MDA - materiały i zadania - student-online.plstudent-online.pl/pliki2/Semestr 3/Matematyka...

KOMBINATORYKA

OFICJALNA CIGAWKA z MATEMATYKI DYSKRETNEJ cz. 1

relacja równowanoci jest zwrotna, przechodnia i symetryczna; relacja porzdku jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna;

dla |X| = n :2

2n = liczba wszystkich relacji binarnych; =

=n

kn k

nB

0

= liczba wszystkich relacji równowanoci w X

relacji równowanoci E w zbiorze X wzajemnie jednoznacznie odpowiada podział zbioru X na bloki X|E = a|E : a ∈ X ; a|E = b ∈ X : aEb - klasa abstrakcji elementu a ; (X, ) – zbiór uporzdkowany: x, y ∈ X s porównywalne, jeli x y lub y x ; x y ⇔ x y ∧ x ≠ y ;

dla s, t ∈ X zachodzi s t i nie istnieje taki element u ∈ X , e s u i u t , to s jest bezporednim poprzednikiem t, a t – bezporednim nastpnikiem s ; xo ∈ X jest elementem maksymalnym w (X, ), jeli w zbiorze X nie istnieje element x ≠ xo, dla którego xo x ;

xo ∈ X jest elementem minimalnym w (X, ), jeli w zbiorze X nie istnieje element x ≠ xo, dla którego x xo ;

xo ∈ X jest elementem najwikszym w (X, ), jeli dla kadego x ∈ X zachodzi zaleno x xo ;

xo ∈ X jest elementem najmniejszym w (X, ), jeli dla kadego x ∈ X zachodzi zaleno xo x ;

xo ∈ X jest ograniczeniem dolnym zbioru A ⊆ X , jeli dla kadego x ∈ A zachodzi zaleno xo x ;

xo ∈ X jest ograniczeniem górnym zbioru A ⊆ X , jeli dla kadego x ∈ A zachodzi zaleno x xo ;

sup A – kres górny zbioru A = element najmniejszy w zbiorze ogranicze górnych zbioru A (jeli istnieje) ; inf A – kresem dolnym zbioru A = element najwikszy w zbiorze ogranicze dolnych zbioru A (jeli istnieje) ; podzbiór L ⊆ X , w którym kade dwa elementy x, y ∈ L s porównywalne = łacuch w (X, ) ;

podzbiór A ⊆ X , w którym adne dwa róne elementy x, y ∈ L nie s porównywalne = antyłacuch w (X, ) ;

maksymalna liczno antyłacucha jest równa minimalnej liczbie łacuchów pokrywajcych zbiór X, a maksymalna liczno łacucha jest równa minimalnej liczbie antyłacuchów pokrywajcych zbiór X ; funkcja f : X → Y jest relacj binarn f ⊆ X × Y tak, e dla kadego x ∈ X istnieje dokładnie jedna para postaci (x, y=f (x))∈f ;

dla | X | = n i | Y | = m: | Fun(X, Y) | = m n, | Inj(X, Y) | = m n (dla n ≤ m ), | Sur(X, Y) | =

⋅=m

nms mn !, , | Bij(X, Y) | = n n = n! ,

liczba rozmieszcze uporzdkowanych = m n ; Bij(X, Y) ≠ ∅ | X | = | Y | ;jeeli zachodzi | X | > r ⋅ | Y | dla r > 0 , to dla f ∈ Fun(X, Y) warunek | f −1( y) | > r jest spełniony dla co najmniej jednego y∈Y ; permutacja zbioru X = bijekcja p : X → X ; | Bij(X, X) | = n! ;

typ permutacji nnλλλλλλλλλλλλ ...2121 , gdzie λi oznacza liczb cykli o długoci i ;

inwersj permutacji p ∈ Sn = para (p(i), p( j)), gdzie p(i) > p( j) dla i< j≤ n; I( p) = liczb inwersji; )()()sgn( pIp 1−= ;

permutacji jest typu nnλλλλλλλλλλλλ ...2121 , to jej znak

−= =

2

12

1

n

jj

fλλλλ

)()sgn( ; znak cyklu o długoci k jest równy (−1) k−1 ;

sgn( p s) = sgn( p) ⋅ sgn(s); transpozycja = cykl o długoci 2; transpozycja ssiednia = [i, i+1] ;

i – niezmiennik permutacji, jeli p(i) = i ; Inv(p) = liczba niezmienników; nieporzdek, gdy Inv(p) = 0; | Dn | = =

−n

i

i

in

0

1

!)(

! ;

| (X) | = 2n ; | Y∈ (X) : | Y | = k | =k

knnn

knk

n

k

n

k

n k

⋅⋅⋅+−−=

−==

...)(...)(

)!(!!

! 21

11 ;

−−

+

−=

1

11

k

n

k

n

k

n ;

!...!!!

... mm kkk

n

kkk

n

⋅⋅⋅=

2121

; | A | = < k∗x1, ..., k∗xn > : liczba podzbiorów k-elementowych =

−+=

k

kn

k

nk 1

! ;

rozwiza równania x1+ x2+ ...+xn = k jest

−+=

k

kn

k

nk 1

!; | Πk(X) | =

k

n,

k

n=

−−

1

1

k

n+ k

−

k

n 1, |Π(X)| =

=

=n

kn k

nB

0

ππππ

ππππ∈

×=A

AAE )( ; P(n) = =nk

knP1

),( , P(n, k) = P(n −1, k −1) + P(n − k, k), P(n, k) = = −k

iiknP

0),( , Pk(n) = =

k

iinP

1),( ;

| A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | , | A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | ,

⊆=

−

=∩∩∩−=

,...,,...,,

|...|)(nppp

ppp

n

i

in

ii

i

iAAAA

11

1

1 21

211 ;

∞

==

0i

ii zazA )( - funkcja tworzca dla cigu (ai) = (a0, a1, a2, ..., ai, ... )

(jedyna cigawka, któr wolno mie na egzaminie, ale nie wolno jej uywa na kolokwium poprawkowym)

TEORIA GRAFÓW

OFICJALNA CIGAWKA z MATEMATYKI DYSKRETNEJ cz. 2

2)1(

2−=

nnn;

2)!1( −n

; n n−2 ; EidVi

2)( =∈

; AididViVi

==∈

+

∈

− )()( ; (n−1)! ;

d(i) = | V(i) |, gdzie V(i) = j∈V : i, j ∈ E ; dM (i) = | VM (i) |, gdzie VM (i) = j∈M : i, j ∈ E ;

d +(i) = | V +(i) |, gdzie V +(i) = j∈V : (i, j)∈ A ; d −(i) = | V−(i) |, gdzie V −(i) = j∈V : (j, i)∈ A ;

)(idM+ = | )(iVM

+ |, gdzie )(iVM+ = j∈M : (i, j) ∈ A ; )( idM

− = | )(iVM− |, gdzie )(iVM

− = j∈M : j, i ∈ A ;

I(G) = [ a ij ] i =1, ..., n , j =1, ..., m , gdzie ∈

=przypadkuprzeciwnymw0

jesli1 jij

eia ;

I(D) = [ a ij ] i =1, ..., n , j =1, ..., m , gdzie

==−


),(jesli1

),(jesli1

kia

ika

a j

j

ij ;

B(G) = [ b ij ] i =1, ..., n , j =1, ..., n , gdzie ∈

==przypadkuprzeciwnymw0

,jesli1 Ejibb jiij ;

B(D) = [ b ij ] i =1, ..., n , j =1, ..., n , gdzie ∈


),(jesli1 Ajibij ;

2

)1)(()(

+−−≤≤− knknmkn ; n – m + f = k + 1; m ≤ 3n – 6; m ≤ 2n – 4;

d(v) + d(w) ≥ n; d(v) ≥2

n; m ≥ 2

2

)2)(1( +−− nn; ∀ i <

2

n: ai ≤ i an− i ≥ n – i ;

12)()( −≥+ nwdvd ; 2

)(n

vd ≥+ i 2

)(n

vd ≥− ;

C = 1e

C ⊗2eC ⊗ ... ⊗

keC , gdzie kee ...,,1 = C \ T ; κ (G) ≤ λ(G);

−+ ∈∈

−=)()(

),(),()(sVusVu

sufusffW ; PU = A ∩ ( U × ( V \ U) ) = (u, v) ∈ A : u ∈ U, v ∈ V \ U ;

f (U, V \ U) = ∈ UPvu

vuf),(

),( ; W(f ) = f (U, V \ U) − f (V \ U, U); C(PU) = ∈ UPvu

vuc),(

),( ; W(f ) ≤ C(PU);

α (G) + τ (G) = | V |; ν (G) + ρ (G) = | V |; ν (G) ≤ τ (G); α (G) ≤ ρ (G); ∀ S⊆ V1: | N(S) | ≥ | S | ;

4

12

2

1)( ++≤ mGχ ;

(jedyna cigawka, któr wolno mie na egzaminie, ale nie wolno jej uywa na kolokwium poprawkowym)

=,==-=pEKJAI&g~'~~[CJ4-GAi:J~A='2=l1ffOOrt~L-Dy~~t<łLi5rEJ C2~ ~ OfeACOLJ;;J/~==-tib.Cf- -~~oi-(\O:S0-_,t-yt-_~~~1_p(l.e~oko_--- -~e&j~-=========~~'~Q.- _po~;UU: je-)-~i'&LI~I~-:h~~~, ~~j-~~J-~_ClJ1.O~--==-==~~-, ,=---dk. ;/.'tT =,f) ~J ~L,::~Mk(L~S_~_~LM~:~~,L,hir.w~c.b ~==:==l =j=;-r-

I-,-=-

~---,-,_--,-~-,- h -hPl~l_-'--r--'--"-'~- +--:---.-\- -j-+---r -rr-I"":=Q-'-C'-' --'--'--'-L' ,-,, I I-6 z: ')1 --;.G:, I" '''5b..1.1 , I rckit;, ",,;:,wY\.D~Q..Z.Iw<TO -Ż, V 1i.(.,~J)o. ll?H_,-'--'-'-I-('\'~ ~k--r-,-,a.<9",--,-""'-J~lŃ'-@'-----J-r'-"-r'~'--"lr"'-' 6-_ -L.&.L;~~J-f.-'l~ -'-'-'-'--'---- - --'-j- -1-'-'--' -.-_.-,- \---.-\-,- ,--,--,-,- --,-\-,-- 1---'---1-'~~-'-'---'-'--,-,_,-=--~if,-ci,wiWwa,iB.Q..S.~~~;~OA'U-~~~*-e.~d&<L'-1!4LZ-+adf~:~.&-f?DJ.~~ z.A~()_, -K_l!& _

l-lJ.'

Ii1

J.-1-

.idj

.1j

1jt

1i-

Iij

ji'I

~i

jj

jj

ijj

1~

~j

ll>

1l

jlij

1I

lJ-I-

iltl'i

Jl-:)

II

l""I

III

H---.l

filI

I)

JI

I11Il

lI

II

I)l

111

1l

~l

)J~

11I

LllJ

-I\J

lLJ

lfJ

~Icf.

Il

IIJ

1jJ]

\1-I,

~I\I

1,11

1ll ll

-1~j

lłI111

1~l

1.•

~1~

."J]

~i~

JlI

'tP

u.I

I-J~

f']4I

I'~

I~j

l\)h'

~I

hlEr

~I~-

LJ~l

ivr-

l_~

~~

'-I:1

_IJ~

~IJ\l'j!

J~N

J~I

Ij

J~ll

~-t

~II~

ld~le

J~~

1J;,

~I~I

q_~1

~~R

ltl

I§J~

J1&

-~1~t!:.

1-]:

JJI~

jI

loJ

I~I

~~

,:Ij

II(I

bb--l:

<:~

lI~

1~1

1I~l

Cl~

l1-'1

PH

I,J

ItJ

JI

~I~

luf

"lI"lj

1I

YJ

~~IE

j1••

J~-

lt<

1fb

LiI1

1--I~

JJ]

j~1l\1

IIIII

Itleli

1;1+-W

1111

klF

~II

11\1

~l

IYI...

.."(ł

ll\

IlV

\,I'

Il

:~,1

],i

II

Lr

Il\1

l~~::1

1i

IJ

~I

,,-++

~-:

~'II<

~J

~'~

J1~f

1J

t-t~

l~'

~M

~LIT-f\

1l:di

iN~1-

"1'~

I~P

ll,l~

-qf

L1+t1

:-11~.

,j=E.

~~J~

~I-(1;-I

~11~

qrJb

1~~

rI~'t:

ły~l

t:;I

~Ipl

~II~

1I"I~

~IIl

~I~

Ir-Ii

l~I

~-l~'-

~-'-rr

Jll~

lIfl

l~-bl

101J.1

J~ll~

ll~1tl

1;7N

~tJ-

~-11

~tl~

,~

~l-~

11-

~~

f;f.:l

III

~-Ill

lIr

Ij

1~'

I,I

IJ

l'F

II(I

1.[\J

~II

IW

QI

IJIrr

,c,'

r1I

:1'

t-Irl

lfi

II

1--1.j_

.[;]

l-..~J

~.I

I!fI

.1[1

..1~

tJL,

It11

~~

tu~I

~'a

T"~~

lJ~I

k<~

If

I~

II

~klll

~JI

~l

I~I_~

'~lli~

1i

II

~jp

ltlA1

!~J~l

'llH~

'~I

Ii

1~~~

FI~l

l-j-I

I~..,

lt]t/l

l~D

Th',l

lH

l-.

1q.c

1t-

~II

p-;

1~-

~I

IJ-1

t-DlT

I~

r1--1

't---t

-f!l~

IIx

lI

Ii)

I,1

~.,l,

I

l~jJl2

1-l1

L~J

r~

l~l

llNI~

lkib

ltJ

~LtJ

~r

~'~I

I1::-

1tl

~IIT

Itl

~'I

k-:-~1

~~tI1

~~~Jlo

1r'T

l1

ll

Il1

t:tl~-Iy\

1>I

[~I

lel

DI

P~

:~LI?

"ll-t!

[~,1I

I1,l

I~l

R1

I~~

hb

J~_

Jl:]

t-l]

_11

1-8:

)-~

fP)

ł.J1~

1t;1

1~elf'

I~1~

1~_j

~lIt,

lf+

l~'l-

k-11'

1~lI

~I

I-I

Il

lh-

1~-L

I~I

I~l

I1

II~

~J.;.,

Io

ll:t-

p'i

t.-jl~

·l....

l.i~

.~l1

1T~

!fII

~~11nr2

~f'1~

r.l.I'.~~.

~C.

lf~Jj1

~~--r

~.-f4

+-łt~

[\1,1

I~

II

lf'Iit

I~

1.I

JI

\I~

ll

J.I

IJ

8=.]

1~T

h'

'""I

.-t'"

1'"~,

'··l

lO-11

-IJ~

l_JJP

--I.rt

.1-

ll

rll.~

'c)1

b)l

I1:-

1f.

Il!-

I<g

I4t1

!l]~

11l

I1.~

_~.

Il-tl

~rn~

_Iv

IUf

II

~I~

I,I

lrl

lt-

Je'I

I~I

Il

lbóH

~'

5:L.1

Il

1l

IIl

III~

lu-Q

I~l

1~:

ll~b

1--J

l~Ji~

JJ~\I

fil.\:

"t

JJ

~lJ

~II

M~I

~iIJ

llLJ

-1~l

j~lll~

l~~

·1-101~l

~1łs

-1

1~Il

"Iir;

I,I

~lI

~l

II

JI

II

r-Ic-

IIs::"

jI~

lI~

JI

1l

II

I~

lI

l(-!(Sj'

G1

i~I

lr

p.'1

l~_l

tLJ:

ILL

J~

1I~'

fllJ

IJJ

j~1

r~J:~

Pl~,

Iltt

ttt··.0

.···

Ll~l

rq--\~',.

J~'"

11f'

lU]

1f:i

Il

I~T

l['LI

Il.

II1

II

~1

S"'l

II

!>:-1

1l

f'~Ti

II~

~bI

l~~

~~

.-.::Jo~.'.-I

..~Il-

.-l~,ll

.~

1~.1

J.1J

1J.I

-~~l

p.[I.

~J.

I1

-I·.

.T-.I

I!J

l"

T'~

4---'~1

'lO~.

I~l-1

~-t-h

TIlH

'II~

.lPl

I.l

l1--'

-1l~

JI~

jerIł

II-I

11-1

-11tiU

l~

łl!~_

-4E

~l

I['

I1~

If

1.

Ilp

II

IItl~

Ib

l~

lI

1I

lI

l1

~lt..

FI

ll~

~l

J-f

IjtJ

I]:>lk

I~l

I.-

hfi

j.1

II

~f

Ir-I

Ht1

I1

IJII

Ii11

rII

~I

I;jl

il:j~

-IJ~J

-hl-I

lr;l'L-+

uli

I~~

~~I

JI)

II

~ItJ

~IJ

1f'll

JIll

l1;j-

J~L~

lllo-I~

\1~

1~1irrrT

rATli

-Ir

JIII

jI11~

jfi:

jt'1I~

IIIfr

Tl1

1~

n=

rTln

l,l'"'

.~+

tllirl-

-1-I-~

l_li

-l~~1

jlI]

E:'II

~II~

IIl·1

.l-l

~tli

II

Il

lI'

'Yll]

iJ~1

l1

~I

llj

lI

'I-J.

~'I~

,_j\

j.•

-l~1·(j

lf':~

~.~

1l

JI

JJ

JCDl

IL-

I1

I~_I

~I

II):

I,J

lej

.-jll-l-

-.--

....p

"1It-"

,---

-J,_

..-

~_.

-,--l

,.-~

_I

II

IJ

IJ

1l"

II

jI

I,C

i~

.

-1j~1~

~~=n

l~'.

11'

111111111

l111

1~~

-~l+

rlIł-!ł-~

'ii-1~m'

-1.ibin

,-.._

o'.

1·l--

-I

J_...,

l-

-+

of>

..n-

.11

~1

r..

ql

-iiI

-,11

-jl

II

IIiI

IIII

IIII

II;I

!JIII

III

r'l

;P

r!1

.lI

II~H--

t

I

-i II II ITr --- - I--

rr- . !Fr- ,

I._- .~.

'-'-j--', i I r--'-'-i-r 'l--I- 'r---

--.--- ---.-

-r-'-'---'~-'-r-'-!- -1-1~-'-'-'-~'-II~r--~I"I~~-'--r-'~---'-'---i'-:-'--r--,-,-'-c--~I --'--i--r--'-'-'-'-~l-r-r-II-I-r-'-.----r-,-.-'-.-.---.--.-,---\-'-..-------.,-· -;-·-r-r

.. . ----, -.. ~.--.--_.---_.---------~-.-~

WYSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZDZANIA WIT

REPETYTORIUM (2) J.Sikorski Strona 1 / 14

REPETYTORIUM Z KOMBINATORYKI

Relacja binarnaR ⊆ X × Y

Relacja binarna w zbiorze X: R ⊆ X × X

Moe by okrelona za pomoc:

zdania logicznego xRy ⇔ yx = ,

zbioru par uporzdkowanych (x, y), (x, x), ...,

grafu relacji

tablicy relacji

x y z ...

x 1 0 1y 0 1 0z 1 1 0...

Cechy relacji binarnej w zbiorze X:

• zwrotna, jeli ∀ x ∈ X : xRx

• przechodnia, jeli ∀ x, y, z∈ X : ( xRy∧ yRz ) xRz

• symetryczna, jeli ∀ x, y∈ X : xRy yRx

• antysymetryczna, jeli ∀ x, y∈ X : ( xRy∧ yRx ) x = y

Relacja równowanoci jest zwrotna, przechodnia i symetryczna.

Relacja porzdku jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna.



Dla zbioru skoczonego | X | = n :

liczba wszystkich relacji binarnych w X wynosi 2

2n ,

liczba wszystkich zwrotnych relacji w X wynosi )( 12 −nn ,

liczba wszystkich symetrycznych relacji w X wynosi 21

2)( +nn

,

liczba wszystkich antysymetrycznych relacji w X wynosi 21

32)( −

⋅nn

n ,

liczba wszystkich relacji równowanoci w X wynosi Bn (liczby Bella),

=

=

n

kn k

nB

0

; in

in Bi

nB ⋅

= =+ 01

Kadej relacji równowanoci E w zbiorze X mona wzajemnie

jednoznacznie przyporzdkowa podział zbioru X na bloki:

X|E = a|E : a ∈ X ,

gdzie pojedynczy blok a|E = b ∈ X : aEb nazywany jest

klas abstrakcji elementu a.

Jeeli G jest grup permutacji zbioru X, to szczególna rol odgrywa

relacja indukowana w zbiorze X przez grup G (oznaczana RG ).

Relacja indukowana RG jest relacj równowanoci.

Kad z klas abstrakcji relacji indukowanej RG nazywamy orbit

działania grupy G. Symbol o(G) oznacza liczb orbit.

Zbiór orbit działania jest podziałem zbioru X na o(G) bloków.

∈

=Gp

pInvG

Go )()(1

,

gdzie Inv(p) jest liczb niezmienników permutacji p ∈ G.



Relacja porzdku wraz ze zbiorem , w którym została

zdefiniowana tworzy zbiór uporzdkowany (X, ).

Dwa elementy x, y ∈ X nazywamy porównywalnymi, jeli x y

lub y x , w przeciwnym przypadku s one nieporównywalne.

Jeli kade dwa elementy x, y ∈ X s porównywalne, to par (X, )

nazywamy zbiorem liniowo uporzdkowanym.

W zbiorze uporzdkowanym (X, ) wprowadzamy „ostr” relacj

x y ⇔ x y ∧ x ≠ y

Jeeli dla dwóch elementów s, t ∈ X zachodzi s t i nie istnieje taki

element u ∈ X , e s u i u t , to s nazywamy bezporednim

poprzednikiem t, a t – bezporednim nastpnikiem s.

Wygodnym i czytelnym sposobem

przedstawienia zbioru uporzdkowanego (X, )

jest tzw. diagram Hassego, na którym łczymy

odcinkami tylko bezporednie poprzedniki z ich

nastpnikami i nastpniki umieszczamy

powyej poprzedników.

Np.: 100

50

25

70

12

6

3 2

10

5

Element xo ∈ X nazywamy elementem maksymalnym w zbiorze

czciowo uporzdkowanym (X, ), jeli w zbiorze X nie istnieje

element x ≠ xo, dla którego xo x .



Element xo ∈ X nazywamy elementem minimalnym w zbiorze

czciowo uporzdkowanym (X, ), jeli w zbiorze X nie istnieje

element x ≠ xo, dla którego x xo .

Element xo ∈ X nazywamy elementem najwikszym w zbiorze

czciowo uporzdkowanym (X, ), jeli dla kadego x ∈ X zachodzi

zaleno x xo.

Element xo ∈ X nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze

czciowo uporzdkowanym (X, ), jeli dla kadego x ∈ X zachodzi

zaleno xo x .

W zbiorze czciowo uporzdkowanym istnieje co najwyej jeden

element najwikszy i co najwyej jeden element najmniejszy.

Przy tym element najwikszy jest elementem maksymalnym, a element

najmniejszy jest elementem minimalnym.

Jeli (X, ) jest zbiorem liniowo uporzdkowanym oraz X jest

zbiorem skoczonym i niepustym, to w (X, ) istniej elementy

najwikszy i najmniejszy.

Element xo ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A ⊆ X ,

jeli dla kadego x ∈ A zachodzi zaleno xo x .

Element xo ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A ⊆ X ,

jeli dla kadego x ∈ A zachodzi zaleno x xo .

Jeli zbiór ogranicze górnych zbioru A ma element najmniejszy, to

nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy supA .



Jeli zbiór ogranicze dolnych zbioru A ma element najwikszy, to

nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A .

Pokryciem zbioru X nazywamy tak rodzin jego podzbiorów

Y1, Y2, ..., Yk (Yi ⊆ X), dla której zachodzi X = Y1 ∪ Y2 ∪ ... ∪ Yk.

Mówimy, e rodzina Y1, Y2, ..., Yk pokrywa zbiór X.

Łacuchem z zbiorze uporzdkowanym (X, ) nazywamy taki

podzbiór L ⊆ X , w którym kade dwa elementy x, y ∈ L s

porównywalne, tzn. zawsze zachodzi x y lub y x .

Antyłacuchem z zbiorze uporzdkowanym (X, ) nazywamy taki

podzbiór A ⊆ X , w którym adne dwa róne elementy x, y ∈ L nie s

porównywalne, tzn. zawsze zachodzi x y ⇔ x = y .

W kadym skoczonym zbiorze czciowo uporzdkowanym (X, )

maksymalna liczno antyłacucha jest równa minimalnej liczbie

łacuchów pokrywajcych zbiór X, a maksymalna liczno łacucha

jest równa minimalnej liczbie antyłacuchów pokrywajcych zbiór X.

Funkcja f : X →→→→ Y

jest relacj binarn f ⊆ X × Y tak, e dla kadego x ∈ X istnieje

dokładnie jedna para postaci ( x, y = f (x) ) ∈ f

Funkcja f jest injekcj (funkcj rónowartociow, „1−1”), jeli

∀ x, y∈ X x ≠ y f (x) ≠ f (y)

Funkcja f jest surjekcj (funkcj „na”), jeli

∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X f (x) = y



Funkcja f jest bijekcj , jeli jest jednoczenie injekcj i surjekcj.

Fun(X, Y) oznacza zbiór wszystkich funkcji z X w Y,

Inj(X, Y) oznacza zbiór wszystkich injekcji z X w Y,

Sur(X, Y) oznacza zbiór wszystkich surjakcji z X na Y,

Bij(X, Y) oznacza zbiór wszystkich bijekcji z X w Y,

Bij(X, Y) = Sur(X, Y) ∩ Inj(X, Y)

Dla zbiorów skoczonych |X | = n i |Y| = m:

|Fun(X, Y) | = m n

|Inj(X, Y) | = m n (dla n ≤ m )

| Sur(X, Y) | =

⋅=m

nms mn !, =

−

=−

−1

0

1m

i

ni imi

m)()(

|Bij(X, Y) | = n n = n!

Zasada równolicznoci pozwala rozstrzyga o liczbie elementów

jednego zbioru na podstawie liczby elementów drugiego po

skonstruowaniu bijekcji pomidzy tymi zbiorami.

Jeeli Bij(X, Y) ≠ ∅ , to |X | = |Y| = n

Rozmieszczeniem uporzdkowanym nazywamy wskazanie pewnej

funkcji f : X → Y wraz z okreleniem uporzdkowa we wszystkich

zbiorach f −1( y) dla y ∈ Y .

Liczba wszystkich rozmieszcze uporzdkowanych wynosi m n .

Przy zliczaniu funkcji f : X → Y stosujemy czsto zasad mnoenia:

jeeli X = X1∪ X2 i Y = Y1∪ Y2

oraz spełnione s warunki X1∩ X2 = ∅, f (X1) ⊆ Y1 i f (X2) ⊆ Y2 ,

to |Fun(X, Y) | = |Fun(X1, Y1) | ⋅ |Fun(X2, Y2) | ;



jeeli ponadto Y1∩ Y2 = ∅,

to |Inj(X, Y) | = |Inj(X1, Y1) | ⋅ |Inj(X2, Y2) | .

Jeeli na zbiorze X zdefiniowano funkcj f w zbiór Y , to obowizuje

take zasada szufladkowa:

jeeli dla zbiorów X i Y zachodzi | X | > r ⋅ | Y | dla r > 0 , to

dla kadej funkcji f ∈ Fun(X, Y) warunek | f −1( y) | > r jest spełniony

dla co najmniej jednego y ∈ Y .

Permutacj zbioru X nazywamy bijekcj p : X → X

|Bij(X, X) | = n!

Sn oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru 1, 2, ..., n.

Zbiór Sn wraz z operacja składania permutacji tworzy grup.

Operacja składania permutacji jest łczna, ale nie jest przemienna.

W zbiorze Sn istnieje element neutralny operacji składania e

(permutacja identycznociowa) i dla kadego p ∈ Sn istnieje element

odwrotny p−1 ∈ Sn (permutacja odwrotna).

Permutacja p moe by okrelona za pomoc:

tablicy

=41235

54321p ,

grafu

1

4 5

2

3

.



Kad permutacj p ∈ Sn mona przedstawi w postaci złoenia

rozłcznych cykli: p = [ 1, 5, 4 ] [ 2, 3 ]

Kad permutacj p ∈ Sn mona scharakteryzowa przez podanie jej

typu: nnλλλλλλλλλλλλ ...2121 , gdzie λλλλi oznacza liczb cykli o długoci i .

Par (a i , a j), gdzie p(i ) = a i i p( j ) = a j dla i < j ≤ n, nazywamy

inwersj permutacji p ∈ Sn , jeli a i > a j .

I ( p) oznacza liczb wszystkich inwersji w permutacji p ∈ Sn .

Znakiem permutacji p ∈ Sn nazywamy liczb )()()sgn( pIp 1−= .

Dla permutacji typu nnλλλλλλλλλλλλ ...2121 jej znak

−= =

2

12

1

n

jj

fλλλλ

)()sgn( .

Znak cyklu o długoci k jest równy (−1) k−1.

Dla permutacji p, s ∈ Sn zachodzi równo sgn( p s) = sgn( p) ⋅ sgn(s).

Transpozycj nazywamy cykl o długoci 2.

Transpozycj ssiedni nazywamy cykl postaci [i, i+1].

Kad permutacj p ∈ Sn mona przedstawi w postaci złoenia

I( p) transpozycji ssiednich, np. p = [2, 3] [3, 4] [4, 5] [1, 2].

Kada transpozycja ma znak równy –1.

Element i ∈ 1, 2, ..., n nazywamy niezmiennikiem permutacji

p ∈ Sn , jeli p(i) = i.

Inv(p) oznacza liczb niezmienników permutacji p.

Nieporzdkiem nazywamy tak permutacj p ∈ Sn ,

dla której Inv(p) = 0.

Dn oznacza zbiór wszystkich nieporzdków w zbiorze Sn .



| Dn | = =

−n

i

i

in

0

1!)(

!

Rodzina podzbiorów zbioru X:

(X) = Y : Y ⊆ X

Kady podzbiór Y ∈ (X) moe by jednoznacznie okrelony przez

swój wektor charakterystyczny ξ( Y ) = ( b1, b2, ..., bn ) ∈ 0, 1n

według wzoru: bx Y

x Yii

i

=∈∉

1

0

jeli

jeli , dla X = x1, ..., xn .

| (X) | = 2n

Wektory charakterystyczne s wygodnym narzdziem do generowania

wszystkich elementów rodziny (X) .

Podzbiory k-elementowe zbioru X ( | X | = n ):

| Y∈ (X) : | Y | = k | =k

knnn

knk

n

k

n

k

n k

⋅⋅⋅+−−=

−==

...)(...)(

)!(!!

! 2111

n

k

n

n k

=

−

,

n

k

n

k

n

k

=

−

+

−−

1 1

1,

n

ii

nn

=

=

0

2 , n

ii n

i

nn

=

=

−0

12 ,

Rozbiciem zbioru X na m podzbiorów o zadanych liczbach

elementów k1, k2, ..., km nazywamy tak rodzin rozłcznych zbiorów

X1, X2, ..., Xm , dla której spełnione s warunki:

mXXXX ∪∪∪= ...21 , ∅=∩ ji XX dla 1 ≤ i < j ≤ m i ii kX = .

Liczba wszystkich rozbi zbioru X wynosi:

!...!!!

... mm kkk

n

kkk

n

⋅⋅⋅=

2121



Zbiór z powtórzeniami A = < k1∗x1, ..., kn∗xn >

okrelony jest przez podanie wektora krotnoci (k1, ..., kn) dla zbioru

bazowego X = x1, ..., xn .

Liczba elementów w zbiorze z powtórzeniami A wynosi

| A | = k1 + ... + kn

Liczba wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami A wynosi

( k1 + 1) ⋅ ( k2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( kn + 1)

Liczba k-elementowych podzbiorów zbioru z powtórzeniami

< k∗x1, ..., k∗xn > (szczególny przypadek ki = k) wynosi

−+=

k

kn

k

nk 1

!

Funkcja tworzca dla cigu liczb podzbiorów k-elementowych

zbioru z powtórzeniami A ma posta

A(x) = =

A

k

kkxc

0

= (1 + x + ... + 1kx ) ⋅ ... ⋅ (1 + x + ... + nkx ) ;

ck jest liczb podzbiorów k-elementowych zbioru z powtórzeniami A.

Liczba całkowitych nieujemnych rozwiza liniowego równania

diofantycznego x1 + x2 + ... + xn = k dla całkowitego i nieujemnego

k wynosi

−+=

k

kn

k

nk 1

!

Podziałem zbioru X ( | X | = n ) na k bloków nazywamy tak

rodzin niepustych zbiorów π = A1, ..., Ak , dla której zachodzi

X = A1 ∪ ... ∪ Ak, Ai ∩ Aj = ∅ dla 1 ≤ i < j ≤ k oraz Ai ≠ ∅ .



Πk(X) oznacza zbiór wszystkich podziałów zbioru X na k bloków.

Π(X) oznacza zbiór wszystkich podziałów zbioru X.

| Πk(X) | =

k

n (liczby Stirlinga 2 rodzaju)

k

n=

−−

1

1

k

n+ k

−

k

n 1, dla 0 < k < n

n

n= 1,

0

n= 0 dla n ≥ 0;

1

n= 1, dla n > 0

−

=

−

= ⋅−−−=−

−=

1

0

1

0

111 m

i

ni

m

i

ni

iim

imim

i

m

mm

n

!)!()(

)()()(!

=−

= ⋅

⋅−=⋅

= n

kkknn

kkn m

k

nm

k

nm

001)( zachodzi dla m, n ∈

|Π(X)| = =

=

n

kn k

nB

0

(liczby Bella)

in

in Bi

nB ⋅

= =+ 01

Kademu podziałowi π ∈ Π(X) mona jednoznacznie przyporzd-

kowa relacj równowanoci E(π) w zbiorze X , definiujc j jako

π

π∈

×=A

AAE )(

tzn. dwa elementy x, y ∈ X s w relacji E(π), czyli x E(π) y

wtedy i tylko wtedy, kiedy x i y nale do tego samego bloku podziału.

Podziałem liczby n na k składników ( n, k ∈ 1, 2, ... ) nazywamy

taki skoczony cig całkowity a1, a2, ..., ak , dla którego zachodzi



n = a1 + ... + ak i a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ ak > 0

P(n, k) oznacza liczb podziałów liczby n na k składników.

P(n) = =n

kknP

1),( oznacza liczb wszystkich podziałów liczby n.

Pk(n) oznacza liczb podziałów liczby n o najwikszym składniku

równym k. P(n, k) = Pk(n) , dla k ≤ n

P(n, k) = P(n −1, k −1) + P(n − k, k) dla n ≥ k > 0

P(0, 0) = P(0) = 1

P(n, k) = = −k

iiknP

0),( i Pk(n) = =

k

iinP

1),( dla n ≥ k > 0

Zasada włczania-wyłczania to sposób wyznaczania liczby

elementów w sumie mnogociowej skoczonej liczby zbiorów

(niekoniecznie rozłcznych):

| A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B |

| A ∪ B ∪ C | =

= | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |

⊆=

−

=∩∩∩−=

,...,,...,,|...|)(

npppppp

n

i

in

ii

ii

AAAA11

1

1 2121

1

Funkcj tworzc dla cigu liczbowego (ai) = (a0, a1, a2, ..., ai, ... )

nazywamy szereg potgowy ∞

==

0i

ii zazA )( dla zmiennej zespolonej z.



Funkcje tworzce wybranych cigów:

Cig Funkcja tworzca

(1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 0, 0, ...),

=i

ai8

(1 + z)8

(0, ..., 0, 1, 0, ...., 0, ... ), an = 1 i ai = 0 dla i ≠ n zn

(1, 1, ..., 1, ... ), ai = 1 dla i = 0, 1, ... z−1

1

(c0, c1, c2, ..., ci, ... ), ai = ci dla i = 0, 1, ... zc ⋅−1

1

Operacjom na cigach odpowiadaj operacje na funkcjach tworzcych:

Operacja na cigu Operacja na funkcjach

tworzcych

mnoenie przez liczb:

(ai) → (c⋅ai) A(z) → c⋅A(z)

dodawanie cigów:

(ai), (bi) → (ai +bi) A(z), B(z) → A(z) + B(z)

przesunicie w prawo o m pozycji:

(ai) → (0, ..., 0, a0, a1, a2, ..., ai, ... )

(ai = 0 dla i = 0, 1, ..., m−1)

A(z) → zm⋅A(z)

Za pomoc funkcji tworzcej mona otrzyma nierekurencyjny wzór

na kolejny wyraz cigu Fibonacciego.

Wzór rekurencyjny:

Fi = Fi−1 + Fi−2 + i = 1 dla i = 0, 1, 2, 3, ... (Fi = 0 dla i < 0)

Równanie dla funkcji tworzcej:



F(z) = z2⋅F(z) + z⋅F(z) + zFunkcja tworzca:

∞

==

−−=

021 i

ii zF

zz

zzF )(

Wzór na kolejne wyrazy cigu:

−−

+=ii

iF2

512

51

5

1 dla i = 0, 1, 2, ...

Za pomoc funkcji tworzcej mona rozwiza rekurencyjne równanie

dla złoonoci rekurencyjnego algorytmu dla problemu wie Hanoi.

Wzór rekurencyjny:

Ti = 2⋅ Ti−1 + 1 − i = 0 dla i = 0, 1, 2, ... (Ti = 0 dla i < 0)

Równanie dla funkcji tworzcej:

T(z) = 2z⋅T(z) +z−1

1 − 1

Funkcja tworzca:

))(()(

zz

zzT

211 −−=

Wzór na zaleno liczby ruchów od liczby krków:

Ti = 2i – 1 dla i = 0, 1, 2, ...



REPETYTORIUM Z GRAFÓW i SIECI

Graf = para uporzdkowana dwóch zbiorów

Graf nieskierowany Graf skierowany

G = (V, E), wierzchołki i krawdzie,

E ⊆ i, j : i ≠ j i i, j ∈ V ;

D = (V, A), wierzchołki i łuki,

A ⊆ V × V ;

incydencja, ssiedztwo, zaleno

d(v) − stopie wierzchołka v

d(v) = 0 − wierzchołek izolowany,

d(v) = 1 − li

d(v) = d +(v) + d −(v)

− stopie wierzchołka v :

d +(v) − stopie wyjciowy v ,

d −(v) − stopie wejciowy v

Pochodny graf G(D) = ( V, ED ) dla grafu skierowanego D = (V, A):

i, j ∈ ED ⇔ ( i, j ) ∈ A ∨ ( j, i ) ∈ A dla i ≠ j

Graf pełny (dla | V | = n):

E = i, j : i ≠ j i i, j ∈ V ;

| E | = 2

)1(2

−=

nnn; ozn. nK

A = V × V ;

| A | = 2n

Dopełnienie grafu:

G = (V, E ) :

E = i, j: i, j ∈ V, i ≠ j, i, j ∉ E

D= (V, A) :

A = V × V \ A

Graf krawdziowy:

L(G) = (E, L(E)) :

e1, e2 ∈L(E) ⇔ e1 i e2 s zalene

L(D) = (A, L(A)) :

(a1, a2) ∈ L(A) ⇔ a1 i a2 s zalene



Zwizki pomidzy stopniami wierzch. i liczb krawdzi (łuków):

EidVi

2)( =∈

AidVi

2)( =∈

,

AididViVi

==∈

+

∈

− )()(

Macierzowy opis grafu (dla | V | = n i | E | = m lub | A | = m):

• Macierz incydencji

I(G) = mjniijs ,...,1,...,1][ ==

∈

=przyp.przec.w0

jesli1 jij

eis

I(D) = mjniijs ,...,1,...,1][ ==

==−

=przyp.przec.w0

),(jesli1

),(jesli1

kia

ika

s j

j

ij

• Macierz ssiedztwa

B(G) = njniijb ,...,1,...,1][ ==

∈

==przyp.przec.w0

,jesli1 Ejibb jiij

B(D) = njniijb ,...,1,...,1][ ==

∈

=przyp.przec.w0

),(jesli1 Ajibij

Izomorfizm grafów:

GG ′≅

∃ VVf ′→ −11: taka, e

∀ i, j ∈ V zachodzi

i, j ∈ E ⇔ f (i), f (j) ∈ E′

DD ′≅

∃ VVf ′→ −11: taka, e

∀ i, j ∈ V zachodzi

(i, j)∈ A ⇔ ( f (i), f (j))∈ A′

Graf dwudzielny:

G = (V1 ∪ V2 , E), V1 ∩ V2 = ∅

wierzchołki w kadym ze zbiorów V1 i V2 s parami niezalene.

Graf dwudzielny pełny: oznaczenie srK ,



Graf planarny:

graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu

homeomorficznego z K 5 lub K 3, 3

(grafami homeomorficznymi z danym grafem nazywamy takie grafy,

które mona z niego otrzyma przez podział krawdzi dodatkowymi

wierzchołkami stopnia 2)

Droga w grafie:

naprzemienny cig wierzchołków

i krawdzi grafu

( v0, e1, v1, e2, ..., vt−1, et, vt ),

spełniajcy warunek

ei = vi−1, vi dla i = 1, ..., t

naprzemienny cig wierzchołków

i łuków grafu

( v0, a1, v1, a2, ..., vt−1, at, vt ),

spełniajcy warunek

ai = ( vi−1, vi ) dla i = 1, ..., t

Droga prosta:

adna krawd si nie powtarza aden łuk si nie powtarza

Droga elementarna:

aden wierzchołek si nie powtarza.

Cykl w grafie:

droga zamknit, dla której v0 = vt i t > 0

Istnienie drogi i cyklu w grafie G o minimalnym stopniu wierzchołka

δ(G):

• w grafie G istnieje droga elementarna o długoci co najmniej δ(G),

• dla δ(G) ≥ 2 istnieje w grafie G cykl elementarny o długoci co

najmniej δ(G)+1.



Graf spójny:

dla kadej pary wierzchołków u

i v istnieje w nim droga z u do v

pochodny graf nieskierowny

jest spójny

Graf silnie spójny:

dla kadej pary wierzchołków u

i v istnieje w nim droga z u do v

Składowa spójna grafu:

podgraf danego grafu, który jest spójny i nie jest podgrafem innego

grafu spójnego.

Zwizek liczby krawdzi (m), wierzchołków (n) i składowych

spójnych (k) w grafie:

2

)1)(()(

+−−≤≤− knknmkn

Warunek konieczny i dostateczny dwudzielnoci grafu:

dla n ≥ 2 graf jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, kiedy nie zawiera

cyklu o nieparzystej długoci.

Zwizek z liczb cian (f ) w grafie planarnym:

n – m + f = k + 1

Warunki konieczne planarnoci grafu:

• jeli graf jest planarny i n ≥ 3, to m ≤ 3n – 6 ,

• jeli graf dwudzielny jest planarny i n ≥ 3, to m ≤ 2n – 4 ,

• jeli graf jest planarny, to musi zawiera co najmniej jeden

wierzchołek o stopniu mniejszym ni 6.



Metody przeszukiwania grafu:

• przeszukiwanie grafu w głb z „zamykaniem” wierzchołków,

• przeszukiwanie grafu wszerz z usuwaniem „nowoci”

wierzchołków.

Droga Eulera w grafie:

droga prosta, która zawiera

wszystkie krawdzie grafu

droga prosta, która zawiera

wszystkie łuki grafu

Cykl Eulera w grafie:

zamknita droga Eulera

Warunek konieczny i dostateczny istnienia cyklu Eulera:

graf jest spójny i dla kadego

wierzchołka jego stopie d(v) jest

liczb parzyst

graf jest spójny i dla kadego

wierzchołka zachodzi

d +(v) = d −(v)

Warunek konieczny i dostateczny istnienia drogi Eulera:

graf jest spójny i dla nie wicej

ni dwóch wierzchołków ich

stopie jest liczb nieparzyst

graf jest spójny i albo dla kadego

wierzchołka zachodzi

d +(v) = d −(v), albo dla dokładnie

dwóch wierzchołków v1 i v2 ten

warunek nie zachodzi, ale

spełniona jest dla nich równo

d +(v1)–d −(v1)=d −(v2)–d +(v2)=1

Mosty s wykorzystywane w algorytmie Fleury’ego.



Droga Hamiltona w grafie:

droga elementarna, która zawiera wszystkie wierzchołki grafu

Cykl Hamiltona w grafie:

zamknit droga Hamiltona o długoci V

Liczba cykli Hamiltona w grafie pełnym dla n ≥ 3:

2

)!1( −n (n−1)!

Warunki dostateczne istnienia cyklu Hamiltona:

• jeli n ≥ 3 i dla kadej pary

niezalenych wierzchołków v

i w zachodzi d(v) + d(w) ≥ n,

to graf ma cykl Hamiltona;

• jeli n ≥ 3 i dla kadego

wierzchołka zachodzi d(v) ≥2n

,

to graf ma cykl Hamiltona;

• jesli n ≥ 3 i graf ma co

najmniej 22

)2)(1( +−− nn

krawdzi, to ma on cykl

Hamiltona;

• jeli n ≥ 2, graf jest silnie

spójny i bez ptli oraz dla

kadej pary niezalenych

wierzchołków v i w zachodzi

12)()( −≥+ nwdvd , to graf ma

cykl Hamiltona;

• jeli n ≥ 2, graf jest bez ptli

i dla kadego wierzchołka

zachodzi 2

)(n

vd ≥+ oraz

2)(

nvd ≥− , to graf ma cykl

Hamiltona;



• jeli istnieje cig (a1, a2, ..., an),

w którym zachodzi

ai ≤ i an− i ≥ n – i dla i < 2

n,

i dla którego sekwencja

wstpujca stopni

wierzchołków grafu spełnia

warunek di(G) ≥ ai , to graf ma

cykl Hamiltona.

• jeli graf jest silnie spójnym

turniejem , to ma cykl

Hamiltona (kady turniej ma

drog Hamiltona).

Drzewo:

• graf spójny bez cykli elementarnych,

• graf o n−1 krawdziach bez cykli elementarnych,

• graf spójny o n−1 krawdziach,

• graf spójny, którego kada krawd jest mostem,

• graf, którego kade dwa wierzchołki s połczone dokładnie jedn

drog,

• graf bez cykli elementarnych, w którym dołczenie nowej krawdzi

tworzy dokładnie jeden cykl elementarny.

Las:

• graf bez cykli elementarnych

Drzewo rozpinajce grafu G = (V, E):

• drzewo GT = (V, T) takie, e T ⊆ E



Liczba drzew rozpinajcych w grafie pełnym nK (dla n ≥ 2):

2−nn

Kod Prüfera.

(Rozpinajce) drzewa przegldu grafu w głb i wszerz.

Dla GT = (V, T), które jest drzewem rozpinajcym grafu G = (V, E):

• T – zbiór gałzi,

• E \ T – zbiór ciciw,

• Ω = eC : e ∈ E \ T – zbiór cykli fundamentalnych.

Przedstawienie cyklu prostego w grafie spójnym G = (V, E):

dla dowolnego drzewa rozpinajcego GT = (V, T) kady cykl prosty C

w grafie G mona jednoznacznie przedstawi jako rónic symetryczn

cykli fundamentalnych:

C = 1e

C ⊗2eC ⊗ ... ⊗

keC ,

gdzie kee ...,,1 = C \ T jest zbiorem ciciw wzgldem drzewa GT.

Spójno krawdziowa λλλλ (G) grafu spójnego G (dla n ≥ 2) to

najmniejsza moc zbioru rozspajajcego ten graf;

graf jest k-spójny krawdziowo, jeli λ (G) ≥ k.

Spójno wierzchołkowa κκκκ (G) grafu spójnego G (dla n ≥ 2) to

najmniejsza moc zbioru rozdzielajcego ten graf;

graf jest k-spójny (wierzchołkowo), jeli κ (G) ≥ k.

κ (G) ≤ λ(G)



Zwizki liczby dróg łczcych dwa dane wierzchołki grafu z liczb

elementów w zbiorach rozspajajcych i rozdzielajcych te wierzch.:

• maksymalna liczba dróg krawdziowo rozłcznych, łczcych

dwa róne wierzchołki v i w w grafie spójnym, jest równa

minimalnej liczbie krawdzi w zbiorze rozspajajcym v i w,

• maksymalna liczba dróg wierzchołkowo rozłcznych, łczcych

dwa róne wierzchołki niessiednie v i w w grafie spójnym, jest

równa minimalnej liczbie wierzchołków w zbiorze

rozdzielajcym v i w.

Zwizki liczby dróg łczcych pary rónych wierzchołków w grafie z

odpornoci grafu na utrat spójnoci:

• graf jest k-spójny krawdziowo wtedy i tylko wtedy, gdy kada

para rónych jego wierzchołków jest połczona co najmniej k

drogami krawdziowo rozłcznymi,

• graf o co najmniej k+1 wierzchołkach jest k-spójny

(wierzchołkowo) wtedy i tylko wtedy, gdy kada para rónych

jego wierzchołków jest połczona co najmniej k drogami

wierzchołkowo rozłcznymi.

Uogólnione zwizki liczby dróg łczcych dwa zbiory wierzchołków

z liczb wierzchołków rozdzielajcych te zbiory:

• uogólnieniem pojcia zbioru rozdzielajcego jest S-T separator,

• uogólnieniem pojcia zbioru dróg wierzchołkowo rozłcznych

jest S-T konektor,



• jeeli w grafie skierowanym D = (V, A) wybrano dwa podzbiory

S, T ⊆ V oraz wyznaczono minimaln moc S-T separatora równ

s, to istnieje S-T konektor Q = (VQ, AQ) grafu D o mocy s.

Zwizki liczby dróg łczcych dwa dane wierzchołki grafu

skierowanego z liczb elementów w zbiorach rozspajajcych i

rozdzielajcych te wierzchołki:

• jeeli w grafie skierowanym D = (V, A) wybrano dwa róne

wierzchołki v i w, takie e (v, w) ∉ A, to minimalna moc zbioru

rozdzielajcego wierzchołki v i w jest równa maksymalnej

liczbie dróg wierzchołkowo rozłcznych z v do w;

• jeeli w grafie skierowanym D = (V, A) wybrano dwa róne

wierzchołki v i w, to minimalna moc zbioru rozspajajcego

wierzchołki v i w jest równa maksymalnej liczbie dróg łukowo

rozłcznych z v do w.

Zwizki liczby dróg łczcych pary rónych wierzchołków w grafie

skierowanym z odpornoci grafu na utrat spójnoci:

• graf skierowany jest k-spójny wierzchołkowo, jeli dla kadych

dwóch rónych jego wierzchołków v i w istnieje co najmniej k

dróg wierzchołkowo rozłcznych z v do w;

• graf skierowany jest k-spójny łukowo, jeli dla kadych dwóch

rónych jego wierzchołków v i w istnieje co najmniej k dróg

łukowo rozłcznych z v do w.



Sie = graf skierowany z wyrónionymi dwoma wierzchołkami

(ródło i ujcie) + przepustowoci wszystkich łuków

Przepływ w sieci ze ródła do ujcia = wartoci przepływów przez

wszystkie łuki, mieszczce si w granicach przepustowoci i

spełniajce warunek zachowania przepływu we wszystkich

wierzchołkach poza ródłem i ujciem.

Warto przepływu przez sie = bilans wypływu i wpływu do ródła

= bilans wpływu i wypływu z ujcia.

Przekrój sieci = zbiór łuków wychodzcych z zadanego zbioru

wierzchołków.

Przepływ przez przekrój = suma przepływów przez łuki przekroju.

Przepustowo przekroju = suma przepustowoci łuków przekroju.

Minimalny przekrój sieci = przekrój zadany zbiorem wierzchołków

zawierajcym ródło, którego przepustowo jest minimalna.

Zwizek przepustowoci minimalnego przekroju z maksymalnym

przepływem przez sie:

• w kadej sieci maksymalna warto przepływu ze ródła do

ujcia jest równa przepustowoci minimalnego przekroju

pomidzy ródłem i ujciem.

Podstawa wyznaczania maksymalnego przepływu:

• przepływ w sieci jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, kiedy nie

istnieje dla niego cieka powikszajca ze ródła do ujcia.



Skojarzenie w grafie = podzbiór krawdzi, które s parami niezalene.

Zbiór wewntrznie stabilny wierzchołków = podzbiór

wierzchołków, które s parami niezalene.

Podstawa wyznaczania skojarzenia maksymalnej mocy:

• skojarzenie w grafie ma maksymaln moc wtedy i tylko wtedy,

kiedy ten graf nie zawiera drogi powikszajcej wzgldem tego

skojarzenia.

Pokrycie krawdziowe grafu = taki podzbiór jego krawdzi, e kady

wierzchołek grafu jest incydentny z co najmniej jedn krawdzi z

tego podzbioru.

Pokrycie wierzchołkowe grafu = taki podzbiór jego wierzchołków, e

kada krawd grafu jest incydentna z co najmniej jednym

wierzchołkiem z tego podzbioru.

Zwizki pomidzy mocami skojarzenia, zbioru wewntrznie

stabilnego wierzchołków i mocami pokry:

• maksymalna moc zbioru wewntrznie stabilnego wierzchołków i

minimalna moc pokrycia wierzchołkowego sumuj si do liczby

wierzchołków w grafie,

• maksymalna moc skojarzenia i minimalna moc pokrycia

krawdziowego take sumuj si do liczby wierzchołków w

grafie,

• maksymalna moc skojarzenia nie przekracza minimalnej mocy

pokrycia wierzchołkowego,



• maksymalna moc zbioru wewntrzne stabilnego wierzchołków

nie przekracza minimalnej mocy pokrycia krawdziowego,

• jeli graf jest dwudzielny, to maksymalna moc skojarzenia jest

równa minimalnej mocy pokrycia wierzchołkowego.

Skojarzenie doskonałe = takie skojarzenie, wzgldem którego

wszystkie wierzchołki tego grafu s nasycone.

Warunek konieczny i dostateczny istnienia skojarzenia

doskonałego:

• graf G = (V, E) ma skojarzenie doskonałe wtedy i tylko wtedy,

kiedy liczba składowych spójnych o nieparzystej liczbie

wierzchołków w podgrafie grafu G, indukowanym przez

podzbiór wierzchołków V \ S, nie przekracza liczby

wierzchołków w zbiorze S dla kadego wyboru S⊆ V.

Skojarzenie pełne wzgldem zbioru V1 (lub V2) w grafie

dwudzielnym G = (V1∪V2, E) = takie skojarzenie, wzgldem którego

wszystkie wierzchołki v ∈ V1 (lub v ∈ V2) s nasycone.

Warunek konieczny i dostateczny istnienia skojarzenia pełnego

wzgldem V1:

• w grafie dwudzielnym istnieje skojarzenie pełne wzgldem

zbioru V1 wtedy i tylko wtedy, kiedy zbiór takich wierzchołków

v2 ∈ V2 , dla których istnieje w zbiorze S⊆ V1 co najmniej jeden

wierzchołek ssiedni, liczy co najmniej tyle samo elementów co

zbiór S dla kadego wyboru S⊆ V1.



Graf jest k-barwny , jeli mona prawidłowo pokolorowa jego

wierzchołki, tzn. kademu wierzchołkowi mona przyporzdkowa

jeden z k kolorów w taki sposób, e wierzchołki ssiednie maj róne

kolory.

Liczba chromatyczna grafu χ (G) = najmniejsza liczba naturalna k,

dla której graf ten jest k-barwny.

Ile barw potrzeba do prawidłowego pokolorowania grafu?

• kady graf planarny jest czterobarwny,

• kady graf planarny, który nie zawiera podgrafu izomorficznego

z K3, jest trzybarwny,

• graf jest dwubarwny wtedy i tylko wtedy, kiedy nie zawiera

cykli o nieparzystej długoci,

• kade drzewo jest dwubarwne,

• kady graf dwudzielny jest dwubarwny,

• graf pełny nK jest n-barwny.

1 / 12

ZEBRANE ZADANIA DOMOWE Z KOMBINATORYKI

Zadanie 1

Wyznacz warto wyraenia =

=−=7

1

0mod )1()(k

k

n

knnF , dla n = 7.

Zadanie 2 Wyznacz warto wyraenia (−6) mod 4.

Zadanie 3 Wyznacz warto wyraenia 6 mod (−4).

Zadanie 4 W zbiorze X = 1, 2, 3, 4, 5 zdefiniowano relacje binarne za pomoc tabel:

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 02 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 13 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 3 0 0 0 0 0 3 1 0 1 0 1 3 0 1 1 0 14 0 0 0 1 0 4 0 1 0 1 0 4 1 1 0 1 1 4 0 1 1 1 0 4 0 0 0 1 05 1 0 0 0 1 , 5 1 0 1 0 1 , 5 1 1 0 1 1 , 5 1 0 1 0 1 , 5 0 1 0 0 1 .

Zbadaj dla kadej z nich, czy zdefiniowana relacja jest zwrotna, przechodnia, symetryczna, antysymetryczna. Narysuj graf dla kadej z relacji.


1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 0 0 0 03 0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 04 0 1 0 1 0 4 0 0 1 0 0 4 0 0 1 1 1 4 0 0 0 1 15 0 0 0 0 1 , 5 0 0 0 0 1 , 5 0 0 0 0 1 , 5 0 0 0 0 0 .

Dopełnij kad z tablic relacji minimaln liczb jedynek tak, aby stała si ona tablic relacji porzdku w zbiorze X. Uzasadniaj dodanie kadej jedynki.


1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 02 0 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 03 0 0 1 1 0 3 0 0 1 0 0 3 0 1 1 1 04 0 1 1 1 0 4 0 1 0 1 1 4 0 0 1 1 05 1 0 0 0 1 , 5 1 1 0 1 1 , 5 0 0 0 0 1 .

Dopełnij kad z tablic relacji minimaln liczb jedynek tak, aby stała si ona tablic relacji równowanoci w zbiorze X. Uzasadniaj dodanie kadej jedynki.

Zadanie 7 Ile rónych relacji mona zdefiniowa w iloczynie kartezjaskim A×B, jeli |A| = m i |B| = n? Ile mona zdefiniowa relacji zwrotnych, a ile symetrycznych? Relacja R jest okrelona w zbiorze liczb rzeczywistych R : xRy ⇔ | x + y | ≤ 1. Zbadaj, czy relacja R jest zwrotna, przechodnia, symetryczna, antysymetryczna i czy jest funkcj. Odpowiedzi dokładnie uzasadnij! Zaznacz w układzie współrzdnych kartezjaskich zbiór punktów, których współrzdne tworz pary w podanej relacji R.

Zadanie 8 Ile rónych nazw składajcych si z 3 znaków mona utworzy z 10 cyfr arabskich i 26 liter alfabetu łaciskiego, jeli nazwa musi zaczyna si liter?

2 / 12

Zadanie 9 Ile liczb naturalnych z przedziału otwartego (100, 1000) mona zapisa cyframi nieparzystymi?

Zadanie 10 Ile liczb naturalnych 5 cyfrowych nie mniejszych od 10000 składa si z cyfr 0, 2, 4, 6?

Zadanie 11 Numer rejestracyjny składa si z 3 liter wybieranych ze zbioru W, A, R, S, Z i nastpujcych po nich 2 cyfr wybieranych ze zbioru 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. W numerze rejestracyjnym cyfry mog sipowtarza, ale litery nie. Ile rónych numerów rejestracyjnych mona utworzy według powyszych reguł?

Zadanie 12 Ile rónych kodów składajcych si z 5 znaków mona utworzy z 10 cyfr arabskich i 26 wielkich liter alfabetu łaciskiego, jeli kod musi zaczyna si dwiema rónymi cyframi i koczy liter oraz jeli na trzeciej i czwartej pozycji moe by zarówno cyfra jak i litera, ale nie moe powtórzy si ta sama litera?

Zadanie 13 Mamy do dyspozycji zbiór znaków składajcy si z 26 liter i 10 cyfr oraz tablic 3×3 o 9 polach.

Na ile sposobów mona wypełni tablic znakami, jeli musz by spełnione dwa warunki: • jeden z wierszy zawiera wyłcznie cyfry, a dwa pozostałe wyłcznie litery, • w kadym wierszu wszystkie znaki s róne.

Zadanie 14 Na ile sposobów mona przydzieli 5 ponumerowanych procesów do wykonania 3 ponumerowanym procesorom, jeli procesy s wykonywane przez procesor zawsze w całoci i naley okreli kolejnowykonywania procesów dla procesora, któremu przydzielono wicej ni jeden proces.

Zadanie 15 Plan produkcji wymaga podania stanowiska montaowego dla kadego urzdzenia i wskazania kolejnoci montowania urzdze na kadym ze stanowisk. Których planów produkcji jest wicej i ile razy: planów montowania 4 urzdze na 6 stanowiskach, czy planów montowania 6 urzdze na 4 stanowiskach.

Zadanie 16 Dla dwóch permutacji

=

5411108127914326113

1413121110987654321f i

=

3210912871156114134

1413121110987654321g

rozłó na rozłczne cykle permutacj h = f −1g−1 , wyznacz typ i znak tej permutacji.


=

9117421016514131511126738

1716151413121110987654321f i

=

1291118172134316101456157

1716151413121110987654321g

rozłó na rozłczne cykle permutacj ( ) 1−= gfh , wyznacz typ i znak sgn(h) tej permutacji.

Zadanie 18 Okrel znak permutacji f −1, jeli wiadomo, e permutacja f jest typu 12233142. Dokładnie uzasadnij odpowied.

Zadanie 19 Na ile sposobów mona wyklei na cianie kwadrat majc do dyspozycji 25 rónokolorowych kafelków?

3 / 12

Zadanie 20 Ile jest permutacji f zbioru siedmioelementowego, dla których f (4) = 4 ?

Zadanie 21 Na ile sposobów mona ułoy litery a, b, c, d, e, f w cig, tak aby litery a, b były obok siebie.

Zadanie 22 Dla podanych 3 podzbiorów zbioru X = a, b, c, d, e, f, g, h wyznacz wektory charakterystyczne ξ(Ai) i podaj jakie liczby dziesitne z zakresu 0÷255 mog reprezentowa te podzbiory: A1 = b, d, h, A2 = a, c, e, h, A3 = d, e, f .

Zadanie 23 Jakie podzbiory zbioru X = a, b, c, d, e, f, g s wskazywane przez liczby 24, 37 i 71? Podaj wektory charakterystyczne dla tych podzbiorów.

Zadanie 24 Wypisz wszystkie podzbiory zbioru a, b, c, d, wraz z ich wektorami charakterystycznymi, w kolejnoci zadanej kodem Graya.

Zadanie 25 Do pracy zgłosiło si 16 tłumaczy znajcych jzyki rosyjski, hiszpaski lub angielski: 12 z nich znało jzyk rosyjski, 15 znało hiszpaski, a jzyk angielski znało tyle samo tłumaczy, co rosyjski i hiszpaski jednoczenie. Ilu z nich znało jzyki hiszpaski i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeli wiadomo, e 8 znało rosyjski i angielski?

Zadanie 26 Do pracy zgłosiło si 22 tłumaczy: 13 z nich znało jzyk francuski, 14 znało włoski, jzyk niemiecki znało tyle samo tłumaczy, co francuski i włoski jednoczenie, 6 z tłumaczy znało francuski i niemiecki a 4 z tłumaczy znało jzyki włoski i niemiecki, ale nie znało francuskiego. Ilu tłumaczy nie znało ani jednego z wymienionych jzyków?

Zadanie 27

Oblicz ile wynosi współczynnik liczbowy przy wyrazie x4⋅y3 w rozwiniciu dwumianu ( )72yx − .

Zadanie 28

Ile jest najkrótszych dróg na podanym planie miasta: A

BC

, które prowadz z punktu A do B, ale nie przechodz przez punkt C? Posłu si współczynnikami dwumianowymi.

Zadanie 29


B

CD

, które prowadz z punktu A do B i przechodz przez oba punkty C i D? Posłu si współczynnikami dwumianowymi.

Zadanie 30


B

, które prowadz z punktu A do B? Posłu si współczynnikami dwumianowymi.

Zadanie 31 Ile rónych liczb 7 cyfrowych mona utworzy, zapisujc w dowolnej kolejnoci 7 cyfr 8, 8, 8, 8, 5, 5 i 2 ?

4 / 12

Zadanie 32 Łacuch RNA to sekwencja zasad amonowych czterech rodzajów oznaczanych symbolami C, G, U i A. Ile łacuchów moe powsta jako sekwencja 12 zasad, jeli wiadomo, e kady z nich składa si z 4 zasad C, 3 zasad G, 3 zasad U i 2 zasad A, oraz zaczyna si sekwencj CCA, a koczy GUC?

Zadanie 33 Wyznacz liczb nieujemnych rozwiza całkowitoliczbowych dla równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 12, w których x3 = 2.

Zadanie 34 Wyznacz dla równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 19 liczb nieujemnych rozwiza całkowitoliczbowych, w których x1 ≥ 2, x2 ≥ 1, x3 = 2, x4 ≥ 3, x5 > 2. Wskazówka: trzeba wykona podstawienie zmiennych.

Zadanie 35 Ile jest nieujemnych i całkowitych rozwiza nierównoci x1 + x2 + x3 + x4 6, które spełniaj warunki: x1 > 0 i x1 parzyste, x2 ∈ 0, 1, x3 podzielne przez 3 oraz x4 2. Wskazówka: trzeba wyznaczy funkcj tworzc.

Zadanie 36 Dla zbioru z powtórzeniami X = < 3∗a, 2∗b, 5∗c > skonstruuj funkcj tworzc dla cigu liczb podzbiorów k-elementowych, w których kady z elementów a, b i c wystpuje nieparzyst liczb razy. Ile takich podzbiorów zawiera ponad 5 elementów?

Zadanie 37 Dla zbioru z powtórzeniami X = < 3∗a, 4∗b, 2∗c, 3∗d > rozwa podzbiory, w których kady z elementów a, b, c i d nie wystpuje lub wystpuje parzyst liczb razy. Ile takich podzbiorów zawiera 6 lub 8 elementów?

Zadanie 38 W barze sałatkowym pozostały 2 porcje fasolki, 2 porcje kiełków i 2 porcja ananasa. Kada porcja kosztuje 50 gr. Ile rónych sałatek mona zmiesza za dokładnie 1 zł i 50 gr?

Zadanie 39 Na ile sposobów mona podzieli zbiór 6 elementowy na 3 bloki? Wyprowad odpowied z własnoci rekurencyjnej.

Zadanie 40 Na ile sposobów mona podzieli zbiór cyfr 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 na 4 bloki tak, aby cyfry parzyste były razem w tym samym bloku? Wyprowad odpowied z własnoci rekurencyjnej.

Zadanie 41 Narysuj tablic dla relacji równowanoci, która jest zwizana z podziałem zbioru X=a, b, c, d, e na dwa bloki: a, c, d i b, e?

Zadanie 42 Na ile sposobów mona przydzieli 9 ponumerowanych procesów 4 ponumerowanym procesorom tak, e pierwsze dwa procesy bd wykonane na pierwszym procesorze? Przydzieli trzeba wszystkie procesy, aden z procesorów nie moe pozosta bezczynny i kady proces bdzie w całoci wykonany na jednym procesorze.

Zadanie 43 Jaki podział i na ile bloków odpowiada funkcji f : X → Y okrelonej w nastpujcy sposób: f (x) = x mod 3, dla X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i Y = 0, 1, 2. Ile jest w tym przypadku wszystkich surjekcji f : X → Y ?

Zadanie 44 Dla jakiej liczby cig 5, 5, 2, 1 jest podziałem. Wyznacz dla niego podział sprzony i dla obu tych podziałów narysuj diagram Ferrersa. Czy dla danej liczby naturalnej wikszej od 10, podziałów na 5 składników jest wicej, czy mniej ni podziałów o najwikszym składniku równym 5? Odpowied uzasadnij.

5 / 12

Zadanie 45 Na ile sposobów mona podzieli liczb 11 na 3 składniki? Wyprowad odpowied z własnoci rekurencyjnej.

Zadanie 46 Na ile sposobów mona rozdzieli 8 jednakowych procesów pomidzy 4 jednakowe procesory tak, aby na jednym z nich zostały wykonane 3 procesy? Rozdzieli trzeba wszystkie procesy, aden z procesorów nie moe pozosta bezczynny i kady proces musi by w całoci wykonany na jednym procesorze.

Zadanie 47 Sprawdzi zwrotno, symetri, antysymetri i przechodnio relacji okrelonych nastpujcymi tabelami:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Zadanie 48 Uzupełni tabele minimaln liczb jedynek tak, aby definiowały relacje równowanoci:

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Zadanie 49 Uzupełni tabele minimaln liczb jedynek tak, aby definiowały relacje porzdku:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

Zadanie 50 Sprawdzi, czy podane tabele definiuj funkcje 5,..16,..,1: →f (pierwsza kolumna oznacza dziedzin, a pierwszy wiersz przeciwdziedzin funkcji).

f 1 2 3 4 5

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

f 1 2 3 4 5

1 1

2 1

3 1

4 1

5

6 1

f 1 2 3 4 5

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1 1

6 1

6 / 12

Zadanie 51 Obliczy liczb wszystkich relacji: a) symetrycznych, b) antysymetrycznych w zbiorze 1, 2, 3, 4, 5 (take w ogólnym przypadku w zbiorze1, 2, ...., n).

Zadanie 52 Obliczy liczb wszystkich relacji: a) symetrycznych, b) antysymetrycznych w zbiorze 1, 2, 3, 4, 5, które zawieraj relacj )2,4(),5,3(),3,1(),4,4(),2,2(),1,1(=R .

Zadanie 53 Ile jest wszystkich funkcji okrelonych na zbiorze ,,,,,, cbacbba o wartociach w zbiorze

4,3,2,2,1 ?

Zadanie 54 Ile jest funkcji rónowartociowych okrelonych na zbiorze 1,...,10 w ten sam zbiór?

Ile sporód tych funkcji w punkcie 2 przyjmuje warto 4, natomiast w punkcie 6 przyjmuje warto 9?

Zadanie 55 W pewnej firmie jest 5 działów. Do pracy przyjto 8 nowych pracowników. Na ile sposobów mona ich przydzieli do działów, jeeli:

a) nie nakładamy adnych ogranicze na przydział? b) do 1. działu nie trafiła adna osoba? c) do 3. działu trafiła przynajmniej jedna osoba? d) do 1. działu trafiły dokładnie 4 osoby?

Zadanie 56 W firmie jest 8 działów. Przyjto 5 nowych pracowników i przydzielono ich do działów pojedynczo. Na ile sposobów mona ich przydzieli:

a) bez adnych dodatkowych załoe? b) jeli Kowalski ma si znale w dziale A lub B? c) jeli, ani Kowalski, ani Iksiski nie trafiaj do działu A?

Zadanie 57 Dany jest zbiór liczba naturalnych 1,...15. Na ile sposobów moemy wybra 6-elementowy podzbiór tak, aby zawierał liczby 8 i 15. Na ile sposobów moemy wybra tak, aby zawierał 8, lecz nie zawierał 15?

Zadanie 58 Grup 12 pracowników postanowiono podzieli na 2 zespoły. Na ile sposobów mona to zrobi, jeli:

a) jeden zespół ma mie 7 pracowników, a drugi 5? b) obydwa maj mie po 6 pracowników? c) obydwa maj mie po 6 pracowników oraz Kowalski i Iksiski musz trafi do rónych zespołów?

Zadanie 59 Znale liczb permutacji zbioru 1...12 takich, e:

a) 1, 2, 3 stoj obok siebie. b) 1, 2 lub 4,5 stoj obok siebie (wskazówka: jest to suma permutacji takich, e 1, 2 stoj obok siebie ze

zbiorem permutacji takich, e 4 i 5 stoj obok siebie; moc sumy liczymy sumujc moce tych dwóch zbiorów i odejmujc moc czci wspólnej).

Zadanie 60 Dany jest rzd szesnastu krzeseł, na których posadzono 16 osób. Wród tych 16 osób jest 4-osobowa rodzina oraz drugie małestwo. Obliczy liczb takich rozmieszcze, e:

a) członkowie 4 –osobowej rodziny siedz obok siebie. b) przynajmniej jedna para małonków bdzie siedziała obok siebie.

Zadanie 61 Na karuzeli jest 8 siedze. Na ile sposobów moe na niej usi 8 osób?

7 / 12

Zadanie 62 W kolejce do 3 okienek stoi 10 osób.

a) Ile jest wszystkich ustawie? b) Ile jest ustawie takich, e do 1. okienka nikt si nie zgłosił? c) Ile jest ustawie takich, e przy 1.okienku jest 5 osób?

Zadanie 63 W pewnej miejscowoci mieszka 1845 osób. Udowodni, e co najmniej 6 z nich ma urodziny tego samego dnia roku.

Zadanie 64 Dana jest grupa miliona obywateli RP, o majtku liczonym w pełnych złotych wynoszcym co najwyej 90 000 złotych. Udowodni, i co najmniej 12 sporód nich dysponuje t sam wielkoci majtku.

Zadanie 65

Dany jest zbiór funkcji 5..14..1: →f . Udowodni, e wród tych funkcji istnieje co najmniej 21 posiadajcych ten sam zbiór wartoci funkcji.

Zadanie 66 Obliczy liczb najkrótszych dróg z A do B, w nastpujcych obszarach:

B

A B

A B

A Wskazówka: w pierwszym obszarze jest to suma zbiorów dróg przechodzcych przez punkty łczce kwadraty ; w obszarze drugim naley usun ze zbioru wszystkich dróg idcych z A do B, wszystkie drogi przechodzce przez jeden z trzech punktów znajdujcych si w rzdzie powyej istniejcego (suma zbiorów dróg przechodzcych przez te punkty); w obszarze trzecim ze zbioru wszystkich dróg Za do B, usuwamy sum zbiorów dróg przechodzcych bd przez dwa odcinki poziome bd przez odcinek pionowy; naley pamita, i w kadym z przykładów sumujemy zbiory, które nie s rozłczne.

8 / 12

Zadanie 67 Dzieci zrobiły łacuch na choink z 5 kawałków niebieskiego, 6 kawałków czerwonego, 7 kawałków ółtego, 5 kawałków zielonego oraz 6 kawałków srebrzystego papieru. Na kocu łacucha przyczepiły gwiazd.

a) Na ile sposobów mogły utworzy łacuch, przy załoeniu, e na pocztku i kocu był kolor czerwony.

b) Na ile sposobów mona utworzy, jeli wiadomo, e pocztku lub na kocu był kolor czerwony. c) Na ile sposobów mona utworzy, jeli wiadomo, e pocztku lub na kocu nie było koloru

czerwonego.

Zadanie 68 Znajd liczb rozwiza całkowitoliczbowych nierównoci:

a) .42 , 63 , enieparzyst , parzyste gdzie 8 43214321 ≤≤≤≤≤+++ xxxxxxxx

b) .3 , 2,4 , 1,0 , enieparzyst gdzie 9 54321521 =+∈∈≤+++ xxxxxxxx

Zadanie 69 Na talerzach ółtym, czerwonym, zielonym i czarnym rozmieszczono 16 jednakowych morelek. Na ile sposobów mona to zrobi, jeeli wiadomo, e:

a) Wszystkie talerze były zajte. b) Dokładnie jeden talerz był pusty. c) Na ółtym talerzu znalazły si 4 morelki.

Zadanie 70 Pan Kowalski postanowił kupi kilka psów. Udał si wic do hodowcy, który miał do sprzedania 3 szczeniaczki foksterierów, 4 wyły, 3 cocker spaniele i 4 sznaucery. Na ile sposobów pan Kowalski mógł wybra psy, jeli postanowił kupi:

a) trzy psy? b) cztery psy?

Pan Kowalski rozrónia psy tylko ze wzgldu na ras.

Zadanie 71 W trzech jednakowych pudełkach zostało rozmieszczonych 10 jednakowych klocków. Obliczy ile jest wszystkich rozmieszcze, jeli wiemy, e adne pudełko nie jest puste.

Zadanie 72 Do czterech zespołów przyjto 12 nowych pracowników. Na ile sposobów mona to zrobi, jeli:

a) Kady zespół ma zosta wzmocniony? b) Do zespołu nr 1 trafiaj 4 nowe osoby? c) Do zespołu nr 1 trafiaj 4 nowe osoby i pozostałe zespoły te musz by wzmocnione?

Zadanie 73 Na wycieczk trzema jednakowymi autokarami ma jecha grupa osób. W dniu odjazdu na pocztku pojawiło si 12 osób. Na ile sposobów pocztkowa grupa moe si rozlokowa w autokarach?

Zadanie 74 Na piciu stanowiskach pracowało 5 szwaczek, szyjcych jednakowe pidamy. Ile moliwych wyników wykonania planu mona im przyporzdkowa, jeli wiadomo, e uszyły danego dnia 21 pidam i kada uszyła co najmniej jedn pidam?

Zadanie 75 Trzynastu ufoludków postanowiło wybra si w podró midzygalaktyczn jednakowymi statkami kosmicznymi. Na ile sposobów mog wsi do statków, jeli wiadomo, ze najliczniejsza załoga liczy piciu członków, a ufoludki uwaamy za nierozrónialne?

Zadanie 76 Na ile sposobów mona podzieli 14-osobow grup na 3 podgrupy, z których jedna liczy 6 osób, a dwie pozostałe po 4 osoby?

Zadanie 77 Babcia ugotowała kompot z 15 jednakowych liwek, który rozlała do 4 jednakowych słoików. Ile jest rozmieszcze liwek w słoikach, jeli w kadym musz by co najmniej 2 liwki?

9 / 12

Zadanie 78 Na kurs jzyka francuskiego zgłosiło si 11 osób, które maj dołczy do trzech istniejcych grup, odbywajcych zajcia w rónych terminach. W jaki sposób mona ich przydzieli tak, aby :

a) Do kadej z grup trafiła przynajmniej jedna osoba? b) Nowe osoby trafiły do dokładnie dwóch grup?

Pomoc do obliczania podziałów liczby: 1)1,( =−nnP oraz 2)2,( nnP = .

Zadanie 79 Niech A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i B = 3, 6, 9. Dla tych zbiorów znajd:

a) (A \ B) ∪ B b) A ⊗ B c) A \ (A ⊗ B).

Zadanie 80 Podaj przykłady takich zbiorów A i B, e

a) (A \ B) ∪ B = A b) A ⊗ B = A c) A \ (A ⊗ B) = ∅

Zadanie 81 Obliczy dla n = 8 warto

Σ

(–1)nk k | n

k=1

Zadanie 82 Sprawd zwizki:

n = n2 +

n+12 , n ∈ Z

n = n2 +

n+12 , n ∈ Z

Zadanie 83 W zbiorze A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 okrelono relacj: x R y ⇔ 5 | x3 – y3. Sprawd, czy jest to relacja zwrotna, przechodnia, symetryczna, antysymetryczna, czy jest relacj

równowanoci i czy jest funkcj. Narysuj graf relacji.

Zadanie 84 W zbiorze A = 2, 4, 5, 16, 25, 125 okrelono relacj: x R y ⇔ istnieje liczba naturalna k taka, e y = xk. Sprawd, czy jest to relacja zwrotna, przechodnia, symetryczna, antysymetryczna, czy jest relacj

czciowego porzdku. Narysuj graf relacji.

Zadanie 85 Relacja R jest okrelona w zbiorze X = 1, 2, 3, 4, 5. Nastpujce pary nale do relacji: (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (4, 4), (4, 5). Czy tak okrelona relacja jest relacj czciowego porzdku? Jeli nie jest, to uzupełnij j przez dodanie jak najmniejszej liczby par (m, n) tak, aby była relacj czciowego porzdku.

Zadanie 86 Rozpatrz czterocyfrowe liczby utworzone z cyfr nieparzystych. Ile jest takich liczb, e

a) wszystkie cyfry s róne? b) cyfra 1 wystpuje w takiej liczbie co najmniej raz?

Zadanie 87 Na ile sposobów mona ustawi litery a, b, c, d, e, f w takiej kolejnoci, by litery a i b ssiadowały ze sob?

7

10 / 12

Zadanie 88 Ile jest liczb czterocyfrowych, w których:

a) wszystkie cyfry s róne? b) nie wystpuj cyfry 1, 2, 5, za cyfry 0, 3 wystpuj?

Zadanie 89 Numer rejestracyjny składa si z 2 liter wybieranych ze zbioru B, C, D, E, F, nastpujcych po nich 4 cyfr wybieranych ze zbioru 0, 1, 2, 3, 4, 5 i jednej litery na kocu ze zbioru B, C, D, E, F. W numerze rejestracyjnym litery mog si powtarza, ale cyfry nie. Ile mona utworzy rónych numerów rejestracyjnych, w których wystpi co najmniej raz litera B?

Zadanie 90 Ile jest permutacji f zbioru omioelementowego, dla których f(5) = 1?


1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f = g =

7 8 5 2 9 3 4 1 6 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a) wyznacz ich złoenie f g b) wyznacz permutacje odwrotne c) rozłó je na cykle i okrel ich typ d) wyznacz znak permutacji f g, sprawd prawdziwo wzoru sgn(fg) = sgn(f) · sgn(g)

Zadanie 92 Wyznacz znak permutacji przy pomocy wzoru, wykorzystujcego liczb cyklów o długoci parzystej:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f =

14 7 10 6 5 8 15 13 2 1 12 3 4 11 9

Zadanie 93 Na ile sposobów moe 8 osób wysi na trzech pitrach z windy, jeeli uwzgldniamy kolejnowysiadania?

Zadanie 94 Do zdania egzaminu potrzeba wicej ni 50% punktów. Tworzymy dwie listy – tych osób, które zdały egzamin i tych, które nie zdały, w kolejnoci otrzymanych punktów. Wiedzc, e w grupie 10 studentów aden wynik nie powtórzył si, oblicz ile jest moliwych rozmieszcze tych 10 osób na dwóch listach.

Zadanie 95 Oblicz ilo rónych harmonogramów wykonywania piciu programów na trzech procesorach oraz ilo

rónych harmonogramów wykonywania trzech programów na piciu procesorach. Jeden program przyporzdkowujemy tylko jednemu procesorowi. Za róne uwaamy harmonogramy, w których inny jest przydział programów do procesorów lub inna jest kolejno ich wykonywania. Która z obliczonych liczb jest wiksza i ile razy?

Zadanie 96 Ile jest permutacji 10-elementowych, w których przy rozkładzie na cykle rozłczne wystpi cykl 9-elementowy?

Zadanie 97 Oblicz ile wynosi współczynnik liczbowy przy wyrazie x2 y5 w rozwiniciu dwumianu (x – 2y)7 .

Zadanie 98 Na ile sposobów mona wybra z 20 osób 3 rozłczne zespoły liczce odpowiednio 3, 5 i 7 członków?

Zadanie 99 Ile jest najkrótszych dróg z punktu A do B na podanym planie miasta, które nie przechodz przez punkt C?

C

A•

•• B

11 / 12

Zadanie 100 Ile rónych liczb 7 cyfrowych mona utworzy, zapisujc w dowolnej kolejnoci 7 cyfr: 8, 8, 8, 8, 5, 5, 2?

Zadanie 101 Wyka tosamo:

Σ (-1)rn

r = 0 n ∈ N, n > 0

Zadanie 102 Ile jest rosncych cigów czterocyfrowych o moliwych wartociach 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Zadanie 103 Ile rozwiza ma równanie: x1 + x2 + x3 + x4 = 10, gdzie kada liczba xi jest całkowita dodatnia?

Zadanie 104 Wyznacz liczb nieujemnych rozwiza całkowitoliczbowych dla równania x1 + x2 + x3 + x4 = 9 takich, e

x1 ≥ 2 i x2 ≥ 2.

Zadanie 105 Z grupy kart zawierajcej 3 piki, 4 trefle, 5 kar, 6 kierów losujemy:

a) 3 karty b) 4 karty c) 15 kart

Ile jest moliwych wyborów? (2 wybory uwaamy za róne, jeli róni si ilociami kart poszczególnych kolorów).

Zadanie 106 Iloma sposobami mona rozmieci 10 nierozrónialnych kulek w piciu rozrónialnych torbach, jeli chcemy eby do kadej torby trafiła co najmniej jedna kulka?

Zadanie 107 Wyznacz liczb rozwiza całkowitoliczbowych równania: x1 + x2 + x3 + x4 = 9, takich, e 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x3 ≤ 1, x4 ≥ 0.

Zadanie 108 Dla zbioru z powtórzeniami x = < 4∗a, 2∗b, 5∗c > rozwa podzbiory, w których kady z elementów a, b, c wystpuje co najmniej raz, ale nie wicej ni trzy razy. Ile jest takich podzbiorów?

Zadanie 109 Z grupy kart zawierajcej 4 asy, 4 króle, 4 damy i 3 walety wybieramy 4 karty. Ile jest moliwych wyborów? (Rozróniamy tylko iloci poszczególnych figur).

Zadanie 110 Oblicz ilo rozwiza całkowitoliczbowych nieujemnych równania x1 + x2 + x3 + x4 = 10, zawierajcych tylko liczby parzyste (uwaga: 0 jest liczb parzyst).

Zadanie 111 Z egzaminu mona uzyska oceny: 2, 3, 4, 5. Grup 10 studentów dzielimy na cztery grupy według ocen z egzaminu. Wiedzc, e w kadej grupie znalazł si co najmniej jeden student, oblicz ile jest moliwych takich podziałów. Uyj odpowiedniej własnoci rekurencyjnej oraz nastpujcych wartoci: 9 9 = 3025 i = 7770.

3 4

Zadanie 112 Z grupy kart zawierajcej 3 piki, 4 trefle, 5 kar, 6 kierów losujemy 3 karty. Ile jest moliwych wyborów? (2 wybory uwaamy za róne jeli róni si ilociami kart poszczególnych kolorów).

Zadanie 113 Wyznacz liczb rozwiza całkowitoliczbowych równania: x1 + x2 + x3 + x4 = 9, takich, e 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x3 ≤ 1, x4 ≥ 0.

n

r =0

12 / 12

Zadanie 114 Dla zbioru z powtórzeniami X = < 4*a, 3*b, 5*c > rozwa podzbiory, w których kady z elementów a, b, c wystpuje co najmniej raz, ale nie wicej ni trzy razy. Ile takich podzbiorów zawiera parzyst liczb elementów?

Zadanie 115 Z grupy kart zawierajcej 2 asy, 2 króle, 2 damy i 2 walety wybieramy 5 kart. Ile jest moliwych wyborów? Rozróniamy tylko iloci poszczególnych figur.

Zadanie 116 Oblicz ilo rozwiza całkowitoliczbowych nierównoci: x1 + x2 + x3 ≤ 6, takich e x1 > 1, x2 < 2, 2 < x3 < 5. Zbuduj funkcj tworzc.

Zadanie 117 Na ile sposobów mona rozmieci 7 piłeczek w piciu pudełkach, jeli:

a) Pudełka s ponumerowane, ale piłeczki nierozrónialne? b) Pudełka i piłeczki s rozrónialne, ale chcemy, eby w kadym pudelku znalazła si co najmniej

jedna piłeczka?

1 / 11

ZEBRANE ZADANIA DOMOWE Z TEORII GRAFÓW

Zadanie 1

Dana jest macierz ssiedztwa pewnego grafu nieskierowanego o postaci:

001110

000101

100010

110000

101001

010010

6

5

4

3

2

1

654321

Na podstawie tej macierzy: a. oblicz stopnie wierzchołków grafu, b. oblicz liczb krawdzi, c. narysuj graf.

Zadanie 2 Dla grafu z Zadania 1 narysuj graf bdcy jego dopełnieniem.

Zadanie 3 Na rysunku grafu z Zadania 1 oznacz w wybrany przez siebie sposób krawdzie grafu i wyznacz macierz incydencji oraz narysuj graf krawdziowy dla tego grafu.

Zadanie 4 Dla grafu z Zadania 1 narysuj:

a. dwa przykładowe podgrafy o zbiorze wierzchołków V1=1, 2, 3, 6, które nie s podgrafami indukowanymi przez zbiór V1,

b. podgraf indukowany przez zbiór V1.

Zadanie 5

Dana jest macierz ssiedztwa pewnego grafu skierowanego o postaci:

010010

101101

010010

010000

101001

010010

6

5

4

3

2

1

654321

Na podstawie tej macierzy: a. oblicz stopnie wyjciowe i wejciowe wierzchołków grafu, b. oblicz liczb łuków, c. narysuj graf.

Zadanie 6 Narysuj graf pochodny dla grafu z zadania 5.

Zadanie 7 Graf nieskierowany G1 ma cig stopni wierzchołków postaci (6, 5, 4, 5, 5, 6, 3), natomiast graf G2 postaci (6, 5, 4, 5, 5, 4, 5). Czy grafy te mog by izomorficzne? Odpowied uzasadnij opierajc si na definicji izomorfizmu grafów.

Zadanie 8 Zbadaj izomorficzno podanych par grafów.

a.

1

5

4

2

6 7

3

1

6

5

7

4 3

2

2 / 11

b.

Zadanie 9 Zbadaj, które pary grafów s izomorficzne wród czterech podanych:

Zadanie 10 Skonstruuj graf (nieskierowany) o 4 wierzchołkach, który jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem. Udowodnij izomorfizm tej pary grafów. Narysuj i opisz macierzami incydencji oba grafy. Znajd zwizek pomidzy wyznaczonymi macierzami incydencji.

Zadanie 11 Skonstruuj graf (nieskierowany) o 5 wierzchołkach, który jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem. Udowodnij izomorfizm tej pary grafów. Narysuj i opisz macierzami incydencji oba grafy. Znajd zwizek pomidzy wyznaczonymi macierzami incydencji.

Zadanie 12 Skonstruuj graf (nieskierowany) o 4 wierzchołkach, który jest izomorficzny ze swoim grafem krawdziowym. Udowodnij izomorfizm tej pary grafów. Narysuj i opisz macierzami ssiedztwa oba grafy. Znajd zwizek pomidzy wyznaczonymi macierzami ssiedztwa.

Zadanie 13 Skonstruuj graf (nieskierowany) o 5 wierzchołkach, który jest izomorficzny ze swoim grafem krawdziowym. Udowodnij izomorfizm tej pary grafów. Narysuj i opisz macierzami ssiedztwa oba grafy. Znajd zwizek pomidzy wyznaczonymi macierzami ssiedztwa.

Zadanie 14 Skonstruuj graf skierowany o 4 wierzchołkach, który jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem. Udowodnij izomorfizm tej pary grafów. Narysuj i opisz macierzami incydencji oba grafy. Znajd zwizek pomidzy wyznaczonymi macierzami incydencji.

Zadanie 15 Dla grafu skierowanego

(1, 2, 3, 4, 5, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 3), (5, 3), (5, 4)) utwórz graf pochodny. Dla obu grafów wyznacz macierze incydencji i ssiedztwa oraz stopnie wierzchołków. W obu grafach wyznacz stopnie wierzchołków wzgldem zbioru 1, 3, 4.

2

1 3

7

6 5

4

9

1 2

7

6 8

5 9

4 3

8

1

6

4

2

5

3

1

6

5

4 3

2

1

54

2

6

3

1

54

2

6

3

3 / 11

Zadanie 16 Narysuj graf relacji binarnej P na zbiorze V = 2, 3, 4, 5, 6, 7 zdefiniowanej nastpujco: i P j dla i, j ∈ V ⇔ NWD(i, j) = 1 (NWD oznacza najwikszy wspólny dzielnik). Graf pochodny dla tego grafu opisz macierzami incydencji i ssiedztwa. Wyznacz stopnie wierzchołków w grafie relacji i jego grafie pochodnym. Wyznacz take stopnie wierzchołków wzgldem zbioru liczb pierwszych zawartych w V.

Zadanie 17

Zbadaj spójno i siln spójno grafu o macierzy ssiedztwa

010000

001001

100000

001010

101000

000100

.

Zadanie 18 Dany jest graf nieskierowany, którego stopnie wierzchołków tworz cig (5, 6, 5, 6, 5, 6, 5, 6). Oblicz liczb krawdzi tego grafu i sprawd jego spójno.

Zadanie 19 Dany jest graf nieskierowany, którego stopnie wierzchołków tworz cig (3, 2, 3, 7, 3, 3, 2, 5). Zbadaj spójno tego grafu.

Zadanie 20 Dany jest graf nieskierowany o 10 wierzchołkach i minimalnym stopniu wierzchołka równym 5. Udowodnij, e taki graf jest spójny. Udowodnij w ogólnym przypadku, e graf o n wierzchołkach i minimalnym stopniu wierzchołka nie mniejszym od n/2 jest spójny.

Zadanie 21 Dany jest graf skierowany bez ptli o 13 wierzchołkach, dla których zarówno stopnie wyjciowe jak i wejciowe wynosz co najmniej 6. Udowodnij, e graf jest silnie spójny.

Zadanie 22 Dla których z wymienionych liczb krawdzi: 30, 36, 42, 48, istnieje graf spójny o 10 wierzchołkach?

Zadanie 23 Czy istnieje graf spójny o co najmniej dwóch wierzchołkach, w którym stopnie wierzchołków tworz cig kolejnych liczb naturalnych? Odpowied uzasadnij.

Zadanie 24 Narysuj graf o 9 wierzchołkach i 4 składowych spójnych, który ma:

a) 5 krawdzi, b) 15 krawdzi.

Zadanie 25

W podanych grafach:

1

2

3

4

56

7

,

1

2

3

4

5

6

7

8

,

1

2

3

4

56

7

, metodami przegldu grafu wszerz i przegldu w głb wyznacz cigi wierzchołków, które zaczynaj si od wierzchołka: a) 1, b) 4, c) 7.

4 / 11

Zadanie 26 Sprawd, czy podane grafy s planarne:

Zadanie 27 Posługujc si tw. Kuratowskiego wyka, czy graf o podanym rysunku jest, czy nie jest planarny.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Zadanie 28 Czy wród grafów o 5 wierzchołkach i 9 krawdziach s grafy nieplanarne? Odpowied uzasadnij w oparciu o tw. Kuratowskiego.

Zadanie 29 Graf ma n wierzchołków i m krawdzi. W którym z podanych przypadków wykluczona jest planarno grafu?

a) n = 4 i m = 6,

b) n = 5 i m = 8,

c) n = 6 i m = 13,

d) n = 7 i m = 14,

e) n = 8 i m = 19.

Odpowied uzasadnij w oparciu o warunek konieczny wynikajcy z wzoru Eulera.

1

3 4

5 6

87

2 3 4

5 6

87

2

1

1 2

3

4

56

9 87

1

7

6 5

4

3

2

8

1

2

3

4

5

6

8

7

12

3

45

678

5 / 11

Zadanie 30 Rozstrzygnij z uzasadnieniem, czy podane grafy s dwudzielne:

2

1

3

6

7

4

5

4

21

3

56

7

Zadanie 31 Sprawd, czy podane grafy s dwudzielne:

Zadanie 32 Sprawd na podstawie podanej macierzy ssiedztwa grafu, nie rysujc go, czy istnieje w nim droga lub cykl Eulera. W przypadku odpowiedzi pozytywnej, narysuj graf i wyznacz za pomoc algorytmu Fleury’ego drog lub cykl Eulera.

0101011

1001110

0000011

1100110

0101011

1111101

1010110

Zadanie 33 Stosujc algorytm Fleury’ego wyznacz drog Eulera w grafie.

Zadanie 34 Rozstrzygnij z uzasadnieniem, czy grafy o podanych rysunkach s Eulerowskie:

Jeli s, to w kadym z nich wyznacz drog (cykl) Eulera za pomoc algorytmu Fleury’ego.

1 2 3 4 5

6 7 8

a b c d e

f g h

1

2

3

5

6

72

3

45

6

7

4

1

6 / 11

Zadanie 35 Czy po dodaniu do pierwszego z grafów podanych w zadaniu 34:

a) 1, b) 2, c) 3 krawdzi mona uzyska graf, w którym bdzie istniała droga Eulera? Odpowied zilustruj na rysunku.

Zadanie 36 Czy graf pochodny dla dowolnego Eulerowskiego grafu skierowanego jest zawsze Eulerowski? Odpowied

uzasadnij!

Zadanie 37 Czy graf krawdziowy dla grafu Eulerowskiego jest zawsze Eulerowski? Odpowied uzasadnij!

Zadanie 38 W grafach z zadania 34 zamie kad krawd na łuk tak, aby powstały z nich Eulerowskie grafy skierowane.

Zadanie 39 W poniszych grafach sprawd, czy s spełnione warunki dostateczne istnienia cyklu Hamiltona: a) z tw. Diraca b) z tw. Ore c) tw. Chvátala. Znajd w nich, jeli istnieje, cykl Hamiltona.

Zadanie 40 W podanych grafach sprawd niezalenie, które z omawianych warunków dostatecznych istnienia cyklu Hamiltona dla grafów nieskierowanych (tw. Ore, Diraca, Chvátala, o liczbie krawdzi i inne) s spełnione, a które nie:

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

8

Zadanie 41 Osiem komputerów połczono w sie. Liczby komputerów, z którymi kady z nich ma bezporednie dwukierunkowe połczenie wynosz: 3, 5, 3, 4, 3, 5, 5, 6. Jeden z komputerów wysyła sygnał do wszystkich, z którymi ma bezporednie łcze. Kady z komputerów, otrzymawszy sygnał, przesyła go do kolejnych w nastpnym kroku czasowym. Czy jest moliwe, aby sygnał dotarł do wszystkich komputerów i wrócił do komputera pocztkowego w omiu krokach czasowych?

Zadanie 42 Dany jest graf o nastpujcych stopniach wierzchołków: 3, 3, 4, 3, 5, 3, 2, 3. Wyka, e dopełnienie tego grafu posiada cykl Hamiltona.

3

4

5

1 2

7

6

1

7

2

3

4

5

6

7 / 11

Zadanie 43 Wyka, e graf krawdziowy grafu o nastpujcych stopniach wierzchołków: 2, 4, 4, 4, 2, 4, 4, jest grafem hamiltonowskim.

Zadanie 44 Sprawd, czy w poniszych grafach s spełnione:

a. warunek dostateczny z tw. Nasha-Williamsa dla istnienia cyklu Hamiltona, b. silna spójno grafu, c. warunek dostateczny z tw. Meyniela dla istnienia cyklu Hamiltona.

Wyznacz, jeli istniej, cykle Hamiltona.

Zadanie 45 W podanych grafach skierowanych sprawd, czy spełnione s warunki dostateczne istnienia cyklu Hamiltona z tw. Meyniela i Nasha-Williamsa:

1 2 3

54 6

1 2 3

54 6

1 2 3

54 6

Zadanie 46 W podanych grafach sprawd, czy spełnione s warunki dostateczne istnienia cyklu Hamiltona z tw. Redei, Thomassena i Camiona:

1

2

3

45

1

2

3

45

Zadanie 47 W podanych grafach wyznacz kolejnoci wierzchołków oraz drzewa przegldu grafu dla przegldów wszerz i w głb, które zaczynaj si od wierzchołków: dla grafu a. od 3 i 7, dla grafu b. od 1 i 7.

a. b.

2

3

1

4

5

6

7

8 2

3

1

4

5

6

7

8

1 2

3

45

6

1 2

3

45

6

8 / 11

Zadanie 48 W podanych grafach wyznacz kolejnoci wierzchołków oraz drzewa przegldu grafu dla przegldów wszerz i w głb, które zaczynajsi od wierzchołków:

a) 1,

b) 4,

c) 7.

1

2

3

4

56

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

7

Zadanie 49 Wyznacz kody Prüfera dla nastpujcych drzew rozpinajcych w grafie K8:

Odp.: a) (6, 3, 2, 5, 5, 8); b) (2, 3, 8, 6, 4, 3); c) (2, 1, 4, 8, 6, 4).

a)

1

2

3

4

5

6

7

8

, b)

1

2

3

4

5

6

7

8

, c)

1

2

3

4

5

6

7

8

.

Zadanie 50 Wyznacz kod Prüfera dla drzewa:

Zadanie 51 W grafie K9 wyznacz i narysuj drzewa rozpinajce o nastpujcych kodach Prüfera:

a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),

b) (2, 2, 3, 2, 1, 8, 9),

c) (7, 4, 4, 4, 4, 4, 3),

d) (9, 7, 5, 3, 1, 2, 4),

e) (5, 6, 4, 7, 3, 8, 2).

Zadanie 52 Dane s kody Prüfera dla drzew rozpinajcych: (3, 3, 4, 5, 6, 9, 6, 5, 7, 7) i (2, 3, 4, 3, 6, 7, 7, 8, 10, 8, 12). Wyznacz i narysuj te drzewa na podstawie kodów.

Zadanie 53 Wyznacz liczb wszystkich zer w macierzy incydencji grafu nieskierowanego, który jest drzewem rozpinajcym o kodzie Prüfera (10, 3, 4, 4, 7, 9, 2, 2, 5, 1). Odp.: 110.

Zadanie 54 W grafie podanym na rysunku zaznaczono jego drzewo rozpinajce. Wyznacz wszystkie cykle fundamentalne wzgldem tego drzewa i przedstaw jako rónic symetryczn takich cykli nastpujce cykle proste w grafie:

a) 1, 2, 2, 3, 3, 6, 1, 6,

b) 1, 4, 4, 5, 5, 6, 1, 6,

c) 1, 4, 3, 4, 3, 6, 1, 6.

1

2

3

4

56

7

2

31

4

5 6

7 8

9

10 11

12

9 / 11

Zadanie 55

Dla grafu na rysunku: a. znajd wszystkie cykle fundamentalne wzgldem drzewa rozpinajcego o zbiorze krawdzi

T= 1,5,2,4,3,4,4,7,5,7,6,7 oraz przed staw cykle proste: 1,6,6,7,4,7,3,4,1,3 i 1,6,2,6,2,5 ,3,5,1,3, jako ró nice symetryczne odpowiednich cykli fundamentalnych,

b. znajd wszystkie cykle fundamentalne wzgldem drzewa rozpinajcego o zbiorze T=1,6,2,5,2,6,3,5,4,7,5,7 oraz przeds taw cykle proste: 1,3,3,4,4,7,5,7,1,5 i 2,6,2,4,3,4 ,1,3,1,6, jako ró nice symetryczne odpowiednich cykli fundamentalnych.

Zadanie 56 Wyznacz w podanym grafie maksymaln liczb dróg krawdziowo rozłcznych, które łcz wierzchołki 1 i 8. Podaj przykładowy zbiór takich dróg, który ma maksymaln moc. Co na podstawie mocy tego zbioru mona powiedzie o minimalnej liczbie krawdzi w zbiorze rozspajajcym 1 i 8? Wska zbiór rozspajajcy 1 i 8 o wskazanej mocy.

1

4

2

3 6

7

8

5

Zadanie 57 Czy podany graf jest 3-spójny? Ile wynosi jego spójno wierzchołkowa? Odpowiedzi uzasadnij.

Zadanie 58

Dany jest graf spójny, niekierowany:a. wska zbiór rozspajajcy graf o mocy 4, b. wska zbiór rozspajajcy graf o mocy 3, c. wska zbiór rozdzielajcy graf o mocy 3, d. wska zbiór rozdzielajcy graf o mocy 2, e. wska zbiory rozspajajce pary wierzchołków: 1 i 6, 1 i 11, f. zastosuj twierdzenie Mengera w wersji krawdziowej do wyznaczenia minimalnej mocy zbiorów

rozpajajcych dla powyszych par. g. zastosuj twierdzenie Mengera w wersji wierzchołkowej do wyznaczenia minimalnej mocy zbioru

rozdzielajcego wierzchołki 1 i 11, h. wyka 3-spójno krawdziow grafu, i. wyka 2-spójno (wierzchołkow) grafu, j. sprawd, czy graf jest 3-spójny (wierzchołkowo), k. wyznacz spójno krawdziow grafu, l. wyznacz spójno wierzchołkow grafu.

1 2

3 4

5

7

10

11

8

9

6

2

3

1

45

6

7

10 / 11

Zadanie 59

W podanym grafie wyznacz:

b

a

c

v we

d

f

h

g

j

a) maksymaln liczb dróg krawdziowo rozłcznych pomidzy par wierzchołków v i w,

b) maksymaln liczb dróg krawdziowo rozłcznych pomidzy par wierzchołków d i j, c) maksymaln liczb dróg wierzchołkowo rozłcznych pomidzy par wierzchołków v i w,

d) maksymaln liczb dróg wierzchołkowo rozłcznych pomidzy par wierzchołków d i c,

e) minimalny zbiór krawdzi rozspajajcy wierzchołki v i w,

f) minimalny zbiór krawdzi rozspajajcy wierzchołki d i j, g) minimalny zbiór wierzchołków rozdzielajcy wierzchołki v i w,

h) minimalny zbiór wierzchołków rozdzielajcy wierzchołki d i c,

i) spójno krawdziow,

j) spójno wierzchołkow.

Zilustruj obie wersje tw. Mengera na powyszych zbiorach. Odpowiedz z uzasadnieniem na pytania:

a) czy ten graf jest 3-spójny?

b) czy ten graf jest 3-spójny krawdziowo?

c) czy ten graf jest 2-spójny?

Zadanie 60* W podanym grafie wyznacz:

a) wszystkie S-T drogi,

b) co najmniej trzy róne S-T separatory (róne od zbiorów S i T),

c) S-T separator o minimalnej mocy róny od zbiorów S i T,

d) co najmniej dwa róne S-T konektory,

e) S-T konektor o maksymalnej mocy.

Zilustruj uogólnione tw. Mengera na powyszych zbiorach.

S T1 2 3

5

9

4

7

6

8

Zadanie 61* W podanym grafie wyznacz:

a) wszystkie S-T drogi,

b) co najmniej trzy róne S-T separatory (róne od zbiorów S i T),

c) S-T separator o minimalnej mocy,

d) co najmniej trzy róne S-T konektory,

e) S-T konektor o maksymalnej mocy.

Zilustruj uogólnione tw. Mengera na powyszych zbiorach.

S T1 2 3

5

9

4

7

6

8

11 / 11

Zadanie 62 W podanej sieci o przepustowociach łuków równych 4 i przepływach: f (a) = 4, f (b) = 3, f (d) = 2, f (e) = 1, f (f ) = 1, f (g) = 1, f (i) = 1, wyznacz:

a) wartoci brakujcych przepływów przez łuki tak, aby powstał przepływ przez sie z 2 do 6,

b) warto wyznaczonego przepływu przez sie,

c) wartoci przepływów przez przekroje zadane zbiorami 2, 3, 4, 2, 5, 7 i 1, 2, 3, 7,

d) tylko na podstawie wartoci wyznaczonych w punktach b) i c) wyznacz wartoci przepływów przez przekroje zadane zbiorami 1, 3, 4, 6, 1, 5, 6, 7 i 4, 5, 6.

Odp.: b) 8; c) 11, 10, 10; d) 2, 3, 2.

2

1

3

6

7

ac

b

i

j

d gh

e

f

4

5

k

l

Zadanie 63 W podanej sieci o przepustowociach łuków równych 4 i przepływach: f (a) = 1, f (c) = 2, f (d) = 1, f (f ) = 2, f (h) = 1, f (k) = 1, f (l) = 3, wyznacz:

a) wartoci brakujcych przepływów przez łuki tak, aby powstał przepływ przez sie z 6 do 4,

b) warto wyznaczonego przepływu przez sie,

c) wartoci przepływów przez przekroje zadane zbiorami 1, 2, 6, 1, 3, 5, 6 i 3, 5, 6, 7,

d) tylko na podstawie wartoci wyznaczonych w punktach b) i c) wyznacz wartoci przepływów przez przekroje zadane zbiorami 3, 4, 5, 7, 1, 2, 4 i 2, 4, 7.

Odp.: b) 7; c) 9, 10, 10; d) 2, 3, 3.

4

21

3

56

a

c

b

i

dg

h

ef

7

j

kl

Zadanie 64 W podanej sieci (przy łukach podano wartoci przepływów i w nawiasach ich przepustowoci) wyznacz:

a) warto maksymalnego przepływu z s do t za pomoc cieek powikszajcych przepływ,

b) minimalny przekrój pomidzy s i t oraz jego przepustowo.

Zilustruj tw. Forda i Fulkersona w podanej sieci.

Odp.: a) 6.

v

u

w

ts

2 (3)

2 (3)

1 (2)

2 (3)

1 (1)

1 (2)1 (3)

1 (2)

1 (3)x

y

z

1 (2)

1 (2)

1 (3)

2 (2)

2 (2)

1 (1)

Zadanie 65 W podanej sieci (przy łukach podano wartoci przepływów i w nawiasach ich przepustowoci) wyznacz:

a) warto maksymalnego przepływu z s do t za pomoc cieek powikszajcych przepływ,

b) minimalny przekrój pomidzy s i t oraz jego przepustowo.

Zilustruj tw. Forda i Fulkersona w podanej sieci.

Odp.: a) 8.

v

u

w

ts

3 ) (4

3 (4)

2 (2)

2 (3)

1 (2)

1 (2)

2 (3)

0 (1)

2 (3)x

y

z

0 (1)

1 (2)

1 (3)

1 (2)

1 (2)

1 (1)

* nadobowizkowe

Przykładowe zadania egzaminacyjne z kombinatoryki Zadanie 1 Na ile sposobów mona obdarowa 8 dzieci 36 cukierkami tak, aby: rozda wszystkie cukierki, nie pozostawi adnego dziecka bez cukierków i zapewni kademu dziecku parzyst liczb cukierków? Odp.: 19 448.

Zadanie 2 Dla relacji binarnej w zbiorze X = a, b, c, d, e, f, g, opisanej podan tablic, naley zbudowa diagram Hassego i za jego pomoc wyznaczy: zbiór ogranicze górnych i zbiór ogranicze dolnych zbioru A = c, d, e oraz kres dolny i kres górny zbioru A, łacuch o maksymalnej licznoci i minimalnliczb antyłacuchów pokrywajcych zbiór X. Na przykładzie podanej relacji naley zilustrowa tez dualnego tw. Dilwortha. Odp.: sup A = e, inf A = b, 4 = 4.

1

1

111

1111

1111

111111

11111

Zadanie 3 Na ile sposobów mona ułoy w cig 4 jednakowe kule zielone, 3 jednakowe kule czerwone i 5 kul ponumerowanych? Odp.: 3 326 400.

Zadanie 4 W turnieju wziło udział 9 pingpongistów. Rozegrano pewn liczb spotka singlowych, w których adna para graczy nie wystpiła wicej ni jeden raz. Naley wykaza, e bez wzgldu na liczb rozegranych spotka wród zawodników jest co najmniej dwóch takich, którzy rozegrali tyle samo spotka w tym turnieju. Odp.: r = 1.

Zadanie 5 Ile jest permutacji zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, w których obok siebie s liczby 1 i 2 lub liczby 5 i 6? Odp.: 384.

Zadanie 6 W gonitwie bior udział 4 konie ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 4. Na ile sposobów moe zakoczy si ta gonitwa tak, aby aden z koni nie zajł miejsca zgodnego ze swoim numerem? Odp.: 9.

Zadanie 7 Ile jest rónych cigów zaczynajcych si od M lub koczcych si na M, które mona utworzy z wszystkich liter słowa MATEMATYKA? Odp.: 57 120.

Zadanie 8 Ile jest nieujemnych i całkowitych rozwiza nierównoci 64321 ≤+++ xxxx , które spełniaj warunki:

1x parzyste i 01 >x , , 102 ∈x , 3x podzielne przez 3 i 24 ≤x . Odp.: 15.

Zadanie 9 W pewnym klubie tenisowym trenuje 5 równorzdnych deblistów. Klub planuje rozgrywki ligowe w sezonie, w którym musi rozegra 8 meczy z innymi klubami. Na ile sposobów mona zaplanowarozgrywki deblowe w tym sezonie, jeli w kadym meczu trzeba wystawi jedna par deblow? Odp.: 100 000 000.

Zadanie 10 Na ile sposobów mona rozdzieli 6 ponumerowanych procesów pomidzy 3 jednakowe procesory tak, aby aden z procesorów nie był obciony wicej jak 3 procesami? Rozdzieli trzeba wszystkie procesy, aden z procesorów nie moe pozosta bezczynny i kady proces bdzie w całoci wykonywany na jednym procesorze. Odp.: 75.

Zadanie 11 Na ile sposobów mona zaplanowa wykonanie 5 rónych urzdze na 3 stanowiskach montaowych tak, aby adne z nich nie pozostało bezczynne? Plan musi podawa dla kadego urzdzenia numer stanowiska i okrela, w jakiej kolejnoci urzdzenia bd montowane na kadym ze stanowisk. Odp.: 720.

Przykładowe zadania egzaminacyjne z teorii grafów

Lp. Zadanie

1. Wyjanij w oparciu o tw. Halla, dlaczego w grafie podanym na rysunku nie ma skojarzenia pełnego wzgldem zbioru V1 = 1, 2, 3, 4, 5.

2 3 41 5

6 7 8 9 10

2. W podanej sieci (przy jej łukach podano przepustowoci) znane snastpujce przepływy: f (v, s) = 1, f (s, y) = 3, f (v, y) = 1, f (z, x) = 0, f (z, t) = 1, f (x, t) = 3. Wyznacz przepływy w pozostałych łukach tak, aby został w sieci zdefiniowany przepływ z s do t. Wyznacz warto przepływu przez cał sie i warto przepływu przez przekrój zadany zbiorem wzłów s, v, y. W oparciu o tw. Forda i Fulkersona rozstrzygnij, czy uzyskany przepływ jest maksymalny w tej sieci.

v

x

y

ts

6

3

2

3

1

2

3

1

2

3

3. W pewnym kraju Unii Europejskiej jest 9 duych miast. Pomidzy kad par miast zbudowana jest wygodna autostrada. Rolnicy tego kraju, niezadowoleni z wysokoci dopłat bezporednich, postanowili zablokowa te autostrady wysypujc na nie efekty swojej pracy. Jednak płodów rolnych starczyło im tylko na zablokowanie po jednym kierunku ruchu z kadej autostrady. Rozstrzygnij z uzasadnieniem, czy premier tego kraju bdzie mógł odwiedzi samochodem, nie łamic przepisów ruchu drogowego, wszystkie due miasta, zaczynajc podró z dowolnego i odwiedzajc kade tylko raz. Czy moe by pewny, e wróci do miasta, z którego wyruszy?

4. W grafie pokazanym na rysunku zaznaczono skojarzenie (krawdzie pogrubione). Za pomoc kolejnych dróg powikszajcych wzgldem skojarzenia wyznacz w tym grafie skojarzenie maksymalne. Czy wyznaczone skojarzenie jest doskonałe? Odpowiedzi uzasadnij. Wska w grafie jakiekolwiek minimalne pokrycie krawdziowe. Podaj ogólny zwizek liczby elementów w wyznaczonym skojarzeniu i pokryciu.

1

2 5

4

8

11

7

10

3 6 9

5. Podaj, które z grafów pokazanych na rysunkach s ze sob izomorficzne, a które nie s.

G1

G2G3 G4

G5

G6

6. Rozwa graf o liczbie wierzchołków n ≥ 3 i jego dopełnienie. Wyprowad i podaj warunek dla stopni wierzchołków w grafie, który zapewni, e w dopełnieniu tego grafu bdzie spełniony warunek dostateczny istnienia cyklu Hamiltona z tw. Ore.

7. Rozstrzygnij z uzasadnieniem prawdziwo nastpujcych stwierdze: 1. Jeeli w grafie G istnieje cykl Eulera, to w grafie krawdziowym L(G) take istnieje cykl Eulera. 2. Jeeli w grafie krawdziowym L(G) istnieje cykl Eulera, to w grafie G take istnieje cykl Eulera.

8. Rozstrzygnij z uzasadnieniem, czy graf, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór kodów Graya rzdu 3, a krawdzie łcz dwa kody rónice si dokładnie na jednej pozycji, jest grafem dwudzielnym.

9. W podanym grafie wyznacz: a) maksymaln liczb dróg krawdziowo rozłcznych pomidzy par

wierzchołków v i w, b) minimalny zbiór krawdzi rozspajajcy te wierzchołki. Zilustruj krawdziow wersj tw. Mengera na powyszych zbiorach. Rozstrzygnij z uzasadnieniem, czy ten graf jest 4-spójny krawdziowo?

b

a

c

v we

d

f

h

g

j

10. Czy dla grafu o 9 wierzchołkach, w którym suma stopni wierzchołków wynosi 58 jego dopełnienie moe by grafem spójnym? Odpowied dokładnie uzasadnij bez konstruowania i rysowania grafu.

MDA - materiały i zadania - student-online.plstudent-online.pl/pliki2/Semestr 3/Matematyka...

Documents

Transcript of MDA - materiały i zadania - student-online.plstudent-online.pl/pliki2/Semestr 3/Matematyka...