Módulo 7 - preparatoriaabiertapuebla.com...Módulo 8 OBJETIVOS ESPECIFICOS Al terminar de estudiar...
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Módulo 7
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Al termin~r de estudiar este módulo, el alumno:
1. Interpretará el proceso para la derivación de una función compuesta.2. Empleará la generalización de la función potencial para simplificar.la derivada de
funciones compuestas.3. Determinará la derivada de una función compuesta dada, mediante la aplicación
de los teoremas vistos. en este módulo.
ESQUEMA RESUMEN
. FUNCIONh(x)
TEOREMASSOBRE
DERIVADAS
FUNCIONESCOMPUESTAS
h[g(x)]g[h(x)]
DERIVADA~I DEUNA FUNCION
COMPUESTA
137
-
¿Quées unafunción.compuesta?
Derivemos h(x) yluego. ..
138
7.1 Derivadas de funciones compuestas
Sean dos funciones definidas por las ecuaciones h(x) = x3 y
g(x) = x2 + 3, Y la función compuesta de h con g a la que llama-mos t, definida por t(x) = h [g(x)), y en el caso particular que nosocupa t(x) = (x2 + 3)3,
Aceptaremos antes de probarlo que la"derivada de la funciónt(x) = h[g(x)) es
('(x) = h'[g(x)) .g'(x)
Probablemente tenga usted dificultad para interpretar estaexpresión,.sin embargo observará que es sencillo. En ella seindicaque para determinar ('(x)primero se derivah(x), luego la xde h'(x) es sustituidapor g(x), quedandoh' [g(x)]y esto se multi-plica por g'(x).
Ejemplo 1 . .
sea t(x) = (x2+ 3)3 Determine('(x)
Soluciqn:
si t(x) = (x2+ 3)3 entonces h(x) = x3y g(x) = x2+ 3
CD h'(x) = 3x2
@ h'(x) = 3[g(X)]2
@ ('(x) = 3[g(X)]2 g'(x)
-
Solución:
Esta función es obviamente una función compuesta(f(x) = h(g(x))) en la que h(x) es reemplazada por sen X,
e~tonces\si f(x) = sen (g(X)) donde h(x) = san x
CD h' (x) = cas x
@ h'(x) = cos g(x)
@ ('(x) = cas g(x) .g'(X}
CD se derivó h(x) = san x
@ g(x) sustituye a x en h '(x)
CID se multiplica por 9 '(x)
Ejemplo 3
si {(x) = san 2x ('(x) = ?
Solución:
como ('(x) = h'(g(x)) .g'(x)
h(x) = san x ; g(x) = 2x
CD h'(x) = cas x, g'(x) = 2
@ h'(g(x)) = cas 2x, g'(x) = 2
luego ('(x) = cos 2x . 2
f'(x) = 2 cas 2x
Ejemplo 4
si f(x) = t 9 x2, ('(x) = ?
Solución:
('(x) = h'(g(x)) . g'(x)
Sea h(x) = t 9 x Y .g(x) = x2 entonces h'(x) = sac2x y
139
-
Derivada de la
función potencial
140
tambiéncomo g(x) = x2, g'(x) = 2x por lo que
o bien
Ejemplo5
Derivar (eos 2x san 3X)3
Solución:
Aceptaremos sin demostrar que si ((x) = [g(x)} " entonces('(x) = n [g (x)J"-1.g'(x) .
D(eos 2x san 3xj3 = 3 (eos 2x san 3X)2D (eos 2x san 3x)
= 3 eos2 2x sf!n23x [eos 2x D san 3x + san 3x D eos 2x}
= 3 ew 2x sanl 3x [eos .2x 3 eos 3x + san 3x 2 (-s~n 2x)]
= 3 ew2x san2 3x (3 eos 2x eos3x - 2 san 2x san 3x)
La ecuación ((x) = )(', representa a una función llamada la fun-ción potencial a la cual nos referimos brevemente al principio deeste curso diciendo que si n es par, la gráfica de la función es si-milar a la de una parábola y que si n es impar, su gráfica es similar ala de ((x) = x3.
La ecuación ((x) = Lg(x)], n E R una generalización de la fun-ción potencial nos interesa ya que su derivada simplifica la dealgunas funciones compuestas.
Ejemplo6
sea ((x) = " 3 - x2,determine (' (x).
Solueión:
1 1 .((x) = (3-xl)T dondeg(x) = 3-xl y n =. ~
2
1 .!..-1entonces ('(x) = - (3-Xl)1 (-2x)2
-
('(x) = ~ (3 - x2r t- (-2x)2
1 1 1 . (-2x)('(X) = ~ (3-x2)T
-2x
f'(x) = 2 V 3 x2
f'(x) = -'x
V3=?
Si en f(x)= [g(x)Jn nos referimos a g(x) como la base y a ncomo el exponente,podemosdec!rque el proceso paradetenni-nar laderivadade la función potencialconsiste en multiplicarelexponente (n) por la base con su exponente disminuido en1 [(g(x»)"-1]Ytodo esto por la derivada de la base (g '(x» .
Ejemplo 7
si f(x) = y x2 1, detennine('(x)Solución:
De nuevo pasamos el radical a la fonna exponencial quedando1
f(x) = (x2- 1j3 donde n = 1 ' g(x) = x2- 1,, 1 2
Yg'(x) = 2x, entonces ('(x) = - ( x2- 1r T (2x)32x
3y (x2- 1)2y simplificando, "(x) =
Ejemplo8
si f(x) = sen52x, ('(x) = ?
Solución:
como sen5 2x= (sen 2xj5 entonces '(x)= (sen 2X)5una funciónpotencial cuya base es una función compuesta, entonces n = 5,g(x) = sen 2x
..~
g(x) - basen-exponente
141
-
-- -- -- -- - --- - ----
('(x) = 5(sen 2x)" D(sen 2x)
y como D sen 2x = 2cos2x
('(x) = 5(sen 2X)42 cos 2x
('(x) = 1Osen42x cos 2x
Ejemplo9
si ((x) = cos3 (3x2 - 5x) ('(x) = ?
Solución:
f(x) = [cos (3x2 - 5X)]3donde n = 3, g(x) = (3x2- 5x)('(x) = 3[ cos (3x2 - 5x )J2D cos (3x2 - 5x)
y como Dcos g (x) =-sen g(x). g'(x) =-sen (3x2- 5).(6x- 5)
('(x) = 3[cos (3x2 - 5x)]2(-sen(3x2- 5x) . (6x- 5))
('(x) = 3(6x - 6) cos2 (3x2- 5xj [-sen (3x2- 5x)]
('(x) = -3(6x - 5) cos2(3x2- 5x) sen (3x2- 5x)
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
Mediante la aplicación de los teoremas de este módulo, determine la derivada decada una de las siguientes funciones:
1. ((x) = (x -2)2
2. ((x) = (2~ - 3x2) + (2x -1)3.1 I
3. ((X) = (xr_XI)2I
4. ((x)= 2x- (x2- 5)f5
5. f(X) = XT- (X-3 + X2)
142 .
- - -
-
5
6. ((x)= (X-4- X-3)3+ 4x4 .4
7. ((x) =x --:¡-+ (3x-1 + 2X)3
(5 5 7 4 1
)0
8. ((x) = 3X-~ +4X7"-3)(-:]
9. ((x)= (2x + 1)1 (3x _-2)3
11. ((x) = (x + 2)1(X:'" 3)5(X- 5)4
-,.. I~:'t'
/~12. ((x)=..¡ x-1
2
)3
13. ((x) =( x1-3jX-=2
14. ((x) = ";x-3
15. ((x) = Vx2 5x
16. ((x) = !.vx=5
17. ((x)= (x +.7)3(X- 4)
18. ((x) = ...¡--r4x1
19. ((x) = (san x + cos X)1
20. ((x) = san2x + cos 3x
21. ((x) = tg 2x
22. ((x) == san13)( + tg 3X
23. ((x) = san 3x cot x
143
-
24. f(x) = eos 2x tg 2x .
25. f(x) = see x esex
27. f(x) = !.= eos xsenx
28. f(x) = eos x tg xsenx
29. f(x) = sen1x
30. f(x) = 2x eos x + x1sen2x
31. f(x) = 3x1tg 5x
32. f(x) = (3x see 2x - x2eot 2x):&
144
-
Módulo8
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este módulo~ el alul)1no:
1. Calculará Um lag"x -lag" iJ , x =Fa paradeterminarla derivadade la fun-x-+a x-a.
ción logarltmica.2. Determinará la derivada de una función logarltmica aplicando la fórmula
. 1D loga x = ~ x
3. Demostrará que la derivada de una función exponencial es:
DtY = tY loga b
4. Determinará la derivada de una función exponencial aplicando la fórmula an-terior.
ESQUEMA RESUMEN
DERIVADADE UNA FUNCION
FUNCIONLOGARITMICA
FUNCIONEXPONENCIAL
DERIVADAS DELAS FUNCIONESLOGARITMICA y
EXPONENCIAL,
145
-
Recordemos laley delcrecimientonatural
Obtención delnúmero e
Derivada de lafunciónlogarltmlca
146
8.1 Derivadas de la función. logarltmí,ca
Ya conoce y ha trabajadocon laecuaciónsiguiente:
A = P (1 + ~) ns Ó A = P e'" (e = 2.71 828)
conocida como ley del crecimiento natural donde e es el limite
alquetienda(1 + ~ )n.rcuandos crece. .S.h r (
. S 1)
nr . C'I acemosque S =X, ,- =)f , yns =~ =
nr ~, y si sustituimos en (1 + ~ ')'''6te'nemos:
1 .
En donde si.hacemos que x-O (1 + x)"'%tiende al m)m(!roe,. 1
es decir que L/m (1 + x)X = e.x-o
Este limite, es necesario para determinar
L/m 10gbX -/ogba .x-a x-a
o sea la derivada de la función logaritmica que se presenta enseguida.
f'(x) = D lógbx = L/m 10gbX-Iogba , x =Fax-a x-a
Para obtener este limite debemqs expresar el cociente en tal I
f~rma que al sustituir a x por a, no-resulte la indeterminación ~O
Para ello tenemos:
-
(1) log"x-Iog"a =~ (Iog~x-Iog"a)x- a x-aa 1-=a-b ' b
(2) 1 x A;r:- log" - logA -logB=log-x-a 8 B
==-1.~ x~ x-a Iog"a se multiplicópor ~ = 1. a
(4.) 1 a, 8+X-8 se agregó== - -,og" 0,a x-a a a-a=O
(5)
a1
(a + x-a )x-a
=a log" a log~A"= k log"A
" "
1(
a
=a log"1 + xa a) x-a(6)t. J
porque a + x - a = a + (x- a)a a
a +x-a x-a- -=1+-a a a
. x-a a 1SIhacemos- = z entonces- = - ya x-a z
a 1
1. log"(1 + x . a ) x=a = .1.,og"('1 + z)Z de ah(quea a a
1
log"x- loy"a =~ loy"(1 + ~)Z y si x- a, z - Ó ;1x-a a1
L/m log"x - log"a = L/m J.. IQg"(1 ,+ z fzx-+a x - a . Z-+08147
-
. La derivada delog"xes...
SI la base 8SIgual al númeroe.u
148
Recuerde que a es cualquier elemento del dominiode la fun-ción, por lo que puede ser reemplazada por x si x E Df
Entonces:
para todo X > O
En el caso particular en que la base b = e tendrlamos que
D loge x =J-IOgee. y comologee = 1 ~esulta,pa;a todo x>Ox
Ejemplo1
Ejemplo2
Ejemplo3
1D log.x==x
si f(x) = logzx, f'(x) = ~ogzex
si f(x)= logzx, f'(3)= + logze
si f(x} == logeX, f'(x} ==+1
f(x) =loge x, ('(5) = - 5
-
-- -------- -------
entonces consideramos a ( como una función compuesta en la
que ((x) = h (g(x) ) siendo h(x) = lag" x,si ((x) = lag" g(x), h(x) = lag" x
entonces
('(x) = h' (x) g' (x)
1('(x) =-Iog" e g'(x)
g (x)
(' (x) = g' (x)g(x) lag" e
Ejemplo4
((x) = log3 (2x2 - 3) determine (' (x)
g'(x)si ('(x) = -109"e y g(x) = 2x2- 3, con b = 3
g(x). '
4x .tenemos ('(x) =
2--;-1093ex -3
Ejemplo5
si ((x) = loge(3x - 2) ('(2) = ?
3(' (x) = -. 13x-2
('(2) = ;L4
149
-
Cuandoelexponente e. x'
, ¿Cómodefinimosellogarltmo deun número?
150
8.2 Derivada de la función exponenclal.
En tema anterior .se definió la función exponencial siendola ecuaciónque define a esta función
y = /T o f(x} = b%donde x es un número real.-
En este tema se mostrará que la derivada de esta función es:
. Demostración:
Si y = bJtY recordamos que ellog'aritmo de un número (y) esel exponente (x) a que debe elevarse la base (b) para obtener,elnúmero (y) la ecuación y= b" puede escribirse como log"y= x, dela cual obtendremos la expresión' buscada,
sea entonces: 10gby = x donde y= ti
se indican I~ operacionesque se van aefectuar
derivando ambos miembrosde la igualdad
/(Unidades XIllIoXVI)
D y=/T IOYe b sustitucióny = /T
Ejemplo '1
si f(x) = 2% f'(x) = 2%loge2
cuando b = e,
si f(x) = ~ entonbes f'(x) = e%loge ~
f'(x) = ~
-
.Cuando la expresión es de la forma f(x) = b' (.c), es decir el SIel exponenteexponente a su vez es una función de x, tenemos: e. función de x..
,..,(.>:)Y~ IJ
10gbY =g(x)
Dy 10gb e = g'(x)y
Definición de logari~mo.
Derivando ambos miembros.
Dy =g'(x) ,. 10gb e,Y
Resolviendo para Dy
.1 .Dy = g'(x) . y loge b = logbe
Dy '= g'(x) b'('>:)loge b Sustituyendo y = b'('>:)
si labase b = e tenemos que
De g(X)= g'(x)e ' C.c)¿por qué?
Ejemplo 2
si f(x) = a3x2 entonces f'(x) = 6x a 3X'.loge a
si f(x) = ex3-2JCentonces f' (x) = (3x2 - 2)ex3-2X
REACTIVOS DE AUTOEV ALUACION
Determine en cada caso la derivada de la expresión dada:
1. f(x) =xlogex
2. ((x) =x1.logex
3. f(x) ='OgeX'X
151
-
5. f(x) = loge2x
6. f(x) = log (2xl - 3x)1
7. f(x) = -Iog 3xlx
8. f(x) = (x - 1)2loge(X- 1)
9. f(x) = loge(X3- 3) loge(xl - 2)
10. f(x)= loge(Iogax)
11. "f(x) = log2x= x log2
12. f(x)= loge (2x3~" 4)loge (xl + 1)
13. f(x) =,Ioge 1 + loga 3xl -Ioge (xl + 4)
14. f(x) = 2xloge (5x + 2) - (7x - 3) loge (7x - 6)15. f(x) = 1OX
16. f(x) = x + 2x
17. f(x) = 3x2-3
18. f(x) = X. 2x2
19. f(x) = e2JC
20. f(x) = e-x+ex21. f(x) = 2Xl ex
22. f(x) = 3x + 3xe-h
24. f(x) = e loga x
25. f(x) = 2e"senx
26. f(x) = exx
J
27. f(x) = ex
152
-
Paneles de veri'ficación
MODULO 5 V ALlDACION
1. m = 1 -V-xER
2. m =m "Y-xE R3. a). m = -13
b). m = -11
e). m = -9
d). m = -5
4. a). m = 12b). m = 3
e). m = O
d). m = 3
e). m = 12
15. a). m = "2
b). m=~ - ya2V3 - 6
e). m=~- y'2. 2V2 - --¡-
d). Noexiste la tangente porque no existe ellfmite.
6. a). m =-1
b). m = -4
153
-
e). m=-4
d). m=- 1
17 m = ---;-. Xl
1-m- --:- rv-r-8. -:- 2 v A 1
9. Se deja alestudiante investigar lasolución.
10. y'=2
11 . y' = 8x
12. y' = 15x2
13. t' (x)= 2 - 6x
\ 14. f' (x) =4x - 15x215. (' (x) = 2x + 1
16. ('(x) = 3x2+ 4x + 4
17. f' (x) = 2x + 1
-18. ('(x) = 3x2 + 4x + 4
19. f' (x)= (x- 1)2
-2
1
20. (' (x)= (x+ 1)2
21. (' (x) = cos x
22. f' (x) =-sen x
154.
-
MODULO 6 VALIDACION
1. 2x - 5
2. 6x1- 6x + 43. 11x10 + 35r - ex4. -6x-J- 7x-1
5. -5x"c.- 6
27. 4xJ-3 - xJ
1 4 98. +-
Xl XJ r
11. 5r + 12xJ- 8x- 12
13.- .2. (x - 1)1
14. ~(x - 2)1
2(x1- 3x + 1)15.- ---(x1- 1)1
116. . (x - 1)1
. 17. 1
155
-
18. x2 + 1(x2 - 1)2
19. see2x
20. tg x .see x
121. -cot x ese x
22. 2 sen x eos x.
23. -2 eos x sen x
24. xeosx + senx
25. 1 + eosx
26. -x2 sen x + 2x eos x
27. eosx + xsenxeos 2 x
28. sen x (1 + see2 x)
29. -see x e.otx ese x + ese x tg x see x = sec2 x - esc2 x30. O
31. -sen2 x + eos2x
32. -ese x (2 eot2 x + 1)
MODULO 7 VALiDACION
1. 2x - 4
2. .2x(4x2- 3) + 6 (2x - 1)2
3. 3x2- 4x + 1
4. 2 - -2'/xz-5
156
-
5 ...!...5 - X 3 + 3x -4 - 2x. 3
6. 3 (x -4 - X -3)1(-4x -5 + 3x -4) + 5x 4i
7.- ~ x -"3+ 3(3x -1 + 2X)2 (-3x -2 + 2)
8. O
9. 9(2x + 1)1(3x - 2)1+ 4(3x - 2)3(2x + 1)
11. Se dejaalalumno.
1-- J12. - 2(x-1)"2
-48x
1~. (x1- 3j4
-)14.
3 1. 2(x - 3) T (x - 2) 1"
x-10 x-1016. ==:J..
2(x - 5) v' x -~ 5 2(x - 5) r
17. (x + 7)1(2x - 19)(x - 4)1
18. --1 38x2
20. 2 cos 2x- 3 sen 3x
157
-
22. 6 sen 3xeos 3x + 3 tg1xsee2x. ,
23. -sen 3x ese2x + 3 eot x cos 3)(
24. 2 cos 2x
26. Se,deja al alumno.
27. 1- ~sen2x
28. O'
29. sen 2x + 2 sen2xcot 2xese 2x
30. -2x sen x + 2 eos x + 2X2cos 2x + 2xsen 2)(. .
31. 15x2sec25x + 6x tg 5x
32. '-4 cot 2x ese 2x + 2xJ caP 2x
MODULO 8 VALlDACION
1 . f' (x) = 1+ lag. x
2. f' (x) = x + 2x log. x
3. f' (x) = 1 -Iag.)(. )(2
4. f'(x) = 1 - 21agex
15. f' (x)= x-
158
-
4x-36. f' (x)= lage2X2- 3x
7. f' (x) = ~/og e ~ J... log3x2x2 x2
8. ('(x) = (x - 1) + 2 (x - 1) loge (x - 1). 3x 'u2 2x
9. f'(x) =~ 3 loge(r- 2)+ --Ioge (x3- 3)x- ~-2 .1
1O. f' (x) = x loge x
11. f:(x) = log 2
12. Se deja al alumno.
13. f'(x) =1- - ~x x2 + 4
14. Se deja al alumno.
15. 1ex loge 1 O
16. 1 + ~ loge 2
2 - J ,17. 2x. 3-" ,oge 3
19. 2 eh
20. -e" +e x= e h - 1ex
21. 2x2ex + 4x ex = 2x ex (x + 2)
22. 3 - 6xe-h+ 3e-h
159
-
.....
124. -e = 1x
25. 2 cosx e senx
26. ex(x- 1)Xl
160