1

Esfuerzos internos en vigas

Viga es un elemento estructural, que soporta principalmente cargas con dirección perpendicular a su eje longitudinal.

El objetivo de determinar los esfuerzos internos en vigas, es identificar las secciones críticas de la viga, desde el punto de vista de los esfuerzos que soportan, para posteriormente diseñarlas de modo de proveerlas de la resistencia adecuada.

En este capítulo, analizaremos los esfuerzos internos en vigas, limitados al caso de estructuras planas con cargas en su plano.

En el plano tendremos la siguiente figura donde VNM ,, son los esfuerzos internos en la sección A-A de la viga.

M

V

V

N N M

A

A

2

V Esfuerzo de corte N Esfuerzo normal M Momento flextor

Usaremos la siguiente nomenclatura para los esfuerzos internos VNM ,, positivos o negativos:

Esfuerzos normales N Esfuerzo de corte V Momentos flextores M

Estos esfuerzos internos se calcular mediante las ecuaciones del equilibrio del tramo

de viga, con las que se pueden generar gráficos que entregan una información visual de los esfuerzos internos en cada sección de la viga. El principio utilizado para plantear las ecuaciones es que “ si toda la estructura se encuentra en equilibrio, parte de ella también se encuentra en equilibrio”.

Veamos esto con ejemplos: Ejemplo N° 1

Obtener los gráficos de VNM ,, de la viga cargada como se muestra a continuación. Datos: 60,, aP

V

V

V

V

N N

M

N

N

M

M M

A

a a a

P P2

B

3

Solución: a) El primer paso es el cálculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:

PPBBPF

x

xx

60cos20cos20

→ PBx

PsenPPB

aBasenPaPM

y

yA

488,160431

03220 → PBy 488,1

PsenPPBAsenPPBAF

yy

yyy

244,12020

→ PAy 244,1

b) El segundo paso consiste en calcular los esfuerzos internos de la viga.

En este caso existen tres tramos de análisis: Tramo 1: el tramo comprendido entre el apoyo “A” y la carga “ P ”. Tramo 2: el tramo comprendido entre la carga “ P ” y la carga “ P2 ”. Tramo 3: el tramo comprendido entre la carga “ P2 ” y el apoyo “B”.

b.1. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga en el tramo 1:

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para ax 0 Ecuaciones de equilibrio :

00 xx NF → 0xN (1)

yxxyy AVVAF 00 → PVx 244,1 (2)

xB

a a a

P P2

B A

yA yB

x A

yA

xV

xM

xN O

4

00 xyo MxAM → xPM x 244,1 (3) b.2. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga en el tramo 2:

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para axa 2 Ecuaciones de equilibrio :

00 xx NF → 0xN (4) PAVVPAF yxxyy 00 → PVx 244,0 (5)

00 xyo MaxPxAM

aPxPxPaxPxAM yx 244,1

→ PaxM x 244,0 (6) b.3. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga en el tramo 3:

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para axa 32 Ecuaciones de equilibrio :

0cos20 xx NPF → PN x (7) 020 xyy VsenPPAF → PVx 488,1 (8)

0220 xyo MaxsenPaxPxAM

axsenPaxPxAM yx 22

→ PxaM x 488,1464,4 (9)

a

A

yA

xV

xM

xN O

P

x

A

yA

xV

xM

xN O

P

x

P2

a a

5

Gráficos. Los gráficos de esfuerzos internos correspondientes a los distintos tramos, se realizan con las ecuaciones (1); (2) y (3) para el tramo 1; ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2 y ecuaciones (7), (8) y (9) para el tramo 3. O sea:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 0xN 0xN PN x

PVx 244,1 PVx 244,0 PVx 488,1 xPM x 244,1 PaxM x 244,0 PxaM x 488,1464,4

PBx

a a a

P P2

B

PAy 244,1 PBy 488,1

Tramo 3

xN

x P

xV

P244,1 P244,0

P488,1

x

xM

Pa244,1

Pa488,1

x

A

Tramo 1 Tramo 2

6

Observación: Para la determinación de los esfuerzos internos del tercer tramo, resulta mas fácil el análisis del equilibrio del trozo derecho del tramo. Veamos como se hace: Ecuaciones de equilibrio, válidas para ax 0 :

xxxxx BNBNF 00 → PN x (7)

yxyxy BVBVF 00 → PVx 488,1 (8)

xBMxBMM yxyxo 00 → xPM x 488,1 (9) Ejemplo N° 2: Determinar y dibujar los diagramas de VNM ,, para la viga cargada como se indica en la siguiente figura. Datos : ,q

Solución: Cálculo de las reacciones en los apoyos:

PBx

x

B

PBy 488,1

xV

xN

xM

C

B

q

A

83

C B

q 811 qQ

A

83

xA

yA yB

7

Ecuaciones de equilibrio: 00 xx AF → 0xA

128121

01611

8110

qB

BqM

y

yA

→ qBy 945,0

qqqBA

qBAF

yy

yyy

43,0128

558

11

08

110 → qAy 43,0

c) Calculo de los esfuerzos internos de la viga.

En este caso existen dos tramos de análisis: Tramo 1: el tramo comprendido entre el apoyo “A” y el apoyo “B”. Tramo 2: el tramo comprendido entre el apoyo “B” y el voladizo en “C”

b.1. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga en el tramo 1:

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para x0

Ecuaciones de equilibrio :

0:__;00 xxxx APeroNAF → 0xN (1) xqAVVxqAF yxxyy 00 → xqqVx 43,0 (2)

02

0 xyo MxxqxAM → 2

43.02xqxqM x

(3)

x

xN

yA

O

xV

xM 2x

A xA

xqQ

8

b.2. Ecuaciones de equilibrio para la determinación de los esfuerzos internos de la viga, en el tramo 2:

Las ecuaciones que se plantean para este tramo son válidas para 830

x

Ecuaciones de equilibrio : 00 xx NF → 0xN (4)

xqVxqVF xxy 00 → xqVx (5)

02

0 xo MxxqM → 2

2xqM x

(6)

Gráficos. Los gráficos de esfuerzos internos correspondientes a los distintos tramos, se realizan con las ecuaciones (1); (2) y (3) para el tramo 1 y ecuaciones (4), (5) y (6) para el tramo 2.

O sea: Tramo 1 Tramo 2

0xN 0xN xqqVx 43,0 xqVx

243.0

2xqxqM x

2

2xqM x

En consideración a que la ecuación de “ xM ” para el primer tramo corresponde a la ecuación de una parábola, es necesario determinar el punto del cambio de curvatura para facilitar la confección del gráfico correspondiente. Esto es :

243.0

2xqxqM x

(3) →

43,0

043,0

x

qxqdx

dM x

Reemplazando en la ecuación (3), tenemos:

243,0

22

43,0

09245,0

09245,0243,043.043,0

qMM

qqqM

máxx

x

x

xN O

xV

xM 2x

xqQ

9

Tramo 1 __0 x Tramo 2 __830 x

0xN 0xN xqqVx 43,0 xqVx

243.0

2xqxqM x

2

2xqM x

C B

q

A

xN

83

0xA

qAy 43,0 qBy 945,0

x

xV

x

xM

207,0 q

0 0

q43,0

q57,0

q375,0

43,0

209245,0 q

x

10

Relación entre cargas y esfuerzos Supongamos que tenemos una viga cargada con una sobrecarga cualquiera.

Analizaremos el equilibrio de un trozo diferencial de dicha viga. Entonces:

)(xn sobrecarga horizontal en función a la variable “ x ”. )(xq sobrecarga vertical en función a la variable “ x ”.

Ecuaciones de equilibrio:

00 xxxx dNNdxxnNF → xndx

dN x

00 xxxy dVVdxxqVF → xqdx

dVx

0________,0:

02

0

2

xx

xxxxo

dMdxVdxSi

dMMdxdxqdxVMM → x

x Vdx

dM

Si el análisis de los esfuerzos internos de la viga se realiza considerando el

equilibrio del tramo derecho, o sea con “ x ” (←) variando de izquierda a derecha, entonces:

→ xx V

dxdM

El cálculo de las ecuaciones de xxx MVN ,, , también puede realizarse para vigas o barras curvas o inclinadas. En estos casos es mas conveniente el análisis con coordenadas polares, considerando un diferencial de longitud “ drds ” en lugar del de longitud “ dx ”.

→ xx V

dxdM

→ V

dsdM

→

V

drdM

O sea :

Vr

ddM

dx

xx dNN O

xx dVV

xx dMM

2dx

dxxqdQ )(

xN

)(xn

xV xM

)(xq

11

Ejemplos: Ejemplo N° 1 Para la estructura en forma de cuarto de circunferencia, cargada como se muestra en la siguiente figura, se pide calcular las reacciones en los apoyos, determinar las ecuaciones de esfuerzos internos y dibujar los respectivos diagramas. Datos : aP, Solución:

a) Cálculo de las reacciones:

Ecuaciones de equilibrio: 00 PBAF xxx (1)

00 yyy BAF (2)

00 aPaAM yB → PAy (3)

00 aAaAM xyC → PAA yx (4) Reemplazando (3) en (2) : → PBy

Reemplazando (4) en (1) : → 0xB

a

A B

C P

a

a

yB

A B

C P

a

xA

yA

xB

12

Para el análisis de los esfuerzos internos debemos considerar dos tramos; el análisis de los tramos “AC” y “CB”. Sin embargo, como en este caso el tramo “CB” es una biela con un esfuerzo de compresión conocida, ya que está determinada por la reacción PBy , sólo determinaremos los esfuerzos internos del tramo “AC”. Ecuaciones de esfuerzos internos del tramo “AC”: PAx PAy

a) Ecuación de momento flextor para 2

0 :

00 MvAuAM xyo

Pero: cos1cos aaau → cos1 au senav → senav Luego:

senaPaPM cos1 → 1cos senPaM (5)

b) Ecuación de esfuerzo de corte para 2

0 :

Recordemos que:

Vr

ddM

→

ddM

rV 1

(6)

Entonces, derivando la ecuación (5) y reemplazando en (6), tenemos:

senPaa

V cos1 → senPV cos (7)

a

O

B

a

V

a

u

v

N M

A

13

c) Ecuación de esfuerzo normal para 2

0 :

coscoscoscoscos1coscos

coscos

0cos0

22

senPNsenPsensenPN

PsensenPAsenVNsenVNAF

y

yy

→ cos senPN (8) Gráficos:

Ecuaciones válidas para 2

0

cos senPN senPV cos 1cos senPaM

1) Gráfico de N :

PN

PN

2

0

PN

PN

366,13

366,16

PN 414,1

4

A B

C P414,1

P

P

P366,1

P366,1

(+)

(+) (+)

P

P

(+)

(-)

14

2) Gráfico de V :

PV

PV

2

0

PV

PV

366,03

366,06

0

4

V

(-) P (+) P 3) Gráfico de M :

0

2

00

M

M

PaM

PaM

366,03

366,06

PaM 414,0

4

(+)

A B

C

P 366,0 P366,0

0

A B

C Pa366,0

Pa366,0

Pa414,0

15

Ejemplo N° 2 Para la estructura triarticulada cargada como se muestra en la siguiente figura, se pide calcular las reacciones en los apoyos, determinar las ecuaciones de esfuerzos internos y dibujar los gráficos correspondientes. Datos: aq, Solución. a) Cálculo de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio:

00 xxx BAF 0420 qaqaBAF yyy

014943

8320

aBaqaaaqaM yA

03

42470 aqaaAaAM xyD

E

A B

C D

a4

a4

a4 a3 a3

q

E

yB

A B

qaQ 42

D

xA

yA

xB

a4

a4

a4 a3 a3

q

C

38a

3

4a

qaQ 21

a2

16

→ qaAqaB

y

y

62,238,3

qaB

qaA

x

x

92,392,3

Ecuaciones de esfuerzos internos: Debemos determinar las ecuaciones de esfuerzos internos en los tramos “AC”, “CD”, “DE”, y “EB”. Tramo AC: __50 ax

De la geometría de la estructura, se deduce que : 53cos y

54

sen

Además: u proyección horizontal de “ x ” → cos xu → xu 6,0 v proyección vertical de “ x ” → senxv → xv 8,0

Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

06,062,28,092,3

00

x

xyxo

Mxqaxqa

MuAvAM → xqaM x 564,1 (1)

Esfuerzo de corte:

qadx

dMV xx 564,1 → qaVx 564,1 (2)

Esfuerzo normal: 0cos0 senAANF yxxx → qaN x 448,4 (3)

A qaAx 92,3

qaAy 62,2

O

xV

xM xN

x

AOx

u

v

17

Tramo CD: __40 ax 0 Donde :

axqqx 4

→ axqQ

8

2

Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

03

340 xyxo MxQxaAaAM

→ axqxqaqaM x 24

62,282,73

2 (4)

Esfuerzo de corte:

axqqa

dxdMV x

x 862,2

2 →

axqqaVx 8

62,22

(5)

Esfuerzo normal: 00 xxx ANF → qaN x 92,3 (6)

A qaAx 92,3

qaAy 62,2

x

a3

xq

xqxQ 21

a4 xV

xM

xN C

18

Tramo BD: __50 ax

Sabemos que : 53cos y

54

sen

Luego: u proyección horizontal de “ x ” → cos xu → xu 6,0 v proyección vertical de “ x ” → senxv → xv 8,0

Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

xqaxqaM

MuBvBM

x

xyxo

6,038,38,092,3

00

→ xqaM x 108,1 (7)

Esfuerzo de corte:

qadx

dMV xx 108,1 → qaVx 108,1 (8)

Esfuerzo normal: 0cos0 senBBNF yxxx → qaN x 056,5 (9)

qaBx 92,3

qaBy 38,3

BOx

B

O

xV

xM xN

x

u v

19

Tramo ED: __40 ax 0

Ecuaciones de equilibrio: Momento flextor:

02

340 xyxo MxQxaBaBM

→ 2

38,354,52

2 xqxqaqaM x

(10)

Esfuerzo de corte:

xqqadx

dMV xx 38,3 → xqqaVx 38,3 (11)

Esfuerzo normal: 00 xxx BNF → qaN x 92,3 (12)

Resumen: Tramo AC __50 ax Tramo CD __40 ax

qaN x 448,4 qaN x 92,3

qaVx 564,1 axqqaVx 8

62,22

xqaM x 564,1 axqxqaqaM x 24

62,282,73

2

Tramo BE __50 ax Tramo ED __40 ax qaN x 056,5 qaN x 92,3

qaVx 108,1 xqqaVx 38,3

xqaM x 108,1 2

38,354,52

2 xqxqaqaM x

B

qaBy 38,3

x

a3

xqQ

a4

xV

xM q

E

qaBx 92,3

20

Gráfico de esfuerzos normales: Gráfico de esfuerzos cortantes: Gráfico de momentos flextores:

2172,0 qa

B

282,7 qa

A

C D E

254,5 qa

a38,3

qa056,5

qa448,4

qa92,3

E

A B

C D

qa38,3

B

qa564,1

qa62,2

A

C

D

E

qa62,0