Mecánica de Sólidos - fimee.ugto.mx de... · una fuerza axial es una carga ... La deformacion...

Mecánica de Sólidos

Dr. Antonio Balvantín

Repaso...

Repaso...

• The structure is designed to support a 30 kN load

• Perform a static analysis to determine the internal force in each structural member and the reaction forces at the supports

• The structure consists of a boom and rod joined by pins (zero moment connections) at the junctions and supports

Repaso...

• Structure is detached from supports and

the loads and reaction forces are

indicated

• Ay and Cy can not be determined from

these equations

30kN

30kN 00

40kN

0

40kN

30kN 0.8m0.6m0

Ax

yy

yy

xx

xx

x

xC

A C

Ay CF

AC

CF

A

AM

• Conditions for static equilibrium:

Repaso...

• In addition to the complete structure, each

component must satisfy the conditions for

static equilibrium

• Results:

A 40kN Cx 40kN Cy 30kN

Reaction forces are directed along boom

and rod

0

0.8m0

Ay

yB AM

• Consider a free-body diagram for the boom:

Cy 30kN

substitute into the structure equilibrium

equation

Introducción a la Mécanica de Materiales

La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que trata del

comportamiento de los cuerpos solidos sometidos a diversas cargas.

El objetivo principal de la mecánica de materiales es

determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias, los

desplazamientos en estructuras y sus componentes debidas

a las cargas que actúan sobre ellas.

Otros nombres para este campo de estudio son

resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos

deformables.

Capitulo 1: Tensión, Compresión, Cortante

Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales

son el esfuerzo y la deformación unitaria.

Una barra prismática es un elemento estructural recto que

tiene la misma sección transversal en toda su longitud

una fuerza axial es una carga dirigida a lo largo del eje del

elemento, lo que resulta en esfuerzos de tensión o de

compresión en la barra.

El esfuerzo tiene unidades de fuerza por unidad de área y

se denota por la letra griega (sigma).

Esfuerzo Normal


Los esfuerzos () que actúan sobre una superficie

plana pueden ser uniformes en toda el área o

bien variar en intensidad de un punto a otro.

Supongamos que los esfuerzos que actúan sobre la sección transversal de la figura

mostrada están distribuidos uniformemente sobre el área. Entonces la resultante de estos

esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo (P) por el área de la sección

transversal (A) de la barra.

Esta ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo

uniforme en una barra prismática con sección

transversal arbitraria cargada axialmente.

(Ecuación 1.1)


Ejemplo N° 1:

La barra mostrada tiene un diametro d = 2.0 pulg.,

y la carga P tiene una magitud de 6 Kips.

Determine el esfuerzo en la barra.

Aplicando la ecación 1.1


Ejemplo N° 1:

La barra mostrada tiene un diametro d = 2.0 pulg.,

y la carga P tiene una magitud de 6 Kips.

Determine el esfuerzo en la barra.

Aplicando la ecación 1.1

1.91


Cuando la barra es estirada por las fuerzas P, los

esfuerzos son esfuerzos de tensión o tracción.

Si se invierte la dirección de las fuerzas, la barra se

comprime y tenemos esfuerzos de compresión.

Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superficie cortada,

se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de

tension o de compresion.

Otro tipo de esfuerzo, denominado esfuerzo cortante, es

aquel que actúa paralelo a la superficie.


Deformación Unitaria NormalUna barra recta cambiará su longitud al cargarla

axialmente, haciéndose mas larga en tensión y mas

corta en compresión.

El alargamiento δ de esta barra es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los

elementos del material en todo el volumen de la barra.

El alargamiento de un

segmento es igual a su

longitud dividida entre la

longitud total L y multiplicada

por el alargamiento δ.

Esta cantidad se denomina alargamiento por unidad

de longitud, o deformación unitaria y se denota con la

letra griega (epsilon).Cantidad

Adimensional.


Ejemplo N° 2:

Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta

una carga de compresión de 26 kips. Los diámetros interior y exterior del

tubo son d1 = 4.0 in y d2 = 4.5 in, respectivamente, y su longitud es 16 in. El

acortamiento del poste debido a la carga es de 0.012 in.

Determine el esfuerzo de compresión y la deformación unitaria en el poste.(No tenga en cuenta el peso del poste y suponga que este no se pandeacon la carga.)


Solución:

Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo

hueco, podemos emplear la ecuación 1.1 para calcular esfuerzo normal. La

fuerza P = 26 k o 26,000 lb y el área A de la sección transversal es:

4 4 4.5 4.0 3.338

El esfuerzo de compresión en el poste es:

La deformacion unitaria de compresion es:

26,0003.338 7790

0.01216 0.00075


Propiedad Mecánica de los Materiales

En general, la única forma para determinar como se comportan los materiales cuando se

someten a cargas es realizar experimentos en el laboratorio.

El procedimiento usual es colocar muestras

pequeñas del material en maquinas de ensayo,

aplicar las cargas y luego medir las

deformaciones resultantes (como cambios de

longitud y diámetro).


Diagrama de esfuerzo-deformación unitariaLos diagramas de esfuerzo-deformación unitaria fueron creados por Jacob Bernoulli

(1654-1705) y J. V. Poncelet (1788-1867).

El diagrama esfuerzo-deformación

unitaria muestra la característica del

material particular que se ensaya y

contiene información importante sobre

sus propiedades mecánicas y el tipo

de comportamiento.

Acero Común en Tensión


Materiales DuctilesSon aquellos materiales que sufren deformaciones unitarias permanentes.

La ductilidad es la propiedad que permite que una barra de acero se doble para formar un

arco circular o se trefile para formar un alambre sin romperse.

Una característica importante de los materiales dúctiles es que

presentan una distorsión visible si las cargas son demasiado

grandes, proporcionando así una oportunidad para tomar una

acción correctiva antes de que ocurra la fractura.

Diagrama de esfuerzo-deformación unataria típico para una aleación

de auminio.

Los materiales que presentan comportamiento dúctil son

capaces de absorber grandes cantidades de energía de

deformación antes de la fractura.


Método de DesplazamientoCuando un material, no tiene un punto de fluencia bien determinado y, sin embargo,

sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad,

se puede determinar un esfuerzo de fluencia arbitrario mediante el método de

desplazamiento. 1. Se traza una línea recta en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria

paralela a la parte inicial lineal de la curva pero desplazada en cierta

deformación unitaria estándar, como 0.002 (o 0.2 por ciento).

2. La intersección de la línea desplazada y la curva esfuerzo-deformación

unitaria (punto A en la fi gura) define el esfuerzo de fluencia.

Como este esfuerzo se determina mediante una regla arbitraria y no es una

propiedad física inherente del material, se debe distinguir de un esfuerzo

verdadero de fluencia y referirse a el como esfuerzo de fluencia desplazado.


Compresión

Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para materiales en compresión difieren de las

curvas de tensión.

En un ensayo de tensión, la muestra se estira, puede

ocurrir estricción y finalmente sucede la fractura.

Cuando el material se comprime, se abulta hacia fuera

en los lados y adopta una forma como de barril, debido

a que la fricción entre la muestra y las placas extremas

evita la expansión lateral.

Diagrama de esfuerzo-deformación unataria para el cobre en

compresión


Elásticidad, Plasticidad y Termofluencia

Propiedad de un material, mediante

la cual regresa a sus dimensiones

originales durante la descarga, se

denomina elasticidad y se dice que el

propio material es elástico.

Cuando la carga se ha removido

por completo, pero en el material

permanece una deformación

unitaria residual o deformación

unitaria permanente,

representada por la línea OC.

De la deformación total OD desarrollada durante la carga

de O a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado

elásticamente y la deformación unitaria OC permanece

como una deformación unitaria permanente.


Cuando suceden deformaciones unitarias grandes en un material dúctil cargado en la

región plástica, se dice que el material experimenta flujo plástico.

La característica de un material por la cual

experimenta deformaciones unitarias inelásticas,

mas allá de la deformación unitaria en el limite

elástico, se conoce como plasticidad. Por tanto,

en la curva esfuerzo-deformción unitaria

tenemos una región elástica seguida de una

región plástica.Diagrama de esfuerzo-deformación

unataria que ilustra un comportamiento elástico


Carga Repetida de un Material

Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y cargar de

nuevo sin cambiar significativamente su comportamiento.

Sin embargo, cuando esta cargado en el rango plástico, la

estructura interna del material se altera y cambian sus propiedades.

La nueva carga inicia en el punto C en el diagrama y continua hacia

arriba hasta el punto B, el punto en el cual comenzó la descarga

durante el primer ciclo de carga. Entonces el material sigue la curva

original de esfuerzo-deformación unitaria hacia el punto F.

Durante la segunda carga el material se comporta de una manera linealmente elástica de C a B,

donde la pendiente de la recta CB es igual que la pendiente de la tangente a la curva original de

carga, en el origen O.


Termofluencia

Cuando los materiales se cargan durante periodos largos, algunos de ellos desarrollan

deformaciones unitarias adicionales y se dice que presentan termofluencia.

Termofluencia en una barra sometida a una cara constante

Relajación del esfuerzo en un alambre sometido a una

deformación unitaria constante


Un poste circular hueco ABC (consulte la fi gura) soporta una carga P1 = 1700

lb que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 esta distribuida

uniformemente alrededor de la placa de cubierta del poste en B. El diametro

y el espesor de las partes superior e inferior del poste son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5

in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente.

(a) Calcule el esfuerzo normal AB en la parte superior del poste.

(b) Si se desea que la parte inferior del poste tenga el mismo esfuerzo de

compresión que la parte superior, cual será la magnitud de la carga P2?

(c) Si P1 permanece en 1700 lb y P2 ahora se fi ja en 2260 lb, que

espesor nuevo de BC resultara en el mismo esfuerzo de compresión en las dos

partes?

Ejemplo N° 3:


A)

B)

C)

Solución:


Un carro que pesa 130 kN, cuando esta

completamente cargado, se jala

lentamente hacia arriba por una pista

inclinada mediante un cable de acero

(consulte la fi gura). El cable tiene un área

de sección transversal efectiva de 490 mm2

y el ángulo a de la inclinación es 30°.

Calcule el esfuerzo de tensión t en el cable.

Ejemplo N° 4:


D.C.L.

Las ruedas no tienen fricción

R1 =R2 = 0

Tensión en el cable:

Sustitución de datos en la ecuación de esfuerzo:

Solución:


Ley de Hooke

Nombrada en honor del famoso científico ingles Robert Hooke (1635-1703), quien fue la

primera persona que investigo científicamente las propiedades elásticas de los

materiales y probo varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones.

Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y observo que

los estiramientos “siempre mantienen las mismas proporciones entre si de acuerdo con

los pesos que los causaron”.


Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relaciónlineal

entre el esfuerzo y la deformación unitaria se dice que es linealmente elástico.

Este tipo de comportamiento es muy importante en ingeniería por una razón obvia: al

diseñar estructuras y maquinas para que trabajen en esta región, evitamos

deformaciones permanentes debidas a la fluencia plástica.

Ecuación 1.2En donde es el esfuerzo axial, es la deformación

unitaria axial y E es una constante de

proporcionalidad conocida como módulo de

elasticidad del material.

Ley de Hooke:


Relación de PoissonCuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una

contracción lateral, es decir, contracción normal en la dirección de la carga aplicada.

La deformación unitaria lateral en cualquier punto en una

barra es proporcional a la deformación unitaria axial en el

mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación

de esas deformaciones unitarias es una propiedad del

material conocida como relación de Poisson. Esta relación

adimensional, que en general se denota por la letra griega ν

(nu), se puede expresar mediante la ecuación:Nota: Siempre debemos tener en cuenta que solose aplican a una barra sometida a esfuerzo axial,es decir, una barra para la cual el único esfuerzoes el esfuerzo normal en la dirección axial.


Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft, diámetro exterior d2 = 6.0 in

y diámetro interior d1 = 4.5 in se comprime mediante una fuerza axial

P = 140 k.

El material tiene un modulo de elasticidad E = 30,000 ksi y una

relación de Poisson n = 0.30.

Determine las siguientes cantidades para el tubo: (a) su

acortamiento d, (b) la deformación unitaria lateral, (c) el aumento

Δd2 del diámetro exterior y el aumento Δd1 del diámetro interior y (d)

el aumento Δt en el espesor de la pared.

Ejemplo:


El área A de la sección transversal y el esfuerzo

longitudinal s se determinan como sigue:

Como el esfuerzo es mucho menor que el esfuerzo

de fluencia, el material se comporta en forma

linealmente elástica y la deformación unitaria axial

se puede determinar a partir de la ley de Hooke:

Solución:

4 4 6 4.5 12.37

140 12.37 11.32 ó

11.3230,000 377.3 10

El signo de menos para la deformación unitaria indica que el tubo se acorta.

a) Conociendo la deformación unitaria axial,

ahora podemos determinar el cambio de

longitud del tubo.

ϵ 377.3 10 4.0 12 0.018

De nuevo el signo negativo indica un acortamiento del tubo.

b) La deformación unitaria lateral se obtiene de

la relación de Poisson.

vϵ 0.30 377.3 10 113.2 10

El signo positivo de indica un aumento de lasdimensiones laterales, como se esperaba para unesfuerzo de compresión.


c) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro:

∆ 113.2 10 6.0 0.000679

De manera similar, el aumento del diámetro interior es:

∆ 113.2 10 4.5 0.000509

d) El aumento del espesor de la pared se determina de la misma manera que el aumento de los

diámetros:

∆ 113.2 10 0.75 0.000085


Una barra de acero de alta resistencia que se usa en una grua grande tiene un diametro d = 2.00 in.

El acero tiene un modulo de elasticidad E = 29 × 10^6 psi y una relación de Poisson ν = 0.29. Debido

a requisitos de holgura, el diámetro de la barra esta limitado a 2.001 in, cuando se comprime por

fuerzas axiales.

¿Cual es la carga máxima de compresión Pmax permitida?

Ejemplo:

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:

Datos:

Deformación Unitaria Axial:

Deformación Unitaria Lateral:

Esfuerzo Axial:

Carga Máxima de compresión:


Esfuerzo Cortante

Es el esfuerzo que actúa de manera tangencial a la superficie del material.

La barra y la horquilla tienden

a cortar el perno, es decir,

pasar a través de el, y esta

tendencia es resistida por los

esfuerzos cortantes en el

perno.


Los pernos, pasadores y remaches crean esfuerzos en la superficie de apoyo o

superficie de contacto de los elementos que conectan.

Esfuerzos de Apoyo en conectores

La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales

distribuidas en la superficie interior de un medio cilindro de

diámetro d y longitud t igual al espesor de la placa.

Como la distribución de estas fuerzas, y de los esfuerzos

correspondientes, es muy complicada, en la práctica se utiliza

un valor nominal promedio b para el esfuerzo, llamado

esfuerzo de apoyo.


La barra de sujeción de acero que se muestra ha de

diseñarse para soportar una fuerza de tensión de

magnitud P = 120 kN cuando se asegure con pasadores

entre ménsulas dobles en A y B. La barra se fabricará de

placa de 20 mm de espesor. Para el grado de acero

que se usa, los esfuerzos máximos permisibles son:

, , . Diseñe la

barra de sujeción determinando los valores requeridos

para a) el diámetro d del pasador, b) la dimensión b en

cada extremo de la barra, c) la dimensión h de la barra.

Ejemplo:

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución


Consideraciones de Diseño:

Un elemento importante que debe considerar un diseñador es cómo se comportará el

material que ha seleccionado cuando esté sometido a una carga.

El conocimiento de los esfuerzos lo emplean los

ingenieros como un apoyo a su tarea más

importante: el diseño de estructuras y máquinas que

puedan desempeñar una tarea específica en forma

segura y económica.


Determinación de la resistencia última del material:

Se le conoce como carga última del material, a la carga que hace que el material falle

y se denota como Pu.Debido a que la carga aplicada es centrada, puede

dividirse la carga última por el área transversal original de

la varilla para obtener el esfuerzo último normal o

resistencia última a la tensión del material usado.

Recuerde que, en el caso del corte puro, esta área es el área de sección transversal A del espécimen,

mientras que en corte doble es dos veces el área de sección transversal.


Carga Permisible y esfuerzo permisible. Factor de Seguridad:

La máxima carga que puede soportar a un elemento estructural o un componente de

maquinaria en condiciones normales de uso es considerablemente más pequeña que la

carga última. Esta carga más pequeña se conoce como la carga permisible y, en

ocasiones, como la carga de trabajo o carga de diseño.

. .Ú

Una definición alterna del factor de seguridad se basa en el uso de esfuerzos:

. .ú


Selección de un Factor de Seguridad:

La selección del factor de seguridad que debe usarse en distintas aplicaciones es una

de las tareas más importantes de los ingenieros.

Si el factor de seguridad se elige demasiado pequeño, la posibilidad de falla se torna

inaceptablemente grande; por otra parte, si se elige demasiado grande, el resultado es

un diseño caro o no funcional.


Consideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:

1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento bajo

consideración. La composición, resistencia y dimensiones del elemento están sujetas a

pequeñas variaciones durante la manufactura. Además, las propiedades del material pueden

alterarse y, con ello, introducir esfuerzos residuales debido al calentamiento o deformación

que puedan ocurrir durante la manufactura, almacenamiento, transporte o construcción del

material.

2. Número de cargas que puedan esperarse durante la vida de la estructura o

máquina. Para la mayoría de los materiales el esfuerzo último disminuye al aumentar el

número de aplicaciones de carga. Este fenómeno se conoce como fatiga y, si se ignora,

puede provocar una falla repentina.

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteConsideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:

3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseño, o que puedan ocurrir en el futuro.Muy pocas situaciones de carga se conocen con certeza. La mayoría de las cargas de diseño son

aproximaciones. Además, las alteraciones futuras o cambios en el uso pueden introducir cambios en la

carga real. Para cargas dinámicas, cíclicas o de impulso, se requieren mayores factores de seguridad.

4. Tipo de falla que pueda ocurrir. Los materiales frágiles comúnmente fallan de manera repentina,

sin indicación previa de que el colapso es inminente. Por otra parte, los materiales dúctiles, como el

acero estructural, con frecuencia sufren una sustancial deformación, llamada cedencia, antes de

fallar, dando así una advertencia de que existe la sobrecarga. Sin embargo, la mayoría de las fallas de

estabilidad o por pandeo son repentinas, sea frágil el material o no. Cuando existe la posibilidad de

falla repentina, debe emplearse un mayor factor de seguridad que cuando la falla es precedida por

señales obvias de advertencia.

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteConsideraciones para la selección de un Factor de Seguridad:

5. Incertidumbre debida a los métodos de análisis. Todos los métodos de diseño se basan en

ciertas suposiciones simplificadoras que se traducen en que los esfuerzos calculados sean sólo

aproximaciones de los esfuerzos reales.

6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas

naturales inevitables. Un factor de seguridad mayor es necesario en localidades donde las

condiciones como la corrosión y la putrefacción son difíciles de controlar o hasta de descubrir.

7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa. Los refuerzos

y los elementos secundarios pueden diseñarse en muchos casos, con un factor de seguridad menor

que el empleado para los elementos principales.

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteEjemplo:

Se aplican dos fuerzas a la ménsula BCD como se muestra

en la figura. a) Sabiendo que la varilla de control AB será

de acero con un esfuerzo normal último de 600 MPa,

determine el diámetro de la varilla utilizando un factor de

seguridad de 3.3. b) El perno en C será de un acero con

un esfuerzo último al corte de 350 MPa. Encuentre el

diámetro del perno C tomando en cuenta que el factor

de seguridad con respecto al corte también será de 3.3.

c) Halle el espesor requerido de los soportes de la ménsula

en C sabiendo que el esfuerzo permisible de apoyo del

acero utilizado es de 300 MPa.

Capitulo 1: Tensión, Compresión, CortanteSolución:

Mecánica de Sólidos - fimee.ugto.mx de... · una fuerza axial es una carga ... La deformacion...

Documents

Transcript of Mecánica de Sólidos - fimee.ugto.mx de... · una fuerza axial es una carga ... La deformacion...