MÓDULO 3 DE: MATEMÁTICA

1 MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA

MOacuteDULO 3 DE MATEMAacuteTICA 2


FICHA TEacuteCNICA

Consultoria

CEMOQE MOCcedilAMBIQUE

Direcccedilatildeo

Manuel Joseacute Simbine (Director do IEDA)

Coordenaccedilatildeo

Nelson Casimiro Zavale

Belmiro Bento Novele

Elaborador

Constantino Matsinhe

Revisatildeo Instrucional

Nilsa Cherindza

Lina do Rosaacuterio

Constacircncia Alda Madime

Deacutercio Langa

Revisatildeo Cientiacutefica

Teresa Macie

Revisatildeo linguiacutestica

Beniacutecio Armindo

Maquetizaccedilatildeo e Ilustraccedilatildeo

Eliacutesio Bajone

Osvaldo Companhia

Rufus Maculuve

Impressatildeo

CEMOQE Moccedilambique


Iacutendice

INTRODUCcedilAtildeO 7

UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO 9

Liccedilatildeo nordm1 REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA

RECTA GRADUADA 10

Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 16

Liccedilatildeo nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS 20

Liccedilatildeo nordm4 EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES 24

Liccedilatildeo nordm5 CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q 27

Liccedilatildeo nordm6 CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS NAtildeO PERFEITOS USANDO O

ALGORITMO 32

Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS 38

Liccedilatildeo nordm8 CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R

41

Liccedilatildeo nordm9 REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA GRADUADA 45

Liccedilatildeo nordm10 RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS DE NUacuteMEROS PERFEITOS 50

Liccedilatildeo nordm 11 POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO 53

Liccedilatildeo nordm12 PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO RADICAL 56

Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS 60

Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS 62

Liccedilatildeo nordm13 OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE RADICAIS 65

Liccedilatildeo nordm14 MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES NUMEacuteRICAS 68

ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE 71

Unidade2 INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 76

Liccedilatildeo nordm1 77

INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS 77

Liccedilatildeo nordm2 REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO 83

Liccedilatildeo nordm3 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES 86

LICcedilAtildeO Nordm4 NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL 90

UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS 96

LICcedilAtildeO Nordm1 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO 97

Liccedilatildeo nordm2 ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS 101

LICcedilAtildeO Nordm3 MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS 104

Liccedilatildeo nordm4 POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS 107

Liccedilatildeo nordm5 NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO 109

Liccedilatildeo nordm6 ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS 112

Liccedilatildeo nordm7 MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO 116

Liatildeo nordm 8 MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES 119

Liccedilatildeo nordm9 DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES RECORRENDO A PROPRIEDADE

DISTRIBUTIVA (FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS119938 plusmn 119939120784 E 119938+ 119939119938minus 119939 122

Liccedilatildeo nordm10 DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO 127


UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 133

Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 134

Liccedilatildeo nordm2 LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 138

Liccedilatildeo nordm3 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 =

120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 141

Liccedilatildeo nordm4 RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782

USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO 145

Liccedilatildeo nordm5 FOacuteRMULA RESOLVENTE 149

LICcedilAtildeO Nordm6 SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO QUADRAacuteTICA 153

Liccedilatildeo nordm7 FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+ 119939119961 + 119940 = 119938119961 minus 119961120783119961minus 119961120784 157

Liccedilatildeo nordm8 PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS 160


MENSAGEM DA INSTITUICcedilAtildeO DIRIGIDA AOS ALUNOS


INTRODUCcedilAtildeO

Bem-vindo ao moacutedulo 3 de Matemaacutetica

O presente moacutedulo estaacute estruturado de forma a orientar

claramente a sua aprendizagem dos conteuacutedos propostos

Estatildeo apresentados nele conteuacutedos objectivos gerais e

especiacuteficos bem como a estrateacutegia de como abordar cada tema

desta classe

ESTRUTURA DO MOacuteDULO

Este moacutedulo eacute constituiacutedo por 4 (Quatro) unidades temaacuteticas

nomeadamente

Unidade nordm1 noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo

unidade2 inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees lineares

unidade3 noccedilatildeo de monoacutemios e polinoacutemios

unidade4 equaccedilotildees quadraacuteticas

OBJECTIVOS DE APRENDIZAGEM

No final do estudo deste modulo esperamos que vocecirc seja capaz

de

- Diferenciar os conjuntos numeacutericos dos nuacutemeros naturais

inteiros racionais irracionais e reais

- Operar os nuacutemeros reais aplicando as operaccedilotildees de adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo

- Aplicar os nuacutemeros reais na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees Quadraacuteticas

ORIENTACcedilAtildeO PARA O ESTUDO

Estimado estudante para ter sucesso no estudo deste moacutedulo eacute necessaacuterio muita dedicaccedilatildeo portanto

aconselhamos o seguinte

-Reserve pelo menos 3horas por dia para o estudo de cada liccedilatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos

- Procure um lugar tranquilo que disponha de espaccedilo e iluminaccedilatildeo apropriada pode ser em casa no

Centro de Apoio e Aprendizagem (CAA) ou noutro lugar perto da sua casa

- Durante a leitura faccedila anotaccedilotildees no seu caderno sobre conceitos foacutermulas e outros aspectos

importantes sobre o tema em estudo


- Aponte tambeacutem as duvidas a serem apresentadas aos seus colegas professor ou tutor de forma a serem

esclarecidas

- Faca o resumo das mateacuterias estudadas anotando as propriedades a serem aplicadas

- Resolva os exerciacutecios e soacute consulte a chave-de-correcccedilatildeo para confirmar as respostas Caso tenha

respostas erradas volte a estudar a liccedilatildeo e resolve novamente os exerciacutecios por forma a aperfeiccediloar o seu

conhecimento Soacute depois de resolver com sucesso os exerciacutecios poderaacute passar para o estudo da liccedilatildeo

seguinte Repita esse exerciacutecio em todas as liccedilotildees

Ao longo das liccedilotildees vocecirc vai encontrar figuras que o orientaratildeo na aprendizagem

CONTEUacuteDOS

EXEMPLOS

REFLEXAtildeO

TOME NOTA

AUTO-AVALIACcedilAtildeO

CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO

CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO

Ao longo de cada liccedilatildeo de uma unidade temaacutetica satildeo apresentadas actividades de auto-avaliaccedilatildeo de

reflexatildeo e de experiecircncias que o ajudaratildeo a avaliar o seu desempenho e melhorar a sua aprendizagem

No final de cada unidade temaacutetica seraacute apresentado um teste de auto-avaliaccedilatildeo contendo os temas

tratados em todas as liccedilotildees que tem por objectivo o preparar para a realizaccedilatildeo da prova A auto-

avaliaccedilatildeo eacute acompanhada de chave-de-correcccedilatildeo com respostas ou indicaccedilatildeo de como deveria responder

as perguntas que vocecirc deveraacute consultar apoacutes a sua realizaccedilatildeo Caso vocecirc acerte acima de 70 das

perguntas consideramos que estaacute apto para fazer a prova com sucesso


UNIDADE Nordm1 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS E RADICIACcedilAtildeO

INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA

Estimado(a) aluno(a) bem-vindo ao estudo de moacutedulo 3 Os conhecimentos adquiridos no moacutedulo 2 sobre o s conjuntos numeacutericos naturais inteiros e racionais vatildeo sustentar bastante a unidade temaacutetica nuacutemero 1 (um) sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo Esta unidade estaacute estruturada de seguinte modo Contem 14 (Catorze) liccedilotildees que abordam a representaccedilatildeo numeacuterica na recta graduada e as operaccedilotildees dos nuacutemeros que pertencem aos conjuntos IN Z Q I e R


- Identificar os nuacutemeros irracionais

- Representar os nuacutemeros reais na recta graduada

- Relacionar os conjuntos IN Z Q I e R

- Operar os nuacutemeros reais

RESULTADOS DE APRENDIZAGEM

Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Noccedilatildeo de nuacutemeros reais e radiciaccedilatildeo vocecirc

- Identifica os nuacutemeros irracionais

-Representa os nuacutemeros reais na recta graduada

- Relaciona os conjuntos IN Z Q I e R

- Opera os nuacutemeros reais

DURACcedilAtildeO DA UNIDADE

Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 42 horas

Materiais complementares

Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de

- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua

1


Liccedilatildeo nordm1

REVISAtildeO DOS NUacuteMEROS RACIONAIS E

REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS NA RECTA

GRADUADA

INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS

A liccedilatildeo dos nuacutemeros racionais vai ser desenvolvida partindo dos nuacutemeros naturais e inteiros

A posiccedilatildeo dos nuacutemeros inteiros positivos e negativos em relaccedilatildeo ao ponto origem 0 (zero)

A relaccedilatildeo entre os nuacutemeros naturais inteiros e racionais


-Representar os nuacutemeros racionais na recta graduada

-Relacionar os nuacutemeros racionais com os seus subconjuntos

TEMPO DE ESTUDO

Caro estudante para o estudo da liccedilatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc vai precisar de 3horas

111 Nuacutemeros racionais

Caro estudante no moacutedulo nuacutemero 1 abordou os conjuntos dos nuacutemeros naturais IN conjunto dos nuacutemeros inteiros Z e conjunto dos nuacutemeros racionais Q

Ex Conjunto de nuacutemeros naturais

119873 = 1234567891011hellip

2 Conjunto de nuacutemeros inteiros

119885 = hellip minus3minus2minus10+1 +2+3hellip

3 Conjunto de nuacutemeros racionais

119876 =

hellip minus20

3 minus5minus35minus3minus

3

2 minus125minus1 0+025+

1

2 +

4

5 +1 +

4

3 +375+

21

4 hellip

112 Representaccedilatildeo de nuacutemeros racionais na recta graduada

Os nuacutemeros naturais inteiros e racionais podem ser representados na recta graduada veja os exemplos abaixo

Ex1 Representemos os seguintes nuacutemeros naturais na recta graduada


119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10

A B D E C F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10

Ex 2 Representemos os seguintes nuacutemeros inteiros na recta graduada

119860 + 1 119861 minus 2 119862 + 3119863 4 119864 minus 5 119865 minus 4

E F B A C D

minusinfin -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 + 4 + 5 +6 +7 +infin

Ex 3 Representemos os seguintes nuacutemeros racionais na recta graduada

119860 +1

2 119861 minus

1

2 119862 +

7

3 119863 minus 4 119864 +

10

5 119865 minus 625

Portanto os nuacutemeros que estatildeo na forma de fracccedilatildeo devemos transforma-los na forma decimal aplicando o algoritmo da divisatildeo Veja os exemplos abaixo

119860 +1

2

119860 +1

2= +05 Logo

0 119860 1 2

119861 minus1

2

119861 minus1

2= minus05 Logo

-2 -1 119861 0

-

10

10

2

05

00

-

10

10

2

05

00


119862 +7

3

119862 +7

3= +233hellip Assim jaacute podemos representar na recta Logo

usando uma reacutegua Vocecirc pode considerar 1119888119898 como uma graduada unidade

119862

0 +1 +2 +3

Os nuacutemeros racionais acima podem ser representados na mesma recta graduada

Ex B A

C

minusinfin -3 -2 -1 0 +1 +2 +4 +infin

Definiccedilatildeo Os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados na forma de fracccedilatildeo ou na forma de diacutezima finita ou infinita perioacutedica

Ex hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip

Dizima finita ndash eacute todo nuacutemero racional na forma decimal que tem um nuacutemero finito de casas decimais

Ex O nuacutemero minus3

4= minus075 tem duas casas decimais que satildeo 7 e 5

Dizima infinita perioacutedica - eacute todo nuacutemero racional na forma decimal em que o valor da casa

decimal repete-se infinitamente (sem terminar)

Ex O nuacutemero +7

3= +233333hellip tem muitas casas decimais que satildeo 3333hellip repete-se sem

terminar entatildeo o periacuteodo eacute 3

Pode se representar tambeacutem como +233333hellip = +2(3)

113 Relaccedilatildeo de pertenccedila entre elementos (nuacutemeros) e conjuntos numeacutericos (IN Z e Q)

Para relacionar um nuacutemero e um conjunto usamos os siacutembolos isin (119953119942119955119957119942119951119940119942) 119952119958 notin

( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)

Ex Considere o conjunto 119882 abaixo

119882 = hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip

Verifiquemos se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeira (V) ou falsas (F)

-

-

700

6

3

233hellip

10

09

01


a) 0 isin 119873 (119865) e) +1

2notin 119876minus(119881) i) 0 isin 1198850

minus(119881)

b) 0 isin 119885 (119881) f) +025 isin 119876+(119881) J) minus2

3notin 1198760

+(119881)

c) minus3

2isin 119876 (119881) g) +

21

4notin 119885(119865) l) minus1 isin 119876(119881)

d) 375 notin 119885 (119881) h) minus5 notin 119885+(119881) m) minus125 isin 119876+(119865)

114 Relaccedilatildeo de inclusatildeo entre conjuntos N (naturais) Z (inteiros) e Q (racionais)

Os conjuntos N Z e Q podem ser relacionados com os siacutembolos sub (119888119900119899119905119894119889119900 119890119898)sup (119888119900119899119905119890119898)nsub(119899atilde119900 119888119900119899119905119894119889119900 119890119898) 119890 ⊅ (119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)

O siacutembolo sub (119942119956119957aacute 119940119952119951119957119946119941119952 119942119950) - relaciona um conjunto com menor numero de elementos com um outro que tenha maior ou igual numero de elementos

Ex a) 119873 sub 119885 (Lecirc-se N estaacute contido em Z)

b) 119885 sub 119885 (Lecirc-se Z estaacute contido em Z)

c) Zsub 119876 (Lecirc-se Z estaacute contido em Q)

d) 119873 sub 119876 (Lecirc-se N estaacute contido em Q)

e) 119876 sub 119876(Lecirc-se Q estaacute contido em Q)

O siacutembolo sup (119940119952119951119957119942119950)-relaciona um conjunto com maior ou igual numero de elementos com um outro que tenha menor numero de elementos

Ex a) 119885 sup 119873 (Lecirc-se Z contem N)

b) 119885 sup 119885 (Lecirc-se Z contem Z)

c) Qsup 119885 (Lecirc-se Q contem Z)

d) 119876 sup 119876(Lecirc-se Q contem Q)

No caso contrario das relaccedilotildees acima usa-se as negaccedilotildees nsub (119899atilde119900 119890119904119905aacute 119888119900119899119905119894119889119900) 119890 nsub

(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)

Ex a) 119873 nsub 1198850minus (Lecirc-se N natildeo estaacute contido em 1198850

minus)

b) 119885 nsub 119876minus (Lecirc-se Z natildeo estaacute contido em119876minus)

c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760

+ natildeo contem 119876minus)

d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760

minus natildeo contem N)


ACTIVIDADE Ndeg 1

Caro estudante depois da revisatildeo de nuacutemeros racionais vocecirc pode resolver os exerciacutecios abaixo

1 Verifique se as proposiccedilotildees abaixo satildeo verdadeiras (V) ou falsas (F)

a) minus3

2isin 1198850

+ ( ) e) minus1

2notin 119876minus( ) i) 0 isin 119885minus( )

b) 0 notin 119885 ( ) f) +025 notin 119876+ ( ) J) minus2

3isin 1198760

+( )

c) minus3

2isin 1198760

minus ( ) g) +21

4notin 119876 ( ) l) minus1 notin 119876( )

d) 375 isin 119885( ) h) minus5 notin 119885minus ( ) m) minus125 isin 119876( ) 2 Represente os valores abaixo na recta real graduada

a) A minus3

2 e) 119864 minus 2

1

2 i) 119868 035

b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2

3

c) 119862 minus3

4 g) 119866 +

21

4 l) 119871 minus 1

d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375

3 Complete com os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras

a) minus3helliphellip1198760+ e) 0helliphellip119876minus i) 01helliphellip119885minus

b) 1198760minushelliphellip119876 f) 1198760

+helliphellip119885+ J) 40helliphellip isin 1198760+

c) 119876minushelliphellip isin minus1+2 g)minus91

4helliphellip119876 l) +825helliphellip119876

d) 119885helliphellip119876 h) +5helliphellip119885minus ( ) m) minus1000hellip 119876


CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Ndeg 1

1

a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )

b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )

c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )

d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )

2 H E A L C B I F D G

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

3

a) minus3 notin 1198760+ e) 0 isin 119876minus i) 01 notin 119885minus

b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760

+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+

c) 119876minus ⊅ minus1+2 g)minus91

4isin 119876 l) +825 isin 119876

d) 119885 sub 119876 h) +5 notin 119885minus m) minus1000 isin 119876



ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS

INTRODUCcedilAtildeO A LICcedilAtildeO

Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais

Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo


- Operar os nuacutemeros racionais

- Aplicar as propriedades das operaccedilotildees

TEMPO DE ESTUDO

Caro estudante para estudar a liccedilatildeo das operaccedilotildees de nuacutemeros racionais vai precisar de 3 horas

121Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de nuacutemeros racionais

Os nuacutemeros racionais podem se adicionar ou subtraiacuterem-se

A uma expressatildeo que se pode transformar numa adiccedilatildeo de nuacutemeros racionais designa-se por adiccedilatildeo algeacutebrica e o seu resultado eacute soma algeacutebrica

Ex a) minus(+7) + (+8) minus (minus18) =

Primeiro vocecirc deve recordar que

A multiplicaccedilatildeo ou conjugaccedilatildeo de dois sinais iguais resulta num sinal positivo Isto eacute (minus) times (minus) = + e

(+) times (+) = +

A multiplicaccedilatildeo de dois sinais diferentes resulta sinal negativo Isto eacute (+) times (minus) = minus e (minus) times(+) = minus

Entatildeo podemos facilmente eliminar parecircnteses na expressa a) usando a conjugaccedilatildeo de sinais Assim

minus(+7) + (+8)mdash18 =

= minus7 + 8minus 18 =

A seguir vamos adicionar o resultado deve ter o sinal de maior valor absoluto Assim

= minus7 + 8 minus 18 =

= +1 minus 18 = minus17˶

b) (+3

4) minus (minus

4

3) + (minus

1

2) minus (+

1

6) = Neste caso em que a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo eacute de nuacutemeros

fraccionaacuterios com denominadores diferentes temos de

- Primeiro devemos eliminar parecircnteses aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais como no exemplo a) Assim


+3

4+4

3minus1

2minus1

6=

- Segundo devemos calcula o mmc (menor muacuteltiplo comum) dos denominadores Assim

+3

4+4

3minus1

2minus1

6=

(3) (4) (6) (2) O mmc de234 119890 6 eacute 12 Entatildeo

multiplicando os factores 234 119890 6 com os numeradores 341 119890 1 teremos

+3 times 3

4 times 3+4 times 4

3 times 4minus1 times 6


6 times 2=

=+9+ 16 minus 6 minus 2

12=

=+25minus6minus2

12=

+19minus2

12= +

17

12˶

c) (minus05) + (minus03) minus (minus2

5) minus (025) = Para resolver esta expressatildeo deve-se

- Eliminar os parecircnteses conjugando os sinais Assim

minus05 minus 03 +2

5minus 025 =

- Transformar os nuacutemeros decimais em fracccedilotildees

Por ex Para transformar minus05 em fracccedilatildeo pode-se ignorar a viacutergula e fica minus05 em seguida conta-se o nuacutemero de casas decimais neste caso eacute uma casa decimal que eacute 5 esse nuacutemero de casas decimais

corresponde ao nuacutemero de zeros que deve acrescentar na unidade e fica minus05

10= minus

5

10 Entatildeo a

expressatildeo fica

= minus120787

120783120782minus

3

10+

2

5minus

25

100= Calculando o mmc de 510 119890 100 temos

(10)(10)(20)(1)

= minus5 times 10

100minus3 times 10

100+2 times 20

100minus25 times 1

100=

=minus50 minus 30 + 40 minus 25

100=

=minus80 + 40 minus 25

100=minus40 minus 25

100= minus

65

100˶


ACTIVIDADE Ndeg 2

Caro estudante depois da revisatildeo das operaccedilotildees com nuacutemeros racionais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Calcule e simplifique as seguintes operaccedilotildees

a) minus(minus6) + (minus6) + (+20) =

b) (+1

2) minus (+

3

4) + (+

14

3) =

c) minus(minus6

7) minus

5

14minus (

1

2) =

d) (06 + 0 minus 05) minus1

10=

e) (+066) + (minus45) minus (minus7) minus (+66

10) + (minus203) =



a) 20 b) 53

12 c) 0 d) 0 d) minus

547

100 e)minus

91

12



MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE NUacuteMEROS RACIONAIS


Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais Multiplicaccedilatildeo e divisatildeo





TEMPO DE ESTUDO


131 Multiplicaccedilatildeo de nuacutemeros racionais

Pode-se multiplicar os nuacutemeros racionais como no exemplo abaixo

Ex a) minus(+2

3) times (minus

6

8) times (minus

2

3) times (minus

1

2) = Primeiro multiplicamos os sinais para eliminar

parecircnteses Assim = +2

3times6

8times2

3times1

2= passo seguinte multiplicamos os numeradores e os

denominadores Assim = +2times6times2times1

3times8times3times2= Passo seguinte decompomos os factores 6 119890 8 Assim

Posso seguinte substituiacutemos na expressatildeo = +2times6times2times1

3times8times3times2=

2times2times3times2times1


Passo seguinte simplifica os factores iguais Assim =2times2times3times2times1


1

2times3=

1

6˶

132 Divisatildeo de nuacutemeros Racionais

Para efectuar a divisatildeo de dois nuacutemeros racionais deve-se transformar a divisatildeo numa multiplicaccedilatildeo

fazendo a multiplicaccedilatildeo do dividendo pelo inverso do divisor Isto eacute119938

119939divide

119940

119941=

119938

119939times119941

119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne

120782 119942 119941 ne 120782

6

3

1

2

3

6 = 2 times 3


Ex a) (minus5

15) divide (+

10

45) = primeiro mantemos o dividendo (minus

5

15) e multiplicamos pelo inverso do

divisor (+10

45) o seu inverso seraacute (+

45

10) entatildeo fica (minus

5

15) times (+

45

10) = passo seguinte

multiplicamos os sinais dos factores para eliminar parecircnteses fica minus5

15times45

10= multiplicamos os

numeradores e denominadores fica minus5times45

15times10= decompomos os factores 1015 119890 45 Assim

Entatildeo jaacute podemos substituir

na expressatildeominus5times45

15times10=

fica minus5times32times5


simplificamos fica minus5times32times5

3times5times2times5= minus

3

2˶

Por vezes pode se representar a divisatildeo de nuacutemeros racionais na forma de fracccedilatildeo da seguinte maneira 119938

119939119940

119941

a regra natildeo altera seraacute a mesma assim 119938

119939119940

119941

=119938

119939times119941

119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876

Ex b) (minus

36

12)

(minus24

64)= Vamos multiplicar o dividendo pelo inverso de divisor Assim

(minus36

12)

24

64

= (minus36

12) times

(minus64

24) = Multiplicamos os sinais os numeradores e os denominadores fica+

36times64

12times24=

decompomos os factores 122436 119890 64

Em seguida substituiacutemos os

factores na expressatildeo+ 36times64

12times24=

+25times26

22times3times23times3 = em seguida simplificamos fica

+25times26

22times3times23times3 = +

26

3times3=

64

9 ˶

10

5

1

2

5

10 = 2 times 5

45

15

5

1

3

3

5

6 = 3 times 3 times 5 = 32 times 5

15

5

1

3

5

15 = 3 times 5

8

4

2

1

2

2

2

8 = 2 times 2 times 2 = 23

12

6

3

1

2

2

3

12 = 22 times 3

24

12

6

3

1

2

2

2

3

12 = 23 times 3

36

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

36 = 25

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

64 = 26


ACTIVIDADE Ndeg 3


1 Efectue e simplifique as seguintes operaccedilotildees

a) minus(minus8

9) times (minus

18

4) =

b) (minus7

28) times (+

27

21) =

c) minus(+144) times (minus3

12) times (minus

1

9) =

d) 03 times10

9times (minus

81

4) times 02 =

e) 29

3times (minus

21

30) times 001 =


a) (minus12

5) divide (+

3

25) =

b) minus(minus2) divide (minus18

5) =

c) +025 divide (+75

100) =

d) +(minus31

3) divide (03) =

e) minus033 divide 099 =



1 a) minus4 b)minus9

28 c) minus4 d) minus

27

20 e) minus

35

3000


9 5c)

1

3 d) minus

100

9 e) minus

1

3



EXPRESSOtildeES QUE ENVOLVEM TODAS OPERACcedilOtildeES


Nesta liccedilatildeo vamos operar com os nuacutemeros racionais em Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Vamos aplicar as propriedades de acordo com cada operaccedilatildeo




TEMPO DE ESTUDO


141 Expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees Por vezes vocecirc vai encarar expressotildees que envolvem todas operaccedilotildees que precisaratildeo de propriedades algumas jaacute abordadas outras abordaremos neste tema

Nas expressotildees que envolvem a adiccedilatildeo subtracccedilatildeo multiplicaccedilatildeo e divisatildeo devemos calcular em primeiro lugar a multiplicaccedilatildeo ou divisa comeccedilando da operaccedilatildeo que estiver mais a esquerda e depois terminamos com adiccedilatildeo ou subtracccedilatildeo

Ex a) minus(3

4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) = Primeiro calculemos minus(

3

4) times (minus02) = que seraacute

minus(3

4) times (minus02) = minus(

3

4) times (minus

2

10) = Multiplicamos os sinais negativos fica +

3

4times

2

10=

Multiplicamos os numeradores e os denominadores 3times2

4times10= Simplificamos o 4 119888119900119898 2 fica

3times2

4times10=

3

2times10 passo seguinte calculamos 4 divide 2 = fica 4 divide 2 = 2 em seguida a expressatildeo da aliacutenea a)

minus(3

4) times (minus02) minus (7 + 4 divide 2) =

3

2times10minus (7 + 2) =

3

20minus 9 = passo seguinte calculamos o

119898119898119888 fica 320(1)

minus91

(20)

= Fica (3times1)minus(9times20)

20=

3minus180

20=

Logo 3minus180

20= minus

177

20 ˶

b) (2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3 Primeiro calculamos a divisatildeo porque estaacute agrave esquerda em relaccedilatildeo a

multiplicaccedilatildeo assim 2

5divide

3

2=

2

5times2

3=

4

15 Aplicamos a propriedade da divisatildeo de nuacutemeros racionais

Em seguida transformamos o argumento que estaacute na forma mista em fracccedilatildeo assim 13

5 o valor 1


multiplica com o denominador 5 assim 1 times 5 = 5 este resultado adiciona-se com o numerador 5 +

3 = 8 este resultado seraacute o numerador da fracccedilatildeo por construir e o denominador seraacute o mesmo isto eacute 8

5 Entatildeo substituiacutemos na expressatildeo (

2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3= (

4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= passo seguinte

calculamos o que estaacute dentro de parecircnteses calculando o 119898119898119888 assim 415(1)

minus85(3)

=(4times1)minus(8times3)

15=

4minus24

15= minus

20

15= minus

4times5

3times5= minus

4

3

Passo seguinte substituiacutemos na expressatildeo (4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= (minus

4

3) times 5 +

20

3 comeccedilaacutemos com a

multiplicaccedilatildeo pois esta a esquerda fica (minus4

3) times 5 +

20

3= minus

4times5

3+

20

3= minus

20

3+

20

3 as parcelas satildeo

simeacutetrica entatildeo podemos simplificar minus20

3+

20

3= 0˶

ACTIVIDADE Ndeg 4


1 Calcule o valor das expressotildees seguintes

a) (2 divide 3 + 10 divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15

b) minus2

3times3

4divide (minus

3

2) =

c) 3 divide (minus4

5) times (minus

2

3) divide (minus2) =

d) minus32 minus 2 times (minus21 + 2 times 05) =

e) minus1minus(

1

3minus3

4)

2minus(minus1

2)times(minus

1

2)=



1 a) 2 b)1

3 c) minus

5

4 d) minus1 e) minus

1

3



CAacuteLCULO DE QUADRADOS E RAIacuteZES QUADRADAS em Q


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos determinar os quadrados perfeitos quadrados natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais


-Determinar os quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais

-Determinar raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional

-Determinar o resto de raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos

TEMPO DE ESTUDO

Caro estudante para estudar esta liccedilatildeo vai precisar de 2 horas

151 Quadrados perfeitos de nuacutemeros racionais

Estimado estudante no moacutedulo 1 vocecirc abordou o conceito de potenciaccedilatildeo e as suas propriedades

Potecircncia eacute todo valor ou nuacutemero racional que pode ser escrito na forma

119938119951 Onde o 119938 eacute a base o 119951 eacute expoente 119938 isin 119928120782+ 119890 119951 isin 119925

Nesta liccedilatildeo vamos considerar potecircncia de expoente 2 isto eacute 119899 = 2

Ex 02 12 (1

2)2

22 (3

4)2

32 42 (110

378)2

(2017

5)2

1002 119890119905119888

Determinemos os resultados dos quadrados acima

a) 02 = 0 times 0 = 0 Portanto multiplicamos a base 0 (zero) por si proacutepria

b) 12 = 1 times 1 = 1 Multiplicamos a base 1 (um) por si proacutepria

c) 22 = 2 times 2 = 4 Multiplicamos a base 2 (dois) por si proacutepria

d) (3

4)2

= (3

4) times (

3

4) =

3times3

4times4=

9

16 Multiplicamos a base

3

4 (trecircs sobre quatro) por si proacutepria E o

restante dos valores tambeacutem

e) 32 = 3 times 3 = 9

f) 42 = 4 times 4 = 16

g) (110

378)2

= (110

378) times (

110

378) =

12100

142884

h) (2017

5)2

= (2017

5) times (

2017

5) =

4068289

25

i) 1002 = 100 times 100 = 10000


Entatildeo podemos definir os quadrados perfeitos de seguinte modo

Definiccedilatildeo Quadrados perfeitos satildeo nuacutemeros inteiros natildeo negativos que satildeo quadrados de nuacutemeros

inteiros 119938119951 onde 119938 isin 119937120782+ 119890 119951 isin 119925

Ex

a) 02 = 0 times 0 = 0

b) 12 = 1 times 1 = 1

c) 22 = 2 times 2 = 4

d) 32 = 3 times 3 = 9

e) 42 = 4 times 4 = 16

f) 1002 = 100 times 100 = 10000 Os quadrados perfeitos nos exemplos acima satildeo 0 1 4 9 16 119890 10000

152 Raiz quadrada de um nuacutemero perfeito racional

No moacutedulo 1 abordamos o conceito da raiz quadrada como sendo todo nuacutemero racional que pode ser escrito na forma

radic119938119951

Onde o (119938 isin 119928120782+ 119951 isin 119925119951 ne 120783) 119938 minus eacute 119877119886119889119894119888119886119899119889119900 119900 119951 minus eacute Iacute119899119888119894119888119890 o siacutembolo radic

chama-se 119877119886119889119894119888119886119897

Entatildeo quando o 119951 for igual a 120784 isto eacute 119951 = 120784 fica radic119938120784

=radic119938 (lecirc-se raiz quadrada de 119938) natildeo eacute

necessaacuterio colocar o iacutendice 120784

Ex

a) radic0 ndash Lecirc-se raiz quadrada de zero

b) radic1 ndash Lecirc-se raiz quadrada de um

c) radic2 ndash Lecirc-se raiz quadrada de dois

d) radic3 ndash Lecirc-se raiz quadrada de trecircs

e) radic1000 ndash Lecirc-se raiz quadrada de mil

153 Caacutelculo de raiacutezes quadradas de quadrados perfeitos

Determinar raiz quadrada de um nuacutemero radic119938 significa pensar num valor 119939 em que ao multiplicar por

si proacuteprio 119939 times 119939 resulta 119938 Isto eacute radic119938 = 119939 119953119952119955119954119958119942 119939 times 119939 = 119939120784 = 119938 onde 119938 119939 isin 119928120782+

Ex

a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4

b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9

c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16

d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100

Por tanto podemos definir quadrado perfeito tambeacutem como sendo todo nuacutemero cuja raiz quadrada eacute um nuacutemero inteiro


154 Raiacutezes quadradas de quadrados natildeo perfeitos Quadrado natildeo perfeito - eacute todo nuacutemero racional cuja sua raiz quadrada natildeo resulta um nuacutemero inteiro Ou por outra eacute todo nuacutemero racional cuja raiz quadrada resulta um nuacutemero inteiro mas com um resto diferente de zero Ex

a) radic30 = 5 119903119890119904119905119900 5 Porque 5 times 5 + 5 = 30 Portanto 30 eacute quadrado natildeo perfeito

porque a sua raiz quadrada eacute 5 e resto 5

b) radic60 = 7 119903119890119904119905119900 11 porque 7 times 7 + 11 = 60 O nuacutemero 60 eacute quadrado natildeo perfeito

porque a sua raiz quadrada eacute 7 e resto 11 O resto eacute a diferenccedila entre um nuacutemero e o quadrado da sua raiz quadrada inteira

a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5

b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11

Portanto 30 estaacute compreendido entre dois quadrados perfeitos que satildeo 25 119890 36

Isto significa que 25 lt 30 lt 36 isto eacute 52 lt 30 lt 62



Desta maneira as raiacutezes quadradas de 30 119890 60 natildeo satildeo exactas satildeo raiacutezes aproximadas e podem ser aproximadas por excesso ou por defeito Ex

a) Aproximaccedilatildeo por excesso radic30 asymp 6 Aproximaccedilatildeo por defeito radic30 asymp 5

b) Aproximaccedilatildeo por excesso radic60 asymp 8 Aproximaccedilatildeo por defeito radic60 asymp 7

Pode-se tambeacutem determinar-se raiz quadra da de um nuacutemero racional usando taacutebua da raiz quadrada na tabela de Matemaacutetica e Fiacutesica

Ex Determinemos as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua

a) radic534 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 53 e verifica-se a coluna 4 teremos

radic534 asymp 23108

b) radic30 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 30 e verifica-se a coluna 0 teremos

radic30 asymp 54772

c) radic60 primeiro consulta-se a taacutebua na aliacutenea 60 e verifica-se a coluna 0 teremos

radic60 asymp 77460


ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Ndeg 5

Caro estudante depois de rever sobre caacutelculo de quadrados e raiacutezes quadradas em Q vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Complete os espaccedilos de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯

b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

f) radic3600 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯ 2 Consulte a taacutebua das raiacutezes quadradas e determine a raiz quadrada de cada aliacutenea abaixo

a) 169 b) 1024 c) 1849 d) 8556 e) 9802 f) 05725 3 Calcule a raiz quadrada inteira e o respectivo resto dos nuacutemeros

a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017

4 Determine os quadrados perfeitos entre 100 119890 200 e indica as respectivas raiacutezes quadradas 5 Determina o nuacutemero cuja raiz quadrada inteira eacute 11 e o resto eacute17



1

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9

b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25

c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36

d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81

e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144

f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600

2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566

3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11

g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81

4 a) 100 radic100 = 10 119887) 121 radic121 = 11 c) 144 radic144 = 12 d) 169radic169 = 13

e)196 radic196 = 14

5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138



CAacuteLCULO DE RAIacuteZES QUADRADAS E DE QUADRADOS

NAtildeO PERFEITOS USANDO O ALGORITMO


Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de quadrados perfeitos natildeo perfeitos e raiacutezes quadradas em Q com auxiacutelio de taacutebua tivemos algumas limitaccedilotildees na determinaccedilatildeo de certas raiacutezes quadradas Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos abordar uma forma geneacuterica para calcular qualquer raiz quadrada que eacute algoritmo da raiz quadrada


- Determinar raiz quadrada de um nuacutemero racional usando o algoritmo da raiz quadrada

TEMPO DE ESTUDO

Caro estudante vocecirc vai precisar de 3 hora para o estudo desta liccedilatildeo

161Caacutelculo de raiacutezes quadradas e de quadrados natildeo perfeitos usando o algoritmo

Para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero usando o algoritmo da raiz quadrada vamos obedecer certos passos e operaccedilotildees Vejamos o exemplo abaixo

Ex radic2017

radic2017

1˚- Dividimos o nuacutemero 2017 em grupos de dois algarismos da direita para esquerda podemos acrescentar os zeros dois a dois consoante o nuacutemero de casas decimais que pretendemos Para o nosso exemplo vamos considerar duas casas decimais

Assim radic20170000

2˚- Determinamos a raiz quadrada inteira do valor que estiver mais a esquerda neste caso eacute 20 A sua

raiz quadrada eacute radic20 = 4 119903119890119904119905119900 4 porque 4 times 4 + 4 = 16 + 4 = 20

3˚- Colocamos o resultado 4 no topo directo do algoritmo Assim

radic20170000 4


4˚- Determinamos o quadrado do resultado 120786 que eacute 120786120784 = 120783120788 e subtraiacutemos no 120784120782 Isto eacute

radic20170000 4

16

04

5˚- Determinamos o dobro de resultado 120786 que eacute 120790 e colocamos em baixo de 4 Assim

radic20170000 120786

16 8

04

6˚- Baixamos o nuacutemero 120783120789 acrescentando no valor 120782120786 em baixo no lado esquerdo fica 120782120786120783120789

radic20170000 120786 16 8 0417

7˚- Pensamos um nuacutemero em que devemos acrescentar no nuacutemero 120790 e multiplicamos por si para

obtermos um valor igual a 120782120786120783120789 ou aproximadamente igual a 120782120786120783120789 Neste caso eacute 120786

radic20170000 120786 16 8120786

0417 times 120786

336

8˚- O valor que pensamos eacute 120786 e eacute vaacutelido no nosso caacutelculo entatildeo levamos este valor e acrescentamos no

nuacutemero 120786 no topo direito do algoritmo Assim


radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786

336

9˚- Subtraiacutemos 0417 por 336 e fechamos com um traccedilo horizontal a multiplicaccedilatildeo de 120790120786 119901119900119903 120786 fica

radic20170000 120786 120786

16 8120786 0417 times 120786

336 336

0081

10˚- Determinamos o dobro de 120786 120786 que eacute 2 times 120786 120786 = 88 e colocamos a direita do algoritmo Assim

radic20170000 44 16 84 88

0417 times 4

336 336

0081

11˚- Baixamos os dois primeiros zeros 00 no valor 0081 fica 008100 isto eacute

radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88

0417 times 4

336 336

008100

12˚- Pensamos num nuacutemero em que acrescentamos no 88 e multiplicamos por si para obtermos um valor igual ou aproximadamente igual a 008100 neste caso eacute 9


radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889

0417 times 4 times 120791

336 336 8001

008100

8001

13˚- Entatildeo o 9 eacute vaacutelido podemos coloca-lo no numero 4 4 e fica 4 49 E subtraimos 008100 por 8001 e fica 99 isto eacute

radic20170000 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

000099

14˚- Baixamos os dois uacuteltimos zeros acrescentamos no nuacutemero 000099 fica 00009900

radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

00009900

15˚- Determinamos o dobro de 449 que eacute 2 times 449 = 898 e colocamos a direita do algoritmo fica

radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898


336 336 8001


008100

8001

00009900

16˚- Pensamos num nuacutemero em que ao acrescentarmos no valor 898 e multiplicarmos por si teremos

um resultado igual ou aproximadamente agrave 00009900 Neste caso eacute 1 e fica 8981

radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981

0417 times 4 times 9 times 1

336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

17˚- O nuacutemero 1 eacute vaacutelido entatildeo acrescentamos no topo direito do algoritmo no nuacutemero 4 4 9 ficando

4 4 9 1 Em seguida subtraimos 00009900 por 8981 e fica 919 isto eacute

radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919

Portanto este procedimento eacute infinito prosseguimos agrave medida de nuacutemero de casas decimais que

pretendemos Neste caso pretendemos duas casas decimais As casas decimais satildeo contabilizadas

consoante o nuacutemero de vezes que baixamos os dois zeros 00 neste caso baixamos duas vezes entatildeo

teremos duas casas decimais contadas de direita para esquerda no nuacutemero 4 4 9 1 Neste caso fica 4 4

9 1hellip


radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919

Entatildeo o resultado da raiz quadrada de 2017 eacute igual agrave 4491hellip resto 00919 Isto eacute radic120784120782120783120789 = 120786120786 120791120783

Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789

O nuacutemero das casas decimais do resto e contabilizado de direita para esquerda do valor 00000919 em

algarismos de dois a dois como na soluccedilatildeo 4491hellip tivemos duas casas decimais entatildeo no resto

teremos quatro casas decimais isto eacute 00000919=00919

Entatildeo podemos concluir que radic120784120782120783120789 asymp 120786120786 120791120783 119942 119955119942119956119957119952 119955 = 120782 120782120791120783120791


Caro estudante depois detalhadamente abordarmos os procedimentos de calculo da raiz quadrada de

numero racional usando o algoritmo vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Determine as raiacutezes quadradas ateacute duas casas decimais e o respectivo resto das expressotildees abaixo usando o algoritmo da raiz quadrada

a) radic135 b) radic344 c)radic1423 d) radic5321 e) radic752893


a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079

b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684

c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016

d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564

e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064


Liccedilatildeo nordm 7 NOCcedilAtildeO DE NUacuteMEROS IRRACIONAIS


Caro estudante depois de termos abordado o Caacutelculo de raiacutezes quadradas de nuacutemeros racionais usando o algoritmo da raiz quadrada entatildeo pode abordar o conceito de nuacutemeros irracionais



TEMPO DE ESTUDO

Caro estudante vocecirc vai precisar de 2 horas para o estudo desta liccedilatildeo

171 Nuacutemeros irracionais

O caacutelculo de raiacutezes quadradas usando o algoritmo da raiz quadrada pode explicar melhor a existecircncia de

nuacutemeros irracionais

Ex Calculemos a raiz quadrada de 2 isto eacute radic2 usando o algoritmo da raiz quadrada

a) radic2

Portanto aplicamos os passos aplicados na Liccedilatildeo 5 E teremos

radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423

100 times 4 times 1 times 4 times 2 times 1 times 3

96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269

0400

281

011900

11296 00060400

56564 0000383600

0000282841 000010075900

000008485269

000001590631


Portanto a raiz quadrada de dois seraacute aproximadamente igual agrave 1414213hellip isto eacute

radic120784 asymp 120783 120786120783120786120784120783120785hellip

O nuacutemero 1414213hellip tem um nuacutemero infinito de casas decimais e essas casas decimais satildeo

diferentes

Logo o numero 1414213hellip tem uma diacutezima infinita natildeo perioacutedica

Dizima infinita natildeo perioacutedica ndash eacute todo nuacutemero que tem uma infinidade de casas decimais isto eacute

casas decimais que natildeo terminam Natildeo perioacutedicas porque as casas decimais satildeo diferentes

Ex hellip minusradic10minusradic5minusradic3minusradic2minus02451hellip +radic2 = 1414213hellip +radic3 +radic5+radic10hellip Entatildeo os nuacutemeros irracionais definem se de seguinte modo

Os nuacutemeros irracionais satildeo todos os nuacutemeros que podem ser representados por diacutezimas infinitas natildeo

perioacutedicas

Ex hellip minusradic10minus120587 minus119890 minusradic5minusradic3minusradic2minus0245hellip+ radic2 =

1414213hellip +radic3+radic5 119890 120587+radic10hellip

Os valores 120587 119890 satildeo equivalentes aos seguintes valores

120645 = 120785 120783120786120783120787120791120784120788120787120786hellip(lecirc-se PI)

119942 = 120784 120789120783120790120784120790120783120790120790120784120790hellip(lecirc-se numero de Neper)


Caro estudante depois de abordarmos os nuacutemeros irracionais vocecirc pode identificar os nuacutemeros irracionais efectuando os exerciacutecios propostos abaixo

1 Verifica se as diacutezimas seguintes representam nuacutemeros racionais ou irracionais

a) 325 b) 44 (33) c) 91234hellip d) 2017 e) 120587 f) 1968258 g) 0002587hellip 2 Verifique se os nuacutemeros seguintes representam nuacutemeros racionais ou natildeo

a) radic4 b) radic3 c)radic100 d) radic22 e) radic016 f) radic625

9 g) radic119890



1 a) 325 - Nuacutemero racional

b) 44 (33) -Nuacutemero racional

c) 91234hellip -Nuacutemero irracional

d) 2017 -Nuacutemero racional

e) 120587 Nuacutemero irracional

f) 1968258 -Nuacutemero racional

f) 0002587hellip -Nuacutemero irracional

2 a)radic4 -Nuacutemero racional

b) radic3-Nuacutemero irracional

c)radic100 -Nuacutemero racional

c) radic22 -Nuacutemero irracional

d) radic016 -Nuacutemero racional

f) radic625

9 - Nuacutemero racional

g) radic119890-Nuacutemero irracional



CONJUNTO DE NUacuteMEROS REAIS E RELACcedilAtildeO ENTRE

CONJUNTOS NUMEacuteRICOS IN Z Q I E R


Caro estudante na liccedilatildeo nuacutemero 6 abordamos os nuacutemeros irracionais entatildeo nesta liccedilatildeo vamos

introduzir um novo conjunto numeacuterico que eacute de nuacutemeros Reais


- Identificar os nuacutemeros reais

- Distinguir os subconjuntos de nuacutemeros reais


TEMPO DE ESTUDO


181Conjunto de nuacutemeros reais

Conjunto de nuacutemeros reais eacute a reuniatildeo de conjunto de nuacutemeros racionais 119876 com o conjunto de

nuacutemeros irracionais I

O conjunto de nuacutemeros reais representa-se pela letra ℝ

Ex ℝ =

hellip minus120783120782120782

120784 minus120786120791 120791 minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip


Portanto o conjunto ℝ pode ser resumido num diagrama que contem os outros cunjuntos numeacutericos jaacute

abordados nas liccedilotildees 1 e 2

Ex

R

Q I

N

Z

182 Subconjuntos de nuacutemeros reais

Os subconjuntos de nuacutemeros reais satildeo

ℝ120782+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos incluindo o zero

ℝ+ minus Conjunto de nuacutemeros reais positivos

ℝ120782minus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos incluindo o zero

ℝminus minus Conjunto de nuacutemeros reais negativos

Consideremos o exemplo de conjunto de nuacutemeros reais abaixo

ℝ

= hellip minus120783120782120782

120784minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784120645hellip

Representemos os exemplos de subconjuntos de nuacutemeros reais

ℝ120782+ = 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ+ = hellip +120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ120782minus = hellip minus

120783120782120782

120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 120782

ℝminus = hellip minus120783120782120782

120784 minus120786120791 120791minus120785120785 (120785120785)minusradic120788120784minus120783120782minusradic120784minus120782 120784120787 hellip


183 Relaccedilatildeo entre conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R Os conjuntos numeacutericos IN Z Q I e R podem ser relacionados com os siacutembolos de inclusatildeo e os seus

elementos satildeo relacionados com os siacutembolos de pertenccedila tal como abordamos na liccedilatildeo nuacutemero 2

Ex Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos sub sup nsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras

119886) 119877 sup 1198760+ e) 119873 nsub 119877minus i) 01 notin 119877minus

119887) 1198760minus nsub 1198770

+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770

+

119888) 119877minus ⊅ minus1+2 g)minus91

4 isin 119877 l) +825 isin 1198770

+

119889) 119885 sub 119877 h) +5 notin 119877minus m) minus1000 notin 119877


Caro estudante depois de abordarmos o conjunto de nuacutemeros reais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios

propostos abaixo

Considere o conjunto

119860 = hellip minus2017minus1000minus528

3 minus120587minusradic8minus017hellip minus

1

1000 0 124radic

17

4 119890 radic20217hellip

Determine

a) Os nuacutemeros naturais b) Os nuacutemeros inteiros c) Os nuacutemeros racionais d) Os nuacutemeros reais positivos e) Os nuacutemeros reais negativos f) Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero g) Os nuacutemeros reais negativos incluindo o zero

Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras

119886) 119877helliphellip1198760minus e) +radic10helliphellip119877minus i) 120587helliphellip119877minus

119887) 1198760+helliphellip1198770

+ f) 1198760minushelliphellip119877+ J) 119873helliphellip119877

119888) 119877minushellipminus1minus120587

2 g)minus

91

4helliphellip1198770

+ l) +119890helliphellip 1198770+

119889) 1198850+helliphellip 119877 h) minusradic5helliphellip 119877minus m) minus1000helliphellip119877


CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO 119899deg 8

119886) 217 Os nuacutemeros naturais

b) minus2017minus1000 0217 Os nuacutemeros inteiros

c) minus2017minus1000minus528

3 minus

1

1000 0 124 217 Os nuacutemeros racionais

d) 124radic17

4 119890 radic20217 Os nuacutemeros reais positivos

e) minus2017minus1000minus528


1

1000 Os nuacutemeros reais negativos

f) 0 124radic17

4 119890 radic20 217 Os nuacutemeros reais positivos incluindo o zero

g) minus2017minus1000minus528


1

1000 0Os nuacutemeros reais negativos

incluindo o zero

Relacionemos os conjuntos abaixo usando os siacutembolos subsupnsub ⊅ isin 119900119906 notin de modo a obter

proposiccedilotildees verdadeiras

119886) 119877 sup 1198760minus e) +radic10 notin 119877minus i) 120587 notin 119877minus

119887) 1198760+ sub 1198770

+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877

119888) 119877minus sup minus1minus120587

2 g)minus

91

4 notin 1198770

+ l) +119890 isin 1198770+

119889) 1198850+ sub 119877 h) minusradic5 isin 119877minus m) minus1000 isin 119877



REPRESENTACcedilAtildeO DE NUacuteMEROS REAIS NA RECTA

GRADUADA

Representaccedilatildeo de nuacutemeros reais na recta graduada


Caro estudante jaacute abordamos sobre conjuntos e relaccedilatildeo de conjuntos de nuacutemeros reais Entatildeo nesta liccedilatildeo vamos representa-los na recta real ou graduada



TEMPO DE ESTUDO


191 Representar os nuacutemeros reais na recta graduada

Recta real eacute aquela em que podemos gradua-la atraveacutes de nuacutemeros inteiros ou de um outro conjunto numeacuterico que comeccedila de menos infinito ateacute mais infinito Por exemplo uma reacutegua

Ex

-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin


A partir da recta acima podemos representar nuacutemeros reais na mesma tal como representamos os

nuacutemeros racionais na liccedilatildeo 1

Ex1 Representemos o nuacutemero radic2 na recta real

Consideremos o problema

Qual eacute a medida da diagonal de um quadrado cuja a medida do lado mede 1cm Veja a figura abaixa

B

X 1cm

A 1cm C


Para calcular o valor de X podemos aplicar o teorema de Pitaacutegoras que vocecirc abordou no moacutedulo 2 Que diz O quadrado da hipotenusa eacute igual a soma dos quadrados dos catetos de um triacircngulo rectacircngulo

Considerando o triacircngulo ABC os lados AC e BC- satildeo catetos o lado AB- eacute hipotenusa

Entatildeo se considerarmos

AC=1198881 BC=1198882 e AB=ℎ Entatildeo o teorema de Pitaacutegoras fica de seguinte forma

119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784

120784

Partindo da formula podemos calcular o valor de X=AB substituindo fica

1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982

Para termos o valor de X vamos usar uma propriedade que veremos mais em diante nas equaccedilotildees

quadraacuteticas O resultado seraacute119909 = radic2119888119898 Para representar este numero temos de

1˚- Traccedilamos a recta graduada

Ex

-2 -1 0 1 2

2˚- Representamos as medidas dos catetos e da hipotenusa na recta e fica

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 2

3˚- Com um compasso a ponta seca no ponto A=0 ateacute o ponto B e traccedilamos um arco para baixo ate

tocar no eixo real ou recta real E fica

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic2 2

O valor que se obtecircm nesse ponto eacute raiz quadrada de 2 Isto eacute radic2

Ex2 Representemos a raiz quadrada de -2 Portanto minusradic2


Como jaacute representamos radic2 para representarminusradic2 devemos manter a mesma medida da abertura de

compasso e traccedilarmos o arco para esquerda ateacute intersectar a o eixo real o valor ai encontrado seraacute

minusradic2 Assim

B

X 1cm

A 1cm C

minusradic2 -1 0 1 radic2 2

Ex 3 Representemos a raiz quadrada de 3 Portanto radic3

Traccedilamos um segmento que tem a medida do cateto perpendicular ao lodo AB do triangulo e traccedilamos

um seguimento AD Com a ponta seca no ponto A traccedilamos um arco ate o eixo real o ponto ai

encontrado seraacute radic3 Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic3 2

Para representarmos minusradic3 usamos o mesmo procedimento do exemplo 2 Com a mesma abertura de

compasso AD ponta seca no ponto A prolongamos o arco para esquerda ate intersectar o eixo real

Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C

-2minusradic3 -1 0 1 radic3 2

Conclusatildeo para representar os restantes nuacutemeros reais traccedila-se um segmento perpendicular ao

segmento anterior e traccedila-se o arco ateacute ao eixo real


ACTIVIDADE Ndeg 9

Caro estudante depois de termos abordado a representaccedilatildeo de nuacutemeros reais no eixo real vocecirc pode

efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Represente os nuacutemeros reais seguintes

a) radic2 b) minusradic2 c) radic4 d)radic5 e) radic6 f) minus14

4



D

B

X 1cm

A 1cm C

minus14

4 -3 -2 minusradic2 -1 0 1radic2 radic4radic5radic6



RADICIACcedilAtildeO CAacuteLCULO DE CUBOS E RAIacuteZES CUacuteBICAS

DE NUacuteMEROS PERFEITOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos operar os nuacutemeros reais isto eacute de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros

perfeitos aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo


- Determinar os cubos de nuacutemeros reais perfeitos

- Determinar as raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros reais perfeitos

TEMPO DE ESTUDO


1101 Caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos

No caacutelculo da raiz quadrada de nuacutemeros reais o iacutendice n eacute igual agrave 2 isto eacute radic119886119899 119899 = 2 119891119894119888119886 radic119886

2 =

radic119886 119900119899119889119890 119886 isin 1198770+ Para raiz cuacutebica o iacutendice eacute igual agrave 3 entatildeo fica radic119886

3 119900119899119889119890 119886 isin 119877

Portanto raiz cuacutebica de um numero real ndash eacute um numero b em que elevado a 3 (trecircs) eacute igual agrave a

Isto eacute radic1198863 = 119887 119904119890 119890 119904oacute 119904119890 1198873 = 119886

Ex a) radic83

= 2 119901119900119903119902119906119890 23 = 2 times 2 times 2 = 8 b) radicminus273

= minus3 119901119900119903119902119906119890 (minus3)3 = (minus3) times(minus3) times (minus3) = minus27

c) radic3433

= Primeiro deve-se decompor o nuacutemero 343

Entatildeo substituiacutemos no radical e fica radic3433

= radic733

=7

e) radicminus27

8

3= Primeiro decompomos os nuacutemeros 27 e 8 Assim

343

49

7

1

7

7

7

343 = 73


Substituiacutemos no radicando radicminus33

23

3= colocamos o sinal negativo fora do

radical minusradic33

23

3= minus

3

2

Portanto podemos definir os cubos perfeitos de seguinte modo

Cubos perfeitos ndash satildeo nuacutemeros reais cuja sua raiz cuacutebica eacute um nuacutemero inteiro

Ex hellip -27 -8 -1082764 hellip

ACTIVIDADE Ndeg 10

Caro estudante depois de termos abordado o caacutelculo de cubos e raiacutezes cuacutebicas de nuacutemeros perfeitos

vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Determine o valor das seguintes raiacutezes

a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic125

3 d) radic2197

3 e) radic

125

27

3 f) radic

1

216

3 g) radic729

3

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23



1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5

3 f)

1

6 g) 9


Liccedilatildeo nordm 11

POTEcircNCIA DE EXPOENTE FRACCIONAacuteRIO



Caro estudante para facilmente operarmos na radiciaccedilatildeo temos de abordar potencia de expoente

fraccionaria


- Representar um nuacutemero real na forma de potecircncia fraccionaacuteria

- Transformar uma raiz de qualquer iacutendice natural agrave uma potecircncia fraccionaacuteria

TEMPO DE ESTUDO


1111 Potecircncia de expoente fraccionaacuterio

Consideremos uma raiz de iacutendice n e radicando 119886119898 isto eacute radic119886119898119899

119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873

Podemos transformar a raiz radic119886119898119899

na forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria Assim

radic119886119898119899

= 119886119898

119899 119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873 119886 minus eacute 119887119886119904119890 119898

119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890

Ex 1 Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia

a) radic2 = Neste caso o iacutendice eacute n=2 o expoente eacute m=1 porque o radicando no radical pode ficar

radic21 a base eacute a=2 Entatildeo na forma de potecircncia fica radic2 = 21

2

b) radic(minus13

2)147

= (minus13

2)

14

7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus

13

2)147

= (minus13

2)2

=

(minus13

2) times (minus

13

2) = +

169

4

Ex 2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes

a) (5

9)

1

3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =

5

9 119890119899119905atilde119900 (

5

9)

1

3= radic(

5

9)13

= radic5

9

3

b) (119910

2)

8

5=119899 = 5119898 = 8 119886 =

119910

2 119890119899119905atilde119900 (

119910

2)

8

5= radic(

119910

2)85



Caro estudante depois de termos abordado a Potecircncia de expoente fraccionaacuterio vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1Transformar as raiacutezes abaixo na forma de potecircncia

a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic1256

3 d) radic(

13

2197)217

e) radic(125

27)25100

f) radic(1

216)1199016

g) radic7293

2 Transforme as potecircncias a baixo em forma de raiacutezes

a) 51

4 b) 21

2 c) 081

3 d) (120587

2)

3

6e) 25025 f) 0008

1

3 g)0012

4



1a) (minus1)1

3 b) 2 c) -5 d) (1

169)2

e) (125

27)

1

4 f) (

1

216)

119901

6g) 729

1

3=[(9)3]1

3=9

2119886) radic54

b) radic2 c) radic8

10

3 d)radic

120587

2 e) radic25

4= radic5 f)radic

8

1000

3= radic(

2

10)33

=1

5 g)

1

10



PASSAGEM DE UM FACTOR PARA DENTRO E FORA DO

RADICAL


Caro estudante no acto de operaccedilotildees com raiacutezes faremos algumas simplificaccedilotildees para tal vamos

abordar Passagem de um factor para dentro e fora do radical


- Introduzir os factores no radical

- Extrair para fora do radical os factores possiacuteveis

TEMPO DE ESTUDO


Caro estudante para melhor operarmos e simplificarmos os radicais temos de extrair ou introduzir os

factores em certos momentos

1121 Passagem de factor para dentro do radical

Consideremos o seguinte produto 119938 times radic119939119951

= 119938radic119939119951

o factor 119938 estaacute fora do radical Este factor 119938

pode ser introduzido dentro do radical obedecendo a seguinte regra

Tira-se de fora do radical o valor 119938 introduz-se dentro do radical e eleva-se pelo iacutendice 119951 passa a

multiplicar com o 119939 Isto eacute 119938radic119939119951

= radic119938119951 times 119939119951

= radic119938119951119939119951

Ex a) 3 times radic5 = introduzimos o 3 no radical e elevamo-lo por 2 isto eacute 119899 = 2 que eacute o iacutendice de

radical Fica 3timesradic5 = radic32 times 5 = radic9 times 5 = radic45

c) 7

12times radic(

144

14)23

= Neste caso o iacutendice eacute n=3 entatildeo introduzimos o 7

12 no radical e elevamo-

lo por 3 e multiplica por (144

14)2

fica

7

12times radic(

144

14)23

= radic(7

12)3

times (144

14)23

= radic7times7times7


14times14

3 o 144 eacute o produto de

factores 12 times 12 isto eacute 144 = 12 times 12 e o 14 eacute o produto de factores 7 times 2 isto eacute

14 = 7 times 2

Substituiacutemos na expressatildeo fica radic7times7times7


14times14

3= radic

7times7times7

12times12times12times12times12times12times12

7times2times7times2

3=


= radic7times7times7times12times12times12times12


3 Simplificamos fica = radic



3= radic

7times12

2times2

3= factorizamos

o 12 e fica 12 = 4 times 3 substituiacutemos no radical e fica

radic7times12

2times2

3= radic

7times4times3

4

3= radic7 times 3

3= radic21

3

1122 Passagem de factor para fora do radical

Consideremos a expressatildeo radic119938119950 times 119939119951

soacute eacute possiacutevel extrair do radical o factor que tiver um expoente

maior ou igual ao iacutendice isto eacute 119950 ge 119951 Neste caso o factor por extrair soacute pode ser 119938 porque tem o

expoente 119950 que eacute maior que 119951 Isto eacute 119950 gt 119899

Obedece-se a seguinte regra

Divide-se o expoente 119950 por 119951 extrai-se o 119938 para fora do radical e eleva-se pelo quociente da divisatildeo

119954 e o mesmo 119938 mantem-se no radical elevando-o pelo resto 119955 da divisatildeo

Assim

119898 119899

119903 119902 Entatildeo a expressatildeo fica radic119938119950 times 119939119951

= 119938119954 times radic119938119955 times 119939119951

= 119938119954radic119938119955119939119951

Ex passe os factores possiacuteveis para fora do radical

a) radic39 times 25

= Devemos dividir o 9 por 5 Isto eacute

9 5

5 1 Portanto o quociente eacute 119902 = 1 o resto eacute 119903 = 4 Entatildeo a expressatildeo fica

4 radic39 times 25



= 3 times radic1625

= 3radic1625

b) radic128

27

3= Primeiro temos que decompor 128 e 27 assim

128

64

32

16

2

2

2


radic128

27

3= radic

27

33

3= dividimos o 7 por 3 e o 3 Substituiacutemos na expressatildeo e fica

por 3 Assim

7 3 3 3

6 2 3 1 podemos extrair os factores 2 e 3

1 0

Fica radic27

33

3=

22

31radic21

30

3=

4

3radic2

1

3=

4

3radic23

ACTIVIDADE Ndeg 12

Caro estudante depois de termos abordado Passagem de factor para dentro e fora do radical vocecirc pode

efectuar os exerciacutecios propostos abaixa

1 Passe os factores possiacuteveis para dentro de radical

a) 4radic3 b) 2radic23

c) 1

2radic30

60

3 d)

5

9radic

18

125

5 e) 7radic7

7 f)

1199092

3radic119910119909

119909

3

2 Passe os factores possiacuteveis para fora do radical

a) radic27 b) radic2243

c) radic(7

3)145

d) 119909119910radic1

(119909119910)103

e)radic1314

2620

7 f) radic1000

8

4

2

1

2

2

2

2

128 = 27

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33



1 radic48 b) radic163

c) radic1

4

3 d) radic

50

6561

5 e) radic78

7 f) radic

1199101199094

27

3

2 119886) 3radic3 b) 22radic223

c) 49

9radic(

7

3)45

d) 1

(119909)2radic

1

119909119910

3 e)

13

262radic

1

266

7 f) 100radic10


Liccedilatildeo nordm13 PROPRIEDADES DE RADICAIS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as Propriedades de radicais


- Enunciar as propriedades dos radicais

- Aplicar as propriedades dos radicais nas operaccedilotildees com radicais

TEMPO DE ESTUDO


1131 Propriedades de radicais

Os radicais tecircm propriedades bastante importantes que seratildeo aplicadas nas operaccedilotildees com radicais que

satildeo

- Quadrado de uma raiz quadrada

- Potecircncia de um radical

- Radical em que o radicando eacute um radical

1132 Quadrado de uma raiz quadrada

O quadrado de uma raiz quadrada eacute igual ao seu radicando Isto eacute

(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782

+

Ex a) (radic3)2= 3 Porque (radic3)

2= (3

1

2)2

= 31times2

2 = 32

2 = 31 = 3

1133 Potecircncia de um radical

A potecircncia de um radical pode se obter elevando o radicando pela potecircncia

Isto eacute ( radic119886119898 )

119899= radic119886119899

119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873

Ex (radic5)9= radic59

1134 Radical em que o radicando eacute um radical


O radical em que o radicando eacute um radical eacute um radical que se obtecircm pelo produto dos iacutendices e

mantendo o radicando Isto eacute radic radic119886119898119899

= radic119886119899times119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873

Ex radicradic243

= radic23times4

= radic212

ACTIVIDADE Ndeg 13

Caro estudante depois de termos abordado Propriedades de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios

propostos

1 Simplifique os seguintes radicais

a) radic724

b) radic2515

c) radic750100

d) radicradic4 e) radicradicradic234

f) (radic23)3 g) (radicradic4

3)6



c) radic7 d) radic4 4

e) radic224

f) 2 g) 4


Liccedilatildeo nordm14 COMPARACcedilAtildeO DE RADICAIS

Comparaccedilatildeo de radicais


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar as regras de comparaccedilatildeo de radicais dando a continuidade

de radiciaccedilatildeo


- Comparar os radicais

TEMPO DE ESTUDO



1121Comparaccedilatildeo de radicais

Para comparar radicais e necessaacuterio verificar se os iacutendices dos radicais satildeo iguais ou natildeo

1˚- Se os iacutendices forem iguais e radicandos diferentes seraacute maior o radical que tiver maior radicando

Ex a) radic3 gt radic2 porque os iacutendices satildeo iguais e 3 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 2

b) radic5020

lt radic10020

Porque os iacutendices satildeo iguais e 100 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890 50

c) radic1

50

20gt radic

1

100

20 Porque os iacutendices satildeo iguais e

1

50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890

1

100

2˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos iguais seraacute maior o radical que tiver menor iacutendice

a) radic93

gt radic94

Porque 3 eacute menor que 4

b) radic10

2017

10lt radic

10

2017 Porque 2 eacute menor que 10

3˚- Se os iacutendices forem diferentes e radicandos tambeacutem diferentes deve-se calcular o menor muacuteltiplo

comum (mmc) dos iacutendices

Ex a) radic73

____radic54

para compararmos esses radicais devemos calcular o mmc dos indices 3 e 4 neste

caso eacute 12 isto eacute (4) (3)

radic73

___radic54

Passo seguinte multiplicamos os factores 4 e 3 com os iacutendices 3 e 4 respectiva-

mente elevamos os radicandos pelos factores 4 e 3 Assim


radic743times4

___ radic534times3

Entatildeo teremos radic240112

___ radic12512

agora temos iacutendices iguais entatildeo podemos

comparar os radicandos 2401__gt_125 neste caso radic240112

eacute maior que radic12512

Entao

radic73

__gt__radic54

portanto radic73


ACTIVIDADE DA LICcedilAtildeO Nordm12

Caro estudante depois de termos abordado a comparaccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1Compare os seguintes radicais usando os sinais lt gt 119900119906 =

a)radic1

2__radic

2

4 b)radic414

7 __radic33

7 c)radic2

3__radic12

3 d) radic3

4__ radic

1

3

3 e) radic26

16__radic22

3 f)radic

1

4

3__radic

1

2

5


CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO Nordm12

1 a)radic1

2_=_radic

2

4 b)radic414

7 _gt_radic33

7 c)radic2

3_ gt _radic12

3 d) radic3

4_gt_ radic

1

3

3 e) radic26

16_ lt _radic22

3 f)radic

1

4

3_ lt

_radic1

2

5



OPERACcedilOtildeES COM RADICAIS ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO

DE RADICAIS

Operaccedilotildees com radicais adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo


- Adicionar os radicais

- Subtrair os radicais

TEMPO DE ESTUDO


1131Radicais semelhantes

Para adicionar ou subtrair os radicais deve-se verificar os radicais semelhantes

Radicais semelhantes ndash satildeo aqueles que tem o mesmo iacutendice e mesmo radicando

Ex 3radic5radic5minus1

3radic5minus17radic5 Satildeo semelhantes porque tem o radical comum que eacute radic5

Passo seguinte deve-se adicionar ou subtrair os coeficientes dos radicais semelhantes colocando-se em

evidecircncia os radicais semelhantes

Coeficientes ndash satildeo os factores que multiplicam os radicais

Ex nos radicais 3radic5 1radic5minus1

3radic5minus17radic5 Os coeficientes satildeo 3 1 minus

1

3 119890 minus 17

Vamos adicionar e subtrair os radicais abaixo

Ex a) 2radic2 + 8radic2 minus 5radic2 = neste caso o radical comum eacute radic2 entatildeo vamos coloca-lo em evidencia

isto eacute coloca-lo fora de parecircnteses Assim (2 + 8 minus 5)radic2 = depois vamos adicionar e subtrair os

coeficientes(2 + 8 minus 5) Teremos (2 + 8 minus 5)radic2 = (10 minus 5)radic2 = 5radic2

b) Haacute casos em que aparentemente natildeo temos termos semelhantes portanto quando os radicandos satildeo diferentes

Ex 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = neste caso os radicandos satildeo todos diferentes 8 18 e 72


Nesta situaccedilatildeo devemos decompor os radicandos e extrair os factores possiacuteveis para fora dos radicais

Assim

Substituiacutemos na expressatildeo 3radic8 minus 8radic18 + 2radic72 = 3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 =

extaimos os factores possiveis para fora dos radicais assim

3radic23 minus 8radic2 times 32 + 2radic23 times 32 = 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = Multiplicando os

coeficientes teremos 3 times 2radic2 minus 8 times 3radic2 + 2 times 2 times 3radic2 = 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = vamos

colocar em evidecircncia o radical comum 6radic2 minus 24radic2 + 12radic2 = (6 minus 24 + 12)radic2 = subtraiacutemos

e adicionamos os coeficientes (6 minus 24 + 12)radic2 = (minus18 + 12)radic2 = minus6radic2

ACTIVIDADE Ndeg 13

Caro estudante depois de termos abordado adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de radicais vocecirc pode efectuar os

exerciacutecios propostos abaixa

1Calcule as seguintes expressotildees

a)7radic5 minus radic5 minus 3radic5 =

b) minus13radic233

+1

2radic233

=

c) 3radic12 minus 7radic27 + radic48 =

d) 3radic5 + radic20 minus 10radic125

e) radic65

+ 3radic65

minus 2radic65

=

f) 3

2radic18

5+

7

3radic

2

125minus

1

15radic98

5=

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 times 32

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 times 32



1 a)3radic5 b) minus25

2radic23 c) minus11radic3 d) minus45radic5 e) 2radic6 f)

37

15radic2

5



MULTIPLICACcedilAtildeO DIVISAtildeO DE RADICAIS E EXPRESSOtildeES

NUMEacuteRICAS

Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas aplicando as propriedades da radiciaccedilatildeo


- Multiplicar os radicais

- Dividir os radicais

- Simplificar expressotildees numeacutericas

TEMPO DE ESTUDO


1141Multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas

Para multiplicar ou dividir os radicais eacute necessaacuterio verificar se os radicais tecircm o mesmo iacutendice ou natildeo

1˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices iguais

Deve-se manter o radical e multiplicar ou dividir os radicandos no mesmo radical Isto eacute

radic119886119899 times radic119887

119899= radic119886 times 119887

119899 Onde 119886 119887 isin 1198770

+ e 119899 isin 119873

Ex a) radic3 times radic2 = o iacutendice eacute o mesmo n=2 Entatildeo podemos multiplicar os radicandos 3 e 2 no

mesmo radical Assim radic3 times 2 = radic6

b)radic13

5

3 times radic

15

26

3= Os iacutendices satildeo iguais entatildeo multiplicamos os radicandos no mesmo radical

Assim radic13

5

3 times radic

15

23

3= radic

13

5times15

26

3= Decompomos o 15 e 26 para simplificar teremos

radic13

5times15

26

3= radic

13times5times3

5times13times2

3= radic

3

2

3


c) radic275

divide radic35

= os iacutendices satildeo iguais n=5 entatildeo podemos dividir os radicandos no mesmo radical

Assim radic275

divide radic35

= radic27 divide 35

= na forma de fracccedilatildeo fica radic27 divide 35

= radic27

3

5= Decompomos o

27 fica radic27

3

5= radic

3times3times3

3

5= Simplificamos radic

3times3times3

3

5= radic3 times 3

5= radic9

5

2˚- Caso em que os radicais tecircm iacutendices diferentes

Neste caso deve-se calcular o menor muacuteltiplo comum (mmc) dos iacutendices aplicando as propriedades dos

radicais abordadas na liccedilatildeo numero 13 para obtermos o mesmo iacutendice

(4) (3)

Ex a) radic23

times radic54

= radic24(4times3)

times radic53(3times4)

= radic1612

times radic12512

= agora jaacute temos o mesmo iacutendice entatildeo

podemos manter o radical e multiplicar os radicandos Assim radic1612

times radic12512

= radic16 times 12512

=

radic200012

b)radic27

radic2= Calculamos o mmc dos iacutendices Assim

radic27(2)

radic2(7) =

radic222times7

radic277times2 =

radic2214

radic2714 = Dividimos os

radicandos 22 e 27 no mesmo radicando radic22

27

14 Aplicamos a propriedade de divisatildeo de potencias

com a mesma base temos radic22

27

14= radic2(2minus7)

14= radic2minus5

14= Invertemos a base e teremos =

radic(1

2)514

= radic1

32

14

b) Casos em que haacute envolvimento de todas operaccedilotildees aplicamos as mesmas propriedades que

aplicamos nos nuacutemeros racionais na liccedilatildeo nuacutemero 3

Exradic7+radic3timesradic

1

3minusradic7divideradic

1

49

radic1253

divide radic83 = primeiro calculamos a multiplicaccedilatildeo porque estaacute mais a esquerda em relaccedilatildeo

a divisatildeo e depois calculamos a divisatildeo assim radic7+radic3timesradic

1


1

49

radic1253

divide radic83 =

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3= simplificamos

os factores 3 e 1

3 depois transformamos a divisatildeo na multiplicaccedilatildeo no dividendo 7 e no divisor

1

49

decompomos o radicando 49 125

8 assim

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3=

radic7+1minusradic7times49

1

radic(5

2)33

=radic7+1minusradic7times72

5

2

=

radic7+1minusradic73

5

2

= extraiacutemos para fora do radical o factor 7 fica radic7+1minusradic73

5

2

=radic7+1minus7radic7

5

2

subtraiacutemos os

radicais semelhantes radic7119890 minus 7radic7 fica radic7+1minus7radic7

5

2

=(1minus7)radic7+1

5

2

=minus6radic7+1

5

2

= aplicamos a

propriedade da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o numerador e multiplicamos pelo inverso do divisor

assim minus6radic7+1

5

2

=2times(minus6radic7+1)

5= Aplicamos a propriedade distributiva de multiplicaccedilatildeo em relaccedilatildeo a

adiccedilatildeo assim 2times(minus6radic7+1)

5=

2times(minus6radic7)+2times1

5=

minus12radic7+2

5= Aplicando a propriedade comutativa para

organizar a expressatildeo teremos minus12radic7+2

5=

2minus12radic7

5


ACTIVIDADE Ndeg 14

Caro estudante depois de termos abordado a multiplicaccedilatildeo divisatildeo de radicais e expressotildees numeacutericas vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1Efectue as seguintes operaccedilotildees

a)7radic5 times radic5 =

b) minus13radic7

2

3times

1

26radic1

7

3=

c) 3radic2 times 7radic2 times radic1

4=

d) radic16 divide radic8 =

e) radic65

divide radic125

=

f) 3

2radic5 + radic8

3divide radic64

3minus

3

2radic5 =

g) 3radic8times13radic5

7radic16times10radic10=

h) (3+7)radic2times5(radic3)

2

7times7radic32


1 a)35 b) minus1

2radic1

2 c) 21 d) radic2 e) radic

1

2

5 f)

1

2 g)

39

140 h)

75

98


ACTIVIDADES UNIDADE N˚-1 PREPARACcedilAtildeO PARA TESTE

Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 1 pode prestar a seguinte actividade

1 Considere as proposiccedilotildees abaixo indique as falsas por F e as verdadeiras por V

a) 1

2 eacute um numero natural( )

b) 355 eacute um numero irracional ( )

c) 120587 eacute um numero real ( )

d) 119876 eacute subconjunto de 119877 ( )

e) 025(55) Tem dizima infinita perioacutedica ( )

f) radic13 eacute um numero irracional ( )

g) radic13 eacute um numero real ( )

2 Calcule as seguintes expressotildees

a) minus(minus5) + (minus8) minus (minus1)+(+10) =

b) minus2017 + 2000 minus (+17) =

c) minus(2

3) + (minus

1

2) minus 1

d) 7

3+ 8 minus

1

3+

9

2=

e) 1minus3

2+

3

6minus

5

3minus (minus

5

9+ 7) =

f) (+077) + (minus9

2) minus (minus7) minus (+

77

100) +

(minus203) =

g) 4 minus1

2minus [2 + (minus

7

3+

1

4)] + 7 =

3 Simplifique e calcule

a) minus6 times (minus9) divide (18) =

b) (minus5) + (minus1

2) times (minus

8

3) minus 9 =

c) minus3(minus2 + 8) minus7

10times20

3divide (minus

2

10) =

d) minus10 minus (minus7) divide (minus7) times 100 =

e) 24

6times1

2+ 23 minus

2

3divide

8

9=

f) (2 divide 3 +2

3divide 3) divide (16 minus 2 times 7) + 15 minus 15 =

1


4 Calcule os seguintes quadrados

a) 162 b) (minus13)2 c) (1

10)2

d) 0032 e) (1

5)2

f) 0222

5Calcule a aacuterea de um quadrado cujo lado mede

a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898

6 Determine as raiacutezes quadradas abaixo usando a taacutebua

a) radic90 b) radic045 c) radic625 d) radic49 e) radic207 f)radic555

7 Determine a raiz quadrada com duas casas decimais das expresses abaixo e apresente o respectivo resto

a)radic145 b) radic257 c) radic1458 d) radic9359 e) radic47893 f) radic789459

8 Represente os nuacutemeros seguintes na recta graduada

a)minus14

5 b) 035 c) radic1 d) minusradic2 e) radic3 f) radic3 minus 4 g)radic9 h) radic7


a) radic643

b) radicminus83

c) radic27

125

3 d) radicminus729

3 e) radic2197

3 f) radic0008

3 g) radic0125

3

10 Escreve os seguintes radicais sob forma de potecircncia de expoente fraccionaacuteria

a)radic1

2 b) radic2

3 c) radic255

10 d) radic(

1

15)217

e) radic11990923

f) radic(minus2017

17)66

g)radic(58)4

11 Determine o valor das seguintes potecircncias

a)1441

2 b) 251

2 c)(minus125

8)

2

6d) 27

1

3 e) radic4

3

4

f) 1961

4 g)radic2

3

36

12 Passe os factores para dentro dos radicais

a) 7radic2 b) 1

3radic9

2 c) 12radic2119909 d)9radic

2

81

3 e)3radic31199102

3 f) 1198862119887radic

119887

119886

3 g) minus2radic

1

7

13Passe os factores possiacuteveis para fora de radical

a) radic33 b)radic453

c) radic(5

3)147

d) radic543

e)radic3 times 1253

f) radic200 g)radic64

27

3



a) radic14515

b) radic(7

14)28

c) radic(1

2017)1001000

d)radicradic(3

8)4

e) radicradicradic3184

3

f) (radicradic(27

8)

35

)

25

15 Compare os seguintes radicais

a) radic7----radic18

2 b) radic

1

8

3 ---radic0002

3 c)radic10----radic10

5 d)radic

8

9

7----radic

8

9

3 e) radic8----radic5

3 f) radic

5

3

3 ----radic

1

2

5

16 Simplifique as seguintes expressotildees

a) 3radic2 + 7radic2 +1

2radic2 b) 9radic20 minus 11radic20+ 3radic20 c) minus

1

3radic1

5

3+

7

3radic1

5

3minus 7radic

1

5

3

d) radic12 minus radic27 minus radic48 e) 10radic5 + radic125 + radic20 f) radic150 + radic96 minus radic216

17 Efectue as seguintes operaccedilotildees

a) 5radic7times6radic6

6radic16times10radic7 b)

(17+2)radic3times5(radic5)2

6times19radic150 c)

radic5minusradic20

radic5+ radic5 minus radic(

5

3)63

d) radic1199095

times radic11991125

divide radic11990921199115

radic1199091199115 119909 ne 0

e) (2radic63 minus 4radic28) times 3radic18 minus (radic2 + 7radic32) times1

2radic7 f)

(1

3radic33

)3minus radic1253

1

2( radic63 )

6


CHAVE-DE-CORRECCcedilAtildeO DA UNIDADE N˚ 120783

1a) F a) F c) V d) V e) V f) V g) V

2a) 8 b)-34c)minus13

6 d)

87

6 e)minus

155

18 f)

47

100 g)

127

12

3 a) 3 b) minus38

3 c) minus

16

3 d)minus110 e)

97

4f)

4

9

4 a) 256 b) 169 c) 1

100 d)

9

10000 e)

1

25f)

484

10000

5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982

6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498

7a) 1204 resto 00384 b) 1603 resto 003011 c) 3818 resto 02876 d) 9674 resto 03724

e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898

8 radic3 minus 4

A

minus14

5 minusradic2 0 035 radic7

radic1 radic3 radic9

9 a) 4 b) -2 c) 3

5 d) -9 e) 13 f)

1

5 g)

1

2

10a) (1

2)

1

2 b) 2

1

3 c) 251

2 d) (1

15)3

e) 1199092

3 f) 2017

17 g) 582

11 a) 12 b) 5 c) minus5

2 d) 3 e)

16

9 f) radic14 g)

4

9


12a) radic98 b) radic1

2 c) radic288119909 d)radic18

3 e) radic811199102

3 f) radic11988631198877 g) minusradic

4

7

13a) 3radic3 b) 4radic43

c) 25

9 d) 3radic2

3 e) 5radic3

3 f) 10radic2 g)

4

3

14a) radic143

b) radic1

2

4 c) radic

1

2017

10 d)

3

8 e) radic3 f) radic(

27

8)53

15 a) radic7 lt radic18

2 b) radic

1

8

3 gt radic0002

3 c)radic10 gt radic10

5 d)radic

8

9

7lt radic

8

9

3 e) radic8 gt radic5

3 f) radic

5

3

3 gt radic

1

2

5

16a) 21

2radic2 b) radic20 c) minus5radic

1

5

3 d) minus5radic3 e)17radic5 f) 3radic6

17 a) radic6

8 b)

5

6radic1

2c)minus

34

9+ radic5 d) radic

1

1199092

5 e) minus

65

2radic14 f)minus

7

27


Unidade2

INEQUACcedilOtildeES E SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES LINEARES

INTRODUCcedilAtildeO DA UNIDADE TEMAacuteTICA N˚2

Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees que

ainda eacute continuaccedilatildeo de operaccedilotildees com nuacutemeros reais


- Definir os intervalos nume ricos

- Identificar os intervalos limitados e ilimitados

- Operar os intervalos com os sinais de reuniatildeo e

intersecccedilatildeo

- Aplicar intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees

- Resolver sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos

numeacutericos

Resultados de aprendizagem

Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre inequaccedilotildees e sistema de inequaccedilotildees

Vocecirc

- Define os intervalos nume ricos

- Identifica os intervalos limitados e ilimitados

Opera os intervalos com os sinais de reuniatildeo e intersecccedilatildeo

- Aplica intervalos numeacutericos na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees

- Resolve sistemas de inequaccedilotildees aplicando intervalos

numeacutericos


Caro estudante para o estudo desta unidade temaacutetica vocecirc vai precisar de 12horas




2



INTERVALOS NUMEacuteRICOS LIMITADOS E ILIMITADOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados



- Representar os intervalos no eixo real

TEMPO DE ESTUDO


211 Intervalos numeacutericos limitados e ilimitados

Caro estudante vocecirc jaacute abordou os conjuntos numeacutericos NZQI e R se pretendermos representar um

conjunto de nuacutemeros que pertenccedila a qualquer um dos conjuntos acima citados podemos facilmente

usar intervalos numeacutericos

Ex1 Representemos todos os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 Na recta teremos

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Repara que satildeo muitos nuacutemeros que pertencem a esta distacircncia de minus3 e +2 por exemplo -25-2-120587

-15-0250+12+10

8+199 etc Portanto satildeo muitos nuacutemeros que dificilmente podemos

contabiliza-los Entatildeo para representarmos todos os nuacutemeros usamos intervalos numeacutericos

Os nuacutemeros compreendidos entre minus3 e +2 representam-se de seguinte modo

]minus3+2[- Lecirc-se intervalo aberto a esquerda e a direita de extremos minus3 e +2 Ou

]minus3+2[=119909 isin 119877minus3 lt 119909 lt +2


No eixo real representa-se de seguinte forma

-3 0 +2

Ex2 Representemos os nuacutemeros maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a +2

Em forma de intervalos fica [minus3+2]- lecirc-se intervalo fechado a esquerda e a direita com os extremos -

3 e +2 Ou [minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 le 119909 le +2


-3 0 -2

Repara que as bolas estatildeo pintadas Isto significa que os intervalos estatildeo fechados

212 Intervalos abertos de extremos a e b representam-se de seguinte modo

]119938 119939[=119961 isin 119929 119938 lt 119909 lt 119887 lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor que x

e x eacute menor que b

12Intervalos fechados de extremos a e b representam se de seguinte modo

[119886 119887] = 119961 isin 119929 119938 le 119961 le 119939 Lecirc-se x pertence ao conjunto de nuacutemeros reais tal que a eacute menor ou

igual a x e x eacute menor ou igual a b

213 Intervalo fechado agrave esquerda e aberto agrave direita

Representa-se da seguinte maneira [119886 119887[ = 119909 isin 119877 119886 le 119909 lt 119887 pare este caso o elemento b natildeo

pertence ao conjunto porque o intervalo neste extremo estaacute aberto

Ex [minus3+2[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo

-3 0 +2

Portanto o elemento +2 natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto

214 Intervalo aberto agrave esquerda e fechado agrave direita

Representa-se da seguinte maneira ]119886 119887] = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 le 119887 pare este caso o elemento a natildeo



Ex ]minus3+2] = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo

-3 0 +2

Para este caso o elemento -3 natildeo pertence ao conjunto porque tem intervalo aberto

215 Semi-intervalo fechado agrave esquerda

Representa-se da seguinte maneira [119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo directo eacute

infinito

Ex [minus3+infin[ = 119909 isin 119877minus3 le 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo

-3 0 +infin

216 Semi-intervalo fechado agrave direita

Representa-se da seguinte maneira ]minusinfin 119887] = 119909 isin 119877 119909 le 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute

infinito

Ex ]minusinfin+2] = 119909 isin 119877 119909 le +2 No eixo real representa-se de seguinte modo

minusinfin 0 +2 +infin

217Semi-intervalo aberto agrave esquerda

Representa-se da seguinte maneira ]119886 +infin[ = 119909 isin 119877 119886 lt 119909 pare este caso o extremo esquerdo

natildeo pertence ao intervalo e o extremo directo eacute infinito

Ex ]minus3 +infin[ = 119909 isin 119877minus3 lt 119909 No eixo real representa-se de seguinte modo

-3 0 +infin


218 Semi-intervalo aberto agrave direita

Representa-se da seguinte maneira ]+infin 119887[ = 119909 isin 119877 119909 lt 119887 pare este caso o extremo esquerdo eacute

infinito e o extremo directo natildeo pertence ao conjunto porque o intervalo estaacute aberto

Ex ]minusinfin+2[ = 119909 isin 119877 119909 lt +2 No eixo real representa-se de seguinte modo

minusinfin 0 +2


Caro estudante depois de termos abordado os Intervalos numeacutericos limitados e ilimitadosvocecirc pode


1Represente no eixo real os seguintes intervalos

a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1

2 0[ c)119862 = [minusradic5minusradic2[ d) 119863 = ]minusinfin

10

7]

e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5

3 +infin[

2Represente no eixo real e sob a forma de intervalos os seguintes conjuntos

a) 119860 = 119909 isin 119877 119909 ge minus4 b) 119861 = 119909 isin 119877minusradic3 le 119909 c) 119862 = 119909 isin 119877minus7

3le 119909 lt +11

d) 119863 = 119909 isin 119877 6 le 119909 e) 119864 = 119909 isin 119877minus14 le 119909 lt 0 f) 119865 = 119909 isin 119877 12 lt 119909 lt +13

3 Complete com os siacutembolos isin 119900119906 notin de modo a obter proposiccedilotildees verdadeiras

a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17

3----]minusinfinminus6] d) 0----]0 025[ e)

1

8----[minus1 1]



1

a) b)

-5 0 +1 minus1

2 0

c) d)

minusradic5 minusradic2 0 minusinfin 0 10

7

e) f)

-4 0 +infin 0 5

3 infin

2

a) [minus4+infin[

-4 0

b) [minusradic3+infin[

minusradic3 0


c)

[minus7

3 +11[

minus7

3 0 +11

d)

[6+infin[

0 6 +infin

e) [minus14 0[

-14 0

f) ]1213[

0 12 13

3

a) -4notin [04] b) +3notin [minus1+3[ c) minus17

3notin ]minusinfinminus6] d) 0 notin ]0 025[ e)

1

8isin [minus1 1]



REUNIAtildeO E INTERSECCcedilAtildeO DE INTERVALOS NUMEacuteRICO


Caro estudante depois de ter abordado intervalos numeacutericos vocecirc jaacute pode opera-los com a reuniatildeo e

intersecccedilatildeo de intervalos Seraacute o tema por abordar nesta liccedilatildeo


- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo reuniatildeo

- Operar os intervalos com a operaccedilatildeo intersecccedilatildeo

- Identificar o intervalo soluccedilatildeo nas operaccedilotildees com conjuntos numeacutericos

TEMPO DE ESTUDO


221Reuniatildeo dos intervalos A e B- eacute a junccedilatildeo de todos os elementos de A com os de B atraveacutes do

siacutembolo cup (119955119942119958119951119946atilde119952) Representa-se de seguinte modo AcupB

A reuniatildeo de intervalos pode ser representada no eixo real

Ex Consideremos os intervalos A=[minus5 4] e B=]05[ A reuniatildeo dos conjuntos A e B seraacute

AcupB=[minus5 4] cup ]0 5[=[minus5 5[

Graficamente representa-se de seguinte modo B

A

-5 0 4 5


222 Intersecccedilatildeo de intervalos A e B- satildeo todos os elementos de intervalo A que perecem tambeacutem

ao intervalo B Isto eacute satildeo todos os elementos que pertencem ao mesmo tempo em A e em B Eacute

representado pelo siacutembolo cap (119946119951119957119942119955119956119942119940119940atilde119952) Isto eacute AcapB=[minus120787 120786] cap ]120782 120787[=]120782 120786]


Graficamente representa-se pelo diagrama acima a intersecccedilatildeo eacute a parte onde os tracejados cruzam-se tipo uma rede Veja a figura

0 4

Em certos casos eacute possiacutevel obtermos as duas operaccedilotildees na mesma expressatildeo reuniatildeo e intersecccedilatildeo de

intervalos

Ex consideremos os intervalos ou conjuntos seguintes A=]minus11

2[ B=[03[ e C=[minus

1

2 4]

Determinemos AcapBcupC= Primeiro determinamos AcapB= teremos

-2 -1 0 1

2 1 2 3

Entatildeo AcapB=[01

2[ que eacute o intervalo que se formou a rede dos dois tracejados Depois podemos

calcular AcapBcupC= que seraacute o resultado de AcapB=[01

2[ e reuniatildeo com C=[minus

1

2 4] no eixo real

teremos

-3 -2 -1 minus1

2 0

1

2 1 2 3 4

Portanto AcapBcupC=[01

2[ cup [minus

1

2 4] = [minus

1

2 4]


Caro estudante depois de termos abordado reuniatildeo e intersecccedilatildeo de intervalos numeacutericos vocecirc pode

efectuar os exerciacutecios propostos

1Considere os conjuntos abaixo

119860 = [minus5+1] 119861 = ]minusinfin10

7] e C=]minus

15

2 +

1

2[ Determine

a) 119860 cup 119862 b)119860 cap 119861 c) 119860 cup 119861 cap 119862 d) (119862 cap 119861) cup 119860



a)]minus15

2 1] b) [minus5

10

7] c) ]minus

15

21

2[ d)]minus

15

210

7]



NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO ANALIacuteTICA GEOMEacuteTRICA DE

INEQUACcedilOtildeES LINEARES


Caro estudante termos abordados operaccedilotildees com intervalos numeacutericos nesta liccedilatildeo vamos abordar

inequaccedilotildees lineares


-Identificar uma inequaccedilatildeo linear

-determinar soluccedilotildees de inequaccedilotildees lineares

-Aplicar os meacutetodos analiacutetico e geomeacutetrico na resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares

TEMPO DE ESTUDO


231 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo analiacutetica geomeacutetrica de inequaccedilotildees lineares

Inequaccedilotildees linear eacute uma desigualdade entre expressotildees que envolvem variaacuteveis ou incoacutegnitas ( letras ex xyzhellip)

Exemplos de inequaccedilotildees lineares

a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1

2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)

2119911+2+119911

9ge 1

Portanto numa inequaccedilatildeo linear temos o primeiro membro e Segundo membro

Ex para inequacao 119961 + 120785 gt 0 o primeiro membro eacute 119961 + 120785 e o segundo membro eacute 120782

Portanto podemos coloca-los os elementos de uma inequaccedilatildeo numa tabela assim

Inequaccedilatildeo 1˚membro 2˚membro Termo Variaacutevel

119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909

3119909 + 1 le1

2119909

3119909 + 1 1

2119909 3119909 1

1

2119909

119909

3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 3119910 minus 5 22119910 minus 6 3119910minus5 22119910minus6 119910


2119911 + 2 + 119911

9ge 1

2119911 + 2 + 119911

9

1 1

9 2119911 2 119911 1

119911

232 Resoluccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares

Para resolvermos inequaccedilotildees lineares devemos obedecer o seguinte

1˚ -Agrupar os termos dependentes no primeiro membro termos dependentes satildeo aqueles que

estatildeo multiplicados com variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo x 3x 1

21199093y22y2zz

2˚-Agrupar os termos independentes no segundo membro termos independentes satildeo aqueles

que natildeo estatildeo multiplicados com as variaacuteveis Ex para os termos da tabela acima satildeo 301-5-61

92

3˚-Adicionar ou subtrair os termos dependentes e os termos independentes

4˚-Insolar a variaacutevel em estudo passando o seu coeficiente para o segundo membro a dividir se no

primeiro membro estiver a multiplicar e vice-versa

5˚-Representar a soluccedilatildeo em forma de intervalos numeacutericos com ajuda de eixo real

Ex resolva a inequaccedilatildeoa) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6

1˚-passo 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 harr 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 veja que agrupamos os termos dependentes

no primeiro membro e os independentes no segundo membro

2˚-passo 3119910 minus 22119910 lt minus6 + 5 harr minus19119910 lt minus1 veja que subtraiacutemos e adicionamos os termos do

primeiro membro e de segundo membro

minus120783120791119962 lt minus1 para resolver esta inequaccedilatildeo temos que eliminar o sinal negativo de coeficiente de y

para tal temos que aplicar o PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Diz o seguinte se multiplicarmos dividir subtrair ou adicionar ambos os membros de

uma inequaccedilatildeo com o mesmo valor o resultado natildeo altera

Entatildeo para nossa inequaccedilatildeo minus120783120791119962 lt minus1 vamos multiplicar ambos os membros por (-1)

Teremos (minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) vamos multiplicar os sinais ao fazermos essa operaccedilatildeo o sinal de

desigualdade lt vai mudar da sua posiccedilatildeo e ficaraacute de seguinte modo

(minus1) minus 120783120791119962 lt minus1(minus120783) harr+120783120791119962 gt +1 entatildeo jaacute podemos aplicar o 4˚ passo isolar a variaacutevel y

assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783

120783120791 entatildeo jaacute podemos representar a soluccedilatildeo com ajuda do eixo real assim

0 1

19 +infin

Soluccedilatildeo 119910 isin ]1

19 +infin[


b)3(3minus119909)

3+

3119909minus1

4lt 1 minus

119909minus1

2 para este caso primeiro temos que calcular o mmc Assim

3(3 minus 119909)

3(4)

+3119909 minus 1

4(3)

lt1

1(12)

minus119909 minus 1

2(6)

Teremos 4times3(3minus119909)

12+

3times(3119909minus1)

12lt

12

12minus


12 aplicamos a propriedade distributiva Fica

harr 12(3minus119909)

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12harr

36minus12119909

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12 podemos eliminar o denominador

aplicando o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado no exa) Fica

36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) distribuiacutemos o sinal negativo para eliminar parecircnteses

Teremos 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus (6119909 minus 6) harr 36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6

agora podemos aplicar as regras abordadas no exa) Agrupamos os termos independentes no segundo

membro e os dependentes no primeiro membro Fica

36 minus 12119909 + 9119909 minus 3 lt 12 minus 6119909 + 6 harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 vamos

adicionar e subtrair os termos harr minus12119909 + 9119909 + 6119909 lt 12 + 6 minus 36 + 3 harr 3119909 lt minus15 para este

caso natildeo precisamos de multiplicar ambos os membros por (-1) porque o coeficiente 3 de x eacute positivo

Teremos harr 3119909 lt minus15 vamos isolar o x assim harr 3119909 lt minus15 harr 119909 lt minus15

3harr 119909 lt minus5 podemos

representar a soluccedilatildeo com auxiacutelio do eixo real

minusinfin -5 0

Soluccedilatildeo 119909 isin ]minusinfinminus5[



Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de inequaccedilotildees lineares vocecirc pode efectuar os

exerciacutecios propostos

1Resolva as inequaccedilotildees lineares abaixo

a) 2119909 +6

2lt 119909 minus 4

b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909

c)(2119909 minus 1) minus (7119909 + 2) + 1 ge 2119909 minus 2

d)1

2(2119909 minus 1) + 1 ge

3

2(119909 minus

1

2)

e) 8 minus119909

3le minus5119909 minus (2 minus 3119909)


1 a)119909 lt minus7 b)119909 lt minus3

2 c)119909 lt 0 d) 119909 le

5

2 e)119909 lt minus6


LICcedilAtildeO Nordm4

NOCcedilAtildeO E RESOLUCcedilAtildeO DE SISTEMA DE INEQUACcedilOtildeES

LINEARES COM UMA VARIAacuteVEL


Caro estudante as inequaccedilotildees lineares podem ser resolvidas numa expressatildeo conjunta deste modo

obter-se a soluccedilatildeo comum


-Determinar as soluccedilotildees do sistema de inequaccedilotildees a uma variaacutevel

-Representar as soluccedilotildees analiacutetica e geometricamente

TEMPO DE ESTUDO


241 Noccedilatildeo e Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel

O sistema de inequaccedilotildees agrave uma variaacutevel ndash eacute uma expressatildeo que eacute formada por duas inequaccedilotildees

Representa-se da seguinte maneira

119886119909 + 119887 lt 119888119886prime119909 + 119887prime ge 119888prime

onde (119886 ne 0 119886prime ne 0 119887 119887prime 119888 119890 119888 )120598119877

Ex a) 119909 minus 3 lt 0

1

3119909 + 7 ge minus3 b)

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9

242 Resoluccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares agrave uma variaacutevel

1˚- Resolver as inequaccedilotildees separadamente obedecendo as regras abordadas na liccedilatildeo nuacutemero 3

2˚- Representar as soluccedilotildees das duas inequaccedilotildees no mesmo eixo real

3˚- Identificar a soluccedilatildeo do sistema de inequaccedilotildees que eacute o intervalo comum das duas inequaccedilotildees

Ex1 Vamos resolver o sistema seguinte 119909 minus 3 lt 0

1

3119909 + 7 ge minus3

Primeiro resolvemos a inadequaccedilatildeo 119909 minus 3 lt 0 e depois a inadequaccedilatildeo 1

3119909 + 7 ge minus3 Isto eacute


119909 minus 3 lt 0

1

3119909 + 7 ge minus3 harr

119909 lt 0 + 31

3119909 ge minus7 minus 3 mantemos os termos dependentes no primeiro membro e os

termos independentes no segundo membro em seguida adicionamos e subtraiacutemos os termos

independentes Assim harr 119909 lt 0 + 3

1

3119909 ge minus7 minus 3 harr

119909 lt 31

3119909 ge minus10 a primeira inequaccedilatildeo jaacute estaacute resolvida

resolvamos o segunda inequaccedilatildeo passamos o coeficiente 1

3 para o segundo membro e passa a dividir

porque no primeiro membro estaacute a multiplicar com x fica harr 119909 lt 3

1

3119909 ge minus10 harr

119909 lt 3

119909 geminus101

3

aplicamos

as propriedades da divisatildeo de fracccedilotildees mantemos o dividendo -10 e multiplicamos pelo inverso de 1

3 o

inverso eacute 3

1 entatildeo teremos harr

119909 lt 3

119909 geminus101

3

harr 119909 lt 3

119909 ge minus10 times3

1

harr 119909 lt 3

119909 ge minus10 times 3harr

119909 lt 3119909 ge minus30

Assim

jaacute resolvemos o sistema agora vamos representar a soluccedilatildeo no eixo real

Teremos

-30 0 3 +infin

Entatildeo a soluccedilatildeo seraacute o intervalo 119930119952119949 119961120656[minus120785120782 120785[

Ex2

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9

para este sistema de inequaccedilotildees devemos calcular o mmc dos

denominadores das duas inequaccedilotildees assim harr

119909minus24(5)

minus2119909minus12

(10)

gt1199095(4)

3minus511990929

ge5118

minus2119909+392

harr

5(119909minus2)

20minus

10(2119909minus1)

20gt

4119909

209(3minus5119909)

18ge

18times5

18minus

2(2119909+3)

18

Como jaacute calculamos o mmc em ambos os membros entatildeo podemos eliminar os denominadores e

teremosharr 5(119909 minus 2) minus 10(2119909 minus 1) gt 4119909

9(3 minus 5119909) ge 18 times 5 minus 2(2119909 + 3) aplicando a propriedade distributiva teremos

harr 5119909 minus 10 minus 20119909 + 10 gt 411990927 minus 45119909 ge 90 minus 4119909 minus 6

agora podemos agrupar os termos dependentes no primeiro

membro e os independentes no segundo membro assim

harr 5119909 minus 20119909 minus 4119909+gt 10 minus 10minus45119909 + 4119909 ge 90 minus 6 minus 27

adicionamos os termos semelhantes e teremos

harr minus19119909 gt 0minus41119909 ge 57

multiplicamos ambos os membros por (-1) para torna-los positivos os coeficientes -

19 e -41 os sinais de desigualdades vatildeo mudar de posiccedilatildeo segundo o princiacutepio de equivalecircncia jaacute abordado na liccedilatildeo 3 Entatildeo teremos


harr (minus1) minus 19119909 gt 0(minus1)(minus1) minus 41119909 ge 57(minus1)

harr 19119909 lt 041119909 le minus57

passamos os coeficientes 19 e 41 a dividir no

segundo membro assim harr 19119909 lt 041119909 le minus57

harr119909 lt

0

19

119909 leminus57

41

harr119909 lt 0

119909 leminus57

41

vamos representar as soluccedilotildees

no eixo real Assim

minusinfin minus57

41 0 +infin

Logo a soluccedilatildeo seraacute 119930119952119949 119961120656 ]minusinfinminus120787120789

120786120783]

Ex3

(119909+3)

2le minus9

119909 minus 3 gt1

3(119909 minus 2)

calculamos o mmc em ambos os membrosharr

(119909+3)2(1)

le minus91(2)

119909minus31(3)

gt13(1)

(119909 minus 2)harr

1(119909 + 3) le minus18

3(119909 minus 3) gt 1(119909 minus 2) aplicamos a propriedade distributiva fica harr

119909 + 3 le minus183119909 minus 9 gt 119909 minus 2

agrupamos

os termos semelhantes no primeiro membro e no segundo membro assim

harr 119909 le minus18 minus 3

3119909 minus 119909 gt minus2 + 9harr

119909 le minus212119909 gt 7

harr 119909 le minus21

119909 gt7

2

representamos a soluccedilatildeo no eixo real assim

-21 0 120789

120784

Para este caso o sistema de inequaccedilotildees natildeo tem soluccedilatildeo seraacute conjunto vazio porque os intervalos natildeo se intersectam Entatildeo fica

119930119952119949 119961 120656 empty



Caro estudante depois de termos abordado Noccedilatildeo de sistema de inequaccedilotildees lineares com uma variaacutevel


1Resolva os seguintes sistemas de inequaccedilotildees lineares

a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2

b) 119909

2+ 3119909 ge 3

minus2119909 gt 2 minus 3119909

c)119909 minus

119909minus2

2le 2

2119909 le7119909

2minus

1

2

d)

2(119909minus2)

2minus

3(119909+2)

3lt

119909+1

6

2 minus3(119909+2)

2lt 119909 +

119909minus1

4

e) 1 minus

2

3(119909 + 3) ge

7(1minus2119909)

41

2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909


1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2

3 2[ c)[

2

3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [

33

347

5[




1 Represente as seguintes inequaccedilotildees no eixo real e sob a notaccedilatildeo de intervalos

a) 119909 gt 0 b) 119909 le1

2 c) minus4 lt 119909 le +8 d) minus

radic2

2le 119909 le +

radic2

2 e) minus025 gt 119909 ge minus

1

3

2 Considere os conjuntos 119860 = [minus37

2] 119861 = [05[ e 119862 = [minus2+infin[ Determine

a) 119860 cup 119861 b) 119860 cap 119861 c) (119861 cap 119862) cup 119860 d) 119861 cup 119862 cap 119860

3 Resolve as seguintes inequaccedilotildees

a)3119909 minus 1 lt 7 b) 6119909 + 2 le 2119909 minus 8 c) 1

2lt

4119909minus1

4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (

1

3119909 + 9)

e) 119910minus1

2minus

(2119910+3)

3gt

119910

6 f) minus4119909 + 6 ge

3

4119909 +

2minus119909

3

4 Resolva os sistemas de inequaccedilotildees seguintes

a)119909 minus 4 gt 5 minus

2

3119909

3

2(119909 minus 3) le 119909 + 1

b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0

9

2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6

c)

119909minus7

5lt 119909 minus

1

21minus(2119909minus2)

3minus 119909 gt minus1

d) 4 minus 7119909 +

3minus119909

5gt 2


3minus (2119909 minus 1) lt minus119909



1a)

]0+infin[

0 +infin

]minusinfin1

2]

b)

0 1

2

c) ]minus4 8]

-4 0 8

d)

[minusradic2

2radic2

2]

minusradic2

2 0

radic2

2

d) [minus1

3 minus025[

minus1

3 minus025 0

2a) [minus3 5[ b)[07

2[c)[minus3 5[ d)[minus2

7

2]

3 a) ]minusinfin8

3[ b) ]minusinfinminus

5

2[ c) ]

3

4 +infin[ d)[8+infin[ e)]minusinfinminus

9

2]f) ]minusinfin

64

53[

4 a) 119909120598 ]27

5 11] b) [1+infin[ c) ]minus

9

86

5[d)119909120598empty


UNIDADE 3 NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E POLINOacuteMIOS


Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar

monoacutemios polinoacutemios e as suas operaccedilotildees


- Identificar monoacutemios e polinoacutemios

- Determinar os graus de monoacutemio e polinoacutemios

- Identificar os componentes de monoacutemios e polinoacutemios

- Operar os monoacutemios e polinoacutemios


Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre monoacutemios e polinoacutemios

Vocecirc

- Identifica monoacutemios e polinoacutemios

- Determina os graus de monoacutemio e polinoacutemios

- Identifica os componentes de monoacutemios e polinoacutemios

- Opera os monoacutemios e polinoacutemios




Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de- Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e reacutegua

3



NOCcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS E GRAU DE UM MONOacuteMIO


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar os monoacutemios que vatildeo sustentar a definiccedilatildeo de polinoacutemios


- Definir monoacutemios

- Identificar os componentes de monoacutemios

- Determinar o grau de um monoacutemio

- Identificar os monoacutemios semelhantes

TEMPO DE ESTUDO


311Noccedilatildeo de monoacutemios

Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos continuar a operar com o conjunto dos nuacutemeros reais mas com a

introduccedilatildeo de diferentes variaacuteveis

Ex Consideremos a multiplicaccedilatildeo dos seguintes valores minusradic120785

120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos

minusradic120785

120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 portanto a multiplicaccedilatildeo destes valores pode ser feita com a omissatildeo do

sinal de multiplicaccedilatildeo (times ) entatildeo teremos minusradic120785

120784times (119935) times 119936120784 times 119937120783120782 = minus

radic120785

120784119935119936120784119937120783120782

Monoacutemio eacute a expressatildeo que resulta da multiplicaccedilatildeo de nuacutemerominusradic120785

120784 com as respectivas

letras 119935119936120784119937120783120782

Podemos considerar outros exemplos de monoacutemios tais como 3119909 1

51199052 minus

11989611989711990320

2 minus24 +1001198861199092

etc

312 Componentes de monoacutemios

Um monoacutemio eacute composto por coeficiente e parte literal

Coeficiente eacute o nuacutemero que multiplica-se com as letras

Ex a) minusradic120785

120784119935119936120784119937120783120782 - neste monoacutemio o coeficiente eacute minus

radic120785

120784

b) 3119909- Coeficiente eacute 3


c) 1

51199052- Coeficiente eacute

1

5

d) minus11989611989711990320

2 - Coeficiente eacute minus

1

2 porque no numerado 119948119949119955120784120782 temos o valor 1 que

multiplica ficando 1times (119948119949119955120784120782) entatildeo minus11989611989711990320

2= minus

1times(11989611989711990320)

2 logo coeficiente eacute

minus1

2

e) minus24- Coeficiente eacute -24

f) +100 - Coeficiente eacute +100

g) 1198861199092 - Coeficiente eacute 1

Parte literal eacute a parte composta pelas letras


120784119935119936120784119937120783120782 neste monoacutemio a parte literal eacute 119935119936120784119937120783120782

b) 3119909- Parte literal eacute 119961

c) 1

51199052- Parte literal eacute 119957120784

d) minus119896119897r20

2 - Parte literal eacute 119948119949119955120784120782

e) minus24- Natildeo tem a parte literal

f) +100 - Natildeo tem a parte literal

g) 1198861199092 - Parte literal eacute 119938119961120784

Grau de um monoacutemio ndash eacute a soma dos expoentes da parte literal


120784119935119936120784119937120783120782 para este monoacutemio a parte literal 119935119936120784119937120783120782 = 119935120783119936120784119937120783120782 o expoente de 119935 eacute 1

de Y eacute 2 e de Z eacute10 Entatildeo a soma dos expoentes seraacute 1 + 2 + 10 = 13

Logo o grau de monoacutemio minusradic120785

120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13

b) 3119909- O grau eacute 1

c) 1

51199052- O grau eacute 2

d) minus11989611989711990320

2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22

e) minus24- O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal

f) +100 - O grau eacute 0 (zero) porque natildeo tem a parte literal

g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3

313 Monoacutemios semelhantes ndash satildeo todos aqueles que tecircm a mesma parte literal

Ex radic5020

3119909119910 1199111199051198962 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 20171198962119905119911 1980

Para o exemplo acima os monoacutemios semelhantes satildeo


a) 3119909119910 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 esses monoacutemios satildeo semelhantes porque tecircm a mesma parte literal a pesar

da propriedade comutativa entre os monoacutemios minusradic3

3119910119909

119909119910

20

b) 1199111199051198962 20171198962119905119911 Tambeacutem satildeo monoacutemios semelhantes apesar da propriedade comutativa entre as letras

c) radic5020

1980 Satildeo monoacutemios semelhantes porque ambos natildeo tecircm a parte literal


Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os exerciacutecios

propostos abaixo

1Verifique se as expressotildees seguintes satildeo ou natildeo monoacutemios e nos casos afirmativos indique os

coeficientes e partes literais

a) 119909119892119896 b) minus10

7119911 + 119889 c)

2017

25 d)

ℎ1199111199055

4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2

3 h) 45119905 + 0

2 Determine o grau dos monoacutemios abaixo

a) 541199093 b) 1199091199051198968

8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus

1

71198861199031199058

3 Complete a tabela abaixo

Monoacutemio Coeficiente Parte literal Grau

31199097119910119911

minus1

31199091199052119896

-1980

81199091199054119910

5

11989641199101199111199052

(1

13)3

11990931199117

4 Identifique os monoacutemios semelhantes

a) minus1199091199112 119909119911119911 2

31199092119911

1

41199112119909 minus181199111199092

b) radic3

21198871198863 minus119886119887

1198871198863

2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886

radic3

21198861198873



1

Monoacutemios Coeficiente Parte literal

a) 119909119892119896 1 119909119892119896

119888)2017

25

2017

25

Natildeo existe

d) ℎ1199111199055

4

1

4

ℎ1199111199055

f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911

g) radic23

1 Natildeo existe

h) 45119905 + 0 45 119905

2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968

8 - Grau 10c) 67 11990961199119- Grau15 d) 119909119911218 - Grau 2 e) minus

1

71198861199031199058

3

4Momomios semelhantes a) (minus1199091199112 119909119911119911 = 1199091199112 1

41199112119909)

b) (radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus119886119887+119887119886) (

radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 = minus25119887119886119910)


31199097119910119911 3 1199097119910119911 9

minus1

31199091199052119896 minus

1

3

1199091199052119896 4

minus1980 minus1980 119899atilde119900119890119909119894119904119905119890 0

81199091199054119910

5

8

5

1199091199054119910 6

11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8

(1

13)3

11990931199117 (1

13)3

11990931199117 10



ADICcedilAtildeO ALGEacuteBRICA DE MONOacuteMIOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios que vatildeo sustentar a

definiccedilatildeo de polinoacutemios


- Adicionar os monoacutemios

- Simplificar os monoacutemios simeacutetricos

TEMPO DE ESTUDO


321 Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios

Caro estudante jaacute abordou os componentes de um monoacutemio entatildeo podemos adiciona-los no conjunto

de nuacutemeros reais

Na adiccedilatildeo de monoacutemios soacute eacute possiacutevel adicionar monoacutemios semelhantes

Portanto para adicionar monoacutemios deve-se verificar se satildeo semelhante ou natildeo Se forem semelhantes

deve-se adicionar os seus coeficientes e manter-se a parte literal

Ex a) Vamos adicionar os seguintes monoacutemios 120783120786119961120785119962 e minus120784120790119961120785119962 Veja que os dois monoacutemios satildeo

semelhantes porque tem a mesma parte literal 119961120785119962 entatildeo podemos adiciona-los assim

120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962)= Portanto devemos adicionar os coeficientes 120783120786 e ndash 120784120790 e manter aparte

literal 119961120785119962 Assim 120783120786119961120785119962 + (minus120784120790119961120785119962) = [120783120786 + (minus120784120790)] 119961120785119962 = conjugando os sinais teremos

= (120783120786 minus 120784120790) 119961120785119962 = minus14 119961120785119962 Logo o resultado seraacuteminus14 119961120785119962

b) minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = Para este caso os monoacutemios semelhantes satildeo

(minus120785

120784119938119939119961 119942

120789

120786119938119939119961) (

120783

120785119961119962120785 119942 minus 120787119961119962120785) entatildeo devemos adicionar os seus coeficientes e

manter a parte literal Assim

minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus

120785

120784+

120789

120786) 119938119939119961 + (

120783

120785minus 120787)119961119962120785 = agora podemos

determinar o mmc de denominadores dos coeficientes que eacute 4e 3 Assim

= (minus120785120784(120784)

+120789120786(120783)

)119938119939119961 + (120783120785(120783)

minus120787120783(120785)

)119961119962120785 = (minus120785times120784+120783times120789

120786) 119938119939119961 + (

120783times120783minus120787times120785

120785) 119961y120785 =


= (minus120788+120789

120786) 119938119939119961 + (

120783minus120783120787

120785) 119961119962120785 = (

minus120783

120786) 119938119939119961 + (

minus120783120786

120785)119961119962120785 = eliminando parecircnteses fica

= minus120783

120786119938119939119961 minus

120783120786

120785119961119962120785 Para este caso porque os monoacutemios natildeo satildeo semelhantes entatildeo terminamos

por aqui


Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo algeacutebrica de monoacutemios vocecirc pode efectuar os


1 Determine a soma algeacutebrica dos monoacutemios abaixo

a) 2119909 minus 5119909 + 4119909

b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909

c) minus1

2119909119910 + 119911119905 minus

9

4119909119910 minus

7

10z119905

d) 1199091199116

2minus

21199116119909

3+ 2

e) 1198861199051199034

5+ 25 minus

111198861199051199034

10minus 50

f) 35119909 minus 52119910 minus 7119909 minus 38119910

g) 8

3119908 minus 8119908 + 4119906 minus

1

3119906



1 a)119909

b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909

c)minus11

4119909119910 +

3

10119911119905

d)minus1199116119909

6+ 2

e)minus9

101198861199051199034 minus 25

f) minus35119909 minus 9119910

g)11

3119906 minus

16

3119908



MULTIPLICACcedilAtildeO E DIVISAtildeO DE MONOacuteMIOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios aplicando as

propriedades


- Multiplicar os monoacutemios

- Dividir os monoacutemios

- simplificar expressotildees com monoacutemios

TEMPO DE ESTUDO


331 Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios

Caro estudante vamos continuar com operaccedilotildees de monoacutemios neste caso multiplicaccedilatildeo e divisatildeo de

monoacutemios

332 Multiplicaccedilatildeo de monoacutemios

A multiplicaccedilatildeo de dois monoacutemios resulta um outro monoacutemio

Entatildeo para multiplicar dois monoacutemios deve-se multiplicar os seus coeficientes e as suas partes literais

aplicando as propriedades de potenciaccedilatildeo

Ex Multipliquemos os monoacutemios seguintes 120788

120787119961120784119963120785 e minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784 Teremos

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = Vamos multiplicar os coeficientes

120788

120787 minus

120783120782

120783120784 e as partes

literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = [

120788

120787times (minus

120783120782

120783120784)] times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = podemos factorizar o 10 e 12

para simplificar os coeficientes Assim

minus6times5times2

5times6times2times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = minus1 times [(119961120784119963120785) times (119961120784119963120784)] = em seguida podemos manter as

bases das partes literais e adicionar os expoentes assim minus1119909(2+2)1199113+2 = minus111990941199115 = 11990941199115


333 Divisatildeo de monoacutemios

Para dividir dois monoacutemios deve se dividir os coeficientes entre si e dividir as partes literais entre si

tambeacutem

Ex Vamos dividir os seguintes monoacutemios minus120789

120787119961120788119962120785119963 e minus

120784120783

120784120782119961120786119962 Fica

(minus120789

120787119961120788119962120785119963) divide (minus

120784120783

120784120782119961120786119962)= pode se colocar na forma fraccionaacuteria de seguinte modo

(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

(minus120784120783

120784120782119961120786119962)

=

Entatildeo podemos dividir os coeficientes e as partes literais assim (minus120789

120787

minus120784120783

120784120782

) times (119961120788119962120785119963

119961120786119962) = neste caso

vamos manter o dividendo minus120789

120787 e multiplicar pelo inverso do divisor minus

120784120782

120784120783 Assim

= (minus120789

120787 ) times (minus

120784120782

120784120783) times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = Conjugamos os sinais decompomos o 20 e 21 para simplificarmos o

maacuteximo possiacutevel Assim +(7times4times5

5times7times3) times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = agora podemos factorizar a parte

literal para simplificar o maacuteximo possiacutevel Assim

= +120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= Agora podemos simplificar as partes literais Assim

= +120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= +

120786

120785times 119961120784119962120784119963 =

120786

120785119961120784119962120784119963



Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo e Divisatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar

os exerciacutecios propostos abaixa

1 Multiplique e simplifique os monoacutemios seguintes

a) (minus2119909) times (minus31199093)

b) (8

31199094119910) times (minus311990931199102)

c) (minus3119886119909119887) times (minus1

911990931198871199102)

d) 1711991051199096 times (2

34119886511991021199097)


a) (minus21199093) divide (minus3119909)

b) (8

311990941199102) divide (minus31199093119910)

c) (minus4

311988611990931198871199102) divide (minus

1

91198871199091199102)

d) 1

171199105119909611988610 divide (

1

34119886511991021199093)


1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1

3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865

2 a)2

31199092 b)minus

8

9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093



POTENCIACcedilAtildeO DE MONOacuteMIOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios

aplicando as propriedades de potencias


- Operar as potecircncias de monoacutemios

- Aplicar as propriedades da potenciaccedilatildeo

TEMPO DE ESTUDO


341 Potenciaccedilatildeo de monoacutemios

Caro estudante para facilmente operar os monoacutemios eacute necessaacuterio tambeacutem abordar a potenciaccedilatildeo de

monoacutemios

A potecircncia de um monoacutemio eacute igual a potecircncia de cada um dos componentes de monoacutemio isto eacute eacute a

potecircncia de coeficiente e da parte literal

Ex Determinemos a potecircncia de seguinte monoacutemio (minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

significa que devemos elevar

todos os factores pelo expoente 2 Assim

(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= (minus120789

120787)120784

times (119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 Aplicando a propriedade de potecircncia de uma

potecircncia a seguinte (119886119899)119898 = 119886119899times119898 para o coeficiente (minus7

5)2

Multiplicamos por si duas vezes

assim (minus120789

120787)120784

= (minus120789

120787) times (minus

120789

120787) = +

120786120791

120784120787 e podemos multiplicar os expoentes da parte literal Assim

(119961120788)120784 times (119962120785)120784 times (119963120783)120784 = 119961(120788times120784)119962(120785times120784)119963(120784times120783) = 119961120783120784119962120788119963120784 Entatildeo o resultado da potecircncia seraacute

(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= +120786120791

120784120787119961120783120784119962120788119963120784


ACTIVIDADE Ndeg 4

Caro estudante depois de termos abordado a Potenciaccedilatildeo de monoacutemios vocecirc pode efectuar os


1Efectue as seguintes potecircncia

a) (minus31199093)2

b) (8

31199094119910)

3

c) (minus1

911990931198871199102)

7

d) (2

34119886511991021199097)

2

e) (minus4

311988611990931198871199102)

3


1 a)91199096 b)512

27119909121199103 c)minus(

1

9)7

11990921119887711991014 d)(1

17)2

11988610119910411990914

e) minus64

271198863119909911988731199106



NOCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E GRAU DE UM POLINOacuteMIO


Caro estudante com abordagem prestada nas liccedilotildees anteriores sobre monoacutemios jaacute podemos nesta liccedilatildeo

abordar a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio


- Definir um polinomial

- Determinar o grau de um polinoacutemio

TEMPO DE ESTUDO


351 Noccedilatildeo de polinoacutemio

Polinoacutemio ndash eacute a soma algeacutebrica de monoacutemios natildeo semelhantes

Ex Consideremos os monoacutemios 120783

120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785 A sua soma seraacute a seguinte

120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785

Veja que todos os trecircs monoacutemios natildeo satildeo semelhantes porque tem partes literais diferentes entatildeo esta soma de monoacutemios natildeo semelhantes chama-se polinoacutemio que eacute o seguinte

120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Os monoacutemios que compotildeem os polinoacutemios satildeo designados de termos Neste caso os

termos satildeo 120783

120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785

Outros exemplos de polinoacutemios a) minus5

31199102119909 + 541199052 minus 3

b)minus21199093 +radic2

21199092 minus 119909

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910

d)1199092 minus 5119909 + 6

352 Grau de um polinoacutemio

O grau de um polinoacutemio ndash eacute o maior grau dos seus monoacutemios

Ex1 Consideremos o polinoacutemio 120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 Determinemos os graus dos seus monoacutemios

O monoacutemio 120783

120784119961120784 tem grau 2

O monoacutemio 120785119961119963 tem grau 2


O monoacutemio 119962120785 tem grau 3 Portanto o monoacutemio que tem maior grau eacute 119962120785 cujo seu grau eacute 3 Logo

o grau de polinoacutemio 120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3

Ex2 Determinemos os graus dos polinoacutemios abaixo

a)minus5

31199102119909 + 541199052 minus 3 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus

120787

120785119962120784119961


21199092 minus 119909 Tem grau 3 que vem de grau de monoacutemio minus120784119961120785

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910 Tem grau 19 que vem de grau de monoacutemio 271198981011991061199093

d)1199092 minus 5119909 + 6 Tem grau 2 que vem de grau de monoacutemio 119961120784


Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de polinoacutemios e Grau de um polinoacutemio Vocecirc

pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa

1Indique o valor loacutegico V para polinoacutemios e F para os que natildeo satildeo polinoacutemios

a) 3

21199094 minus 31199094 + 1199094

b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199105 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199092 +

1

21199092 minus 21119909

f)minus251199053 minus 1199053

2Indique o grau dos seguintes polinoacutemios

a) 3

21199095 minus 31199094 + 1199097

b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199102 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199093 +

1

21199092119910119911 minus 21119909

f)318 minus 251199052 minus 1199103



1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)

2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3



ADICcedilAtildeO E SUBTRACCcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios aplicando as

propriedades da soma algeacutebrica


- Adicionar os polinoacutemios

- Subtrair os polinoacutemios

- Aplicar as propriedades na soma algeacutebrica de polinoacutemios

TEMPO DE ESTUDO


361 Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios

Para adicionar ou subtrair os polinoacutemios - eacute necessaacuterio verificar os monoacutemios semelhantes caso

existam entatildeo devemos adicionar ou subtrair os seus coeficientes e manter a parte literal

Ex1 vamos adicionar os seguintes polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784

Portanto adicionar os polinoacutemios A e B teremos o seguinte

119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) Colocamos os polinoacutemios de A e B entre

parecircnteses e aplicando a conjugaccedilatildeo de sinais eliminamos parecircnteses Assim

119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784 Passo seguinte vamos agrupar os monoacutemios ou

termos semelhantes Assim 119860 + 119861 = 120785119961120785 +120784

120787119961120785 + 120784119961120784 minus 120788119961120784 + 119961 minus 119961 + 120784 agora podemos

adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e manter as partes literais Assim

119860 + 119861 = (120785 +120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 calculamos o mmc na soma(120785 +

120784

120787)

teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)

+120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 multiplicamos os factores 5 e 1

com os numeradores e teremos 119860 + 119861 = (120785times120787+120783times120784

120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784

continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 a fracccedilatildeo(

120783120787+120784

120787) =

17

5

Subtraiacutemos (120784 minus 120788) = minus120786 e (120783 minus 120783) = 120782 substituindo por 17

5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos


119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =

120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120782119961 + 120784 o resultado de

120782119961 = 120782 e adicionamos com o 2 Fica

119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =

120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782 + 120784 por fim teremos

119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120784

Ex2 vamos subtrair os mesmos polinoacutemios 119860 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 e 119861 =120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784

Portanto subtrair os polinoacutemios A e B teremos o seguinte

119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784


parecircnteses e aplicando a propriedade distributiva do sinal negativo (minus) no polinoacutemio B isto eacute

minus(120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) para eliminamos parecircnteses Teremos minus

120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o

polinoacutemio 119912 mantecircm-se e podemos substituindo em 119912 minus 119913 teremos

119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784

120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784) = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 minus

120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus

120784 agora podemos agrupar os termos semelhantes Assim

119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784

120787119961120785 + 120784119961120784 + 120788119961120784 + 119961 + 119961 minus 120784 em seguida vamos adicionar ou subtrair os

coeficientes dos termos semelhantes Assim

119860 minus 119861 = (120785 minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 calculando o mmc nos denominadores 1 e 5

dos coeficientes (120785 minus120784

120787) teremos 119860 minus 119861 = (

120785120783(120787)

minus120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos

multiplicar os factores 5 e 1 com os numeradores 3 e 2 Fica

119860 minus 119861 = (120787times120785minus120783times120784

120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(

120783120787minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus

120784 entatildeo os resultados dos coeficientes seratildeo (120783120787minus120784

120787) =

120783120785

120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784

substituindo em 119912 minus 119913 teremos 119912 minus119913 =120783120785

120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784

Como podes notar que 119912 +119913 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=

120783120785

120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784 Entatildeo 119860 +

119861 eacute diferente de 119860 minus 119861

Ex3 Consideremos a situaccedilatildeo de adiccedilatildeo de trecircs polinoacutemios assim

119912 = 120784119961120785 + 119961120784 119913 = 120787119961 minus 120785 e 119914 = minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783

Determinemos 119912 minus 119914 +119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785) Substituiacutemos com os respectivos polinoacutemios Em seguida aplicamos a propriedade distributiva dos sinais quecircs estatildeo fora de parecircnteses para eliminar parecircnteses Teremos

119912 minus 119914 + 119913 = (120784119961120785 + 119961120784) minus (minus120783120786119961120786 minus 119961120785 minus 120783) + (120787119961 minus 120785)=

119912 minus 119914 + 119913 = 120784119961120785 + 119961120784 + 120783120786119961120786 + 119961120785 + 120783 + 120787119961 minus 120785 Agora podemos adicionar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e comeccedilamos com os termos de maior grau Assim

119912 minus 119914 + 119913 = 120783120786119961120786 + 120784119961120785+119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785=120783120786119961120786 + (120784 + 120783)119961120785 + 119961120784 + 120787119961 + 120783 minus 120785 adicionando e subtraindo os coeficientes teremos

119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784



Caro estudante depois de termos abordado a Adiccedilatildeo e subtracccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode


1Considere os polinoacutemios 119860 = 21199092 + 119909 minus 2 119861 = minus1

21199092 minus 3119909 minus 1 e 119862 = minus1199093 minus 3119909

Determine a) 119860 + 119861 b) 119860 minus 119861 c) 119861 minus 119862 d) 119860 minus 119862 + 119861



a) 119860 + 119861 =3

21199092 minus 2119909 minus 3

b) 119860 minus 119861 =5

21199092 + 4119909 minus 1

c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1

21199092 minus 1

d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3

21199092 + 119909 minus 3



MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO POR UM

MONOacuteMIO E POR UM BINOacuteMIO


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por

um binoacutemio aplicando as propriedades da multiplicaccedilatildeo


- Multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio

- Multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio

- Aplicar as propriedades da multiplicaccedilatildeo

TEMPO DE ESTUDO


371 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio

Para multiplicar um polinoacutemio por um monoacutemio deve-se aplicar a propriedade distributiva do

monoacutemio para todos os termos de polinoacutemio

Ex Multipliquemos o monoacutemio minus120785119961120784 com o polinoacutemio 120784

120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783 teremos

(minus120785119961120784) times (120784

120785119961120785 minus 120785119961120784 minus 119961 + 120783) = portanto vamos distribuir o monoacutemio (minus120785119961120784) nos termos

120784

120785119961120785 minus120785119961120784 minus119961 119890 120783 do polinoacutemio

Assim

minus120785119961120784 times120784

120785119961120785 minus 120785119961120784 times (minus120785119961120784) minus 120785119961120784 times (minus119961) minus 120785119961120784 times 120783 = passo seguinte vamos multiplicar

os monoacutemios comeccedilando por coeficientes e depois as partes literais Assim(minus120785 times120784

120785) 119961120785119961120784 +

[(minus120785) times (minus120785)]119961120784119961120784 + [(minus120785) times (minus120783)]119961120784119961 + [(minus120785) times (120783)]119961120784 = multiplicamos os coeficientes e mantemos as bases das partes literais e adicionamos os expoentes Assim

=minus120784119961(120785+120784) + 120791119961(120784+120784) + 120785119961(120784+120783) minus 120785119961120784 = minus120784119961120787 + 120791119961120786 + 120785119961120785 minus 120785119961120784 Este eacute o resultado pois

jaacute natildeo temos termos semelhantes


372 Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio

Para multiplicar um polinoacutemio por um binoacutemio deve-se distribuir os termos de binoacutemio aos termos de

polinoacutemio Binoacutemio eacute um polinoacutemio com dois termos Ex o binoacutemio (minus2119909 + 5)

Ex Multipliquemos o binoacutemio (minus120784119961 + 120787) pelo polinoacutemio (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788)

Portanto teremos (minus120784119961 + 120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = entatildeo vamos distribuir o termo minus120784119961 para

todos os termos de polinoacutemio e em seguida distribuiacutemos o termo 120787 para todos os termos de

polinoacutemio Assim = (minus2119909) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) + (120787) times (120789119961120784 minus 120785119961 + 120788) = Teremos

(minus120784 times 120789)119961120784119961 + [(minus120784) times (minus120785)]119961119961 + (minus120784 times 120788)119961 + (120787 times 120789)119961120784 + 120787 times (minus120785)119961 + 120787 times 120788 =

multiplicando os coeficientes e as partes literais teremos

= minus120783120786119961120785 + 120788119961120784 minus 120783120784119961 + 120785120787119961120784 minus 120783120787119961 + 120785120782 = passo seguinte adicionamos os termos

semelhantes Assim = minus120783120786119961120785 + (120788 + 120785120787)119961120784 + (minus120783120784 minus 120783120787)119961 + 120785120782 = o resultado seraacute

= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782

ACTIVIDADE Ndeg 7

Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio e por

um binoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixa


a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)

b) (minus5

3119909) times (minus1199093 +

9

10)

c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)

2 Efectue os seguintes produtos

a) (2119909 minus 2) times (1199092 + 119909) b) (minus4 + 119909)(minus1 + 2119909 minus 1199092) c) (61199093 + 2 minus 119909)(119909 + 2)

d) (1

21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)



1 a)61199092 minus 31199092

b)5

31199094 minus

3

2119909

c)1199091199102 + 1199104

d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910

2 a)21199093 minus 2119909

b)51199092 minus 9119909 + 4

c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4

d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909


Liatildeo nordm 8

MULTIPLICACcedilAtildeO DE POLINOacuteMIOS E PROPRIEDADES


Caro estudante a multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio vai sustentar bastante a

multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Que seraacute o tema a tratar nesta liccedilatildeo


- Multiplicar polinoacutemios

- Aplicar propriedades na multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios

TEMPO DE ESTUDO


381 Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios e Propriedades

Para multiplicar dois polinoacutemios A e B eacute necessaacuterio aplicar as mesmas regras que aplicamos na

multiplicaccedilatildeo de um polinoacutemio por um binoacutemio Portanto deve-se distribuir os termos de polinoacutemio A

aos termos de polinoacutemio B

Ex Multipliquemos os polinoacutemios 119912 = minus120785

120784119961120784 + 120784119961minus 120788 e 119913 = 120787119961120784 minus 120786119961minus 120784 Portanto teremos

119912 times 119913 = (minus120785

120784119961120784 + 120784119961 minus 120788 ) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) = Comeccedilamos por distribuir o termo(minus

120785

120784119961120784)

em seguido o termo (120784119961) e por fim o termo(minus120788) Assim

119912 times 119913 = (minus120785

120784119961120784) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (120784119961) times (120787119961120784 minus 120786119961 minus 120784) + (minus120788) times (120787119961120784 minus 120786119961minus

120784) = aplicando a propriedade distributiva teremos

119912 times 119913 = (minus120785

120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus

120785

120784times (minus120786)] 119961120784119961 + [minus

120785

120784times (minus120784)] 119961120784 + (120784 times 120787)119961119961120784 +

+[120784 times (minus120786)]119961119961 + [120784 times (minus120784)]119961 + (minus120788 times 120787)119961120784 + [(minus120788) times (minus120786)]119961 + [(minus120788) times (minus120784)]=

multiplicando os coeficientes e mantemos as bases das partes literais adicionando os expoentes

119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961(120784+120784) +

120783120784

120784119961(120784+120783) +

120788

120784119961120784 + 120783120782119961(120783+120784) minus 120790119961(120783+120783) minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 +

120783120784 = Adicionando os expoentes das partes literais resulta

119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 +

120783120784

120784119961120785 +

120788

120784119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961 minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = simplificamos

os coeficientes120783120784

120784 e 120788

120784 assim


119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120788119961120785 + 120785119961120784 + 120783120782119961120785 minus 120790119961120784 minus 120786119961minus 120785120782119961120784 + 120784120786119961 + 120783120784 = agora podemos

adicionar os termos semelhantes comeccedilando com o de maior grau

119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + (120788 + 120783120782)119961120785 + (120785 minus 120790 minus 120785120782)119961120784 + (minus120786 + 120784120786)119961 + 120783120784 = adicionamos ou

subtraiacutemos os coeficientes e teremos o resultado final

119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784

ACTIVIDADE Ndeg 8

Caro estudante depois de termos abordado a Multiplicaccedilatildeo de polinoacutemios Vocecirc pode efectuar os


1 Considere os polinoacutemios seguintes

119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5

21199092 minus 5119909 + 1 e 119862 = 21199092 + 119909 Determine

a) 119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861 d) minus2119861 + 119860


CHAVE DE CORRECCAO Ndeg 8

1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909

b)minus51199094 minus25

21199093 minus 31199092 + 119909

c)minus5

21199094 minus

25

21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2

d)61199092 + 13119909 minus 4



DECOMPOSICcedilAtildeO DE UM POLINOacuteMIO EM FACTORES

RECORRENDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

(FACTOR COMUM) PRODUTOS NOTAacuteVEIS(119938 plusmn 119939)120784 E

(119938 + 119939)(119938 minus 119939)


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios em factores e o

desenvolvimento dos casos notaacuteveis


- Decompor um polinoacutemio em factores

- Desenvolver os casos notaacuteveis aplicando a propriedade distributiva

TEMPO DE ESTUDO


391 Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores

Para decompor um polinoacutemio eacute necessaacuterio verificar os factores comuns no polinoacutemio

Ex Consideremos o polinoacutemio seguinte (120791119961120784 + 120786119961) vamos decompocirc-lo Para tal verificamos o

factor comum Este polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo

(120791119961120784 + 120786119961) = (120791119961119961 + 120786119961) portanto o factor comum eacute 119961 porque eacute o termo que existe nos

monoacutemio 120791119961119961 e 120786119961 ao mesmo tempo Este factor podemos coloca-lo em evidencia isto eacute fora de

parecircnteses Assim 119909(120791119961 + 120786) portanto o 119909 estaacute a multiplicar com (120791119961 + 120786) deste modo jaacute

factorizamos o polinoacutemio em dois factores 119909 119890 (120791119961 + 120786)

Ex2 vamos decompor o polinoacutemio (120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) para tal devemos

colocar em evidecircncia o factor comum ou o maacuteximo divisor comum de todos os termos de polinoacutemio

Por tanto o polinoacutemio pode ficar tambeacutem de seguinte modo Assim

(120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (

120785times120785

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120785 times 120788119938119957119961120786119962120785) Portanto

factor comum que existe em todos os termos eacute 120785119961120786119962120785 Entatildeo podemos coloca-lo em evidencia ou fora

de parecircnteses Assim temos

120785119961120786119962120785 (120785

120787119957120784 minus 119948120784 +times 120788119938119957) Assim jaacute foctorizamos o polinoacutemio


392 Desenvolvimento dos casos notaacuteveis

Caro estudante neste moacutedulo vamos abordar trecircs tipos de produtos notaacuteveis que satildeo os seguintes

(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784

1˚- Vamos desenvolver o Quadrado da soma (119938 + 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo podemos

multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 + 119939)120784 = (119938 + 119939) times (119938 + 119939) = aplicando a

propriedade distributiva teremos (119938 + 119939)120784 = 119938 times (119938 + 119939) + 119939 times (119938 + 119939) vamos distribuir o

119938 119890 119939 no factor (119938 + 119939) Teremos (119938 + 119939)120784 = (119938 times 119938) + (119938 times 119939) + (119939 times 119938) + (119939 times 119939)

= 119938120784 + 119938119939 + 119939119938 + 119939120784 = o termo 119887119886 pela propriedade comutativa fica 119939119938 = 119938119939 substituindo na

expressatildeo anterior fica 119938120784 + 119938119939 + 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos semelhantes

Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784

Assim o desenvolvimento de Quadrado da soma eacute

(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784

Ex vamos desenvolver o seguinte quadrado da soma (119909 + 3)2 aplicando o caso notaacutevel

(119909 + 3)2 = para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 3

substituindo na foacutermula acima teremos (119909 + 3)2 = (119909)2 + 2(119909)(3) + (3)2 = multiplicamos os

coeficientes do termo 2(119909)(3) = 6119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica

(119909 + 3)2 = (119909)2 + 6119909 + (3)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (3)2 = 3 times 3 = 9

substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 + 120785)120784 = 119961120784 + 120788119961 + 120791 Assim o caso notaacutevel estaacute

desenvolvido

2˚- Vamos desenvolver o Quadrado da diferenccedila (119938 minus 119939)120784 Como o expoente eacute 2 entatildeo

podemos multiplicar a base por si duas vezes Assim (119938 minus 119939)120784 = (119938 minus 119939) times (119938 minus 119939) = aplicando a

propriedade distributiva teremos (119938 minus 119939)120784 = 119938 times (119938 minus 119939) minus 119939 times (119938 minus 119939) vamos distribuir o

119938 119890 minus 119939 no factor (119938 minus 119939) Teremos

(119938 minus 119939)120784 = (119938 times 119938) + [119938 times (minus119939)] minus 119939 times 119938 minus 119939 times (minus119939)

= 119938120784 minus 119938119939 minus 119939119938 + 119939120784 = o termo minus119939119938 pela propriedade comutativa fica minus119939119938 = 119938119939

substituindo na expressatildeo anterior fica 119938120784 minus 119938119939 minus 119938119939 + 119939120784 entatildeo podemos adicionar os termos

semelhantes Assim (119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939 + 119939120784

Assim o desenvolvimento de Quadrado da diferenccedila eacute

(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784

Ex vamos desenvolver o seguinte Quadrado da diferenccedila (119909 minus 5)2 aplicando o caso notaacutevel

Para tal temos de identificar o valor de a e de b Entatildeo o valor de 119886 = 119909 119890 119887 = 5 substituindo na

formulo acima teremos (119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 2(119909)(5) + (5)2 = multiplicamos os coeficientes do

termo 2(119909)(5) = 10119909 substituiacutemos na expressatildeo acima fica


(119909 minus 5)2 = (119909)2 minus 10119909 + (5)2 = determinamos as potencias (119909)2 = 1199092 119890 (5)2 = 5 times 5 = 25

substituiacutemos na expressatildeo anterior e teremos (119961 minus 120787)120784 = 119961120784 minus 120783120782119961 + 120784120787 Assim o caso notaacutevel

estaacute desenvolvido

3˚- Vamos desenvolver a Diferenccedila de quadrados 119938120784 minus 119939120784 Este caso notaacutevel o seu

desenvolvimento seraacute

119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939) times (119938 minus 119939)

Porque se distribuirmos os termos de factor (119938 + 119939) aos termos de factor (119938 minus 119939) teremos como

resultado a diferenccedila de quadrados119938120784 minus 119939120784 Isto eacute (119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = vamos distribuir o termo

119938 no factor (119938 minus 119939) e o termo 119939 no factor(119938 minus 119939) Assim

(119938 + 119939) times (119938 minus 119939) = 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = Aplicando a propriedade distributiva resulta

= 119938(119938 minus 119939) + 119939(119938 minus 119939) = 119938 times 119938 + 119938 times (minus119939) + 119939 times 119938 + 119939 times (minus119939) = multiplicando os

factores teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119939119938 minus 119939120784 os termos 119939119938 = 119938119939 pela propriedade comutativa

substituiacutemos na expressatildeo anterior teremos = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = os termos ndash119938119939 119938119939 Satildeo

simeacutetricos entatildeo podemos simplifica-los Assim = 119938120784 minus 119938119939 + 119938119939 minus 119939120784 = 119938120784 minus 119939120784

Ex1 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados (120785119961)120784 minus (120789)120784 aplicando a formula

Na expressatildeo (120785119961)120784 minus (120789)120784 devemos identificar os

valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 120785119961 e 119939 = 120789 depois substituiacutemos na foacutermula acima assim (120785119961)120784 minus

(120789)120784 = (120785119961 + 120789) times (120785119961 minus 120789) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado

Ex2 vamos desenvolver a seguinte diferenccedila de quadrados 119961120784 minus 120784 aplicando a foacutermula seguinte

Na expressatildeo 119961120784 minus 120784 devemos identificar os

valores de 119938 e 119939 que satildeo 119938 = 119961 e 119939 = radic120784 porque devemos pensar num valor que ao elevaacute-lo agrave 2

obteremos o valor de b Neste caso o valor de b eacute radic120784 porque ao elevar radic120784 por 2 teremos radic120784120784=

radic120786 = 120784 Entatildeo a diferenccedila de quadrados pode ficar assim 119961120784 minus 120784 = 119961120784 minus radic120784120784= aplicando a

foacutermula acima teremos119961120784 minus radic120784120784= (119961 + radic120784) times (119961 minus radic120784) Assim o caso notaacutevel estaacute factorizado




ACTIVIDADE Ndeg 9

Caro estudante depois de termos abordado a Decomposiccedilatildeo de um polinoacutemio em factores e

desenvolvidos casos notaacuteveis Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1 Decomponha em factores os seguintes polinoacutemios

a) 51199092 minus 25119909

b) minus3 + 61199092

c) 1199102 minus 30119910

d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911

e) 501199092

16minus

11990921199112

16

f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896

2 Desenvolve os seguintes casos notaacuteveis

a) (119909 + 4)2 b) (119909 minus 7)2 c) (minus2 minus 3119910)2 d) 1199092 minus 62 e) (5119909)2 minus 32 f) 1199092 minus 9



1a) 5119909(119909 minus 5)

b) 3(minus1 + 21199092)

c)119910(119910 minus 30)

d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)

e)1199092

16(50 minus 1199112)

f)71199103119896(119910 + 5)

2 a) 1199092 + 8119909 + 16

b)1199092 minus 14119909 + 49

c)4 + 12119910 + 91199102

d) (119909 + 6)(119909 minus 6)

e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)

f) (119909 + 3)(119909 minus 3)



DIVISAtildeO ATRAVEacuteS DA SIMPLIFICACcedilAtildeO DE UM

POLINOacuteMIO POR UM MONOacuteMIO

Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio que seraacute sustentado com a decomposiccedilatildeo de polinoacutemio abordado na liccedilatildeo nordm9


- Dividir polinoacutemios atraveacutes de monoacutemio

- Aplicar a decomposiccedilatildeo de polinoacutemios na divisatildeo dos mesmos por um monoacutemio

TEMPO DE ESTUDO


3101 Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um monoacutemio

Para dividir um polinoacutemio por um monoacutemio eacute necessaacuterio identificar o factor comum entre o

dividendo( que eacute o polinoacutemio) e o divisor( que eacute o monoacutemio)

Ex Determinemos a seguinte divisatildeo(120783120786119961120785119957120784119962120788 minus 120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787) divide (120789119961120784119957120784119962120785) =120783120786119961120785119957120784119962120788minus120784120790119961120787119957120784119962120787+120784120783119948119961120785119957120784119962120787

120789119961120784119957120784119962120785 primeiro vamos identificar o factor comum de polinoacutemio 120783120786119961120785119957120784119962120788 minus

120784120790119961120787119957120784119962120787 + 120784120783119948119961120785119957120784119962120787 e do monoacutemio 120789119961120784119957120784119962120785 Portanto o factor comum eacute o monoacutemio

120789119961120784119957120784119962120785 Que podemos identificar factorizando os coeficientes dos monoacutemios de polinoacutemio na divisatildeo Isto eacute 120789times120784119961120784119961120783119957120784119962120785119962120785minus120789times120786119961120785119961120784119957120784119962120785119962120784+120789times120785119948119961120783119961120784119957120784119962120785119962120784

120789119961120784119957120784119962120785= colocando em evidecircncia o factor comum teremos

=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= Agora podemos simplificar os monoacutemios comuns Assim

=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +

120785119948119961119962120784 Esta uacuteltima expressatildeo eacute o resultado da divisatildeo


ACTIVIDADE Ndeg 10

Caro estudante depois de termos abordado a Divisatildeo atraveacutes da simplificaccedilatildeo de um polinoacutemio por um

monoacutemio Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios propostos abaixo

1Efectue as seguintes operaccedilotildees simplificando os resultados

a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092

b) (1711991031199095+3411991021199093)

1711991021199093

c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)

d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911

2611990921199105

e) (501199092

16minus

11990921199112

16) divide (

1199092

16)

f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909

141199103119896



1 a)61199094 minus 8119909 + 2

b)1199092119910 + 2

c)119910 minus 30

d)1minus2119896minus119911

2

e)50 minus 1199112

f)3minus119909

2



Caro estudante depois da revisatildeo de toda unidade nuacutemero 3 vocecirc pode prestar a seguinte actividade

1 Complete a tabela seguinte


radic5

2119905311990921199106

minus(17)17 11990941199102

216119896141199102

3

2017


a) minus11989621199103 11990931198962119910318

511991031198962 20119910311989621199093 119896119910

b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905

3 Indique o valor loacutegico V ou F nas seguintes igualdades

a) 5119909 minus 3119909 minus10

2119909 = minus3119909

b) 1

31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103

c) 1198967

5minus

6

511989621198967 + 1198967 = 0

d) 6119911 minus 3119905 + 2119905 minus 5119911 = 3119911119905 minus 3119905119911


119860 = 41199092 minus 3119909 minus 7119861 = minus1199092 + 4 119890 119862 = minus1199092 + 31199093 minus 5119909 + 2 Calcule

a) 119860 + 119861

b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861

d) ndash119860 + 3119862 minus 119861

5 Efectue as seguintes operaccedilotildees e simplifique os resultados

a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12

41199102)

b) (3

41199093119910) (minus2119909119910 +

1

2119909119905 + 119909)

c) (31199113119896 minus 119911119896 +2

31199111198962) (31199112)

d) (1

41199092 + 119909 minus 3) (41199093)



a) (1199092 + 119909 minus 8)(2119909 minus 1) b) (1 minus 119909)(119909 + 1199093)

c) (4 minus 1199093 minus 1199092) (minus3119909 minus1

2)

d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)



a)119860 times 119862 b) 119861 times 119862 c) 119860 times 119861

8 Desenvolve os seguintes produtos notaacuteveis

a) (119909 + 9)2 b) (2119886 + 3119887)2 c) (2119909 minus 10)2 d) (3119909)2 minus 52 e) 1199092 minus 7 f) (minus5119909)2 minus 81

9 Decompotildee os seguintes polinoacutemios

a) 1

5119905 +

4

5

b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112

c) 31199093 minus 91199094119910

d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2

10 Efectue a seguinte divisatildeo

a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)

b)3

21199109+61199106minus1199103

3

41199103

c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)

d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)



1


radic5

2119905311990921199106

radic5

2

119905311990921199106 11

minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6

216119896141199102

3

216

3

119896141199102 16

2017 2017 Natildeo existe 0

2a)(minus1198962119910318

511991031198962) (119909311989621199103 20119910311989621199093) 119887) (41199052119888minus14119888119905119905) (minus41199051198880 = minus4119905 2017119905)

3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865

4 a)31199093 minus 3119909 minus 3 b) minus31199093 + 5119909 + 2 c) 31199093 + 41199092 minus 8119909 minus 9 d) 91199093 minus 61199092 minus 12119909 + 2

5a) 9

411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)

3

211990941199102 +

3

81199094119910119905 +

3

41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962

d) 1199095 + 41199094 minus 121199093

6 a) 21199093 + 1199092 minus 17119909 + 8 b) minus1199094 + 1199093 minus 1199092 + 119909 c) 31199094 +7

21199093 +

1

21199092 minus 12119909 minus 2

d) minus1199095 + 41199094 + 61199093 minus 201199092 minus 5119909

7 a) 121199095 minus 131199094 minus 381199093 + 301199092 + 29119909 minus 14

b) minus31199095 + 1199094 + 171199093 minus 61199092 minus 20119909+8

c)minus41199094 + 31199093 + 231199092 minus 12119909 minus 28

8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)

e) (119909 + radic7)(119909 minus radic7) f) minus(9 minus 5119909)(5119909 + 9)

9 a) 1

5(119905 + 4) b) 1199091199112(5119909119911 minus 9119911 + 119909) c)31199093(1 minus 3119909119910) d) 119909(13119909 minus 12119910)

10 a) 21199053 + 1199052 b) 2

3(31199106 + 121199103 minus 2) c)

1

17(1 + 1199092 + 8119909)


UNIDADE4 EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS


Estimado(a) aluno(a) nesta unidade temaacutetica vamos abordar Equaccedilotildees quadraacuteticas que seraacute a

continuidade de polinoacutemios jaacute abordados na unidade 3


- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos

- Determinar os coeficientes dos seus monoacutemios

- Determinar as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando

anulamento de produto


a foacutermula resolvente

- Factorizar uma equaccedilatildeo quadraacutetica


Estimado aluno no final de estudo da unidade sobre Equaccedilotildees quadraacuteticas

Vocecirc

-Identifica uma equaccedilatildeo quadraacutetica e os seus tipos

- Determina os coeficientes dos seus monoacutemios

- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando anulamento de produto

- Determina as soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica aplicando a foacutermula resolvente

- Factoriza uma equaccedilatildeo quadraacutetica




Para melhor desenvolver o seu estudo vocecirc necessita de Uma sebenta esferograacutefica laacutepis borracha e

reacutegua

2


Liccedilatildeo nordm1 NOCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS


Caro estudante a abordagem de polinoacutemios na unidade 3 eacute ferramenta necessaacuteria para o estudo das

equaccedilotildees quadraacuteticas Nesta liccedilatildeo vamos abordar equaccedilotildees quadraacuteticas operadas no conjunto de

nuacutemeros reais


- Identificar uma equaccedilatildeo quadraacutetica

- Identificar os tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas

- Determinar os coeficientes dos monoacutemios de uma equaccedilatildeo quadraacutetica

TEMPO DE ESTUDO


411 Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas

Equaccedilatildeo quadraacutetica ndash eacute toda igualdade de um polinoacutemio de grau 2 (dois) com uma variaacutevel em

estudo Isto eacute toda expressatildeo que se representa na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782

Onde O 119938 sempre deve ser diferente de zero ( 119938 ne 120782)

Os valores (119938 119939 119942 119940) satildeo coeficientes e pertencem ao conjunto de nuacutemeros reais

O 119961 eacute a variaacutevel em estudo

A Equaccedilatildeo quadraacutetica tambeacutem eacute designada Equaccedilatildeo de segundo grau por causa do grau de

polinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 que eacute 2 (dois)

4111Tipos de equaccedilotildees quadraacuteticas ndash existem dois tipos que satildeo equaccedilotildees quadraacuteticas completas e Incompletas

Exemplos de equaccedilotildees quadraacuteticas

4112 Equaccedilatildeo quadraacutetica completas ndash satildeo aquelas em que todos os coeficientes (119938 119939 119942 119940) satildeo

diferentes de zero Isto eacute (119938 ne 120782 119939 ne 120782 119942 119940 ne 120782)

a) 120784119961120784 minus 120785119961+ 120787 = 120782 podemos determinar os seus coeficientes que satildeo

119938 = 120784 este valor eacute extraiacutedo no coeficiente do termo 119938119961120784 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120784119961120784

Portanto 119938119961120784 = 120784119961120784 logo o valor de 119938 eacute 120784 Entatildeo 119938 = 120784



Portanto 119939119961 = minus120785119961 logo o valor de 119939 eacute minus120785 Entatildeo 119939 = minus120785

119940 = 120787 este valor eacute extraiacutedo no termo independente 119940 que na equaccedilatildeo eacute igual ao termo 120787

b) minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 para este caso devemos colocar a equaccedilatildeo na forma canoacutenica 119938119961120784 +

119939119961 + 119940 = 120782 significa que devemos passar todos os termos que estatildeo no segundo membro para o primeiro membro e igualar a zero Portanto teremos

minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 o primeiro membro eacute o lado esquerdo da equaccedilatildeo antes de sinal de

igualdade(=) o segundo membro eacute o lado directo depois de sinal de igualdade Ex

minusradic2

21199092

Este termo estaacute no

1˚ membro

= 7119909 + 100

Estes termos estatildeo no 2˚ membro

Entatildeo na equaccedilatildeo minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961+ 120783120782120782 vamos passar 120789119961 + 120783120782120782 para o segundo membro assim os

seus sinais vatildeo mudar Assim

minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus

radic120784

120784119961120784 minus 120789119961 minus 120783120782120782 = 120782 agora jaacute podemos ler os valores

de 119938 119939 119890 119940 Que satildeo 119938 = minusradic120784

120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782

4113 Equaccedilotildees quadraacutetica incompletas ndash satildeo todas aquelas em que um dos coeficientes entre

119939 119890 119940 eacute igual a zero Claro que o valor de 119938 nunca deve ser igual a zero portanto 119886 ne 0

Ex a) radic120784119961120784 + 120789 = 120782 esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 portanto o produto 120782119961 eacute

igual a zero isto eacute 120782119961 = 120782 Ao substituir na expressatildeo anterior teremos radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 que eacute

equivalente agrave equaccedilatildeo inicial assim radic120784119961120784 + 120782 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120789 = 120782 Por tanto na equaccedilatildeo

radic120784119961120784 + 120789 = 120782 harr radic120784119961120784 + 120782119961 + 120789 = 120782 Os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 satildeo

119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789

b) 119961120784 = 120782 portanto esta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave 119961120784 = 120782 harr 120783119961120784 + 120782119961 + 120782 entatildeo os valores dos

coeficientes seratildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119890 119940 = 120782


ACTIVIDADE Ndeg 1

Caro estudante depois de termos abordado a Noccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode efectuar os


1Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e identifique as completas e as incompletas

a) 91199092 + 25119909 minus 10 = 0 b) minus21199092 + 4119909 minus 8 = 0 c) 1199092 = 3119909 + 119909 d) 361199092 minus 12119909 = 0

e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0

2 Considere as equaccedilotildees quadraacuteticas abaixo e indica os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940


e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) minus1199092 minus 0119909 + 0 = 0



1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

2 a) 119886 = 9 119887 = 25 119888 = minus10 b) 119886 = minus2 119887 = 4 119888 = minus8 c) 119886 = 1 119887 = minus3 119888 = minus1

d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1

2 119887 = minus

3

4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2

g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0



LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO

Lei de anulamento de produto


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Lei de anulamento de produto que eacute uma das regras para

resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas


- Enunciar a lei de anulamento de produto

- Aplicar a lei de anulamento de produto nas expressotildees factorizadas

TEMPO DE ESTUDO


421 Lei de anulamento de produto

Lei de anulamento de produto ndash diz o seguinte se o produto de dois ou mais factores eacute nulo

entatildeo pelo menos um deles eacute nulo

Consideremos a seguinte igualdade factorizada (119909) times (119910) = 0 Para esta igualdade ser verdadeira o

factor (119909) deve ser igual a zero ou (119910) deve ser igual a zero Isto eacute

(119961) = 120782 (119962) = 120782 o siacutembolo () significa ou

Ex Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdade (119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782

Portanto o primeiro factor eacute (119961 minus 120784) o segundo factor eacute (119961 + 120785) Entatildeo o primeiro factor deve ser

igual a zero assim (119961 minus 120784) = 120782 ou o segundo factor deve ser igual a zero Assim

(119961 + 120785) = 120782

Portanto ao resolver fica assim

(119961 minus 120784) times (119961 + 120785) = 120782 harr (119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 agora vamos resolver a primeira equaccedilatildeo

(119961 minus 120784) = 120782 depois a segunda (119961 + 120785) = 120782 Assim (119909 minus 2) = 0 harr 119909 minus 2 = 0 passamos o

termo independente ndash 2 para o segundo membro e muda de sinal fica positivo +120784 Assim 119961 minus 120784 =

120782 harr 119961 = +120784 + 120782 harr 119961 = +120784 como eacute o primeiro resultado podemos representar por 119961120783 = +120784

Em seguida resolvemos a segunda equaccedilatildeo (119961 + 120785) = 120782 harr 119961 + 120785 = 120782 passamos o termo

independente +120785 para o segundo membro e muda de sinal para negativo ndash120785 assim

119961 + 120785 = 120782 harr 119961 = minus120785 + 120782 harr 119961 = minus120785 Portanto este eacute o segundo resultado entatildeo podemos

representar por 119961120784 = minus120785 Entatildeo


(119961 minus 120784) = 120782(119961 + 120785) = 120782 119961120783 = +120784 119961120784 = minus120785 Soluccedilatildeo 119909 = minus3+2

Ex2 Vamos aplicar a lei de anulamento de produto na seguinte igualdademinus119961120784 + 119961 = 120782

Portanto primeiro devemos factorizar a igualdade minus119961120784 + 119961 = 120782 harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 veja que o

factor comum eacute 119961 entatildeo podemos coloca-lo em evidencia teremos

harr minus119961119961 + 120783119961 = 120782 harr 119961(minus119961 + 120783) = 120782 agora a igualdade estaacute factorizada podemos aplicar a lei de

anulamento de produto assim 119961(minus119961 + 120783) = 120782 harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 passamos os termos independentes para os segundo membro e mudam dos seus sinais Assim

harr 119961 = 120782 minus 119961 + 120783 = 120782 harr 119961120783 = 120782 minus 119961 = minus120783 para a equaccedilatildeo minus119961 = minus120783 devemos aplicar o

principio de equivalecircncia para eliminar o sinal negativo no termo minus119909 teremos

(minus120783) minus 119961 = minus120783(minus120783) conjugando os sinais teremos 120783119961 = 120783 passamos o coeficiente de 119961 o 120783

para o segundo membro passa a dividir Assim 120783119961 = 120783 harr 119961 =120783

120783harr 119961 = 120783 este eacute o segundo

resultado entatildeo representamos por 119961120784 = 120783


Caro estudante depois de termos abordado a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os

exerciacutecios propostos abaixo

1Aplique a lei de anulamento de produto nas seguintes igualdades

a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0



1 a) 119878119900119897 119909 = minus2+1 b) 119878119900119897 119909 = minus5+25 c) 119878119900119897 119909 = minus3 0 d) 119878119900119897 119909 = minus2

3 0



RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS

INCOMPLETAS DO TIPO119938119961120784 = 120782 119938119961120784 + 119940 = 120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782

USANDO A LEI DE ANULAMENTO DE PRODUTO


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas usando a lei

de anulamento de produto


- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas

- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas

TEMPO DE ESTUDO


431 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do tipo119938119961120784 = 120782119938119961120784 + 119940 =

120782 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 usando a lei de anulamento de produto

Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicado muitas vezes na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees

quadraacuteticas incompletas

432 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 = 120782

Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 = 120782 satildeo aquelas em que os coeficientes 119939 119890 119940 satildeo iguais a zero Isto

eacute 119939 = 120782 119890 119940 = 120782 o valor de 119886 eacute diferente de zero Isto 119938 ne 120782

Ex a) 119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782

b) minus1199092 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782

c) 120785119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783 119939 = 120782 119942 119940 = 120782

d) minusradic120784

120784119961120784 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = minus

radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782

Para resolver este tipo de equaccedilotildees aplicando a lei de anulamento de produto deve-se decompor ou

factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica e igualar os factores a zero para determinar as soluccedilotildees que satildeo

119961120783 119890 119961120784 Para este tipo 119961120783 eacute sempre igual agrave 119961120784 Isto eacute 119961120783 = 119961120784 = 120782


Ex Determinemos as soluccedilotildees de minusradic120784

120784119961120784 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto

minusradic120784

120784119961120784 = 120782 Primeiro passamos o coeficiente minus

radic120784

120784 para o segundo membro e passa a dividir porque

no primeiro membro estaacute a multiplicar Assim minusradic120784

120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =

120782

minusradic120784

120784

portanto 120782

minusradic120784

120784

= 120782 entatildeo

119961120784 =120782

minusradic120784

120784

harr 119961120784 = 120782

Passo seguinte vamos factorizar a equaccedilatildeo fica 119961119961 = 120782 igualamos os factores a zero assim

119961120783 = 120782 119961120784 = 120782 Soluccedilatildeo final119930119952119949 119961 = 120782 portanto esta soluccedilatildeo chama-se soluccedilatildeo dupla

porque 119961120783 = 119961120784

433 Equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782

Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 119938119961120784 + 119940 = 120782 satildeo todas aquelas em que o valor de coeficiente 119939 eacute igual a

zero Isto eacute 119938 ne 120782119939 = 120782 119942 119940 ne 120782

Ex a) 119961120784 minus 120783 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = 120782 119942 119940 = minus120783

b) minus1199092 + 3 = 0 Os coeficientes satildeo 119938 = minus120783119939 = 120782 119942 119940 = 120785

c) 120785119961120784 + 120783120782 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785 119939 = 120782 119942 119940 = 120783120782

d) radic2

2minus

radic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 =

radic120784

120784

Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto

Veja que a expressatildeo minus119961120784 + 120785 eacute um caso notaacutevel do tipo 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) Entatildeo

podemos factorizar aplicando o caso notaacutevel Assim minus119961120784 + 120785 = 120782 aplicando a propriedade

comutativa teremos 120785minus119961120784 = 120782 passo seguinte vamos colocar o 120785 na forma de potecircncia entatildeo ficaraacute

assim (radic120785)120784= 120785 porque (radic120785)

120784= (radic120785) times (radic120785) = radic120785 times 120785 = radic120791 = 120785

Entatildeo a equaccedilatildeo fica 120785minus119961120784 = 120782 harr (radic120785)120784minus 119961120784 = 120782

Agora vamos factorizar aplicando o caso notaacutevel 119938120784 minus 119939120784 = (119938 + 119939)(119938 minus 119939) entatildeo fica

(radic120785)120784minus 119961120784 = 120782 harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos igualar os factores a zero assim

harr (radic120785 + 119961)(radic120785 minus 119961) = 120782 harr (radic120785 + 119961) = 120782(radic120785 minus 119961) = 120782 vamos passar os termos

independentes para o segundo membro e vatildeo mudar os seus sinais Assim

harr 119961 = 120782 minus radic120785 minus 119961 = 120782 minus radic120785 harr 119961 = minusradic120785 minus 119961 = minusradic120785 na equaccedilatildeo minus119961 = minusradic120785 vamos

multiplicar ambos os membros por (minus120783) teremos(minus120783) minus 119961 = minusradic120785(minus120783) harr 119961 = +radic120785 logo

temos duas soluccedilotildees que satildeo 119961120783 = minusradic120785 119961120784 = +radic120785 isto eacute 119930119952119949 119961 = minusradic120785+radic120785



Equaccedilotildees quadraacuteticas do tipo 1198861199092 + 119887119909 = 0 satildeo todas aquelas em que o valor de 119888 eacute igual a zero Isto

eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0

Ex a) 119961120784 minus 119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120783119939 = minus120783 119942 119940 = 120782


c) 120785119961120784 +120787

120784119961 = 120782 Os coeficientes satildeo 119938 = 120785119939 =

120787

120784 119942 119940 = 120782

d) radic8119961 minus120783120786


14

5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782

Para determinar as soluccedilotildees das equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 = 120782 deve-se decompor a equaccedilatildeo

colocando em evidecircncia o factor comum e aplicar a lei de anulamento de produto Assim

119938119961120784 + 119939119961 = 120782 harr 119961(119938119961 + 119939) = 120782 Igualamos os factores a zero e teremos

harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939

119938

Ex Determinemos as soluccedilotildees da equaccedilatildeo minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 aplicando a lei de anulamento de produto

Portanto a equacao pode ficar assim minus119961120784 minus 120787119961 = 120782 harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 entatildeo podemos colocar em

evidecircncia o factor comum Assim harr minus119961119961 minus 120787119961 = 120782 harr 119961(minus119961 minus 120787) = 120782 agora podemos aplicar a

lei de anulamento de produto igualar os factores a zero e determinar as soluccedilotildees Assim harr

119961(minus119961 minus 120787) = 120782 harr 119961 = 120782(minus119961 minus 120787) = 120782 passamos o termo independente para o segundo

membro e muda de sinal Assim minus119961 = 120782 + 120787 harr minus119961 = +120787 multiplicamos ambos os membros por

(minus1) para eliminar o sinal negativo no termo minus119961 teremos

harr (minus120783) minus 119961 = +120787(minus120783) harr 119961 = minus120787 Entatildeo para as duas soluccedilotildees teremos 119961120783 = 120782119961120784 = minus120787

Soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 = minus120787 120782

ACTIVIDADE Ndeg 3

Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas incompletas do

tipo1198861199092 = 0 1198861199092 + 119888 = 0 1198861199092 + 119887119909 = 0 Usando a Lei de anulamento de produto Vocecirc pode


1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a lei de anulamento de produto

a) minus201199092 = 0 b) minus71199092 + 14 = 0 c) radic5

21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0

f) 101199092 + 10 = 0



1 a) 119878119900119897 119909 = 0 b) 119878119900119897 119909 = minusradic2radic2 c) 119878119900119897 119909 = 0 d) 119878119900119897 119909 = 0 3

e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty



RESOLUCcedilAtildeO DE EQUACcedilOtildeES QUADRAacuteTICAS COMPLETAS

DO TIPO119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 USANDO A LEI DE ANULAMENTO

DE PRODUTO


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do

tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto


- Resolver equaccedilotildees quadraacuteticas completas

- Aplicar a lei de anulamento de produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas

TEMPO DE ESTUDO


441 Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do tipo119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Usando a lei de anulamento de produto

Caro estudante a lei de anulamento de produto eacute aplicaacutevel tambeacutem nas equaccedilotildees quadraacuteticas completas

Para resolver uma equaccedilatildeo quadraacutetica do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 aplicando a lei de anulamento de

produto devemos factorizar a equaccedilatildeo O processo de factorizaccedilatildeo tem alguns procedimentos por

seguir

1˚- Devemos aplicar o principio de equivalecircncia dividir ambos os membros por 119938 Assim

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 simplificando teremos

119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 120782

119938= 120782 entatildeo a

equaccedilatildeo fica 119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782

2˚- Devemos passar o termo independente 119940

119938 para o segundo membro e muda de sinal Fica

119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938= minus

119940

119938


3˚- Devemos adicionar ambos os membros pelo quadrado da metade de 119939

119938 que eacute (

119939

120784119938)120784

Assim

119961120784 +119939119961

119938= minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

Agora podemos colocar o primeiro membro na

forma de caso notaacutevel Assim 119961120784 +119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

harr (119961+119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 portanto

esta uacuteltima foacutermula vai facilitar a aplicaccedilatildeo da lei de anulamento de produto

Ex determine as soluccedilotildees da equaccedilatildeo 120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 aplicando a lei de anulamento de

produto

1˚- Dividimos ambos os membros por 3 porque o coeficiente 119938 eacute igual agrave 3 isto eacute 119938 = 120785 Assim

120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785 simplificando teremos harr

120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785harr

harr 119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782

2˚- Passamos o termo independente +120783 para o segundo membro e muda de sinal fica minus120783 Assim harr

119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783

3˚- Adicionamos ambos os membros pelo quadrado da metade de (minus120783120782

120785) a metade de (minus

120783120782

120785) significa

dividi-lo por 120784

Assim minus120783120782

120785

120784=

minus120783120782

120785120784

120783

= multiplicamos o divisor minus120783120782

120785 pelo inverso de dividendo

1

2 assim

minus120783120782

120785120784

120783

=

minus120783120782

120785times120783

120784= minus

120787times120784times120783

120785times120784= minus

120787

120785

Entatildeo o seu quadrado seraacute (minus120787

120785)120784

Portanto vamos adicionar ambos os membros da equaccedilatildeo 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783 por (minus

120787

120785)120784

Assim 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

agora podemos construir o

caso notaacutevel no primeiro membro e calcular o segundo membro Assim

Veja que expressatildeo 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

eacute igual ao seguinte caso notaacutevel (119961 minus120787

120785)120784

Isto eacute

119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= (119961 minus120787

120785)120784

Como construir o caso notaacutevel (119961 minus120787

120785)120784

Partindo de 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

adicionamos a base do primeiro quadrado 119961120784 a base eacute 119961 com a base

do segundo quadrado (minus120787

120785)120784

a base eacute (minus120787

120785) e elevamos esta soma pelo expoente 2 Assim

[119961 + (minus120787

120785)]120784

= (119961 minus120787

120785)120784

Entatildeo a nossa equaccedilatildeo fica de seguinte modo


119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

Calculamos o segundo

membro = minus120783 + (minus120787

120785)120784

= minus120783 +120784120787

120791= minus

120783120783(120791)

+120784120787120791(120783)

=minus120791+120784120787

120791=

120783120788

120791 Substituiacutemos na equaccedilatildeo fica

(119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

=120783120788

120791 agora podemos envolver ambos os membros agrave raiz

quadrada para eliminar o expoente 2 Assim radic(119961 minus120787

120785)120784

= radic120783120788

120791 como estamos a espera de duas

soluccedilotildees devemos colocar os sinais plusmn no segundo membro Assim radic(119961 minus120787

120785)120784

= plusmnradic120783120788

120791 agora

podemos eliminar a raiz quadrada de primeiro membro Assim

119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788

120791 passo seguinte calculamos a raiz quadrada de segundo membro assim

119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788

120791harr 119961minus

120787

120785= plusmn

120786

120785 passamos o termo minus

120787

120785 para o segundo membro Assim

harr 119961 minus120787

120785= plusmn

120786

120785harr 119961 =

120787

120785plusmn

120786

120785 agora podemos determinar o 119961120783119890 119961120784 Assim

119961120783 =120787

120785+

120786

120785=

120791

120785= 120785119961120784 =

120787

120785minus

120786

120785=

120783

120785 soluccedilatildeo 119930119952119949 119961 =

120783

120785 120785


Caro estudante depois de termos abordado a Resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas completas do

tipo1198861199092 + 119887119909 + 119888 = 0 usando a lei de anulamento de produto Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios

propostos


a) 21199092 minus 2119909 minus 12 = 0 b) 1199092 + 6119909 + 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0



1 a) 119878119900119897 119909 = minus2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 c) 119878119900119897 119909 = minus2

3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8



FOacuteRMULA RESOLVENTE


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Foacutermula resolvente para ser aplicada na Resoluccedilatildeo de

equaccedilotildees quadraacuteticas de todo tipo


- Deduzir a foacutermula resolvente

- Aplicar a formula resolvente na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacutetica

TEMPO DE ESTUDO


451 Foacutermula resolvente

Caro estudante partindo da deduccedilatildeo da foacutermula aplicada na lei de anulamento de produto para

equaccedilotildees do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 abordada na liccedilatildeo anterior Liccedilatildeo nordm4 podemos deduzir a

foacutermula resolvente que facilitaraacute a resoluccedilatildeo de qualquer equaccedilatildeo quadraacutetica

Jaacute abordamos na liccedilatildeo anterior que uma equaccedilatildeo do tipo 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 pode ser representada

tambeacutem na forma (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Isto eacute

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Portanto envolvendo ambos os membros a raiz

quadrado teremos radic(119961 +119939

120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784

Simplificando o primeiro membro teremosradic(119961 +119939

120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961+

119939

120784119938= plusmnradic

119939120784minus120786119938119940

120786119938120784

passamos o termo +119939

120784119938 para o segundo membro e muda de sinal fica minus

119939

120784119938 isto eacute

119961 +119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961 = minus

119939

120784119938plusmnradic

119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 separamos os radicandos aplicando a propriedade da

divisatildeo dos radicandos fica 119961 = minus119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr= 119961 = minus

119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

radic120786119938120784 o valor radic120786119938120784 = 120784119938

entatildeo fica 119961 = minus119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961 =

minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 portanto uma equaccedilatildeo quadraacutetica tem no

maacuteximo duas soluccedilotildees entatildeo teremos a foacutermula resolvente de seguinte modo


119961120783120784 =minus119939 plusmn radic119939120784 minus 120786119938119940

120784119938

Onde 119938 119939 119890 119940 satildeo coeficientes reais Isto eacute (119938 ne 120782119939 119890 119940 )120598119877

O radicando 119939120784 minus 120786119938119940 chama-se Binoacutemio Discriminante E representa-se por ∆ lecirc-se delta

Entatildeo podemos igualar o radicando 119939120784 minus 120786119938119940 por ∆ Isto eacute

∆= 119939120784 minus 120786119938119940

Entatildeo a formula resolvente tambeacutem pode ficar da seguinte forma

Na base do valor de discriminante ( ∆) teremos trecircs condiccedilotildees para determinarmos as soluccedilotildees de uma

equaccedilatildeo quadraacutetica Que satildeo

- Se o ∆gt 0 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais diferentes

- Se o ∆= 120782 a equaccedilatildeo tem duas soluccedilotildees ou raiacutezes reais iguais ou raiz dupla

- Se o ∆lt 0 a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees ou natildeo tem raiacutezes reais

Ex1 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 120784119961120784 minus 120789119961 + 120785 = 120782 aplicando a foacutermula resolvente

Primeiro devemos determinar os valores dos coeficientes 119938 119939 119890 119940 Que satildeo

119938 = 120784 119939 = minus120789 119890 119940 = 120785 em seguida podemos substituir na foacutermula resolvente Assim

119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961120783120784 =

minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)

120784times(120784)

Em seguida calculamos o que estaacute fora e dentro do radicando Assim

119961120783120784 =minus(minus120789)plusmnradic(minus120789)120784minus120786times(120784)times(120785)

120784times(120784) harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120786120791minus120784120786

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120784120787

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmn120787

120786 veja que

o discriminante eacute igual agrave 25 isto eacute ∆= 120784120787 portanto eacute maior que zero ∆= 120784120787 gt 0 Entatildeo teremos

duas soluccedilotildees diferentes Agora podemos calcular os valores de 119961120783 119890119961120784 assim

119961120783 =+120789+120787

120786=

120783120784

120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =

+120789minus120787

120786=

120784

120786=

120784times120783

120784times120784=

120783

120784 119930119952119949 119961 =

120783

120784 120785 Satildeo duas

soluccedilotildees

119961120783120784 =minus119939 plusmn radic∆

120784119938


Ex2 Determine as soluccedilotildees da seguinte equaccedilatildeo 119961120784 minus 120784radic120784119961 + 120784 = 120782 aplicando a foacutermula

resolvente

Determinamos os coeficientes 119938 119939 119890 119940 que satildeo 119938 = 120783 119939 = minus120784radic120784 119890 119940 = 120784 substituiacutemos na foacutermula

resolvente 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961120783120784 =

minus(minus120784radic120784)plusmnradic(minus120784radic120784)120784minus120786times(120783)times(120784)

120784times(120783) portanto o delta eacute igual agrave

∆= (minus120784radic120784)120784minus 120786 times (120783) times (120784) harr ∆= 120786radic120786 minus 120790 harr ∆= 120786 times 120784 minus 120790 harr ∆= 120790 minus 120790 = 120782

Portanto o ∆= 120782 Teremos duas soluccedilotildees reais iguais Isto eacute

119961120783120784 =minus(minus120784radic120784)plusmnradic120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784 determinemos 119961120783 119890119961120784 Assim

119961120783 =120784radic120784+120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120784 =

120784radic120784minus120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120783 = 119961120784 119930119952119949 119961 = radic120784 Eacute raiz dupla


Determinamos os coeficientes 119938 = 120786 119939 = minus120784 119890 119940 = 120785 substituiacutemos na foacutermula resolvente


120784119938harr 119961120783120784 =

minus(minus120784)plusmnradic(minus120784)120784minus120786times120786times120785

120784times120786 vamos calcular o ∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785

∆= (minus120784)120784 minus 120786 times 120786 times 120785 harr ∆= 120786 minus 120786120790 harr ∆= minus120786120786 Veja que o discriminante eacute menor que zero

Isto eacute harr ∆= minus120786120786 lt 0 Logo a equaccedilatildeo natildeo tem soluccedilotildees reais Isto eacute 119961 = 119952119958 119961 = empty

ACTIVIDADE Ndeg 5

Caro estudante depois de termos abordado a Foacutermula resolvente Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios

propostos abaixo

1Resolva as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas aplicando a formula resolvente

a) minus21199092 + 2119909 + 12 = 0 b) minus1199092 minus 6119909 minus 9 = 0 c) 31199092 minus 119909 minus 2 = 0 d) 51199092 + 36119909 minus 32 = 0




3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8



SOMA E PRODUTO DE RAIacuteZES DE EQUACcedilAtildeO

QUADRAacuteTICA


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica o que

facilitaraacute ainda mais a determinaccedilatildeo das soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo quadraacutetica


- Determinar a soma e produto das raiacutezes da equaҫȃo quadraacutetica

- Aplicar as foacutermulas da soma e produto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas

TEMPO DE ESTUDO


461 Soma das raiacutezes

Caro estudante considerando a equaccedilatildeo quadraacutetica na forma canoacutenica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 se

dividirmos todos os termos da equaccedilatildeo acima Assim

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 simplificando a expressatildeo teremos

119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938

harr 119961120784+

119939119961

119938+

119940

119938= 120782 portando o coeficiente

119887

119886 representa a soma das raiacutezes 119961120783 + 119961120784 e como

na equaccedilatildeo quadraacutetica tem sinal positivo entatildeo na soma vai assumir valor negativo Isto eacute a soma seraacute

dada por 119930 = minus119939

119938 Significa que 119930 = 119961120783 + 119961120784 ou 119930 = minus

119939

119938 Portanto

119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939

119938

Ex Determinemos a soma das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782

Aplicamos a formula 119930 = minus119939

119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 que satildeo 119938 = 120785 119942 119939 = 120787 Entatildeo

substituindo na formula teremos 119930 = minus119939

119938harr 119930 = minus

120787

120785 Assim determinamos o valor da soma das

raiacutezes


462 Produto das raiacutezes

O produto das raiacutezes 119961120783 times 119961120784 seraacute dado pelo coeficiente 119940

119938 extraiacutedo na equaccedilatildeo

119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 e seraacute representado por 119927 =

119940

119938

Significa que 119927 = 119961120783 times 119961120784 ou 119927 =119940

119938 Portanto

119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940

119938

Ex Determinemos o produto das raiacutezes da equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782

Aplicamos a formula 119927 =119940

119938 extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 que satildeo 119938 = 120785 119942 119940 = minus120784 Entatildeo

substituindo na formula teremos 119927 =119940

119938harr 119927 =

(minus120784)

120785= minus

120784

120785 Assim determinamos o valor de produto

das raiacutezes

Portanto partindo das foacutermulas da soma e produto isto eacute 119930 = minus119939

119938 e 119927 =

119940

119938 podemos substituir na

equaccedilatildeo 119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 para tal na foacutermula 119930 = minus

119939

119938 multiplicamos ambos os membros por

(minus1) e fica (minus1)119930 = minus119939

119938(minus120783) harr minus119930 =

119939

119938 Agora podemos substituir na foacutermula Assim

119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 harr 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 Esta foacutermula 119961120784 minus 119930119961 + 119927 = 120782 eacute da soma e produto

das raiacutezes A mesma foacutermula eacute conhecida como foacutermula de VIETT

As foacutermulas da soma e produto satildeo muitas vezes aplicadas para determinar uma outra variaacutevel

envolvida numa equaccedilatildeo quadraacutetica Esta equaccedilatildeo quadraacutetica que envolve uma outra variaacutevel para aleacutem

da variaacutevel em estudo eacute chamada equaccedilatildeo parameacutetrica e vai ser melhor abordada no moacutedulo 5

(cinco)

Ex Dada a equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 determine o valor de 119898 de modo que

a) A soma das raiacutezes seja 120786

Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119939 assim 119938 = 120783 119942 119939 = minus(119950+ 120783) Passo seguinte aplicamos

a formula da soma 119930 = minus119939

119938 Portanto estaacute dito na aliacutenea a) que a soma deve ser igual 120786 isto eacute 119930 = 4

Entatildeo substituindo na formula 119930 = minus119939

119938 e teremos

119930 = minus119939

119938 harr 120786 = minus

[minus(119950+120783)]

120783 calculamos a equaccedilatildeo teremos

4 = minus[minus(119950+120783)]

1harr 4 = minus[minus(119950+ 120783)] conjugamos os sinais eliminamos parentes rectos teremos o

segundo membro positivo Assim 120786 = (119950+ 120783) harr 120786 = 119950+ 120783 passamos o termo 1 para o primeiro


membro fica negativo Assim harr 120786 = 119950+ 120783 harr 120786 minus 120783 = 119950 harr 120785 = 119950 aplicando a propriedade

comutativa teremos 120785 = 119950 harr 119950 = 120785

Resposta Para que a soma das raiacutezes seja 4 o valor de m deve ser igual agrave 3

b) O produto das raiacutezes seja ndash120783120782

Primeiro extraiacutemos os coeficientes 119938 119890 119940 na equaccedilatildeo 119961120784 minus (119950+ 120783)119961 + (120784119950minus 120787) = 120782 assim

119938 = 120783 119942 119940 = (120784119950minus 120787) Passo seguinte aplicamos a formula de produto 119927 =119940

119938 Portanto estaacute dito

na aliacutenea b) que o produto deve ser igual minus120783120782 isto eacute 119927 = 4 Entatildeo substituindo na formula 119927 =119940

119938 e

teremos

119927 =119940

119938harr minus120783120782 =

(120784119950minus120787)

120783harr minus120783120782 = 120784119950minus 120787 passamos o termo ndash120787 para o primeiro membro e fica

positivo assim harr minus120783120782 + 120787 = 120784119950 harr minus120787 = 120784119950 aplicamos a propriedade comutativa trocamos os

membros assim harr minus120787 = 120784119950 harr 120784119950 = minus120787 passamos o coeficiente 120784 para o segundo membro e

passa a dividir assim

120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787

120784 Resposta para que o produto das raiacutezes seja ndash120783120782 o valor de deve ser igual

agrave ndash120787

120784


Caro estudante depois de termos abordado a Soma e produto de raiacutezes de equaccedilatildeo quadraacutetica Vocecirc

pode efectuar os exerciacutecios propostos

1Considere as equaccedilotildees abaixo e determine os valores de 119948 119962 119942 119960 de modo que a soma seja -2 e o

produto seja 5 em cada aliacutenea

a) 1199092 + (119896 + 1)119909 + 2119896 = 0 b) 1199092 + 2(119910 + 1)119909 minus 2119910 = 0 c) 1199092 minus (119908 minus 7)119909 minus1

2119908 = 0



1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5

2

b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5

2

c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10



FACTORIZACcedilAtildeO DE UM TRINOacuteMIO 119938119961120784+119939119961+119940 =119938(119961minus119961120783)(119961minus119961120784)


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 1198861199092 + 119887119909 + 119888 =

119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)


- Factorizar a equaccedilatildeo quadraacutetica

TEMPO DE ESTUDO


471 Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)

Caro estudante a partir das soluccedilotildees 119961120783 119890 119961120784 da equaccedilatildeo quadraacutetica 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 Podemos

factoriza-la ficando da seguinte maneira 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784)

Ex Factorizemos a seguinte equaccedilatildeo quadraacutetica 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782

Primeiro devemos determinar os valores de 119961120783 119890 119961120784 aplicando a foacutermula resolvente Assim

Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim 119938 = 120785 119939 = 120787 119942 119940 = minus120784 substituiacutemos na formula

abaixo 119961120783120784 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961120783120784 =

minus120787plusmnradic120787120784minus120786times120785times(minus120784)

120784times120785harr 119961120783120784 =

minus120787plusmnradic120784120787+120784120786

120788harr 119961120783120784 =

minus120787plusmnradic120786120791

120788

119961120783120784 =minus120787plusmnradic120786120791

120788harr 119961120783120784 =

minus120787plusmn120789

120788 119961120783 =

minus120787+120789

120788=

120784

120788=

120783

120785119961120784 =

minus120787minus120789

120788=

minus120783120784

120788= minus120784 jaacute determinamos

os valores de 119961120783 119890 119961120784 que satildeo 119961120783 =120783

120785 e 119961120784 = minus120784 Agora podemos factorizar

Assim aplicamos a foacutermula 119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 e substituiacutemos na mesma pelas raiacutezes

119961120783 =120783

120785 e 119961120784 = minus120784 e o coeficiente 119938 = 120785 fica

119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 conjugando os sinais dentro de parentes

rectos teremos 120785(119961 minus120783

120785) [119961 minus (minus120784)] = 120782 harr 120785(119961 minus

120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Assim factorizamos a


equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 Significa que a equaccedilatildeo 120785119961120784 + 120787119961 minus 120784 = 120782 eacute equivalente agrave 120785 (119961 minus

120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute

120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) (119961 + 120784) = 120782


Caro estudante depois de termos abordado a Factorizaccedilatildeo de um trinoacutemio 119938119961120784 + 119939119961 + 119940 =

119938(119961 minus 119961120783)(119961 minus 119961120784) Vocecirc pode efectuar os exerciacutecios abaixo

1Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas




1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)

b) ndash (119909 minus 3)2

c) 3 (119909 +2

3) (119909 minus 1)

d) 5 (119909 +4

5) (119909 minus 8)



PROBLEMAS CONDUCENTES AgraveS EQUACcedilOtildeES

QUADRAacuteTICAS


Caro estudante nesta liccedilatildeo vamos abordar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas


- Equacionar Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas

- Aplicar as fόrmulas na resoluccedilatildeo de Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas

TEMPO DE ESTUDO


481 Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas

Caro estudante os problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas podem serem resolvidas

equacionando o problema na forma de equaccedilatildeo quadraacutetica em primeiro lugar em seguida aplicar as

foacutermulas da resoluccedilatildeo de equaccedilotildees quadraacuteticas abordadas nas liccedilotildees anteriores

Ex Consideremos o seguinte problema

Numa sala rectangular pretende-se colocar uma alcatifa quadrangular de lado 119961 a aacuterea da parte sem

alcatifa mede 120786120787120788119950120784 veja a figura abaixo Qual deve ser a aacuterea de alcatifa

120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961

(120783120784119961 + 120785120788)119950

Resoluccedilatildeo veja que a aacuterea total da sala seraacute a soma de 120786120787120788119950120784 mais a aacuterea de alcatifa isto eacute


119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 e a aacuterea de alcatifa por ser quadrada seraacute igual ao lado de alcatifa ao

quadrado isto eacute 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 o lado eacute igual a 119961 isto eacute 119949 = radic120788119961 entatildeo a aacuterea de alcatifa seraacute

119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 119949120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = (radic120788119961)120784119950120784 = 120788119961120784119950120784 entatildeo substituindo na aacuterea total teremos

119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950

120784 + 120788119961120784119950120784 A sala eacute um rectacircngulo a aacuterea de

rectacircngulo eacute dada pelo produto de comprimento pela largura isto eacute 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 O comprimento

da sala mede (120783120784119961 + 120785120788)119950 isto eacute119940 = (120783120784119961 + 120785120788)119950 a largura da sala mede (120785119961 + 120784)119950

isto eacute 119949 = (120785119961 + 120784)119950 Substituindo na foacutermula 119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 teremos

119912119956119938119949119938 = 119940 times 119949 harr 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788)119950times (120785119961 + 120784)119950 multiplicamos a unidade metro por si

temos 119950times119950 = 119950120784 fica 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Veja que a aacuterea total eacute igual a

aacuterea da sala Assim 119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938 substituindo por

119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950

120784 na igualdade

119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938

Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 agora podemos reduzir a expressatildeo

numa equaccedilatildeo quadraacutetica

Assim 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950120784 Vamos omitir a unidade 119950120784 e vamos

colocar no fim E fica 120786120787120788 + 120788119961120784 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784) aplicamos a propriedade distributiva no segundo membro e teremos

harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +

120789120784 passamos os termos de primeiro membro para segundo membro e vatildeo mudar de sinal Assimharr

120782 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 + 120789120784 minus 120786120787120788 minus 120788119961120784 agora podemos adicionar os termos semelhantes

Assim harr 120782 = (120785120788 minus 120788)119961120784 + (120784120786 + 120783120782120790)119961 + 120789120784 minus 120786120787120788

harr 120782 = 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 mudamos os membros fica harr 120785120782119961120784 + 120783120785120784119961 minus 120785120790120786 = 120782 Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar a equaccedilatildeo assim

harr120785120782119961120784

120784+

120783120785120784119961

120784minus

120785120790120786

120784=

120782

120784harr simplificando teremos

harr 120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Veja que agora temos uma equaccedilatildeo quadraacutetica reduzida e podemos aplicar a foacutermula resolvente para a resoluccedilatildeo da mesma Assim

120783120787119961120784 + 120788120788119961 minus 120783120791120784 = 120782 Extraiacutemos os coeficientes 119938 119939 119942 119940 Assim

119938 = 120783120787 119939 = 120788120788 119942 119940 = minus120783120791120784 substituiacutemos na foacutermula resolvente assim


120784119938 harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmnradic(120788120788)120784minus120786times120783120787times(minus120783120791120784)

120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =


120785120782


120785120782harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmn120783120784120788

120785120782 119961120783 =

minus120788120788+120783120784120788

120785120782= 120784 119961120784 =

minus120788120788minus120783120784120788

120785120782= minus

120791120788

120783120787 portanto a

soluccedilatildeo que nos interessa eacute a positiva porque a distacircncia eacute sempre positiva Entatildeo o valor de 119961 eacute 119961120783 =

120784119950 Podemos substituir na formula 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 para determinar a aacuterea de alcatifa Assim

119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950

120784

Resposta A aacuterea de alcatifa deve ser de 120784120786119950120784



Caro estudante depois de termos abordado Problemas conducentes agraves equaccedilotildees quadraacuteticas Vocecirc pode


1 Determine o periacutemetro de uma sala rectangular sabendo que as medidas em centiacutemetros dos

comprimentos dos seus lados satildeo 119961 119961 + 120784 119942 119961 + 120786 (Recomendaccedilatildeo aplicar o teorema de Pitaacutegoras)

2 Uma sala rectangular de 120788119950 por 119961119950 tem uma alcatifa quadrada de lado 119961119950 colocada como mostra a figura abaixo

120788119950

120790119950120784 119961119950

119961119950

a) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea da sala b) Escreva uma expressatildeo que representa a aacuterea de alcatifa

c) Se a aacuterea natildeo coberta pela alcatifa eacute menor do que a coberta e igual a 81198982 determine 119909 (a largura da sala)



1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982

2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909

b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092

c) 119909 = 2




1 Indique os valores dos coeficientes 119938 119939 119942 119940 nas equaccedilotildees seguintes

a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0

b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0

c) minus1

21199092 = 15119909

d) 4radic3119909 = minus1199092 minus 9

e) 1199092 = 36

f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0

2 Determine as soluccedilotildees das seguintes equaccedilotildees aplicando anulamento de produto

a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1

2) = 0

b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0

c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0

d) 31199092 + radic3119909 = 0

3 Resolva aplicando a foacutermula resolvente

a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0

d) minusradic3119909 =3

2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0

4 Determine a soma e o produto das raiacutezes em cada equaccedilatildeo

a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0

b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0

c) 1199092 + radic3119909 minus radic2 = 0

d) 3(119909 + 2) = 1199092

5 Considere a equaccedilatildeo 119961120784 + (120784119950minus 120783)119961 +119950 = 120782

a) Resolva a equaccedilatildeo para 119950 = 120784

b) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo eacute incompleta

c) Para que valores de 119950 a equaccedilatildeo admite raiz dupla

d) Determine o valor de 119950 de modo que a soma das raiacutezes seja 5

e) Determine o valor de 119950 de modo que o produto das raiacutezes sejaradic2

6 Factorize as seguintes equaccedilotildees quadraacuteticas

a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0


7 A soma dos quadrados de trecircs nuacutemeros inteiros consecutivos eacute 50 Determine-os

8 O periacutemetro de um triacircngulo isoacutesceles eacute 120785120788119940119950 A altura relativa agrave base eacute de 120788119940119950 Determine a aacuterea do triacircngulo



1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16

b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12

c)119886 = minus1

2 119887 = minus15 119888 = 0

d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9

e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0

f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64

2 a) 119878119900119897 119909 = 1

2 3 b) 119878119900119897 119909 = minus3 minus2 c) 119878119900119897 119909 = minus

5

2 1

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0

3 a) 119878119900119897 119909 = minus1 4 b) 119878119900119897 119909 = minus7minusradic5

27+radic5

2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0 e)

radic2

2 radic2

4 a) 119878 =3

2 119875 = minus

5

2 b) 119878 = 8 119875 = 14 c) 119878 = minusradic3119875 = minusradic2 d) 119878 = 3 119875 = minus6

5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3

24minusradic3

2

d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2

6 a) minus(119909 + 1)(119909 minus 4) = 0 b) 2 (119909 +7+radic5

2) (119909 minus

7+radic5

2) = 0 c)

1

2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0

d) (119909 +radic3

3) 119909 = 0 e)(119909 minus

radic2

2) (119909 minus radic2) = 0

7 119878119900119897 = minus5minus4minus3 1199001199063 4 5

8 119860 = 601198881198982


BIBLIOGRAFIA

SAPATINHA Joatildeo Carlos Sapatinha (2013) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo

LANGA Heitor CHUQUELA Neto Joatildeo (2014) Matemaacutetica 9ordf Classe 1ordf Ediccedilatildeo Maputo



FICHA TEacuteCNICA

Consultoria


Direcccedilatildeo





Elaborador



Nilsa Cherindza



Deacutercio Langa


Teresa Macie




Eliacutesio Bajone

Osvaldo Companhia

Rufus Maculuve

Impressatildeo



Iacutendice




RECTA GRADUADA 10






ALGORITMO 32



41

















































desta classe



nomeadamente







de















esclarecidas







CONTEUacuteDOS

EXEMPLOS

REFLEXAtildeO

TOME NOTA































1





GRADUADA








TEMPO DE ESTUDO





119873 = 1234567891011hellip




119876 =

hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1 +

4

3 +375+

21

4 hellip





119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10

A B D E C F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10



E F B A C D



119860 +1

2 119861 minus

1

2 119862 +

7

3 119863 minus 4 119864 +

10

5 119865 minus 625


119860 +1

2

119860 +1

2= +05 Logo

0 119860 1 2

119861 minus1

2

119861 minus1

2= minus05 Logo

-2 -1 119861 0

-

10

10

2

05

00

-

10

10

2

05

00


119862 +7

3

119862 +7



119862

0 +1 +2 +3


Ex B A

C



Ex hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip






Ex O nuacutemero +7






( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)




3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip


-

-

700

6

3

233hellip

10

09

01


a) 0 isin 119873 (119865) e) +1


minus(119881)


3notin 1198760

+(119881)

c) minus3

2isin 119876 (119881) g) +

21

















(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)


minus)


c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760


d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760



ACTIVIDADE Ndeg 1



a) minus3

2isin 1198850

+ ( ) e) minus1



3isin 1198760

+( )

c) minus3

2isin 1198760

minus ( ) g) +21



a) A minus3

2 e) 119864 minus 2

1

2 i) 119868 035

b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2

3

c) 119862 minus3

4 g) 119866 +

21

4 l) 119871 minus 1

d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375










1

a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )

b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )

c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )

d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )


-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

3


b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760

+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+


4isin 119876 l) +825 isin 119876











TEMPO DE ESTUDO








(+) times (+) = +








b) (+3

4) minus (minus

4

3) + (minus

1

2) minus (+

1





+3

4+4

3minus1

2minus1

6=


+3

4+4

3minus1

2minus1

6=



+3 times 3

4 times 3+4 times 4



6 times 2=


12=

=+25minus6minus2

12=

+19minus2

12= +

17

12˶




minus05 minus 03 +2

5minus 025 =




10= minus

5

10 Entatildeo a

expressatildeo fica

= minus120787

120783120782minus

3

10+

2

5minus

25


(10)(10)(20)(1)

= minus5 times 10

100minus3 times 10

100+2 times 20

100minus25 times 1

100=


100=



100= minus

65

100˶


ACTIVIDADE Ndeg 2




b) (+1

2) minus (+

3

4) + (+

14

3) =

c) minus(minus6

7) minus

5

14minus (

1

2) =


10=


10) + (minus203) =



a) 20 b) 53

12 c) 0 d) 0 d) minus

547

100 e)minus

91

12










TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(+2

3) times (minus

6

8) times (minus

2

3) times (minus

1



3times6

8times2

3times1










1

2times3=

1

6˶




119939divide

119940

119941=

119938

119939times119941

119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne

120782 119942 119941 ne 120782

6

3

1

2

3

6 = 2 times 3


Ex a) (minus5

15) divide (+

10


5


divisor (+10


45


5

15) times (+

45



15times45






15times10=





3

2˶


119939119940

119941


119939119940

119941

=119938

119939times119941

119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876

Ex b) (minus

36

12)

(minus24


(minus36

12)

24

64

= (minus36

12) times

(minus64


36times64

12times24=




12times24=

+25times26


+25times26


26

3times3=

64

9 ˶

10

5

1

2

5

10 = 2 times 5

45

15

5

1

3

3

5


15

5

1

3

5

15 = 3 times 5

8

4

2

1

2

2

2

8 = 2 times 2 times 2 = 23

12

6

3

1

2

2

3

12 = 22 times 3

24

12

6

3

1

2

2

2

3

12 = 23 times 3

36

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

36 = 25

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

64 = 26


ACTIVIDADE Ndeg 3



a) minus(minus8

9) times (minus

18

4) =

b) (minus7

28) times (+

27

21) =


12) times (minus

1

9) =

d) 03 times10

9times (minus

81

4) times 02 =

e) 29

3times (minus

21

30) times 001 =


a) (minus12

5) divide (+

3

25) =


5) =

c) +025 divide (+75

100) =

d) +(minus31

3) divide (03) =






27

20 e) minus

35

3000


9 5c)

1

3 d) minus

100

9 e) minus

1

3









TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(3


3


minus(3


3

4) times (minus

2


3

4times

2

10=



3times2

4times10=

3


minus(3


3


3


119898119898119888 fica 320(1)

minus91

(20)


20=

3minus180

20=

Logo 3minus180

20= minus

177

20 ˶

b) (2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20



5divide

3

2=

2

5times2

3=

4



5 o valor 1





2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3= (

4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= passo seguinte


minus85(3)


15=

4minus24

15= minus

20

15= minus

4times5

3times5= minus

4

3


15minus

8

5) times 5 +

20

3= (minus

4

3) times 5 +

20



3) times 5 +

20

3= minus

4times5

3+

20

3= minus

20

3+

20



3+

20

3= 0˶

ACTIVIDADE Ndeg 4




b) minus2

3times3

4divide (minus

3

2) =

c) 3 divide (minus4

5) times (minus

2



e) minus1minus(

1

3minus3

4)

2minus(minus1

2)times(minus

1

2)=



1 a) 2 b)1

3 c) minus

5


1

3










TEMPO DE ESTUDO







Ex 02 12 (1

2)2

22 (3

4)2

32 42 (110

378)2

(2017

5)2

1002 119890119905119888





d) (3

4)2

= (3

4) times (

3

4) =

3times3

4times4=

9


3



e) 32 = 3 times 3 = 9

f) 42 = 4 times 4 = 16

g) (110

378)2

= (110

378) times (

110

378) =

12100

142884

h) (2017

5)2

= (2017

5) times (

2017

5) =

4068289

25

i) 1002 = 100 times 100 = 10000





Ex

a) 02 = 0 times 0 = 0

b) 12 = 1 times 1 = 1

c) 22 = 2 times 2 = 4

d) 32 = 3 times 3 = 9

e) 42 = 4 times 4 = 16




radic119938119951


chama-se 119877119886119889119894119888119886119897




Ex









Ex

a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4

b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9

c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16

d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100








a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5

b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11













radic30 asymp 54772


radic60 asymp 77460





a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯

b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯



a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017




1

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9

b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25

c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36

d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81

e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144

f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600

2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566

3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11

g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81


e)196 radic196 = 14

5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138









TEMPO DE ESTUDO




Ex radic2017

radic2017


Assim radic20170000




radic20170000 4



radic20170000 4

16

04


radic20170000 120786

16 8

04


radic20170000 120786 16 8 0417



radic20170000 120786 16 8120786

0417 times 120786

336




radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786

336


radic20170000 120786 120786

16 8120786 0417 times 120786

336 336

0081


radic20170000 44 16 84 88

0417 times 4

336 336

0081


radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88

0417 times 4

336 336

008100



radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889


336 336 8001

008100

8001


radic20170000 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

000099


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

00009900


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898


336 336 8001


008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919





9 1hellip


radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919


Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789











a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079

b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684

c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016

d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564

e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064







TEMPO DE ESTUDO






a) radic2


radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423


96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269

0400

281

011900

11296 00060400

56564 0000383600

0000282841 000010075900

000008485269

000001590631





diferentes






perioacutedicas











9 g) radic119890















f) radic625














TEMPO DE ESTUDO






Ex ℝ =

hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip




Ex

R

Q I

N

Z








ℝ

= hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784120645hellip


ℝ120782+ = 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ+ = hellip +120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip


120783120782120782









119887) 1198760minus nsub 1198770

+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770

+


4 isin 119877 l) +825 isin 1198770

+




propostos abaixo




1

1000 0 124radic

17


Determine




119887) 1198760+helliphellip1198770



2 g)minus

91


+ l) +119890helliphellip 1198770+







3 minus

1


d) 124radic17




1


f) 0 124radic17




1


incluindo o zero




119887) 1198760+ sub 1198770

+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877


2 g)minus

91

4 notin 1198770

+ l) +119890 isin 1198770+





GRADUADA






TEMPO DE ESTUDO




Ex

-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin







B

X 1cm

A 1cm C






119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784

120784


1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982




Ex

-2 -1 0 1 2


B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 2



B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic2 2






minusradic2 Assim

B

X 1cm

A 1cm C






D

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic3 2



Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C





ACTIVIDADE Ndeg 9





4



D

B

X 1cm

A 1cm C

minus14












TEMPO DE ESTUDO




2 =


3 119900119899119889119890 119886 isin 119877



Ex a) radic83



c) radic3433



= radic733

=7

e) radicminus27

8


343

49

7

1

7

7

7

343 = 73



23



23

3= minus

3

2




ACTIVIDADE Ndeg 10




a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic125

3 d) radic2197

3 e) radic

125

27

3 f) radic

1

216

3 g) radic729

3

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23



1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5

3 f)

1

6 g) 9







fraccionaria




TEMPO DE ESTUDO




119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873



radic119886119898119899

= 119886119898


119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890




2

b) radic(minus13

2)147

= (minus13

2)

14

7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus

13

2)147

= (minus13

2)2

=

(minus13

2) times (minus

13

2) = +

169

4


a) (5

9)

1

3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =

5

9 119890119899119905atilde119900 (

5

9)

1

3= radic(

5

9)13

= radic5

9

3

b) (119910

2)

8

5=119899 = 5119898 = 8 119886 =

119910

2 119890119899119905atilde119900 (

119910

2)

8

5= radic(

119910

2)85





a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic1256

3 d) radic(

13

2197)217

e) radic(125

27)25100

f) radic(1

216)1199016

g) radic7293


a) 51

4 b) 21

2 c) 081

3 d) (120587

2)

3

6e) 25025 f) 0008

1

3 g)0012

4



1a) (minus1)1

3 b) 2 c) -5 d) (1

169)2

e) (125

27)

1

4 f) (

1

216)

119901

6g) 729

1

3=[(9)3]1

3=9

2119886) radic54

b) radic2 c) radic8

10

3 d)radic

120587

2 e) radic25

4= radic5 f)radic

8

1000

3= radic(

2

10)33

=1

5 g)

1

10




RADICAL







TEMPO DE ESTUDO






= 119938radic119939119951





= radic119938119951 times 119939119951

= radic119938119951119939119951



c) 7

12times radic(

144

14)23




14)2

fica

7

12times radic(

144

14)23

= radic(7

12)3

times (144

14)23



14times14



14 = 7 times 2



14times14

3= radic

7times7times7


7times2times7times2

3=







3= radic

7times12

2times2

3= factorizamos


radic7times12

2times2

3= radic

7times4times3

4

3= radic7 times 3

3= radic21

3









Assim

119898 119899



= 119938119954radic119938119955119939119951


a) radic39 times 25


9 5


4 radic39 times 25



= 3 times radic1625

= 3radic1625

b) radic128

27


128

64

32

16

2

2

2


radic128

27

3= radic

27

33


por 3 Assim

7 3 3 3


1 0

Fica radic27

33

3=

22

31radic21

30

3=

4

3radic2

1

3=

4

3radic23

ACTIVIDADE Ndeg 12





c) 1

2radic30

60

3 d)

5

9radic

18

125

5 e) 7radic7

7 f)

1199092

3radic119910119909

119909

3



c) radic(7

3)145

d) 119909119910radic1

(119909119910)103

e)radic1314

2620

7 f) radic1000

8

4

2

1

2

2

2

2

128 = 27

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33




c) radic1

4

3 d) radic

50

6561

5 e) radic78

7 f) radic

1199101199094

27

3

2 119886) 3radic3 b) 22radic223

c) 49

9radic(

7

3)45

d) 1

(119909)2radic

1

119909119910

3 e)

13

262radic

1

266

7 f) 100radic10








TEMPO DE ESTUDO




satildeo






(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782

+


2= (3

1

2)2

= 31times2

2 = 32

2 = 31 = 3




119899= radic119886119899

119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873







+119898 119890 119899 isin 119873

Ex radicradic243

= radic23times4

= radic212

ACTIVIDADE Ndeg 13


propostos


a) radic724

b) radic2515

c) radic750100



3)6




e) radic224

f) 2 g) 4









TEMPO DE ESTUDO







b) radic5020

lt radic10020


c) radic1

50

20gt radic

1

100


1

50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890

1

100


a) radic93

gt radic94


b) radic10

2017

10lt radic

10




Ex a) radic73

____radic54



radic73

___radic54




radic743times4

___ radic534times3


___ radic12512




Entao

radic73

__gt__radic54

portanto radic73





a)radic1

2__radic

2

4 b)radic414

7 __radic33

7 c)radic2

3__radic12

3 d) radic3

4__ radic

1

3

3 e) radic26

16__radic22

3 f)radic

1

4

3__radic

1

2

5



1 a)radic1

2_=_radic

2

4 b)radic414

7 _gt_radic33

7 c)radic2

3_ gt _radic12

3 d) radic3

4_gt_ radic

1

3

3 e) radic26

16_ lt _radic22

3 f)radic

1

4

3_ lt

_radic1

2

5




DE RADICAIS







TEMPO DE ESTUDO












1

3 119890 minus 17









Assim







ACTIVIDADE Ndeg 13





b) minus13radic233

+1

2radic233

=



e) radic65

+ 3radic65

minus 2radic65

=

f) 3

2radic18

5+

7

3radic

2

125minus

1

15radic98

5=

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 times 32

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 times 32





37

15radic2

5




NUMEacuteRICAS








TEMPO DE ESTUDO







119899= radic119886 times 119887

119899 Onde 119886 119887 isin 1198770

+ e 119899 isin 119873



b)radic13

5

3 times radic

15

26


Assim radic13

5

3 times radic

15

23

3= radic

13

5times15

26


radic13

5times15

26

3= radic

13times5times3

5times13times2

3= radic

3

2

3


c) radic275

divide radic35


Assim radic275

divide radic35

= radic27 divide 35


= radic27

3

5= Decompomos o

27 fica radic27

3

5= radic

3times3times3

3


3times3times3

3

5= radic3 times 3

5= radic9

5




(4) (3)

Ex a) radic23

times radic54

= radic24(4times3)


= radic1612

times radic12512



times radic12512


=

radic200012

b)radic27


radic27(2)

radic2(7) =

radic222times7

radic277times2 =

radic2214



27



27

14= radic2(2minus7)

14= radic2minus5


radic(1

2)514

= radic1

32

14




1


1

49

radic1253



1


1

49

radic1253

divide radic83 =

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3= simplificamos

os factores 3 e 1


1

49


8 assim

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3=


1

radic(5

2)33


5

2

=


5

2


5

2


5

2

subtraiacutemos os


5

2

=(1minus7)radic7+1

5

2

=minus6radic7+1

5

2

= aplicamos a



5

2




5=


5=

minus12radic7+2



5=

2minus12radic7

5


ACTIVIDADE Ndeg 14




b) minus13radic7

2

3times

1

26radic1

7

3=


4=


e) radic65

divide radic125

=

f) 3

2radic5 + radic8

3divide radic64

3minus

3

2radic5 =




2

7times7radic32


1 a)35 b) minus1

2radic1


1

2

5 f)

1

2 g)

39

140 h)

75

98





a) 1










b) minus2017 + 2000 minus (+17) =

c) minus(2

3) + (minus

1

2) minus 1

d) 7

3+ 8 minus

1

3+

9

2=

e) 1minus3

2+

3

6minus

5

3minus (minus

5

9+ 7) =

f) (+077) + (minus9


77

100) +

(minus203) =

g) 4 minus1

2minus [2 + (minus

7

3+

1

4)] + 7 =




2) times (minus

8

3) minus 9 =


10times20

3divide (minus

2

10) =


e) 24

6times1

2+ 23 minus

2

3divide

8

9=

f) (2 divide 3 +2


1



a) 162 b) (minus13)2 c) (1

10)2

d) 0032 e) (1

5)2

f) 0222


a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898






a)minus14



a) radic643

b) radicminus83

c) radic27

125

3 d) radicminus729

3 e) radic2197

3 f) radic0008

3 g) radic0125

3


a)radic1

2 b) radic2

3 c) radic255

10 d) radic(

1

15)217

e) radic11990923

f) radic(minus2017

17)66

g)radic(58)4


a)1441

2 b) 251

2 c)(minus125

8)

2

6d) 27

1

3 e) radic4

3

4

f) 1961

4 g)radic2

3

36


a) 7radic2 b) 1

3radic9


2

81

3 e)3radic31199102

3 f) 1198862119887radic

119887

119886

3 g) minus2radic

1

7



c) radic(5

3)147

d) radic543

e)radic3 times 1253


27

3



a) radic14515

b) radic(7

14)28

c) radic(1

2017)1001000

d)radicradic(3

8)4


3

f) (radicradic(27

8)

35

)

25



2 b) radic

1

8

3 ---radic0002


5 d)radic

8

9

7----radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 ----radic

1

2

5




1

3radic1

5

3+

7

3radic1

5

3minus 7radic

1

5

3






6times19radic150 c)

radic5minusradic20


5

3)63

d) radic1199095

times radic11991125


radic1199091199115 119909 ne 0


2radic7 f)

(1

3radic33

)3minus radic1253

1

2( radic63 )

6





6 d)

87

6 e)minus

155

18 f)

47

100 g)

127

12

3 a) 3 b) minus38

3 c) minus

16

3 d)minus110 e)

97

4f)

4

9

4 a) 256 b) 169 c) 1

100 d)

9

10000 e)

1

25f)

484

10000

5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982

6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498


e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898

8 radic3 minus 4

A

minus14



9 a) 4 b) -2 c) 3

5 d) -9 e) 13 f)

1

5 g)

1

2

10a) (1

2)

1

2 b) 2

1

3 c) 251

2 d) (1

15)3

e) 1199092

3 f) 2017

17 g) 582

11 a) 12 b) 5 c) minus5

2 d) 3 e)

16

9 f) radic14 g)

4

9




3 e) radic811199102


4

7


c) 25

9 d) 3radic2

3 e) 5radic3

3 f) 10radic2 g)

4

3

14a) radic143

b) radic1

2

4 c) radic

1

2017

10 d)

3


27

8)53


2 b) radic

1

8

3 gt radic0002


5 d)radic

8

9

7lt radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 gt radic

1

2

5

16a) 21


1

5


17 a) radic6

8 b)

5

6radic1

2c)minus

34

9+ radic5 d) radic

1

1199092

5 e) minus

65

2radic14 f)minus

7

27


Unidade2












numeacutericos



Vocecirc






numeacutericos






2









TEMPO DE ESTUDO







-3 -2 -1 0 +1 +2 +3


-15-0250+12+10








-3 0 +2





-3 0 -2












-3 0 +2







-3 0 +2




infinito


-3 0 +infin



infinito







-3 0 +infin






minusinfin 0 +2





a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1


10

7]

e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5

3 +infin[



3le 119909 lt +11



a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17


1

8----[minus1 1]



1

a) b)

-5 0 +1 minus1

2 0

c) d)


7

e) f)

-4 0 +infin 0 5

3 infin

2

a) [minus4+infin[

-4 0


minusradic3 0


c)

[minus7

3 +11[

minus7

3 0 +11

d)

[6+infin[

0 6 +infin

e) [minus14 0[

-14 0

f) ]1213[

0 12 13

3



1

8isin [minus1 1]











TEMPO DE ESTUDO








A

-5 0 4 5







0 4


intervalos



1

2 4]


-2 -1 0 1

2 1 2 3





1

2 4] no eixo real

teremos

-3 -2 -1 minus1

2 0

1

2 1 2 3 4


2[ cup [minus

1

2 4] = [minus

1

2 4]






7] e C=]minus

15

2 +

1

2[ Determine




a)]minus15

2 1] b) [minus5

10

7] c) ]minus

15

21

2[ d)]minus

15

210

7]












TEMPO DE ESTUDO





a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1

2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)

2119911+2+119911

9ge 1





119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909

3119909 + 1 le1

2119909

3119909 + 1 1

2119909 3119909 1

1

2119909

119909



2119911 + 2 + 119911

9ge 1

2119911 + 2 + 119911

9

1 1

9 2119911 2 119911 1

119911





21199093y22y2zz



92


















assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783


0 1

19 +infin


19 +infin[


b)3(3minus119909)

3+

3119909minus1

4lt 1 minus

119909minus1


3(3 minus 119909)

3(4)

+3119909 minus 1

4(3)

lt1

1(12)

minus119909 minus 1

2(6)


12+


12lt

12

12minus




12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12harr

36minus12119909

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6













minusinfin -5 0







a) 2119909 +6

2lt 119909 minus 4

b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909


d)1

2(2119909 minus 1) + 1 ge

3

2(119909 minus

1

2)

e) 8 minus119909




2 c)119909 lt 0 d) 119909 le

5












TEMPO DE ESTUDO








1

3119909 + 7 ge minus3 b)

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9






1

3119909 + 7 ge minus3




119909 minus 3 lt 0

1


119909 lt 0 + 31




1


119909 lt 31





1


119909 lt 3

119909 geminus101

3

aplicamos


3 o

inverso eacute 3


119909 lt 3

119909 geminus101

3

harr 119909 lt 3


1

harr 119909 lt 3


119909 lt 3119909 ge minus30

Assim


Teremos

-30 0 3 +infin


Ex2

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9



119909minus24(5)

minus2119909minus12

(10)

gt1199095(4)

3minus511990929

ge5118

minus2119909+392

harr

5(119909minus2)

20minus

10(2119909minus1)

20gt

4119909

209(3minus5119909)

18ge

18times5

18minus

2(2119909+3)

18














harr 19119909 lt 041119909 le minus57



harr119909 lt

0

19

119909 leminus57

41

harr119909 lt 0

119909 leminus57

41


no eixo real Assim

minusinfin minus57

41 0 +infin


120786120783]

Ex3

(119909+3)

2le minus9

119909 minus 3 gt1

3(119909 minus 2)


(119909+3)2(1)

le minus91(2)

119909minus31(3)

gt13(1)


1(119909 + 3) le minus18



agrupamos




119909 le minus212119909 gt 7


119909 gt7

2


-21 0 120789

120784


119930119952119949 119961 120656 empty






a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2

b) 119909

2+ 3119909 ge 3

minus2119909 gt 2 minus 3119909

c)119909 minus

119909minus2

2le 2

2119909 le7119909

2minus

1

2

d)

2(119909minus2)

2minus

3(119909+2)

3lt

119909+1

6

2 minus3(119909+2)

2lt 119909 +

119909minus1

4

e) 1 minus

2

3(119909 + 3) ge

7(1minus2119909)

41

2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909


1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2

3 2[ c)[

2

3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [

33

347

5[





a) 119909 gt 0 b) 119909 le1


radic2

2le 119909 le +

radic2


1

3






2lt

4119909minus1

4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (

1

3119909 + 9)

e) 119910minus1

2minus

(2119910+3)

3gt

119910

6 f) minus4119909 + 6 ge

3

4119909 +

2minus119909

3



2

3119909

3

2(119909 minus 3) le 119909 + 1

b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0

9

2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6

c)

119909minus7

5lt 119909 minus

1



d) 4 minus 7119909 +

3minus119909

5gt 2





1a)

]0+infin[

0 +infin

]minusinfin1

2]

b)

0 1

2

c) ]minus4 8]

-4 0 8

d)

[minusradic2

2radic2

2]

minusradic2

2 0

radic2

2

d) [minus1

3 minus025[

minus1

3 minus025 0

2a) [minus3 5[ b)[07


7

2]

3 a) ]minusinfin8


5

2[ c) ]

3


9

2]f) ]minusinfin

64

53[

4 a) 119909120598 ]27


9

86

5[d)119909120598empty













Vocecirc









3











TEMPO DE ESTUDO






120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos

minusradic120785




radic120785

120784119935119936120784119937120783120782



letras 119935119936120784119937120783120782


51199052 minus

11989611989711990320

2 minus24 +1001198861199092

etc






radic120785

120784



c) 1


1

5

d) minus11989611989711990320


1



2= minus

1times(11989611989711990320)


minus1

2








c) 1


d) minus119896119897r20










120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13


c) 1


d) minus11989611989711990320

2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22



g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3


Ex radic5020

3119909119910 1199111199051198962 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 20171198962119905119911 1980



a) 3119909119910 minusradic3

3119910119909

119909119910



3119910119909

119909119910

20


c) radic5020




propostos abaixo



a) 119909119892119896 b) minus10

7119911 + 119889 c)

2017

25 d)

ℎ1199111199055

4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2

3 h) 45119905 + 0


a) 541199093 b) 1199091199051198968

8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus

1

71198861199031199058



31199097119910119911

minus1

31199091199052119896

-1980

81199091199054119910

5

11989641199101199111199052

(1

13)3

11990931199117


a) minus1199091199112 119909119911119911 2

31199092119911

1

41199112119909 minus181199111199092

b) radic3

21198871198863 minus119886119887

1198871198863

2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886

radic3

21198861198873



1


a) 119909119892119896 1 119909119892119896

119888)2017

25

2017

25

Natildeo existe

d) ℎ1199111199055

4

1

4

ℎ1199111199055

f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911

g) radic23

1 Natildeo existe

h) 45119905 + 0 45 119905

2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968


1

71198861199031199058

3


41199112119909)

b) (radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus119886119887+119887119886) (

radic3

21198871198863

1198871198863



31199097119910119911 3 1199097119910119911 9

minus1

31199091199052119896 minus

1

3

1199091199052119896 4


81199091199054119910

5

8

5

1199091199054119910 6

11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8

(1

13)3

11990931199117 (1

13)3

11990931199117 10










TEMPO DE ESTUDO













b) minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789


(minus120785

120784119938119939119961 119942

120789

120786119938119939119961) (

120783



minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus

120785

120784+

120789

120786) 119938119939119961 + (

120783



= (minus120785120784(120784)

+120789120786(120783)

)119938119939119961 + (120783120785(120783)

minus120787120783(120785)


120786) 119938119939119961 + (


120785) 119961y120785 =


= (minus120788+120789

120786) 119938119939119961 + (

120783minus120783120787

120785) 119961119962120785 = (

minus120783

120786) 119938119939119961 + (

minus120783120786


= minus120783

120786119938119939119961 minus

120783120786


por aqui





a) 2119909 minus 5119909 + 4119909

b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909

c) minus1

2119909119910 + 119911119905 minus

9

4119909119910 minus

7

10z119905

d) 1199091199116

2minus

21199116119909

3+ 2

e) 1198861199051199034

5+ 25 minus

111198861199051199034

10minus 50


g) 8

3119908 minus 8119908 + 4119906 minus

1

3119906



1 a)119909

b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909

c)minus11

4119909119910 +

3

10119911119905

d)minus1199116119909

6+ 2

e)minus9

101198861199051199034 minus 25

f) minus35119909 minus 9119910

g)11

3119906 minus

16

3119908






propriedades





TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios






120787119961120784119963120785 e minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784 Teremos

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782


120788

120787 minus

120783120782

120783120784 e as partes

literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = [

120788

120787times (minus

120783120782



minus6times5times2






tambeacutem


120787119961120788119962120785119963 e minus

120784120783

120784120782119961120786119962 Fica

(minus120789

120787119961120788119962120785119963) divide (minus

120784120783


(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

(minus120784120783

120784120782119961120786119962)

=


120787

minus120784120783

120784120782

) times (119961120788119962120785119963

119961120786119962) = neste caso



120784120782

120784120783 Assim

= (minus120789


120784120782

120784120783) times (

119961120788119962120785119963




119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times (

119961120788119962120785119963



= +120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963


= +120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= +

120786

120785times 119961120784119962120784119963 =

120786

120785119961120784119962120784119963







b) (8

31199094119910) times (minus311990931199102)


911990931198871199102)

d) 1711991051199096 times (2

34119886511991021199097)



b) (8

311990941199102) divide (minus31199093119910)

c) (minus4

311988611990931198871199102) divide (minus

1

91198871199091199102)

d) 1

171199105119909611988610 divide (

1

34119886511991021199093)


1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1

3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865

2 a)2

31199092 b)minus

8

9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093










TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios




120787119961120788119962120785119963)

120784



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= (minus120789

120787)120784



5)2


assim (minus120789

120787)120784

= (minus120789


120789

120787) = +

120786120791



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= +120786120791

120784120787119961120783120784119962120788119963120784


ACTIVIDADE Ndeg 4




a) (minus31199093)2

b) (8

31199094119910)

3

c) (minus1

911990931198871199102)

7

d) (2

34119886511991021199097)

2

e) (minus4

311988611990931198871199102)

3


1 a)91199096 b)512

27119909121199103 c)minus(

1

9)7

11990921119887711991014 d)(1

17)2

11988610119910411990914

e) minus64

271198863119909911988731199106










TEMPO DE ESTUDO






120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785


120783



120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785


31199102119909 + 541199052 minus 3


21199092 minus 119909

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910

d)1199092 minus 5119909 + 6






120784119961120784 tem grau 2





120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3


a)minus5


120787

120785119962120784119961









a) 3

21199094 minus 31199094 + 1199094

b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199105 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199092 +

1

21199092 minus 21119909

f)minus251199053 minus 1199053


a) 3

21199095 minus 31199094 + 1199097

b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199102 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199093 +

1

21199092119910119911 minus 21119909

f)318 minus 251199052 minus 1199103



1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)

2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3











TEMPO DE ESTUDO






120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784


119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784



119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784





119860 + 119861 = (120785 +120784


120784

120787)

teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)

+120784

120787(120783)



120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784

continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784


120783120787+120784

120787) =

17

5


5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos


119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =

120783120789



119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =

120783120789


119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120784


120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784



minus(120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus


119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784



119860 minus 119861 = (120785 minus120784



120787) teremos 119860 minus 119861 = (

120785120783(120787)

minus120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos



120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(

120783120787minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus


120787) =

120783120785

120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784


120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784


120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=

120783120785









119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784










a) 119860 + 119861 =3

21199092 minus 2119909 minus 3

b) 119860 minus 119861 =5

21199092 + 4119909 minus 1

c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1

21199092 minus 1

d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3

21199092 + 119909 minus 3












TEMPO DE ESTUDO







(minus120785119961120784) times (120784


120784


Assim

minus120785119961120784 times120784



120785) 119961120785119961120784 +
















= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782

ACTIVIDADE Ndeg 7




a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)

b) (minus5

3119909) times (minus1199093 +

9

10)

c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)



d) (1

21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)



1 a)61199092 minus 31199092

b)5

31199094 minus

3

2119909

c)1199091199102 + 1199104

d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910

2 a)21199093 minus 2119909

b)51199092 minus 9119909 + 4

c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4

d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909


Liatildeo nordm 8








TEMPO DE ESTUDO








119912 times 119913 = (minus120785


120785

120784119961120784)


119912 times 119913 = (minus120785



119912 times 119913 = (minus120785

120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus

120785


120785




119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961(120784+120784) +

120783120784

120784119961(120784+120783) +

120788



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 +

120783120784

120784119961120785 +

120788



120784 e 120788

120784 assim


119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784

ACTIVIDADE Ndeg 8




119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5





1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909


21199093 minus 31199092 + 119909

c)minus5

21199094 minus

25

21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2

d)61199092 + 13119909 minus 4






(119938 + 119939)(119938 minus 119939)







TEMPO DE ESTUDO














(120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (

120785times120785




120785119961120786119962120785 (120785





(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784







Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784


(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784







desenvolvido










(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784

































ACTIVIDADE Ndeg 9




a) 51199092 minus 25119909

b) minus3 + 61199092

c) 1199102 minus 30119910

d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911

e) 501199092

16minus

11990921199112

16

f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896





1a) 5119909(119909 minus 5)

b) 3(minus1 + 21199092)

c)119910(119910 minus 30)

d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)

e)1199092

16(50 minus 1199112)

f)71199103119896(119910 + 5)

2 a) 1199092 + 8119909 + 16

b)1199092 minus 14119909 + 49

c)4 + 12119910 + 91199102

d) (119909 + 6)(119909 minus 6)

e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)

f) (119909 + 3)(119909 minus 3)











TEMPO DE ESTUDO










=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)


=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +



ACTIVIDADE Ndeg 10




a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092

b) (1711991031199095+3411991021199093)

1711991021199093

c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)

d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911

2611990921199105

e) (501199092

16minus

11990921199112

16) divide (

1199092

16)

f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909

141199103119896



1 a)61199094 minus 8119909 + 2

b)1199092119910 + 2

c)119910 minus 30


2

e)50 minus 1199112

f)3minus119909

2






radic5

2119905311990921199106

minus(17)17 11990941199102

216119896141199102

3

2017


a) minus11989621199103 11990931198962119910318

511991031198962 20119910311989621199093 119896119910

b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905


a) 5119909 minus 3119909 minus10

2119909 = minus3119909

b) 1

31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103

c) 1198967

5minus

6

511989621198967 + 1198967 = 0




a) 119860 + 119861

b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861

d) ndash119860 + 3119862 minus 119861


a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12

41199102)

b) (3

41199093119910) (minus2119909119910 +

1

2119909119905 + 119909)

c) (31199113119896 minus 119911119896 +2

31199111198962) (31199112)

d) (1

41199092 + 119909 minus 3) (41199093)





2)

d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)







a) 1

5119905 +

4

5

b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112

c) 31199093 minus 91199094119910

d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2


a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)

b)3

21199109+61199106minus1199103

3

41199103

c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)

d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)



1


radic5

2119905311990921199106

radic5

2

119905311990921199106 11

minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6

216119896141199102

3

216

3

119896141199102 16


2a)(minus1198962119910318


3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865


5a) 9

411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)

3

211990941199102 +

3

81199094119910119905 +

3

41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962

d) 1199095 + 41199094 minus 121199093


21199093 +

1

21199092 minus 12119909 minus 2





8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)


9 a) 1


10 a) 21199053 + 1199052 b) 2

3(31199106 + 121199103 minus 2) c)

1

17(1 + 1199092 + 8119909)
















Vocecirc










reacutegua

2






nuacutemeros reais





TEMPO DE ESTUDO





















b) minusradic120784



minusradic120784



minusradic2

21199092


1˚ membro

= 7119909 + 100





minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus

radic120784



120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782







119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789




ACTIVIDADE Ndeg 1





e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0



e)minus1

21199092 = minus2 +

3




1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886


d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1

2 119887 = minus

3

4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2

g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0











TEMPO DE ESTUDO











(119961 + 120785) = 120782



























a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0




3 0












TEMPO DE ESTUDO












d) minusradic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782







minusradic120784


radic120784



120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =

120782

minusradic120784

120784

portanto 120782

minusradic120784

120784

= 120782 entatildeo

119961120784 =120782

minusradic120784

120784

harr 119961120784 = 120782



porque 119961120783 = 119961120784







d) radic2

2minus

radic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 =

radic120784

120784


















eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0



c) 120785119961120784 +120787


120787

120784 119942 119940 = 120782

d) radic8119961 minus120783120786


14

5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782




harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939

119938










ACTIVIDADE Ndeg 3






21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0

f) 101199092 + 10 = 0




e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty





DE PRODUTO







TEMPO DE ESTUDO






seguir


119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 120782



119938+

119940

119938= 120782



119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938= minus

119940

119938



119938 que eacute (

119939

120784119938)120784

Assim

119961120784 +119939119961

119938= minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784



119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

harr (119961+119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 portanto



produto


120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782


120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785harr

harr 119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782


119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783



120783120782

120785) significa



120785

120784=

minus120783120782

120785120784

120783



1

2 assim

minus120783120782

120785120784

120783

=

minus120783120782

120785times120783

120784= minus

120787times120784times120783


120787

120785


120785)120784


120783120782119961


120787

120785)120784

Assim 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784




120785+ (minus

120787

120785)120784


120785)120784

Isto eacute

119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= (119961 minus120787

120785)120784


120785)120784


120785+ (minus

120787

120785)120784



120785)120784



[119961 + (minus120787

120785)]120784

= (119961 minus120787

120785)120784



119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784



120785)120784

= minus120783 +120784120787

120791= minus

120783120783(120791)

+120784120787120791(120783)

=minus120791+120784120787

120791=

120783120788


(119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

=120783120788



120785)120784

= radic120783120788



120785)120784


120791 agora


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


120787

120785= plusmn

120786


120787


harr 119961 minus120787

120785= plusmn

120786

120785harr 119961 =

120787

120785plusmn

120786


119961120783 =120787

120785+

120786

120785=

120791

120785= 120785119961120784 =

120787

120785minus

120786

120785=

120783


120783

120785 120785




propostos






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8










TEMPO DE ESTUDO








120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Isto eacute

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940



120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784


120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961+

119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784



119939


119961 +119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961 = minus

119939


119939120784minus120786119938119940




119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr= 119961 = minus

119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940



120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961 =






120784119938




∆= 119939120784 minus 120786119938119940











120784119938harr 119961120783120784 =


120784times(120784)



120784times(120784) harr 119961120783120784 =


120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120784120787

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmn120787

120786 veja que



119961120783 =+120789+120787

120786=

120783120784

120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =

+120789minus120787

120786=

120784

120786=

120784times120783

120784times120784=

120783

120784 119930119952119949 119961 =

120783


soluccedilotildees


120784119938



resolvente



120784119938harr 119961120783120784 =






120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782


119961120783 =120784radic120784+120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120784 =

120784radic120784minus120782

120784=

120784radic120784





120784119938harr 119961120783120784 =





ACTIVIDADE Ndeg 5


propostos abaixo






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8




QUADRAacuteTICA







TEMPO DE ESTUDO





119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938

harr 119961120784+

119939119961

119938+

119940


119887





119939

119938 Portanto

119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939

119938





119938harr 119930 = minus

120787


raiacutezes





119961120784 +119939119961

119938+

119940


119940

119938


119938 Portanto

119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940

119938





119938harr 119927 =

(minus120784)

120785= minus

120784


das raiacutezes


119938 e 119927 =

119940



119938+

119940


119939



119938(minus120783) harr minus119930 =

119939


119961120784 +119939119961

119938+

119940






(cinco)







119938 e teremos

119930 = minus119939

119938 harr 120786 = minus

[minus(119950+120783)]


4 = minus[minus(119950+120783)]












119938 e

teremos

119927 =119940

119938harr minus120783120782 =

(120784119950minus120787)





120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787


agrave ndash120787

120784







2119908 = 0



1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5

2

b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5

2

c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10






119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



TEMPO DE ESTUDO









120784119938harr 119961120783120784 =


120784times120785harr 119961120783120784 =


120788harr 119961120783120784 =


120788


120788harr 119961120783120784 =


120788 119961120783 =

minus120787+120789

120788=

120784

120788=

120783

120785119961120784 =


120788=

minus120783120784





119961120783 =120783






120783




120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute

120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) (119961 + 120784) = 120782








1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)


c) 3 (119909 +2

3) (119909 minus 1)

d) 5 (119909 +4

5) (119909 minus 8)




QUADRAacuteTICAS






TEMPO DE ESTUDO









120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961

(120783120784119961 + 120785120788)119950






119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950








119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950

120784 na igualdade

119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938





harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +





harr120785120782119961120784

120784+

120783120785120784119961

120784minus

120785120790120786

120784=

120782






120784119938 harr 119961120783120784 =


120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =


120785120782


120785120782harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmn120783120784120788

120785120782 119961120783 =

minus120788120788+120783120784120788

120785120782= 120784 119961120784 =

minus120788120788minus120783120784120788

120785120782= minus

120791120788

120783120787 portanto a



119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950

120784









120788119950

120790119950120784 119961119950

119961119950





1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982

2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909

b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092

c) 119909 = 2





a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0

b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0

c) minus1

21199092 = 15119909


e) 1199092 = 36

f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0


a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1

2) = 0

b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0

c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0

d) 31199092 + radic3119909 = 0


a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0


a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0

b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0


d) 3(119909 + 2) = 1199092








a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0






1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16

b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12

c)119886 = minus1

2 119887 = minus15 119888 = 0

d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9

e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0

f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64

2 a) 119878119900119897 119909 = 1


5

2 1

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0


27+radic5

2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0 e)

radic2

2 radic2

4 a) 119878 =3

2 119875 = minus

5


5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3

24minusradic3

2

d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2


2) (119909 minus

7+radic5

2) = 0 c)

1

2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0

d) (119909 +radic3

3) 119909 = 0 e)(119909 minus

radic2

2) (119909 minus radic2) = 0


8 119860 = 601198881198982


BIBLIOGRAFIA




Iacutendice




RECTA GRADUADA 10






ALGORITMO 32



41

















































desta classe



nomeadamente







de















esclarecidas







CONTEUacuteDOS

EXEMPLOS

REFLEXAtildeO

TOME NOTA































1





GRADUADA








TEMPO DE ESTUDO





119873 = 1234567891011hellip




119876 =

hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1 +

4

3 +375+

21

4 hellip





119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10

A B D E C F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10



E F B A C D



119860 +1

2 119861 minus

1

2 119862 +

7

3 119863 minus 4 119864 +

10

5 119865 minus 625


119860 +1

2

119860 +1

2= +05 Logo

0 119860 1 2

119861 minus1

2

119861 minus1

2= minus05 Logo

-2 -1 119861 0

-

10

10

2

05

00

-

10

10

2

05

00


119862 +7

3

119862 +7



119862

0 +1 +2 +3


Ex B A

C



Ex hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip






Ex O nuacutemero +7






( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)




3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip


-

-

700

6

3

233hellip

10

09

01


a) 0 isin 119873 (119865) e) +1


minus(119881)


3notin 1198760

+(119881)

c) minus3

2isin 119876 (119881) g) +

21

















(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)


minus)


c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760


d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760



ACTIVIDADE Ndeg 1



a) minus3

2isin 1198850

+ ( ) e) minus1



3isin 1198760

+( )

c) minus3

2isin 1198760

minus ( ) g) +21



a) A minus3

2 e) 119864 minus 2

1

2 i) 119868 035

b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2

3

c) 119862 minus3

4 g) 119866 +

21

4 l) 119871 minus 1

d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375










1

a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )

b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )

c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )

d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )


-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

3


b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760

+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+


4isin 119876 l) +825 isin 119876











TEMPO DE ESTUDO








(+) times (+) = +








b) (+3

4) minus (minus

4

3) + (minus

1

2) minus (+

1





+3

4+4

3minus1

2minus1

6=


+3

4+4

3minus1

2minus1

6=



+3 times 3

4 times 3+4 times 4



6 times 2=


12=

=+25minus6minus2

12=

+19minus2

12= +

17

12˶




minus05 minus 03 +2

5minus 025 =




10= minus

5

10 Entatildeo a

expressatildeo fica

= minus120787

120783120782minus

3

10+

2

5minus

25


(10)(10)(20)(1)

= minus5 times 10

100minus3 times 10

100+2 times 20

100minus25 times 1

100=


100=



100= minus

65

100˶


ACTIVIDADE Ndeg 2




b) (+1

2) minus (+

3

4) + (+

14

3) =

c) minus(minus6

7) minus

5

14minus (

1

2) =


10=


10) + (minus203) =



a) 20 b) 53

12 c) 0 d) 0 d) minus

547

100 e)minus

91

12










TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(+2

3) times (minus

6

8) times (minus

2

3) times (minus

1



3times6

8times2

3times1










1

2times3=

1

6˶




119939divide

119940

119941=

119938

119939times119941

119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne

120782 119942 119941 ne 120782

6

3

1

2

3

6 = 2 times 3


Ex a) (minus5

15) divide (+

10


5


divisor (+10


45


5

15) times (+

45



15times45






15times10=





3

2˶


119939119940

119941


119939119940

119941

=119938

119939times119941

119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876

Ex b) (minus

36

12)

(minus24


(minus36

12)

24

64

= (minus36

12) times

(minus64


36times64

12times24=




12times24=

+25times26


+25times26


26

3times3=

64

9 ˶

10

5

1

2

5

10 = 2 times 5

45

15

5

1

3

3

5


15

5

1

3

5

15 = 3 times 5

8

4

2

1

2

2

2

8 = 2 times 2 times 2 = 23

12

6

3

1

2

2

3

12 = 22 times 3

24

12

6

3

1

2

2

2

3

12 = 23 times 3

36

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

36 = 25

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

64 = 26


ACTIVIDADE Ndeg 3



a) minus(minus8

9) times (minus

18

4) =

b) (minus7

28) times (+

27

21) =


12) times (minus

1

9) =

d) 03 times10

9times (minus

81

4) times 02 =

e) 29

3times (minus

21

30) times 001 =


a) (minus12

5) divide (+

3

25) =


5) =

c) +025 divide (+75

100) =

d) +(minus31

3) divide (03) =






27

20 e) minus

35

3000


9 5c)

1

3 d) minus

100

9 e) minus

1

3









TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(3


3


minus(3


3

4) times (minus

2


3

4times

2

10=



3times2

4times10=

3


minus(3


3


3


119898119898119888 fica 320(1)

minus91

(20)


20=

3minus180

20=

Logo 3minus180

20= minus

177

20 ˶

b) (2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20



5divide

3

2=

2

5times2

3=

4



5 o valor 1





2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3= (

4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= passo seguinte


minus85(3)


15=

4minus24

15= minus

20

15= minus

4times5

3times5= minus

4

3


15minus

8

5) times 5 +

20

3= (minus

4

3) times 5 +

20



3) times 5 +

20

3= minus

4times5

3+

20

3= minus

20

3+

20



3+

20

3= 0˶

ACTIVIDADE Ndeg 4




b) minus2

3times3

4divide (minus

3

2) =

c) 3 divide (minus4

5) times (minus

2



e) minus1minus(

1

3minus3

4)

2minus(minus1

2)times(minus

1

2)=



1 a) 2 b)1

3 c) minus

5


1

3










TEMPO DE ESTUDO







Ex 02 12 (1

2)2

22 (3

4)2

32 42 (110

378)2

(2017

5)2

1002 119890119905119888





d) (3

4)2

= (3

4) times (

3

4) =

3times3

4times4=

9


3



e) 32 = 3 times 3 = 9

f) 42 = 4 times 4 = 16

g) (110

378)2

= (110

378) times (

110

378) =

12100

142884

h) (2017

5)2

= (2017

5) times (

2017

5) =

4068289

25

i) 1002 = 100 times 100 = 10000





Ex

a) 02 = 0 times 0 = 0

b) 12 = 1 times 1 = 1

c) 22 = 2 times 2 = 4

d) 32 = 3 times 3 = 9

e) 42 = 4 times 4 = 16




radic119938119951


chama-se 119877119886119889119894119888119886119897




Ex









Ex

a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4

b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9

c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16

d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100








a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5

b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11













radic30 asymp 54772


radic60 asymp 77460





a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯

b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯



a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017




1

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9

b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25

c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36

d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81

e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144

f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600

2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566

3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11

g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81


e)196 radic196 = 14

5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138









TEMPO DE ESTUDO




Ex radic2017

radic2017


Assim radic20170000




radic20170000 4



radic20170000 4

16

04


radic20170000 120786

16 8

04


radic20170000 120786 16 8 0417



radic20170000 120786 16 8120786

0417 times 120786

336




radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786

336


radic20170000 120786 120786

16 8120786 0417 times 120786

336 336

0081


radic20170000 44 16 84 88

0417 times 4

336 336

0081


radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88

0417 times 4

336 336

008100



radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889


336 336 8001

008100

8001


radic20170000 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

000099


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

00009900


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898


336 336 8001


008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919





9 1hellip


radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919


Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789











a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079

b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684

c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016

d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564

e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064







TEMPO DE ESTUDO






a) radic2


radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423


96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269

0400

281

011900

11296 00060400

56564 0000383600

0000282841 000010075900

000008485269

000001590631





diferentes






perioacutedicas











9 g) radic119890















f) radic625














TEMPO DE ESTUDO






Ex ℝ =

hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip




Ex

R

Q I

N

Z








ℝ

= hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784120645hellip


ℝ120782+ = 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ+ = hellip +120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip


120783120782120782









119887) 1198760minus nsub 1198770

+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770

+


4 isin 119877 l) +825 isin 1198770

+




propostos abaixo




1

1000 0 124radic

17


Determine




119887) 1198760+helliphellip1198770



2 g)minus

91


+ l) +119890helliphellip 1198770+







3 minus

1


d) 124radic17




1


f) 0 124radic17




1


incluindo o zero




119887) 1198760+ sub 1198770

+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877


2 g)minus

91

4 notin 1198770

+ l) +119890 isin 1198770+





GRADUADA






TEMPO DE ESTUDO




Ex

-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin







B

X 1cm

A 1cm C






119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784

120784


1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982




Ex

-2 -1 0 1 2


B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 2



B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic2 2






minusradic2 Assim

B

X 1cm

A 1cm C






D

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic3 2



Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C





ACTIVIDADE Ndeg 9





4



D

B

X 1cm

A 1cm C

minus14












TEMPO DE ESTUDO




2 =


3 119900119899119889119890 119886 isin 119877



Ex a) radic83



c) radic3433



= radic733

=7

e) radicminus27

8


343

49

7

1

7

7

7

343 = 73



23



23

3= minus

3

2




ACTIVIDADE Ndeg 10




a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic125

3 d) radic2197

3 e) radic

125

27

3 f) radic

1

216

3 g) radic729

3

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23



1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5

3 f)

1

6 g) 9







fraccionaria




TEMPO DE ESTUDO




119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873



radic119886119898119899

= 119886119898


119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890




2

b) radic(minus13

2)147

= (minus13

2)

14

7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus

13

2)147

= (minus13

2)2

=

(minus13

2) times (minus

13

2) = +

169

4


a) (5

9)

1

3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =

5

9 119890119899119905atilde119900 (

5

9)

1

3= radic(

5

9)13

= radic5

9

3

b) (119910

2)

8

5=119899 = 5119898 = 8 119886 =

119910

2 119890119899119905atilde119900 (

119910

2)

8

5= radic(

119910

2)85





a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic1256

3 d) radic(

13

2197)217

e) radic(125

27)25100

f) radic(1

216)1199016

g) radic7293


a) 51

4 b) 21

2 c) 081

3 d) (120587

2)

3

6e) 25025 f) 0008

1

3 g)0012

4



1a) (minus1)1

3 b) 2 c) -5 d) (1

169)2

e) (125

27)

1

4 f) (

1

216)

119901

6g) 729

1

3=[(9)3]1

3=9

2119886) radic54

b) radic2 c) radic8

10

3 d)radic

120587

2 e) radic25

4= radic5 f)radic

8

1000

3= radic(

2

10)33

=1

5 g)

1

10




RADICAL







TEMPO DE ESTUDO






= 119938radic119939119951





= radic119938119951 times 119939119951

= radic119938119951119939119951



c) 7

12times radic(

144

14)23




14)2

fica

7

12times radic(

144

14)23

= radic(7

12)3

times (144

14)23



14times14



14 = 7 times 2



14times14

3= radic

7times7times7


7times2times7times2

3=







3= radic

7times12

2times2

3= factorizamos


radic7times12

2times2

3= radic

7times4times3

4

3= radic7 times 3

3= radic21

3









Assim

119898 119899



= 119938119954radic119938119955119939119951


a) radic39 times 25


9 5


4 radic39 times 25



= 3 times radic1625

= 3radic1625

b) radic128

27


128

64

32

16

2

2

2


radic128

27

3= radic

27

33


por 3 Assim

7 3 3 3


1 0

Fica radic27

33

3=

22

31radic21

30

3=

4

3radic2

1

3=

4

3radic23

ACTIVIDADE Ndeg 12





c) 1

2radic30

60

3 d)

5

9radic

18

125

5 e) 7radic7

7 f)

1199092

3radic119910119909

119909

3



c) radic(7

3)145

d) 119909119910radic1

(119909119910)103

e)radic1314

2620

7 f) radic1000

8

4

2

1

2

2

2

2

128 = 27

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33




c) radic1

4

3 d) radic

50

6561

5 e) radic78

7 f) radic

1199101199094

27

3

2 119886) 3radic3 b) 22radic223

c) 49

9radic(

7

3)45

d) 1

(119909)2radic

1

119909119910

3 e)

13

262radic

1

266

7 f) 100radic10








TEMPO DE ESTUDO




satildeo






(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782

+


2= (3

1

2)2

= 31times2

2 = 32

2 = 31 = 3




119899= radic119886119899

119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873







+119898 119890 119899 isin 119873

Ex radicradic243

= radic23times4

= radic212

ACTIVIDADE Ndeg 13


propostos


a) radic724

b) radic2515

c) radic750100



3)6




e) radic224

f) 2 g) 4









TEMPO DE ESTUDO







b) radic5020

lt radic10020


c) radic1

50

20gt radic

1

100


1

50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890

1

100


a) radic93

gt radic94


b) radic10

2017

10lt radic

10




Ex a) radic73

____radic54



radic73

___radic54




radic743times4

___ radic534times3


___ radic12512




Entao

radic73

__gt__radic54

portanto radic73





a)radic1

2__radic

2

4 b)radic414

7 __radic33

7 c)radic2

3__radic12

3 d) radic3

4__ radic

1

3

3 e) radic26

16__radic22

3 f)radic

1

4

3__radic

1

2

5



1 a)radic1

2_=_radic

2

4 b)radic414

7 _gt_radic33

7 c)radic2

3_ gt _radic12

3 d) radic3

4_gt_ radic

1

3

3 e) radic26

16_ lt _radic22

3 f)radic

1

4

3_ lt

_radic1

2

5




DE RADICAIS







TEMPO DE ESTUDO












1

3 119890 minus 17









Assim







ACTIVIDADE Ndeg 13





b) minus13radic233

+1

2radic233

=



e) radic65

+ 3radic65

minus 2radic65

=

f) 3

2radic18

5+

7

3radic

2

125minus

1

15radic98

5=

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 times 32

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 times 32





37

15radic2

5




NUMEacuteRICAS








TEMPO DE ESTUDO







119899= radic119886 times 119887

119899 Onde 119886 119887 isin 1198770

+ e 119899 isin 119873



b)radic13

5

3 times radic

15

26


Assim radic13

5

3 times radic

15

23

3= radic

13

5times15

26


radic13

5times15

26

3= radic

13times5times3

5times13times2

3= radic

3

2

3


c) radic275

divide radic35


Assim radic275

divide radic35

= radic27 divide 35


= radic27

3

5= Decompomos o

27 fica radic27

3

5= radic

3times3times3

3


3times3times3

3

5= radic3 times 3

5= radic9

5




(4) (3)

Ex a) radic23

times radic54

= radic24(4times3)


= radic1612

times radic12512



times radic12512


=

radic200012

b)radic27


radic27(2)

radic2(7) =

radic222times7

radic277times2 =

radic2214



27



27

14= radic2(2minus7)

14= radic2minus5


radic(1

2)514

= radic1

32

14




1


1

49

radic1253



1


1

49

radic1253

divide radic83 =

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3= simplificamos

os factores 3 e 1


1

49


8 assim

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3=


1

radic(5

2)33


5

2

=


5

2


5

2


5

2

subtraiacutemos os


5

2

=(1minus7)radic7+1

5

2

=minus6radic7+1

5

2

= aplicamos a



5

2




5=


5=

minus12radic7+2



5=

2minus12radic7

5


ACTIVIDADE Ndeg 14




b) minus13radic7

2

3times

1

26radic1

7

3=


4=


e) radic65

divide radic125

=

f) 3

2radic5 + radic8

3divide radic64

3minus

3

2radic5 =




2

7times7radic32


1 a)35 b) minus1

2radic1


1

2

5 f)

1

2 g)

39

140 h)

75

98





a) 1










b) minus2017 + 2000 minus (+17) =

c) minus(2

3) + (minus

1

2) minus 1

d) 7

3+ 8 minus

1

3+

9

2=

e) 1minus3

2+

3

6minus

5

3minus (minus

5

9+ 7) =

f) (+077) + (minus9


77

100) +

(minus203) =

g) 4 minus1

2minus [2 + (minus

7

3+

1

4)] + 7 =




2) times (minus

8

3) minus 9 =


10times20

3divide (minus

2

10) =


e) 24

6times1

2+ 23 minus

2

3divide

8

9=

f) (2 divide 3 +2


1



a) 162 b) (minus13)2 c) (1

10)2

d) 0032 e) (1

5)2

f) 0222


a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898






a)minus14



a) radic643

b) radicminus83

c) radic27

125

3 d) radicminus729

3 e) radic2197

3 f) radic0008

3 g) radic0125

3


a)radic1

2 b) radic2

3 c) radic255

10 d) radic(

1

15)217

e) radic11990923

f) radic(minus2017

17)66

g)radic(58)4


a)1441

2 b) 251

2 c)(minus125

8)

2

6d) 27

1

3 e) radic4

3

4

f) 1961

4 g)radic2

3

36


a) 7radic2 b) 1

3radic9


2

81

3 e)3radic31199102

3 f) 1198862119887radic

119887

119886

3 g) minus2radic

1

7



c) radic(5

3)147

d) radic543

e)radic3 times 1253


27

3



a) radic14515

b) radic(7

14)28

c) radic(1

2017)1001000

d)radicradic(3

8)4


3

f) (radicradic(27

8)

35

)

25



2 b) radic

1

8

3 ---radic0002


5 d)radic

8

9

7----radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 ----radic

1

2

5




1

3radic1

5

3+

7

3radic1

5

3minus 7radic

1

5

3






6times19radic150 c)

radic5minusradic20


5

3)63

d) radic1199095

times radic11991125


radic1199091199115 119909 ne 0


2radic7 f)

(1

3radic33

)3minus radic1253

1

2( radic63 )

6





6 d)

87

6 e)minus

155

18 f)

47

100 g)

127

12

3 a) 3 b) minus38

3 c) minus

16

3 d)minus110 e)

97

4f)

4

9

4 a) 256 b) 169 c) 1

100 d)

9

10000 e)

1

25f)

484

10000

5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982

6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498


e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898

8 radic3 minus 4

A

minus14



9 a) 4 b) -2 c) 3

5 d) -9 e) 13 f)

1

5 g)

1

2

10a) (1

2)

1

2 b) 2

1

3 c) 251

2 d) (1

15)3

e) 1199092

3 f) 2017

17 g) 582

11 a) 12 b) 5 c) minus5

2 d) 3 e)

16

9 f) radic14 g)

4

9




3 e) radic811199102


4

7


c) 25

9 d) 3radic2

3 e) 5radic3

3 f) 10radic2 g)

4

3

14a) radic143

b) radic1

2

4 c) radic

1

2017

10 d)

3


27

8)53


2 b) radic

1

8

3 gt radic0002


5 d)radic

8

9

7lt radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 gt radic

1

2

5

16a) 21


1

5


17 a) radic6

8 b)

5

6radic1

2c)minus

34

9+ radic5 d) radic

1

1199092

5 e) minus

65

2radic14 f)minus

7

27


Unidade2












numeacutericos



Vocecirc






numeacutericos






2









TEMPO DE ESTUDO







-3 -2 -1 0 +1 +2 +3


-15-0250+12+10








-3 0 +2





-3 0 -2












-3 0 +2







-3 0 +2




infinito


-3 0 +infin



infinito







-3 0 +infin






minusinfin 0 +2





a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1


10

7]

e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5

3 +infin[



3le 119909 lt +11



a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17


1

8----[minus1 1]



1

a) b)

-5 0 +1 minus1

2 0

c) d)


7

e) f)

-4 0 +infin 0 5

3 infin

2

a) [minus4+infin[

-4 0


minusradic3 0


c)

[minus7

3 +11[

minus7

3 0 +11

d)

[6+infin[

0 6 +infin

e) [minus14 0[

-14 0

f) ]1213[

0 12 13

3



1

8isin [minus1 1]











TEMPO DE ESTUDO








A

-5 0 4 5







0 4


intervalos



1

2 4]


-2 -1 0 1

2 1 2 3





1

2 4] no eixo real

teremos

-3 -2 -1 minus1

2 0

1

2 1 2 3 4


2[ cup [minus

1

2 4] = [minus

1

2 4]






7] e C=]minus

15

2 +

1

2[ Determine




a)]minus15

2 1] b) [minus5

10

7] c) ]minus

15

21

2[ d)]minus

15

210

7]












TEMPO DE ESTUDO





a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1

2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)

2119911+2+119911

9ge 1





119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909

3119909 + 1 le1

2119909

3119909 + 1 1

2119909 3119909 1

1

2119909

119909



2119911 + 2 + 119911

9ge 1

2119911 + 2 + 119911

9

1 1

9 2119911 2 119911 1

119911





21199093y22y2zz



92


















assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783


0 1

19 +infin


19 +infin[


b)3(3minus119909)

3+

3119909minus1

4lt 1 minus

119909minus1


3(3 minus 119909)

3(4)

+3119909 minus 1

4(3)

lt1

1(12)

minus119909 minus 1

2(6)


12+


12lt

12

12minus




12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12harr

36minus12119909

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6













minusinfin -5 0







a) 2119909 +6

2lt 119909 minus 4

b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909


d)1

2(2119909 minus 1) + 1 ge

3

2(119909 minus

1

2)

e) 8 minus119909




2 c)119909 lt 0 d) 119909 le

5












TEMPO DE ESTUDO








1

3119909 + 7 ge minus3 b)

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9






1

3119909 + 7 ge minus3




119909 minus 3 lt 0

1


119909 lt 0 + 31




1


119909 lt 31





1


119909 lt 3

119909 geminus101

3

aplicamos


3 o

inverso eacute 3


119909 lt 3

119909 geminus101

3

harr 119909 lt 3


1

harr 119909 lt 3


119909 lt 3119909 ge minus30

Assim


Teremos

-30 0 3 +infin


Ex2

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9



119909minus24(5)

minus2119909minus12

(10)

gt1199095(4)

3minus511990929

ge5118

minus2119909+392

harr

5(119909minus2)

20minus

10(2119909minus1)

20gt

4119909

209(3minus5119909)

18ge

18times5

18minus

2(2119909+3)

18














harr 19119909 lt 041119909 le minus57



harr119909 lt

0

19

119909 leminus57

41

harr119909 lt 0

119909 leminus57

41


no eixo real Assim

minusinfin minus57

41 0 +infin


120786120783]

Ex3

(119909+3)

2le minus9

119909 minus 3 gt1

3(119909 minus 2)


(119909+3)2(1)

le minus91(2)

119909minus31(3)

gt13(1)


1(119909 + 3) le minus18



agrupamos




119909 le minus212119909 gt 7


119909 gt7

2


-21 0 120789

120784


119930119952119949 119961 120656 empty






a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2

b) 119909

2+ 3119909 ge 3

minus2119909 gt 2 minus 3119909

c)119909 minus

119909minus2

2le 2

2119909 le7119909

2minus

1

2

d)

2(119909minus2)

2minus

3(119909+2)

3lt

119909+1

6

2 minus3(119909+2)

2lt 119909 +

119909minus1

4

e) 1 minus

2

3(119909 + 3) ge

7(1minus2119909)

41

2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909


1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2

3 2[ c)[

2

3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [

33

347

5[





a) 119909 gt 0 b) 119909 le1


radic2

2le 119909 le +

radic2


1

3






2lt

4119909minus1

4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (

1

3119909 + 9)

e) 119910minus1

2minus

(2119910+3)

3gt

119910

6 f) minus4119909 + 6 ge

3

4119909 +

2minus119909

3



2

3119909

3

2(119909 minus 3) le 119909 + 1

b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0

9

2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6

c)

119909minus7

5lt 119909 minus

1



d) 4 minus 7119909 +

3minus119909

5gt 2





1a)

]0+infin[

0 +infin

]minusinfin1

2]

b)

0 1

2

c) ]minus4 8]

-4 0 8

d)

[minusradic2

2radic2

2]

minusradic2

2 0

radic2

2

d) [minus1

3 minus025[

minus1

3 minus025 0

2a) [minus3 5[ b)[07


7

2]

3 a) ]minusinfin8


5

2[ c) ]

3


9

2]f) ]minusinfin

64

53[

4 a) 119909120598 ]27


9

86

5[d)119909120598empty













Vocecirc









3











TEMPO DE ESTUDO






120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos

minusradic120785




radic120785

120784119935119936120784119937120783120782



letras 119935119936120784119937120783120782


51199052 minus

11989611989711990320

2 minus24 +1001198861199092

etc






radic120785

120784



c) 1


1

5

d) minus11989611989711990320


1



2= minus

1times(11989611989711990320)


minus1

2








c) 1


d) minus119896119897r20










120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13


c) 1


d) minus11989611989711990320

2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22



g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3


Ex radic5020

3119909119910 1199111199051198962 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 20171198962119905119911 1980



a) 3119909119910 minusradic3

3119910119909

119909119910



3119910119909

119909119910

20


c) radic5020




propostos abaixo



a) 119909119892119896 b) minus10

7119911 + 119889 c)

2017

25 d)

ℎ1199111199055

4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2

3 h) 45119905 + 0


a) 541199093 b) 1199091199051198968

8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus

1

71198861199031199058



31199097119910119911

minus1

31199091199052119896

-1980

81199091199054119910

5

11989641199101199111199052

(1

13)3

11990931199117


a) minus1199091199112 119909119911119911 2

31199092119911

1

41199112119909 minus181199111199092

b) radic3

21198871198863 minus119886119887

1198871198863

2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886

radic3

21198861198873



1


a) 119909119892119896 1 119909119892119896

119888)2017

25

2017

25

Natildeo existe

d) ℎ1199111199055

4

1

4

ℎ1199111199055

f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911

g) radic23

1 Natildeo existe

h) 45119905 + 0 45 119905

2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968


1

71198861199031199058

3


41199112119909)

b) (radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus119886119887+119887119886) (

radic3

21198871198863

1198871198863



31199097119910119911 3 1199097119910119911 9

minus1

31199091199052119896 minus

1

3

1199091199052119896 4


81199091199054119910

5

8

5

1199091199054119910 6

11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8

(1

13)3

11990931199117 (1

13)3

11990931199117 10










TEMPO DE ESTUDO













b) minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789


(minus120785

120784119938119939119961 119942

120789

120786119938119939119961) (

120783



minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus

120785

120784+

120789

120786) 119938119939119961 + (

120783



= (minus120785120784(120784)

+120789120786(120783)

)119938119939119961 + (120783120785(120783)

minus120787120783(120785)


120786) 119938119939119961 + (


120785) 119961y120785 =


= (minus120788+120789

120786) 119938119939119961 + (

120783minus120783120787

120785) 119961119962120785 = (

minus120783

120786) 119938119939119961 + (

minus120783120786


= minus120783

120786119938119939119961 minus

120783120786


por aqui





a) 2119909 minus 5119909 + 4119909

b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909

c) minus1

2119909119910 + 119911119905 minus

9

4119909119910 minus

7

10z119905

d) 1199091199116

2minus

21199116119909

3+ 2

e) 1198861199051199034

5+ 25 minus

111198861199051199034

10minus 50


g) 8

3119908 minus 8119908 + 4119906 minus

1

3119906



1 a)119909

b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909

c)minus11

4119909119910 +

3

10119911119905

d)minus1199116119909

6+ 2

e)minus9

101198861199051199034 minus 25

f) minus35119909 minus 9119910

g)11

3119906 minus

16

3119908






propriedades





TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios






120787119961120784119963120785 e minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784 Teremos

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782


120788

120787 minus

120783120782

120783120784 e as partes

literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = [

120788

120787times (minus

120783120782



minus6times5times2






tambeacutem


120787119961120788119962120785119963 e minus

120784120783

120784120782119961120786119962 Fica

(minus120789

120787119961120788119962120785119963) divide (minus

120784120783


(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

(minus120784120783

120784120782119961120786119962)

=


120787

minus120784120783

120784120782

) times (119961120788119962120785119963

119961120786119962) = neste caso



120784120782

120784120783 Assim

= (minus120789


120784120782

120784120783) times (

119961120788119962120785119963




119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times (

119961120788119962120785119963



= +120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963


= +120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= +

120786

120785times 119961120784119962120784119963 =

120786

120785119961120784119962120784119963







b) (8

31199094119910) times (minus311990931199102)


911990931198871199102)

d) 1711991051199096 times (2

34119886511991021199097)



b) (8

311990941199102) divide (minus31199093119910)

c) (minus4

311988611990931198871199102) divide (minus

1

91198871199091199102)

d) 1

171199105119909611988610 divide (

1

34119886511991021199093)


1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1

3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865

2 a)2

31199092 b)minus

8

9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093










TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios




120787119961120788119962120785119963)

120784



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= (minus120789

120787)120784



5)2


assim (minus120789

120787)120784

= (minus120789


120789

120787) = +

120786120791



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= +120786120791

120784120787119961120783120784119962120788119963120784


ACTIVIDADE Ndeg 4




a) (minus31199093)2

b) (8

31199094119910)

3

c) (minus1

911990931198871199102)

7

d) (2

34119886511991021199097)

2

e) (minus4

311988611990931198871199102)

3


1 a)91199096 b)512

27119909121199103 c)minus(

1

9)7

11990921119887711991014 d)(1

17)2

11988610119910411990914

e) minus64

271198863119909911988731199106










TEMPO DE ESTUDO






120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785


120783



120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785


31199102119909 + 541199052 minus 3


21199092 minus 119909

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910

d)1199092 minus 5119909 + 6






120784119961120784 tem grau 2





120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3


a)minus5


120787

120785119962120784119961









a) 3

21199094 minus 31199094 + 1199094

b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199105 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199092 +

1

21199092 minus 21119909

f)minus251199053 minus 1199053


a) 3

21199095 minus 31199094 + 1199097

b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199102 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199093 +

1

21199092119910119911 minus 21119909

f)318 minus 251199052 minus 1199103



1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)

2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3











TEMPO DE ESTUDO






120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784


119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784



119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784





119860 + 119861 = (120785 +120784


120784

120787)

teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)

+120784

120787(120783)



120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784

continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784


120783120787+120784

120787) =

17

5


5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos


119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =

120783120789



119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =

120783120789


119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120784


120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784



minus(120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus


119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784



119860 minus 119861 = (120785 minus120784



120787) teremos 119860 minus 119861 = (

120785120783(120787)

minus120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos



120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(

120783120787minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus


120787) =

120783120785

120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784


120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784


120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=

120783120785









119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784










a) 119860 + 119861 =3

21199092 minus 2119909 minus 3

b) 119860 minus 119861 =5

21199092 + 4119909 minus 1

c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1

21199092 minus 1

d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3

21199092 + 119909 minus 3












TEMPO DE ESTUDO







(minus120785119961120784) times (120784


120784


Assim

minus120785119961120784 times120784



120785) 119961120785119961120784 +
















= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782

ACTIVIDADE Ndeg 7




a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)

b) (minus5

3119909) times (minus1199093 +

9

10)

c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)



d) (1

21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)



1 a)61199092 minus 31199092

b)5

31199094 minus

3

2119909

c)1199091199102 + 1199104

d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910

2 a)21199093 minus 2119909

b)51199092 minus 9119909 + 4

c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4

d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909


Liatildeo nordm 8








TEMPO DE ESTUDO








119912 times 119913 = (minus120785


120785

120784119961120784)


119912 times 119913 = (minus120785



119912 times 119913 = (minus120785

120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus

120785


120785




119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961(120784+120784) +

120783120784

120784119961(120784+120783) +

120788



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 +

120783120784

120784119961120785 +

120788



120784 e 120788

120784 assim


119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784

ACTIVIDADE Ndeg 8




119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5





1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909


21199093 minus 31199092 + 119909

c)minus5

21199094 minus

25

21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2

d)61199092 + 13119909 minus 4






(119938 + 119939)(119938 minus 119939)







TEMPO DE ESTUDO














(120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (

120785times120785




120785119961120786119962120785 (120785





(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784







Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784


(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784







desenvolvido










(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784

































ACTIVIDADE Ndeg 9




a) 51199092 minus 25119909

b) minus3 + 61199092

c) 1199102 minus 30119910

d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911

e) 501199092

16minus

11990921199112

16

f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896





1a) 5119909(119909 minus 5)

b) 3(minus1 + 21199092)

c)119910(119910 minus 30)

d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)

e)1199092

16(50 minus 1199112)

f)71199103119896(119910 + 5)

2 a) 1199092 + 8119909 + 16

b)1199092 minus 14119909 + 49

c)4 + 12119910 + 91199102

d) (119909 + 6)(119909 minus 6)

e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)

f) (119909 + 3)(119909 minus 3)











TEMPO DE ESTUDO










=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)


=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +



ACTIVIDADE Ndeg 10




a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092

b) (1711991031199095+3411991021199093)

1711991021199093

c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)

d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911

2611990921199105

e) (501199092

16minus

11990921199112

16) divide (

1199092

16)

f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909

141199103119896



1 a)61199094 minus 8119909 + 2

b)1199092119910 + 2

c)119910 minus 30


2

e)50 minus 1199112

f)3minus119909

2






radic5

2119905311990921199106

minus(17)17 11990941199102

216119896141199102

3

2017


a) minus11989621199103 11990931198962119910318

511991031198962 20119910311989621199093 119896119910

b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905


a) 5119909 minus 3119909 minus10

2119909 = minus3119909

b) 1

31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103

c) 1198967

5minus

6

511989621198967 + 1198967 = 0




a) 119860 + 119861

b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861

d) ndash119860 + 3119862 minus 119861


a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12

41199102)

b) (3

41199093119910) (minus2119909119910 +

1

2119909119905 + 119909)

c) (31199113119896 minus 119911119896 +2

31199111198962) (31199112)

d) (1

41199092 + 119909 minus 3) (41199093)





2)

d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)







a) 1

5119905 +

4

5

b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112

c) 31199093 minus 91199094119910

d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2


a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)

b)3

21199109+61199106minus1199103

3

41199103

c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)

d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)



1


radic5

2119905311990921199106

radic5

2

119905311990921199106 11

minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6

216119896141199102

3

216

3

119896141199102 16


2a)(minus1198962119910318


3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865


5a) 9

411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)

3

211990941199102 +

3

81199094119910119905 +

3

41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962

d) 1199095 + 41199094 minus 121199093


21199093 +

1

21199092 minus 12119909 minus 2





8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)


9 a) 1


10 a) 21199053 + 1199052 b) 2

3(31199106 + 121199103 minus 2) c)

1

17(1 + 1199092 + 8119909)
















Vocecirc










reacutegua

2






nuacutemeros reais





TEMPO DE ESTUDO





















b) minusradic120784



minusradic120784



minusradic2

21199092


1˚ membro

= 7119909 + 100





minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus

radic120784



120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782







119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789




ACTIVIDADE Ndeg 1





e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0



e)minus1

21199092 = minus2 +

3




1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886


d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1

2 119887 = minus

3

4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2

g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0











TEMPO DE ESTUDO











(119961 + 120785) = 120782



























a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0




3 0












TEMPO DE ESTUDO












d) minusradic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782







minusradic120784


radic120784



120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =

120782

minusradic120784

120784

portanto 120782

minusradic120784

120784

= 120782 entatildeo

119961120784 =120782

minusradic120784

120784

harr 119961120784 = 120782



porque 119961120783 = 119961120784







d) radic2

2minus

radic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 =

radic120784

120784


















eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0



c) 120785119961120784 +120787


120787

120784 119942 119940 = 120782

d) radic8119961 minus120783120786


14

5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782




harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939

119938










ACTIVIDADE Ndeg 3






21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0

f) 101199092 + 10 = 0




e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty





DE PRODUTO







TEMPO DE ESTUDO






seguir


119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 120782



119938+

119940

119938= 120782



119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938= minus

119940

119938



119938 que eacute (

119939

120784119938)120784

Assim

119961120784 +119939119961

119938= minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784



119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

harr (119961+119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 portanto



produto


120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782


120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785harr

harr 119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782


119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783



120783120782

120785) significa



120785

120784=

minus120783120782

120785120784

120783



1

2 assim

minus120783120782

120785120784

120783

=

minus120783120782

120785times120783

120784= minus

120787times120784times120783


120787

120785


120785)120784


120783120782119961


120787

120785)120784

Assim 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784




120785+ (minus

120787

120785)120784


120785)120784

Isto eacute

119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= (119961 minus120787

120785)120784


120785)120784


120785+ (minus

120787

120785)120784



120785)120784



[119961 + (minus120787

120785)]120784

= (119961 minus120787

120785)120784



119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784



120785)120784

= minus120783 +120784120787

120791= minus

120783120783(120791)

+120784120787120791(120783)

=minus120791+120784120787

120791=

120783120788


(119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

=120783120788



120785)120784

= radic120783120788



120785)120784


120791 agora


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


120787

120785= plusmn

120786


120787


harr 119961 minus120787

120785= plusmn

120786

120785harr 119961 =

120787

120785plusmn

120786


119961120783 =120787

120785+

120786

120785=

120791

120785= 120785119961120784 =

120787

120785minus

120786

120785=

120783


120783

120785 120785




propostos






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8










TEMPO DE ESTUDO








120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Isto eacute

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940



120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784


120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961+

119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784



119939


119961 +119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961 = minus

119939


119939120784minus120786119938119940




119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr= 119961 = minus

119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940



120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961 =






120784119938




∆= 119939120784 minus 120786119938119940











120784119938harr 119961120783120784 =


120784times(120784)



120784times(120784) harr 119961120783120784 =


120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120784120787

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmn120787

120786 veja que



119961120783 =+120789+120787

120786=

120783120784

120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =

+120789minus120787

120786=

120784

120786=

120784times120783

120784times120784=

120783

120784 119930119952119949 119961 =

120783


soluccedilotildees


120784119938



resolvente



120784119938harr 119961120783120784 =






120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782


119961120783 =120784radic120784+120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120784 =

120784radic120784minus120782

120784=

120784radic120784





120784119938harr 119961120783120784 =





ACTIVIDADE Ndeg 5


propostos abaixo






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8




QUADRAacuteTICA







TEMPO DE ESTUDO





119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938

harr 119961120784+

119939119961

119938+

119940


119887





119939

119938 Portanto

119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939

119938





119938harr 119930 = minus

120787


raiacutezes





119961120784 +119939119961

119938+

119940


119940

119938


119938 Portanto

119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940

119938





119938harr 119927 =

(minus120784)

120785= minus

120784


das raiacutezes


119938 e 119927 =

119940



119938+

119940


119939



119938(minus120783) harr minus119930 =

119939


119961120784 +119939119961

119938+

119940






(cinco)







119938 e teremos

119930 = minus119939

119938 harr 120786 = minus

[minus(119950+120783)]


4 = minus[minus(119950+120783)]












119938 e

teremos

119927 =119940

119938harr minus120783120782 =

(120784119950minus120787)





120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787


agrave ndash120787

120784







2119908 = 0



1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5

2

b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5

2

c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10






119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



TEMPO DE ESTUDO









120784119938harr 119961120783120784 =


120784times120785harr 119961120783120784 =


120788harr 119961120783120784 =


120788


120788harr 119961120783120784 =


120788 119961120783 =

minus120787+120789

120788=

120784

120788=

120783

120785119961120784 =


120788=

minus120783120784





119961120783 =120783






120783




120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute

120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) (119961 + 120784) = 120782








1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)


c) 3 (119909 +2

3) (119909 minus 1)

d) 5 (119909 +4

5) (119909 minus 8)




QUADRAacuteTICAS






TEMPO DE ESTUDO









120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961

(120783120784119961 + 120785120788)119950






119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950








119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950

120784 na igualdade

119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938





harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +





harr120785120782119961120784

120784+

120783120785120784119961

120784minus

120785120790120786

120784=

120782






120784119938 harr 119961120783120784 =


120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =


120785120782


120785120782harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmn120783120784120788

120785120782 119961120783 =

minus120788120788+120783120784120788

120785120782= 120784 119961120784 =

minus120788120788minus120783120784120788

120785120782= minus

120791120788

120783120787 portanto a



119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950

120784









120788119950

120790119950120784 119961119950

119961119950





1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982

2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909

b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092

c) 119909 = 2





a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0

b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0

c) minus1

21199092 = 15119909


e) 1199092 = 36

f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0


a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1

2) = 0

b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0

c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0

d) 31199092 + radic3119909 = 0


a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0


a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0

b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0


d) 3(119909 + 2) = 1199092








a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0






1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16

b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12

c)119886 = minus1

2 119887 = minus15 119888 = 0

d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9

e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0

f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64

2 a) 119878119900119897 119909 = 1


5

2 1

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0


27+radic5

2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0 e)

radic2

2 radic2

4 a) 119878 =3

2 119875 = minus

5


5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3

24minusradic3

2

d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2


2) (119909 minus

7+radic5

2) = 0 c)

1

2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0

d) (119909 +radic3

3) 119909 = 0 e)(119909 minus

radic2

2) (119909 minus radic2) = 0


8 119860 = 601198881198982


BIBLIOGRAFIA
























desta classe



nomeadamente







de















esclarecidas







CONTEUacuteDOS

EXEMPLOS

REFLEXAtildeO

TOME NOTA































1





GRADUADA








TEMPO DE ESTUDO





119873 = 1234567891011hellip




119876 =

hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1 +

4

3 +375+

21

4 hellip





119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10

A B D E C F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10



E F B A C D



119860 +1

2 119861 minus

1

2 119862 +

7

3 119863 minus 4 119864 +

10

5 119865 minus 625


119860 +1

2

119860 +1

2= +05 Logo

0 119860 1 2

119861 minus1

2

119861 minus1

2= minus05 Logo

-2 -1 119861 0

-

10

10

2

05

00

-

10

10

2

05

00


119862 +7

3

119862 +7



119862

0 +1 +2 +3


Ex B A

C



Ex hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip






Ex O nuacutemero +7






( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)




3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip


-

-

700

6

3

233hellip

10

09

01


a) 0 isin 119873 (119865) e) +1


minus(119881)


3notin 1198760

+(119881)

c) minus3

2isin 119876 (119881) g) +

21

















(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)


minus)


c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760


d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760



ACTIVIDADE Ndeg 1



a) minus3

2isin 1198850

+ ( ) e) minus1



3isin 1198760

+( )

c) minus3

2isin 1198760

minus ( ) g) +21



a) A minus3

2 e) 119864 minus 2

1

2 i) 119868 035

b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2

3

c) 119862 minus3

4 g) 119866 +

21

4 l) 119871 minus 1

d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375










1

a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )

b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )

c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )

d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )


-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

3


b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760

+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+


4isin 119876 l) +825 isin 119876











TEMPO DE ESTUDO








(+) times (+) = +








b) (+3

4) minus (minus

4

3) + (minus

1

2) minus (+

1





+3

4+4

3minus1

2minus1

6=


+3

4+4

3minus1

2minus1

6=



+3 times 3

4 times 3+4 times 4



6 times 2=


12=

=+25minus6minus2

12=

+19minus2

12= +

17

12˶




minus05 minus 03 +2

5minus 025 =




10= minus

5

10 Entatildeo a

expressatildeo fica

= minus120787

120783120782minus

3

10+

2

5minus

25


(10)(10)(20)(1)

= minus5 times 10

100minus3 times 10

100+2 times 20

100minus25 times 1

100=


100=



100= minus

65

100˶


ACTIVIDADE Ndeg 2




b) (+1

2) minus (+

3

4) + (+

14

3) =

c) minus(minus6

7) minus

5

14minus (

1

2) =


10=


10) + (minus203) =



a) 20 b) 53

12 c) 0 d) 0 d) minus

547

100 e)minus

91

12










TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(+2

3) times (minus

6

8) times (minus

2

3) times (minus

1



3times6

8times2

3times1










1

2times3=

1

6˶




119939divide

119940

119941=

119938

119939times119941

119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne

120782 119942 119941 ne 120782

6

3

1

2

3

6 = 2 times 3


Ex a) (minus5

15) divide (+

10


5


divisor (+10


45


5

15) times (+

45



15times45






15times10=





3

2˶


119939119940

119941


119939119940

119941

=119938

119939times119941

119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876

Ex b) (minus

36

12)

(minus24


(minus36

12)

24

64

= (minus36

12) times

(minus64


36times64

12times24=




12times24=

+25times26


+25times26


26

3times3=

64

9 ˶

10

5

1

2

5

10 = 2 times 5

45

15

5

1

3

3

5


15

5

1

3

5

15 = 3 times 5

8

4

2

1

2

2

2

8 = 2 times 2 times 2 = 23

12

6

3

1

2

2

3

12 = 22 times 3

24

12

6

3

1

2

2

2

3

12 = 23 times 3

36

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

36 = 25

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

64 = 26


ACTIVIDADE Ndeg 3



a) minus(minus8

9) times (minus

18

4) =

b) (minus7

28) times (+

27

21) =


12) times (minus

1

9) =

d) 03 times10

9times (minus

81

4) times 02 =

e) 29

3times (minus

21

30) times 001 =


a) (minus12

5) divide (+

3

25) =


5) =

c) +025 divide (+75

100) =

d) +(minus31

3) divide (03) =






27

20 e) minus

35

3000


9 5c)

1

3 d) minus

100

9 e) minus

1

3









TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(3


3


minus(3


3

4) times (minus

2


3

4times

2

10=



3times2

4times10=

3


minus(3


3


3


119898119898119888 fica 320(1)

minus91

(20)


20=

3minus180

20=

Logo 3minus180

20= minus

177

20 ˶

b) (2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20



5divide

3

2=

2

5times2

3=

4



5 o valor 1





2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3= (

4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= passo seguinte


minus85(3)


15=

4minus24

15= minus

20

15= minus

4times5

3times5= minus

4

3


15minus

8

5) times 5 +

20

3= (minus

4

3) times 5 +

20



3) times 5 +

20

3= minus

4times5

3+

20

3= minus

20

3+

20



3+

20

3= 0˶

ACTIVIDADE Ndeg 4




b) minus2

3times3

4divide (minus

3

2) =

c) 3 divide (minus4

5) times (minus

2



e) minus1minus(

1

3minus3

4)

2minus(minus1

2)times(minus

1

2)=



1 a) 2 b)1

3 c) minus

5


1

3










TEMPO DE ESTUDO







Ex 02 12 (1

2)2

22 (3

4)2

32 42 (110

378)2

(2017

5)2

1002 119890119905119888





d) (3

4)2

= (3

4) times (

3

4) =

3times3

4times4=

9


3



e) 32 = 3 times 3 = 9

f) 42 = 4 times 4 = 16

g) (110

378)2

= (110

378) times (

110

378) =

12100

142884

h) (2017

5)2

= (2017

5) times (

2017

5) =

4068289

25

i) 1002 = 100 times 100 = 10000





Ex

a) 02 = 0 times 0 = 0

b) 12 = 1 times 1 = 1

c) 22 = 2 times 2 = 4

d) 32 = 3 times 3 = 9

e) 42 = 4 times 4 = 16




radic119938119951


chama-se 119877119886119889119894119888119886119897




Ex









Ex

a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4

b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9

c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16

d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100








a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5

b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11













radic30 asymp 54772


radic60 asymp 77460





a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯

b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯



a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017




1

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9

b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25

c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36

d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81

e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144

f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600

2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566

3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11

g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81


e)196 radic196 = 14

5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138









TEMPO DE ESTUDO




Ex radic2017

radic2017


Assim radic20170000




radic20170000 4



radic20170000 4

16

04


radic20170000 120786

16 8

04


radic20170000 120786 16 8 0417



radic20170000 120786 16 8120786

0417 times 120786

336




radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786

336


radic20170000 120786 120786

16 8120786 0417 times 120786

336 336

0081


radic20170000 44 16 84 88

0417 times 4

336 336

0081


radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88

0417 times 4

336 336

008100



radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889


336 336 8001

008100

8001


radic20170000 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

000099


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

00009900


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898


336 336 8001


008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919





9 1hellip


radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919


Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789











a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079

b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684

c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016

d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564

e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064







TEMPO DE ESTUDO






a) radic2


radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423


96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269

0400

281

011900

11296 00060400

56564 0000383600

0000282841 000010075900

000008485269

000001590631





diferentes






perioacutedicas











9 g) radic119890















f) radic625














TEMPO DE ESTUDO






Ex ℝ =

hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip




Ex

R

Q I

N

Z








ℝ

= hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784120645hellip


ℝ120782+ = 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ+ = hellip +120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip


120783120782120782









119887) 1198760minus nsub 1198770

+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770

+


4 isin 119877 l) +825 isin 1198770

+




propostos abaixo




1

1000 0 124radic

17


Determine




119887) 1198760+helliphellip1198770



2 g)minus

91


+ l) +119890helliphellip 1198770+







3 minus

1


d) 124radic17




1


f) 0 124radic17




1


incluindo o zero




119887) 1198760+ sub 1198770

+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877


2 g)minus

91

4 notin 1198770

+ l) +119890 isin 1198770+





GRADUADA






TEMPO DE ESTUDO




Ex

-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin







B

X 1cm

A 1cm C






119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784

120784


1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982




Ex

-2 -1 0 1 2


B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 2



B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic2 2






minusradic2 Assim

B

X 1cm

A 1cm C






D

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic3 2



Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C





ACTIVIDADE Ndeg 9





4



D

B

X 1cm

A 1cm C

minus14












TEMPO DE ESTUDO




2 =


3 119900119899119889119890 119886 isin 119877



Ex a) radic83



c) radic3433



= radic733

=7

e) radicminus27

8


343

49

7

1

7

7

7

343 = 73



23



23

3= minus

3

2




ACTIVIDADE Ndeg 10




a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic125

3 d) radic2197

3 e) radic

125

27

3 f) radic

1

216

3 g) radic729

3

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23



1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5

3 f)

1

6 g) 9







fraccionaria




TEMPO DE ESTUDO




119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873



radic119886119898119899

= 119886119898


119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890




2

b) radic(minus13

2)147

= (minus13

2)

14

7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus

13

2)147

= (minus13

2)2

=

(minus13

2) times (minus

13

2) = +

169

4


a) (5

9)

1

3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =

5

9 119890119899119905atilde119900 (

5

9)

1

3= radic(

5

9)13

= radic5

9

3

b) (119910

2)

8

5=119899 = 5119898 = 8 119886 =

119910

2 119890119899119905atilde119900 (

119910

2)

8

5= radic(

119910

2)85





a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic1256

3 d) radic(

13

2197)217

e) radic(125

27)25100

f) radic(1

216)1199016

g) radic7293


a) 51

4 b) 21

2 c) 081

3 d) (120587

2)

3

6e) 25025 f) 0008

1

3 g)0012

4



1a) (minus1)1

3 b) 2 c) -5 d) (1

169)2

e) (125

27)

1

4 f) (

1

216)

119901

6g) 729

1

3=[(9)3]1

3=9

2119886) radic54

b) radic2 c) radic8

10

3 d)radic

120587

2 e) radic25

4= radic5 f)radic

8

1000

3= radic(

2

10)33

=1

5 g)

1

10




RADICAL







TEMPO DE ESTUDO






= 119938radic119939119951





= radic119938119951 times 119939119951

= radic119938119951119939119951



c) 7

12times radic(

144

14)23




14)2

fica

7

12times radic(

144

14)23

= radic(7

12)3

times (144

14)23



14times14



14 = 7 times 2



14times14

3= radic

7times7times7


7times2times7times2

3=







3= radic

7times12

2times2

3= factorizamos


radic7times12

2times2

3= radic

7times4times3

4

3= radic7 times 3

3= radic21

3









Assim

119898 119899



= 119938119954radic119938119955119939119951


a) radic39 times 25


9 5


4 radic39 times 25



= 3 times radic1625

= 3radic1625

b) radic128

27


128

64

32

16

2

2

2


radic128

27

3= radic

27

33


por 3 Assim

7 3 3 3


1 0

Fica radic27

33

3=

22

31radic21

30

3=

4

3radic2

1

3=

4

3radic23

ACTIVIDADE Ndeg 12





c) 1

2radic30

60

3 d)

5

9radic

18

125

5 e) 7radic7

7 f)

1199092

3radic119910119909

119909

3



c) radic(7

3)145

d) 119909119910radic1

(119909119910)103

e)radic1314

2620

7 f) radic1000

8

4

2

1

2

2

2

2

128 = 27

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33




c) radic1

4

3 d) radic

50

6561

5 e) radic78

7 f) radic

1199101199094

27

3

2 119886) 3radic3 b) 22radic223

c) 49

9radic(

7

3)45

d) 1

(119909)2radic

1

119909119910

3 e)

13

262radic

1

266

7 f) 100radic10








TEMPO DE ESTUDO




satildeo






(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782

+


2= (3

1

2)2

= 31times2

2 = 32

2 = 31 = 3




119899= radic119886119899

119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873







+119898 119890 119899 isin 119873

Ex radicradic243

= radic23times4

= radic212

ACTIVIDADE Ndeg 13


propostos


a) radic724

b) radic2515

c) radic750100



3)6




e) radic224

f) 2 g) 4









TEMPO DE ESTUDO







b) radic5020

lt radic10020


c) radic1

50

20gt radic

1

100


1

50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890

1

100


a) radic93

gt radic94


b) radic10

2017

10lt radic

10




Ex a) radic73

____radic54



radic73

___radic54




radic743times4

___ radic534times3


___ radic12512




Entao

radic73

__gt__radic54

portanto radic73





a)radic1

2__radic

2

4 b)radic414

7 __radic33

7 c)radic2

3__radic12

3 d) radic3

4__ radic

1

3

3 e) radic26

16__radic22

3 f)radic

1

4

3__radic

1

2

5



1 a)radic1

2_=_radic

2

4 b)radic414

7 _gt_radic33

7 c)radic2

3_ gt _radic12

3 d) radic3

4_gt_ radic

1

3

3 e) radic26

16_ lt _radic22

3 f)radic

1

4

3_ lt

_radic1

2

5




DE RADICAIS







TEMPO DE ESTUDO












1

3 119890 minus 17









Assim







ACTIVIDADE Ndeg 13





b) minus13radic233

+1

2radic233

=



e) radic65

+ 3radic65

minus 2radic65

=

f) 3

2radic18

5+

7

3radic

2

125minus

1

15radic98

5=

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 times 32

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 times 32





37

15radic2

5




NUMEacuteRICAS








TEMPO DE ESTUDO







119899= radic119886 times 119887

119899 Onde 119886 119887 isin 1198770

+ e 119899 isin 119873



b)radic13

5

3 times radic

15

26


Assim radic13

5

3 times radic

15

23

3= radic

13

5times15

26


radic13

5times15

26

3= radic

13times5times3

5times13times2

3= radic

3

2

3


c) radic275

divide radic35


Assim radic275

divide radic35

= radic27 divide 35


= radic27

3

5= Decompomos o

27 fica radic27

3

5= radic

3times3times3

3


3times3times3

3

5= radic3 times 3

5= radic9

5




(4) (3)

Ex a) radic23

times radic54

= radic24(4times3)


= radic1612

times radic12512



times radic12512


=

radic200012

b)radic27


radic27(2)

radic2(7) =

radic222times7

radic277times2 =

radic2214



27



27

14= radic2(2minus7)

14= radic2minus5


radic(1

2)514

= radic1

32

14




1


1

49

radic1253



1


1

49

radic1253

divide radic83 =

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3= simplificamos

os factores 3 e 1


1

49


8 assim

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3=


1

radic(5

2)33


5

2

=


5

2


5

2


5

2

subtraiacutemos os


5

2

=(1minus7)radic7+1

5

2

=minus6radic7+1

5

2

= aplicamos a



5

2




5=


5=

minus12radic7+2



5=

2minus12radic7

5


ACTIVIDADE Ndeg 14




b) minus13radic7

2

3times

1

26radic1

7

3=


4=


e) radic65

divide radic125

=

f) 3

2radic5 + radic8

3divide radic64

3minus

3

2radic5 =




2

7times7radic32


1 a)35 b) minus1

2radic1


1

2

5 f)

1

2 g)

39

140 h)

75

98





a) 1










b) minus2017 + 2000 minus (+17) =

c) minus(2

3) + (minus

1

2) minus 1

d) 7

3+ 8 minus

1

3+

9

2=

e) 1minus3

2+

3

6minus

5

3minus (minus

5

9+ 7) =

f) (+077) + (minus9


77

100) +

(minus203) =

g) 4 minus1

2minus [2 + (minus

7

3+

1

4)] + 7 =




2) times (minus

8

3) minus 9 =


10times20

3divide (minus

2

10) =


e) 24

6times1

2+ 23 minus

2

3divide

8

9=

f) (2 divide 3 +2


1



a) 162 b) (minus13)2 c) (1

10)2

d) 0032 e) (1

5)2

f) 0222


a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898






a)minus14



a) radic643

b) radicminus83

c) radic27

125

3 d) radicminus729

3 e) radic2197

3 f) radic0008

3 g) radic0125

3


a)radic1

2 b) radic2

3 c) radic255

10 d) radic(

1

15)217

e) radic11990923

f) radic(minus2017

17)66

g)radic(58)4


a)1441

2 b) 251

2 c)(minus125

8)

2

6d) 27

1

3 e) radic4

3

4

f) 1961

4 g)radic2

3

36


a) 7radic2 b) 1

3radic9


2

81

3 e)3radic31199102

3 f) 1198862119887radic

119887

119886

3 g) minus2radic

1

7



c) radic(5

3)147

d) radic543

e)radic3 times 1253


27

3



a) radic14515

b) radic(7

14)28

c) radic(1

2017)1001000

d)radicradic(3

8)4


3

f) (radicradic(27

8)

35

)

25



2 b) radic

1

8

3 ---radic0002


5 d)radic

8

9

7----radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 ----radic

1

2

5




1

3radic1

5

3+

7

3radic1

5

3minus 7radic

1

5

3






6times19radic150 c)

radic5minusradic20


5

3)63

d) radic1199095

times radic11991125


radic1199091199115 119909 ne 0


2radic7 f)

(1

3radic33

)3minus radic1253

1

2( radic63 )

6





6 d)

87

6 e)minus

155

18 f)

47

100 g)

127

12

3 a) 3 b) minus38

3 c) minus

16

3 d)minus110 e)

97

4f)

4

9

4 a) 256 b) 169 c) 1

100 d)

9

10000 e)

1

25f)

484

10000

5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982

6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498


e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898

8 radic3 minus 4

A

minus14



9 a) 4 b) -2 c) 3

5 d) -9 e) 13 f)

1

5 g)

1

2

10a) (1

2)

1

2 b) 2

1

3 c) 251

2 d) (1

15)3

e) 1199092

3 f) 2017

17 g) 582

11 a) 12 b) 5 c) minus5

2 d) 3 e)

16

9 f) radic14 g)

4

9




3 e) radic811199102


4

7


c) 25

9 d) 3radic2

3 e) 5radic3

3 f) 10radic2 g)

4

3

14a) radic143

b) radic1

2

4 c) radic

1

2017

10 d)

3


27

8)53


2 b) radic

1

8

3 gt radic0002


5 d)radic

8

9

7lt radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 gt radic

1

2

5

16a) 21


1

5


17 a) radic6

8 b)

5

6radic1

2c)minus

34

9+ radic5 d) radic

1

1199092

5 e) minus

65

2radic14 f)minus

7

27


Unidade2












numeacutericos



Vocecirc






numeacutericos






2









TEMPO DE ESTUDO







-3 -2 -1 0 +1 +2 +3


-15-0250+12+10








-3 0 +2





-3 0 -2












-3 0 +2







-3 0 +2




infinito


-3 0 +infin



infinito







-3 0 +infin






minusinfin 0 +2





a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1


10

7]

e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5

3 +infin[



3le 119909 lt +11



a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17


1

8----[minus1 1]



1

a) b)

-5 0 +1 minus1

2 0

c) d)


7

e) f)

-4 0 +infin 0 5

3 infin

2

a) [minus4+infin[

-4 0


minusradic3 0


c)

[minus7

3 +11[

minus7

3 0 +11

d)

[6+infin[

0 6 +infin

e) [minus14 0[

-14 0

f) ]1213[

0 12 13

3



1

8isin [minus1 1]











TEMPO DE ESTUDO








A

-5 0 4 5







0 4


intervalos



1

2 4]


-2 -1 0 1

2 1 2 3





1

2 4] no eixo real

teremos

-3 -2 -1 minus1

2 0

1

2 1 2 3 4


2[ cup [minus

1

2 4] = [minus

1

2 4]






7] e C=]minus

15

2 +

1

2[ Determine




a)]minus15

2 1] b) [minus5

10

7] c) ]minus

15

21

2[ d)]minus

15

210

7]












TEMPO DE ESTUDO





a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1

2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)

2119911+2+119911

9ge 1





119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909

3119909 + 1 le1

2119909

3119909 + 1 1

2119909 3119909 1

1

2119909

119909



2119911 + 2 + 119911

9ge 1

2119911 + 2 + 119911

9

1 1

9 2119911 2 119911 1

119911





21199093y22y2zz



92


















assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783


0 1

19 +infin


19 +infin[


b)3(3minus119909)

3+

3119909minus1

4lt 1 minus

119909minus1


3(3 minus 119909)

3(4)

+3119909 minus 1

4(3)

lt1

1(12)

minus119909 minus 1

2(6)


12+


12lt

12

12minus




12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12harr

36minus12119909

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6













minusinfin -5 0







a) 2119909 +6

2lt 119909 minus 4

b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909


d)1

2(2119909 minus 1) + 1 ge

3

2(119909 minus

1

2)

e) 8 minus119909




2 c)119909 lt 0 d) 119909 le

5












TEMPO DE ESTUDO








1

3119909 + 7 ge minus3 b)

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9






1

3119909 + 7 ge minus3




119909 minus 3 lt 0

1


119909 lt 0 + 31




1


119909 lt 31





1


119909 lt 3

119909 geminus101

3

aplicamos


3 o

inverso eacute 3


119909 lt 3

119909 geminus101

3

harr 119909 lt 3


1

harr 119909 lt 3


119909 lt 3119909 ge minus30

Assim


Teremos

-30 0 3 +infin


Ex2

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9



119909minus24(5)

minus2119909minus12

(10)

gt1199095(4)

3minus511990929

ge5118

minus2119909+392

harr

5(119909minus2)

20minus

10(2119909minus1)

20gt

4119909

209(3minus5119909)

18ge

18times5

18minus

2(2119909+3)

18














harr 19119909 lt 041119909 le minus57



harr119909 lt

0

19

119909 leminus57

41

harr119909 lt 0

119909 leminus57

41


no eixo real Assim

minusinfin minus57

41 0 +infin


120786120783]

Ex3

(119909+3)

2le minus9

119909 minus 3 gt1

3(119909 minus 2)


(119909+3)2(1)

le minus91(2)

119909minus31(3)

gt13(1)


1(119909 + 3) le minus18



agrupamos




119909 le minus212119909 gt 7


119909 gt7

2


-21 0 120789

120784


119930119952119949 119961 120656 empty






a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2

b) 119909

2+ 3119909 ge 3

minus2119909 gt 2 minus 3119909

c)119909 minus

119909minus2

2le 2

2119909 le7119909

2minus

1

2

d)

2(119909minus2)

2minus

3(119909+2)

3lt

119909+1

6

2 minus3(119909+2)

2lt 119909 +

119909minus1

4

e) 1 minus

2

3(119909 + 3) ge

7(1minus2119909)

41

2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909


1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2

3 2[ c)[

2

3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [

33

347

5[





a) 119909 gt 0 b) 119909 le1


radic2

2le 119909 le +

radic2


1

3






2lt

4119909minus1

4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (

1

3119909 + 9)

e) 119910minus1

2minus

(2119910+3)

3gt

119910

6 f) minus4119909 + 6 ge

3

4119909 +

2minus119909

3



2

3119909

3

2(119909 minus 3) le 119909 + 1

b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0

9

2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6

c)

119909minus7

5lt 119909 minus

1



d) 4 minus 7119909 +

3minus119909

5gt 2





1a)

]0+infin[

0 +infin

]minusinfin1

2]

b)

0 1

2

c) ]minus4 8]

-4 0 8

d)

[minusradic2

2radic2

2]

minusradic2

2 0

radic2

2

d) [minus1

3 minus025[

minus1

3 minus025 0

2a) [minus3 5[ b)[07


7

2]

3 a) ]minusinfin8


5

2[ c) ]

3


9

2]f) ]minusinfin

64

53[

4 a) 119909120598 ]27


9

86

5[d)119909120598empty













Vocecirc









3











TEMPO DE ESTUDO






120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos

minusradic120785




radic120785

120784119935119936120784119937120783120782



letras 119935119936120784119937120783120782


51199052 minus

11989611989711990320

2 minus24 +1001198861199092

etc






radic120785

120784



c) 1


1

5

d) minus11989611989711990320


1



2= minus

1times(11989611989711990320)


minus1

2








c) 1


d) minus119896119897r20










120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13


c) 1


d) minus11989611989711990320

2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22



g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3


Ex radic5020

3119909119910 1199111199051198962 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 20171198962119905119911 1980



a) 3119909119910 minusradic3

3119910119909

119909119910



3119910119909

119909119910

20


c) radic5020




propostos abaixo



a) 119909119892119896 b) minus10

7119911 + 119889 c)

2017

25 d)

ℎ1199111199055

4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2

3 h) 45119905 + 0


a) 541199093 b) 1199091199051198968

8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus

1

71198861199031199058



31199097119910119911

minus1

31199091199052119896

-1980

81199091199054119910

5

11989641199101199111199052

(1

13)3

11990931199117


a) minus1199091199112 119909119911119911 2

31199092119911

1

41199112119909 minus181199111199092

b) radic3

21198871198863 minus119886119887

1198871198863

2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886

radic3

21198861198873



1


a) 119909119892119896 1 119909119892119896

119888)2017

25

2017

25

Natildeo existe

d) ℎ1199111199055

4

1

4

ℎ1199111199055

f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911

g) radic23

1 Natildeo existe

h) 45119905 + 0 45 119905

2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968


1

71198861199031199058

3


41199112119909)

b) (radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus119886119887+119887119886) (

radic3

21198871198863

1198871198863



31199097119910119911 3 1199097119910119911 9

minus1

31199091199052119896 minus

1

3

1199091199052119896 4


81199091199054119910

5

8

5

1199091199054119910 6

11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8

(1

13)3

11990931199117 (1

13)3

11990931199117 10










TEMPO DE ESTUDO













b) minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789


(minus120785

120784119938119939119961 119942

120789

120786119938119939119961) (

120783



minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus

120785

120784+

120789

120786) 119938119939119961 + (

120783



= (minus120785120784(120784)

+120789120786(120783)

)119938119939119961 + (120783120785(120783)

minus120787120783(120785)


120786) 119938119939119961 + (


120785) 119961y120785 =


= (minus120788+120789

120786) 119938119939119961 + (

120783minus120783120787

120785) 119961119962120785 = (

minus120783

120786) 119938119939119961 + (

minus120783120786


= minus120783

120786119938119939119961 minus

120783120786


por aqui





a) 2119909 minus 5119909 + 4119909

b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909

c) minus1

2119909119910 + 119911119905 minus

9

4119909119910 minus

7

10z119905

d) 1199091199116

2minus

21199116119909

3+ 2

e) 1198861199051199034

5+ 25 minus

111198861199051199034

10minus 50


g) 8

3119908 minus 8119908 + 4119906 minus

1

3119906



1 a)119909

b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909

c)minus11

4119909119910 +

3

10119911119905

d)minus1199116119909

6+ 2

e)minus9

101198861199051199034 minus 25

f) minus35119909 minus 9119910

g)11

3119906 minus

16

3119908






propriedades





TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios






120787119961120784119963120785 e minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784 Teremos

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782


120788

120787 minus

120783120782

120783120784 e as partes

literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = [

120788

120787times (minus

120783120782



minus6times5times2






tambeacutem


120787119961120788119962120785119963 e minus

120784120783

120784120782119961120786119962 Fica

(minus120789

120787119961120788119962120785119963) divide (minus

120784120783


(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

(minus120784120783

120784120782119961120786119962)

=


120787

minus120784120783

120784120782

) times (119961120788119962120785119963

119961120786119962) = neste caso



120784120782

120784120783 Assim

= (minus120789


120784120782

120784120783) times (

119961120788119962120785119963




119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times (

119961120788119962120785119963



= +120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963


= +120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= +

120786

120785times 119961120784119962120784119963 =

120786

120785119961120784119962120784119963







b) (8

31199094119910) times (minus311990931199102)


911990931198871199102)

d) 1711991051199096 times (2

34119886511991021199097)



b) (8

311990941199102) divide (minus31199093119910)

c) (minus4

311988611990931198871199102) divide (minus

1

91198871199091199102)

d) 1

171199105119909611988610 divide (

1

34119886511991021199093)


1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1

3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865

2 a)2

31199092 b)minus

8

9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093










TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios




120787119961120788119962120785119963)

120784



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= (minus120789

120787)120784



5)2


assim (minus120789

120787)120784

= (minus120789


120789

120787) = +

120786120791



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= +120786120791

120784120787119961120783120784119962120788119963120784


ACTIVIDADE Ndeg 4




a) (minus31199093)2

b) (8

31199094119910)

3

c) (minus1

911990931198871199102)

7

d) (2

34119886511991021199097)

2

e) (minus4

311988611990931198871199102)

3


1 a)91199096 b)512

27119909121199103 c)minus(

1

9)7

11990921119887711991014 d)(1

17)2

11988610119910411990914

e) minus64

271198863119909911988731199106










TEMPO DE ESTUDO






120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785


120783



120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785


31199102119909 + 541199052 minus 3


21199092 minus 119909

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910

d)1199092 minus 5119909 + 6






120784119961120784 tem grau 2





120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3


a)minus5


120787

120785119962120784119961









a) 3

21199094 minus 31199094 + 1199094

b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199105 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199092 +

1

21199092 minus 21119909

f)minus251199053 minus 1199053


a) 3

21199095 minus 31199094 + 1199097

b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199102 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199093 +

1

21199092119910119911 minus 21119909

f)318 minus 251199052 minus 1199103



1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)

2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3











TEMPO DE ESTUDO






120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784


119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784



119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784





119860 + 119861 = (120785 +120784


120784

120787)

teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)

+120784

120787(120783)



120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784

continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784


120783120787+120784

120787) =

17

5


5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos


119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =

120783120789



119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =

120783120789


119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120784


120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784



minus(120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus


119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784



119860 minus 119861 = (120785 minus120784



120787) teremos 119860 minus 119861 = (

120785120783(120787)

minus120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos



120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(

120783120787minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus


120787) =

120783120785

120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784


120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784


120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=

120783120785









119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784










a) 119860 + 119861 =3

21199092 minus 2119909 minus 3

b) 119860 minus 119861 =5

21199092 + 4119909 minus 1

c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1

21199092 minus 1

d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3

21199092 + 119909 minus 3












TEMPO DE ESTUDO







(minus120785119961120784) times (120784


120784


Assim

minus120785119961120784 times120784



120785) 119961120785119961120784 +
















= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782

ACTIVIDADE Ndeg 7




a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)

b) (minus5

3119909) times (minus1199093 +

9

10)

c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)



d) (1

21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)



1 a)61199092 minus 31199092

b)5

31199094 minus

3

2119909

c)1199091199102 + 1199104

d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910

2 a)21199093 minus 2119909

b)51199092 minus 9119909 + 4

c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4

d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909


Liatildeo nordm 8








TEMPO DE ESTUDO








119912 times 119913 = (minus120785


120785

120784119961120784)


119912 times 119913 = (minus120785



119912 times 119913 = (minus120785

120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus

120785


120785




119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961(120784+120784) +

120783120784

120784119961(120784+120783) +

120788



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 +

120783120784

120784119961120785 +

120788



120784 e 120788

120784 assim


119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784

ACTIVIDADE Ndeg 8




119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5





1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909


21199093 minus 31199092 + 119909

c)minus5

21199094 minus

25

21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2

d)61199092 + 13119909 minus 4






(119938 + 119939)(119938 minus 119939)







TEMPO DE ESTUDO














(120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (

120785times120785




120785119961120786119962120785 (120785





(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784







Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784


(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784







desenvolvido










(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784

































ACTIVIDADE Ndeg 9




a) 51199092 minus 25119909

b) minus3 + 61199092

c) 1199102 minus 30119910

d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911

e) 501199092

16minus

11990921199112

16

f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896





1a) 5119909(119909 minus 5)

b) 3(minus1 + 21199092)

c)119910(119910 minus 30)

d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)

e)1199092

16(50 minus 1199112)

f)71199103119896(119910 + 5)

2 a) 1199092 + 8119909 + 16

b)1199092 minus 14119909 + 49

c)4 + 12119910 + 91199102

d) (119909 + 6)(119909 minus 6)

e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)

f) (119909 + 3)(119909 minus 3)











TEMPO DE ESTUDO










=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)


=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +



ACTIVIDADE Ndeg 10




a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092

b) (1711991031199095+3411991021199093)

1711991021199093

c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)

d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911

2611990921199105

e) (501199092

16minus

11990921199112

16) divide (

1199092

16)

f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909

141199103119896



1 a)61199094 minus 8119909 + 2

b)1199092119910 + 2

c)119910 minus 30


2

e)50 minus 1199112

f)3minus119909

2






radic5

2119905311990921199106

minus(17)17 11990941199102

216119896141199102

3

2017


a) minus11989621199103 11990931198962119910318

511991031198962 20119910311989621199093 119896119910

b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905


a) 5119909 minus 3119909 minus10

2119909 = minus3119909

b) 1

31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103

c) 1198967

5minus

6

511989621198967 + 1198967 = 0




a) 119860 + 119861

b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861

d) ndash119860 + 3119862 minus 119861


a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12

41199102)

b) (3

41199093119910) (minus2119909119910 +

1

2119909119905 + 119909)

c) (31199113119896 minus 119911119896 +2

31199111198962) (31199112)

d) (1

41199092 + 119909 minus 3) (41199093)





2)

d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)







a) 1

5119905 +

4

5

b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112

c) 31199093 minus 91199094119910

d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2


a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)

b)3

21199109+61199106minus1199103

3

41199103

c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)

d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)



1


radic5

2119905311990921199106

radic5

2

119905311990921199106 11

minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6

216119896141199102

3

216

3

119896141199102 16


2a)(minus1198962119910318


3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865


5a) 9

411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)

3

211990941199102 +

3

81199094119910119905 +

3

41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962

d) 1199095 + 41199094 minus 121199093


21199093 +

1

21199092 minus 12119909 minus 2





8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)


9 a) 1


10 a) 21199053 + 1199052 b) 2

3(31199106 + 121199103 minus 2) c)

1

17(1 + 1199092 + 8119909)
















Vocecirc










reacutegua

2






nuacutemeros reais





TEMPO DE ESTUDO





















b) minusradic120784



minusradic120784



minusradic2

21199092


1˚ membro

= 7119909 + 100





minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus

radic120784



120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782







119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789




ACTIVIDADE Ndeg 1





e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0



e)minus1

21199092 = minus2 +

3




1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886


d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1

2 119887 = minus

3

4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2

g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0











TEMPO DE ESTUDO











(119961 + 120785) = 120782



























a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0




3 0












TEMPO DE ESTUDO












d) minusradic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782







minusradic120784


radic120784



120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =

120782

minusradic120784

120784

portanto 120782

minusradic120784

120784

= 120782 entatildeo

119961120784 =120782

minusradic120784

120784

harr 119961120784 = 120782



porque 119961120783 = 119961120784







d) radic2

2minus

radic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 =

radic120784

120784


















eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0



c) 120785119961120784 +120787


120787

120784 119942 119940 = 120782

d) radic8119961 minus120783120786


14

5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782




harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939

119938










ACTIVIDADE Ndeg 3






21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0

f) 101199092 + 10 = 0




e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty





DE PRODUTO







TEMPO DE ESTUDO






seguir


119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 120782



119938+

119940

119938= 120782



119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938= minus

119940

119938



119938 que eacute (

119939

120784119938)120784

Assim

119961120784 +119939119961

119938= minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784



119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

harr (119961+119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 portanto



produto


120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782


120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785harr

harr 119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782


119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783



120783120782

120785) significa



120785

120784=

minus120783120782

120785120784

120783



1

2 assim

minus120783120782

120785120784

120783

=

minus120783120782

120785times120783

120784= minus

120787times120784times120783


120787

120785


120785)120784


120783120782119961


120787

120785)120784

Assim 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784




120785+ (minus

120787

120785)120784


120785)120784

Isto eacute

119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= (119961 minus120787

120785)120784


120785)120784


120785+ (minus

120787

120785)120784



120785)120784



[119961 + (minus120787

120785)]120784

= (119961 minus120787

120785)120784



119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784



120785)120784

= minus120783 +120784120787

120791= minus

120783120783(120791)

+120784120787120791(120783)

=minus120791+120784120787

120791=

120783120788


(119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

=120783120788



120785)120784

= radic120783120788



120785)120784


120791 agora


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


120787

120785= plusmn

120786


120787


harr 119961 minus120787

120785= plusmn

120786

120785harr 119961 =

120787

120785plusmn

120786


119961120783 =120787

120785+

120786

120785=

120791

120785= 120785119961120784 =

120787

120785minus

120786

120785=

120783


120783

120785 120785




propostos






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8










TEMPO DE ESTUDO








120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Isto eacute

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940



120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784


120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961+

119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784



119939


119961 +119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961 = minus

119939


119939120784minus120786119938119940




119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr= 119961 = minus

119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940



120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961 =






120784119938




∆= 119939120784 minus 120786119938119940











120784119938harr 119961120783120784 =


120784times(120784)



120784times(120784) harr 119961120783120784 =


120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120784120787

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmn120787

120786 veja que



119961120783 =+120789+120787

120786=

120783120784

120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =

+120789minus120787

120786=

120784

120786=

120784times120783

120784times120784=

120783

120784 119930119952119949 119961 =

120783


soluccedilotildees


120784119938



resolvente



120784119938harr 119961120783120784 =






120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782


119961120783 =120784radic120784+120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120784 =

120784radic120784minus120782

120784=

120784radic120784





120784119938harr 119961120783120784 =





ACTIVIDADE Ndeg 5


propostos abaixo






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8




QUADRAacuteTICA







TEMPO DE ESTUDO





119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938

harr 119961120784+

119939119961

119938+

119940


119887





119939

119938 Portanto

119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939

119938





119938harr 119930 = minus

120787


raiacutezes





119961120784 +119939119961

119938+

119940


119940

119938


119938 Portanto

119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940

119938





119938harr 119927 =

(minus120784)

120785= minus

120784


das raiacutezes


119938 e 119927 =

119940



119938+

119940


119939



119938(minus120783) harr minus119930 =

119939


119961120784 +119939119961

119938+

119940






(cinco)







119938 e teremos

119930 = minus119939

119938 harr 120786 = minus

[minus(119950+120783)]


4 = minus[minus(119950+120783)]












119938 e

teremos

119927 =119940

119938harr minus120783120782 =

(120784119950minus120787)





120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787


agrave ndash120787

120784







2119908 = 0



1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5

2

b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5

2

c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10






119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



TEMPO DE ESTUDO









120784119938harr 119961120783120784 =


120784times120785harr 119961120783120784 =


120788harr 119961120783120784 =


120788


120788harr 119961120783120784 =


120788 119961120783 =

minus120787+120789

120788=

120784

120788=

120783

120785119961120784 =


120788=

minus120783120784





119961120783 =120783






120783




120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute

120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) (119961 + 120784) = 120782








1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)


c) 3 (119909 +2

3) (119909 minus 1)

d) 5 (119909 +4

5) (119909 minus 8)




QUADRAacuteTICAS






TEMPO DE ESTUDO









120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961

(120783120784119961 + 120785120788)119950






119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950








119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950

120784 na igualdade

119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938





harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +





harr120785120782119961120784

120784+

120783120785120784119961

120784minus

120785120790120786

120784=

120782






120784119938 harr 119961120783120784 =


120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =


120785120782


120785120782harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmn120783120784120788

120785120782 119961120783 =

minus120788120788+120783120784120788

120785120782= 120784 119961120784 =

minus120788120788minus120783120784120788

120785120782= minus

120791120788

120783120787 portanto a



119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950

120784









120788119950

120790119950120784 119961119950

119961119950





1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982

2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909

b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092

c) 119909 = 2





a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0

b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0

c) minus1

21199092 = 15119909


e) 1199092 = 36

f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0


a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1

2) = 0

b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0

c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0

d) 31199092 + radic3119909 = 0


a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0


a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0

b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0


d) 3(119909 + 2) = 1199092








a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0






1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16

b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12

c)119886 = minus1

2 119887 = minus15 119888 = 0

d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9

e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0

f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64

2 a) 119878119900119897 119909 = 1


5

2 1

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0


27+radic5

2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0 e)

radic2

2 radic2

4 a) 119878 =3

2 119875 = minus

5


5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3

24minusradic3

2

d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2


2) (119909 minus

7+radic5

2) = 0 c)

1

2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0

d) (119909 +radic3

3) 119909 = 0 e)(119909 minus

radic2

2) (119909 minus radic2) = 0


8 119860 = 601198881198982


BIBLIOGRAFIA





esclarecidas







CONTEUacuteDOS

EXEMPLOS

REFLEXAtildeO

TOME NOTA































1





GRADUADA








TEMPO DE ESTUDO





119873 = 1234567891011hellip




119876 =

hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1 +

4

3 +375+

21

4 hellip





119860 1 119861 2 119862 8 119863 4 119864 5 119865 10

A B D E C F

0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10



E F B A C D



119860 +1

2 119861 minus

1

2 119862 +

7

3 119863 minus 4 119864 +

10

5 119865 minus 625


119860 +1

2

119860 +1

2= +05 Logo

0 119860 1 2

119861 minus1

2

119861 minus1

2= minus05 Logo

-2 -1 119861 0

-

10

10

2

05

00

-

10

10

2

05

00


119862 +7

3

119862 +7



119862

0 +1 +2 +3


Ex B A

C



Ex hellip minus20


3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip






Ex O nuacutemero +7






( 119951atilde119952 119953119942119955119957119942119951119940119942)




3


1

2 +

4

5 +1+

4

3 +375+

21

4 hellip


-

-

700

6

3

233hellip

10

09

01


a) 0 isin 119873 (119865) e) +1


minus(119881)


3notin 1198760

+(119881)

c) minus3

2isin 119876 (119881) g) +

21

















(119899atilde119900 119888119900119899119905119890119898)


minus)


c) 1198760+ ⊅ 119876minus (Lecirc-se 1198760


d) 1198760minus ⊅ 119873(Lecirc-se 1198760



ACTIVIDADE Ndeg 1



a) minus3

2isin 1198850

+ ( ) e) minus1



3isin 1198760

+( )

c) minus3

2isin 1198760

minus ( ) g) +21



a) A minus3

2 e) 119864 minus 2

1

2 i) 119868 035

b) 119861 0 f) 119865 + 025 J) 119869 minus2

3

c) 119862 minus3

4 g) 119866 +

21

4 l) 119871 minus 1

d) 119863 375 h) 119867 minus 5 m) 119872 minus 10375










1

a) ( 119865 ) e) ( 119865 ) i) ( 119865 )

b) (119865 ) f) ( 119865 ) J) (119865 )

c) ( 119881 ) g) ( 119865 ) l) ( 119865 )

d) ( 119865 ) h) ( 119865 ) m) (119881 )


-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

3


b) 1198760minus sub 119876 f) 1198760

+ sup 119885+ J) 40 isin 1198760+


4isin 119876 l) +825 isin 119876











TEMPO DE ESTUDO








(+) times (+) = +








b) (+3

4) minus (minus

4

3) + (minus

1

2) minus (+

1





+3

4+4

3minus1

2minus1

6=


+3

4+4

3minus1

2minus1

6=



+3 times 3

4 times 3+4 times 4



6 times 2=


12=

=+25minus6minus2

12=

+19minus2

12= +

17

12˶




minus05 minus 03 +2

5minus 025 =




10= minus

5

10 Entatildeo a

expressatildeo fica

= minus120787

120783120782minus

3

10+

2

5minus

25


(10)(10)(20)(1)

= minus5 times 10

100minus3 times 10

100+2 times 20

100minus25 times 1

100=


100=



100= minus

65

100˶


ACTIVIDADE Ndeg 2




b) (+1

2) minus (+

3

4) + (+

14

3) =

c) minus(minus6

7) minus

5

14minus (

1

2) =


10=


10) + (minus203) =



a) 20 b) 53

12 c) 0 d) 0 d) minus

547

100 e)minus

91

12










TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(+2

3) times (minus

6

8) times (minus

2

3) times (minus

1



3times6

8times2

3times1










1

2times3=

1

6˶




119939divide

119940

119941=

119938

119939times119941

119940 onde 119939 ne 120782 119940 ne

120782 119942 119941 ne 120782

6

3

1

2

3

6 = 2 times 3


Ex a) (minus5

15) divide (+

10


5


divisor (+10


45


5

15) times (+

45



15times45






15times10=





3

2˶


119939119940

119941


119939119940

119941

=119938

119939times119941

119940 onde (119939 ne 120782 119940 ne 120782 119942 119941 ne 120782)120598119876

Ex b) (minus

36

12)

(minus24


(minus36

12)

24

64

= (minus36

12) times

(minus64


36times64

12times24=




12times24=

+25times26


+25times26


26

3times3=

64

9 ˶

10

5

1

2

5

10 = 2 times 5

45

15

5

1

3

3

5


15

5

1

3

5

15 = 3 times 5

8

4

2

1

2

2

2

8 = 2 times 2 times 2 = 23

12

6

3

1

2

2

3

12 = 22 times 3

24

12

6

3

1

2

2

2

3

12 = 23 times 3

36

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

36 = 25

64

32

16

8

4

2

1

2

2

2

2

2

2

64 = 26


ACTIVIDADE Ndeg 3



a) minus(minus8

9) times (minus

18

4) =

b) (minus7

28) times (+

27

21) =


12) times (minus

1

9) =

d) 03 times10

9times (minus

81

4) times 02 =

e) 29

3times (minus

21

30) times 001 =


a) (minus12

5) divide (+

3

25) =


5) =

c) +025 divide (+75

100) =

d) +(minus31

3) divide (03) =






27

20 e) minus

35

3000


9 5c)

1

3 d) minus

100

9 e) minus

1

3









TEMPO DE ESTUDO




Ex a) minus(3


3


minus(3


3

4) times (minus

2


3

4times

2

10=



3times2

4times10=

3


minus(3


3


3


119898119898119888 fica 320(1)

minus91

(20)


20=

3minus180

20=

Logo 3minus180

20= minus

177

20 ˶

b) (2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20



5divide

3

2=

2

5times2

3=

4



5 o valor 1





2

5divide

3

2minus 1

3

5) times 5 +

20

3= (

4

15minus

8

5) times 5 +

20

3= passo seguinte


minus85(3)


15=

4minus24

15= minus

20

15= minus

4times5

3times5= minus

4

3


15minus

8

5) times 5 +

20

3= (minus

4

3) times 5 +

20



3) times 5 +

20

3= minus

4times5

3+

20

3= minus

20

3+

20



3+

20

3= 0˶

ACTIVIDADE Ndeg 4




b) minus2

3times3

4divide (minus

3

2) =

c) 3 divide (minus4

5) times (minus

2



e) minus1minus(

1

3minus3

4)

2minus(minus1

2)times(minus

1

2)=



1 a) 2 b)1

3 c) minus

5


1

3










TEMPO DE ESTUDO







Ex 02 12 (1

2)2

22 (3

4)2

32 42 (110

378)2

(2017

5)2

1002 119890119905119888





d) (3

4)2

= (3

4) times (

3

4) =

3times3

4times4=

9


3



e) 32 = 3 times 3 = 9

f) 42 = 4 times 4 = 16

g) (110

378)2

= (110

378) times (

110

378) =

12100

142884

h) (2017

5)2

= (2017

5) times (

2017

5) =

4068289

25

i) 1002 = 100 times 100 = 10000





Ex

a) 02 = 0 times 0 = 0

b) 12 = 1 times 1 = 1

c) 22 = 2 times 2 = 4

d) 32 = 3 times 3 = 9

e) 42 = 4 times 4 = 16




radic119938119951


chama-se 119877119886119889119894119888119886119897




Ex









Ex

a) radic4 = 2 119901119900119903119902119906119890 2 times 2 = 22 = 4

b) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 3 times 3 = 32 = 9

c) radic16 = 4 119901119900119903119902119906119890 4 times 4 = 42 = 16

d) radic100 = 10 119901119900119903119902119906119890 10 times 10 = 102 = 100








a) 30 minus 52 = 30 minus 25 = 5

b) 60 minus 72 = 60 minus 49 = 11













radic30 asymp 54772


radic60 asymp 77460





a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = ⋯

b) radic25 = ⋯ 119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

c) radic36 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

d) radic81 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯

e) radic144 = ⋯119901119900119903119902119906119890hellip = ⋯



a) 3 b) 8 c) 25 d) 51 e) 64 f) 75 g) 89 h) 625 i) 2017




1

a) radic9 = 3 119901119900119903119902119906119890 32 = 9

b) radic25 = 5 11990111990011990311990211990611989052 = 25

c) radic36 = 6 119901119900119903119902119906119890 62 = 36

d) radic81 = 9119901119900119903119902119906e92 = 81

e) radic144 = 12119901119900119903119902119906119890122 = 144

f) radic3600 = 60 119901119900119903119902119906119890602 = 3600

2 a) 13 b) 32 c) 43 d) 92498 e) 99005 f) 07566

3 a) 1 119903119890119904119905119900 2 b) 2 119903119890119904119905119900 4 c) 5 119903119890119904119905119900 0 d) 7 119903119890119904119905119900 2 e) 8 119903119890119904119905119900 0 f) 8 119903119890119904119905119900 11

g) 9 119903es119905119900 8 h) 25 119903119890119904119905119900 0 i) 44 119903119890119904119905119900 81


e)196 radic196 = 14

5 11 times 11 + 17 = 121 + 17 = 138









TEMPO DE ESTUDO




Ex radic2017

radic2017


Assim radic20170000




radic20170000 4



radic20170000 4

16

04


radic20170000 120786

16 8

04


radic20170000 120786 16 8 0417



radic20170000 120786 16 8120786

0417 times 120786

336




radic20170000 120786 120786 16 8120786 0417 times 120786

336


radic20170000 120786 120786

16 8120786 0417 times 120786

336 336

0081


radic20170000 44 16 84 88

0417 times 4

336 336

0081


radic2017120782120782 00 4 4 16 84 88

0417 times 4

336 336

008100



radic2017120782120782 00 4 4 16 84 889


336 336 8001

008100

8001


radic20170000 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

000099


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889


336 336 8001

008100

8001

00009900


radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 898


336 336 8001


008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900



radic201700 120782120782 4 4 9 1 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919





9 1hellip


radic201700 120782120782 4 4 9 1hellip 16 84 889 8981


336 336 8001 8981

008100

8001

00009900

8981 00000919


Resto 00919 porque(120786120786 120791120783)120784 + 120782120782120791120783120791 = 120784120782120783120788 120791120782120790120783 + 120782 120782120791120783120791 = 120784120782120783120789











a) radic135 = 1161 119903119890119904119905119900 02079

b) b) radic344 = 1854 119903119890119904119905119900 02684

c) c)radic1423 = 3772 119903119890119904119905119900 02016

d) d) radic5321 = 7294 119903119890119904119905119900 07564

e) e) radic752893 = 86769 119903119890119904119905119900 7064







TEMPO DE ESTUDO






a) radic2


radic2000000000000 1414213hellip 1 24 281 2824 28282 282841 2828423


96 9 6 281 11296 56564 282841 8485269

0400

281

011900

11296 00060400

56564 0000383600

0000282841 000010075900

000008485269

000001590631





diferentes






perioacutedicas











9 g) radic119890















f) radic625














TEMPO DE ESTUDO






Ex ℝ =

hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip




Ex

R

Q I

N

Z








ℝ

= hellip minus120783120782120782


120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784120645hellip


ℝ120782+ = 120782 +

120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip

ℝ+ = hellip +120783

120784 +120783+radic120784

radic120783120788

120784 120645hellip


120783120782120782









119887) 1198760minus nsub 1198770

+ f) 1198760+ sub 119877+ J) 119873 sub 1198770

+


4 isin 119877 l) +825 isin 1198770

+




propostos abaixo




1

1000 0 124radic

17


Determine




119887) 1198760+helliphellip1198770



2 g)minus

91


+ l) +119890helliphellip 1198770+







3 minus

1


d) 124radic17




1


f) 0 124radic17




1


incluindo o zero




119887) 1198760+ sub 1198770

+ f) 1198760minus nsub 119877+ J) 119873 sub 119877


2 g)minus

91

4 notin 1198770

+ l) +119890 isin 1198770+





GRADUADA






TEMPO DE ESTUDO




Ex

-infin -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +infin







B

X 1cm

A 1cm C






119945120784 = 119940120783120784 + 119940120784

120784


1199092 = (1119888119898)2 + (1119888119898)2 harr 1199092 = 11198881198982 + 11198881198982 harr 1199092 = 21198881198982




Ex

-2 -1 0 1 2


B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 2



B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic2 2






minusradic2 Assim

B

X 1cm

A 1cm C






D

B

X 1cm

A 1cm C

-2 -1 0 1 radic3 2



Assim

D

B

X 1cm

A 1cm C





ACTIVIDADE Ndeg 9





4



D

B

X 1cm

A 1cm C

minus14












TEMPO DE ESTUDO




2 =


3 119900119899119889119890 119886 isin 119877



Ex a) radic83



c) radic3433



= radic733

=7

e) radicminus27

8


343

49

7

1

7

7

7

343 = 73



23



23

3= minus

3

2




ACTIVIDADE Ndeg 10




a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic125

3 d) radic2197

3 e) radic

125

27

3 f) radic

1

216

3 g) radic729

3

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23



1 a) -1 b) 2 c) -5 d) 13 e) 5

3 f)

1

6 g) 9







fraccionaria




TEMPO DE ESTUDO




119900119899119889119890 119886 isin 119877 (119898 119890 119899) isin 119873



radic119886119898119899

= 119886119898


119899minus eacute 119890119909119901119900119890119899119905119890




2

b) radic(minus13

2)147

= (minus13

2)

14

7= 119889119894119907119894119889119894119898119900119904 119900 14 119901119900119903 7 119891119894119888119886 radic(minus

13

2)147

= (minus13

2)2

=

(minus13

2) times (minus

13

2) = +

169

4


a) (5

9)

1

3= 119899 = 3119898 = 1 119886 =

5

9 119890119899119905atilde119900 (

5

9)

1

3= radic(

5

9)13

= radic5

9

3

b) (119910

2)

8

5=119899 = 5119898 = 8 119886 =

119910

2 119890119899119905atilde119900 (

119910

2)

8

5= radic(

119910

2)85





a) radicminus13

b)radic64

8

3 c) minusradic1256

3 d) radic(

13

2197)217

e) radic(125

27)25100

f) radic(1

216)1199016

g) radic7293


a) 51

4 b) 21

2 c) 081

3 d) (120587

2)

3

6e) 25025 f) 0008

1

3 g)0012

4



1a) (minus1)1

3 b) 2 c) -5 d) (1

169)2

e) (125

27)

1

4 f) (

1

216)

119901

6g) 729

1

3=[(9)3]1

3=9

2119886) radic54

b) radic2 c) radic8

10

3 d)radic

120587

2 e) radic25

4= radic5 f)radic

8

1000

3= radic(

2

10)33

=1

5 g)

1

10




RADICAL







TEMPO DE ESTUDO






= 119938radic119939119951





= radic119938119951 times 119939119951

= radic119938119951119939119951



c) 7

12times radic(

144

14)23




14)2

fica

7

12times radic(

144

14)23

= radic(7

12)3

times (144

14)23



14times14



14 = 7 times 2



14times14

3= radic

7times7times7


7times2times7times2

3=







3= radic

7times12

2times2

3= factorizamos


radic7times12

2times2

3= radic

7times4times3

4

3= radic7 times 3

3= radic21

3









Assim

119898 119899



= 119938119954radic119938119955119939119951


a) radic39 times 25


9 5


4 radic39 times 25



= 3 times radic1625

= 3radic1625

b) radic128

27


128

64

32

16

2

2

2


radic128

27

3= radic

27

33


por 3 Assim

7 3 3 3


1 0

Fica radic27

33

3=

22

31radic21

30

3=

4

3radic2

1

3=

4

3radic23

ACTIVIDADE Ndeg 12





c) 1

2radic30

60

3 d)

5

9radic

18

125

5 e) 7radic7

7 f)

1199092

3radic119910119909

119909

3



c) radic(7

3)145

d) 119909119910radic1

(119909119910)103

e)radic1314

2620

7 f) radic1000

8

4

2

1

2

2

2

2

128 = 27

27

9

3

1

3

3

3

27 = 33




c) radic1

4

3 d) radic

50

6561

5 e) radic78

7 f) radic

1199101199094

27

3

2 119886) 3radic3 b) 22radic223

c) 49

9radic(

7

3)45

d) 1

(119909)2radic

1

119909119910

3 e)

13

262radic

1

266

7 f) 100radic10








TEMPO DE ESTUDO




satildeo






(radic119938)120784= 119938 119901119886119903119886 119938 isin 119929120782

+


2= (3

1

2)2

= 31times2

2 = 32

2 = 31 = 3




119899= radic119886119899

119898 onde 119886 isin 1198770

+119898 119890 119899 isin 119873







+119898 119890 119899 isin 119873

Ex radicradic243

= radic23times4

= radic212

ACTIVIDADE Ndeg 13


propostos


a) radic724

b) radic2515

c) radic750100



3)6




e) radic224

f) 2 g) 4









TEMPO DE ESTUDO







b) radic5020

lt radic10020


c) radic1

50

20gt radic

1

100


1

50 eacute 119898119886119894119900119903 119902119906119890

1

100


a) radic93

gt radic94


b) radic10

2017

10lt radic

10




Ex a) radic73

____radic54



radic73

___radic54




radic743times4

___ radic534times3


___ radic12512




Entao

radic73

__gt__radic54

portanto radic73





a)radic1

2__radic

2

4 b)radic414

7 __radic33

7 c)radic2

3__radic12

3 d) radic3

4__ radic

1

3

3 e) radic26

16__radic22

3 f)radic

1

4

3__radic

1

2

5



1 a)radic1

2_=_radic

2

4 b)radic414

7 _gt_radic33

7 c)radic2

3_ gt _radic12

3 d) radic3

4_gt_ radic

1

3

3 e) radic26

16_ lt _radic22

3 f)radic

1

4

3_ lt

_radic1

2

5




DE RADICAIS







TEMPO DE ESTUDO












1

3 119890 minus 17









Assim







ACTIVIDADE Ndeg 13





b) minus13radic233

+1

2radic233

=



e) radic65

+ 3radic65

minus 2radic65

=

f) 3

2radic18

5+

7

3radic

2

125minus

1

15radic98

5=

72

36

18

9

3

1

2

2

2

3

3

72 = 23 times 32

8

4

2

1

2

2

2

8 = 23

18

9

3

1

2

3

3

18 = 2 times 32





37

15radic2

5




NUMEacuteRICAS








TEMPO DE ESTUDO







119899= radic119886 times 119887

119899 Onde 119886 119887 isin 1198770

+ e 119899 isin 119873



b)radic13

5

3 times radic

15

26


Assim radic13

5

3 times radic

15

23

3= radic

13

5times15

26


radic13

5times15

26

3= radic

13times5times3

5times13times2

3= radic

3

2

3


c) radic275

divide radic35


Assim radic275

divide radic35

= radic27 divide 35


= radic27

3

5= Decompomos o

27 fica radic27

3

5= radic

3times3times3

3


3times3times3

3

5= radic3 times 3

5= radic9

5




(4) (3)

Ex a) radic23

times radic54

= radic24(4times3)


= radic1612

times radic12512



times radic12512


=

radic200012

b)radic27


radic27(2)

radic2(7) =

radic222times7

radic277times2 =

radic2214



27



27

14= radic2(2minus7)

14= radic2minus5


radic(1

2)514

= radic1

32

14




1


1

49

radic1253



1


1

49

radic1253

divide radic83 =

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3= simplificamos

os factores 3 e 1


1

49


8 assim

radic7+radic3times1

3minusradic7divide

1

49

radic125

8

3=


1

radic(5

2)33


5

2

=


5

2


5

2


5

2

subtraiacutemos os


5

2

=(1minus7)radic7+1

5

2

=minus6radic7+1

5

2

= aplicamos a



5

2




5=


5=

minus12radic7+2



5=

2minus12radic7

5


ACTIVIDADE Ndeg 14




b) minus13radic7

2

3times

1

26radic1

7

3=


4=


e) radic65

divide radic125

=

f) 3

2radic5 + radic8

3divide radic64

3minus

3

2radic5 =




2

7times7radic32


1 a)35 b) minus1

2radic1


1

2

5 f)

1

2 g)

39

140 h)

75

98





a) 1










b) minus2017 + 2000 minus (+17) =

c) minus(2

3) + (minus

1

2) minus 1

d) 7

3+ 8 minus

1

3+

9

2=

e) 1minus3

2+

3

6minus

5

3minus (minus

5

9+ 7) =

f) (+077) + (minus9


77

100) +

(minus203) =

g) 4 minus1

2minus [2 + (minus

7

3+

1

4)] + 7 =




2) times (minus

8

3) minus 9 =


10times20

3divide (minus

2

10) =


e) 24

6times1

2+ 23 minus

2

3divide

8

9=

f) (2 divide 3 +2


1



a) 162 b) (minus13)2 c) (1

10)2

d) 0032 e) (1

5)2

f) 0222


a) 222119888119898 b) 525119888119898 c)124119889119898 d) 169119889119898 e) 12119898119898 f) 2017119898119898






a)minus14



a) radic643

b) radicminus83

c) radic27

125

3 d) radicminus729

3 e) radic2197

3 f) radic0008

3 g) radic0125

3


a)radic1

2 b) radic2

3 c) radic255

10 d) radic(

1

15)217

e) radic11990923

f) radic(minus2017

17)66

g)radic(58)4


a)1441

2 b) 251

2 c)(minus125

8)

2

6d) 27

1

3 e) radic4

3

4

f) 1961

4 g)radic2

3

36


a) 7radic2 b) 1

3radic9


2

81

3 e)3radic31199102

3 f) 1198862119887radic

119887

119886

3 g) minus2radic

1

7



c) radic(5

3)147

d) radic543

e)radic3 times 1253


27

3



a) radic14515

b) radic(7

14)28

c) radic(1

2017)1001000

d)radicradic(3

8)4


3

f) (radicradic(27

8)

35

)

25



2 b) radic

1

8

3 ---radic0002


5 d)radic

8

9

7----radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 ----radic

1

2

5




1

3radic1

5

3+

7

3radic1

5

3minus 7radic

1

5

3






6times19radic150 c)

radic5minusradic20


5

3)63

d) radic1199095

times radic11991125


radic1199091199115 119909 ne 0


2radic7 f)

(1

3radic33

)3minus radic1253

1

2( radic63 )

6





6 d)

87

6 e)minus

155

18 f)

47

100 g)

127

12

3 a) 3 b) minus38

3 c) minus

16

3 d)minus110 e)

97

4f)

4

9

4 a) 256 b) 169 c) 1

100 d)

9

10000 e)

1

25f)

484

10000

5a)4841198881198982b)2756251198881198982c) 153761198891198982d)285611198891198982e)1441198981198982f) 40682891198981198982

6a) 30000 b)06708c)25000d)70000e)45497f) 74498


e) 21884 resto 20544 f) 88851 resto 898

8 radic3 minus 4

A

minus14



9 a) 4 b) -2 c) 3

5 d) -9 e) 13 f)

1

5 g)

1

2

10a) (1

2)

1

2 b) 2

1

3 c) 251

2 d) (1

15)3

e) 1199092

3 f) 2017

17 g) 582

11 a) 12 b) 5 c) minus5

2 d) 3 e)

16

9 f) radic14 g)

4

9




3 e) radic811199102


4

7


c) 25

9 d) 3radic2

3 e) 5radic3

3 f) 10radic2 g)

4

3

14a) radic143

b) radic1

2

4 c) radic

1

2017

10 d)

3


27

8)53


2 b) radic

1

8

3 gt radic0002


5 d)radic

8

9

7lt radic

8

9


3 f) radic

5

3

3 gt radic

1

2

5

16a) 21


1

5


17 a) radic6

8 b)

5

6radic1

2c)minus

34

9+ radic5 d) radic

1

1199092

5 e) minus

65

2radic14 f)minus

7

27


Unidade2












numeacutericos



Vocecirc






numeacutericos






2









TEMPO DE ESTUDO







-3 -2 -1 0 +1 +2 +3


-15-0250+12+10








-3 0 +2





-3 0 -2












-3 0 +2







-3 0 +2




infinito


-3 0 +infin



infinito







-3 0 +infin






minusinfin 0 +2





a)119860 = [minus5+1] b) 119861 = ]minus1


10

7]

e) 119864 = ]minus4+infin[ f) 119865 = ]5

3 +infin[



3le 119909 lt +11



a) -4----[0 4] b) +3----[minus1+3[ c) minus17


1

8----[minus1 1]



1

a) b)

-5 0 +1 minus1

2 0

c) d)


7

e) f)

-4 0 +infin 0 5

3 infin

2

a) [minus4+infin[

-4 0


minusradic3 0


c)

[minus7

3 +11[

minus7

3 0 +11

d)

[6+infin[

0 6 +infin

e) [minus14 0[

-14 0

f) ]1213[

0 12 13

3



1

8isin [minus1 1]











TEMPO DE ESTUDO








A

-5 0 4 5







0 4


intervalos



1

2 4]


-2 -1 0 1

2 1 2 3





1

2 4] no eixo real

teremos

-3 -2 -1 minus1

2 0

1

2 1 2 3 4


2[ cup [minus

1

2 4] = [minus

1

2 4]






7] e C=]minus

15

2 +

1

2[ Determine




a)]minus15

2 1] b) [minus5

10

7] c) ]minus

15

21

2[ d)]minus

15

210

7]












TEMPO DE ESTUDO





a) 119909 + 3 gt 0 b) 3119909 + 1 le1

2119909 c) 3119910 minus 5 lt 22119910 minus 6 d)

2119911+2+119911

9ge 1





119909 + 3 gt 0 119909 + 3 0 119909 3 0 119909

3119909 + 1 le1

2119909

3119909 + 1 1

2119909 3119909 1

1

2119909

119909



2119911 + 2 + 119911

9ge 1

2119911 + 2 + 119911

9

1 1

9 2119911 2 119911 1

119911





21199093y22y2zz



92


















assim 120783120791119962 gt 1 harr 119910 gt120783


0 1

19 +infin


19 +infin[


b)3(3minus119909)

3+

3119909minus1

4lt 1 minus

119909minus1


3(3 minus 119909)

3(4)

+3119909 minus 1

4(3)

lt1

1(12)

minus119909 minus 1

2(6)


12+


12lt

12

12minus




12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6

12harr

36minus12119909

12+

9119909minus3

12lt

12

12minus

6119909minus6













minusinfin -5 0







a) 2119909 +6

2lt 119909 minus 4

b) 119909 + 3 le 119909 minus 3 minus 4119909


d)1

2(2119909 minus 1) + 1 ge

3

2(119909 minus

1

2)

e) 8 minus119909




2 c)119909 lt 0 d) 119909 le

5












TEMPO DE ESTUDO








1

3119909 + 7 ge minus3 b)

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9






1

3119909 + 7 ge minus3




119909 minus 3 lt 0

1


119909 lt 0 + 31




1


119909 lt 31





1


119909 lt 3

119909 geminus101

3

aplicamos


3 o

inverso eacute 3


119909 lt 3

119909 geminus101

3

harr 119909 lt 3


1

harr 119909 lt 3


119909 lt 3119909 ge minus30

Assim


Teremos

-30 0 3 +infin


Ex2

119909minus2

4minus

2119909minus1

2gt

119909

53minus5119909

2ge 5 minus

2119909+3

9



119909minus24(5)

minus2119909minus12

(10)

gt1199095(4)

3minus511990929

ge5118

minus2119909+392

harr

5(119909minus2)

20minus

10(2119909minus1)

20gt

4119909

209(3minus5119909)

18ge

18times5

18minus

2(2119909+3)

18














harr 19119909 lt 041119909 le minus57



harr119909 lt

0

19

119909 leminus57

41

harr119909 lt 0

119909 leminus57

41


no eixo real Assim

minusinfin minus57

41 0 +infin


120786120783]

Ex3

(119909+3)

2le minus9

119909 minus 3 gt1

3(119909 minus 2)


(119909+3)2(1)

le minus91(2)

119909minus31(3)

gt13(1)


1(119909 + 3) le minus18



agrupamos




119909 le minus212119909 gt 7


119909 gt7

2


-21 0 120789

120784


119930119952119949 119961 120656 empty






a) 3119909 + 2 lt 21199092119909 le 2

b) 119909

2+ 3119909 ge 3

minus2119909 gt 2 minus 3119909

c)119909 minus

119909minus2

2le 2

2119909 le7119909

2minus

1

2

d)

2(119909minus2)

2minus

3(119909+2)

3lt

119909+1

6

2 minus3(119909+2)

2lt 119909 +

119909minus1

4

e) 1 minus

2

3(119909 + 3) ge

7(1minus2119909)

41

2(3119909 minus 3) lt 2 minus 119909


1 a)119909120598]2+infin[ b)119909120598 [2

3 2[ c)[

2

3 2[ d) 119909120598empty e)119909120598 [

33

347

5[





a) 119909 gt 0 b) 119909 le1


radic2

2le 119909 le +

radic2


1

3






2lt

4119909minus1

4 d) 1 minus 2(2119909 minus 1) ge 3 (

1

3119909 + 9)

e) 119910minus1

2minus

(2119910+3)

3gt

119910

6 f) minus4119909 + 6 ge

3

4119909 +

2minus119909

3



2

3119909

3

2(119909 minus 3) le 119909 + 1

b) 119909 minus (4119909 minus 3) le 0

9

2119909 minus 5(119909 minus 1) le 2119909 + 6

c)

119909minus7

5lt 119909 minus

1



d) 4 minus 7119909 +

3minus119909

5gt 2





1a)

]0+infin[

0 +infin

]minusinfin1

2]

b)

0 1

2

c) ]minus4 8]

-4 0 8

d)

[minusradic2

2radic2

2]

minusradic2

2 0

radic2

2

d) [minus1

3 minus025[

minus1

3 minus025 0

2a) [minus3 5[ b)[07


7

2]

3 a) ]minusinfin8


5

2[ c) ]

3


9

2]f) ]minusinfin

64

53[

4 a) 119909120598 ]27


9

86

5[d)119909120598empty













Vocecirc









3











TEMPO DE ESTUDO






120784 119935 119936120784 119942 119937120783120782 temos

minusradic120785




radic120785

120784119935119936120784119937120783120782



letras 119935119936120784119937120783120782


51199052 minus

11989611989711990320

2 minus24 +1001198861199092

etc






radic120785

120784



c) 1


1

5

d) minus11989611989711990320


1



2= minus

1times(11989611989711990320)


minus1

2








c) 1


d) minus119896119897r20










120784119935119936120784119937120783120782 eacute 13


c) 1


d) minus11989611989711990320

2 - O grau eacute 1 + 1 + 20 = 22



g) 1198861199092 - O grau eacute 1 + 2 = 3


Ex radic5020

3119909119910 1199111199051198962 minusradic3

3119910119909

119909119910

20 20171198962119905119911 1980



a) 3119909119910 minusradic3

3119910119909

119909119910



3119910119909

119909119910

20


c) radic5020




propostos abaixo



a) 119909119892119896 b) minus10

7119911 + 119889 c)

2017

25 d)

ℎ1199111199055

4 e) 119886 + 119887 f) minus11990931198912119911 g) radic2

3 h) 45119905 + 0


a) 541199093 b) 1199091199051198968

8 c) 67 11990961199119 d) 119909119911218 e) minus

1

71198861199031199058



31199097119910119911

minus1

31199091199052119896

-1980

81199091199054119910

5

11989641199101199111199052

(1

13)3

11990931199117


a) minus1199091199112 119909119911119911 2

31199092119911

1

41199112119909 minus181199111199092

b) radic3

21198871198863 minus119886119887

1198871198863

2 minus7119887119886119910 minus251199050119887119886119910 +119887119886

radic3

21198861198873



1


a) 119909119892119896 1 119909119892119896

119888)2017

25

2017

25

Natildeo existe

d) ℎ1199111199055

4

1

4

ℎ1199111199055

f)minus11990931198912119911 minus1 11990931198912119911

g) radic23

1 Natildeo existe

h) 45119905 + 0 45 119905

2 a) 541199093 - Grau 3b) 1199091199051198968


1

71198861199031199058

3


41199112119909)

b) (radic3

21198871198863

1198871198863

2) (minus119886119887+119887119886) (

radic3

21198871198863

1198871198863



31199097119910119911 3 1199097119910119911 9

minus1

31199091199052119896 minus

1

3

1199091199052119896 4


81199091199054119910

5

8

5

1199091199054119910 6

11989641199101199111199052 1 11989641199101199111199052 8

(1

13)3

11990931199117 (1

13)3

11990931199117 10










TEMPO DE ESTUDO













b) minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789


(minus120785

120784119938119939119961 119942

120789

120786119938119939119961) (

120783



minus120785

120784119938119939119961 +

120783

120785119961119962120785 +

120789

120786119938119939119961 minus 120787119961119962120785 = (minus

120785

120784+

120789

120786) 119938119939119961 + (

120783



= (minus120785120784(120784)

+120789120786(120783)

)119938119939119961 + (120783120785(120783)

minus120787120783(120785)


120786) 119938119939119961 + (


120785) 119961y120785 =


= (minus120788+120789

120786) 119938119939119961 + (

120783minus120783120787

120785) 119961119962120785 = (

minus120783

120786) 119938119939119961 + (

minus120783120786


= minus120783

120786119938119939119961 minus

120783120786


por aqui





a) 2119909 minus 5119909 + 4119909

b) 119886119909119896 minus 4ℎ119905119909 + 20119886119909119896 + 25ℎ119905119909

c) minus1

2119909119910 + 119911119905 minus

9

4119909119910 minus

7

10z119905

d) 1199091199116

2minus

21199116119909

3+ 2

e) 1198861199051199034

5+ 25 minus

111198861199051199034

10minus 50


g) 8

3119908 minus 8119908 + 4119906 minus

1

3119906



1 a)119909

b)21119886119909119896 + 21ℎ119905119909

c)minus11

4119909119910 +

3

10119911119905

d)minus1199116119909

6+ 2

e)minus9

101198861199051199034 minus 25

f) minus35119909 minus 9119910

g)11

3119906 minus

16

3119908






propriedades





TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios






120787119961120784119963120785 e minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784 Teremos

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782


120788

120787 minus

120783120782

120783120784 e as partes

literais 119961120784119963120785 119961120784119963120784 Assim

( 120788

120787119961120784119963120785) times (minus

120783120782

120783120784119961120784119963120784) = [

120788

120787times (minus

120783120782



minus6times5times2






tambeacutem


120787119961120788119962120785119963 e minus

120784120783

120784120782119961120786119962 Fica

(minus120789

120787119961120788119962120785119963) divide (minus

120784120783


(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

(minus120784120783

120784120782119961120786119962)

=


120787

minus120784120783

120784120782

) times (119961120788119962120785119963

119961120786119962) = neste caso



120784120782

120784120783 Assim

= (minus120789


120784120782

120784120783) times (

119961120788119962120785119963




119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times (

119961120788119962120785119963



= +120786

120785times (

119961120788119962120785119963

119961120786119962) = +

120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963


= +120786

120785times119961120786119961120784119962120784119962119963

119961120786119962= +

120786

120785times 119961120784119962120784119963 =

120786

120785119961120784119962120784119963







b) (8

31199094119910) times (minus311990931199102)


911990931198871199102)

d) 1711991051199096 times (2

34119886511991021199097)



b) (8

311990941199102) divide (minus31199093119910)

c) (minus4

311988611990931198871199102) divide (minus

1

91198871199091199102)

d) 1

171199105119909611988610 divide (

1

34119886511991021199093)


1 a)61199094 b)minus811990971199103 c)1

3119909411988721199102119886 d)1199091311991071198865

2 a)2

31199092 b)minus

8

9119909119910 c)121198861199092 d)2119886511991031199093










TEMPO DE ESTUDO




monoacutemios




120787119961120788119962120785119963)

120784



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= (minus120789

120787)120784



5)2


assim (minus120789

120787)120784

= (minus120789


120789

120787) = +

120786120791



(minus120789

120787119961120788119962120785119963)

120784

= +120786120791

120784120787119961120783120784119962120788119963120784


ACTIVIDADE Ndeg 4




a) (minus31199093)2

b) (8

31199094119910)

3

c) (minus1

911990931198871199102)

7

d) (2

34119886511991021199097)

2

e) (minus4

311988611990931198871199102)

3


1 a)91199096 b)512

27119909121199103 c)minus(

1

9)7

11990921119887711991014 d)(1

17)2

11988610119910411990914

e) minus64

271198863119909911988731199106










TEMPO DE ESTUDO






120783

120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785


120783



120784119961120784 120785119961119963 e 119962120785


31199102119909 + 541199052 minus 3


21199092 minus 119909

c)271198981011991061199093 minus 201711989661199103 + 119909119910

d)1199092 minus 5119909 + 6






120784119961120784 tem grau 2





120784119961120784 + 120785119961119963 + 119962120785 eacute 3


a)minus5


120787

120785119962120784119961









a) 3

21199094 minus 31199094 + 1199094

b) 1199092 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199105 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199092 +

1

21199092 minus 21119909

f)minus251199053 minus 1199053


a) 3

21199095 minus 31199094 + 1199097

b) x2 + 3(119909119911)3 + 1199115

c) 20171199095 minus 31199102 + 17

d) (minus7

3119909119910119911)

3

+ 1199094 + (15)20

e) 8

31199093 +

1

21199092119910119911 minus 21119909

f)318 minus 251199052 minus 1199103



1 a)(119865) b)(119881) c) (119881) d) (119881) e) (119881) f) (119865)

2 a)119866119903119886119906 7 b)119866119903119886119906 6 c)119866119903119886119906 5 d) 119866119903119886119906 9 e) 119866119903119886119906 4 f) 119866119903119886119906 3











TEMPO DE ESTUDO






120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961+ 120784


119860 + 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) + (120784



119860 + 119861 = 120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961 +120784





119860 + 119861 = (120785 +120784


120784

120787)

teremos 119860 + 119861 = (120785120783(120787)

+120784

120787(120783)



120787)119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784

continuando 119860 + 119861 = (120783120787+120784


120783120787+120784

120787) =

17

5


5 minus120786 119890 120782 em 119860 + 119861 teremos


119860 + 119861 = (120783120787+120784

120787) 119961120785 + (120784 minus 120788)119961120784 + (120783 minus 120783)119961 + 120784 =

120783120789



119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961 + 120782119961 + 120784 =

120783120789


119860 + 119861 =120783120789

120787119961120785 minus 120786119961+ 120784


120787119961120785 minus 120788119961120784 minus 119961 + 120784


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784



minus(120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus 120784 o


119860 minus 119861 = (120785119961120785 + 120784119961120784 + 119961) minus (120784


120784

120787119961120785 + 120788119961120784 + 119961 minus


119860 minus 119861 = 120785119961120785 minus120784



119860 minus 119861 = (120785 minus120784



120787) teremos 119860 minus 119861 = (

120785120783(120787)

minus120784

120787(120783)

)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784 vamos



120787)119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus 120784=(

120783120787minus120784

120787) 119961120785 + (120784 + 120788)119961120784 + (120783 + 120783)119961 minus


120787) =

120783120785

120787 (120784 + 120788) = 120790 e (120783 + 120783) = 120784


120787119961120785 + 120790119961120784 + 120784119961 minus 120784


120787119961120785 minus 120786119961 + 120784 e 119912 minus119913=

120783120785









119912 minus 119914 +119913 = 120783120786119961120786 + 120785119961120785 + 119961120784 + 120787119961 minus 120784










a) 119860 + 119861 =3

21199092 minus 2119909 minus 3

b) 119860 minus 119861 =5

21199092 + 4119909 minus 1

c) 119861 minus 119862 = 1199093 minus1

21199092 minus 1

d) 119860 minus 119862 + 119861 = 1199093 +3

21199092 + 119909 minus 3












TEMPO DE ESTUDO







(minus120785119961120784) times (120784


120784


Assim

minus120785119961120784 times120784



120785) 119961120785119961120784 +
















= minus120783120786119961120785 + 120786120783119961120784 minus 120784120787119961 + 120785120782

ACTIVIDADE Ndeg 7




a) (3119909) times (2119909 minus 1199092)

b) (minus5

3119909) times (minus1199093 +

9

10)

c) 1199103(119909 + 119910) d) 4119909119910(21199091199102 minus 1199103 + 1)



d) (1

21199092 minus 119909) (81199092 minus 6)



1 a)61199092 minus 31199092

b)5

31199094 minus

3

2119909

c)1199091199102 + 1199104

d)811990921199103 minus 41199091199104 + 4119909119910

2 a)21199093 minus 2119909

b)51199092 minus 9119909 + 4

c)61199094 + 121199093 minus 1199092 + 4

d)41199094 minus 81199093 minus 31199092 + 6119909


Liatildeo nordm 8








TEMPO DE ESTUDO








119912 times 119913 = (minus120785


120785

120784119961120784)


119912 times 119913 = (minus120785



119912 times 119913 = (minus120785

120784times 120787)119961120784119961120784 + [minus

120785


120785




119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961(120784+120784) +

120783120784

120784119961(120784+120783) +

120788



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 +

120783120784

120784119961120785 +

120788



120784 e 120788

120784 assim


119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787



119912 times 119913 = minus120783120787

120784119961120786 + 120783120788119961120785 minus 120785120787119961120784 + 120784120782119961 + 120783120784

ACTIVIDADE Ndeg 8




119860 = 1199092 + 3119909 minus 2 119861 = minus5





1 a)21199094 + 71199093 minus 1199092 minus 2119909


21199093 minus 31199092 + 119909

c)minus5

21199094 minus

25

21199093 minus 101199092 + 7119909 minus 2

d)61199092 + 13119909 minus 4






(119938 + 119939)(119938 minus 119939)







TEMPO DE ESTUDO














(120791

120787119961120786119962120785119957120784 minus 120785119961120786119962120785119948120784 + 120783120790119938119957119961120786119962120785) = (

120785times120785




120785119961120786119962120785 (120785





(119938 + 119939)120784 (119938 minus 119939)120784 119942 119938120784 minus 119939120784







Assim (119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939 + 119939120784


(119938 + 119939)120784 = 119938120784 + 120784119938119939+ 119939120784







desenvolvido










(119938 minus 119939)120784 = 119938120784 minus 120784119938119939+ 119939120784

































ACTIVIDADE Ndeg 9




a) 51199092 minus 25119909

b) minus3 + 61199092

c) 1199102 minus 30119910

d) 1311990921199105 minus 2611990921199104 minus 1311990921199105119911

e) 501199092

16minus

11990921199112

16

f) 71199104119896 + 491199103119896 minus 141199103119896





1a) 5119909(119909 minus 5)

b) 3(minus1 + 21199092)

c)119910(119910 minus 30)

d)1311990921199104(119910 minus 2 minus 119910119911)

e)1199092

16(50 minus 1199112)

f)71199103119896(119910 + 5)

2 a) 1199092 + 8119909 + 16

b)1199092 minus 14119909 + 49

c)4 + 12119910 + 91199102

d) (119909 + 6)(119909 minus 6)

e) (5119909 + 3)(5119909 minus 3)

f) (119909 + 3)(119909 minus 3)











TEMPO DE ESTUDO










=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)


=(120789119961120784119957120784119962120785)times(120784119961120783119962120785minus120786119961120785119962120784+120785119948119961120783119962120784)

120789119961120784119957120784119962120785= (120784119961120783119962120785 minus 120786119961120785119962120784 + 120785119948119961120783119962120784) = 120784119961119962120785 minus 120786119961120785119962120784 +



ACTIVIDADE Ndeg 10




a) (181199095 minus 241199093 + 61199092) divide 31199092

b) (1711991031199095+3411991021199093)

1711991021199093

c) (1199102 minus 30119910) divide (119910)

d) 1311990921199105minus2611990921198961199105minus1311990921199105119911

2611990921199105

e) (501199092

16minus

11990921199112

16) divide (

1199092

16)

f) 71199104119896+491199103119896minus141199103119896119909

141199103119896



1 a)61199094 minus 8119909 + 2

b)1199092119910 + 2

c)119910 minus 30


2

e)50 minus 1199112

f)3minus119909

2






radic5

2119905311990921199106

minus(17)17 11990941199102

216119896141199102

3

2017


a) minus11989621199103 11990931198962119910318

511991031198962 20119910311989621199093 119896119910

b) 4119905119888 41199052119888minus14119888119905119905minus41199051198880 +2017119905


a) 5119909 minus 3119909 minus10

2119909 = minus3119909

b) 1

31199103 + 1199103 minus 3119910 = 1199103

c) 1198967

5minus

6

511989621198967 + 1198967 = 0




a) 119860 + 119861

b) 119861 minus 119862 c) 119860 + 119862 minus 119861

d) ndash119860 + 3119862 minus 119861


a) 2119886 (minus31199102 minus 1198862 +12

41199102)

b) (3

41199093119910) (minus2119909119910 +

1

2119909119905 + 119909)

c) (31199113119896 minus 119911119896 +2

31199111198962) (31199112)

d) (1

41199092 + 119909 minus 3) (41199093)





2)

d) (119909 + 41199092 minus 1199093)(1199092 minus 5)







a) 1

5119905 +

4

5

b) 511990921199113 minus 91199091199113 + 11990921199112

c) 31199093 minus 91199094119910

d) 41199092 minus 12119910119909 + (3119909)2


a)(611990541199092 + 311990531199092) divide (31199051199092)

b)3

21199109+61199106minus1199103

3

41199103

c)(119909 + 1199093 + 81199092) divide (17119909)

d) (141199098 + 81199095 + 21199093) divide (141199093)



1


radic5

2119905311990921199106

radic5

2

119905311990921199106 11

minus(17)1711990941199102 minus(17)17 11990941199102 6

216119896141199102

3

216

3

119896141199102 16


2a)(minus1198962119910318


3 a) 119881 b) 119865 c) 119881 d)119865


5a) 9

411990931198961199112 minus 31199113119896 + 211991131198962 b)

3

211990941199102 +

3

81199094119910119905 +

3

41199094119910 c) 91199115119896 minus 31199113119896 + 211991131198962

d) 1199095 + 41199094 minus 121199093


21199093 +

1

21199092 minus 12119909 minus 2





8 a)1199092 + 18119909+81 b) 41198862 + 12119886119887 + 91198872 c) 41199092 minus 40119909 + 100 d) (3119909 + 5)(3119909 minus 5)


9 a) 1


10 a) 21199053 + 1199052 b) 2

3(31199106 + 121199103 minus 2) c)

1

17(1 + 1199092 + 8119909)
















Vocecirc










reacutegua

2






nuacutemeros reais





TEMPO DE ESTUDO





















b) minusradic120784



minusradic120784



minusradic2

21199092


1˚ membro

= 7119909 + 100





minusradic120784

120784119961120784 = 120789119961 + 120783120782120782 harr minus

radic120784



120784119939 = minus120789 e 119940 = minus120783120782120782







119938 = radic120784 119939 = 120782 119890 119940 = 120789




ACTIVIDADE Ndeg 1





e)minus1

21199092 = minus2 +

3

4119909 f)1199092 minus 2 = 0 g) 1199092 minus 0119909 + 0 = 0



e)minus1

21199092 = minus2 +

3




1 a) 119862119900119898119901119897119890119905119886 b) 119862119900119898119901119897119890119905119886 c) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 d) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886

e)119862119900119898119901119897119890119905119886 f)119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886 g) 119868119899119888119900119898119901119897119890119905119886


d) 119886 = 36 119887 = minus12 119888 = 0 e)119886 = minus1

2 119887 = minus

3

4 119888 = 2 f)119886 = 1 119887 = 0 119888 = minus2

g) 119886 = minus1 119887 = 0 119888 = 0











TEMPO DE ESTUDO











(119961 + 120785) = 120782



























a) (119909 minus 1)(119909 + 2) = 0 b) (25 minus 119909)(119909 + 5) = 0 c) 119909(3 + 119909) = 0 d) 31199092 + 2119909 = 0




3 0












TEMPO DE ESTUDO












d) minusradic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 = 120782







minusradic120784


radic120784



120784119961120784 = 120782 harr 119961120784 =

120782

minusradic120784

120784

portanto 120782

minusradic120784

120784

= 120782 entatildeo

119961120784 =120782

minusradic120784

120784

harr 119961120784 = 120782



porque 119961120783 = 119961120784







d) radic2

2minus

radic120784


radic2

2 119939 = 120782 119942 119940 =

radic120784

120784


















eacute 119886 ne 0 119887 ne 0 119890 119888 = 0



c) 120785119961120784 +120787


120787

120784 119942 119940 = 120782

d) radic8119961 minus120783120786


14

5 119939 = radic120790 119942 119940 = 120782




harr 119961 = 120782 (119938119961 + 119939) = 120782 harr 119961120783 = 120782119961120784 = minus119939

119938










ACTIVIDADE Ndeg 3






21199092 = 0 d) 1199092 = 3119909 e) (119909 minus 6)2 minus 9 = 0

f) 101199092 + 10 = 0




e) 119878119900119897 119909 = 3 9 f) 119878119900119897 119909 = empty





DE PRODUTO







TEMPO DE ESTUDO






seguir


119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938 120782



119938+

119940

119938= 120782



119961120784 +119939119961

119938+

119940

119938= 120782 minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938= minus

119940

119938



119938 que eacute (

119939

120784119938)120784

Assim

119961120784 +119939119961

119938= minus

119940

119938harr 119961120784 +

119939119961

119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784



119938+ (

119939

120784119938)120784

= minus119940

119938+ (

119939

120784119938)120784

harr (119961+119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 portanto



produto


120785119961120784 minus 120783120782119961 + 120785 = 120782 harr120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782


120785119961120784

120785minus

120783120782119961

120785+

120785

120785=

120782

120785harr

harr 119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782


119961120784 minus120783120782119961

120785+ 120783 = 120782 harr 119961120784 minus

120783120782119961

120785= minus120783



120783120782

120785) significa



120785

120784=

minus120783120782

120785120784

120783



1

2 assim

minus120783120782

120785120784

120783

=

minus120783120782

120785times120783

120784= minus

120787times120784times120783


120787

120785


120785)120784


120783120782119961


120787

120785)120784

Assim 119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784




120785+ (minus

120787

120785)120784


120785)120784

Isto eacute

119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= (119961 minus120787

120785)120784


120785)120784


120785+ (minus

120787

120785)120784



120785)120784



[119961 + (minus120787

120785)]120784

= (119961 minus120787

120785)120784



119961120784 minus120783120782119961

120785+ (minus

120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784



120785)120784

= minus120783 +120784120787

120791= minus

120783120783(120791)

+120784120787120791(120783)

=minus120791+120784120787

120791=

120783120788


(119961 minus120787

120785)120784

= minus120783 + (minus120787

120785)120784

harr (119961 minus120787

120785)120784

=120783120788



120785)120784

= radic120783120788



120785)120784


120791 agora


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


119961 minus120787

120785= plusmnradic

120783120788


120787

120785= plusmn

120786


120787


harr 119961 minus120787

120785= plusmn

120786

120785harr 119961 =

120787

120785plusmn

120786


119961120783 =120787

120785+

120786

120785=

120791

120785= 120785119961120784 =

120787

120785minus

120786

120785=

120783


120783

120785 120785




propostos






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8










TEMPO DE ESTUDO








120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940

120786119938120784 Isto eacute

119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr (119961 +119939

120784119938)120784

=119939120784minus120786119938119940



120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784


120784119938)120784

= radic119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961+

119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784



119939


119961 +119939


119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr 119961 = minus

119939


119939120784minus120786119938119940




119939120784minus120786119938119940

120786119938120784harr= 119961 = minus

119939

120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940



120784119938plusmn

radic119939120784minus120786119938119940

120784119938harr 119961 =






120784119938




∆= 119939120784 minus 120786119938119940











120784119938harr 119961120783120784 =


120784times(120784)



120784times(120784) harr 119961120783120784 =


120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmnradic120784120787

120786harr 119961120783120784 =

+120789plusmn120787

120786 veja que



119961120783 =+120789+120787

120786=

120783120784

120786= 120785 harr 119961120783 = 120785 119961120784 =

+120789minus120787

120786=

120784

120786=

120784times120783

120784times120784=

120783

120784 119930119952119949 119961 =

120783


soluccedilotildees


120784119938



resolvente



120784119938harr 119961120783120784 =






120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782

120784times(120783)harr 119961120783120784 =

120784radic120784plusmn120782


119961120783 =120784radic120784+120782

120784=

120784radic120784

120784= radic120784 119961120784 =

120784radic120784minus120782

120784=

120784radic120784





120784119938harr 119961120783120784 =





ACTIVIDADE Ndeg 5


propostos abaixo






3 1 d) 119878119900119897 119909 = minus

4

5 8




QUADRAacuteTICA







TEMPO DE ESTUDO





119938119961120784 + 119939119961 + 119940 = 120782 harr119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782


119938119961120784

119938+

119939119961

119938+

119940

119938=

120782

119938

harr 119961120784+

119939119961

119938+

119940


119887





119939

119938 Portanto

119930 = 119961120783 + 119961120784 harr 119930 = minus119939

119938





119938harr 119930 = minus

120787


raiacutezes





119961120784 +119939119961

119938+

119940


119940

119938


119938 Portanto

119927 = 119961120783 times 119961120784 harr 119927 =119940

119938





119938harr 119927 =

(minus120784)

120785= minus

120784


das raiacutezes


119938 e 119927 =

119940



119938+

119940


119939



119938(minus120783) harr minus119930 =

119939


119961120784 +119939119961

119938+

119940






(cinco)







119938 e teremos

119930 = minus119939

119938 harr 120786 = minus

[minus(119950+120783)]


4 = minus[minus(119950+120783)]












119938 e

teremos

119927 =119940

119938harr minus120783120782 =

(120784119950minus120787)





120784119950 = minus120787 harr 119950 = minus120787


agrave ndash120787

120784







2119908 = 0



1 a) 119904 = minus2 119896 = 1 119890 119875 = 5 119896 =5

2

b) 119904 = minus2 119910 = 0 119890 119875 = 5 119910 = minus5

2

c) 119904 = minus2119908 = 5 119890 119875 = 5 119908 = minus10






119886(119909 minus 1199091)(119909 minus 1199092)



TEMPO DE ESTUDO









120784119938harr 119961120783120784 =


120784times120785harr 119961120783120784 =


120788harr 119961120783120784 =


120788


120788harr 119961120783120784 =


120788 119961120783 =

minus120787+120789

120788=

120784

120788=

120783

120785119961120784 =


120788=

minus120783120784





119961120783 =120783






120783




120783

120785) (119961 + 120784) = 120782 Isto eacute

120785119961120784 + 120787119961minus 120784 = 120782 harr 120785(119961 minus120783

120785) (119961 + 120784) = 120782








1 a) minus2(119909 + 2)(119909 minus 3)


c) 3 (119909 +2

3) (119909 minus 1)

d) 5 (119909 +4

5) (119909 minus 8)




QUADRAacuteTICAS






TEMPO DE ESTUDO









120786120787120788119950120784 radic120788119961 (120785119961 + 120784)119950 radic120788119961

(120783120784119961 + 120785120788)119950






119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 harr 119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950








119912119931119952119957119938119949 = 120786120787120788119950120784 + 120788119961120784119950120784 e 119912119956119938119949119938 = (120783120784119961 + 120785120788) times (120785119961 + 120784)119950

120784 na igualdade

119912119931119952119957119938119949 = 119912119956119938119949119938





harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120783120784119961(120785119961 + 120784) + 120785120788(120785119961 + 120784) harr 120786120787120788 + 120788119961120784 = 120785120788119961120784 + 120784120786119961 + 120783120782120790119961 +





harr120785120782119961120784

120784+

120783120785120784119961

120784minus

120785120790120786

120784=

120782






120784119938 harr 119961120783120784 =


120784times(120783120787)harr 119961120783120784 =


120785120782


120785120782harr 119961120783120784 =

minus120788120788plusmn120783120784120788

120785120782 119961120783 =

minus120788120788+120783120784120788

120785120782= 120784 119961120784 =

minus120788120788minus120783120784120788

120785120782= minus

120791120788

120783120787 portanto a



119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788119961120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120788(120784)120784119950120784 harr 119912119912119949119940119938119957119946119943119938 = 120784120786119950

120784









120788119950

120790119950120784 119961119950

119961119950





1 119875 = 1198971 + 1198972 + 1198973 119875 = 241198881198982

2 a) 119860119904119886119897119886 = 6119909

b) 119860119886119897119888119886119905119894119891119886 = 1199092

c) 119909 = 2





a) minus91199092 + 24 minus 16 = 0

b) minus15119909 + 31199092 + 12 = 0

c) minus1

21199092 = 15119909


e) 1199092 = 36

f) minus101199092 minus 72119909 + 64 = 0


a) (ndash 119909 + 3) (119909 minus1

2) = 0

b) 1199092 + 5119909 + 6 = 0

c) 21199092 + 3119909 minus 5 = 0

d) 31199092 + radic3119909 = 0


a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0


a) 21199092 minus 3119909 minus 5 = 0

b) 1199092 minus 8119909 + 14 = 0


d) 3(119909 + 2) = 1199092








a) minus1199092 + 3119909 + 4 = 0

b) 1199092 minus 7119909 + 11 = 0

c) 1

21199092 + 3119909 + 4 = 0


2minus 1199092

e) 21199092 minus 3radic2119909+2=0






1 a)119886 = minus9 119887 = 24 119888 = minus16

b)119886 = minus15119887 = 3 119888 = 12

c)119886 = minus1

2 119887 = minus15 119888 = 0

d)119886 = 1 119887 = 4radic3 119888 = 9

e)119886 = 1 119887 = 0 119888 = 0

f)119886 = minus10 119887 = minus72 119888 = 64

2 a) 119878119900119897 119909 = 1


5

2 1

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0


27+radic5

2 c) 119878119900119897 119909 = minus4minus2

e) 119878119900119897 119909 = minusradic3

3 0 e)

radic2

2 radic2

4 a) 119878 =3

2 119875 = minus

5


5 a) 119878119900119897 119909 = 1 2 b) 119878119900119897119898 = 0 c) 119878119900119897119898 = 4+radic3

24minusradic3

2

d) 119878119900119897119898 = 3 e) 119878119900119897119898 = radic2


2) (119909 minus

7+radic5

2) = 0 c)

1

2(119909 + 4)(119909 + 2) = 0

d) (119909 +radic3

3) 119909 = 0 e)(119909 minus

radic2

2) (119909 minus radic2) = 0


8 119860 = 601198881198982


BIBLIOGRAFIA



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