Mecanique des Structures. Etude des Poutres

Patrice Cartraud

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Patrice Cartraud. Mecanique des Structures. Etude des Poutres. Ecole dingenieur. EcoleCentrale de Nantes, FRANCE, 2011, pp.67.

HAL Id: cel-00451733

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Submitted on 7 Jan 2011

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M

Patrice Cartraud

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T

A- v

. Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. quations de champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. lments thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Formulation variationnelle en dplacement . . . . . . . . . . . .. Formulation variationnelle en contrainte . . . . . . . . . . . .

. Rsolution des problmes dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approche en dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approche en contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Choix dune mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . . . .

. Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A . Problme de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Dcomposition de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Solutions lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Traction-compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U . Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypothses cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contraintes intgres et eorts internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de comportement gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv T

. Rsolution du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approche en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approche en forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Dcomposition du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsolution du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Approche en dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Approche en forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mise en quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Eort normal dans une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Proprits de leort normal dans une barre . . . . . . . . . . .. Contraintes et dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. quilibre dun nud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. nergie lastique de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Rsolution dun problme de treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Rsolution en utilisant la compatibilit gomtrique . . . . . . .. Rsolution par la mthode des forces . . . . . . . . . . . . . .

R

A-

La Mcanique des Structures est une discipline trs ancienne, qui sest dveloppe pourrpondre des besoins de construction, initialement dans le domaine du gnie civil. Ellerepose sur lutilisation de modles simplis, qui vont permettre lanalyse des structuresde faon rapide.

Ces modles exploitent une caractristique essentielle des structures qui sont dessolides dformables tridimensionnels : leurs trois dimensions ne sont pas dummeordrede grandeur. Il y a ainsi deux catgories de structures.

les structuresminces dont une dimension (lpaisseur) est trs petite devant les deuxautres, et qui sont appeles plaques ou coques selon que leur surface moyenne estplane ou non ;

les structures lances dont une dimension (la longueur) est trs grande devant lesdeux autres, et qui sont appeles poutre ou arc selon que leur ligne moyenne estdroite ou non.

Ces structures constituent aujourdhui limmensemajorit des structures industrielles, etce dans tous les domaines : aronautique, automobile, construction ferroviaire et navale,gnie civil, etc. Ces deux types de structures sont aussi souvent combins entre elles, parexemple en renforant des plaques par des poutres. La popularit de ces structures vientdu fait quelles prsentent des proprits optimales en termes de raideur et de rsistance,vis--vis de la quantit de matire utilise. A contrario, les solides dformables massifs,cest--dire avec des longueurs comparables dans les trois dimensions de lespace, sonttrs peu utiliss.

La thorie de la Mcanique des Structures a t initie au sicle, donc bienavant la Mcanique des Milieux Continus dont le formalisme actuel a t mis au pointau dbut de la seconde moiti du sicle. Les modles simplis dvelopps sont assissur des hypothses a priori valides lpoque par lexprience. Ce nest seulement quedans la secondemoiti du sicle que cesmodles ont t justis a posteriori. En eet,les mathmaticiens appliqus ont dmontr leur bien fond, au sens asymptotique duterme. Ainsi, lorsque la minceur dune structure tend vers zro ou son lancement verslinni, la dirence entre la solution du problme de llasticit tridimensionnelle et dumodle simpli tend vers zro. Ces modles simplis sont respectivement le modlede Love-Kirchho pour les plaques, et celui de Navier-Bernoulli pour les poutres.

Cest ce dernier modle quest consacr ce document qui traite donc de la mca-nique des structures lances. Lexpos dbute par un rappel de la thorie de llasticit

vi A-

linaire, dans le cadre de laMcanique desMilieux Continus tridimensionnelle. Dans cecontexte est ensuite aborde la rsolution analytique de problmes poss sur une struc-ture tridimensionnelle lance problmes dits de Saint-Venant. Lobjectif est ici dedisposer de rsultats de rfrence pour guider la construction du modle simpli. Lathorie de poutre de Navier-Bernoulli est alors prsente, avec la volont dlibre demonter le parallle avec la Mcanique des Milieux Continus tridimensionnelle. Enn,deux chapitres courts concernent lillustration de la thorie sur des structures treillis etsur des problmes de exion plane.

Ce document est naturellement amen voluer, au gr des remarques et commen-taires des lecteurs qui sont les bienvenus. Il senrichira galement dans une prochaineversion de la prsentation du ambement et des vibrations des poutres.

Je tiens remercier tout spcialement Mathias Legrand (Universit McGill, ECN)pour les nombreuses gures quil a ralises et sa contribution essentielle la mise enforme de ce document. Sa clart et son esthtique lui doivent beaucoup.

Nantes, janvier Patrice Cartraud

patrice.cartraud@ec-nantes.fr

Chapitre

. Cadre de travail

Ce chapitre est consacr ltude de lvolution dun systme mcanique qui, partirdun tat initial non charg les contraintes sont nulles en tout point , va atteindreun nouvel tat dquilibre sous laction de sollicitations extrieures. Lobjectif ici est dedterminer ce nouvel tat. En eet, la connaissance des contraintes dans le systme per-met lanalyse de sa tenue aux sollicitations, laide de critres de dimensionnement, telque le critre de rsistance de Von-Mises, utilis pour les matriaux mtalliques.

Ltude sera limite un systme constitu dun matriau homogne et isotrope, comportement lastique linaire dans le cadre des petits dplacements et des petites d-formations. Le systme est en outre suppos subir des dformations isothermes, souslaction de sollicitations extrieures appliques trs progressivement, dites statiques ouquasi-statiques, partir dun tat initial non contraint.

Aprs avoir prsent le systme dquations rsoudre et quelques rsultats tho-riques concernant lunicit de la solution, desmthodes pour la recherche dune solutionanalytique seront exposes. Ceci constitue la thorie de llastostatique linaire.

Il convient de prciser quune solution analytique nest accessible que dans des si-tuations relativement simples : louvrage [] constitue dans ce domaine une rfrencemajeure et recense un grand nombre de problmes avec solution analytique. Par cons-quent, pour traiter un problme pratique, lingnieur doit en gnral avoir recours des mthodes numriques, pour obtenir une approximation de la solution du problme.Cependant, il est souvent possible dapprocher un problme complexe par un problmesimpli, dont la solution analytique existe, ce qui permet une analyse critique des r-sultats obtenus par des mthodes numriques. Les solutions analytiques de llasticitlinaire sont donc extrmement prcieuses et permettent daborder de nombreux pro-blmes des sciences de lingnieur. Dautre part, elles sont la base de thories simplies,telles que la thorie des poutres qui sera expose au chapitre .

. Position du problmeLes quations du problme dlasticit sont rappeles rapidement, le lecteur tant sup-pos familier avec les notions classiques de la Mcanique desMilieux Continus. Tous leslments utiles sont disponibles dans [], [], [] ou [].

.. quations de champsLes contraintes sont un tenseur symtrique dordre , donc caractrises par six compo-santes. Elles sont rgies par trois quations locales dquilibre :

quations dquilibre!div +~f = ~ (.)

ce qui donne en coordonnes cartsiennes ij;j+fi = . Il est donc clair que ces quationssont insusantes pour dterminer compltement les contraintes.

Comme le suggre lexprience, le matriau constitutif joue un rle dans la rponsedu systme, il faut donc faire intervenir sa loi de comportement, qui relie le tenseur descontraintes celui des dformations. Celui-ci est not en petites transformations, et estsymtrique, du fait de sa dnition (.). La loi de comportement scrit dans le cas dunmatriau isotrope :

Loi de comportement lastique isotrope : dformations! contraintes

= c : = trace Id+ avec =E

(+ )( ) ; =E

(+ ) (.)

o c est le tenseur de raideur, et sont les coecients de Lam.Ceci scrit en coordonnes cartsiennes (la convention de sommation sur les indices

rpts est utilise) :

ij = "kkij + "ij (.)

La relation inverse est donne par :

Loi de comportement lastique isotrope : contraintes! dformations

= s : = E trace Id ++ E avec s; tenseur de souplesse (.)

Par des arguments de stabilit, il est possible de justier que la forme quadratiqueassocie la loi de comportement est positive, ce qui se traduit par :

8 ; : c : dni positif 8 ; : s : dni positif (.)

. Position du problme

Autrement dit, la nullit de ces expressions nest possible que si = et = . La priseen compte de ces relations entrane :

+ > ; > ; E > ; < < (.)En adjoignant la relation dformations-dplacements :

Relation dformations-dplacements

(~u) = grad~u+ gradT~u

(.)

qui scrit en coordonnes cartsiennes :

ij =ui;j + uj;i

(.)

il y a alors + + = quations de champs aux drives partielles, pour incon-nues correspondant aux composantes des contraintes (), des dformations () et dudplacement (). Ces quations poses sur le domaine sont compltes par des condi-tions aux limites portant sur la frontire @. Dans la pratique, ces conditions aux limitespermettent de xer les constantes dintgration qui apparaissent lors de lintgration desquations aux drives partielles.

.. Conditions aux limitesLes conditions aux limites font partie intgrante des donnes du problme, et prcisentlaction du milieu extrieur sur le contour @ du systme. Elles portent sur les dpla-cements ou les contraintes, et en tout point de @, est connue, dans trois directionsorthogonales entre elles, la composante du dplacement ou du vecteur contrainte.

Conditions aux limites Gnralement, @ est partitionn en @ = @u [ @ avec@u \ @ = ? et :

sur @u : ~u = ~ud sur @ : ~n = ~T(M;~n) = ~Td

Sur @u, les conditions aux limites sont dites essentielles ou cinmatiques ou en dpla-cements, alors que sur @, elles sont dites naturelles ou statiques ou sur les contraintes.Le vecteur ~n est la normale extrieure @.

Essai de traction Ltude porte sur une prouvette cylindrique dont la base a pour aireS, identique celle illustre sur la gure .(a). Le contour @ se dcompose en les basesdu cylindre en x = et x = `, et la surface latrale du cylindre S`. En tout point de@, le vecteur contrainte est connu (@u = ?), et les conditions aux limites sont, souslhypothse dune distribution uniforme des eorts de traction sur les sections extrmes :

sur S` : ~T(M;~n) = ~ (condition de bord libre) ; en x = : ~T(M;~n) = FS~e avec ~n = ~e ; en x = ` : ~T(M;~n) = FS~e avec ~n = ~e.

FS

FS

x = `x =

~e

(a) traction

~e

~e

(b) contact glissant

F . Exemples de conditions aux limites

Solide en contact sans frottement avec un solide indformable Ce cas est reprsentsur la gure .(b). En considrant seulement la surface de contact, les conditions auxlimites scrivent en labsence de frottement~e ~T(M;~n) = ~e ~T(M;~n) = avec~n = ~e.Le contact persistant avec le solide indformable fournit~e ~u = .

Sur ce dernier exemple, il apparat quen un point de @, les conditions aux limitespeuvent porter la fois sur les dplacements et les contraintes, mais que dans chaquedirection, soit la composante du vecteur contrainte, soit la composante du dplacementest connue. Cette proprit est essentielle pour la dmonstration de lunicit de la solu-tion dun problme dlasticit. Le problme est dit rgulier, ce qui revient dire quil estbien pos, au sens mathmatique du terme.

Notons enn que lorsque dans une direction donne, la composante du vecteurcontrainte est impose, la composante du dplacement correspondante est une incon-nue du problme. Cest donc seulement la rsolution du problme qui permettra de lacalculer. Autrement dit, il nest pas possible, dans une direction donne, de prescrire la fois une force et un dplacement.

.. RcapitulatifLensemble des quations prcdentes constitue la formulation du problme dlasticit.Les donnes de ce problme sont :

la gomtrie du systme ; la loi de comportement du matriau, cest--dire les valeurs de et ou E et ; les forces volumiques ; les conditions aux limites sur le contour @ = @u [ @ avec @u \ @ = ?.

Le problme rsoudre scrit alors :

Problme dlasticit Trouver ~u; ; solutions des quations de champ dans :!div +~f = ~ (.a) = c : = trace Id + (.b)

(~u) = grad~u+ gradT~u

(.c)

. lments thoriques

et des conditions aux limites sur @ :

~u = ~ud sur @u (.d) ~n = ~T(M;~n) = ~Td sur @ (.e)

. lments thoriquesAvant daborder la rsolution des problmes dlasticit, il importe de sintresser auxproblmes dexistence et dunicit de la solution.

La question de lexistence de la solution dpasse largement le cadre de ce cours. Le lec-teur dsireux dapprofondir cette question pourra se rfrer la section de louvrage [].Dans la suite, il sera seulement fait tat, dans certaines circonstances, dune conditionncessaire satisfaire par les donnes en eorts du problme pour quune solution existe.Ce point sera explicit dans la section suivante.

Lunicit de la solution joue un rle fondamental dans la rsolution dun problmedlasticit. En eet, il nexiste pas de mthode gnrale pour rsoudre un problme.Ainsi, la dmarche consiste proposer une solution, et vrier que toutes les qua-tions du problme sont satisfaites. Le rsultat dunicit permet alors de conclure que lecandidat propos est bien la solution du problme. Ce type dapproche est qualie desemi-inverse.

Lunicit de la solution est une consquence de la linarit du problme (.). Cettelinarit exprime que pour un systme de gomtrie et dematriaux donns, (CL signieconditions aux limites) si :

(~u; ; ) est solution du problme (.) de donnes (f;CL) ; (~u; ; ) est solution du problme (.) de donnes (f;CL) ; alors, le problme (.) de donnes (f + f; CL + CL) admet pour so-lution (~u + ~u; + ; + ).

Ce rsultat est encore appel principe de superposition.Lunicit se dmontre facilement partir de la formulation variationnelle du pro-

blme, qui peut tre exprime sur les dplacements ou les contraintes. Cette approchevariationnelle permet galement de caractriser la solution du problme en tant que mi-nimum dune fonctionnelle, qui correspond une nergie. Cette dernire proprit est la base de mthodes de rsolution qui seront prsentes au chapitre , section ...

.. Formulation variationnelle en dplacement

Dnition .Le champ~v est dit cinmatiquement admissible (not par la suite C.A.) avec les don-nes cinmatiques du problme (.), sil est susamment rgulier et satisfait lesconditions aux limites cinmatiques (.d).

Dans cette dnition, susamment rgulier signie continu, et tel que les expressionsutilises par la suite (intgrales, oprations de drivation) aient un sens.

partir de cette dnition, il vient la formulation variationnelle en dplacement.

orme . Formulation variationnelle en dplacementSi ~u est solution du problme (.), alors :

~u est C.A. et 8~v C.A.; a(~u;~v ~u) = (~v ~u) (.)

avec :

a(~u;~v ~u) =Z(~u) : c : (~v ~u) d

(~v ~u) =Z~f (~v ~u) d +

Z@

~Td (~v ~u) dS(.)

La dmonstration est rapide. Il vient en eet partir de lquation dquilibre (.a) :Z(!div +~f ) (~v ~u) d = (.)

Or, daprs la relation :!div(~u ) = !div ~u+ : gradT~u (.)

dont le dernier terme est gal : (~u) en tenant compte de la symtrie de , et de laformule de Green-Ostrogradsky, la relation (.) devient :Z

: (~v ~u) d =

Z~f (~v ~u) d +

Z@

(~v ~u) ~n dS (.)

Le second membre reprsente le travail des eorts extrieurs dans le dplacement~v ~u.Il est rappel que @ = @u [ @. Or, pour ~u et~v C.A.,~v ~u = ~ sur @u, et dautrepart, daprs (.e), ~n = ~T(M;~n) = ~Td sur @. Le second membre se rduit doncnalement (~v ~u), ce qui achve la dmonstration.

Lunicit de la solution en dplacements sobtient partir de la formulation variation-nelle. En eet, supposons que le problme (.) admette deux dplacements solution ~uet ~u. Ces champs sont C.A., si bien que (.) fournit :

a(~u;~u ~u) = (~u ~u)a(~u;~u ~u) = (~u ~u)

(.)

En sommant ces deux galits, la forme a tant bilinaire, linaire, et en posant ~u =~u ~u, il vient a(~u;~u) = . Or :

a(~u;~u) =Z(~u) : c : (~u) d (.)

. lments thoriques

et sous lhypothse classique (.) que le tenseur c est dni positif, il sensuit que :

(~u) = (.)

qui montre que ~u 2 R oR est lespace des dplacements de solide rigide :Dplacements de solide rigide

R = f~uR=~uR =~t+ ~ ^~x; avec~t et ~ constantsg (.)

Dautre part, ~u est obtenu par dirence de ~u et ~u, tous les deux C.A. Par cons-quent, ~u est un champ compatible avec des donnes cinmatiques nulles pour le pro-blme (.), cest--dire ~u = ~ sur @u. Ce champ est dit C.A. homogne, not C.A.H..Deux cas de gure se prsentent alors :

. les conditions aux limites cinmatiques ~u = ~ sur @u empchent tout mouve-ment de solide rigide, auquel cas ~u = ~ et la solution en dplacement du pro-blme (.) est unique ;

. lespaceR (ou une partie non vide de celui-ci) est contenudans lespace des champsC.A.H. et, par consquent, la solution du problme (.) est dnie un dplace-ment de solide rigide prs. Dautre part, daprs (.), il vient :

8~uC:A:H 2 R;Z~f ~u d +

Z@

~Td ~u dS = (.)

Cette condition est appele condition de compatibilit sur les donnes statiques.Cest une condition ncessaire pour quil existe une solution au problme (.).Physiquement, elle exprime des conditions dquilibre global du domaine tudi.Ainsi, pour le cas de lessai de traction, voir la section .., o @u = ?, (.)implique la nullit du torseur de lensemble des eorts extrieurs, condition quiest bien vrie pour un eort de traction uniformment rparti.

Dans ce deuxime cas, lespace des champs C.A. avec la condition~u = ~ sur @u, autre-ment dit, lespace des champs C.A. homognes, contient tout si @u = ?ou partiede lespace des dplacements de solide rigide. Quand bien mme la solution en dplace-ment est dnie un dplacement de solide rigide prs, la solution en dformation et encontrainte est unique, puisque (~u) = .

Outre lunicit de la solution, au sens dni prcdemment pour le dplacement, ildcoule de la formulation variationnelle en dplacement le thorme suivant :

orme . orme de lnergie potentielle en dplacementParmi tous les champs C.A., le champ de dplacement solution minimise lnergiepotentielle en dplacement dnie par W . W reprsente lnergie lastique de d-formation et a pour expression :

W(~u) = a(~u;~u) (.)

Pour dmontrer ce thorme, considrons le dplacement~v C.A. et le champ ~u solutiondu problme (.). La forme a tant symtrique, la dirence dnergie potentielle deschamps~v et ~u est :

W(~v)(~v)W(~u)(~u) = a(~v;~v)a(~u;~u)(~v)+(~u)=

a(~v~u;~v~u)+a(~u;~v~u)(~v~u)

(.)

Or, daprs la formulation variationnelle (.), le second membre se rduit au premierterme. Enn celui-ci est positif ou nul daprs (.).

.. Formulation variationnelle en contrainte

Dnition .Le champ de contrainte est dit statiquement admissible (not par la suite S.A.) avecles donnes statiques du problme (.), sil est symtrique, satisfait les quationsdquilibre (.a) et les conditions aux limites statiques (.e).

partir de cette dnition, il vient la formulation variationnelle en contrainte.

orme . Formulation variationnelle en contrainteSi est solution du problme (.), alors :

est S.A. et 8 S.A.; A(; ) = ( ) (.)

avec :

A(; ) =Z : s : ( )d

( ) =Z@u

~ud ( ) ~n dS(.)

La dmonstration est donne trs rapidement car reprenant des arguments utiliss danslapproche en dplacement. Daprs la symtrie de la loi de comportement, il vient :

A(; ) =Z( ) : s : d =

Z( ) : (~u) d (.)

Or lapplication de la formule (.) fournit :!div(~u ( )) = !div( ) ~u+ ( ) : gradT~u (.)

Or, () tant symtrique, le dernier terme est gal () : (~u). Aprs applicationdu thorme de Green-Ostrogradsky, il vient :

A(; ) = Z

!div( ) ~u d +Z@

~u ( ) ~n dS (.)

. Rsolution des problmes dlasticit

Comme et sont S.A., il en rsulte que est S.A.H., cest--dire S.A. avec desdonnes statiques nulles, do !div( ) = ~, et ( ) ~n = ~ sur @. Ceci nit ladmonstration.

En envisageant deux champs de contraintes solution et , lunicit de la solution encontrainte est obtenue daprs la nullit de A(; ) et la proprit (.).

De mme il vient le thorme de lnergie complmentaire :

orme . orme de lnergie complmentaireParmi tous les champs S.A., le champ de contrainte solution minimise lnergie com-plmentaire W. W reprsente lnergie lastique de contrainte et a pour expres-sion :

W() = A(; ) (.)

. Rsolution des problmes dlasticitDeux approches existent pour la rsolution du problme dlasticit (.), selon que larecherche de la solution est faite en choisissant le champ de dplacement ou le champ decontrainte comme inconnue principale.

.. Approche en dplacements

Cette mthode consiste choisir le champ de dplacement ~u comme inconnue princi-pale. Dans la pratique, une certaine forme pour ce champ est propose. Il sagit alors devrier toutes les quations du problme.

Ce champ doit satisfaire les conditions aux limites en dplacement, et il est ais decalculer par drivation les dformations, puis les contraintes en utilisant la loi de com-portement. Il est alors possible dtudier si les quations dquilibre et les conditions auxlimites portant sur les contraintes sont vries. Dans le cas dun domaine homogne(lematriau est lemme en tout point de), il est plus commode dexprimer directementles quations dquilibre en termes de dplacement. Celles-ci sont obtenues en repor-tant la relation dformations/dplacements (.c) dans la loi de comportement (.b),puis en injectant cette expression dans les quations dquilibre (.a). Il vient alors lesquations dquilibre en termes de dplacement, quations dites de Lam-Navier, dontlexpression est :

quations de Lam-Navier, forme

( + )!grad(div~u) + ~u+~f = ~ (.)

ou encore :

quations de Lam-Navier, forme

( + )!grad(div~u) !rot(!rot~u) +~f = ~ (.)

Le processus de rsolution avec la mthode en dplacement est donc postuler un champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites sur les dplacements ; vrier les quations de Lam-Navier ; vrier les conditions aux limites sur les contraintes ; conclure grce lunicit.

Remarque Si le champ de dplacement est irrotationnel, les quations se r-duisent :

( + )!grad(div~u) +~f = ~ (.)

ce qui implique!rot~f = ~ et~f = !grad~F. Il sensuit aprs intgration :

( + ) div~u+ ~F = cste (.)

.. Approche en contraintesLa seconde mthode de rsolution consiste rechercher directement les contraintes. Lechamp de contrainte doit vrier les conditions aux limites portant sur les contraintes etles quations dquilibre.

Si tel est le cas, il sera toujours possible de lui associer un champ en utilisant la loide comportement sous sa forme inverse (.), soit :

ij =+ E ij

Ekkij (.)

En revanche, il nest pas sr que ce champ corresponde un champ de dformations.Il faut pour cela sassurer quil existe un champ de dplacement ~u tel que drive de cechamp de dplacement, soit :

= (grad~u+ gradT~u) (.)

ce qui revient dire que doit vrier des conditions dintgrabilit, encore appelesconditions de compatibilit des dformations. Ces quations sont complexes exprimer encriture tensorielle. En cartsiennes, les six quations peuvent tre mises sous la forme :

quations de compatibilit des dformations en coordonnes cartsiennes

ij + kk;ij (jk;ik + ik;jk) = (.)

. Rsolution des problmes dlasticit

En pratique, lors dune approche en contraintes, ces quations sont exprimes enfonction des contraintes. Pour ce faire, il faut utiliser la loi de comportement (.). Maisles quations obtenues sont diciles exploiter, cest pourquoi elles sont combines avecles quations dquilibre, pour donner nalement les quations de Beltrami-Michell :

quations de compatibilit des dformations exprimes sur les contraintes pour unmatriau isotrope

div(grad )+ + grad(grad(trace ))+

Id div~f+grad~f+gradT~f = (.)

Dans le cas particulier o les forces de volume sont constantes grad~f = , lquationse rduit ses deux premiers termes. En coordonnes cartsiennes, cela donne :

(+ )ij + kk;ij = (.)

Si le champ de contrainte propos vrie ces quations, il sera alors possible dintgrer lechamp de dformations et dobtenir le dplacement ~u dni un dplacement de soliderigide prs. Il restera enn satisfaire les conditions aux limites sur les dplacements.

Le processus de rsolution avec la mthode en contrainte est donc : postuler un champ de contrainte ; vrier les conditions aux limites sur les contraintes ; vrier les quations dquilibre ; vrier les quations de Beltrami-Michell ; intgrer les dformations et obtenir le champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites sur les dplacements ; conclure grce lunicit.

Remarques Lorsque les forces volumiques sont constantes, tout champde con-traintes constant ou ane par rapport aux variables despace satisfait les quationsde Beltrami-Michell ;

Si les forces volumiques sont nulles, tout champ de contraintes constant v-rie la fois les quations dquilibre et les quations de Beltrami-Michell ;

Si le problme tudi est sans condition aux limites sur les dplacements@u = ?, quand le champ de contrainte propos satisfait les conditions auxlimites sur les contraintes, les quations dquilibre et les quations de Beltrami-Michell, celui-ci est la solution en contraintes du problme. Pour lexemple de latraction simple, examin en section .., il sen dduit que = FS ~x ~x est lasolution du problme.

.. Choix dune mthode de rsolutionPour un problme dlasticit linaire admettant une solution analytique, le choix dunemthode de rsolution doit tre guid par lintuition qui incite faire des hypothses surla forme des dplacements ou des contraintes. Cependant, comme toute solution doitsatisfaire les conditions aux limites du problme, linconnue sur laquelle les conditionsaux limites sont les plus nombreuses est en gnral privilgie.

La proposition dun candidat la solution dun problme est alors une tape dli-cate, et il faut exploiter toutes les informations disponibles. En particulier, les propritsgomtriques des donnes du problme (gomtrie du systme, chargement volumique,loi de comportement et conditions aux limites) doivent tre utilises. Elles peuvent eneet conduire la recherche dune solution indpendante dune ou plusieurs variablesdespace, ou vriant des proprits de symtrie. Enn, signalons que lorsque les deuxmthodes de rsolution sont utilisables, la mthode des dplacements sera prfre,car moins lourde au niveau des calculs que la mthode des contraintes pour laquellelintgration des dformations est assez fastidieuse.

. Principe de Saint-VenantDans la pratique, la formulation des conditions aux limites est dicile, car le plus souventles informations sur @sont approximatives et connues de faon globale. Ainsi, sur @,le torseur rsultant des eorts appliqus sera connu, mais pas sa rpartition surfaciqueexacte, do limpossibilit de dnir un problme rgulier. Autrement dit, avec de tellesdonnes, le problme dlasticit admet une innit de solutions, chacune dentre ellestant la solution dun problme rgulier avec une rpartition surfacique deorts donne.Pour rsoudre cette dicult, une proprit importante est alors exploite :

Principe de Saint-VenantSi la distribution surfacique ~Td sur une partie @SV de @ est remplace par une dis-tribution qui lui est statiquement quivalente (cest--dire que les torseurs de ces deuxdistributions sont identiques), les champs de contrainte et de dplacement de la solu-tion du problme dquilibre lastique sont pratiquement inchangs dans toute partiedu solide susamment loigne de @SV.

Ainsi, si un problme dont les conditions aux limites sur @SV sont exprimes entermes de torseur rsultant possde une solution analytique, cette solution peut treconsidre comme valable dans , sauf au voisinage de @SV. Ce principe autorise unecertaine souplesse dans la formulation des conditions aux limites et permet galementdtendre le champ dapplications de solutions de problmes rguliers. Par exemple, lasolution de lessai de traction simple vue auparavant est valable loin des bases dun cy-lindre sur lesquelles on applique deux eorts opposs.

Ce principe empirique est bien vri par lexprience et par les rsultats issus desmthodes numriques.

Chapitre

A S-V

Nous nous intressons dans ce chapitre des poutres, cest--dire des solides lancsdont une dimension est grande devant les deux autres. Cette particularit gomtriqueincite rechercher des hypothses simplicatrices pour dcrire leur comportement, laide dune modlisation monodimensionnelle, an dviter la complexit de lapprochetridimensionnelle. Pour justier ces hypothses, il convient cependant de pouvoir dis-poser dune solution rigoureuse de rfrence. Cest lobjectif de ltude du problme ditde Saint-Venant, qui sera traite dans le cadre de llasticit tridimensionnelle. An de nepas alourdir la prsentation, seuls les rsultats essentiels seront fournis, sans rentrer dansle dtail de la rsolution des problmes dlasticit. Le lecteur dsireux dapprofondir cesquestions pourra se reporter [] ou [].

. Problme de Saint-Venant.. Position du problme

Ltude concerne la rponse lastique dun solide cylindrique de section constante(base) S, daxe ~e et de longueur `. Ainsi = [ ; `] S, voir la gure .. Ce solide

`

~e

SS

GM

G

GS

S`~e

~e

F . Dnition du domaine tudi et une section droite S

A

est uniquement sollicit sur ses sections extrmes : les eorts volumiques sont donc nulset la surface latrale S` = ] ; `[ @S est libre. Dautre part, les sollicitations sur les sec-tions extrmes S et S ne sont connues que par leurs torseurs rsultants, aux centres desurface G et G de ces sections. Ainsi, (~R; ~MG), (~R; ~MG) sont donns, et le problme rsoudre scrit en cartsiennes, en notant :

~R =ZS~T(M;~e) dS et ~MG =

ZS

~GM ^ ~T(M;~e) dS (.)

Problme rsoudre

ij;j =

"ij =+ E ij

Ekkij

"ij =ui;j + uj;i

~T(M;~n) = ~ sur S`~R(x = ) = ~R; ~MG(x = ) = ~MG~R(x = `) = ~R; ~MG(x = `) = ~MG

(.)

Il en rsulte que les conditions aux limites ne peuvent tre mises sous la forme classique :

8M 2 @; 8~ei; ~ei ~u ou ~ei ~T(M;~n) donn (.)

et que le problme prcdent nest pas rgulier. Il admet donc une innit de solutionsparce quil est possible de dnir une innit de conditions aux limites statiques sur Set S respectant la donne du torseur rsultant.

Cependant, daprs le principe de Saint-Venant, nonc en section ., loin de S etS, lcart entre toutes ces solutions est ngligeable, ce qui signie que toute solution duproblme peut tre considre comme valable dans cette zone, et ce, quelle que soit lafaon dont sont appliques les sollicitations sur les sections extrmes ( torseur gal).Il apparat ainsi que la solution obtenue est exploitable si la longueur du cylindre estimportante devant les dimensions de la section. Cest pourquoi les solides tudis icisont dits lancs.

Enn, le problme prcdent ne possdant pas de conditions aux limites de typedplacement impos, il admettra des solutions condition que lquilibre global soitrespect, comme voqu en section .., ce qui impose :

~R + ~R = ~~MG + ~MG + ~`e ^ ~R = ~

(.)

.. Dcomposition de la solutionGrce la linarit du problme, le principe de superposition permet de dcomposer leproblme prcdent en six problmes lmentaires, correspondant des sollicitations denature dirente. Cette dcomposition est la suivante :

. Problme de Saint-Venant

pour les eorts :

~R =

8>:R

9>=>;+8>:

9>=>;+8>:

9>=>;+8>:

9>=>;+8>:

R

9>=>;+8>:

R

9>=>; (.) pour les moments :

~MG =

8>:

9>=>;+8>:

M

9>=>;+8>:

M

9>=>;+8>:M

9>=>;+8>:

9>=>;+8>:

9>=>; (.)~R et ~MG se dduisant de ~R et ~MG en utilisant lquilibre global (.).

Nous pouvons envisager successivement les six cas dont quatre sont schmatiss surla gure . avec les axes de la gure .. Les deux autres cas sont les exions pure etsimple dans le plan (~e~e). tant donn que toutes les conditions aux limites portent

(a) traction (b) torsion

(c) exion pure (d) exion simple

F . Dcomposition en problmes lmentaires

sur les contraintes, lapproche en contraintes sera utilise pour rsoudre ce problme.Le champ de contrainte sera donc cherch en vriant les quations dquilibre et deBeltrami-Michell :

ij;j =

ij;mm +

+ ll;jj = (.)

A

ainsi que les conditions aux limites :

~T(M;~n) = ~ sur S`~R(x = ) = ~R; ~MG(x = ) = ~MG~R(x = `) = ~R; ~MG(x = `) = ~MG

(.)

. Solutions lmentaires.. Traction-compression

Pour ce problme, il est trs ais de constater que :

f~eig =

RjSj

264

375 (.)o jSj reprsente laire de la section droite, est solution du problme pour le cas de chargen, ce qui entrane, en utilisant la loi de comportement :

f~eig =

REjSj

264

375 (.)et aprs intgration, un dplacement de solide rigide prs :

f~ugf~eig =REjSj

8>:xxx

9>=>; (.)Ceci conduit un dplacement axial selon~e linaire en x, et des dplacements trans-versaux, selon~e et~e, indpendants de x. Pour une section rectangulaire de dimensionsa b, la dforme prsente gure . est obtenue selon laxe de la poutre dune part,et dans la section dautre part (pour R > ). Ces deux gures sont caractristiquesde leet Poisson, qui se traduit par des dformations transversales gales fois lesdformations axiales, lorsque la sollicitation est purement axiale.

Sur la gure ., les changements de dimension sont les suivants :

` = REjSj` ; b = REjSj b ; a =

REjSj a (.)

Enn, pour une poutre lance (ou longue), cest--dire si ` est trs suprieure aux di-mensions de la section, notons que le changement de forme de la section est ngligeabledevant le dplacement axial.

. Solutions lmentaires

``+ `

~e

~e ~e

a+ aa

bb+

b

F . Dforme de la poutre en traction, selon deux plans de projection

.. Flexion pureConsidronsmaintenant les cas de charge n et n, le chargement tant d uniquement des moments aux extrmits, ports par laxe~e ou~e.

Pour le cas du moment autour de laxe ~e, si les directions ~e et ~e sont principalesdinertie, cest--dire si

RS xx dS = , alors la solution est de la forme :

[]f~eig = MI

x

264

375 (.)o I =

RS x

dS reprsente le moment quadratique principal.

~e

~e

~e

M

M

F . Rpartition de la contrainte dans une section

Ainsi, la matire travaille en traction ou en compression selon le signe de x, ce quiexplique la rpartition des contraintes normales illustre gure . pour M > .La loi de comportement donne :

[]f~eig = MI

x

264

375 (.)Aprs intgration, le dplacement solution est donn, un dplacement de solide rigideprs, par :

f~ugf~eig =MEI

8>:xx

(x

+ (x x))

xx

9>=>; (.)

A

Ainsi, le centre de surface (x = x = ) subit un dplacement de valeur v = MEI x

selon~eet dcrit donc une parabole. Le calcul de la courbure de la courbe v (x) sobtienten appliquant la formule :

= v;(+ (v;))/

(.)

Or, v; est un terme de grad~u et donc, dans lhypothse des petites transformations, esttrs petit devant lunit, si bien que v;. En outre, dans le cas prsent, est constantet vaut :

= MEI(.)

La dforme de la ligne des centres de surface est donc trs bien approche par un cerclede rayon =. Par la suite, la ligne des centres de surface sera appele ligne moyenneou bre moyenne. La dforme dune section droite rectangulaire est prsente sur la -gure ., avec un changement de forme gonement ou contraction directement liau signe de x, compte tenu de lexpression de , et qui traduit leet Poisson. Pour une

~e ~e

~e ~e

F . Dforme de la poutre en exion selon deux plans de projection

poutre lance, il est licite de considrer que le dplacement selon~e est quasi constantsur la section et que les dplacements correspondant au changement de forme de la sec-tion sont ngligeables par rapport ce dernier. Le vecteur rotation ~ = ~rot ~u, qui estassoci la partie anti-symtrique du gradient des dplacements, a pour expression :

~ = MEI(x~e + x~e) (.)

Ainsi, dans une section x = cste, la rotation est constante autour de~e. La dformede cette section est donc plane, avec, dans le plan, le changement de forme reprsent au-paravant.

Dautre part, = MEI x, et est donc gal la pente v; du dplacement de la lignemoyenne, ce qui signie que la section droite dforme est perpendiculaire la dforme dela ligne moyenne. Ce rsultat peut aussi tre justi en remarquant que = , do lefait que les transforms de~e et~e restent perpendiculaires. Cette proprit est illustresur la gure ..

. Solutions lmentaires

Le cas de la exion autour de laxe~e cas de charge n se traite de faon ana-logue et il sut de transposer les rsultats prcdents pour obtenir :

=MI

x ; w = MEI

x (.)

avec I =RS x

dS, moment quadratique principal etw, dplacement selon~e de la ligne

moyenne.

.. TorsionLe cas de charge n avec un moment axial aux extrmits est maintenant tudi. Larsolution du problme conduit de la forme :

[]f~eig =

264

375 (.)avec :

=MJ ^; ; =

MJ ^; ; J =

ZS^ dS (.)

o ^(x; x) est solution dun problme de Laplacien pos sur la section :

^ + = dans S^ = sur @S

(.)

Il sensuit :

[]f~eig =MJ

264 ^; ^;^; ^;

375 (.)et aprs intgration, un champ de solide rigide prs :

f~ugf~eig =MJ

8>: (x; x)xxxx

9>=>; avec ; = ^;+ x et ; = ^;+ x (.)Ainsi, les contraintes et dformations sont indpendantes de x.

Le champ de dplacement se dcompose en un dplacement axial indpendant dex, et en dplacements transversaux dus la rotation MJ x~e qui sapplique sur toute lasection, autour de laxe ~e. Il vient ainsi la relation :

MJ = ; (.)

Dans le cas de la section circulaire et du tube section circulaire, = . Ceci conduit la dforme prsente gure .. Cependant, dans le cas gnral, 6= et la section nereste pas plane. Ce phnomne est appel gauchissement.

A

~e

~e

gnratrice dforme

M

M

~e

F . Dforme dune poutre section circulaire en torsion

.. Flexion simpleConsidrons maintenant le problme n. Le champ de contrainte est trouv de laforme :

[]f~eig =

264

375 (.)avec :

=R (` x) x

I; =

RI

x

+ x

+ ; ; = ; (.)

tant solution dun problme de Laplacien pos sur la section :

= dans S

;n ;n =RI

x

+ x

n sur @S

(.)

Les expressions des dformations et des dplacements ne sont pas reportes ici mais lecalcul de la courbure donne :

v; (x) =R (` x)

EI(.)

soit une formule analogue au cas de la exion pure en remarquant que le moment (mo-ment de exion qui sera dni dans le chapitre suivant) sexerant sur la section situe labscisse x vaut R (` x)~e.

Pour approfondir lanalyse, il est ncessaire de rsoudre le problme en . Or, ceproblme nadmet pas en gnral de solution analytique, sauf dans le cas de sections deforme trs simple, comme une section circulaire par exemple.

Ainsi, pour une section circulaire de rayon a, la dformation " due au cisaillement est ngligeable par rapport la rotation de la lignemoyenne v;, ds lors que la poutre

. Solutions lmentaires

est susamment lance, soit ` a. Il y a donc une analogie avec la rponse exionpure, o les sections dformes restent planes et orthogonales la dforme de la lignemoyenne. Leet d au cisaillement est donc ngligeable dans ce cas. Une autre faon demettre en vidence ce rsultat consiste comparer les nergies de dformation dues auxcontraintes de exion celles des contraintes de cisaillement et . Il apparatalors que leur rapport devient trs grand si ` a.

Ainsi, pour une poutre lance, laction de la rsultante des eorts selon~e et~e estngligeable par rapport aux eets de la exion. Ceci se traduit sur la dforme par ungauchissement ngligeable par rapport aux dplacements de exion, et sur lnergie parla prpondrance de lnergie de exion.

Le cas de charge n se traite de la mme faon et on obtient :

=R (` x) x

I(.)

Chapitre

U

Le problme de Saint-Venant, bien que simple par sa gomtrie et ses conditions auxlimites, ces dernires tant dnies par un torseur deorts sur les sections extrmes,donne lieu des calculs fastidieux avec une approche tridimensionnelle. Il serait donctrs utile de proposer une modlisation simplie des poutres, classiquement appeleRsistance des Matriaux, pour obtenir rapidement les informations juges essentielles dforme, rpartition des contraintes sous laction deorts extrieurs connus glo-balement. Il sagit donc de raliser le passage dunemodlisation tridimensionnelle uneschmatisation monodimensionnelle. De ce fait, le formalisme de llasticit linariseet ses quations aux drives partielles va se transformer en un systme dquations dif-frentielles. Il en rsulte un gain norme sur le temps de rsolution du problme, au prixde quelques approximations qui seront soulignes ci-aprs.

Pour eectuer cette simplication D ! D, les rsultats obtenus sur le problmede Saint-Venant vont largement tre exploits, et extrapols des situations plus g-nrales, cest--dire pour dautres types de chargement et de conditions aux limites. Lecadre de travail est donc lemme que dans les chapitres prcdents, savoir celui des pe-tites perturbations. Dautre part, la structure tudie est suppose constitue dun mmematriau, comportement lastique isotrope.

Ce chapitre suit un plan classique dans le cadre de la Mcanique des Milieux Conti-nus, lobjectif tant de mettre en place les dirents lments de la thorie des poutres,conduisant la formulation dun problme aux limites. Lexpos portera donc succes-sivement sur la description de la cinmatique, des dformations, des eorts internes etdes quations locales qui les rgissent, la loi de comportement et enn les conditions auxlimites. La rsolution du problme sera ensuite aborde.

La prsentation sappuie principalement sur les rfrences suivantes : [] et [] (ou-vrages magistraux), ainsi que [], [] et [].

. DnitionsLtude concerne des structures lances, encore appeles poutres, qui ont la caractristiquegomtrique davoir une dimension trs suprieure aux deux autres. Selon la grande di-

U

mension, la poutre est assimile une courbe correspondant sa ligne moyenne. Trans-versalement celle-ci est dnie la section S de la poutre, dont le centre de surface appar-tient la ligne moyenne. Dans ce chapitre, lexpos est limit aux poutres dont la lignemoyenne est une droite similaire celle de la gure ..

. Hypothses cinmatiquesPour dnir le dplacement de la poutre dans le cadre dune modlisation monodimen-sionnelle, il est prvisible que des hypothses sur la dformation des sections seront n-cessaires, an de gagner deux dimensions. Or, pour le problme de Saint-Venant, il avaitt remarqu quexcept pour la torsion, une bonne approximation de la dformationde la section de la poutre pouvait tre obtenue en considrant que celle-ci subissait unmouvement densemble, i.e. de solide rigide, qui aprs dformation la maintient perpen-diculaire la ligne moyenne. Ceci conduit la formulation de lhypothse de Navier-Bernoulli :

Dnition . Hypothse de Navier-BernoulliToute section droite dune poutre subit un dplacement de solide rigide qui la main-tient perpendiculaire la ligne moyenne dforme.

Linterprtation graphique de la dcomposition de la poutre en sa section et sa lignemoyenne est indique sur la gure .. La cinmatique de la section est donc rgie par

F . Schmatisation de la poutre par sa ligne moyenne et sa section

six degrs de libert. Les trois degrs de libert de translation sont dnis par les com-posantes u, v et w du dplacement ~uG du centre de surface G de la section. Ainsi, pourun point M quelconque appartenant la section de centre de surface G, avec ~GM =x~e + x~e, le dplacement de solide rigide de la section se traduit par :

~uM = ~uG + ~ ^ ~GM ) f~uMgf~eig =

8>:u(x) x(x) + x(x)v(x) x(x)w(x) + x(x)

(.)

en notant ~, la rotation de la section.Pour le centre de surface de la section, les composantes du dplacement corres-

pondent au dplacement axial u et aux dplacements transverses v etw de la lignemoyenne.Ces derniers sont encore appels ches.

. Hypothses cinmatiques

La conservation de langle droit entre la section et la ligne moyenne conduit auxrelations :

= v; et = w; (.)

Cette relation est illustre dans le plan (~e;~e) sur la gure .. La rotation ne peut

~e

~e

v;

u v

F . Conservation de langle droit entre la section et la ligne moyenne

tre relie au dplacement de la ligne moyenne. Finalement :

Champ de dplacement de Navier-Bernoulli

f~uMgf~eig =

8>:u(x) xv;(x) xw;(x)v(x) x(x)w(x) + x(x)

(.)

La comparaison de ce champ avec la solution lastique tridimensionnelle du pro-blme de Saint-Venant fait apparatre une approximation, consquence de lhypothsede mouvement de solide rigide de la section : ses changements de forme sont ngligs.Ceux-ci peuvent tre dcomposs en deux parties : ceux dans le plan de la section etceux, en dehors de celui-ci et correspondant au gauchissement. Comme indiqu dans lechapitre , les premiers peuvent eectivement tre ngligs si la poutre est susammentlance. Quant au gauchissement, qui peut tre d la torsion ou la exion simple, ilpeut se calculer en rsolvant un problme local sur la section de la poutre, sans quilsoit utile de le prendre en compte dans la modlisation globale de la poutre. Pour nir,il convient de remarquer que pour ces deux sollicitations, la cinmatique (.) permetdobtenir les dplacements et rotations densemble de la section.

En comparant le champ de dplacement prcdent la solution du problme de tor-sion de Saint-Venant, on constate que la rotation de la section S est bien restitue. Enrevanche, et cest une consquence directe de lhypothse de Navier -Bernoulli, le gau-chissement napparat pas. Ceci rsulte simplement du fait quune modlisation mono-dimensionnelle ne saurait reprsenter des phnomnes variables sur la section, tels quele gauchissement. On conclura que pour la torsion, le champ de dplacement adoptpermet dobtenir la rotation de torsion. Quant au gauchissement, on pourra si nces-saire le calculer en procdant comme pour le problme de Saint-Venant. On retrouve ici

U

les deux chelles (globale et locale) de description de la poutre voques au paragrapheprcdent.

. DformationsLe champde dplacement tant connu, le champde dformation sen dduit simplement,grce la partie symtrique de son gradient, puisque le cadre adopt est celui des petitesperturbations. Le gradient est donn par :

grad~u = ~u;i ~ei (.)do, en considrant lexpression (.) de ~u, avec, ce stade, ~(x) indpendant cest--dire sans avoir encore pris en compte la conservation de langle droit entre la lignemoyenne et la section et dautre part, la relation ~GM = x~e + x~e, il vient :

grad~u =~uG(x) + ~(x) ^ ~GM

; i~ei

=~uG; + ~; ^ ~GM

~e + ~(x) ^ ( ~GM);i ~ei=~uG; + ~; ^ ~GM

~e + (~ ^~e)~e + (~ ^~e)~e=~uG; + ~; ^ ~GM

~e ~e ~e + ~e ~e + (~e ~e ~e ~e)(.)

Ce qui conduit aux dformations, en prenant la partie symtrique :

= (~uG; +~; ^ ~GM+~e ^~)~e +~e (~uG; +~; ^ ~GM+~e ^~)

(.)

Il est ais de vrier que toutes les composantes de dformation associes au changementde forme de la section sont nulles, ce qui est une consquence directe de lhypothse demouvement de solide rigide de la section. En eet, "ij = si i ou j 6= .

Sous forme matricielle, lexpression des dformations est :

[]f~eig =

264u; +x;x; (v; x; ) (w; + + x; ) sym.

375 (.)Lexpression des dformations (.) amne naturellement introduire les deux vecteurssuivants, associs respectivement la partie constante et linaire sur la section, soit :

~ := ~uG; +~e ^ ~ ; ~ := ~; (.)de sorte que lexpression des dformations devient :

= (~ + ~ ^ ~GM)~e +~e (~ + ~ ^ ~GM)

(.)

Ces deux vecteurs forment les dformations gnralises de la poutre. Leurs composantessont :

f~gf~eig =

8>:u;

v;w; +

9>=>; ; f~gf~eig =8>:;;;

9>=>; (.)

. Contraintes intgres et eorts internes

Elles sont faciles interprter. Ainsi, la composante de ~ caractrise la variation re-lative de longueur de la ligne moyenne, alors que les composantes et sont gales la diminution de langle droit entre la ligne moyenne et les directions et respective-ment. Quant ~, sa composante correspond au taux de rotation de torsion associ la rotation de la section sur elle-mme, alors que les deux autres composantes sont lescourbures de la ligne moyenne, respectivement dans les plans (~e;~e) et (~e;~e).

La prise en compte de la deuxime partie de lhypothse deNavier-Bernoulli, savoirla relation (.), qui traduit la conservation de langle droit entre la ligne moyenne et lasection, implique :

Dformations gnralises de Navier-Bernoulli

f~gf~eig =

8>:u;

9>=>; ; f~gf~eig =8>:

;w;v;

9>=>; (.)Lexpression des dformations devient :

Champ de dformations de Navier-Bernoulli

[]f~eig =

264u;xw;xv; x; x; sym.

375 (.)Dans ce cas, les composantes de dformations " et " sont dues uniquement la

torsion et rsultent du changement dorientation des parallles la gnratrice du cy-lindre, initialement portes par~e, comme expliqu en section ...

. Contraintes intgres et eorts internesComme il a t dj mentionn plusieurs reprises, la thorie simplie de poutre estune thorie globale, dans laquelle les eets locaux sont ngligs ou restitus une chellesuprieure. Ainsi, pour la cinmatique, les dformations dune section dans son plan nesont pas reprsentes dans la thorie, qui ne retient que les mouvements de solide rigidede celle-ci, qui peuvent sinterprter comme ses mouvements globaux. De faon ana-logue, la modlisation adopte pour les eorts internes consiste en une reprsentationglobale. Cest ainsi que les eorts internes, dnis sur la section, sont dcrits par un tor-seur pris en son centre de surface. Notons que cette dnition est tout fait cohrenteavec le principe de Saint-Venant, qui est largement utilis dans les modles base depoutres, dans lesquels les sollicitations extrieures sont dnies globalement.

Une faon classique de faire apparatre ce torseur des eorts internes consiste d-composer articiellement une poutre en deux parties, notes et , grce une coupureselon une section S. Les eorts intrieurs sur la section S de normale extrieure~e sont

U

les eorts exercs par la partie sur la partie , et leur torseur est not [T!]. De mme,lorsque cest la normale extrieure~e qui est considre, le torseur des eorts intrieursest not [T!], et en vertu du principe daction-raction, [T!] = [T!] si aucunesollicitation nest exerce sur la section S.

Le torseur [T!] sera dornavant not [Tint(x;~e)], la notation (x;~e) indiquant defaon explicite la dpendance de ce torseur labscisse de la section et lorientation desa normale extrieure. Ainsi, [T!] aura pour expression [Tint(x;~e)].

Le torseur des eorts intrieurs se dcompose en une rsultante ~Rint(x;~e) et unmoment rsultant au centre de surface ~Mint(x;~e). La projection de la rsultante et dumoment rsultant sur la normale la section et dans le plan de la section conduit auxdnitions suivantes ( := indique une dnition) :

Torseur des eorts internes dune poutre

~Rint(x;~e) := N~e + ~V := N~e + V~e + V~e~Mint(x;~e) := T~e + ~M := T~e +M~e +M~e

(.)

avec N, leort normal, V, leort tranchant, T, lemoment de torsion et M, lemoment deexion aussi dit moment chissant.

Lillustration est donne sur la gure ., o les moments sont reprsents par desches doubles.

~eV

~eN

~e V

(a) rsultante

~eM

~eT

~e M

(b) moment

F . Composantes du torseur des eorts internes

Il est facile de relier ces quantits aux contraintes. En eet, ds lors que la poutreest dcompose en deux tronons, apparat sur sa section une distribution surfaciquedeorts qui par dnition correspond au vecteur contrainte ~n = ~T(M;~n) o ~n estla normale extrieure. Celle-ci vaut~e pour la partie et, respectivement, ~e pour lapartie . Le torseur des eorts internes est donc simplement le torseur rsultant du vecteurcontrainte, soit :

. Le vecteur~T(M;~n)ne doit pas tre confondu avec la quantit T qui reprsente lemoment de torsion.

. quations locales

Rsultante des eorts internes dune poutre

~Rint(x;~e) =ZS~T (~x;~e) dS)

8>:NVV

9>=>; =ZS

8>:

9>=>; dS (.)

et :

Moment des eorts internes dune poutre

~Mint(x;~e) =ZS

~GM^~T (~x;~e) dS)

8>:TMM

9>=>; =ZS

8>:x x

xx

9>=>; dS (.)

Les composantes du torseur des eorts internes sont donc aussi logiquement appe-les contraintes intgres, ou encore contraintes gnralises.

Il en rsulte que les eorts intrieurs associs la section S en considrant la normaleextrieure~e seront simplement donns par :

~Rint(x;~e) =ZS~T (M;~e) dS =

ZS~T (M;~e) dS = ~Rint(x;~e)

~Mint(x;~e) = ~Mint(x;~e)(.)

ce qui restitue le principe daction-raction, soit :

[Tint(x;~e)] = [Tint(x;~e)] (.)

Ces relations jouent le rle de la relation de Cauchy ~T = ~n pour un milieu continutridimensionnel. Elles peuvent tre crites de faon synthtique sous la forme :

n~Rint(x; n~e)

of~eig

= n

8>:NVV

9>=>; etn~Mint(x; n~e)

of~eig

= n

8>:TMM

9>=>; (.)avec n = , ce qui est interprt graphiquement sur la gure ..

. quations localesLapproche choisie ici pour tablir ces quations consiste considrer un tronon depoutre et crire lquilibre global de celui-ci.

Soit donc un tronon dlimit par deux sections dont les centres de surface sontnots A et B. Ce tronon est soumis des eorts extrieurs volumiques~f et surfaciques~Td sur son contour latral S`, qui aprs intgration sur la section donnent une rpartition

U

~e~e

N

~eV

V

V~e N

V

F . Consquences du principe daction raction sur la rsultante des eortsinternes, pour deux sections en vis--vis

linque deorts, de torseur [(x)]. La rsultante est note~q(x) et le moment rsultantau centre de surface de la section ~m(x).

Ce tronon de poutre ayant t isol de son milieu dorigine, il sexerce sur ses sec-tions extrmes des eorts de cohsion, qui correspondent aux eorts internes. Ceci estschmatis sur la gure ., o sont reprsents sparment les eorts et les momentsagissant sur le tronon.

~Rint(xA;~e) ~Rint(xB;~e)~q(x)

A B(a) Rsultante

~Mint(xA;~e) ~Mint(xB;~e)~m(x)

A B(b) Moment

F . Analyse de lquilibre dun tronon de poutre

Lquilibre global du tronon sexprime par :

[Tint(xA ;~e)] + [Tint(xB ;~e)] +Z xBxA

[(x)] dx = [] (.)

Do sur la rsultante et le moment (pris en A) :

~Rint(xA ;~e) + ~Rint(xB ;~e) +Z xBxA

~q(x) dx = ~

~Mint(xA ;~e) + ~Mint(xB ;~e) + (xB xA)~e ^ ~Rint(xB ;~e)+

Z xBxA

(x xA)~e ^~q(x) + ~m(x)

dx = ~

(.)

Soit, en tenant compte de la proprit [Tint(xA ;~e)] = [Tint(xA ;~e)], et en omettant

. quations locales

pour allger lcriture la notation (x;~e) :Z xBxA

d~Rintdx

+~q!dx = ~Z xB

xA

ddx

(~Mint+(xxA)~e ^ ~Rint)+(xxA)~e ^~q(x)+~m(x)dx = ~

(.)

Ces quations doivent tre vries quelles que soient les valeurs de xA et xB . La pre-mire quation fournit donc :

quations locales dquilibre sur la rsultante

d~Rintdx

+~q = ~ (.)

Dautre part, dans la deuxime quation, sachant que :

ddx(x xA)~e ^ ~Rint

= ~e ^ ~Rint + (x xA)~e ^

d~Rintdx

(.)

alors daprs (.), il vient :

quations locales dquilibre sur le moment

d~Mintdx

+~e ^ ~Rint + ~m = ~ (.)

Les quations prcdentes sont valables condition quaucun torseur deorts concen-trs ne soit appliqu entre les sections extrmes du tronon. Cela peut cependant tre lecas, quil sagisse de charges concentres ou dactions de liaison correspondant des liai-sons cinmatiques, voir la gure ..

~Rint(xA;~e) ~FC~MC

D

~Rint(xB;~e)

A BC

F . Exemple de tronon avec sollicitations concentres

Il faut alors reprendre les quations (.). Ainsi, en faisant tendre A vers C gauche,not C, et B vers C droite, not C+, elles conduisent :

~Rint(xC ;~e) + ~Rint(xC+ ;~e) + ~FC = ~~Mint(xC ;~e) + ~Mint(xC+ ;~e) + ~MC = ~

(.)

do en notant Jg(C)K := g(C+) g(C), il vient :

U

Prise en compte des sollicitations concentres

J~Rint(xC)K + ~FC = ~J~Mint(xC)K + ~MC = ~ (.)En D, les quations sont :

~uD = ~J~Mint(xD)K = ~ (.)Il sensuit une discontinuit du torseur des eorts internes en C et D. En eet, en D,

il existe des actions de liaison associes ~uD = ~, qui de ce fait engendrent une disconti-nuit de la rsultante des eorts internes. Par la suite, de tels points seront donc appelspoints de discontinuit. Signalons ds prsent que la discontinuit ne concerne que letorseur des eorts internes. Les champs ~uG et ~ sont en eet continus, pour respecter lacontinuit du milieu.

. Loi de comportement gnraliseSi ce stade un premier bilan quations/inconnues est eectu, il vient pour les incon-nues : quatre variables cinmatiques pour le mouvement de solide rigide de la section :u, v, w et , quatre composantes de dformations gnralises : ~ ~e et ~, et les sixcomposantes du torseur des eorts internes [Tint(x;~e)].

Les quations tablies jusqu prsent sont les quatre quations (.) indiquant lex-pression des dformations gnralises en fonction du dplacement, et les six quationsdquilibre locales (.) et (.) portant sur le torseur des eorts internes. Il manquecependant des quations pour rsoudre le problme pos et obtenir les dformations etdplacements de la poutre. Comme en Mcanique des Milieux Continus, les quationsqui font dfaut ici sont celles qui expriment le comportement lastique de la poutre enreliant le torseur des eorts internes aux dformations gnralises. Notons dores et djla notion de comportement de poutre, qui est plus large que celui de matriau, puisquilest naturel que le comportement de la structure tudie mette en jeu des caractristiquesmatriau et des proprits gomtriques de la section.

Une faon naturelle dobtenir cette loi de comportement est de recourir lexprience,avec linconvnient davoir ritrer cette dmarche ds que lematriau ou la forme de lasection changent. Lobjectif ici est donc dobtenir une expression analytique de cette loi decomportement, autant que faire se peut en utilisant les quations issues de la Mcaniquedes Milieux Continus tridimensionnelle, an davoir la meilleure prcision possible.

Une premire approche pour aboutir la loi de comportement, consiste choisircomme point de dpart lexpression (.) des dformations de la poutre pour appliquerla loi de comportement tridimensionnelle. Les contraintes peuvent alors tre calculesen utilisant la loi de Hooke dumatriau, puis par intgration les composantes du torseur

. Loi de comportement gnralise

des eorts internes. Or, la loi de Hooke (.) conduit :

= ( + )(u;xw;xv; ) (.)

et par suite, tant donn que lorigine des coordonnes xi est au centre de surface N = (+)jSju; o jSj correspond laire de la section. Cette expression est en contra-diction avec le rsultat N = EjSju; provenant de la rsolution du problme de Saint-Venant pour le cas de la traction pure (.). Ceci vient du fait que les contraintes ontt calcules partir de lexpression des dformations issues de lhypothse de Navier-Bernoulli, qui nglige les dformations de la section dans son plan. Or ces dformationsexistent dans le cas de la traction pure. Elles expriment leet Poisson, comme cela peuttre constat dans lexpression (.) et comme illustr sur la gure ..

Cette approche nest donc pas satisfaisante car elle ne redonne pas pour la poutre laloi de comportement obtenue par rsolution dun problme tridimensionnel. Le mmeconstat pourrait tre fait pour la exion pure, pour laquelle leet Poisson est galementobserv, comme dj voqu dans lquation (.) et la gure .(b).

En fait, lanalyse des rsultats du problme de Saint-Venant tablie au chapitre ,montre que quelle que soit la sollicitation considre (traction, exion pure ou simple,torsion), ltat de contrainte est anti-plan, cest--dire de la forme :

[]f~eig =

264

375 (.)expression qui permet de calculer les dformations via la loi de Hooke :

= E trace Id ++ E (.)

il vient alors :

" =E ; " =

+ E ; " =

+ E (.)

do, en inversant ces relations et en tenant compte des expressions (.) et (.) desdformations :8>:

9>=>; =264E Ex Ex x x

375(~ ~ef~g)

(.)

Il sensuit, en intgrant sur la section et compte tenu des dnitions (.) et (.) du

U

torseur des eorts intrieurs :

(~Rint(x;~e)~Mint(x;~e)

)=

ZS

8>>>>>>>>>>>>>:

x xxx

9>>>>>>>=>>>>>>>;dS

=

ZS

266666664

E Ex Ex x x (x + x) Ex Ex ExxEx Exx Ex

377777775dS!(

~ ~ef~g

)(.)

Or, daprs la dnition de la ligne moyenne,RS x dS =

RS x dS = . De plus, en intro-

duisant les :

Moments quadratiques ou moments dinertie gomtriques

I =ZSx dS ; I =

ZSx dS ; I =

ZSxx dS (.)

il vient :

~Rint(x;~e) ~e = N = EjSj~ ~e = EjSju; (.a)~Mint(x;~e) ~e = T = (I + I)~ ~e = (I + I); (.b)(~Mint(x;~e) ~e~Mint(x;~e) ~e

)= E

"I II I

#(~ ~e~ ~e

)(.c)

et lcriture de lgalit (.c) se simplie en :(MM

)= E

"I II I

#(w;v;

)(.)

Si les axes~e et~e sont axes principaux dinertie, alors I = : ceci sera suppos vrai parla suite.

Ces relations sont identiques celles obtenues partir de la rsolution du problmede Saint-Venant tridimensionnel, en traction-compression (.) et exion (.). Enrevanche, il y a une dirence pour la torsion (.). En eet, cette dernire relation faitintervenir via le terme J le gauchissement, qui est ignor dans la thorie de poutre danslaquelle la section est suppose rester plane. La relation (.b) doit donc tre corrigeet remplace par T = J;, o J a t dni en (.), et nalement il vient :

. Conditions aux limites

Loi de comportement dune poutre de Navier-Bernoulli dans les axes principauxdinertie gomtriques. Expression matricielle

(~Rint(x;~e) ~e~Mint(x;~e)

)=

26664EjSj J EI EI

37775(~ ~ef~g

):= [cp]

(~ ~ef~g

)(.)

o a t introduite la matrice raideur [cp] de la poutre. Ces relations sont rcrites sousforme scalaire, cf. (.).

Sous cette forme, et compte tenu des relations E > et > de (.) sur les caract-ristiquesmatriau, et de la positivit de I, I (.) et de J, il en dcoule immdiatementles proprits suivantes :

8f~Rint ~e; f~MintgTg; f~Rint ~e; f~MintgTg[cp](~Rint ~ef~Mintg

)>

8f~ ~e; f~gTg; f~ ~e; f~gTg[cp](~ ~ef~g

)>

(.)

Remarques La relation (.) ne permet pas de relier les eorts tranchants~Rint ~e et ~Rint ~e aux dformations gnralises. Ce rsultat tait prvisible car lesvariables duales des eorts tranchants sont~~e et~~e, qui sont nulles en thoriede Navier-Bernoulli. En fait, les eorts tranchants peuvent tre calculs partirdes quations statiques : quations dquilibre, conditions aux limites statiques etconditions statiques de discontinuit.

Le caractre anti-plan de ltat de contrainte, obtenu lors de la rsolution duproblme de Saint-Venant, est rigoureusement exact si le chargement est appli-qu sur les sections extrmes de la poutre. Il est suppos ici que ce rsultat de-meure pour un chargement quelconque. Cela constitue une approximation, facile mettre en vidence ds lors que des eorts sont imposs sur le contour latralS` de la section, dont la normale extrieure appartient au plan (~e;~e).

Outre la limitation note prcdemment sur la relation obtenue pour la tor-sion, lapplication de la loi deHooke partir de ltat de contrainte anti-plan (.)donne " = " = E . Ceci restitue bien leet Poisson, conformment lasolution tri-dimensionnelle du problme de Saint-Venant. Cest en revanche encontradiction avec lhypothse de Navier-Bernoulli, dont les approximations sontici nouveau visibles.

. Conditions aux limitesLa combinaison des quations dquilibre et de la loi de comportement intgre conduit un systme direntiel dordre . Sa rsolution fait donc apparatre des constantesdintgration, qui seront dtermines par douze conditions aux limites : six chaqueextrmit de la poutre.

U

Ces conditions aux limites scrivent dune manire gnrale :

Conditions aux limites dune poutre de Navier-Bernoulli

u = ud ou nN = Fdv = vd ou nV = Fdw = wd ou nV = Fd = d ou nT = Md

w; = d ou nM = Mdv; = d ou nM = Md

(.)

le ou tant exclusif, puisquil nest pas possible dappliquer la fois un eort (respec-tivement un moment) et un dplacement (resp. une rotation).

Dans ces quations, ~Fd et ~Md reprsentent la rsultante et le moment rsultant deseorts extrieurs imposs sur les sections extrmes, et n = ~n ~e o ~n est la normaleextrieure la section extrme. Ainsi, n = .

Ci-aprs sont donns quelques exemples de conditions aux limites : Poutre scelle dans un bti suppos indformable : cette liaison est appele encastre-

ment et illustre gure .. Toutes les conditions aux limites sont de type cinma-tique avec un second membre nul.

`(a) cas rel

`(b) modlisation

F . Liaison encastrement

Poutre soumise des eorts extrieurs une extrmit. Toutes les conditions auxlimites sont de type eort et moment impos, avec n = en et n = en `, cf.gure ..

~n = ~e

~Fd

~Md(a) en

~n = ~e

~Fd

~Md(b) en `

F . Torseur extrieur impos sur les sections extrmes

Poutre sur appuis dans le cas dun problme dans le plan (~e;~e), il y a seulementtrois conditions aux limites chaque extrmit (gure .), en supposant que le

. Bilan

milieu extrieur (hachur) est indformable et que la liaison avec celui-ci est par-faite (pas de discontinuit de dplacement avec la poutre). P reprsente le poidsdu solide pos sur la poutre. Sur ce dernier exemple, il y a une approximation dansla mesure o il est crit que le dplacement est nul au niveau de la ligne moyenne,alors quen ralit cest la base de la poutre que ce dplacement est nul.

`

(a) cas rel

`

P

(b) modlisation

F . Poutre reposant sur un milieu rigide

. BilanPour xer les ides, considrons le problme illustr sur la gure ., o seules les solli-citations concentres sont reprsentes. Lextrmit gauche en A de la poutre est suppo-se avoir une cinmatique impose, alors que sur son extrmit droite en B des eortset moments extrieurs sont appliqus dans les trois directions de lespace, nots~Fd et ~Mdrespectivement. Les autres eorts extrieurs, volumiques, et surfaciques sur le contourlatral de la section, conduisent aprs intgration un torseur de rsultante~q et de mo-ment ~m, lire la section .. Dautre part, deux discontinuits existent aux points C et D.Il sagit dun appui en C, avec un moment extrieur concentr not ~MC. En D, un eortconcentr de rsultante ~FD est impos.

AC

~MC

D

~FD

B

~Fd~Md

F . Exemple de poutre, reprsente pour simplier avec une cinmatiqueimpose nulle en A (encastrement), et sans faire gurer les eorts et moments rpartis

Les quations du problme rsoudre se listent, en omettant la notation (x;~e) andallger lcriture, comme suit :

U

quations dun problme de poutre de Navier-Bernoulli plo sur ]; xC[[]xC; xD[[]xD; `[ :

~Rint; +~q = ~ (.a)~Mint; +~e ^ ~Rint + ~m = ~ (.b)(~Rint ~ef~Mintg

)=

26664EjSj J EI EI

37775(~ ~ef~g

)(.c)

~ ~e = u; (.d)

f~gf~eig =

8>:;w;v;

9>=>; (.e) conditions aux limites en et ` :

~u() = ~ud ; ~() = ~d (.f)~Rint(`;~e) = ~Fd ; ~Mint(`;~e) = ~Md (.g)

quations pour les discontinuits en xC et xD :

~uG(xC) = ~ (.h)J~Mint(xC)K + ~MC = ~ (.i)J~Rint(xD)K + ~FD = ~ (.j)J~Mint(xD)K = ~ (.k)Avant daborder la rsolution de ce problme, il importe de sassurer quil est bien

pos, ce qui fait lobjet de la section suivante.

. lments thoriquesComme cela sera illustr par la suite, la rsolution du problme (.) par la mthodedes eorts internes est en gnral privilgie. Par consquent, les lments thoriquesqui suivent se restreignent une approche en contrainte dans un cadre tridimensionnel,cest--dire dans le cas dune poutre, au torseur des eorts internes.

Dnition .Le torseur [Tint(x;~e)] est dit statiquement admissible S.A. avec les donnes statiquesdu problme (.) sil satisfait les quations dquilibre (.a) et (.b), les condi-tions aux limites statiques (.g) et les conditions statiques de discontinuit (.i) (.k).

. lments thoriques

Il vient alors la formulation variationnelle en contrainte :

orme . Formulation variationnelle en contrainteSi [Tint(x;~e)] est solution du problme (.), alors :

[Tint(x;~e)] est S.A.8[Tint(x;~e)] S.A.; A([Tint]; [Tint] [Tint]) = ([Tint] [Tint])

(.)

o la notation (x;~e) a t omise pour allger lcriture, et avec les dnitions suivantes,en posant [T int] = [Tint] [Tint] :

A([Tint]; [T int]) =Z `

NNEjSj +

TTJ +

MMEI

+MMEI

dx

([T int]) = ~Rint() ~ud ~Mint() ~d(.)

La dmonstration est donne ci-aprs. Daprs la loi de comportement (.c) et les rela-tions (.d) et (.e) entre les dformations gnralises et les variables cinmatiquesde la poutre, il vient :

NNEjSj +

TTJ +

MMEI

+MMEI

= Nu; +T; Mw; +Mv;=(Nu+ T Mw; +Mv; );(N; u+ T; M;w; +M;v; )

(.)

Or, [T int], gal la dirence de deux torseurs S.A., est donc un champ S.A. avec desdonnes statiques nulles du problme, ou encore S.A. homogne, S.A.H. Il vrie ainsi :

~Rint; = ~~Mint; +~e ^ ~Rint = ~

(.)

Ce qui donne par projection les six quations suivantes :

N; = ; V; = ; V; = T; = ; M; V = ; M; + V =

(.)

Par consquent, la deuxime partie du second membre de (.) se rduit :

M;w;M;v; = Vw; +Vv; = (Vv+ Vw);V;v V;w (.)et en utilisant nouveau (.), il vient :

NNEjSj +

TTJ +

MMEI

+MMEI

=

=(Nu+ Vv+ Vw+ T Mw; +Mv; ); = (~Rint ~uG + ~Mint ~);(.)

Cette dernire quation est alors intgre entre et `, de faon classique pour le premiermembre. Pour le secondmembre, compte tenu des discontinuits, lintgrale est dcom-pose en la somme de trois intgrales, entre et xC , xC+ et xD , et enn entre xD+

U

et `. Ceci donne, ~uG et tant continus :Z xC

+

Z xDxC+

+

Z `xD+

(~Rint ~uG + ~Mint ~); dx =

= ~Rint() ~uG() ~Mint() ~()+ J~Rint(xC)K ~uG(xC) + J~Mint(xC)K ~(xC)+ J~Rint(xD)K ~uG(xD) + J~Mint(xD)K ~(xD)+ ~Rint(`) ~uG(`) + ~Mint(`) ~(`)

(.)

Pour les deux premiers termes, il faut tenir compte des conditions aux limites cinma-tiques (.f). Dautre part, [T int] tant S.A.H, il vrie dans (.), les conditions auxlimites statiques et les quations de discontinuit statique avec un second membre nul.De plus, daprs (.), ~uG(xC) = ~, ce qui nit la dmonstration du rsultat (.).

Remarque La forme bilinaire A([Tint]; [T int]) dnie par (.) a une formetout fait comparable (.) utilise en lasticit tridimensionnelle. En eet :

NNEjSj +

TTJ +

MMEI

+MMEI

= f~Rint ~e; f~MintgTg[cp]~Rint ~ef~Mintg

(.)

do lanalogie avec (.), puisque [cp] reprsente le comportement en sou-plesse de la poutre.

Lunicit de la solution en torseur des eorts internes est alors trs facile dmontrer.En eet, en envisageant deux torseurs solution [Tint(x;~e)] et [Tint(x;~e)], leur di-rence est daprs (.) solution de A([Tint] [Tint]; [Tint] [Tint]) = . Ceci entraneimmdiatement [Tint] [Tint] = , du fait que la forme bilinaire A est dnie positive,daprs (.).

Le torseur des eorts internes tant unique, il en est de mme pour les dformationsgnralises~ ~e et~. Une intgration simple fournit alors u = ~uG ~e et~. Ceci donnedonc directement , mais il faut intgrer une fois de plus les relations = w; et = v; pour obtenir v et w, cest--dire les composantes v = ~uG ~e et w = ~uG ~e.

La solution en dplacement est en gnral unique, sauf si les donnes cinmatiqueshomognes du problme sur les conditions aux limites et les quations de disconti-nuit permettent un dplacement densemble de la structure. Dans cette circonstance,comme en lasticit tridimensionnelle, dtaille en section .., le problme nadmetde solution qu condition que le torseur des eorts extrieurs vrie des quationsdquilibre global. Pour le problme tudi en (.), le dplacement et la rotation sontprescrits en x = . Aucun mouvement densemble nest donc possible.

La formulation variationnelle en contrainte permet dtablir le thorme de lnergiecomplmentaire :

. Rsolution du problme

orme . orme de lnergie complmentaireParmi tous les torseurs S.A., le torseur solution minimise lnergie complmentairednie par W . W reprsente lnergie lastique de contrainte et a pour expres-sion :

W([Tint]) = A([Tint]; [Tint]) =

Z `

NEjSj +

TJ +

MEI

+MEI

dx (.)

Pour dmontrer ce thorme, considrons le torseur S.A. [Tint]. La forme A tantbilinaire symtrique et linaire, il vient :

W([Tint]) ([Tint])W([Tint]) ([Tint])

=

A([Tint]; [Tint]) A([Tint]; [Tint])

([Tint] [Tint])=

A([Tint] [Tint]; [Tint] [Tint])

+ A([Tint]; [Tint] [Tint])

([Tint] [Tint])

(.)

Daprs (.), la somme des deux derniers termes est nulle. De plus, tant donn lesproprits de la loi de comportement de la poutre (.), la forme A est dnie positive,ce qui tablit le thorme.

Dans le cas particulier (trs frquent en pratique) o les donnes cinmatiques duproblme sont nulles (conditions aux limites et quations de discontinuit), le torseursolution minimise simplement lnergie lastique de contrainte.

. Rsolution du problmeComme dans le cas de llasticit tridimensionnelle, deux approches sont disponiblespour la rsolution du problme (.). Une mthode en dplacements et une mthodeen forces, dont les grandes lignes sont donnes ci-aprs. Ces mthodes seront illustresplus en dtails au cours des chapitres suivants.

.. Approche en dplacementLes variables cinmatiques sont ici privilgies et choisies comme inconnues princi-pales. Comme en lasticit tridimensionnelle, les quations dquilibre sont directementexprimes sur ces variables. Pour ce faire, tout dabord, les expressions des dforma-tions (.d), (.e) et (.f) sont reportes dans la loi de comportement (.c), cequi conduit :

Loi de comportement dune poutre de Navier-Bernoulli dans les axes principauxdinertie gomtriques. Expression scalaire

N = EjSju; ; T = J; ; M = EIw; ; M = EIv; (.)

U

Cette dernire expression est introduite dans (.a) et (.b). Il en dcoule desquations direntielles suivantes sur u, v, w et , aprs combinaison des quations dersultante et de moment dans le plan (~e;~e) :

quations dquilibre exprimes en fonction des dplacements

EjSju; +q = J; +m = EIv;q +m; = EIw; +q +m; =

(.)

Ces quations sont en gnral faciles intgrer analytiquement. Les constantes din-tgration sont alors xes par les conditions aux limites et les quations de discontinuit.Pour faciliter la prise en compte des quations statiques dans ces deux dernires famillesdquations, les expressions (.) sont utilises.

Cette mthode est tout fait systmatique. Notons qu la dirence de llasticittridimensionnelle o il faut proposer un candidat la solution, cette fois-ci, il sutdintgrer les quations direntielles (.). Les calculs peuvent cependant savrer fas-tidieux, et ce dautant plus que le nombre de discontinuits est important. En eet, dsquil y a des discontinuits, il faut intgrer ces quations sur des intervalles sans discon-tinuits, puis raccorder les solutions obtenues en crivant les quations de discontinuitdu problme ainsi que la continuit de toutes les variables cinmatiques aux points dediscontinuit. Ainsi, pour lexemple du problme (.), il faut intgrer sparment sur] ; xC[, sur ]xC ; xD[ et sur ]xD ; `[.

Cest pourquoi la mthode des forces peut tre plus ecace.

.. Approche en forcesLapproche consiste ici choisir comme inconnues principales le torseur des eorts in-ternes. En se restreignant, parmi les quations du problme (.), celles qui mettenten jeu uniquement le torseur, il vient :

sur ]; xC[[]xC; xD[[]xD; `[ :~Rint; +~q = ~~Mint; +~e ^ ~Rint + ~m = ~

(.)

conditions aux limites statiques en ` :~Rint(`;~e) = ~Fd~Mint(`;~e) = ~Md

(.)

quations statiques pour la discontinuit en xC et xD :J~Mint(xC)K + ~MC = ~J~Rint(xD)K + ~FD = ~J~Mint(xD)K = ~ (.)

. Rsolution du problme

Deux cas de gure se prsentent alors :

. ces quations sont susantes pour dterminer le torseur des eorts internes [Tint].Le systme est dit isostatique et lespace des champs S.A. est rduit un seul l-ment. Il est remarquable qualors le torseur des eorts internes soit obtenu sansfaire intervenir la loi de comportement de la poutre ;

. ces quations sont insusantes, ce qui est le cas du problme (.). En eet, enintgrant les quations dquilibre, ~Rint et ~Mint sont dnis un vecteur constantprs, sur chacun des intervalles ] ; xC[, ]xC ; xD[ et ]xD ; `[. Celui-ci peut trex sur ]xD ; `[ grce aux conditions aux limites statiques en `. Cest aussi vraipour ]xC ; xD[, en exploitant les rsultats sur ]xD ; `[ et les quations statiquesde discontinuit en D, qui fournissent la valeur de ~Rint et ~Mint en D. De mmesur ] ; xC[, les quations statiques de discontinuit en C permettent de dtermi-ner ~Mint. En revanche, ~Rint reste indtermin, car il y a des conditions aux limitescinmatiques en et des quations cinmatiques de discontinuit sur ~uG en C.Aucune information nest donc disponible sur la valeur de ~Rint en ces points.

Une autre faon de mettre en vidence cette dicult est de constater que lesactions de liaison, dues ces quations cinmatiques (en et C), sont au nombrede neuf, alors quil y a seulement, pour un problme tridimensionnel, six qua-tions dquilibre global pour la structure. Ces dernires sont obtenues en int-grant (.a) et (.b) entre et `, en tenant compte des quations de disconti-nuit statiques, et en considrant que pour chaque condition cinmatique (condi-tions aux limites ou discontinuit), la composante correspondante de laction deliaison est une inconnue. Le systme est alors dit hyperstatique de degr h (icih = ).

La mthode de rsolution consiste alors choisir h inconnues hyperstatiques,notes ~X = f~XgT = fX;X; : : : ;Xhg (par exemple ici les trois composantes delaction de liaison en C) et exprimer [Tint] en fonction du chargement et de ~X.Ceci est en eet possible car dans cette tape ~X est considr comme donn (mmesil nest pas encore connu), ce qui rend le systme isostatique.

Pour trouver enn la solution du problme, le thorme de lnergie compl-mentaire est utilis, sous la forme :

@

@~X(W ) = ~ , @

@Xi(W ) = i = : : : h (.)

Dans le cas frquent dj voqu o les donnes cinmatiques du problme sontnulles, ce rsultat prend la forme du thorme de Mnabra.

orme . orme de MnabraPour un systme hyperstatique, les inconnues hyperstatiques minimisent lnergielastique de contrainte W.

U

Une fois le torseur des eorts internes connus, toutes les quations (.) qui repr-sentent les quations statiques du problme (.) sont satisfaites. Les quations com-plmentaires sont alors utilises pour obtenir les dformations gnralises, puis parintgration les variables cinmatiques de la poutre. La solution est ainsi connue en toutpoint de la poutre.

Il arrive aussi quau lieu de rechercher la solution en dplacement sur toute la poutre,lobjectif soit dobtenir celle-ci en des points particuliers.

Sur lexemple tudi ici, considrons pour simplier le cas o les conditions aux li-mites cinmatiques sont nulles en , et intressons-nous plus particulirement au calculdu dplacement~u(`) ~e = u(`). Supposons ce stade que ce dplacement est en fait im-pos, et que par consquent leort associ~Fd ~e soit inconnu. Cela revient dire quunecondition aux limites de type cinmatique est impose en `, avec une raction ~Fd ~einconnue. Le calcul de u(`) peut alors tre eectu grce lapplication du thorme delnergie complmentaire. En eet, avec des conditions cinmatiques nulles en et en `,il vient = ~Fd ~eu(`), et le thorme prcdent fournit :

@

@(~Fd ~e)(W ) = (.)

soit encore daprs lexpression de :

u(`) = @W

@(~Fd ~e)(.)

Ce rsultat snonce de faon plus gnrale sous la forme suivante :

orme . orme de CastiglianoSoit une structure sur laquelle toutes les donnes cinmatiques (conditions aux limiteset quations de discontinuit) sont nulles. Si la structure est soumise une force (res-pectivement un moment) concentr(e), alors la drive partielle de lnergie lastiquede contrainte W par rapport cette force (resp. ce moment) fournit la valeur du d-placement (resp. de la rotation) dans sa direction.

Pour un problme hyperstatique, lorsque les inconnues hyperstatiques Xi sont choi-sies comme tant les composantes des actions de liaison associes des conditions ci-nmatiques nulles, lapplication du thorme de Mnabra fournit @W

@Xi = . Il y a donccoincidence avec le thorme de Castigliano puisque daprs ce thorme, ce rsultatexprime simplement la nullit de la variable cinmatique associe laction de liaison.

.. Dcomposition du problmeIl est ais de constater que le problme constitu par le systme dquations (.) peutse dcomposer par linarit en quatre sous-systmes indpendants mettant en jeu res-pectivement les inconnues :

N;~ ~e; u qui correspond la rponse en traction-compression de la poutre ; M;V;~ ~e;w pour la exion dans le plan (~e;~e) ;

. Dimensionnement

M;V;~ ~e; v pour la exion dans le plan (~e;~e) ; T;~ ~e; pour la torsion.

Ces problmes tant indpendants, cela signie quon peut les rsoudre sparment. Ilen rsulte galement que si par exemple la poutre est sollicite uniquement en traction-compression alors on aura V = V = T = M = M = v = w = = .

Par la suite, les problmes relatifs la traction compression et la exion dans unplan seront donc abords successivement.

. DimensionnementUne fois le problme (.) rsolu, la solution obtenue est par dnition monodimen-sionnelle. Il est donc ncessaire de relocaliser la solution dans tout le domaine . Celane prsente aucune dicult puisquil sut de refaire en sens inverse les oprations quinous ont permis de passer de la description tridimensionnelle au modle monodimen-sionnel.

Les quantits dintrt principales pour lingnieur sont les contraintes. En eet, laconception de toute structure obit ncessairement des critres de rsistance, qui ga-rantissent que la structure, compte tenu des proprits de sesmatriaux constitutifs, peutconserver son intgrit sous laction des chargements appliqus. Ce dimensionnementest le plus souvent lastique.

Lobtention des contraintes partir de la solution du problme (.) est simple. Par-tons de la loi de comportement de la poutre (.) sous sa forme inverse :

(~ ~ef~g

)=

26664

EjSj J EI EI

37775(~Rint(x;~e) ~e~Mint(x;~e)

)(.)

Par ailleurs, il a t tabli la relation . rappele ci-dessous :8>:

9>=>; =264E Ex Ex x x

375(~ ~ef~g)

(.)

Ainsi, en combinant ces deux relations, il vient :

=NjSj + x

MI

xMI ; =xTJ ; =

xTJ (.)

Il est rappel ici que compte tenu de lhypothse de ltat de contrainte anti-plan, lescomposantes des contraintes donnes dans (.) sont les seules non nulles.

Lexpression de la contrainte normale est identique celle obtenue lors de la rso-lution du problme de Saint-Venant du chapitre . Pour les contraintes de cisaillement,celles donnes ici sont dues uniquement la torsion, et par rapport la solution duproblme de Saint-Venant, elles correspondent au cas