Mdguia2-Teoria de Conjuntos
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MSc. Rubn Daro Echavarra C. Facultad de Ingeniera
Universidad de
Antioquia Matemticas Discretas
Ingeniera Electrnica
Matemticas Discretas 2014-II. Rubn D. Echavarra C.
Universidad de Antioquia
Facultad de Ingeniera - Ingeniera Electrnica
Matemticas Discretas 2014-II
Gua 2: Teora de Conjuntos. SEMANA 2
Monitor: Luis David Goyes Garcs
Fecha: 12 de octubre de 2014
La palabra conjunto popularmente se asocia con la idea de agrupar objetos,
por ejemplo: un conjunto de libros, de cuadernos, de personas. En otras
ocasiones, la palabra conjunto se puede relacionar con otras como rebao,
manada, familia; denotando, de una u otra forma, una coleccin de elementos
claramente relacionados entre s, que guardan alguna caracterstica en comn.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
comparten. Por ejemplo, para los nmeros naturales, si se considera la
propiedad de ser un nmero primo, el conjunto de los nmeros primos es:
Cabe sealar que un conjunto se define solo por sus miembros, es decir, para
diferenciar dos conjuntos basta con que analizar sus elementos. En particular,
un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el
orden de dicha lista o aadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.
Por ejemplo:
Luego, .
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido que no es posible
definirlos en trminos de nociones ms elementales, por lo que su estudio
debe apelar a la intuicin y a la lgica. Por otro lado, son el concepto
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fundamental de la matemtica: mediante conjuntos puede formularse el resto
de objetos matemticos como los nmeros y las funciones, entre otros.
La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir:
dado un objeto particular, se debe poder determinar si este pertenece o no al
conjunto. Por ejemplo: el conjunto de los nmeros naturales pares est bien
definido mientras que el conjunto de las mejores canciones de la historia no lo
est.
Lo que respecta a la notacin, se puede ver en los ejemplos expuestos
anteriormente (A, B, C, D) que todos se escribieron entre llaves y que sus
miembros estaban separados por comas (o punto y coma). Observe que los
conjuntos se llaman por letras maysculas.
PERTENENCIA
El smbolo indica que un elemento pertenece a un conjunto, mientras que el
smbolo indica que cierto elemento no es un miembro del conjunto dado.
Por ejemplo: Sea , se tiene que mientras que .
MANERAS DE DEFINIR UN CONJUNTO
Se definirn conjuntos de dos formas:
1. Por extensin, que consiste en listar todos los elementos del conjunto.
Por ejemplo:
2. Y por comprensin, que consiste en dar una propiedad que
caracterice a los elementos del conjunto (y slo a dichos elementos).
As, si , entonces ( ).
Ejemplo:
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EL CONJUNTO VACO
El conjunto vaco (denotado por ) es el nico conjunto que no contiene
elementos. Por extensin, . Por comprensin, se podra definir el
conjunto vaco como: .
CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene solo un elemento. Por ejemplo: I={1},
, .
CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto universal es un conjunto referencial que contiene a todos los
elementos de una situacin particular. Generalmente se le representa por la
letra U. Por ejemplo, el universo o conjunto universal de todos los nmeros es
el conjunto de los nmeros complejos, .
CONJUNTO FINITO
Es el conjunto con limitado nmero de elementos. Por ejemplo:
CONJUNTO INFINITO
Es aquel conjunto con ilimitado nmero de elementos. Por ejemplo:
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SUBCONJUNTOS, IGUALDAD DE CONJUNTOS
Si A y B son conjuntos, decimos que A es subconjunto de B ( ) si todo
elemento de A lo es de B tambin. En smbolos:
Se dice que A es un subconjunto propio de B ( ) si y . Para
cualquier conjunto A se verifica que y .
El conjunto formado por todos los subconjuntos de cierto conjunto A se llama
partes de A y se denota . Si entonces .
Ntese algo muy importante: {a}, aunque sea un miembro de A, como tal es
otro conjunto. Es decir, si se tienen dos conjuntos:
{ }
Se encuentra que . Si adicionalmente se tuviera otro conjunto:
{ }
Se pude asegurar que .
Si A y B son conjuntos, diremos que A y B ( ) son iguales si y solo si
y . En smbolos:
CONJUNTOS CON ELEMENTOS REPETIDOS
De la definicin de igualdad se deduce que en un conjunto da lo mismo si se
repiten elementos. As, por ejemplo, {1,1,1,1,2,2,2}={1,2}.
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OPERACIONES
A partir de conjuntos dados, es posible construir nuevos conjuntos:
LEYES DE LA TEORA DE CONJUNTOS
Ley del doble complemento
Leyes de DeMorgan
Propiedades conmutativas
Propiedades asociativas
Propiedades distributivas
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Propiedades de idempotencia
Propiedades de elemento neutro
Propiedades de elemento inverso
Propiedades de dominacin
Propiedades de absorcin
CARDINALIDAD
Para cualquier conjunto finito A, |A| denota el nmero de sus elementos.
Ejemplo 2.1
Sea (donde x, y son
letras minsculas del alfabeto y no representan nada ms, al igual que 3,
5 o {1, 2}). Entonces | |=11.
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a. Si , entonces y tenemos
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
b. Ahora sea { }. Entonces
, no 8.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn son esquemas, generalmente circunferencias, que
sirven para encerrar y representar conjuntos. La lnea cerrada exterior que
abarca a todos los elementos bajo consideracin, el conjunto universal U.
EJEMPLO 2.2
En el diagrama de la figura 2.1, se han volcado los datos obtenidos en
una encuesta realizada a cierto nmero de personas, donde se les
pregunt si tomaban t o caf. Los nmeros que aparecen se refieren a
las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las
diversas formas posibles: solamente t, t y caf, ninguna de las dos
bebidas, etc.
Figura 2.1. Diagrama de Venn para el ejemplo 2.2
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En base a estos datos dados en la figura 2.1 responderemos a las
siguientes preguntas:
1. Cuntas personas tomaban t? Rta. 6 personas.
2. Cuntas personas tomaban caf? Rta. 9 personas.
3. Cuntas personas tomaban caf y t? Rta. 4 personas.
4. Cuntas personas tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1
persona.
5. Cuntas personas no tomaban t? Rta. 6 personas.
6. Cuntas personas no tomaban caf? Rta. 3 personas.
7. Cuntas personas tomaban por lo menos una de esas dos
bebidas? Rta. 11 personas.
8. Cuntas personas tomaban slo una de esas dos bebidas? Rta. 7
personas.
9. Cuntas personas tomaban slo caf? Rta. 5 personas.
10. Cuntas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11
personas.
EJEMPLO 2.3
Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente
productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos
durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 das del mes
ha fabricado A y 20 das ha fabricado B, a) Cuntos das del mes ha
fabricado ambos productos? b) Cuntos das del mes ha fabricado slo
productos del tipo A? c) Cuntos das del mes ha fabricado slo
productos del tipo B?
Solucin:
El diagrama de Venn para este problema se ilustra en la figura 2.2.
Segn este diagrama de Venn se puede establecer el siguiente sistema
de ecuaciones en base a la informacin proporcionada por el enunciado:
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Figura 2.2. Diagrama de Venn para el ejemplo 2.3
La primera ecuacin resulta del hecho que el mes de abril tiene 30 das.
Las ecuaciones 2 y 3 se obtienen del enunciado pues se sabe que se
fabrica A por 15 das y B por 20 das. Finalmente, la cuarta ecuacin se
desprende del saber que durante 4 das (domingos) no se trabaj.
Este es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas. Se lo
resuelve y se obtiene que , a) , b) , c) . El
diagrama de Venn solucionado se presenta en la figura 2.3.
Figura 2.3. Diagrama de Venn Solucin para el ejemplo 2.3
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EJEMPLO 2.4
Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por
ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automvil). Los
datos de la encuesta fueron los siguientes:
1. Motocicleta solamente: 5
2. Motocicleta: 38
3. No gustan del automvil: 9
4. Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3
5. Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20
6. No gustan de la bicicleta: 72
7. Ninguna de las tres cosas: 1
8. No gustan de la motocicleta: 61
A partir de los datos dados responda:
a. Cul fue el nmero de personas entrevistadas?
b. A cuntos les gustaba la bicicleta solamente?
c. A cuntos les gustaba el automvil solamente?
d. A cuntos les gustaban las tres cosas?
e. A cuntos les gustaba la bicicleta y el automvil pero no la
motocicleta?
El diagrama de Venn inicial se presenta en la figura 2.4. Segn este
diagrama de Venn se puede establecer el siguiente sistema de
ecuaciones en base a la informacin proporcionada por el enunciado:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Cada ecuacin sale de su respectiva proposicin del enunciado.
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Figura 2.4. Diagrama de Venn para el ejemplo 2.4
Ahora, hay ocho ecuaciones y ocho incgnitas por lo que el sistema se
resuelve directamente obtenindose el diagrama de la figura 2.5. Con
esta figura se puede dar respuesta a las preguntas de la a) hasta la e).
Figura 2.5. Diagrama de Venn Solucin para el ejemplo 2.4
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Taller 2 de Teora de Conjuntos
Monitor: Luis David Goyes Garcs
Fecha: 12 de octubre de 2014
1. Exprese los siguientes conjuntos por comprensin:
a. b. c. d. e. f. g.
2. Exprese los siguiente conjuntos por extensin: a. b. c. d. e.
3. Cules de los siguientes conjuntos son iguales? a. {1, 2, 3} b. {3, 2, 1, 3} c. {3, 1, 2, 3} d. {1, 2, 2, 3}
4. Sea . Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas?
a. b. c. d. { }
e. f. g. { }
h. { }
5. Consideremos los siguientes seis subconjuntos de :
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Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules falsas?
a. A=B b. A=C c. B=C
d. D=E e. D=F f. E=F
6. Si A tiene 63 subconjuntos propios, cunto vale |A|? 7. Si un conjunto B tiene 64 subconjuntos de cardinal impar, Cunto vale
|B|?
8. Generalice el resultado del inciso 7. 9. Indique el cardinal de los conjuntos de los incisos 1, 2 y 3. 10. Si , determinar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a. b. c. { }
d. { } e.
11. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C; se obtienen los siguientes resultados:
Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen A; 15 leen A
y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen slo C. El nmero de los
que leen A y C es el doble del nmero de los que leen las 3 revistas. El
nmero de los que leen A y C es el doble del nmero de los que leen las
3 revistas. El nmero de los que leen slo B es el mismo que el total de
los que leen A y C. Segn todo esto, hallar el nmero de los que leen
solamente A.
12. Si y hallar 13. A una reunin donde asisten 50 personas,
5 mujeres tienen 17 aos 14 mujeres no tienen 19 aos 16 mujeres no tienen 17 aos 10 hombres no tienen ni 17 ni 19 aos.
Cuntos hombres no tienen 17 19 aos?
14. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fbrica A, 33 trabajan en la fbrica B, 40 laboran en la fbrica C y 7 estn contratados en las
tres fbricas. Cuntas personas trabajan en dos de estas fbricas
solamente?
15. En una ciudad de 10000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los peridicos y el 10% ven televisin,
entre los que escuchan radio el 30% lee los peridicos y el 4% ven
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televisin, el 90% de los que ven televisin, lee los peridicos y slo el
2% de la poblacin total de adultos lee los peridicos, ven televisin y
escuchan radio. Se pide:
a. Cuntos habitantes no escuchan radio, no lee peridicos, ni ven televisin?
b. Cuntos habitantes leen peridicos solamente? 16. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha msica o
lee un libro. Si escucha msica 21 noches y lee un libro 15 noches,
Cuntas noches escucha msica y lee un libro simultneamente?
17. Sean A y B dos conjuntos no vacos donde se tiene:
Indicar el nmero de subconjuntos de B.
18. EJERCICIOS DE REAS SOMBREADAS. Resuelva todos los ejercicios del siguiente enlace (Recuerde ejecutar todos los
complementos de la pgina para poder ver la animacin): http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_153_g_4_t_1.html)
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BIBLIOGRAFA
Discrete and Combinatorial Mathematics. An applied introduction. Third
Edition. Ralph P. Grimaldi. Rose-Hulman Institute of Technology. Addison-
Wesley Publishing Company, Inc. 1994.
Teora de conjuntos. Garca Cu, Jos Luis. Consultado {4 de octubre de
2014} Disponible en: (http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm)
Lgica y Teora de Conjuntos. Ivorra Castillo, Carlos. Consultado {11 de
octubre de 2014} Disponible en: (http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf)
Conjuntos. Wikipedia. Consultado {4 de octubre de 2014} Disponible en: (http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto)
Conjunto por comprensin y extensin. Abc color. Consultado {4 de octubre
de 2014} Disponible en: (http://www.abc.com.py/edicion-impresa/suplementos/escolar/conjunto-por-comprension-y-extension-1155735.html)
Apuntes de clase Matemtica Discreta. Dissett, Luis. Segundo semestre de 2004. Captulo 3: Teora de Conjuntos. Disponible en: (http://www.mat.uc.cl/~ldissett/cursos/iic2252-042/apuntes-discreta-0.8.pdf)
Teora elemental de conjuntos. Consultado {11 de octubre de 2014}
Disponible en: (http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm)
Y si contamos? Universidad Nacional de Lujn. Resolucin de problemas
Sencillos relacionados con el rea de la Matemtica. Consultado {12 de
octubre de 2014} Disponible en: (http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/diagvenna1.htm)
Diagramas de Venn - Ejercicios Resueltos. El Blog del Profe Alex. Aprende
matemtica y fsica con problemas resueltos en video Consultado {12 de octubre de 2014} Disponible en (http://profe-alexz.blogspot.com/2011/02/conjuntos-diagramas-de-venn-30.html)
Diagramas de Venn. Utah State University. National Library of Virtual
Manipulative. Consultado {12 de octubre de 2014} Disponible en { http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_153_g_4_t_1.html}