Mecanique de Lagrange

LA MECANIQUE DE LAGRANGE

OLIVIER CASTERA

Resume. La mecanique de Lagrange est une extension aux coor-

donnees generalisees du principe des travaux virtuels applique a la

dynamique.

Table des matieres

1. Demonstration des equations de Lagrange 12. Applications 42.1. Double plan incline 42.2. Poulies coaxiales 52.3. Pendule a ressort 62.4. Pendule double 7

1. Demonstration des equations de Lagrange

Avant d’appliquer le principe des travaux virtuels, nous devons elimi-ner les deplacements virtuels qui sont lies entre eux par des contraintes 1.Lorsque toutes les equations de liaison entre les deplacements virtuelssont holonomes, ces deplacements virtuels s’expriment en fonction descoordonnees generalisees qj. Nous pouvons alors directement egaler azero les coefficients devant les δqj, ces coordonnees etant independan-tes :

m∑

i=1

[(pi − F i).δri] = 0

m∑

i=1

[

(miri − F i) .n∑

j=1

∂ri

∂qjδqj

]

= 0

n∑

j=1

(

m∑

i=1

miri.∂ri

∂qj−

m∑

i=1

F i.∂ri

∂qj

)

δqj = 0

n∑

j=1

{

m∑

i=1

[

d

dt

(

miri.∂ri

∂qj

)

−miri.d

dt

(

∂ri

∂qj

)]

−Qj

}

δqj = 0 (1)

Date: 26 octobre 2010.

1. Voir Travaux virtuels.pdf

1

2 OLIVIER CASTERA

Faisons apparaıtre les vitesses vi dans l’equation (1). Dans le terme pi,le deplacement est reel, donc fonction du temps :

ri = ri (q1, q2, . . . , qn, t)

La differentielle totale exacte est alors :

dri =n∑

j=1

∂ri

∂qjdqj +

∂ri

∂tdt

dri

dt=

n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t

ou les qj sont les composantes des vitesses generalisees. La differentielletotale exacte du vecteur vitesse s’ecrit de deux facons. La premiere :

dvi = d

(

dri

dt

)

= d

(

n∑

j=1

∂ri

∂qjqj +

∂ri

∂t

)

=n∑

j=1

[

qj d

(

∂ri

∂qj

)

+∂ri

∂qjdqj

]

+ d

(

∂ri

∂t

)

(2)

et la seconde facon :

vi = vi (q1, q2, . . . , qn, t)

dvi =n∑

j=1

∂vi

∂qjdqj +

∂vi

∂tdt (3)

En egalant les coefficients devant les dqj dans les relations (2) et (3),nous avons la premiere relation cherchee :

∂ri

∂qj=

∂vi

∂qj

Pour la seconde relation, nous avons :

d

dt

(

∂ri

∂qj

)

=1

dt

(

n∑

k=1

∂2ri

∂qk∂qjdqk +

∂2ri

∂t∂qjdt

)

=n∑

k=1

∂2ri

∂qk∂qjqk +

∂2ri

∂t∂qj(4)

LA MECANIQUE DE LAGRANGE 3

et,

∂

∂qj

(

dri

dt

)

=∂

∂qj

(

n∑

k=1

∂ri

∂qkqk +

∂ri

∂t

)

=n∑

k=1

(

∂2ri

∂qj∂qkqk +

∂ri

∂qk

∂qk∂qj

)

+∂2ri

∂qj∂t(5)

Comparons les relations (4) et (5). Les coordonnees etant indepen-dantes, nous pouvons intervertir les derviations partielles par rapportaux qj et aux qk. De meme nous pouvons intervertir les derivationspartielles par rapport aux coordonnees et par rapport au temps. Deplus, nous supposons que les vitesses generalisees ne sont pas fonctiondes coordonnees generalisees. Le terme ∂qk/∂qj est donc suppose nul.Nous obtenons la seconde relation cherchee :

d

dt

(

∂ri

∂qj

)

=∂

∂qj

(

dri

dt

)

=∂vi

∂qj

autrement dit, nous pouvons intervertir la derivation totale par rap-port au temps et la derivation partielle par rapport aux coordonneesgeneralisees. L’equation (1) s’ecrit maintenant :

n∑

j=1

{

m∑

i=1

[

d

dt

(

mivi.∂vi

∂qj

)

−mivi.∂vi

∂qj

]

−Qj

}

δqj = 0

n∑

j=1

(

d

dt

m∑

i=1

mivi.∂vi

∂qj−

m∑

i=1

mivi.∂vi

∂qj−Qj

)

δqj = 0

n∑

j=1

[

d

dt

(

∂

∂qj

m∑

i=1

1

2miv

2

i

)

−∂

∂qj

m∑

i=1

1

2miv

2

i −Qj

]

δqj = 0

En notant T l’energie cinetique,n∑

j=1

[

d

dt

(

∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj−Qj

]

δqj = 0

Les δqj etant independants, nous avons :

∀j = 1, . . . , nd

dt

(

∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj−Qj = 0

Si les forces derivent d’un potentiel V , nous avons vu que 2 :

Qj = −∂V

∂qj

2. Voir Travaux virtuels.pdf

4 OLIVIER CASTERA

nous avons,

∀j = 1, . . . , nd

dt

(

∂T

∂qj

)

−∂T

∂qj=

∂V

∂qj

et si le potentiel V ne depend pas des vitesses generalisees,

V (r1, r2, . . . , rn, t)

(s’il depend du temps le systeme est non conservatif), on peut ajouterle terme nul ∂V/∂qj :

∀j = 1, . . . , nd

dt

[

∂(T − V )

∂qj

]

−∂(T − V )

∂qj= 0

En appelant L∆= T − V la fonction de Lagrange ou Lagrangien, on

obtient les n equations de Lagrange, dites aussi de Euler-Lagrange :

∀j = 1, . . . , nd

dt

(

∂L

∂qj

)

−∂L

∂qj= 0 (6)

Si les forces derivent d’un potentiel U , appele potentiel generalise,

Qj =d

dt

(

∂U

∂qj

)

−∂U

∂qj

nous avons :

∀j = 1, . . . , nd

dt

[

∂(T − U)

∂qj

]

−∂(T − U)

∂qj= 0

et le Lagrangien s’ecrit alors L = T − U . De part sa definition, le La-grangien est independant du choix des coordonnees generalisees, maisdepend du choix de l’origine des potentiels. Contrairement aux equa-tions de Newton, les equations de Lagrange sont decouplees : les va-riables sont separees.

Remarque. En 1696, Jean Bernoulli resoud le probleme de la Brachis-tochrone. En 1736, Euler trouve la solution generale a ce problemed’extremum de fonctionnelle, sous la forme d’equations differentielles.En 1788, Lagrange enonce les equations (6) de la mecanique. Elles sontsemblables aux equations trouvees par Euler. Ce n’est qu’en 1833 queHamilton fera le lien, montrant que la mecanique derive d’un principevariationnel.

2. Applications

2.1. Double plan incline. Deux masses m1 et m2 sur un double planincline sont reliees entre elles par un fil de longueur constante C passantpar une poulie. Les masses se deplacent sans frottements. Quelle estl’equation du mouvement ?


α1 α2

P 1 P 2

L1 L2

Figure 1. Double plan incline

Le systeme est soumis a la liaison holonomique :

L1 + L2 − C = 0

δL1 + δL2 = 0

L1 + L2 = 0

Il n’y a qu’un seul degre de liberte, donc une seule coordonnee genera-lisee L1. Le Lagrangien s’ecrit :

L = T − V

=1

2m1L

2

1+

1

2m2L

2

2− (−m1gL1 sinα1 −m2gL2 sinα2)

=1

2(m1 +m2)L

2

1+ g [m1L1 sinα1 +m2(C − L1) sinα2]

L’equation de Lagrange s’ecrit :

d

dt

(

∂L

∂L1

)

=∂L

∂L1

(m1 +m2)L1 = g (m1 sinα1 −m2 sinα2)

L1 = gm1 sinα1 −m2 sinα2

m1 +m2

2.2. Poulies coaxiales. Soient deux poulies coaxiales, de rayon R1

et R2, supportant les poids P 1 et P 2. Quelle est l’equation du mouve-ment ?On choisi le centre des poulies coaxiales pour origine des potentiels :

V = −m1gh1 −m2gh2

= −g [m1(C1 +R1ϕ) +m2(C2 −R2ϕ)]

Le Lagrangien s’ecrit :

L = T − V

=1

2m1R

2

1ϕ2 +

1

2m2R

2

2ϕ2 + g[m1(C1 +R1ϕ) +m2(C2 −R2ϕ)]

6 OLIVIER CASTERA

P 1

P 2

δϕ

R1

R2

Figure 2. Poulies coaxiales

L’equation de Lagrange s’ecrit :

d

dt

(

∂L

∂ϕ

)

=∂L

∂ϕ

(m1R2

1+m2R

2

2) ϕ = g (m1R1 −m2R2)

ϕ = gm1R1 −m2R2

m1R21 +m2R2

2

2.3. Pendule a ressort. Soit une masse m accrochee a un pendulede longueur ρ, constitue d’un ressort. Soit F = −k(ρ− ρ0) la force derappel du ressort. Quelle est l’equation du mouvement ?

m

ρ

θ

Figure 3. Pendule a ressort


Il y a deux degres de liberte, donc deux coordonnees generalisees, ρet θ. En coordonnees polaires, la vitesse s’ecrit 3 :

v = ρeρ + ρθeθ

Le Lagrangien s’ecrit :

L =1

2mρ2 +

1

2mρ2θ2 −

[

−mgρ cos θ −1

2k(ρ− ρ0)

2

]

=1

2mρ2 +

1

2mρ2θ2 +mgρ cos θ +

1

2k(ρ− ρ0)

2

Nous avons deux equations de Lagrange, une pour chaque coordonneegeneralisee :

d

dt

(

∂L

∂ρ

)

−∂L

∂ρ= 0

d

dt

(

∂L

∂θ

)

−∂L

∂θ= 0

La premiere donne :

d

dt(mρ) = mρθ2 +mg cos θ − k(ρ− ρ0)

ρ = ρθ2 + g cos θ −k

m(ρ− ρ0)

La seconde donne :

d

dt

(

mρ2θ)

= −mgρ sin θ

2mρρθ +mρ2θ = −mgρ sin θ

θ =−g sin θ − 2ρθ

ρ

2.4. Pendule double. Trouver l’equation du mouvement du penduledouble de la figure 4.Cherchons l’expression du Lagrangien, donc de l’energie cinetique

et potenielle, en fonction des coordonnees generalisees. Il y a deuxcoordonnees generalisees, θ1 et θ2, associees aux deux degres de libertedu systeme. Ceci suggere de passer en coordonnees polaires. Cependant,il est plus simple d’exprimer la position de la masse m2 en coordonneescartesiennes. Les positions r1 et r2 des masses m1 et m2 s’ecriventrespectivement :

{

r1(x1, y1) = r1(ρ1 cos θ1, ρ1 sin θ1)

r2(x2, y2) = r2(ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2, ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2)

3. Voir Le probleme de Kepler.pdf

8 OLIVIER CASTERA

m1

ρ1

θ1m2

ρ2

θ2

Figure 4. Pendule double

et leurs vitesses :{

v1(x1, y1) = v1(−ρ1θ1 sin θ1, ρ1θ1 cos θ1)

v2(x2, y2) = v2(−ρ1θ1 sin θ1 − ρ2θ2 sin θ2, ρ1θ1 cos θ1 + ρ2θ2 cos θ2)

Les vitesses au carre des masses m1 et m2 s’ecrivent en coordonneescartesiennes :

{

v21= x2

1+ y2

1

v22= x2

2+ y2

2

et en coordonnees polaires :

v21= ρ2

1θ21sin2 θ1 + ρ2

1θ21cos2 θ1

= ρ21θ21

et,

v22= ρ2

1θ21sin2 θ1 + ρ2

2θ22sin2 θ2 + 2ρ1θ1 sin θ1ρ2θ2 sin θ2

+ ρ21θ21cos2 θ1 + ρ2

2θ22cos2 θ2 + 2ρ1θ1 cos θ1ρ2θ2 cos θ2

= ρ21θ21+ ρ2

2θ22+ 2ρ1θ1ρ2θ2(sin θ1 sin θ2 + cos θ1 cos θ2)

= ρ21θ21+ ρ2

2θ22+ 2ρ1ρ2θ1θ2 cos(θ1 − θ2)

Nous en deduisons l’expression de l’energie cinetique :

T =1

2m1v

2

1+

1

2m2v

2

2

=1

2m1ρ

2

1θ21+

1

2m2

[

ρ21θ21+ ρ2

2θ22+ 2ρ1ρ2θ1θ2 cos(θ1 − θ2)

]

=1

2(m1 +m2)ρ

2

1θ21+

1

2m2

[

ρ22θ22+ 2ρ1ρ2θ1θ2 cos(θ1 − θ2)

]


On prend le point d’ancrage du double pendule comme origine despotentiels :

V = −m1gρ1 cos θ1 −m2g(ρ1 cos θ1 + ρ2 cos θ2)

= −(m1 +m2)gρ1 cos θ1 −m2gρ2 cos θ2

d’ou le Lagrangien suivant :

L =1

2(m1 +m2)ρ

2

1θ21+

1

2m2

[

ρ22θ22+ 2ρ1ρ2θ1θ2 cos(θ1 − θ2)

]

+ (m1 +m2)gρ1 cos θ1 +m2gρ2 cos θ2

Il y a une equation de Lagrange par coordonnee generalisee :

d

dt

(

∂L

∂θ1

)

−∂L

∂θ1= 0

d

dt

(

∂L

∂θ2

)

−∂L

∂θ2= 0

Or :

∂L

∂θ1= −m2ρ1ρ2θ1θ2 sin(θ1 − θ2)− (m1 +m2)gρ1 sin θ1

∂L

∂θ1= (m1 +m2)ρ

2

1θ1 +m2ρ1ρ2θ2 cos(θ1 − θ2)

∂L

∂θ2= m2ρ1ρ2θ1θ2 sin(θ1 − θ2)−m2gρ2 sin θ2

∂L

∂θ2= m2ρ

2

2θ2 +m2ρ1ρ2θ1 cos(θ1 − θ2)

Les equations de Lagrange s’ecrivent :

(m1 +m2)ρ2

1θ1 +m2ρ1ρ2θ2 cos(θ1 − θ2)

−m2ρ1ρ2θ2(θ1 − θ2) sin(θ1 − θ2)

= −m2ρ1ρ2θ1θ2 sin(θ1 − θ2)− (m1 +m2)gρ1 sin θ1

m2ρ2

2θ2 +m2ρ1ρ2θ1 cos(θ1 − θ2)−m2ρ1ρ2θ1(θ1 − θ2) sin(θ1 − θ2)

= m2ρ1ρ2θ1θ2 sin(θ1 − θ2)−m2gρ2 sin θ2

soit,

(m1 +m2)ρ2

1θ1 +m2ρ1ρ2θ2 cos(θ1 − θ2)−m2ρ1ρ2θ

2

2sin(θ1 − θ2)

= −(m1 +m2)gρ1 sin θ1

m2ρ2

2θ2 +m2ρ1ρ2θ1 cos(θ1 − θ2)−m2ρ1ρ2θ

2

1sin(θ1 − θ2)

= −m2gρ2 sin θ2

E-mail address : [email protected]

URL: http://o.castera.free.fr/

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