Mecánica de Fluidos - Frank M. White 5ta Edición

FRANK M. WHITE

mecnicade fluidos

quintaedicin

Mecnica de Fluidos

Mecnica de Fluidos

Quinta edicin

Frank M. WhiteUniversity of Rhode Island

Equipo de Traduccin:Marcos Vera Coello

Miguel Hermanns NavarroRafael Gmez Blanco

scar Flores AriasRevisor Tcnico:

Amable Lin Martnez

Dept. de Motopropulsin y TermofluidodinmicaEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Aeronuticos

Universidad Politcnica de Madrid

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICONUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO SO PAULO

AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARSSAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TOKIO TORONTO

MECNICA DE FLUIDOS. Quinta edicinNo est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento in-formtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya seaelectrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permisoprevio y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS 2004, respecto a la quinta edicin en espaol,por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAA, S. A. U.Edificio Valrealty, 1.a plantaBasauri, 1728023 Aravaca (Madrid)Traducido de la quinta edicin en ingls deFLUID MECHANICSCopyright 2003, por McGraw-Hill, Inc.ISBN: 0-07-240217-2

ISBN: 84-481-4076-1Depsito legal: M.

Editora de la edicin en espaol: Silvia FiguerasAsistente editorial: Amelia NievaDiseo de cubierta: CD-FORMCompuesto en: Fernndez Ciudad, S.L.Impreso en:

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN

Frank M. White es Profesor Emrito de Ingeniera Mecnica y Ocenica en la Universidad de Rhode Is-land. Estudi en el Instituto Tecnolgico de Georgia (Georgia Tech) y en el Instituto Tecnolgico de Mas-sachusetts (M.I.T.). En 1966 colabor en la creacin del departamento de ingeniera ocenica de la Uni-versidad de Rhode Island, el primero de este tipo en EE.UU. Conocido principalmente como profesor yescritor, ha recibido ocho premios de docencia y ha escrito cuatro libros de texto sobre mecnica de fluidosy transferencia de calor.

Desde 1979 hasta 1990 fue editor jefe de la revista ASME Journal of Fluids Engineering y despus, en-tre 1991 y 1997, fue director del Consejo de Editores y del Comit de Publicaciones de la ASME (Ameri-can Society of Mechanical Engineers). Es miembro de la ASME y en 1991 recibi el premio ASME de In-geniera de Fluidos. Vive con su mujer, Jeanne, en Narragansett, Rhode Island.

v

El autor

A Jeanne

Prlogo xi

Prlogo a la edicin espaola xiv

CAPTULO 1Introduccin 3

1.1. Notas preliminares 31.2. Concepto de fluido 41.3. El fluido como medio continuo 51.4. Dimensiones y unidades 61.5. Propiedades del campo de velocidades 131.6. Propiedades termodinmicas de un fluido 151.7. Viscosidad y otras propiedades secundarias 221.8. Tcnicas bsicas de anlisis de los flujos 361.9. Descripcin del flujo: lneas de corriente, sendas

y lneas de traza 371.10. El resolvedor de ecuaciones de ingeniera 421.11. Incertidumbre de los datos experimentales 431.12. El examen de fundamentos de ingeniera (FE) 441.13. Tcnicas de resolucin de problemas 451.14. Historia y perspectiva de la mecnica de fluidos 45

Problemas 46Problemas del examen de fundamentos deingeniera 54Problemas extensos 54Referencias 57

CAPTULO 2Distribucin de presiones de un fluido 59

2.1. Presin y gradiente de presin 592.2. Equilibrio de una partcula fluida 612.3. Distribucin de presiones en hidrosttica 632.4. Aplicacin a la medida de presiones 692.5. Fuerzas hidrostticas sobre superficies planas 732.6. Fuerzas hidrostticas sobre superficies curvas 792.7. Fuerzas hidrostticas en fluidos estratificados 822.8. Flotacin y estabilidad 842.9. Distribucin de presiones en movimiento como

slido rgido 902.10. Medida de la presin 98

Resumen 102Problemas 102Problemas conceptuales 123

Problemas del examen de fundamentos deingeniera 124Problemas extensos 124Proyectos de diseo 126Referencias 127

CAPTULO 3Relaciones integrales para un volumen de control 129

3.1. Leyes bsicas de la mecnica de fluidos 1293.2. Teorema del transporte de Reynolds 1333.3. Conservacin de la masa 1413.4. Conservacin de la cantidad de movimiento 1483.5. Teorema del momento cintico 1613.6. Ecuacin de la energa 1663.7. Flujo sin friccin: la ecuacin de Bernoulli 177

Resumen 185Problemas 186Problemas conceptuales 213Problemas del examen de fundamentos deingeniera 213Problemas extensos 214Problemas de diseo 215Referencias 216

CAPTULO 4Relaciones diferenciales para una partcula fluida 219

4.1. El campo de aceleraciones de un fluido 2194.2. La ecuacin diferencial de conservacin de la

masa 2214.3. La ecuacin de la cantidad de movimiento en forma

diferencial 2274.4. La ecuacin diferencial del momento cintico 2344.5. La ecuacin diferencial de la energa 2354.6. Condiciones de contorno para las ecuaciones

bsicas 2384.7. La funcin de corriente 2434.8. Vorticidad e irrotacionalidad 2514.9. Flujos irrotacionales no viscosos 2534.10. Algunos flujos potenciales planos ilustrativos 2584.11. Algunos flujos viscosos incompresibles ilustrativos 263

Resumen 272Problemas 272Problemas conceptuales 282

vii

Contenido

Problemas del examen de fundamentos deingeniera 282Problemas extensos 283Referencias 284

CAPTULO 5Anlisis dimensional y semejanza 287

5.1. Introduccin 2875.2. El principio de homogeneidad dimensional 2905.3. El teorema Pi 2955.4. Adimensionalizacin de las ecuaciones bsicas 3015.5. La modelizacin y sus dificultades 310

Resumen 320Problemas 320Problemas conceptuales 328Problemas del examen de fundamentos deingeniera 329Problemas extensos 329Proyectos de diseo 330Referencias 331

CAPTULO 6Flujo viscoso en conductos 335

6.1. Regmenes en funcin del nmero de Reynolds 3356.2. Flujos internos y flujos externos 3406.3. Prdida de carga; el coeficiente de friccin 3426.4. Flujo laminar completamente desarrollado en

conductos circulares 3446.5. Modelizacin de la turbulencia 3476.6. Flujo turbulento en conductos circulares 3536.7. Tres tipos de problemas sobre flujo en tubos 3606.8. Flujo en conductos no circulares 3666.9. Prdidas localizadas en sistemas de tuberas 3766.10. Sistemas de tuberas 3846.11 Experimentacin de flujos en conductos: actuaciones

de un difusor 3906.12. Medidores en fluidos 395


CAPTULO 7Flujo alrededor de cuerpos 437

7.1. Efectos geomtricos y del nmero de Reynolds 4377.2. Mtodos integrales en la teora de la capa lmite 4407.3. Las ecuaciones de capa lmite 4447.4. Capa lmite sobre una placa plana 4467.5. Capa lmite con gradiente de presin 4557.6. Experimentacin en flujos externos 461


CAPTULO 8Flujo potencial y mecnica de fluidos computacional 505

8.1. Introduccin y repaso 5058.2. Soluciones elementales en flujos planos 5088.3. Superposicin de soluciones de flujos planos 5108.4. Flujos planos alrededor de cuerpos cerrados 5168.5. Otros flujos potenciales planos 5258.6. Imgenes 5308.7. Teora de perfiles 5328.8. Flujo potencial axilsimtrico 5438.9. Anlisis numrico 549

Resumen 563Problemas 563Problemas conceptuales 574Problemas extensos 574Proyectos de diseo 576Referencias 576

CAPTULO 9Flujo compresible 579

9.1. Introduccin 5799.2. La velocidad del sonido 5839.3. Flujo estacionario adiabtico e isentrpico 5869.4. Flujo isentrpico con cambios de rea 5919.5. La onda de choque normal 5999.6. Operacin de toberas convergentes y divergentes 6069.7. Flujo compresible en conductos con friccin 6119.8. Flujo en conductos sin friccin y con adicin de

calor 6239.9. Flujo supersnico bidimensional 6279.10. Ondas de expansin de Prandtl-Meyer 637


CAPTULO 10Flujo en canales abiertos 669

10.1. Introduccin 66910.2. Movimiento uniforme: la frmula de Chzy 67410.3. Canales eficientes para movimiento uniforme 680

viii CONTENIDO

10.4. Energa especfica; calado crtico 68210.5. El resalto hidrulico 68910.6. Movimiento gradualmente variado 69410.7. Control y medida de caudales mediante vertederos 701


CAPTULO 11Turbomquinas 725

11.1. Introduccin y clasificacin 72511.2. La bomba centrfuga 72811.3. Curvas caractersticas de bombas y reglas de

semejanza 73411.4. Bombas helicocentrfugas y axiales: la velocidad

especfica 743

11.5. Acoplamiento de bombas a una red 75111.6. Turbinas 756

Resumen 769Problemas 769Problemas conceptuales 780Problemas extensos 780Proyecto de diseo 782Referencias 782

Apndice A Propiedades fsicas de los fluidos 785

Apndice B Tablas para flujos compresibles 791

Apndice C Factores de conversin 807

Apndice D Ecuaciones de movimiento en coordenadascilndricas 811

Solucin de problemas seleccionados 813

ndice 821

CONTENIDO ix

ENFOQUE GENERAL

En la quinta edicin del libro Mecnica de Fluidos se ha aadido y suprimido material con respecto a edi-ciones anteriores, aunque la filosofa del libro se mantiene intacta. La estructura bsica, compuesta poronce captulos y apndices, sigue igual. Se siguen discutiendo los tres mtodos: integral, diferencial y ex-perimental. Se han aadido nuevos problemas, y se han modificado muchos de los problemas y ejemplosde trabajo. Se ha mantenido el estilo informal, orientado a los estudiantes, y se han aadido bastantes fo-tografas y figuras nuevas.

HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE

El nmero de problemas contina aumentando: de los 1089 de la primera edicin se ha pasado a 1169 enla segunda, 1392 en la tercera, 1500 en la cuarta y 1650 en esta quinta edicin. La mayor parte de ellosson los problemas estndar de final de captulo, clasificados por temas. Tambin hay problemas concep-tuales, problemas tipo test del Examen de Fundamentos de Ingeniera, problemas extensos y proyectos dediseo. En el apndice se recogen las respuestas a los problemas seleccionados (los de numeracin par).

Los problemas de ejemplo del texto principal han sido reestructurados de nuevo, siguiendo la secuenciade pasos indicada en la Seccin 1.13, con el objetivo de proporcionar una estrategia uniforme de resolucinde problemas a los estudiantes.

CAMBIOS DE CONTENIDO

Hay varias modificaciones en cada captulo. El Captulo 1 se ha reducido considerablemente, trasladando lostemas ms avanzados a captulos posteriores. Por su gran importancia, se han aadido nuevas discusionesy nuevas figuras relativas a la visualizacin de flujos.

El Captulo 2 contiene material nuevo sobre transductores de presin.El Captulo 3 introduce una lista de sugerencias especficas para tratar las dificultades de la ecuacin

de cantidad de movimiento. La ecuacin de Bernoulli sigue incluyndose al final en lugar de tratarse en unnuevo captulo. Se hace nfasis en las numerosas restricciones a las que est sometida la ecuacin de Ber-noulli, que con frecuencia utilizan de forma incorrecta tanto los estudiantes como los ingenieros gradua-dos.

El Captulo 4 incluye ahora el anlisis del flujo laminar de Poiseuille en conductos, como un ejemplo desolucin exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este tema se vuelve a tratar brevemente en el Captu-lo 6. Si no est de acuerdo con este orden, se pueden omitir las Secciones 4.10 y 4.11 y tratarlas entonces.

El Captulo 5 contiene ahora una seccin completa donde se discute cmo elegir las variables dimen-sionalmente independientes adecuadas para el anlisis dimensional. Decidiendo en primer lugar cmo se es-calan y cmo se presentan los datos, la ambigedad desaparece o al menos se reduce.

En el Captulo 6 se ha aadido una nueva seccin sobre las prdidas de carga y el coeficiente de fric-cin. El flujo laminar y turbulento en tuberas se estudia de forma separada para aumentar la claridad. Losmodelos de turbulencia se incluyen ahora en una nueva seccin. Se han aadido nuevos datos sobre prdi-das localizadass, y se discuten nuevos medidores de caudal. Los medidores de orificio y tobera incluyenahora un factor de correccin por compresibilidad.

xi

Prlogo

El Captulo 7 contiene nuevas discusiones sobre Mecnica de Fluidos Computacional (CFD, Compu-tational Fluid Mechanics) y ms detalles sobre la aproximacin de capa lmite. Se ha aadido una nuevaseccin sobre movimientos lentos.

El Captulo 8, salvo por la adicin de nuevos problemas y referencias, queda prcticamente igual. Creoque se trata del tratamiento ms extenso del flujo potencial en un libro para estudiantes no graduados.

En el Captulo 9 se discuten con mayor detalle los flujos de Fanno y Rayleigh y se presentan algunas delas nuevas tendencias en aeronutica, tanto subsnicas como supersnicas.

El Captulo 10 contiene ms discusiones sobre el nmero de Froude y ha mejorado el tratamiento de lassoluciones compuestas de movimientos gradualmente variados gracias al Profesor Bruce E. LaRock, de laUniversidad de California, Davis. Se ha aadido un esquema sencillo de diferencias finitas para movi-mientos variados que resulta til cuando las mediciones del campo fluido son escasas. Tambin se ha in-troducido el concepto de vertedero compuesto.

El Captulo 11 est prcticamente inalterado, excepto por las mejoras y las correcciones introducidas porel Profesor Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick.

MATERIAL SUPLEMENTARIO

La pgina web en ingls del libro, http://www.mhhe.com/white5, contiene una Gua de Estudio para el Es-tudiante (Student Study Guide), preparada por el Profesor Jerry Dunn, de la Universidad Tecnolgica de Te-xas, que proporciona una revisin concisa de los principales temas tratados en un primer curso; versiones in-teractivas de los problemas del Examen de Fundamentos de Ingeniera (FE, Fundamentals of Engineering)incluidos en el texto, preparados por el Profesor Edward Anderson, de la Universidad Tecnolgica de Te-xas, que pueden servir para preparar el examen o como autoevaluacin; un enlace a la pgina web de EES;y versiones PowerPoint de todas las figuras del texto.

AGRADECIMIENTOS

Como de costumbre, hay tanta gente que ha colaborado en la elaboracin de este libro que me es imposiblerecordarlos y enumerarlos a todos. Agradezco las numerosas sugerencias y mejoras realizadas durante la es-critura del libro por Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. Todas las revisiones, juntocon el material adicional, incluyendo el Manual de Soluciones, fueron revisados y corregidos por mi cole-ga Elizabeth J. Kenyon. Muchos otros colaboradores realizaron numerosas sugerencias y correcciones, pro-porcionaron material para el libro y me dieron nimos para seguir adelante: Alex Smits, Universidad dePrinceton; Ray Taghavi, Universidad de Kansas; Ganesh Raman, Instituto Tecnolgico de Illinois; PhilCombs, B. D. Fuller y Wayne Stroupe, U.S. Army Waterways Experiment Station; John Cimbala, Univer-sidad del Estado de Pennsylvania; Sheldon Green, Universidad de la Columbia Britnica; Nikos J. Mourtos,Universidad del Estado de San Jos; Jacques Lewalle, Universidad de Syracuse; Richard McCuen, Uni-versidad de Maryland; Andris Skattebo, Scandpower A/S; Bruce E. Larock, Universidad de California, Da-vis; Sandra Barrette y Joan Zimmer, Badger Meter, Inc.; Dean Mohan, PCB Piezotronics; Andrei Smirnove Ismail Celik, Universidad de West Virginia; Fernando Tavares de Pinho, CEFT-Transport Phenomena Re-search Centre, Portugal; S. Y. Son, Ken Kihm y J. C. Han, Universidad de Texas A&M; Ethan Lipman,Universidad de California, Davis; Deborah Pence, Universidad del Estado de Oregon; Debendra K. Das,Universidad de Alaska, Fairbanks; John Gay y Nick Galante, U.S. Navy; Dimitre Karamanev, Universidadde Western Ontario; Jay M. Khodadadi, Universidad de Auburn; John Foss, Universidad del Estado de Mi-chigan; William Palm y Raymond Wright, Universidad de Rhode Island; Haecheon Choi, Universidad Na-cional de Seoul, Korea; Lee Jay Fingersh, National Renewable Energy Laboratory; John Sheridan, Uni-versidad de Monash; Jason Reese, Universidad de Londres; Samuel S. Sih, Walla Walla College; ChihyungWen, Universidad de Da-Yeh, Taiwan; Tim Gourlay, Australian Maritime College; Azer Yalin, Universi-dad del Estado de Colorado; Donald E. Richards, Instituto Rose-Hulman; Bob Oakberg, Universidad del Es-tado de Montana; Brian James Savilonis, Instituto Politcnico de Worcester; Ryoichi S. Amano, Ph.D., Uni-versidad de Wisconsin-Milwaukee; James D. McBrayer, P.E., D.Sc., Universidad de Florida Central; DonL. Boyer, Universidad del Estado de Arizona; Savas Yavuzkurt, Universidad del Estado de Pennsylvania;Abdul I. Barakat, Universidad de California, Davis; James A. Liburdy, Universidad del Estado de Oregon;Clement Kleinstreuer, Universidad del Estado de Carolina del Norte, Raleigh; Robert G. Oakberg, Uni-

xii PRLOGO

versidad del Estado de Montana. Tambin han colaborado en la revisin: Dr. John W. Nicklow, P.E., P.H.,Universidad del Sur de Illinois, Carbondale; Gary Tatterson, Universidad del Estado de North CarolinaA&T; Anthony J. McHugh, Universidad de Illinois; Soyoung Cha, Universidad de Illinois-Chicago; DonaldCarlucci, Instituto de Tecnologa Stevens; Darrell W. Pepper, Ph.D., Universidad de Nevada, Las Vegas; yFarhan H. Chowdhury, Universidad de Ingeniera y Tecnologa de Bangladesh.

Como viene siendo habitual, la colaboracin del personal de McGraw-Hill fue de enorme ayuda.Quiero dar las gracias a Jonathan Plant, Amy Hill, Regina Brooks, Rory Stein, Jill Peter, Brenda Ernzen,Rick Noel, Beverly Steuer, Meg McDonald, David Tietz, Denise Keller, Lauren Timmer y StephanieLange. Finalmente, quiero agradecer, como siempre, el apoyo y los nimos constantes de mi mujer y mi fa-milia.

PRLOGO xiii

Me complace prologar esta traduccin espaola del libro de Frank M. White, Fluid Mechanics, que a mi jui-cio representa una introduccin excelente a la Mecnica de Fluidos.Cubre muy eficazmente y con el rigorsuficiente una gran variedad de temas de inters prctico, sin requerir por parte del alumno un gran nivel deconocimientos matemticos o fsicos de partida.

Quisiera resaltar el papel que los numerosos ejercicios de este libro juegan para complementar la ex-posicin de la Mecnica de Fluidos dada en el texto principal. El autor ha conseguido, mediante una cui-dadosa seleccin de los ejercicios, ofrecer al alumno la posibilidad de aprovechar el trabajo que la realiza-cin de los ejercicios representa, no slo para mejorar su comprensin de los temas desarrollados en el texto,sino tambin para ampliar sus conocimientos y su sentido fsico del movimiento de los fluidos y de las apli-caciones prcticas de estos conocimientos. Tanto instructores como alumnos deben ser conscientes de lamagnfica oportunidad que este texto les ofrece de hacer ms eficaz su labor.

Dado que no existe uniformidad en la nomenclatura en espaol para los distintos conceptos de Mecnicade Fluidos, los traductorres, cuyo profundo conocimiento de la Mecnica de Fluidos me consta, se han vis-to frecuentemente obligados a hacer una eleccin entre las varias posibilidades, a sabiendas de que el re-sultado no puede satisfacer a todos. (Quiz sea especialmente llamativa la eleccin de tensor de esfuerzosen lugar de la alternativa de tensor de tensiones.) En todo caso los traductores han tratado de hacer apareceren el texto o en el ndice la nomenclatura alternativa.

Teniendo en cuenta que en su actividad profesional los futuros ingenieros tendrn, casi inevitablemen-te, necesidad de utilizar unidades inglesas, se ha mantenido sensiblemente la proporcin en que las unida-des inglesas y las mtricas aparecan en los ejemplos y ejercicios del texto original.

Amable Lin

Prlogo a la edicin espaola

xiv

Mecnica de fluidos

Huracn Elena en el Golfo de Mxico. A diferencia de la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles de laMecnica de Fluidos a pequea escala, la dinmica de los huracanes est dominada por la aceleracin deCoriolis debida a la rotacin de la tierra, que los hace girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el he-misferio norte. En el presente captulo se discuten las propiedades fsicas y las condiciones de contorno quegobiernan los flujos como estos. (Por cortesa de NASA/Color-Pic Inc-E.R. Degginger/Color-Pic Inc.)

1.1. NOTAS PRELIMINARES

La Mecnica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodinmica) o en reposo(fluidoesttica). Tanto los lquidos como los gases son considerados fluidos, y el nmero de aplicaciones dela Mecnica de Fluidos es enorme: respiracin, flujo sanguneo, natacin, ventiladores, turbinas, aviones,barcos, ros, molinos de viento, tuberas, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por men-cionar algunas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueveninmersas o cerca de un fluido.

Como ciencia, est basada en un compromiso adecuado entre teora y experimentacin. Por ser la Me-cnica de Fluidos una rama de la mecnica, dispone de un conjunto de leyes de conservacin bien docu-mentadas y es posible, por tanto, un tratamiento terico riguroso. Sin embargo, la teora es a veces frus-trante, porque se refiere principalmente a ciertas situaciones idealizadas que pueden no ser vlidas en loscasos prcticos. Los dos obstculos mayores para el tratamiento terico son la geometra y la viscosidad. Lateora general del movimiento de los fluidos (Captulo 4) es demasiado difcil para permitir abordar confi-guraciones geomtricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los libros de texto se concentran en pla-cas planas, conductos circulares y otras geometras sencillas. Tambin es posible aplicar mtodos numri-cos a geometras arbitrarias, y actualmente existen libros especializados que explican las aproximaciones ylos mtodos de la Mecnica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1, 2,29].1 Este libro presentar muchos resultados tericos, teniendo siempre presente sus limitaciones.

El segundo obstculo para la teora es la accin de la viscosidad, que puede ser despreciada solamenteen algunos flujos idealizados (Captulo 8). En primer lugar, la viscosidad aumenta la dificultad de las ecua-ciones bsicas, aunque la aproximacin de capa lmite, hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Captulo 7), hasimplificado enormemente el anlisis de los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la es-tabilidad de todos los flujos, lo que salvo a velocidades muy pequeas da lugar a un fenmeno desordena-do y aleatorio llamado turbulencia. La teora de los flujos turbulentos es rudimentaria y descansa princi-palmente sobre la experimentacin (Captulo 6), aunque es muy til para estimaciones ingenieriles. Loslibros de texto suelen presentar algoritmos digitales para analizar los flujos turbulentos [32], pero estos m-todos no son exactos, sino simples modelos basados en suposiciones empricas sobre la media temporal delcampo de esfuerzos turbulentos.

As pues, existe una teora para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los casos debe tener soporteexperimental. A menudo, los datos experimentales son la fuente principal de informacin sobre determi-nados flujos, como es el caso de la resistencia y la sustentacin de cuerpos (Captulo 7). Afortunadamente,la Mecnica de Fluidos es visualizable, existe buena instrumentacin [4, 5, 35] y el uso del anlisis di-mensional y modelos a escala (Captulo 5) est muy extendido. De este modo, la experimentacin propor-ciona un complemento natural y sencillo a la teora. Se debe tener en cuenta que teora y experimentacinvan de la mano en todos los estudios de Mecnica de Fluidos.

3

Captulo 1Introduccin

1 Las referencias numeradas aparecen al final de cada captulo.

1.2. CONCEPTO DE FLUIDO

Desde el punto de vista de la Mecnica de Fluidos, la materia slo puede presentarse en dos estados: sli-do y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia para el lego y es un ejercicio interesante pre-guntar a alguien que explique esta diferencia en palabras. La distincin tcnica radica en la reaccin de am-bos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un slido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformacinesttica; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cun pequeo sea, pro-vocar el movimiento del fluido. ste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando elesfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir que un fluido en reposo debe estar en un estado de es-fuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condicin hidrosttica de esfuerzos en anlisis es-tructural. En esta condicin, el crculo de Mohr se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante en ningnplano que corte al elemento en cuestin.

Dada la definicin de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos, lquidos y gases. Denuevo, la distincin es tcnica y concierne al efecto de las fuerzas cohesivas. Un lquido, al estar compuestopor agrupaciones de molculas muy cercanas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumeny formar una superficie libre en un campo gravitatorio si no est limitado por arriba. Los flujos con su-perficie libre estn dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Captulos 5 y 10. Como las mo-lculas de gas estn muy separadas entre s, con fuerzas cohesivas despreciables, un gas es libre de expan-sionarse hasta que encuentre paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido y por s mismo, sinconfinamiento, forma una atmsfera que es esencialmente hidrosttica. El comportamiento hidrosttico delquidos y gases se muestra en el Captulo 2. Los gases no forman superficies libres y en los flujos gaseososraramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de los de flotabilidad.

La Figura 1.1 muestra un bloque slido apoyado sobre un plano rgido y deformado por su propio peso.El slido adquiere una deflexin esttica, marcada exageradamente con una lnea a trazos, resistiendo es-fuerzos cortantes2 sin fluir. El diagrama de equilibrio del elemento A del lateral del bloque muestra un es-fuerzo cortante a lo largo del plano cortado a un ngulo . Como las paredes del bloque no estn sometidasa esfuerzos, el elemento A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresin = parriba y abajo. El crculo de Mohr no se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante nulo en el bloque.

Contrariamente, el lquido y el gas en reposo de la Figura 1.1 necesitan paredes para eliminar el esfuerzocortante. Las paredes ejercen una compresin p y el crculo de Mohr se reduce a un punto con esfuerzocortante nulo en todas partes, o sea, est en la condicin hidrosttica. El lquido mantiene su volumen y for-ma una superficie libre sin llenar completamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cor-tante y el lquido se derrama. Si el recipiente se inclina, tambin aparece esfuerzo cortante, se forman ondasy la superficie adopta una posicin horizontal, desbordndose llegado el caso. Mientras tanto, el gas se ex-pande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El elemento A, en el gas, tambin est en lacondicin hidrosttica y ejerce una compresin p sobre la pared.

En la discusin anterior se puede distinguir claramente entre slidos, lquidos y gases. La mayor parte delos problemas ingenieriles de la Mecnica de Fluidos se refieren a estos casos claros, por ejemplo, los lquidoscomunes como agua, aceite, mercurio, gasolina y alcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrgenoy vapor de agua en el rango de temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos lmitessobre los que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente slidas como asfalto y grafito, resistenesfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deforman y presentan comportamiento de flui-do en periodos de tiempo largos. Otras sustancias, particularmente coloides y mezclas espesas, resisten pe-queas cortaduras, pero se rompen a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de tex-to especializados dedicados al estudio general de la deformacin y el flujo, campo denominado reologa [6].Por otra parte, los lquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifsicas, tales como vapor-agua o agua conburbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el anlisis de estos flujos bifsicos [7]. Finalmente, hay si-tuaciones en que la diferencia entre lquido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por en-cima del llamado punto crtico de la sustancia, donde slo existe una fase semejante al gas. A medida que lapresin aumenta muy por encima del punto crtico, la sustancia gaseosa se hace tan densa que parece lqui-do y las aproximaciones termodinmicas usuales, como la ley de los gases perfectos, dejan de ser fiables. Latemperatura y presin crticas del agua son T

c= 647 K y p

c= 219 atm3, de manera que los problemas tpicos

con agua o vapor estn por debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto crti-co propio, pero su principal componente, el nitrgeno, tiene T

c= 126 K y p

c= 34 atm. Por ello, en los pro-

4 MECNICA DE FLUIDOS

2 Utilizamos el trmino esfuerzo anlogo al de tensin, es decir, con significado de fuerza por unidad de superficie (N. del T.).3 Una atmsfera equivale a 101.300 Pa = 2116 lbf/ft2.

blemas tpicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas con su punto crtico, el aire se comportaclaramente como un gas. Este libro tratar solamente sobre lquidos y gases identificables como tales, y loscasos lmites citados anteriormente quedan fuera de nuestro objetivo.

1.3. EL FLUIDO COMO MEDIO CONTINUO

Hemos utilizado ya trminos tcnicos tales como presin y densidad del fluido sin una discusin rigurosade su definicin. Sabemos que los fluidos son agregaciones de molculas, muy separadas en los gases y pr-ximas en los lquidos. La distancia entre las molculas es mucho mayor que el dimetro molecular. Las mo-lculas no estn fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa por unidad devolumen, no tiene un significado preciso, pues el nmero de molculas en el interior de un volumen cual-quiera cambia continuamente. Este efecto pierde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor queel cubo del espaciado molecular, ya que el nmero de molculas contenidas permanecer prcticamenteconstante a pesar del considerable intercambio a travs de su contorno. Si la unidad de volumen escogida esdemasiado grande, puede haber una variacin notable en la distribucin global de partculas. Esta situacinest ilustrada en la Figura 1.2, donde la densidad calculada a partir de la masa molecular m de un vo-lumen dado , aparece en funcin del volumen escogido. Hay un volumen lmite * por debajo del cuallas variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscpicastambin lo pueden ser. La densidad de un fluido se define de modo ptimo como

(1.1) l b

bb b=

Alm

*m

INTRODUCCIN 5

Deflexinesttica

Superficielibre

Condicinhidrosttica

LquidoSlido

A A A

(a) (c)

(b) (d )

00

A A

Gas

(1)

p p

pp

p

= 0

2

1

= p = p

1

Figura 1.1. Un slido en equilibrio puede soportar esfuerzo cortante. (a) Deflexin esttica del slido; (b) equilibrioy crculo de Mohr del elemento A del slido. Un fluido no puede. (c) Se necesitan paredes de contencin; (d) equi-librio y crculo de Mohr para el elemento A del fluido.

El volumen lmite * es alrededor de 109 mm3 para todos los lquidos y gases a presin atmosfrica. Porejemplo, 109 mm3 de aire en condiciones normales contienen aproximadamente 3 107 molculas, lo cuales suficiente para definir una densidad prcticamente constante de acuerdo con la Ecuacin (1.1). La mayorparte de los problemas ingenieriles estn relacionados con dimensiones fsicas mucho mayores que este vo-lumen lmite, de modo que la densidad es esencialmente una funcin puntual y las propiedades del fluidopueden considerarse como variables continuas en el espacio, como se esquematiza en la Figura 1.2a. Un flui-do de este tipo se denomina medio continuo, lo cual significa que la variacin de sus propiedades es tan sua-ve que se puede utilizar el clculo diferencial para analizarlo. En todos los estudios incluidos en este libroconsideraremos vlida esta premisa. Tambin en este sentido hay casos lmite para gases a tan bajas pre-siones que su espaciado molecular y su camino libre medio4 son comparables, o mayores, que el tamao delsistema. Esto obliga a abandonar la aproximacin de medio continuo en favor de la teora molecular del flu-jo de gases enrarecidos [8]. En principio, todos los problemas de Mecnica de Fluidos pueden ser abordadosdesde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aqu. Se debe resaltar que el uso del clculo diferen-cial no prejuzga la posibilidad de saltos discontinuos en las propiedades fluidas a travs de superficies libreso de ondas de choque en fluidos compresibles (Captulo 9). Nuestros clculos deben ser suficientemente fle-xibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas.

1.4. DIMENSIONES Y UNIDADES

Dimensin es la medida por la cual una variable fsica se expresa cuantitativamente. Unidad es una formaparticular de asignar un nmero a la dimensin cuantitativa. As, la longitud es una dimensin asociada a va-riables como distancia, desplazamiento, anchura, deflexin y altura, mientras que centmetros y pulgadasson unidades numricas para expresar la longitud. La dimensin es un concepto muy poderoso sobre el quese ha desarrollado la esplndida herramienta fsico-matemtica del anlisis dimensional (Captulo 5),mientras que las unidades son los nmeros que se buscan como respuesta final.

Los sistemas de unidades han variado siempre de pas a pas, incluso despus de adoptarse acuerdos in-ternacionales. Los ingenieros necesitan nmeros y, por tanto, sistemas de unidades, y esos nmeros debenser fiables porque la seguridad pblica est en juego. No se puede disear y construir un sistema de tuberascuyo dimetro es D y cuya longitud es L. Los ingenieros norteamericanos persisten en utilizar el sistema bri-tnico de unidades. Hay mucha posibilidad de error en este sistema y muchos estudiantes han fallado unproblema por olvidar un factor de conversin de 12 o 144 o 32,2 o 60 o 1,8. Los ingenieros, en la prctica,pueden cometer los mismos errores. El autor tiene la experiencia personal de un grave error en el diseo pre-liminar de un avin debido al olvido de un factor de 32,2 para convertir libras-masa en slugs.5


Incertidumbremicroscpica

Incertidumbremacroscpica

0

1200

* 10-9 mm3

Volumenelemental

Regin fluida

= 1000 kg/m3

= 1100

= 1200

= 1300

(a) (b)

Figura 1.2. Definicin de la densidad del fluido como medio continuo: (a) volumen elemental en una regin flui-da de densidad variable; (b) densidad calculada en funcin del tamao del volumen elemental.

4 Distancia media entre colisiones moleculares.5 Unidad de masa en el sistema britnico (N. del T.).

En una reunin internacional celebrada en Francia en 1872 se propuso la Convencin Mtrica, un tra-tado que fue firmado en 1875 por 17 pases, incluidos los Estados Unidos de Amrica. Constitua una apre-ciable mejora sobre el sistema britnico, pues su base es el nmero 10, que es la base del sistema numri-co aprendido desde la infancia en todas partes. An quedaban problemas porque incluso los pases consistema mtrico utilizaban a veces los kilopondios en lugar de dinas o newtones, kilogramos en lugar degramos, o caloras en lugar de julios. Para uniformizar el sistema mtrico, una Conferencia General de Pe-sas y Medidas celebrada en 1960, con asistencia de 40 pases, propuso el Sistema Internacional de Uni-dades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transicin hacia el SI, que probablemente durar anmuchos aos. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio. Desde el 1 de julio de 1974 se obliga a uti-lizar el SI en todos los trabajos publicados por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecnicos (ASME,American Society of Mechanical Engineers), que prepar un folleto explicativo al respecto [9]. El presentelibro utilizar simultneamente el SI y el sistema britnico.

Dimensiones primarias

En Mecnica de Fluidos slo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivan las dems. Son masa,longitud, tiempo y temperatura.6 Estas dimensiones y sus unidades en ambos sistemas aparecen en la Ta-bla 1.1. Ntese que la unidad Kelvin no utiliza el smbolo de grado. Las llaves que engloban un smbolocomo {M} significan dimensiones de masa. Todas las dems variables en Mecnica de Fluidos puedenexpresarse en funcin de {M}, {L}, {T} y {}. Por ejemplo, la aceleracin tiene dimensiones de {LT2}. Lams importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza, directamente relacionada con masa, longitudy tiempo a travs de la segunda ley de Newton. La fuerza es igual a la variacin temporal de la cantidad demovimiento o, si la masa es constante,

F = ma (1.2)

De aqu podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT2}. La constante de proporcionalidad se elimi-na definiendo la unidad de fuerza exactamente en funcin de las unidades primarias. As definimos el new-ton y la libra-fuerza

1 newton fuerza = 1 N 1 kg 1 m/s21 libra fuerza = 1 lbf 1 slug 1 ft/s2 = 4,4482 N (l.3)

En este libro se usar la abreviatura lbf para la libra-fuerza y lb para la libra-masa. Si se adopta otra unidadde fuerza como la dina o el kilopondio, o se toma otra unidad de masa como el gramo o la libra-masa, sedebe incluir en la Ecuacin (l.2) una constante de proporcionalidad g

c. En este libro no se utilizarn este tipo

de constantes, ya que se emplearn los sistemas internacional y britnico, donde no son necesarias.En la Tabla 1.2 se enumeran algunas de las variables secundarias ms importantes en Mecnica de Flui-

dos, expresando sus dimensiones en funcin de las cuatro primarias. Una lista ms completa de factores deconversin puede encontrarse en el Apndice C.

INTRODUCCIN 7

6 Si los efectos electromagnticos son importantes, se debe incluir una quinta, la corriente elctrica {I}, cuya unidad en el SI es elamperio (A).

Tabla 1.1. Dimensiones primarias en los sistemas SI y britnico.

Dimensin primaria Unidad SI Unidad britnica Factor de conversin

Masa {M} Kilogramo (kg) Slug 1 slug = 14,5939 kgLongitud {L} Metro (m) Pie (ft) 1 ft = 0,3048 mTiempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 sTemperatura {} Kelvin (K) Rankine (R) 1 K = 1,8 R

EJEMPLO 1.1

Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con g = 32,174 ft/s2 (a) Cul es su masa en kilogramos?(b) Cul ser su peso en newtones en el campo gravitatorio lunar con gluna = 1,62 ft/s2? (c) Cul ser su aceleracinsi se le aplica una fuerza de 400 lbf en la luna y en la tierra?

Solucin

Apartado (a)La Ecuacin (1.2) dice que F = peso si a = gtierra:

F = W = mg = 1000 lbf = (m) (32,174 ft/s2)

o Resp. (a)

Comentario. El cambio de 31,08 slugs a 453,6 kg muestra la utilidad del factor de conversin 14,5939 kg/slug.

Apartado (b)La masa del cuerpo sigue siendo la misma en la luna. La Ecuacin (1.2) nos permite calcular el peso correspondiente

F = Wluna = mgluna = (453,6 kg)(1,62 m/s2) = 735 N Resp. (b)

Apartado (c)Este apartado no est relacionado con el peso, sino con la aplicacin directa de la segunda ley de Newton

F = 400 lbf = ma = (31,08 slugs)(a)

o Resp. (c)

Comentario. La aceleracin obtenida sera la misma en la luna, en la tierra o en cualquier otra parte.

Muchos datos en artculos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes, tiles slopara alguna industria, especialidad o pas. El ingeniero debe convertir estos datos al SI o al sistema britnicoantes de usarlos. Esto requiere la aplicacin sistemtica de factores de conversin, como en el ejemplo si-guiente.

a = = =4

32 87 3 9200 lbf

1,08 slugs1 ft/s m/s2 2, ,

m = =1000

32 174 lbf ft/s

(31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) = 453,6 kg2,


Tabla 1.2. Dimensiones secundarias en Mecnica de Fluidos.

Dimensin secundaria Unidad SI Unidad britnica Factor de conversin

rea {L2} m2 ft2 1 m2 = 10,764 ft2Volumen {L3} m3 ft3 1 m3 = 35,315 ft3Velocidad {LT1} m/s ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/sAceleracin {LT2} m/s2 ft/s2 1 ft/s2 = 0,3048 m/s2Presin o esfuerzo {ML1T2} Pa = N/m2 lbf/ft2 1 lbf/ft2 = 47,88 PaVelocidad angular {T1} s1 s1 1 s1 = 1 s1Energa, calor, trabajo {ML2T2} J = N m lf lbf 1 ft lbf = 1,3558 JPotencia {ML2T3} W = J/s ft lbf/s 1 ft lbf/s = 1,3558 WDensidad {ML3} kg/m3 slugs/ft3 1 slug/ft3 = 515,4 kg/m3Viscosidad {ML1T1} kg/(m s) slugs/(ft s) 1 slug/(ft s) = 47,88 kg/(m s)Calor Especfico {L2T21} m2/(s2 K) ft2/(s R) 1 m2/(s2 K) = 5,980 ft2/(s R)

EJEMPLO 1.2

La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] contina usando el sistema de unidades cgs, porquelos valores de la viscosidad expresados en centmetros y gramos resultan ms manejables para muchos fluidos. Launidad de viscosidad absoluta () en el sistema cgs es el poise, 1 poise = 1 g/(cm s), nombre tomado de J. L. M.Poiseuille, mdico francs que llev a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La uni-dad de la viscosidad cinemtica () es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, un fsico ingls que en 1845 co-labor en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales bsicas que gobiernan la cantidad de movimiento de los flui-dos; 1 stokes = 1 cm2/s. La viscosidad del agua a 20 C es alrededor de 5 0,01 poises y tambin 5 0,01 stokes.Exprese estos valores en (a) el SI y (b) el sistema britnico.

Solucin

Apartado (a) Procedimiento. Cambiamos de forma sistemtica gramos a kg o slugs y centmetros a metros o pies. Valores de las propiedades. Dados = 0,01 g/(cm s) y = 0,01 cm2/s.

Solucin del apartado (a). Para convertir a unidades SI,

Resp. (a)

Apartado (b) Para convertir al sistema britnico,

Resp. (b)

Comentario. El resultado (b) se podra haber obtenido directamente del (a) dividiendo ste por el factor de con-versin 47,88 dado en la Tabla 1.2. En el Apndice C se dan ms factores de conversin entre unidades SI y delsistema britnico.

Insistimos en el consejo: si aparecen datos con unidades no usuales se deben convertir al SI o al sistemabritnico, porque (1) es ms profesional y (2) las ecuaciones tericas de la Mecnica de Fluidos son di-mensionalmente consistentes y no requieren factores de conversin cuando se usan los sistemas citados,como muestra el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1.3

Una de las ecuaciones tericas ms tiles es la que relaciona la presin, la velocidad y la altura en el flujo estacio-nario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia de calor despreciable,7 llamada ecuacin de Bernoulli,por Daniel Bernoulli, que public un libro de hidrodinmica en 1738:

p0 = p +12V2 + gZ (1)

donde p0 = presin de remansop = presin en el fluidoV = velocidad

i

=

u= =

u

= = =

0 01

0 01 0 01 1 00001082

,

,

( , (,

gcm s

0,01 g(1 kg/1000 g)(1 slug/14,5939 kg)(0,01 m/cm)(1 ft/0,3048 m)s 0,0000209slugft s

cm

s0,01 cm m/cm) ft/0,3048 m)

s0 ft

s

2 2 2 2

i

=

u= =

u

= = =

0 01

0 01 0 012

,

,

( ,

gcm s

0,01 g(1 kg/1000 g)cm(0,01 m/cm)s 0,001

kgm s

cm

s0,01 cm m/cm)

s0,00001 m

s

2 2 2

INTRODUCCIN 9

7 Este conjunto de hiptesis se estudiar con detalle en el Captulo 3.

= densidadZ = alturag = aceleracin de la gravedad

(a) Demuestre que la Ecuacin (1) satisface el principio de homogeneidad dimensional, que establece que todos lostrminos aditivos en una ecuacin fsica deben tener las mismas dimensiones. (b) Demuestre que en el SI las uni-dades son consistentes sin necesidad de factores de conversin. (c) Repita el apartado (b) para el sistema britnico.

Solucin

Apartado (a)Podemos expresar la Ecuacin (1) dimensionalmente, usando llaves para representar las dimensiones de cada tr-mino:

{ML1T2} = {ML1T2} + {ML3}{L2T2} + {ML3}{LT2}{L} = {ML1T2} para todos los trminos Resp. (a)

Apartado (b)Poniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2:

{N/m2} = {N/m2} + {kg/m3}{m2/s2} + {kg/m3}{m/s2}{m} = {N/m2} + {kg/(m s2)}

El segundo miembro parece complicado, pero no lo es si se recuerda, por medio de la Ecuacin (1.3), que 1 kg = 1(N s2)/m.

Resp. (b)

De esta forma todos los trminos de la ecuacin de Bernoulli tienen unidades de pascales, o newtones por metro cua-drado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversin, lo cual es cierto para todas las ecuaciones de la Me-cnica de Fluidos.

Apartado (c)Introduciendo las unidades del sistema britnico, tenemos

{lbf/ft2} = {lbf/ft2} + {slugs/ft3}{ft2/s2} + {slugs/ft3}{ft/s2}{ft} = {lbf/ft2} + {slugs/(ft s2)}

Pero, por medio de la Ecuacin (1.3), 1 slug = 1 lbf s2/ft, de modo que

Resp. (c)

Todos los trminos tienen unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. Tampoco en el sistema britnico se necesitanfactores de conversin.

An persiste en los pases anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgada cuadrada como uni-dad de presin, porque los nmeros son ms manejables. Por ejemplo, la presin atmosfrica estndar es101.300 Pa = 14,7 lbf/in2 = 2116 lbf/ft2. El pascal es una unidad muy pequea, pues un newton es menos de14 de lbf y un metro cuadrado un rea muy grande. A pesar de lo cual el pascal va ganando aceptacin; porejemplo, los manuales de reparacin de los automviles americanos especifican ya las medidas de presines pascales.

Unidades consistentes

Las ecuaciones de la mecnica (de fluidos) no slo deben ser dimensionalmente homogneas, sino que ade-ms se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los trminos aditivos en una ecuacin fsica deben

{ )} { } { }slugs/(ft slbf s /ft}{ft s lbf/ft

22

22u = u

u=

{ )} { } { }kg/(m sN s /m}{m s N/m

22

22u = u

u=


tener las mismas unidades. Esto no supone ningn problema si se usa el SI o el sistema britnico, como enel Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal para quienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Porejemplo, en el Captulo 9 usaremos a menudo la hiptesis de flujo gaseoso compresible, adiabtico y esta-cionario:

h + 12V2 = constante

donde h es la entalpa del fluido y V2/2 es su energa cintica por unidad de masa. Las tablas termodinmi-cas coloquiales podran expresar h en unidades trmicas inglesas por unidad de masa (Btu/lb), mientras queV suele expresarse en ft/s. Es totalmente errneo sumar Btu/lb y ft2/s2. En este caso, la unidad adecuada parala entalpa es ft lbf/slug, que es idntica a ft2/s2. El factor de conversin es 1 Btu/lb 5 25.040 ft2/s2 = 25.040ft lbf/slug.

Ecuaciones homogneas frente a ecuaciones dimensionalmenteinconsistentes

Todas las ecuaciones tericas de la mecnica (y de otras ramas de la fsica) son dimensionalmente homo-gneas; esto es, todos los trminos aditivos de la ecuacin tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, laecuacin de Bernoulli (1) del Ejemplo 1.3 es dimensionalmente homognea: todos los trminos tienen di-mensiones de presin o esfuerzo {F/L2}. Otro ejemplo es la ecuacin de la fsica para un cuerpo en cada li-bre cuando se desprecia la resistencia aerodinmica:

S = S0 + V0t + 12gt2

donde S0 es la posicin inicial, V0 es la velocidad inicial y g es la aceleracin de la gravedad. Cada trminoen esta ecuacin tiene dimensiones de longitud {L}. El factor 12, que proviene de la integracin, es simple-mente un nmero (adimensional), {1}. El exponente 2 tambin es adimensional.

Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas frmulas empricas usadas en ingeniera, princi-palmente las obtenidas de correlaciones de datos, no son dimensionalmente consistentes. Sus unidades nopueden reconciliarse de forma sencilla, y algunos trminos pueden contener variables ocultas. Un ejemploes la frmula que utilizan los fabricantes de vlvulas de tuberas para calcular el caudal Q (m3/s) a travs deuna vlvula parcialmente abierta:

donde p es la cada de presiones a travs de la vlvula y S es la densidad relativa del lquido (el cocienteentre su densidad y la del agua). La cantidad CV es el coeficiente de flujo de la vlvula, que los fabricantestabulan en sus folletos. Dado que S es adimensional {1}, la frmula resulta totalmente inconsistente, puesun lado tiene dimensiones de caudal {L3/T} y el otro de raz cuadrada de salto de presiones {M1/2/L1/2T}. Deaqu se deduce que CV debe tener dimensiones, de hecho bastante raras: {L7/2/M1/2}. La resolucin de estadiscrepancia no est clara, aunque en la literatura se observa que los valores de CV aumentan aproximada-mente como el cuadrado del tamao de la vlvula. La presentacin de datos experimentales en forma ho-mognea es el objetivo del anlisis dimensional (Captulo 5). En dicho captulo aprenderemos que una for-ma homognea de la relacin para el caudal de la vlvula es

donde es la densidad del lquido y A el rea de apertura de la vlvula. El coeficiente de descarga Cd esadimensional y cambia muy poco con el tamao de la vlvula. De momento el lector debe creerse has-ta la discusin del Captulo 5 que la ltima expresin constituye una forma mucho mejor de presentar losdatos.

Q C A pd=apertura

6l

1 2/

Q C pV=

6S

1 2/

INTRODUCCIN 11

Mientras tanto, debemos concluir que las ecuaciones dimensionalmente inconsistentes, a pesar de suabundancia en la ingeniera, pueden conducir a error y son imprecisas y hasta peligrosas, pues con fre-cuencia son usadas incorrectamente fuera de su rango de aplicabilidad.

Prefijos apropiados para potencias de 10

En ingeniera, los resultados suelen ser demasiado pequeos o demasiado grandes para las unidades habi-tuales, con muchos ceros por un lado o el otro. Por ejemplo, escribir p = 114.000.000 Pa es largo y tedioso.Usando el prefijo M para decir 106, convertimos esto en un conciso p = 114 MPa (megapascales). Delmismo modo, t = 0,000000003 s es mucho ms difcil de corregir que su equivalente t = 3 ns (nanosegun-dos). Tales prefijos son comunes y convenientes, tanto en el SI como en el sistema britnico. En la Ta-bla 1.3 se da la lista completa.


Tabla 1.3. Prefijos apropiados para unidades en ingeniera.

Factor multiplicativo Prefijo Smbolo1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h10 deca da101 deci d102 centi c103 mili m106 micro 109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a

EJEMPLO 1.4

En 1890, Robert Manning, un ingeniero irlands, propuso la siguiente frmula emprica para la velocidad media Ven el movimiento uniforme en canales abiertos (en el sistema britnico de unidades):

(1)

donde R = radio hidrulico del canal (Captulos 6 y 10)S = pendiente del canal (tangente del ngulo de la base respecto a la horizontal)n = factor de rugosidad de Manning (Captulo 10)

y n es constante para cada condicin de acabado superficial de las paredes y el fondo del canal. (a) Es dimensio-nalmente consistente la frmula de Manning? (b) La Ecuacin (1) se considera vlida en unidades del sistema bri-tnico tomando n como adimensional. Reescriba la ecuacin en el SI.

Solucin

Consideraciones. La pendiente, por ser la tangente de un ngulo, es adimensional y aparece como {1} es decir,no contiene M, L o T.

Apartado (a). Escribimos las dimensiones de cada trmino de la frmula de Manning usando parntesis {}:

{ } , { }{ } , { }{ }/ / /Vn

R S LT n

L=

=

1 49 1 49 12 3 1 2 2 3o

Vn

R S= 1 49 2 3 1 2, / /

Esta frmula no puede ser consistente a menos que {1,49/n} = {L1/3/T}. Si n es adimensional (como aparece siem-pre en los libros), el valor numrico 1,49 debe tener unidades de {L1/3/T}. Resp. (a)

Comentario (a). Esto puede ser trgico para un ingeniero que trabaje en un sistema de unidades diferente a menosque se d cuenta de la discrepancia. De hecho, la frmula de Manning, aunque es muy conocida, es inconsisten-te tanto dimensional como fsicamente, no tiene en cuenta de modo correcto los efectos de la rugosidad del canalsalvo para un rango muy estrecho de rugosidades y slo es vlida para el agua. Los efectos de la viscosidad y ladensidad del agua estn ocultos en el valor numrico 1,49.

Apartado (b). Del apartado anterior sabemos que el nmero 1,49 debe tener dimensiones, y por eso en el sistemabritnico debe ser 1,49 ft1/3/s. Utilizando el factor de conversin al SI para la longitud, tenemos

(1,49 ft1/3/s)(0,3048 m/ft)1/3 = 1,00 m1/3/s

Por tanto, la frmula de Manning en el SI es:

Resp. (b)

con R en metros y V en metros por segundo. Comentario (b). Realmente, estamos despistando al lector: Manning, usuario del sistema mtrico, propuso la fr-

mula de esta manera; posteriormente fue pasada al sistema britnico. Estas frmulas dimensionalmente incon-sistentes son peligrosas y deberan ser reanalizadas o aplicadas slo en casos muy concretos.

1.5. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDADES

En un flujo dado, la determinacin experimental o terica de las propiedades del fluido en funcin de la po-sicin y del tiempo se considera la solucin del problema. En casi todos los casos, el nfasis se hace sobrela distribucin espacio-temporal de las propiedades fluidas. Raramente se siguen las trayectorias de part-culas fluidas concretas.8 Este tratamiento de las propiedades como funciones continuas distingue la Mec-nica de Fluidos de la de Slidos, donde habitualmente el inters se centra ms en las trayectorias de sistemaso partculas individuales.

Descripciones euleriana y lagrangiana

Hay dos puntos de vista posibles para analizar los problemas de la mecnica. El primero, apropiado para laMecnica de Fluidos, trata del campo de flujo y se denomina mtodo descriptivo euleriano. En el mtodoeuleriano calculamos el campo de presiones p(x, y, z, t) del flujo, y no los cambios de presin p(t) que ex-perimenta una partcula al moverse.

El segundo mtodo, que sigue a las partculas en su movimiento, se denomina descripcin lagrangiana.Este mtodo, muy apropiado en Mecnica de Slidos, no ser considerado en este libro. Sin embargo, losanlisis numricos de algunos flujos con lmites muy marcados, como el movimiento de gotitas aisladas, sellevan a cabo mejor en coordenadas lagrangianas [1].

Las mediciones en Mecnica de Fluidos tambin estn bien adaptadas al sistema euleriano. Por ejemplo,cuando se introduce una sonda de presin en un flujo experimental, la medicin se produce en un punto fijo(x, y, z). Las medidas contribuyen por tanto a describir el campo de presiones euleriano p(x, y, z, t). Para si-mular una medida lagrangiana la sonda debera moverse aguas abajo con la velocidad del fluido; este tipode mediciones se practican a veces en oceanografa, dejando a la deriva los aparatos de medicin que sonarrastrados por las corrientes dominantes.

Un ejemplo ilustrativo de ambas descripciones puede ser el anlisis del trfico en una autopista. Se-leccionemos un cierto tramo para estudio y determinacin del trfico. Obviamente, con el transcurso del

Unidades SI : Vn

R S= 1 0 2 3 1 2, / /

INTRODUCCIN 13

8 Un caso en que las trayectorias son importantes es el anlisis de calidad del agua en lo que respecta a las partculas contami-nantes.

tiempo varios coches entrarn y saldrn del tramo, y la identidad de los mismos estar cambiando conti-nuamente. El ingeniero de trfico ignora la identidad de los coches y se concentra en su velocidad media,medida como funcin de la posicin dentro del tramo y del tiempo, y tambin estudia el flujo o nmero decoches por hora que pasan por una cierta seccin de la autova. Este ingeniero realiza una descripcin eu-leriana del trfico. Otros investigadores, como la polica o los socilogos, pueden estar interesados en la ve-locidad y trayectoria de determinados coches. Siguiendo a stos realizan una descripcin lagrangiana del tr-fico.

El campo de velocidades

La ms importante de todas las propiedades del flujo es el campo de velocidades V(x, y, z, t). De hecho, de-terminar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema, ya que otras propiedades se obtienendirectamente de aqulla. El Captulo 2 est dedicado al clculo de la presin una vez conocido el campo develocidades. Los libros que tratan sobre transferencia de calor (por ejemplo, Referencia 10) estn espe-cialmente dedicados a encontrar el campo de temperaturas a partir del de velocidades.

En general, la velocidad es un vector, funcin de la posicin y del tiempo, que tiene tres componentesescalares u, v y w:

(1.4)

El uso de u, v y w en lugar de Vx, Vy y Vz, ms lgicas, se debe a una duradera tradicin fluidodinmica.

Como muestra el siguiente ejemplo, el vector aceleracin tambin es importante en Mecnica de Flui-dos.

EJEMPLO 1.5

Un fluido fluye a travs de una seccin convergente de un conducto, como muestra la Figura E1.5. Una sonda de ve-locidad inmersa en la seccin (1) mide un valor estacionario u1 = 1 m/s, mientras que una sonda similar en la sec-cin (2) detecta un valor estacionario u2 = 3 m/s. Estime la aceleracin del fluido, si existiera, si x = 10 cm.

Solucin

El flujo es estacionario (no vara con el tiempo), pero claramente la velocidad de las partculas fluidas aumenta al pa-sar de (1) a (2). ste es el concepto de aceleracin convectiva (Seccin 4.1). Podemos estimar la aceleracin comoel incremento de velocidad dividido por el incremento de tiempo t = x/u

med:

Resp.au u

x u ux 5 5

[ ( )] ( ) ( )2 2 2 2 2 0 se cumple

Q dA d1 2 2 112

1

2A = u = =

Paso 2. Para determinar , escribimos las Ecuaciones (4.85) e integramos:

(1)

(2)

y podemos empezar a operar con cualquiera de ellas. Integrando parcialmente (1)

(3)

Derivando (3) con respecto de x y comparndola con (2),

(4)

As pues, (x) = 0, o = constante. La funcin de corriente es, por tanto:

Resp. (5)

Para representarla elegimos C = 0 por conveniencia y representamos la funcin

(6)

para valores constantes de . El resultado, que se muestra en la Figura E4.7a, representa un movimiento circu-latorio en seis cuas de 60, en cuyo interior el movimiento es idntico salvo por el sentido que indican las fle-chas. Una vez que se tienen las lneas de corriente, la direccin del flujo se obtiene directamente del convenio designos de la Figura 4.9. Cmo puede interpretarse el flujo? Puesto que hay deslizamiento a lo largo de todas laslneas de corriente, ninguna de ellas puede representar una superficie en un flujo viscoso. Sin embargo, el flujo po-dra representar la deflexin de tres corrientes incidiendo a 60, 180 y 300. Como vimos en el Ejemplo 4.5, staes una solucin exacta, aunque todava poco realista, de las ecuaciones de Navier-Stokes.

3 32 3x y ya

< = s

s =

Permitiendo al fluido deslizar, como en la aproximacin no viscosa, podramos considerar alguna lnea de co-rriente como representativa de la forma de un cuerpo. La Figura E4.7b muestra algunos ejemplos.

Existe tambin funcin de corriente en una variedad de situaciones fsicas donde slo se necesitan doscoordenadas para describir el flujo. Se ilustran aqu tres ejemplos.

Flujo plano, compresible y estacionario

Suponga ahora que la densidad es variable, pero que w = 0, de modo que el flujo tiene lugar en el plano xy.En este caso, la ecuacin de la continuidad es

(4.96)

Vemos que es exactamente de la misma forma que la Ecuacin (4.84). Por tanto, la funcin de corriente deun flujo compresible puede definirse de tal modo que

(4.97)

De nuevo, las lneas constante son lneas de corriente, pero ahora la diferencia de valores de es igual alflujo msico y no al volumtrico:

o (4.98)

El convenio de signos para la direccin del flujo es el mismo que en la Figura 4.9. Esta funcin de corrientecombina la densidad con la velocidad y debe sustituirse no slo en la ecuacin de la cantidad de movi-miento, sino tambin en la de la energa y en las de estado (4.58) y (4.59) con la presin y la temperaturacomo variables adicionales. En estas condiciones, la funcin de corriente no es tan til como en el caso dedensidad constante, y suelen ser necesarias algunas simplificaciones adicionales para obtener solucionesanalticas de problemas tpicos (vase, por ejemplo, Referencia 5, Captulo 7).

dm dA d

m dA

( ) ( )

= u =

= u =

Flujo incompresible plano en coordenadas polares

Supongamos que las coordenadas importantes son r y , con vz= 0, y que la densidad es constante. Enton-

ces la Ecuacin (4.82b) se reduce a

(4.99)

Despus de multiplicar todo por r, toma una forma anloga a la de la Ecuacin (4.84):

(4.100)

Comparando (4.99) con (4.100) se deduce la forma de la funcin de corriente incompresible en coordena-das polares:

(4.101)

De nuevo, las lneas constante son lneas de corriente, y la diferencia de dos valores de es el flujo vo-lumtrico, Q12 = 2 1. El convenio de signos es el mismo que en la Figura 4.9. Este tipo de funcin decorriente es muy til a la hora de analizar flujos alrededor de cilindros, con torbellinos, fuentes y sumideros(Captulo 8).

Flujo incompresible axilsimtrico

Como ejemplo final, supongamos que el flujo es tridimensional (vr, v

z) pero sin variaciones circunferen-

ciales, v = ,/, = 0 (para la definicin de las coordenadas vase Figura 4.2). Un flujo de este tipo se de-nomina axilsimtrico, y la estructura del flujo es la misma en cualquier plano meridional que contiene al ejede revolucin z. Para un flujo incompresible, la Ecuacin (4.82b) toma la forma

(4.102)

Aqu hay algo que no funciona: cmo podramos deshacernos de la r que aparece dividiendo en el primermiembro? Dado que r y z son coordenadas independientes, la Ecuacin (4.102) puede rescribirse como

(4.103)

Por analoga con (4.84), esta ecuacin toma la forma

(4.104)

Comparando (4.103) con (4.104), deducimos la forma de la funcin de corriente (r, z) para el movimientoaxilsimtrico de un fluido incompresible

(4.105)vr z

vr r

r z= < =1 1,s,

,s,

,,

,s,

,,,s,r z z r

Las lneas constante son, de nuevo, lneas de corriente, pero hay un factor (2/) en el flujo volumtrico:Q12 = 2/(2 1). El convenio de signos para el flujo es el mismo que en la Figura 4.9.

EJEMPLO 4.8

Investigue la funcin de corriente en coordenadas polares

(1)

donde U y R son una velocidad y una longitud constantes, respectivamente. Represente las lneas de corriente. Qurepresenta el flujo? Se trata de una solucin realista de las ecuaciones bsicas?

Solucin

Las lneas de corriente son lneas de constante, cuyas dimensiones son metro cuadrado por segundo. Obsrveseque /(UR) es adimensional. Reescribimos la Ecuacin (1) en forma adimensional

(2)

La lnea = 0 es de particular inters. De la Ecuacin (1) o (2) se obtiene que esto ocurre cuando (a) = 0 o 180y (b) r = R. El caso (a) es el eje x y el caso (b) es un crculo de radio R, ambos representados en la Figura E4.8.

Para cualquier valor de distinto de cero, es fcil despejar en funcin de r:

(3)

En general habr dos soluciones para a causa de la simetra alrededor del eje y. Por ejemplo, tomando /(UR) =+1,0:

sene s=

>

22

1 2 1 2bb

Uu

u

vB

*ln *5 +1gb

u

u

yuv

B u w*

ln * */

5 + =

11 2

gol

cddxf

= 2 e

o l ew x Uddx

( ) = 2

FLUJO ALREDEDOR DE CUERPOS 451

Re 104 105 106 107

cf 0,00493 0,00315 0,00217 0,00158

Siguiendo una sugerencia de Prandtl, podemos olvidarnos de la compleja ley logartmica (7.37) y ajustar losnmeros de la tabla por medio de una ley potencial:

cf 5 0,02 Re1/6 (7.38)

que se puede utilizar en el primer miembro de la Ecuacin (7.33). Para el segundo miembro necesitamos es-timar (x) en funcin de (x). Si utilizamos el perfil logartmico (7.34), terminaramos hasta la coronilla dehacer integraciones logartmicas en la ecuacin de la cantidad de movimiento. En lugar de ello seguiremosotra sugerencia de Prandtl, que indic que los perfiles turbulentos de la Figura 7.5 pueden aproximarse porla ley potencial un sptimo:

(7.39)

mostrada en la Figura 7.5 con trazos discontinuos. Representa un ajuste excelente de los datos de la capa l-mite turbulenta a los nmeros de Reynolds ms bajos, que fueron de los que dispuso Prandtl en su momento.Con esta sencilla aproximacin, el espesor de cantidad de movimiento (7.28) puede evaluarse fcilmente:

(7.40)

Aceptamos este resultado y sustituimos las Ecuaciones (7.38) y (7.40) en la ecuacin de Krmn(7.33):

o (7.41)

Separando variables e integrando con = 0 en x = 0:

(7.42)

Por tanto, el espesor de la capa lmite turbulenta aumenta con x6/7, bastante ms rpido que el crecimiento la-minar x1/2. La Ecuacin (7.42) es la solucin del problema, porque todos los dems parmetros se puedendeterminar fcilmente a partir de ella. Por ejemplo, combinando las Ecuaciones (7.38) y (7.42) obtenemosla variacin del coeficiente de friccin

(7.43)

Escrita en forma dimensional,

(7.44)

La friccin turbulenta decae lentamente con x, crece aproximadamente como y U2, y es poco sensible a loscambios de viscosidad.

o lwU

x,

/ / /

/,

turb 50 0135 1 7 6 7 13 7

1 7

c fx

5 0 0271 7,

Re /

Re , Re ,Re

//b

b5 50 16 0 166 7 1 7xxx

o

Re , , (Re )(Re )/

bbb 0

Sin separacin,PI en la corriente

(d) Gradienteadverso crtico:

Pendiente nulaen la pared:

Separacin

(e) Gradienteadverso fuerte:

Flujo inversoen la pared:

Regindesprendida

U

u

U

u

U

u

U

u

dpdx

> 0

PI

PI

Flujo inverso

Figura 7.7. Efecto del gradiente de presin en el perfil de velocidades de una capa lmite; PI = punto de inflexindel perfil.

Si el gradiente de presin es adverso (Figura 7.7c a e), el punto de inflexin (PI) est en la capa lmitea una distancia de la pared que aumenta con la intensidad del gradiente adverso. Para un gradiente adver-so dbil (Figura 7.7c), el flujo no est desprendido, pero es susceptible de pasar a turbulento para Re

xtan

bajos como 105 [1, 2]. Con un gradiente adverso moderado se alcanza una situacin crtica (Figura 7.7d)para la cual el esfuerzo en la pared es nulo (,u/,y = 0). Esto define el punto de separacin (

w= 0), ya que

cualquier gradiente ms fuerte producir una corriente de recirculacin en la pared (Figura 7.7e): el espe-sor de la capa lmite crece considerablemente, y la corriente principal se desprende o separa de la pared (Fi-gura 7.2b).

Los perfiles de la Figura 7.7 aparecen normalmente de forma secuencial a medida que la capa lmiteevoluciona a lo largo de la pared de un cuerpo. Por ejemplo, en la Figura 7.2a, el gradiente favorable se daen la parte frontal del cuerpo, el gradiente nulo se da poco antes de alcanzar el mximo espesor del cuerpoy el gradiente adverso aparece posteriormente en la parte dorsal del cuerpo.

Un segundo ejemplo prctico es el flujo en un conducto formado por una tobera convergente, una gar-ganta y un difusor, tal como se muestra en la Figura 7.8. El flujo en la tobera convergente es de gradien-te favorable y nunca se desprende la corriente. Lo mismo ocurre en la garganta donde el gradiente es pr-ximo a cero. El rea creciente del difusor da lugar a velocidades decrecientes y presiones crecientes; portanto, se tiene un gradiente adverso. Si el ngulo del difusor es demasiado grande, el gradiente adverso esexcesivo y la capa lmite se desprende de una o de ambas paredes, con flujo inverso, incremento de lasprdidas y una pobre recuperacin de presin. En la literatura sobre difusores [10] esta situacin se de-nomina difusor en prdida, un trmino utilizado tambin en perfiles aerodinmicos (Seccin 7.6) paraindicar el desprendimiento de la capa lmite de perfiles. El comportamiento de la capa lmite explica porqu un difusor con un ngulo grande tiene prdidas elevadas (Figura 6.23) y malas actuaciones (Figu-ra 6.28).

La teora actual de la capa lmite slo permite el clculo de la misma hasta el punto de desprendimien-to, a partir del cual deja de ser vlida. Se estn desarrollando nuevas tcnicas para analizar la interaccinfuerte originada por las corrientes desprendidas [5, 6].


Ncleono viscoso

Capalmite

U(x)

Punto de inflexinde perfil

Puntode separacin

w = 0

x

Lnea de corrientedivisoria

Flujo inverso

Separacin

Tobera:Presiny rea

decrecientes

Velocidadcreciente

Gradientefavorable

Garganta:Presiny rea

constantes

Velocidadconstante

Gradientenulo

Difusor:Presiny rea

crecientes

Velocidaddecreciente

Gradiente adverso(la capa lmite engorda)

U(x) (x)

(x)

Figura 7.8. Crecimiento y separacin de la capa lmite en una configuracin tobera-difusor.

Teora integral para la capa lmite laminar4

Se puede desarrollar una teora de la capa lmite bidimensional tanto laminar como turbulenta a partir de larelacin integral de Krmn [2, 7], que generaliza la Ecuacin (7.33) al caso de U(x) variable integrando atravs de la capa lmite:

(7.51)

donde (x) es el espesor de cantidad de movimiento y H(x) = *(x)/(x) es el factor de forma. Segn laEcuacin (7.17), un valor negativo de dU/dx es equivalente a un valor positivo de dp/dx, esto es, un gra-diente adverso de presin.

Podemos integrar la Ecuacin (7.51) para determinar (x) para un valor dado de U(x), si relacionamosc y H con el espesor de cantidad de movimiento. Esto se ha hecho examinando los perfiles de velocidadtpicos de la capa lmite laminar y turbulenta para diversos gradientes de presin. En la Figura 7.9 se danalgunos ejemplos, mostrando que el factor de forma H es un buen indicador del gradiente de presin. Losvalores ms altos de H corresponden a los gradientes adversos ms fuertes y la separacin se da aproxi-madamente cuando

(7.52)

Los perfiles laminares (Figura 7.9a) presentan claramente la forma tpica en S y un punto de inflexincon un gradiente adverso. En los perfiles turbulentos (Figura 7.9b) los puntos de inflexin estn normal-mente embebidos en la delgada subcapa viscosa, lo que resulta difcil de ver en la figura debido a su es-cala.

H 5

3 52 4,

,

flujo laminar flujo turbulento

ol

e ewfU

cddx

HU

dUdx2

12

2= = + +( )


4 Esta seccin puede omitirse sin prdida de continuidad.

1,0

0,8

0,6

0,2

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Gradientesfavorables:

u

U

y

(a)

Puntos de inflexin(gradientes adversos)

3,5 (Separacin)3,2

2,92,7

2,6 (Placa plana)2,42,2 = H =

Placa plana

Separacin0,4

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

u

U

y

(b)

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

H =*

= 1,3

2,42,32,22,12,0

1,91,81,71

,61,51

,4*

0 0

Figura 7.9. Perfiles de velocidad con gradiente de presin: (a) flujo laminar; (b) flujo turbulento con gradiente de presin adverso.

En la literatura hay multitud de teoras para el movimiento turbulento, pero todas ellas son algebraica-mente complicadas y las omitiremos aqu. El lector puede encontrarlas en los textos avanzados [1-3, 9].

Para flujo laminar hay un mtodo simple y efectivo desarrollado por Thwaites [11], quien encontr quelas variables de la Ecuacin (7.51) pueden correlacionarse con una nica variable adimensional para el es-pesor de cantidad de movimiento, definida como

(7.53)

Utilizando una aproximacin lineal para esta correlacin, Thwaites pudo integrar la Ecuacin (7.51), ob-teniendo el resultado

(7.54)

donde 0 es el espesor de cantidad de movimiento en x = 0 (que frecuentemente puede tomarse como nulo).La separacin (c = 0) se presenta cuando toma el valor particular

Separacin: = 0,09 (7.55)

Finalmente, Thwaites correlacion los valores adimensionales del esfuerzo S = w/(U) con , y sus re-

sultados grficos se pueden ajustar del siguiente modo:

(7.56)

Este parmetro est relacionado con el coeficiente de friccin superficial por la identidad

S 12cfRe (7.57)

Las Ecuaciones (7.54) a (7.56) constituyen una teora completa para el esfuerzo de friccin y espesor de lacapa lmite laminar con U(x) variable, con una aproximacin del 10 por 100, comparando con las solu-ciones numricas de las ecuaciones (7.19) de la capa lmite laminar. Los detalles completos de la teora deThwaites y otras teoras laminares se dan en las Referencias 2 y 3.

Como demostracin del mtodo de Thwaites, consideremos una placa plana en la que U = constante, = 0 y 0 = 0. La Ecuacin (7.54) se integra para dar

o (7.58)

Que difiere menos del 1 por 100 de la solucin numrica de Blasius, Ecuacin (7.30).Con = 0, la Ecuacin (7.56) predice, para el esfuerzo de la placa plana,

o (7.59)c Ufw

x

= =

2 0 6712 1 2ol

,

Re /

o e

w

U= =( , ) ,,0 09 0 2250 62

ex x

=

0 6711 2

,

Re /

e 2 0 45= , vxU

SU

w( ) ( , ) ,h o e

h= 5 + 0 09 0 62

e e2 02 0

6

65

00 45

= + 0

UU

v

UU dxx,

h e=2

v

dUdx


Que tambin difiere menos del 1 por 100 del resultado de Blasius, Ecuacin (7.25). Sin embargo, la preci-sin general de este mtodo es peor que el 1 por 100, porque Thwaites afin las constantes de su corre-lacin buscando un buen acuerdo con la teora exacta de la placa plana.

No intentaremos predecir aqu ms detalles de la capa lmite, pero ms adelante consideraremos variosflujos con cuerpos sumergidos; especialmente en el Captulo 8, utilizaremos el mtodo de Thwaites para ha-cer predicciones cualitativas del comportamiento de la capa lmite.

EJEMPLO 7.5

En 1938 Howarth propuso una distribucin lineal de velocidades para la corriente exterior

(1)

como modelo terico para el estudio de la capa lmite laminar. (a) Utilice el mtodo de Thwaites para calcular elpunto de separacin x

sep para 0 = 0 y comprelo con la solucin numrica exacta xsep/L = 0,119863 dada por H. Wip-perman en 1966. (b) Calcule tambin el valor c = 2w /(U2) en x/L = 0,1.

Solucin

Apartado (a)En primer lugar obsrvese que dU/dx = U0/L = constante: la velocidad decrece, la presin crece y el gradiente depresiones es adverso en todas partes. Integrando la Ecuacin (7.54) se tiene:

(2)

Por tanto, el factor adimensional est dado por

(3)

De acuerdo con la Ecuacin (7.55), igualaremos este valor a 0,09 para determinar el punto de separacin:

o Resp. (a)

Este resultado es superior en algo menos de un 3 por 100 al valor exacto de Wipperman, pero el esfuerzo de clculoes muy pequeo.

Apartado (b)Para calcular c en x/L = 0,1 (inmediatamente antes de la separacin), determinamos primero en este punto utili-zando la Ecuacin (3):

(x = 0,1L) = 0,075[(1 0,1)6 1] = 0,0661

Con la Ecuacin (7.56) calculamos el parmetro de esfuerzo:

S(x = 0,1L) = (0,0661 + 0,09)0,62 = 0,099 = 12cfRe (4)

x

Lsep

= < =

Usando la Ecuacin (2) o (3) podemos obtener Re en funcin de ReL:

o

Sustituyendo en la Ecuacin (4):

0,099 = 12cf(0,257 ReL1/2)

o Resp. (b)

No podemos determinar el valor numrico de c sin conocer, por ejemplo, el valor de U0L/v.

7.6. EXPERIMENTACIN EN FLUJOS EXTERNOS

La teora de la capa lmite es muy interesante y clarificadora y nos da un conocimiento cualitativo slido delcomportamiento de los flujos viscosos, pero a causa de la separacin, la teora no permite un clculocuantitativo completo del campo fluido. As, por ejemplo, en la actualidad no hay ninguna teora satisfac-toria para determinar las fuerzas sobre un cuerpo cualquiera sumergido en una corriente a un nmero deReynolds arbitrario, excepto los resultados CFD. Por tanto, la experimentacin es la llave para tratar estosflujos externos.

Hay miles de trabajos experimentales en la literatura sobre flujos externos. En esta seccin daremos unabreve descripcin de los siguientes aspectos de los flujos externos:

1. Resistencia de cuerpos bidimensionales y tridimensionales.a. Cuerpos romos.b. Formas fuseladas.

2. Actuaciones de cuerpos sustentadores.a. Perfiles y aviones.b. Proyectiles y cuerpos con aletas.c. Pjaros e insectos.

Para ms detalles vase la mina de oro de datos recopilados por Hoerner [12]. En los prximos captu-los examinaremos datos correspondientes a perfiles supersnicos (Captulo 9), friccin en canales abiertos(Captulo 10) y actuaciones de turbomquinas (Captulo 11).

Resistencia de cuerpos sumergidos

Cuando un cuerpo de forma arbitraria se sumerge en una corriente fluida, el fluido ejercer sobre l fuerzasy momentos. Si el cuerpo tiene forma y orientacin arbitrarias, las fuerzas y momentos que ejerce el fluidosobre l tienen componentes segn los tres ejes coordenados, como se muestra en la Figura 7.10. Es cos-tumbre elegir un eje paralelo a la corriente no perturbada, positivo aguas abajo. La fuerza sobre el cuerpo se-gn este eje se denomina resistencia, y el momento alrededor de l, momento de balance. La resistencia co-rresponde a una prdida de cantidad de movimiento y debe vencerse de alguna manera si queremos que elcuerpo avance aguas arriba en la corriente fluida.

cULv

fL

L= =0 77

1 2,

Re Re/

Re , Re ,/e = =0 257 0 11 2Lx

Len

e 22

0 0661 0 0661L UL v L

= =

,

/,

Re


Una segunda componente muy importante de la fuerza es la que normalmente equilibra al peso. Se de-nomina sustentacin y es perpendicular a la resistencia. El momento alrededor de este eje se denomina mo-mento de guiada.

La tercera componente, que no proporciona ni prdida ni ganancia, es la fuerza lateral y el momento al-rededor de su eje es el momento de cabeceo. De estas fuerzas y momentos tridimensionales se ocupan loslibros de texto de aerodinmica [por ejemplo, 13]. Aqu nos limitaremos a la discusin de la sustentacin yresistencia.

Cuando el cuerpo es simtrico con respecto al plano formado por los ejes de sustentacin y resistencia,como es el caso de aviones, barcos y coches movindose en un fluido en reposo, la fuerza lateral y los mo-mentos de guiada y balanceo desaparecen, reducindose el problema al caso bidimensional: dos fuerzas,sustentacin y resistencia, y un momento, el de cabeceo.

Hay una simplificacin adicional cuando el cuerpo tiene dos planos de simetra, como en la Figura 7.11.Una gran variedad de formas satisfacen esta condicin, tales como cilindros, alas y todos los cuerpos de re-volucin. Si la corriente no perturbada es paralela a la interseccin de estos dos planos, denominada cuer-da principal del cuerpo, habr resistencia, pero no habr sustentacin, ni fuerza lateral ni momentos.5 La re-sistencia para este tipo de cuerpos es la que ms se ha medido y la que se encuentra ms corrientemente enla literatura, pero si la corriente no perturbada no es paralela a la cuerda, el cuerpo tendr una orientacin nosimtrica y, tericamente, pueden aparecer todas las fuerzas y momentos.

En flujos a baja velocidad alrededor de cuerpos geomtricamente semejantes con orientacin y rugo-sidad relativa idnticas, el coeficiente de resistencia ser slo funcin del nmero de Reynolds:

CD = f(Re) (7.60)


Cuerpode formaarbitraria

Sustentacin

Momentode guiada Resistencia

Momentode balance

Momentode cabeceo

Fuerza lateralVelocidad

de la corrienteno perturbada

V

Figura 7.10. Definicin de fuerzas y momentos sobre un cuerpo inmerso en una corriente uniforme.

V

Plano vertical de simetra Plano horizontalde simetra

Cuerdaprincipal

Cuerpodoblementesimtrico

Resistencia slosi V es paralela

a la cuerda principal

Figura 7.11. Cuando la corriente incidente es paralela a los dos planos de simetra slo hay resistencia.

5 En cuerpos con estelas de torbellinos, como el cilindro de la Figura 5.2, puede haber fuerzas y momentos oscilatorios, pero suvalor medio es nulo.

El nmero de Reynolds est basado en la velocidad no perturbada V y en una longitud caracterstica delcuerpo L, que normalmente es la cuerda o la longitud del cuerpo paralela a la corriente:

(7.61)

Para cilindros, esferas y discos, la longitud caracterstica es el dimetro D.

rea caracterstica

Los coeficientes de resistencia se definen usando un rea caracterstica A, que puede variar dependiendo dela forma del cuerpo:

(7.62)

El factor 12 es nuestro tradicional tributo a Euler y Bernoulli. Normalmente el rea A es una de estas tres:

1. rea frontal, rea del cuerpo que se ve mirando en la direccin de la corriente; apropiada para cuer-pos gruesos tales como esferas, cilindros, coches, misiles, proyectiles y torpedos.

2. rea de la forma en planta, rea del cuerpo que se ve mirando desde arriba; apropiada para cuerposanchos y planos, tales como alas e hidroalas.

3. rea mojada, que se acostumbra a utilizar en barcos y lanchas.Cuando se quiere hacer uso de datos de resistencia u otras fuerzas, es importante asegurarse de cul es

la longitud y rea utilizadas para adimensionalizar los coeficientes que nos proporcionan.

Resistencia de presin y de friccin

Como ya hemos mencionado, la teora para determinar la resistencia es poco slida e inadecuada exceptopara el caso de la placa plana debido al desprendimiento de la corriente. La teora de la capa lmite puedepredecir el punto de desprendimiento, pero no permite estimar, ni siquiera aproximadamente, la distribucinde presiones (generalmente bajas) en la zona desprendida. La diferencia entre las altas presiones en la reginfrontal de remanso y las bajas presiones en la regin posterior del cuerpo donde la corriente est desprendidada lugar a una contribucin a la resistencia denominada resistencia de presin. Esta resistencia debe aa-dirse a la integral extendida a toda la superficie del cuerpo del esfuerzo en la pared, o resistencia de friccindel cuerpo, a la que a menudo supera, para obtener la resitencia total:

CD = CD,pres + CD,fric (7.63)La contribucin relativa de las resistencias de friccin y presin depende de la forma del cuerpo, especial-mente de su espesor. La Figura 7.12 muestra la resistencia de un cuerpo aerodinmico cilndrico muy largoen direccin perpendicular al papel. Cuando el espesor es nulo se reduce a una placa plana y la resistenciaes el 100 por 100 de friccin. Cuando el espesor es igual a la cuerda, caso de un cilindro circular, la resis-tencia de friccin es slo alrededor del 3 por 100 del total. Las resistencias de friccin y presin son apro-ximadamente iguales cuando la relacin espesor/cuerda es t/c = 0,25. Obsrvese que CD en la Figura7.12b vara de forma diferente segn se base en el rea frontal o en el rea de la forma en planta, siendo estaltima la habitual para este tipo de cuerpos. Las dos curvas de la Figura 7.12b se refieren a los mismos da-tos de la resistencia.

La Figura 7.13 ilustra el efecto dramtico de la separacin de la corriente y el subsiguiente fallo de lateora de la capa lmite. La distribucin de presiones sobre un cilindro circular en el caso terico no visco-so (Captulo 8) corresponde a la lnea discontinua de la Figura 7.13c:

C p pVp

=

D L

L /8

7L /8V

Iceberg

P7.101

V

A

L, D, e

CDN , VN

CDT , VT

P7.103

sea inferior a 30 mi/h. Determine el tiempo transcu-rrido.

P7.105 Un barco con una longitud de 50 m y una superficiemojada de 800 m2 tiene el casco con la forma ensayadaen la Figura 7.19, sin protuberancias en proa ni popa.La potencia propulsiva disponible es de 1 MW. Re-presente la velocidad del barco V (en nudos) frente a lapotencia aplicada P para 0 < P < 1 MW y agua demar a 20 C. Cul es el ajuste ms eficiente?

P7.106 Una esfera lisa de acero de 1 cm de dimetro (W 50,04 N) es disparada verticalmente a nivel del mar,con velocidad inicial supersnica V0 = 1000 m/s. Sucoeficiente de resistencia viene dado por la Figura7.20. Suponiendo que la velocidad del sonido es cons-tante a 5 343 m/s, calcule la altura mxima del pro-

yectil (a) mediante una estimacin sencilla y (b) me-diante un clculo por ordenador.

P7.107 Repita el Problema P7.106 para una bala de acero de9 mm (W 5 0,07 N) que tiene la forma del cuerpo derevolucin de la Figura 7.20.

P7.108 En la Figura P7.108 se presentan la sustentacin y laresistencia de una esfera girando, Referencia 45. Su-pongamos que una pelota de tenis (W 5 0,56 N, D 56,35 cm) es golpeada a nivel del mar con una veloci-dad inicial V0 = 30 m/s y un efecto liftado que produceuna velocidad de rotacin de 120 rpm (la parte delan-tera de la pelota movindose hacia abajo). Si la pelotaes golpeada a 1,5 m del suelo, calcule la distancia re-corrida hasta alcanzar el suelo.


0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0,10,0

CD

CL

CL

CD

V

1,0 2,0 3,0 4,0 6,05,0

VR

P7.108. Coeficientes de resistencia y sustentacin para una esfera giratoria con ReD 5 105, de la Referencia 45. (Reproducido con

permiso de la American Society of Mechanical Engineers.)

P7.109 Repita el Problema P7.108 si la pelota es golpeadacon efecto cortado (parte delantera de la pelota mo-vindose hacia arriba).

P7.110 Un lanzador de bisbol lanza una pelota curva con unavelocidad inicial de 65 mi/h y una rotacin alrededorde su eje vertical de 6500 rpm. La pelota pesa 0,32 lbfy tiene un dimetro de 2,9 in. Usando los datos de laFigura P7.108 para flujos turbulentos, estime la dis-tancia que se habr desviado la pelota de su trayectoriarecta cuando llegue a la base, situada a 60,5 ft.

*P7.111 Una pelota de ping-pong tiene una masa de 2,6 g y undimetro de 3,81 cm. Es golpeada horizontalmentecon una velocidad inicial de 20 m/s a 50 cm de lamesa, como se muestra en la Figura P7.111. Para aire anivel del mar, qu velocidad de giro, en rpm, sernecesaria para que la pelota llegue al borde opuesto dela mesa, a una distancia de 4 m? Realice una estima-cin analtica, empleando la Figura P7.108, y tenga

en cuenta que la pelota se decelera durante la trayec-toria.

P7.112 En el interior de un tnel de viento tenemos una esferalisa de madera (S = 0,65) unida a una bisagra por una

20 m/s

50 cm

4 m

?

?

P7.111

barra delgada y rgida, como se muestra en la FiguraP7.112. La esfera levita debido al flujo de aire a 20 Cy 1 atm. (a) Represente el ngulo en funcin deldimetro de la esfera d cuando este vara ente 1 cm ) d) 15 cm. (b) Comente la viabilidad de esta configura-cin. Desprecie la resistencia de la barra.

P7.113 Un automvil tiene una masa de 1000 kg y un CDA =0,7 m2. La resistencia de rodadura es de 70 N y esaproximadamente constante. El coche viaja en puntomuerto sin aplicar frenos a 90 km/h cuando comienza asubir una pendiente del 10 por 100 (pendiente = tg10,1 = 5,71). Qu distancia recorrer antes de pararse?

*P7.114 Suponga que el coche del Problema P7.113 se sita enla cima de una colina con una pendiente del 10 por100, y se deja caer en punto murto sin frenos. Qu ve-locidad, en km/h, tendr despus de descender unadistancia vertical de 20 m?

P7.115 El avin ej

Mecánica de Fluidos - Frank M. White 5ta Edición

Documents

Transcript of Mecánica de Fluidos - Frank M. White 5ta Edición