Mecanica de Medios Continuos e introduccion a los metodos finitos

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA.

FACULTAD DE INGENIERIA

COLEGIO: INGENIERIA CIVIL

MAESTRIA: INGENIERIA ESTRUCTURAL

MATERIA: MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS

PROFESOR: DOCTOR JAIME RETAMAALUMNO: ANGEL ORLANDO NOGUEZ GONZALEZ

PERIODO: MARZO 2015.

Capitulo 10

Preliminares en la solución de Eigen problemas El Objetivo de este y el siguiente capítulo es para describir los actuales

procedimientos de solución que solían solucionar el eigenproblemas de interés. Antes de presentar losalgoritmos, hablamos en este capítulo de algunas consideraciones básicas

importantes para la solución de eigenproblemas.

resumiemdo los eigenproblemas que queremos solucionar. Podemos llegar al más simpleproblema encontrado el estándar en el siguiente eigenproblema:

K Ф = ƛ Ф (10.1)donde K es la matriz de rigidez de un elemento finito solo o de un ensamblaje de elemento. K tiene la orden n, y para un ensamblaje de elemento en media amplitud de banda/Mk (es decir, la amplitud de banda total es +1), y que K es positivo semi definido o positivo definido. Allí

son n eigenvalores y eigenvectores correspondientes (10.1). El ith eigenpair es

denotado como (ƛ, Фᵢ) donde los eigenvalues son ordenados acorde a sus magnitudes:0≤ ƛ₁≤ƛ₂ …….. ≤ ƛn-1 ≤ƛn (10.2)

La solución para p eigenpairs puede ser escrita K Ф= ФɅ

donde Ф es una n x p matriz con sus columnas iguales a los p eigenvectores y Ʌ es p x p una matriz diagonal que pone eigenvalues

correspondiente en una lista. Como un ejemplo, (10.3) puede representar

la solución de p más baja de los eigenvalores y eigenvectores correspondiente de K, en cuyo caso Ф = [Ф11….. Фp] y Ʌ= diagonal (ƛᵢ) i=1….., p

Recordamos esto si K es un positivo definido, ƛᵢ ˃ 0 , i=1…..,n y si K es positivo semidefinido ƛᵢ ≥ 0 , i=1…..,n

| MECANICA DEL MEDIO CONTINUO, RESUMEN DEL CAPITULO 10 DEL LIBRO Finite Element Procedures. ANGEL ORLANDO NOGUEZ GONZALEZ 2

donde el número del cero eigenvaores es igual al número de modos de cuerpo rígido en el sistema.La solución del problema eigenvalue en (10.1) es, por ejemplo, busca laevaluación de una matriz de rigidez de un elemento o en el cálculo del número de condiciónes de una matriz de rigidez de una estructura. Hablamos en el Artículo 4.3.2 que la representación de la matriz de rigidez de elemento en su forma canónica (es decir, i.e en la base del eigenvector) es usada para evalúar la eficacia del elemento. En este caso todos los eigenvalores y los vectores de K deben ser calculados. Por otra parte, para evaluar el número de condición de una matriz de rigidez, sólo los eigenvalores más pequeños y más grandes se requieren (ver el Artículo 8.2.6).Antes de seguir generalizado los eigenproblemas, deberíamos mencionar que otroestándar eigenproblemas también tendría que ser solucionado. Por ejemplo,

podemos requerir los eigenvalores de la matriz M de masas, en cuyo caso M sustituye K (10.1). Del mismo modo, podemos usarlo para los eigenvalores de conductividad o una matriz de capacidad de calor en el flujo de calor.

En el análisis (ver el Artículo 7.2).Es muy muy frecuente considerar Eigenproblemas para ser solucionado en el modo de vibración en el análisis de superposición (ver el Artículo 9.3). En este caso consideramos generalizado el eigen ¬ problema,

K Ф=ƛM Ф

(10.4)

donde K y el M son, respectivamente, la matriz de rigidez y la matriz de masas del elemento finito

ensamblaje. Los eigenvalores ƛᵢ, y eigenvectores Фᵢ son las frecuencias de vibraciónes libres.

Los ( radianes/segundos) cuadró, w2ᵢ , y vectores de forma y modo correspondientes respectivos. Ellas de propiedades de K. La matriz de masas puede ser dividida en bandas, en cuyo caso su


media amplitud de banda mM es igual a mK, o M puede ser diagonal con m ᵢᵢ ≥ 0; es decir, alguna diagonal de los elementos pueden ser posiblemente cero. Una matriz de masas dividida en bandas, obteniendo en consecuencia una masa , siempre sera definido como positivo, mientras que una matriz de masas concentrada es positiva definido sólo si todos los elementos diagonales son más grandes que cero. En general, una matriz de masas diagonal es p ositiva semidefinida.

En analogía con (10.3), la solución para p eigenvalores y eigenvectors correspondientes de(10.4) pueden ser escritos

KO = MOA K Ф=M Ф Ʌ

(10.5)donde las columnas en Ф son loseigenvectores y Ʌ es una matriz diagonal que pone losEigenvalores correspondientes.Por supuesto, eigenproblemas generalizados en (10.4) reduce al estándar de los eigenproblemas en (10.1) si el M es una matriz de identidad. En otras palabras, el eigenvalues y eigenvectoresen (10.3) también puede ser pensado como frecuencias cuadradas y formas de modo de vibración del el sistema cuando la masa de unidad es especificada en cada

nivel de la libertad. Correspondiente al posible eigenvalores en la solución de (10.1), el eigenproblema generalizado en (10.4) tiene eigenvalores ƛᵢ ≥ 0 , i=1…..,n

donde el número de cero eigenvalores es otra vez igual al número de modos del cuerpo rígido en el sistema.

Dos adicional generalizando eigenproblemss debería ser mencionado brevemente. Un segundoel problema es solucionado en análisis lineal que se tuerce, en cuyo caso consideramos (ver la seccion (6.8.2)tK Ф= ƛ t- Δ t K Ф (10.6)

Preliminares de la Solución de Eigenproblems Capítulo. 10

Donde t- Δr K rK son la rigidez matrices correspondiente a tiempos (es decir, niveles de carga)

t - Δ t y t, respectivamente.


Un tercero generaliza que un eigenproblema es encontrado en el análisis de transferencia de calor, donde Se considera la ecuaciónK Ф= ƛ C Ф (10.7)

donde K es la matriz de conductividad de calor y C es la matriz de capacidad de calor. Los eigenvalores y los eigenvectors son eigenvalores termicos y sus formas de modo, respectivamente. La solución de (10.7) se requiere en el análisis de transferencia de calor usando la superposición de modo (ver el Ejercicio 9.25).

El matrices K y C en (10.7) son positivos definido o positivo semidefinido, de modo que los eigenvalores de (10.7) son ƛᵢ ≥ 0 , i=1…..,n

En esto y el siguiente capítulo hablamos de la solución del eigenproblemas K Ф =ƛ

Ф y K K Ф =ƛM Фen (10.1) y (10.4). Encuentran con frecuencia en estos eigenproblemaspráctica. Sin embargo, hay que realizar que todos los algoritmos para ser presentados también son aplicables a la solución de otros eigenproblemas, a condición de que ellos sean de la misma forma y las matrices satisfazcan las condiciones apropiadas de carácter decisivo positivo, de semicarácter decisivo, y etcetera

Por ejemplo, para solucionar el problema en (10.7), el M de la matriz de masas simplemente tiene que ser sustituido por la matriz de capacidad de calor C, y la matriz K es la matriz de conductividad de calor.

Considerando la solución de ordenador actual de eigenproblemas requerido, recordamosesto en la introducción a procedimientos de solución de ecuación en el análisis estático (ver el Artículo 8.1),observamos la importancia de usar procedimientos de cálculos eficaces. Esto es hasta más riguroso en cálculos de eigensistemas porque la solución de eigenvalores y sus eigenvectores correspondientes requieren, en general, mucho más esfuerzo de ordenador que la solución de ecuaciones de equilibrio estático


Una consideración particularmente importante consiste en que los algoritmos de solución

debe ser estables, que es más difícil de conseguir en las eigensoluciones.Una variedad de métodos de solución de eigensistemas ha sido desarrollada y es relatada enla literatura (ver, por ejemplo, a J. H. Wilkinson). La mayor parte de las técnicas han sidoideadas para matrices bastante generales. Sin embargo, en el análisis de elemento finito estamos preocupados con la solución de eigenproblemas específicos resumido encima, las matrices tiene propiedades específicas tal como ser divisibles en bandas, positivas y así sucesivamente los algoritmos de solución de eigensistemas deberían aprovechar estas propiedades a fin de hacer una solución posible más económica.El objetivo en este capítulo es poner la fundación para un entendimiento cuidadoso demétodos de eigensoluciones eficaces. Esto es llevado a cabo por la primera discusión de las propiedades de las matrices, eigenvalores, y eigenvectores de los problemas de interés y luego presenta algunas técnicas de solución aproximadas. Los métodos de solución actuales recomendados para el uso son presentados en el Capítulo 11.

10.2 HECHOS FUNDAMENTALES USADOS EN LA SOLUCIÓNDE EIGENSISTEMAS

Antes de que el funcionamiento de cualquier procedimiento de solución eigensistema puede ser correctamente estudiado, es

necesario primero para entender a fondo las propiedades diferentes de las matrices y eigen valores y eigenvectores se consideran. En particular, encontraremos que todos los métodos de solución son,

esencia, basada en estas propiedades fundamentales. Por lo tanto queremos resumir en esta

sección las propiedades importantes del matrices y sus eigensistemas, aunque algunos de

Segundo. 10.2 Hechos fundamentales Usados en la Solución de Eigensystems


El material ha sido presentado ya en otras secciones del libro. Como indicado en

El artículo 10.1, consideramos el eigenproblema K Ф =ƛ M Ф

que reduce a K Ф =ƛ Ф

cuando M = I, pero las observaciones hechas soy igualmente aplicables a otro eigenproblemas de interés.

10.2.1 Propiedades de Eigenvectors

la solución de eigenproblem generalizado K Ф= de la mañana Ф cede n

eigenvalues Ai... , un", como el mostrado en (10.2), y eigenvectores correspondientesФ I , Cada eigenpair (A, Ф,) satisface (10.4); es decir; tenemos

K <(), = A, M <|>; yo - 1..., n (10.8)El significado debería ser bien entendido. La ecuación dice esto si establecemos

un vector A, M <j> yo y uso es como un vector de carga R en la ecuación KU = R, entonces U = <}>. El pensamiento puede sugerir inmediatamente el uso de algoritmos de solución estáticos para el cálculo de un eigenvector. Veremos más tarde que el algoritmo de descomposición LDL� en efecto es un parte importante de procedimientos eigensoluciones.

La ecuación en (10.8) también expone que un eigenvector sólo es definido dentro de un múltiplo de sí; es decir, también tenemos

K (<Ф}>,) = A, M (<Ф|> i) (10.9)

debe ser una constante distinta a cero. Por lo tanto, con <J>, siendo un eigenvector, a4>, también es un eigenvector, y decimos que un eigenvector sólo es definido por su dirección en el n-

el espacio dimensional se considera. Sin embargo, en nuestra discusión nos referimos

a los eigenvectores satisfacen (10.8) y también su relación = 1, que fija las longitudes de loseigenvectores, es decir, la magnitud absoluta de los elementos en cada eigenvector. Sin embargo, nosotros puede notar que los eigenvectors sólo todavía son definidos dentro de un multiplo de-1.Una relación importante que los eigenvectors satisfacen es la del M orto normalidad; es decir,

Tenemos = 8ij (10.10)


donde dij es el delta de Kronecker. Esta relación sigue de la orto normalidad De los eigenvectors y de los eigenproblemas estándar (ver el Artículo 2.5) y adelante en el Segundo ¬tion 10.2.5. Pre multiplicándose (10.8) por Фj transportado y utilizando la condición en (10.10), Significa que los eigenvectores también son K-ortogonal. Usando las relaciones en (10.10)y (10.11) hay que tener presente que el M-y K-ortogonalidad siguen de (10.8)y (10.8) es la ecuación básica para estar satisfecha. En otras palabras, si creemos que nosotros

tenenmos un eigenvector y eigenvalor, luego como un control substituirlos en (10.8)(ver el Ejemplo 10.3).

Hasta ahora no hemos hecho ninguna mención de eigenvalores múltiples y eigenvectores correspondientes

Es importante tomar en cuenta que en este caso los eigenvectores no son únicos, pero que siempre puede elegir un juego de la M ortonormal eigenvectores que atraviesan el subespacio esto equivale a un eigenvalor múltiple (ver el Artículo 2.5). En otras palabras, asuma esto A,

tiene la multiplicidad m (es decir. A, = A, +i = • • • = Ai +, „-i); entonces podemos elegir el m eigenvector

Prolegómenos a la Solución de Capítulo Eigenproblemas.

Ф/... , aquella envergadura el m de subespacio dimensión correspondiente al eigenvaluesde la magnitud A, y que satisfacen la relación orthogonality en (10.10) y (10.11). Como alguna vez, los eigenvectors no son únicos; en cambio, el eigenspace correspondiente a A, es único.

Demostramos los resultados por medio de algunos ejemplos.EJEMPLO 10.1: La matriz de rigidez y la matriz de masas de un dos nivel del sistema de libertad son

- [ U ]Se cree que dos eigenpairs del problema K Ф = ƛc |) son


10.2.2 Hechos fundamentales Usados en la Solución de Eigen sistemas el vector Kvi no puede ser igual al vector aMvi, donde ser un escalar; es decir, Kvi no esiguale a Mvi, y por lo tanto Vi no es un eigenvector. Del mismo modo, V2 no es un

eigenvector y los valores (4 - V2) y (4 + V2) calculado en (a) no son eigenvalores. Eigenvalores actual ydan eigenvectors correspondiente en el Ejemplo 10.4.

En la presentación precedente consideramos las propiedades del eigenvectors del

problema K <(> = de la mañana <j>, y deberíamos comentar brevemente ahora sobre las propiedades del eigen ¬

los vectores contaron en la solución de los otros problemas eigenvalue del interés. El comentarioes simple: las relaciones orthogonality habladas aquí sostienen igualmente para el eigenvectors delproblemas encontrados en análisis de transferencia de calor y análisis que se tuerce. Es decir también tenemosen análisis que se tuerce, usando la nota en (10.6),


Un hecho importante que sigue de la propiedad de la separación de

eigenvalues como

expresado en (10.22) es el siguiente. Suponga que podamos descomponer la matriz

en factores K - / son

es decir, ninguno de los problemas de coacción asociados tiene un cero eigenvalue. Parala simplicidad de la discusión nos dejó primero suponer que todos eigenvalues sean distintos; es decir, hay no eigenvalues múltiple. El hecho importante es que en la descomposición ofK-/son, elel número de elementos negativos en D es igual al número de eigenvalues más pequeño

A la inversa, si A, </u, <A, +i, hay exactamente yo elementos diagonales negativos en D. La pruebaes obtenido usando la propiedad de separación en (10.22) y es relativamente fácilmente perfilado por elconsideraciones siguientes. Respecto a Fig. 10.1, suponga esto en el esbozo del carácter ¬

polinomios de istic unimos por líneas rectas todo eigenvalues r = 0, 1..., con

Ai, y llamada la curva que resulta Ci. Del mismo modo, establecemos curvas Cz, C3... , como indicado en Fig. 10.1. Considere ahora que A, </a <A, +i y dibujan una línea vertical corre sponding a/A en la cifra de los polinomios característicos; es decir, esta línea establece donde/A está con relación al eigenvalues de los problemas de coacción asociados.


CAPITULO 10.2.3. CAMBIO

Como un importante procedimiento que es usado en la solución de los eigenvalores y eigenvectores es el cambio o variación. El propósito de esta técnica es la desarrollamos un cambio de ρ en K calculando :

y así consideramos el problema propio. .

Para identificar como los eigenvalores y los eigenvectores de están relacionados a aquellos del problema tendremos que reescribir :

sin embargo, de hecho, el problema de valores propios y puesto que la solución a este problema es única, tenemos:

en otras palabras, los eigenvectores de son los mismos de

, pero los eigenvalores han sido menguados por ρ. Una aplicación frecuente para el método de cambio o variación ocurre en el cálcuo de los cuerpos rígidos cuando el algoritmo es para usarse en el calculo de eigenvalores zero. Asi lo ilustraremos con un ejemplo.

calcule los eigenvalores y los eigenvectores. Luego aplique una variacion ρ=-2. Con esta variación se calculan de nuevo los eigenvalores y los eigenvectores. Y para eso usamos el polinomio característico.

y asi encontramos que λ1 = 0 y λ2 = 6. Para calcular ϕ1 y ϕ2 usamos la relacion

y la condicion orthonormal de masa. Tenemos

improniendo un ρ=-2, obtenemos el problema.


y también p(λ) = λ2 - 10λ + 16quedando los valores propios como. λ1= 2 , λ2= 8 .

como conclusión podemos decir que son necesarios solucionar los algoritmos para calcular los eigenvalores y sus correspondientes eigenvectores del problema

donde todos los eigenvalores son mayores a zero. Y esto, porque los modos de cuerpos rígidos están presentes, debemos siempre operar en una matriz de cambio de rigideces que hagan todos los eigenvalores positivos.

10.2.4 EFECTOS DE LA MASA ZERO.

Cuando usamos una matriz de masa agrupada, M es diagonal positiva y posiblemente un zero en los elementos de la diagonal. Si todos los elementos mii son mayores que zero, entonces por lo general los eigenvalores no podrán ser obtenidos por el procedimiento estudiado. Sin embargo, si M tiene algún elemento zero en su diagonal, podremos decir inmediatamente que el problema tiene los eigenvalores λn = λn-1 = ……. λ n-r+1 = ∞ y pueden construir el correspondiente eigenvector.Para obtener el resultado descrito anteriormente, remarcaremos que se requiere un vector ϕ y un escalar λ que satisfaga la ecuación

donde ϕ es una solución no trivial y es un vector con al menos un elemento diferente de zero.

En otras palabras, si tenemos un vector ϕ y un escalar λ que satisfaga la ecuación anterior tendremos un eigenvalor λ y un eigenvector ϕ respectivamente, donde debemos de recalcar que no importa el método como se obtuvieron.

Este es el caso cuando los modos de los cuerpos rígidos están presentes en los elementos estructurales de la armadura


10.2.5. TRANSFORMACION DE LA FORMA GENERALIZADA EIGENPROBLEMA KΦ=λMΦ A UNA FORMA ESTANDAR

Los eigen problemas más comunes que se encuentran en el análisis científico son problemas estándar. Y la mayoría de los eigen problemas se pueden reducir a una forma estándar. Por esta razón, la solución de los problemas estándar ha llamado mucho la atención en el análisis numérico, y muchos algoritmos están disponibles.En esta sección se mostrara como el problema KΦ=λMΦ se puede reducir a una forma estándar. Primero, veremos que la eficacia del procedimiento de eigensolución empleada depende en gran medida de la decisión de si se debe o no llevar a cabo la transformación a una forma estándar.Segundo, si un problema generalizado se puede escribir en la forma estándar, las propiedades de los eigenvalores, eigenvectores y polinomios característicos de los eigenproblemas generalizados pueden deducirse de las propiedades de la cantidades correspondientes del eigenproblema estándar.Se mostrara como las propiedades de los eigenvectores y las propiedades de los polinomios característicos del problema KΦ=λMΦ se derivan de las propiedades correspondientes del eigenproblema estándar.

Este es el caso cuando M es diagonal con mii>0 ,i=1 , . . ., n, como en un análisis de masa consistente. Si M es diagonal con algunos elementos de la diagonal cero, primero necesitamos llevar a cabo la condensación estática en los grados de libertad sin masa. Asumiendo que M es definida positiva, podemos transformar el problema generalizado KΦ=λMΦ mediante el uso de una descomposición de M de la forma

M=S ST (10.30)

Donde S es cualquier matriz nos singular. Sustituyendo M en KΦ=λMΦ,

KΦ=λS STΦ (10.31)

Pre multiplicando ambos lados de (10.31) por S−1 y definiendo un vector ~Φ=STΦ (10.32)

Obtenemos el eigenproblema estándar ~K~

Φ= λ~Φ (10.33)

Donde, ~K=S−1KS−T (10.34)Una de las dos descomposiciones de M que se utiliza en general: la factorización de Cholesky de la descomposición espectral de M. La factorización de Cholesky de M es obtenida con M=~

LM~LMT .

En 10.30 a 10.34 por lo tanto tenemos


S=~LM

(10.35)La descomposición espectral de M requiere la solución del eigensistema completo de M. Denotando la matriz de eigenvectores ortonormales con R y la matriz diagonal de eigenvalores por D2, tenemos

M=R D2RT (10.36)Y que utilizamos en (10.30) a (10.34), S=RD (10.37)Debe tenerse en cuenta que cuando M es diagonal, la matrices S en (10.35) y (10.37) son las mismas. Comparando la Factorización de Cholesky y la descomposición espectral en M, cabe señalar que el uso de los factores de Cholesky es en general computacionalmente más eficiente que el uso de la descomposición espectral debido a que menos operaciones están involucradas en el cálculo de

~LM que en el de R y D. Sin embargo, la descomposición espectral de M

puede producir una solución más precisa de KΦ=λMΦ .

Asumiendo que M está mal condicionada, entonces el proceso de transformación al eigenproblema estándar también está condicionado. En ese caso, es importante emplear el procedimiento de transformación más estable.

Considerar los siguientes ejemplos de la transformación del problema de valor generalizado KΦ=λMΦ a una forma estándar.

EJEMPLO 10.8 Considerar el problema KΦ=λMΦ, cuando

Utilizar la factorización de Cholesky de M para calcular la matriz ~K de un eigenproblema estándar correspondiente.Primero calculamos el LDLT descomponiendo a M.

Por lo tanto, el factor de Cholesky de M es


Y

La matriz del problema estándar ~K=~

LM−1K

~LM

−T es en este caso,


10.3 APROXIMADO SOLUCIÓN TÉCNICAS

Es aparente la naturaleza de un problema dinámica que un dinámica respuesta cálculo debe ser sustancialmente más costoso de un análisis estático.

Mientras en un análisis estático la solución es obtenida en uno paso, en dinámica la solución es necesaria en un número de tiempo discreto de puntos encima el tiempo intervalo considerado.

En Efecto, directo paso a paso de integración solución, una ecuación de estática, que incluye la efectos de inercia y fuerzas de de amortiguación, es considerada en un fin de cada discreto tiempo paso (Ver Sección 9.2). En vista de un modo de superposición análisis, el principal esfuerzo computacional es gastado en el cálculo del requerido de frecuencias y modos de formas, que también requieren ser considerablemente más esfuerzo que un análisis estático.

Es por lo tanto natural que mucho atención sea dirigida hacia un eficaz algoritmo para la cálculo necesario de un eigen sistema en el problema

K Ф= ƛM Ф

Porque la solución "Exacta" de la necesaria de valores propios y Vectores propios pueden ser prohibitivamente caros cuándo la orden del sistema es grandey "Convencional" técnica es utilizada, las técnicas de solución lo tienen desarrollado.

El propósito de esta sección es presentar la mayor aproximación de métodos que tienen diseñada y Actualmente todavía se usan.

La solución aproximada de técnicas ante todo estado desarrollado a calcular el más bajo valor propio y correspondiente de vectores propios en el problema K Ф= ƛM Ф cuándo el orden del sistema es grande.

Más programas de uso exacto y tiene una solución de técnicas en el análisis de pequeña orden sistemática. Sin embargo, el problema de calcular pocos más bajo eigen pares de relativamente gran orden de sistemas es muy importante y es encontrado en todas las ramas de


estructuras de ingeniería y en particular en terremoto en respuesta de análisis. En las siguientes secciones presenta tres técnicas.

El objetivo en la presentación es no a abogar por la implementación de cualquier uno de estos métodos pero más bien a de describir su práctica / utilizar, su limitaciones, y la supuestos empleada. Por otra parte, la relaciones entre las aproximaciones técnicas son descritas, y en la (Sección 11.6) la aproximación de las técnicas consideradas puede entenderse a ser un primero interación (y puede ser usado como tales) en el sub espacio de interacción con el algoritmo.

1 0.3.1 Condensación Estática.

Tenemos ya encontrados los procedimientos estáticos de condensación en la solución de equilibrio estática de ecuaciones, donde se mostró la condensación estática es decir, una aplicación de Gauss mediante la eliminación (Ver Sección. 8.2 4).

En la condensación estática nosotros eliminamos aquellos gradosde libertad que son no necesario a aparecer en la global finito elemento de encaje. Por ejemplo, los desplazamientos y grados de libertad internas, nodos de un elemento finito puede ser condensado fuera porque ellos hacen no tomar parte imponente de continuidad.

Mencionamos en esta Sección 8.2.4 " la condensación estática que era realmente acuñada en el análisis de dinámico".

La básica asunción estático - condensación en el cálculo de frecuencias y en el modo de formas es que de la masa de la estructura es agrupado en sólo específicos grados de libertad sin mucho efecto en la precisión de las frecuencias y modo formas de interés.

En el caso de un agrupamiento de la masa en la matriz con ceros en la diagonal de elementos, la masa tiene ya a estado realizado. Sin embargo, como adicional la masa es en requerido

Generalmente. Típicamente, la proporción de masa grados de libertad a la tot

al número de grados de libertad mayo ser en alguna parte entre 1 y 1 â €

¢ La más masa es realizada, Asumiendo que la masa ha sido realizada a cabo.


Por particionamiento de matrices, nosotros

Entonces escribimos el eigen problema en la forma:


10.3.2 Componente Modo Síntesis

Como para la estático condensación procedimiento, la componente modo síntesis es decir, en De hecho, un análisis Ritz, y la método fuerza tener estado presentado en laanterior sección como un aplicación específica. Sin embargo, como fue repetidamente puntiagudo fuera, la más importante aspecto en un Análisis Ritz es la selección deapropiado Ritz base vectores porque la resultados lata ser sólo tan bueno como la Ritz base vectores permitir ellos a ser. La específico esquema usado en la modo de componente síntesis es de particular interés, que es la razón nosotros querer a dedicar un sección separada a la discusión de la método.

La componente modo síntesis tiene estado desarrollado a un grande grado como un consecuencia natural de la análisis procedimiento seguido en práctica cuándo grande y complejo sea

La general practica! procedimiento es que diferente grupos realizar los análisis de diferente componentes de la estructura bajoconsideración. Para ejemplo, en una planta análisis, uno grupo mayo analizar un principal pipa y otro grupo un tubería sistema conectado a ella.

En un primero preliminar análisis, ambos grupos trabajo por separado y modelo los efectos de el otro componentes en la componente específico que ellos considerar en una aproximada manera. Paraejemplo, en el análisis de la dos tubería sistemas referido a anteriormente, el análisis grupo de la lado rama mayo asumir completo fijeza en el punto de intersección con la principal tubería, y el grupo análisis la principal pipa introducir un concentrado primavera y la masa a permitir para la lado rama. La ventaja de en vista de componentes de la estructura por separado es ante todo uno de tiempo programación; es decir, la separado grupos lata trabajar en la análisis y diseños de la componentes enla mismo tiempo. lt es ante todo para esta razón que la componente modo síntesis es muy atractivo en la análisis y diseño de gran estructural sistemas.


Asumir que la preliminar análisis de la componentes tener estado realizado fuera y que la completo estructura deberá ahora ser analizada. lt es en este etapa que lamodo de componente síntesis es un natural procedimiento a usar. A saber, con la modo forma características de cada componente conocido, ella aparece natural a uso esteinformación en estimar las frecuencias y modo formas de la completo estructura. La específico procedimiento mayo varían (véase R. R. Craig, Jr. [A]), pero, en esencia, lamodo formas de la componentes son usado en una Rayleigh-Ritz análisis a calcular aproximado modo formas y frecuencias de la completa estructura.

Considerar para ilustración que cada componente estructura fue obtenido por fijación a11 su límite grados de libertad y denotar la rigidez matrices de la componenteestructuras de K1, Kn, ... , KM (Ver Ejemplo 10,18). Asumir que sólo componente estructuras L - 1y L conectar, L = 2, ... , M; entonces nosotros lata escribir para la rigidez matriz de la completoestructura,

10.3.3 Síntesis del Modo de Componente.


En cuanto al procedimiento de condensación estática, la síntesis del modo de componente es, de hecho, un análisis Ritz, y el método podría haber sido presentado en la sección anterior como una aplicación específica. Sin embargo, como se ha señalado en reiteradas ocasiones, el aspecto más importante en un análisis Ritz es la selección de los vectores de la base Ritz apropiadas ya que los resultados pueden ser tan buenos como los vectores de la base Ritz permitan que sean. El esquema específico utilizado en la síntesis del modo componente es de particular interés.La síntesis del modo de componente se ha desarrollado en gran medida como una consecuencia natural del procedimiento de análisis seguido en la práctica cuando se analizan las estructuras grandes y complejas. El procedimiento de práctica general es que diferentes grupos realizan análisis de los diferentes componentes de la estructura bajo consideración. Por ejemplo, en un análisis de planta, un grupo puede analizar una tubería principal y otro grupo un sistema de tuberías conectado a ésta. En un primer análisis preliminar, ambos grupos trabajan por separado y modelan los efectos de los otros componentes en el componente específico que consideran de forma aproximada. Por ejemplo, en el análisis de los dos sistemas de tuberías mencionadas anteriormente, el grupo de análisis de la rama lateral puede asumir empotramiento en el punto de intersección con la tubería principal, y el grupo de análisis de la tubería principal puede introducir un resorte y masa concentrados para permitir la rama lateral. La ventaja de considerar los componentes de la estructura por separado es principalmente uno de programación de tiempo; es decir, los grupos independientes pueden trabajar en los análisis y diseños de los componentes al mismo tiempo. Es principalmente por esta razón que la síntesis del modo componente es muy atractivo en el análisis y diseño de grandes sistemas estructurales.Suponga que los análisis preliminares de los componentes se han llevado a cabo y que ahora deberá ser analizada la estructura completa. Es en esta etapa que la síntesis del modo de componente es un procedimiento natural a usar. Es decir, con las características de la forma de modo de cada componente conocido, parece natural utilizar esta información en la estimación de las frecuencias y las formas de los modos de la estructura completa. El procedimiento específico puede variar, pero, en esencia, las formas de los modos de los componentes se utilizan en un análisis de Rayleigh-Ritz para calcular formas de los modos y frecuencias aproximadas de la estructura completa.Considérese que cada componente de la estructura fue obtenido empotrando todos los grados de libertad de frontera y se denotan las matrices de rigideces de los componentes como K1, KII, … , KM. Suponga que solo los componentes L-1 y L se conectan, L=2, . . . M, entonces se puede escribir la matriz rigidez

Usando una notación análoga para la matriz de masas, se obtiene lo siguiente

Suponga que los eigen-valores más pequeños y sus correspondientes eigen-vectores para cada componente han sido calculado, es decir, se tiene para cada componente lo siguiente:


donde ΦL y 𝚲L son las matrices de los eigenvectores calculados y los eigenvalores del L-ésimo componente.En la síntesis del modo de componente, las formas aproximadas de modo y las frecuencias pueden obtenerse usando el análisis Rayleigh-Ritz:

Una consideración importante es la exactitud que se puede esperar. El análisis tiende a fronteras superiores a los eigenvalores exactos del problema KΦ=λMΦ. Ejemplo 10.18. Considérese el eigen problema , KΦ=λMΦ donde

Use los eigen problemas subestructurados indicados por las líneas punteadas en K y M para establecer la matriz de cargas R para un análisis de síntesis del modo de componente. Luego, calcule las aproximaciones para el eigenvalor y eigenvector.Para la subestructura I, se tiene

con la eigensolución

y para la subestructura II,

con la eigen solución

Por lo tanto obtenemos para la matriz R,


Ahora, realizando el análisis de Ritz se obtienen

y por lo tanto,

Los eigen valores exactos son

y por lo tanto, se puede observar que se obtuvo en pi una buena aproximación para 𝜆1, pero p2 y p3 no representan aproximaciones a los eigen valores.


10.4 ERRORES DE SOLUCIÓN

Una parte importante de un eigenvalor y solución de vector debe estimar la exactitud con la cual el eigensistema requerido ha sido calculado. Ya que una solución eigensistem es necesariamente iterativa, la solución debería ser terminada una vez que la convergencia dentro las tolerancias que dan la exactitud actual han sido obtenidas. Cuando uno aproxima técnicas de solución perfiladas en el Artículo 10.3 es usado, una estimación de la exactitud de solución actual obtenida es por supuesto también importante.10.4.1 Límites de error A fin de identificar la exactitud que ha sido obtenida en un eigensolución, recordamos que la ecuación para ser solucionada es:

Kϕ=λMϕ(10.96)Debemos primero suponer que usando cualquier procedimiento de solución obtuviéramos una aproximación λ y ф a un eigenpair. Entonces sin hacer caso de como los valores han sido obtenidos, podemos evaluar un vector residual que da la información importante sobre la exactitud con la cual λ y ф se acercan el eigenpair. Dan los resultados en (10.101) a (10.104). Entonces también presentamos los cálculos ligados del error útil en soluciones basadas en iteraciones inversas y una medida de error simple. Eigenproblema estándar Considere primero aquel M = l. En este caso podemos escribir:

r=Kϕ− λϕ(10.97)Y usando las relaciones en (10.12) y (10.13), tenemos:

r=ϕ ( Λ−λI )ϕT ϕ (10.98)O porque λ no es igual, pero sólo cerca de un eigenvalor, tenemos:

ϕ=ϕ ( Λ−λI )ϕT r (10.99)De ahí, porque‖ϕ‖2=1, tomando normas obtenemos:

1≤‖( Λ− λI )−1‖2‖r‖2(10.100)Pero desde‖( Λ−λI )−1‖2=max 1

|λi−λ|Tenemos min|λ i−λ|≤‖r‖2(10.101)Por lo tanto, una declaración concluyente puede ser hecha sobre la exactitud con la cual λ se aproxima un eigenvalor un λ i evaluando ‖r‖2 como expresado en (10.101). Esto es completamente diferente de la información que podría ser obtenida de la evaluación del vector residual r en la solución de las ecuaciones de equilibrio estáticas.Aunque la relación en (10.101) establezca que λ está cerca de un eigenvalor a condición de que ‖r‖2 es pequeño, debiera ser reconocido que la relación no cuenta que eigenvalores es acercado. De hecho, para identificarse qué un eigenvalor específico ha sido acercado, es necesario usar la propiedad de secuencia de Sturm (ver el Artículo 10.2.2 y los ejemplos).EJEMPLO 10.19: Considere el eigenproblema Kϕ=λϕdonde:

K=[ 3 −1 0−1 2 −10 −1 3 ]


La eigensolución es λ1=1 , λ2=3 , λ3=4 ,y:

ϕ1=1√6 [121];ϕ1= 1

√2 [101];ϕ1= 1√3 [ 1−11 ]

Suponga que calculamos

λ=3.1 y ϕ=[ 0.70.1414−0.7 ]

Como aproximaciones a λ2 y ϕ2 Preséntese el error de la relación en (10.101). Tenemos en este caso

r=[ 3 −1 0−1 2 −10 −1 3 ][ 0.7

0.1414−0.7 ]−3.1 [1 ¿

1 ¿1][ 0.70.1414−0.7 ]

Por lo tanto

r=[−0.2114−0.1555−0.2114 ];‖r‖2=0.3370

La relación en (10.10 1) ahora da:|λ2−λ|≤0.3370

Que en efecto es verdad porque|λ−λ2|=0.1Asuma ahora que sólo hemos calculado λ y ф sin saber que eigenvalores y vectores se acercan. En este caso podemos usar la relación en (10.101) límites establecidos a la orden del eigenvalor exacta desconocida al aplicar controles de secuencia de Sturm (ver el Artículo 10.2.2).


Del mismo modo, suponiendo que Ф es una aproximación Ф 2. Obtenemos

||Ф - ᾳ 2 Ф 2 ll2 ≤ 1

Y en ambos casos el destino obtenido es muy grande (en cuenta que ll Ф 1 ll 2 = 1 y ll Ф2 l2 = 1),Lo que indica que no se aproxima un eigen vector.

10.4.1 Eigen problema Generalizado

Consideremos ahora que se desea estimar la precisión obtenida en la solución de lo generalizado

Eigen problema KФ= ƛ .M Ф Supongamos que hemos calculado como una aproximación a

ƛi Ф i los valores

ƛ y Ф Luego, en analogía con los cálculos efectuados anteriormente, podemosCalcular un vector de error rM, donde

rM = K Ф – ƛ M Ф (10.103)

Con el fin de relacionar el vector de error en (10.103) al vector de error que corresponde a la eigen problema estándar, usamos

M = sst, y luego

r = KФ, - ƛФ (10.104)Donde

r = s-1 r M, Ф= sTФ and K = s-1 Ks-r (véase la Sección

10.2.5). It is the vector s-1 rM que tendríamos que utilizar, por lo tanto , para calcular la cota de error dado en ( 1O.1O 1).

Estos Cálculos de error obligado requerirían la factorización de M en ssT donde se suponeQue es definida positiva. Durante cálculos

En los cálculos reales frecuentemente usamos el método de interacción inversa (véanse las secciones 11.2 y 11.6) , y luego un límite de error basado en las siguientes evaluaciones se pueden obtener de manera eficiente ( ver H. Matthies [A] y también el ejercicio 10.11). Dejar

Entonces tenemos


1

(10.105)

(10.106)

Y

(10.107)Donde p (<f >) es el cociente de Rayleigh

Veremos qué (10.105) es el paso típico en una iteración inversa, Lanczos iteración, y la iteración sub espacio, y p ( Ф) es , en la práctica también casi siempre calculan de buena calidad aproximación del cociente de Rayleigh a un valor propio . Nótese también que el término ФT MФ/ФTMФ consta de dos números que se calculan con facilidad en las iteraciones.

Mientras que los límites de error anteriores son muy eficaces, es finalmente también de interés para considerar la siguiente medida simple error:

(10.108)


Para evitar la factorización de M podemos en lugar de considerar el problema MФ, = ƛ- 1 K Ф , si la factorización de K ya está disponible, y luego establecer límites sobre el ƛ - 1


r

Dado que, físicamente, K Ф representa las fuerzas elásticas de puntos nodales y ƛ M Ф representa las fuerzas de inercia de punto nodal cuando el elemento de conjunto finito está vibrando en el modo Ф evaluamos en (10.108) la norma de salida de la balanza de fuerzas punto nodal dividido por la normaDe fuerzas elásticas punto nodal. Esta cantidad debe ser pequeña si ƛ y Ф Son una exactaSolución de un eigenpair.

If M = 1, debe tenerse en cuenta que podemos escribir

y por lo tanto

(10.10

(10.110)Ejemplo 10.23: Considere la eigen problema KФ = ƛMФ , donde

Los valores propios y vectores propios exactos a la precisión de 12 dígitos son

Supongamos que Ф= ( Ф1 + δФ 2 ) c , donde c es tal que ФTMФ = 1 y δ = 10-1 , 10-3 , y 10-6 • Para cada valor de δ evaluar X como la Ray1eigh cociente de ( i) y calcu1ar de los límites de error sobre la base de ( 10.104 ) , ( 10.106 ) , y la medida de error e dada en ( 10.108 ) .La siguiente resume la tab1a de resu1tados obtenidos. Las ecuaciones utilizadas para evaluar las cantidades se dan en (10.103) a (10.108). Los resultados en el tab1e muestran que para cada valor de δ de los límites de error son satisfactoriamente y que E es también para una pequeña solución precisa.

δ 10-1 10-3 10-6

Ф 0.597690792656 0.640374649073 0.640775610204

0.156698194481 0.105594378695 0.105070861597

ФTKФ 4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905

ƛ 4.154633890275 3.863414928932 3.863385512905

-1.207470493734 -0.008218153965 -0.000008177422rM 4.605630581124 0.049838803226 0.000049870085

1.634419466242 0.021106743617 0.0000211523641.411679295681 0.015042545327 0.000015049775


|ƛ1 – ƛ| 0.291248377399 0.000029416056 0.000000000029

Destinado 2.159667897036 0.0259185801320.000025959936 (10.101/10.104)

Bound 2.912483773983 0.029416056744 0.000029433139(10.106)

Measure 0.447113235813 0.007458208660 0.000007491764(10.108


Preliminares a las Soluciones de Eigen problemas Chap. 10

10.4.2 Ejercicios

10.11. La siguiente cota de error es discutido por J. Stoer y R. Bulirsch [ A]. Sea A una matriz simétrica y A ; ser un valor propio de A; entonces

Para cualquier vector

Demostrar que (10.105) a (10.107) se siguen de esta fórmula.

10.11. Considere el eigen problema en el Ejercicio 10.1. Dejar

Calcular Ф usando (10.105) y p Ф Estos valores, p (Ф)Y Ф , son ahora las mejores aproximaciones ¬ a un valor propio y vector propio.

Establecer los límites de error (10.101) [con (10.103) ] y ( 10.106 ) . También evaluar el errorMedida (10.108).


Mecanica de Medios Continuos e introduccion a los metodos finitos

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