Mecânica dos Sólidos Aula 11
-
Upload
trinhtuong -
Category
Documents
-
view
229 -
download
1
Transcript of Mecânica dos Sólidos Aula 11
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
1
Sumário e Objectivos
Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia.
Objectivos da Aula: No final da aula ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões axiais em vigas planas e a grandeza das referidas tensões.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
2
Exemplo de Estrutura
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
3
Exemplo de Estrutura de Veículo
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
4
Estrutura de Madeira
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
5
Estrutura de Bicicleta
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
6
Sistema de Eixos
x
y
z
y
Secção na Origem
O
Ox
–
Eixo da Viga
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
7
Vigas Flectidas
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
8
Fibra Flectida
→ →Δs 0 Δs 0
dθ Δθ 11k = = lim = lim =O´Dds Δs OC
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
9
Curvatura
As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos
a elementos lineares curvos
com um
certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura da curva deformada
num ponto pode ser definida como sendo:
Δ= = =
Δs 0 Δs 0
d 11k lim lim =O´Dds Δs OCθ θ
que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
10
Hipótese de Euler
–
Bernoulli (1705)
Secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga.
Esta hipótese
é devida a Bernoulli
(1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria das vigas à
flexão, válida no caso de se tratarem de vigas
finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
11
Viga em Flexão Pura
R1
dsdk ==θ
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
12
Elemento na configuração Deformada e Inicial
u
As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por d , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)dθ, ou seja
d =(R-y)dθ-Rdθ=-ydθudu dθ= -y = -ykds ds
du dθ= -y = -ykdx dx
Ryykxx −=−=εDeformação:
ou
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
13
Exemplo 10.1
Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2×
, determine o raio de curvatura da
superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada.
10 3−
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
14
Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
15
Exemplo10.1-
Resolução
Ryykxx −=−=ε mmyR xx 1020)102/(40/ 33 ×=×== −ε
Rs /1=ΔΔθTendo em conta que
1 1s 2 0.1radR 20
Δθ = Δ = =Obtém-se
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
16
Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio
-1
xx xxE= =σ ε -Ekyxx = =εy-yk -R
As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja
0=∑F x 0=∫ dAA xxσ ∫ ∫ =−=−
A A
ydAEkEkydA 0ou ou
∫ ydA =
dAy
dAy = 0 y = 0ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
17
Distribuição de Tensões na Secção
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
18
Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio
-2
0=−= ∫∑Braço
AForca
ÁreaTensãoz ydAEkyMMEquilíbrio de Momentos
Ou seja ∫=A
z dAyEkM 2
dAyIA
Z ∫= 2sendo IEkM zz =
IEMk
z
z=ou
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
19
Relação Tensão – Momento Aplicado
EkyE xxxx −== εσIE
Mkz
z=
yI
Mz
zx −=σ Flexão no plano Oxy
zI
My
y=σx Flexão no plano Oxz
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
20
Momentos e Sistema de Eixos
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
21
Exemplo 12.2
Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
22
Exemplo 12.2 -
Resolução
kNRekNR CA 1212 ==Reacções
xxM 122
2
+−= 4082
2
+−−= xxMMomentos
0<x<2 2<x<4
O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m
MPammNyI
Mz
32.1/32.110)6(6.412501022 2
8
6
maxmax
max ±==×××
==σ
A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e
y=250mm, sendo mmhbI Z
4833
10)6(6.4112
50040012
×=×
==
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
23
Exemplo 10.3
Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é
de 77.0 kN/ . A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma
secção em I
como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga.
3m
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
24
Exemplo 10.3 -
Resolução
Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente
o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre.
p=77.0×A=77.0×(0.008×0.14×2+0.184×0.006)= 0.2575kN/m
22
maxp 6L 0.2575 4.635kN.mM 2 2
= − = − = −Peso Próprio
1 13 3 2 7 4z 12 12
Teorema de Steiner
(6 ) 2 (140 ) 140 8 2.377184 8 96 10I mm⎡ ⎤= × + × + × × = ×⎣ ⎦
( ) max 1max max 51
z
4.635M 19.499MPay 102.377 10I−
−= = ± =σ
×
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
25
Exemplo 10.3 -
Resolução
O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento
M=PL=42kN.m
( ) maxmax max2
z
M 176.69MPayI
−−
= =± =σ×
15
4210
2.377 10
A tensão longitudinal total instalada é:
( ) ( )max max max1 2(19.499 176.69)MPa 196.2MPa= + = + =σ σ σ
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
26
Exemplo 10.4
Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em ⊥
como se
representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8×
. Determine a
intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210 GPa.
410−
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
27
Exemplo 10.4-Resolução
pRpR CA )6(26.0 )3(13.0 ==Reacções
pxxpM )3(13.02
2
+−=Momento em AC20.2M p 0.13(3) p 0.2 0.0067p
2= − × + × × = −
115142414)514414( ××+××=×+× y 1077 3−×== mmy
3 32 2
94 4
14 54 14I ( 14 4 ) ( 14 5 )5 412 123738 3.738 10mm m−
× ×= + × × + + × × =
= = ×9 4 6 2210 8 168 N/10 10 10 m−σ = − × × × = − ×
6 329
0.0067p168 N /10 7 10m 3.738 10−
−
−σ = − × = − × ×
× p 13.39kN / m=
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
28
Exemplo 10.5
Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que
as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa.
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
29
Exemplo 10.5-Resolução
pRpR
B
A
04.346.3
==Reacções
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
30
Exemplo 10.5-Resolução
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3 32 4
z160× 15×15 270= +15×160× × 2 + × 2 = 146.7675e06142.5I mm12 12
z z6 -3z-6
z
M M- y 150× = ×150× =146.77kN.m10 10 M146.7675×10I= ⇒ ⇒xσ
Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é:p=24.46kN/m
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
31
Exemplo 10.6
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
32
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
33
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
34
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
35
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
36
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
37
Exemplo 10.6 Resolução
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
38
Problemas Propostos
1.
Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial
máxima
admissível ser de
165MPa.200mm
100mm
80mm
100mm
20mm20mm 20mm
80mm
40mm
150mm
40mm
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
39
Problemas Propostos
2.Considere a viga representada na figura, cuja secção é uma secção em T invertido, como se representa. O vão da viga é de 4 dm, o módulo de Young é 200GPa e as cargas aplicadas são em grandeza multiplos de P. No ponto A da viga foi medida a deformação de compressão instalada e verificou-se ser de 50× −310 , determine o valor da carga P aplicada. O eixo de flexão é horizontal para a secção da figura.
3P
100mm 100mm14mm
16mm
4mm
4mmP P
100mm 100mm
3mm
50mm
A
Extensómetro
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
40
Problemas Propostos
3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições
representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy
e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções.
y
z
y
a
az
a
a
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
41
Problemas Propostos
4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à
tracção de 20MPa e uma tensão de cedência à
compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy
ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é
o que se representa na figura
P
2m 1m
110mm
230mm
30mm
30mm
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
42
Problemas Propostos
5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da viga está
aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão
150mm
40mm
120mm
30mm
100mm
30mm
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
43
Resolução do Problema 1ª) Determinação da posição
do centro de Gravidade200mm
100mm
80mm
100mm
20mm20mm y1
A1A2
y2 y3A3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
4000 190 2000 130 8000 40 95.714314000
bA y A y A yy
A A A
mm
+ += =
+ +× + × + ×
= =
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
44
Resolução do Problema 1ª) Determinação do Momento de Inércia Iz 200mm
100mm
80mm
100mm
20mm20mm
3 32 2 71 1
1 1 1
3 32 2 62 2
2 2 2
3 32 23 3
3 3 3
200 95.7143 104.2857
200 20 200 20 94.2857 3.5693 1012 12
20 100 20 100 (130 95.7143) 4.0177 1012 12
100 80 80 100 (95.7143 40) 2.9099 1012 12
t
z c
z c
z c
y mm
b hI A y
b hI A y
b hI A y
= − =
×= + = + × × = ×
×= + = + × × − = ×
×= + = + × × − = × 7 4
6 41 2 3 68.8095 10z z z z
mm
I I I I mm= + + = ×
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
45
Resolução do Problema 1ª) Determinação da Tensão Axial
maxmax t max
z
3 66
6 6
max 3
5
M yI
104.2857 10 165 10 Pa
165 10M104.2857 10
1.0887 10 N.m
maxM68.8095 10
68.8095 10
−−
−
−
= =σ
± × = ××
× × ×∴ = =
×= ×
Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008
Mecânica dos Sólidos11ªAula
46
Resolução do Problema 1b) Determinação da posição
do centro de Gravidade
20mm
80mm
40mm
150mm
40mm
A Secção é simétrica portanto o centro de Gravidade fica no Centro da Secção.