MỤC LỤC STT NỘI DUNG TRANG 1 Chương 6: Thanh chịu lực …

1

MỤC LỤC

STT NỘI DUNG TRANG 1 Chương 6: Thanh chịu lực phức tạp 6 2 6.1. Khái niệm, nguyên lý cộng tác dụng 6 3 6.2. Uốn xiên 6 4 6.3. Uốn và kéo (nén) đồng thời 15 5 6.4. Uốn và xoắn đồng thời thanh tròn 21 6 6.5. Thanh tròn chịu lực tổng quát 24 7 Chương 7: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục 31 8 7.1. Khỏi niệm 31 9 7.2. Công thức Ơ le xác định lực tới hạn 31 10 7.3. Công thức Ơle xác định ứng suất tới hạn. Phạm vi sử dụng công thức Ơle. 33 11 7.4. Công thức xác định ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi 34 12 7.5. Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo hệ số an toàn về ổn định 36 13 6.6. Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm 39 14 7.7. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu 44 15 Chương 8: Tải trọng động 50 16 8.1. Khái niệm, phương hướng nghiên cứu 50 17 8.2. Bài toán chuyển động thẳng với gia tốc không đổi 50 18 8.3. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 52 29 8.4. Bài toán dao động 54 20 8.5. Bài toán va chạm 61 21 8.6. Tốc độ tới hạn của trục quay 66 22 Chương 9: Thanh cong phẳng 72 23 9.1. Khái niệm – Biểu đồ nội lực 72 24 9.2. Tính thanh cong chịu uốn thuần túy 76 25 9.3. Xác định bán kính cong của thớ trung hòa 79 26 9.4. Tính thanh cong chịu lực phức tạp 81

2

Yêu cầu và nội dung chi tiết

Tên học phần: Sức bền vật liệu 2 Mã HP: 18503 a. Số tín chỉ: 2 TC BTL ĐAMH

b. Đơn vị giảng dạy: Bộ môn Sức bền vật liệu

c. Phân bổ thời gian:

- Tổng số (TS): 30 tiết. - Lý thuyết (LT): 18tiết.

- Thực hành (TH): 0 tiết. - Bài tập (BT): 10 tiết.

- Hướng dẫn BTL/ĐAMH (HD): 0 tiết. - Kiểm tra (KT): 2 tiết.

d. Điều kiện đăng ký học phần: học sau học phần Sức bền vật liệu 1.

e. Mục đích, yêu cầu của học phần:

Kiến thức:

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản đã được trang bị ở Sức bền vật liệu 1, học phần Sức bền vật liệu 2 cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần thiết và phương pháp tính để giải quyết các trường hợp chịu lực phức tạp , các trường hợp chịu tải trọng động phổ biến nhất thường gặp trong kỹ thuật, cách tính ổn định cho thanh chịu nén dọc, và tính thanh cong phẳng. Kỹ năng:

.-Có khả năng tư duy, phân tích, đánh giá đúng trạng thái chịu lực của bộ phận công trình, chi tiết máy.

- Có khả năng ứng dụng kiến thức của môn học để giải quyết vấn đề trong thực tiễn. - Có kỹ năng giải các bài toán cơ bản của môn học một cách thành thạo.

Thái độ nghề nghiệp: - Hiểu rõ vai trò quan trọng của môn học đối với các ngành kỹ thuật, từ đó có thái độ nghiêm túc,

tích cực, cố gắng trong học tập . f. Mô tả nội dung học phần:

Học phần Sức bền vật liệu 2 bao gồm các nội dung sau: -Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp. -Chương 8: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục. -Chương 9: Tải trọng động. Chương 10: Thanh cong phẳng.

g. Người biên soạn: Th.S Nguyễn Hồng Mai - Bộ môn Sức bền vật liệu – Khoa Cơ sở cơ bản. h. Nội dung chi tiết học phần:

3

TÊN CHƯƠNG MỤC PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TS LT BT TH KT

Chương 7: Thanh chịu lực phức tạp 9 6 3

7.1. Khái niệm 0.5

7.2. Uốn xiên 1,5

7.3. Uốn và kéo (nén) đồng thời 1.5

7.4. Uốn và xoắn đồng thời thanh tròn 1.5

7.5. Thanh tròn chịu lực tổng quát 1

Bài tập 3

Nội dung tự học (18t): -Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp -Tự đọc mục 8.5.. trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l -Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết.)

Chương 8: Ổn định của thanh chịu nén dọc trục 7 4 2 1

8.1. Khái niệm 0,5

8.2. Công thức Ơ le xác định lực tới hạn 0.5

8.3. Công thức Ơle xác định ứng suất tới hạn. Phạm vi sử dụng công thức Ơle.

0.5

8.4. Công thức xác định ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi

0.5

8.5. Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo hệ số an toàn về ổn định

0.5

8.6. Tính toán ổn định của thanh chịu nén dọc theo quy phạm 1

8.7. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang và cách chọn vật liệu 0,5

Bài tập 2

Kiểm tra 1

Nội dung tự học (14t): -Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp -Tự đọc mục 13.6. ,13.7. ,13.8. trong tài liệu tham khảo [1]ở mục l -Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết )

Chương 9: Tải trọng động 9 6 3

9.1. Khái niệm 0.5

9.2. Bài toán chuyển động thẳng với gia tốc không đổi 1

9.3. Bài toán chuyển động quay với vận tốc góc không đổi 1

4

9.4. Bài toán va chạm 2

9.5. Bài toán dao động 1

9.6. Tốc độ tới hạn của trục quay 0.5

Bài tập 3

Nội dung tự học (18t): -Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp -Tự đọc mục 10.6. ,10.7. trong giáo trình [1]ở mục k -Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết)

Chương 10: Thanh cong phẳng. 5 2 2 1

10.1.Khái niêm chung –Biểu đồ nội lực. 0.5

10.2. .Tính thanh cong chịu uốn thuần túy 0.5

10.3. Xác định bán kính cong của thớ trung hòa. 0.5

10.4. Tính thanh cong chịu lực phức tạp. 0.5

Bài tập. 2

Kiểm tra 1

Nội dung tự học (10t): -Đọc trước nội dung tiết học( trong bài giảng chi tiết ) trước khi lên lớp -Tự đọc mục 8.3. trong giáo trình [1]ở mục k -Làm đầy đủ bài tập cuối chương( trong bài giảng chi tiết)

i. Mô tả cách đánh giá học phần: -Để được dự thi kết thúc học phần, sinh viên phải đảm bảo đồng thời 2 điều kiện:

+ Tham gia học tập trên lớp 75% tổng số tiết của học phần. + Điểm X 4

- Cách tính điểm : X =

• là điểm trung bình hai bài kiểm tra giữa học kỳ (điểm của mỗi bài kiểm tra có tính đến điểm khuyến khích thái độ học tập trên lớp, tinh thần tự học của sinh viên.)

-Hình thức thi kết thúc học phần (tính điểm Y): Thi viết, rọc phách, thời gian làm bài 90 phút.

- Điểm đánh giá học phần : Z = 0,5X + 0,5Y

Trường hợp sinh viên không đủ điều kiện dự thi thì ghi X = 0 và Z = 0.

Trường hợp điểm Y < 2 thì Z = 0.

Điểm X,Y,Z được lấy theo thang điểm 10, làm tròn đến 1 chữ số sau dấu phẩy.

³

³

X 2X

2X

5

Điểm Z sau khi tính theo thang điểm 10,được qui đổi sang thang điểm 4 và thang điểm chữ A+, A, B+, B, C+, C, D+, D, F.

k. Giáo trình:

[1]. Nguyễn Bá Đường, Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002.

l. Tài liệu tham khảo:

[1]. Lê Ngọc Hồng Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và kỹ thuật 1998.

[2]. Phạm Ngọc Khánh ,Sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng, 2002.

[3]. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng, Bài tập Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục, 1999.

[4].I.N.Mirôliubôp,X.A.Engalưtrep, N.Đ.Xerghiepxki, Bài tập sức bền vật liệu, NXB Xây Dựng,2002.

m. Ngày phê duyệt: 30/5/2015 n. Cấp phê duyệt:

Trưởng khoa

TS Hoàng Văn Hùng

Trưởng bộ môn

ThS Nguyễn Hồng Mai

Người biên soạn

ThS Nguyễn Hồng Mai

6

Chương 6: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 6.1. KHÁI NIỆM - NGUYÊN LÝ CỘNG TÁC DỤNG

6.1.1 Khái niệm

Trong các chương trước chúng ta đã nghiên cứu các dạng chịu lực đơn giản của thanh như kéo

hoặc nén đúng tâm, xoắn thuần tuý, uốn ngang phẳng. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các

trường hợp chịu lực phức tạp, nghĩa là những hình thức kết hợp các dạng chịu lực đơn giản ở trên. Trong

trường hợp thanh chịu lực phức tạp trên mặt cắt ngang của nó sẽ xuất hiện nhiều thành phần nội lực. Mức

độ phức tạp thể hiện qua số lượng các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang. Sau đây ta sẽ nghiên cứu từ

trường hợp phức tạp ít đến trường hợp tổng quát.

6.1.2. Nguyên lý cộng tác dụng

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu các trường hợp chịu lực phức tạp ta phải sử dụng nguyên lý

độc lập tác dụng hay nguyên lý cộng tác dụng như sau:

Nếu nghiên cứu một thanh đồng thời chịu tác dụng của nhiều hệ lực, gây nên nhiều thành phần nội lực

trên mặt cắt ngang của thanh, thì ứng suất và biến dạng của thanh sẽ bằng tổng ứng suất và biến dạng do

từng hệ lực riêng rẽ gây ra.

Muốn sử dụng được nguyên lý này thì bài toán phải thoả mãn các điều kiện sau đây:

Vật liệu còn làm việc trong miền đàn hồi, sự tương quan giữa ứng suất và biến dạng là tương

quan bậc nhất.

Biến dạng của thanh là nhỏ, sự chuyển dịch của các điểm đặt lực là không đáng kể.

Khi xét các bài toán chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh là không

đáng kể, do đó ta có thể bỏ qua.

6.2. UỐN XIÊN

6.2.1. Định nghĩa

Một thanh được gọi là uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó tồn tại hai thành phần

nội lực là mômen Mx và My nằm trong hai mặt phẳng quán tính chính trung tâm của thanh.

Ta có thể hợp hai vectơ và về một véctơ tổng :

Hình 6.1

xM!

yM!

uM!

yxu MMM!!!

+=

z

y

x

Mx

My

o

7

Từ đó ta có định nghĩa khác: Một thanh chịu uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó

có một mômen uốn Mu không nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Mặt phẳng chứa

mômen uốn Mu được gọi là mặt phẳng tải trọng. ở hình 6.2 mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng p. Giao

tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang là đường tải trọng. Ta thấy rằng đường tải trọng đi qua

trọng tâm mặt cắt ngang nhưng không trùng với các trục quán tính chính trung tâm.

Gọi a là góc tạo bởi đường tải trọng với trục quán tính chính trung tâm Ox, a được coi là dương

khi chiều quay từ trục x trùng với đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ (hình 6.2).

Từ hình vẽ ta có:

Mx = Musina (a)

My = Mucosa

Hình 6.2

6.2.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm xác định có toạ độ (x,y) sẽ bằng tổng

ứng suất pháp do từng thành phần mômen uốn gây nên:

(b)

mà (c)

Tương tự (d)

Vậy (6-1)

dấu của mỗi số hạng trong (6-1) phụ thuộc vào dấu của Mx, My, x và y

Để tránh sự nhầm lẫn về dấu người ta thường dùng công thức sau đây:

x

y

MtgM

a =

Mx

MyM

x

y

za

yx Mz

Mzz s+s=s

yJM

x

xMzx =s

xJM

y

yMzy =s

xJM

yJM

y

y

x

xz +=s

8

(6-2)

Trong công thức này Mx, My, x, y đều lấy giá trị tuyệt đối, còn dấu sẽ chọn dương hay âm trước

mỗi số hạng tuỳ thuộc vào tác dụng của Mx và My gây nên kéo hay nén tại điểm đang xét.

6.2.3. Đường trung hòa

Đường trung hòa là tập hợp tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không.

Vậy phương trình đường trung hoà được rút ra từ phương trình sz = 0 như sau:

(6-3)

Như vậy đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt

Nếu gọi b là góc tạo bởi đường trung hoà và trục x thì: (6-4)

Từ đây ta có một số nhận xét về đường trung hoà

- Đường tải trọng và đường trung hoà không nằm cùng trong một góc phần tư của mặt cắt

- Đường trung hoà và đường tải trọng không vuông góc với nhau

Hình 6.3

6.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Để vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta có một số nhận xét sau đây:

-Tất cả những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có trị số ứng

suất pháp như nhau.

xJM

yJM

y

y

x

xz ±±=s

x.JJ.

MM

yy

x

x

y-=

y

x

y

x

x

y

JJ.

tg1

JJ.

MM

tga

-=-=b

xz

y

x

y

b

a

Duong trung hoa

Duong tai trong

9

Ta có thể chứng minh nhận xét trên như sau:

Giả sử ta có hai điểm (1) và (2) cùng nằm trên một đường song song với đường trung hoà có toạ độ: 1(x1,

y1), 2(x2,y2)

Vì đường thẳng 1-2 song song với đường trung hoà nên nó có phương trình

Hình 6.4

(e)

Ở đây C là một hằng số xác định

Thay toạ độ điểm (1) và (2) vào phương trình (e) và chuyển số hạng C sang bên phải dấu (=) ta được:

(f)

Vậy ứng suất tại hai điểm (1) và (2) bằng nhau

- Quy luật thay đổi của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất.

Với hai nhận xét trên, ta có thể vẽ biểu đồ ứng suất theo trình tự như sau:

- Xác định vị trí đường trung hòa và kéo dài ra khỏi mặt cắt

- Kẻ một đường thẳng vuông góc với đường trung hòa làm đường chuẩn và lấy giới hạn mặt cắt

- Xác định hai điểm:

+ Điểm 1 là giao điểm của đường chuẩn với đường trung hòa

+ Điểm 2 là điểm biểu thị ứng suất ở 1 vị trí bất kì có

- Nối 2 điểm, đánh dấu, gạch biểu đồ.

0CxJM

yJM

y

y

x

x =++

( )

( )ïï

î

ïï

í

ì

-=+=s

-=+=s

CxJM

yJM

CxJM

yJM

2y

y2

x

x2z

1y

y1

x

x1z

(2) (2) (2)yxz

x y

MM y xJ J

s = +

10

Hình 6.5

Biểu đồ có dạng như hình 6.4. Từ biểu đồ ta có các điểm có ứng suất pháp lớn nhất là các điểm xa đường

trung hoà nhất về hai phía chịu kéo và chịu nén

(6-5)

Với những thanh có mặt cắt ngang là hình chữ nhật, chữ I, chữ [ các điểm xa đường trung hoà nhất luôn

luôn nằm ở góc mặt cắt, với toạ độ lớn nhất (xmax, ymax) nên ứng suất pháp lớn nhất sẽ là:

(6-6)

Biểu đồ ứng suất như ở hình 6.5

6.2.5. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản

a. Điều kiện bền

Với thanh chịu uốn xiên điểm nguy hiểm là điểm xa đường trung hoà nhất của các mặt cắt nguy

hiểm. Trạng thái ứng suất của các điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn nên điều kiện bền sẽ là:

- Vật liệu dòn:

(6-7)

- Vật liệu dẻo:

trong đó (6-8)

Còn sẽ lấy theo công thức (6.5) hoặc (6.6) tùy theo dạng mặt cắt.

y

xO

K

smax

smin

sz

dg trung hòa

sK

ïï

î

ïï

í

ì

+=

+=

By

yB

x

xn

Ay

yA

x

xk

xJM

yJM

xJM

yJM

max

max

s

s

ïï

î

ïï

í

ì

--=

++=

y

y

x

xn

y

y

x

xk

WM

WM

WM

WM

max

max

s

s

[ ][ ]

ax

ax

kzm knzm n

s s

s s

ì £ïí

£ïî

[ ]ss £zmax ax axmax max( , )k nz zm zms s s=

ax ax,k nzm zms s

11

b, Ba bài toán cơ bản:

Từ điều kiện bền ( 6–7) và (6-8) ta có

Lưu ý rằng, riêng điều kiện bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang ta phải sử dụng phương

pháp đúng dần. Chẳng hạn trong bài toán dầm làm bằng vật liệu dẻo và mặt cắt đối xứng thì điều kiện

bền sẽ là.

-

Rõ ràng bất đẳng thức này chứa 2 ẩn là Wx và Wy. Để thuận tiện ta có thể viết dưới dạng.

-

Ta có thể giải bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang như sau:

Chọn tỉ số , thay vào điều kiện bền ta rút ra được Wx

Từ Wx ta có thể chọn được kích thước hoặc số hiệu mặt cắt.

Với mặt cắt vừa chọn, kiểm tra lại điều kiện biền và thử dầm để chọn mặt cắt nhỏ nhất thỏa mãn

điều kiện bền.

Để chọn trước tỉ số , với từng dạng mặt cắt ta có thể chọn trong khoảng sau:

- Với mặt cắt hình chữ nhật:

- Với mặt cắt hình chữ I:

- Với mặt cắt hình [

b. Ba bài toán cơ bản

Từ điều kiện bền (6-7) và (6-8) ta cũng có ba bài toán cơ bản, đó là bài toán kiểm tra bền, bài toán

tìm tải trọng cho phép và bài toán tìm kích thước hay số liệu mặt cắt ngang của thanh mà nội dung và

cách giải cũng tương tự như các bài toán cơ bản ở các chương trước.

Thí dụ 1: Kiểm tra bền một dầm chịu uốn xiên có sơ đồ chịu lực như hình 6.6. Biết q = 6kN/m; l

= 4m; góc j = 300' [s] = 160MN/m2; E = 2.105 MN/m2. Mặt cắt thanh chữ I, N020

Giải:

- Phân tích q thành 2 thành phần và trong đó qx = q.sin j qy = q.cosj

[ ]yx

x y

MMW W

s+ £

[ ]sé ù

+ £ê úê úë û

xx

x y

1 WMW W yM

x

y

WW

x

y

WW

x

y

WW

hb

=

x

y

W 8 10W

= ÷

x

y

W 5 7W

= ÷

xq!

yq!

12

- Vẽ biểu đồ Mx và My như hình vẽ .

- Từ biểu đồ ta tháy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có

Điều kiện bền của vật liệu dẻo :

max

Tra bảng [ No20 có Wx =152 cm3 ; Wy = 20,5 cm3

Max |sz | =

Thay số có Max |sz | = 36,45 KN/cm2

So sánh ta thấy Max |sz | =36,45 KN/cm2 > [ s ] =16 KN/cm2

Vậy dầm không đảm bảo điều kiện bền .

Hình 6.6

Thí dụ 2: Với dầm sơ đồ chịu lực như hình 6.6. Giả sử ta chưa biết trị số của tải trọng q. Xác định

giá trị cho phép của tải trọng [q] từ điều kiện bền. Các thông số cho như ở thí dụ 1.

Giải:

- Phân tích q thành 2 thành phần và trong đó qx = q.sin j, qy = q.cosj


8.

;8. 2

max

2

max

lqM

lqM x

yy

x ==

[ ]ss £+=y

max

x

maxmax

WWyx

z

MM

[ ]s£+Wy8.

Wx8. 22 lqlq xy

l

l/2z

x

Mx

qy

x

y

j

q

qyqx

qx

My

qxl28

qyl28

y

q

xq!

yq!

13

- Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có


max

Tra bảng [ No20 có Wx =152 cm3 ; Wy = 20,5 cm3

Max |sz | = =

Từ điều kiện bền ta rút ra

[q] =

Thay số tính được :

Thí dụ 3: Cho một dầm chữ I chịu uốn xiên như hình 6.7. Hãy xác định số hiệu mặt cắt từ điều

kiện bền biết: P = 10kN; l = 4m; j = 300; [s] = 16kN/cm2

Hình 6.7

8.

;8. 2

max

2

max

lqM

lqM x

yy

x ==

[ ]ss £+=y

max

x

max

WWyx

z

MM

Wy8.

Wx8. 22 lqlq xy + ÷÷

ø

öççè

æ+

Wy16Wx16.3 22 llq

[ ]ss £zmax

[ ]

÷÷ø

öççè

æ+

Wy16Wx16.3 22 ll

s

[ ]( ) ( )

cm/kN10.8,265

16.5,20400

152.16400.3

16q 422

-=+

=

l/2

z

x

Mx

My

Pyl4

y

l/2

Py

Pyl4

Px

P

y

x

PPy

Px

14

Giải:

- Phân tích P thành 2 thành phần Pxvà Py trong đó Px = P.sin j ; Py = P.cosj


- Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt nằm ở chính giữa dầm có


Với mặt cắt chữ I ta chọn = 9 khi đó ta có

Wx

Tra bẳng chon thép chữ INo27 có Wx = 371 cm3, Wy = 41,5 cm3 .

Kiểm tra lại điều kiện bèn của thép chữ INo27 ta có

max

Ta thấy maxsz nhỏ hơn nhiều so với [s] .

Ta chọ thép số hiệu nhỏ hơn INo24a có Wx = 317 cm3, Wy = 41,6 cm3 . nghiệm lại điều kiện bền

ta thấy max | sz | =14,7 KN/cm2 < [ s ]

Chọn tiếp số hiệu nhỏ hơn INo24 có Wx = 289 cm3, Wy = 34,5 cm3

ta thấy max | sz | =17,5 KN/cm2 > [ s ] =16 KN/cm2 là 8,6 % không thoả mãn điều kiện bền

Vậy số hiệu mặt cắt ngang cần tìm là IN024a

6.2.6 Độ võng trong uốn xiên

Ta gọi độ võng ở một mặt ngang của dầm là f thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:

Về trị số:

Trong đó: fx là độ võng theo phương x do My gây nên; fy là độ võng theo phương y do Mx gây nên mà ta

có thể xác định chúng riêng ra theo các phương pháp đã biết ở chương trước.

Điều kiện cứng:

Hoặc:

4.

;4.

maxmax

lPM

lPM x

yy

x ==

[ ]ss £úúû

ù

êêë

é+=

maxy

xmax

x

max

WW

W1

yxz MM

WyWx

[ ]3

maxy

xmax

4,335WW

cmMM yx

=úúû

ù

êêë

é+

³s

[ ] 22

y

max

x

max /16/4,14WW

cmKNcmKNMM yx

z =£=+= ss

x yf f f= +!" !!" !!"

2y

2x fff +=

max [ ]f f£

axmf fl l

é ù£ ê úë û

15

6.3. UỐN VÀ KÉO NÉN ĐỒNG THỜI


Một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang của nó có mômen

uốn Mu và lực dọc Nz

Trường hợp tổng quát :

thì nội lực trên mặt cắt ngang tồn tại 3 thành phần: Mx, My, Nz.

Trường hợp riêng chỉ tồn tại: Nz, Mx hoặc Nz, My

Hình 6.8


Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang bằng tổng ứng suất do

ba thành phần nội lực Nz, Mx, My gây nên và bằng:

(6-11)

Để tránh nhầm dấu, ta cũng có thể sử dụng công thức kỹ thuật sau

(6-11')

6.3.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Từ định nghĩa về đường trung hoà ta có phương trình của nó là:

hay (6-12)

Từ phương trình (6-12) ta thấy đường trung hoà là đường thẳng không đi qua trọng tâm mặt cắt.

Để vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang ta cũng có hai nhận xét như các phần trước, cụ thể:

- Ứng suất pháp của những điểm có cùng khoảng cách đến đường trung hoà thì bằng nhau.

- Quy luật biến thiên của ứng suất pháp theo khoảng cách đến đường trung hoà là quy luật bậc nhất

Biểu đồ ứng suất được vẽ như hình (6.9).

yxu MMM!!!

+=

My

z

Nz

O

A (x,y)x

y

Mx

xJM

yJM

FN

y

y

x

xzz ++=s

xJM

yJM

FN

y

y

x

xzz ±±±=s

0xJM

yJM

FN

y

y

x

xz =++

FMJNx

JJ.

MM

yx

xz

y

x

x

y --=

16

Vì số hạng tự do xó thể có trị số bất kỳ nên có thể xảy ra các trường hợp đường trung hòa

vượt ra khỏi diện tích mặt cắt, khi đó biểu đồ ứng suất chỉ có 1 miền, hoặc là kéo hoặc là nén như hình

(6.10).

Hình 6.9

Hình 6.10

Hình 6.11

NzF

xz

yMat ung suat

y

xO

smax

sz

dg trung hòa

k

smaxn

y

xO

smax

sz

dg trung hòa

k

17

Ứng suất pháp lớn nhất cũng phát sinh ở những điểm xa đường trung hoà nhất. Các trị số ứng suất lớn

nhất này có thể tính theo các công thức sau

(6-13)

6.3.4. Điều kiện bền

(6-14)

Với điều kiện bền này ta cũng có ba bài toán cơ bản như trước đây:

6.3.5. Kéo (nén) lệch tâm

a. Định nghĩa

Ta gọi một thanh chịu kéo (nén) lệch tâm là thanh mà ngoại lực tác dụng lên nó có thể thu về

thành những lực có phương song song nhưng không trùng với trục của thanh.

Giả sử ta có điểm đặt lực K(x,y) cách trọng tâm O một khoảng e. Khoảng cách e được gọi là độ lệch tâm.

Ta xét nội lực trên mặt cắt ngang.

Hình 6.11

Nz = P

Mu = P.e

Phân tích Mu thành:

Mx = P.yk

My = P.xk

Vậy thanh chịu kéo (nén) lệch tâm sẽ bị biến dạng kéo (nén) và uốn đồng thời

b.Ứng suất trên mặt cắt ngang

Từ công thức (6-11) ta có:

max

max

yk xzA A

x y

yn xzB B

x y

MMN y xF J J

MMN y xF J J

s

s

ì= + +ï

ïíï = + +ïî

[ ][ ]

max

max

kk

nn

s s

s s

ì £ïí

£ïî

K

x

z

OxK

yK

y

P

e

18

(6-15)

Trong đó:

;

c. Đường trung hoà

Từ định nghĩa về đường trung hoà ta rút ra phương trình đường trung hoà là:

(6-16)

Nếu đặt: (6-17)

Ta được phương trình đường trung hoà

(6-16')

Từ đây ta nhận thấy một số tính chất của đường trung hoà như sau:

- Đường trung hoà là một đường thẳng không đi qua trọng tâm mặt cắt ngang mà cắt trục x ở a và

cắt trục y ở b.

- Từ (6-17) ta thấy a và b luôn luôn ngược dấu với xk và yk nên đường trung hoà không bao giờ đi

qua góc phân tư chứa điểm đặt lực

- Nếu điểm đặt lực nằm trên một trục thì đường trung hoà song song với trục kia

- Vị trí của đường trung hoà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt lực và hình dáng, kích thước

mặt cắt ngang thanh mà không phụ thuộc vào trị số lực P

- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không đi qua gốc toạ độ (trọng tâm mặt cắt)

thì đường trung hoà tương ứng sẽ xoay quanh một điểm cố định nào đó.

- Nếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà sẽ di

chuyển song song với chính nó. Nếu điểm đặt lực dịch gần vào trọng tâm thì đường trung hoà lùi ra xa

trọng tâm và ngược lại nếu điểm đặt lực dịch ra xa trọng tâm thì đường trung hoà tiến về phía trọng tâm

mặt cắt.

Thí dụ 4: Cho một dầm thép được làm từ hai thanh chữ [, N012 ghép sát nhau, có sơ đồ chịu lực

như hình 6.8a. Hãy xác định tải trọng cho phép [q], biết [s] = 16kN/cm2; l = 80cm

÷÷ø

öççè

æ++=s xixy

iy1

FP

2y

k2x

kz

FJi x2

x = FJ

i y2y =

0xixy

iy1 2

y

k2x

k =++

k

2y

xi

a -=

k

2x

yib -=

1by

ax

=+

19

Hình 6.12

Giải: Biểu đồ lực dọc Nz, mômen uốn Mx và My được biểu diễn như hình 6.8b, c, d. Mặt cắt nguy

hiểm là mặt cắt tại ngàm với nội lực là:

Tra bảng thép định hình [, N012 ta được:

h = 12cm; b = 5,2cm; Jx1 = 304cm4; Jy1 = 31,2cm4; z0 = 1,54cm; F1 = 13,3m2

Ta xác định các mômen chống uốn Wx và Wy

Ta xác định được các ứng suất lớn nhất như sau:

Vì Nz < 0

2maxy

2

maxx

z

ql2,0M2qlM

ql8N

=

-=

-=

( ) ( )[ ] 32

yy1

201yy

3xx1xx

cm1,242,5

3,13.54,12,312bJ

W;FzJ2J

cm3,1016304.2

2hJW;J2J

=+

==+=

====

max

max

yxk z

x y

yxn z

x y

MMNF W W

MMNF W W

s

s

= + +

= - -

® maxaxn

z zms s=

2 22

max1

8 0,2 107,06 /2 2

n

x y

l l lq qkN cmF W W

sæ ö

= - + + = -ç ÷ç ÷è ø

20

Vì vật liệu của dầm là vật liệu dẻo nên điều kiện bền sẽ là: max < [s] hay 107,06q < [s]

Vậy [q] =14,10-2 kN/cm = 14,9kN/m

Thí dụ 5: Một cột bằng gỗ chịu tá dụng của một lực nén đặt tại điểm K có toạ độ (3,-6)cm. Bỏ

qua trọng lượng của cột. Kiểm tra bền cho cột nếu biết P = 30kN,

[s]k = 0,8kN/cm2 [s]n = 1kN/cm2

Giải: Các đặc trưng mặt cắt ngang cột

Hình 6.13

F = 15 x 10 = 150cm2

Nội lực trên các mặt cắt ngang cột:

Nz = -P = -30kN

Mx = P.yk = 30.6 = 180kNcm

My =P.xk = -30.3 = -90kNcm

So sánh với các ứng suất cho phép ta thấy

s

[ ] cm/kN10.9,1406,107

1606,107

q 2-==s

£

322

y

322

x

cm250615.10

6hbW

cm375615.10

6bhW

===

===

2max

2max

0,64 /

1,04 /

yz xkA

x y

yz xnB

x y

MN MkN cm

F W W

MN MkN cm

F W W

s s

s s

= = - + + =

= = - - - = -

[ ]maxk

ks s<

21

nhưng độ lớn hơn chỉ có 4%

Vậy cột đủ bền

6.4. UỐN VÀ XOẮN ĐỒNG THỜI THANH TRÒN


Một thanh chịu uốn và xoắn đồng thời là thanh mà trên các mặt cắt ngang có mômen uốn Mu và

mômen xoắn Mz.

Nếu tồn tại hai mômen uốn Mx và My thì ta luôn có và trục x, y, u, v… đều là trục

quán tính chính trung tâm. Sự uốn của thanh tròn luôn là uốn đơn chứ không phải là uốn xiên.

Hình 6.14


Đối với thanh mặt cắt tròn, biến dạng uốn do Mu gây nên là uốn thuần tuý vì mặt phẳng tải trọng chứa Mu

là mặt phẳng quán tính chính trung tâm với đường tải trọng làm một trục quán tính chính trung tâm.

Vì uốn thuần tuý nên đường trung hoà vuông góc với đường tải trọng.

Hình 6.15

Ứng suất pháp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang sẽ là:

(6-17)

[ ]maxk

ns s>

yxu MMM!!!

+=

Mz

sz

v

tp

Mu

uu

vz

v

uMu

Mz

szsmaxk

smaxn

o

vJM

u

uz =s

22

Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang được biểu diễn như hình 6.15. Ứng suất pháp lớn nhất sẽ có tại

các điểm xa đường trung hoà nhất, thí dụ như điểm A và điểm B ở hình 6.15 và có giá trị là:

(6-18)

Vì và với mặt cắt tròn Wu =Wx =Wy nên:

(6-19)

Ngoài ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh còn có ứng suất tiếp do mômen xoắn Mz gây nên, với:

(6-20)

Biểu đồ ứng suất này cũng được biểu diễn ở hình 6.15 ứng suất tiếp lớn nhất sẽ có ở các điểm trên chu

tuyến của mặt cắt và bằng

(6-21)


Căn cứ vào biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và xoắn

đồng thời ta thấy trên mặt cắt có hai điểm nguy hiểm là điểm A và điểm B, vì ở các điểm này vừa có ứng

suất pháp lớn nhất vừa có ứng suất tiếp lớn nhất

Hình 6.16

Trạng thái ứng suất của các phân tố này là trạng thái ứng suất phẳng, nên điều kiện bền của chúng

phải theo các lý thuyết bền.

Theo lý thuyết bền 3 ta có:

Thay biểu thức smax và tmax từ công thức (6-19) và (6-21) ta được:

( ) ( )

u

umaxmax W

M=s-=s -+

2y

2xu MMM +=

( ) ( )

x

2y

2x

maxmax WMM +

=s-=s -+

r=tr .JM

P

z

x

zzmax W2

MWM

==tr

B

z

v

uo

dz

da

tpmaxsmax

tpmaxsmaxk

n

A

A

Btpmax

tpmax

smaxk

smaxn

[ ]s£t+s=s 2max

2max3t 4

23

(6-22)

Theo lý thuyết bền 4:

Thay từ (6-19) và (6-21) ta được:

(6-23)

Theo lý thuyết bền Mor:

Thay smax và tmax từ (6-19) và (6-21) được

Với (6-24)

Với điều kiện bền ở trên ta cũng có ba bài toán cơ bản. Sau đây ta sẽ minh hoạ một trong ba bài toán cơ

bản này.

Thí dụ 6: Một trục chịu lực như hình 6.12a. Hãy kiểm tra bền của trục theo lý thuyết bền 3 biết:

đường kính trục d = 10cm, [s] = 16kN/cm2. Các đại lượng khác được cho như hình 6.12a.

Hình 6.18

Giải: Ta có thể có sơ đồ hoá trục chịu lực như hình 6.12b

Với P1 = 20kN; P2 = 15kN

[ ]s£++=s 2z

2y

2x

x3t MMMW1

[ ]s£t+s=s 2max

2max4t 3

[ ]s£++=s 2z

2y

2x

x4t M

43MM

W1

[ ]2 2max max max

1 1 42 2tMoa as s s t s- +

= + + £

[ ]s£úûù

êëé ++

a+++

a-=s 2

z2y

2x

2y

2x

xtMo MMM

21MM

21

W1

[ ][ ]

k

n

sa

s=

24

M1 = P1.e1 = 120kNcm

M2 = P2.e2 = 120kNcm

Biểu đồ mômen uốn Mx và mômen xoắn được biểu diễn như hình 6.12c. Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt nguy

hiểm tại C với các trị số

Mxmax = 917kNcm

Mzmax = 120kNcm

Theo lý thuyết bền 3 (công thức (6-22)) ta có:

Vậy trục đủ bền

6.5. THANH TRÒN CHỊU LỰC TỔNG QUÁT


Thanh tròn chịu lực tổng quát là thanh mà trên mặt cắt ngang tồn tại 6 thành phần nội lực: Nz, Qx,

Qy, Mz, Mx, My. Nếu bỏ qua lực cắt và hợp thì chỉ tồn tại ba thành phần nội lực là: Nz, Mu,

Mz.


- Ứng suất pháp:

(6-25)

và có giá trị lớn nhất ở những điểm ở xa đường trung hoà nhất về hai phía:

(6-26)

- Ứng suất tiếp:

Ngoài ứng suất pháp còn có ứng suất tiếp tr mà trị số lớn nhất có ở những điểm nằm trên chu tuyến mặt

cắt:

(6-27)


Điều kiện bền của các phân tố nguy hiểm cũng tương tự như ở mục 6.4.3 ở đây ta không nhắc lại

nữa. Từ điều kiện bền này ta cũng có ba bài toán cơ bản.

[ ]2 2 2 2 2 23 max max 3

1 32 917 120 9,3 / 16 /.10t x z

x

M M kN cm kN cmW

s sp

= + = + = < =

yxu MMM!!!

+=

FNv

JM z

u

uz +=s

max

max

uk z

u

un z

u

MNF W

MNF W

s

s

= +

= -

p

zmax W

M=t

25

Thí dụ 6: Xác định đường kính d trục bánh răng của một hộp giảm tốc theo lý thuyết bền số 3. Sơ

đồ của trục như hình 6.13a. Bánh răng (1) có đường kính D1, tại chỗ khớp với bánh răng khác có lực:

Hình 6.19

Pt1 = 9700N; Pr1 = 3530N

Bánh răng (2) là bánh răng nghiêng có đường kính D2 các lực tác dụng lên nó là:

Pt2 = 2700N; Pr2 = 1000N; Pd2 = 460N; D2 = 299mm

Các khoảng cách: a = 62mm; b = 72mm; c = 52mm

[s] = 5000N/cm2

Giải: Sơ đồ chịu lực của trục như hình 6.13b

Ở sơ đồ này các mômen tập trung có trị số:

Biểu đồ các thành phần nội lực được biểu diễn như hình 6.13. Từ biểu đồ ta thấy mặt cắt nguy hiểm là

mặt cắt tại bánh răng (1) với:

21 2 2

22

29,9. 2700. 404002 2

29,9. 460. 68702 2

t

uz d

DM M P Ncm

DM P Ncm

= = = »

= = =

26

Nz = -460N

Mxmax = 10530Ncm

Mymax = 44700Ncm

Mz = 40400Ncm

Sơ bộ chọn đường kính của trục theo mômen uốn và mômen xoắn theo lý thuyết bền 3

Kiểm tra bền phân tố nguy hiểm khi kể đến lực dọc:

Vậy đường kính của trục sẽ là d = 5cm

[ ]

[ ]

2 2 23 max max3

2 2 2 2 2 2max max 33

32

32 32 10530 44700 40400 5.5000

t x y z

x y z

M M Md

M M Md cm

s sp

p s p

= + + £

+ + + +³ = =

( )[ ]

2 2max max 2

max

2max 3

22 2 23 max max

23

3767 /W40400.16 40400.16 1616 /

.125

4 3767 4 1616

4963,4 /

x yn z

x

z

p

t z zy

t

M M N N cmF

M N cmW d

N cm

s

tp p

s s t

s s

+= - + = -

= = = =

= + = +

= <

27

Câu hỏi ôn tập

1. Định nghĩa thanh chịu lực phức tạp (uốn xiên, uốn và kéo (nén), uốn và xoắn, chịu lực

tổng quát). Nêu những ví dụ thực tế về thanh chịu lực phức tạp

2. Viết công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của các trường hợp thanh chịu lực

phức tạp. Giải thích rõ các đại lượng trong công thức .

3. Cách xác định điểm có ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang và trị số của ứng suất lớn

nhất trong trường hợp thanh chịu lực phức tạp.

4. trình bày điều kiện bền và cách giải ba bài toán cơ bản trong các trường hợp thanh chịu

lực phức tạp.

5. Những thanh nào thì không chịu uốn xiên? Vì sao?

6. Bài toán kéo (nén) lệch tâm có đặc điểm gì? Tại sao nói đường trung hòa trên tiết diện

thanh chịu kéo (nén) lệch tâm chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đặt lực mà không phụ

thuộc vào độ lớn của lực?

BÀI TẬP

Bài số 1.

Cho dầm thép chữ I No24

Biết: l = 4 m; P = 10 KN; a = 30o

[s] = 160 MN/m2

E = 2.104 KN/cm2

Yêu cầu:

Kiểm tra bền cho dầm, tính độ võng toàn phần lớn nhất?

Bài số 2.

Biết: l = 1 m, a = 30o; P = 2 KN

[s]k = 6 KN/cm2

[s]n = 18 KN/cm2

; E = 1,2.105 MN/m2

Yêu cầu:

Vẽ biểu đồ ứng suất tại mặt cắt nguy hiểm?

Kiểm tra bền và cứng?

Xác định tải trọng cho phép [P]?

1500

fl

é ù =ê úë û

l

P

A B

Pa

x

y2 cm

9 cm

2 cm 14

cm

P

y

x

a

C

l/2l/2

A BP

28

Bài số 3.

Cho biết: [s] = 160 MN/m2; l = 3 m

a = 30o; E = 2.105 MN/m2

P = 10 KN; q = 10 KN/m

Yêu cầu:

- Chọn số hiệu thép chữ I.

- Với số hiệu đã chọn tính độ võng tại đầu tự do.

- Vẽ biểu đồ (sz) tại mặt cắt nguy hiểm.

Bài số 4.

Kiểm tra bền cho dầm.

Biết: q = 20 KN/m; l = 4 m; b = 4 cm;

[s] = 120 MN/m2; E = 2.104 KN/cm2,

a = 60o

Yêu cầu:

Xác định tải trọng cho phép?

Với tải trọng cho phép, xác định chuyển vị tại C?

Bài số 5.

Cột bê tông có trọng lượng riêng g

chịu lực P đặt trùng với đường chéo của măt cắt.

Biết: a = 10 cm; g = 25 KN/m3

[s]k = 70 N/mm2

[s]n = 800 N/mm2

l = 2 m

Yêu cầu:

Xác định P để cột không phát sinh ứng suất kéo.

Với trị số P đã xác định, hãy kiểm tra bền cho cột.

Pa

q

x

yl

z

a

2a

P

l

aBA

l/2 l/2

q

C

q

b

2b

29

Bài số 6.

Kiểm tra bền cho cột bê tông chịu nén trong

hai trường hợp (a) và (b)

Biết: Lực đặt P tại điểm A

[s]k = 70 N/cm2

[s]n = 700 N/cm2

Bài số 7.

Vẽ biểu đồ ứng suất tại mặt cắt nguy hiểm của cột?

Biết: P = 2500 N, q = 20 KN/m, a = 30o

Bài số 8.

Kiểm tra bền cho thanh?

Biết: P = 60 KN; q = 20 KN/m;

l = 2,4 m; a = 6 cm

[s] = 120 MN/m2

Cho: P = ql, với các dữ kiện l, a, [s] trên.

Hãy xác định tải trọng cho phép?

20 cm

40 cm

1 m

0,2

0,5

m

P= 120 KN

18 c

m

40 cmA

A

30 cm

20 cm

1 m

1 m

20 cm

x

P= 6 KN

A26 cm

(a) (b)

10 cm

APx

2 m

20 cm

y

az

q

q

3a

aP

x

yz l

30

Bài số 9.

Xác định tải trọng cho phép?

Biết: a = 40 cm; d = 4 cm

[s] = 160 MN/m2

Bài số 10.

Từ điều kiện bền theo thuyết bền 3.

Xác định trị số cho phép của lực P

Biết: [s] = 8 KN/cm2, l = 1 m

Bài số 11.

Xác định đường kính trục của hộp

giảm tốc theo thuyết bền 4.

Biết: Pt1 = 9700 N

Pt2 = 2700 N

Pr1 = 3500N

Pr2 = 1500N

D = 300 mm

a = 60 mm

[s] = 50MN/m2

Bài số 12.

Xác định ứng suất tính toán theo thuyết bền 3, thuyết bền

4 và thuyết bền Mo cho thanh thép chịu lực P = 1 KN đặt

trong hai trường hợp:

a, P đặt tại A và tại B, 2P đặt tại C

b, P đặt tại A, 2P đặt tại C

a 2a a

Pt1

Pr1

Pt2Pr2

d

D d

yz

x

PP 2Pz

x

y100 100

200 mm

4 cm

4aP

2P

2a

2a

a

B CAdx

zy

d =

3cm

P

BA

l/2l/2

P

18 cm

31

Chương 7: ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN DỌC TRỤC 7.1. KHÁI NIỆM

7.1.1. Ổn định của thanh chịu nén dọc

Để có khai niệm về ổn định của một thanh bị nén dọc ta tiến hành một thí nghiệm sau đây: giả sử

ta có một thanh thẳng như hình 7.1 chịu nén đúng tâm bởi một lực P.

Lúc đầu ta chọn P còn nhỏ và thanh ở vị trí thẳng đứng. Dùng lực kích thích nhỏ, nhất thời đưa

thanh khỏi trạng thái thẳng đứng rồi bỏ lực kích thích đi. Thanh sẽ chuyển động về vị trí ban đầu và sau

một thời gian đao động quanh vị trí thẳng đứng, thanh sẽ trở lại đúng vị trí ban đầu. Ta nói trạng thái

thẳng đứng của thanh là trạng thái ổn định (hình 7.1a)

Hình 7.1

Tăng dần lực P đến một giá trị Pth và cũng đẩy thanh khỏi vị trí thẳng đứng bằng lực kích thích

nhỏ nhất thời thì thanh ở nguyên vị trí mới mà không trở lại vị trí ban đầu. Ta nói trạng thái thẳng đứng

ban đầu của thanh là trạng thái phiếm định (hình 7.1b)

Tiếp tục tăng lực nén P lên sao cho thanh vẫn ở trạng thái thẳng đứng. Ta dùng lực kích thích nhỏ

nhất thời đưa thanh ra khỏi vị trí thẳng đứng thì thấy thanh không thể trở về vị trí ban đầu mà tiếp tục

cong đi. Ta nói trạng thái thẳng đứng ban đầu là trạng thái không ổn định (hình 7.1c)

Từ thí nghiệm trên ta thấy một thanh bị nén dọc sẽ mất ổn định từ khi lực nén đạt đến Pth và Pth

được gọi là lực tới hạn của thanh bị nén dọc.

Vậy lực tới hạn của thanh bị nén dọc là lực nén nhỏ nhất làm cho thanh bị mất ổn định. Thực tế

cho thấy rằng khi lực nén lớn hơn hoặc bằng lực tới hạn thì thanh sẽ bị mất ổn định. Khi thanh bị mất ổn

định thì biến dạng của nó tăng lên rất nhanh và dẫn đến công trình bị phá huỷ. Vì vậy khi thiết kế các

thanh bị nén dọc, ngoài yêu cầu về bền và cứng, còn phải đảm bảo cho thanh được ổn định. Muốn thực

hiện được những mục tiêu trên ta phải biết được trị số lực tới hạn của thanh.

Vì vậy một trong nhiệm vụ của việc tính ổn định của thanh là xác định được tới hạn.

7.2. CÔNG THỨC ƠLE XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN

7.2.1. Bài toàn Ơ le xác định lực tới hạn trong thanh hải đầu liên kết khớp

Bài toán của chúng ta như sau: hãy xác định lực tới hạn của một thanh hai đầu liên kết khớp (hình

7.2)

Khi lực nén đạt đến lực tới hạn Pth thì thanh sẽ bị cong về một phía xác định có độ cứng chống uốn nhỏ nhất

P < Pth P = Pth P > Pth

a) b) c)

32

Giả sử ta xét một mặt cắt cách gốc toạ độ một khoảng là z, độ võng của mặt cắt này là y(z) và trên mặt

cắt sẽ có mômen uốn Mu (z) là:

Mu(z) = Pth.y(z) (a)

Giả sử khi mất ổn định thanh còn làm việc

trong miền đàn hồi, do đó có thể sử dụng được

phương trình vi phân của đường đàn hồi như

của dầm chịu uốn.

(b) Hình 7.2

Thay (a) và (b) ta được phương trình

Đặt (c)

ta được phương trình vi phân của đường đàn hồi

y'' + a2y = 0 (d)

Nghiệm của phương trình (d) là:

y(z) = C1sinaz + C2cosaz (e)

Ở đây C1 và C2 là các hằng số tích phân, được xác định bằng các điều kiện của bài toán.

- Khi z = 0 thì y(0) = 0

- Khi z = l thì y(l) = 0

Thay vào nghiệm (e) ta được hệ phương trình

Vì khi mất ổn định thanh bị cong nên y(z) là hàm khác 0, nghĩa là C1 và C2 không thể đồng thời bằng 0.

Từ điều kiện này ta rút ra:

(f)

Từ phương trình (f) ta được:

sinal = 0

al = kp

( k = 1, 2, 3…..) (g)

Kết hợp (g) với (c) ta rút ra được

min

u

EJM''y -=

yEJP''ymin

th-=

min

th2

EJP

=a

îíì

=a+a=+

0C.lcosC.lsin0C.1C.0

21

21

0lsinlcoslsin

10=a-=

aa=D

lkp

=a

33

(h)

Với những giá trị khác nhau của k, lực tới hạn có những giá trị khác nhau tương ứng với dạng đường đàn

hồi khác nhau. Người ta nhận thấy k đúng bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh

mất ổn định.

Vì lực tới hạn là lực nhỏ nhất mà thanh mất ổn định nên ta lấy k = 1 lúc đó

(7-1)

Biểu thức (7-1) là công thức tính lực tới hạn trong trường hợp thanh hai đầu liên kết khớp cầu. Công thức

trên còn gọi là công thức Ơle.

7.2.2. Công thức Ơle tính lực tới hạn cho thanh chịu nén dọc

Biểu thức (7-1) là công thức lực tới hạn của thanh hai đầu liên kết khớp. Với những thanh hai đầu

liên kết khác ta cũng có thể xác định được lực tới hạn bằng cách tương tự như bài toán Ơle, và kết quả

tìm được có thể viết dưới dạng chung như sau:

(7-2)

µ là một hệ số phụ thuộc vào liên kết ở hai đầu thanh.

trong đó m là số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh mất ổn định

Công thức (7-2) được gọi là công thức Ơle về lực tới hạn của thanh bị nén dọc.

Sau đây là một số dạng liên kết thường gặp của thanh chịu nén dọc (hình 7.3)

H×nh 7.3

7.3. CÔNG THỨC ƠLE XÁC ĐỊNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN. PHẠM VI SỬ DỤNG CÔNG THỨC

7.3.1. Công thức Ơle tính ứng suất tới hạn

Khi lực nén đạt tới lực tới hạn, thanh vẫn thẳng, vẫn bị nén đúng tâm, nên ứng suất trên mặt cắt

ngang sẽ là:

2min

22

th lEJkP p

=

2min

2

th lEJP p

=

( )2min

2oleth l

EJPµ

p=

m1

=µ

34

(i)

Ta có:

Trong đó imin = min( ix, iy) và là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang.

và đặt ( l được gọi là độ mảnh của thanh chịu nén dọc) (7-2a)

thì biểu thức (i) sẽ là: (7-3)

Biểu thức (7-3) này là công thức ơle về ứng suất tới hạn. Trong biểu thức trên ta thấy khi l càng lớn thì

ứng suất tới hạn càng nhỏ tức là thanh càng dễ mất ổn định. Vì thế người ta gọi l là độ mảnh của thanh.

Theo biểu thức (7-2a) ta thấy độ mảnh l của thanh phụ thuộc vào hình dáng, kích thước của thanh và

điều kiện liên kết ở hai đầu thanh chứ không phụ thuộc vào vật liệu thanh. Mỗi thanh có một giá trị độ

mảnh xác l định.

7.3.2. Phạm vi sử dụng của công thức ơle

Khi thành lập công thức ơle ta đã dựa trên cơ sở giả thiết rằng vật liệu của thanh còn làm việc

trong miền đàn hồi. Vì vậy công thức ơle (7-2) hoặc (7-3) chỉ sử dụng được khi ứng suất trong thanh nhỏ

hơn giới hạn tỷ lệ. Từ đó ta có điều kiện sau:

(stl là ứng suất tỷ lệ được xác định từ thực nghiệm.)

hay

Nếu ta đặt ; l0 được gọi là độ mảnh giới hạn, nó phụ thuộc hoàn toàn vào vật liệu.

Thanh có l ³ l0 được gọi thanh có độ mảnh lớn. Vậy công thức ơle chỉ sử dụng đối với thanh có độ

mảnh lớn hay là thanh có l ³ l0

7.4. CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH KHI VẬT LIỆU LÀM VIỆC

NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI

Đối với những thanh có độ mảnh vừa và bé (l < l0) tức là thanh làm việc ngoài miền đàn hồi khi

mất ổn định thì cho đến nay chưa có một công thức lý thuyết nào hoàn chỉnh về lực tới hạn. Vì vậy người

ta đã đưa ra một số công thức thực nghiệm để tính sth.

a. Thanh có độ mảnh vừa l1 ≤ l ≤ l0

Sử dụng công thức Iasinski:

( ) FlEJ

FP

2min

2th

th µp

==s

2min

min iFJ

=

l=µ

minil

2

2oleth

Elp

=s

tl2

2oleth

Es£

lp

=s

tl

2Esp

³l

tl

2

0E

sp

=l

35

sth = a - bl (7-4)

Trong đó: a và b là những hằng số phụ thuộc vào vật liệu và được xác định bằng thực nghiệm, có

thể tìm trị số a, b trong các sổ tay kỹ thuật. Sau đây là trị số của l0, a và b của một số vật liệu

Vật liệu l0 a, MN/m2 b, MN/m2

Thép CT2, CT3 100 310 1,14

Thép CT5 100 464 3,26

Thép 48 100 460 2,56

Thép silic (thép 52) 100 578 3,75

Gỗ 75 ÷ 76 36,8 0,265

Gang 80 776 4,15

b. Thanh có độ mảnh bé 0 < l ≤ l1

Với thanh có độ mảnh bé thì sẽ bị phá hủy do mất độ bền trước khi thanh mất ổn định.

Vì vậy người ta coi sth= s0n

Trong đó s0n là ứng suất nguy hiểm về nén.

Với vật liệu dẻo: s0n = sch

Với vật liệu dòn: s0n = sbn

Như vậy ta có ba công thức để xác định sth. Việc sử dụng công thức nào để xác định ứng suất tới hạn là

tuỳ thuộc vào độ mảnh của thanh.

Hình 7.5

Hình 7.5 là đồ thị biểu diễn quan hệ giữa sth và l với những độ mảnh khác nhau. Từ đồ thị ta nhận

thấy sth s0n

Thí dụ 1: Tính ứng suất tới hạn và lực tới hạn của một thanh làm bằng thép CT5, mặt cắt ngang

của hình chữ I, N024, hai đầu liên kết khớp trong hai trường hợp:

a) Thanh dài 3m

b) Thanh dài 2m

son

stl

l1 lo

sth

lO

Iasinski

O le

£

36

Giải: Mặt cắt ngang của thép chữ I N024 có diện tích F = 34,8cm2; imin = iy = 2,37cm; E =

2.104kN/cm2. Liên kết của thanh ở hai đầu là liên kết khớp nên µ = 1

a) Trường hợp thanh dài l = 3m = 300cm thì độ mảnh là

Với vật liệu là thép CT3 Tra bảng có l0 = 100 so sánh ta thấy l > l0 nên ta sử

dụng công thức ơle (công thức (7-3)) để tính ứng suất tới hạn.

Lực tới hạn của thanh sẽ là:

Pth = sth.F = 12,3.34,8 = 428kN

b) Trường hợp thanh có độ dài l = 2m = 200cm thì: Hình 7.6

Tra bảng với vật liệu là thép CT3 có l0 = 100, l1 = 70 so sánh thấy l1< l < l0

Ta sử dụng công thức Iasinxki để tính lth : lth = a - bl

với a = 464MN/cm2 = 46,4 kN/cm2; b = 3,26 MN/m2 = 0,326kN/cm2, ứng suất tới hạn sẽ là:

sth = a - bl = 46,4 - 0,326 . 84 = 19kN/cm2

Lực tới hạn của thanh sẽ là:

Pth = sth.F = 19.34,8 = 661,2 KN

7.5. TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN DỌC THEO HỆ SỐ AN TOÀN VỀ ỔN ĐỊNH (Kôd) 7.5.1 Điều kiện ổn định theo hệ số an toàn về ổn định.

Để một thanh chịu nén dọc đảm bảo điều kiện ổn định thì ứng suất trong thanh không được vượt

quá ứng suất cho phép về ổn định [s]ôđ

Ở đây ứng suất cho phép về ổn định xác định theo biểu thức sau:

(7-7)

Kôđ là hệ số an toàn ổn định, thường người ta chọn trị số của nó lớn hơn n là hệ số an toàn về bền vì khả

năng mất ổn định thường xảy ra sớm hơn trước khi bị phá hủy do bền. Vậy điều kiện ổn định sẽ là

(7-8)

6,12637,2300.1

il

min

=µ

=l

22

42

2

2

th cm/kN3,126,12610.2.14,3E

==lp

=s

min

1.200 842,37

liµl = = =

[ ]ôdôd

th

Kss =

[ ]z ôdôd

thzNF K

ss s= £ =

l

P

N°24

37

7.5.2. Ba bài toán cơ bản

Với điều kiện ổn định (7-8) ta cũng có ba bài toán cơ bản như sau:

a. Bài toán kiểm tra

Với bài toán này người ta cho biết tải trọng, kích thước, hình dáng, vật liệu và liên kết của thanh, cho

trước hệ số an toàn Kôđ.Ta phải kiểm tra xem thanh có ổn định không?

Để giải bài toán này ta thực hiện trình tự sau:

- Tính độ mảnh của thanh theo công thức (7-2a)

- So sánh độ mảnh l vừa tính được với lo, l1 để chọn công thức tính sth

- Xác định ứng suất tới hạn sth theo công thức đã chọn

- Kiểm tra ổn định theo công thức (7-8) và kết luận.

Thí dụ 2: Cho thanh mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) = (10x15)cm , hai đầu liên kết khớp

(Hình 7.6), chịu nén đúng tâm bởi lực P = 200 kN( hình 7.6). Kiểm tra ổn định của thanh, biết Kôđ =2, vật

liệu thanh có E = 2.104 kN/cm2 , l1= 60, lo= 100, l = 4 m

Giải : Ta xác định các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang thanh F= bh = 10.15 = 150 cm2

Độ mảnh của thanh là

Ta thấy l>lo nên ứng suất tới hạn tính theo công thức Ơle

ta có

So sánh ta thấy . Vậy thanh ổn định

Hình 7.7

b. Bài toán xác định tải trọng cho phép

Với bài toán này người ta cho biết hình dáng, kích thước, vật liệu, liên kết của thanh, hệ số an toàn ổn

định nhưng chưa biết lực nén. Ta phải xác định lực nén lớn nhất tác dụng lên thanh mà thanh vẫn ổn định

Để giải bài toán này ta cũng tiến hành theo trình tự sau:

- Tính độ mảnh của thanh theo công thức (7-2a)

- So sánh độ mảnh l vừa tính được với lo, l1 để chọn công thức tính sth

- Xác định ứng suất tới hạn sth theo công thức đã chọn

- Xác định tải trọng cho phép từ điều kiện ổn định theo công thức (7-8)

min10 2,89

12 12ybi i cm= = = =

min

1.400 138,42,89

liµl = = =

2 2 42

2 2

3,14 .2.10 11( / )138,4th

E kN cmpsl

= = =

2200 1,33 /150

zN P kN cmF F

= = =

2

ôd

11 5,5 /2

th kN cmKs

= =

ôd

z thNF K

s<

lP

hb

38

(7-9)

Thí dụ 3 Cho một thanh thép có mặt cắt chữ I, No 18 một đầu ngàm, một đầu chốt, dài 3m. Xác

định lực nén cho phép từ điều kiện ổn định biết lo= 100,l1 = 60, Kôđ =2, E = 2.104 kN/cm2

Giải: Tra bảng thép chữ I, No 18 có F = 23,8 cm2 , imin = iy = 1,99cm

Độ mảnh của thanh là

Ta thấy l>lo nên ứng suất tới hạn tính theo công thức Ơle

Hình 7.8

c. Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh

Với bài toán này người ta cho trước tải trọng, chiều dài, hình dáng mặt cắt ngang, vật liệu, liên

kết của thanh, hệ số an toàn ổn định. Ta phải xác định kích thước mặt cắt ngang nhỏ nhất của mặt cắt

ngang thanh sao cho thanh vẫn ổn định.

Từ công thức về điều kiện ổn định (7-8) ta thấy diện tích mặt cắt ngang F và ứng suất tới hạn sth đều phụ

thuộc vào kích thước mặt cắt ngang, cho nên ta phải sử dụng phương pháp gần đúng đúng dần để xác

định kích thước mặt cắt ngang thanh.

Trước hết ta giả thuyết rằng thanh còn làm việc trong miền đàn hồi và sử dụng công thức Ơle về

lực tới hạn

và giả sử rằng

Ta rút ra được

Từ Jmin có thể tính được kích thước mặt cắt ngang. Bây giờ ta nghiệm lại kết quả bằng cách xác định độ mảnh l.

- Nếu l>lo thì kích thước vừa tìm được là kết quả của bài toán

- Nếu l<lo thì ta tính lại ứng suất tới hạn theo công thức (7-4) hoặc (7-6)

Từ điều kiện ổn định (7-8) ta tính được diện tích và sau đó là kích thước mặt cắt ngang

Từ kích thước mới này ta xác định được độ mảnh mới l1

[ ]ôd

. thFPKs

=

min

0,7.300 105,51,99

liµl = = =

2 2 42

2 2

3,14 .2.10 17,7( / )105,5th

E kN cmpsl

= = =

[ ]ôd

. 23,8.17,7 210,62

thFP kNKs

= = =

2min2

EJ( l)thP

pµ

=

th

ôd

P[ ]=K

P P=

2ôd

min 2

( )P l KJE

µp

=

ôd1

th

.F P Ks

=

l

P

N°18

39

- Nếu l1 không chênh lệch nhiều so với l thì kích thước vừa tính được là kết quả bài toán

- Nếu l1 khác xa l thì ta lấy trị số trung bình cộng và tiếp tục tính như trên cho đến khi nào độ

mảnh mới và cũ không khác xa quá 5% là được

Thí dụ 4 : Cho một thanh thép tròn có sơ đồ chịu lực như hình 7.8. Với P= 50kN, l = 1 m, Kôd =

4, lo= 100,l1 = 60, E = 2.104 kN/cm2

Xác định đường kính mặt cắt ngang

Giải: Giả sử thanh làm việc trong miền đàn hồi nên

Đường kính mặt cắt ngang thanh

Bán kính quán tính

Độ mảnh của thanh Hình 7.9

Vậy đường kính mặt cắt ngang thanh là d = 5,36cm. 7.6. TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN DỌC THEO QUY PHẠM ( Sử dụng hệ số

j)

7.6.1 Điều kiện bền và điều kiện ổn định

Như ta đã biết ở chương 2, một thanh chịu nén đúng tâm thỏa mãn điều kiện bền thì:

(7-10)

Trong đó:

son là ứng suất nguy hiểm về nén

n là hệ số an toàn về bền

Do son được chọn bằng thực nghiệm nên [s]n coi như đã được cho trước bằng thực nghiệm.

Mặt khác để thanh thỏa mãn điều kiện ổn định thì

(7-11)

Trong đó : sth phải được xác định căn cứ vào độ mảnh của thanh.

Từ hai điều kiện trên có thể thấy rằng khi tính toán về bền ta đã có ứng suất cho phép [s]n cho

sẵn, còn khi tính toán về ổn định ta phải xác định [s]ôd và sth. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thế sử

dụng [s]n cho việc tính toán ổn định của thanh

Để làm được việc trên ta đặt tỉ số [s]ôd trên [s]n bằng một hệ số j

(7-12)

2 24ôd

min 2 2 4

( ) 50(2.100) .4 40,573,14 .2.10

P l KJ cmE

µp

= = =

min4 4.64 64.40,57 5,36

3,14Jd cmp

= = =

min 1,354di cm= =

min

2.100 148,41,35 o

liµl l= = = >

n[ ]z onZ

NF n

ss s= £ =

ôdôd

[ ]z thZ

NF K

ss s= £ =

ôd

n ôd

[ ] .[ ]

th

on

nK

s sjs s

= =

l

P

d

40

Về trị số của j thì do nên j ≤ 1. Vì vậy j được gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép

Từ công thức (7-12) ta thấy j phụ thuộc vào vật liệu và độ mảnh của thanh, trị số j cho sẵn ở bảng sau:

Độ mảnh l Trị số j đối với Thép CT 2,3,4 Thép CT5 Thép hợp kim Gang Gỗ

10 0,99 0,98 1 1 1 20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 50 0,89 0,86 0,83 0,54 0,80 60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,6 80 0,75 0,7 0,65 0,26 0,48 90 0,69 0,62 0,55 0,2 0,38 100 0,6 0,51 0,43 0,16 0,31 110 0,52 0,43 0,35 0,25 120 0,45 0,36 0,3 0,22 130 0,4 0,33 0,26 0,18 140 0,36 0,29 0,23 0,16 150 0,32 0,26 0,21 0,14 160 0,29 0,24 0,19 0,12 170 0,26 0,21 0,17 0,11 180 0,23 0,19 0,15 0,10 190 0,21 0,17 0,14 0,09 200 0,19 0,16 0,13 0,08

Từ bảng trên cho thấy j phụ thuộc vào độ mảnh l theo những quy luật phức tạp, nhưng để thuận

tiện cho việc nội suy tìm trị số j ta coi trong một khoảng l hơn kém nhau 10 đơn vị, quy luật thay đổi

của j là quy luật bậc nhất. Vậy ta có công thức nội suy như sau:

Với: l1 l l2

(9-13)

hoặc

(9-13')

Từ biểu thức (7-12) ta được

Hình 7.10 7.6.2. Điều kiện ổn định theo quy phạm :

Thay vào biểu thức (7-11) ta được điều kiện ổn định theo quy phạm như sau:

(7-14)

7.6.3. Ba bài toán cơ bản

Với điều kiện ổn định (7-14) ta cũng có ba bài toán cơ bản như sau:

ôd

1, 1th

on

nK

ss

£ £

£ £

1 22 2( )

10j jj j l l-

= + -

1 21 1( )

10j jj j l l-

= - -

ôd n[ ] [ ]s j s=

n[ ]zZ

NF

s j s= £

l1

l2

j1

j2

jl

10 d

on v

i

41

a. Bài toán kiểm tra

Với bài toán này người ta cho trước tải trọng , hình dáng, kích thước, vật liệu, liên kết của thanh. Ta phải

kiểm tra xem thanh có ổn định không

Để giải bài toán này ta tiến hành theo trình tự sau:

- Tính độ mảnh l của thanh theo công thức (7-2a)

- Tra bảng kết hợp với nội suy tìm được j

- Kiểm tra độ ổn định theo điều kiện (7-14) và kết luận

Thí dụ 5: Kiểm tra ổn định của thanh với sơ đồ chịu lực như hình 7.10, biết l = 3m, [s]n =10

kN/cm2

Giải: Tra bảng thép chữ I, No40 ta có F = 72,6cm2, imin =iy = 3,03 cm. Với liên kết hai đầu chốt µ

=1 và độ mảnh thanh sẽ là

Tra bảng hệ số j ta có:

Với l1= 90 thì j1 = 0,69

Với l2= 100 thì j2 = 0,60

Vậy

Kiểm tra ổn định ta có: Hình 7.11

Vậy thanh đã cho không ổn định b. Bài toán xác định tải trọng cho phép

Với bài toán này người ta cho trước sơ đồ tải trọng, hình dáng, kích thước, vật liệu, liên kết của

thanh. Ta phải xác định trị số lớn nhất của lực nén sao cho thanh vẫn ổn

định

Để giải bài toán này ta tiến hành theo trình tự sau:

- Tính độ mảnh l của thanh theo công thức (7-2a)

- Tra bảng kết hợp với nội suy tìm được j

- Tính lực nén cho phép từ điều kiện ổn định (7-14)

(7-15) Thí dụ 6: Cho một thanh thép chữ I, No30a dài l = 3 m hai đầu liên

kết khớp. Xác định trị số lực nén cho phép của thanh biết [s]n = 140 MN/m2

Ta có: F = 49,9cm2, imin = iy=2,95cm. Thanh có hai đầu liên kết

khớp nên µ=1 Hình 7.12

min

1.300 993,03

liµl = = =

1 22 2( )

100,090,60 (100 99) 0,60910

j jj j l l-= + -

= + - =

2 2n

500 6,954 / > [ ] 0,609.10 6,09 /71,9

zz

N P kN cm kN cmF F

s j s= = = = = =

n[ ]= .F.[ ]P j s

l

P = 500 KN

N°40

l

P

N°30a

42

Độ mảnh thanh sẽ là

Tra bảng hệ số j ta có:

Với l1= 100 thì j1 = 0,60

Với l2= 110 thì j2 = 0,52

Từ điều kiện ổn định:

Vậy lực nén cho phép (7-15)

[P] = 0,592.49,9.14 = 413,7 kN

c. Bài toán xác định kích thước (hoặc số hiệu) của mặt cắt ngang thanh

Với bài toán này người ta cho trước lực nén, hình dáng, chiều dài, vật liệu, liên kết của thanh. Ta

phải xác định kích thước ( hoặc số hiệu ) nhỏ nhất của thanh sao cho thanh vẫn ổn đinh.

Ở bài toán này ta chưa biết diện tích mặt cắt ngang và hệ số giảm ứng suất cho phép j nên ta sử dụng

phương pháp gần đúng đúng dần như sau:

- Sơ bộ chọn một giá trị jo ( thường jo = 0,5)

- Từ công thức (7-14) tính được diện tích mặt cắt ngang F của thanh

- Từ diện tích vừa tính được sơ bộ ta thiết kế được mặt cắt.

- Với mặt cắt vừa chọn, tính độ mảnh l

- Tra bảng kết hợp với nội suy tìm được j1

- Nếu j1=jo thì dừng bài toán ; nếu j1 khác jo thì ta tính lại từ bước đầu

với trị số j20 chọn sơ bộ bằng trung bình cộng của j1 và jo ta thu được j20

- Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi trị số j vừa tìm được bằng trị số j

chọn sơ bộ trước đó thì dừng bài toán. Kích thước của vòng cuối cùng là kết quả

của bài toán,

Thí dụ 7: Cho một cột gỗ mặt cắt hình vuông chịu nén bởi lực P = 100kN. Xác

định chiều dài cạnh a của mặt cắt ngang cột biết l = 3m, [s]n = 1kN/cm2 ( hình

7.12)

Giải: Với sơ đồ liên kết như hình 7.12 ta có µ =2

Đầu tiên chọn j’o = 0,5. Hình 7.13

min

1.300 1012,95

liµl = = =

1 22 2( )

100,60 0,520,52 (110 101) 0,592

10

j jj j l l-= + -

-= + - =

n[ ]zz

N PF F

s j s= = £

[ ] [ ] [ ]n nP F P Fj s j s® £ ® £

l

P

a

a

43

Từ điều kiện ổn định ta xác định được kích thước mặt cắt và sau đó là độ mảnh l, tra bảng ta có j1. Nếu

j1 ¹j’o thì chọn và trở lại vòng thứ hai tương tự như vòng thứ nhất.

Ta cứ tiếp tục như vậy đến lần thứ i sao cho

Kết quả các vòng tính có thể xem ở bảng sau:

Lần thứ

1 0,5 200 cm2 14,1 cm 4,05 cm 148 0,145 2 0,32 311 17,7 5,11 117 0,24 3 0,28 357 18,9 5,45 110 0,25 4 0,265 378 19,4 5,58 107 0,265

Đến hết vòng thứ tư ta thấy Vậy kích thước của mặt cắt ngang của cột là a = 19,4 cm

Nếu mặt cắt ngang của thanh là thép dát định hình do kích thước mặt cắt thay đổi theo bậc cho nên khi j

trong tính toán chọn sơ bộ và j của bước kiểm tra xấp xỉ nhau ta cần kiểm tra lại điều kiện ổn định và

chọn mặt cắt nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện ổn định.

Thí dụ 8: Chọn số thép chữ I cho thanh thép CT2

dài l = 2 m, có [s] = 140 MN/m2, chịu lực nén

đúng tâm P = 230 KN.

Giải: Hình 7.14

- Chọn j = 0,5 thay vào điều kiện ổn định ta có.

= 32,85 cm2

Tra bảng thép định hình chọn INo22a có F = 32,4 cm2

imin = iy = 2,5 cm

Với mặt cắt INo22a ta tính = 80

Từ l = 80, vật liệu là thép CT2 tra bảng ta tìm được j1 = 0,75

So sánh ta thấy j1 khác xa j0 nên ta phải chọn lại.

Lấy j20 = 0,625

Thay vào điều kiện ổn định ta có: = 26,28 cm2

Tra bảng chọn INo20 có F = 26,4 cm2, imin = iy = 2,06 cm

Với mặt cắt INo20 ta tính = 97

'' 11 2

oj jj +=

'1i ij j -=

'1ij - '

1 n[ ]ii

PFj s-

= i ia F= min 12i

iai =

mini

i

liµl = ij

'4 3 0, 265j j= =

0

230[ ] 0,5.14n

PFj s

³ =

®

min

1.2002,5

liµl = =

0 1 0,5 0,752 2

j j+ += =

2

230[ ] 0,625.14n

PFj s

³ =

min

1.2002,06

liµl = =

P

l

44

Từ l = 80, vật liệu là thép CT2, tra bảng kết hợp với nội suy ta có

Với l = 97, nội suy ta tìm được j = 0,627

So sánh ta thấy j = 0,627 xấp xỉ j20 = 0,625

Kiểm tra lại điều kiện ổn định với mặt cắt INo20 có:

Vậy ta chọn mặt cắt chữ I có số hiệu INo20

7.7. HÌNH DÁNG HỢP LÝ CỦA MẶT CẮT NGANG VÀ CÁCH CHỌN VẬT LIỆU

Hình 7.15

Muốn cho thanh chịu nén đúng tâm được đảm bảo an toàn theo điều kiện bền thì chỉ cần mặt cắt

ngang của thanh có một diện tích tối thiểu nào đó, còn hình dáng của nó nói chung có thể bất kỳ.

Nhưng muốn cho thanh đó được ổn định thì ngoài việc phải đảm bảo diện tích của mặt cắt ngang mà còn

phải cần chú ý đến hình dáng của nó. Phải chọn hình dáng của mặt cắt sao cho với một diện tích nhất

định, thanh chịu được một lực nén lớn nhất. Hình dáng như vậy được gọi là hình dáng hợp lý của mặt

cắt ngang vì nó đảm bảo vừa an toàn vừa tiết kiệm nhất, nó tận dụng được khả năng chịu lực của vật liệu.

Như ta đã biết, muốn tăng tính ổn định của thanh cần giảm độ mảnh l

Để giảm độ mảnh l ta có thể giảm chiều dài l của thanh, thay đổi liên kết ở hai đầu thanh sao cho

µ nhỏ đi ( nếu điều kiện làm việc của thanh cho phép), hoặc tăng trị số của imin . Vì thế để mặt cắt ngang

có hình dáng hợp lý người ta chọn hình dáng của nó sao cho:

a. imin = imax tức là Jmin = Jmax .Như vậy thanh sẽ chống lại sự mất ổn định như nhau theo mọi

phương. Do đó mặt cắt của thanh thường là hình tròn, hình vuông hoặc đa giác đều.

1 1

2 2

90 0,69100 0,60

l jl j= ® == ® =

2 2

230 8,712 0,627.14 8,77826,4z

P KN KNF cm cm

s = = < =

45

b. Các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang càng lớn càng tốt, vì thế người ta

thường dùng các hình rỗng, tuy nhiên không được quá mỏng để xảy ra hiện tượng mất ổn định cục bộ.

c. Người ta thường hay sử dụng mặt cắt ghép như, ghép hai thép chữ I hoặc chữ [, hoặc bằng bốn

thép góc… Khi ghép mặt cắt yêu cầu ghép sao cho Jmin = Jmax và các mô men quán tính chính trung tâm

đó càng lớn càng tốt.

Như đã biết đối với thanh có độ mảnh lớn, đặc trưng cơ học duy nhất ảnh hưởng đến sth là mô đun đàn

hồi E của vật liệu, còn đối với thanh có độ mảnh vừa và bé, giới hạn chảy hoặc giới hạn bền lại có ảnh

hưởng lớn đến sth.

Cho nên khi sử dụng vật liệu để làm thanh chịu nén cần chú ý là dùng vật liệu có cường độ cao không

phải bao giờ cũng có lợi. Thí dụ như các thanh thép tuy có cường độ khác nhau nhưng môdun đàn hồi E

có giá trị gần như không đổi. Do đó, đối với thanh có độ mảnh lớn không nên dùng những loại thép có

cường độ cao vì như thế sẽ lãng phí. Trái lại với những thanh có độ mảnh bé và vừa dùng thép có cường

độ cao lại rất có lợi vì nó tăng được ứng suất tới hạn tức là nâng cao tính ổn định của thanh.


1. Trình bày khái niệm về cân bằng ổn định và trạng thái cân bằng không ổn định, trạng thái tới hạn,

lực tới hạn của hệ biến dạng đàn hồi.

2. Nêu dấu hiệu mất ổn định của thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm trong ba bài toán ơle. Khi mất

ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng nào?

3. Định nghĩa độ mảnh của thanh. Tại sao nói độ mảnh của thanh là một đặc trưng quan trọng khi

tính toán ổn định của thanh? Độ mảnh phụ thuộc vào những yếu tố nào?

4. Viết công thức tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn khi vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi

(thanh có độ mảnh lớn) và khi làm việc ngoài giai đoạn đàn hồi (thanh có độ mảnh vừa và bé).

Cách xác định các độ mảnh l0, l1.

5. Vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ giữa sth và l. Nhận xét đồ thị đó?

6. Trình bày điều kiện ổn định theo hệ số an toàn về ổn định?

7. Nêu nội dung phương pháp tính toán ổn định theo quy phạm. Trình bày điều kiện ổn định theo hệ

số giảm ứng suất j.

8. Trong hai cách viết điều kiện ổn định, cách viết nào có độ tin cậy và chuẩn xác hơn? Tại sao?

9. Nêu cách giải ba bài toán cơ bản tính toán thanh chịu nén dọc từ điều kiện ổn định theo quy

phạm.

10. Nêu dạng mặt cắt hợp lý và cách chọn vật liệu.

46

BÀI TẬP

Bài 1. Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn cho các thanh như hình vẽ: a, Thanh gỗ có l = 1 m, d = 6 cm.

b, Thanh gang có l = 2,5 m, h = 20 cm, b = 8 cm.

c, Thanh thép CT3 có l = 6 m, Jx = Jy

d, Thép CT3 có l = 3 m

Bài 2. a, Cột gỗ có l = 4 m, D = 8 cm, d = 6,4 cm, [s]n = 12 MN/m2, P = 50 KN - Kiểm tra điều kiện ổn định cho cột? - Xác định hệ số an toàn về ổn định mà cột đang làm việc?

l

d

P

b

hl

P

l

P

N°10

y

x

P

l y

x

N°24

P

l

Dd

47

b, Cột thép CT3 có l = 4 m, [s] = 160MN/m2, P = 300 KN

c, Cột gang có [s]n = 148 MN/m2, P = 470 KN, l = 6 m.

Bài 3.

- Xác định kích thước mặt cắt ngang cho cột gỗ chịu lực như hình a, b và chọn số hiệu thép chữ I cho cột thép CT3 chịu lực như hình c.

- Tính hệ số an toàn về ổn định khi cột làm việc với kích thước đã chọn. a, P = 60 KN, l = 4 m, [s] = 10MN/m2

b, P = 70 KN, l = 5 m, [s] = 10MN/m2

c, P = 240 KN, l = 3 m, [s] = 160MN/m2

d, P = 950 KN, l = 2 m, [s] = 160 MN/m2

l

P

N°24

l

P

190

150

300 mm260

l

P

a

a

P

l

d

l

P

x

y

48

Bài 4. Xác định tải trọng cho phép cho hệ chịu lực như hình vẽ a, b, c. a, Thanh CB làm bằng gỗ có kích thước ( bxh) = (10x20) cm2, a = 30o [s]n = 10 MN/m2, a = 1,5 m, P = qa.

b, Thanh AB làm bằng thép CT3 có mặt cắt ngang gồm hai thép I No20 ghép với nhau một cách hợp lý, a = 3 m, [s] = 150MN/m2.

CA

B

P

l

2a 3a

a

P= qa

h

b

aq

a

N°20

P = q.a q

a 2a a

2a

A

B

49

Bài 5. - So sánh tải trọng cho phép trong các trường hợp mặt cắt gồm 2 thép [ No14 ghép theo 4 phương án: a, Ghép sát nhau b, Ghép với c = 10 cm c, Ghép với c = 5 cm d, Ghép sao cho Jx = Jy - Xác định hệ số an toàn khi cột làm việc với tải trọng cho phép? Cho [s] = 140 MN/m2

x

y

x

y

c

y

x

c

y

x

P

l = 2

m

N°14

(a) (b) (c) (d)

50

Chương 8: TẢI TRỌNG ĐỘNG

8.1. KHÁI NIỆM, PHƯƠNG HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Ở các chương trước, ta đã xét các bài toán tải trọng tĩnh, là các tải trọng khi tác dụng lên hệ có trị

số tăng lên từ từ, êm đềm, không gây nên lực quán tính. Ở chương này ta sẽ nghiên cứu các bài toán tải

trọng động, là bài toán trong đó tải trọng tác dụng lên hệ là tải trọng có trị số tăng lên đột ngột, biến đổi

theo thời gian vì trên hệ xuất hiện lực quán tính.

Như vậy tải trọng động là tải trọng khi tác dụng lên một hệ đàn hồi thì gây nên các lực quán tính. Lực

quán tính phát sinh trong hệ do nhiều dạng chuyển động khác nhau của khối lượng đặt trên hệ, như là

chuyển động thẳng, chuyển động quay, va chạm, dao động v.v...

Phương hướng nghiên cứu các bài toán tải trọng động là xác định những yếu tố khác nhau giữa

tác động của tải trọng động và tác động của tải trọng tĩnh tương ứng. Các yếu tố khác nhau đó sẽ được

thể hiện bằng các hệ số gọi là hệ số động, thường được ký hiệu là Kđ. Khi đã có hệ số động thì ứng suất,

biến dạng, chuyển vị trong bài toán động sẽ bằng tích ứng suất, biến dạng, chuyển vị trong bài toán tĩnh

tương ứng nhân với hệ số động.

Vì vậy mục tiêu của các bài toán tải trọng động là xác định các hệ số động Kđ. Để xác định được

các hệ số động ngoài việc sử dụng các giả thuyết chung của môn học ta còn phải sử dụng các định luật

bảo toàn năng lượng, định luật bảo toàn động lượng, nguyên lý cân bằng động Đalămbe.

Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu các dạng bài toán động thường gặp trong thực tế.

8.2 BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG THẲNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI

Trọng lượng P treo ở một đầu dây cáp chuyển động với gia tốc không đổi a, Gọi trọng lương

riêng của vật liệu làm dây cáp là , diện tích mặt cắt ngang là F , chiều dài dây cáp là l .

Gia tốc a được coi như là dương nếu gia tốc này có chiều hướng lên và âm khi hương xuống .

Bây giờ , ta tính nội lực tại mặt cắt cách đầu mút dây một khoảng cách x . Trên mỗi mặt cắt

ngang của dây đều chỉ tác dụng của trọng lượng P , trọng lượng dây và lực quán tính . Lực quán tính của

trọng lượng P coi như là lực tập chung có giá trị là , trong đó g là gia tốc trọng trường . Lực quán

tính của dây cáp phân bố đều theo chiều dài dây , cường độ của nó là .

Hình 8.1

g

agP

agFg

P

lz

P

z

Nz

51

Theo nguyên lý Dalămbe , nếu kể cả lực quán tính thì ta có thể viết phương trình cân bằng tĩnh

học cho phần khảo sát .

Gọi Nđ là lực dọc trên mặt cắt ngang cách đầu mút dây khoảng cách x , trị số của nó là :

Ứng suất trên mặt cắt ngang của đây cáp là

Nếu hệ ở trạng thái tĩnh thì ứng suất trên dây cáp có trị số là :

Người ta đặt :

Kđ gọi là hệ số động . Như vậy :

Ứng suất pháp lớn nhất ở đầu trên cùng của dây cáp , nghĩa là tại z = l , lúc đó

max

Và ứng suất lớn nhất có trị số :

max

Điều kiện bền tại tiết diện nguy hiểm là

max

Từ biểu thức tính Kđ ta thấy Kđ > 1 nếu a > 0 , nghĩa là trọng lượng P chuyển động hướng lên nhanh dần

đều , hay hướng xuống chậm dần đều . Kđ < 1 nếu a < 0 , nghĩa là khí chuyển động lên trên chậm dần

đều hoặc chuyển động xuống dưới nhanh dần đều.

Thí dụ 1: Cho một dầm là bằng thép chữ I N030 được nâng lên theo phương thẳng đứng với gia

tốc a = 5m/s (sơ đồ như hình 8.2) dây cáp có diện tích mặt cắt ngang F = 1cm2. Xác định ứng suất pháp

lớn nhất ở dây cáp và dầm, biết a = 1m; l = 8m ( Khi tính toán cho phép bỏ qua lực dọc).

Hình 8.2a

( )dP FzN P Fz a ag g

ggæ ö

= + + +ç ÷è ø

1dd

N P azF F g

s gæ öæ ö= = + +ç ÷ç ÷

è øè ø

tP zF

s g= +

dkga

=÷÷ø

öççè

æ+1

dtd kga .1 sss =÷÷ø

öççè

æ+=

÷øö

çèæ += lFP

t .gs

dt k.maxss =

[ ]sss £= dt k.max

a l a

N°36

52

Giải: Trọng lượng bản thân của dầm tác dụng lên dầm như tải trọng phân bố đều cường độ q =

g.F

Tra bảng thép I, N030 có q = 357N/m; Wx = 472cm3

Hệ số động ở đây là:

Nzt = q(l+2a) = 3570N

Biểu đồ mômen uốn của dầm ở hình 8.2b, mômen uốn tĩnh lớn nhất

là mômen ở mặt cắt giữa dầm.

Mxmaxu = 2677,5Nm

Ứng suất pháp lớn nhất ở dây cáp:

ứng suất lớn

nhất ở dầm

Hình 8.2b

8.3 BÀI TOÁN VẬT QUAY VỚI VẬN TỐC GÓC KHÔNG ĐỔI

Với bài toán chuyển động quay ta xét một vành có độ dày t <<D, diện tích mặt cắt vành là F.

Trọng lượng riêng của vật liệu là g, quay xung quanh trục 0-0 với vận tốc góc không đổi là w.

Trong thực tế giữa vành và tam quay có các thanh nan hoa, nhưng ở đây ta bỏ qua ảnh hưởng của

chúng (hình 8.3a). Khi vành quay với vận tốc góc không đổi thì các điểm của vành chỉ có gia tốc li tâm

bằng còn gia tốc tiếp tuyến bằng 0.

Cứ trên một đơn vị chiều dài của vành có mọt lực li tâm là

(a)

5,18,951

ga1Kd »+=+=

2max max

3570. .1,5 5355 /1

d tz z dK N cms s= = =

22

max max2677,5.10. .1,5 850,9 /472

d tz z dK N cms s= = =

D.21 2w

D21.

gFQ 2

d wg

=

a l a

Nz

q

178,5

2677,5

178,5

53

Giả sử cắt vành bằng một mặt phẳng đi qua tâm và chia vành thành hai nửa (hình 8.3b) vì tiết diện ngang

của vành rất bé nên ta coi ứng suất phân bố trên nó là đều. Xét cân bằng của một nửa vành ta có phương

trình:

(b)

Độ dài vi phân (c)

Thay (a) và (c) vào (b) rồi tính tích phân ta được:

(8-3)

Ta thấy rằng trong bài toán chuyển động quay không có bài toán tĩnh tương ứng, vì vậy cũng

không thể có được biểu thức hệ số động rõ ràng như bài toán chuyển động thẳng.

Thí dụ 2: Thanh BC của bộ điều tốc có mặt cắt hình

chữ nhật kích thước 60x20mm được gắn vào thanh AB coi

như cứng tuyệt đối, tại đầu C có gắn một vật trọng lượng P =

100N. Bộ điều tốc này quay quanh trục O1 - O2 với vận tốc w

= 30s-1. Xác định ứng suất pháp lớn nhất trong thanh BC và

chuyển vị ngang của điểm C (hình 8.4)

Giải: Khi bộ điều tốc quay thì sẽ có một lực quán tính

Pqt tác dụng lên trọng lượng P.

Ở đây CC' là chuyển vị của điểm C, là độ võng của dầm BC

bằng:

Pqt = = 917,431 N

Khi đó thanh BC chịu kéo bởi trọng lượng P, chịu uốn bởi Pqt .

Vẽ biểu đồ (Nz), (Mx).

Ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt B và có trị số

N/cm2

N/cm2

òp

=j-s0

dd 0sin.ds.qF2

j= d2Dds

g4D22

dgw

=s

2qt

PP ABgw=

2100 30 10981

x

max 2

max 2

100 917,431.506W 6.2 2.6

100 917,431.506W 6.2 2.6

xkz

x

xnz

x

MNzF

MNzF

s

s

= + = +

= - = -

max 3830,96kzs =

max 3814,29nzs = -

54

Chuyển vị ngang CC’ của điểm C chính là độ võng tại C của dầm BC và được tính như.

với Jx = = 36 cm4

E = 2.107 N/cm2

CC’ = 5,31.10-2 cm

8.4 BÀI TOÁN DAO ĐỘNG

8.4.1 Khái niệm về dao động

Như ta đã nói ở đầu chương, dao động là một

dạng chuyển động có gia tốc của hệ đàn hồi. Vì là

chuyển động có gia tốc cho nên trong dao động có xuất

hiện những lực quán tính, những lực này được bổ sung

vào việc làm tăng biến dạng và nội lực của hệ. Do vậy

bài toán dao động là bài toán tải trọng động.

Hình 8.5

Để nghiên cứu về dao động chúng ta cần biết một số khái niệm sau:

- Bậc tự do của một hệ đàn hồi:

Bậc tự do của một hệ đàn hồi là số thông số độc lập để xác định vị trí của hệ. Nếu bỏ qua trọng lượng

dầm thì trên hình 8.5a hệ có một bậc tự do vì vị trí của dầm được xác định bằng vị trí của một khối lượng

m.

Còn trên hình 8.5b hệ có hai bậc tự do vì vị trí của hệ được xác định bằng vị trí của hai khối lượng m1 và m2.

Nếu tính đến cả trọng lượng dầm thì cả hai trường hợp hệ là vô số bậc tự do.

- Tần số dao động của hệ

Tần số dao động của hệ đàn hồi là số dao động trong một đơn vị thời gian, thường là số dao động trong

một giây, và được ký hiệu là f. Trong kỹ thuật người ta thường dùng tần số góc, là số dao động trong thời

gian 2p, ký hiệu là w

w = 2pf

Tần số được đo bằng đơn vị héc

- Chu kỳ dao động của hệ đàn hồi

Chu kỳ dao động của hệ là thời gian mà hệ thực hiện được một dao động trọn vẹn. Chu kỳ ký hiệu là T:

- Biên độ dao động:

Biên độ dao động là độ xa vị trí cân bằng nhất trong dao động

Dao động của hệ cũng được chia thành dao động tự do và dao động cưỡng bức

3( )'

3qt

x

P BCCC

EJ=

3212ab

)s(flT =

55

Dao động tự do là dao động khi ta tác động đa hệ ra khỏi vị trí cân bằng rồi sau đó không tác động gì

nữa. Trong quá trình dao động này không có lực kích thích nữa.

Dao động cưỡng bức là dao động của hệ dưới tác dụng của ngoại lực biến đổi tuần hoàn theo thời gian.

Thí dụ một môtơ đặt trên dầm, do rôtô của môtơ có trọng lượng lệch tâm, nên khi quay sẽ gây nên lực li

tâm biến đổi tuần hoàn theo thời gian. Lực li tâm này làm cho dầm bị dao động cưỡng bức.

Sau đây ta sẽ xét dao động của hệ có một bậc tự do

8.4.2 Dao động tự do của hệ có một bậc tự do

Xét một hệ được mô hình hoá bằng một dầm có một khối lượng trung m (hình 8.6). Giả sử ta đưa

hệ ra khỏi vị trí cân bằng thì hệ sẽ dao động. Trong quá trình dao động sẽ có một lực quán tính là m.

tác dụng vào m theo hướng ngược với hướng dao động. Trong đó y(t) là chuyển vị của khối lượng m.

Nếu ta bỏ qua lực cản thì chuyển vị y(t)

chỉ do lực quán tính gây ra, nên:

y(t) = -d.m (a)

dấu (-) chỉ ra rằng lực quán tính có chiều

ngược với chiều dao động.

Hình 8.6

Đặt từ biểu thức (a) ta có phương trình dao động không có lực cản như sau:

(b)

Nghiệm của phương trình có dạng:

(c)

Hình 8.7

2

2d ydt

2

2d ydt

m12

d=w

0ydtyd 22

2

=w+

( ) ( )j+w=w+w= tsinAtcosCtsinCty 21

56

Ở đây C1, C2 hoặc A, j là các hằng số tích phân. Biểu thức (c) biểu diễn một dao động với biên

độ A và tần số w. Dao động này có thể biểu diễn bằng đồ thị như hình 8.7. Tần số w được gọi là tần số

dao động riêng (hay tần số dao động tự do) của hệ và tính bằng biểu thức sau:

(8-8)

yt là chuyển vị tĩnh do trọng lượng của khối lượng m gây nên.

8.4.3 Dao động tự do có lực cản

Trong thực tế, khi hệ dao động do tiếp xúc với môi trường xung quanh nên hệ bị lực ma sát cản

lại. Lực cản rất phức tạp, nhưng để đơn giản người ta coi lực cản tỉ lệ thuận với vận tốc dao động và bằng

b cũng có chiều ngược với chiều dao động (hình 8.8). b là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào tính chất của môi

trường xung quanh và coi như đã được xác định.

Như vậy, chuyển vị của khối lượng m do lực quán tính và lực cản gây ra:

(d)

Ta cũng đặt và và có phương trình:

(e)

Nghiệm của phương trình sẽ có dạng:

y(t) = Ae-atsin(w1t + j1) (g)

Ở đây w1 là tần số dao động tự do có lực cản với trị số là

(8-9)

Hình 8.8

Biên độ dao động này là Ae-at phụ thuộc vào thời gian theo quan hệ tỉ lệ nghịch, nghĩa là thời

gian càng lớn biên độ càng nhỏ, cứ sau một dao động chu kỳ T, biên độ giảm đi

tyg

mgg

m1

=d

=d

=w

.y

( )dtdy

dtydmty 2

2

bd-d-=

m12

d=w

m2 b

=a

0ydtdy2

dtyd 22

2

=w+a+

221 a-w=w

( )T

T1

t

eee a

+a-

a-

=

57

Hình 8.9

Vì vậy dao động này được gọi là dao động tắt dần. Ta thấy sự tắt dần càng nhanh nếu lực cản

càng lớn, tức là a càng lớn (hình 8.9)

8.4.4 Dao động kích thích của hệ một bậc tự do

Ta cũng xét một hệ bậc tự do được mô hình hoá bằng một dầm như hình 8.10. Khi dao động,

ngoài lực quán tính và lực cản còn có một lực kích thích biến thiên theo thời gian là P(t) = P0sinWt tác

dụng lên khối lượng m theo chiều chuyển động của m.

P0 là trị số lớn nhất của lực kích thích, W là tần số góc của lực kích thích. Chuyển vị y(t) của khối

lượng m sẽ là:

Từ đây ta có phương trình dao động là:

(h)

Nghiệm của phương trình trên sẽ là:

y = y0 + y1

Trong đó:

y0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất như biểu thức (g)

y1 là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng

y1 = C1sinWt + C2cosWt (i)

( ) ( ) úû

ùêë

éb--d=dtdy

dtydmtPty 2

2

tsinmPy

dtdy2

dtyd 022

2

W=w+a+

58

Hình 8.10

Các hằng số C1 và C2 được xác định bằng cách thay biểu thức (i) vào phương trình (h) và đồng nhất hệ số

của sinWt và cosWt ở hai vế, ta được:

(k)

Nếu đặt:

và thay biểu thức C1 và C2 vào nghiệm (i) ta được

(l)

hay (m)

Nghiệm (m) biểu diễn một dao động với tần số bằng tần số lực kích thích, có biên độ là:

(8-10)

Ở đây trị số P0d là chuyển vị tại mặt cắt mang khối lượng m do lực P0 đặt tĩnh lên dầm, được gọi là

chuyển vị tĩnh Dt = P0d

Vậy biểu thức hệ số động sẽ là:

(8-11)

( )

( ) 222220

2

22222

220

1

42.

mPC

4.

mPC

Wa+W-w

Wa-=

Wa+W-w

W-w=

( )

( ) 22222

22

22222

4cos

4

2sin

Wa+W-w

W-w=y

Wa+W-w

Wa=y

( )( )y-W

Wa+W-w= tsin

4

1.mPy

22222

01

( )y-W

wWa

+÷÷ø

öççè

æwW

-

d= tsin

41

Py

4

222

2

2

01

t.KP.41

1

41

PA d0

4

222

2

2

4

222

2

2

01 D=d

wWa

+÷÷ø

öççè

æwW

-

=

wWa

+÷÷ø

öççè

æwW

-

d=

4

222

2

2d

41

1K

wWa

+÷÷ø

öççè

æwW

-

=

59

Ta thấy hệ số động phụ thuộc vào tỉ số và

hệ số cản a

Trên hình 8.15 biểu diễn mối quan hệ giữa hệ

số động Kđ và tỉ số với một số trị số a.

Khi = 1 tức là khi tần số của lực

kích thích bằng tần số dao động riêng của hệ số

thì trị số của Kđ tăng lên đáng kể. Hiện tượng

này gọi là hiện tượng cộng hưởng. Thực tế cho

thấy rằng khi tần số của lực kích thích không

khác nhiều tần số dao động tự do thì biên độ

dao động tăng lên rõ rệt và tạo thành một miền cộng hưởng. Hình 8.11

Trong kỹ thuật, để tránh hiện tượng cộng hưởng thì tần số của lực kích thích phải khác xa tần số

dao động tự do của hệ.

Từ hình (8.11) ta cũng thấy rằng khi a khác nhau thì đường cong của hệ số động Kđ khác

nhau nhiều trong miền cộng hưởng với tỉ số trong khoang từ 0,5 -2, còn khitỉ số trên ở ngoài miền

cộng hưởng thì Kđ không phụ thuộc nhiều vào hệ số cản a. Vì vậy nếu hệ làm việc ngoài miền cộng

hưởng thì hệ số động có thể tính theo công thức sau:

(8-12)

Cũng như ở các bài toán tải trọng động khác, khi đã biết hệ số động Kđ thì ứng suất và biến dạng

của hệ bằng ứng suất, biến dạng do trị số lớn nhất của lực kích thích đặt tĩnh lên hệ gây nên nhân với hệ

số động.

Trong các bài toán dao động, ngoài khối lượng m đặt sẵn trên hệ, nếu có kể đến khối lượng của

dầm và khối lượng này được coi là nhỏ so với khối lượng m thì ta có thể thay khối lượng thu gọn. Khối

lượng này có trị số bằng với hệ số thu gọn µ. Trị số của hệ số thu gọn µ được xác định trên cơ sở tương

đương về động năng của hệ. Dưới đây là các trị số của µ tương ứng với các vị trí đặt khối lượng thu gọn

của hệ.

wW

wW

wW

wW

2

2d

1

1K

wW

-=

60

Hình 8.12

Thí dụ 4: Hai dầm liên kết gối hai dầu, dài

3m mặt chữ I N024a, giữa dầm đặt môtơ có trọng

lượng Q = 12.103N quay với vận tốc n = 1200

vòng/phút. Lực li tâm gây ra do khối lượng m = 2

kg đặt cách trục 0,3cm (bỏ qua lực cản và trọng

lượng dầm). Tính ứng suất lớn nhất trong dầm

(hình 8.13). Hình 8.13

Giải: Tra bảng với mặt cắt I, N024a có

Jx = 3800cm4; Wx = 317cm3

Tần số góc quay dao động tự do

Độ võng tĩnh do Q gây ra là:

m

Thay số ta có tần số góc của dao động tự do là:

Tần số góc của môtơ:

Giá trị cực đại của lực kích thích là:

Hệ số động trong trường hợp không kể lực cản là:

mtga)

l/2 l/2

l

A

µ = 1735

µ = 33140

mtg

mtg

µ = 13

b)

c)

tyg

=w

3 32

412.300 4,44.10

48 48.2.10 .2.3800tx

Qly cmEJ

-= = =

2981 1148,64( )

4,44.10 sw -= =

2 .1200 1125,6( )60 s

pW = =

( )220

20. 125,6 .0,03 0,9729,81

P m r KN= W = =

61

Mômen uốn do lực P0 đặt tĩnh lên dầm gây ra tại mặt cắt đặt lực là:

ứng suất tĩnh tương ứng

ứng suất do tải trọng động gây ra

ứng suất tĩnh do trọng lượng môtơ gây ra

ứng suất toàn phần lớn nhất trong dầm

8.5 BÀI TOÁN VA CHẠM

8.5.1 Khái niệm về hiện tượng va chạm. Các giả thuyết

Giả sử ta có một trọng lượng Q chuyển động về hướng Q' đặt trên một hệ

đàn hồi (hình 8.14).

Khi chuyển động đến Q', Q va đập vào Q', gắn chặt với Q' và cùng Q' tiếp tục

chuyển động làm cho hệ đàn hồi biến dạng. Hiện tượng trên được gọi là hiện

tượng va chạm. Bài toán nghiên cứu hiện tượng va chạm là bài toán tải trọng

động và thường được gọi là bài toán va chạm. Trong mục này ta chỉ nghiên cứu

bài toán va chạm đối với hệ một bậc tự do.

Để thuận tiện trong việc nghiên cứu bài toán này người ta đề ra các giả thuyết sau: Hình 8.14

- Va chạm là va chạm mềm, xuyên tâm và hiện tượng va chạm xảy ra tức thời.

- Trong quá trình va chạm không bị mất mát năng lượng vào môi trường xung quanh

Với hai giả thuyết trên ta có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn năng lượng

trong quá trình nghiên cứu bài toán va chạm.

Sau đây ta sẽ đi sâu vào hai bài toán va chạm phổ biến là bài toán va chạm thẳng đứng và bài toán va

chạm nằm ngang.

( )( )

2 2

2 2

1 1 3,5125,61 1148,64

dK

w

= = =W

- -

max 972 3 72,9 .4 4o

xP l xM KN cm= = =

maxmax 272,9 0,115 /

2.317x

tx

M KN cmW

s = = =

max max 2. 0,115.3,5 0,402 /d t dk KN cms s= = =

max 212.300' 1,42 /4.2.317t KN cms = =

max max 2max ' 1, 42 0,402 1,822 /t d KN cms s s= + = + =

62

8.5.2 Bài toán va chạm thẳng đứng của hệ một bậc tự do

Giả sử ta có một hệ đàn hồi có một bậc tự do được mô hình hoá bằng một dầm nằm ngang, có gắn

một trọng lượng Q' như hình 8.15

Sau khi rơi tự do từ độ cao h xuống dầm, trọng lượng Q gắn chặt với Q', tiếp tục chuyển động và làm cho

dầm có chuyển vị lớn nhất là yđ tại mặt cắt va chạm.

Hình 8.15

Gọi vận tốc của Q ngay trước khi va chạm là v0 thì động lượng của Q sẽ là

Nếu gọi vận tốc của Q và Q' ngay sau khi va chạm là v thì động lượng của chúng là . Theo định

luật bảo toàn động lượng ta có:

(a)

Từ đây ta rút được vận tốc v là:

(b)

Trọng lượng Q rơi từ độ cao h nên v0 =

Động năng của Q và Q' ngay sau khi va chạm là:

(c)

Thay (b) vào (c) ta được: (d)

Các trọng lượng Q và Q' bắt đầu chuyển động ngay sau khi va chạm và hạ độ cao là yđ nên thế năng của

chúng giảm đi một lượng là:

P = (Q + Q')yđ (e)

Bây giờ chúng ta xác định thế năng biến dạng đàn hồi

Lúc đầu trên dầm chỉ có Q' thì dầm có độ võng là y't và thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong dầm sẽ là:

(g)

0vgQ

vg'QQ +

vg'QQv

gQ

0+

=

0v.'QQQv+

=

gh2

2v.g'QQ.

21T +

=

gQ'Q1

Qv.21T

20

÷÷ø

öççè

æ+

=

d==

2t

t1y.

21'y'Q

21U

63

Ở đây d là chuyển vị gây ra do lực đơn vị đặt tại mặt cắt có Q' nên

Tương tự như trên, khi va chạm dầm có chuyển vị toàn phần là yđ + y't nên thế năng biến dạng đàn hồi sẽ là:

(h)

Như vậy phần thế năng biến dạng đàn hồi do va chạm gây nên sẽ là:

(i)

Theo quy luật bảo toàn năng lượng ta có:

U = T + P (k)

Thay (d), (e) và (i) vào (k) ta được phương trình

(l)

Gọi yt là chuyển vị tĩnh tại mặt cắt va chạm do Q đặt tĩnh lên dầm thì

yt = d.Q (m)

Thay biểu thức (m) vào phương trình (l) ta được:

(n)

Nghiệm của phương trình (n) sẽ là

Lấy trị số dương của yt. (o)

Ta lấy trị số dương của yđ và thay v20 = 2gh ta được:

(p)

Từ biểu thức (p) ta có biểu thức của hệ số động là:

(8-4)

Nếu hiện tượng va chạm xảy ra do trọng lượng Q rơi tự do từ độ cao h thì vo2 = 2gh.

Thay vào biểu thức (8.4) ta có biểu thức của hệ số động là.

d=

'ty'Q

( )d+

=2

td2

'yy.21U

d

2ddt

2d

12 y'Q2yy'y

2yUUU +

d=

d+

d=-=

( ) d

20

d

2d y'QQ

Q'Q1g

Qv.21y'Q

2y

++

÷÷ø

öççè

æ+

=+d

0

Q'Q1g

vyyy2y20t

dt2d =

÷÷ø

öççè

æ+

--

÷÷ø

öççè

æ+

+±=

Q'Q1g

vyyyy20t

ttd

2. 1 1'1

d t

t

hy yQyQ

æ öç ÷ç ÷= + +ç ÷æ ö

+ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

÷÷ø

öççè

æ+

++=

Q'Q1y

h211K

t

d

64

Khi kể đến trọng lượng của dầm thì ta phải thêm trọng lượng thu gọn vào trọng lượng Q'. Trong trường

hợp đặc biệt nếu trên dầm không có trọng lượng đặt sẵn Q' thì:

Trường hợp Q được đặt đột ngột lên dầm, tức là h =0 thì Kđ = 2

Sau khi có Kđ thì ứng suất và biến dạng động của hệ sẽ bằng tích ứng suất, biến dạng tĩnh tương ứng

nhân với hệ số động.

Thí dụ 3: Cho một dầm làm bằng thép chữ I, N022a, một trọng lượng Q = 200N rơi từ độ cao h =

4cm xuống đầu tự do của dầm. Chiều dài các đoạn dầm như hình 8.7a Bỏ qua trọng lượng của dầm. Tính

ứng suất lớn nhất phát sinh trong dầm, biết E = 2.104 kN/cm2

Giải: Tra bảng dầm chữ I, N022a ta được các đặc trưng mặt cắt

Jx = 2760 cm4

Wx = 251 cm3

Biểu đồ mômen uốn do tải trọng Q đặt tĩnh lên dầm được vẽ trên hình 8.16b

Mômen uốn lớn nhất bằng

Mtxmax =Q.b = 600Nm

Ứng suất tĩnh lớn nhất

Để xác định độ võng tĩnh tại mặt cắt va chạm

ta lập trạng thái đơn vị, biểu đồ mômen uốn như hình

8.7c. Nhân biểu đồ (b) và (c) ta được:

cm

Hệ số động là

Ứng suất pháp lớn nhất khi va chạm sẽ là: sđmax = stmax.kđ = 0,234.10,644 = 2,544

KN/cm2

Hình 8.16

÷÷ø

öççè

æ+

++=

Q'Q1y

h211K

t

d

td y

h211K ++=

2maxmax 239 /

tt x

x

M N cmW

s = =

( ) ( )222

7

200. 300 .8008,695.10

3 3.2.10 .2790tx

Qby a bEJ

-= + = =

32 2.41 1 1 1 10,644

86.10dt

hKy -= + + = + + =

a = 5m b = 3 m

h

Q

Q

Pk = 1

Mx

Mkx

b

Qb

a)

b)

65

8.5.3 Bài toán và chạm nằm ngang của hệ một bậc tự do

Giả sử có một hệ đàn hồi có một bậc tự do được mô hình hoá bằng một dầm thẳng đứng có gắn

trước một trọng lượng Q' như hình 8.8. Một trọng lượng Q chuyển động với

vận tốc v0 không đổi theo phương nằm ngang đến va chạm vào Q', gắn chặt

với Q' và tiếp tục chuyển động làm dầm có chuyển vị là yđ. Gọi v là vận tốc

của Q và Q' bắt đầu chuyển động ngay sau khi va chạm theo định luật bảo

toàn động lượng ta có:

Suy ra: (a)

Động năng của hệ ngay sau khi va chạm là

Hình 8.17

Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong dầm theo biểu thức (g) mục 8.4.2 ta có:

(c)

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:

U = T (d)

Thay (b) và (c) vào (d) ta được phương trình

(e)

Gọi yt là chuyển vị tĩnh do lực có trị số bằng Q đặt tại mặt cắt va chạm thì yt = d.Q thay vào (e) ta có:

hay (f)

Vậy hệ số động sẽ là

(8-6)

vg'QQv

gQ

0+

=

0v'QQQv+

=

÷÷ø

öççè

æ+

=+

=

Q'Q1g

Qv.21v

g'QQ.

21T

202

d=

2dy.

21U

÷÷ø

öççè

æ+

=d

Q'Q1g

Qv.21y.

21 2

02d

÷÷ø

öççè

æ+

=

Q'Q1g

v.yy20t2

d

÷÷ø

öççè

æ+

=

Q'Q1gy

vyy

t

otd

÷÷ø

öççè

æ+

=

Q'Q1gy

vK

t

od

66

Nếu trên dầm không có trọng lượng đặt trước Q' thì:

(8-7)

8.5.4 Biện pháp giảm hệ số động

Căn cứ vào biểu thức của hệ số động trong va chạm (8-4) và (8-6) ta thấy muốn giảm trị số của hệ

số động thì phải tăng chuyển vị tĩnh yt của dầm. Muốn tăng chuyển vị tĩnh mà không làm ảnh hưởng đến

độ bền của dầm thì ta chỉ còn biện pháp thay các liên kết cứng của hệ bằng các liên kết đàn hồi. Các chi

tiết được dùng trong thực tế để giảm tác dụng động thường là lò xo dạng hình trụ như trong tàu hoả hay

dạng tấm như nhíp trong ôtô vv...

Chúng ta có rất nhiều thí dụ trong thực tế minh hoạ cho biện pháp trên.

8.6 TỐC ĐỘ TỚI HẠN CỦA TRỤC QUAY

Khi thiết kế chi tiết máy có tốc độ quay lớn, cần chú ý đến tác dụng

của lực ly tâm sinh ra do sự lệch tâm của các khối lượng đặt trên trục quay.

Ta xét một trục quay mang bánh xe lệch tâm (hình 8.18)

Khi trục quay tăng, vòng quay tới một giá trị nào đó thì trục có độ võng lớn

nhất và tăng tiếng ồn.

Nếu tiếp tục tăng nữa thì tiếng ồn và độ võng giảm đi. Ta gọi tốc độ của

trục quay khi trục có độ võng lớn nhất là tốc độ tới hạn.

Gọi y là độ võng tại mặt cắt mang bánh xe, l là khoảng cách lệch tâm, W là

tốc độ góc của trục, m là khối lượng bánh xe.

Khi đó lực li tâm sinh ra là: Hình 8.18

F = mW2(e+y)

Gọi d là chuyển vị do một lực đơn vị đặt tại mặt cắt mang bánh xe gây ra thì:

y = F.d = m.dW2(e+y)

hay

Độ võng y lớn nhất khi hay tốc độ tới hạn của trục quay có trị số bằng tần số dao động ngang

của hệ . Do đó cần lưu ý:

- Khi thiết kế trục quay phải có tần số góc khác với tốc độ tới hạn

- Nếu W >>w thì yt » -e khi đó tâm của bánh xe sẽ nằm trên trục quay

Những điều này có ý nghĩa rất quan trọng trong chế tạo tuốc bin và máy li tâm

t

od gy

vK =

2

21ey

md

W=

-W

2 1md

W =

d=wm1

t

F

67


1. Phân biệt tải trọng động và tải trọng tĩnh? Nêu phương hướng giải bài toán động.

2. Nêu cách giải bài toán vật chuyển động (thẳng và quay) với gia tốc không đổi.

3. Nêu khái niệm về bậc tự do của một hệ đàn hồi, các loại dao động? Viết phương trình dao động,

đồ thị dao động, tần số góc của dao động tự do hệ một bậc tự do

4. Viết và giải thích công thức kđ trong bài toán dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do. Lấy ví dụ cụ

thể để minh họa cho bài toán này.

5. Thế nào là hiện tượng cộng hưởng? Cách khắc phục hiện tượng cộng hưởng.

6. Viết và giải thích công thức kđ trong bài toán va chạm. Nêu các biện pháp giảm tác dụng.

7. Hệ số thu gọn khối lượng là gì? Viết công thức tính hệ số thu gọn cho các trường hợp dầm

côngxôn, dầm đơn giản và lò xo. Trong tính toán tải trọng động, nếu kể đến khối lượng của kết

cấu đàn hồi thì có đặc điểm gì khác so với việc bỏ qua khối lượng bản thân?

68

BÀI TẬP Bài tập 1.

Cơ cấu nâng tải A nặng 20 KN dùng để nâng vật nặng P = 40 KN với chuyển động nhanh dần đều

và ở giây đầu tiên nó lên được 2,5 m.

Kiểm tra bền cho dây và dầm biết: [s] = 16 KN/cm2

a, Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm

b, Tính đến trọng lượng bản thân dầm

Bài tập 2.

Vật nặng P = 100 N rơi từ độ cao h xuống dầm AB gây nên độ võng lớn nhất f = 8 mm.

a, Tính chiều cao rơi h và xác định ứng suất pháp lớn nhất trên dầm.

b, Với h vừa tính hãy xác định ứng suất pháp lớn nhất trên dầm trong hai trường hợp:

h1 – Tại C đặt lò xo có D = 6 cm; d = 0,5 cm; n = 10; G = 8.106 N/cm2.

h2 – Tại B đặt lò xo có độ cứng C = 2 KN/cm.

Bài tập 3.

Cho Q rơi tự do từ độ cao h đến đập vào Q’. Biết

Q’ = 1200 N; Q = 5000 N; l = 2 m; h = 4 cm; d = 12

cm; [s] = 160 MN/m2; E = 2.105 MN/m2; .

Hãy kiểm tra bền và cứng cho dầm:

a, Bỏ qua trọng lượng dầm.

b, Tính đến trọng lượng dầm.

l/2 = 2,5 m l/2

A

d = 2 cm

P = 60 KN

A

N°30a

x

y

2 m1.4 m

P

h

BCA

A C B

h

P

A C B

h

P

N°12h1

h2

h2

y

x

1300

fl

é ù =ê úë û

Q

h

BC

A Q'

l/2 l/2d

69

Bài tập 4.

Hệ chịu lực như hình vẽ:

Biết E = 2.1011 N/m2; F = 2 cm2; [s] = 160 MN/m2;

a = 0,5 m

Tính chiều cao h=?

Bài tập 5.

Trọng lượng Q = 200 N rơi từ độ cao h = 5 cm tự do

xuống đập vào mặt cắt D của thanh tuyệt đối cứng AD.

Biết l = 120 cm; d = 20 cm; [s] = 12 MN/m2 ; [ez] = 2.10-3;

E = 104 MN/m2

Kiểm tra bền và cứng cho kết cấu.

Bài tập 6.

Tính ứng suất lớn nhất và độ võng lớn nhất phát

sinh trong dầm chịu lực như hình vẽ.

Biết Q = 5 KN; h = 10 cm; l = 2 m; l = 2 m; E =

2.105 MN/m2

Bài tập 7.

Xác định trị số lớn nhất của Vo để dầm thỏa mãn điều kiện bền và điều

kiện cứng.

Biết: [s] = 160 MN/m2; ; E = 104 MN/m2

1500

fl

é ù =ê úë û

a 2a

Q= 100N

h

60°

EF

h

Q

C DBA

a a 2a

l

d

l/3l =

1,2

m

Q = 5 KN

Vo

N°2

4a x

yA

CB

l l/3

hQ N°24

x

y

70

Bài tập 8.

Một trọng lượng Q = 500 N bay với vận tốc Vo = 5 m/s đến đập

vào mặt cắt C của thanh gãy khúc ABC như hình vẽ.

Biết: d = 12 cm; a = 8 cm; AB = 2 m; BC = 60 cm; [s] = 160

MN/m2; E = 104 MN/m2

Hãy kiểm tra bền cho thanh ABC.

Bài tập 9.

Trên đầu tự do của thanh chiều dài l nghiêng với trục nằm ngang góc a có gắn

vật trọng lượng Q. Thanh quay quanh trục thẳng đứng o – o với vận tốc góc

không đổi w ( hình vẽ).

Xác định ứng suất pháp động lớn nhất ở mặt cắt nguy hiểm cảu thanh biết

trọng lượng đơn vị chiều dài thanh là q, diện tích mặt cắt ngang F, momen

chống uốn là W.

Bài tập 10.

Động cơ đặt trên hai dầm gỗ quay với tốc độ n = 1400v/ph, trọng lượng động cơ Q = 1,6 KN. Xác định

kích thước mặt cắt ngang của dầm để tần số dao động riêng lớn hơn tần số của lực kích thích 30%.

Biết trị số lớn nhất của lực kích thích bằng 400N; [s] = 10 MN/m2. Hãy kiểm tra bền cho dầm ( bỏ qua

trọng lượng dầm và lực cản).

Q

1,4 m 0.4 m

b b

h

hb = 1,5

Vo Qd

2a

a

A

B

C

Q

a

w

w

o

o

71

Bài tập 11.

Động cơ đặt trên dầm thép quay với tốc độ 800 v/ph. Trọng lượng động cơ Q = 6 KN, khi quay động cơ

tạo ra lực quán tính ly tâm P0 = 4 KN. Tính độ võ lớn nhất và ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trên dầm.

Tìm số vòng quay của động cơ để phát sinh hiện tượng cộng hưởng.

Tính với hai trường hợp:

a, Bỏ qua trọng lượng dầm và lực cản.

b, Kể đến trọng lượng của dầm và lực cản.

Biết: E = 2.107 N/cm2; a = 2 (1/s)

Bài tập 12.

Một mô tơ có trọng lượng Q = 48 KN đặt giữa

dầm chữ I No24. Dầm dài 4 m, tốc độ quay

của mô tơ là 510 v/ph. Khi quay mô tơ tạo ra

lực quán tính ly tâm P0 = 4,8 KN.

- Tính độ võng và ứng suất pháp lớn nhất phát

sinh trong dầm.

- Tìm số vòng quay của mô tơ để phát sinh hiện tượng cộng hưởng.

- Tính chiều dài của dầm để có thể gây ra hiện tượng cộng hưởng.

Tính cho 2 trường hợp.

a, Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm và lực cản.

b, Kể đến trọng lượng bản thân đầm và lực cản ( cho a = 2 (1/s))

l/2l/2Q

A B

y

x

N°24

Ql = 1 m

x

y

N°12

72

Chương 9 THANH CONG PHẲNG

9.1. KHÁI NIỆM - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

9.1.1 Khái niệm

Ngoài những thanh thẳng đã nghiên

cứu ở các chương trước. Trong thực tế, ta còn

gặp những thanh có trục cong, gọi là thanh

cong.

Nếu trục của thanh nằm trong mặt

phẳng thì gọi là thanh cong phẳng.

Ở chương này, ta nghiên cứu thanh

cong phẳng có mặt phẳng đối xứng chứa trục

thanh và ngoại lực tác động vào thanh nằm

trong mặt phẳng đối xứng đó.

Hình 9.1

Thí dụ: móc cẩu, vòng mắt xích, vòm cầu vv...

Để đánh giá độ cong của thanh, người ta thường dựa vào tỉ số giữa bán kính cong của trục thanh (r0) với

chiều cao của mặt cắt ngang (h)

- Thanh có độ cong lớn nếu

- Thanh có độ cong nhỏ nếu

Để đơn giản, người ta có thể dùng công thức tính ứng suất pháp trong thanh thẳng để tính ứng suất cho

thanh có độ cong bé.

9.1.2. Nội lực và biểu đồ nội lực

Đối với thanh cong phẳng, khi tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng của thanh (yOz) thì trên

mặt cắt ngang tồn tại ba thành phần nội lực là: Lực dọc Nz, lực cắt Qy và mômen uốn Mx. Để xác định

các thành phần nội lực nói trên ta dùng phương pháp mặt cắt đã biết. Vị trí của mỗi mặt cắt được xác

định theo toạ độ cực. Do đó nội lực sẽ là hàm lượng giác của toạ độ đó.

Quy ước dấu của lực dọc và lực cắt giống như thanh thẳng. Chỉ có mômen uốn M được quy ước

là dương khi chiều dài của nó có xu hướng làm cho thanh bị cong thêm.

Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong AB được liên kết và chịu lực như hình 8.2a

Giải: Dùng mặt cắt (1-1) cắt thanh làm hai phần. Xét phần bên phải như hình 8.2b

Gọi góc tạo bởi giữa mặt cắt (1-1) với phương thẳng đứng là

j(0 < j < )

Trên mặt cắt có ba thành phần nội lực

54hr0 ÷£

54hr0 ÷>

2p

73

- Lực dọc: N = -Psinj

- Lực cắt: Q = P.cosj

- Mômen uốn: M = P.r.sinj

Quá trình vẽ biểu đồ nội lực tương tự như làm đối với thanh thẳng

Ở đây đường chuẩn của biểu đồ là đường cong song song với trục thanh

Từ (1) ta có, với j = 0 thì N = 0, Q = P, M = 0

thì N = -P, Q = 0, M = Pr

Các biểu đồ N, Q, M của thanh AB được vẽ như hình 8.2c

Thí dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực của thanh cong AB có bán kính cong r0,

chịu lực tác dụng P ở điểm C. Lực P làm với phương thẳng đứng một góc 300.

Khoảng cách hai gối A, B là l = 10m. Thanh được liên kết như hình 8.3a.

Giải

1. Xác định phản lực liên kết

Lập hệ trục toạ độ x, y có gốc tại gối A. Gọi hình chiếu của P theo

phương x và y là Px, Py

Py = P.coss300 = 40.0,866 = 34,6kN

Lấy mômen của tải trọng và phản lực với điểm B và điểm A ta được:

Hình 9.2

Lập phương trình hình chiếu lên phương x

SX = -Px + HB = 0

HB = Px = 20kN

2. Xác định các đại lượng chưa biết

Gọi góc tạo bởi đường thẳng đi qua tâm cong và gối A với phương thẳng đứng là j

Từ hình 8.3a ta có:

2p

=j

kN2021.4030sin.PP 0

x ===

kN3,11l1.f.P

2l.PR

0f.P2l.Pl.RM

kN3,23l1f.P

2l.PR

0f.P21.Pl.RM

xyB

xyBA

xyA

xyAB

=÷øö

çèæ -=Þ

=+-=S

=÷øö

çèæ +=Þ

=--=S

74

Giả sử ta được:

ro = 5,67cm

hay j = 61054'

3. Xác định nội lực trong thanh

Ta chia thanh làm hai đoạn:

- Xét đoạn 1: (0 < a < j)

Dùng mặt cắt (1-1) cắt thanh thành hai phần. Xét phần bên trái. Gọi x1, y1 là toạ độ trọng tâm của mặt cắt

(1-1) với hệ trục x-y

x1 = 0,5l - r0.sin(j-a) = 5-5,67sin(j-a)

y1 = f-r0[1-cos(j-a)]=5,67cos(j-a)-2,67

Các thành phần nội lực trên mặt cắt này là:

N1 = -RA.sin(j-a) = -23,3.sin(j-a)

Q1 = RA.cos(j-a) = 23,3.cos(j-a)

M1 = -RA.x1 = 23,3[5-5,67.sin(j-a)]

00

0 02 2

2 2 0

0

sin ; ;cos2 2

sin cos 12

o

o

r fl lrr r r

r flr r

j j

j j

-= = =

æ ö æ ö-+ = + =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

882,0r2lsin0

==j

75

Hình 9.3

- Xét đoạn 2: (j < a< 2j)

Dùng mặt cắt (2-2). Xét phần bên trái

Gọi x2, y2 là toạ độ trọng tâm của mặt cắt (2-2) với hệ trục x-y

Các thành phần nội lực trên mặt cắt này là:

( )

( )[ ]j-a--=

j-a+=

cos1rfy

sinr2lx

02

02

76

N2 = (RA - Py)sin(

Q2 = (RA - Py)cos(a-j) -Pxsin(a-j)

M2 = -RA.x2 + Py(x2 - 0,5l) + Px(f - y2)

hay

N2 = -11,3.sin(a-j) +20.cos(a-j)

Q2 = -11,3.cos(a-j)-20.sin(a-j)

M2 = -3,1+64,1.sin(a-j)-113,4.cos(a-j)

4. Vẽ biểu đồ nội lực N, Q, M

Để vẽ biểu đồ nội lực ta lập bảng biểu diễn sự biến thiên của nội lực theo biên góc a

a = 0 a = j a = 2j

N1(kN) -20,6 -15,4 -8,2 0

Q1(kN) 11 17,5 21,8 23,3

M1(kNm) 0 -29,5 -70 -116,5

N2(kN) 20 14,7 7,5 -0,6

Q2 (kN) -11,3 -17,6 -21,7 -22,9

M2 (kNm) -116,5 -87 -46,3 0

9.2. TÍNH THANH CONG CHỊU UỐN THUẦN TUÝ



a. Những giả thuyết cơ bản

Khi tính thanh cong chịu uốn thuần tuý người ta dựa vào hai giả thuyết cơ bản sau:

- Giả thuyết mặt cắt phẳng: trước biến dạng mặt cắt là phẳng và thẳng góc với trục thanh thì sau

biến dạng mặt cắt vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh.

- Trong quá trình biến dạng các thớ không ảnh hưởng lẫn nhau tức là không ép hoặc đẩy nhau.

b. Biến dạng của thanh và mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng

Giả sử có một thanh cong chịu uốn thuần tuý như hình 8.4a. Trên thanh ta tách ra một đoạn thanh

bằng hai mặt cắt (1-2) và (3-4). Hai mặt cắt này hợp với nhau một góc dq. Dưới tác dụng của mômen uốn

M. Thanh bị uốn cong thêm (mômen M mang dấu dương), lúc đó trong thanh hình thành lớp trung hoà.

Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang là đường trung hoà (hình 8.4b)

( )j-a+j-a cosP) x

2j

=a32j

=a34j

=a35j

=a

77

H×nh 9.4

Gọi bán kính cong của thớ trung hoà CD là rth và O, O1 lần lượt là trọng tâm của mặt cắt (1-2) và (3-4)

Sau biến dạng mặt cắt (3-4) bị xoay đi, gọi góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt (1-2) và (3-4) là Ddq

(hình 8.4c)

Xét thớ AB bất kỳ của đoạn thanh, có bán kính cong r, chiều dài của thớ trước biến dạng là:

ds = r.dq

Sau biến dạng thớ AB có biến dạng dài là:

Dds = (r-rth)Ddq

Biến dạng dài tương đối của thớ AB là:

Theo giả thuyết 2: trạng thái ứng suất của thanh cong là trạng thái ứng suất đơn.

Từ định luật Húc ta có: (a)

c. Vị trí lớp trung hoà

Theo quan hệ giữa nội lực và ứng suất ta có

(b)

Thay (a) vào (b)

(c)

Tỉ số là không đổi đối với mọi điểm trên mặt cắt.

Đưa những đại lượng không đổi ra ngoài dấu tích phân và chú ý N = 0. Lúc đó (c) có thể viết:

qqD-

=D

=edd.

rrr

dsds th

rrr.

dd.E.E th-qqD

=e=s

òs=F

dFN

dFrrr.

dd.EN th

F

-qqD

= ò

qqD

dd

78

Do đó:

(8-1)

Đây là công thức xác định bán kính cong của thớ trung hoà. ở đây đường trung hoà không đi qua trọng

tâm mặt cắt mà nằm về phía tâm cong.

d. Biểu thức ứng suất pháp

Ta có tổng mômen của nội lực đối với trục vuông góc với mặt phẳng đối xứng và đi qua tâm cong

của thanh bằng mômen uốn M.

(d)

Thay (a) vào (d)

(e)

Tích phân dF là mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục trung hoà

Đặt:

S cũng cùng được tính như sau:

S= a.F (g)

Trong đó: a = r0 - rth là khoảng cách giữa trọng tâm mặt cắt với đường trung hoà

Thay (g) vào (e)

(h)

Thay (h) vào (a): (8-2)

Đây là công thức tính ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ cách tâm cong một khoảng r

Trong đó:

M là mômen uốn trên mặt phẳng ngang

F là diện tích mặt cắt ngang

rth là bán kính cong của thớ trung hoà

ò ò ò

ò

=-=-

=-

qqD

F F F

thth

F

th

0dFrrdF

rrdF

rrr

0dFrrr

dd.E

ò=

F

th

rdFFr

òs=F

dF.r.M

ò-

qqD

=F

th rdF.rrr.

ddEM

( )ò -qqD

=F

th dFrrddEM

( )ò -F

thrr

( )ò =-F

th SdFrr

F.addEMqqD

=

F.aM

dd.E =qqD

÷øö

çèæ -=s

rr1

F.aM th

79

e. Biểu đồ phân bố ứng suất pháp

Dựa vào biểu thức tính ứng suất pháp (8-2) ta dựng được biểu đồ phân bố ứng suất pháp như hình 8.5

Đó là đường hypebon có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau

- Một đường đi qua tâm cong và song song với pháp tuyến của mặt cắt

- Một đường song song với trục đối xứng của mặt cắt

Qua biểu đồ ta thấy ứng suất pháp tăng chậm theo chiều cao mặt cắt kể từ thớ trung hoà đến mép ngoài

mặt cắt (r > rth). Còn với các điểm về phía tâm cong

(r < rth) ứng suất pháp tăng nhanh.

Chiều của ứng suất pháp liên quan đến chiều

mômen uốn

Những điểm ngoài cùng r = rmax và những

điểm trong cùng r = rmin ứng suất pháp lớn nhất về

kéo và nén.

Đối với mặt cắt có bề rộng không đổi, giá trị

tuyệt đối về ứng suất của các điểm ở phía trong lớn

hơn phía ngoài.

Hình 9.5

Để giảm ứng suất ở phía trong người ta thường tăng kích thước ngang của mặt cắt về phía tâm

cong, như các mặt cắt sau:

H×nh 9.6

9.3. XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH CONG CỦA THỚ TRUNG HOÀ

F.aM

=s

80

Đối với mặt cắt ngang có hình dạng bất kỳ, ta dùng

công thức để tính bán kính cong của thớ trung

hoà.

9.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật

Giả sử có mặt cắt hình chữ nhật có các cạnh h, b có

bán kính cong rmax = r1, rmin = r2

Tại bán kính r ta lấy dải diện tích dF theo phương

ngang với dF = b.dr

Diện tích mặt cắt F = b.h

Do đó từ (8-1) ta có:

hay (8.3)

9.3.2. Mặt cắt hình tròn

Giả sử hình tròn đường kính d

Diện tích hình tròn , lấy một dải diện tích dF

theo phương ngang.

dF = b1.dr

Trong đó:

Thay giá trị dF, F và r vào (8-1) ta được:

(8-4)

ò=

F

th

rdFFr

2

1th

r

r

th

rrln.b

h.br

rdr.b

h.br1

2

=

=

ò

2

1th

rrln

hr =

4dF2p

=

jj=

jj=

j+=

j=

d.cos2ddF

d.cos2dd

sin2drr

cos.db

22

r

0

r

( )2200

2

thdr4r24

dr--

=

81

3.3. Mặt cắt hình thang

Giả sử hình thang có chiều cao h, đáy lớn và đáy nhỏ là b2, b1

áp dụng công thức (8-1) ta tính được rth

(8-5)

Từ công thức (8-5) ta thấy:

- Khi b1 = b2 là mặt cắt hình chữ nhật. Công thức này trở về công thức (8-3)

- Khi b1 = 0; b = b2 tức là mặt cắt hình tam giác có đáy quay về phía tâm cong, lúc đó rth sẽ là:

(8-6)

9.4. TÍNH THANH CONG CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Trong thanh cong chịu lực phức tạp, nội lực gồm ba thành phần là lực dọc N, lực cắt Q và mômen

uốn M.

- Mômen uốn M sinh ra ứng suất pháp và ứng suất đó được tính theo công thức (8-2)

Gọi ứng suất pháp do M gây là s(M)

- Lực dọc N cùng gây ra ứng suất pháp và có thể coi là phân bố đều trên mặt cắt

Gọi ứng suất pháp do N gây ra là s(N)

(8-7)

- Lực cắt Q chỉ gây ra ứng suất tiếp và không ảnh hưởng đến sự phân bố của ứng suất pháp.

Giá trị của ứng suất tiếp có thể được tính gần đúng theo công thức Durapski của thanh thẳng, với:

(8-8)

Trong đó Jx là mômen quán tính của mặt cắt đối với trục x, trục y trùng với trục đối xứng của mặt cắt đi

qua tâm cong và x, y là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

( )

dr.bdFrrrrbbbb

h2bbF

r

21

1121r

21

=--

-+=

+=

( )122

11211

21

th

bbrrln

hbbrb

h.2bb

r--úû

ùêëé -

+

+

=

b2rrln

hbr2

h.br

2

11

th

-=

÷øö

çèæ -=s

rr1

F.aM th

)M(

( ) ( )

÷øö

çèæ -+=s

s+s=s

=s

rr1

F.aM

FN

FN

th

NM

)N(

cx

cx

b.JS.Q

=t

82

Thí dụ 3: Xây dựng biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh có độ cong lớn. Mặt cắt

hình thang cân. Mômen uốn M = 40kNm (căng các thớ phía ngoài), lực dọc N = 0

Giải: Gọi C là khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt tới đáy lớn:

Bán kính cong của trục thanh

Từ công thức (8-5)

a = ro - rth = 28,89 - 27,79 = 1,10cm

Với r = 40cm thì

r = 35cm s = 2,49kN/cm2

r = 30cm s = 0,89kN/cm2

r = 25cm s = -1,36kN/cm2

r = 20cm s = -4,73kN/cm2

cm89,820102010.2.

320

bbbb2.

3hC

21

21 =++

=++

=

cm89,2889,820Crr 20 =+=+=

( )

( )cm79,27

10201020ln

201020.4010

20201021

rth =--úû

ùêëé -

+

+=

2cm30020.22010F =

+=

r33712,12

r79,271

300.1,14000

rr1

F.aM th

-=s

÷øö

çèæ -=÷

øö

çèæ -=s

2cm/kN7,34033712,12 =-=s

83

Sau khi có giá trị ứng suất ứng với mỗi bán kính r ta vẽ được biểu đồ ứng suất như hình 8.10b

Thí dụ 4: Tính ứng suất lớn nhất và bé nhất của móc cẩu như hình 8.11

Biết trọng lượng P = 150kN

Kích thước mặt cắt cho trên hình 8.11

Giải: Mặt cắt nguy hiểm nhất là mặt cắt AB. Vì tại

đó M và N đều có giá trị lớn nhất:

M = P.r0; N = P

Diện tích mặt cắt ngang F:

Bán kính cong rth

Do đó:

ro = r2 + c = 8 + 5,091 = 13,091cm

a = ro - rth \ 13,091 - 12,265 = 0,826cm

M = -P.ro = -150.103.0,1309 = -19,63.103Nm

N = P = 150.103N

Ứng suất pháp nén lớn nhất tại điểm B ở mép ngoài với

rmax = r1 = 20cm

smin = -115,8MN/m2

Ứng suất pháp kéo lớn nhất tại điểm A với

( ) 242 m10.66cm6621238F -==+=

cm091,58386.

312

bbbb2.

3hc

21

21 =++

=++

=

( )( ) cm265,1250794,29957,2333,83

66

5820ln

125203

12238

rth =--+

=-÷

øö

çèæ +

+

=

( )( )

÷øö

çèæ -

-+=s=s --- 20

265,12110.6,82.10.6610.63,19

10.6610.150

44

3

4

3

Bmin

84

rmin = r2 = 8cm

smax = 213,6MN/m2

Chú ý: Về trị số a là rất nhỏ so với trị số của r0 và rth. Vậy cần tính chính xác trị số r0 và rth thì mới đảm

bảo kết quả chính xác của a.


1. Khi sử dụng phương pháp mặt cắt để vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong, có đặc điểm gì

khác khi vẽ biểu đồ nội lực cho thanh thẳng?

2. Nêu rõ sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang thanh cong chịu uốn trạng thái phẳng.

Viết công thức và giải thích công thức tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. Biểu đồ

phân bố ứng suất pháp và dạng mặt cắt hợp lý.

3. Viết công thức và giải thích công thức xác định bán kính cong cảu thớ trung hòa cho

mặt cắt chữ nhật, mặt cắt tròn và mặt cắt hình thang.

4. Trên mặt cắt ngang thanh cong chịu lực phức tạp tồn tại ứng suất gì? Công thức tính?

Trình bày điều kiện bền của thanh cong chịu lực phức tạp và cách giải ba bài toán cơ

bản.

BÀI TẬP

Bài 1.

Vẽ biểu đồ momen uốn, lực dọc và lực cắt của các thanh cong dưới đây.

( ) 33

max ( ) 4 4 4

19,63 .10150.10 12,265166.10 66.10 .82,6.10 8As s - - -

- æ ö= = + -ç ÷è ø

M = Pr

r

45°

P

(a)

P

a

P(b)

P

a= 12 cm

(c)

q = 200 N/m

85

Bài 2.

Xác định ứng suất lớn nhất về kéo và nén tại mặt cắt ngang nguy hiểm và ứng suất pháp tại điểm A

đã cho tại mặt cắt ngang nguy hiểm.

Bài 3.

Một khuyên bằng gang mặt cắt tròn chịu lực như hình vẽ.

Xác định tải trọng cho phép biết: [s]k = 6 KN/cm2; [s]n = 10 KN/cm2; cho R = 16 cm; d = 8 cm.

Bài 4.

Một thanh cong mặt

cắt ngang chữ nhật chịu lực như hình vẽ.

Cho P = 6 KN; q = 12 KN/m; a = 16 cm

; [s] = 200 MN/m2.

Xác định kích thước mặt cắt ngang.

P

P= 2.10 N 3

a

a a

6040

5A

80

120

20

P

P

A B

A - B

r1 = 60 mm

d

P

A BR

43

hb=

P

a

a

q

h

b

86

PHỤ LỤC

1. BẢNG TRA HỆ SỐ j

Độ mảnh l Trị số j đối với Thép CT

2,3,4 Thép CT5 Thép hợp

kim Gang Gỗ

10 0,99 0,98 1 1 1 20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 50 0,89 0,86 0,83 0,54 0,80 60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,6 80 0,75 0,7 0,65 0,26 0,48 90 0,69 0,62 0,55 0,2 0,38

100 0,6 0,51 0,43 0,16 0,31 110 0,52 0,43 0,35 0,25 120 0,45 0,36 0,3 0,22 130 0,4 0,33 0,26 0,18 140 0,36 0,29 0,23 0,16 150 0,32 0,26 0,21 0,14 160 0,29 0,24 0,19 0,12 170 0,26 0,21 0,17 0,11 180 0,23 0,19 0,15 0,10 190 0,21 0,17 0,14 0,09 200 0,19 0,16 0,13 0,08

2. BẢNG TRA THEO VẬT LIỆU ( �lo, l1, E, a, b )

Vật liệu lo l� E ( KN/cm2)

a ( KN/cm2)

b ( KN/cm2)

Thép CT2, CT3, CT4 100 70 2.104 31 0,114 Thép CT5 100 72 2.104 46,4 0,326 Gỗ 70 40 103 3,68 0,0265 Gang 80 30 1,5.104 77,6 0,415

3. TRA HỆ SỐ µ

87

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM Bộ môn Sức Bền Vật Liệu

BẢNG TRA THÉP DÁT ĐỊNH HÌNH Mặt cắt chữ I

OCT 8239-56

Số hiệu mặt cắt

Trọng lượng N/m

Kích thước ( mm )

Diện tích mặt cắt cm2

Trị số cần tìm đối với các trục

h

b

d

t

R

r

x-x y-y Jx

cm4 Wx cm3

ix cm

Sx cm3

Jy cm4

Wy cm3

iy cm

10 111 100 70 4,5 7,2 7,0 3,0 14,2 244 48,8 4,15 28,0 35,3 10 1,58 12 130 120 75 5,0 7,3 7,5 3,0 16,5 403 67,2 4,94 38,5 43,8 11,7 1,63 14 148 140 82 5,0 7,5 8,0 3,0 18,9 632 90,3 5,78 51,5 58,2 14,2 1,75 16 169 160 90 5,0 7,7 8,5 3,5 21,5 945 118 6,63 67,0 77,6 17,2 1,90 18 187 180 95 5,0 8,0 9,0 3,5 23,8 1330 148 4,47 83,7 94,6 19,9 1,99 18a 199 180 102 5,0 8,2 9,0 3,5 25,4 1440 160 5,53 90,1 119 23,3 2,06 20 207 200 100 5,2 8,2 9,5 4,0 26,4 1810 181 8,27 102 112 22,4 2,17 20a 222 200 110 5,2 8,3 9,5 4,0 28,3 1970 197 8,36 111 148 27,0 2,29 22 237 220 110 5,3 8,6 10,0 4,0 30,2 2530 230 9,14 130 155 28,2 2,26 22a 254 220 120 5,3 8,8 10,0 4,0 32,4 2760 251 9,23 141 203 33,8 2,50 24 273 240 115 5,6 9,5 10,5 4,0 34,8 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37 24a 294 240 125 5,6 9,8 10,5 4,0 37,5 3800 317 10,1 178 260 41,6 2,63 27 315 270 125 6,0 9,8 11,0 4,5 40,2 5010 371 11,2 210 260 41,5 2,54 27a 339 270 135 6,0 10,2 11,0 4,5 43,2 5500 407 11,3 229 337 50,0 2,80 30 365 300 135 6,5 10,2 12,0 5,5 46,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69 30a 392 300 145 6,5 10,7 12,0 5,5 49,9 7780 518 12,5 292 346 60,1 2,95 33 422 330 140 7,0 11,2 13,0 5,5 53,8 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79 36 486 360 145 7,5 12,3 14,0 6,0 61,9 13380 743 14,7 423 516 71,1 2,89 40 561 400 155 8,0 13,0 15,0 6,0 71,9 18930 974 16,3 540 666 75,9 3,05 45 652 450 160 8,6 14,2 16,0 7,0 83,0 27450 1220 18,2 699 807 101 3,12 50 761 500 170 9,3 15,2 17,0 7,0 96,9 39120 1560 20,1 899 1040 122 3,28 55 886 550 180 10,0 16,5 18,0 7,0 113 54810 1990 20,2 1150 1350 150 3,46 60 1030 600 190 10,8 17,8 20,0 8,0 131 75010 2500 23,9 1440 1720 181 3,62 65 1190 650 200 11,7 19,2 22,0 9,0 151 100840 3100 25,8 1790 2170 217 3,79 70 1370 700 210 12,7 20,8 24,0 10,0 174 133890 3830 27,7 2220 2730 260 3,76 70a 1580 700 210 15,0 24,0 24,0 10,0 202 152700 4360 27,5 2550 3240 309 4,01 70b 1840 700 210 17,5 28,2 24,0 10,0 234 175350 5010 27,4 2940 3910 373 4,09

G

t

R r x

y

h

b

d

88


BẢNG TRA THÉP DÁT ĐỊNH HÌNH Mặt cắt chữ C

OCT 8240-56

G

Số hiệu mặt cắt

Trọng lượng N/m

Kích thước ( mm ) Diện tích mặt cắt cm2

Trị số cần tìm đối với các trục Z0

h

b

d

t

R

r

x-x y-y Jx

cm4 Wx cm3

ix cm

Sx cm3

Jy cm4

Wy cm3

iy cm

6 54,2 50 37 4,5 7,0 6,0 2,5 6,90 26,1 10,4 1,94 6,36 8,41 3,59 1,10 1,36 6,5 65,0 65 40 4,5 7,4 6,0 2,5 8,28 54,5 16,8 2,57 10,0 11,9 4,58 1,20 1,40 8 77,8 80 45 4,8 7,4 6,5 2,5 9,91 99,9 25,0 3,17 14,8 17,8 5,89 1,34 1,48 10 92,0 100 50 4,8 7,5 7,0 3,0 11,7 187 37,3 3,99 21,9 25,6 7,42 1,48 1,55 12 108,0 120 54 5,0 7,7 7,5 3,0 13,7 313 52,2 4,78 30,5 34,4 9,01 1,58 1,59 14 123,0 140 58 5,0 8,0 8,0 3,0 15,7 489 69,8 5,59 40,7 45,1 10,9 1,70 1,66 14a 132,0 140 62 5,0 8,5 8,0 3,0 16,9 538 76,8 5,65 44,6 56,6 13,0 1,83 1,84 16 141,0 160 64 5,0 8,3 8,5 3,5 18,0 741 92,6 6,42 53,7 62,6 13,6 1,87 1,79 16a 151,0 160 68 5,0 8,8 8,5 3,5 19,3 811 101 6,48 58,5 77,3 16,0 2,00 1,98 18 161,0 180 70 5,0 8,7 9,0 3,5 20,5 1080 120 7,26 69,4 85,6 16,9 2,04 1,95 18a 172,0 180 74 5,0 9,2 9,0 3,5 21,9 1180 131 7,33 75,2 104 19,7 2,18 2,13 20 184,0 200 76 5,2 9,0 9,5 4,0 23,4 1520 152 8,07 87,8 113 20,5 2,20 2,07 20a 196,0 200 80 5,2 9,9 9,5 4,0 25,0 1660 166 8,15 95,2 137 24,0 2,34 2,57 22 209,0 220 82 5,3 9,9 10,0 4,0 26,7 2120 193 8,91 111 151 25,4 2,38 2,24 22a 225,0 220 87 5,3 10,2 10,0 4,0 28,6 2320 211 9,01 121 186 29,9 2,55 2,47 24 240,0 240 90 5,6 10,0 10,5 4,0 30,6 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,60 2,42 24a 258,0 240 95 5,6 10,7 10,5 4.0 32,9 3180 265 9,84 151 254 37,2 3,78 2,67 27 277,0 270 95 6,0 10,5 11 4,5 35,2 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47 30 318,0 300 100 6,5 11,0 12 5,0 40,5 5810 387 12,0 224 327 43,6 2,84 2,52 33 365,0 330 105 7,0 11,7 13 5,0 46,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59 36 419,0 360 110 7,5 12,6 14 6,0 53,4 10820 601 14,2 350 513 61,7 3,10 2,68 40 483,0 400 115 8,0 13,5 15 6,0 61,5 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75

y

x r

R

t

d

b

h

Z o

89


BẢNG TRA THÉP DÁT ĐỊNH HÌNH Mặt cắt thép góc đều cạnh

OCT 8240-56

Số hiệu mặt

cắt No

Kích thước, mm Diện tích mặt cắt cm2

Trọng lượng 1 m dài, N

Trị số cần tìm đối với các trục

b d r R

x - x y - y yo - yo x0 – x0

Jx

cm4 ix

cm Jxomax

cm4 ixomax

cm Jxomin

cm4 ixomin

cm Jxomax

cm4 Zo cm

2 20 3

3.5 1.2 1.13 8.9 0.4 0.59 0.63 0.75 0.17 0.39 0.81 0.6

4 1.46 11.5 0.5 0.58 0.78 0.73 0.22 0.38 1.09 0.64

2.5 25 3

3.5 1.2 1.43 11.2 0.81 0.75 1.29 0.95 0.34 0.49 1.57 0.73

4 1.86 14.6 1.03 0.74 1.62 0.93 0.44 0.48 2.11 0.76

2.8 28 3 4 1.3 1.62 12.7 1.16 0.85 1.84 1.07 0.48 0.55 2.2 0.8

3.2 32 3

4.5 1.5 1.86 14.6 1.77 0.97 2.8 1.23 0.74 0.63 3.26 0.89

4 2.43 19.1 2.26 0.96 3.58 1.21 0.94 0.62 4.39 0.94

3.6 36 3

4.5 1.5 2.1 16.5 2.56 1.1 4.06 1.39 1.06 0.71 4.64 0.99

4 2.75 21.6 3.29 1.09 5.21 1.38 1.36 0.7 6.24 1.04

4 40 3

5 1.7 2.35 18.5 3.55 1.23 5.63 1.55 1.47 0.79 6.35 1.09

4 3.08 24.2 4.58 1.22 7.26 1.53 1.9 0.78 8.53 1.13

4.5 45

3

5 1.7

2.65 20.8 5.13 1.39 8.13 1.75 2.12 0.89 9.04 1.21

4 3.48 27.3 6.63 1.38 10.05 1.74 2.74 0.89 12.1 1.26

5 4.29 33.7 8.03 1.37 12.7 1.72 3.33 0.88 15.3 1.3

5 50

3

5.5 1.8

2.96 23.2 7.11 1.55 11.3 1.95 2.95 1 12.4 1.33

4 3.89 30.5 9.21 1.54 14.6 1.94 3.8 0.99 16.6 1.38

5 4.8 37.7 11.2 1.53 17.8 1.92 4.63 0.98 20.9 1.42

5.6 56 3.5

6 2 3.66 30.3 11.6 1.73 18.4 2.18 4.8 1.12 20.3 1.5

4 4.38 34.4 13.1 1.73 20.8 2.18 5.41 1.11 23.3 1.52

G

Zo

b

b

d

xx

y

yxo

xo

R

yo

yo

90

5 5.41 42.5 16 1.72 25.4 2.16 6.59 1.1 29.2 1.57

6 63

4

7 2.3

4.96 39 18.9 1.95 29.9 2.45 7.81 1.25 33.1 1.69

5 6.13 48.1 23.1 1.94 36.6 2.44 9.52 1.25 41.5 1.74

6 7.28 57.2 27.1 1.93 42.9 2.43 11.2 1.24 50 1.78

7 70

4.5

8 2.7

6.2 48.7 29 2.16 46 2.72 12 1.39 51 1.88

5 6.86 53.8 31.9 2.16 50.7 2.72 13.2 1.39 56.7 1.9

6 8.15 63.9 37.6 2.15 59.6 2.71 15.5 1.38 68.4 1.94

7 9.42 73.9 43 2.14 68.2 2.69 17.8 1.37 80.1 1.99

8 10.7 83.7 48.2 2.13 76.4 2.68 20 1.37 91.9 2.02

7.5 75

5

9 3

7.39 58 39.5 2.31 62.6 2.91 16.4 1.49 69.6 2.02

6 8.78 68.9 46.6 2.3 73.9 2.9 19.3 1.48 83.9 2.06

7 10.1 79.6 53.3 2.29 84.6 2.89 22.1 1.48 98.3 2.1

8 11.5 90.2 59.8 2.28 94.9 2.87 24.8 1.47 113 2.15

9 12.8 101 66.1 2.27 105 2.86 27.5 1.46 127 2.18

8 80

5.5

9 3

8.63 67.8 52.7 2.47 83.6 3.11 21.8 1.59 93.2 2.17

6 9.38 73.6 57 2.47 90 3.11 23.5 1.58 102 2.19

7 10.8 85.1 65.3 2.45 104 3.09 27 1.58 119 2.23

8 12.3 96.5 73.4 2.44 116 3.08 30.3 1.57 137 2.27

9 90

6

10 3.3

10.6 83.3 82.1 2.78 130 3.5 34 1.79 1.45 2.43

7 12.3 96.4 94.3 2.77 150 3.49 38.9 1.78 1.69 2.47

8 13.9 109 106 2.76 168 3.48 43.8 1.77 1.94 2.51

9 15.6 122 118 2.75 186 3.46 48.6 1.77 2.19 2.55

10 100

6.5

12 4

12.8 101 122 3.09 193 3.88 50.7 1.99 214 2.68

7 13.8 108 131 3.08 207 3.88 54.2 1.98 231 2.71

8 15.6 122 147 3.07 233 3.87 60.9 1.98 265 2.75

10 19.2 151 179 3.05 284 3.84 74.1 1.96 330 2.83

12 22.8 179 209 3.03 331 3.81 86.9 1.95 402 2.91

14 26.3 206 237 3 375 3.78 99.3 1.94 472 2.99

16 29.7 233 264 2.98 416 3.74 112 1.94 542 3.06

11 110 7

12 4 15.2 119 176 3.4 279 4.29 72.7 2.19 308 2.96

8 17.2 135 198 3.39 315 4.28 81.8 2.18 353 3

12.5 125

8

14 4.6

19.7 155 294 3.87 467 4.87 122 2.49 516 3.36

9 22 173 327 3.86 520 4.86 135 2.48 582 3.4

10 24.3 191 360 3.85 571 4.84 149 2.47 649 3.45

12 28.9 227 422 3.82 670 4.82 174 2.46 782 3.53

14 33.4 262 482 3.8 764 4.78 211 2.45 916 3.61

16 37.8 296 539 3.78 853 4.75 224 2.44 1051 3.68

14 140 9 14 4.6 24.7 194 466 4.34 739 5.47 192 2.79 818 3.78

91

10 27.3 215 512 4.33 814 5.46 211 2.78 914 3.82

12 32.5 255 602 4.21 957 5.43 248 2.76 1097 3.9

16 160

10

16 5.3

31.4 247 774 4.96 1229 6.25 319 3.19 1356 4.3

11 34.4 270 844 4.95 1341 6.24 348 3.18 1494 4.35

12 37.4 294 913 4.94 1450 6.23 376 3.17 1633 4.39

14 43.3 340 1046 4.92 1662 6.2 431 3.16 1911 4.47

16 49.1 385 1175 4.89 1866 6.17 485 3.14 2191 4.55

18 54.8 430 1299 4.87 2061 6.13 537 3.13 2472 4.63

20 60.4 474 1419 4.85 2248 6.1 589 3.12 2756 4.7

18 180 11

16 5.3 38.8 305 1216 5.6 1933 7.06 500 3.59 2128 4.85

12 42.2 331 1317 5.59 2093 7.04 540 3.58 2324 4.89

20 200

12

18 6

47.1 370 1823 6.22 2896 7.84 749 3.99 3182 5.37

13 50.9 399 1961 6.21 3116 7.83 805 3.98 3452 5.42

14 54.6 428 2097 6.2 3333 7.81 861 3.97 3722 5.46

16 62 487 2326 6.17 3755 7.78 970 3.96 4264 5.54

20 76.5 601 2871 6.12 4560 7.72 1182 3.93 5355 5.7

25 94.3 740 3466 6.06 5494 7.63 1432 3.91 6733 5.89

30 111.5 876 4020 6 6351 7.55 1688 3.89 8130 6.07

22 220 14

21 7 60.4 474 2814 6.83 4470 8.6 1159 4.38 4941 5.93

16 68.6 538 3157 6.81 5045 8.58 1306 4.36 5661 6.02

25 250

16

24 8

78.4 615 4717 7.76 7492 9.78 1942 4.98 8286 6.75

18 87.7 689 5247 7.73 8337 9.75 2158 4.96 9342 6.83

20 97 761 5765 7.71 9160 9.72 2370 4.94 10401 6.91

22 116.1 833 6270 7.69 9961 9.69 2579 4.93 11464 7

25 119.7 940 7006 7.65 11125 9.64 2887 4.91 13064 7.11

28 133.1 1045 7717 7.61 12244 9.59 3190 4.89 14674 7.23

30 142 1114 8117 7.59 12965 9.56 3389 4.89 15753 7.31

MỤC LỤC STT NỘI DUNG TRANG 1 Chương 6: Thanh chịu lực …

Documents

Transcript of MỤC LỤC STT NỘI DUNG TRANG 1 Chương 6: Thanh chịu lực …