modelling of the trajectory YT1=f(X) of the trolley by a straight line and the trajectory YT2=g(X) of the ball by a parabola. The models of curves YT1m(X) and YT2m(X) are as equations:

The equation of YT2m shall be studied again and interpreted later.

Stroboscopic observation Pointing of the two trajectories

Point no 1

Point no 2

Y

O X

YT2m = - ½*22.1*X² + 3.24*X + 0.053 YT1m = 0

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First case: Trajectory in a marker linked to the room (fixed with reference to the observer).

As with the stroboscope in the previous page (containing the representation of images!), any line parallel to the axis of the ordinates (vertical line), the abscissa merged with a point of graph 1, also passes through the point 2 entered on the same date.

Second case: Trajectory in a marker linked to the trolley (moving with reference to the observer).

The trajectory YT2=g(X) is a straight line in vertical direction (subject to plotting errors).

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3. Conclusion

The nature of the trajectory varies:

• If the marker is linked to the class room (reference system fixed with reference to the experimental), the trajectory of the ball is a parabolic curve.

• If the marker is linked to the trolley (reference system mobile with reference to the experimental), the trajectory of the ball is a vertical line. It is the trajectory of a ball launched vertically upwards in a fixed reference system (case of exercise no. 6).

The trajectory of a body in the field of gravity depends on the reference system in which it is observed.

G. Study of the nature of movement 1. Setting of parameters and processing the images

The purpose of the 2nd part is to establish the time equations of the movement of the ball in the marker linked to the laboratory room. It is therefore necessary to re-establish the default parameters. With these new settings, the plotting (identical to the first part) gives the coordinate of a point of the ball. The measurements are then expressed as a function of time for each point measured: Y(t) and X(t).

2. Graphic representation of measurements obtained and modelling

The coordinates of the ball are represented in the following figure, as a function of time.

We select a parabola for modelling a Y(t) – for the points corresponding to the movements of the ball under its own weight – and a straight line for X(t). Their paths are represented above.

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The parabola Ym=f(t), like the straight line Xm=g(t), coincides with the experimental points. The time equations of the movement are written as follows for each of the axes:

3. Velocity and acceleration of the moving object


The derivations of the time equations give the velocities vX and vY, those of the velocities give the accelerations aX and aY.

Note: It is preferable to take the derivative of models Ym and Xm.

b ) Graph of velocities

The graphs of vX and vY are shown below.

The two curves can be expressed respectively as follows:

The value 3.62 is the initial velocity communicated by the release of the launcher: vY0= 3.62 m.s-1.

c ) Value of the acceleration

The values obtained by derivation are as follows:

Ym = - ½*9.79*t² + 3.62*t – 0.38 Xm = 0.666*t – 0.1

vY = - 9.79*t + 3,62 vX = vX0 = 0.666 m.s-1

aY = - 9.79 m.s-2 aX = 0

vX = vY = et aX = aY = dXm dYm dvX dvY dt dt dt dt and

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All the characteristics expressed in the previous pages are identical to those of the parabolic movement of a ball launched with an initial inclined velocity (cf. exercise no. 7). The projections on two axes, vertical and horizontal, have the same time equations:

o In the vertical direction: The movement is uniformly varying of type:

o In the horizontal direction: The movement is uniform, expressed generally as: By following the analogy, we can establish the following equalities:

a ) Value of the inclined angle α on the date of the shot

On the following curves, we note that the date of the shot is t1 = 0.150 s.

The vertical velocity on this date is vY1 = 2.15 m.s-1. The tangent of the angle α of the shot is therefore: tan(α) = vY1 / vX1 = vY1 / vX0 = 2.148/0,666 = 3.23 that is, α = 72.8 °

b ) Theoretical expression of the trajectory in the reference system “laboratory room”

The theoretical equation of the trajectory in a marker is written as OY, OX (cf. exercise no. 6): We note that v0.cos(α) = vX0 = 0.666 m.s-1 and that tan(α) = 3.23.

With g = 9.81 m.s-2, we obtain g/(v02.cos(α)2) = g/vX0

2 = 22.1 m-1. Therefore, numerically, knowing the ordinate of the first point is 0.053 m (cf. curve YT(X)):


X = vX0*t + X0 vX = vX0

YT2th = -½*g/(v02.cos(α)2)*X² + tan(α)*X + Y0

t1

vY1

YT2th = - ½*22.1*X² + 3.23*X + 0.053

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The experimental values obtained at the end of the first part are:

The equation of the trajectory YT2m = f(X) thus translates correctly the time equations on which its expression is based.

5. Balance of forces and theoretical value of the acceleration of the system

As with the parabolic movement of the inclined shot, the acceleration of the time equation is aY = - g, with g = 9.81 m.s-2, however, the experimental value of aY is 9.79 m.s-2

The relative deviation from the experimental value is ΔaY/aY = 0.2 %. The result is satisfactory.

6. Conclusion

The horizontal velocity communicated to the ball can originate either from the inclined launcher or from the velocity of the carrying trolley: the origin of this velocity has no effect on the nature of the subsequent movement.

When the ball has been launched vertically from the trolley in uniform horizontal rectilinear movement, there are no means, in a reference system linked to the laboratory room, for distinguishing its trajectory from that resulting from an inclined shot.

YT2m = - ½*22.1*X² + 3.24*X + 0.053

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Exercise No. 9: Collision between two solid bodies

A. Objectives of the experiment

The objective of these experiments is to verify whether the quantity of movement and the kinetic energy of a system are conserved during a collision between the two solid bodies composing it. Several types of collisions shall be successively produced and analysed:

• Two elastic collisions, one or both solid bodies in movement before the collision • Two collisions with incrustation, one or both solid bodies in movement before the collision • A splitting of a system of two solid bodies, combined and immobile before the collision.

The masses of the two solid bodies may be identical or different.

The level of this experiment is suitable for secondary school classes.

B. Conducting the experiment 1. Experimental set up common

The same set up is used for each experiment with a few variations. The mechanics experiments bench is horizontal (check with a spirit level). Two trolleys are used, fitted with different stop limits depending on the type of collision to be illustrated: on the photograph, we use two stop limits with rubber dampers, mounted facing each other on the trolleys. A different coloured sticker is placed on each of the trolleys for distinguishing them. The mass of a trolley varies according to the stop limit and extra weights, if any, placed on it. A platform balance accurate to 0.1 g is strongly recommended for obtaining the precise value of each mass. The bumper to the left of the mechanics experiments bench is fitted with a horizontal spring launcher allowing reproducible launches of the trolley. If two trolleys are used, the second shall be installed to the right for the same purpose. The test charts (magenta crosses) are placed horizontally in the plane of the coloured stickers. Their interval is 0.40 m.


• In all the experimental variations, the direction of movements (and therefore of velocities) is determined: It is the horizontal rectilinear direction of the mechanics experiments bench.

• It is preferable to work with sufficient velocities: for example, the trolley is launched by the launcher tensioned on the graduation 6 or more.

• The webcam is set for 10 s of recording and 20 images per second. The aperture is 1/500th of a second.

• If both the trolleys are in movement, the experiment requires two experimenters.

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Page 144

3. Equivalent processing of images

Whatever the type of experiment conducted, the video images are processed in the same manner.

a ) Editing the image sequences

It is necessary to select the number of images retained in the shooting sequence. This number of images that precede and follow the collision should not be very large (4 to 6 for example):

o The trolleys are in uniform rectilinear movement before and after the collision. Their velocities are constant (sometimes nil) and a few images, just before and after the collision, are sufficient for determining them.

o Too many images, with a low but real reduction of the velocity due to friction, risk resulting in erroneous modelling of the velocities.

b ) Setting the parameters

The default choices should be modified for a plotting with two points: the centres of two stickers, yellow and magenta on the two trolleys. We now have to select the mode of representation with reference to the origin for obtaining the path of the trajectories X1(t) and X2(t) of the trolleys in the marker linked to the origin of the movement (fixed with reference to the observer, the experimental room).

c ) Processing of images

The plotting, on the video images, of the successive positions of the two trolleys in movement is shown below:

d ) Graphic representation

The experimental points represent, by linear shapes, the abscissae of each of the solid bodies before and after the collision (or splitting). The modelling of these sets, according to two portions for each solid body, results in the time equations of each trajectory, of type: The direction coefficient of each part defines the corresponding velocity of the trolley considered. The algebraic value of the velocity indicates the direction of movement.

Note: If it appears clearly, during a period of time, that the velocity reduces in a portion of the curve, its modelling should be restricted to a smaller interval close to the date of the collision.

Notes on the photograph The solid object no. 1 is the left hand trolley (magenta) and the no. 2 is the right hand trolley (yellow).

The choice of the first point of the solid body no. 1 is defined as the origin of the abscissae. The axis OX is oriented to the right.

Plotting the positions of two trolleys

O X

Y

x1 = v1*t + b

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C 1st case: Collision with rebound 1. Particular experimental conditions

• The two trolleys have the same mass: M1 = M2 = 0.364 kg. • One of the trolleys (no. 2) is immobile in the centre of the bench. The other trolley (no. 1) is

launched (spring launcher) from the left. • Both the trolleys are fitted with rubber dampers. 2. Graphic representation and analysis of results

a ) Representative curve

The set of experimental points is modelled by the four segments of lines, for the trolleys no. 1 and 2, before and after the collision: x1 and x’1; x2 and x’2. Results: The direction coefficients of the four lines give the following velocities:

b ) Quantity of movement p and kinetic energy Ec of the entire system:

3. Conclusion

It is observed that there is no conservation of the quantity of movement with a precision of 2.1 % There is no complete conservation of the kinetic energy: the deviation corresponds to a loss of energy of 22 % transformed into heat. The collision is only partly elastic.

Before the collision After the collision

v1 = 0.775 m.s-1 v2 = 0 m.s-1 v’1 = 0.080 m.s-1 v’2 = 0.678 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = 0.282 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = 0.276 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0.109 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0.085 J

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C 2nd case: Other collision with rebound 1. Experimental conditions

• The two trolleys have different masses: M1 = 0.567 kg and M2 = 0.367 kg • The two trolleys are launched against each other with similar velocities. • Both the trolleys are fitted with rubber dampers. 2. Graphic representation and analysis of results


The set of experimental points is modelled by the four segments of lines, for the trolleys no. 1 and 2, before and after the collision: x1 and x’1; x2 and x’2.

Note: The trolley no. 1 is immobilised almost immediately after the collision!!

Results: The direction coefficients of the four lines give the following velocities:


3. Conclusion

It is observed that there is conservation of the quantity of movement with the precision of 2 % There is no conservation of the kinetic energy. The energy loss is 83 % that is converted into thermal energy in the system. The collision is only slightly elastic.


v1 = 0.663 m.s-1 v2 = - 0.621 m.s-1 v’1 = - 0.0115 m.s-1 v’2 = 0.428 m.s-1



Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0.195 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0.034 J

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D 3rd case: Collision with incrustation 1. Experimental conditions

• The two trolleys have the same mass: M1 = M2 = 0.389 kg • One of the trolleys (no. 2) is immobile in the centre of the bench. The other trolley (no. 1) is

launched (spring launcher) from the left. • The two trolleys are fitted with stop limits in Velcro that attach each trolley to the other. 2. Graphic representation and analysis of results


The four segments of lines before and after the collision: x1 and x’1; x2 and x’2 are shown below:

Note: The system is immobilised almost immediately after the collision!!



3. Conclusion

It is observed that there is precise conservation of the quantity of movement. During the collision, almost all the kinetic energy (99.8 %) is absorbed by the system in the form of thermal energy. The collision is totally inelastic.


v1 = 0.518 m.s-1 v2 = - 0.566 m.s-1 v’1 = - 0.024 m.s-1 v’2 = - 0.024 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = - 0.0187 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = - 0.0187 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0.114 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 2.2.10-4 J

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Page 148

E 4th case: Other collision with incrustation 1. Experimental conditions

• The two trolleys have different masses: M1 = 0.367 kg and M2 = 0.567 kg • One of the trolleys (no. 2) is launched from the centre of the bench with a low velocity. The other

trolley (no. 1) is launched in the same direction with a higher velocity and catches up with it. • The two trolleys are fitted with stop limits in Velcro that attach each trolley to the other. 2. Graphic representation and analysis of results


The four segments of lines before and after the collision: x1 and x’1; x2 and x’2 are shown below:

Note: The two trolleys have the same velocity after the collision.



3. Conclusion

It is observed that there is conservation of the quantity of movement approximate to 8.4 %. A large part of the kinetic energy (37 %) is absorbed by the system, in the form of thermal energy. The collision is inelastic.


v1 = 0.728 m.s-1 v2 = 0.230 m.s-1 v’1 = 0.39 m.s-1 v’2 = 0.39 m.s-1



Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0.112 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0.071 J

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Page 149

H. 5th case: Splitting of a solid body into two parts 1. Experimental conditions

• The mass of the trolleys is M1 = M2 = 0.407 kg • The two trolleys are fitted with magnetic stop

limits that repulse each other. • They are joined by a nylon thread tightened as

close as possible to each other (the operation is quite delicate). They are immobile before the collision.

• The splitting is obtained by burning the thread. Note: Another possibility is to install a launcher on the front of one of the trolleys, placed against each other. The splitting takes place by activating the trigger of the launcher under tension.

2. Graphic representation and analysis of results


The four segments of lines before and after the collision: x1 and x’1; x2 and x’2 are shown below: Results: The direction coefficients of the four lines give the following velocities:



v1 = 0 m.s-1 v2 = 0 m.s-1 v’1 = 0.185 m.s-1 v’2 = - 0.192 m.s-1


p = M1v1+M2v2 p = 0 kg.m.s-1 p’ = M1v’1+M2v’2 p’ = - 2.8.10-3 kg.m.s-1

Ec=½ M1v12+½ M2v2

2 Ec = 0 J Ec’=½ M1v’12+½ M2v’22 Ec’ = 0.0145 J

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3. Conclusion

It is observed that the two trolleys repulse each other with almost opposing velocities. Considering the quantity of movement acquired by each of them:

p’1 = M1v’1 = 0.0753 kg.m.s-1 and p’2 = M2v’2 = 0.0781 kg.m.s-1 There is conservation of the quantity of movement. In fact, if we compare the quantity of movement of each trolley after the collision, the relative deviation between the two opposing values is 3.6 %. We note the appearance of a kinetic energy originating from the magnetic energy applied during the repulsion. The collision is inelastic.

In general, by observing the experimental results obtained, we can draw the following conclusions: • During a collision, the quantity of movement is always conserved. • The kinetic energy is transferred in a highly variable manner, from a large proportion (elastic

collision) to a nil proportion (totally inelastic collision). The first case is produced when elastic materials (rubber) are in contact with the point of impact, the second case occur, during the combination (or incrustation) of the solid bodies in collision.

• The ideal case of a perfectly elastic collision, with total conservation of the quantity of movement and the kinetic energy, is not seen in the macroscopic domain. This case can only be approached by selecting highly elastic materials.

In the microscopic domain however, the collisions between particles are perfectly elastic in numerous cases and the two magnitudes are conserved.

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