MEC8470 TP1 Post-traitement des contraintes · The torsional stress is highly dependent on the...

MEC8470 – TP1

Post-traitement des contraintes

I – Stress recovery

(1) Statique, linéaire, traitée avec la méthode des éléments finis en déplacement (= les analyses présentées en cours).

Introduction

Lorsque l’on soumet une analyse(1), Nastran forme le système 𝐾 𝑢 = 𝑓 pour la structure au complet, puis le résout. Les résultats de ce calcul sont le vecteur des déplacements aux nœuds 𝑢 et le vecteur des efforts extérieurs aux nœuds 𝑓 .

Pour remonter aux contraintes, il est nécessaire de réaliser une étape de post-traitement dite de ‘stress recovery’.

Note technique : dépendamment de l’approche retenue pour résoudre le système 𝐾 𝑢 = 𝑓 , les réactions sont soit considérées comme des inconnues du problème à part entière, soit obtenues à l’issue d’une étape de post-traitement supplémentaire. La première méthode est a priori celle implémentée dans Nastran. La deuxième méthode est celle qui a été présentée en cours. (Par exemple, pour les problèmes de barreau : la résolution du système donnait les déplacements inconnus. Il fallait ensuite utiliser ces valeurs pour reconstruire le vecteur 𝑢 au complet, puis, calculer le produit 𝐾 𝑢 pour obtenir les réactions.)

Nastran utilise la procédure suivante pour le calcul des contraintes dans les éléments de poutre CBAR :

(i) Choisir un élément.

(ii) Calculer les efforts exercées par l’extérieur sur cet élément. (Noter que l’extérieur inclus maintenant le reste de la structure.)

(iii) Connaissant les efforts et les propriétés de section, on peut appliquer les équations de la RDM pour remonter aux contraintes.

Note : calculer les contraintes en passant par les équations de la RDM est pertinent / rapide / très simple à mettre en œuvre pour l’élément CBAR, ainsi que pour quelques autres éléments structuraux (poutres, plaques, …). La plupart des autres formulations éléments finis font que l’on peut accéder directement aux contraintes en un point quelconque de l’élément connaissant la valeur des degrés de liberté aux nœuds.

A

B

Stress recovery pour l’élément CBAR

Les efforts exercés par l’extérieur sur un élément isolé ne sont pas directement apparents dans le vecteur 𝑓 . Pour les obtenir, il faut procéder à un calcul supplémentaire à l’échelle de l’élément qui consiste à

(i) Former la matrice de rigidité de l’élément [Ke] (1)

(ii) Calculer le produit 𝐾𝑒 𝑢𝑒 , avec 𝑢𝑒 les degrés de liberté de l’élément. On obtient le vecteur 𝑓𝑒 des efforts exercés par l’extérieur sur l’élément, exprimé dans le repère global.

(iii) Reste à exprimer ces efforts dans le repère local de l’élément en appliquant les transformations géométriques appropriées.

Nastran réalise tous ces calculs en interne et rapporte les résultats dans le tableau ‘FORCES IN BAR ELEMENTS’ du fichiers .f06.

(1) En pratique, les matrices 𝐾𝑒 sont – normalement – déjà disponibles en mémoire car Nastran a dû les calculer pour former la matrice de rigidité globale 𝐾 .

A

B

Calcul des efforts s’exerçant sur un élément isolé

On rappelle la convention utilisée pas Nastran pour numéroter les efforts :

𝑧

𝑥

𝑦

A

B

Le tableau ‘forces in bar elements’

A

B 𝑧

𝑥

𝑦

Dans une poutre soumise à des efforts quelconques à ses extrémités, les contraintes varient d’un point à l’autre. Il est possible de calculer le champ de contraintes si l’on connait les efforts et la géométrie – par exemple avec les formules de RDM. Or, Nastran ne connait pas la géométrie de la section : les seules informations dont il dispose sont les propriétés de sections renseignées dans la commande PBAR.

Calcul des contraintes

Pour les efforts axiaux et les moments,

𝜎𝑥𝑥 =𝐹𝑥𝐴−𝑀1𝑦

𝐼𝑧−𝑀2𝑧

𝐼𝑦.

Cette équation ne fait pas intervenir le détail de la géométrie; seulement l’aire, les seconds moments de section ainsi que les coordonnées 𝑦, 𝑧 des points où l’on souhaite calculer les contraintes. Toutes ces informations peuvent être renseignées dans la commande PBAR. Les contraintes calculées avec cette formule sont rapportés dans le tableau ‘stresses in bar elements’

A

B 𝑧

𝑥

𝑦

L’utilisateur est libre de placer les points pour le calcul des contraintes où il le souhaite. (Même en dehors de la section. Nastran n’en connaissant pas la géométrie, il ne pourra pas retourner de messages d’erreur. À l’utilisateur d’être vigilant.) Pour une poutre en flexion, les contraintes sont maximales aux points les plus éloignés de l’axe neutre. En choisissant les 4 coins, on s’assure de toujours capturer le point où les contraintes dues à la flexion sont maximales, quels que soient les moments qui s’exercent sur la poutre.

Contraintes dues aux efforts axiaux et aux moments

A

B 𝑧

𝑥

𝑦

Point #1 Point #2 Point #3 Point #4

Extrémité A

Extrémité B

−𝑀1𝑦 𝐼𝑧 − 𝑀2𝑧 𝐼𝑦 au point … de l’extrémité … de l’élément 3

𝐹𝑥 𝐴 pour l’élément 3

Le tableau ‘stresses in bar elements’

D’après la documentation (MSC Nastran 2013.1, Linear Static Analysis User’s Guide) :

“There is no torsional stress recovery for the CBAR element. […] If the torsional stress is important in your stress analysis, use the torsional force output to compute the stress outside of MSC Nastran. Although this may seem like an unnecessary burden, it is very logical. The torsional stress is highly dependent on the geometry of the CBAR’s cross section, which MSC Nastran does not know. [Although] the cross-sectional properties (A, I1, I2, J) of each member are input, […] the fact that that the cross-section is [e.g. rectangular] is unknown to MSC Nastran. To compute the torsional stress, a formula for a rectangular cross section should be used”.

Les formules de RDM utiles sont rappelées dans les pages suivantes.

A

B 𝑧

𝑥

𝑦

Contraintes dues au couple de torsion

A

B 𝑧

𝑥

𝑦

En revanche, pour les poutres courtes, ces contraintes peuvent être importantes et il devient nécessaire de les estimer. Comme pour la torsion, les formules de RDM dépendent de la géométrie de la section. Nastran ne disposant pas de cette information, ce calcul est laissé à l’utilisateur. (Les formules de RDM utiles sont rappelées dans les pages suivantes.)

En pratique, les éléments de poutre sont presque exclusivement utilisés pour modéliser des poutres longues (longueur >> dimensions latérales). Dans une poutre longue, les contraintes dues aux efforts tranchants sont négligeables devant les autres. Il n’est donc pas nécessaire de les calculer.

Quid des contraintes dues aux efforts tranchants ?

II – Procédure pour le post-traitement des contraintes du TP1

Pour le modèle du TP1, on a imposé 𝑇𝑥 = 0, 𝑇𝑦 = 0 et

𝑅𝑧 = 0 à tous les nœuds. Par conséquent, les poutres ne peuvent être soumises qu’à

• Un effort axial;• Deux moments de flexion pour les poutres HSS de

l’exercice E. Un seul moment pour toutes les autres;• Un effort tranchant;• Un couple de torsion.

Pour ce type de chargement, on a vu en cours que les points où les contraintes étaient maximales se situaient soient sur les fibres extérieures, soit sur la fibre neutre. Comme notre objectif est d’identifier le point le plus sollicité de la structure, on pourra se contenter d’évaluer les contraintes en ces points.

Points les plus sollicités

1. Pour chaque exercice :

a. Calculer pour chaque section de poutre les quantités géométriques intervenant dans les formules de RDM. (Feuille de résultats #2.)

b. Pour chaque élément du modèle :

i. Extraire les efforts s’exerçant sur l’élément (tableau ‘forces in bar elements’);

ii. Calculer le tenseur des contraintes aux points les plus sollicités;

iii. Calculer la contrainte équivalente de Tresca en ces points.

c. Compiler les résultats et identifier le point le plus sollicité de la structure.

Procédure pour le calcul des contraintes

𝜎𝑥𝑥 =𝐹𝑥𝐴−𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧−𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦

Note : on peut soit faire le calcul à la main, soit utiliser directement les résultats du tableau ‘stresses in bar elements’.

Contraintes dues aux efforts axiaux

Contraintes dues au couple de torsion

Sections fermées Sections ouvertes

𝜏𝑥𝜃 𝑚𝑎𝑥 =𝑇𝑡𝑚𝑎𝑥𝐽

𝑡𝑚𝑎𝑥 = max(𝑡𝑎 , 𝑡𝑠)

Formules de RDM utiles (1)

𝑡𝑚𝑖𝑛 = min(𝑡𝑎 , 𝑡𝑠)

𝜏𝑥𝜃 𝑚𝑎𝑥 =𝑇

2 𝐴𝑡𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎

𝑡𝑠

Contraintes dues à l’effort tranchant dans les poutres 2 MC460 x 86 + plaques de recouvrement

Dans la semelle Dans l’âme

𝑄 = 𝐴1 𝑦1 = 𝑏1𝑡1𝑑 + 𝑡12

𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 =𝑉𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝐼𝑧(2𝑡1)

=𝑉𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝐼𝑧𝑡𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 =𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧(2𝑤)

=𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧𝑡â𝑚𝑒

𝑄 =

𝑖=1

3

𝐴𝑖 𝑦𝑖 = 𝑏1𝑡1𝑑 + 𝑡12+ 2 𝑡2𝑏2

𝑑 − 𝑡22+ 2 𝑤

𝑑

2− 𝑡2

𝑑2 − 𝑡2

2


Contraintes dues à l’effort tranchant dans les poutres 2 MC460 x ?? et dans les poutres HSS

𝑄 = 𝐴1 𝑦1 = 2 𝑏 − 𝑤 𝑡𝑑 − 𝑡

2

𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 =𝑉𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝐼𝑧(2𝑡)


𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 =𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧(2𝑤)

=𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧𝑡â𝑚𝑒

𝑄 =

𝑖=1

2

𝐴𝑖 𝑦𝑖 = 2𝑏𝑡𝑑 − 𝑡

2+ 2 𝑤

𝑑 − 2𝑡

2

1

2

𝑑 − 2𝑡

2



Contraintes dues à l’effort tranchant dans les poutres S 460 x 81 et W 460 x 128


𝑄 = 𝐴1 𝑦1 =𝑏 − 𝑤

2𝑡𝑑 − 𝑡

2

𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 =𝑉𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒𝐼𝑧𝑡


𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 =𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧𝑤=𝑉𝑄â𝑚𝑒𝐼𝑧𝑡â𝑚𝑒

𝑄 =

𝑖=1

2

𝐴𝑖 𝑦𝑖 = 𝑏𝑡𝑑 − 𝑡

2+ 𝑤

𝑑

2− 𝑡

1

2

𝑑

2− 𝑡


𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 = 𝜎𝑥𝑥2 + 4 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑧

2 𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 = 2 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑦

La dérivation est disponible dans les transparents de cours. Après simplifications, on arrive à


Contrainte équivalente de Tresca


À propos de la modélisation de la poutre située sur le plan de symétrie

Les efforts aux nœuds 27, 33 et 43 valent 0.5 × les efforts que l’on observerait aux mêmes nœuds sur un modèle de la structure au complet (i.e. si au lieu d’utiliser un plan de symétrie, on modélisait explicitement la deuxième moitié de la structure). Pour que notre modèle se comporte comme il faut, il faut donc que la rigidité des poutres située sur le plan de symétrie soit également divisée par deux.

Note : attention aux interprétations ‘physiques’ hâtives. En particulier, on n’est pas en train de modéliser une poutre en ‘ ] ’. Une meilleure interprétation est que l’on est en train de travailler avec une poutre en ‘ I ’ dont la rigidité deux fois plus petite que les autres.

Post-traitement des contraintes

Les résultats qui nous intéressent sont les contraintes dans la poutre située au milieu de la structure (toute la poutre). Pour les obtenir, on peut

- Appliquer la même procédure de calcul que pour les poutres S 460 x 81 en multipliant au préalable par 2 les efforts aux nœuds retournés par Nastran;

- Appliquer la même procédure de calcul que pour les poutres S 460 x 81 en divisant au préalable par 2 les propriétés de section de la poutre (soit 𝐴 (rigidité en traction), 𝐼𝑧 et 𝐼𝑦 (rigidité en flexion), et 𝐴 ou 𝐽 selon

que la poutre située sur le plan de symétrie est à section ouverte ou fermée (rigidité en torsion)).

Note pour les poutres situées sur le plan de symétrie

III – Exemples

• Tous les résultats sont donnés en {N, mm, s}

• Les éléments ont été pris au hasard parmi les fichiers de résultats de plusieurs équipes. Vous aurez a priori des résultats différents.

Élément 1

𝑧

𝑦

𝐼𝑧

Propriétés de section

𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒 = 𝐴1 𝑦1 = 𝑏1𝑡1𝑑 + 𝑡12

= 1085280

𝑄â𝑚𝑒 =

𝑖=1

3

𝐴𝑖 𝑦𝑖 = 𝑏1𝑡1𝑑 + 𝑡12+ 2 𝑡2𝑏2

𝑑 − 𝑡22+ 2 𝑤

𝑑

2− 𝑡2

𝑑2− 𝑡2

2

= 1085280 + 750443 + 804538

= 2640261

Pour le calcul dans la semelle Pour le calcul dans l’âme

Premiers moments de section

Résultats du calcul éléments finis

𝜎𝑥𝑥𝐴−1 =

0

31320−2.384 × 10−7 ∗ 247.5

1082900000−0 ∗ 0

?≈ −5.449 × 10−14 𝜎𝑥𝑥

𝐴−2 =0

31320+2.384 × 10−7 ∗ 247.5

1082900000−0 ∗ 0

?≈ 5.449 × 10−14

𝜎𝑥𝑥𝐵−2 =

0

31320−3.405 × 107 ∗ 247.5

1082900000−0 ∗ 0

?≈ −7.782𝜎𝑥𝑥

𝐵−1 =0

31320+3.405 × 107 ∗ 247.5

1082900000−0 ∗ 0

?≈ 7.782

Axiales

Dues à l’effort tranchant

Dues au couple de torsion :

𝜏𝑥𝜃 =−2.384 × 10−7

2 ∗ 103673 ∗ 17.8= −6.459 × 10−14

𝜏𝑥𝑧 =−7.093 × 104 ∗ 1085280

1082900000 ∗ 2 ∗ 19= −1.871 𝜏𝑥𝑦 =

−7.093 × 104 ∗ 2640261

1082900000 ∗ 2 ∗ 17.8= −4.858

Note : on obtient bien les mêmes valeurs que dans le tableau STRESSES IN BAR ELEMENTS.

« à l’extrémité 𝐴, au point 2»


Contraintes

𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥𝑥2 + 4 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑧

2

= 7.7822 + 4 6.459 × 10−14 + 1.871 2

= 8.635

𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 = 2 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑦

= 2 6.459 × 10−14 + 4.858

= 9.716


où on a pris la plus grande valeur de 𝜎𝑥𝑥 parmi celles disponibles. (Ici : aux points 1 ou 2 de l’extrémité 𝐵.)

Pour cette poutre, la contrainte équivalente de Tresca est maximale dans l’âme (i.e. le long de l’axe neutre), sur toute la longueur de la poutre.

Bilan


Élément 15

𝐴 = 2𝑏 − 𝑤 ∗ 𝑑 − 𝑡 = 198.8 ∗ 441.1 = 87691

𝐽 =4 𝑑 − 𝑡 ∗ 2𝑏 − 𝑤 2

2𝑑 − 𝑡𝑤 +

2𝑏 − 𝑤𝑡

=4 85044 2

2 41.15= 3.5152 × 108

𝐼𝑧 = 524 × 106

𝐴 = 19720𝑏 = 104

𝑡 = 15.9

𝑤 = 15.2

𝑑 = 457

Propriétés de section

𝑏 = 104𝑡 = 15.9

𝑤 = 15.2

𝑑 = 457

𝑡 = 15.9

𝑤 = 15.2

𝑑 = 457

Pour le calcul dans la semelle Pour le calcul dans l’âme

𝑄𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙𝑙𝑒 = 𝐴1 𝑦1 = 2 𝑏 − 𝑤 𝑡𝑑 − 𝑡

2

= 622798

𝑄â𝑚𝑒 =

𝑖=1

2

𝐴𝑖 𝑦𝑖 = 2𝑏𝑡𝑑 − 𝑡

2+ 2 𝑤

𝑑 − 2𝑡

2

1

2

𝑑 − 2𝑡

2

= 729403 + 687021

= 1416424

𝑏 = 104

Premiers moments de section

Résultats du calcul éléments finis

𝜎𝑥𝑥𝐴−1 =

0

19720+1.3161 × 108 ∗ 228.5

524000000−0 ∗ 0

?= 57.39 𝜎𝑥𝑥

𝐴−2 =0

19720−1.3161 × 108 ∗ 228.5

524000000−0 ∗ 0

?= −57.39

𝜎𝑥𝑥𝐵−2 =

0

19720+2.9556 × 108 ∗ 228.5

524000000−0 ∗ 0

?= 128.88𝜎𝑥𝑥

𝐵−1 =0

19720−2.9556 × 108 ∗ 228.5

524000000−0 ∗ 0

?= −128.88

𝜏𝑥𝑧 =−2.136 × 105 ∗ 622798

524 × 106 ∗ 2 ∗ 15.9= −7.98

Axiales

Dues à l’effort tranchant

Dues au couple de torsion :

Note : on obtient bien les mêmes valeurs que dans le tableau STRESSES IN BAR ELEMENTS.


𝜏𝑥𝑦 =−2.136 × 105 ∗ 1416424

524 × 106 ∗ 2 ∗ 15.2= −18.99

𝜏𝑥𝜃 =−1.228 × 108

2 ∗ 87691 ∗ 15.2= −46.06

Contraintes


où on a pris la plus grande valeur de 𝜎𝑥𝑥 parmi celles disponibles. (Ici : aux points 1 ou 2 de l’extrémité 𝐵.)

Pour cette poutre, la contrainte équivalente de Tresca est maximale dans la semelle (i.e. sur les fibres du haut et du bas), à l’extrémité B de la poutre (soit au nœud 21 d’après la commande PBAR).

Bilan

𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥𝑥2 + 4 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑧

2

= 128.882 + 4 7.98 + 46.06 2

= 168.2

𝜎𝑇𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎 = 2 𝜏𝑥𝜃 + 𝜏𝑥𝑦

= 2 18.99 + 46.06

= 130.1


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