Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral · 2016-01-22 · Limite e Continuidade Noc~ao intuitiva...
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Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de Sao Paulo
Modulo I: Calculo Diferencial e IntegralLimite e Continuidade
Professora Renata Alcarde SermariniNotas de aula do professor Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
PiracicabaJaneiro 2016
Renata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 1 / 32
Limite e Continuidade
Nocao intuitiva de limite
Considere a funcao f definida por:
f (x) =(2x + 3)(x − 1)
x − 1.
Qual o domınio dessa funcao?Se x 6= 1, entao f (x) e dada por:
f (x) = 2x + 3.
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Limite e Continuidade
Nocao intuitiva de limite
O que acontece com a funcao quando x se aproxima de 1, por valoresmenores do que 1?
x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999f (x) 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998
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Limite e Continuidade
Nocao intuitiva de limite
Vejamos agora, o que acontece com a funcao quando x se aproxima de 1,por valores maiores do que 1.
x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001f (x) 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002
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Limite e Continuidade
Nocao intuitiva de limite
Observe,
4, 8 < f (x) < 5, 2 sempre que 0, 9 < x < 1, 14, 98 < f (x) < 5, 02 sempre que 0, 99 < x < 1, 01
4, 998 < f (x) < 5, 002 sempre que 0, 999 < x < 1, 0014, 9998 < f (x) < 5, 0002 sempre que 0, 9999 < x < 1, 0001
4, 99998 < f (x) < 5, 00002 sempre que 0, 99999 < x < 1, 00001.
Desse modo,
5− ε < f (x) < 5 + ε sempre que 1− δ < x < 1 + δ,
ou ainda,|f (x)− 5| < ε sempre que 0 < |x − 1| < δ.
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Limite e Continuidade
Definicao
Definicao 2.1
Limite de uma funcao. Seja f (x) definida num intervalo aberto I ,contendo a, exceto, possivelmente, no proprio a. Dizemos que o limitede f (x) quando x se aproxima de a e L e escrevemos
limx→a
f (x) = L,
se, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que |f (x)− L| < ε sempre que0 < |x − a| < δ.
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Limite e Continuidade
Definicao
Nos exemplos a seguir, provar os limites pela definicao formal.
Exemplo 2.1
limx 7→10
(2x + 1) = 21
Exemplo 2.2
limx 7→3
x2 = 9
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Limite e Continuidade
Propriedades
Teorema 2.1
Unicidade. Se limx 7→a
f (x) = L1 e limx 7→a
f (x) = L2 entao L1 = L2.
Definicao 2.2
Propriedades dos limites. Considere limx 7→a
f (x) = L1, limx 7→a
g(x) = L2 e
c ∈ R.
P1. limx 7→a
(mx + n) = ma + n, m, n ∈ R,m 6= 0.
P2. limx 7→a
(c) = c;
P3. limx 7→a
cf (x) = c. limx 7→a
f (x) = cL1;
P4. limx 7→a
[f (x)± g(x)] = limx 7→a
f (x)± limx 7→a
g(x) = L1 ± L2;
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Limite e Continuidade
Propriedades
P5. limx 7→a
[f (x).g(x)] = limx 7→a
f (x). limx 7→a
g(x) = L1.L2;
P6. limx 7→a
[f (x)
g(x)
]=
limx 7→a f (x)
limx 7→a g(x)=
L1
L2(L2 6= 0);
P7. limx 7→a
[f (x)]n = [ limx 7→a
f (x)]n = [L1]n;
P8. limx 7→a
[log(f (x))] = log[ limx 7→a
f (x)] = log[L1] (L1 > 0);
P9. limx 7→a
ef (x) = elimx 7→a
f (x)= eL1 ;
P10. limx 7→a
cos[f (x)] = cos[ limx 7→a
f (x)] = cos[L1].
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Limite e Continuidade
Propriedades
Exemplo 2.3
Calcular os limites a seguir.
(a) limx 7→4
(x2 − 5x + 6)
(b) limx 7→2
x − 3
x3 − 2
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Limite e Continuidade
Definicao
Definicao 2.3
Expressoes de indeterminacao. Na aritmetica dos limites asseguintes expressoes sao consideradas indeterminacoes:
1. ∞−∞2. 0.∞3. 0
0
4. ∞∞5. 00
6. ∞0
7. 1∞
Do ponto de vista da analise quando qualquer uma destas 7 expressoesocorre nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite da funcao.
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Limite e Continuidade
Definicao
Exemplo 2.4
Calcular os limites a seguir.
(a) limx 7→0
x2
2x2
(b) limx 7→7
x2 − 49
x − 7
(c) limx 7→0
√4 + x − 2
x
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Limite e Continuidade
Limites laterais
Definicao 2.4
Limites Laterais. Seja f (x) uma funcao definida em um intervaloaberto (a, c). Se quando x tende para a por valores maiores do que a, afuncao tende ao numero L, entao L e chamado de limite lateral a direitae denota-se:
limx 7→a+
f (x) = L
se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre quea < x < a + δ.
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Limite e Continuidade
Limites laterais
De modo analogo pode-se definir o limite lateral a esquerda, basta agoraconsiderar a funcao definida em um intervalo aberto (d , a). Assim, L serao limite lateral a esquerda de f (x) se quando x tender a a por valoresmenores, f (x) se aproximar do numero L, ou seja,
limx 7→a−
f (x) = L
se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre quea− δ < x < a.
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Limite e Continuidade
Limites laterais
Teorema 2.2
Existencia do limite. O limite de uma funcao quando x tende a aexiste e e L somente se existirem os limites laterais e ambos foremiguais a L.
Observacao: As propriedades de limites vistas anteriormente permaneceminalteradas quando “x 7→ a” for substituıdo por “x 7→ a−” ou “x 7→ a+”
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Limite e Continuidade
Limites laterais
Exemplo 2.5
Calcular os limites laterais a seguir.
(a) limx 7→2+
(2x2 + 5)
(b) limx 7→0+
f (x), sendo y = f (x) dada pela lei:
f (x) :
{− |x |x se x 6= 0;
1 se x = 0;
Exemplo 2.6
Considere a funcao:
f (x) :
{x + 1 se x < 1;
−2x + 4 se x ≥ 1;
Existe limite de f (x) quando x tende a 1?
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Limite e Continuidade
Limites no infinito
Definicao 2.5
Limites no infinito. Seja f uma funcao real definida no intervalo(a,+∞). Dizemos que o numero real L e o limite no infinito da funcaof e denota-se:
limx 7→+∞
f (x) = L
se, dado ε > 0, existe A > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre que x > A.De modo analogo para uma funcao definida no intervalo (−∞, a):
limx 7→−∞
f (x) = L
se, dado ε > 0, existe A < 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre que x < A.
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Limite e Continuidade
Limites no infinito
Teorema 2.3
Seja n ∈ N, entao:
(i) limx 7→+∞
1
xn= 0
(ii) limx 7→−∞
1
xn= 0
Exemplo 2.7
Calcular os limites a seguir.
(a) limx 7→+∞
3
2x2
(b) limx 7→−∞
3x2 − 2x + 1
5x2 + x − 4
(c) limx 7→−∞
8x√3x2 + 4
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Limite e Continuidade
Limites infinitos
Definicao 2.6
Limites infinitos. Seja f uma funcao definida em um intervalo abertocontendo a, exceto possivelmente em a. Diz-se que o limite:
limx 7→a
f (x) = +∞
e um limite infinito se, dado A > 0 existe δ > 0 tal que f (x) > Asempre que 0 <| x − a |< δ. De modo analogo para:
limx 7→a
f (x) = −∞
e um limite infinito se, dado A < 0 existe δ > 0 tal que f (x) < Asempre que 0 <| x − a |< δ.
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Limite e Continuidade
Limites infinitos
Teorema 2.4
Seja n ∈ N, entao:
(i) limx 7→0+
1
xn= +∞
(ii) limx 7→0−
1
xn= −∞ (n ımpar) e lim
x 7→0−
1
xn= +∞ (n par)
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Limite e Continuidade
Limites infinitos
Teorema 2.5
Sejam limx 7→a
f (x) = c (c 6= 0) e limx 7→a
g(x) = 0, entao:
(i) limx 7→a
f (x)
g(x)= +∞ se c > 0 e g(x) 7→ 0 por valores positivos;
(ii) limx 7→a
f (x)
g(x)= −∞ se c < 0 e g(x) 7→ 0 por valores positivos;
(iii) limx 7→a
f (x)
g(x)= −∞ se c > 0 e g(x) 7→ 0 por valores negativos;
(iv) limx 7→a
f (x)
g(x)= +∞ se c < 0 e g(x) 7→ 0 por valores negativos.
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Limite e Continuidade
Limites infinitos
Exemplo 2.8
Calcular os limites a seguir.
(a) limx 7→2+
x2 + 3x + 1
x2 + x − 6
(b) limx 7→−1
5x + 2
| x + 1 |
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Limite e Continuidade
Assıntiotas
Definicao 2.7
Assıntotas horizontais e verticais do grafico de uma funcao.A reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico da funcao y = f (x)se ao menos uma das condicoes a seguir for satisfeita:
(i) limx 7→+∞
f (x) = b
(ii) limx 7→−∞
f (x) = b
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Limite e Continuidade
Assıntiotas
Figura: Exemplo de grafico de uma funcao com assıntota horizontalRenata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 24 / 32
Limite e Continuidade
Assıntiotas
A reta x = a e uma assıntota vertical do grafico da funcao y = f (x) se aomenos uma das condicoes a seguir for satisfeita:
(i) limx 7→a+
f (x) = +∞
(ii) limx 7→a−
f (x) = +∞
(iii) limx 7→a+
f (x) = −∞
(iv) limx 7→a−
f (x) = −∞
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Limite e Continuidade
Assıntiotas
Figura: Exemplo de grafico de uma funcao com assıntota verticalRenata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 26 / 32
Limite e Continuidade
Assıntiotas
Exemplo 2.9
Encontrar, caso existam, as assıntotas horizontais do grafico da funcao:
y =x√
x2 + 4. Esboce o grafico da funcao.
Exemplo 2.10
Verificar se o grafico da funcao: y =x − 2
x2 − 4possui assıntotas. Esboce o
grafico da funcao.
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Limite e Continuidade Limites fundamentais
Limites fundamentais
Teorema 2.6
Limite trigonometrico fundamental.
limx 7→0
sen(x)
x= 1
Exemplo 2.11
Calcular os limites:
(a) limx 7→0
sen(2x)
x
(b) limx 7→0
tag(x)
x
Renata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 28 / 32
Limite e Continuidade Limites fundamentais
Limites fundamentais
Teorema 2.7
Limite exponencial fundamental.
limx 7→±∞
(1 +
1
x
)x
= e
ou
limu 7→0
(1 + u)1u = e
Exemplo 2.12
Calcular os limites:
(a) limx 7→+∞
(1 +
1
x
)3x
(b) limx 7→0
(1 + 2x)1x
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Limite e Continuidade Limites fundamentais
Continuidade
Definicao 2.8
Diz-se que uma funcao f e contınua no ponto x = a se e somente se:
(i) Existe f (a);
(ii) Existe limx 7→a
f (x);
(iii) limx 7→a
f (x) = f (a).
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Limite e Continuidade Limites fundamentais
Continuidade
Exemplo 2.13
Verificar se a funcao: y =x − 2
x2 − 4e contınua no ponto x = 2
Exemplo 2.14
Verificar se a funcao:
f (x) :
{x + 1 se x < 1;
−2x + 4 se x ≥ 1.
e contınua no ponto x = 1.
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Limite e Continuidade Limites fundamentais
Continuidade
Observacoes
(i) Quando uma funcao y = f (x) e contınua em todos os pontos de umintervalo (a, b) entao ela e absolutamente contınua em (a, b);
(ii) Em geral, as funcoes racionais, trigonometricas, exponenciais elogarıtmicas sao contınuas em seus domınios;
(iii) Se f e g sao funcoes contınuas em x = a entao as funcoes f ± g ,f .g , f /g tambem serao contınuas em x = a.
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